i) Nα δείξετε ότι, κάθε στιγµή οι ταχύτητες των δύο πιθήκων ως προς το ακίνητο έδαφος είναι ίσες.

Transcript

1 Δύο πιθηκάκια της ίδιας µάζας αναρριχώνται εκ της ηρεµίας κατά µήκος των τµηµάτων του αβαρούς σχοινιού, που διέρχεται από τον λαιµό µιας σταθερής τροχαλίας (σχ. ). H τροχαλία έχει αµελητέα µάζα και µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στην επιφάνειά της. i) Nα δείξετε ότι, κάθε στιγµή οι ταχύτητες των δύο πιθήκων ως προς το ακίνητο έδαφος είναι ίσες. ii) Eάν τα πιθηκάκια κινούνται ως προς το σχοινί µε σταθερές ταχύτητες () και () προς τα πάνω, να βρεθεί ο αριθµός περιστροφών της τροχαλίας v " v " σε χρόνο t *. ΛΥΣΗ: i) Κατά την αναρρίχηση των δύο πιθήκων η στροφορµή του συστήµα τος πίθηκοι-τροχαλία, περί τον άξονα περιστροφής της τροχαλίας, παραµένει σταθερή, διότι οι ροπές των βαρών των πιθήκων και της τροχαλίας περί τον άξονα αυτόν έχουν µηδενική συνισταµένη. Έτσι θα ισχύει η σχέση: L + L + L " L #"$ L + L + L - L () διότι η αρχική στροφορµή L "# του συστήµατος και η στροφορµή L " της τρο χαλίας είναι µηδενικές. Η σχέση () δηλώνει ότι, κάθε στιγµή οι στροφορµές Σχήµα L και L των δύο πιθήκων περί τον άξονα περιστροφής της τροχαλίας είναι αντίθετες, δηλαδή έχουν ίσα µέτρα, οπότε ισχύει:

2 L L mv R mv R V V () όπου R η ακτίνα της τροχαλίας, m η κοινή µάζα των πιθήκων και V, V οι ταχύτητές τους στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. ii) Aς δεχθούµε ότι το αριστερό τµήµα του σχοινιού κατέρχεται µε ταχύτητα v ως προς το ακίνητο έδαφος, οπότε η αντίστοιχη ταχύτητα του δεξιού τµήµατος θα είναι - v. Για τις σχετικές ταχύτητες v () ", v () " των πιθήκων ως προς το σχοινί θα έχουµε τις σχέσεις: v () " V + (- v ) v () " V # + (- v % $ ) &% v () " V + v #% $ v () " V - v &% διότι V - v " και V " v #. Αφαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (3) παίρνουµε: (3) () v () " - v () " V + v - V + v v () " - v () " v v [v () " - v () " ]/ (4) Εξάλλου σε χρόνο t * το µήκος του αριστερού τµήµατος του σχοινιού θα έχει αυξηθεί κατά v σ t * και η τροχαλία θα έχει περιστραφεί κατά γωνία v σ t * /R, οπότε ο αντίστοιχος αριθµός περιστροφών n της τροχαλίας θα είναι: n v t * / R " (4) n [v () " - v () " ]t * 4#R P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος () το σώµα Σ έχει µάζα m και είναι δεµένο στο ένα άκρο αβαρούς και µη εκτατού νήµα τος, το οποίο διέρχεται από το αυλάκι µιας ελεύθερης τροχαλίας µάζας Μ και ακτίνας R, ενώ το άλλο του άκρο είναι στερεωµένο στο έδαφος. Εφαρµόζοντας στον άξονα της τροχαλίας κατακόρυφη προς τα πάνω δύναµη αναγκάζουµε το σώµα να ανέρχεται µε σταθερή επι τάχυνση a - g /. i) Nα βρεθεί η δύναµη που θέτει σε κίνηση το σύστηµα. ii) Ποιο κλάσµα του έργου που παράγει η δύναµη σε ορισµένο χρόνο, κατά τον οποίο το σύστηµα κινείται εκ της ηρεµίας, απορροφάται από την τροχαλία; Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας, η ροπή αδρά νειας ΙΜR / της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της και ότι το νήµα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της.

3 ΛΥΣΗ: i) Το σώµα κινείται υπό την επίδραση του βάρους του m g και της τά σεως T του νήµατος που το συγκρατεί, συµφωνα δε µε τον δεύτερο νόµο κίνη σης του Νεύτωνα θα ισχύει η σχέση: T - mg mg/ T 3mg/ () Eξάλλου η τροχαλία δέχεται το βάρος της M g, την ζητούµενη δύναµη F, την τάση Q του νήµατος που είναι στερεωµένο στο έδαφος και την τάση - T του Σχήµα νήµατος που συνδέεται µε το σώµα Σ. Υπό την επίδραση των δυνάµεων αυτών η τροχαλία εκτελεί επίπεδη κίνηση, που αναλύεται σε µια κατακόρυφη προς τα πάνω µεταφορική κίνηση και σε µια περιστροφική κίνηση περί τον άξονά της. Για την µεταφορική κίνηση της τροχαλίας, συµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνη σης του Νεύτωνα θα έχουµε την σχέση: () F - T - Q - Mg Ma F - 3mg/ - Q - Mg Ma F - Q Ma + Mg + 3mg/ () όπου a η επιτάχυνση του κέντρου της τροχαλίας. To γεγονός ότι, κατά την κίνηση της τροχαλίας το σηµείο επαφής της Β µε το νήµα παραµένει ακίνητο, µας αναγκάζει να δεχθούµε ότι η περιστροφή της είναι αριστερόστροφη, διότι τότε µόνο είναι δυνατόν η µεταφορική ταχύτητα του σηµείου Β να είναι αντί θετη της ταχύτητάς του λόγω περιστροφής. Εφαρµόζοντας για την τροχαλία τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: QR - TR MR '/ Q - T MR'/ (3) όπου ' η γωνιακή της επιτάχυνση. Όµως η εφαπτοµενική επιτάχυνση του σηµείου Β της τροχαλίας είναι µηδενική, που σηµαίνει ότι η επιτάχυνση του σηµείου αυτού λόγω της µεταφορικής κίνησης της τροχαλίας είναι αντίθετη

4 της επιτρόχιας επιτάχυνσής του, λόγω περιστροφής της τροχαλίας, δηλαδη ισχύει η σχέση: a - 'R a 'R οπότε η (3) γράφεται: () Q - T Ma / Q - 3mg/ Ma / Q Ma / + 3mg/ (4) Εστιάζοντας την προσοχή µας στο σηµείο Α επαφής της τροχαλίας µε το νήµα που συγκρατεί το σώµα, παρατηρούµε ότι η εφαπτοµενική επιτάχυνση του σηµείου αυτού είναι - g / και εποµένως για το σηµείο αυτό ισχύει: g/ a + 'R g/ a a g/4 οπότε η (4) γράφεται: Q Mg/8 + 3mg/ (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (5) παίρνουµε: F - Mg/8-3mg/ Ma + Mg + 3mg/ F Mg/4 + 9Mg/8 + 6mg/ F (M + 4m)g/8 (6) Παρατήρηση: Mπορούµε να υπολογίσουµε την δύναµη F εφαρµόζοντας στο σύστηµα το θεώ ρηµα κινητικής ενέργειας-έργου κατά τον χρόνο t που το σώµα Σ µετατοπίζε ται προς τα πάνω κατά h, ξεκινώντας από την ηρεµία. Στον χρόνο αυτόν το κέν τρο της τροχαλίας µετατοπίζεται προς τα πάνω κατά h και θα ισχύει: h a t / gt / 8 h/ Εξάλλου το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου δίνει: Mv + MR + mv " W + W F M g + W m g Mv + 3Mv 4 Mv + mv + mv Fh - Mgh - mgh Fh/ - Mgh/ - mgh (7) όπου v v οι ταχύτητες του κέντρου της τροχαλίας και του σώµατος Σ αντι στοίχως την χρονική στιγµή t και η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα της τρο χαλίας. Όµως για τα µέτρα των ταχυτήτων v και v ισχύουν οι σχέσεις:

5 και v a h (g/4)(h / ) gh/4 v (g/)h gh οπότε η (7) γράφεται: 3M(gh/4) 4 + mgh Fh/ - Mgh/ - mgh 3Mg 6 + mg F - Mg Mg - mg 6 + 3mg F Mg + 4mg 8F F (M + 4m)g/8 ii) Eάν σε χρόνο t το σώµα Σ µετατοπίζεται εκ της ηρεµίας κατά h τότε η αντί στοιχη αύξηση ΔΕ µηχ της µηχανικής ενέργειας της τροχαλίας είναι; E µ"# Mv + MR $ + Mgh Mv + Mv 4 + Mgh E µ"# 3Mv 4 + Mgh 3M(gh/4) 4 + Mgh Mgh 6 To έργο W F που παράγει η δύναµη F στον χρόνο t δίνεται από την σχέση: (8) W F Fh Fh/ (6) W F (M + 4m)gh/6 (9) Διαιρώντας κατά µέλη τις (8) και (9) παίρνουµε: E µ"# W F Mgh/6 (M + 4m)gh/6 E µ"# W F M M + 4m < P.M. fysikos Από τροχό ακτίνας R, ο οποίος κυλίεται ισοταχώς σε οριζόντιο έδαφος µε ταχύτητα v, εκτοξεύεται ένα µικρό σωµα τίδιο. Να δείξετε ότι εάν v Rg, το µέγιστο ύψος h max από το έδαφος στο οποίο µπορεί να φθάσει το σωµατίδιο, δίνεται από την σχέση: h max R + gr v + v g όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Aς δεχθούµε ότι το σωµατίδιο αποσπάται στο σηµείο Μ του κυλιόµε νου τροχού, του οποίου η επιβατική ακτίνα M ως προς το κέντρο σχηµατί

6 ζει γωνία φ µε την κατακόρυφη διεύθυνση E. (σχ. 3). Για φ η θέση του Μ είναι το σηµείο επαφής Ο του τροχού µε το έδαφος. Για π/<φ<π οι συντεταγ µένες του Μ ως προς το ορθογώνιο σύστηµα Οxy είναι: x M OE - OM x R - R"#$( - %/)' ( y M OM y R + R&µ ( - %/) ) x M R( - "µ) & ' y M R( - #$%)( H ταχύτητα απoσπάσεως v του σωµατιδίου Μ προκύπτει ως συνισταµένη της µεταφορικής του ταχύτητας v και της ταχύτητάς του v, λόγω περιστροφής του τροχού. Η κατακόρυφη συνιστώσα της v έχει µέτρο που δίνεται από την σχέση: v y v y v "#$% v "#$(& - /) v y v µ" () () Σχήµα 3 Το σωµατίδιο εκτελεί πλάγια βολή µέσα στο πεδίο βαρύτητας της Γης και την στιγµή που βρίσκεται στο ανώτατο σηµείο της παραβολικής του τροχιας η y- συντεταγµένη του δίνεται από την σχέση: (),() y A y M + v y /g y A R( - "#$) + v %µ $ / g gy A Rg( - "#$) + v ( - "# $) v "# $ + Rg"#$ + gy A - Rg - v (3) H (3) αποτελεί µια εξίσωση δευτέρου βαθµού ως προς συνφ και έχει φυσικό νόη µα εφ όσον η διακρίνουσά της είναι µη αρνητική, δηλαδή πρέπει να ισχύει: 4R g - 4v (gy A - Rg - v ) R g - v gy A + Rgv + v 4 R g + Rgv + v 4 v gy A y A R g v + R + v g y R g max v + R + v g (4)

7 Όταν όµως το σωµατίδιο βρίσκεται στην µεγαλύρερη απόσταση h max από το έδαφος η εξίσωση (3) θα έχει διπλή ρίζα, που δίνεται από τηn σχέση: "#$ - Rg v - Rg v (5) Όµως π/<φ<π, δηλαδη -<συνφ<, η οποία συνδυαζόµενη µε την (5) δίνει: - < - Rg v < > Rg v v > Rg P.M. fysikos Tρεις απολύτως όµοιες οµογενείς σφαίρες κρατούν ται ακίνητες, ώστε ανά δύο να εφάπτονται µεταξύ τους και οι δύο από αυτές να εφάπτονται σε οριζόντιο έδαφος. Κάποια στιγµή οι σφαί ρες αφήνονται ελεύθερες και αρχίζουν να κινούνται. Εάν µεταξύ των σφαιρών δεν υπάρχει τριβή, ενώ η τριβή των σφαιρών µε το έδαφος επαρκεί ώστε να επιτρέπει σ αυτές να κυλίωνται χωρίς ολίσθηση, να βρείτε τις επιταχύνσεις των κέντρων των σφαιρών σε συνάρτηση µε την γωνία φ που σχηµατίζει η διάκεντρος δύο εφαπτόµενων σφαιρών µε την κατακόρυφη διεύθυνση. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτη τας και η ροπή αδράνειας ΙmR /5 µιας οµογενούς σφαίρας µάζας m και ακτίνας R, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της. ΛΥΣΗ: Eξετάζουµε το σύστηµα όταν οι διάκενροι και σχηµατίζουν µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ. Την στιγµή αυτή η υπερκείµενη σφαίρα κέντρου δέχεται το βάρος της m g και τις δυνάµεις επαφής N, N από τις σφαίρες που εφάπτονται του οριζόντιου εδάφους, των οποίων οι φορείς διέρχον ται από το κέντρο (σχ. 5), διότι µεταξύ των σφαιρών δεν υπάρχει τριβή. Επειδή οι ροπές των τριών αυτών δυνάµεων περί το κέντρο είναι µηδενικές, Σχήµα 4 Σχήµα 5 η υπερκείµενη σφαίρα δεν στρέφεται περί το. Eξάλλου κατά την οριζόνια διεύθυνση η σφαίρα αυτή δεν κινείται, διότι οι οριζόντιες συνιστώσες N x, N x των N και N αλληλοαναιρούνται για λόγους συµµετρίας. Μπορεί όµως η

8 σφαίρα να κινείται κατα την κατακόρυφη διευθυνση y και συµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει: mg - N y - N y ma mg - N "#$ - N "#$ ma mg - N"#$ ma N (mg - ma)/"#$ () όπου Ν το κοινό µέτρο των δυνάµεων N και N και a η επιτάχυνση της υπερ κείµενης σφαίρας. Εξετάζοντας την σφαίρα κέντρου διαπιστώνουµε ότι, αυτή δέχεται το βάρος της m g, την δύναµη επαφής από το οριζόντιο έδαφος που αναλύεται στην τριβή T και στην κάθετη αντίδραση N και τέλος την δύναµη επαφής N ' από την υπερκείµενη σφαίρα, η οποία σύµφωνα µε τον τρίτο νόµο του Νεύτωνα είναι αντίθετη της N (σχ. 4). Η τριβή T έχει ροπή περί το κέντρο της σφαίρας αυτής που της προσδίνει αριστερόστροφη περιστροφική κίνηση και σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της περιστροφικής κίνησης θα ισχυει: TR mr ' / 5 T mr' / 5 () όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας. Όµως η σφαίρα αυτή επιταχύνε ται κατά την οριζόντια διεύθυνση και σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νεύ τωνα θα ισχύει: () N' x - T ma N' µ" - T ma N µ" - mr#' / 5 ma (3) όπου a η επιτάχυνση του κέντρου της σφαίρας. Eπειδή η σφαίρα κυλίεται χωρίς ολίσθηση ισχύει a ω R, οπότε η (3) γράφεται: N µ" - ma / 5 ma N µ" 7ma / 5 N 7ma / 5µ" (4) Συνδυάζοντας τις () και (4) παίρνουµε την σχέση: 7ma mg - ma 5µ" #$%" a 5(g - a)µ" 4#$%" (5) Όµως το µήκος της διακέντρου παραµένει σταθερό στην διάρκεια που η υπερκείµενη σφαίρα διατηρεί την επαφή της µε τις άλλες δύο σφαίρες και αυτό µας επιτρέπει να ισχυριστούµε ότι οι συνιστώσες των a και a κατά την διεύ θυνση της είναι ίσες, δηλαδή ισχύει: a"#$ a "#(% / - $) a a"#$ /%µ$ (6) Συνδυάζοντας τις (5) και (6) έχουµε:

9 a"#$ %µ$ 5(g - a)%µ$ 4"#$ a(4"# $ + 5%µ $) 5g%µ $ a 5gµ " 9#$% " + 5 (7) Συνδυάζοντας τέλος τις (6) και (7) παίρνουµε: a 5gµ " & 9#$% ( " + 5 ' #$%" µ" ) + a 5gµ"#$%" * 9#$% " + 5 µ " & 5g) 9#$% ( + " + 5 ' * P.M. fysikos Θεωρούµε τις τρεις σφαίρες του προηγούµενου θεµατος, όπου η τριβή µεταξύ των σφαιρών και του οριζοντίου εδά φους είναι ασήµαντη, ενώ η τριβή µεταξύ των σφαιρών που εφάπτον ται επαρκεί ώστε η µια να µη ολισθαίνει επί της άλλης. Αρχικά οι σφαίρες κρατούνται ακίνητες, ώστε ανά δύο να εφάπτονται µεταξύ τους και κάποια στιγµή αφήνονται ελεύθερες. Να βρείτε τις επιταχύν σεις των κέντρων των σφαιρών σε συνάρτηση µε την γωνία φ που σχη µατίζει η διάκεντρος δύο εφαπτόµενων σφαιρών µε την κατακόρυφη διεύθυνση. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Εξετάζοντας την υπερκείµενη σφαίρα κατά την στιγµή t που το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο, παρατηρούµε ότι αυτή δέχεται το βάρος της m g και τις δυνάµεις επαφής από τις δύο άλλες σφαίρες, οι οποίες αναλύονται στις τριβές T, T και στις κάθετες αντιδράσεις N, N (σχ. 7). Για λόγους συµµετ ρίας µπορούµε να ισχυριστούµε ότι οι ροπές των T, T περί το κέντρο είναι αντίθετες, που σηµαίνει ότι η σφαίρα δεν µπορεί να περιστρέφεται περί το κέν τρο της, αφού και οι αντίστοιχες ροπές των N, N και m g είναι µηδενικές. Σχήµα 6 Σχήµα 7 Επί πλέον οι οριζόντιες συνιστώσες των δυνάµεων T, T καθώς και των δυνά µεων N, N είναι αντίθετες, που σηµαίνει ότι η σφαίρα δεν µπορεί να κινηθεί

10 κατα την οριζόντια διεύθυνση. Άρα η µόνη δυνατή κίνηση της σφαίρας είναι η προς τα κάτω κατακόρυφη µετατόπισή της. Εφαρµόζοντας για την σφαίρα τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση: mg - T y - T y - N y - N y ma mg - T µ" - T µ" - N #$%" - N #$%" ma mg - Tµ" - N#$%" ma () όπου a η επιτάχυνση της σφαίρας κατά την στιγµή που την εξετάζουµε, φ η αντίστοιχη γωνία των διακέντρων, µε την κατακόρυφη διεύθυνση, Τ το κοινό µέτρο των δυνάµεων T, T και Ν το κοινό µέτρο των δυνάµεων N, N. Εξετάζοντας την ίδια στιγµή την σφαίρα κέντρου, παρατηρούµε ότι αυτή δέχεται το βάρος της m g, την κατακόρυφη δύναµη επαφής N από το ορι ζόντιο έδαφος και την δύναµη επαφής από την υπερκείµενη σφαίρα, η οποία αναλύεται στην τριβή T ' αντίθετη της T και την κάθετη αντίδραση N ' αντίθετη της N (αξίωµα δράσης-αντίδρασης). Η ροπή της T ' περι το κέντρο προσδίδει στην σφαίρα δεξιόστροφη περιστροφική κίνηση και σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα ισχύει: T' R mr ' / 5 T' mr' / 5 T mr' / 5 () όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας. Όµως η σφαίρα αυτή έχει µετα φορική κίνηση κατά την οριζόντια διεύθυνση και σύµφωνα µε τον δεύτερο νό µο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει η σχέση: N' x - T' x ma N' µ" - T' #$%" ma () Nµ" - T#$%" ma Nµ" - mr#' $%&"/ 5 ma (3) όπου a η επιτάχυνση της σφαίρας την στιγµή που την εξετάζουµε. Επειδή η σφαίρα αυτή κυλίεται χωρίς ολίσθηση ισχύει a ω R, οπότε η (3) γράφεται: Nµ" - ma #$%"/ 5 ma 5Nµ" 5ma +ma #$%" N ma (5 +"#$)/ 5%µ$ (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (4) παίρνουµε: µ" mg - 4ma 5 - ma (5 +#$%")#$%" 5µ" ma 5mgµ" - 4ma µ " - ma (5 +#$%")#$%" 5maµ" 5gµ" - a (µ " + #$% " +5#$%") 5aµ"

11 5gµ" - a ( +5#$%") 5aµ" (5) Όµως το µήκος της διακέντρου παραµένει σταθερό στην διάρκεια που η υπερκείµενη σφαίρα διατηρεί την επαφή της µε τις άλλες δύο σφαίρες και αυτό µας επιτρέπει να ισχυριστούµε ότι οι συνιστώσες των a και a κατά την διεύ θυνση της είναι ίσες, δηλαδή ισχύει: a"#$ a "#(% / - $) a a"#$ /%µ$ (6) Συνδυάζοντας τις (5) και (6) έχουµε: 5gµ" - a #$%" µ" ( +5#$%") 5aµ" 5gµ " - a#$%"( +5#$%") 5aµ " 5gµ " a(5µ " + 4#$%" +#$% ") & 5µ " ) a g( ' 5 + 4#$%" +5#$% + (7) "* Συνδυάζοντας τις (6) και (7) παίρνουµε: a & 5µ " ) g( ' 5 + 4#$%" +5#$% + "* #$%" µ" & 5µ"#$%" ) a g( ' 5 + 4#$%" +5#$% + g & 5µ" ) ( "* ' 5 + 4#$%" +5#$% + "* P.M. fysikos