Ενότητα 3: Ακρότατα συναρτήσεων μίας ή πολλών μεταβλητών. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών
|
|
- θάνα Λύτρας
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Ακρότατα συναρτήσεων μίας ή πολλών μεταβλητών Νίκος Καραμπετάκης
2 Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
3 Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
4 Maximum-Minimum Problems of One Variable Functions. Absolute Maximum-Minimum. Constrained Problems. Maximum-Minimum Problems of Two Variable Functions. Absolute Maximum-Minimum. Matrix Theory. 4
5 Βελτιστοποίηση συναρτήσεων μιας μεταβλητής. Βελτιστοποίηση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. 5
6 A function f x has a relative maximum f(a) at the point a, f(a) if f(a) f(x) for all x in some open interval containing a. A function f x has a relative minimum f(a) at the point a, f(a) if f(a) f(x) for all x in some open interval containing a. Relative minimum f a 0 f a 0 f (a) = 0 f a+h f a h f a+h f a h 0 if h > 0 0 if h < 0 6
7 Theorem 1. If f(x) is differentiable at a and is defined on an open interval containing a and f(a) is either a relative maximum or a relative minimum of f(x) THEN f a = 0. Example 1. Find the relative minimum-maximum of f x = x 3 3x + 2, x + Since f(x) is differentiable on R and f (x) = 3x 2 3 = 3 x 1 x + 1 then we possibly (since Theorem 1 does not give necessary and sufficient conditions ) have a relative minimum-maximum at x = ±1. 7
8 x 3 3 x
9 Find the relative minimum-maximum of The derivative of f(x)is f x = x 2/3, 2 x +3 f x = 2 3 x2 3 1 = 2 3 The derivative does not exist at x = 0. Nowhere f x = 0. Are there any relative maximum-minimum? Note that the theorem does not say anything about the points: Where there is no derivative. The boundaries of our domain. 1 x 1 3 9
10 x
11 Find the relative minimum-maximum of f x = x 3, 3 x +3 The derivative of f(x)is f x = 3x 2 Note that f x = 0 x = 0 but we don t have any relative minimum-maximum at x = 0. Note: The converse of the Theorem 1 is not always True! 11
12 x
13 Let a be a critical value of f(x) and suppose that f(x) is differentiable for all values of x near to a (but not necessarily at a). For values of x near a, A. If f (x) 0 for x < a and f (x) 0 for x > a, then f(a) is a relative maximum. B. If f (x) 0 for x < a and f (x) 0 for x > a, then f(a) is a relative minimum. C. If f (x) has the same sign on both sides of x = a, then f(a) is neither minimum nor maximum. 13
14 Find the relative minimum-maximum of f x = x 3 3x + 2, x + Since f(x) is differentiable on R and f (x) = 3x 2 3 = 3 x 1 x + 1 f (x) 0, x (, 1] f x = 1 (maximum) (x) 0 x 1,1 f (x) 0, x 1,1 f x = 1 (minimum) (x) 0 x 1, + ) 14
15 15
16 Find the relative minimum-maximum of The derivative of f(x)is f x = x 3, 3 x +3 f x = 3x 2 0 Since f x has the same sign on both sides of x = 0, then f 0 is neither minimum or maximum. 16
17 Suppose that f(x) is twice differentiable function in some interval about a and suppose that f a = 0. A. If f a < 0 then f(a) is a relative maximum of f x. B. If f a > 0 then f(a) is a relative minimum of f x. C. If f a = 0 then the test is inconclusive. I. If f a = f a = = f n 1 a = 0, f n (a) 0 then a) a is an extreme point iff n is even (like f x = x 2 ). Further when n is even, there is a relative maximum at x = a if f n a < 0 and a relative minimum if f n a > 0. b) a is an inflexion if is odd (like f x = x 3 ). 17
18 Find the relative minimum-maximum of f x = x 3 3x + 2, x + Since f(x) is differentiable on R and f x = 3x 2 3 f 1 = f 1 = 0 f x = 6x f 1 = 6 < 0 f 1 = 6 > 0 f 1 relative maximum f 1 relative minimum 18
19 The absolute maximum of the function f(x) is a value f(a) such that f a f(x) for all values of x in the domain of f(x). The absolute minimum of the function f(x) is a value f(a) such that f a f(x) for all values of x in the domain of f(x). How to find the absolute maximum-minimum of the continuous function f(x) on a, b? 19
20 1. Find all the critical values of f(x) i.e. f x = Find the values f a, f(b). 3. Find the values of f(x) for the points where there is no derivative of f(x). 4. Of the above values, the largest is the absolute maximum, and the smallest is the absolute minimum. 20
21 A manufacturing company plans to make microwave-safe cake pans by cutting squares out of the corners of a 12-inch by 12-inch piece of plastic, and then bending the sides up. The seam along each corner will be fused to finish the pan. The manufacturer wishes to determine what size square should be cut from the corners to make a pan of the greatest possible volume. 21
22 Step 1. Understand the problem V=volume of the pan. x= the length of a side of the square base. h=the length of a side of the corner to be cut out=the height of the pan V = x 2 h and x + 2h = 12 Step 2. Form a mathematical statement of the problem. x = 12 2h V h = 12 2h 2 h, 0 h 6 We seek the maximum value of V h for 0 h 6. 22
23 Step 3. Determine the maximum- minimum Find the derivative of V h : V h = h 2 h h 2 = 12 2h 4h h = 12 2h 6h + 12 Therefore V h = 0 for h 2,6. We have also that: V h = 2 6h h 6 = = 24h 96 = 24(h 4) and thus V 2 = 48 < 0, V 6 = 48 > 0. 23
24 Therefore we have a relative maximum for x = 2. We have also that V 0 = 0, V 6 = 0. Thus the largest of the values V 0, V 2, V 6 is V = = 128in 3 which is the absolute maximum. Step 4. Answer the question Since we have the absolute maximum for we have that and therefore the dimensions of the largest tray are 8 inches by 8 inches, a very common size for microwave trays and cake pans. What about a non-square base? 24
25 What is the rectangle of largest area that can be cut from a circle of radius 20 inches? Step 1. Understand the problem. Let be one of the corners of the rectangle, as shown below. (-x,y) 20 (x,y) (-x,-y) (x,-y) 20 25
26 What is the rectangle of largest area that can be cut from a circle of radius 20 inches? Step 1. Understand the problem. Let be one of the corners of the rectangle, as shown below. (-x,y) 20 (x,y) (-x,-y) (x,-y) 20 x 2 + y 2 = 20 2 E = 2x 2y = 4xy 26
27 Step 2. Form a mathematical statement of the problem. x = 20 2 y 2, 0 y 20 E y = 4xy = 4y 20 2 y 2 We seek the maximum value of E y for 0 y 20. Step 3. Determine the maximum-minimum. Find the derivative of E y : E y = y 2 + 4y 1 2 = y 2 4y y 2 2y = 20 2 y 2 = y2 4y y 2 = y y 2 27
28 Thus E y = y 2 = 0 y = ±10 2 We also have that E y = y y 2 = 8y y y and thus E 10 2 = 16 < 0, E 10 2 = 16 > 0 Therefore we have a relative maximum for y = We have also that E 0 = 0, E 20 = 0. Thus the largest of the values E 0, E 10 2, E 20 is E 10 2 = 800in 2 which is the absolute maximum. 28
29 Step 4. Answer the question. Since we have the absolute maximum for y = 10 2, we have that x = x = 20 y 2 = 10 2 and therefore the dimension of the rectangle are 10 2 inches by 10 2 inches (square). 29
30 Minimize-Maximize Q x, y subject to constraints C x, y = K R. Minimize-Maximize Q x, y x subject to constraints C x, y x = K R. d dx Q x, y x = 0, d dx C x, y x = 0 30
31 Minimize subject to constraints E = 2x 2y = 4xy x 2 + y 2 = Solution. We have that E x, y x = 4xy(x) and x 2 + y(x) 2 = 20 2, and thus d dy E x, y x = 0 4y x + 4x dx dx = 0 d dx x2 + y x 2 = d dx 202 2x + 2y x dy dx = 0 The cases x = 0 and y = 0 do not produce maxima, so we may 31
32 assume that x > 0 and y x > 0. With these assumptions the two equations become dy = y(x) dx x dy and = x dx y(x) respectively. Thus dy y x = dx x = x y x x2 = y 2 (x) The only first-quadrant solution of the equations x 2 = y 2 (x) and x 2 + y(x) 2 = 20 2 is the point 10 2, 10 2 which determines a square with edge length (the same solution with previous example) 32
33 A function f x, y has a relative maximum f(a, b) at the point a, b, f(a, b) if f(a, b) f(x, y) for all (x, y) in some rectangular region about (a, b). A function f x, y has a relative minimum f(a, b) at the point a, b, f(a, b) if f(a, b) f(x, y) for all (x, y) in some rectangular region about (a, b). 33
34 Theorem 2. (Necessary Conditions) Suppose that f x, y attains a relative maximum or a relative minimum value at the point (a, b) and the partial derivatives both exist. Then f x (a, b) and f y (a, b) f x a, b = 0 = f y (a, b) 34
35 Find the relative minimum-maximum of f x, y = x 2 + y 2, x, y + Since the partial derivatives both exist and f x = f x = 2x and f y = f y = 2y f x = f y = 0 x, y = 0,0 Then we possible (since Theorem 2 does not give necessary and sufficient conditions ) have a relative a relative minimummaximum at x, y = 0,0. Since f x, y f 0,0 = x 2 + y 2 0 = x 2 + y
36 we have that f x, y f 0,0 Thus we have a minimum at x, y = 0,0. x 2 y 2 36
37 Find the relative minimum-maximum of f x, y = x 2 y 2, x, y + Since the partial derivatives f x = f x = 2x and f y = f y = 2y both exist and f x = f y = 0 x, y = 0,0 Then we possible (since Theorem 2 does not give necessary and sufficient conditions ) have a relative a relative minimummaximum at x, y = 0,0. 37
38 Example 9 (2) x 2 y 2 Note. The theorem gives necessary but not sufficient conditions 38
39 Suppose that z = f x, y has partial derivatives at all points near a point (a, b) and that (a, b) is a critical point of f x, y so that f x a, b = 0 = f y (a, b) Let A = f xx a, b = B = f xy a, b = 2 f x 2 a,b 2 f y x a,b,, C= f yy a, b = 2 f y 2 a,b 39
40 Rule 1. f(a, b) is a relative maximum if AC B 2 > 0 and A < 0. Rule 2. f(a, b) is a relative minimum if AC B 2 > 0 and A > 0. Rule 3. a, b, f(a, b) is a saddle point if AC B 2 < 0. Rule 4. The test gives no information about the type of critical point if AC B 2 = 0. Note. The values of A, B, C depend upon the point (a, b) and must be determined independently for each critical point. 40
41 Find the relative minimum-maximum of f x, y = x 2 + y 2, x, y + Since the partial derivatives both exist and f x = f x = 2x and f y = f y = 2y f x = f y = 0 x, y = 0,0 A = f xx 0,0 = 2 f x 2 0,0 = 2 > 0, B = f xy 0,0 = 2 f y x 0,0 = 0, 41
42 and C = f yy 0,0 = 2 f y 2 0,0 = 2 f 0,0 = = 0 is a relative minimum since AC B 2 = = 4 > 0 and A = 2 > 0 42
43 Find the relative minimum-maximum of f x, y = x 2 y 2, x, y + Since the partial derivatives both exist and f x = f x = 2x and f y = f y = 2y f x = f y = 0 x, y = 0,0 A = f xx 0,0 = 2 f x 2 0,0 = 2 > 0, B = f xy 0,0 = 2 f y x 0,0 = 0, 43
44 and C = f yy 0,0 = 2 f y 2 0,0 = 2 ( 0,0, f 0,0 = 0) is a saddle point since AC B 2 = = 4 < 0 44
45 The absolute maximum of the function f(x, y) is a value f(a, b) such that f(a, b) f(x, y) for all values of x, y in the domain of f(x, y). The absolute minimum of the function f(x, y) is a value f(a, b) such that f(a, b) f(x, y) for all values of x, y in the domain of f(x, y). Question: How to find the absolute maximum-minimum of the continuous function f(x, y) on a closed curve R? 45
46 1. Find all the critical values of f(x, y) i.e. f x a, b = 0 = f y (a, b) 2. Find the maximum of the values of f(x, y) on the boundaries of R. 3. Find the values of f(x, y) for the points where there is no partial derivative of f(x, y). 4. Of the above values, the largest is the absolute maximum, and the smallest is the absolute minimum. 46
47 Find the dimensions of a rectangular box (with no top) of volume 64in 3, that has the minimum surface area. Step 1. Understand the problem V = volume of the box E = surface area of the box no top x = the length of the first side y = the length of the second side h = the heigth of the box V = xyh = 64 E = xy + 2xh + 2yh 47
48 Step 2.Form a mathematical statement of the problem. h = 64 xy E x, y = xy + 2x y = xy + xy xy y x, 0 < x, y We seek the maximum value of E x, y for 0 < x, y. Step 3. Determine the maximum-minimum Find the derivative of E(x, y): E x x, y = y 128 x 2 = yx2 128 x 2 48
49 Note also that E y x, y = x 128 y 2 = xy2 128 y 2 E y x, y = 0 xy = 0 x 128 x = = x 3 x = = y = 128 x 2 = = 43 2 A = E xx 4 3 2, = x ,4 3 2 = 2 > 0 49
50 B = E xy 4 3 2, = 2 E y x 4 3 2,4 3 2 = 1, C= E yy 4 3 2, = y ,4 3 2 = 2 > 0 f 4 3 2, = xy y x 4 3 2,4 3 2 = is a relative minimum since AC B 2 = = 3 > 0 and A = 2 > 0. 50
51 Step 4. Answer the question. Since we have the absolute maximum for 4 3 2, 4 3 2, we have that h = 128 = 128 xy = and therefore the dimensions of the box with the maximum surface area are inches by inches by inches. Note. Find the dimensions of a rectangular box (with no top) with surface area of 64in 2, that has the maximum volume. 51
52 Find the line y = ax + b that best fits the data points x i, y i, i = 1,, n. Solution We define the deviation between the ith point and the line to be: d i = y i (ax i + b) We need to minimize the function f a, b = n i=1 d i 2 = n i=1 y i ax i b 2 52
53 di Pi(x,y) y=ax+b
54 n f a a, b = a i=1 = = 2a y i ax i b 2 = n i=1 n 2 y i ax i b x i = n n x 2 i + 2b x i 2 x i y i i=1 i=1 i=1 54
55 n f b a, b = b i=1 y i ax i b 2 = n = 2 y i ax i b 1 = i=1 n n n = 2a x i + 2b 1 2 i=1 i=1 i=1 Solve f a a, b = f b a, b = 0 or equivalently y i 55
56 or n n n a x 2 i + b x i = x i y i n 2 x i i=1 n x i i=1 i=1 i=1 i=1 n n a x i + bn = y i i=1 i=1 n n x i i=1 n x i y i a b = i=1 n y i i=1 56
57 a b = 1 n n i=1 x 2 i i=1 a = n i=1 n n x i 2 n n i=1 x i y i n i=1 n n i=1 x i n i=1 x i n 2 x i i=1 x i ( n i=1 y i ) n 2, x i x 2 i i=1 b = i=1 n x n i i=1 x i y i + n i=1 x 2 n i i=1 n n i=1 x 2 i n 2 i=1 x i n i=1 n i=1 x i y i Note. Use the second derivative test in order to show that we have a minimum for these (a,b). y i y i 57
58 Minimize-Maximize Q x, y subject to constraints C x, y = 0. Define the Lagrange function as L x, y, λ = Q x, y + λc x, y Then all the relative minimum and maximum points of Q x, y with x and y constrained to satisfy the equation C x, y = 0 will be among those points x 0, y 0 for which x 0, y 0, λ 0 is a maximum or minimum point of L x, y, λ. 58
59 These points x 0, y 0, λ 0 simultaneous equations will be solutions of the system of L x x, y, λ = 0 L y x, y, λ = 0 L λ x, y, λ = 0(this is just C x, y = 0) We assume that all partial derivatives exist. 59
60 Minimize E = 2x 2y = 4xy subject to constraints x 2 + y 2 = Define the Lagrange function L x, y, λ = 4xy + λ x 2 + y Find the points that satisfy the system of simultaneous equations L x x, y, λ = 4y + 2λx = 0 L y x, y, λ = 4x + 2λy = 0 L λ x, y, λ = x 2 + y = 0 or 60
61 equivalently y = 1 2 λx x = 1 2 λy x = 1 2 λ 1 2 λx = 1 4 λ2 x 1 λ2 4 x = 0 x = 0 λ = ±2 For x = 0 we have that y = 0 but Therefore x = y for λ = 2 (or y = x for λ = 2) and x 2 + y = 0 x 2 + x = 0 2x 2 = 20 2 x = ±
62 and thus (respectively y = x = ±10 2) y = x = 10 2 Thus the only candidates for minimum-maximum points of the constrained optimization problem are the pairs ±10 2, ±10 2 and ±10 2, The values of the function E = 2x 2y = 4xy at these points are respectively and E = ±10 2, ±10 2 =
63 E = ±10 2, 10 2 = 800 Therefore we have a minimum for the pair 10 2, 10 2 (and 10 2, 10 2 ) and maximum for the pair 10 2, 10 2 (and 10 2, 10 2 ). 63
64 Let P, S be real symmetric matrices. If y T Py > 0 y 0 then P is called positive-definite matrix. If y T Py 0 y 0 then S is called positive semi-definite matrix. Notes. If P is positive definite matrix then P is invertible. If P is positive definite and S is positive semi-definite then P + S is positive definite. The real symmetric matrix P is positive definite (semidefinite) iff the eigenvalues of P are positive (non negative) 64
65 Let P, S be real symmetric matrices. If y T Py < 0 y 0 then P is called negative-definite matrix. If y T Py 0 y 0 then S is called negative semi-definite matrix. Notes. If P is negative definite matrix then P is invertible. If P is negative definite and S is negative semi-definite then P + S is negative definite. The real symmetric matrix P is negative definite (semi-definite) iff the eigenvalues of P are negative (non positive). 65
66 The matrix P is positive definite iff p 11 > 0, P = and negative definite iff p 11 < 0, p 11 p 12 p 21 p 22 > 0, p 11 p 12 p 21 p 22 > 0, p 11 p 12 p 13 p 21 p 22 p 23 p 31 p 32 p 33 p 11 p 12 p 13 p 21 p 22 p 23 > 0 p 31 p 32 p 33 p 11 p 12 p 13 p 21 p 22 p 23 < 0(sign changes) p 31 p 32 p 33 66
67 The matrix P P = is positive semi-definite iff p 11 0, p 11 p 12 p 21 p 22 0, and negative semi-definite iff p 11 0, p 11 p 12 p 21 p 22 0, p 11 p 12 p 13 p 21 p 22 p 23 p 31 p 32 p 33 p 11 p 12 p 13 p 21 p 22 p 23 0 p 31 p 32 p 33 p 11 p 12 p 13 p 21 p 22 p 23 0(sign changes) p 31 p 32 p 33 67
68 Consider the function f(x 1, x 2,, x n ). We define the gradient of f: R n R with respect to x as f x f x = f x = x 1 f x 2 f x n where x = x 1, x 2,, x n T. 68
69 The total differential of a function f: R m R n is defined by the Jacobian matrix f x = f 1 f 2 x 1 x 1 f 1 f 2 x 2 x 2 f 1 f 2 f n x 1 f n x 2 f n x m x m x m 69
70 1. x T c x = x 1c 1 +x 2 c 2 + +x m c m x = c Ax x x T A x = x = A a 11 x 1 + a 12 x a 1m x m a 21 x 1 + a 22 x a 2m x m = a n1 x 1 + a n2 x a nm x m a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 a n1 = = A T a 1m a 2m a mn 70
71 4. x T Mx x = x T Mx c1 x + M T x c2 x T x = x T Mx x T M T x = x c 1 + c 2 x = Mx + M T x If is M real symmetric matrix then xt Mx x = 2Mx. 71
72 We define the Hessian matrix of f x as f xx = 2 f x 2 = 2 f x x = 2 f x f x 2 x 1 2 f x m x 1 2 f x 1 x 2 2 f x f x m x 2 2 f x 1 x m 2 f x 2 x m 2 f x m 2 72
73 Properties 1. 2 x T Mx = M+MT x x 2 x = xt M T +M x 2. If is a real symmetric matrix then 2 x T Mx x 2 3. f = f x t, y t df = f x T dx + f 4. f = f x t, y t, t, y t = y x t, t df = f + yt dx x x f y = M + M T. y = 2M. T dy f = f + yt t x x f y T x t + f y T y + f t t 73
74 f x = f x 0 + f x + 1 2! x x T 0 T x x 0 x=x 0 2 f x 2 x x 0 + O 3 x=x 0 f x = f x T x=x 0 dx + 1 2! dxt 2 f x 2 x=x 0 dx + O 3 74
75 A function f: D R, D R n has a relative maximum f(a) at the point a, f(a) if f a f x for all x in some region containing a. A function f: D R, D R n has a relative minimum f(a) at the point a, f(a) if f a f x for all x in some region containing a. Theorem 3. (Necessary Conditions) Suppose that f x attains a relative minimum value (resp. relative maximum) at the point a and the gradient x f exists. Then 1) x f x=a = 0 f x i xi =a i = 0 75
76 2) K = k ij = 2 f(x) = x 2 x=a f xx x=a is a positive semidefinite (resp. negative semi-definite) Sufficient Condition: K is positive definite (resp. negative definite) Notes: If x T Kx change signs at x = a then a is a saddle point. If K is positive semi-definite or negative semi-definite then we need more information in order to decide if the point is minimum or maximum (terms of order 3). The point a is called singular. 76
77 Find the relative minimum-maximum of f x, y, z = x 2 + y 2 + z 2, x, y, z + Since the partial derivatives exist and f x = f x = 2x, f y = f y = 2y, f z = f z = 2z 1. f x = f y = f z = 0 x, y, z = 0,0,0 2. K = 2 f x 2 2 f y x 2 f z x 2 f x y 2 f y 2 2 f z y 2 f x z 2 f y z 2 f z 2 = > 0 77
78 Thus we have a relative minimum at x, y, z = 0,0,0 f x, y, z f 0,0,0 = x 2 + y 2 + z 2 0 = = x 2 + y 2 + z 2 0 f x, y, z f 0,0,0 0 f x, y, z f 0,0,0 78
79 Find the relative minimum-maximum of f x, y = x 2 y 2, x, y + Since the partial derivatives both exist and f x = f x = 2x, f y = f y = 2y 1. f x = f y = 0 x, y = 0,0 2. K = 2 f x 2 2 f y x 2 f x y = 2 f y
80 We have a saddle point at x, y = 0,0 since K has positive and negative eigenvalues. x 2 y 2 80
81 Let J x, u : R n R and f: R n R m, f x, u = 0 where u t R r, x(t) R n. Problem. Find the minimum-maximum of J(x, u) under the constraints f x, u = 0. 1 st solution. Solve the second equation and substitute in the function J x, u. Then apply the known criteria. 2 nd solution. Lagrange multipliers. From the function L x, u, λ = J x, u + λf x, u λ = λ 1, λ 2,.., λ m, λ i : Lagrange multipliers L x, u, λ : Lagrangian 81
82 Then all the relative minimum and maximum points of J x, u, with x and y constrained to satisfy the equation f x, u = 0, will be among those points for which x 0, u 0, λ 0 L x, u, λ. x 0, u 0 is a maximum or minimum point of These points x 0, u 0, λ 0 will be the solutions of the system of simultaneous equations L x x, y, λ = 0 L y x, y, λ = 0 L λ x, y, λ = 0(this is just f x, y = 0) 82
83 Find the point on the plane x + 2y + 2z = 4 that is closest to the origin or equivalently minimize f x, y, z = x 2 + y 2 + z 2 Subject to constraint x + 2y + 2z = 4 83
84 Define the Lagrangian L x, y, z, λ = x 2 + y 2 + z 2 + λ x + 2y + 2z 4 The necessary conditions are L = 2x + λ = 0 x L = 2y + 2λ = 0 y x = 4 L 9, y = 8 9, z = 8 9, l = 8 9 = 2z + 2λ = 0 z L = x + 2y + 2z 4 = 0 λ 84
85 Let D φ x = Τ φ1 Τ φ2 φm the Jacobian of the constraints and Τ = f x T φ x = ξ: D φ x ξ = 0 be the tangent plane at the point x on the surface defined by the constraints. Then T f u T 85
86 Suppose f x, φ 1 x, φ 2 x,, φ m x have continuous second partial derivatives in R n and let x, λ be a stationary point of the Lagrangian L x, λ. If ξ T L xx x, λ ξ > 0, ξ( 0) T φ (x ) then x is a strong local minimiser of f x subject to constraints φ 1 x = φ 2 x = = φ m x = 0. 86
87 T φ x = ξ: D φ x ξ = 0 = = f x T f u T ξ 2 ξ: f x T f u T ξ 1 ξ 2 = 0 ξ 2 ξ T L xx x, λ ξ = = ξ 2 Τ f u f x 1 Ι L xx x, λ f J uu ξ 2 ( 0) f x T I f u T ξ 2 > 0 87
88 L x, y, z, λ = x 2 + y 2 + z 2 + λ x + 2y + 2z 4 D φ x = φ1 = T φ x = ξ: ξ = 0 = 2ξ 2 2ξ 3 ξ 2 ξ T L xx x, λ ξ L xx = = 2ξ 2 2ξ 3 ξ 2 ξ ξ 3 > 0 2ξ 2 2ξ 3 ξ 2 ξ 3 = 88
89 = 2 ξ 2 ξ ξ ξ 3 2 > 0, ξ 0 Therefore x = 4 9, y = 8 9, z = 8 9, l = 8 9 minimize the function f x, y, z = x 2 + y 2 + z 2 subject to constraint x + 2y + 2z = 4 89
90 Ron Larson, Bruce H. Edwards, 2013, Calculus, Cengage Learning (10 edition) 90
91 Copyright, Νικόλαος Καραμπετάκης. «. Ενότητα 3: Ακρότατα συναρτήσεων μίας ή πολλών μεταβλητών». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:
92 Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1]
93 Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.
94 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου Θεσσαλονίκη, Εαρινό εξάμηνο
Homework 8 Model Solution Section
MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx
Διαβάστε περισσότεραCHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS
CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική Μάθηση Hypothesis Testing
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing Γιώργος Μπορμπουδάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Procedure 1. Form the null (H 0 ) and alternative (H 1 ) hypothesis 2. Consider
Διαβάστε περισσότερα2 Composition. Invertible Mappings
Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Άσκηση αυτοαξιολόγησης 4 Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών CS-593 Game Theory 1. For the game depicted below, find the mixed strategy
Διαβάστε περισσότεραHomework 3 Solutions
Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί
Διαβάστε περισσότεραMatrices and Determinants
Matrices and Determinants SUBJECTIVE PROBLEMS: Q 1. For what value of k do the following system of equations possess a non-trivial (i.e., not all zero) solution over the set of rationals Q? x + ky + 3z
Διαβάστε περισσότεραExample Sheet 3 Solutions
Example Sheet 3 Solutions. i Regular Sturm-Liouville. ii Singular Sturm-Liouville mixed boundary conditions. iii Not Sturm-Liouville ODE is not in Sturm-Liouville form. iv Regular Sturm-Liouville note
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 10η: Basics of Game Theory part 2 Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 0η: Basics of Game Theory part 2 Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Best Response Curves Used to solve for equilibria in games
Διαβάστε περισσότερα3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS. NOTE: cos(α+β) cos α + cos β cos(α-β) cos α -cos β
3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS Page Theorem cos(αβ cos α cos β -sin α cos(α-β cos α cos β sin α NOTE: cos(αβ cos α cos β cos(α-β cos α -cos β Proof of cos(α-β cos α cos β sin α Let s use a unit circle
Διαβάστε περισσότεραQuadratic Expressions
Quadratic Expressions. The standard form of a quadratic equation is ax + bx + c = 0 where a, b, c R and a 0. The roots of ax + bx + c = 0 are b ± b a 4ac. 3. For the equation ax +bx+c = 0, sum of the roots
Διαβάστε περισσότεραPhys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required)
Phys460.nb 81 ψ n (t) is still the (same) eigenstate of H But for tdependent H. The answer is NO. 5.5.5. Solution for the tdependent Schrodinger s equation If we assume that at time t 0, the electron starts
Διαβάστε περισσότεραANSWERSHEET (TOPIC = DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION #2. h 0 h h 0 h h 0 ( ) g k = g 0 + g 1 + g g 2009 =?
Teko Classes IITJEE/AIEEE Maths by SUHAAG SIR, Bhopal, Ph (0755) 3 00 000 www.tekoclasses.com ANSWERSHEET (TOPIC DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION # Question Type A.Single Correct Type Q. (A) Sol least
Διαβάστε περισσότεραNew bounds for spherical two-distance sets and equiangular lines
New bounds for spherical two-distance sets and equiangular lines Michigan State University Oct 8-31, 016 Anhui University Definition If X = {x 1, x,, x N } S n 1 (unit sphere in R n ) and x i, x j = a
Διαβάστε περισσότεραD Alembert s Solution to the Wave Equation
D Alembert s Solution to the Wave Equation MATH 467 Partial Differential Equations J. Robert Buchanan Department of Mathematics Fall 2018 Objectives In this lesson we will learn: a change of variable technique
Διαβάστε περισσότεραSecond Order Partial Differential Equations
Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y
Διαβάστε περισσότεραSection 8.3 Trigonometric Equations
99 Section 8. Trigonometric Equations Objective 1: Solve Equations Involving One Trigonometric Function. In this section and the next, we will exple how to solving equations involving trigonometric functions.
Διαβάστε περισσότεραSection 9.2 Polar Equations and Graphs
180 Section 9. Polar Equations and Graphs In this section, we will be graphing polar equations on a polar grid. In the first few examples, we will write the polar equation in rectangular form to help identify
Διαβάστε περισσότεραThe ε-pseudospectrum of a Matrix
The ε-pseudospectrum of a Matrix Feb 16, 2015 () The ε-pseudospectrum of a Matrix Feb 16, 2015 1 / 18 1 Preliminaries 2 Definitions 3 Basic Properties 4 Computation of Pseudospectrum of 2 2 5 Problems
Διαβάστε περισσότεραderivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates
derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates swapnizzle 03-03- :5:43 We begin by recognizing the familiar conversion from rectangular to spherical coordinates (note that φ is used
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Ενότητα 1: Elements of Syntactic Structure Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια
Διαβάστε περισσότεραSolution to Review Problems for Midterm III
Solution to Review Problems for Mierm III Mierm III: Friday, November 19 in class Topics:.8-.11, 4.1,4. 1. Find the derivative of the following functions and simplify your answers. (a) x(ln(4x)) +ln(5
Διαβάστε περισσότεραC.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions
C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions Paul Liu November 15, 2007 Note that these are sample solutions only; in many cases there were many acceptable answers. 1 Reynolds Problem 10.1 1.1 Normal-order
Διαβάστε περισσότεραChapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval
Chapter 6: Systems of Linear Differential Equations Let a (t), a 2 (t),..., a nn (t), b (t), b 2 (t),..., b n (t) be continuous functions on the interval I. The system of n first-order differential equations
Διαβάστε περισσότεραOther Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests
Other Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests Side-Note: So far we have seen a few approaches for creating tests such as Neyman-Pearson Lemma ( most powerful tests of H 0 : θ = θ 0 vs H 1 :
Διαβάστε περισσότεραStatistical Inference I Locally most powerful tests
Statistical Inference I Locally most powerful tests Shirsendu Mukherjee Department of Statistics, Asutosh College, Kolkata, India. shirsendu st@yahoo.co.in So far we have treated the testing of one-sided
Διαβάστε περισσότεραThe Simply Typed Lambda Calculus
Type Inference Instead of writing type annotations, can we use an algorithm to infer what the type annotations should be? That depends on the type system. For simple type systems the answer is yes, and
Διαβάστε περισσότεραInverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------
Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραFinite Field Problems: Solutions
Finite Field Problems: Solutions 1. Let f = x 2 +1 Z 11 [x] and let F = Z 11 [x]/(f), a field. Let Solution: F =11 2 = 121, so F = 121 1 = 120. The possible orders are the divisors of 120. Solution: The
Διαβάστε περισσότεραΕκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 11η: Markets and Strategic Interaction in Networks Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 11η: Markets and Strategic Interaction in Networks Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Course Outline Part II: Mathematical Tools
Διαβάστε περισσότεραAreas and Lengths in Polar Coordinates
Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Ενότητα 9: Inversion Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραSOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM
SOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM Solutions to Question 1 a) The cumulative distribution function of T conditional on N n is Pr T t N n) Pr max X 1,..., X N ) t N n) Pr max
Διαβάστε περισσότεραΙστορία της μετάφρασης
ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Μεταφραστές και πρωτότυπα. Ελένη Κασάπη ΤΜΗΜΑ ΑΓΓΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραAreas and Lengths in Polar Coordinates
Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the
Διαβάστε περισσότεραEE512: Error Control Coding
EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 6: Ακρότατα συναρτησιακών διανυσματικών συναρτήσεων. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Ακρότατα συναρτησιακών διανυσματικών συναρτήσεων Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρονικοί Υπολογιστές IV
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IV Εισαγωγή στα δυναμικά συστήματα Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότερα( y) Partial Differential Equations
Partial Dierential Equations Linear P.D.Es. contains no owers roducts o the deendent variables / an o its derivatives can occasionall be solved. Consider eamle ( ) a (sometimes written as a ) we can integrate
Διαβάστε περισσότεραParametrized Surfaces
Parametrized Surfaces Recall from our unit on vector-valued functions at the beginning of the semester that an R 3 -valued function c(t) in one parameter is a mapping of the form c : I R 3 where I is some
Διαβάστε περισσότεραReminders: linear functions
Reminders: linear functions Let U and V be vector spaces over the same field F. Definition A function f : U V is linear if for every u 1, u 2 U, f (u 1 + u 2 ) = f (u 1 ) + f (u 2 ), and for every u U
Διαβάστε περισσότεραΘεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 7η: Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραSolutions to Exercise Sheet 5
Solutions to Eercise Sheet 5 jacques@ucsd.edu. Let X and Y be random variables with joint pdf f(, y) = 3y( + y) where and y. Determine each of the following probabilities. Solutions. a. P (X ). b. P (X
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 8η: Producer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 8η: Producer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Firm Behavior GOAL: Firms choose the maximum possible output (technological
Διαβάστε περισσότεραΚλασσική Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4: Ιδιότητες συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕκκλησιαστικό Δίκαιο
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 11η: Οργανισμοί της Εκκλησίας της Ελλάδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραOrdinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit
Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ting Zhang Stanford May 11, 2001 Stanford, 5/11/2001 1 Outline Ordinal Classification Ordinal Addition Ordinal Multiplication Ordinal
Διαβάστε περισσότεραConcrete Mathematics Exercises from 30 September 2016
Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016 Silvio Capobianco Exercise 1.7 Let H(n) = J(n + 1) J(n). Equation (1.8) tells us that H(2n) = 2, and H(2n+1) = J(2n+2) J(2n+1) = (2J(n+1) 1) (2J(n)+1)
Διαβάστε περισσότεραFourier Series. MATH 211, Calculus II. J. Robert Buchanan. Spring Department of Mathematics
Fourier Series MATH 211, Calculus II J. Robert Buchanan Department of Mathematics Spring 2018 Introduction Not all functions can be represented by Taylor series. f (k) (c) A Taylor series f (x) = (x c)
Διαβάστε περισσότεραCongruence Classes of Invertible Matrices of Order 3 over F 2
International Journal of Algebra, Vol. 8, 24, no. 5, 239-246 HIKARI Ltd, www.m-hikari.com http://dx.doi.org/.2988/ija.24.422 Congruence Classes of Invertible Matrices of Order 3 over F 2 Ligong An and
Διαβάστε περισσότεραΑνάκτηση Πληροφορίας
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Λανθάνουσα Σημασιολογική Ανάλυση (Latent Semantic Analysis) Απόστολος Παπαδόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραEcon 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8 questions or comments to Dan Fetter 1
Eon : Fall 8 Suggested Solutions to Problem Set 8 Email questions or omments to Dan Fetter Problem. Let X be a salar with density f(x, θ) (θx + θ) [ x ] with θ. (a) Find the most powerful level α test
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραSection 7.6 Double and Half Angle Formulas
09 Section 7. Double and Half Angle Fmulas To derive the double-angles fmulas, we will use the sum of two angles fmulas that we developed in the last section. We will let α θ and β θ: cos(θ) cos(θ + θ)
Διαβάστε περισσότεραTridiagonal matrices. Gérard MEURANT. October, 2008
Tridiagonal matrices Gérard MEURANT October, 2008 1 Similarity 2 Cholesy factorizations 3 Eigenvalues 4 Inverse Similarity Let α 1 ω 1 β 1 α 2 ω 2 T =......... β 2 α 1 ω 1 β 1 α and β i ω i, i = 1,...,
Διαβάστε περισσότεραMock Exam 7. 1 Hong Kong Educational Publishing Company. Section A 1. Reference: HKDSE Math M Q2 (a) (1 + kx) n 1M + 1A = (1) =
Mock Eam 7 Mock Eam 7 Section A. Reference: HKDSE Math M 0 Q (a) ( + k) n nn ( )( k) + nk ( ) + + nn ( ) k + nk + + + A nk... () nn ( ) k... () From (), k...() n Substituting () into (), nn ( ) n 76n 76n
Διαβάστε περισσότεραΘεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 10η: Απεσταλμένοι του Ρωμαίου Ποντίφικα και Ρωμαϊκή Κουρία Κυριάκος Κυριαζόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 2: Εισαγωγή στη Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Εισαγωγή στη Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραExercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1.
Exercises 0 More exercises are available in Elementary Differential Equations. If you have a problem to solve any of them, feel free to come to office hour. Problem Find a fundamental matrix of the given
Διαβάστε περισσότεραChapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval
Chapter 6: Systems of Linear Differential Equations Let a (t), a 2 (t),..., a nn (t), b (t), b 2 (t),..., b n (t) be continuous functions on the interval I. The system of n first-order differential equations
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9. Επανατοποθέτηση πόλων σε συστήματα πολλών εισόδων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότερα4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)
84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this
Διαβάστε περισσότεραSOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM
SOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM Solutions to Question 1 a) The cumulative distribution function of T conditional on N n is Pr (T t N n) Pr (max (X 1,..., X N ) t N n) Pr (max
Διαβάστε περισσότεραΔιοικητική Λογιστική
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 10: Προσφορά και κόστος Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά
Διαβάστε περισσότεραΕκκλησιαστικό Δίκαιο
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8η: Ο νέος αντιρατσιστικός νόμος και ο ν.4301/2014 Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότερα1. (a) (5 points) Find the unit tangent and unit normal vectors T and N to the curve. r(t) = 3cost, 4t, 3sint
1. a) 5 points) Find the unit tangent and unit normal vectors T and N to the curve at the point P, π, rt) cost, t, sint ). b) 5 points) Find curvature of the curve at the point P. Solution: a) r t) sint,,
Διαβάστε περισσότεραCHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS
CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS EXERCISE 01 Page 545 1. Use matrices to solve: 3x + 4y x + 5y + 7 3x + 4y x + 5y 7 Hence, 3 4 x 0 5 y 7 The inverse of 3 4 5 is: 1 5 4 1 5 4 15 8 3
Διαβάστε περισσότεραPg The perimeter is P = 3x The area of a triangle is. where b is the base, h is the height. In our case b = x, then the area is
Pg. 9. The perimeter is P = The area of a triangle is A = bh where b is the base, h is the height 0 h= btan 60 = b = b In our case b =, then the area is A = = 0. By Pythagorean theorem a + a = d a a =
Διαβάστε περισσότεραST5224: Advanced Statistical Theory II
ST5224: Advanced Statistical Theory II 2014/2015: Semester II Tutorial 7 1. Let X be a sample from a population P and consider testing hypotheses H 0 : P = P 0 versus H 1 : P = P 1, where P j is a known
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 19: Υπολογισμός Εμβαδού και Όγκου Από Περιστροφή (2 ο Μέρος) Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 19: Υπολογισμός Εμβαδού και Όγκου Από Περιστροφή ( ο Μέρος) Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραPartial Differential Equations in Biology The boundary element method. March 26, 2013
The boundary element method March 26, 203 Introduction and notation The problem: u = f in D R d u = ϕ in Γ D u n = g on Γ N, where D = Γ D Γ N, Γ D Γ N = (possibly, Γ D = [Neumann problem] or Γ N = [Dirichlet
Διαβάστε περισσότερα( ) 2 and compare to M.
Problems and Solutions for Section 4.2 4.9 through 4.33) 4.9 Calculate the square root of the matrix 3!0 M!0 8 Hint: Let M / 2 a!b ; calculate M / 2!b c ) 2 and compare to M. Solution: Given: 3!0 M!0 8
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 14: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΜηχανολογικό Σχέδιο Ι
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 8: Άτρακτοι και σφήνες Μ. Γρηγοριάδου Μηχανολόγων Μηχανικών Α.Π.Θ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραHOMEWORK 4 = G. In order to plot the stress versus the stretch we define a normalized stretch:
HOMEWORK 4 Problem a For the fast loading case, we want to derive the relationship between P zz and λ z. We know that the nominal stress is expressed as: P zz = ψ λ z where λ z = λ λ z. Therefore, applying
Διαβάστε περισσότεραSrednicki Chapter 55
Srednicki Chapter 55 QFT Problems & Solutions A. George August 3, 03 Srednicki 55.. Use equations 55.3-55.0 and A i, A j ] = Π i, Π j ] = 0 (at equal times) to verify equations 55.-55.3. This is our third
Διαβάστε περισσότεραECE Spring Prof. David R. Jackson ECE Dept. Notes 2
ECE 634 Spring 6 Prof. David R. Jackson ECE Dept. Notes Fields in a Source-Free Region Example: Radiation from an aperture y PEC E t x Aperture Assume the following choice of vector potentials: A F = =
Διαβάστε περισσότεραSCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES G11LMA Linear Mathematics Examination Solutions
SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES GLMA Linear Mathematics 00- Examination Solutions. (a) i. ( + 5i)( i) = (6 + 5) + (5 )i = + i. Real part is, imaginary part is. (b) ii. + 5i i ( + 5i)( + i) = ( i)( + i)
Διαβάστε περισσότεραApproximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude
Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Jan Behrens 2012-12-31 In this paper we shall provide a method to approximate distances between two points on earth
Διαβάστε περισσότεραΛογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρονικοί Υπολογιστές IV
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IV Η δυναμική ενός μοντέλου Keynsian Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραb. Use the parametrization from (a) to compute the area of S a as S a ds. Be sure to substitute for ds!
MTH U341 urface Integrals, tokes theorem, the divergence theorem To be turned in Wed., Dec. 1. 1. Let be the sphere of radius a, x 2 + y 2 + z 2 a 2. a. Use spherical coordinates (with ρ a) to parametrize.
Διαβάστε περισσότεραPractice Exam 2. Conceptual Questions. 1. State a Basic identity and then verify it. (a) Identity: Solution: One identity is csc(θ) = 1
Conceptual Questions. State a Basic identity and then verify it. a) Identity: Solution: One identity is cscθ) = sinθ) Practice Exam b) Verification: Solution: Given the point of intersection x, y) of the
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Ομοιότητα και Όμοιες Περιγραφές Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΙστορία νεότερων Μαθηματικών
Ιστορία νεότερων Μαθηματικών Ενότητα 3: Παπασταυρίδης Σταύρος Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Περιγραφή Ενότητας Ιταλοί Αβακιστές. Αλγεβρικός Συμβολισμός. Άλγεβρα στην Γαλλία, Γερμανία, Αγγλία.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση Συγχώνευση & απαρίθμηση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΠαράκτια Τεχνικά Έργα
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΑΘΕΣΗ ΥΓΡΩΝ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΑ ΥΠΟΒΡΥΧΙΟΙ ΑΓΩΓΟΙ Ενότητα 5 η : Κατασκευαστικά παραδείγματα Γιάννης Ν. Κρεστενίτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο
Διαβάστε περισσότεραforms This gives Remark 1. How to remember the above formulas: Substituting these into the equation we obtain with
Week 03: C lassification of S econd- Order L inear Equations In last week s lectures we have illustrated how to obtain the general solutions of first order PDEs using the method of characteristics. We
Διαβάστε περισσότεραProblem Set 3: Solutions
CMPSCI 69GG Applied Information Theory Fall 006 Problem Set 3: Solutions. [Cover and Thomas 7.] a Define the following notation, C I p xx; Y max X; Y C I p xx; Ỹ max I X; Ỹ We would like to show that C
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής Ενότητα 4: Τοποθέτηση d ηλεκτρονίων σε οκτάεδρα Σύμπλοκα Περικλής Ακρίβος Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραMath 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme
Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme. (a) Note: Award A for vertical line to right of mean, A for shading to right of their vertical line. AA N (b) evidence of recognizing symmetry
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Ενότητα 11: The Unreal Past Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 17: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότερα