Ενότητα 3: Ακρότατα συναρτήσεων μίας ή πολλών μεταβλητών. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ενότητα 3: Ακρότατα συναρτήσεων μίας ή πολλών μεταβλητών. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών"

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Ακρότατα συναρτήσεων μίας ή πολλών μεταβλητών Νίκος Καραμπετάκης

2 Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Maximum-Minimum Problems of One Variable Functions. Absolute Maximum-Minimum. Constrained Problems. Maximum-Minimum Problems of Two Variable Functions. Absolute Maximum-Minimum. Matrix Theory. 4

5 Βελτιστοποίηση συναρτήσεων μιας μεταβλητής. Βελτιστοποίηση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. 5

6 A function f x has a relative maximum f(a) at the point a, f(a) if f(a) f(x) for all x in some open interval containing a. A function f x has a relative minimum f(a) at the point a, f(a) if f(a) f(x) for all x in some open interval containing a. Relative minimum f a 0 f a 0 f (a) = 0 f a+h f a h f a+h f a h 0 if h > 0 0 if h < 0 6

7 Theorem 1. If f(x) is differentiable at a and is defined on an open interval containing a and f(a) is either a relative maximum or a relative minimum of f(x) THEN f a = 0. Example 1. Find the relative minimum-maximum of f x = x 3 3x + 2, x + Since f(x) is differentiable on R and f (x) = 3x 2 3 = 3 x 1 x + 1 then we possibly (since Theorem 1 does not give necessary and sufficient conditions ) have a relative minimum-maximum at x = ±1. 7

8 x 3 3 x

9 Find the relative minimum-maximum of The derivative of f(x)is f x = x 2/3, 2 x +3 f x = 2 3 x2 3 1 = 2 3 The derivative does not exist at x = 0. Nowhere f x = 0. Are there any relative maximum-minimum? Note that the theorem does not say anything about the points: Where there is no derivative. The boundaries of our domain. 1 x 1 3 9

10 x

11 Find the relative minimum-maximum of f x = x 3, 3 x +3 The derivative of f(x)is f x = 3x 2 Note that f x = 0 x = 0 but we don t have any relative minimum-maximum at x = 0. Note: The converse of the Theorem 1 is not always True! 11

12 x

13 Let a be a critical value of f(x) and suppose that f(x) is differentiable for all values of x near to a (but not necessarily at a). For values of x near a, A. If f (x) 0 for x < a and f (x) 0 for x > a, then f(a) is a relative maximum. B. If f (x) 0 for x < a and f (x) 0 for x > a, then f(a) is a relative minimum. C. If f (x) has the same sign on both sides of x = a, then f(a) is neither minimum nor maximum. 13

14 Find the relative minimum-maximum of f x = x 3 3x + 2, x + Since f(x) is differentiable on R and f (x) = 3x 2 3 = 3 x 1 x + 1 f (x) 0, x (, 1] f x = 1 (maximum) (x) 0 x 1,1 f (x) 0, x 1,1 f x = 1 (minimum) (x) 0 x 1, + ) 14

15 15

16 Find the relative minimum-maximum of The derivative of f(x)is f x = x 3, 3 x +3 f x = 3x 2 0 Since f x has the same sign on both sides of x = 0, then f 0 is neither minimum or maximum. 16

17 Suppose that f(x) is twice differentiable function in some interval about a and suppose that f a = 0. A. If f a < 0 then f(a) is a relative maximum of f x. B. If f a > 0 then f(a) is a relative minimum of f x. C. If f a = 0 then the test is inconclusive. I. If f a = f a = = f n 1 a = 0, f n (a) 0 then a) a is an extreme point iff n is even (like f x = x 2 ). Further when n is even, there is a relative maximum at x = a if f n a < 0 and a relative minimum if f n a > 0. b) a is an inflexion if is odd (like f x = x 3 ). 17

18 Find the relative minimum-maximum of f x = x 3 3x + 2, x + Since f(x) is differentiable on R and f x = 3x 2 3 f 1 = f 1 = 0 f x = 6x f 1 = 6 < 0 f 1 = 6 > 0 f 1 relative maximum f 1 relative minimum 18

19 The absolute maximum of the function f(x) is a value f(a) such that f a f(x) for all values of x in the domain of f(x). The absolute minimum of the function f(x) is a value f(a) such that f a f(x) for all values of x in the domain of f(x). How to find the absolute maximum-minimum of the continuous function f(x) on a, b? 19

20 1. Find all the critical values of f(x) i.e. f x = Find the values f a, f(b). 3. Find the values of f(x) for the points where there is no derivative of f(x). 4. Of the above values, the largest is the absolute maximum, and the smallest is the absolute minimum. 20

21 A manufacturing company plans to make microwave-safe cake pans by cutting squares out of the corners of a 12-inch by 12-inch piece of plastic, and then bending the sides up. The seam along each corner will be fused to finish the pan. The manufacturer wishes to determine what size square should be cut from the corners to make a pan of the greatest possible volume. 21

22 Step 1. Understand the problem V=volume of the pan. x= the length of a side of the square base. h=the length of a side of the corner to be cut out=the height of the pan V = x 2 h and x + 2h = 12 Step 2. Form a mathematical statement of the problem. x = 12 2h V h = 12 2h 2 h, 0 h 6 We seek the maximum value of V h for 0 h 6. 22

23 Step 3. Determine the maximum- minimum Find the derivative of V h : V h = h 2 h h 2 = 12 2h 4h h = 12 2h 6h + 12 Therefore V h = 0 for h 2,6. We have also that: V h = 2 6h h 6 = = 24h 96 = 24(h 4) and thus V 2 = 48 < 0, V 6 = 48 > 0. 23

24 Therefore we have a relative maximum for x = 2. We have also that V 0 = 0, V 6 = 0. Thus the largest of the values V 0, V 2, V 6 is V = = 128in 3 which is the absolute maximum. Step 4. Answer the question Since we have the absolute maximum for we have that and therefore the dimensions of the largest tray are 8 inches by 8 inches, a very common size for microwave trays and cake pans. What about a non-square base? 24

25 What is the rectangle of largest area that can be cut from a circle of radius 20 inches? Step 1. Understand the problem. Let be one of the corners of the rectangle, as shown below. (-x,y) 20 (x,y) (-x,-y) (x,-y) 20 25

26 What is the rectangle of largest area that can be cut from a circle of radius 20 inches? Step 1. Understand the problem. Let be one of the corners of the rectangle, as shown below. (-x,y) 20 (x,y) (-x,-y) (x,-y) 20 x 2 + y 2 = 20 2 E = 2x 2y = 4xy 26

27 Step 2. Form a mathematical statement of the problem. x = 20 2 y 2, 0 y 20 E y = 4xy = 4y 20 2 y 2 We seek the maximum value of E y for 0 y 20. Step 3. Determine the maximum-minimum. Find the derivative of E y : E y = y 2 + 4y 1 2 = y 2 4y y 2 2y = 20 2 y 2 = y2 4y y 2 = y y 2 27

28 Thus E y = y 2 = 0 y = ±10 2 We also have that E y = y y 2 = 8y y y and thus E 10 2 = 16 < 0, E 10 2 = 16 > 0 Therefore we have a relative maximum for y = We have also that E 0 = 0, E 20 = 0. Thus the largest of the values E 0, E 10 2, E 20 is E 10 2 = 800in 2 which is the absolute maximum. 28

29 Step 4. Answer the question. Since we have the absolute maximum for y = 10 2, we have that x = x = 20 y 2 = 10 2 and therefore the dimension of the rectangle are 10 2 inches by 10 2 inches (square). 29

30 Minimize-Maximize Q x, y subject to constraints C x, y = K R. Minimize-Maximize Q x, y x subject to constraints C x, y x = K R. d dx Q x, y x = 0, d dx C x, y x = 0 30

31 Minimize subject to constraints E = 2x 2y = 4xy x 2 + y 2 = Solution. We have that E x, y x = 4xy(x) and x 2 + y(x) 2 = 20 2, and thus d dy E x, y x = 0 4y x + 4x dx dx = 0 d dx x2 + y x 2 = d dx 202 2x + 2y x dy dx = 0 The cases x = 0 and y = 0 do not produce maxima, so we may 31

32 assume that x > 0 and y x > 0. With these assumptions the two equations become dy = y(x) dx x dy and = x dx y(x) respectively. Thus dy y x = dx x = x y x x2 = y 2 (x) The only first-quadrant solution of the equations x 2 = y 2 (x) and x 2 + y(x) 2 = 20 2 is the point 10 2, 10 2 which determines a square with edge length (the same solution with previous example) 32

33 A function f x, y has a relative maximum f(a, b) at the point a, b, f(a, b) if f(a, b) f(x, y) for all (x, y) in some rectangular region about (a, b). A function f x, y has a relative minimum f(a, b) at the point a, b, f(a, b) if f(a, b) f(x, y) for all (x, y) in some rectangular region about (a, b). 33

34 Theorem 2. (Necessary Conditions) Suppose that f x, y attains a relative maximum or a relative minimum value at the point (a, b) and the partial derivatives both exist. Then f x (a, b) and f y (a, b) f x a, b = 0 = f y (a, b) 34

35 Find the relative minimum-maximum of f x, y = x 2 + y 2, x, y + Since the partial derivatives both exist and f x = f x = 2x and f y = f y = 2y f x = f y = 0 x, y = 0,0 Then we possible (since Theorem 2 does not give necessary and sufficient conditions ) have a relative a relative minimummaximum at x, y = 0,0. Since f x, y f 0,0 = x 2 + y 2 0 = x 2 + y

36 we have that f x, y f 0,0 Thus we have a minimum at x, y = 0,0. x 2 y 2 36

37 Find the relative minimum-maximum of f x, y = x 2 y 2, x, y + Since the partial derivatives f x = f x = 2x and f y = f y = 2y both exist and f x = f y = 0 x, y = 0,0 Then we possible (since Theorem 2 does not give necessary and sufficient conditions ) have a relative a relative minimummaximum at x, y = 0,0. 37

38 Example 9 (2) x 2 y 2 Note. The theorem gives necessary but not sufficient conditions 38

39 Suppose that z = f x, y has partial derivatives at all points near a point (a, b) and that (a, b) is a critical point of f x, y so that f x a, b = 0 = f y (a, b) Let A = f xx a, b = B = f xy a, b = 2 f x 2 a,b 2 f y x a,b,, C= f yy a, b = 2 f y 2 a,b 39

40 Rule 1. f(a, b) is a relative maximum if AC B 2 > 0 and A < 0. Rule 2. f(a, b) is a relative minimum if AC B 2 > 0 and A > 0. Rule 3. a, b, f(a, b) is a saddle point if AC B 2 < 0. Rule 4. The test gives no information about the type of critical point if AC B 2 = 0. Note. The values of A, B, C depend upon the point (a, b) and must be determined independently for each critical point. 40

41 Find the relative minimum-maximum of f x, y = x 2 + y 2, x, y + Since the partial derivatives both exist and f x = f x = 2x and f y = f y = 2y f x = f y = 0 x, y = 0,0 A = f xx 0,0 = 2 f x 2 0,0 = 2 > 0, B = f xy 0,0 = 2 f y x 0,0 = 0, 41

42 and C = f yy 0,0 = 2 f y 2 0,0 = 2 f 0,0 = = 0 is a relative minimum since AC B 2 = = 4 > 0 and A = 2 > 0 42

43 Find the relative minimum-maximum of f x, y = x 2 y 2, x, y + Since the partial derivatives both exist and f x = f x = 2x and f y = f y = 2y f x = f y = 0 x, y = 0,0 A = f xx 0,0 = 2 f x 2 0,0 = 2 > 0, B = f xy 0,0 = 2 f y x 0,0 = 0, 43

44 and C = f yy 0,0 = 2 f y 2 0,0 = 2 ( 0,0, f 0,0 = 0) is a saddle point since AC B 2 = = 4 < 0 44

45 The absolute maximum of the function f(x, y) is a value f(a, b) such that f(a, b) f(x, y) for all values of x, y in the domain of f(x, y). The absolute minimum of the function f(x, y) is a value f(a, b) such that f(a, b) f(x, y) for all values of x, y in the domain of f(x, y). Question: How to find the absolute maximum-minimum of the continuous function f(x, y) on a closed curve R? 45

46 1. Find all the critical values of f(x, y) i.e. f x a, b = 0 = f y (a, b) 2. Find the maximum of the values of f(x, y) on the boundaries of R. 3. Find the values of f(x, y) for the points where there is no partial derivative of f(x, y). 4. Of the above values, the largest is the absolute maximum, and the smallest is the absolute minimum. 46

47 Find the dimensions of a rectangular box (with no top) of volume 64in 3, that has the minimum surface area. Step 1. Understand the problem V = volume of the box E = surface area of the box no top x = the length of the first side y = the length of the second side h = the heigth of the box V = xyh = 64 E = xy + 2xh + 2yh 47

48 Step 2.Form a mathematical statement of the problem. h = 64 xy E x, y = xy + 2x y = xy + xy xy y x, 0 < x, y We seek the maximum value of E x, y for 0 < x, y. Step 3. Determine the maximum-minimum Find the derivative of E(x, y): E x x, y = y 128 x 2 = yx2 128 x 2 48

49 Note also that E y x, y = x 128 y 2 = xy2 128 y 2 E y x, y = 0 xy = 0 x 128 x = = x 3 x = = y = 128 x 2 = = 43 2 A = E xx 4 3 2, = x ,4 3 2 = 2 > 0 49

50 B = E xy 4 3 2, = 2 E y x 4 3 2,4 3 2 = 1, C= E yy 4 3 2, = y ,4 3 2 = 2 > 0 f 4 3 2, = xy y x 4 3 2,4 3 2 = is a relative minimum since AC B 2 = = 3 > 0 and A = 2 > 0. 50

51 Step 4. Answer the question. Since we have the absolute maximum for 4 3 2, 4 3 2, we have that h = 128 = 128 xy = and therefore the dimensions of the box with the maximum surface area are inches by inches by inches. Note. Find the dimensions of a rectangular box (with no top) with surface area of 64in 2, that has the maximum volume. 51

52 Find the line y = ax + b that best fits the data points x i, y i, i = 1,, n. Solution We define the deviation between the ith point and the line to be: d i = y i (ax i + b) We need to minimize the function f a, b = n i=1 d i 2 = n i=1 y i ax i b 2 52

53 di Pi(x,y) y=ax+b

54 n f a a, b = a i=1 = = 2a y i ax i b 2 = n i=1 n 2 y i ax i b x i = n n x 2 i + 2b x i 2 x i y i i=1 i=1 i=1 54

55 n f b a, b = b i=1 y i ax i b 2 = n = 2 y i ax i b 1 = i=1 n n n = 2a x i + 2b 1 2 i=1 i=1 i=1 Solve f a a, b = f b a, b = 0 or equivalently y i 55

56 or n n n a x 2 i + b x i = x i y i n 2 x i i=1 n x i i=1 i=1 i=1 i=1 n n a x i + bn = y i i=1 i=1 n n x i i=1 n x i y i a b = i=1 n y i i=1 56

57 a b = 1 n n i=1 x 2 i i=1 a = n i=1 n n x i 2 n n i=1 x i y i n i=1 n n i=1 x i n i=1 x i n 2 x i i=1 x i ( n i=1 y i ) n 2, x i x 2 i i=1 b = i=1 n x n i i=1 x i y i + n i=1 x 2 n i i=1 n n i=1 x 2 i n 2 i=1 x i n i=1 n i=1 x i y i Note. Use the second derivative test in order to show that we have a minimum for these (a,b). y i y i 57

58 Minimize-Maximize Q x, y subject to constraints C x, y = 0. Define the Lagrange function as L x, y, λ = Q x, y + λc x, y Then all the relative minimum and maximum points of Q x, y with x and y constrained to satisfy the equation C x, y = 0 will be among those points x 0, y 0 for which x 0, y 0, λ 0 is a maximum or minimum point of L x, y, λ. 58

59 These points x 0, y 0, λ 0 simultaneous equations will be solutions of the system of L x x, y, λ = 0 L y x, y, λ = 0 L λ x, y, λ = 0(this is just C x, y = 0) We assume that all partial derivatives exist. 59

60 Minimize E = 2x 2y = 4xy subject to constraints x 2 + y 2 = Define the Lagrange function L x, y, λ = 4xy + λ x 2 + y Find the points that satisfy the system of simultaneous equations L x x, y, λ = 4y + 2λx = 0 L y x, y, λ = 4x + 2λy = 0 L λ x, y, λ = x 2 + y = 0 or 60

61 equivalently y = 1 2 λx x = 1 2 λy x = 1 2 λ 1 2 λx = 1 4 λ2 x 1 λ2 4 x = 0 x = 0 λ = ±2 For x = 0 we have that y = 0 but Therefore x = y for λ = 2 (or y = x for λ = 2) and x 2 + y = 0 x 2 + x = 0 2x 2 = 20 2 x = ±

62 and thus (respectively y = x = ±10 2) y = x = 10 2 Thus the only candidates for minimum-maximum points of the constrained optimization problem are the pairs ±10 2, ±10 2 and ±10 2, The values of the function E = 2x 2y = 4xy at these points are respectively and E = ±10 2, ±10 2 =

63 E = ±10 2, 10 2 = 800 Therefore we have a minimum for the pair 10 2, 10 2 (and 10 2, 10 2 ) and maximum for the pair 10 2, 10 2 (and 10 2, 10 2 ). 63

64 Let P, S be real symmetric matrices. If y T Py > 0 y 0 then P is called positive-definite matrix. If y T Py 0 y 0 then S is called positive semi-definite matrix. Notes. If P is positive definite matrix then P is invertible. If P is positive definite and S is positive semi-definite then P + S is positive definite. The real symmetric matrix P is positive definite (semidefinite) iff the eigenvalues of P are positive (non negative) 64

65 Let P, S be real symmetric matrices. If y T Py < 0 y 0 then P is called negative-definite matrix. If y T Py 0 y 0 then S is called negative semi-definite matrix. Notes. If P is negative definite matrix then P is invertible. If P is negative definite and S is negative semi-definite then P + S is negative definite. The real symmetric matrix P is negative definite (semi-definite) iff the eigenvalues of P are negative (non positive). 65

66 The matrix P is positive definite iff p 11 > 0, P = and negative definite iff p 11 < 0, p 11 p 12 p 21 p 22 > 0, p 11 p 12 p 21 p 22 > 0, p 11 p 12 p 13 p 21 p 22 p 23 p 31 p 32 p 33 p 11 p 12 p 13 p 21 p 22 p 23 > 0 p 31 p 32 p 33 p 11 p 12 p 13 p 21 p 22 p 23 < 0(sign changes) p 31 p 32 p 33 66

67 The matrix P P = is positive semi-definite iff p 11 0, p 11 p 12 p 21 p 22 0, and negative semi-definite iff p 11 0, p 11 p 12 p 21 p 22 0, p 11 p 12 p 13 p 21 p 22 p 23 p 31 p 32 p 33 p 11 p 12 p 13 p 21 p 22 p 23 0 p 31 p 32 p 33 p 11 p 12 p 13 p 21 p 22 p 23 0(sign changes) p 31 p 32 p 33 67

68 Consider the function f(x 1, x 2,, x n ). We define the gradient of f: R n R with respect to x as f x f x = f x = x 1 f x 2 f x n where x = x 1, x 2,, x n T. 68

69 The total differential of a function f: R m R n is defined by the Jacobian matrix f x = f 1 f 2 x 1 x 1 f 1 f 2 x 2 x 2 f 1 f 2 f n x 1 f n x 2 f n x m x m x m 69

70 1. x T c x = x 1c 1 +x 2 c 2 + +x m c m x = c Ax x x T A x = x = A a 11 x 1 + a 12 x a 1m x m a 21 x 1 + a 22 x a 2m x m = a n1 x 1 + a n2 x a nm x m a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 a n1 = = A T a 1m a 2m a mn 70

71 4. x T Mx x = x T Mx c1 x + M T x c2 x T x = x T Mx x T M T x = x c 1 + c 2 x = Mx + M T x If is M real symmetric matrix then xt Mx x = 2Mx. 71

72 We define the Hessian matrix of f x as f xx = 2 f x 2 = 2 f x x = 2 f x f x 2 x 1 2 f x m x 1 2 f x 1 x 2 2 f x f x m x 2 2 f x 1 x m 2 f x 2 x m 2 f x m 2 72

73 Properties 1. 2 x T Mx = M+MT x x 2 x = xt M T +M x 2. If is a real symmetric matrix then 2 x T Mx x 2 3. f = f x t, y t df = f x T dx + f 4. f = f x t, y t, t, y t = y x t, t df = f + yt dx x x f y = M + M T. y = 2M. T dy f = f + yt t x x f y T x t + f y T y + f t t 73

74 f x = f x 0 + f x + 1 2! x x T 0 T x x 0 x=x 0 2 f x 2 x x 0 + O 3 x=x 0 f x = f x T x=x 0 dx + 1 2! dxt 2 f x 2 x=x 0 dx + O 3 74

75 A function f: D R, D R n has a relative maximum f(a) at the point a, f(a) if f a f x for all x in some region containing a. A function f: D R, D R n has a relative minimum f(a) at the point a, f(a) if f a f x for all x in some region containing a. Theorem 3. (Necessary Conditions) Suppose that f x attains a relative minimum value (resp. relative maximum) at the point a and the gradient x f exists. Then 1) x f x=a = 0 f x i xi =a i = 0 75

76 2) K = k ij = 2 f(x) = x 2 x=a f xx x=a is a positive semidefinite (resp. negative semi-definite) Sufficient Condition: K is positive definite (resp. negative definite) Notes: If x T Kx change signs at x = a then a is a saddle point. If K is positive semi-definite or negative semi-definite then we need more information in order to decide if the point is minimum or maximum (terms of order 3). The point a is called singular. 76

77 Find the relative minimum-maximum of f x, y, z = x 2 + y 2 + z 2, x, y, z + Since the partial derivatives exist and f x = f x = 2x, f y = f y = 2y, f z = f z = 2z 1. f x = f y = f z = 0 x, y, z = 0,0,0 2. K = 2 f x 2 2 f y x 2 f z x 2 f x y 2 f y 2 2 f z y 2 f x z 2 f y z 2 f z 2 = > 0 77

78 Thus we have a relative minimum at x, y, z = 0,0,0 f x, y, z f 0,0,0 = x 2 + y 2 + z 2 0 = = x 2 + y 2 + z 2 0 f x, y, z f 0,0,0 0 f x, y, z f 0,0,0 78

79 Find the relative minimum-maximum of f x, y = x 2 y 2, x, y + Since the partial derivatives both exist and f x = f x = 2x, f y = f y = 2y 1. f x = f y = 0 x, y = 0,0 2. K = 2 f x 2 2 f y x 2 f x y = 2 f y

80 We have a saddle point at x, y = 0,0 since K has positive and negative eigenvalues. x 2 y 2 80

81 Let J x, u : R n R and f: R n R m, f x, u = 0 where u t R r, x(t) R n. Problem. Find the minimum-maximum of J(x, u) under the constraints f x, u = 0. 1 st solution. Solve the second equation and substitute in the function J x, u. Then apply the known criteria. 2 nd solution. Lagrange multipliers. From the function L x, u, λ = J x, u + λf x, u λ = λ 1, λ 2,.., λ m, λ i : Lagrange multipliers L x, u, λ : Lagrangian 81

82 Then all the relative minimum and maximum points of J x, u, with x and y constrained to satisfy the equation f x, u = 0, will be among those points for which x 0, u 0, λ 0 L x, u, λ. x 0, u 0 is a maximum or minimum point of These points x 0, u 0, λ 0 will be the solutions of the system of simultaneous equations L x x, y, λ = 0 L y x, y, λ = 0 L λ x, y, λ = 0(this is just f x, y = 0) 82

83 Find the point on the plane x + 2y + 2z = 4 that is closest to the origin or equivalently minimize f x, y, z = x 2 + y 2 + z 2 Subject to constraint x + 2y + 2z = 4 83

84 Define the Lagrangian L x, y, z, λ = x 2 + y 2 + z 2 + λ x + 2y + 2z 4 The necessary conditions are L = 2x + λ = 0 x L = 2y + 2λ = 0 y x = 4 L 9, y = 8 9, z = 8 9, l = 8 9 = 2z + 2λ = 0 z L = x + 2y + 2z 4 = 0 λ 84

85 Let D φ x = Τ φ1 Τ φ2 φm the Jacobian of the constraints and Τ = f x T φ x = ξ: D φ x ξ = 0 be the tangent plane at the point x on the surface defined by the constraints. Then T f u T 85

86 Suppose f x, φ 1 x, φ 2 x,, φ m x have continuous second partial derivatives in R n and let x, λ be a stationary point of the Lagrangian L x, λ. If ξ T L xx x, λ ξ > 0, ξ( 0) T φ (x ) then x is a strong local minimiser of f x subject to constraints φ 1 x = φ 2 x = = φ m x = 0. 86

87 T φ x = ξ: D φ x ξ = 0 = = f x T f u T ξ 2 ξ: f x T f u T ξ 1 ξ 2 = 0 ξ 2 ξ T L xx x, λ ξ = = ξ 2 Τ f u f x 1 Ι L xx x, λ f J uu ξ 2 ( 0) f x T I f u T ξ 2 > 0 87

88 L x, y, z, λ = x 2 + y 2 + z 2 + λ x + 2y + 2z 4 D φ x = φ1 = T φ x = ξ: ξ = 0 = 2ξ 2 2ξ 3 ξ 2 ξ T L xx x, λ ξ L xx = = 2ξ 2 2ξ 3 ξ 2 ξ ξ 3 > 0 2ξ 2 2ξ 3 ξ 2 ξ 3 = 88

89 = 2 ξ 2 ξ ξ ξ 3 2 > 0, ξ 0 Therefore x = 4 9, y = 8 9, z = 8 9, l = 8 9 minimize the function f x, y, z = x 2 + y 2 + z 2 subject to constraint x + 2y + 2z = 4 89

90 Ron Larson, Bruce H. Edwards, 2013, Calculus, Cengage Learning (10 edition) 90

91 Copyright, Νικόλαος Καραμπετάκης. «. Ενότητα 3: Ακρότατα συναρτήσεων μίας ή πολλών μεταβλητών». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

92 Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1]

93 Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

94 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου Θεσσαλονίκη, Εαρινό εξάμηνο

Homework 8 Model Solution Section

Homework 8 Model Solution Section MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing

Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing Γιώργος Μπορμπουδάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Procedure 1. Form the null (H 0 ) and alternative (H 1 ) hypothesis 2. Consider

Διαβάστε περισσότερα

2 Composition. Invertible Mappings

2 Composition. Invertible Mappings Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Άσκηση αυτοαξιολόγησης 4 Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών CS-593 Game Theory 1. For the game depicted below, find the mixed strategy

Διαβάστε περισσότερα

Homework 3 Solutions

Homework 3 Solutions Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Matrices and Determinants

Matrices and Determinants Matrices and Determinants SUBJECTIVE PROBLEMS: Q 1. For what value of k do the following system of equations possess a non-trivial (i.e., not all zero) solution over the set of rationals Q? x + ky + 3z

Διαβάστε περισσότερα

Example Sheet 3 Solutions

Example Sheet 3 Solutions Example Sheet 3 Solutions. i Regular Sturm-Liouville. ii Singular Sturm-Liouville mixed boundary conditions. iii Not Sturm-Liouville ODE is not in Sturm-Liouville form. iv Regular Sturm-Liouville note

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 10η: Basics of Game Theory part 2 Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 10η: Basics of Game Theory part 2 Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 0η: Basics of Game Theory part 2 Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Best Response Curves Used to solve for equilibria in games

Διαβάστε περισσότερα

3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS. NOTE: cos(α+β) cos α + cos β cos(α-β) cos α -cos β

3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS. NOTE: cos(α+β) cos α + cos β cos(α-β) cos α -cos β 3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS Page Theorem cos(αβ cos α cos β -sin α cos(α-β cos α cos β sin α NOTE: cos(αβ cos α cos β cos(α-β cos α -cos β Proof of cos(α-β cos α cos β sin α Let s use a unit circle

Διαβάστε περισσότερα

Quadratic Expressions

Quadratic Expressions Quadratic Expressions. The standard form of a quadratic equation is ax + bx + c = 0 where a, b, c R and a 0. The roots of ax + bx + c = 0 are b ± b a 4ac. 3. For the equation ax +bx+c = 0, sum of the roots

Διαβάστε περισσότερα

Phys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required)

Phys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required) Phys460.nb 81 ψ n (t) is still the (same) eigenstate of H But for tdependent H. The answer is NO. 5.5.5. Solution for the tdependent Schrodinger s equation If we assume that at time t 0, the electron starts

Διαβάστε περισσότερα

ANSWERSHEET (TOPIC = DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION #2. h 0 h h 0 h h 0 ( ) g k = g 0 + g 1 + g g 2009 =?

ANSWERSHEET (TOPIC = DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION #2. h 0 h h 0 h h 0 ( ) g k = g 0 + g 1 + g g 2009 =? Teko Classes IITJEE/AIEEE Maths by SUHAAG SIR, Bhopal, Ph (0755) 3 00 000 www.tekoclasses.com ANSWERSHEET (TOPIC DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION # Question Type A.Single Correct Type Q. (A) Sol least

Διαβάστε περισσότερα

New bounds for spherical two-distance sets and equiangular lines

New bounds for spherical two-distance sets and equiangular lines New bounds for spherical two-distance sets and equiangular lines Michigan State University Oct 8-31, 016 Anhui University Definition If X = {x 1, x,, x N } S n 1 (unit sphere in R n ) and x i, x j = a

Διαβάστε περισσότερα

D Alembert s Solution to the Wave Equation

D Alembert s Solution to the Wave Equation D Alembert s Solution to the Wave Equation MATH 467 Partial Differential Equations J. Robert Buchanan Department of Mathematics Fall 2018 Objectives In this lesson we will learn: a change of variable technique

Διαβάστε περισσότερα

Second Order Partial Differential Equations

Second Order Partial Differential Equations Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y

Διαβάστε περισσότερα

Section 8.3 Trigonometric Equations

Section 8.3 Trigonometric Equations 99 Section 8. Trigonometric Equations Objective 1: Solve Equations Involving One Trigonometric Function. In this section and the next, we will exple how to solving equations involving trigonometric functions.

Διαβάστε περισσότερα

Section 9.2 Polar Equations and Graphs

Section 9.2 Polar Equations and Graphs 180 Section 9. Polar Equations and Graphs In this section, we will be graphing polar equations on a polar grid. In the first few examples, we will write the polar equation in rectangular form to help identify

Διαβάστε περισσότερα

The ε-pseudospectrum of a Matrix

The ε-pseudospectrum of a Matrix The ε-pseudospectrum of a Matrix Feb 16, 2015 () The ε-pseudospectrum of a Matrix Feb 16, 2015 1 / 18 1 Preliminaries 2 Definitions 3 Basic Properties 4 Computation of Pseudospectrum of 2 2 5 Problems

Διαβάστε περισσότερα

derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates

derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates swapnizzle 03-03- :5:43 We begin by recognizing the familiar conversion from rectangular to spherical coordinates (note that φ is used

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Ενότητα 1: Elements of Syntactic Structure Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια

Διαβάστε περισσότερα

Solution to Review Problems for Midterm III

Solution to Review Problems for Midterm III Solution to Review Problems for Mierm III Mierm III: Friday, November 19 in class Topics:.8-.11, 4.1,4. 1. Find the derivative of the following functions and simplify your answers. (a) x(ln(4x)) +ln(5

Διαβάστε περισσότερα

C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions

C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions Paul Liu November 15, 2007 Note that these are sample solutions only; in many cases there were many acceptable answers. 1 Reynolds Problem 10.1 1.1 Normal-order

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval

Chapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval Chapter 6: Systems of Linear Differential Equations Let a (t), a 2 (t),..., a nn (t), b (t), b 2 (t),..., b n (t) be continuous functions on the interval I. The system of n first-order differential equations

Διαβάστε περισσότερα

Other Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests

Other Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests Other Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests Side-Note: So far we have seen a few approaches for creating tests such as Neyman-Pearson Lemma ( most powerful tests of H 0 : θ = θ 0 vs H 1 :

Διαβάστε περισσότερα

Statistical Inference I Locally most powerful tests

Statistical Inference I Locally most powerful tests Statistical Inference I Locally most powerful tests Shirsendu Mukherjee Department of Statistics, Asutosh College, Kolkata, India. shirsendu st@yahoo.co.in So far we have treated the testing of one-sided

Διαβάστε περισσότερα

The Simply Typed Lambda Calculus

The Simply Typed Lambda Calculus Type Inference Instead of writing type annotations, can we use an algorithm to infer what the type annotations should be? That depends on the type system. For simple type systems the answer is yes, and

Διαβάστε περισσότερα

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- ----------------- Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Finite Field Problems: Solutions

Finite Field Problems: Solutions Finite Field Problems: Solutions 1. Let f = x 2 +1 Z 11 [x] and let F = Z 11 [x]/(f), a field. Let Solution: F =11 2 = 121, so F = 121 1 = 120. The possible orders are the divisors of 120. Solution: The

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 11η: Markets and Strategic Interaction in Networks Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 11η: Markets and Strategic Interaction in Networks Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 11η: Markets and Strategic Interaction in Networks Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Course Outline Part II: Mathematical Tools

Διαβάστε περισσότερα

Areas and Lengths in Polar Coordinates

Areas and Lengths in Polar Coordinates Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Ενότητα 9: Inversion Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

SOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM

SOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM SOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM Solutions to Question 1 a) The cumulative distribution function of T conditional on N n is Pr T t N n) Pr max X 1,..., X N ) t N n) Pr max

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία της μετάφρασης

Ιστορία της μετάφρασης ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Μεταφραστές και πρωτότυπα. Ελένη Κασάπη ΤΜΗΜΑ ΑΓΓΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Areas and Lengths in Polar Coordinates

Areas and Lengths in Polar Coordinates Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the

Διαβάστε περισσότερα

EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 6: Ακρότατα συναρτησιακών διανυσματικών συναρτήσεων. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Ενότητα 6: Ακρότατα συναρτησιακών διανυσματικών συναρτήσεων. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Ακρότατα συναρτησιακών διανυσματικών συναρτήσεων Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IV

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IV ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IV Εισαγωγή στα δυναμικά συστήματα Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

( y) Partial Differential Equations

( y) Partial Differential Equations Partial Dierential Equations Linear P.D.Es. contains no owers roducts o the deendent variables / an o its derivatives can occasionall be solved. Consider eamle ( ) a (sometimes written as a ) we can integrate

Διαβάστε περισσότερα

Parametrized Surfaces

Parametrized Surfaces Parametrized Surfaces Recall from our unit on vector-valued functions at the beginning of the semester that an R 3 -valued function c(t) in one parameter is a mapping of the form c : I R 3 where I is some

Διαβάστε περισσότερα

Reminders: linear functions

Reminders: linear functions Reminders: linear functions Let U and V be vector spaces over the same field F. Definition A function f : U V is linear if for every u 1, u 2 U, f (u 1 + u 2 ) = f (u 1 ) + f (u 2 ), and for every u U

Διαβάστε περισσότερα

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 7η: Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Solutions to Exercise Sheet 5

Solutions to Exercise Sheet 5 Solutions to Eercise Sheet 5 jacques@ucsd.edu. Let X and Y be random variables with joint pdf f(, y) = 3y( + y) where and y. Determine each of the following probabilities. Solutions. a. P (X ). b. P (X

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 8η: Producer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 8η: Producer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 8η: Producer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Firm Behavior GOAL: Firms choose the maximum possible output (technological

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4: Ιδιότητες συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Εκκλησιαστικό Δίκαιο ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 11η: Οργανισμοί της Εκκλησίας της Ελλάδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit

Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ting Zhang Stanford May 11, 2001 Stanford, 5/11/2001 1 Outline Ordinal Classification Ordinal Addition Ordinal Multiplication Ordinal

Διαβάστε περισσότερα

Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016

Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016 Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016 Silvio Capobianco Exercise 1.7 Let H(n) = J(n + 1) J(n). Equation (1.8) tells us that H(2n) = 2, and H(2n+1) = J(2n+2) J(2n+1) = (2J(n+1) 1) (2J(n)+1)

Διαβάστε περισσότερα

Fourier Series. MATH 211, Calculus II. J. Robert Buchanan. Spring Department of Mathematics

Fourier Series. MATH 211, Calculus II. J. Robert Buchanan. Spring Department of Mathematics Fourier Series MATH 211, Calculus II J. Robert Buchanan Department of Mathematics Spring 2018 Introduction Not all functions can be represented by Taylor series. f (k) (c) A Taylor series f (x) = (x c)

Διαβάστε περισσότερα

Congruence Classes of Invertible Matrices of Order 3 over F 2

Congruence Classes of Invertible Matrices of Order 3 over F 2 International Journal of Algebra, Vol. 8, 24, no. 5, 239-246 HIKARI Ltd, www.m-hikari.com http://dx.doi.org/.2988/ija.24.422 Congruence Classes of Invertible Matrices of Order 3 over F 2 Ligong An and

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκτηση Πληροφορίας

Ανάκτηση Πληροφορίας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Λανθάνουσα Σημασιολογική Ανάλυση (Latent Semantic Analysis) Απόστολος Παπαδόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8 questions or comments to Dan Fetter 1

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8  questions or comments to Dan Fetter 1 Eon : Fall 8 Suggested Solutions to Problem Set 8 Email questions or omments to Dan Fetter Problem. Let X be a salar with density f(x, θ) (θx + θ) [ x ] with θ. (a) Find the most powerful level α test

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Section 7.6 Double and Half Angle Formulas

Section 7.6 Double and Half Angle Formulas 09 Section 7. Double and Half Angle Fmulas To derive the double-angles fmulas, we will use the sum of two angles fmulas that we developed in the last section. We will let α θ and β θ: cos(θ) cos(θ + θ)

Διαβάστε περισσότερα

Tridiagonal matrices. Gérard MEURANT. October, 2008

Tridiagonal matrices. Gérard MEURANT. October, 2008 Tridiagonal matrices Gérard MEURANT October, 2008 1 Similarity 2 Cholesy factorizations 3 Eigenvalues 4 Inverse Similarity Let α 1 ω 1 β 1 α 2 ω 2 T =......... β 2 α 1 ω 1 β 1 α and β i ω i, i = 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

Mock Exam 7. 1 Hong Kong Educational Publishing Company. Section A 1. Reference: HKDSE Math M Q2 (a) (1 + kx) n 1M + 1A = (1) =

Mock Exam 7. 1 Hong Kong Educational Publishing Company. Section A 1. Reference: HKDSE Math M Q2 (a) (1 + kx) n 1M + 1A = (1) = Mock Eam 7 Mock Eam 7 Section A. Reference: HKDSE Math M 0 Q (a) ( + k) n nn ( )( k) + nk ( ) + + nn ( ) k + nk + + + A nk... () nn ( ) k... () From (), k...() n Substituting () into (), nn ( ) n 76n 76n

Διαβάστε περισσότερα

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 10η: Απεσταλμένοι του Ρωμαίου Ποντίφικα και Ρωμαϊκή Κουρία Κυριάκος Κυριαζόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2: Εισαγωγή στη Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Ενότητα 2: Εισαγωγή στη Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Εισαγωγή στη Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1.

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1. Exercises 0 More exercises are available in Elementary Differential Equations. If you have a problem to solve any of them, feel free to come to office hour. Problem Find a fundamental matrix of the given

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval

Chapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval Chapter 6: Systems of Linear Differential Equations Let a (t), a 2 (t),..., a nn (t), b (t), b 2 (t),..., b n (t) be continuous functions on the interval I. The system of n first-order differential equations

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9. Επανατοποθέτηση πόλων σε συστήματα πολλών εισόδων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1) 84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this

Διαβάστε περισσότερα

SOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM

SOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM SOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM Solutions to Question 1 a) The cumulative distribution function of T conditional on N n is Pr (T t N n) Pr (max (X 1,..., X N ) t N n) Pr (max

Διαβάστε περισσότερα

Διοικητική Λογιστική

Διοικητική Λογιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 10: Προσφορά και κόστος Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Εκκλησιαστικό Δίκαιο ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8η: Ο νέος αντιρατσιστικός νόμος και ο ν.4301/2014 Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

1. (a) (5 points) Find the unit tangent and unit normal vectors T and N to the curve. r(t) = 3cost, 4t, 3sint

1. (a) (5 points) Find the unit tangent and unit normal vectors T and N to the curve. r(t) = 3cost, 4t, 3sint 1. a) 5 points) Find the unit tangent and unit normal vectors T and N to the curve at the point P, π, rt) cost, t, sint ). b) 5 points) Find curvature of the curve at the point P. Solution: a) r t) sint,,

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS

CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS EXERCISE 01 Page 545 1. Use matrices to solve: 3x + 4y x + 5y + 7 3x + 4y x + 5y 7 Hence, 3 4 x 0 5 y 7 The inverse of 3 4 5 is: 1 5 4 1 5 4 15 8 3

Διαβάστε περισσότερα

Pg The perimeter is P = 3x The area of a triangle is. where b is the base, h is the height. In our case b = x, then the area is

Pg The perimeter is P = 3x The area of a triangle is. where b is the base, h is the height. In our case b = x, then the area is Pg. 9. The perimeter is P = The area of a triangle is A = bh where b is the base, h is the height 0 h= btan 60 = b = b In our case b =, then the area is A = = 0. By Pythagorean theorem a + a = d a a =

Διαβάστε περισσότερα

ST5224: Advanced Statistical Theory II

ST5224: Advanced Statistical Theory II ST5224: Advanced Statistical Theory II 2014/2015: Semester II Tutorial 7 1. Let X be a sample from a population P and consider testing hypotheses H 0 : P = P 0 versus H 1 : P = P 1, where P j is a known

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 19: Υπολογισμός Εμβαδού και Όγκου Από Περιστροφή (2 ο Μέρος) Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 19: Υπολογισμός Εμβαδού και Όγκου Από Περιστροφή (2 ο Μέρος) Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 19: Υπολογισμός Εμβαδού και Όγκου Από Περιστροφή ( ο Μέρος) Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Partial Differential Equations in Biology The boundary element method. March 26, 2013

Partial Differential Equations in Biology The boundary element method. March 26, 2013 The boundary element method March 26, 203 Introduction and notation The problem: u = f in D R d u = ϕ in Γ D u n = g on Γ N, where D = Γ D Γ N, Γ D Γ N = (possibly, Γ D = [Neumann problem] or Γ N = [Dirichlet

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2 and compare to M.

( ) 2 and compare to M. Problems and Solutions for Section 4.2 4.9 through 4.33) 4.9 Calculate the square root of the matrix 3!0 M!0 8 Hint: Let M / 2 a!b ; calculate M / 2!b c ) 2 and compare to M. Solution: Given: 3!0 M!0 8

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 14: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 14: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 8: Άτρακτοι και σφήνες Μ. Γρηγοριάδου Μηχανολόγων Μηχανικών Α.Π.Θ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

HOMEWORK 4 = G. In order to plot the stress versus the stretch we define a normalized stretch:

HOMEWORK 4 = G. In order to plot the stress versus the stretch we define a normalized stretch: HOMEWORK 4 Problem a For the fast loading case, we want to derive the relationship between P zz and λ z. We know that the nominal stress is expressed as: P zz = ψ λ z where λ z = λ λ z. Therefore, applying

Διαβάστε περισσότερα

Srednicki Chapter 55

Srednicki Chapter 55 Srednicki Chapter 55 QFT Problems & Solutions A. George August 3, 03 Srednicki 55.. Use equations 55.3-55.0 and A i, A j ] = Π i, Π j ] = 0 (at equal times) to verify equations 55.-55.3. This is our third

Διαβάστε περισσότερα

ECE Spring Prof. David R. Jackson ECE Dept. Notes 2

ECE Spring Prof. David R. Jackson ECE Dept. Notes 2 ECE 634 Spring 6 Prof. David R. Jackson ECE Dept. Notes Fields in a Source-Free Region Example: Radiation from an aperture y PEC E t x Aperture Assume the following choice of vector potentials: A F = =

Διαβάστε περισσότερα

SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES G11LMA Linear Mathematics Examination Solutions

SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES G11LMA Linear Mathematics Examination Solutions SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES GLMA Linear Mathematics 00- Examination Solutions. (a) i. ( + 5i)( i) = (6 + 5) + (5 )i = + i. Real part is, imaginary part is. (b) ii. + 5i i ( + 5i)( + i) = ( i)( + i)

Διαβάστε περισσότερα

Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude

Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Jan Behrens 2012-12-31 In this paper we shall provide a method to approximate distances between two points on earth

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IV

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IV ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IV Η δυναμική ενός μοντέλου Keynsian Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

b. Use the parametrization from (a) to compute the area of S a as S a ds. Be sure to substitute for ds!

b. Use the parametrization from (a) to compute the area of S a as S a ds. Be sure to substitute for ds! MTH U341 urface Integrals, tokes theorem, the divergence theorem To be turned in Wed., Dec. 1. 1. Let be the sphere of radius a, x 2 + y 2 + z 2 a 2. a. Use spherical coordinates (with ρ a) to parametrize.

Διαβάστε περισσότερα

Practice Exam 2. Conceptual Questions. 1. State a Basic identity and then verify it. (a) Identity: Solution: One identity is csc(θ) = 1

Practice Exam 2. Conceptual Questions. 1. State a Basic identity and then verify it. (a) Identity: Solution: One identity is csc(θ) = 1 Conceptual Questions. State a Basic identity and then verify it. a) Identity: Solution: One identity is cscθ) = sinθ) Practice Exam b) Verification: Solution: Given the point of intersection x, y) of the

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Ομοιότητα και Όμοιες Περιγραφές Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία νεότερων Μαθηματικών

Ιστορία νεότερων Μαθηματικών Ιστορία νεότερων Μαθηματικών Ενότητα 3: Παπασταυρίδης Σταύρος Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Περιγραφή Ενότητας Ιταλοί Αβακιστές. Αλγεβρικός Συμβολισμός. Άλγεβρα στην Γαλλία, Γερμανία, Αγγλία.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση Συγχώνευση & απαρίθμηση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Παράκτια Τεχνικά Έργα

Παράκτια Τεχνικά Έργα ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΑΘΕΣΗ ΥΓΡΩΝ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΑ ΥΠΟΒΡΥΧΙΟΙ ΑΓΩΓΟΙ Ενότητα 5 η : Κατασκευαστικά παραδείγματα Γιάννης Ν. Κρεστενίτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

forms This gives Remark 1. How to remember the above formulas: Substituting these into the equation we obtain with

forms This gives Remark 1. How to remember the above formulas: Substituting these into the equation we obtain with Week 03: C lassification of S econd- Order L inear Equations In last week s lectures we have illustrated how to obtain the general solutions of first order PDEs using the method of characteristics. We

Διαβάστε περισσότερα

Problem Set 3: Solutions

Problem Set 3: Solutions CMPSCI 69GG Applied Information Theory Fall 006 Problem Set 3: Solutions. [Cover and Thomas 7.] a Define the following notation, C I p xx; Y max X; Y C I p xx; Ỹ max I X; Ỹ We would like to show that C

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής

Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής Ενότητα 4: Τοποθέτηση d ηλεκτρονίων σε οκτάεδρα Σύμπλοκα Περικλής Ακρίβος Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme. (a) Note: Award A for vertical line to right of mean, A for shading to right of their vertical line. AA N (b) evidence of recognizing symmetry

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Ενότητα 11: The Unreal Past Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 17: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 17: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα