Κυκλώματα και βασικές Ιδιότητες
|
|
- Σωσιγένης Μεταξάς
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κυκλώματα και βασικές Ιδιότητες
2 Κύκλωμα C Κατευθυνόμενος ακυκλικός γράφος με n πηγές (κάθε μία αντιστοιχεί σε ένα bit εισόδου) και μία καταβόθρα (το bit εξόδου). Οι ενδιάμεσοι κόμβοι αντιστοιχούν σε κάποια βασική πύλη, οι εισερχόμενες ακμές αντιστοιχούν στις εισόδους της πύλης και οι εξερχόμενες στο αποτέλεσμα της πύλης. Μέγεθος του κυκλώματος S C είναι το πλήθος των πυλών και βάθος d C το μεγαλύτερο μονοπάτι από κάποια πηγή στην καταβόθρα. Οι πύλες είναι απλές συναρτήσεις κάποιας βάσης (π.χ. AND, OR, NOT) πεπερασμένου ή μη φραγμένου fan-in.
3 Ανομοιόμορφος Υπολογισμός Κάθε κύκλωμα αντιστοιχεί σε ένα μήκος εισόδου Οικογένεια άπειρων κυκλωμάτων για τον υπολογισμό μίας γλώσσας Μπορούν να υπολογίσουν κάθε γλώσσα με οικογένειες κυκλωμάτων το πολύ εκθετικού μεγέθους (καλύτερο γνωστό φράγμα 2n n n=0 C n 1 + o 1 ), ή αλλιώς L: L SIZE[ 2n n ] Πιο ισχυρά από μηχανές Turing μη ρεαλιστικό μοντέλο!
4 Χρειαζόμαστε μεγάλα κυκλώματα; Υπάρχουν 2 2n συναρτήσεις n εισόδων. Υπάρχουν 2 SlogS κυκλώματα μεγέθους S. Οπότε πρέπει να υπάρχει τουλάχιστον ένα με ελάχιστο μέγεθος 2n n προηγούμενο φράγμα δε βελτιώνεται). (άρα το Στην πραγματικότητα σχεδόν όλα είναι τόσο μεγάλα καθώς ακόμη και για S = 2n n c είναι 2 SlogS 2 2n 1 2
5 Κυκλωματική Ιεραρχία Με επιχείρημα παραγεμίσματος (padding) προκύπτει ότι για κάθε 2n n > S 1 n > 16,9 S 2 (n) > n είναι SIZE S 2 n SIZE S 1 n Μάλιστα, το SIZE S 1 n SIZE S 2 n! έχει εκθετικά περισσότερες συναρτήσεις από το
6 Οπότε ας ορίσουμε κλάσεις! Πιο διάσημη: P /poly = c>0 SIZE[n c ] «εφικτός ανομοιόμορφος υπολογισμός» Χρειαζόμαστε κι άλλες παραμέτρους για τον ορισμό περισσότερων κλάσεων (όπου θεωρούμε πάντοτε τη μη ομοιόμορφη εκδοχή).
7 Παραλληλία-Κλάση NC NC i : SIZE[n c ] με d n O(log i n) και πύλες NAND σταθερού fan-in. NC = i 0 NC i Αντιστοιχεί στην αποδοτική παράλληλη εκτέλεση χρόνου log i n. H NC 0 είναι τετριμμένα αδύναμη, καθώς μπορεί να εξαρτάται μόνο από D = 2 O 1 = O 1 bits εισόδου. Σημείωση: Στην καθιερωμένη σημειογραφία, το NC, αντιστοιχεί στην ομοιόμορφη εκδοχή της παραπάνω κλάσης, όμως, όπως αναφέραμε, εμείς εννοούμε εδώ πάντοτε τη μη ομοιόμορφη εκδοχή.
8 Πολλή Παραλληλία Κλάση AC AC i : SIZE[n c ] με d n O(log i n) και πύλες μη φραγμένου fan-in. AC = i 0 AC i H AC 0 δεν είναι τετριμμένη πλέον Παραλληλία σταθερού βάθους. NC 0 AC 0 NC i AC i NC i+1 (γνησιότητα γνωρίζουμε μόνο για i = 0) Βέβαια: NC = AC
9 Εξωτικές Πύλες Κλάσεις ACC, TC Γενικά επιτρέπουμε οι χρησιμοποιούμενες πύλες απεριόριστου fan-in να είναι συμμετρικές, δηλαδή να είναι μια (απλή) συνάρτηση του πλήθους των εισόδων που είναι 1: sum = n i=1 x i ACC(i 1, i 2, i k ): Όπως το AC αλλά με ένα C παραπάνω: MOD ij x 1,, x n = 1 sum 0 (mod i j ) TC: Πύλες πλειοψηφίας (νευρωνικά δίκτυα) Τ x 1,, x n = 1 sum > n 2
10 Τρέχουσα Ιεραρχία NC i AC i ACC i TC i NC i+1 Γνωρίζουμε μόνο ότι NC 0 AC 0 ACC 0. Όλα τα υπόλοιπα θα μπορούσαν να καταρρέουν σε σταθερό βάθος: ACC 0, TC 0 0 Γνωρίζουμε κάποια ενδιάμεσα αποτελέσματα, όπως π.χ. ότι TC d=2 TC d=3 0 AC 0, κ.ο.κ. TC d=2 0,
11 Κυκλώματα για Υπολογιστές Είναι DTIME T n SIZE[T 2 n ]. Η απόδειξη χρησιμοποιεί παρόμοιες τεχνικές με την απόδειξη ότι το 3 SAT είναι NP-πλήρες Για κάθε χρονική στιγμή προσομοιώνουμε όλο το configuration της μηχανής με μία στήλη πυλών μήκους T(n) (μία για κάθε κελί της ταινίας και μερικές ακόμη για τη τρέχουσα κατάσταση). Κάθε επόμενη στήλη εξαρτάται μόνο από τα στοιχεία της προηγούμενης και το τέως τρέχον κελί. Kάθε κελί εξαρτάται από τα γειτονικά του μόνο. Τετριμμένο κύκλωμα σταθερού μήκους που ελέγχει αν η κατάσταση στη τελική στήλη είναι κατάσταση αποδοχής.
12 Κυκλώματα Φόρμουλες Για κάθε είσοδο παίρνουμε μία μεταβλητή x i και για κάθε σύρμα φτιάχνουμε μια νέα μεταβλητή y i. Έτσι για μια πύλη NAND, αν y 1, y 2 οι είσοδοι και y o η έξοδος, «αντικαθιστούμε» την πύλη με τον όρο y 1 y 2 y 0. Για τις σταθερές εισόδους θέτουμε αντίστοιχους όρους (π.χ. x 1 = 1 για το πιστοποιητικό τίποτα). Κι αν y output το σύρμα εξόδου προσθέτουμε τον όρο y output = 1. x 2 = 0 και Όλα τα παραπάνω θρισατοποιούνται ομοιομορφότατα σε μια τελική έκφραση μήκους O(SIZE OFCIRCUIT )
13 T n logt(n) Στα κυκλώματα είναι αναμενόμενο να υπάρχει ένα υπερκέφαλο (overhead) καθώς όλη η ιστορία της μηχανής είναι γραμμένη και παρέχεται όλη μαζί σε μορφή πυλών (οι οποίες παίρνουν μια μοναδική τιμή και δε μπορούν να επαναχρησιμοποιηθούν). Από την άλλη, σε όλες αυτές τις προσομοιώσεις, παίρνουμε T 2 (n) συνολικές επαναλήψεις, ενώ συμβαίνουν μόνο T(n) αλλαγές κι άρα το μεγαλύτερο ποσοστό των στοιχείων παραμένει τον περισσότερο χρόνο αναλλοίωτο. Θα δούμε πώς μπορούμε να προσομοιώσουμε τις ολισθήσεις μιας μηχανής χρησιμοποιώντας O T n logt n βήματα.
14 T n logt(n) Χωρίζουμε την ταινία σε εκατέρωθεν ζώνες διπλασιαζόμενου μεγέθους (άρα συνολικά O(logT) ζώνες). L i = R i = 2 2 i Εισάγουμε ένα νέο σύμβολο για να συμβολίσουμε το άδειο στοιχείο (διαφορετικό από το σύμβολο κενού ). Φροντίζουμε κάθε στιγμή: Κάθε ζώνη να είναι είτε άδεια, είτε μισή, είτε ολόκληρη. Κάθε ζώνη μαζί με την αντίπερα της να έχουν άθροισμα μια ολόκληρη. Στο κέντρο να υπάρχει το τρέχον κελί (πάντα γεμάτο).
15 T n logt(n) Κάθε φορά που κάνουμε ολίσθηση αριστερά, βρίσκουμε το πρώτο μη κενό R j και κουβαλάμε τα 2 j αριστερότερα στοιχεία του στα R 0, R 1,, R j 1 έτσι ώστε να είναι όλα μισά (και φέρνουμε το αριστερότερο στο κέντρο). Όμοια λόγω της συμπληρωματικότητας, όλα τα L 0, L 1,, L j 1 ήταν γεμάτα, οπότε τα σπρώχνουμε όλα, ώστε να γίνουν όλα μισά και το L j (που δεν ήταν γεμάτο) να πάρει 2 j επιπλέον στοιχεία. Όλες οι αναλλοίωτες διατηρούνται και χρειαστήκαμε O(2 j ) πράξεις για την ολίσθηση (αντί για O T ).
16 T n logt(n) Για να ξαναδιαλεχθεί το j ως η πρώτη μη κενή ζώνη θα πρέπει να γίνουν μετά από μια τέτοια ολίσθηση τουλάχιστον άλλες 1 2 R 0 + R R j 1 2 j 1 Άρα για κάθε δείκτη j η αντίστοιχη ζώνη επιλέγεται για το πολύ T/2 j 1 φορές, οπότε το συνολικό κόστος είναι το πολύ K logt j=0 T 2 j 1 2j = O(TlogT) Η προσομοίωση μπορεί επίσης να εκφραστεί με ομοιόμορφη φόρμουλα και κύκλωμα ίδιου μήκους.
17 Υπολογιστές για Κυκλώματα;; Δε γνωρίζουμε την ακριβή σχέση μεταξύ P /poly και οποιασδήποτε ομοιόμορφης κλάσης DTIME[n ω 1 ]. Ακόμη περισσότερο δε γνωρίζουμε καν τη σχέση του με το NP. Γνωρίζουμε μόνο ότι υπάρχει μια συνάρτηση στο NP που θέλει κυκλώματα μεγέθους τουλάχιστον 5n. Εικασία Kolmogorov: P SIZE[O n ]
18 Μέχρι στιγμής: Τα κυκλώματα δεν αντιστοιχούν σε ρεαλιστικό μοντέλο, λόγω ανομοιομορφίας... Προσομοιώνουν με έστω μικρό υπέρβαρο κλάσεις για τις οποίες έχουμε ήδη ρεαλιστικό μοντέλο Δε γνωρίζουμε αν μπορούν να προσομοιώσουν αποδοτικά πιο μεγάλες κλάσεις (και πιστεύεται πως δεν μπορούν) Έχουν καμιά επιπλέον χρησιμότητα;
19 Λόγω ανομοιομορφίας BPP P /poly Για r(n) τυχαία bits έχουμε ότι υπάρχουν 2r n δυνατές τιμές τους. Κάνουμε το σφάλμα 2 n2 κι έχουμε ότι για κάθε ξεχωριστή είσοδο, μόνο 2 r n n2 από τις τυχαίες τιμές δίνουν λάθος αποτέλεσμα. Επομένως υπάρχουν συνολικά 2 r n n2 2 n 2r n λάθος τυχαίες τιμές για ένα μήκος εισόδου n. Διαλέγουμε μία που να είναι ορθή για όλες τις εισόδους αυτού του μήκους. Δε γνωρίζουμε αν BPP = P, αλλά μπορούμε να δείξουμε ότι υπάρχει ένας καλός αντιπρόσωπος για κάθε είσοδο ενός δεδομένου μήκους, άρα υπάρχει και μια οικογένεια κυκλωμάτων (προφανώς μη ομοιόμορφα κατασκευάσιμη (μέχρι στιγμής)).
20 Με μικρό υπέρβαρο Τα κυκλώματα θα προέκυπταν συγκλονιστικά εκφραστικά αν είχαμε αποτελέσματα της μορφής: NP P /poly PSPACE P /poly EXP P /poly Ένα τέτοιο αποτέλεσμα θα σήμαινε ότι πληροφορία που δε μπορεί να παραχθεί ομοιόμορφα για κάθε μήκος εισόδου, έχει υπολογιστική ομοιομορφία (συμπύκνωση για το ΤΤ) για κάθε μήκος ξεχωριστά.
21 Συμπύκνωση Η παραδοσιακή συμπίεση βρίσκει σε μια συμβολοσειρά επαναλήψεις α = 01, β = 10, γ = α 4, δ = β 4, ε = γδ 2 Η κυκλωματική συμπύκνωση βρίσκει σε μια συμβολοσειρά υπολογιστικές επαναλήψεις Πιο ισχυρή από τη συμπίεση.
22 NEXP x L αν και μόνο αν y: y < 2 no 1 μηχανή πολυωνυμικού χρόνου. M x, y = 1 όπου M ντετερμινιστική Το x καλείται στιγμιότυπο του προβλήματος και το y πιστοποιητικό του (σαν το NP μόνο που το πιστοποιητικό είναι εκθετικού μήκους). Γενικά όταν το X είναι NP-πλήρες πρόβλημα, το succinct-x είναι NEXP-πλήρες.
23 succinct SAT Η είσοδος δεν είναι πλέον ένα SAT, αλλά η συμπίεση ενός SAT ερωτήματος σε μορφή κυκλώματος (άρα η περιγραφή της συμπύκνωσης του). Στιγμιότυπο: ένα κύκλωμα n εισόδων, το οποίο για κάθε είσοδο i, επιστρέφει τη περιγραφή του i-οστού όρου (clause) μίας SAT έκφρασης 2 n μήκους (και 2 n μεταβλητών). Σημείωση: Όταν η είσοδος μας είναι μήκους N, τότε το ποσοστό των succinct SAT ερωτημάτων μήκους 2 N είναι πάρα πολύ μικρότερο από όλα τα ερωτήματα σχετικού μήκους.
24 Το succinct-sat είναι NEXP-πλήρες. Υπάρχει ισοδύναμη 3-SAT για το NEXP ακριβώς όπως στην απόδειξη για τα NPπλήρη προβλήματα. Μένει μόνο να δείξουμε πως είναι συμπυκνώσιμη: Προκύπτει από τοπική και χρονική επαναληψιμότητα μιας μηχανής Turing.
25 Παράδειγμα: Για παράδειγμα: n = 100, y = 2 30 και χρόνου T = Ψάχνουμε τον i = οστό όρο του αντίστοιχου 3-SAT. Ισοδύναμα την i = οστή πύλη του αντίστοιχου ισοδύναμου κυκλώματος μεγέθους 2 O(n). Έχουμε ότι για κάθε στήλη ξοδεύουμε π.χ μεταβλητές και πύλες, ΟΙ ΟΠΟΙΕΣ ΕΠΑΝΑΛΑΜΒΑΝΟΝΤΑΙ ΑΛΛΑΖΟΝΤΑΣ ΜΟΝΟ ΤΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ mod 2 35 = Άρα η πύλη είναι ίδια με το j = ό στοιχείο κάθε στήλης. ΟΜΩΣ ΚΑΙ ΚΆΘΕ ΣΤΗΛΗ ΕΠΑΝΑΛΑΜΒΑΝΕΤΑΙ ΚΆΘΕ n 2 = ΘΕΣΕΙΣ mod = 5126
26 Παράδειγμα (συνέχεια) Επομένως για να βρούμε την οστή πύλη του κυκλώματος: Βρίσκουμε ότι ισούται με την οστή πύλη κάθε στήλης Η οποία ισούται με την 5126-οστή πύλη ενός σταθερού επαναλαμβανόμενου κυκλώματος μεγέθους θέσεων Όλα σε πολυωνυμικό (ως προς το μήκος εισόδου) χρόνο. Αν μπορούμε να βρούμε εύκολα την αντίστοιχη πύλη, μπορούμε εύκολα να βρούμε και τις αντίστοιχες μεταβλητές του SAT-όρου. Επειδή όλα τα παραπάνω είναι ομοιόμορφα (με εξαίρεση το κύκλωμα μεγέθους θέσεων που εξαρτάται από τη περιγραφή της μηχανής), μπορούμε εύκολα να κατασκευάσουμε ένα κύκλωμα μεγέθους poly(100) που παράγει στο ΤΤ της όλη την ισοδύναμη 3-SAT.
27 ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (για το μέλλον) Η παραγόμενη 3 SAT έχει βάσει των προηγούμενων μήκος T 2 (n). Προκύπτει ότι μπορούμε να διατηρήσουμε όλη αυτή την ομοιομορφία ακόμη και για τη περίπτωση του T n logt n! Έτσι το κύκλωμα που συμπυκνώνει την ισοδύναμη 3 SAT μπορεί να έχει πολυωνυμικό μέγεθος και π.χ. για T n = 2 nc, μόλις n c + klogn bits εισόδου.
28 Γιατί να μελετήσουμε τα κυκλώματα; Παντρευόμαστε ώστε να λύνουμε από κοινού τα προβλήματα που μας έφερε ο γάμος. Τα κυκλώματα, σε αντίθεση με τις μηχανές, παρέχουν όλες τις πράξεις της εκτέλεσης απέναντι από τον ερευνητή. Πιο εύκολη εξαγωγή συνδυαστικών/περιοριστικών επιχειρημάτων, από ό,τι σε μια κρυψίνουν αναδρομή. ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΑΠΌ ΌΛΑ
29 Τα κυκλώματα δε σχετικοποιούνται! Βασικό στοιχείο της σχετικοποίησης (ή αλλιώς ρελατιβαϊζέισιον) είναι ότι χρησιμοποιείται ως είσοδος η περιγραφή μιας άλλης μηχανής και το άτοπο προκύπτει όταν η είσοδος είναι η περιγραφή της ίδιας της μηχανής. Λόγω της ανομοιομορφίας των κυκλωμάτων, δε μπορούμε να δώσουμε ως είσοδο σε ένα κύκλωμα ένα ισοδύναμο μικρότερου μεγέθους (καθώς η περιγραφή του θέλει τουλάχιστον SlogS χώρο). Ακόμη περισσότερο, η μηχανή που δίνεται ως είσοδος αντιμετωπίζεται ως μαύρο κουτί (επεμβαίνουμε μόνο στις εισόδους και στην έξοδο του). Τα κυκλώματα είναι κατ εξοχήν μοντέλα που παρουσιάζεται όλη η λειτουργία και οι λεπτομέρειες του υπολογισμού αυτούσια στον ερευνητή.
30 NP vs P /poly Το να δειχθεί ότι NP P /poly είναι πιο ισχυρό από το NP P, αλλά φαίνεται πιο φιλικό στον χρήστη (και πιο ελπιδοφόρο από τις απλές αυτοαναφορικές τεχνικές)... Άλλωστε, πιστεύεται για παρόμοιους λόγους, ότι NP P /poly καθώς αλλιώς PH = Σ 2 P (περισσότερα επί τούτου αργότερα). Σε κάθε περίπτωση, δεν είναι χάσιμο χρόνου εκ πρώτης όψεως.
31 Κρατάμε ότι: 1. Μπορούμε να ορίσουμε διάφορες κυκλωματικές κλάσεις, υποσύνολα του P /poly θέτοντας περιορισμούς στο βάθος, στο fanin ή στο είδος των πυλών. 2. Κάθε NEXP ερώτημα χρόνου T(n) μπορεί να αναχθεί σε ένα στιγμιότυπου του succinct SAT όπου το αντίστοιχο κύκλωμα έχει log T n logt n bits εισόδου. 3. Τα κυκλώματα δε φυσικοποιούνται και άρα αποτελούν δελεαστικούς διάδοχους των διαγώνιων επιχειρημάτων για την αντιμετώπιση μεγάλων ανοιχτών ερωτημάτων της Θεωρίας Πολυπλοκότητας.
32 To be continued
Τεχνικές Αποδείξεις Κάτω Φραγμάτων
Τεχνικές Αποδείξεις Κάτω Φραγμάτων Θέλουμε να δείξουμε κυκλωματικά κάτω φράγματα για ομοιόμορφες κλάσεις επειδή: Δίνουν μεγάλη πληροφορία για τις κλάσεις αυτές: π.χ. αν EXP P /poly σημαίνει Ότι παρότι
Διαβάστε περισσότεραΠολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης
Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων
Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 Αναγάγουμε τν Κ 0 που γνωρίζουμε ότι είναι μη-αναδρομική (μη-επιλύσιμη) στην γλώσσα: L = {p() η μηχανή Turing Μ τερματίζει με είσοδο κενή ταινία;} Δοσμένης της περιγραφής
Διαβάστε περισσότεραChapter 7, 8 : Time, Space Complexity
CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity 19 December 2008 1 1 Κλάση NP 2 Μη-Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing: Eίναι δυνατόν σε μια συνολική κατάσταση να υπάρχουν πολλές δυνατές επόμενες
Διαβάστε περισσότεραΕπίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου Ένας αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου έχει χρόνο εκτέλεσης όπου είναι μία (θετική) σταθερά Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 14. Χρονική Πολυπλοκότητα 17, 20, 24 Απριλίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτε μπορούμε να
Διαβάστε περισσότεραΑριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί
Αριθμήσιμα σύνολα Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Ορισμός Πόσα στοιχεία έχει το σύνολο {a, b, r, q, x}; Οσα και το σύνολο {,,, 4, 5} που είναι
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή Πολυταινιακές Μηχανές Turing (3.2.1) Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές
Διαβάστε περισσότεραChapter 7, 8 : Time, Space Complexity
CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity 12 December 2008 1 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτεμπορούμεναπεριγράψουμεμεένααλγόριθμο μπορεί να
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Παύλος Εφραιμίδης V1.1,
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Παύλος Εφραιμίδης V1.1, 2015-01-19 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραα n z n = 1 + 2z 2 + 5z 3 n=0
Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Η ύλη συνοπτικά... Γεννήτριες συναρτήσεις Τι είναι η γεννήτρια Στην
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κλάσεις P, NP NP-πληρότητα 15 Απριλίου 2008 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτε μπορούμε να περιγράψουμε με
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing που να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { n 3 } (α) H ζητούμενη μηχανή Turing μπορεί να διατυπωθεί ως την επτάδα Q,
Διαβάστε περισσότεραΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ
ΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ Επιμέλεια : Γεωργίου Κωστής Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος: Δίκτυα και πολυπλοκότητα Φεβρουάριος 004 μπλ Κίνητρα για τη μελέτη της μη προσεγγισιμότητας Ο πληρέστερος
Διαβάστε περισσότεραnum(m(w 1 ;... ; w k )) = f(num(w 1 ),..., num(w k ))
Υπολογισμοί με Μ.Τ. Εστω M = (K, Σ, δ, s, {y, n}) μια Μ.Τ. Κάθε συνολική κατάσταση τερματισμού της οποίας η κατάσταση τερματισμού είναι το y, θα ονομάζεται συνολική κατάσταση αποδοχής, ενώ αν η κατάσταση
Διαβάστε περισσότεραΤυχαιότητα (Randomness) I
I Χρησιμοποιώντας το μοντέλο δένδρων υπολογισμού, θα ορίσουμε κλάσεις πολυπλοκότητας που βασίζονται στις πιθανότητες, με βάση τυχαίες επιλογές. Αυτή η προσέγγιση είναι πολύ χρήσιμη από πρακτική άποψη,
Διαβάστε περισσότεραΕθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία PROJECT Συνοπτική Παρουσίαση του Κβαντικού Αλγόριθμου Παραγοντοποίησης
Διαβάστε περισσότεραChapter 7, 8 : Completeness
CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Completeness 19 December 2008 1 1 Αναγωγές Πολυωνυμικού Χρόνου Ορισμός. f: Σ * Σ * ονομάζεται υπολογίσιμη σε πολυνωνυμικό χρόνο αν υπάρχει μια πολυωνυμικά φραγμένη
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4.0 Επιλογή Αλγόριθμοι Επιλογής Select και Quick-Select Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2016-17 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros
Διαβάστε περισσότεραΚατανεμημένα Συστήματα Ι
Κατανεμημένα Συστήματα Ι Παναγιώτα Παναγοπούλου 11η Διάλεξη 12 Ιανουαρίου 2017 1 Ανεξάρτητο σύνολο Δοθέντος ενός μη κατευθυνόμενου γραφήματος G = (V, E), ένα ανεξάρτητο σύνολο (independent set) είναι ένα
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π.
Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων CO.RE.LAB. ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Άσκηση 1 η : Παιχνίδι επιλογής ακμών Έχουμε ένα ακυκλικό κατευθυνόμενο γράφο, μια αρχική κορυφή και δυο παίκτες. Οι παίκτες διαδοχικά
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { ww w {a,b}* }. (β) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή
Διαβάστε περισσότεραCSC 314: Switching Theory
CSC 314: Switching Theory Course Summary 9 th January 2009 1 1 Θέματα Μαθήματος Ερωτήσεις Τι είναι αλγόριθμος? Τι μπορεί να υπολογιστεί? Απαντήσεις Μοντέλα Υπολογισμού Δυνατότητες και μη-δυνατότητες 2
Διαβάστε περισσότεραΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος
Διαβάστε περισσότεραΠεπερασμένα Αυτόματα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Πεπερασμένα Αυτόματα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πεπερασμένα Αυτόματα είναι απλούστερες
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 1 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραILP-Feasibility conp
Διάλεξη 19: 23.12.2014 Θεωρία Γραμμικού Προγραμματισμού Γραφέας: Χαρίλαος Τζόβας Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 19.1 Θεωρία Πολυπλοκότητας και προβλήματα απόφασης Για να μιλήσουμε για προβλήματα και τον
Διαβάστε περισσότεραΓνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.
Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2
Διαβάστε περισσότεραΜία μέθοδος προσομοίωσης ψηφιακών κυκλωμάτων Εξελικτικής Υπολογιστικής
Μία μέθοδος προσομοίωσης ψηφιακών κυκλωμάτων Εξελικτικής Υπολογιστικής Βασισμένο σε μια εργασία των Καζαρλή, Καλόμοιρου, Μαστοροκώστα, Μπαλουκτσή, Καλαϊτζή, Βαλαή, Πετρίδη Εισαγωγή Η Εξελικτική Υπολογιστική
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι για αυτόματα
Κεφάλαιο 8 Αλγόριθμοι για αυτόματα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 8.1 Πότε ένα DFA αναγνωρίζει κενή ή άπειρη γλώσσα Δοθέντος ενός DFA M καλούμαστε
Διαβάστε περισσότεραΥποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες κάνουμε συχνά υποθέσεις. Οταν δείξουμε ότι μια υπόθεση είναι αλη
Υποθέσεις - - Θεωρήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 1ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { G,k η G είναι μια ασυμφραστική γραμματική η οποία παράγει κάποια λέξη 1 n όπου n k } (β) { Μ,k η Μ είναι
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα {1010 2 10 3 10 n 1 10 n 1 n 1}. (β) Να διατυπώσετε
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ Φεβρουάριος 2005 Σύνολο μονάδων: 91
Ε.Μ.Πoλυτεχνείο ΣΗΜΜΥ, ΣΕΜΦΕ Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής & Υπολογιστών Διδάσκων: Ε.Ζαχος Ονοματεπώνυμο:... Αριθμός Μητρώου:... Σχολή:... εξάμηνο:... ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ Φεβρουάριος 005 Σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Έλεγχος πρώτων αριθών-παραγοντοποίηση. Διαφάνειες: Άρης Παγουρτζής Πέτρος Ποτίκας
Κρυπτογραφία Έλεγχος πρώτων αριθών-παραγοντοποίηση Διαφάνειες: Άρης Παγουρτζής Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Κρυπτογραφία
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { w w = (ab) 2m b m (ba) m, m 0 } (β) Να διατυπώσετε
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2)
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Κανονικές Εκφράσεις (1.3) Τυπικός Ορισμός Ισοδυναμία με κανονικές γλώσσες Μη Κανονικές
Διαβάστε περισσότεραΕιδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων
Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Άσκηση 1 α) Η δομή σταθμισμένης ένωσης με συμπίεση διαδρομής μπορεί να τροποποιηθεί πολύ εύκολα ώστε να υποστηρίζει τις
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα αναζήτησης είναι ένα πρόβλημα στο
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Κ. Δεμέστιχας Εργαστήριο Πληροφορικής Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Επικοινωνία μέσω e-mail: cdemest@aua.gr, cdemest@cn.ntua.gr 1 4. ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΕΡΟΣ Α 2 Άλγεβρα
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοημοσύνη Ι» 5 o Φροντιστήριο
Πρόβλημα ο Ασκήσεις Φροντιστηρίου 5 o Φροντιστήριο Δίνεται το παρακάτω σύνολο εκπαίδευσης: # Είσοδος Κατηγορία 0 0 0 Α 2 0 0 Α 0 Β 4 0 0 Α 5 0 Β 6 0 0 Α 7 0 Β 8 Β α) Στον παρακάτω κύβο τοποθετείστε τα
Διαβάστε περισσότεραΕπίπεδο Ψηφιακής Λογικής (The Digital Logic Level)
Επίπεδο Ψηφιακής Λογικής (The Digital Logic Level) Απαντήσεις 1. Η παραγγελία είναι σάντουιτς ή ένα σουβλάκι και τηγανητές πατάτες η οποία μπορεί να αναλυθεί ως σάντουιτς ή (σουβλάκι και τηγανητές πατάτες)
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα {w 1w 2 w 1 {0,1} * και w 2 = 0 k 1 m όπου k και m
Διαβάστε περισσότεραεπιστρέφει το αμέσως μεγαλύτερο από το x στοιχείο του S επιστρέφει το αμέσως μικρότερο από το x στοιχείο του S
Μελετάμε την περίπτωση όπου αποθηκεύουμε ένα (δυναμικό) σύνολο στοιχειών,, τα οποίo είναι υποσύνολο του. Υποστηριζόμενες λειτουργίες αναζήτηση(s,x): εισαγωγή(s,x): διαγραφή(s,x): διάδοχος(s,x): προκάτοχος(s,x):
Διαβάστε περισσότεραΑ Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ),
Α Δ Ι Α - Φ 4 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 15 Νοεμβρίου
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Κατακερματισμός. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο
Δομές Δεδομένων Κατακερματισμός Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Λεξικό Dictionary Ένα λεξικό (dictionary) είναι ένας αφηρημένος τύπος δεδομένων (ΑΤΔ) που διατηρεί
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { G 1, G 2 οι G 1 και G 2 είναι δύο CFG που παράγουν μια κοινή λέξη μήκους 144 } (β) { D,k το D είναι ένα DFA
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing που να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { a 2n b n c 3n n 2 } : H ζητούμενη μηχανή Turing μπορεί να διατυπωθεί ως την
Διαβάστε περισσότεραΓ2.1 Στοιχεία Αρχιτεκτονικής. Γ Λυκείου Κατεύθυνσης
Γ2.1 Στοιχεία Αρχιτεκτονικής Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Ορισμός άλγεβρας Boole Η άλγεβρα Boole ορίζεται, ως μία αλγεβρική δομή A, όπου: (α) Το Α είναι ένα σύνολο στοιχείων που περιέχει δύο τουλάχιστον στοιχεία
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 13: Αλγόριθμοι-Μεγάλων ακεραίων- Εκθετοποίηση- Πολλαπλασιασμός πινάκων -Strassen Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΚλάσεις Πολυπλοκότητας
Κλάσεις Πολυπλοκότητας Παύλος Εφραιμίδης pefraimi ee.duth.gr Κλάσεις Πολυπλοκότητας 1 Οι κλάσεις πολυπλοκότητας P και NP P: Polynomial ΗκλάσηP περιλαμβάνει όλα τα υπολογιστικά προβλήματα που μπορούν
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραP(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n!
Διακριτά Μαθηματικά Σύνοψη Θεωρίας Τυπολόγιο Αναστασία Κόλλια 20/11/2016 1 / 55 Κανόνες γινομένου και αθροίσματος Κανόνας αθροίσματος: Αν ένα γεγονός μπορεί να συμβεί κατά m τρόπους και ένα άλλο γεγονός
Διαβάστε περισσότεραΔιαλογικά Συσ τήματα Αποδείξεων Διαλογικά Συστήματα Αποδείξεων Αντώνης Αντωνόπουλος Κρυπτογραφία & Πολυπλοκότητα 17/2/2012
Αντώνης Αντωνόπουλος Κρυπτογραφία & Πολυπλοκότητα 17/2/2012 Εισαγωγή Ορισμός Επέκταση του NP συστήματος αποδείξεων εισάγωντας αλληλεπίδραση! Ενα άτομο προσπαθεί να πείσει ένα άλλο για το ότι μία συμβολοσειρά
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ
ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 12: Μη ντετερμινιστικές μηχανές Turing Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΠληροφορική 2. Αλγόριθμοι
Πληροφορική 2 Αλγόριθμοι 1 2 Τι είναι αλγόριθμος; Αλγόριθμος είναι ένα διατεταγμένο σύνολο από σαφή βήματα το οποίο παράγει κάποιο αποτέλεσμα και τερματίζεται σε πεπερασμένο χρόνο. Ο αλγόριθμος δέχεται
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος
Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr
Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Να βρείτε το σφάλμα στην πιο κάτω απόδειξη. Ισχυρισμός: Όλα τα βιβλία που έχουν γραφτεί στη Θεωρία Υπολογισμού έχουν τον ίδιο
Διαβάστε περισσότεραΤυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis
Τυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis Θεώρημα για σφαίρες Θα δείξουμε ότι το γράφημα G(n, 2 ln n n 1 ) έχει μικρή διάμετρο Θα ξεκινήσουμε με ένα θεώρημα για το μέγεθος μιας σφαίρας
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Διαίρει και Βασίλευε Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Διαίρει και Βασίλευε Divide and Conquer Η τεχνική διαίρει και βασίλευε αναφέρεται
Διαβάστε περισσότεραΚατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός συγκρίσεων π
Περιορισμοί Αλγοριθμικής Ισχύος Κατηγοριοποίηση πολυπλοκοτήτων Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) ({ G η G είναι μια ασυμφραστική γραμματική που δεν παράγει καμιά λέξη με μήκος μικρότερο του 2 } (β) { Μ,w
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο
Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { R η R είναι μια κανονική έκφραση η οποία παράγει μια μη πεπερασμένη γλώσσα} (β) { G η G είναι μια CFG η οποία
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 24: Μη Ντεντερμινιστικές Μηχανές Turing Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότεραn ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4
Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 3 Αλγόριθμοι Επιλογής Σταύρος Δ. Νικολόπουλος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Αλγόριθμοι Επιλογής Γνωρίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΥποθέσεις - Θεωρήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 1ο Μάθημα. Η χρυσή τομή. Υποθέσεις - Εικασίες
Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Μαθηματικά Πληροορικής ο Μάθημα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες κάνουμε συχνά υποθέσεις. Οταν δείξουμε ότι μια υπόθεση είναι
Διαβάστε περισσότερα3η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων
1/48 3η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ΣΗΜΜΥ, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 2/48 1 Άσκηση 1: Πομποί και Δέκτες 2 Άσκηση 2: Διακοπές στην Ικαρία 3 Άσκηση 3: Επιστροφή στη Γη 4 Άσκηση
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 17-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Την προηγούμενη φορά αναφέραμε (και αποδείξαμε στην περίπτωση n = 2) το θεώρημα που λέει ότι, αν n N, n 2, τότε για κάθε y 0 υπάρχει μοναδική μηαρνητική
Διαβάστε περισσότεραΟι Εξελικτικοί Αλγόριθμοι (ΕΑ) είναι καθολικοί στοχαστικοί αλγόριθμοι βελτιστοποίησης, εμπνευσμένοι από τις βασικές αρχές της φυσικής εξέλιξης.
Οι Εξελικτικοί Αλγόριθμοι (ΕΑ) είναι καθολικοί στοχαστικοί αλγόριθμοι βελτιστοποίησης, εμπνευσμένοι από τις βασικές αρχές της φυσικής εξέλιξης. Ένα από τα γνωστότερα παραδείγματα των ΕΑ είναι ο Γενετικός
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ανεπίλυτα Προβλήματα από τη Θεωρία Γλωσσών (5.1) To Πρόβλημα της Περάτωσης Το Πρόβλημα της Κενότητα
Διαβάστε περισσότεραΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX 3.1 Εισαγωγή Ο αλγόριθμος Simplex θεωρείται πλέον ως ένας κλασικός αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων. Η πρακτική αποτελεσματικότητά του έχει
Διαβάστε περισσότεραf(t) = (1 t)a + tb. f(n) =
Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { w#z w, z {a,b}* και η z είναι υπολέξη της w}. Συγκεκριμένα,
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο 8 Λύσεις
Άσκηση 1 Θεωρήστε την πιο κάτω Μηχανή Turing. Φροντιστήριο 8 Λύσεις Σε κάθε σκέλος, να προσδιορίσετε την ακολουθία των φάσεων τις οποίες διατρέχει η μηχανή όταν δέχεται τη διδόμενη λέξη. (α) 11 (β) 1#1
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο
Διαβάστε περισσότεραΚατανεμημένα Συστήματα Ι
Κατανεμημένα Συστήματα Ι Εκλογή αρχηγού και κατασκευή BFS δένδρου σε σύγχρονο γενικό δίκτυο Παναγιώτα Παναγοπούλου Περίληψη Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Ορισμός του προβλήματος Ο αλγόριθμος FloodMax
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 18: Χρονική και Χωρική Πολυπλοκότητα
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 18: Χρονική και Χωρική Πολυπλοκότητα Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγικά Χρονική Πολυπλοκότητα (7) Κλάση P (7.2) Κλάση ΝΡ (7.3) ΝΡ-πληρότητα (7.4) Χωρική
Διαβάστε περισσότερα1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης
1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Απόδοση χειρότερης
Διαβάστε περισσότεραΚατανεμημένα Συστήματα Ι
Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 27 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 1 Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Προηγούμενη
Διαβάστε περισσότεραΕλίνα Μακρή
Ελίνα Μακρή elmak@unipi.gr Μετατροπή Αριθμητικών Συστημάτων Πράξεις στα Αριθμητικά Συστήματα Σχεδίαση Ψηφιακών Κυκλωμάτων με Logism Άλγεβρα Boole Λογικές Πύλες (AND, OR, NOT, NAND, XOR) Flip Flops (D,
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισιμότητα και Πολυπλοκότητα Computability and Complexity
Υπολογισιμότητα και Πολυπλοκότητα Computability and Complexity Διδάσκων: Στάθης Ζάχος Επιμέλεια Διαφανειών: Μάκης Αρσένης CoReLab ΣΗΜΜΥ - ΕΜΠ Μάιος 2017 Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ &
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { Μ η Μ είναι μια ΤΜ η οποία διαγιγνώσκει το πρόβλημα ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΤΜ (διαφάνεια 9 25)} (α) Γνωρίζουμε ότι το
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο 10 Λύσεις
Άσκηση 1 Φροντιστήριο 10 Λύσεις Να κατασκευάσετε μια μηχανή Turing με δύο ταινίες η οποία να αποδέχεται στην πρώτη της ταινία μια οποιαδήποτε λέξη w {0,1} * και να γράφει τη λέξη w R στη δεύτερη της ταινία.
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Γιατί κάποια (επιλύσιμα) προβλήματα είναι δύσκολο
Διαβάστε περισσότεραh(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i
Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 4: Συστηματικές μέθοδοι επίλυσης κυκλωμάτων Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς
Διαβάστε περισσότεραΤομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα
Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)
Διαβάστε περισσότερα1η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων
1/20 Ασυμπτωτικός Συμβολισμός, Αναδρομικές Σχέσεις 1η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ΣΗΜΜΥ, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 1 Ασυμπτωτικός Συμβολισμός, Αναδρομικές Σχέσεις 2 3 4 5 2/20
Διαβάστε περισσότεραt M (w) T ( w ) O( n) = O(n 2 )
Κεφάλαιο 9 Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Σύνοψη Πέρα από το ερώτημα του αν για ένα πρόβλημα υπάρχει Μηχανή Turing, που το επιλύει, μας απασχολεί επίσης και το ερώτημα του αν ένα πρόβλημα είναι «πρακτικά»
Διαβάστε περισσότερα