Σχέση Μερικής ιάταξης Σχέση Μερικής ιάταξης (ή µερική διάταξη): ανακλαστική, αντισυµµετρική, και µεταβατική. Αριθµοί: α β (αλλά όχι α < β), α β, Σύνολ

Transcript

1 Σχέσεις Μερικής ιάταξης ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

2 Σχέση Μερικής ιάταξης Σχέση Μερικής ιάταξης (ή µερική διάταξη): ανακλαστική, αντισυµµετρική, και µεταβατική. Αριθµοί: α β (αλλά όχι α < β), α β, Σύνολα (σχέση στο Ρ(S)): Α Β. Ποιες από τις παρακάτω είναι σχέσεις µερικής διάταξης; ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Σχέσεις Μερικής ιάταξης 2

3 ιατεταγµένα Σύνολα Σχέση µερικής διάταξης: γράφουµε α β (αντί (α, β) R). Σύνολο Α µε σχέση µερικής διάταξης : µερικώς διατεταγµένο σύνολο (Α, ) (ή poset). (N, ), (N *, ), (P(Ν), ), (Άνθρωποι, Πρόγονος). Αν α β ή β α, α και β συγκρίσιµα. ιαφορετικά µη συγκρίσιµα. (Ν *, ): 3 και 9 συγκρ., 5 και 7 όχι. (P(Ν), ): {1} και {2} όχι. Poset (A, ) και όλα τα ζεύγη στοιχείων είναι συγκρίσιµα: ολικά διατεταγµένο σύνολο (ολική διάταξη ή αλυσίδα). (A, ) και Β Α ώστε (Β, ) ολικά διατεταγµένο: Β αλυσίδα (του Α). Πεπερασµένη (µη κενή) αλυσίδα έχει µέγιστο και ελάχιστο στοιχείο. (A, ) και Β Α ώστε στο (Β, ) κανένα ζεύγος συγκρίσιµο: Β αντιαλυσίδα (του Α). ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Σχέσεις Μερικής ιάταξης 3

4 Ακυκλικά Γραφήµατα Κατευθυνόµενο Ακυκλικό Γράφηµα (ΚΑΓ, DAG) δεν έχει κύκλους, µπορεί να έχει ανακυκλώσεις. Συχνά αναπαριστούν εξαρτήσεις δραστηριοτήτων, εργασιών. R σχέση που αντιστοιχεί σε ΚΑΓ. Η ανακλαστική µεταβατική κλειστότητα S της R είναι σχέση µερικής διάταξης. Αν α β, (α, β), (β, α) S, έχουµε κύκλο (στην R). Άρα ΑΜΚ της R είναι αντισυµµετρική. Κάθε µερική διάταξη αντιστοιχεί σε ΚΑΓ. Μεταβατική ιδιότητα: κύκλος ανν όχι αντισυµµετρική. Μορφή ΚΑΓ για σχέσεις ολικής διάταξης; Αλυσίδες αντιστοιχούν σε µονοπάτια ΚΑΓ. Αντιαλυσίδες σε ανεξάρτητα σύνολα ΚΑΓ. ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Σχέσεις Μερικής ιάταξης 4

5 ιαγράµµατα Hasse Απέριττοι γράφοι για αναπαράσταση µερικών διατάξεων. Ξεκινάµε από ΚΑΓ και αφαιρούµε ανακυκλώσεις (εννούνται). Αφαιρούµε «µεταβατικές» ακµές (µόνο «βασικές» ακµές): Για κάθε α γ διαδροµή µήκους 2, αφαιρούµε ακµή (α, γ). Για κάθε ακµή (α, β), β πάνω από α και αφαιρούµε φορά (βέλος). ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Σχέσεις Μερικής ιάταξης 5

6 ιαγράµµατα Hasse ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Σχέσεις Μερικής ιάταξης 6

7 Μέγιστα και Ελάχιστα Στοιχεία α maximal στοιχείο (Α, ) αν δεν υπάρχει β α µε α β. α minimal στοιχείο (Α, ) αν δεν υπάρχει β α µε β α. ({1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}, ): maximal 8 και 12, minimal 1. ({2, 4, 5, 10, 12, 20, 25}, ): maximal 12, 20, 25, minimal 2, 5. (Ρ({a, b, c}), ): maximal {a, b, c} και minimal. α µέγιστο στοιχείο (Α, ) αν µοναδικό maximal, β(β α). α ελάχιστο στοιχείο (Α, ) αν µοναδικό minimal, β(α β). ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Σχέσεις Μερικής ιάταξης 7

8 Ερώτηση Τι δηλώνουν οι παρακάτω προτάσεις; Αληθεύουν σε πεπερασµένο σύµπαν; Αληθεύουν σε άπειρο σύµπαν; ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Σχέσεις Μερικής ιάταξης 8

9 Άνω και Κάτω Φράγµα α άνω φράγµα στοιχείων Β Α, αν για κάθε β Β, β α. α κάτω φράγµα στοιχείων Β Α, αν για κάθε β Β, α β. Άνω για {α, b, c}: e, f, j, h. Κάτω: α. Άνω για {j, h}: όχι. Κάτω: f, d, e, b, c, α. α ελάχιστο άνω φράγµα Β Α (sup): α άνω φράγµα Β και για κάθε β άνω φράγµα Β, α β. α µέγιστο κάτω φράγµα Β Α (inf): α κάτω φράγµα Β και για κάθε β κάτω φράγµα Β, β α. Αν υπάρχουν, είναι µοναδικά. Ελάχιστο άνω φράγµα α, β στο (Ν, ): ΕΚΠ(α, β). Μέγιστο κάτω φράγµα α, β στο (Ν, ): ΜΚ (α, β). Ελάχιστο άνω φράγµα Α, Β στο (P(S), ): Α Β. Μέγιστο κάτω φράγµα Α, Β στο P(S), ): Α Β. ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Σχέσεις Μερικής ιάταξης 9

10 ικτυωτά (Lattices) (A, ) είναι δικτυωτό (lattice) αν κάθε ζεύγος στοιχείων έχει ελάχιστο άνω φράγµα και µέγιστο κάτω φράγµα. Ποια από τα παρακάτω είναι δικτυωτά; Είναι δικτυωτά τα (Ν, ), (Ρ(S), ); Είναι δικτυωτό το ({1, 2,, k}, ); ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Σχέσεις Μερικής ιάταξης 10

11 Ένα Πρόβληµα από τα Παλιά ίνεται µία ακολουθία Ν θετικών φυσικών. Να υπολογισθεί ο µικρότερος αριθµός της ακολουθίας που είναι µικρότερος ή ίσος όλων των προηγουµένων του. Να υπολογισθεί ο µικρότερος αριθµός της ακολουθίας που διαιρεί ακριβώς όλους τους προηγούµενούς του. ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Σχέσεις Μερικής ιάταξης 11

12 Αλυσίδες και Αντιαλυσίδες Α σύνολο µαθηµάτων, (α, β) R ανν α προαπαιτούµενο β. Αντισυµµετρική και µεταβατική: σχέση προτεραιότητας. Ανακλαστική κλειστότητα R: σχέση µερικής διάταξης. Μήκος µεγαλύτερης αλυσίδας: ελάχιστος #εξαµήνων για πτυχίο. Μέγεθος µεγαλύτερης αντιαλυσίδας: µέγιστος #µαθηµάτων στο ίδιο εξάµηνο. Αν µακρύτερη αλυσίδα στο (Α, ) έχει µήκος k 1, στοιχεία Α διαµερίζονται σε k αντιαλυσίδες. Αν µεγαλύτερη αντιαλυσίδα στο (Α, ) έχει µέγεθος k 1, στοιχεία Α διαµερίζονται σε k αλυσίδες. ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Σχέσεις Μερικής ιάταξης 12

13 Αλυσίδες και Αντιαλυσίδες Αν µακρύτερη αλυσίδα στο (Α, ) έχει µήκος k 1, στοιχεία Α διαµερίζονται σε k αντιαλυσίδες. Απόδειξη µε επαγωγή. Βάση k = 1: Αν µακρύτερη αλυσίδα έχει 1 στοιχείο, όλα τα στοιχεία αποτελούν 1 αντιαλυσίδα. Επαγωγική υπόθεση: σε κάθε (Α, ) µε µακρύτερη αλυσίδα µήκους k, διαµέριση Α σε k αντιαλυσίδες. Επαγωγικό βήµα: (Α, ) µε µακρύτερη αλυσίδα µήκους k+1. Μ σύνολο maximal στοιχείων: Αντιαλυσίδα µε 1 στοιχείο (τελευταίο) σε κάθε αλυσίδα. (Α Μ, ) έχει µακρύτερη αλυσίδα µήκους k. ιαµέριση Α Μ σε k αντιαλυσίδες. ιαµέριση Α σε k+1 αντιαλυσίδες. ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Σχέσεις Μερικής ιάταξης 13

14 Αλυσίδες και Αντιαλυσίδες Αν µακρύτερη αλυσίδα στο (Α, ) έχει µήκος k 1, στοιχεία Α διαµερίζονται σε k αντιαλυσίδες. Αν A nm+1, τότε είτε αλυσίδα µήκους n+1 είτε αντιαλυσίδα µεγέθους m+1. Σε σύνολο nm+1 ανθρώπων, είτε αλυσίδα απογόνων µήκους m+1 είτε n+1 άνθρωποι χωρίς σχέση προγόνου-απογόνου. Αν όλες αλυσίδες µήκους m, διαµέριση σε m αντιαλυσίδες. Αν όλες αντιαλυσίδες µεγέθους n, #ανθρώπων nm. Σύνολο S µε n 2 +1 διαφορετικούς θετικούς φυσικούς: Για κάθε Α S, Α = n+1, υπάρχουν x, y A, x y, µε x y. Νδο υπάρχει {x 1, x 2,, x n+1 } S όπου x i x i+1, για κάθε i = 1,, n. Πρέπει νδο στο poset (S, ), υπάρχει αλυσίδα µήκους n+1. Μεγαλύτερη αντιαλυσίδα έχει µέγεθος n. Άρα υπάρχει αλυσίδα µήκους n+1. ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Σχέσεις Μερικής ιάταξης 14

15 Παράδειγµα και Αρχή Περιστερώνα Σε κάθε ακολουθία n 2 +1 διαφορετικών αριθµών, είτε αύξουσα υπακολουθία µήκους n+1 είτε φθίνουσα υπακολ. µήκους n+1. Υπακολουθία προκύπτει µε διαγραφή κάποιων αριθµών. Αύξουσα υπακολουθία αντιστοιχεί σε αλυσίδα, και φθίνουσα υπακολουθία αντιστοιχεί σε αντιαλυσίδα, για µερική διάταξη. ιαφορετικά: Αντιστοιχούµε αριθµό α k στο (x k, y k ). x k (y k ): µήκους µεγαλύτερης αύξουσας (φθίνουσας) υπακολουθίας που αρχίζει στη θέση k. Αν όλα x k n και όλα y k n, #ζευγών n 2. Αρχή περιστερώνα: υπάρχουν δύο αριθµοί α k και α s (k < s) που αντιστοιχούνται στο ίδιο ζεύγος (x, y). Άτοπο: αν α k < α s, τότε x k > x s, ενώ αν α k > α s, τότε y k > y s. ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Σχέσεις Μερικής ιάταξης 15

16 Τοπολογική ιάταξη Ολική διάταξη (α 1, α 2,..., α n ) συµβατή µε µερική διάταξη (Α, ). Συµβατότητα: Για κάθε i < j, είτε α i α j είτε α i, α j µη συγκρίσιµα. Γραµµική διάταξη κορυφών ΚΑΓ ώστε ακµές (εκτός ανακυκλώσεων) κατευθύνονται από αριστερά προς δεξιά. (Α, ), Α πεπερασµένο, επιδέχεται τοπολογικής διάταξης. Γράφος είναι ΚΑΓ ανν επιδέχεται τοπολογικής διάταξης. (Α, ), Α πεπερασµένο, έχει 1 minimal στοιχείο. Ξεκινάµε επιλέγοντας οποιοδήποτε στοιχείο. Ακολουθούµε «ακµές» στην αντίθετη φορά. Όχι κύκλοι και πεπερασµένο: τερµατίζουµε σε minimal. ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Σχέσεις Μερικής ιάταξης 16

17 Τοπολογική ιάταξη Υπολογισµός τοπολογικής διάταξης: α 1 : minimal (Α, ). α 2 : minimal (Α {α 1 }, ). α 3 : minimal (Α {α 1, α 2 }, ).... 1, 3, 2, 6, 4, 12, 8 Α, C, E, B, D, G Αναζήτηση κατά Βάθος (DFS) στο ΚΑΓ ή στο διάγραµµα Hasse (µε φορά ακµών). Κορυφές σε αντίστροφη σειρά «αποχώρησης». Ολοκλήρωση εξερεύνησης κορυφής και γειτόνων: εισαγωγή κορυφής σε στοίβα. Ολοκλήρωση DFS και εξαγωγή από στοίβα: τοπολογική διάταξη. ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Σχέσεις Μερικής ιάταξης 17

18 Λεξικογραφική ιάταξη Posets (A 1, 1 ) και (A 2, 2 ). Λεξικογραφική διάταξη στο Α 1 Α 2 : (α 1, α 2 ) < (β 1, β 2 ) αν είτε α 1 < 1 β 1 είτε α 1 = β 1 και α 2 < 2 β 2. (α 1, α 2 ) = (β 1, β 2 ) αν α 1 = β 1 και α 2 = β 2. (Ν Ν, ): (2, 4) (2, 5) (3, 2) (5, 1) (5, 100) (6, 0). Λεξικογραφική διάταξη στο Α 1 Α 2... Α n : (α 1, α 2,, α n ) < (β 1, β 2,, β n ) αν για κάποιο k 0, α 1 = β 1,..., α k = β k και α k+1 < k+1 β k+1. (α 1, α 2,, α n ) = (β 1, β 2,, β n ) αν α 1 = β 1,..., α n = β n. Λεξικογραφική διάταξη συµβολοσειρών µε βάση (ολική) διάταξη γραµµάτων του αλφαβήτου. Το «κενό» προηγείται κάθε συµβόλου, τόνοι αγνοούνται. Π.χ. µαντείο < µάντης < µηλιά < µήλο < το < τόπι. ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Σχέσεις Μερικής ιάταξης 18

19 Χρονοπρογραµµατισµός Εργασιών m ίδιους επεξεργαστές {p 1, p 2,..., p m }. n εργασίες {t 1, t 2,, t n } µε χρόνους εκτέλεσης w 1, w 2,, w n. Μερική διάταξη επί των εργασιών: t j t i ανν t i δεν µπορεί να αρχίσει πριν ολοκληρωθεί η t j. Χρονοδιάγραµµα εκτέλεσης εργασιών: Για κάθε εργασία t i χρόνος έναρξης s(i) και επεξεργαστής π(i). Εργασίες δεν διακόπτονται: εκκίνηση s(i), τερµατισµός s(i)+w i Κάθε χρονική στιγµή, το πολύ µία εργασία σε κάθε επεξεργαστή: π(i) = π(j) [s(i), s(i)+w i ) [s(j), s(j)+w j ) = Για κάθε t j µε t j t i, s(j)+w j s(i). t 1 / 2 t 3 / 1 ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Σχέσεις Μερικής ιάταξης 19 t 2 / 2 t 4 / 2 t 5 / 2 t 6 / 4 t 7 / 1

20 Χρονοπρογραµµατισµός Εργασιών Χρονοδιάγραµµα µε ελάχιστο χρόνο διεκπεραίωσης. Ελαχιστοποίηση χρόνου ολοκλήρωσης τελευταίας εργασίας. Τοπολογική διάταξη αν µόνο ένας επεξεργαστής. NP-δύσκολο για m 2. Βέλτιστος χρόνος διεκπεραίωσης τουλάχιστον: (w w n ) / m. Συνολικός χρόνος κατά µήκος µακρύτερης (χρονικά) αλυσίδας. Ποτέ επεξεργαστής αδρανής εσκεµµένα. εν εγγυάται βέλτιστη λύση. Εγγυάται χρόνο διεκπεραίωσης m = 2 t 1 / 10 t 4 / 5 t 6 / 9 ελάχιστο χρ. διεκπ. t 2 / 9 t 5 / 5 ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Σχέσεις Μερικής ιάταξης 20 t 3 / 9

21 Χρονοπρογραµµατισµός Εργασιών Ανάλυση για m = 2, χρ.διεκπ. = ω, βέλτιστος χρ.διεκπ. = ω * Υπάρχει αλυσίδα εργασιών µε χρονική διάρκεια συνολική διάρκεια περιόδων αδράνειας. Περίοδος αδράνειας α i «προκαλείται» από αλυσίδα εργασιών που εκτελείται στον άλλο επεξεργαστή. Αλυσίδα εργασιών που «προκαλεί» α i έχει διάρκεια χρόνος(α i ). Ένωση αλυσίδων που «προκαλούν» περιόδους αδράνειας δίνει αλυσίδα µε διάρκεια συνολική διάρκεια περιόδων αδράνειας. ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Σχέσεις Μερικής ιάταξης 21