P(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n!

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "P(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n!"

Transcript

1 Διακριτά Μαθηματικά Σύνοψη Θεωρίας Τυπολόγιο Αναστασία Κόλλια 20/11/ / 55

2 Κανόνες γινομένου και αθροίσματος Κανόνας αθροίσματος: Αν ένα γεγονός μπορεί να συμβεί κατά m τρόπους και ένα άλλο γεγονός μπορεί να συμβεί κατά n τρόπους, τότε υπάρχουν m + n τρόποι, κατά τους οποίους ένα από τα δυο γεγονότα μπορεί να συμβεί. Κανόνας γινομένου: Αν ένα γεγονός μπορεί να συμβεί κατά m τρόπους και ένα άλλο γεγονός μπορεί να συμβεί κατά n τρόπους, τότε υπάρχουν m n τρόποι, κατά τους οποίους και τα δυο γεγονότα μπορεί να συμβούν. 2 / 55

3 Στοιχειώδης Συνδυαστική- Συνδυασμοί και Διατάξεις με Επανάληψη Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n r C(n, r) = ( ) n+r 1 r n! Ομάδες μη διακεκριμένων στοιχείων q 1!q 2!...q t! 3 / 55

4 Στοιχειώδης Συνδυαστική- Διανομή Αντικειμένων σε Υποδοχές Διανομή αντικειμένων σε υποδοχές: n διακεκριμένες υποδοχές r Διαφορετικά αντικείμενα: Δε μετράει η σειρά: } n n {{... n } = n r r (n + r 1)! Μετράει η σειρά: (n 1)! r Ιδια αντικείμενα: (n + r 1)! r!(n 1)! ( ) n + r 1 = r 4 / 55

5 Στοιχειώδης Συνδυαστική- Διωνυμικοί Συντελεστές n Ανάπτυγμα διωνύμου του Νεύτωνα: (1 + x) n = C(n, r)x r n Γενικά: (s + t) n = C(n, r)s r t n r r=0 r=0 5 / 55

6 -Τύποι Γεωμετρικής Προόδου Από γεωμετρικές προόδους ισχύει: 1 + λ + λ 2 + λ λ n = 1 λn+1 1 λ ενώ για άπειρους όρους: 1 + λ + λ 2 + λ = 1, ισχύει μόνον όταν λ < 1 1 λ Η εκθετική συνάρτηση e x μπορεί να γραφεί και ως άπειρη σειρά ως: e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! / 55

7 Χρήσιμες σχέσεις για τον υπολογισμό Γεννητριών Συναρτήσεων (1/3) z + z 2 + z z n = 1 zn+1 1 z n ( ) n 2 (1 + z) n = z k k k=0 n ( ) n 3 (1 + z) n = z k όπου k ( ) k=0( ) n k + n 1 = ( 1) k k k ( ) n = k n! k!(n k)! και 7 / 55

8 Χρήσιμες σχέσεις για τον υπολογισμό Γεννητριών Συναρτήσεων (2/3) Αν στις παραπάνω σχέσεις στη θέση του z χρησιμοποιείται το z ισχύει: n ( ) n n ( ) n 1 (1 z) n = ( z) k = ( 1) k z k k k k=0 k=0 n ( ) n 2 (1 z) n = ( z) k = k k=0 n ( ) k + n 1 n ( ) k + n 1 ( 1) k ( 1) k z k = z k k k k=0 k=0 8 / 55

9 Χρήσιμες σχέσεις για τον υπολογισμό Γεννητριών Συναρτήσεων (3/3) x 1 1! + x 2 2! + x 3 3! + x 4 2 e αx = r=0 α r x r r! 4! +... = x 2 2! + x 4 4! +... = ex + e x 2 4 x + x 3 3! + x 5 5! +... = ex e x 2 r=0 x r r! = ex 9 / 55

10 Εκθετικές γεννήτριες συναρτήσεις Για ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ και όχι για ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΥΣ χρησιμοποιείται εκθετική γεννήτρια συνάρτηση. 1 + z + z2 2! + z = ex 3! Οταν υπολογίζεται η τελική εκθετική γεννήτρια συνάρτηση, η απάντηση στο ερώτημα (με πόσους τρόπους μπορούμε να διατάξουμε n αντικείμενα όταν...) θα βρίσκεται στο συντελεστή του zn n! 10 / 55

11 Ιδιότητες γεννητριών συναρτήσεων Θεωρούμε ακολουθίες α = (α 0, α 1, α 2,..., α n,...) και β = (β 0, β 1, β 2,..., β n,... με γεννήτριες συναρτήσεις A(x) και B(x) αντίστοιχα. Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: 1 Γραμμική ιδιότητα 2 Ιδιότητα κλίμακας 3 Ιδιότητα ολίσθησης 4 Ιδιότητα μερικών αθροισμάτων 5 Ιδιότητα συμπληρωματικών μερικών αθροισμάτων 6 Ιδιότητα παραγώγου 7 Ιδιότητα ολοκλήρωσης 8 Ιδιότητα συνέλιξης 11 / 55

12 Γραμμική ιδιότητα Η ακολουθία α = (α 0, α 1, α 2,..., α n,...) έχει γεννήτρια συνάρτηση την A(x) = α r x r. r=0 Η ακολουθία β = (β 0, β 1, β 2,..., β n,... έχει γεννήτρια συνάρτηση τη B(x) = b r x r. r=0 Εστω c, d σταθερές. Η ΓΣ της ακολουθίας c α + d β είναι η c A(x) + d B(x). 12 / 55

13 Ιδιότητα κλίμακας Η ακολουθία α = (α 0, α 1, α 2,..., α n,...) έχει γεννήτρια συνάρτηση την A(x) = α r x r. r=0 Η ΓΣ της ακολουθίας b r = λ r α r είναι η A(λx). 13 / 55

14 Ιδιότητα ολίσθησης Η ακολουθία α = (α 0, α 1, α 2,..., α n,...) έχει γεννήτρια συνάρτηση την A(x) = α r x r. r=0 Η ΓΣ της ακολουθίας: b r = 0 για r = 0,..., n 1 και b r = α r n για r = n, n + 1,... είναι η B(x) = x n A(x). 14 / 55

15 Ιδιότητα μερικών αθροισμάτων Η ακολουθία α = (α 0, α 1, α 2,..., α n,...) έχει γεννήτρια συνάρτηση την A(x) = α r x r. r=0 Η ΓΣ της ακολουθίας b k = B(x) = A(x) 1 x. k α r, k = 0, 1, 2,... είναι r=0 15 / 55

16 Ιδιότητα παραγώγου Η ακολουθία γ n = nα n έχει ΓΣ τη Γ(x) = xa (x), όπου A (x) είναι η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης A(x). 16 / 55

17 Ιδιότητα ολοκληρώματος Η ακολουθία δ n = αn n+1 έχει ΓΣ τη (x) = 1 x x 0 A(z)dz. Η παράγουσα του z n είναι zn+1 n+1, οπότε έχουμε: (x) = 1 x A(z)dz = 1 x α n z n dz = x x 1 x n=0 0 α n n + 1 x n+1 = n=0 n=0 α n n + 1 x n 0 17 / 55

18 Ιδιότητα συνέλιξης Εστω ακολουθία α με όρους: α 0, α 1, α 2, α 3, α 4,... Εστω ακολουθία β με όρους: b 0, b 1, b 2, b 3, b 4,... Η συνέλιξή τους είναι η ακολουθία με όρους: γ 0 = α 0 b 0 γ 1 = α 0 b 1 + α 1 b 0 γ 2 = α 0 b 2 + α 1 b 1 + α 2 b 0 γ 3 = α 0 b 3 + α 1 b 2 + α 2 b 1 + α 3 b 0... ΔΗΛΑΔΗ: Συνέλιξη των ακολουθιών α και β είναι η ακολουθία d k = k r=0 α r β k r, k = 0, 1, 2,... και συμβολίζεται α β. Η ΓΣ της ακολουθίας d k είναι η D(x) = A(x)B(x), όπου A(x) είναι η ΓΣ της ακολουθίας α r και B(x) είναι η ΓΣ της ακολουθίας b r. 18 / 55

19 Σχέσεις Αναδρομήσ-Fibonacci Μορφή Σχέσης Αναδρομής: α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Για τους αριθμούς Fibonacci συνήθως είναι α 0 = 0, α 1 = 1, ή α 0 = α 1 = / 55

20 Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές Μια σχέση αναδρομής, που έχει την εξής μορφή c 0 α n + c 1 α n 1 + c 2 α n c r α n r = f (n) (1) με c 0, c 1,..., c r σταθερούς αριθμούς ονομάζεται γραμμική σχέση αναδρομής με σταθερούς συντελεστές, r-τάξης ή r-βαθμού. Αν η f (n) = 0, τότε η σχέση αναδρομής λέγεται ομογενής. Αν f (n) 0 λέγεται μη ομογενής. 20 / 55

21 Μέθοδος χαρακτηριστικής εξίσωσης Η λύση της γενικής ομογενούς είναι: α n (h) ομογενούς α n (p). και μερική λύση της μη Επομένως: ( c 0 α n (h) + α n (p) c 0 α (h) n c 0 α (p) n )+c 1 ( Η πλήρης λύση, α n = α n (h) αναδρομής. + c 1 α (h) n c r α (h) n r = 0 + c 1 α (p) n c r α (p) n r = f (n) α (h) n 1 + α(p) n 1 )+...+c r ( ) α (h) n r + α(p) n r + α n (p), ικανοποιεί τη σχέση = f (n) (2) 21 / 55

22 Εύρεση ομογενούς λύσης Αν υπάρχει μία λύση α n (h) = Ax n, όπου x ονομάζεται χαρακτηριστική ρίζα και A είναι μια σταθερά, που θα υπολογιστεί από τις αρχικές συνθήκες. Αντικαθιστώντας, η χαρακτηριστική εξίσωση της σχέσης αναδρομής είναι: c 0 Ax n + c 1 Ax n 1 + c 2 Ax n c r Ax n r = 0 c 0 x n + c 1 x n 1 + c 2 x n c r x n r = 0 (3) Τότε αποδεικνύεται ότι η γενική λύση της ομογενούς είναι: α (h) n = A 1 x n 1 + A 2 x n A r x n r Τα A 1, A 2,..., A r θα υπολογίζονται από τις αρχικές συνθήκες. 22 / 55

23 Εύρεση ομογενούς λύσης για την ακολουθία Fibonacci Η σχέση αναδρομής για τους αριθμούς Fibonacci είναι: α n+2 = α n+1 + α n ή α n = α n 1 + α n 2 23 / 55

24 Εύρεση της μερικής λύσης Μορφή f (n) Μορφή μερικής λύσης k, σταθερά C, σταθερά πολυώνυμο πολυώνυμο ίδιου βαθμού αλλά πλήρες kλ n, k, λ σταθερές cβ n, c, β σταθερές Οι σταθερές της μερικής λύσης υπολογίζονται αντικαθιστώντας την υποψήφια λύση στην μη ομογενή σχέση αναδρομής. 24 / 55

25 Μέθοδος των γεννητριών συναρτήσεων Αν είναι A(x) η γεννήτρια συνάρτηση της ακολουθίας (α 0, α 1, α 2,..., α n,...) δηλαδή A (x) = α n x n n=0 Εστω ότι ισχύει η εξής σχέση αναδρομής: c 0 α n + c 1 α n c r α n r = f (n) (4) με k r. 25 / 55

26 Λύση της τηλεσκοπικής σχέσης αναδρομής Η γενική μορφή της τηλεσκοπικής σχέσης αναδρομής είναι η εξής: T (1) = 1 Με n ακέραια δύναμη του b. T (n) = αt (n/b) + d (n) (5) 26 / 55

27 Σύνολο, υποσύνολο, γνήσιο υποσύνολο Σύνολο: συλλογή διαφορετικών αντικειμένων που καλούνται στοιχεία του συνόλου. Δε μετράει η σειρά των στοιχείων Δεν έχουν νόημα οι επαναλήψεις ίδιων στοιχείων {} = : σύνολο χωρίς στοιχεία T S: Το T είναι υποσύνολο του S δηλ., κάθε στοιχείο του T είναι και στοιχείο του S Κάθε σύνολο είναι υποσύνολο του εαυτού του. T S: Το T είναι γνήσιο υποσύνολο του S δηλ., το T είναι υποσύνολο του S και υπάρχει ένα τουλάχιστον στοιχείο στο S που δεν είναι στοιχείο του T. α S: το α είναι στοιχείο του συνόλου S S : πλήθος στοιχείων του συνόλου S Το S είναι ένα k σύνολο αν περιέχει k στοιχεία. 27 / 55

28 Ενωση, Τομή, Διαφορά, Διαμέριση Εστω δύο σύνολα A και B. A B: Ενωση των συνόλων A και B, περιέχει όλα τα στοιχεία των συνόλων A και B. {a, b, c, d} {a, d, e, j} = {a, b, c, d, e, j} A B: Τομή των συνόλων A και B, περιέχει τα κοινά στοιχεία των συνόλων A και B. {a, b, c, d} {a, d, e, j} = {a, d} A B: Διαφορά των συνόλων A και B, περιέχει τα στοιχεία του συνόλου A που δεν ανήκουν στο B. {a, b, c, d} {a, d, e, j} = {b, c} Διαμέριση ενός συνόλου είναι μια συλλογή υποσυνόλων του τέτοια ώστε κάθε στοιχείο του συνόλου να ανήκει σε ακριβώς ένα υποσύνολο. 28 / 55

29 Διατεταγμένο ζεύγος, Καρτεσιανό γινόμενο Διατεταγμένο ζεύγος (a, b) είναι μια διάταξη δύο - όχι απαραίτητα διαφορετικών - στοιχείων a και b. Τα (a, b) και (b, a) είναι δύο διαφορετικά διατεταγμένα ζεύγη. Καρτεσιανό γινόμενο δύο συνόλων S και T - S T - είναι το σύνολο όλων των διατεταγμένων ζευγών (x, y) στα οποία x S και y T, π.χ., {a, b, c} {1, 2} = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)} 29 / 55

30 Δυαδική σχέση Μια Δυαδική σχέση μεταξύ των συνόλων S και T είναι ένα υποσύνολο διατεταγμένων ζευγών από το καρτεσιανό γινόμενο S T, π.χ., {(a, 1), (a, 2), (c, 2)} είναι μια δυαδική σχέση μεταξύ των συνόλων {a, b, c} και {1, 2}. Μια Δυαδική σχέση μεταξύ δύο συνόλων αναπαρίσταται με έναν πίνακα. Μια Δυαδική σχέση σε ένα σύνολο S είναι μια δυαδική σχέση μεταξύ του S και του εαυτού του, π.χ., {(a, a), (a, c), (b, a), (b, c), (c, b)} είναι μια δυαδική σχέση στο σύνολο {a, b, c} 30 / 55

31 Σχέση ισοδυναμίας Μια Δυαδική σχέση σε ένα σύνολο S καλείται Σχέση ισοδυναμίας αν ικανοποιούνται οι παρακάτω συνθήκες: 1 Κάθε στοιχείο στο σύνολο σχετίζεται με τον εαυτό του (ανακλαστική ιδιότητα) 2 Για οποιαδήποτε στοιχεία a, b του συνόλου, αν το a σχετίζεται με το b τότε και το b σχετίζεται με το a (συμμετρική ιδιότητα) 3 Για οποιαδήποτε στοιχεία a, b, c του συνόλου, αν το a σχετίζεται με το b και b σχετίζεται με το c το τότε και το a σχετίζεται με το c (μεταβατική ιδιότητα) Η δυαδική σχέση αριστερά είναι σχέση ισοδυναμίας ενώ αυτή στα δεξιά δεν είναι. 31 / 55

32 Κλάσεις ισοδυναμίας και διαμερίσεις Αν υπάρχει μία σχέση ισοδυναμίας σε ένα σύνολο S, τότε χωρίζονται τα στοιχεία του S σε κλάσεις - που καλούνται κλάσεις ισοδυναμίας - έτσι ώστε δύο στοιχεία να ανήκουν στην ίδια κλάση μόνο αν σχετίζονται μεταξύ τους. Κάθε στοιχείο ανήκει σε κάποια κλάση ισοδυναμίας αφού μπορεί να είναι σε τουλάχιστον μία κλάση από μόνο του (λόγω της ανακλαστικής ιδιότητας). Δεν υπάρχει ασάφεια σχετικά με το αν κάποιο στοιχείο ανήκει σε κάποια κλάση ισοδυναμίας (λόγω της συμμετρικής ιδιότητας) Κάθε στοιχείο δε μπορεί να ανήκει σε παραπάνω από μία κλάσεις ισοδυναμίας (λόγω της μεταβατικής ιδιότητας) 32 / 55

33 Κλάσεις ισοδυναμίας και διαμερίσεις Μια σχέση ισοδυναμίας σε ένα σύνολο ορίζει μια διαμέριση του συνόλου στην οποία τα ξένα μεταξύ τους υποσύνολα είναι οι κλάσεις ισοδυναμίας, π.χ., η διαμέριση που ορίζεται από τη σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο {a, b, c, d, e} είναι η {{a, b}, {c, d, e}}. Δύο στοιχεία είναι ισοδύναμα αν ανήκουν στην ίδια κλάση ισοδυναμίας. 33 / 55

34 Μεταθέσεις Μετάθεση, Σύνολο μεταθέσεων G Η μετάθεση που αντιστοιχεί κάθε στοιχείο στον εαυτό του, αφήνει δηλ. τα στοιχεία ως έχουν, λέγεται ταυτοτική. Δυαδική σχέση επαγόμενη από σύνολο μεταθέσεων G είναι σχέση ισοδυναμίας 34 / 55

35 Μεταθέσεις Δίνεται σύνολο S = {a, b,...} και ένα σύνολο μεταθέσεων G για τα στοιχεία του S Μια Δυαδική σχέση στο S είναι δυαδική σχέση επαγόμενη από το G όταν ένα στοιχείο a σχετίζεται με ένα στοιχείο b αν και μόνον αν υπάρχει μετάθεση στο G που απεικονίζει το a στο b. ( abcd Εστω G = { abcd ) ( abcd, bacd ) ( abcd, abdc ) ( abcd, badc ) }. Η Δυαδική σχέση σε ένα σύνολο που επάγεται από σύνολο μεταθέσεων G είναι σχέση ισοδυναμίας. 35 / 55

36 Θεώρημα Burnside (1/2) Ζητούμενο: μέτρηση διαφορετικών μορφών ενός συνόλου (αντικειμένου) όταν αναδιατάσσονται τα στοιχεία (μέρη) του. Παρατήρηση: πλήθος κλάσεων ισοδυναμίας = πλήθος διαφορετικών μεταθέσεων Διατύπωση: Το πλήθος των κλάσεων ισοδυναμίας στις οποίες διαμερίζεται ένα σύνολο S από τη σχέση ισοδυναμίας που επάγεται από ένα σύνολο μεταθέσεων G 1 του S είναι: ψ(π) G π G 36 / 55

37 Θεώρημα Burnside (2/2) Εφαρμογή: Δίνεται ένα σύνολο S. 1 Βρίσκεται (εκτός αν δίνεται) το σύνολο μεταθέσεων G. 2 Σε κάθε μετάθεση στο G βρίσκεται το πλήθος των στοιχείων που δεν αλλάζουν. 3 Αθροίζονται για όλες τις μεταθέσεις και διαιρούνται με το άθροισμα με το πλήθος των μεταθέσεων G. 37 / 55

38 Κλάσεις ισοδυναμίας συναρτήσεων Εστω D και R σύνολα και G σύνολο μεταθέσεων των στοιχείων του D. Ορίζεται η εξής διμελή σχέση στο σύνολο των συναρτήσεων από το D στο R: f 1, f 2 σχετίζονται αν f 1 (d) = f 2 (π(d)), d D που είναι σχέση ισοδυναμίας. Επομένως, οι συναρτήσεις από D R χωρίζονται σε κλάσεις ισοδυναμίας, που καλούνται πρότυπα (patterns): αντιστοιχούν σε διαφορετικούς τρόπους να μοιράσω D αντικείμενα σε R κουτιά όταν η ισοδυναμία μεταξύ των μοιρασμάτων καθορίζεται από το G. 38 / 55

39 Ανάθεση βαρών στα στοιχεία του R (1/4) Ανατίθενται βάρη (που μπορεί να είναι αριθμοί ή σύμβολα) στα στοιχεία του R. r 1 + r 2 + r 3 σημαίνει ότι κάποιο στοιχείο του D μπορεί να πάρει βάρος r 1 ή r 2 ή r 3. Αν υπάρχουν 2 στοιχεία με βάρος u και 1 στοιχείο με βάρος v στο R σημαίνει ότι κάποιο στοιχείο του D μπορεί να διαλέξει στοιχεία τύπου u ή τύπου v. Χοντρικά, με αυτόν τον τρόπο γενικεύεται η έννοια των γεννητριών συναρτήσεων. 39 / 55

40 Ανάθεση βαρών στα στοιχεία του R (2/4) Το βάρος μιας συνάρτησης f : D R είναι το γινόμενο των βαρών των εικόνων των στοιχείων του D στο R: w(f (d)). d D Το βάρος ενός συνόλου συναρτήσεων από D R είναι το άθροισμα των βαρών τους. Άρα: το βάρος μιας συνάρτησης δείχνει πώς (τον τρόπο) D αντικείμενα ρίχνονται σε R κουτιά. Το βάρος ενός συνόλου συναρτήσεων δείχνει τους τρόπους (το πλήθος των τρόπων) που κατανέμονοται τα αντικείμενα. Συναρτήσεις στην ίδια κλάση ισοδυναμίας έχουν το ίδιο βάρος που καλείται βάρος προτύπου, δηλ. βάρος της κλάσης ισοδυναμίας. (Φυσικά, μπορεί συναρτήσεις με το ίδιο βάρος να μην ανήκουν στην ίδια κλάση ισοδυναμίας) 40 / 55

41 Ανάθεση βαρών στα στοιχεία του R (3/4) Στόχος: Εύρεση του βάρος όλων των κλάσεων ισοδυναμίας ( abcdef συναρτήσεων από D R Μια μετάθεση π.χ., π = cedabf ). Τα στοιχεία a c, c d, d a σχηματίζουν κύκλο, οπότε {a, c, d} είναι ένας κύκλος στην π με μήκος 3, δηλ. με 3 στοιχεία. Άλλος κύκλος: b e, e b, {e, b} είναι ένας κύκλος στην π με μήκος 2. x πλήθος βάρος : για την π έχουμε x 1 3, x 1 2 Με έναν τέτοιο συμβολισμό πόσοι κύκλοι υπάρχουν σε μια μετάθεση π με μίαν αναπαράσταση δομής κύκλου της π 41 / 55

42 Ανάθεση βαρών στα στοιχεία του R (4/4) Δεδομένου ενός συνόλου μεταθέσεων G ορίζεται ο δείκτης κύκλου P G του G σαν το άθροισμα των κυκλικών αναπαραστάσεων των μεταθέσεων του G διά το πλήθος x b 1 1 x b x b k k των μεταθέσεων του G: P G = π G G 42 / 55

43 Θεώρημα Pólya Δεδομένα: σύνολα D, R, συναρτήσεις f : D R, σύνολο μεταθέσεων G, βάρη στοιχείων του R. Ζητούμενο: το συνολικό βάρος των κλάσεων ισοδυναμίας των συναρτήσεων f. Διατύπωση: Ο κατάλογος των κλάσεων ισοδυναμίας των συναρτήσεων με πεδίο ορισμού D και σύνολο τιμών R είναι ) P G ( r R w(r), [w(r)] 2,..., r R r R[w(r)] k,... δηλαδή ο κατάλογος των προτύπων προκύπτει αντικαθιστώντας το x 1 με w(r), το x 2 με r R r R[w(r)] 2,..., το x k με r R[w(r)] k,... στην έκφραση του δείκτη κύκλων P G 43 / 55

44 Θεώρημα Pólya-Μεθοδολογία Δεδομένα: σύνολα D, R, συναρτήσεις f : D R, σύνολο μεταθέσεων G, βάρη στοιχείων του R. Ζητούμενο: το συνολικό βάρος των κλάσεων ισοδυναμίας των συναρτήσεων f. Εφαρμογή: 1 Βρίσκω κύκλους στα π G 2 Φτιάχνω το P G 3 Σε κάθε όρο του P G αντικαθιστώ το x 1 με w(r 1 ) + w(r 2 ) +..., r i R x 2 με w 2 (r 1 ) + w 2 (r 2 ) +..., r i R κοκ 44 / 55

45 Γενικευμένη μορφή θεωρήματος Pólya (1/2) Δεδομένα: σύνολα D, R, συναρτήσεις f : D R, σύνολο μεταθέσεων G για τα στοιχεία του D, σύνολο μεταθέσεων H για τα στοιχεία του R, βάρη στοιχείων του R. Ζητούμενο: το συνολικό βάρος των κλάσεων ισοδυναμίας των συναρτήσεων f. Διατύπωση: Ο κατάλογος των κλάσεων ισοδυναμίας των συναρτήσεων με πεδίο ορισμού D και σύνολο τιμών R είναι 1 1 ψ[(π, τ) ], όπου ψ[(π, τ) ] είναι το πλήθος G H π G;τ H των συναρτήσεων για τις οποίες ισχύει τf (d) = f [π(d)] για κάθε στοιχείο d D 45 / 55

46 Γενικευμένη μορφή θεωρήματος Pólya (2/2) Εφαρμογή: Το πλήθος των κλάσεων ισοδυναμίας συναρτήσεων από το D στο R είναι η τιμή της έκφρασης P G (( z 1 ) b 1, ( z 2 ) b 2, ( z 3 ) b 3,...) P H [e c 1(z 1 +z 2 +z ), e 2c 2(z 2 +z 4 +z ), e 3c 3(z 3 +z 6 +z ),...] για z 1 = z 2 = z 3 =... = 0, με b i κύκλους μεγέθους i στο G και c i κύκλους μεγέθους i στο H. 46 / 55

47 Εγκλεισμός - Αποκλεισμός Εστω S σύνολο με πληθικό αριθμό N, S = N c 1, c 2, c 3,...c t : συλλογή από συνθήκες που ικανοποιούνται από στοιχεία του S Κάποια στοιχεία στοιχεία του S μπορεί να ικανοποιούν παραπάνω από μία συνθήκες και άλλα καμία N(c i ), 1 i t: πλήθος στοιχείων του S που ικανοποιούν τη συνθήκη c i N(c i ), 1 i t: πλήθος στοιχείων του S που δεν ικανοποιούν τη συνθήκη c i N(c i ) + N(c i ) = N = S N(c i c j ), i, j {1, 2,..., t}, i j: πλήθος στοιχείων του S που ικανοποιούν και τις δύο συνθήκες c i, c j N(c i c j ), i, j {1, 2,..., t}, i j: πλήθος στοιχείων του S που δεν ικανοποιούν καμία από τις δύο συνθήκες c i, c j N(c i c j ) = N N(c i ) N(c j ) + N(c i c j ) 47 / 55

48 Εστω S σύνολο με πληθικό αριθμό N, S = N c 1, c 2, c 3,...c t : συλλογή από συνθήκες που ικανοποιούνται από μερικά ή από όλα τα στοιχεία του S Το πλήθος των στοιχείων του S που δεν ικανοποιούν καμία από τις συνθήκες είναι: N = N(c 1 c 2... c t ) = N N(c 1 ) N(c 2 )... N(c t ) + N(c 1 c 2 ) + N(c 1 c 3 ) N(c 1 c t ) + N(c 2 c 3 ) +...N(c t 1 c t ) N(c 1 c 2 c 3 ) N(c 1 c 2 c 4 )... N(c 1 c 2 c t ) N(c 1 c 3 c 4 )... N(c 1 c 3 c t ) N(c t 2 c t 1 c t ) ( 1) t N(c 1 c 2 c 3...c t ) = N N(c i ) + N(c i c j ) N(c i c j c k ) + 1 i t 1 i<j t... + ( 1) t N(c 1 c 2 c 3...c t ) 1 i<j<k t 48 / 55

49 Συμπέρασμα της Αρχής Εγκλεισμού-Αποκλεισμού Συμπέρασμα: το πλήθος των στοιχείων του S που ικανοποιούν τουλάχιστον μία από τις συνθήκες είναι N N 49 / 55

50 Ο γενικός τύπος Δίνει το πλήθος των αντικειμένων που έχουν m από r ιδιότητες, m = 0, 1, 2, 3,..., r. s i : πλήθος αντικειμένων που πληρούν i από τις r ιδιότητες. e i : πλήθος αντικειμένων που πληρούν ακριβώς i από τις r ιδιότητες, δηλ., πληρούν i από τις r ιδιότητες και δεν πληρούν τις υπόλοιπες r i. 50 / 55

51 Γενικός τύπος αρχής Εγκλεισμού-Αποκλεισμού (1/3) Αναλυτικά: s 0 = N s 1 = N(a 1 ) + N(a 2 ) N(a r ) = N(a i ) i s 2 = N(a 1 a 2 ) + N(a 1 a 3 ) N(a r 1 a r ) = N(a i a j ) i,j:i j s 3 = N(a 1 a 2 a 3 ) + N(a 1 a 2 a 4 ) N(a r 2 a r 1 a r ) = N(a i a j a k ) i,j,k:i j k... s r = N(a 1 a 2...a r ) 51 / 55

52 Γενικός τύπος αρχής Εγκλεισμού-Αποκλεισμού (2/3) Αναλυτικά: e 0 = N(a 1 a 2...a r ) e 1 = N(a 1 a 2...a r ) + N(a 1 a 2 a 3...a r ) N(a 1 a 2...a r ) e 2 = N(a 1 a 2 a 3...a r + N(a 1 a 2 a 3...a r )) e 3 = N(a 1 a 2 a 3...a r ) + N(a 1 a 2 a 3 a 4...a r ) N(a 1 a 2 a 3...a r 2 a r 1 a r )... e r = N(a 1 a 2...a r ) Προφανώς, e 0 = s 0 s 1 + s 2 s ( 1) r s r 52 / 55

53 Γενικός τύπος αρχής Εγκλεισμού-Αποκλεισμού (3/3) ( ) ( ) ( ) m + 1 m + 2 r e m = s m s m+1 + s m+2...+( 1) r m 1 2 r m Η απόδειξη βασίζεται στα εξής: Αντικείμενο που έχει λιγότερες από m ιδιότητες δε συμπεριλαμβάνεται στο e m και δε συνεισφέρει στην έκφραση στο δεξί μέρος της ισότητας. Αντικείμενο που έχει ακριβώς m ιδιότητες συμπεριλαμβάνεται στο e m και συνεισφέρει 1 στην έκφραση στο δεξί μέρος της ισότητας αφού μετριέται μία φορά στο s m και δε μετριέται στους όρους s m+1, s m+2,...s r. Αντικείμενο που έχει m + j ιδιότητες δε συμπεριλαμβάνεται στο e m και συνεισφέρει ( m+j m ) στον όρο sm, ( m+j m+1) στον όρο s m+1,..., ( m+j) στον όρο sm+j που συνολικά ισούται με / 55 s r

54 Αναζητείται η τιμή της έκφρασης: ( m + j m ) ( m + 1 Παρατηρείται ότι: = ( m + k k (m + j)! m!k!(j k)! 1 )( ) ( )( ) m + j m + 2 m + j +... m m + 2 ( )( ) m + j m + j + ( 1) j j m + j )( ) m + j = m + k = (m + j)! m!j! (m + k)! (m + j)! m!k! (m + k)!(j k)! ( )( ) j! m + j j k!(j k)! = m k 54 / 55

55 Οπότε: ( m + j m ( m + j = m ) )[( ) j 0 ( m + j m ( ) j + 1 )( ) j + 1 ( m + j m )( ) j 2 + ( 1) j ( m + j m... )( ) j j ( ) ( )] j j... + ( 1) j = 0 2 j 55 / 55

Πόσες από αυτές τις σκακιέρες είναι αλήθεια διαφορετικές;

Πόσες από αυτές τις σκακιέρες είναι αλήθεια διαφορετικές; Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Πόσες από αυτές τις σκακιέρες είναι αλήθεια διαφορετικές; Αυτές οι

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 4: Θεωρία Μέτρησης Po lya Μέρος 1 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 3 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4 Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

α n z n = 1 + 2z 2 + 5z 3 n=0

α n z n = 1 + 2z 2 + 5z 3 n=0 Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Η ύλη συνοπτικά... Γεννήτριες συναρτήσεις Τι είναι η γεννήτρια Στην

Διαβάστε περισσότερα

Γεννήτριες Συναρτήσεις

Γεννήτριες Συναρτήσεις Ακολουθίες Γεννήτριες Συναρτήσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ακολουθία: αριθμητική

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Γεννήτριες Συναρτήσεις

Γεννήτριες Συναρτήσεις Γεννήτριες Συναρτήσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναπαράσταση Ακολουθιών Ακολουθία:

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 2 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γεννήτριες Συναρτήσεις

Γεννήτριες Συναρτήσεις Γεννήτριες Συναρτήσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναπαράσταση Ακολουθιών Ακολουθία:

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Gutenberg

Gutenberg Διακριτά Μαθηματικά * Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Φροντιστήριο: Α. Κόλλια (akollia@ceid.upatras.gr) * Οι διαφάνειες (πλην αυτών για τις σχέσεις αναδρομής) έχουν παραχθεί από τη Δρ. Ε. Παπαϊωάννου,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Εισαγωγή Οι γεννήτριες συναρτήσεις είναι ένα από τα ισχυρά εργαλεία για μια ενοποιημένη αντιμετώπιση πολλών κατηγοριών προβλημάτων απαρίθμησης Ο Lplce έθεσε πρώτος τις

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική ΙΙ 1 / 15 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Αναδρομικές σχέσεις - Υπολογισμός Αθροισμάτων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

κ.λπ. Ισχύει πως x = 100. Οι διαφορετικές λύσεις αυτής της εξίσωσης χωρίς κανένα περιορισμό είναι

κ.λπ. Ισχύει πως x = 100. Οι διαφορετικές λύσεις αυτής της εξίσωσης χωρίς κανένα περιορισμό είναι Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Διακριτά Μαθηματικά 3 η γραπτή εργασία, Σχέδιο Λύσεων Επιμέλεια: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου ΘΕΜΑ (Συνδυαστική,.6 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

(n + r 1)! (n 1)! (n 1)!

(n + r 1)! (n 1)! (n 1)! Στοιχειώδης συνδυαστική Διανομή αντικειμένων σε υποδοχές Διανομή Αντικειμένων σε Υποδοχές Με πόσους τρόπους μπορούμε να διανείμουμε r αντικείμενα (διακεκριμένα ή όχι) σε n υποδοχές. Διακρίνουμε περιπτώσεις:

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Κ Ε Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Διακριτά Μαθηματικά Εξέταση Ιούνιος 206 Σελ. από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις σας

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις

Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις Κεφάλαιο 2 Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις Τα σύνολα, οι σχέσεις και οι συναρτήσεις χρησιμοποιούνται ευρύτατα σε κάθε είδους μαθηματικές αναπαραστάσεις και μοντελοποιήσεις. Στη θεωρία υπολογισμού χρησιμεύουν,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Διατάξεις Μεταθέσεις Συνδυασμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

P G = 1 2 (x x 3 2 ) 2 [(y 1 + y y n ) 6 + (y y y 2 n ) 3 ] 2 (n6 + n 3 ) = n3 (n 3 + 1)

P G = 1 2 (x x 3 2 ) 2 [(y 1 + y y n ) 6 + (y y y 2 n ) 3 ] 2 (n6 + n 3 ) = n3 (n 3 + 1) Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Θεωρία μέτρησης Polya ΙΙ 1 / 15 Ενας κύλινδρος, που έχει διαιρεθεί σε 6 τμήματα θα χρωματιστεί με 1 ή περισσότερα από διαφορετικά χρώματα. Με πόσους τρόπους επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 Διακριτά Μαθηματικά Ι Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική ΙΙΙ 1 / 16 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο ΣΥΝΟΛΑ Τι είναι σύνολο; Ένας ορισμός «Μια συλλογή αντικειμένων διακεκριμένων και πλήρως καθορισμένων που λαμβάνονται από τον κόσμο είτε της εμπειρίας μας είτε της σκέψης μας» (Cantor, 19 ος αιώνας) Ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

a n + 6a n a n 2 + 8a n 3 = 0, a 0 = 1, a 1 = 2, a 2 = 8

a n + 6a n a n 2 + 8a n 3 = 0, a 0 = 1, a 1 = 2, a 2 = 8 Διακριτά Μαθηματικά Σχέσεις Αναδρομής Ι 1 / 17 a n + 6a n 1 + 12a n 2 + 8a n 3 = 0, a 0 = 1, a 1 = 2, a 2 = 8 2 / 17 a n + 6a n 1 + 12a n 2 + 8a n 3 = 0, a 0 = 1, a 1 = 2, a 2 = 8 1ος τρόπος: Εχουμε τη

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Διακριτά Μαθηματικά Εξέταση Ιούλιος 204 Σελ. από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις σας

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων; Στην αρχή

Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων; Στην αρχή Στοιχειώδης συνδυαστική Συνδυασμοί και διατάξεις με επανάληψη Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων;

Διαβάστε περισσότερα

(a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) = (a 1 a 2, b 1 b 2 ).

(a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) = (a 1 a 2, b 1 b 2 ). ΕΜ0 - Διακριτά Μαθηματικά Ιανουαρίου 006 Άσκηση - Λύσεις Πρόβλημα [0 μονάδες] Εστω L και L δύο κυκλώματα σε ένα γράφημα G. Εστω a μία ακμή που ανήκει και στο L και στο L και έστω b μία ακμή που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τμήμα Πληροφορικής Μέρος I Εναρξη μαθήματος Γραμμική άλγεβρα Ι Ευάγγελος Ράπτης 1 Τα παρακάτω κείμενα, γράφονται και ενημερώνονται καθημερινά

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Συνδυασμοί Το πλήθος των συνδυασμών r από n στοιχεία, C(n,r) συμβολίζεται και ως Ο αριθμός αυτός λέγεται και διωνυμικός συντελεστής Οι αριθμοί αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

y(p) = 0 y(p) = 0 y(p) = 0

y(p) = 0 y(p) = 0 y(p) = 0 Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Θεωρία μέτρησης Polya Ι 1 / 21 Οι έξι όψεις ενός κύβου θα χρωματιστούν με 6 διαφορετικά χρώματα, κάθε όψη με ένα διαφορετικό χρώμα. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό

Διαβάστε περισσότερα

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Ακόμη μία Άσκηση

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Ακόμη μία Άσκηση Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 3 II Αρχικά μαθήματα 5 1 Μάθημα 1 5 1.1 Εισαγωγή............................... 5 1.2 Πορεία μελέτης............................ 5 1.3 Γραμμικά συστήματα.........................

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων «πειράματος» ή «γεγονότος» (με συνδυαστικά επιχειρήματα). «Πείραμα» ή «γεγονός»: διαδικασία με συγκεκριμένο (πεπερασμένο) σύνολο παρατηρήσιμων

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Συνδυασμοί Το πλήθος των συνδυασμών r από n στοιχεία, C(n,r) συμβολίζεται και ως Ο αριθμός αυτός λέγεται και διωνυμικός συντελεστής Οι αριθμοί αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ 17 ΣΥΝΟΛΑ ΣΧΕΣΕΙΣ - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 17 1. Η έννοια του συνόλου 17 2. Εγκλεισμός και ισότητα συνόλων 19

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική-Θέματα & Ασκήσεις 03/11/ / 13

Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική-Θέματα & Ασκήσεις 03/11/ / 13 Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική-Θέματα & Ασκήσεις 03/11/2016 1 / 13 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = (

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Διακριτά Μαθηματικά Εξέταση Σεπτέμβριος 2014 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ο ανάστροφος πίνακας του [ j ] σημειώνεται με [ j ] (δηλαδή οι γραμμές γίνονται στήλες αντίστροφα Ιδιότητες: ( ( B B ( R ( B B Ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα [ j ]

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Bursde a b Θα αποδείξουμε εδώ ότι κάθε ομάδα τάξης pq ( p, q πρώτοι) είναι επιλύσιμη Το θεώρημα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιμοποίησε τη νέα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 1 η ΟΣΣ (Συνδυαστική)

ΠΛΗ 20, 1 η ΟΣΣ (Συνδυαστική) ΠΛΗ 20, 1 η ΟΣΣ (Συνδυαστική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Οργανωτικά Ζητήματα Επικοινωνία: Επίλυση αποριών, οδηγίες,..., και λοιπά

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1

Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1 Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1 Σύνολα Πως διαβάζουμε κάποιους συμβολισμούς: ανήκει και η άρνηση, δηλαδή δεν ανήκει υπάρχει για κάθε : τέτοιο ώστε. Επίσης το σύμβολο έχει την ερμηνεία «τέτοιο ώστε» και ή υπονοεί

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Διακριτά Μαθηματικά Τελική Εξέταση Απρίλιος 204 Σελ. από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I Αλγεβρικές Δομές Ι 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω G μια προσθετική ομάδα S ένα μη κενό σύνολο και M(S G το σύνολο όλων των συναρτήσεων f : S G. Δείξτε ότι το σύνολο M(S G είναι ομάδα με πράξη την πρόσθεση

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομικές ακολουθίες και Θεωρία Αριθμών

Αναδρομικές ακολουθίες και Θεωρία Αριθμών Αναδρομικές ακολουθίες και Θεωρία Αριθμών Εμμανουήλ Καπνόπουλος Επιβλέπων καθηγητής Ιωάννης Αντωνιάδης Μεταπτυχιακή Εργασία Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Ηράκλειο Οκτώβριος

Διαβάστε περισσότερα

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p.

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p. Θεωρια Αριθμων Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Μέρος Α: Πρώτοι Αριθμοί Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Διαιρετότητα: Διαιρετότητα, διαιρέτες, πολλαπλάσια, στοιχειώδεις ιδιότητες. Γραμμικοί Συνδυασμοί (ΓΣ). Ενότητα 2. Πρώτοι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 1 η ΟΣΣ (Συνδυαστική)

ΠΛΗ 20, 1 η ΟΣΣ (Συνδυαστική) ΠΛΗ 20, 1 η ΟΣΣ (Συνδυαστική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Οργανωτικά Ζητήματα Επικοινωνία: Επίλυση αποριών, οδηγίες,..., και λοιπά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ),

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ), Α Δ Ι Α - Φ 4 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 15 Νοεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 7: Σχέσεις και Συναρτήσεις

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 7: Σχέσεις και Συναρτήσεις Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 7: Σχέσεις και Συναρτήσεις Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 10: Αριθμητική υπολοίπων - Κυκλικές ομάδες: Διαιρετότητα - Ευκλείδειος αλγόριθμος - Κατάλοιπα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

i) Για να δείξουμε την επιθυμητή ισότητα, δείχνουμε πως A B {A x : x B} και πως {A x : x B} A B. Για τον πρώτο εγκλεισμό, έστω a A B, δηλάδη a A και a

i) Για να δείξουμε την επιθυμητή ισότητα, δείχνουμε πως A B {A x : x B} και πως {A x : x B} A B. Για τον πρώτο εγκλεισμό, έστω a A B, δηλάδη a A και a Θεωρία Συνόλων Χειμερινό Εξάμηνο 2016 2017 Λύσεις 1. Άσκηση 1.9 (σελ. 17), από τις σημειώσεις του Σκανδάλη. Εστω A, B δεδομένα σύνολα. Θα χρησιμοποιήσουμε τα αξιώματα αλλά αναφερόμενοι, αποκλειστικά, είτε

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

a. a + b = 3. b. a διαιρεί τ ο b. c. a - b = 0. d. ΜΚΔ(a, b) = 1. e. ΕΚΠ(a, b) = 6.

a. a + b = 3. b. a διαιρεί τ ο b. c. a - b = 0. d. ΜΚΔ(a, b) = 1. e. ΕΚΠ(a, b) = 6. ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2016 4 η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Άσκηση 4.1 [1 μονάδα] Βρείτε όλα τα διατεταγμένα ζεύγη στη σχέση R από το Α={0,1,2,3} στο Β={0,1,2,3,4} όπου (a,b) R αν και μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 27 Φεβρουαρίου 2016

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 27 Φεβρουαρίου 2016 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 6 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 665-67784 - Fax: 645 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4 Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΕΞΑΝΔΡΑ ΠΟΥΛΟΠΟΥΛΟΥ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ SUDOKU

ΑΛΕΞΑΝΔΡΑ ΠΟΥΛΟΠΟΥΛΟΥ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ SUDOKU ΑΛΕΞΑΝΔΡΑ ΠΟΥΛΟΠΟΥΛΟΥ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ SUDOKU ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ Ιστορική αναδρομή του Sudoku Μαθηματικό περιεχόμενο Συμμετρίες της λύσης Ενδιαφέροντα δεδομένα ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ Αρχικό όνομα Number Place

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Διακριτά Μαθηματικά Εξέταση Ιανουάριος 2015 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα