Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα"

Transcript

1 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 14. Χρονική Πολυπλοκότητα 17, 20, 24 Απριλίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1

2 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτε μπορούμε να περιγράψουμε με ένα αλγόριθμο μπορεί να υπολογιστεί με μια μηχανή Turing 2. υπάρχουν προβλήματα που δεν μπορούν να επιλυθούν (π.χ. πρόβλημα τερματισμού 3. υπάρχουν προβλήματα που μπορούν να επιλυθούν Επιλύσιμα προβλήματα Πόσους υπολογιστικούς πόρους απαιτούν χρόνο χώρο? 2

3 Παράδειγμα Το πρόβλημα του Πλανώδιου πωλητή: Για ένα σύνολο από πόλεις και κόστη διαδρομών από πόλη σε πόλη, βρες μια διαδρομή που να περνά από κάθε κόμβο του δικτύου ακριβώς μια φορά και να ελαχιστοποιεί την συνολικό κόστος της διαδρομής που θα ακολουθηθεί. Μπορεί να λυθεί σε (n-1)! χρόνο. Είναι μη ρεαλιστικός! Συμπέρασμα. Ορισμένα επιλύσιμα προβλήματα είναι υπολογιστικά δύσκολα 3

4 Ασυμπτωματικός Ρυθμός Ανάπτυξης Μια συνάρτηση f(n) λέμε ότι αυξάνεται πιο αργά από την συνάρτηση g(n) και συμβολίζεται f(n) g(n) εάν Γράφουμε f(n)= o (g(n)) εάν f(n) g(n) f(n)= Ο (g(n)) εάν για όλα τα n 0, f(n) K g(n). Γνωστές συναρτήσεις: (i=σταθερό) 1. Πολυλογαριθμική Σειρά: { (log(n)) i i = 1,2,...} 2. Πολυωνιμική Σειρά: {n i i = 1, 2,...} 3. Υποεκθετική Σειρά: { nlog n i i = 1,2,...} 4. Εκθετική Σειρά: {2 in i = 1,2,...} 5. Υπερεκθετική Σειρά: {2 n i i = 1,2,...} 4

5 Ιδιότητες Σε κάθε σειρά, εάν i < j τότε η i-οστή συνάρτηση αυξάνεται πιο αργά από την j-οστή. Π.χ., nlog(n) 3 nlog(n) 4. Για οποιεσδήποτε δύο σειρές, κάθε συνάρτηση στην προγενέστερη σειρά αυξάνεται πιο αργά από οποιαδήποτε συνάρτηση στην μεταγενέστερη σειρά. (εκτός απο την πρώτη συνάρτηση της τελευταίας σειράς). Π.χ., (log(n) 64 n n 2n 3. 5

6 Πολυπλοκότητα Χώρου και Χρόνου Υπολογιστική Πολυπλοκότητα μιας μηχανής Turing Χρόνος Χώρος (μνήμη) ΧΡΟΝΟΣ. Χρόνος εκτέλεσης μιας μηχανής Turing με είσοδο w, Time M (x) : Aριθμός βημάτων της μηχανής έως ότου η μηχανή τερματίσει. Αν δεν τερματίσει ο χρόνος είναι άπειρος Φράγμα χρόνου της M, t(n) x n, ( υποθέτουμε t(n) n+1 ) Time M (x) max{n+1, t(n)} 6

7 Πολυπλοκότητα Χρόνου Ποιο μοντέλο μηχανής Turing θεωρούμε? Θεώρημα. Για οποιαδήποτε Ντετερμινιστική Μηχανή Τuring (NMT) με πολλές ταινίες M, υπάρχει μια διπλής κατεύθυνσης, μονής ταινίας ΝΜΤ M 1 που υπολογίζει την ίδια συνάρτηση τέτοια ώστε για όλες τις εισόδους x, έχουμε Time M1 (x) c (Time M (x)) 2 γιακάποιασταθερά c > 0. 7

8 Πολυπλοκότητα Χώρου Για λέξη εισόδου x, ο χώρος μνήμης, Space M (x) τον οποίο η ΝΜΤ M χρησιμοποιεί πάνω στην x είναι οαριθμόςτωνκελιώνπάνωστιςταινίεςεργασίας(διάβασμα, εγγραφή) τα οποία η κεφαλή της ταινίας επισκέπτεται τουλάχιστον μια φορά κατά την διάρκεια του υπολογισμού. Η ΝΜΤ έχει ένα φράγμα χώρου s(n) εάν για είσοδο x, Space M (x) max {1,d s( x )e} Θεώρημα Για οποιοδήποτε ΝΜΤ με πολλές ταινίες Μ, υπάρχει ένα τυπικό ΝΜΤ μονής ταινίας εργασίας M 2 που υπολογίζει την ίδια συνάρτηση τέτοιο ώστε Space M2 (x) Space M (x) για όλα τα x. 8

9 Πολυπλοκότητα Χρόνου και Χώρου Θεώρημα 1. Για οποιαδήποτε ΝΜΤ M μονής ταινίας εργασίας και οποιαδήποτε είσοδο x, Space M (x) Time M (x) + 1. Συμπέρασμα. Ο χώρος είναι πιο ισχυρός από τον χρόνο, μπορούμε να επαναχρησιμοποιήσουμε τον χώρο ενώ τον χρόνο όχι. Ορισμός. Μια γλώσσα έχει χρονική πολυπλοκότητα f(n) εάν αποφασίζεται από μια ΝΜΤ με πολλές ταινίες με φράγμα χρόνου f(n). Ορισμός. Μιαγλώσσαέχειχωρική πολυπλοκότητα f(n) εάν αποφασίζεται από μια ΝΜΤ με πολλές ταινίες με φράγμα χώρου f(n). Για οποιαδήποτε συνάρτηση f(n), ορίζουμε κλάσεις πολυπλοκότητας: DTIME(f(n)) = {L L έχει χρονική πολυπλοκότητα f(n) } DSPACE(s(n)) = {L L έχει χωρική πολυπλοκότητα s(n) } 9

10 Συντελεστές της f(n) είναι σημαντικοί? Θεώρημα Συμπίεσης Ταινίας. Για οποιαδήποτε συνάρτηση s(n) και οποιαδήποτε σταθερά c > 0, DSPACE(s(n)) = DSPACE(c s(n)). Θεώρημα Θεώρημα Γραμμικής Επιτάχυνσης. Υποθέστε ότι lim n t(n)/n =. Τότε, για οποιαδήποτε σταθερά c > 0, DTIME(t(n)) = DTIME(c t(n)) Συμπέρασμα. Χρησιμοποιούμε τους τυπικούς ασύμπτωτικους ρυθμούς ανάπτυξης της f(n) (πχ. log n, n 2, 2 n ) για τις κλάσεις πολυπλοκότητας DSPACE(f(n)) και DTIME(f(n)) χωρίς να καθορίσουμε τους συντελεστές της f(n). 10

11 Κλάσεις Πολυπλοκότητας 11

12 Κλάση P (Polynomial Time) H ΝΜΤ M είναι μια ΝΜΤ πολυωνυμικού χρόνου εάν η M έχει φράγμα χρόνου t(n) για κάποια πολυωνυμική συνάρτηση t(n) = n c. Μια γλώσσα L είναι πολυνωνυμικά αποφασίσιμη αν υπάρχει μηχανή ΝΜΤ πολυωνυμικού χρόνου Μ που την αποφασίζει. Συμπερασματικά: H κλάση P περιέχει προβλήματα που μπορούν να αποφασιστούν σε πολυωνυμικό χρόνο από μια Ντετερμινιστική μηχανή Turing. Παρατήρηση. Από το Θεώρημα 1 (Space M (x) Time M (x) + 1), P PSPACE 12

13 Κλάση P Θεώρημα. ΗκλάσηP είναι κλειστή ως προς την πράξη της σύνθεσης, σύμπτυξης, ένωση, τομή, και συμπληρώματος, για γλώσσες. Απόδειξη. (ένωση A B) Έστω Μ 1 η ΝΜΤ που αποφασίζει για την γλώσσα A με φράγμα χρόνου p 1 Έστω Μ 2 η ΝΜΤ που αποφασίζει για την γλώσσα την B με φράγμα χρόνου p 2 p 1, p 2 : πολυωνυμικές συναρτήσεις ΗμηχανήΜ δύο ταινιών, για είσοδο w, αντιγράφει την w στην 2 η ταινία. Πρώτα προσομοιώνει την Μ 1 με είσοδο w στην 1η ταινία Mετά προσομοιώνει την M 2 με είσοδο w στην 2η ταινία Εάν είτε η Μ 1 είτε η Μ 2 αποδέχεται τη λέξη, η Μ αποδέχεται τη λέξη Αλλιώς την απορρίπτει. η Μ αποδέχεται την w εάν και μόνο αν είτε w Α ή w B. 13

14 Θήκη Kleene Έστω μια γλώσσα A P. Δείχνουμε ότι τότε Α * P. w in A* εάν και μόνο αν υπάρχει διαμερισμός της w ( w =n) σε υποσυμβολισειρές x=x 1 L x m, 1 m n, τέτοια ώστε x i A, για κάθε i=1, L m. Θεώρημα. ΗκλάσηP είναι κλειστή ως προς την πράξη της θήκης Kleene για γλώσσες. Απόδειξη. (Φροντιστήριο) 14

15 Γενικά Αποδεκτή Άποψη. ΗκλάσηP αντιπροσωπεύει την κλάση των εφικτών επιλύσιμων γλωσσών, ήαπλάεφικτών προβλημάτων. 15

16 Κλάση PSPACE (polynomial space) Περιέχει τα προβλήματα που μπορούν να λυθούν σε πολυωνυμικό χώρο. Ένα πρόβλημα που απαιτεί για παράδειγμα εκθετικό χρόνο μπορεί να απαιτεί μόνο πολυωνυμικό χώρο. Επειδή μπορούμε να αναγραφούμε στην ταινία στα σημεία τα οποία δεν θα τα χρειαστούμε στο μέλλον. Θεώρημα. PSPACE EXPPOLY Μια γλώσσα στην PSPACE μπορεί να επιλυθεί σε υποεκθετικό χρόνο. Μπορεί να λυθεί σε πολυνωνυμικό χρόνο? Μεγάλο αναπάντητο ερώτημα.. 16

17 Κλάση P 17

18 Προβλήματα στην κλάση P Μια κανονική γλώσσα L μπορεί να αποφασιστεί σε πολυωνυμικό χρόνο: Πώς?: από το διάγραμμα καταστάσεων ενός αυτόματου που δέχεται τη γλώσσα προκύπτει ένας αλγόριθμος που ελέγχει εάν w L, σε χρόνο w. Σύνολο Κανονικών γλωσσών P Μια γλώσσα χωρίς συμφραζόμενα L μπορεί να αποφασιστεί σε πολυωνυμικό χρόνο: Πώς?: από το διάγραμμα καταστάσεων του αυτόματου στοίβας το οποίο δέχεται τη γλώσσα προκύπτει ένας αλγόριθμος που ελέγχει εάν w L, σε χρόνο w.(σύνθετος αλγόριθμος, επειδή τα αυτόματα στοίβας είναι μη ντετερμινιστικά) Σύνολο γλωσσών χωρίς συμφραζόμενα P 18

19 Προβλήματα Πρόβλημα Συνεκτικότητας. Δεδομένου ενός κατευθυνόμενου γραφήματος G, υπάρχει ένα μονοπάτι μεταξύ δύο κόμβων v i, v j, όπου v i, v j V? Το πρόβλημα ανήκει στο P? H κλάση P αφορά γλώσσες!! Μετατρέπουμε το πρόβλημα έτσι ώστε να αφορά γλώσσες : Το Πρόβλημα Συνεκτικότητας σε μορφή γλώσσας: Γλώσσα R = {κ(g) b(i) b(j) : υπάρχει μονοπάτι από τον v i, v j στο G(V, E) } κ(g) = κωδικοποίηση G : δίνεται με ένα πίνακα γειτνίασης a(), a(i,j) =1 εάν και μόνο εάν υπάρχει ακμή μεταξύ των κόμβων v i και v j, όπου i, j n. b(i), b(j) = κωδικοποίηση των κόμβων v i και v j 19

20 Προβλήματα και Γλώσσες Έτσι, αναφερόμαστε σε προβλήματα και εννοούμε ότι τις αντίστοιχες γλώσσες τους. Το πρόβλημα συνεκτικότητας ανήκει P λύνεται σε χρόνο O(n 2 )(n=πλήθος κόμβων του G) Πώς? Μέσω ψαξίματος κατά πλάτος αρχίζοντας από τον κόμβο v i. 20

21 Προβλήματα.. Πρόβλημα Κύκλου Euler: Δεδομένου ενός γραφήματος G, υπάρχει κλειστό μονοπάτι στο G, το οποίο χρησιμοποιεί κάθε ακμή του G ακριβώς μια φορά? Σε μορφή γλώσσας: L = {κ(g) : το G είναι ένα γράφημα Euler (=έχει ένα κύκλο Euler)} Η L ανήκει στο P: Γιατί υπάρχει ένας χαρακτηρισμός (τηςμορφήςοg είναι γράφος Euler εάν και μόνο αν ισχύει κάτι) οοποίοςμπορεί να ελεγχθεί σε πολυωνυμικό χρόνο. 21

22 Προβλήματα που φαίνεται να ΜΗΝ ανήκουνστηνκλάσηp 22

23 Προβλήματα Πρόβλημα Κύκλου Hamilton: Δεδομένου ενός γραφήματος G, υπάρχειέναςκύκλοςπουναπερνάαπόκάθεκορυφήτουg ακριβώς μια φορά? Ένας αλγόριθμος για το πρόβλημα: εξέτασε όλες τα πιθανά μονοπάτια κόμβων έλεγξε εάν είναι Hamilton κύκλος. Απαιτεί εκθετικό χρόνο! Δενείναιγνωστόςπολυωνυμικόςαλγόριθμοςγιατοπρόβλημα 23

24 Προβλήματα Βελτιστοποίησης Το πρόβλημα του Πλανώδιου πωλητή: Για ένα δεδομένο δίκτυο με n κόμβους και αποστάσεις d ij που συμβολίζει την απόσταση των κόμβων v i v j, βρες μια διαδρομή π: που να περνά από κάθε κόμβο του δικτύου ακριβώς μια φορά και ελαχιστοποιεί τηνσυνολικήαπόστασηπουθαδιανυθεί. Δηλ. Βρες μια μετάθεση π του {1, 2, n} (δηλ. π(i) είναι η σειρά που περνούμε από την πόλη i στην διαδρομή) που να ελαχιστοποιεί το άθροισμα: c(π)= d π(1)π(2) + d π(1)π(2) +.+ d π(1)π(2) Μας ενδιαφέρει ΟΧΙ ΜΟΝΟ να βρουμε κάτι αλλά υπάρχει μια συνάρτηση κόστους c(π) ΚΑΙ επιθυμούμε να ικανοποιείται από το κατι. Ως γλώσσα: Δεδομένου ενός δικτύου με n κόμβους και αποστάσεις d ij και ενός ακεραίου B, υπάρχει μια μετάθεση του δικτύου τέτοια ώστε c(π) Β? 24

25 Το πρόβλημα του Πλανώδιου πωλητή ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ. Αν μπορούσαμε να λύσουμε το πρόβλημα βελτιστοποίησης, θα μπορούσαμε να λύσουμε και το πρόβλημα ως γλώσσα. δηλ. το πρόβλημα βελτιστοποίησης είναι πιο δύσκολο από την έκδοση του προβλήματος ως γλώσσα Δεν είναι γνωστός πολυνωνυμικός αλγόριθμος για το πρόβλημα 25

26 Το πρόβλημα Μέγιστου Ανεξάρτητου Συνόλου Το πρόβλημα μέγιστου ανεξάρτητου συνόλου: Για ένα δεδομένο γράφημα G(V, E) βρες ένα υποσύνολο I V τέτοιο ώστε για κάθε v i, v j Ι ισχύει (v i, v j ) Ε το Ι είναι το μέγιστο δυνατό για το γράφημα G. Σε μορφή γλώσσας: Το πρόβλημα μέγιστου ανεξάρτητου συνόλου: Για ένα δεδομένο γράφημα G(V, E) και ενός ακεραίου K, υπάρχει ένα υποσύνολο I V τέτοιο ώστε για κάθε v i, v j Ι (v i, v j ) V Ι K? Δεν είναι γνωστός πολυωνυμικός αλγόριθμος για το πρόβλημα 26

27 Ικανοποιησιμότητα Τύπων Bool Ορισμός. Τύπος Bool Χ={x 1, L, x n } : Δυαδικές Μεταβλητές Bool : αρνήσεις των x 1 L, x n ή literals Συνθήκη = (x i L x j )= (x i, L, x j ) = x 1 ή ή x j (x i : στοιχεία της C) Τύπος Bool σε κανονική διαζευκτική μορφή: F = {C 1, L, C m } = C 1 και C 2 και C m Παράδειγμα. 27

28 Ικανοποιησιμότητα Τύπων Bool Ορισμός (συνέχεια). Απόδοση τιμών αληθείας (truth assignment) Τ για τον F είναι μια συνάρτηση Τ: Χ {>, }, όπου > = αληθές = ψευδές Η Τ ικανοποιεί τον F εάν: για κάθε συνθήκη C F υπάρχει τουλάχιστον μια μεταβλητή x i, τέτοια ώστε είτε 1. T(x i ) = > και x i C (x i : αληθές στοιχείο) είτε 2. T(x i ) = και : αληθές στοιχείο) O F είναι ικανοποιήσιμος εάν υπάρχει μια απόδοση τιμών αληθείας που τον ικανοποιεί. 28

29 Παράδειγμα. H Τ είναι αληθής για την F. 29

30 Παράδειγμα. Παράδειγμα 2. Ο F δεν είναι ικανοποιήσιμος! Γιατί? 30

31 Πρόβλημα Ικανοποιησιμότητας Ορισμός. Ικανοποιησιμότητα (Satisfiability) ή SAT : Δεδομένου ενός τύπου Bool F σε κανονική διαζευκτική μορφή, είναι ικανοποιήσιμος? Δεν υπάρχει γνωστός πολυωνυμικός αλγόριθμος για το πρόβλημα 31

32 Ειδικές περιπτώσεις δύσκολων προβλημάτων Περιορισμός SAT σε δύο στοιχεία για κάθε συνθήκη : 2-SAT Παράδειγμα. 32

33 Πολυωνυμικός Αλγόριθμος για το 2-SAT 1. Ξεκαθάρισμα: 1. Εάν έχουμε μια συνθήκη με μόνο ένα στοιχείο, θέτουμε την αντίστοιχη σε μεταβλητή έτσι ώστε η συνθήκη να είναι αληθής. 2. Ελέγχουμε τις υπόλοιπες συνθήκες: 1. αν έχουν το ίδιο στοιχείο είναι αληθείς. Oπότε τις αφαιρούμε. 2. αν έχουν την άρνηση του στοιχείου σημαίνει ότι το 2 ο στοιχείο της συνθήκης πρέπει να είναι αληθές, οπότε εκτελούμε το Ξεκαθάρισμα για το στοιχείο αυτό. Παράδειγμα. 33

34 2. (Τώρα έχουμε 2 μεταβλητές σε κάθε συνθήκη) Για κάθε μεταβλητή x i σε κάθε συνθήκη: Θέτουμε Τ(x i ) => και κάνουμε Ξεκαθάρισμα. Επαναφέρουμε τον F στην αρχική μορφή (πριν το προηγούμενο βήμα), θέτουμε Τ(x i )= και κάνουμε Ξεκαθάρισμα. Αν και τα δύο Ξεκαθαρίσματα αποτύχουν συμπεραίνουμε ότι ο F είναι μη ικανοποιήσιμος. Αλλιώς αναθέτουμε στην x i την επιτυχή τιμή αληθείας και επαναλαμβάνουμε το βήμα 2 για την επόμενη μεταβλητή. Παράδειγμα. 34

35 Πολυωνυμικός Αλγόριθμος για το 2-SAT Χρονική Πολυπλοκότητα Αλγόριθμου: Σε κάθε μεταβλητή γίνονται το πολύ δύο ξεκαθαρίσματα Κάθε Ξεκαθάρισμα παίρνει πολυωνυμικό χρόνο. Πόσο? Ο αλγόριθμος παίρνει πολυωνυμικό χρόνο. Πόσο? 35

36 Κλάση NP 36

37 Μη-Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing: Eίναι δυνατόν σε μια συνολική κατάσταση να υπάρχουν πολλές δυνατές επόμενες συνολικές καταστάσεις (μεταβάσεις). Ο υπολογισμός σε μια ΝΜΤ είναι ένα μονοπάτι από συνολικές καταστάσεις. Ο υπολογισμός σε μια ΜΜΤ είναι ένα δένδρο από συνολικές καταστάσεις. Mια ΜΜΤ M δέχεται μια είσοδο x εάν υπάρχει τουλάχιστον ένα πεπερασμένο μονοπάτι υπολογισμού (a 0, L, a m ), a i : συνολική κατάσταση, στο δέντρο υπολογισμού της M με ρίζα a 0 = (s, BxB) και φύλλο a m = (h, uyv), όπου a i a i+1. Για κάποιες εισόδους η M το δένδρο υπολογισμού μπορεί να είναι άπειρο. 37

38 Λειτουργία ΜΜΤ Ορισμός. Για μια ΜΜT M, L(M) να είναι το σύνολο όλων των λέξεων που δέχεται η M. Στάδιο Εικασίας (μαντέματος, guessing) Μαντεύει ποια είναι η κατάλληλη μεταβίβαση για την είσοδο που έχει και την εκτελεί. Στάδιο επαλήθευσης: Ελέγχει ντετερμινιστικά αν το μάντεμα ήταν σωστό για την είσοδο που έχει. 38

39 Πολυπλοκότητα Χρόνου σε μια ΜΜΤ Πολυπλοκότητα Χρόνου σε μια ΜΜΤ M: Για x L(M), Time M (x) είναι ο αριθμός βημάτων στο πιο σύντομο μονοπάτι υπολογισμού αποδοχής της x. Δηλ. στο στάδιο του μαντέματος, μαντεύει με την πρώτη προσπάθεια το σωστό (αν υπάρχει). Εάν η M απορρίπτει την x, θέτουμε Time M (x) =. Η M έχει φράγμα χρόνου t(n) εάν Time M (x) max{ x + 1, t( x )} για όλα τα x L(M). Ορισμός. Μια γλώσσα έχει χρονική πολυπλοκότητα f(n) εάν αποφασίζεται από μια ΜΜΤ σε φράγμα χρόνο f(n). 39

40 Πολυπλοκότητα Χρόνου και Χώρου για ΜΜΤ Πολυπλοκότητα Χώρου σε μια ΜΜΤ M: Εάν x L(M), τότε θέτουμε Space M (x), να είναι ο αριθμός των κελιών ταινίας στην ταινίας εργασίας (διαβάζει, γράφει) που επισκέπτεται η M είναι ένα υπολογιστικό μονοπάτι αποδοχής που χρησιμοποιεί τον ελάχιστο χώρο. Εάν η M απορρίπτει την x, θέτουμε Space M (x) =. Η M έχει φράγμα χώρου s(n) εάν Space M (x) max{ x + 1, s( x )} για όλα τα x L(M). Ορισμός. Μιαγλώσσαέχειχωρική πολυπλοκότητα s(n) εάν αποφασίζεται από μια MΜΤ φράγμα χώρου f(n). 40

41 Κλάσεις Πολυπλοκότητας σε ΜΜΤ NTIME( t(n) ) = {L(M) M είναι μια ΜΜΤ με φράγμα χρόνου t(n)} NSPACE( s(n) ) = {L(M) M είναι μια ΜΜΤ με φράγμα χώρου s(n)} NP = U c>0 NTIME(n c ) (Non-Deterministic Polynomial Time) NPSPACE = U c>0 NSPACE(n c )(Non-Deterministic Polynomial Space) 41

42 Γνωστά Θεωρήματα Παρατηρείστε: P NP NP NPSPACE Θεώρημα. Για οποιαδήποτε σταθερά c > 0, ΝSPACE(s(n)) = ΝSPACE(c s(n)). Θεώρημα. Υποθέστε ότι lim n t(n)/n=. Τότε, για οποιαδήποτε σταθερά c>0, ΝTIME(t(n)) = ΝTIME(c t(n)) Θεώρημα Savitch. Εάν s(n) log n τότε NSPACE( s(n) ) DSPACE( ( s(n) 2 ). Πόρισμα 1. PSPACE = NPSPACE (από Θεώρημα Savitch και PSPACE NPSPACE) Πόρισμα 2. NP PSPACE (αφού ΝP NPSPACE = PSPACE) 42

43 Πλεονέκτημα Μη Ντετερμινισμού Μια μη-ντετερμινιστική μηχανή Turing μπορεί να μαντεύει τα υποψήφια μονοπάτια μπορεί να είναι εκθετικού πλήθους Μια ντετερμινιστική μηχανή Turing θα έπρεπε να τα ελέγχει όλα για να βρει το σωστό εκθετικός χρόνος Μια μη-ντετερμινιστική μηχανή μπορεί να μαντέψει το σωστό και να ελέγξει ότι όντως είναι. Κλάση NP Περιλαμβάνει τα προβλήματα για τα οποία μια μηντετερμινιστική μηχανή μπορεί να μαντέψει ένα μονοπάτι υπολογισμού του προβλήματος (μια υποψήφια λύση) και να ελέγξει εάν είναι σωστό σε πολυωνυμικό χρόνο. 43

44 Ένα Μεγάλο Ερώτημα ΗκλάσηNP φαίνεται ότι περιέχει μεγαλύτερη πληθώρα προβλημάτων Υπάρχει ανάλογο του Πορίσματος 1 (PSPACE=NPSPACE) για τις (χρονικές) κλάσεις P και NP? Δηλ. P=NP? Το ερώτημα παραμένει ανοικτό από το 1970 και θεωρείται το πιο σημαντικό ανοικτό ερώτημα στη Θεωρία Πολυπλοκότητας co-np = κλάση συνόλων Α ταοποίατασυμπληρώματαανήκουνστηνnp. Οι μη ντετερμινιστικές κλάσεις πολυπλοκότητας που είναι χρονικά φραγμένες δεν είναι γνωστό ότι είναι κλειστές ως προς το συμπλήρωμα. 44

45 Φροντιστήριο Παράδειγμα. Δείξτε ότι NSPACE(n) & NSPACE(n 2 log n). 45

46 Σχέσεις κλάσεων πολυπλοκότητας A B σημαίνει A $ B, A? B σημαίνει A B, αλλά δεν είναι γνωστό κατά πόσο A = B. 46

47 Προβλήματα που ανήκουν στην κλάση NP Το πρόβλημα SAT ανήκει στην κλάση NP. Απόδειξη. Σχεδιάζουμε μια ΜΜΤ M η οποία αποφασίζει σε πολυωνυμικό μη ντετερμινιστικό χρόνο για οποιαδήποτε στιγμιότυπο I=(X,F) του προβλήματος SAT εάν είναι ικανοποιήσιμο. 1 η φάση. Έστω F το στιγμιότυπο του SAT στην είσοδο της μηχανής. Μετρά τις μεταβλητές του F(=n)καιγράφεισεμιαδεύτερηταινίατη λέξη BI n. 2 η φάση (Μη-ντετερμινιστική φάση). Μη ντετερμινιστικά (μαντεύοντας), αντικαθιστά τη λέξη B I n με μια λέξη w {>, }. 3 η φάση (Ντετερμινιστική φάση). Ελέγχει εάν w ικανοποιεί την F. Ο αλγόριθμος τρέχει σε πολυωνυμικό μη ντετερμινιστικό χρόνο. Γιατί? 47

48 Παράδείγμα. (Φροντιστήριο) Να δείξετε ότι το πρόβλημα του πλανώδιου πωλητή ανήκει στην κλάση NP. Απόδειξη. Είσοδος: I= (D, B) πίνακας n n, στοιχεία : d ij Μάντεμα (μη ντετερμινιστική φάση): Μαντεύει μια λύση για το I: Η ΜΜΤ γράφει σε μια 2 η ταινία μια συμβολοσειρά από 0, 1 και t μήκους I. Έλεγχος (ντετερμινιστική φάση): 1. Ελέγχει αν η λέξη που έγραψε είναι μια δυαδική κωδικοποίηση μιας μετάθεσης n αριθμών διαχωρισμένων με ένα κενό, δηλ. της μορφής π(1) t π(2) L t π(n). A. Εάν ναι, τότε υπολογίζει το κόστος της μετάθεσης π, c(π) με βάση των πίνακα με τα κόστη διαδρομών D. a) Εάν c(π) B αποφασίζει YES. 2. Αλλιώς αποφασίζει NO. Ο αλγόριθμος ολοκληρώνεται σε πολυωνυμικό μη ντετερμινιστικό χρόνο. 48

49 Θεώρημα. Αν L NP τότε L EXP. Απόδειξη. Έστω Μ μια μη ντετερμινιστική μηχανή Turing που αποφασίζει την L σε πολυωνυμικό χρόνο p(n). Θα κατασκευάσουμε μια ντετερμινιστική μηχανή Turing M ηοποία αποφασίζει για την L σε χρόνο c p(n)., όπου c<2 k, k=σταθερή παράμετρος γλώσσας. H M προσομοιώνει την Μ για όλους τους δυνατούς υπολογισμούς της μήκους 1, 2,, p(n). 49

50 Συμπέρασμα. P ΝP EXP. Ε={(p(m),w) η Μ δέχεται την είσοδο w σε το πολύ 2 w βήματα. Ε EXP Ε P (θεώρημα προηγούμενης διάλεξης). είτε P & ΝP ή ΝP & EXP. Ποιο από τα δύο ισχύει είναι ένα μεγάλο ανοικτό ερώτημα! 50

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κλάσεις P, NP NP-πληρότητα 15 Απριλίου 2008 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτε μπορούμε να περιγράψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity

Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity 12 December 2008 1 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτεμπορούμεναπεριγράψουμεμεένααλγόριθμο μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity

Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity 19 December 2008 1 1 Κλάση NP 2 Μη-Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing: Eίναι δυνατόν σε μια συνολική κατάσταση να υπάρχουν πολλές δυνατές επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 18: Χρονική και Χωρική Πολυπλοκότητα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 18: Χρονική και Χωρική Πολυπλοκότητα ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 18: Χρονική και Χωρική Πολυπλοκότητα Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγικά Χρονική Πολυπλοκότητα (7) Κλάση P (7.2) Κλάση ΝΡ (7.3) ΝΡ-πληρότητα (7.4) Χωρική

Διαβάστε περισσότερα

CSC 314: Switching Theory

CSC 314: Switching Theory CSC 314: Switching Theory Course Summary 9 th January 2009 1 1 Θέματα Μαθήματος Ερωτήσεις Τι είναι αλγόριθμος? Τι μπορεί να υπολογιστεί? Απαντήσεις Μοντέλα Υπολογισμού Δυνατότητες και μη-δυνατότητες 2

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων

Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 Αναγάγουμε τν Κ 0 που γνωρίζουμε ότι είναι μη-αναδρομική (μη-επιλύσιμη) στην γλώσσα: L = {p() η μηχανή Turing Μ τερματίζει με είσοδο κενή ταινία;} Δοσμένης της περιγραφής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 12: Μη ντετερμινιστικές μηχανές Turing Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 7, 8 : Completeness

Chapter 7, 8 : Completeness CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Completeness 19 December 2008 1 1 Αναγωγές Πολυωνυμικού Χρόνου Ορισμός. f: Σ * Σ * ονομάζεται υπολογίσιμη σε πολυνωνυμικό χρόνο αν υπάρχει μια πολυωνυμικά φραγμένη

Διαβάστε περισσότερα

Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα

Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing Μη ντετερμινιστική

Διαβάστε περισσότερα

t M (w) T ( w ) O( n) = O(n 2 )

t M (w) T ( w ) O( n) = O(n 2 ) Κεφάλαιο 9 Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Σύνοψη Πέρα από το ερώτημα του αν για ένα πρόβλημα υπάρχει Μηχανή Turing, που το επιλύει, μας απασχολεί επίσης και το ερώτημα του αν ένα πρόβλημα είναι «πρακτικά»

Διαβάστε περισσότερα

Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα

Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Διδάσκοντες: Σ Ζάχος, Δ Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές

Διαβάστε περισσότερα

Πολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης

Πολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Επανάληψη Μαθήματος

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Επανάληψη Μαθήματος ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Επανάληψη Μαθήματος Το Μάθημα σε μια Διαφάνεια Υπολογιστικά μοντέλα Κανονικές Γλώσσες Ντετερμινιστικά Αυτόματα Μη Ντετερμινιστικά Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 15 Ιουνίου 2009 1 / 26 Εισαγωγή Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Κλάσεις Πολυπλοκότητας

Κλάσεις Πολυπλοκότητας Κλάσεις Πολυπλοκότητας Παύλος Εφραιμίδης pefraimi ee.duth.gr Κλάσεις Πολυπλοκότητας 1 Οι κλάσεις πολυπλοκότητας P και NP P: Polynomial ΗκλάσηP περιλαμβάνει όλα τα υπολογιστικά προβλήματα που μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή Πολυταινιακές Μηχανές Turing (3.2.1) Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου Ένας αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου έχει χρόνο εκτέλεσης όπου είναι μία (θετική) σταθερά Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό

Διαβάστε περισσότερα

Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα

Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Μη Ντετερμινισμός και P-Πληρότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing Μη ντετερμινιστική Μηχ. Turing (ΝTM)

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { D το D είναι ένα DFA το οποίο αποδέχεται όλες τις λέξεις στο Σ * } (α) Για να διαγνώσουμε το πρόβλημα μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα αναζήτησης είναι ένα πρόβλημα στο

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 11 Λύσεις

Φροντιστήριο 11 Λύσεις Άσκηση 1 Φροντιστήριο 11 Λύσεις Να αποδείξετε ότι η κλάση Ρ είναι κλειστή ως προς τις πράξεις της ένωσης, της συναρμογής και του συμπληρώματος. Θα πρέπει να δείξουμε ότι: (α) Ένωση: Αν οι Λ 1 και Λ 2 είναι

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 12 Λύσεις

Φροντιστήριο 12 Λύσεις Άσκηση 1 Φροντιστήριο 12 Λύσεις Να αποδείξετε ότι η κλάση Ρ είναι κλειστή ως προς τις πράξεις της ένωσης, της συναρμογής και του συμπληρώματος. Θα πρέπει να δείξουμε ότι: (α) Ένωση: Αν οι Λ 1 και Λ 2 είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θεμελιώσεις Επιστήμης Η/Υ ΠΛΗ30 Τελική Εξέταση 26 Ιουνίου 2013 Ονοματεπώνυμο Φοιτητή Αριθμός Μητρώου Φοιτητή Τμήμα Υπογραφή Φοιτητή Υπογραφή Επιτηρητή Διάρκεια: 180 Ερώτημα Μονάδες Βαθμολογία 1 10+10 2

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ανεπίλυτα Προβλήματα από τη Θεωρία Γλωσσών (5.1) To Πρόβλημα της Περάτωσης Το Πρόβλημα της Κενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός συγκρίσεων π

Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός συγκρίσεων π Περιορισμοί Αλγοριθμικής Ισχύος Κατηγοριοποίηση πολυπλοκοτήτων Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 24: Μη Ντεντερμινιστικές Μηχανές Turing Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Η NTM αποδέχεται αν µονοπάτι στο δέντρο που οδηγεί σε αποδοχή.

Η NTM αποδέχεται αν µονοπάτι στο δέντρο που οδηγεί σε αποδοχή. Μη ντετερµινιστικές Μηχανές Turing - NTMs (1/6) Μηχανές Turing: Μη ντετερµινισµός, Επιλύσιµα Προβλήµατα Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς 10 εκεµβρίου 2016

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θεμελιώσεις Επιστήμης Η/Υ ΠΛΗ30 Τελική Εξέταση 2 Ιουλίου 2014 Ονοματεπώνυμο Φοιτητή Αριθμός Μητρώου Φοιτητή Τμήμα Υπογραφή Φοιτητή Υπογραφή Επιτηρητή Διάρκεια: 180 Ερώτημα Μονάδες Βαθμολογία 1 8+8+4 2

Διαβάστε περισσότερα

NP-πληρότητα. Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων

NP-πληρότητα. Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων NP-πληρότητα Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Πολυωνυμικός μετασχηματισμός Ένας πολυωνυμικός μετασχηματισμός από την L 1 Σ 1 * στην L 2 Σ 2 * είναι μια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) ({ G η G είναι μια ασυμφραστική γραμματική που δεν παράγει καμιά λέξη με μήκος μικρότερο του 2 } (β) { Μ,w

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Ενότητα 11: Περιορισμοί της Αλγοριθμικής Ισχύος

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Ενότητα 11: Περιορισμοί της Αλγοριθμικής Ισχύος ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 11: Περιορισμοί της Αλγοριθμικής Ισχύος Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών 1 Συναρτήσεις και ο υπολογισµός τους 2 Μηχανές Turing 3 Καθολικές γλώσσες προγραµµατισµού 4 Μια µη υπολογίσιµη συνάρτηση 5 Πολυπλοκότητα προβληµάτων 1 Συναρτήσεις Μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 10 Λύσεις

Φροντιστήριο 10 Λύσεις Άσκηση 1 Φροντιστήριο 10 Λύσεις Να κατασκευάσετε μια μηχανή Turing με δύο ταινίες η οποία να αποδέχεται στην πρώτη της ταινία μια οποιαδήποτε λέξη w {0,1} * και να γράφει τη λέξη w R στη δεύτερη της ταινία.

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα Αυτόματα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Πεπερασμένα Αυτόματα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πεπερασμένα Αυτόματα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πεπερασμένα Αυτόματα είναι απλούστερες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ

ΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ ΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ Επιμέλεια : Γεωργίου Κωστής Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος: Δίκτυα και πολυπλοκότητα Φεβρουάριος 004 μπλ Κίνητρα για τη μελέτη της μη προσεγγισιμότητας Ο πληρέστερος

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Παύλος Εφραιμίδης V1.1,

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Παύλος Εφραιμίδης V1.1, Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Παύλος Εφραιμίδης V1.1, 2015-01-19 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { Μ η Μ είναι μια ΤΜ η οποία διαγιγνώσκει το πρόβλημα ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΤΜ (διαφάνεια 9 25)} (α) Γνωρίζουμε ότι το

Διαβάστε περισσότερα

num(m(w 1 ;... ; w k )) = f(num(w 1 ),..., num(w k ))

num(m(w 1 ;... ; w k )) = f(num(w 1 ),..., num(w k )) Υπολογισμοί με Μ.Τ. Εστω M = (K, Σ, δ, s, {y, n}) μια Μ.Τ. Κάθε συνολική κατάσταση τερματισμού της οποίας η κατάσταση τερματισμού είναι το y, θα ονομάζεται συνολική κατάσταση αποδοχής, ενώ αν η κατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { G,k η G είναι μια ασυμφραστική γραμματική η οποία παράγει κάποια λέξη 1 n όπου n k } (β) { Μ,k η Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 9 Λύσεις

Φροντιστήριο 9 Λύσεις Άσκηση 1 Φροντιστήριο 9 Λύσεις Να κατασκευάσετε μια μηχανή Turing με δύο ταινίες η οποία να αποδέχεται στην πρώτη της ταινία μια οποιαδήποτε λέξη w {a,b} * και να γράφει τη λέξη w R στη δεύτερη της ταινία.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήµατα Ιεραρχίας Ειδικά Θέµατα Υπολογισµού και Πολυπλοκότητας, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Εαρινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων

Θεωρήµατα Ιεραρχίας Ειδικά Θέµατα Υπολογισµού και Πολυπλοκότητας, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Εαρινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Θεωρήµατα Ιεραρχίας Ειδικά Θέµατα Υπολογισµού και Πολυπλοκότητας, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Εαρινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Απόστολος Φίλιππας Τµήµα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής 19 Μαΐου,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ Φεβρουάριος 2005 Σύνολο μονάδων: 91

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ Φεβρουάριος 2005 Σύνολο μονάδων: 91 Ε.Μ.Πoλυτεχνείο ΣΗΜΜΥ, ΣΕΜΦΕ Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής & Υπολογιστών Διδάσκων: Ε.Ζαχος Ονοματεπώνυμο:... Αριθμός Μητρώου:... Σχολή:... εξάμηνο:... ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ Φεβρουάριος 005 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Γιατί κάποια (επιλύσιμα) προβλήματα είναι δύσκολο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβληµα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβληµα αναζήτησης είναι ένα πρόβληµα στο

Διαβάστε περισσότερα

Ασυμπτωτικός Συμβολισμός

Ασυμπτωτικός Συμβολισμός Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα {w 1w 2 w 1 {0,1} * και w 2 = 0 k 1 m όπου k και m

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { G 1, G 2 οι G 1 και G 2 είναι δύο CFG που παράγουν μια κοινή λέξη μήκους 144 } (β) { D,k το D είναι ένα DFA

Διαβάστε περισσότερα

Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες κάνουμε συχνά υποθέσεις. Οταν δείξουμε ότι μια υπόθεση είναι αλη

Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες κάνουμε συχνά υποθέσεις. Οταν δείξουμε ότι μια υπόθεση είναι αλη Υποθέσεις - - Θεωρήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 1ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες

Διαβάστε περισσότερα

Η δυαδική σχέση M ( «παράγει σε ένα βήμα» ) ορίζεται ως εξής: (q, w) M (q, w ), αν και μόνο αν w = σw, για κάποιο σ Σ

Η δυαδική σχέση M ( «παράγει σε ένα βήμα» ) ορίζεται ως εξής: (q, w) M (q, w ), αν και μόνο αν w = σw, για κάποιο σ Σ Πεπερασμένα Αυτόματα (ΠΑ) Τα πεπερασμένα αυτόματα είναι οι απλούστερες «υπολογιστικές μηχανές». Δεν έχουν μνήμη, μόνο μία εσωτερική μονάδα με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων. Διαβάζουν τη συμβολοσειρά εισόδου

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5 Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες () Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Πεπερασμένα Αυτόματα (Κεφάλαιο., Sipser) Ορισμός πεπερασμένων αυτομάτων και ορισμός του

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισιμότητα και Πολυπλοκότητα Computability and Complexity

Υπολογισιμότητα και Πολυπλοκότητα Computability and Complexity Υπολογισιμότητα και Πολυπλοκότητα Computability and Complexity Διδάσκων: Στάθης Ζάχος Επιμέλεια Διαφανειών: Μάκης Αρσένης CoReLab ΣΗΜΜΥ - ΕΜΠ Απρίλιος 2017 Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 16: Αναγωγές

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 16: Αναγωγές ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 16: Αναγωγές Τι θα κάνουμε σήμερα Το Πρόβλημα του Τερματισμού (4.2) Εισαγωγή στις Αναγωγές Ανεπίλυτα Προβλήματα από την Θεωρία των Γλωσσών (5.1) Απεικονιστικές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΚΛΑΣΕΩΝ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ

ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΚΛΑΣΕΩΝ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΚΛΑΣΕΩΝ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ Κλάσεις Πολυπλοκότητας Περιλαµβάνουν αναδροµικές γλώσσες Οι γλώσσες ταξινοµούνται στις κλάσεις πολυπλοκότητας ανάλογα µε τη δυσκολία απόφασης τους (ποσότητα απαιτούµενων

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικό Πρόβληµα

Υπολογιστικό Πρόβληµα Υπολογιστικό Πρόβληµα Μετασχηµατισµός δεδοµένων εισόδου σε δεδοµένα εξόδου. Δοµή δεδοµένων εισόδου (έγκυρο στιγµιότυπο). Δοµή και ιδιότητες δεδοµένων εξόδου (απάντηση ή λύση). Τυπικά: διµελής σχέση στις

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα και βασικές Ιδιότητες

Κυκλώματα και βασικές Ιδιότητες Κυκλώματα και βασικές Ιδιότητες Κύκλωμα C Κατευθυνόμενος ακυκλικός γράφος με n πηγές (κάθε μία αντιστοιχεί σε ένα bit εισόδου) και μία καταβόθρα (το bit εξόδου). Οι ενδιάμεσοι κόμβοι αντιστοιχούν σε κάποια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 15: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα) ΙΙ

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 15: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα) ΙΙ ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 15: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα) ΙΙ Τι θα κάνουμε σήμερα Επιλύσιμα Προβλήματα σχετικά με Ασυμφραστικές Γλώσσες (4.1.2) Το Πρόβλημα του Τερματισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισμού

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισμού 12.1 Συναρτήσεις και ο υπολογισμός τους 12.2 Μηχανές Turing 12.3 Καθολικές γλώσσες προγραμματισμού 12.4 Μια μη υπολογίσιμη συνάρτηση 12.5 Πολυπλοκότητα προβλημάτων 12.6

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing που να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { n 3 } (α) H ζητούμενη μηχανή Turing μπορεί να διατυπωθεί ως την επτάδα Q,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 12. Θεωρία Υπολογισιμότητας 30Μαρτίου, 17 Απριλίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Θέση Church-Turing Τι μπορεί να υπολογιστεί και τι δεν μπορεί να υπολογιστεί?

Διαβάστε περισσότερα

ILP-Feasibility conp

ILP-Feasibility conp Διάλεξη 19: 23.12.2014 Θεωρία Γραμμικού Προγραμματισμού Γραφέας: Χαρίλαος Τζόβας Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 19.1 Θεωρία Πολυπλοκότητας και προβλήματα απόφασης Για να μιλήσουμε για προβλήματα και τον

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 10. Μηχανές Turing 20,23 Μαρτίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Μηχανές Turing: Ένα Γενικό Μοντέλο Υπολογισμού Ποια μοντέλα υπολογισμού μπορούν να δεχθούν γλώσσες

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { ww w {a,b}* }. (β) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Διαγνώσιμες Γλώσσες (4.1) Επιλύσιμα Προβλήματα σχετικά με Κανονικές Γλώσσες Επιλύσιμα Προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Υποθέσεις - Θεωρήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 1ο Μάθημα. Η χρυσή τομή. Υποθέσεις - Εικασίες

Υποθέσεις - Θεωρήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 1ο Μάθημα. Η χρυσή τομή. Υποθέσεις - Εικασίες Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Μαθηματικά Πληροορικής ο Μάθημα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες κάνουμε συχνά υποθέσεις. Οταν δείξουμε ότι μια υπόθεση είναι

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική πολυπλοκότητα αλγόριθµου Α: Ποσότητα υπολογιστικών πόρων που απαιτεί Α ως αύξουσα συνάρτηση µεγέθους στιγµιότυπου εισόδου. Χρόνος, µνήµη, επεξεργαστές, επικοινωνία,

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισμού

Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισμού Κεφάλαιο 3 Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισμού Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται μια εισαγωγή σε βασικές έννοιες της θεωρίας υπολογισμού, με έμφαση στην υπολογιστική πολυπλοκότητα. Η εξοικείωση με τις έννοιες αυτές

Διαβάστε περισσότερα

Ασυμπτωτικός Συμβολισμός

Ασυμπτωτικός Συμβολισμός Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική πολυπλοκότητα αλγόριθμου Α: Ποσότητα

Διαβάστε περισσότερα

Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών

Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών Μετασχηματισμοί Υπολογιστικών Προβλημάτων Αναγωγές και Πληρότητα Προσαρμογή από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 3ο μέρος σημειώσεων: Μέθοδος της Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem)

Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα Σχετίζεται με τη διαχείριση της κίνησης οχημάτων στους δρόμους Αν δεν υπήρχαν καθυστερήσεις στην κίνηση στις πόλεις Αποφυγή σπατάλης ενέργειας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 13: Πολυωνυμική αναγωγή Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 4. Μη Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα 9,19 Φεβρουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Μοντέλα Υπολογισμού Μη Ντετερμινιστικό Πεπερασμένα Αυτόματα: Διαφορά

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Χρονική Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Χρονική Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Χρονική Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Μέτρηση της Πολυπλοκότητας (7.1) Η κλάση Ρ (7.2) Η κλάση ΝΡ (7.3) ΝΡ-πληρότητα (7.4)

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Αποδείξεις Κάτω Φραγμάτων

Τεχνικές Αποδείξεις Κάτω Φραγμάτων Τεχνικές Αποδείξεις Κάτω Φραγμάτων Θέλουμε να δείξουμε κυκλωματικά κάτω φράγματα για ομοιόμορφες κλάσεις επειδή: Δίνουν μεγάλη πληροφορία για τις κλάσεις αυτές: π.χ. αν EXP P /poly σημαίνει Ότι παρότι

Διαβάστε περισσότερα

HEAD INPUT. q0 q1 CONTROL UNIT

HEAD INPUT. q0 q1 CONTROL UNIT Πεπερασμένα Αυτόματα (ΠΑ) Τα πεπερασμένα αυτόματα είναι οι απλούστερες «υπολογιστικές μηχανές». Δεν έχουν μνήμη, μόνο μία εσωτερική μονάδα με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων. Διαβάζουν τη συμβολοσειρά εισόδου

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Ορθότητα και Πληρότητα

4.3 Ορθότητα και Πληρότητα 4.3 Ορθότητα και Πληρότητα Συστήματα αποδείξεων όπως η μορφολογική παραγωγή και η κατασκευή μοντέλων χρησιμοποιούνται για να δείξουμε την εγκυρότητα εξαγωγών συμπερασμάτων. Ένα σύστημα αποδείξεων μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 11: Κλειστότητα, ΠΑ & καν. εκφράσεις Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα

Αλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα Αλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: E. Ζάχος, Α. Παγουρτζής Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

conp and Function Problems

conp and Function Problems conp and Function Problems 1 Ένα πρόβλημα απόφασης λέμε ότι επιλύεται σε μηντετερμινιστικό πολυωνυμικό χρόνο αν υπάρχει ένας μηντετερμινιστικός αλγόριθμος που, εκμεταλλευόμενος μια τυχαία επιλογή, μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ανάλυση Αλγορίθμων Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ανάλυση Αλγορίθμων Η ανάλυση αλγορίθμων περιλαμβάνει τη διερεύνηση του τρόπου

Διαβάστε περισσότερα

Κλάση NP, NP-Complete Προβλήματα

Κλάση NP, NP-Complete Προβλήματα Κλάση NP, NP-Complete Προβλήματα Βαγγέλης ούρος douros@aueb.gr 1 11/6/2012 Αλγόριθμοι, Εαρινό Εξάμηνο 2012, Φροντιστήριο #14 Προβλήματα Απόφασης & Βελτιστοποίησης 2 Πρόβλημα Απόφασης: Κάθε πρόβλημα που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 14: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα)

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 14: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα) ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 14: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα) Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή Επιλύσιμα Προβλήματα σχετικά με τις Κανονικές Γλώσσες (4.1.1) Επιλύσιμα Προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 8: Ιδιότητες Γραμματικών χωρίς Συμφραζόμενα Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι για αυτόματα

Αλγόριθμοι για αυτόματα Κεφάλαιο 8 Αλγόριθμοι για αυτόματα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 8.1 Πότε ένα DFA αναγνωρίζει κενή ή άπειρη γλώσσα Δοθέντος ενός DFA M καλούμαστε

Διαβάστε περισσότερα

Ασυμπτωτικός Συμβολισμός

Ασυμπτωτικός Συμβολισμός Ασυμπτωτικός Συμβολισμός Επιμέλεια διαφανειών: Δημήτρης Φωτάκης (λίγες προσθήκες: Άρης Παγουρτζής) Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing που να διαγιγνώσκει την ακόλουθη γλώσσα. { a n b n+2 c n 2 n 2 } Λύση: H ζητούμενη μηχανή Turing μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνοσhmμy 3η ενότητα: Βασικές έννοιες θεωρίας υπολογισμού: υπολογιστικά προβλήματα, υπολογισιμότητα, πολυπλοκότητα Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 4. Πεπερασμένα Αυτόματα 6 Φεβρουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Μοντέλα Υπολογισμού 1930 : Μηχανή Turing : αφαιρετική μηχανή (μοντελοποίηση ενός υπολογιστή)

Διαβάστε περισσότερα

για NP-Δύσκολα Προβλήματα

για NP-Δύσκολα Προβλήματα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { R η R είναι μια κανονική έκφραση η οποία παράγει μια μη πεπερασμένη γλώσσα} (β) { G η G είναι μια CFG η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγόριθμους. Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας

Εισαγωγή στους Αλγόριθμους. Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας Εισαγωγή στους Αλγόριθμους Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας http://pericles.ee.duth.gr 1 Περιεχόμενα Μαθήματος Εισαγωγή στου Αλγόριθμους Πολυπλοκότητα Αλγορίθμων Ασυμπτωτική Ανάλυση Θεωρία Γράφων Κλάσεις Πολυπλοκότητας

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 8η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των S. Russel

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { w w = (ab) 2m b m (ba) m, m 0 } (β) Να διατυπώσετε

Διαβάστε περισσότερα