Κατευθυνόμενα και μη κατευθυνόμενα γραφήματα

Transcript

1 Εισαγωγικά στοιχεία

2 Κατευθυνόμενα και μη κατευθυνόμενα γραφήματα Κατευθυνόμενο γράφημα (directed graph ή digraph): (V,A) V: πεπερασμένο σύνολο κορυφών που σημειώνονται ως σημεία A: σύνολο διατεταγμένων ζευγών κορυφών (x, y) που καλούνται τόξα (arcs) καισημειώνονταιμεβέλοςαπότηνx στην y Συνήθως δεν επιτρέπονται ανακυκλώσεις (loops), δηλ., τόξα της μορφής (x, x) Συμμετρικό κατευθυνόμενο γράφημα (symmetric digraph): (x, y) A (y, x) A Σε συμμετρικά κατευθυνόμενα γραφήματα τα δύο βέλη μεταξύ των κορυφών x και y αντικαθίστανται από μια γραμμή χωρίς κατεύθυνση Ένα συμμετρικό κατευθυνόμενο γράφημα αποτελείται από ένα σύνολο κορυφών V και ένα σύνολο E μη διατεταγμένων ζευγών κορυφών που καλούνται ακμές Γράφημα (graph): το ζεύγος (V, E)

3 Γραφήματα: παραδείγματα Κορυφές κατευθυνόμενου γραφήματος: τοποθεσίεςσεμία πόλη Υπάρχει τόξο από την κορυφή x στην y αν υπάρχει δρόμος που οδηγεί από την τοποθεσία x στην y Κατασκευάζουμε έτσι γράφημα που να είναι συμμετρικό ή να μην είναι Ενδιαφέρον πρόβλημα: αναδιάταξη των κατευθύνσεων των οδών αποδοτικότερη διοχέτευση της κυκλοφορίας μείωση της ρύπανσης

4 Γραφήματα: παραδείγματα Στο προηγούμενο παράδειγμα: Συγκεκριμένα τόξα αντιστοιχούν σε οδούς που πρέπει να καθαριστούν σε δοσμένες χρονικές περιόδους Ενδιαφέρον πρόβλημα: εύρεση διαδρομής για το όχημα καθαρισμού ώστε να καθαρίζει όλες τις οδούς στο συντομότερο χρονικό διάστημα

5 Γραφήματα: παραδείγματα Κορυφές κατευθυνόμενου γραφήματος: είδη σε ένα οικοσύστημα Υπάρχει τόξο από την κορυφή x στην y αν το είδος x τρώει το είδος y Οι παραγόμενες τροφικές αλυσίδες είναι κατευθυνόμενα γραφήματα (Food Webs) Θέτοντας ακμή μεταξύ ειδών που ανταγωνίζονται για κοινά θηράματα δημιουργούμε γράφημα (γραφήματα ανταγωνισμού competition graphs) Ενδιαφέρον πρόβλημα: ποια είναι η σχέση μεταξύ τροφικών αλυσίδων και γραφημάτων ανταγωνισμού; Τα αποτελέσματα υποδεικνύουν το πλήθος των παραγόντων που απαιτούνται για την κατανόηση του ανταγωνισμού ή επικαλύψεων οικοθέσεων (niche overlaps) σε οικοσυστήματα

6 Γραφήματα: παραδείγματα Κορυφές κατευθυνόμενου γραφήματος: θέσεις σε πυρηνικό αντιδραστήρα Υπάρχει τόξο από μια θέση x προς μιας θέση y αν είναι δυνατόν ένας φύλακας στη θέση x να δει μια προειδοποιητική λυχνία τη θέση y Ενδιαφέρον πρόβλημα: ποιος είναι ο ελάχιστος απαιτούμενος αριθμός φυλάκων ώστε να μπορούν να ελέγχονται όλες οι θέσεις;

7 Γραφήματα: παραδείγματα Κορυφές γραφήματος: διάφορα ρεύματα ή κατευθύνσεις κυκλοφορίας Υπάρχει ακμή μεταξύ των κορυφών x και y αν τα δύο ρεύματα κυκλοφορίας x και y είναι συμβατά Προκύπτουν γραφήματα συμβατότητας (compatibility graphs) Ενδιαφέρουσα εφαρμογή: χρήση γραφημάτων συμβατότητας για καθορισμό φάσεων φωτεινών σηματοδοτών (φαναριών)

8 Γραφήματα: παραδείγματα Κορυφές κατευθυνόμενου γραφήματος: παράγοντες σχετικοί με την ενεργειακή ζήτηση Υπάρχει τόξο από την κορυφή x στην y αν μια αλλαγή στην x έχει σημαντικό αντίκτυπο στην y Ενδιαφέρουσα εφαρμογή: εξετάζοντας την κατεύθυνση της επίδρασης (αύξησηήμείωση) πραγματοποιούμε ποιοτικές εκτιμήσειςγιαταμελλοντικάεπίπεδαμεταβλητώνόπως ενεργειακή ζήτηση

9 Γραφήματα: παραδείγματα Κορυφές γραφήματος: εναλλακτικές εκδοχές για τις οποίες κάποιο άτομο εκφράζει την προτίμησή του Υπάρχει ακμή μεταξύ δύο κορυφών αν και μόνον αν το άτομο δεν προτιμά καμία από τις αντίστοιχες δύο εναλλακτικές εκδοχές Προκύπτει γράφημα μη προτίμησης/αδιαφορίας (indifference graph) Ενδιαφέρουσα εφαρμογή: χρησιμοποιούμε τα γραφήματα μη προτίμησης/αδιαφορίας για σφυγμομετρήσεις της κοινής γνώμης για διάφορα ζητήματα

10 Γραφήματα: παραδείγματα Κορυφές γραφήματος: κωδικές λέξεις για ένα γρήγορο σύστημα επικοινωνίας Υπάρχει ακμή μεταξύ δύο κωδικών λέξεων αν υπάρχει ενδεχόμενο να τις μπερδέψουμε Προκύπτει γράφημα σύγχυσης (confusion graph) Ενδιαφέρουσα εφαρμογή: χρησιμοποίηση γραφημάτων σύγχυσης για εύρεση κωδίκων μεγάλης χωρητικότητας

11 Γραφήματα: παραδείγματα Κορυφές κατευθυνόμενου γραφήματος: συγκεκριμένες "εκτεταμένες βάσεις" μια αλυσίδας RNA Υπάρχει τόξο από τη βάση x στην εκτεταμένη βάση y αν σε μια πλήρη διάσπαση της αλυσίδας υπάρχει τμήμα της που ξεκινάει με τη βάση x και τελειώνει με τη βάση y Ενδιαφέρουσα εφαρμογή: εξετάζοντας το κατευθυνόμενο γράφημα που προκύπτει ανακαλύπτουμε πληροφορίες για τη δομή της αλυσίδας

12 Προσβασιμότητα (reachability) Έστω κατευθυνόμενο γράφημα D = (V, A) Προσβασιμότητα (reachability): δυνατότητα μετάβασης από μια κουφή σε μια άλλη Μονοπάτι (path) στο γράφημα D: ακολουθία u1, a1, u2, a2,, ut, at, ut+1, όπου uiκορυφή aiτόξο ai είναι το τόξο (ui, ui+1) Το μονοπάτι έχει μήκος t Στο κατευθυνόμενο γράφημα του σχήματος ένα μονοπάτι μήκους 4 είναι το: a, (a, b), b, (b, c), c, (c, e), e, (e, b), b Γιασυντομίαγράφουμεa, b, c, e, b Ένα μονοπάτι είναι απλό αν δεν περιέχει επαναλαμβανόμενες κορυφές Είναι κλειστό αν ut+1 = u1 Είναι κύκλος αν είναι κλειστό και u1, u2,, ut είναι διακριτές κορυφές a, b, c, e, b: όχι απλό μονοπάτι e, a, b, c: απλό μονοπάτι c, b, c, e, b, c: κλειστό μονοπάτι αλλά όχι κύκλος b, c, d, e, b: κύκλος μήκους 4

13 Προσβασιμότητα (reachability) Έστω γράφημα G = (V, E) Αλυσίδα (chain) στο γράφημα G: ακολουθία u1, e1, u2, e2,, ut, et, ut+1, όπου uiκορυφή eiακμή eiείναι η ακμή {ui, ui+ l} Η αλυσίδα έχει μήκος t Στο γράφημα του σχήματος μια αλυσίδα μήκους 5 είναι η: a, {a, b}, b, {b, e}, e, {e, c}, c, {c, b}, b, {b, e}, e Γιασυντομίαγράφουμεa, b, e, c, b, e Μια αλυσίδα είναι απλή αν δεν περιέχει επαναλαμβανόμενες κορυφές Είναι κλειστή αν ut+1 = u1 Είναικύκλωμαανείναικλειστήκαιu1, u2,, ut είναι διακριτές κορυφές και e1, e2,, et είναι διακριτές ακμές b, c, e, d, c, e, b: κλειστή αλυσίδα όχι κύκλωμα b, c, d, e, b: κύκλωμα a, b: όχικύκλωμαπαράτοότιu1, u2,, ut είναι διακριτές κορυφές

14 Συνεκτικότητα (connectednes) Ένα κατευθυνόμενο γράφημα είναι ισχυρά συνεκτικό (strongly connected) αν για κάθε ζεύγος κορυφών x και y υπάρχει μονοπάτι από την κορυφή x στην κορυφή y και μονοπάτι από την y στη x Ένα γράφημα είναι συνεκτικό (connected) αν ανάμεσα σε κάθε ζεύγος κορυφών υπάρχει αλυσίδα

15 Συνεκτικότητα (connectednes) D1: ισχυρά συνεκτικό D2: δεν είναι ισχυρά συνεκτικό γιατί δεν υπάρχει μονοπάτι π.χ., από την d στη c

16 Συνεκτικότητα (connectednes) G1: συνεκτικό G2: όχι συνεκτικό γιατί δεν υπάρχει αλυσίδα π.χ., από την a στη d

17 Προσβασιμότητα (reachability) και Συνεκτικότητα (connectednes) Η σχέση που ορίζεται από την xsy αν η x είναι προσβάσιμη από την y μέσω ενός μονοπατιού και η y είναι προσβάσιμη από την x μέσω ενός μονοπατιού είναι σχέση ισοδυναμίας Οι κορυφές ενός κατευθυνόμενου γραφήματος διαμερίζονταιμεαυτήτησχέσησεκλάσειςισοδυναμίαςπου καλούνται ισχυρές συνιστώσες (strong components) Όμοια, σε ένα γράφημα, οι κλάσεις ισοδυναμίας που ορίζονται από τη σχέση «σύνδεση μέσω αλυσίδας» δημιουργούν συνιστώσες ή συνεκτικές συνιστώσες

18 Προσβασιμότητα (reachability) και Συνεκτικότητα (connectednes) {a, b, c}, {d, f}, {e} και {g, h, i, j}: ισχυρές συνιστώσες

19 Προσβασιμότητα (reachability) και Συνεκτικότητα (connectednes) {a, b, c}, {d, e} και { f, g, h, i}: συνιστώσες