Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες"

Transcript

1 Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

2 Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. τηλεπικοινωνιακά, οδικά, ηλεκτρικά, κοινωνικά δίκτυα συνεκτικότητα, διαδρομές, δρομολόγηση, ανάθεση πόρων, layouts, ). Γράφημα G(V, E): V κορυφές Ε ακμές(ζεύγη σχετιζόμενων κορυφών) Τάξη V = V(G) = n και μέγεθος E = E(G) = m. Κατευθυνόμενα και μη-κατευθυνόμενα γραφήματα. Βάρη (μήκη) στις ακμές ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Θεωρία Γραφημάτων: Βασικές Έννοιες 2

3 Γραφήματα εδομένου γραφήματος G(V, E): Γειτονιά κορυφής v: Επεκταμένη γειτονιά κορυφής v: N + (v) = N(v)+v Γειτονιά συνόλου κορυφών Χ: Απλό γράφημα: χωρίς ανακυκλώσεις ή παράλληλες ακμές. Θεωρούμε απλά μη κατευθυνόμενα γραφήματα, εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Θεωρία Γραφημάτων: Βασικές Έννοιες 3

4 Βαθμός Κορυφής Βαθμός κορυφής v: deg(v) = N(v) (#ακμών που προσπίπτουν στη v). Κατευθυνόμενα: έσω-βαθμός και έξω-βαθμός. Μη-κατευθυνόμενο G(V, E): Κάθε γράφημα έχει άρτιο πλήθος κορυφών περιττού βαθμού. δ(g) / (G): ελάχιστος (μέγιστος) βαθμός κορυφής στο G. k-κανονικό γράφημα: όλες οι κορυφές βαθμού k. Νδοσεκάθεαπλόγράφημα, δύο κορυφές έχουν ίδιο βαθμό. Έχουμε n κορυφές και n-1 πιθανές τιμές βαθμού για κάθε κορυφή. Πιθανές τιμές είτε {0, 1,, n-2} είτε {1, 2,, n-1}

5 Πλήρες και Συμπληρωματικό Γράφημα Πλήρες γράφημα n κορυφών: Κ n Όλα τα ζεύγη κορυφών συνδέονται με ακμή: n(n-1)/2 ακμές. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Θεωρία Γραφημάτων: Βασικές Έννοιες 5

6 Πλήρες και Συμπληρωματικό Γράφημα Πλήρες γράφημα n κορυφών: Κ n Όλα τα ζεύγη κορυφών συνδέονται με ακμή: n(n-1)/2 ακμές. Συμπληρωματικό γράφημα γραφήματος G. Ίδιο σύνολο κορυφών. Ακμές: όσες δεν υπάρχουν στο G. Συμπληρωματικό του : αρχικό γράφημα G. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Θεωρία Γραφημάτων: Βασικές Έννοιες 6

7 ιμερές Γράφημα Ανεξάρτητο σύνολο: σύνολο κορυφών που δεν συνδέονται με ακμή. ιμερές γράφημα: υπάρχει διαμέριση κορυφών σε δύο ανεξάρτητα σύνολα. G(X, Y, E): X και Y ανεξάρτητα σύνολα, ακμές μόνο μεταξύ κορυφών Χ και Υ. G διμερές ανν δεν έχει κύκλους περιττού μήκους. Κύκλος n κορυφών C n : διμερές ανν n άρτιος. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Θεωρία Γραφημάτων: Βασικές Έννοιες 7

8 ιμερές Γράφημα Ανεξάρτητο σύνολο: σύνολο κορυφών που δεν συνδέονται με ακμή. ιμερές γράφημα: υπάρχει διαμέριση κορυφών σε δύο ανεξάρτητα σύνολα. G(X, Y, E): X και Y ανεξάρτητα σύνολα, ακμές μόνο μεταξύ κορυφών Χ και Υ. G διμερές ανν δεν έχει κύκλους περιττού μήκους. Κύκλος n κορυφών C n : διμερές ανν n άρτιος. Πλήρες διμερές γράφημα Κ n,m : ύο ανεξάρτητα σύνολα με n και m κορυφές. Όλες οι n m ακμές μεταξύ τους. Π.χ. Κ 3,3 έχει 9 ακμές. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Θεωρία Γραφημάτων: Βασικές Έννοιες 8

9 Ειδικά Γραφήματα Πλήρες γράφημα n κορυφών: K n Πλήρες διμερές γράφημα με n και m κορυφές: Κ n,m Αστέρας: Κ 1,n Απλό μονοπάτι με n κορυφές: P n Απλός κύκλος με n κορυφές: C n Τροχός τάξης n (n+1 κορυφές): W n Υπερκύβος διάστασης n (2 n κορυφές): Q n (ή Q(n)) Μια κορυφή για κάθε δυαδική συμβολοσειρά μήκους n Κορυφές συνδέονται μεταξύ τους αν αντίστοιχες δυαδικές συμβ/ρες διαφέρουν μόνο σε ένα bit Ιδιότητες: κανονικό, διμερές, διάμετρος, Αναδρομικός ορισμός (για απόδειξη ιδιοτήτων με επαγωγή). ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Θεωρία Γραφημάτων: Βασικές Έννοιες 9

10 Παραδείγματα Υπάρχει(;) απλό μη κατευθυνόμενο γράφημα με: 8 κορυφές: 1 βαθμού 2, 2 βαθμού 3, 4 βαθμού 4, και 1 βαθμού 5. Όχι, άθροισμα βαθμών περιττός (ή ισοδύναμα, περιττό πλήθος κορυφών με περιττό βαθμό). 6 κορυφές: 2 βαθμού 2, 2 βαθμού 3, 1 βαθμού 4, και 1 βαθμού 6. Όχι, σε κάθε απλό γράφημα G με n κορυφές, (G) n 1. 5 κορυφές: 1 βαθμού 2 και 4 βαθμού 4. Όχι, αφού οι 4 κορυφές με βαθμό 4 συνδέονται με όλες τις άλλες, ο ελάχιστος βαθμός κορυφής πρέπει να είναι 4. 9 κορυφές: 1 βαθμού 1, 2 βαθμού 3, 2 βαθμού 4, 1 βαθμού 5, 1 βαθμού 6, και 2 βαθμού 8. Όχι, αφού οι 2 κορυφές με βαθμό 8 συνδέονται με όλες τις άλλες, ελάχιστος βαθμός κορυφής πρέπει να είναι 2. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Θεωρία Γραφημάτων: Βασικές Έννοιες 10

11 Παραδείγματα Έστω διμερές γράφημα G(X, Y, E) με n κορυφές. Νδο: ΚάθεακμήέχειτοέναάκροτηςστοΧκαιτοάλλοστοY. (G) + δ(g) n. Υποθέτουμε ότι X Y. Τότε (G) Y. Έστω κορυφή u Υ. Τότε δ(g) deg(u) Χ. Να δείξετε (με γραφοθεωρητικά επιχειρήματα) ότι: ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Θεωρία Γραφημάτων: Βασικές Έννοιες 11

12 (Απλή) Άσκηση Να δείξετε (με επαγωγή) ότι για κάθε n 1, ο υπερκύβος Q(n) διάστασης n είναι διμερές γράφημα. Βάση: Q(1) έχει δύο κορυφές, διμερές γράφημα. Επαγ. Υπόθεση: Για αυθαίρετο n 1, υποθέτουμε ότι Q(n) διμερές γράφημα. Επαγ. Βήμα: Θδο Q(n+1) είναι διμερές γράφημα. Θεωρούμε δύο αντίγραφα Q 0 (n) και Q 1 (n) του υπερκύβου διάστασης n. Επαγ. υπόθεση: Q 0 (n) και Q 1 (n) διμερή γραφήματα. Α 0 και B 0 διαμέριση κορυφών του Q 0 (n). A 1 και Β 1 αντίστοιχη διαμέριση κορυφών του Q 1 (n). Από αναδρ. ορισμό, Q(n+1) προκύπτει συνδέοντας αντίστοιχες κορυφές (και μόνο) των Q 0 (n) και Q 1 (n). Άρα Α 0 Β 1 και Β 0 Α 1 ανεξάρτητα σύνολα, και Q(n+1) είναι διμερές γράφημα ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Θεωρία Γραφημάτων: Βασικές Έννοιες 12

13 Υπο-Γραφήματα Υπογράφημα G (V, E ) του G(V, E) όταν V V και E E. Επικαλύπτον (spanning) όταν V = V, δηλ. έχει όλες τις κορυφές του αρχικού γραφήματος, επιλέγουμε τις ακμές που τις συνδέουν. Επαγόμενο (induced) όταν δηλ. έχει όλες τις ακμές του αρχικού μεταξύ των επιλεγμένων κορυφών ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Θεωρία Γραφημάτων: Βασικές Έννοιες 13

14 Αριθμοί Ramsey Σε κάθε σύνολο 6 ανθρώπων, είτε 3 φίλοι είτε 3 άγνωστοι. Για κάθε χρωματισμό ακμών στο Κ 6 με μπλε και κόκκινο, υπάρχει μονοχρωματικό K 3. Υπάρχει άνθρωπος α που έχει είτε 3 φίλους είτε 3 αγνώστους. Χβτγ. υποθέτουμε ότι αέχει3 φίλους: β, γ, δ. Αν στους β, γ, δδύοφίλοι(π.χ. β. γ): έχουμε 3 φίλους (α, β, γ). Αν στους β, γ, δ όλοι άγνωστοι: έχουμε 3 άγνωστους (α, β, γ). R(m, s) = ελάχιστο n τ.ω γιακάθε χρωματισμό ακμών του K n με μπλε και κόκκινο, υπάρχει είτε μπλε K m είτε κόκκινο K s. R(m, s) = R(s, m) και R(m, s) R(m 1, s) + R(m, s 1). Αντίστοιχα για περισσότερα από 2 χρώματα. χρωματισμό ακμών ενός μεγάλου πλήρους γραφήματος, υπάρχει μονοχρωματικό πλήρες υπογράφημα επιθυμητού μεγέθους. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Θεωρία Γραφημάτων: Βασικές Έννοιες 14

15 ιαδρομές, Μονοπάτια, και Κύκλοι ιαδρομή Μονοκονδυλιά Μονοπάτι - Κύκλος ιαδρομή: ακολουθία «διαδοχικών» ακμών. Π.χ. {2, 1}, {1, 3}, {3, 4}, {4, 1}, {1, 5}, {5, 3}, {3, 6}. Μονοκονδυλιά: διαδρομή χωρίς επανάληψη ακμών. (Απλό) μονοπάτι: διαδρομή χωρίς επανάληψη κορυφών (και ακμών). Υπάρχει διαδρομή u v ανν υπάρχει μονοπάτι u v. Απόσταση d(u, v) (χωρίς και με βάρη): μήκος συντομότερου u v μονοπατιού. ιάμετρος D(G): μέγιστη απόσταση μεταξύ δύο κορυφών του G. Κλειστή διαδρομή όταν άκρα της ταυτίζονται. Κλειστή μονοκονδυλιά ή κύκλωμα. (Απλός) κύκλος: μονοπάτι που άκρα του ταυτίζονται («κλειστό» μονοπάτι). ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Θεωρία Γραφημάτων: Βασικές Έννοιες 15

16 Παρατηρήσεις και Ιδιότητες (Απλό) γράφημα G έχει μονοπάτι μήκους δ(g). Ξεκινώντας από μια κορυφή, ακολουθούμε ακμή προς κορυφή που δεν έχουμε επισκεφθεί ήδη. Τουλάχιστον δ(g)+1 κορυφές: μονοπάτι μήκους δ(g). Αν G απλό και δ(g) 2, τότε έχει κύκλο μήκους δ(g)+1. Αντίστοιχα με μονοπάτι, αλλά επιστρέφουμε σε «πιο απομακρυσμένη» κορυφή που έχουμε ήδη επισκεφθεί. Αποστάσεις (με ή χωρίς βάρη) ικανοποιούν την τριγωνική ανισότητα: d(u, v) d(u, w)+d(w, v), για κάθε u, v, w. d(u, v): μήκος συντομότερου u v μονοπατιού (από όλα). d(u, w)+d(w, v): μήκος συντομότερου u v μονοπατιού που διέρχεται από w. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Θεωρία Γραφημάτων: Βασικές Έννοιες 16

17 Συνεκτικότητα (Μη-κατευθυνόμενο) γράφημα G(V, E) συνεκτικό αν για κάθε ζευγάρι κορυφών u, v V, υπάρχει u v μονοπάτι. Μη-συνεκτικό γράφημα αποτελείται από συνεκτικές συνιστώσες: μεγιστοτικά συνεκτικά υπογραφήματα. Γέφυρα (ακμή τομής): ακμή που αν αφαιρεθεί, έχουμε αύξηση στο πλήθος των συνεκτικών συνιστωσών. Ακμή γέφυρα ανν δεν ανήκει σε κύκλο. Σημείο κοπής (σημείο άρθρωσης): κορυφή που αν αφαιρεθεί, έχουμε αύξηση στο πλήθος των συνεκτικών συνιστωσών ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Θεωρία Γραφημάτων: Βασικές Έννοιες 17

18 (Απλή) Άσκηση Κάθε απλό γράφημα G με n κορυφές και δ(g) (n 1)/2 είναι συνεκτικό (καιέχειδιάμετρο 2). Έστω u, v κορυφές που δεν συνδέονται με ακμή. Θδο u, v έχουν κοινό γείτονα (άρα συνδέονται με μονοπάτι μήκους 2). Έστω ότι u, v δεν έχουν καμία γειτονική κορυφή κοινή: u έχει τουλ. (n 1)/2 γείτονες, και v έχει τουλ. (n 1)/2 γείτονες, όλοι διαφορετικοί. Άρα έχουμε συνολικά: 2 κορυφές (οι u και v) + (n 1)/2 κορυφές (οι γείτονες του u) + (n 1)/2 κορυφές (οι γείτονες του v) = = n+1 κορυφές, άτοπο! ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Θεωρία Γραφημάτων: Βασικές Έννοιες 18

19 (Απλή) Άσκηση Κάθε απλό γράφημα G με n 3 κορυφές και δ(g) (n+1)/2 περιέχει τρίγωνο. Έστω u, v κορυφές που συνδέονται με ακμή (υπάρχει τουλάχιστον μια ακμή στο γράφημα). Θδο u, v έχουν κοινό γείτονα w (άρα τρίγωνο u w v). Έστω ότι u, v δεν έχουν καμία κοινή γειτονική κορυφή: u έχει τουλ. (n+1)/2 γείτονες, και v έχει τουλ. (n+1)/2 γείτονες, όλοι διαφορετικοί. Άρα έχουμε συνολικά: 2 κορυφές (οι u και v) + (n+1)/2 1 κορυφές (οι γείτονες του u εκτός της v) + (n+1)/2 1 κορυφές (οι γείτονες του v εκτός της u) = = n+1 κορυφές, άτοπο! ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Θεωρία Γραφημάτων: Βασικές Έννοιες 19

20 Άσκηση G μη συνεκτικό γράφημα. Στο συμπληρωματικό του G, κάθε ζεύγος κορυφών u, v συνδέεται μονοπάτι μήκους 2. Αν u και v σε διαφορετική συνεκτική συνιστώσα του G, συνδέονται με ακμή στο συμπληρωματικό. Αν u και v σε ίδια συνεκτική συνιστώσα, έστω κορυφή w σε άλλη συνιστώσα. Στο συμπληρωματικό, υπάρχουν ακμές {u, w}, {w, v}. G γράφημα με κορυφές x, y μεταξύ των οποίων το συντομότερο μονοπάτι έχει μήκος τουλ. 4. ΣτοσυμπληρωματικότουG, κάθε ζεύγος κορυφών u, v συνδέεται με μονοπάτι μήκους 2. Έστω u, v συνδέονται με ακμή στο G και κάποια, έστω η u, συνδέεται με ακμή με κάποια από τις x, y, έστω με την x (διαφορετικά;). Τότε ακμές {u, y} και {v, y} δεν υπάρχουν στο G. ιαφορετικά x y μονοπάτι μήκους 3 στο G. Στο συμπληρωματικό, υπάρχουν ακμές {u, y}, {y, v}. x u v y ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Θεωρία Γραφημάτων: Βασικές Έννοιες 20

21 Συνεκτικότητα (Μη-κατευθυνόμενο) γράφημα G(V, E) συνεκτικό αν για κάθε ζευγάρι κορυφών u, v V, υπάρχει u v μονοπάτι. Γράφημα G συνεκτικό ανν έχει επικαλύπτον υπογράφημα που είναι δέντρο (spanning tree, συνδετικό δέντρο). έντρο: συνεκτικό γράφημα χωρίς κύκλους. Γράφημα G(V, E) συνεκτικό ανν για κάθε μη κενό S V, υπάρχει ακμή που συνδέει κορυφή του S με κορυφή του V \ S ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Θεωρία Γραφημάτων: Βασικές Έννοιες 21

22 Συνεκτικότητα (Κατευθυνόμενο) γράφημα G(V, E) ισχυρά συνεκτικό αν u, v V, υπάρχουν u v και v u μονοπάτια. Για κάθε ζευγάρι κορυφών ισχυρά συνεκτικού γραφήματος, υπάρχει κυκλική διαδρομή που τις περιλαμβάνει. Αν ένα κατευθυνόμενο γράφημα δεν είναι ισχυρά συνεκτικό, διαμερίζεται σε ισχυρά συνεκτικές συνιστώσες: Μεγιστοτικά ισχυρά συνεκτικά υπογραφήματα. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Θεωρία Γραφημάτων: Βασικές Έννοιες 22

23 Κύκλος Euler Κλειστή μονοκονδυλιά που διέρχεται: από κάθε ακμή 1 φορά, και από κάθε κορυφή τουλάχιστον 1 φορά. Συνεκτικό (μη-κατευθ.) γράφημα έχει κύκλο Euler (Eulerian γράφημα) ανν όλες οι κορυφές άρτιου βαθμού. C g c d A e D a B b f ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Θεωρία Γραφημάτων: Βασικές Έννοιες 23

24 Κύκλος Euler Συνεκτικό (μη-κατευθ.) γράφημα έχει κύκλο Euler ανν όλες οι κορυφές άρτιου βαθμού. Κύκλος Euler C: συνεκτικότητα (περνά από όλες τις κορυφές). C«επισκέπτεται» κορυφή v: με νέα ακμή «φτάνει» στη v και με άλλη ακμή «φεύγει» από v. G συνεκτικό (μπορεί όχι απλό) και όλες οι κορυφές άρτιου βαθμού. Βρίσκουμε κύκλο Euler με επαγωγή στο πλήθος ακμών. Βάση: ισχύει όταν γράφημα ανακύκλωση ή απλός κύκλος. Βήμα: G συνεκτικό και άρτιος βαθμός, άρα δ(g) 2 και κύκλος. «Αφαιρούμε» έναν οποιοδήποτε κύκλο C του G(διαγράφουμε τις ακμές του C και όσες κορυφές μένουν απομονωμένες). Κορυφές που μένουν (αν υπάρχουν) έχουν άρτιο βαθμό: κάθε συνεκτική συνιστώσα έχει κύκλο Euler, λόγω επαγ. υπόθεσης. Κύκλος C συνδέει επιμέρους κύκλους Euler σε κύκλο Euler για G. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Θεωρία Γραφημάτων: Βασικές Έννοιες 24

25 Μονοπάτι Euler Μονοκονδυλιά (με διαφορετικά άκρα) που διέρχεται: από κάθε ακμή 1 φορά, και περιλαμβάνει κάθε κορυφή τουλάχιστον 1 φορά. Συνεκτικό (μη-κατευθ.) γράφημα έχει μονοπάτι Euler (semi-eulerian γράφημα) ανν δύο κορυφές έχουν περιττό βαθμό και όλες οι υπόλοιπες άρτιο. Συνεκτικό γράφημα G με κορυφές u και v περιττού βαθμού. G είναι semi-eulerian ανν G+{u,v} είναι Eulerian. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Θεωρία Γραφημάτων: Βασικές Έννοιες 25

26 Κύκλος Euler Υπάρχει γράφημα G που όλες οι κορυφές έχουν άρτιο βαθμό και έχει γέφυρα; Όχι, τέτοιο γράφημα G έχει κύκλο Euler, άρα όλες οι ακμές του ανήκουν σε κύκλο. Αν σε γράφημα που έχει κύκλο Euler προσθέσουμε ακμές, το γράφημα που προκύπτει έχει κύκλο Euler; Όχι κατ ανάγκη. Μπορεί προσθήκη κορυφών να κάνει τον βαθμό κάποιων κορυφών περιττό. (Γιατί) σε κάθε συνεκτικό (μη κατευθ.) γράφημα, υπάρχει κλειστή διαδρομή που διέρχεται από κάθε ακμή (ακριβώς) 2 φορές; «ιπλασιασμός» ακμών οδηγεί σε γράφημα με κύκλο Euler (συνεκτικό και όλες οι κορυφές έχουν άρτιο βαθμό). είτε το Πρόβλημα του Κινέζου Ταχυδρόμου. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Θεωρία Γραφημάτων: Βασικές Έννοιες 26

27 Κύκλος Euler Ποιος είναι ο μέγιστος #ακμών που μπορεί να έχει απλό γράφημα με n κορυφές και κύκλο Euler; Αν n περιττός, n-1 άρτιος: K n έχει κύκλο Euler και n(n-1)/2 ακμές. Αν n άρτιος, αφαιρούμε n/2 ακμές (χωρίς κοινά άκρα) από K n. Προκύπτει γράφημα με κύκλο Euler και n(n-2)/2 ακμές. (Απλό) γράφημα με > n(n 2)/2 ακμές, έχει κορυφή (περιττού) βαθμού n-1. Κύκλος Euler σε κατευθυνόμενα γραφήματα: Ισχυρά συνεκτικό γράφημα έχει κύκλο Euler ανν για κάθε κορυφή v, έσω-βαθμός(v) = έξω-βαθμός(v). ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Θεωρία Γραφημάτων: Βασικές Έννοιες 27

28 Κύκλος Hamilton (Απλός) κύκλος που διέρχεται από όλες τις κορυφές. ιέρχεται από κάθε κορυφή 1 φορά. Μπορεί να μην διέρχεται από κάποιες ακμές. εν είναι γνωστή ικανή και αναγκαία συνθήκη! Ικανές συνθήκες ώστε G(V, E) έχει κύκλο Hamilton: v V, deg(v) V /2 (Θ. Dirac). u, v V, deg(u) + deg(v) V (Θ. Ore). Θεωρία Γραφημάτων: Βασικές Έννοιες 28

29 Κύκλος Hamilton Αναγκαίες συνθήκες για ύπαρξη κύκλου Hamilton σε γράφημα G: G δεν έχει γέφυρα ή σημείο κοπής. Αν G έχει γέφυρα, δεν έχει κύκλο Euler ούτε κύκλο Hamilton. Όλες οι κορυφές του G ανήκουν σε κύκλο. Αν G διμερές, τότε G έχει άρτιο #κορυφών. Μονοπάτι Hamilton: (απλό) μονοπάτι που περιλαμβάνει όλες τις κορυφές. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Θεωρία Γραφημάτων: Βασικές Έννοιες 29

30 Κύκλος Hamilton ΓιαναδείξουμεότιγράφημαG έχει κύκλο Hamilton, είτε κατασκευάζουμε κύκλο Hamilton (αν G έχει συγκεκριμένη δομή) είτε δείχνουμε ότι G ικανοποιεί κάποια ικανή συνθήκη. Π.χ., υπερκύβος Q(n) έχει κύκλο Hamilton για κάθε n 2. ΓιαναδείξουμεότιγράφημαG δεν έχει κύκλο Hamilton, δείχνουμε ότι G παραβιάζει κάποια αναγκαία συνθήκη. Π.χ., γιατί τα παρακάτω γραφήματα δεν έχουν κύκλο Hamilton; ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Θεωρία Γραφημάτων: Βασικές Έννοιες 30

31 Κύκλος Hamilton Αν σε γράφημα που έχει κύκλο Hamilton προσθέσουμε ακμές, το γράφημα που προκύπτει έχει κύκλο Hamilton; Νδο κάθε απλό γράφημα με 21 κορυφές και 208 ακμές έχει κύκλο Hamilton και δεν έχει κύκλο Euler. Πρόκειται για Κ 21 από το οποίο έχουν αφαιρεθεί 2 ακμές. Ικανοποιεί Θ. Dirac. Άρα έχει κύκλο Hamilton. Όπως και αν αφαιρεθούν ακμές, προκύπτουν τουλ. 2 κορυφές με βαθμό 19. Άρα δεν έχει κύκλο Euler. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Θεωρία Γραφημάτων: Βασικές Έννοιες 31

32 Κύκλος Hamilton Απλό γράφημα G με n 3 κορυφές και u, v μη γειτονικές κορυφές με deg(u) + deg(v) n. Το G έχει κύκλο Hamilton ανν το G+{u,v} έχει κύκλο Hamilton. Αν G Hamiltonian, προφανώς G+{u,v} Hamiltonian. G+{u,v} Hamiltonian: βρίσκουμε HamCycle στο G χωρίς {u,v}. G έχει μονοπάτι Hamilton P = (u, x 2,, x k,, x n 1, v). Υπάρχουν διαδοχικές κορυφές x k 1, x k στο P τ.ω. v συνδέεται με x k 1 και u συνδέεται με x k. ιαφορετικά: για κάθε {v, x k 1 }, δεν υπάρχει {u, x k }. Άρα deg(u) (n 1) deg(v), άτοπο. Κύκλος Hamilton C = (u, x k, x k+1,, x n 1, v, x k 1, x k 2,, x 2, u). ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) 32

33 Κύκλος Hamilton Απλό γράφημα G με n 3 κορυφές και u, v μη γειτονικές κορυφές με deg(u) + deg(v) n. Το G έχει κύκλο Hamilton ανν το G+{u,v} έχει κύκλο Hamilton. Απλό γράφημα G με n 3 κορυφές. Αν κάθε δύο μη γειτονικές κορυφές u, v έχουν deg(u) + deg(v) n, G έχει κύκλο Hamilton. Οποτεδήποτε μη γειτονικές κορυφές u, v έχουν deg(u)+deg(v) n, τις συνδέσω απευθείας. Νέο γράφημα Hamiltonian μόνο αν το αρχικό ήταν Hamiltonian. Αν γίνεται για όλες τις μη γειτονικές κορυφές, καταλήγουμε σε K n Απλό γράφημα G με n 3 κορυφές. Αν κάθε κορυφή u έχει deg(u) n/2, G έχει κύκλο Hamilton. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) 33

34 Ασκήσεις Τουρνουά (tournament): πλήρες κατευθυνόμενο γράφημα. Για κάθε ζευγάρι u, v, υπάρχει μία (ακριβώς) από τις ακμές (u, v) και (v, u). Σε ένα τουρνουά με n+1 κορυφές, έστω u κορυφή και v 1,, v n μια αρίθμηση των υπόλοιπων n κορυφών. Ισχύει τουλ. ένα από τα: 1. Η u συνδέεται με την v H v n συνδέεται με την u. 3. Υπάρχει δείκτης k, 1 k n 1, ώστε η v k συνδέεται με την u και η u συνδέεται με την v k+1. Έστω ότι δεν ισχύουν τα (1) και (2). Θδο ισχύει το (3). Έστω v k+1 ηπρώτηκορυφή τ.ω. η u συνδέεται με την v k+1. Ισχύει ότι k+1 n, γιατί η u συνδέεται με την v n (δεν ισχύει το (2)). Ισχύει ότι 2 k+1, γιατί η v 1 συνδέεται με την u (δεν ισχύει το (1)). Ισχύει ότι v k συνδέεται με την u, γιατί v k+1 η πρώτη που δεν συνδέεται με u. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Θεωρία Γραφημάτων: Βασικές Έννοιες 34

35 Ασκήσεις Κάθε τουρνουά με n 1 κορυφές έχει μονοπάτι Hamilton. Επαγωγή με χρήση προηγούμενου στο επαγωγικό βήμα. Βάση: Ισχύει τετριμμένα για τουρνουά με 1 κορυφή. Επαγ. υπόθεση: Κάθε τουρνουά με n 1 κορυφές έχει μον. Hamilton. Επαγ. βήμα: Θδο αυθαίρετο τουρνουά G(V, E) με n+1 κορυφές έχει μονοπάτι Hamilton. Έστω G τουρνουά που προκύπτει από G με αφαίρεση κορυφής u. Θεωρούμε αρίθμηση v 1,, v n των n κορυφών του G σύμφωνα με μονοπάτι Hamilton στο G (υπάρχει λόγω επαγ. υπόθεσης). u ενσωματώνεται στο μονοπάτι Hamilton v 1,, v n με βάση το προηγούμενο. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Θεωρία Γραφημάτων: Βασικές Έννοιες 35

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Αναζήτηση Κατά Πλάτος Αναζήτηση Κατά Πλάτος ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα συνεκτικότητα,

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών έντρα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής.

Διαβάστε περισσότερα

Αρχή του Περιστερώνα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αρχή του Περιστερώνα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αρχή του Περιστερώνα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συναρτήσεις Συνάρτηση: διμελής σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Γραφηµάτων

Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Παύλος Σπυράκης Πανεπιστήµιο Πατρών Τοµέας Θεµελιώσεων και Εφαρµογών της Επιστήµης των Υπολογιστών Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών Γραφήµατα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκήσεις στους Γράφους 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκηση 1 η Να αποδείξετε ότι κάθε γράφημα περιέχει μια διαδρομή από μια κορυφή u σε μια κορυφή w αν και

Διαβάστε περισσότερα

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4 Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Αρχή του Περιστερώνα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συναρτήσεις Συνάρτηση: διµελής

Διαβάστε περισσότερα

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΩΝ (1) Εστω G απλός γράφος, που έχει 9 κορυφές και άθροισμα βαθμών κορυφών μεγαλύτερο του 7. Αποδείξτε ότι υπάρχει μια κορυφή του G με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 4. () Αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων

Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 3 η Διάλεξη Μονοπάτια και Κύκλοι Μήκη και αποστάσεις Κέντρο και μέσο γράφου. Ακτίνα και Διάμετρος Δυνάμεις Γραφημάτων Γράφοι Euler.

Διαβάστε περισσότερα

βασικές έννοιες (τόμος Β)

βασικές έννοιες (τόμος Β) θεωρία γραφημάτων Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα βασικές έννοιες (τόμος Α) βασικές έννοιες (τόμος Β) 2 Θεωρία Γραφημάτων Βασική Ορολογία Τόμος Α, Ενότητα 4.1 Βασική Ορολογία Γραφημάτων Γράφημα Γ = (E,V)

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 206 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 1 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 207 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Μαθηματική Επαγωγή ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Πολύ ενθαρρυντική εικόνα. Σαφώς καλύτερη

Διαβάστε περισσότερα

ιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείµενα (όχι κατ ανάγκη διαφορετικά) σε καθορισµένη σειρά. Γενίκευση: διατεταγµένη τριάδα (α, β, γ), δι

ιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείµενα (όχι κατ ανάγκη διαφορετικά) σε καθορισµένη σειρά. Γενίκευση: διατεταγµένη τριάδα (α, β, γ), δι Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β):

Διαβάστε περισσότερα

d(v) = 3 S. q(g \ S) S

d(v) = 3 S. q(g \ S) S Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε S υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο

Διαβάστε περισσότερα

E(G) 2(k 1) = 2k 3.

E(G) 2(k 1) = 2k 3. Διάλεξη :..06 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Τζαλάκας Ανδρέας & Σ.Κ.. Εξωεπίπεδα γραφήματα (συνέχεια) Ορισμός. Εστω γράφημα G = (V, E) και S V. S-λοβός (S-lobe) ενάγεται από

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα Ασκήσεις στους Γράφους 2 ο Σετ Ασκήσεων Δέντρα Ασκηση 1 η Ένας γράφος G είναι δέντρο αν και μόνο αν κάθε δυο κορυφές του συνδέονται με ένα μοναδικό μονοπάτι. Υποθέτουμε ότι ο γράφος G είναι δέντρο. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ενθαρρυντική εικόνα, σαφώς καλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις. ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Σχέσεις. ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχέσεις ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιμελής Σχέση ιατεταγμένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Συνδετικό έντρο

Ελάχιστο Συνδετικό έντρο Ελάχιστο Συνδετικό έντρο ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό έντρο (MST) Συνεκτικό μη-κατευθ. G(V, E, w) με βάρη Βάρος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Επαγωγή. Τεχνικές Απόδειξης. Αποδείξεις Ύπαρξης. Μαθηματική Επαγωγή

Μαθηματική Επαγωγή. Τεχνικές Απόδειξης. Αποδείξεις Ύπαρξης. Μαθηματική Επαγωγή Μαθηματική Επαγωγή Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017 Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017 ΕΓΘΑ : Σ. Κοσμαδάκης, «Εισαγωγή στα Γραφήματα, Θεωρία-Ασκήσεις». Α 1 Έστω η παρακάτω σχέση Q(k) πάνω στο σύνολο {1, 2} όπου k τυχαίος

Διαβάστε περισσότερα

Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα.

Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα. Κατευθυνόµενα γραφήµατα Απλό κατευθυνόµενο Γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E), µε: Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) σύνολο κορυφών / κόµβων V, Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε

Διάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε Διάλεξη 4: 20.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 4.1 2-συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός γραφήματος G μοιράζονται το πολύ μία κορυφή. Απόδειξη:

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Συντομότερες ιαδρομές

Συντομότερες ιαδρομές Συντομότερες ιαδρομές ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ20, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 203, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ..

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ0, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 014, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ..

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικότητα Γραφήματος

Συνεκτικότητα Γραφήματος Συνεκτικότητα Γραφήματος Θεμελιώδης έννοια στη Θεωρία Γραφημάτων. Πληθώρα πρακτικών εφαρμογών, όπως: Αξιόπιστη και ασφαλής επικοινωνία. Δρομολόγηση σε δίκτυα. Πλοήγηση. Συνεκτικότητα Γραφήματος Θεμελιώδης

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις Μερικής ιάταξης

Σχέσεις Μερικής ιάταξης Σχέσεις Μερικής ιάταξης ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχέση Μερικής ιάταξης Σχέση Μερικής

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση Διμελής Σχέση Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατεταγμένο ζεύγος (α, β): Δύο αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 6 η ΟΣΣ: Δέντρα Εξετάσεις

ΠΛΗ 20, 6 η ΟΣΣ: Δέντρα Εξετάσεις ΠΛΗ 20, 6 η ΟΣΣ: Δέντρα Εξετάσεις Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Δέντρα Δέντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής. Αναπαράσταση (ιεραρχικών)

Διαβάστε περισσότερα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)

Διαβάστε περισσότερα

Συντομότερες ιαδρομές

Συντομότερες ιαδρομές Συντομότερες ιαδρομές ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Συντομότερες Διαδρομές

Συντομότερες Διαδρομές Συντομότερη Διαδρομή Συντομότερες Διαδρομές Διδάσκοντες: Σ Ζάχος, Δ Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΕΙΣ ΟΡΩΝ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙOΥΝΤΑΙ ΣΤΟΥΣ ΤΟΜΟΥΣ Α ΚΑΙ Β ΤΗΣ ΘΕ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Ένα γράφημα αποτελείται από ένα σύνολο 94.

ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΕΙΣ ΟΡΩΝ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙOΥΝΤΑΙ ΣΤΟΥΣ ΤΟΜΟΥΣ Α ΚΑΙ Β ΤΗΣ ΘΕ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Ένα γράφημα αποτελείται από ένα σύνολο 94. ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΕΙΣ ΟΡΩΝ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙOΥΝΤΑΙ ΣΤΟΥΣ ΤΟΜΟΥΣ Α ΚΑΙ Β ΤΗΣ ΘΕ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» ΤΟΜΟΣ Α ΤΟΜΟΣ Β ΑΓΓΛΙΚΗ Γράφημα, Γράφος, Ένα γράφημα αποτελείται από ένα σύνολο 94 11 κορυφών και ένα σύνολο ακμών.

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 3: Σχήμα 3.3: Το σύνολο των κόκκινων ακμών είναι ακμοδιαχωριστής αλλά όχι τομή. Το σύνολο ακμών {1, 2, 3} είναι τομή. Από

Διάλεξη 3: Σχήμα 3.3: Το σύνολο των κόκκινων ακμών είναι ακμοδιαχωριστής αλλά όχι τομή. Το σύνολο ακμών {1, 2, 3} είναι τομή. Από Διάλεξη 3: 19.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Βασίλης Λίβανος Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 3.1 Ακμοδιαχωριστές, Τομές, Δεσμοί Ορισμός 3.1 Ακμοδιαχωριστής (Edge-eparator) ενός γραφήματος G = (V, E)

Διαβάστε περισσότερα

Συντομότερες ιαδρομές

Συντομότερες ιαδρομές Συντομότερες ιαδρομές ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συντομότερη ιαδρομή Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος διαδρομής Απόσταση d(u,

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικές Γλώσσες. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Κανονικές Γλώσσες. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κανονικές Γλώσσες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κανονικές Γλώσσες Κανονική γλώσσα αν

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αναζήτηση Κατά Βάθος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή

Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Δίκτυα και Ροές Δίκτυο : κατευθυνόμενο γράφημα G(V, E). Πηγή, προορισμός, χωρητικότητα ακμής b e. ροή μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 16/5/2017

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 16/5/2017 Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 16/5/2017 Άσκηση 8.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις Μερικής ιάταξης

Σχέσεις Μερικής ιάταξης Σχέσεις Μερικής ιάταξης ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχέση Μερικής ιάταξης Σχέση Μερικής

Διαβάστε περισσότερα

S A : N G (S) N G (S) + d S d + d = S

S A : N G (S) N G (S) + d S d + d = S Διάλεξη 7: 2.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Μαργώνης 7.1 Εφαρμογές του Θεωρήματος του Hall Πόρισμα 7.1 (Ελλειματική εκδοχή Θεωρήματος Hall) Εάν σε διμερές γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά. Θεωρία γράφων / γραφήματα. 25 -Γράφοι. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017

HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά. Θεωρία γράφων / γραφήματα. 25 -Γράφοι. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017 HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Παρασκευή, 12/05/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Υπογράφημα Συμπληρωματικά γραφήματα Ισομορφισμός γράφων Υπολογιστική πολυπλοκότητα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αρχή του Περιστερώνα Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συναρτήσεις Συνάρτηση:

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 4 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Σχέση Μερικής ιάταξης Σχέση Μερικής ιάταξης (ή µερική διάταξη): ανακλαστική, αντισυµµετρική, και µεταβατική. Αριθµοί: α β (αλλά όχι α < β), α β, Σύνολ

Σχέση Μερικής ιάταξης Σχέση Μερικής ιάταξης (ή µερική διάταξη): ανακλαστική, αντισυµµετρική, και µεταβατική. Αριθµοί: α β (αλλά όχι α < β), α β, Σύνολ Σχέσεις Μερικής ιάταξης ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχέση Μερικής ιάταξης

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα Αυτόματα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Πεπερασμένα Αυτόματα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πεπερασμένα Αυτόματα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πεπερασμένα Αυτόματα είναι απλούστερες

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 17/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 5/22/2016 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενα γραφήματα Ορισμός Κατευθυνόμενογράφημα Gείναιέναζεύγος (V,E)όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις Μερικής ιάταξης

Σχέσεις Μερικής ιάταξης Σχέσεις Μερικής ιάταξης ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχέση Μερικής ιάταξης Σχέση Μερικής

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π.

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων CO.RE.LAB. ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Άσκηση 1 η : Παιχνίδι επιλογής ακμών Έχουμε ένα ακυκλικό κατευθυνόμενο γράφο, μια αρχική κορυφή και δυο παίκτες. Οι παίκτες διαδοχικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ0, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 015, Α ΜΕΡΟΣ 1. Στους παρακάτω τύπους τα,, είναι προτασιακοί τύποι. Ισχύει ότι: 1. ( Σ / Λ ) O τύπος ( ) ( ) είναι αντίφαση.

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 19/05/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/21/2015 1 1 5/21/2015 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Να βρείτε το σφάλμα στην πιο κάτω απόδειξη. Ισχυρισμός: Όλα τα βιβλία που έχουν γραφτεί στη Θεωρία Υπολογισμού έχουν τον ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 5 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός (µε συνδυαστικά επιχειρήµατα) του πλήθους των διαφορετικών αποτελεσµάτων ενός «πειράµατος». «Πείραµα»: διαδικασία µ

Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός (µε συνδυαστικά επιχειρήµατα) του πλήθους των διαφορετικών αποτελεσµάτων ενός «πειράµατος». «Πείραµα»: διαδικασία µ Συνδυαστική Απαρίθµηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs)

Κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs) Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E) µε σύνολο κορυφών/κόµβων V Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σύνολα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ορισμός Συνόλου Σύνολο είναι μια συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα

Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα Κεφάλαιο 6 Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι C. L. Liu and C. Liu 1985, Cameron 1994, Diestel 2005 και Stanley 1986. 6.1 Διμερή γραφήματα Η κλάση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία γραφημάτων. Παλιό αντικείμενο 18 ος αιώνας Leonhard Euler (Ελβετός μαθηματικός): πρόβλημα γεφυρών της πόλης Königsberg

Θεωρία γραφημάτων. Παλιό αντικείμενο 18 ος αιώνας Leonhard Euler (Ελβετός μαθηματικός): πρόβλημα γεφυρών της πόλης Königsberg Γραφήματα Θεωρία γραφημάτων Παλιό αντικείμενο 18 ος αιώνας Leonhard Euler (Ελβετός μαθηματικός): πρόβλημα γεφυρών της πόλης Königsberg Με πολλές σύγχρονες εφαρμογές Μελέτη ιδιοτήτων ηλεκτρονικών κυκλωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.0 ( ) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.0 ( ) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 3 Γραφήµατα v1.0 (2010-05-25) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισµοί και Εφαρµογές γραφήµατα γράφηµα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων

Διαβάστε περισσότερα

Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα

Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γλώσσα χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα

Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα Κανονικές Γλώσσες Κανονικές Γλώσσες Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Κανονική γλώσσα αν παράγεται από κανονική γραμματική. Παραγωγές P (V Σ) Σ * ((V Σ) ε) Παραγωγές μορφής:

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1)

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 1 / 23 Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα

Διαβάστε περισσότερα

για NP-Δύσκολα Προβλήματα

για NP-Δύσκολα Προβλήματα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αντιμετώπιση NP- υσκολίας Αν P NP, όχι αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3)

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3) 1 / 23 Απαρίθµηση Μονοπατιών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Απαρίθµηση Μονοπατιών. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Μονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Ορέστης Τελέλης

Απαρίθµηση Μονοπατιών. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Μονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Ορέστης Τελέλης Απαρίθµηση Μονοπατιών Εστω γράφηµα G(V, E) µε πίνακα γειτνίασης A Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς ως προς µια διάταξη των

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4 Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είδαµε την προηγούµενη φορά. Συνεκτικότητα Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είδαµε την προηγούµενη φορά. Συνεκτικότητα Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Παρασκευή, 20/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 5/22/2016 2 2 Τι είδαµε την προηγούµενη φορά Συνεκτικότητα Υπογράφηµα

Διαβάστε περισσότερα