Τροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς ολίσθηση κατά µήκος οριζόντιου αυλακιού, το δε κέντρο µάζας του C έχει σταθερή ταχύτητα v!

Transcript

1 Τροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς ολίσθηση κατά µήκος οριζόντιου αυλακιού, το δε κέντρο µάζας του C έχει σταθερή ταχύτητα v C. Σε σηµείο της περιφέρειας του τροχου έχει αρθρωθεί το ένα άκρο Β µιας λεπτής ράβδου µήκους L=R, της οποίας το άλλο άκρο Α είναι ελεύθερο να ολισθαίνει στο αυλάκι καθώς ο τροχός κυλίεται σχ. ). Να βρείτε τη ταχύτητα του άκρου Α την στιγµή που η επιβατική ακτίνα του Β ως προς το κέντρο C σχηµατίζει γωνία φ=π/6 µε την οριζόντια διεύθυνση. ΛΥΣΗ: Το άκρο Β της ράβδου έχει κάθε στιγµή ταχύτητα v C λόγω της µετα φορικής κίνησης του τροχού και ταχύτητα v λόγω της περιστροφής του περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο του C και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Κατά την διεύθυνση της ράβδου το άκρο Β έχει ταχύτητα v * B, της οποίας το µέτρο είναι: * = v C #$ + v C #% = v C #$ + v # [ / - + $)] * = v C #$ + v C %µ + $) = v C [#$ + %µ + $)] ) Σχήµα όπου τέθηκε v C =v π λόγω της κύλισης του τροχού. Επειδή το µήκος της ράβδου ΑΒ είναι σταθερό η ταχύτητα v * B είναι ίση µε την αντίστοιχη ταχύτητα v * του άκρου Α, δηλαδή ισχύει η σχέση: v * B = v * ) = v #$ v C [#$ + %µ + $)] = v #$ v = v C #$ + %µ#$ + #%µ$) #$

2 v = v C#$ + #$ / + 3%µ$ / ) #$ v = v C3#$ + 3%µ$) #$ όπου v η ζητούµενη ταχύτητα του άκρου Α. Όµως από το ορθογώνιο τρίγωνο ΒΑΓ έχουµε: µ = B# B = Rµ$ + R R οπότε = / + = 3 4 #$ = - %µ $ = - 9/6 = 7/4 Έτσι η σχέση ) γράφεται: ) v = v C3 7/ / 4) 7/4 = v C ) 7 v = 3v C # 7+ 3) $ 7 % = 3v C + 3 $ # 7 % P.M. fysikos Oι ράβδοι ΟΑ, ΑΒ έχουν το ίδιο µήκος L και συν δέονται µεταξύ τους µε αρθρωση στο Α. Το άκρο Ο της ράβδου ΟΑ είναι αρθρωµένο σε σταθερή θέση, ένω το άκρο Β της ΑΒ έχει την δυ νατότητα να µετακινείται σε ορίζόντιο ευθύγραµµο αυλάκι, του οποί ου η προέκταση διέρχεται από το Ο όπως φαίνεται στο σχήµα ). Εάν η ράβδος ΟΑ στρέφεται περί το Ο σε κατακόρυφο επίπεδο, ώστε η φωνία φ να µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση φ=ωt, όπου ω θετική και σταθερή ποσότητα, να βρείτε: i) την ταχύτητα του άκρου Β της ράβδου ΑΒ και ii) την τροχιά που διαγράφει το µέσο Μ της ράβδου ΑΒ. Επί πλέον να δείξετε ότι, η επιτάχυνση του Μ κατευθύνεται συνεχώς προς το Ο. ΛΥΣΗ: i) Kατά την κίνηση του συστήµατος το κοινό άκρο Α των δύο ράβδων διαγράφει περιφέρεια κέντρου Α και ακτίνας L, οπότε η ταχύτητα του v ως εφαπτόµενη της περιφέρειας αυτής θα διευθύνεται κάθετα προς την ράβδο ΟΑ σχ. ). Η ράβδος ΑΒ εκτελεί επίπεδη κίνηση πάνω στο κατακόρυφο επίπεδο που διέρχεται από το αυλάκι κατά µήκος του οποίου κινείται το άκρο Β, η δε κίνηση αυτή µπορεί κάθε στιγµή να θεωρείται ως γνήσια περιστροφή περί το εκάστοτε στιγµιαίο κέντρο Κ, που προκύπτει ως τοµή των καθέτων διευθύν σεων στα διανύσµατα των ταχυτήτων v και v B των σηµείων Α και Β σχ. ).

3 Εάν είναι η γωνιακή ταύτητα της ράβδου ΑΒ την τυχαία χρονική στιγµή t, τότε για τα µέτρα των ταχυτήτων v και v B θα έχουµε τις σχέσεις: v = K) = L $ % = BK) = Lµ#) :) v = µ = v µ = v µt ) Σχήµα όπου φ η γωνία της ράβδου ΟΑ µε την οριζόντια διεύθυνση κατά την θεω ρούµενη χρονική στιγµή t. Όµως το µέτρο της ταχύτητας v υπολογίζεται και µε βάση την περιστροφική κίνηση της ράβδου ΟΑ, δηλαδή από την σχέση: v = O) = L οπότε η ) γράφεται: = L#µt ) ii) Oι συντεταγµένες x M, y M του µέσου Μ της ράβδου ΑΒ ως προς το ορθογώ νιο σύστηµα Οxy, είναι: x M = O)#$ + M)#$ y M = MB)%µ$ x M = L#$ + L/)#$ y M = L/)%µ$ x M = 3L/)#$ y M = L/)%µ$ x M /3L = #$ y M /L = %µ$ 4x M/9L = # $ 4y M /L = %µ $ + ) 4x M 9L + 4y M = L x M 3L/) + 4y M L/) = 3) H σχέση 3) εκφράζει ότι η τροχιά του µέσου Μ της ράβδου ΑΒ είναι ελλειπ τικό τόξο που βρίσκεται στο επίπεδο Οxy, έχει κέντρο το Ο και µήκη ηµιαξό νων 3L/ και L/. ii) Oι συνιστώσες της επιτάχυνσης a M του µέσου Μ της ράβδου ΑΒ θα προκύ ψουν µε διπλή παραγώγιση ως προς τον χρόνο t των σχέσεων:

4 x M = 3L/)#$ = 3L/)#%t y M = L/)µ$ = L/)µ%t ) dx M /dt = - 3L/)µt dy M /dt = L/)#$%t d x M /dt d y M /dt = - 3L /)#$t = -L /)%µt a M,x a M,y = - 3L /)#$t = -L /)%µt Eάν i, j είναι τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx και Οy αντιστοιχως, θα έχουµε την σχέση: 4) a M = a M,x i + a M,y j a M = - 3L /)#$t i - L /)%µt j a M = - [3L/)#$t i + L/)%µt j ] a M = - x M i + y M j ) a M = - OM) 5) H σχέση 5) εκφράζει ότι το διάνυσµα της επιτάχυνσης του µέσου Μ της ράβ δου ΑΒ είναι αντίρροπο της επιβατικής του ακτίνας OM ως προς το Ο, δηλα δή κατευθύνεται προς το Ο. P.M. fysikos 4) Mια σφαίρα Β στερεώνεται στο άκρο ενός µη εκτατού νήµατος, του οποίου το άλλο του άκρο δένεται σε σταθερό σηµείο. Mιά άλλη σφαίρα Α της ίδιας µάζας m µε την Β, συγκρούεται µε την Β, όταν αυτή βρίσκεται στη θέση ισορροπίας της. Kατά τη στιγµή της κρούσεως η σφαίρα Α έχει κατακόρυφη ταχύτητα v 0 και εφάπτε ται του νήµατος, όπως φαίνεται στο σχήµα 3). i) Εαν η κρούση των δύο σφαιρών είναι ελαστική να βρεθεί η ταχύτητα της σφαίρας Β, αµέσως µετά την κρούση. ii) Nα βρεθεί η ώθηση της δύναµης κρούσεως και της τάσεως του νή µατος για το χρονικό διάστηµα της κρούσεως, µε την προϋπόθεση ότι οι αντίστοιχες ωθήσεις των βαρών των δύο σφαιρών είναι ασήµαντες. Oι δύο σφαίρες θα θεωρηθούν λείες. ΛYΣH: i) Η ευθεία κρούσεως κ των δύο σφαιρών ταυτίζεται µε την διάκεν τρο τους, που σηµαίνει ότι η κρούση είναι κεντρική. Εξάλλου ο φορέας της ταχύ τητας v 0 της σφαίρας Α, λίγο πριν την κρούση, σχηµατιζει γωνία φ=π/6 µε την γραµµή κρούσεως, που σηµαίνει ότι η κρούση είναι πλάγια. Εάν εστιάσουµε την προσοχή µας στην σφαίρα Α αυτή κατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt της επαφής της µε την Β δέχεται την δύναµη κρούσεως F που έχει φορέα την διάκεντρο των δύο σφαιρών αφού οι σφαίρες είναι λείες και το βάρος της, που όµως η ώθησή του για τον χρόνο Δt είναι ασήµαντη και πρακτικά δεν επη

5 ρεάζει την µεταβολή της ορµής της. Κατά την καθέτη προς την γραµµή κρού σεως διεύθυνση ε, η ορµή της σφαίρας δεν µεταβάλλεται, δηλαδή ισχύει η σχέση: mv 0 ) = mv ) v ) = v 0 ) = v 0 #$% ) Σχήµα 3 όπου v 0 ), v ) οι ταχύτητες της σφαίρας Α λίγο πριν και αµέσως µετά την κρούση αντιστοίχως, κατά την διεύθυνση ε. Η δύναµη κρούσεως F µεταβάλ λει την ταχύτητα της Α κατά την διεύθυνση της γραµµής κρούσεως κ από την τιµή v 0 ) στην τιµή v ) και επειδή η κρούση είναι ελαστική, ο συντελεστής κρούσεως κατα την διεύθυνση κ είναι ίσος µε µονάδα, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση: = - v ) - - ) ) -v 0 ) - 0 = - v ) + µ# -v 0 $%# -v 0 #$ = -v % ) - µ$ v 0 #$ = v % ) + µ$ ) Σχήµα 4 όπου v B ) η συνιστώσα της ταχύτητας της σφαίρας Β αµέσως µετά την κρού ση, κατά την διεύθυνση κ. Εξάλλου κατά τον χρόνο Δt το σύστηµα των δύο σφαιρών δεν δέχεται οριζόντιες εξωτερικές δυνάµεις τα βάρη των σφαιρών και η τάση T του νήµατος εξάρτησης της σφαίρας Β είναι κατακόρυφες δυνάµεις)

6 που σηµαίνει ότι η ορµή του συστήµατος δεν µεταβάλλεται κατά την οριζόντια διεύθυνση στον χρόνο Δt, δηλαδή ισχύει η σχέση: = mv ) #$% + mv ) µ% - m = v 0 µ #$% + v ) µ 3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις ), 3) παίρνουµε: = v 0 µ #$% + v 0 #$% - µ)µ + µ = v 0 µ #$% + µ ) = v 0 µ = v 0 µ + µ 4) ii) Eφαρµόζοντας για την σφαίρα Α το θεώρηµα ώθησης-ορµής κατά τον χρόνο Δt και κατά την διεύθυνση της γραµµής κρούσεως παίρνουµε την σχέση: mv ) = -mv 0 ) + F t F t = mv ) + v 0 ) ) 4) F = m /µ# - v 0 $%# + v 0 $%#) = m /µ# 3) F = mv 0 #$% + µ % 5) Εφαρµόζοντας για την σφαίρα Β το ίδιο θεώρηµα και για τον ίδιο χρόνο, κατά την κατακόρυφη διεύθυνση, παίρνουµε την σχέση: 0 = 0 + Tt - F B #$%t Tt = F B t#$% 5) T = F B #$% = F #$% F = mv 0 #$ % + µ % P.M. fysikos Ένα µικρό σφαιρίδιο κινείται πάνω σε λεία κυρτή επιφάνεια ακολουθώντας τροχιά που βρίσκεται σε κατακόρυφο επί πεδο και έχει την µορφή παραβολής, όπως φαίνεται στο σχήµα 5). Εξασκούµε στο σφαιρίδιο κατάλληλη εξωτερική δύναµη, ώστε το µέτ ρο της ταχύτητάς του v να διατηρείται σταθερό. Να εξετασθεί για ποιές τιµές του µέτρου της v το σφαιρίδιο δεν χάνει την επαφή του µε την παραβολική του τροχιά. Η εξίσωση της τροχιάς του σφαιριδίου στο ορθογώνιο σύστηµα αξόνων Οxy έχει την µορφή: y = px

7 όπου p θετική και σταθερή ποσότητα. Δίνεται η επιτάχυνση g της βα ρύτητας. ΛΥΣΗ: Εξετάζουµε το σφαιρίδιο σε µια τυχαία θέση Μ της παραβολικής του τροχιάς, µε συντεταγµένες x και y ως προς το ορθογώνιο σύστηµα αξόνων Οxy. Το σφαιρίδιο δέχεται το βάρος του w που αναλύεται στην ακτινική συνιστώσα w και στην εφαπτοµενική συνιστώσα w, την δύναµη επαφής από την κυρτή επιφάνεια, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος σ αυτή, δηλαδή έχει την διεύθυνση της ακτίνας ΜΚ της τροχιάς στο σηµείο Μ και φορά προς το κυρτό της µέρος και τέλος την εξωτερική δύναµη F, η οποία πρέπει κάθε στιγµή να είναι αντίθετη προς την συνιστώσα w σχ. 5), ώστε επί του σφαιριδίου να µη προκύπτει επιτρόχια δύναµη, αφού το µέτρο της ταχύτητάς του διατηρείται στα θερό. Εξάλλου η συνισταµένη των ακτινικών δυνάµεων και w αποτελεί για το σφαιρίδιο κεντροµόλο δύναµη, οπότε θα ισχύει η σχέση: w - = mv /R w#$ - = mv /R = mg#$ - v /R) ) Σχήµα 5 όπου η v ταχύτητα του σφαιριδίου, φ η γωνία της ΚΜ µε την κατακόρυφη διεύθυνση και R η ακτίνα καµπυλότητας της τροχιάς στο σηµείο Μ. Όµως η γωνία φ είναι ίση µε την κλίση της εφαπτοµένης της παραβολικής τροχιάς στο σηµείο Μ και εποµένως ισχύει η σχέση: = dy/dx = px ) κόµη έχουµε την τριγωνοµετρική ταυτότητα: #$ = + %$ $ ) #$ = = + 4p x + 4p x ) / 3) ενώ για την ακτίνα καµπυλότητας R ισχύει η σχέση: [ R = + ] 3 / dy/dx) ) d y / dx R = + 4p x ) 3 / p 4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις ), 3) και 4) παίρνουµε:

8 mg = + 4p x ) - pmv / + 4p x ) 3 / 5) Για να µη χάνει το σφαιρίδιο την επαφή του µε την παραβολική τροχιά πρέπει για κάθε xε-, +) να ισχύει: 5) > 0 mg + 4p x ) - pmv / + 4p x ) 3 / > 0 Εάν είναι: mg + 4p x ) > pmv / + 4p x ) g > pv 3 / + 4p x g+ 4gp x > pv x > v gp - 4p 6) v gp - 4p < 0 ή v gp < 4p ή v < g p ή v < g p τότε η 6) θα ισχύει για κάθε xε-, +) και εποµένως το σφαιρίδιο θα είναι συνέχεια σε επαφή µε την τροχιά του. Παρατήρηση η: Εάν ισχύει: v gp = 4p ή v = g p τότε θα είναι Α=0 στην θέση x=0, δηλαδή το σφαιρίδιο θα χάνει την επαφή µε την παραβολική τροχιά στην κορυφή Ο αυτής. ν v> g/p, τοτε υπάρχει θέση Μ 0 x 0,y 0 ) του σφαιριδίου για την οποία ισχύει Α=0 και η 5) δίνει: mg + 4p x 0 ) = pmv / + 4p x 0 ) g = pv 3 / + 4p x 0 g+ 4gp x 0 = pv x 0 = v gp - 4p x 0 = ± p # v g - p $ % Παρατήρηση η: Θα µπορούσαµε να αποφύγουµε την χρήση της σχέσεως που δίνει την ακτίνα καµπυλότητας της τροχιάς και να ακολουθήσουµε µια διαδικασία υπολογισµού αυτής µέσω των εξής βηµάτων: Α) Επειδή το µέτρο της ταχύτητας του σφαιριδίου είναι σταθερό η επιτάχυνση του a ταυτίζεται µε την κεντροµόλο επιταχυνσή του a και εποµενως

9 µπορούµε να γράψουµε την σχέση: a = a = v /R R = v / a Β) Εάν r είναι το διάνυσµα θέσεως του σφαιριδίου κατά την χρονική στιγµή t και i, j τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx, Oy αντιστοίχως, θα έχουµε την σχέση: r = x i + y j = x i + px j Παραγωγίζοντας την ΙΙ) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε την ταχύτητα του σφαιριδίου την χρονική στιγµή t, δηλαδή θα έχουµε: v = d r dt = d r dx$ # = d r dx dt% dx v x v = i + px j )v + 4p x ) v = / = d r dx v)* v = d r dx v i + 4p x ) + pvx j / + 4p x v + 4p x ) / Ι) II) ) / III) Παραγωγίζοντας την ΙΙI) ως προς τον χρόνο παίρνουµε την επιτάχυνση του σφαιριδίου την χρονική στιγµή t, δηλαδή θα έχουµε: a = d v dt = d v dx$ # = d v dx dt% dx v x a = d dx # i + 4p x ) + px j # / + 4p x = d v dx v)* a = d v dx ) / $ % v v + 4p x ) / + 4p x ) IV) / Γ Αφού εκτελέσουµε την παραγώγιση στην IV), στην συνέχεια θα λάβουµε το µέτρο της επιτάχυνσης a και µέσω της Ι) θα υπολογίσουµε την ακτίνα καµπυλότητας R. P.M. fysikos Mικρό σώµα µάζας, είναι στερεωµένο στο ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο προσδένεται στην προεξοχή ενός δοκαριοιύ µάζας m, όπως φαίνεται στο σχήµα 6). Tο σώµα µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή κατά µήκος του δοκαριού, ενώ το δοκάρι βρίσκεται πάνω σε λείο κεκλιµένο επίπε δο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα. Αρχικά το σύστηµα κρα τείται ακίνητο µε το ελατήριο παράλληλο προς το κεκλιµένο επίπεδο και κάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή του χρόνου το δοκάρι αφήνεται ελευθερο. Να µελετηθεί η κίνηση του σώµατος και του δο καριού στο σύστηµα αναφοράς του κεκλιµένου επιπέδου. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας.

10 ΛYΣH: Όταν το σύστηµα κρατείται ακίνητο το ελατήριο είναι συµπιεσµένο από την φυσική του κατάσταση κατά m gηµφ/k και έστω ότι το σώµα βρί σκεται στην θέση Ο, το δε κέντρο µάζας του δοκαριού στην θέση Ο. Αφή νοντας το σύστηµα ελεύθερο το σώµα και το δοκάρι µπαίνουν σε κίνηση και έστω ότι την χρονική στιγµή t η µετατόπιση του σώµατος είναι x ενώ η αντίστοιχη µετατόπιση του κέντρου µάζας του δοκαριού είναι x. Την στιγµή αυτή η παραµόρφωση του ελατηρίου είναι m gηµφ/k+x -x, θα ασκεί δε αυτό στο σώµα δύναµη F της οποίας η αλγεβρική τιµή δίνεται από την σχέση: F = -k gµ/k + x - x ) = - gµ - kx - x ) ) Σχήµα 6 To σώµα δέχεται ακόµη το βάρος του w, που αναλύεται στην παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα w και την κάθετη προς αυτό συνιστώσα w που εξουδετερώνεται από την κάθετη αντίδραση N του δοκαριού. Εφαρµόζον τας για το σώµα τον δεύτερο νοµο κίνησης του Νέυτωνα παίρνουµε την σχέση: d ) x = F dt + gµ d x dt = - gµ - kx - x ) + gµ d x dt + kx - x ) = 0 ) Eξάλλου κατά την κίνηση του συστήµατος το κέντρο µάζας του έχει κάθε στιγ µή σταθερή επιτάχυνση µέτρου gηµφ, και σύµφωνα µε βασική ιδιότητα του κέντρου µάζας συνδέεται η επιτάχυνση αυτή µε τις επιταχύνσεις σώµατος και δοκαριού µέσω της σχέσεως: d x dt + m d x dt = +m )gµ 3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις ) και 3) παίρνουµε:

11 -kx - x ) + m d x dt = +m )gµ m d x dt + kx - x ) = +m )gµ 4) Οι σχέσεις 3) και 4) αποτελούν τις διαφορικές εξώσεις που καθορίζουν την κίνηση του σώµατος και του δοκαριού αντιστοίχως στο σύστηµα αναφοράς του κεκλιµένου επιπέδου. Για να λύσουµε το διαφορικό αυτό σύστηµα διαιρούµε και τα δύο µέλη της µεν ) µε της δε 4) µε m και στην συνέχεια τις αφαι ρούµε κατα µέλη, οπότε θα έχουµε: d x + k x dt m - x ) - d x + k $ # x dt m - x ) = m +m ) gµ % m d x - d x + x dt dt - x )# k + k $ = m +m ) gµ m % m d x - x ) + k m + m $ dt # x m - x ) = m +m ) gµ 5) % m Θέτοντας x -x =z η 5) γράφεται: µε d z dt + k m + m $ # z = m +m ) gµ m % m = k m + m % $ και = +m ) gµ# # m m d z dt + z = 6) Η 6) αποτελεί µια µη οµογενή γραµµική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθερούς συντελεστες και η γενική της λύση έχει την µορφή: z = / + z 0 #µ t + $) x - x = / + z 0 #µ t + $) 7) όπου z 0, θ σταθερές ολοκληρώσεως που θα προκύψουν από τις αρχικές συνθή κες κίνησης του σώµατος και του δοκαριού. Παραγωγίζοντας την 7) ως προς τον χρόνο παίρνουµε: dx dt - dx dt = z 0 #$t + %) 8) Όµως για t=0 είναι x =x =0 και dx /dt=dx /dt=0, οπότε οι 7) και 8) δίνουν: 0 = / + z 0 #µ$ 0 = z 0 %$ ) * z 0 µ = -# /$ ) % = 0 *

12 z 0 µ / = -# /$ % = / z 0 = - / % # = $ / Έτσι η σχέση 7) παίρνει την µορφή: x - x = - #µ t + $ / ) x - x = - #$%t) 9) H ) λόγω της 9) δίνει: d x - k dt - #$%t) = 0 d x = k - #$%t) dt η οποία µε ολοκλήρωση δίνει: dx dt = - k $ t - #µt ) + C % dx dt = - k $ t - #µt ) 0) % H σταθερά ολοκληρώσεως C είναι µηδενική, αφού για t=0 είναι dx /dt=0. Ολοκ ληρώνοντας την 0) παίρνουµε: x = k t + #$%t ) + + C ) * H σταθερά ολοκληρώσεως C θα προκύψει µε βάση την αρχική συνθήκη, ότι για t=0 είναι x =0, οπότε η ) δίνει: 0 = k 4 + C C = - k 4 Άρα η τελική µορφή της ) είναι: x = k x = k 4 t + #$%t ) + - * k #$%t) + kt x = m m gµ - + #$%t) + gµ k + m ) t ) Τέλος συνδυάζοντας τις σχέσεις 9) και ) µετά από πράξεις παιρνουµε τελικά την σχέση: x = gµ k + m ) - #$%t ) + gµ t 3)

13 Οι σχέσεις ) και 3) αποτελούν τις εξισώσεις κίνησης του σώµατος και του δοκαριού αντιστοίχως. P.M. fysikos