%Initialization: Layer(0):={s}; i:=0; %Iterations: While there is an edge (u,v) s.t. u Layer( i)& v. i:=i+1;

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "%Initialization: Layer(0):={s}; i:=0; %Iterations: While there is an edge (u,v) s.t. u Layer( i)& v. i:=i+1;"

Transcript

1 1 אל ג ו ר י ת מ י ם 1 ח ו ב ר ת ה ר צ א ו ת ט י ו ט ה, א ב י ב שלמה מורן החוברת מכילה תקצירי הרצאות של הדס שכנאי בסמסטר חרף ספי, בתוספת מספר הרצאות של ושלי מסמסטר חורף ושלי, שניתנו נ א ו ר בכתיבת חוברת ז ו נעזרתי בחוברת של ג י ל כהן מ, שהכילה סיכומים של ההרצאות מאותה שנה ברצוני להודות ג ם ל י ו נ ת ן גולדהירש, המתרגל האחראי בקורס,, על הערותיו ולסטודנטים שלא התביישו ב ש נ ה " ל 1 ל ש א ו ל ו ל ה ע י ר, ובכך תרמו לשיפור החוברת שלמה מורן

2 / ן ו ר ח א ן ו כ ד ע

3 3 ה ר צ א ה מ ס ' 1 אלגוריתמים לחיפוש בגרפים א ל ג ו ר י ת מ י ם ל ח י פ ו ש ב ג ר פ י ם ב א י ם ל ע נ ו ת ע ל ש א ל ה ב ס י ס י ת : ב ה י נ ת ן צ ו מ ת ב ג ר ף, מ ה ם ה צ מ ת י ם ה נ ג י ש י ם ( ב נ י ה ג ע ה, א ו ) reachable מ מ נ ו =G, ו צ ו מ ת מ ק ו ר ( V, ק ל ט : ג ר ף מ כ ו ו ן א ו ל א מ כ ו ו ן (E פ ל ט : נ ג י ש י ם ש ה ו א ש ל G ג ר ף ת ת ע ץ T=(R,E') ש ר ש ע ם s V, s ב- ה צ מ ת י ם כ ל א ת ה מ כ י ל V מ- s אלגוריתם חיפוש ג נ ר י ש ה ם R := {s}; while there is an edge (u,v) st u R and v R R: = R {}; v Parent(v) := u; נ ל מ ד ש נ י מ י מ ו ש י ם ש ל ה א ל ג ו ר י ת ם ה ג נ ר י : " ח י פ ו ש ל ר ו ח ב " ו " ח י פ ו ש ל ע ו מ ק " ח י פ ו ש ל ר ו ח ב BFS) :(Breadth First Search - ה ג ד ר ה : מ ר ח ק ב י ן ש נ י צ מ ת י ם ב ג ר ף ל א מ מ ו ש ק ל ה ו א ה מ ס פ ר ה מ י נ י מ א ל י ש ל ק ש ת ו ת ב מ ס ל ו ל ב י נ י הם, א ו א ם א י ן מ ס ל ו ל כ ז ה מ ס ל ו ל ש א ר כ ו ש ו ו ה ל מ ר ח ק ה ו א מ ס ל ו ל ק צ ר ב י ו ת ר ב ע ץ ח י פ ו ש ל ר ח ב, ה מ ר ח ק מ- s ל כ ל צ ו מ ת ב- R ה ו א ה מ ר ח ק ב י נ ה ם ב ג ר ף ה מ ק ו ר י ה א ל ג ו ר י ת ם ב ו נ ה א ת ה ע ץ ב " ש כ ב ו ת " ש כ ב ה i מ כ י ל ה א ת כ ל ה צ מ ת י ם ש מ ר ח ק ם מ- s ה ו א i: %Initialization: Layer(0):={s}; i:=0; %Iterations: While Layer( i) Φ Layer( i + 1) : =Φ ; While there is an edge (u,v) st u Layer( i)& v Layer( k) i:=i+1; Layer( i + 1) : = Layer( i + 1) { v}; Parent( v) : = u; k i

4 ל מ ה? ) ) 4 מ י מ ו ש BFS ב ע ז ר ת ת ו ר ה ת ו ר ( ש י ס ו מ ן ) Q מ כ י ל ב ה ת ח ל ה ר ק א ת s כ ל ז מ ן ש ה ת ו ר ל א ר י ק, מ ו צ י א י ם א ת ה צ ו מ ת u ש ב ר א ש ה ת ו ר, מ כ נ י ס י ם ל ס ו ף ה ת ו ר א ת כ ל ש כ נ י ו ש ל u ש ע ו ד ל א ה ת ג ל ו, ו- u נ ק ב ע כ א ב י ה ם ש ל ה ש כ נ י ם ה א ל ו ב ע ץ ה BFS ש נ ב נ ה v, d[ v] s מ- v צ מ ת ל כ ל v ש ד ות: ש נ י מ ו ג ד ר י ם ש ל ה מ ר ח ק ה- BFS ב ע ץ ש ל ו ה א ב v adj ( v) [v ]p מ ס מ ן א ת ק ב ו צ ת ה ש כ נ י ם ש ל ה א ל ג ו ר י ת ם : BFS(G,s): for any u in V do d[u] := ; p[u] := nil; Q := {s}; d(s):=0; while Q is not empty do u := dequeue(q); for each v in adj(u) do if d[v] = then d[v] := d[u] + 1; p[v] := u; enqueue(q,v); נ ג י ד ש צ ו מ ת x ג י ל ה א ת צ ו מ ת y א ם ה ת ב צ ע ה ה פ ק ו ד ה 1 + ] [ dx = :[ [ dy Q O( V ) ר י צ ה ז מ ן ס י ב ו כ י ו ת ה י א ה א ת ח ו ל א ח ת פ ע ם ה י ו ת ר ל כ ל ל- מ ו כ נ ס צ ו מ ת כ ל ב ח ו ב ר ת ז ו V ו- E מ י י צ ג י ם, ב ה ת א ם ל ה ק ש ר, א ו א ת ק ב ו צ ו ת ה צ מ ת י ם ו ה ק ש ת ו ת ב ג ר ף, א ו א ת ה ע ו צ מ ו ת ש ל ק ב ו צ ו ת א ל ו

5 ל מ ה? () 5 כ א ש ר צ ו מ ת u מ ו כ נ ס ל ת ו ר, ה א ל ג ו ר י ת ם מ ב צ ע מ ס פ ר ק ב ו ע ש ל פ ע ו ל ו ת ל כ ל צ ו מ ת ב- u) adj ( ס ה " כ ה ז מ ן ה נ ד ר ש O adj u = O E u ל ב צ ו ע פ ע ו ל ו ת א ל ו ב מ ה ל ך ה א ל ג ו ר י ת ם ה ו א ) ( מ כ א ן ש ה ס י ב ו כ י ו ת ה כ ו ל ל ת ה י א (E + ( ה ו כ ח ת נ כ ו נ ו ת OV נ ר א ה כ י BFS מ ו צ א א ת ה מ ר ח ק ה ק צ ר ב י ו ת ר ( ב ק ש ת ו ת ) ל כ ל צ ו מ ת ש ה ו א בן ה ג ע ה נ ס מ ן ב- מ- s dist ( s, v) א ת ה מ ר ח ק א י ש ו ו י ו ן ה ק ש ת : ל כ ל ק ש ת ט ע נ ה ב ס י ס י ת ש נ ש ת מ ש ב ה ה י א : מ- s ל- v מ ת ק י י ם (v (,u dist(, s v) dist(, s u) + 1 מ ס ל ו ל מ s ל- v ש א ו ר כ ו dist ( s, v) י ק ר א " מ ס ל ו ל ק צ ר ב י ו ת ר ל מ- s d[] v dist s, v " v ל מ ה 1: 1 ב כ ל ש ל ב ב ב י צ ו ע ה א ל ג ו ר י ת ם מ ת ק י י ם ל כ ל צ ו מ ת v א י ה ש ו ו י ו ן ) ( ה ו כ ח ה : ב א י נ ד ו ק צ י ה מ ס פ ר ע ל ש נ ק ב ע י ם ה ע ר כ י ם ל ר א ש ו נ ה ) פ ע ו ל ו ת [v ]d ע ר כ י ש ל ה ע ד כ ו ן,s []d s = 0 = dist ( ו ל ג ב י ש א ר ה צ מ ת י ם בסיס: א ח ר י ה א ת ח ו ל (s ש ה א ל ג ו ר י ת ם ( ל א ח ר מ ב צ ע d[] v = dist(, s v) צ ע ד ה א י נ ד ו ק צ י ה : נ נ י ח ה ט ע נ ה נ כ ו נ ה א ח ר י k פ ע ו ל ו ת ע ד כ ו ן, ו ת ה י dy [ ]: = dx [ ] + 1 פ ע ו ל ת ה ע ד כ ו ן ה 1+k ל ג ב י כ ל צ ו מ ת u ל מ ע ט y ה ט ע נ ה נ כ ו נ ה מ ה נ ח ת ה א י נ ד ו ק צ י ה ( כ י ע ר ך d[u] ל א ה ש ת נ ה ) ל ג ב י y מ ת ק י י ם ל א ח ר ה ע ד כ ו ן : d[ y] = d[ x] + 1 dist s, x + 1 dist s, y כ א ש ר א י ה ש ו ו י ו ן ה ר א ש ו ן נ ו ב ע מ ה נ ח ת ה א י נ ד ו ק צ י ה ו ה ש נ י נ ו ב ע מ א י ש ו ו י ו ן ה ק ש ת ל ע י ל ל מ ה 2: 2 ל כ ל צ ו מ ת x ע ב ו ר ו dist(, s x ) < א x מ ו כ נ ס ל- Q ב מ ה ל ך ב י צ ו ע BFS(G,s) ב ל כ ל צ ו מ ת, y א ם (y dist(, s (x < dist(, s ה ו כ ח ה: ב ס י ס א י נ ד ו ק צ י ה ע ל dist(s,x) ה א י נ ד ו ק צ י ה מ ו כ נ ס ר א ש ו ן : dist(s,x)=0 ה ט ע נ ה מ ת ק י י ם : א ז y ל א מ ו כ נ ס ל- Q ל פ נ י x ה מ ק י י ם ה י ח י ד ה ו א s כ י מ ת ק י י מ ת ו ה ו א ה ש ו ו י ו ן,

6 ל מ ש ל ש כ ן) 6 נ נ י ח ש ה ט ע נ ה נ כ ו נ ה ע ב ו ר, k ו י ה י x ה מ ק י י ם ק י י ם dist( x) = k + 1 x' adj( x) כ ך ש )'x ה צ ו מ ת ה ק ו ד ם ל- x ע ל מ ס ל ו ל ק צ ר ב י ו ת ר dist( x') = dist( x) 1 מ s לx ) מ ה נ ח ת ה א י נ ד ו ק צ י ה 'x ה ו כ נ ס ל ת ו ר ל פ נ י ש- x' ה ו צ א מ ה ת ו ר ג ם x ה ו כ נ ס ל ת ו ר כ ע ת י ה י y כ ך ש- (y < dist(, s ),) א ם y ל א ה ו כ נ ס ל ת ו ר ה ט ע נ ה מ ת ק י י מ ת ב א ו פ ן ר י ק dist s x א ח ר ת י ה י 'y ה צ ו מ ת ש ג י ל ה א ת y ב ג ל ל " א י ש ו ו י ו ן ה ק ש ת " מ ת ק י י ם ), dist(s, y ) dist(s, y) 1 > dist(s, x) 1 = dist(s, x כ ל ו מ ר מ ה נ ח ת ה א י נ ד ו ק צ י ה ע ל 'x, נ ו ב ע ש- 'x מ ו כ נ ס ל ת ו ר ל פ נ י ש ה ו כ נ ס dist(, s y ') > dist(, s x') y ה ו כ נ ס ל פ נ י x ו ל כ ן 'y כ א ש ר מ ר י צ י ם א ת BFS(G,s) ע ל ג ר ף G ע ם צ ו מ ת מ ק ו ר, s ב ס י ו ם ה ה ר צ ה d[] v = dist s, v ל כ ל צ ו מ ת v מתקיים: ) ( ב נ ו ס ף, ה ע ץ ה מ ו ר כ ב מ ה ק ש ת ו ת (p(v),v) ה ו א ע ץ BFS ש ל ה ו כ ח ה: ל ה ו כ י ח מ ל מ ה ש ב ס י ו ם ט ר י ב י א ל י א ם s ע ם מ ק ו ר G כ י נ ו ב ע 1 1 ה א ל ג ו ר י ת ם ל א ו ר ך מ ת ק י י ם ב י צ ו ע א י ה א ל ג ו ר י ת ם ה ש ו ו י ו ן d[] v dist(, s v) ה ה פ ו ך( v dist(, s [] v צ ו מ ת ל כ ל d v dist(, s v ) = נ נ י ח ב ש ל י ל ה ש ק י י ם y ע ב ו ר ו ב ס י ו ם ה א ל ג ו ר י ת ם ע ב ו ר ו d[ y] > dist(, s y) א י א ז ק י י ם צ ו מ ת y dist ( s, y) = k מ ל מ ה 2 1 נ ו ב ע ש כ ל ה צ מ ת י ם x ע ב ו ר ם ע ב ו ר k מ י נ י מ א ל י א פ ש ר י ( ש י מ ו ל ב ש- k>0 ) א ל י ה ל פ ח ו ת א ח ד מ צ מ ת י ם א ל ו ה ו א ש כ ן ש ל y מ ב י ן כ ל ה צ מ ת י ם ה א ל ו, י ה י dist(, s x) k 1 ש ו ו י ו ן כ ז ה נ ו ת ר ה ו כ נ ס ו ל מ ח ס נ י ת ל פ נ י ש- y ה ו כ נ ס ע ל מ ס ל ו ל ק צ ר ב י ו ת ר מ- s ז ה ל- y ) x 0 ה צ ו מ ת ה ר א ש ו ן ש ה ו כ נ ס ל ת ו ר כ א ש ר ב ו צ ע ה ל ו ל א ת ה-, x 0 ה ת ב צ ע ה פ ע ו ל ת ה ע ד כ ו ן + 1 ] [ dx dy [ :[ = ו ה צ ו מ ת y ה ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת ב ז מ ן 0 while ע ב ו ר (y ]d [y = ]d x ] + 1 k = dist(, s כ מ ו כ ן ע ר כ ו ש ל d[y] ל א ה ש ת נ ה י ו ת ר ע ד ס י ו ם 0 ז ה ה ת ק י י ם ה א ל ג ו ר י ת ם ס ת י ר ה ל ה נ ח ת ה ש ל י ל ה ה ח ל ק ה ש נ י מ ו כ ח ג ם ה ו א ב א י נ ד ו ק צ י ה פ ש ו ט ה ע ל dist(, s v)

7 7 ח י פ ו ש ל ע ו מ ק (DFS) ה ו א ה ר צ א ה מ ס ' 2 ח י פ ו ש ל ע ו מ ק (DFS) - Depth First Search א ל ג ו ר י ת ם ח י פ ו ש ש ה ו ג ד ר ב צ ו ר ת ו ה נ ו כ ח י ת Hopcroft ב, ע ל ס מ ך ט כ נ י ק ה ל " ה ל י כ ה ב מ ב ו ך " מ ע ב ו ר ג ר ף ( מ כ ו ו ן א ו ל א מ כ ו ו ן ) G=(V,E), ה ר צ ת ע צ י ח י פ ו ש ז ר י ם ב צ מ ת י ם ט כ נ י ק ת ה א ל ג ו ר י ת ם : " ה ת ק ד מ ו ת ל ע ו מ ק " - ש ל 2 ע ל י ד י Tarjan ו ('E, F=(V ש ל Tremaux DFS ע ל G ת ח ז י ר י ע ר ה י ע ר F מ כ י ל א ת כ ל צ מ ת י ה ג ר ף ו E ' E כ א ש ר נ ב ק ר ב צ ו מ ת, u א ם י ש ק ש ת (u,v) ל צ ו מ ת v ש ע ו ד ל א נ ת ג ל ה נ ק ב ע ש u ה ו א א ב ש ל v ב ג ר ף, F נ ח צ ה א ת ה ק ש ת ו נ מ ש י ך א ת ה ח י פ ו ש מ- v א ם א י ן ק ש ת כ ז ו ו u א י נ נ ו ה ש ו ר ש ש ל ה ע ץ ה נ ו כ ח י, ה צ ו מ ת ש מ מ נ ו נ ע ש ה ה ח י פ ו ש נ ק ר א " מ ר כ ז ה פ ע י ל ו ת " נ י ס ו ג ל א ב י ו ש ל u DFS G= ( V, ק ל ט : ג ר ף ל א מ כ ו ו ן (E פ ל ט : י ע ר ס י מ ו ן : DFS ש ל G ו ג ם ל כ ל מ י מ ו ש ע ל v V י ד י מ ח ס נ י ת ז מ ן ה ג י ל ו י ש ל v k[ v] ז מ ן ה ג י ל ו י ש ל, v ה א ב ש ל v ב ע ץ ה DFS ו-[ v ]p for all v in V k[v] := 0 ; p[v] := nil; i := 0; while there is a vertex s with k(s) = 0 STACK := {s}; i := i+1; k[s] := i; While STACK u:= head(stack) ; if there is an edge (u,v) st k[v]=0 i := i+1; k[v] := i; p[v] := u ; push(stack,v) ; else pop(stack);

8 נ ו ב ע) ב) כ ל ו מ ר( 8 י ה י ה ג ר ף F=(V,E') ש נ ו צ ר ע ל י ד י ה ר צ ת ה א ל ג ו ר י ת ם ה ו א ה ג ר ף ה מ ו ר כ ב מ ה ק ש ת ו ת (p(u),u) כ ע ת נ ו כ י ח מ ס פ ר ת כ ו נ ו ת ש ל ה א ל ג ו ר י ת ם, ו ב מ י ו ח ד ש ג ר ף ז ה ה ו א י ע ר ה מ כ י ל א ת כ ל צ מ ת י ה ג ר ף א כ ל צ ו מ ת מ ו כ נ ס ל כ ל ה י ו ת ר פ ע ם א ח ת ל מ ח ס נ י ת ב א ם ה א ל ג ו ר י ת ם מ ס ת י י ם כ ל צ ו מ ת ש מ ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת מ ו צ א מ מ נ ה ה ו כ ח ה : א צ ו מ ת u מ ו כ נ ס ר ק א ם k(u)=0, ו ל א ח ר ש ה ו כ נ ס k(u) 0 ב נ ו ב ע מ כ ך ש ב ס י ו ם ה א ל ג ו ר י ת ם ה מ ח ס נ י ת ר י ק ה מ ס ק נ ה מ ל מ ה 2: 2 ה א ל ג ו ר י ת ם מ ס ת י י ם ל א ח ר ל כ ל ה י ו ת ר 2V א י ט ר צ י ו ת ש ל ל ו ל א ת הwhile ה פ נ י מ י ת ס ב ו כ י ו ת ה ז מ ן ש ל ו ה י א O(V+E) O(V) : פ ע ו ל ו ת pop ו, push ו( O(E ל צ ו ר ך ס ר י ק ת כ ל ש כ נ י ו ש ל כ ל צ ו מ ת ש ה ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת STACK = s = u0 u k [,, ] ת כ ן ה מ ח ס נ י ת ב ש ל ב מ ס ו י י ם ב ב י צ ו ע ה א ל ג ו ר י ת ם א ז u i ui = p[ u ל כ ל i=0,,k-1, מ ת ק י י ם [1 + i ה ו א א ב י ו ש ל ) ב י ע ר הDFS u 1+i א י נ ד ו ק צ י ה ע ל מ ס פ ר פ ע ו ל ו ת push ו pop ש מ ת ב צ ע ו ת ב מ ה ל ך ה א ל ג ו ר י ת ם מ ש מ ע ו ת ל מ ה 2 2 ה י א ש ב כ ל ש ל ב ב א ל ג ו ר י ת ם, ס ד ר ת ה צ מ ת י ם ה נ מ צ א י ם ב מ ח ס נ י ת מ ה ו ו ה מ ס ל ו ל מ כ ו ו ן ה מ ת ח י ל ב ש ו ר ש ה ע ץ ה נ ו כ ח י ו מ ס ת י י ם ב צ ו מ ת ה א ח ר ו ן ש ה ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת ה ק ש ת ו ת (p(u),u), ה ו א י ע ר מ כ ו ו ן ה מ כ י ל א ת כ ל צ מ ת י ה ג ר ף ה מ כ ו ו ן F ש ל ל מ ה 3: 3 ה ג ר ף ה ו כ ח ה : ת ה י U ק ב ו צ ת ה צ מ ת י ם ה מ ו כ נ ס ת ל מ ח ס נ י ת ב א י ט ר צ י ה א ח ת ש ל ל ו ל א ת הwhile ב ג ר ף F י ש מ ס ל ו ל מ כ ו ן מs ל כ ל ( א ) ה ח י צ ו נ י ת ( ש ב ת ח י ל ת ה צ ו מ ת s מ ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת ) צ ו מ ת ב U מ ל מ ה ) 2 2 ) לs י ש ד ר ג ת כ נ י ס ה 0 ו ל כ ל צ ו מ ת א ח ר בU י ש ד ר ג ת כ נ י ס ה 1 ת נ א י ם א ל ו מ ג ד י ר י ם ע ץ מ כ ו ו ן ש ש ר ש ו s מ א ח ר ו כ ל צ ו מ ת מ ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת ל כ ל ה י ו ת ר פ ע ם א ח ת, ה ע צ י ם ה מ ת ק ב ל י ם ה ם ז ר י ם ב צ מ ת י ם ה י ע ר מ כ י ל א ת כ ל צ מ ת י ה ג ר ף מ ש ו ם ש ה א ל ג ו ר י ת ם ע ו צ ר ר ק ל א ח ר ש כ ל ה צ מ ת י ם ה ו כ נ ס ו ל מ ח ס נ י ת ל מ ה 4: 4 v ה ו א צ א צ א ש ל u ב ג ר ף v F ה ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת כ א ש ר ה מ ח ס נ י ת ה כ י ל ה א ת u

9 ל ו ל א ה) ש א י נ ן, 9 P= ( s= v, v,, v = v) 0 1 k ת ה י ס ד ר ת ה צ מ ת י ם ב מ ח ס נ י ת כ א ש ר v ה ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת מ ל מ ו ת 2 2 ו 3 2 נ ו ב ע ש s ה ו א ה ש ו ר ש ש ל ה ע ץ T ה מ כ י ל א ת, v וP ה ו א ה מ ס ל ו ל ה י ח י ד מ s ל v ל כ ן u א ב ק ד מ ו ן ש ל v א ם ם u נ מ צ א ב P ב ד י ו ן ל ה ל ן, צ ו מ ת י י ק ר א ל ב ן ע ם ע ד י י ן ל א ה ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת א ם כ א ש ר u ה ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת ה י ה ב ג ר ף ה ק ל ט G מ ס ל ו ל (v ( =u u, u,, u = ש ל 0 1 k צ מ ת י ם ל ב נ י ם, א ז v ה ו א צ א צ א ש ל u ב ג ר ף F ה ו כ ח ה : ע ל ס מ ך ל מ ה, 4 2 י ס פ י ק ל ה ו כ י ח ש כ ל צ מ ת ב מ ס ל ו ל ה נ " ל ה ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת ל פ נ י ש u ה ו צ א מ ה מ ח ס נ י ת א ת ז ה מ ו כ י ח י ם ב א י נ ד ו ק צ י ה ע ל ס ד ר ה צ מ ת י ם ב מ ס ל ו ל, ע ל ס מ ך ה ע ו ב ד ה ש צ ו מ ת מ ו צ א מ ה מ ח ס נ י ת ר ק ל א ח ר ש כ ל ש כ נ י ו ה ו כ נ ס ו ל מ ח ס נ י ת ( ב ג ל ל ה פ ס ו ק if else באלגוריתם( כ א ש ר G ג ר ף ל א מ כ ו ו ן, י ע ר הDFS F=(V,E') ה מ ו ח ז ר ע ל י ד י ה א ל ג ו ר י ת ם מ ק י י ם א ת ת כ ו נ ת ה ק ש ת ה א ח ו ר י ת : ל כ ל ק ש ת (x,y) ב x, E ה ו א צ א צ א ש ל y ב F א ו ל ה פ ך ה ו כ ח ה : נ נ י ח ב ה כ ש x ה ת ג ל ה ( ה ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת ) ל פ נ י y א ז ה ק ש ת (x,y) מ ק י י מ ת א ת ה ה נ ח ה ש ל ל מ ה 5 2 ו ל כ ן y ה ו א צ א צ א ש ל x בF ה ג ד ר ה : ע ץ פ ו ר ש מ ו ש ר ש ש ל ג ר ף ל א מ כ ו ו ן ו ק ש י ר G ה מ ק י י ם א ת ת כ ו נ ת ה ק ש ת ה א ח ו ר י ת נ ק ר א ע ץ DFS ש ל G ס י ו ו ג ק ש ת ו ת DFS ע ל ג ר ף מ כ ו ו ן י ע ר DFS ע ל ג ר ף מ כ ו ו ן G=(V,E) מ ג ד י ר א ר ב ע ה ס ו ג י ק ש ת ו ת בE : u= ק ש ת ו ת עץ: (u,v) ק ש ת ע ץ א ם ם (v )p DFS u u ( u, v) ק ש ת ו ת א ח ו ר י ו ת : ק ש ת ב ע ץ ש ל ק ד מ ו ן ל א ב א ת ש מ ח ב ר ת ע צ מ י ת ת ח ש ב כ ק ש ת א ח ו ר י ת ) u u מ- ( u, v) ק ש ת ו ת ק ד מ י ו ת : ק ש ת ו ת ל צ א צ א ש ל ב ע ץ DFS ק ש ת ו ת ע ץ ק ש ו ת ו ת ח ו צ ו ת (cross( : כ ל ה ק ש ת ו ת ה א ח ר ו ת ב : G ק ש ת ו ת ב י ן צ מ ת י ם ב א ו ת ו ע ץ DFS ל ל א י ח ס א ב ק ד מ ו ן צ א צ א, א ו ק ש ת ו ת ב י ן ע צ י DFS ש ו נ י ם

10 מ ן) ש י ס ו מ ן, פ ר מ ו ט צ י ה () 0 1 ה ר צ א ה מ ס ' 3 שימוש בDFS מציאת רכיבים קשירים היטב: בגרף מכוון G= ( V, E) ( ר ק " ה ה י ט ב ק ש י ר ר כ י ב ה ג ד ר ה : מ כ ו ו ן ב ג ר ף ב ק י צ ו ר ) ש ל מ ק ס י מ ל י ת ק ב ' ה ו א ל- u ב- צ מ ת י ם C כ ך ש ל כ ל ז ו ג צ מ ת י ם י ש מ ס ל ו ל י ם מ כ ו ו נ י ם מ- v ל- ו מ- u C ב- u, v V v ד ו ג מ ה : ב ג ר ף מ כ ו ו ן א צ י ק ל י ( ח ס ר מ ע ג ל י ם מ כ ו ו נ י ם ) כ ל צ ו מ ת ה ו א ר ק " ה נ ג ד י ר י ח ס " ח ב ר ו ת " ב י ן צ מ ת י ם : u ח ב ר ש ל v א ם u ו v נ מ צ א י ם ב א ו ת ו ר ק " ה י ח ס ה ח ב ר ו ת ה ו א י ח ס ש ק י ל ו ת ( ר פ ל ק ס י ב י, ס י מ ט ר י, ט ר נ ס י ט י ב י ) מ כ א ן ש ה ו א מ ח ל ק א ת צ מ ת י ה ג ר ף ל ק ב ו צ ו ת ז ר ו ת ו מ ש ל י מ ו ת כ ל ק ב ו צ ה כ ז ו מ ש ר ה ר ק " ה ש ל ה ג ר ף ) C= VC, C =Φ i i j ה ג ד ר ה: נ נ י ח ש ה ר ק " ה ב- G ה ם,, 1 C ה נ כ ת ב ל ע י ל Ck, מ ו ג ד ר ב א ו פ ן ה ב א G* = ( V*, E*) ג ר ף ה ר כ י ב י ם ק ש י ר י ם ה י ט ב ש ל G V = v1 v k * {,, } E* = {( v, v ) : i j C j C i ק ש ת ש י ו צ א ת מ צ ו מ ת ב- א ל צ ו מ ת ב- { י ש בE מ ט ר ת נ ו ל מ צ ו א א ל ג ו ר י ת ם י ע י ל ל מ צ י א ת ג ר ף ה ר ק " ה ש ל ג ר ף נ ת ו ן G ה ר ע י ו ן ה ו א ל ק ב ו ע ס ד ר π ע ל ה צ מ ת י ם ש ל G כ ך ש כ א ש ר ס ד ר ה כ נ ס ת ה צ מ ת י ם ל מ ח ס נ י ת ר י ק ה ( ב ל ו ל א ת ה while ה ח י צ ו נ י ת ) נ ק ב ע ע ל פ י π, י ו ח ז ר ו כ ל ה ר ק " ה ש ל G ה ד י ו ן ל ה ל ן מ ת י י ח ס ל ג ר ף מ כ ו ו ן G=(V,E) כ ל ש ה ו ה ג ד ר ה: ה ג ר ף ה ה פ כ י ש ל ג ר ף ל T, ה ו א ה ג ר ף G G= ( V, E) G T T ה ק ש ת ו ת ב, G כ ל ו מ ר : ) E (,V = T G ו לG י ש א ו ת ם ר ק " ה ג ר ף ה ר ק " ה *G ה ו א א צ י ק ל י T כ א ש ר E}: E = {( vu, ) : ( uv, ) ה מ ת ק ב ל ע " י ה פ י כ ת כ י ו ו נ י הוכחה: ב ש ל י ל ה א ם ק י י ם ב* G מ ע ג ל ה מ כ י ל ל פ ח ו ת ש נ י צ מ ת י ם ה מ י י צ ג י ם ש נ י ר ק " ה C ו

11 נ ס מ ן) ב כ ל) 1 1 ה 'C ו C א ז ק י י ם מ ס ל ו ל מ כ ו ו ן ב י ן כ ל ז ו ג צ מ ת י ם ב, 'C ר ק " ה ס ת י ר ה ל ה נ ח ה ש ה ם ש נ י ר ק " ה ש ו נ י ם כ י ו ו ן ), ו ל כ ן C ו 'C מ ו כ ל י ם ב א ו ת ו ב כ ל ר י צ ת א ל ג ו ר י ת ם, DFS כ ל ר כ י ב ק ש י ר ה י ט ב, C, מ ו כ ל ב מ ל ו א ו ב א ח ד מ ע צ י DFS ש ה א ל ג ו ר י ת ם מ ח ז י ר ע " ס ל מ ה, 25 ה צ ו מ ת ה ר א ש ו ן מ C ש מ ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת י ה י ה א ב ק ד מ ו ן ב ע ץ הDFS ש ל כ ל ה צ מ ת י ם ה א ח ר י ם מ C כ נ כ ת ב ל ע י ל, ה פ ל ט ש ל ר י צ ת מ ש ת מ ש ה א ל ג ו ר י ת ם כ ע ת נ א פ י י ן ת ח ז י ר ר ק " ה י ח י ד ה ג ד ר ה : ר ק " ה C ג ד ו ל מ ר ק " ה 'C ב 'C ת ה י DFS ע ל ג ר ף G ת ל ו י ב פ ר מ ו ט צ י ה ש ל ה צ מ ת י ם ב V ב ה פ ר מ ו ט צ י ו ת ה מ ב ט י ח ו ת ש כ ל א י ט ר צ י ה ש ל ה א ל ג ו ר י ת ם 'C ) C < א ם ק י י ם מ ס ל ו ל מ כ ו ו ן מ צ מ ת ב C ל צ מ ת π = π1 π n (,, ) ה צ ו מ ת ה ר א ש ו ן ש ל ה ג ד ר ה: פ ר מ ו ט צ י ה ש ל V נ ג י ד ש ר ק " ה C מ ו פ י ע π ב C מ ו פ י ע ב π ל פ נ י ה צ ו מ ת ה ר א ש ו ן ש ל C' ל פ נ י ר ק " ה 'C א ם פ ר מ ו ט צ י ה π ש ל צ מ ת י V ת י ק ר א כ ש ר ה א ם ה י א מ ק י י מ ת א ת ה ת נ א י ה ב א : ר ק " ה, 'C, C א ם C<C' א ז C מ ו פ י ע π ב ד ו ג מ ה : א ם ה ג ר ף ה ו א מ ס ל ו ל מ כ ו ו ן ו ה פ ר מ ו ט צ י ה ה כ ש ר ה ה י ח י ד ה ה י א ה א ל ג ו ר י ת ם נ נ י ח ש ה ר צ נ ו א ל ג ו ר י ת ם ה ו א פ ר מ ו ט צ י ה ה מ כ י ל א ת ה צ מ ת י ם ש ל ר ק " ה ל פ נ י 'C (n 2 1), א ז כ ל ר ק " ה מ כ י ל צ ו מ ת ב ו ד ד )1 א ח ר ו ן, n ר א ש ו ן ) ( n, n 1,,2,1) DFS ע ל ג ר ף מ כ ו ו ן, כ ך ש ס ד ר ה צ מ ת י ם ב ב י צ ו ע : י ה י s C ה ר ק " ה ש ל, s ו י ה י ל כ ל ז ו ג כ ש ר ה π א ז כ ל ב י צ ו ע ש ל ל ו ל א ת הwhile ה ח י צ ו נ י ת מ ח ז י ר ע ץ י ח י ד ש ל G ה צ ו מ ת ה ר א ש ו ן ש ה ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת ב ב י צ ו ע ש ל ל ו ל א ת הwhile ה ח י צ ו נ י ת, י ה י T ע ץ ה DFS ה מ ו ח ז ר ע " י ב י צ ו ע ה ל ו ל א ה מ ל מ ה 3 3 נ ו ב ע ש כ ל צ מ ת י C נ מ צ א י ם ב, T ל כ ן י ס פ י ק ל ה ו כ י ח ש א ף צ ו מ ת א ח ר ל א נ מ צ א ב T: מ א ח ר ו π פ ר מ ו ט צ י ה כ ש ר ה, כ ל צ ו מ ת u ב ר ה ש ג ה מ s ש א י נ ו ב C ש י י ך ל ר ק " ה ש מ ו פ י ע ל פ נ י, C ו ל כ ן ( ע " ס ל מ ה ) 3 3 ה ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת ל פ נ י, s ו ל כ ן ( ע " ס ל מ ה ) 4 2 א י נ ו צ א צ א ש ל, s ו ל א מ ו פ י ע ב T

12 ר א ו) ק י י ם) כ י) ז מ ן) 2 1 מ ס ק נ ה כ ד י ל מ צ ו א א ת כ ל ה ר ק " ה ש ל ג ר ף, G מ ס פ י ק ל מ צ א פ ר מ ו ט צ י ה כ ש י ר ה ש ל צ מ ת י G ו ל ה ר י ץ ע ל י ה DFS ה א ל ג ו ר י ת ם ש נ צ י ג מ ש ת מ ש ב G T כ ד י ל מ צ א פ ר מ ו ט צ י ה כ ש ר ה ש ל ה ג ר ף ה ה פ כ י DFS ס מ ך ט ע נ ה 1 3 מ ו ר כ ב מ א ו ת ם ר ק " ה ש ל G ה א ל ג ו ר י ת ם מ ת ב ס ס ע ל ה ל מ ה ה ב א ה : ה ו צ א ש ה ו ר ץ נ נ י ח DFS ע ל G ל כ ל צ ו מ ת u נ ג ד י ר f[u] ) u ש ל ה ס י ו ם u מ ה מ ח ס נ י ת ה י א פ ר מ ו ט צ י ה כ ש ר ה ש ל ש ע ל, ב ו כ ז מ ן ה פ ר מ ו ט צ י ה π ה מ ת ק ב ל ת ע ל י ד י ס י ד ו ר ה צ מ ת י ם ל פ י ס ד ר יורד של f[u] T G T ל G ו ל G י ש א ו ת ם ר ק " ה א ך ה ס ד ר ב י נ י הם מ ת ה פ ך ל כ ן צ ר י ך ל ה ו כ י ח כ י א ם ב מ ת ק י י ם ש 'C C > א ז ה צ מ ת ה ר א ש ו ן מ C מ ו פ י ע ב π ל פ נ י ה צ ו מ ת ה ר א ש ו ן מ 'C י ה י ו s ו 's ה צ מ ת י ם ה ר א ש ו נ י ם מ C',C ש ה ו כ נ ס ו ל מ ח ס נ י ת ב ה ת א מ ה G 's ה ו צ א מ ה מ ח ס נ י ת א ח ר י s כ ל ו מ ר ש, f[s] > f[s'] י ה י א ב P מ כ ל ש ה ו מ ס ל ו ל s ל 's ש ה ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת נ ב ד י ל ב י ן ש נ י מ ק ר י ם : כ ז ה מ ס ל ו ל כ י C' ) C > י ה י x ע ל פ י ה ג ד ר ת, π צ ל כ י ה צ ו מ ת P ב ה ר א ש ו ן x=s א ז כ א ש ר s ה ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת כ ל ש א ר ה צ מ ת י ם ב P ה י ו ל ב נ י ם ו ל כ ן 's ה ו כ נ ס ו ה ו צ א מ ה מ ח ס נ י ת ל פ נ י ש s ה ו צ א מ מ נ ה ( ב ד ו מ ה ל ה ו כ ח ה ש ל ל מ ה ) 5 2 x s ב מ ק ר ה ז ה x ב א י נ נ ו s ה צ ו מ ת ה ו א C ש ה ו כ נ ס C מ ה ר א ש ו ן x ו ל מ ח ס נ י ת, ה ו כ נ ס ל פ נ י ) s, ו ל כ ן א י ן מ ס ל ו ל מ כ ו ו ן מ x ל, s בעוד שיש מ ס ל ו ל מכוון של צ מ ת י ם ל ב נ י ם מ x ל 's ו ח ו מ ר צ י ו ר ) מ כ א ן ש ל פ נ י ש s ה ו צ א מ ה מ ח ס נ י ת ) 's ה ו כ נ ס ו ה ו צ א מ ה מ ח ס נ י ת ל פ נ י ש s ה ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת ( ק ל צ מ ת י ם ל ב נ י ם C C s x P s' C C'

13 ס י ב ו כ י ו ת) ש י מ ו ל מ ה) ט ע נ ה) 3 3 ה א ל ג ו ר י ת ם ה מ ש ת מ ע מ ה נ כ ת ב ל ע י ל ה ו א : Strongly_Connected_Components(G): א ל ג ו ר י ת ם ל מ צ י א ת ר כ י ב י ם ק ש י ר י ם ה י ט ב (1) Call DFS(G) to compute f[u] for all u in V (2) Compute G T (3) Call DFS( G T ) on the vertices ordered in decreasing order of f[u] (as computed in (1)) (4) output the vertices in each DFS tree generated in (3) ז מ ן ר י צ ה ) DFS ( + E) ז מ ן ה ר י צ ה ה ו א OV ל ב ש ל צ ו ר ך ש ל ב )3 ) צ ר י ך ל ש מ ו ר א ת צ מ ת י G ב ס ד ר י ו ר ד ש ל ע ר כ י נ כ ו נ ו ת f [ u] ב ז מ ן ש ה ם מ ח ו ש ב י ם ת ה י π הפרמוטציה של הצמתים שנקבעת ע " י ס ד ר יורד של f[v] מ ל מ ה 5 3 נ ו ב ע ש π ה י א ע ב ו ר כ ש ר ה T ו ל כ ן, G ה ר כ י ב י ם ה ק ש י ר י ם ש ל ג ר ף א ת ל ב נ ו ת כ ד י מ צ ו מ ת ב C i ל צ ו מ ת ב ה א ל ג ו ר י ת ם ה ר כ י ב י ם א ת מ ח ז י ר ש ל ה ק ש י ר י ם, ) 4 3 T G ) 1 3 G ה ק ש ת ו ת ע ל ל ע ב ו ר א פ ש ר ש ל G ה ר ק " ה ש ל, G C j ) v ( v, ק ש ת ל ה ו ס י ף, i j ל *E ק ש ת י ש ו א ם ש ה ם מ כ ו ו נ ת

14 4 1 הרצאה מס ' 3 אלטרנטיבית מ צ י א ת צ מ ת י ה פ ר ד ה ו ר כ י ב י ם א י פ ר י ק י ם ה ה ר צ א ה ע ו ס ק ת ב א פ ל י ק צ י ה ש ל DFS ל א ו ר ך כ ל ה ה ר צ א ה נ נ י ח ש G=(V,E) ה ו א ג ר ף ל א מ כ ו ו ן ו ק ש י ר, א ל א א ם נ א מ ר ב מ פ ו ר ש א ח ר ת נ פ ת ח ב מ ס פ ר הגדרות צ ו מ ת ה פ ר ד ה vertex) (separating : י ה י G=(V,E) ג ר ף נ ת ו ן v V ה ו א צ ו מ ת ה פ ר ד ה א ם ק י י מ י ם צ מ ת י ם u,w כ ך ש כ ל מ ס ל ו ל מ u לw ע ו ב ר ב v ג ר ף פ ר י ק : ג ר ף ה מ כ י ל צ ו מ ת ה פ ר ד ה U, ת ת ה ג ר ף ה מ ו ש ר ה ע " י, G(U) U V ת ת ג ר ף מ ו ש ר ה : ת ה י מ ו ג ד ר ע " י : GU = ( UE, '), where E' = {( xy, ) : xy, U,( xy, ) E} ר כ י ב א י פ ר י ק component) :(irreducible ת ת ג ר ף מ ו ש ר ה G(U) ה ו א ר כ י ב א י פ ר י ק ש ל G א ם ה ו א א י פ ר י ק ו כ ל ת ת ג ר ף מ ו ש ר ה ש מ כ י ל א ת (U )G ה ו א פ ר י ק ה ג ד ר ה : י ה י T=(V,E) ע ץ מ כ ו ו ן ו י ה י T(v) v V ה ו א ת ת ה ע ץ ש ל T ה מ ו ש ר ה ע ל י ד י v ו כ ל צ א צ א י ו ש ל v ב T ו ש י מ ל ב ש v ה ו א ה ש ר ש ש ל T(v) ה ג ד ר ה : י ה י T ע ץ DFS ש ל G=(V,E) ו u V ק ש ת (v,w) E ע ו ק פ ת א ת u א ם v צ א צ א א מ י ת י ש ל u וw א ב ק ד מ ו ן א מ י ת י ש ל u ב ע ץ T ( ש י מ ו ל ב ש ק ש ת ע ו ק פ ת ה י א ק ש ת א ח ו ר י ת ב ה כ ר ח ) : י ה י T ע ץ DFS ש ל G צ מ ת u ה ו א צ מ ת ה פ ר ד ה ב G א ם ם מ ת ק י י ם א ח ד מ ה ת נ א י ם ה ב א י ם : 1 u ה ו א ה ש ר ש ש ל T ו י ש ל ו י ו ת ר מ ב ן א ח ד u ע ו ק פ ת א ת ו כ ך ש ל א ק י י מ ת ק ש ת ה י ו צ א ת מ צ ו מ ת ב( T(v v ב ן u א י נ נ ו ה ש ר ש, ו י ש ל u 2 ה ו כ ח ה : 1 מ א ח ר ו ב ע ץ DFS א י ן ק ש ת ו ת ח ו צ ו ת, כ ל מ ס ל ו ל ב י ן ש נ י ב נ י ם ש ו נ י ם ש ל s ח י י ב ל ע ב ו ר ד ר ך s מ צ ד ש נ י, א ם לs י ש ר ק ב ן א ח ד, ה ר י ק י י ם מ ס ל ו ל ב י ן כ ל ש נ י צ מ ת י ם ה מ ש ת מ ש ר ק ב ק ש ת ו ת ע ץ ו א י נ ו ע ו ב ר ד ר ך s 2 א ם ל א ק י י מ ת ק ש ת א ח ו ר י ת מ צ ו מ ת ב( T(v ה ע ו ק פ ת א ת, u כ ל מ ס ל ו ל מ v ל s ח י י ב ל ע ב ו ר ד ר ך )u u ה י נ ו ה צ ו מ ת ה ר א ש ו ן ב מ ס ל ו ל כ ז ה ש א י נ נ ו ש י י ך ל( T(v ), ו ל כ ן u צ מ ת ה פ ר ד ה מ צ ד ש נ י, א ם ל כ ל ב ן v ש ל u ק י י מ ת ק ש ת א ח ו ר י ת כ נ " ל, ה ר י ש נ י ת ן ל ה ג י ע מ כ ל צ מ ת {u a V }\ ל ש ר ש s ב ל י ל ע ב ו ר ד ר ך, u ו ל כ ן ב י ן כ ל ש נ י צ מ ת י ם י ש מ ס ל ו ל ש א י נ ו ע ו ב ר ד ר ך u ל כ ן u א י נ ו צ ו מ ת ה פ ר ד ה

15 ק י י מ ת] ס ע י ף () כ ד י ל ב ד ו ק א ם ת נ א י 2 ש ל ל מ ה 6 3 מ ת ק י י ם, מ ח ש ב י ם ל כ ל צ ו מ ת u א ת L(u), ה lowpoint ש ל, u ה מ ו ג ד ר ל ה ל ן : L( u) min{ kv :[ v= u] OR [ there is a back edge from a vertex in Tu to v]} ל מ ה : 7 7 י ה י u צ מ ת ש א י נ ו ש ר ש ו י ה י v ב ן ש ל u א ז י : ק ש ת ה י ו צ א ת מ צ ו מ ת ב T(v) ו ע ו ק פ ת א ת ] u א ם ם [ (u ] )L (v < )k ה ו כ ח ה: נ נ י ח ש ק י י מ ת ק ש ת ( x, y) ה י ו צ א ת מ צ ו מ ת x ב T(v) ו ע ו ק פ ת א ת u א ז ק ד מ ו ן ש ל u מ ה ג ד ר ת L(u) מ ק ב ל י ם : ) ( ku Lu )k (y < מ צ ד ש נ י, א ם (u )L (v < )k א ז ק י י מ ת ק ש ת מ צ מ ת ב T(v) ל צ מ ת y כ ך ש מ א ח ר ו ה ק ש ת ה י א ק ש ת א ח ו ר י ת, y ב ה כ ר ח א ב ק ד מ ו ן ש ל u y ה ו א א ב ky < ku ל מ ה : 8 8 א ם u א י נ נ ו ה ש ר ש, s ] Lv () ku () א ז ]u צ ו מ ת ה פ ר ד ה ] [ ק י י ם ב ן v ש ל u כ ך ש ה ו כ ח ה : מ ל מ ה, 7 3 ה ת נ א י ב צ ד ש מ א ל א ו מ ר ש ל א ק י י מ ת ק ש ת ה י ו צ א ת מ T(v) ו ע ו ק פ ת א ת u ע " ס ל מ ה 6 3 ז ה ש ק ו ל ל כ ך ש u צ מ ת ה פ ר ד ה ל כ ל צ מ ת u מ ת ק י י ם ה ש ו ו י ו ן : [ ] Lu = min { ku } { kv : ( uv, ) is a back edge} { Lv : vis a child of uin T} ה ו כ ח ה : ע ל פ י ה ה ג ד ר ה ש ל L(u)

16 6 1 L(v), v ה א ב ש ל p[v] א ל ג ו ר י ת ם ל מ צ י א ת צ מ ת י ה פ ר ד ה ע " י DFS ק ל ט : ג ר ף ל א מ כ ו ו ן ו ק ש י ר G=(V,E) ו צ ו מ ת s פ ל ט : ע ץ DFS ש ל G ע ם ש ו ר ש, s ו צ מ ת י ה ה פ ר ד ה ש ל G ה א ל ג ו ר י ת ם מ ש ת מ ש ב מ ש ת נ י ם ה ב א י ם : -k[v] ז מ ן ה ג י ל ו י ש ל, v ע ר ך ה lowpoint ש ל v for all v in V k[v] := 0, p[v] := nil, L(v):= for all e in E mark e "new" STACK:={s}, i:= 1, k[s]:=1, L[s]:=1 While STACK u:= head(stack) if there is an edge e=(u,v) marked "new" mark e "used" if k[v]=0 i:=i+1, k[v]:=i, L(v):=i, p[v]:=u, push(stack,v) else \*k[v]>0, ie (u,v) is back-edge (a) L[u]:=min{L[u],k[v]} else \* all edges leaving u are "used" if (u s) if ( p[u] s & L[u] k[p[u]] ) mark p[u] as separating vertex if ( p[u]=s & s has a "new" edge ) mark s as separating vertex (b) L[p[u]]:=min{L[p[u]],L[u]} pop(stack)

17 ז מ ן) ה) 7 1 ל מ ה 0: 1 0 ה א ל ג ו ר י ת ם ל ע י ל מ ו צ א א ת צ מ ת י ה ה פ ר ד ה ש ל G ת ק צ י ר ה ו כ ח ה: מ ו כ י ח י ם ב א י נ ד ו ק צ י ה ע ל מ ס פ ר פ ע ו ל ו ת ה מ ח ס נ י ת א ת ה ט ע נ ה ה ב א ה : ה ע ד כ ו נ י ם ב ש ו ר ו ת (a) (b), מ ב ט י ח י ם ש ל כ ל צ ו מ ת, u כ א ש ר u מ ו צ א מ ה מ ח ס נ י ת ה ע ר ך L(u) ש ח ו ש ב ע ל י ד י ה א ל ג ו ר י ת ם ה ו א ה ע ר ך ה נ כ ו ן ש ל מ ש ת מ ש ת ב ל מ ה 9 3 מ כ א ן נ ו ב ע ( ע ל ס מ ך ל מ ה 6)1 3 ) ו ל מ ה 8 3 כvertex separating א ם ם ה ו א צ ו מ ת ה פ ר ד ה ג ר ף ה ר כ י ב י ם ה א י פ ר י ק י ם ש ל G: H = ( X, E ') ש צ מ ת( (u lowpoint( ה ו כ ח ת צ ע ד ה א י נ ד ו ק צ י ה מ ו ג ד ר ע ל י ד י : X = { u: u is a separating vertex} { C: C is an irreducible component} E' = {( uc, ) : u C} מ ס ו מ ן H א י נ ו י כ ו ל ל ה כ י ל צ מ ת י ה פ ר ד ה ט ע נ ה : H ה ו א ע ץ ל א מ כ ו ו ן ת ק צ י ר ה ה ו כ ח ה : ע ל ס מ ך ז ה ש מ ע ג ל ב כ ע ת נ צ י ג א ל ג ו ר י ת ם ה מ ח ז י ר ר כ י ב י ם א י פ ר י ק י ם ב ז מ ן O(V) ע ל י ד י ש י מ ו ש ב פ ל ט ש ל ה א ל ג ו ר י ת ם ל מ צ י א ת צ מ ת י ה פ ר ד ה ה א ל ג ו ר י ת ם ס ו ר ק א ת ע ץ הDFS ש ה ו ח ז ר, ו מ כ נ י ס ל מ ח ס נ י ת כ ל צ מ ת ש מ ת ג ל ה ( ב ד ו מ ה ל ) DFS כ א ש ר ה א ל ג ו ר י ת ם מ ת ק ד ם ל צ מ ת v ב ע ץ, ה ו א ב ו ד ק א ם מ ת ק י י ם א ח ד ה ת נ א י ם ע ל פ י ה ם p(v) ה ו א צ ו מ ת ה פ ר ד ה, ו א ם p(v) צ מ ת ה פ ר ד ה ה ו א מ ס מ ן א ת v כ א ש ר ה א ל ג ו ר י ת ם נ ס ו ג מ צ ו מ ת מ ס ו מ ן v ה ו א : א מ ו צ י א מ ה מ ח ס נ י ת א ת v ו כ ל ה צ מ ת י ם ש מ ע ל י ו ; ב ר ו ש ם ר כ י ב א י פ ר י ק ה מ כ י ל א ת p(v) ו א ת כ ל ה צ מ ת י ם ש ה ו צ א ו מ ה מ ח ס נ י ת א ל ג ו ר י ת ם ל ר כ י ב י ם א י פ ר י ק י ם ק ל ט : ע ץ מ כ ו ו ן T ע ם ש ר ש s א, ש ה ו ו[ L[u lowpoint ש ל u ו( ש ה ו ח ז ר פ ל ט : ה ר כ י ב י ם ה א י פ ר י ק י ם ש ל G ע ץ DFS ש ל, G ו ע ר כ י k[u] ה ג י ל ו י ש ל ) u ע " י ה א ל ג ו ר י ת ם ל מ צ י א ת צ מ ת י ה פ ר ד ה ה א ל ג ו ר י ת ם ( ב ע מ ו ד ה ב א ) מ ש ת מ ש ב מ ח ס נ י ת STK ל צ ו ר ך ב נ י ת ה ר כ י ב י ם ה א י פ ר י ק י ם p[u] ה ו א ה א ב ש ל u בT צ מ ת v מ ס ו מ ן special א ם p[v] ה ו א צ מ ת ה מ פ ר י ד א ת v ו כ ל צ א צ א י ו מ ש א ר צ מ ת י ה ג ר ף

18 8 1 mark all vertices of T "new" STK :={s}, u:=s, while STK if u has a "new" child v mark v "used"; push(s, v) if u s & L[v] k[u] mark v "special" if u=s and s has another "new" child mark v "special" u:=v else \* all children of u are used if u s if u is marked "special" Let C be u and all the vertices above u in STK; Remove C from STK and declare C {p[u]} an irreducible component u:=p[u] else \* u=s declare all the vertices in STK irreducible component, and remove them from STK כ ד י ל ה ח ז י ר א ת גרף הרכיבים ה א י פ ר י ק י ם, H נ י ת ן ל ח ש ב ב ז מ ן ל י נ א ר י א ת ה ק ש ת ו ת ב H מ ר ש י מ ת ה צ מ ת י ם ב ר כ י ב י ם ה א י פ ר י ק י ם

19 כ ל ל) כ ל ל) 9 1 ה ר צ א ה מ ס ' 4 ע צ י ם פ ו ר ש י ם מ י נ י מ א ל י ם Trees) (Minimum Spanning ג ר ף מ מ ו ש ק ל graph) (weighted ה ו א ג ר ף ש ב ו ל כ ל ק ש ת e י ש מ ש ק ל w( e) X כ ז כ ו ר, ע ץ פ ו ר ש ש ל ג ר ף ל א מ כ ו ו ן ו ק ש י ר G=(V,E) ה ו א ת ת ג ר ף ש ל G ש ה ו א ע ץ ה מ כ י ל א ת כ ל צ מ ת י G מ ש ק ל ש ל ע ץ פ ו ר ש ש ל ג ר ף מ מ ו ש ק ל ה ו א ס כ ו ם מ ש ק ל י ק ש ת ו ת י ו : wt = we e T ב ע י ת ע פ " מ : ק ל ט : ג ר ף מ מ ו ש ק ל, פ ש ו ט, ל א מ כ ו ו ן ו ק ש י ר G=(V,E) פ ל ט : ע ץ פ ו ר ש ש ל G ב ע ל מ ש ק ל מ י נ י מ א ל י אפשרי א ל ג ו ר י ת ם ג נ ר י ל מ צ י א ת ע פ " מ =G ה ו א חלוקה של ( V, ה ג ד ר ה : ח ת ך (cut) ב ג ר ף (E V ל ש ת י ק ב ו צ ו ת ז ר ו ת ו ל א ר י ק ו ת ו- י ה י V\X ו ה ק צ ה ה ש נ י ב X ש ק צ ה א ח ד ש ל ה ן ב E ק ש ת ו ת ה ח ת ך ה ן ה ק ש ת ו ת ב V \ X ל ה ל ן ש נ י ק ש ר י ם ב ס י ס י י ם ב י ן ע צ י ם פ ו ר ש י ם, מ ע ג ל י ם ו ח ת כ י ם, ע ל י ה ם מ ס ת מ ך ה א ל ג ו ר י ת ם : T מ ע ג ל ( פ ש ו ט ) י ח י ד T ל ש נ י ת ת י ע צ י ם, ש צ ו מ ת י הם מ ה ו ו י ם ח ל ו ק ה ש ל צ מ ת י G ע ץ פ ו ר ש ש ל T )1 ) ה ו ס פ ת ק ש ת ל T ת י צ ו ר ב )2 ) ה ס ר ת ק ש ת e מ T מ ח ל ק ת א ת ה ג ר ף ק ש ת ו ת ה ח ת ך ה מ ו ג ד ר ע ל י ד י ח ל ו ק ה ז ו מ כ י ל ו ת א ת e ו א י נ ן מ כ י ל ו ת ק ש ת א ח ר ת ש ל T ה ו כ ח ה : ת ר ג י ל פ ש ו ט ל ב י ת כ ע ת נ צ י ג א ל ג ו ר י ת ם ג נ ר י ל ע פ " מ ה א ל ג ו ר י ת ם ב ו נ ה א ת ה ע פ " מ ב כ ל פ ע ו ל ה מ ו ס י פ י ם ק ש ת " ק ל ה " לT א ד ו ם ) כ ח ו ל ) א ו פ ו ס ל י ם ק ש ת T על י ד י ס ד ר ה ש ל פ ע ו ל ו ת : " כ ב ד ה " מ ל ה י ו ת ב T

20 2 2 האלגוריתם הגנרי לעפ " מ Generic MST Algorithm ה כ ל ל ה א ד ו ם ( ל ק ש ת ו ת כ ב ד ו ת(: C ת נ א י : ב G ק י י ם מ ע ג ל ח ס ר ק ש ת ו ת א ד ו מ ו ת, צ ב ו ע ה ל א ק ש ת ה י א וe ב ע ל ת C מ ש ק ל מ ק ס י מ א ל י ( מ ב י ן ה ק ש ת ו ת ה ל א צ ב ו ע ו ת ) ב e פ ע ו ל ה : א ת צ ב ע ב א ד ו ם ה כ ל ל ה כ ח ו ל ( ל ק ש ת ו ת ק ל ו ת ) : D G ת נ א י : ח ת ך ב ק י י ם ח ס ר ק ש ת ו ת כ ח ו ל ו ת, צ ב ו ע ה ל א ק ש ת ה י א וe ב ע ל ת D מ ש ק ל מ י נ י מ א ל י ( מ ב י ן ה ק ש ת ו ת ה ל א צ ב ו ע ו ת ) ב e פ ע ו ל ה : א ת צ ב ע ב כ ח ו ל ה א ל ג ו ר י ת ם ה ג נ ר י : ק ש ת ב ח ר כ ל ש ה י ע ל י ה נ י ת ן ל ה פ ע י ל ה כ ל ל א ת ה כ ל ל א ו ה א ד ו ם ה כ ח ו ל, ו ה פ ע ל ע צ ו ר ז ה כ ל ל כ ז ו ק ש ת בG א י ן כ א ש ר ל מ ה 4: 4 ה א ל ג ו ר י ת ם ה ג נ ר י מ ס ת י י ם ל א ח ר E צ ע ד י ם, כ א ש ר כ ל ה ק ש ת ו ת צ ב ו ע ו ת הוכחה: מ א ח ר ו ב כ ל צ ע ד נ צ ב ע ת ק ש ת, ה א ל ג ו ר י ת ם מ ס ת י י ם ל א ח ר ל כ ל ה י ו ת ר ל ה ו כ י ח ש ב ס י ו ם ה א ל ג ו ר י ת ם כ ל ה ק ש ת ו ת צ ב ו ע ו ת, נ ו כ י ח כ י כ ל ז מ ן ש י ש ב ג ר ף ק ש ת צ ב ו ע ה, נ י ת ן ל צ ב ו ע ק ש ת ע ל פ י א ח ד ה כ ל ל י ם =e ה י א ק ש ת ל א צ ב ו ע ה נ נ י ח כ י (,) u v נ ב ח י ן ב י ן 2 מ ק ר י ם : E צ ע ד י ם כ ד י ק י י ם מ ס ל ו ל כ ח ו ל ב י ן u ל v י ה י C ה מ ע ג ל ה נ ו צ ר ע ל י ד י ה ו ס פ ת e ל מ ס ל ו ל א ת e ע ל פ י ה כ ל ל ה א ד ו ם ל א ק י י ם מ ס ל ו ל כ ח ו ל מ u ל v ה ח ת ך ה מ ו ג ד ר ע ל י ד י X ת ה י V \ X ו X א ת א ח ת מ ק ש ת ו ת י ו ע ל פ י ה כ ל ל ה כ ח ו ל ל א נ י ת ן ל צ ב ו ע ק ב ו צ ת הצמתים שיש א ל י ה ם מ ס ל ו ל כ ח ו ל מ u מ כ י ל א ת e ו א י ן ב ו ק ש ת ו ת כ ח ו ל ו ת ל כ ן נ י ת ן ל צ ב ו ע כ ע ת נ ו כ י ח ש כ א ש ר ה א ל ג ו ר י ת ם מ ס ת י י ם ה ק ש ת ו ת ה כ ח ו ל ו ת ח י י ב ו ת ל ה י ו ת ע פ " מ ה ג ד ר ה : ג ר ף G ש ח ל ק מ ק ש ת ו ת י ו כ ח ו ל ו ת ו ח ל ק א ח ר א ד ו מ ו ת מ ק י י ם א ת שמורת ה צ ב ע א ם ם ק י י ם בG ע פ " מ ש מ כ י ל א ת כ ל ה ק ש ת ו ת ה כ ח ו ל ו ת ו א ף א חת מ ה ק ש ת ו ת ה א ד ו מ ו ת

21 ש ק ש ת ו ת י ו) כ י) ל מ ה) ל מ ה) 1 2 ל מ ה 3: 4 ב כ ל ב י צ ו ע ש ל ה א ל ג ו ר י ת ם ה ג נ ר י ע ל ג ר ף ל א מ כ ו ו ן מ מ ו ש ק ל ו ק ש י ר מ ל כ ת ח י ל ה א י נ ן צ ב ו ע ו ת ), ה ג ר ף G מ ק י י ם א ת ש מ ו ר ת ה צ ב ע ה ו כ ח ה : ב א י נ ד ו ק צ י ה ע ל מ ס פ ר ה ק ש ת ו ת ש ה א ל ג ו ר י ת ם ה ג נ ר י צ ב ע G ב ס י ס : כ א ש ר א ף ק ש ת ל א צ ב ו ע ה כ ל ע פ " מ מ ק י י ם א ת ש מ ו ר ת ה צ ב ע ( ב א ו פ ן ר י ק ) ה k צ ע ד : נוכיח שאם ה ט ע נ ה נ כ ו נ ה ל א ח ר צ ב י ע ת 1-k ק ש ת ו ת, ה י א נ כ ו נ ה ג ם ל א ח ר צ ב י ע ת ה ק ש ת מ ק ר ה א : =e ב כ ח ו ל ע ל י ד י ה פ ע ל ת ה כ ל ל ה כ ח ו ל ע ל ה ח ת ך ב צ ע ד ה k צ ב ע נ ו ק ש ת (,) u v ) X D= ( XV, \ י ה י א ם ש ע ב ו ר ו ע פ " מ T ה ש מ ו ר ה ה ת ק י י מ ה e צ ב י ע ת ל פ נ י ה א י נ ' מ ה נ ח ת א ז e T ב י ן ה צ מ ת י ם T א י נ ה א ד ו מ ה ( מ א ח ר ו א ת ה ו א ע פ " מ כ מ ב ו ק ש א ם,u ה מ ס ל ו ל ח י י ב ל ה כ י ל ק ש ת v e T א ז נ ס ת כ ל ע ל ה מ ס ל ו ל ב ע ץ T e ' ש ח ו צ ה א ת, D ו ל כ ן א י נ ה כ ח ו ל ה ש מ ח ב ר e ' ) e' T ' e כ ל ו מ ר א י נ ה צ ב ו ע ה מ כ א ן ש we we' ה כ ל ל ה כ ח ו ל e ה י א ק ש ת ל א צ ב ו ע ה ב ע ל ת מ ש ק ל מ י נ י מ א ל י ב ) D נ ש מ י ט א ת e ' T ל- e ח ד ש ג ר ף ת ת נ ק ב ל T ' ו מ כ י ל ( ק ש י ר ע ץ ה ו א ש ג ם 1-n wt ( ') = wt we ( ') + we wt ה כ ח ו ל ו ת כ נ ד ר ש ל ב ( ש י מ ו ל כ ן ש ל מ ע ש ה T ' ח י י ב ע פ " מ, ה ו א ל ה ת ק י י ם מ כ י ל ו ה ו א ק ש ת ו ת ), א ת wt = wt ( ') כ ל, = ) we we' ג ם ע " פ ו נ ו ס י ף ו מ ת ק י י ם ה ק ש ת ו ת ג ם ו ל כ ן מ ק ר ה ב: T =e ב א ד ו ם ע ל י ד י ה פ ע ל ת ה כ ל ל ה א ד ו ם ע ל מ ע ג ל ב צ ע ד ה k צ ב ע נ ו ק ש ת (,) u v, C ו ה ע פ " מ ש ק י י ם א ת ה ש מ ו ר ה ה ו א e T א ם א ז ס י י מ נ ו א ם e T מ ח ל ק ת א ת T T T 1 ו ל ש נ י ע צ י ם ז ר י ם, T 2 א ז ה ש מ ט ת e מ )2 1 4 ( ( צ מ ת י ע צ י ם א ל ו מ ה ו ו י ם ח ל ו ק ה ש ל צ מ ת י ה ג ר ף G ה ח ת ך D ה מ ו ג ד ר ע " י ח ל ו ק ה ז ו כ ו ל ל א ת ה ק ש ת e ק ש ת נ ו ס פ ת מ ה מ ע ג ל, C ש ת ק ר א מ ה נ ח ת ה א י נ ד ו ק צ י ה א י נ ה כ ח ו ל ה א י נ ה ש י י כ ת לT 'e ה ק ש ת 'e מ ה כ ל ל ה א ד ו ם נ ו ב ע ש-' e ו ל פ ח ו ת (2( 1 4 ), ו ל כ ן we' we ת ת ה ג ר ף נ ב ח ר ה ע " י ה כ ל ל ה א ד ו ם, ל כ ן ) ( ) ( ג ם ל א ה י ת ה א ד ו מ ה כ א ש ר e e ה מ ת ק ב ל ע " י ה ש מ ט ת 'T

22 2 2, wt ( ') = wt + we ( ') we wt ו ה ו ס פ ת 'e ל T ה ו א ע ץ ( ל מ ה? ) ה ע ץ 'T מ ק י י ם ו ל כ ן מ ס ק נ ה: ה ו כ ח ה : ל א ה ם wt = wt ( ') ה י ו ו ב מ י ו ח ד 'T ה ו א ע פ " מ ה מ ק י י ם א ת ה ש מ ו ר ה כ א ש ר ה א ל ג ו ר י ת ם ה ג נ ר י מ ס ת י י ם ה ק ש ת ו ת ה כ ח ו ל ו ת מ ה ו ו ת ע פ " מ ע ל פ י ל מ ה, 3 4 כ א ש ר ה א ל ג ו ר י ת ם מ ס ת י י ם ה ק ש ת ו ת ה כ ח ו ל ו ת מ ו כ ל ו ת ב ע פ " מ א ם ל ה ש ל י מ ן נ י ת ן ה י ה ע פ " מ, ק ש ת ו ת ה ו ס פ ת י ד י ע ל ל ע פ " מ א ד ו מ ו ת ( ל מ ה? ) ב ס ת י ר ה ל כ ך ש ה ק ש ת ו ת ה א ד ו מ ו ת א י נ ו מ ו כ ל ו ת ב ע פ " מ ק ל ט : ה א ל ג ו ר י ת ם ש ל Prim מ פ ע י ל י ם א ת ה כ ל ל ה כ ח ו ל ב ל ב ד ע ד ש מ ת ק ב ל ע פ " מ נ ו ס פ ו ת ה כ ל ל ה כ ח ו ל מ ו פ ע ל ע ל ה ח ת ך ב י ן צ מ ת י ה ע ץ ש ה ו ל ך ו נ ב נ ה ו ש א ר צ מ ת י ה ג ר ף ג ר ף ל א מ כ ו ו ן ק ש י ר מ מ ו ש ק ל G=(V,E) ה א ל ג ו ר י ת ם ש ל Prim U : = { r} א ת ח ו ל כ ל ה ק ש ת ו ת א י נ ן צ ב ו ע ו ת ; כ ל ע ו ד U V ב צ ע : ה פ ע ל א ת ה כ ל ל ה כ ח ו ל ע ל ח ת ך מ י נ י מ א ל י ת ב ח ת ך ז ה כ ך ש- ( UV, \ U ) ש ה ן e= ( u, ו צ ב ע ב כ ח ו ל ק ש ת (v U: ; ב צ ע v} = U { u Uv, V \ U ב ה כ ר ח ט ע נ ה : ה א ל ג ו ר י ת ם ש ל פ ר י ם מ ס ת י י ם כ א ש ר ה ק ש ת ו ת ה כ ח ו ל ו ת ה ן ע פ " מ ה ו כ ח ה : כ א ש ר ה א ל ג ו ר י ת ם מ ס ת י י ם, ה ק ש ת ו ת ה כ ח ו ל ו ת מ ה ו ו ת ע ץ פ ו ר ש )1-V ק ש ת ו ת ה מ ק ש ר ו ת ב י ן כ ל ה צ מ ת י ם ב ) V ע " ס ל מ ה 3 4 ז ה ו ע ץ ה מ ו כ ל ב ע פ " מ, ו ל כ ן ה ו א ע פ " מ

23 ס י ב ו כ י ו ת :) 3 2 ה ר צ א ה מ ס ' 5 מ י מ ו ש ה א ל ג ו ר י ת ם ש ל פ ר י ם ז מ ן ה א ת ח ו ל ת ל ו י ב מ י מ ו ש א ח ר י ו י ש ל ב צ ע 1-V א י ט ר צ י ו ת e= ( u, v) ל כ ל צ ו מ ת ל צ ו מ ת ב מ י נ י מ ל י ת ב ח ת ך v V \ U י ו ח ז ק מ פ ת ח ב כ ל א י ט ר צ י ה צ ר י ך ל ב ח ו ר ק ש ת ) U ( UV, \, ל צ ב ו ע א ו ת ה ב כ ח ו ל, ו ל צ ר ף א ת v ל U ל צ ו ר ך ז ה : = ה מ ש ק ל המינימלי של קשת שמחברת א ת v key[ v], U ו א ם א י ן כ ז ו א ז key[ v ] = כ א ש ר key[ v] נ ש מ ו ר ה א ל ג ו ר י ת ם מ ש ת מ ש ב מ ש ת נ ה ק ש ת v מ- ( pv [ ], v) ב- U ל צ ו מ ת ש מ ש ק ל ה key[ v] Q= V \ U [ ], [ ] ל כ ל v V ב צ ע key v = p v = nil [ ] Q : = V, key r : = 0 Q כ ל ע ו ד ה ו צ א מ- Q צ ו מ ת u כ ך ש (u key( מ י נ י מ א ל י ל כ ל ש כ ן v ש ל u ש מ ו פ י ע ב Q: u, w( א ז ) ( ] [ א ם v] v) < key[ ק ש ת ו ת ה ע פ " מ ה ן ה ק ש ת ו ת ל ש מ י ר ת ה צ מ ת י ם ש ע ד י י ן ל ל א צ ו ר פ ו ל ע ץ p[ v]: = u, key v : = w u, v {( pu, u) : u r} ס י ב ו כ י ו ת ה א ל ג ו ר י ת ם ת ל ו י ה ב מ י מ ו ש ש ל א ב מ י מ ו ש Q ב ע ז ר ת מ ע ר ך ש ל צ מ ת י V Q נ ר א ה ש נ י מ י מ ו ש י ם : ש ו מ ר י ם ל כ ל צ ו מ ת v ב מ ע ר ך א ת key(v) ו א ת p[v], ו ב י ט ה מ צ י י ן א ם v ש י י ך ל Q ב כ ל א י ט ר צ י ה : מ ו צ א י ם o v Q ( ס י ב ו כ י ו ת : ע ב ו ר ו key[v] מ י נ י מ א ל י, ו מ ו צ י א י ם א ו ת ו מ Q O( V ) ל א י ט ר צ י ה, 2 O( V ) o ע ב ו ר כ ל ק ש ת כ ך ש (w,) v ס ך ה כ ל ) ]p ו[ w key[w] מ ע ד כ נ י ם א ת ע ר כ י, w Q Odv ( ()) ס י ב ו כ י ו ת כ ו ל ל ת ש ל מ י מ ו ש ב ע ז ר ת מ ע ר ך ל א י ט ר צ י ה, כ ל ו מ ר (E )O ב ס ך ה כ ל ) OV E OV 2 2 ( + ) =

24 ש ב ו, ה ק ט נ ת) ס י ב ו כ י ו ת :) 4 2 מ י מ ו ש Q ב ע ז ר ת ע ר י מ ה נ ז כ י ר כ י ע ר י מ ה Heap ה י א ע ץ ב י נ א ר י מ א ו ז ן ( ה פ ר ש ב י ן ע ו מ ק ש נ י ע ל י ם 1 ) ה מ פ ת ח מ כ ל ק ט ן ע ץ ת ת כ ל ב ש ו ר ש ה מ פ ת ח ו ת ו ב פ ר ט, ה ע ץ, ב ת ת ה מ פ ת ח א ת ש מ כ י ל ה צ ו מ ת ה מ י נ י מ א ל י י ו פ י ע ב ש ר ש ה פ ע ו ל ו ת ש ה א ל ג ו ר י ת ם נ ד ר ש ל ב צ ע ע ל ע ר י מ ה : ב נ י י ת ה ע ר י מ ה -( V )O צ ע ד י ם O( logv ה ו צ א ת א ב ר ע ם מ פ ת ח מ י נ י מ א ל י - ) צ ע ד י ם ג Decrease Key O( logv ע ר כ ו ש ל מ פ ת ח ש ל א ב ר ב ע ר מ ה ) - ) צ ע ד י ם o ב כ ל א י ט ר צ י ה מ ב ו צ ע ו ת ה פ ע ו ל ו ת ה ב א ו ת : v Q מ צ י א ת ל א י ט ר צ י ה ) ע ב ו ר ו key[v] מ י נ י מ א ל י ו ה ו צ א ת ו מQ ( ס י ב ו כ י ו ת : O(log V ) o ע ד כ ו ן ע ר כ י key[w] ו p[w] ע ב ו ר כ ל ק ש ת w Q כ ך ש (, v w) Odv ( log V) ל א י ט ר צ י ה, כ ל ו מ ר (V OE ( log ב ס ך ה כ ל ) ס י ב ו כ י ו ת כ ו ל ל ת ש ל מ י מ ו ש ב ע ז ר ת ע ר י מ ה : ) log ( log ) + ( log ) = ( + ) ( ה ע ר ה : ה מ י נ י מ ו ם ע ל ה ס י ב ו כ י ו ת א ת ע ו ד ל ש פ ר א פ ש ר OV OV V OE V OE V O ( logv ב- ) ו פ ע ו ל ת צ ע ד י ם ש י מ ו ש י ד י decreasekey ב ע ר י מ ו ת ( + log ) ו ל כ ן ה ס י ב ו כ י ו ת ה י א, ) Amortized Analysis ב-( O(1 O E V V פ ' י ב ו נ א צ ' י צ ע ד י ם פ ע ו ל ת ב מ מ ו צ ע ה ו צ א ת י ד י ( ע ל ה א ל ג ו ר י ת ם ש ל Kruskal מ י י ן א ת ה ק ש ת ו ת ב ס ד ר ל א י ו ר ד ל פ י מ ש ק ל =e ב צ ע : ע ב ו ר ע ל ה ר ש י מ ה ה מ מ ו י נ ת, ו ל כ ל ק ש ת (,) u v o א ם י ש מ ס ל ו ל כ ח ו ל מ u ל, v צ ב ע א ת e ב א ד ו ם, o א ח ר ת צ ב ע א ת e ב כ ח ו ל מ ש פ ט 1 5

25 5 2 צ ע ד ב כ ל ב א ל ג ו ר י ת ם Kruskal ש ל א ו ה כ ח ו ל ה כ ל ל מ ב ו צ ע ה ג נ ר י, ו ל כ ן ב ס ו ף ה א ל ג ו ר י ת ם ה ק ש ת ו ת ה כ ח ו ל ו ת מ ה ו ו ת ע פ " מ ה ו כ ח ה v ל u מ כ ח ו ל מ ס ל ו ל י ש א ם צ ב ו ע ה ל א ק ש ת ה י א א ז e כ ח ו ל ו ת, ו ל כ ן צ ב י ע ת ה ב א ד ו ם נ ע ש י ת ע ל פ י ה כ ל ל ה א ד ו ם X u א ת נ ג ד י ר כ ז ה, מ ס ל ו ל א י ן א ם כ ק ב ו צ ת ה צ מ ת י ם ה כ ל ל י ח י ד ה ש י ש ה א ד ו ם ב מ ע ג ל א ל י ה ם ש ל ש ש א ר מ ס ל ו ל ה א ל ג ו ר י ת ם ק ש ת ו ת י ו u מ כ ח ו ל ) X ( X, V \ א י נ ו u u ( u X u ) ש ה ח ת ך נ ו ב ע ז ו מ ה ג ד ר ה ק ש ת ו ת מ כ י ל א ת ו מ כ י ל כ ח ו ל ו ת, ה ק ש ת e מאחר שבעת ב י צ ו ע ה צ ע ד e ה י א ו ד א י ק ש ת ק ל ה ב י ו ת ר ש א י נ ה צ ב ו ע ה ב ח ת ך ק ש ת ק ל ה ב י ו ת ר בגרף שאיננה צ ב ו ע ה, ה י א ) X ( X, V \ ל כ ן צ ב י ע ת ה ב כ ח ו ל נ ע ש י ת ע ל u u פ י ה כ ל ל ה כ ח ו ל מ י מ ו ש ה א ל ג ו ר י ת ם ש ל ק ר ו ס ק ל מ י ו ן ה ק ש ת ו ת ב ת ח י ל ת ה א ל ג ו ר י ת ם ד ו ר ש ש ל (V OE ( log ל א ח ר מ כ ן ב כ ל צ ע ד י ש ל ק ב ו ע א ם י ש מ ס ל ו ל כ ח ו ל ב י ן u לv ל צ ו ר ך ב י צ ו ע צ ע ד ז ה נ ח ז י ק ב מ ב נ ה נ ת ו נ י ם א ת ה ק ב ו צ ו ת ה ז ר ו ת צ מ ת י ם ש נ מ צ א ו ת ב ש ל ב כ ח ו ל ע ץ ב א ו ת ו S v ק ב ו צ ה v צ ו מ ת ל כ ל נ י צ ו ר ה א ת ח ו ל ש מ כ י ל ה ר ק א ו ת ו ( י ש V ק ב ו צ ו ת כ א ל ו, O(V) ז מ ן א ת ח ו ל ) ב כ ל א י ט ר צ י ה י ב ו צ ע : S u = S v e= ( u, ב ד י ק ה ע ב ו ר 2 ק צ ו ו ת ה ק ש ת (v א ם S u S v א ם ל א, י צ י ר ת ה ק ב ו צ ה ה מ י י צ ג ת א ת ה ע ץ ש נ ו צ ר ע " י צ ב י ע ת e ב כ ח ו ל פ ע ו ל ו ת א ל ו י ב ו צ ע ו ע ל י ד י מ ב נ ה נ ת ו נ י ם ה ת ו מ ך find_set(v) ב פ ע ו ל ו ת ה ב א ו ת : מ ח ז י ר ה א ת ש ם ה ק ב ו צ ה ( ה י ח י ד ה ) ש מ כ י ל ה א ת v u, v א י ח ו ד ה ק ב ו צ ו ת ש מ כ י ל ו ת א ת Union(u,v) 1 ב ה ת א מ ה ש נ י מ ב נ י נ ת ו נ י ם א פ ש ר י י ם ל מ י מ ו ש י ע י ל ש ל ה פ ע ו ל ו ת ה א ל ו : מ ע ר ך ש ב ו ל י ד כ ל צ ו מ ת ר ש ו ם ש ם ה ק ב ו צ ה ה מ כ י ל ה א ו ת ו, ו ל כ ל ק ב ו צ ה כ ז ו ר ש י מ ה מ ק ו ש ר ת ש ל ה צ מ ת י ם ה נ מ צ א י ם ב ה ב מ י מ ו ש ז ה כ ל פ ע ם ש מ א ח ד י ם 2 ק ב ו צ ו ת, מ צ ר פ י ם א ת ה צ מ ת י ם ב ק ב ו צ ה ה ק ט נ ה י ו ת ר ל ק ב ו צ ה ה ג ד ו ל ה י ו ת ר

26 ש כ ן ש כ ל) 6 2 מ י מ ו ש ז ה מ ב ט י ח ז מ ן (1)O ל כ ל פ ע ו ל ת find_set(v), ו ז מ ן כ ו ל ל ש ל (V O(Vlog ל ס ה " כ פ ע ו ל ו ת Union(u,v) צ ו מ ת י ע ב ו ר ל כ ל ה י ו ת ר log2 V 2 ש ב כ ל פ ע ו ל ה ג ו ד ל ה ק ב ו צ ה א ל י ה ה ו א ש י י ך ג ד ל ל פ ח ו ת פ י ש נ י י ם ) י י צ ו ג כ ל ק ב ו צ ה ע " י ע ץ מ ו ש ר ש, כ א ש ר ה ש ו ר ש מ כ י ל א ת ש ם ה ק ב ו צ ה פ ע ו ל ו ת א י ח ו ד, מ ש ו ם ב מ י מ ו ש ז ה Union(u,v) נ ע ש ה ע ל י ד י ה ו ס פ ת ה ש ו ר ש ש ל ה ק ב ו צ ה ה ק ט נ ה י ו ת ר כ ב ן ש ל ה ש ו ר ש ש ל ה ק ב ו צ ה ה ג ד ו ל ה י ו ת ר כ ל פ ע ו ל ת א י ח ו ד כ ז ו מ כ פ י ל ה א ת ג ו ד ל ה ע ץ ה ק ט ן מ ב י ן ה ש נ י י ם, ו ל כ ן ע מ ק ו ש ל כ ל ע ץ ה ו א ל ו ג ר י ת מ י ב מ ס פ ר ה צ מ ת י ם ש ה ו א מ כ י ל פ ע ו ל ת find_set(v) נ ע ש י ת ע ל י ד י " ה ל י כ ה " מ ה צ ו מ ת ל ש ו ר ש ה ע ץ מ י מ ו ש ז ה מ ב ט י ח ז מ ן (1)O ל פ ע ו ל ת Union(u,v), ו ז מ ן (V O(log ל פ ע ו ל ת O(log (V מ ש ו ם ש ע מ ק ו ש ל ה ע ץ כ א מ ו ר, find_set(v) ש י מ ו ל ב ש ש נ י ה מ י מ ו ש י ם נ י ת נ י ם ל ב י צ ו ע ב ז מ ן (V O(Elog ש נ ק ב ע, ע ל י ד י ה ז מ ן ה ד ר ו ש ל מ י ו ן ה ק ש ת ו ת מ ן ה ר א ו י ל צ י י ן ש א ת מ ב נ ה ה נ ת ו נ י ם ה מ י י צ ג ק ב ו צ ו ת ע ל י ד י ע צ י ם נ י ת ן ל ש פ ר כ ך ש י ע ב ו ד ב ז מ ן " כ מ ע ט ל י נ א ר י " אלגוריתמים למסלולים קלים בגרפים wuv (, ) ( u, v) G= ( V, י ה י (E ג ר ף פ ש ו ט, מ כ ו ו ן א ו ל א מ כ ו ו ן, ש ב ו ל כ ל ק ש ת מ ש ק ל p= ה מ ש ק ל ש ל מ ס ל ו ל,v0,,v1 vk ה ו א ס כ ו ם ה מ ש ק ל ו ת ש ל ק ש ת ו ת ה מ ס ל ו ל : k (, ) w p = wvi 1 vi i= 1 מ ס ל ו ל ק ל ב י ו ת ר ל- v ה ו א מ ס ל ו ל ל כ ל מ ס ל ו ל v ל- s מ- p* ה מ ק י י ם : ( *) w( p) לv, s מ p w p מ- s ב י ו ת ר : ק ל מ ס ל ו ל ק י י ם ת מ י ד ל א ש ק י י מ י ם א י ן ס ו ף מ ס ל ו ל י ם מ ס ל ו ל מ ס ל ו ל כ ל ל ש א י ן י י ת כ ן מ- s ל- v מ- s ל- v א י ן א ם G= ( V, ב- (E מ ע ג ל י ם ש א ף, ש ל י ל י י ם ( ש ס כ ו ם ל ח י ל ו פ י ן א ח ד מ ה ם א י נ ו ק ל ב י ו ת ר ה כ ל ל ה ו א : מ ש ק ל י ק ש ת ו ת י ה ם ש ל י ל י ) י י ת כ ן ש נ י ת נ י ם ל מ ה? ) ) v ל ה ג ע ה א ז י ל כ ל ש נ י ת ן ל ה ג ע ה מ s ק י י ם מ ס ל ו ל ק ל ב י ו ת ר מ s ל v מ- s

27 7 2 א ם ק י י ם מ ס ל ו ל ל- v ש מ כ י ל מעגל שלילי, א ז י ל א ק י י ם מ ס ל ו ל ק ל ב י ו ת ר מ- s ל- מ- s dist ( s, v ) = ב מ ק ר ה ז ה כ א מ ו ר v ל כ ן ה ג ד ר ה מ ל א ה ש ל מ ר ח ק מ s ל v ה י א { } min w p p is path from s to v if there is a shortest path from s to v dist ( s, v) = if there is no path from s to v if there is path but no shortest path from s to v :w י ה י E ת ת י מ ס ל ו ל י ם ש ל מ ס ל ו ל י ם ק ל י ם =G ג ר ף מ מ ו ש ק ל ( מ כ ו ו ן א ו ל א ) ע ם פ ו נ ק צ י ת ה מ ש ק ל ( V, י ה י (E p = v, v,, v ij i i+ 1 j, ו י ה י v 1 מ ס ל ו ל ק ל ב י ו ת ר מ- ל- ת ת ה מ ס ל ו ל ב- p v k p= v1, v2,, vk p ij ל- מ- א ז ה ו א מ ס ל ו ל ק ל ב י ו ת ר מ- v j ל- v i v j v i ה ו כ ח ה p נ פ ר ק א ת ל ת ת י מ ס ל ו ל י ם p ij א ז י p p 1i ij p jk v1 vi vj vk = ( 1i ) + ( ij ) + ( jk ) w p w p w p w p נ נ י ח ב ש ל י ל ה כ י ק י י ם מ ס ל ו ל ' - א ז נ י ת ן ל ה ג ד י ר מ ס ל ו ל ' p ( ij ') < w( pij ) w p כ ך כ ך ש p p ' 1i ij p jk v1 vi vj vk, w p ס ת י ר ה ( ') < w( p) מ ס ל ו ל י ם ע ץ ג ר ף ש ל s י ח י ד מ מ ק ו ר ק ל י ם G=(V,E) ) ( ג ר ף ת ת ה ו א G' = V', E ' V ' V ו- E ' E V ' ו מ ת ק י י ם : ה ו א א ו ס ף ה צ מ ת י ם ש נ י ת נ י ם ל ה ג ע ה מ- s G ' ה ו א ע ץ מ ו ש ר ש ש ש ו ר ש ו s ל כ ל ד ו ג מ ה : ק ל י ם ה מ ס ל ו ל ה י ח י ד ב- ' G מ- s ל- v v V ' ה ע ץ מ מ ו ש ק ל, ל א ה ג ר ף כ א ש ר ס ו ג י א ל ג ו ר י ת מ י ם ל ב ע י י ת ה מ ס ל ו ל ה ק ל ה נ ב נ ה ה ו א מ ס ל ו ל ק ל ב י ו ת ר ב- G א ל ג ו ר י ת ם ע " י מ- s כ ך ש ש- כ ך ל- v ע ץ ה ו א BFS ה פ ל ט ה נ ד ר ש מ א ל ג ו ר י ת ם ל מ ס ל ו ל י ם ק ל י ם ה י נ ו ב ד ר ך כ ל ל א ח ד מ ש ל ו ש ת ה ס ו ג י ם ה ב א י ם : מ ס ל ו ל י ם

28 ב ו ר " " 8 2 s מ ס ל ו ל ק ל ב י ו ת ר ב י ן ז ו ג צ מ ת י ם : ל כ ל " מ ק ו ר " ו- מ ס ל ו ל י ם ק ל י ם מ מ ק ו ר י ח י ד ב ה נ ת ן צ ו מ ת מ ק ו ר s מ צ א א ת ה מ ס ל ו ל י ם ה ק ל י ם ב י ו ת ר מ- ה ג ר ף ג י ר ס ה ה ג ר ף צ מ ת י s מ ה מ ר ח ק י ם א ת מ צ א ה ב ע י ה : ש ל מ צ ו מ צ מ ת מ ס ל ו ל י ם ק ל י ם ב י ו ת ר ב י ן כ ל ז ו ג ו ת ה צ מ ת י ם צ מ ת י ל כ ל ב כ ל א ח ת מ ה ש א ל ו ת ה נ " ל מ ב ד י ל י ם ב י ן ש נ י מ ק ר י ם : ( א ) כ ל ה מ ש ק ל י ם א י ש ל י ל י י ם, ( ב ) י י ת כ נ ו ג ם מ ש ק ל י ם ש ל י ל י י ם ב ה מ ש ך נ נ י ח ש ג ר ף ה ק ל ט ה ו א ג ר ף מ כ ו ו ן ג ר ף ל א מ כ ו ו ן נ י ת ן ל י י צ ו ג ע ל י ד י ג ר ף מ כ ו ו ן ב ו ל כ ל ק ש ת ק י י מ ת ק ש ת א נ ט י- מ ק ב י ל ה ב ע ל ת א ו ת ו מ ש ק ל

29 מ כ א ן) 9 2 ה ר צ א ה מ ס ' 6 א ל ג ו ר י ת מ י ם ל מ צ י א ת מ ס ל ו ל ק ל ב י ו ת ר מ מ ק ו ר י ח י ד s s ו צ ו מ ת, :w E פ ו נ ' מ ש ק ל, =G ( V, ק ל ט : ג ר ף מ מ ו ש ק ל (E פ ל ט : ל כ ל v V ה מ ר ח ק ( מ ש ק ל ה מ ס ל ו ל ה ק ל ביותר) מ s ל v ש י ס ו מ ן,,s dist ( ל ע ת י ם v) נ ר צ ה ש ה א ל ג ו ר י ת ם י ח ז י ר ג ם ע ץ מ ס ל ו ל י ם ק ל י ם ב י ו ת ר ה א ל ג ו ר י ת ם ש נ ל מ ד מ נ י ח י ם ש א י ן ב ג ר ף ה ק ל ט מ ע ג ל י ם ש ל י ל י י ם נ ג י ש י ם מ s, ו מ כ א ן ש ל כ ל צ ו מ ת, v א ו ש ק י י ם מ ס ל ו ל ק ל ב י ו ת ר מ s ל, v א ו ש dist(s,v) מ ו ג ד ר כ " א י ן ס ו ף " א ל ג ו ר י ת ם גנרי למסלולים קלים ביותר ה א ל ג ו ר י ת ם ה ג נ ר י מ ת ח י ל ב ה ע ר כ ה ה ת ח ל ת י ת ש ל ח ס מ י ם ע ל י ו נ י ם ע ל א ר כ י ה מ ס ל ו ל י ם, ו ל א ח ר מ כ ן מ ש פ ר ח ס מ י ם א ל ו ע ד ש ל א נ י ת ן ל ש פ ר ם ע ו ד נ ש ת מ ש ב ה ג ד ר ו ת ה ב א ו ת, ה מ ת י י ח ס ו ת ל ג ר ף ק ל ט פ ו נ ק צ י י ת ח ס ם ע ל ע ל י ו ן מ ר ח ק י ם ה מ ק י י מ ת ש נ י ת נ א י ם : dist ( s, ל כ ל צ ו מ ת v V מ ת ק י י ם (v G= ( V, E) ( ב ק י צ ו ר ו צ ו מ ת מ ק ו ר : s פ ח " ע ) : d v (u,v) : d : V d ( s) 0 ה י א " ק ש ת מ ק צ ר ת " ( ב י ח ס ל א ם( d ז ו ה י ה ש ם ח ס ם ע ל י ו ן ) > + (, ) d v du wuv פ ו נ ק צ י ה, d : relaxation (u,v) ש י פ ו ר ק ש ת ע ל מ ק ו מ י פ " ח ע ב ה י נ ת ן ע ל מ ק ו מ י ש י פ ו ר ק ש ת (u,v), ב ק י צ ו ר ש י פ ו ר (u,v), ה ו א ה כ ל ל ה ב א : + (, ) א ם (u,v) ק ש ת מ ק צ ר ת d v du wuv ב צ ע כ ד י ל ב נ ו ת ע ץ מ ס ל ו ל י ם ק ל י ם ב י ו ת ר, כ א ש ר (u,v) ה י א ק ש ת מ ק צ ר ת נ ב צ ע ב ש י פ ו ר (u,v) ג ם parent ( v) א ת ה פ ק ו ד ה u ט ע נ ה : 6 6 א ם ל א ק י י מ ת ק ש ת מ ק צ ר ת ב י ח ס ל פ ח " ע, d א ז א י ן ב G מ ע ג ל י ש ל י ל י ה ו כ ח ה : י ה י ) u =C ( u,, u, u = מ ע ג ל ב G מ א ח ר ו ל כ ל i מ ת ק י י ם 0 k 1 k 0 ) ( du, wu (, u) du מ ת ק י י ם : i 1 i i i 1

30 מ ש ו ם ש) מ כ ך) 0 3 k k i 1 i i i 1 i= 1 i= 1 [ ] wu (, u) du ( du = 0 d : V { } ל מ ה 1: 6 ת ה י d א נ ש א ר ת פ ח " ע ג ם א ח ר י ב י צ ו ע ש י פ ו ר פ ח " ע ע ב ו ר G ו s א ז 2 ה ט ע נ ו ת ה ב א ו ת נ כ ו נ ו ת : ( u, v) = dist ( s, ב א ם א י ן ק ש ת מ ק צ ר ת ב י ח ס ל, d א ז ל כ ל צ ו מ ת v מ ת ק י י ם (v ה ו כ ח ה א א י נ נ י ח ש ב ו צ ע ש י פ ו ר d v : ( u, v) מ ה נ ח ת ה א י נ ד ו ק צ י ה, x ל כ ל מ ת ק י י ם v dist ( s, x) d x d( x) ל א ה ש ת נ ה ), ו כ נ " ל ג ם ל ג ב י d(v) א ם (u,v) א י נ נ ה ק ש ת מ ק צ ר ת d(v) ש ו נ ה ע " י ה ע ד כ ו ן ), ( + ) ( ) ( ה ש ו ו י ו ן ה ש מ א ל י א ח ר ת, d v du wuv ו ה ט ע נ ה נ ו ב ע ת מ א י ה ש ו ו י ו נ ו ת ה ב א י ם : = + (, ) (, ) + (, ) (, ) d v d u w u v dist s u w u v dist s v נ ו ב ע כ מ ו כ ן ב ר ו ר ש ל א ח ר ה ש י פ ו ר צ ו מ ת ש ל כ ל צ " ל ב ש מ ה ה נ ח ה, d() u dist(, s u), d() s 0 v ו ה י מ נ י מ ש ו ם ש d י כ ו ל ה ר ק ל ק ט ו ן,s dist ( י ד ו ע ש- מ ת ק י י ם (v (v = d ( מ ה כ ת ו ב נ ו ב ע dist ( s, v) d v ב מ ס ג ר ת d ש ל כ ן פ ח " ע ), ז ה ו א ו ר ך,s d ( (v dist ( נ נ י ח ב ש ל י ל ה ש ק י י ם צ ו מ ת מ ס פ י ק ל ה ו כ י ח ש (v,s, d ( (v > dist ( כ ל ו מ ר ק י י ם v), su P= ( u0 = י ה י 1,, uk ב- v) = v מ- s ל- v (v d ( מ ק ט ן ש א ו ר כ ו מ ס ל ו ל dist (, ) p s u p ה מ ס ל ו ל ע ל ה מ ר ח ק נ ס מ ן מ- s כ ך מ ס ל ו ל ל צ ו מ ת ש ז ה u dist s, s = d s = 0 p p (, ) < dist s v d v ב מ ס ל ו ל מ ה נ ח ת ה ש ל י ל ה ), ( > ) ( d v dist s v כ ע ת p מ ס ל ו ל מ s ל v כ י מ ט ע נ ה 0 6 נ ו ב ע ש א י ן מ ע ג ל ש ל י ל י ה מ כ י ל א ת s (, ) (, ) < dist s u d u p i i dist s u d u p i+ 1 i+ 1 מ כ א ן ש ק י י ם i כ ך ש > (, ) = (, ) + (, ) + (, ) d u dist s u dist s u w u u d u w u u i+ 1 p i+ 1 p i i i+ 1 i i i+ 1 ו ל כ ן

31 3 3 (, ) ui u i + 1 ו ה ק ש ת ה י א ק ש ת מ ק צ ר ת, ב נ י ג ו ד ל ה נ ח ה ה ע ר ה : ה ו כ ח ת ל מ ה 1 6 ת ק פ ה ג ם א ם ב ג ר ף G י ש מ ע ג ל י ם ש ל י ל י י ם א ל ג ו ר י ת ם ג נ ר י ל מ ס ל ו ל י ם ק ל י ם ב י ו ת ר מ מ ק ו ר י ח י ד ק ב ע פ ח " ע א ( u, v) ( u, v) ב כ ל ז מ ן ש ק י י מ ת ק ש ת מ ק צ ר ת ב צ ע ש י פ ו ר מימושים שונים של ה א ל ג ו ר י ת ם ה ג נ ר י נ ב ד ל י ם ב ס ד ר הביצוע של שיפורים מ ק ו מ י י ם ה ר א ש ו ן ש נ ל מ ד מ ר ש ה ק ש ת ו ת ב ע ל ו ת מ ש ק ל ש ל י ל י : אלגוריתם בלמן- פורד =G מ מ ו ש ק ל, ל ל א מ ע ג ל י ם ש ל י ל י י ם, ו צ ו מ ת ( V, ק ל ט : ג ר ף מ כ ו ו ן (E dist ( s, v) = d ( v) פ ל ט : ל כ ל צ ו מ ת - v ה א ל ג ו ר י ת ם: parent( v) nil, d ( v) א ת ח ו ל : ל כ ל {s v V }\ א ת ח ל ה מ י מ ו ש s V ; d ( s) 0 ע ד ע ב ו ר 1= i ל כ ל ק ש ת ב צ ע ) ( ב צ ע ש י פ ו ר ( u, v) V 1 u, v OV + OVE = OVE זמן ריצה ה ו כ ח ת נ כ ו נ ו ת נ ס ת מ ך ע ל ש ת י ה ל מ ו ת ה ב א ו ת : k מ- s ל- v, v ל מ ה : 2 6 ב י ו ת ר ק ל מ ס ל ו ל ק י י ם א ם צ ו מ ת ל כ ל ה מ כ י ל ל א ח ר א ז ק ש ת ו ת = dist ( s, v) d v א י ט ר צ י ו ת k ה ו כ ח ה ב א י נ ' ע ל k ע ב ו ר k ר ק = 0 s = 0 = dist ( s, s) ה א ת ח ו ל ) מ ת ק י י מ ת ה ט ע נ ה - מ ק י י ם א ת ה נ ח ת ה א י נ ד ו ק צ י ה ו א כ ן ל א ח ר 0 א י ט ר צ י ו ת ( ב ז כ ו ת d s v י ה י k +1 k ע ב ו ר ו נ ו כ י ח ע ב ו ר נ כ ו נ ו ת נ נ י ח צ ע ד : צ ו מ ת המקיים שיש מ ס ל ו ל ק ל מ- ב י ו ת ר ה מ כ י ל 1+ k ק ש ת ו ת v ל- s

32 כ י) כ ז כ ו ר) 2 3 k מ- s ל- v k +1 ( u, ת ה י (v ה ק ש ת ה א ח ר ו נ ה, ה כ ל ו מ ר ב י ו ת ר ה ק ל ב מ ס ל ו ל כ ע ת ה ק ש ת ו ת ה ק ו ד מ ו ת ק ל מ ס ל ו ל ( u, ל- (v ב י ו ת ר ), ה ן מ ס ל ו ל ק ל ב י ו ת ר מ ה נ ח ת ו ל כ ן מ- s ל- u ה א י נ ד ו ק צ י ה ב ז מ ן ה א י ט ר צ י ה ה- 1 + k ביצענו שיפור ל א ח ר ת ת מ ס ל ו ל ש ל מ ס ל ו ל ק ל ב י ו ת ר ה ו א מ ת ק י י ם k א י ט ר צ י ה = dist ( s, u) d u ( u, v) ביצענו שיפור כ ז ה ע ל כ ל ה ק ש ת ו ת ) ל א ח ר + (, ) = (, ) + (, ) = (, ) d v d u w u v dist s u w u v dist s v ב י צ ו ע ז ה מ ת ק ב ל הנחת האינדוקציה dist(, s u) כ י (u,v) הקשת האחרונה במסלול ה ק ל ב י ו ת ר מ s ל v כי בוצע ש י פ ו ר (v (,u א ם : 3 6 ל מ ה מ ס ל ו ל ק ל ב י ו ת ר ה ו כ ח ה מ ע ג ל י ם א י ן א ם מ ע ג ל י ם א י ן ב- G ש ל י ל י י ם, s ק י י ם מ ה נ ג י ש v צ ו מ ת ל כ ל א ז מ- s נ ג י ש י ם מ- s ל- v ש ל י ל י י ם מ ע ג ל י ם מ כ י ל ל כ ל ה י ו ת ר ה מ כ י ל ל כ ל ה י ו ת ר ק ל מ ס ל ו ל ק י י ם א ז V 1 ב י ו ת ר ק ש ת ו ת מ ע ג ל י ם ל ל א ( ה ו כ י ח ו ), V 1 ו מ ס ל ו ל ק ש ת ו ת ( כ י כ ל צ ו מ ת מ ו פ י ע ב ו ל כ ל ה י ו ת ר פ ע ם א ח ת ) ל ל א מנכונות שתי ה ל מ ו ת ה נ " ל נ ו ב ע ת נ כ ו נ ו ת האלגוריתם של ב ל מ ן פ ו ר ד : מ ל מ ה 3 6 נ ו ב ע כ י ה נ ג י ש צ ו מ ת ל כ ל 2 6 מ ס פ י ק ו ת s מ ב י ו ת ר ק ל מ ס ל ו ל ק י י ם מ- s ה י ו ת ר ל כ ל ה מ כ י ל V 1 V 1 א י ט ר צ י ו ת ב כ ד י ל מ צ ו א כ ל מ ס ל ו ל כ ז ה ק ש ת ו ת, ו מ ל מ ה אלגוריתם דיקסטרה (Dijkstra) דרישה חזקה יותר משל ב ל מ ן- פ ו ר ד, ולכן אלג ' מהיר י ו ת ר ק ל ט : ג ר ף מ מ ו ש ק ל מ כ ו ו ן ל א מ ש ק ל י ם ש ל י ל י י ם, ו צ ו מ ת s d ( v) = dist ( s, v) פ ל ט : ל כ ל צ ו מ ת - v ה א ל ג ו ר י ת ם: d ( s) ו א ת ח ל 0, parent() v nill, d ( v) ל כ ל v V א ת ח ל ) d ( v) dist ( s, ב נ ו ס ף א ת ח ל {s Q ( Q V }\ מ כ י ל א ת כ ל ה צ מ ת י ם ע ב ו ר ם (v כ ל ז מ ן ש Q ב צ ע מ צ א ב- Q צ ו מ ת u כ ך ש (u d ( מ י נ מ י א ל י ( u, (v ב צ ע ש י פ ו ר (,u ה ו צ א א ת u מ- Q ו ל כ ל ק ש ת (v

Ενότητα 10 Γράφοι (ή Γραφήµατα)

Ενότητα 10 Γράφοι (ή Γραφήµατα) Ενότητα 10 Γράφοι (ή γραφήµατα) ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 1 Γράφοι (ή Γραφήµατα) Ένας γράφος αποτελείται από ένα σύνολο από σηµεία (που λέγονται κόµβοι) και ένα σύνολο από γραµµές (που λέγονται ακµές)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 10β: Αλγόριθμοι Γραφημάτων-Γραφήματα- Αναπαράσταση Γραφημάτων- Διερεύνηση Πρώτα σε Πλάτος (BFS) Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Πρόβλημα 1 Το πρώτο πρόβλημα λύνεται με τη μέθοδο του Δυναμικού Προγραμματισμού. Για να το λύσουμε με Δυναμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 25)

Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 25) Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 25) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Ο αλγόριθµος των BellmanFord Ο αλγόριθµος του Dijkstra ΕΠΛ 232 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 61

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 18 Dijkstra s Shortest Path Algorithm 1 / 12 Ο αλγόριθμος εύρεσης της συντομότερης διαδρομής του Dijkstra

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Εισαγωγή: Κάποια αντιπροσωπευτικά προβλήματα... 25. 2. Βασικά στοιχεία ανάλυσης αλγορίθμων... 57. 3. Γραφήματα...

Περιεχόμενα. 1. Εισαγωγή: Κάποια αντιπροσωπευτικά προβλήματα... 25. 2. Βασικά στοιχεία ανάλυσης αλγορίθμων... 57. 3. Γραφήματα... Περιεχόμενα Σχετικά με τους συγγραφείς...3 Πρόλογος... 11 Πρόλογος της ελληνικής έκδοσης... 23 1. Εισαγωγή: Κάποια αντιπροσωπευτικά προβλήματα... 25 1.1 Ένα πρώτο πρόβλημα: Ευσταθές Ταίριασμα...25 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Αλγόριθµοι Τυφλής Αναζήτησης. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η.

Κεφάλαιο 3. Αλγόριθµοι Τυφλής Αναζήτησης. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Κεφάλαιο 3 Αλγόριθµοι Τυφλής Αναζήτησης Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Αλγόριθµοι Τυφλής Αναζήτησης Οι αλγόριθµοι τυφλής αναζήτησης (blind

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικά Γραφήματα Π Π Δ Ε. Συγγραφέας: Ελένη Ακρίδα. Επιβλέπων: Παύλος Σπυράκης, Κ

Χρονικά Γραφήματα Π Π Δ Ε. Συγγραφέας: Ελένη Ακρίδα. Επιβλέπων: Παύλος Σπυράκης, Κ . Π Π Δ Ε Χρονικά Γραφήματα Συγγραφέας: Ελένη Ακρίδα Επιβλέπων: Παύλος Σπυράκης, Κ Υποβάλλεται προς εκπλήρωση των απαιτήσεων για το Μεταπτυχιακό Δίπλωμα Ειδίκευσης στο Τμήμα Μαθηματικών 4 Ιουνίου 2013

Διαβάστε περισσότερα

STARTING STEPS IN GRAMMAR, FINAL TEST C TERM 2012 UNITS 1-18

STARTING STEPS IN GRAMMAR, FINAL TEST C TERM 2012 UNITS 1-18 STARTING STEPS IN GRAMMAR, FINAL TEST C TERM 2012 UNITS 1-18 Name.. Class. Date. EXERCISE 1 Answer the question. Use: Yes, it is or No, it isn t. Απάντηςε ςτισ ερωτήςεισ. Βάλε: Yes, it is ή No, it isn

Διαβάστε περισσότερα

Combined Bus and Driver Scheduling

Combined Bus and Driver Scheduling Combined Bus and Driver Scheduling C Valouxis, E Housos Computers and Operation Research Journal Vol 29/3, pp 243-259, March 22 AMORE Patra, 2 Problem Definition () Shift: a set of routes that will be

Διαβάστε περισσότερα

LESSON 12 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑ) REF : 202/055/32-ADV. 4 February 2014

LESSON 12 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑ) REF : 202/055/32-ADV. 4 February 2014 LESSON 12 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑ) REF : 202/055/32-ADV 4 February 2014 Somewhere κάπου (kapoo) Nowhere πουθενά (poothena) Elsewhere αλλού (aloo) Drawer το συρτάρι (sirtari) Page η σελίδα (selida) News τα νέα (nea)

Διαβάστε περισσότερα

- S P E C I A L R E P O R T - EMPLOYMENT. -January 2012- Source: Cyprus Statistical Service

- S P E C I A L R E P O R T - EMPLOYMENT. -January 2012- Source: Cyprus Statistical Service - S P E C I A L R E P O R T - UN EMPLOYMENT -January 2012- Source: Cyprus Statistical Service This Special Report is brought to you by the Student Career Advisory department of Executive Connections. www.executiveconnections.eu

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης

Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης Τεχνητή Νοημοσύνη 04 Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης (Blind Search Algorithms) Εφαρμόζονται σε προβλήματα στα οποία δεν υπάρχει πληροφορία που να επιτρέπει αξιολόγηση των καταστάσεων.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 3 Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισµοί και Εφαρµογές γραφήµατα γράφηµα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων

Διαβάστε περισσότερα

Η θέση ύπνου του βρέφους και η σχέση της με το Σύνδρομο του αιφνίδιου βρεφικού θανάτου. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ

Η θέση ύπνου του βρέφους και η σχέση της με το Σύνδρομο του αιφνίδιου βρεφικού θανάτου. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Η θέση ύπνου του βρέφους και η σχέση της με το Σύνδρομο του αιφνίδιου βρεφικού θανάτου. Χρυσάνθη Στυλιανού Λεμεσός 2014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΟΚΟΠΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΧΑΡΟΚΟΠΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΧΑΡΟΚΟΠΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Τμημα Πληροφορικης και Τηλεματικης Τσάμη Παναγιώτα ΑΜ: 20833 ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση 1 Αθήνα 13-12-2011 Αναφορά Ενότητα 1 A Δημιουργήστε στο φλοιό 3 εντολές (alias) που η

Διαβάστε περισσότερα

LESSON 9 (ΜΑΘΗΜΑ ΕΝΝΙΑ) REF : 101/011/9-BEG. 14 January 2013

LESSON 9 (ΜΑΘΗΜΑ ΕΝΝΙΑ) REF : 101/011/9-BEG. 14 January 2013 LESSON 9 (ΜΑΘΗΜΑ ΕΝΝΙΑ) REF : 101/011/9-BEG 14 January 2013 Up πάνω Down κάτω In μέσα Out/outside έξω (exo) In front μπροστά (brosta) Behind πίσω (piso) Put! Βάλε! (vale) From *** από Few λίγα (liga) Many

Διαβάστε περισσότερα

Risk! " #$%&'() *!'+,'''## -. / # $

Risk!  #$%&'() *!'+,'''## -. / # $ Risk! " #$%&'(!'+,'''## -. / 0! " # $ +/ #%&''&(+(( &'',$ #-&''&$ #(./0&'',$( ( (! #( &''/$ #$ 3 #4&'',$ #- &'',$ #5&''6(&''&7&'',$ / ( /8 9 :&' " 4; < # $ 3 " ( #$ = = #$ #$ ( 3 - > # $ 3 = = " 3 3, 6?3

Διαβάστε περισσότερα

(G) = 4 1 (G) = 3 (G) = 6 6 W G G C = {K 2,i i = 1, 2,...} (C[, 2]) (C[, 2]) {u 1, u 2, u 3 } {u 2, u 3, u 4 } {u 3, u 4, u 5 } {u 3, u 4, u 6 } G u v G (G) = 2 O 1 O 2, O 3, O 4, O 5, O 6, O 7 O 8, O

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αναζήτηση Κατά Βάθος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Ρύθμιση e-mail σε whitelist

Ρύθμιση e-mail σε whitelist Ρύθμιση e-mail σε whitelist «Δουλεύω Ηλεκτρονικά, Δουλεύω Γρήγορα και με Ασφάλεια - by e-base.gr» Web : www.e-base.gr E-mail : support@e-base.gr Facebook : Like Twitter : @ebasegr Πολλές φορές αντιμετωπίζετε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #: Εύρεση Ελαχίστων Μονοπατιών σε Γραφήματα που Περιλαμβάνουν και Αρνητικά Βάρη: Αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. Ερώτηση 1 Κατά τη Φυσική Αποθήκευση (Physical storage) μιας ΒΔ αποθηκεύονται στον δίσκο τα:

ΘΕΜΑΤΑ. Ερώτηση 1 Κατά τη Φυσική Αποθήκευση (Physical storage) μιας ΒΔ αποθηκεύονται στον δίσκο τα: ΘΕΜΑΤΑ Θέμα 1 ο Σε μία βάση δεδομένων χρηματιστηριακών συναλλαγών υπάρχουν οι παρακάτω πίνακες που αποτελούνται από τα εξής πεδία : : ΚΣ, ΗΜΝΙΑ, ΩΡΑ, ΚΜ, ΤΙΜΗ ΜΕΤΟΧΗ : ΚΜ, ΟΝΟΜΑ, ΕΤΟΣ_ΙΔΡΥΣΗΣ, ΚΚ, ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Δέντρα Αναζήτησης. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Δέντρα Αναζήτησης. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Δέντρα Αναζήτησης Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Το πρόβλημα Αναζήτηση Θέλουμε να διατηρήσουμε αντικείμενα με κλειδιά και να μπορούμε εκτός από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΠΑΡΑΔΟΤΕΟ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΕ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ

ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΠΑΡΑΔΟΤΕΟ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΕ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε.) «Αρχιμήδης ΙΙΙ Ενίσχυση Ερευνητικών ομάδων στην Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε.» Υποέργο: 8 Τίτλος: «Εκκεντρότητες αντισεισμικού σχεδιασμού ασύμμετρων

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ. Young 12.1-12.7 Ζήσος Κεφ.8

ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ. Young 12.1-12.7 Ζήσος Κεφ.8 ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Young 1.1-1.7 Ζήσος Κεφ.8 ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΕΔΙΟ ΕΝΤΑΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΔΥΝΑΜΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΠΩΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΝΟΝΤΑΙ ΟΙ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΤΑΝ ΕΧΟΥΜΕ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΜΑΖΑΣ- ΓΗ ΚΙΝΗΣΗ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Η κατάσταση της ιδιωτικότητας Ηλίας Χάντζος, Senior Director EMEA

Η κατάσταση της ιδιωτικότητας Ηλίας Χάντζος, Senior Director EMEA Η κατάσταση της ιδιωτικότητας Ηλίας Χάντζος, Senior Director EMEA Αθήνα 1 η Απριλίου 2015 Και γιατί μας νοιάζει ή μας αφορά; Νέα Ευρωπαική νομοθεσία Τίνος είναι τα προσωπικά δεδομένα; Και λοιπόν; Τα περιστατικά

Διαβάστε περισσότερα

February 2012 Source: Cyprus Statistical Service

February 2012 Source: Cyprus Statistical Service S P E C I A L R E P O R T UN February 2012 Source: Cyprus Statistical Service This Special Report is brought to you by the Student Career Advisory department of Executive Connections. www.executiveconnections.eu

Διαβάστε περισσότερα

AME SAMPLE REPORT James R. Cole, Ph.D. Neuropsychology

AME SAMPLE REPORT James R. Cole, Ph.D. Neuropsychology Setting the Standard since 1977 Quality and Timely Reports Med-Legal Evaluations Newton s Pyramid of Success AME SAMPLE REPORT Locations: Oakland & Sacramento SCHEDULING DEPARTMENT Ph: 510-208-4700 Fax:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία Χαμηλά επίπεδα βιταμίνης D σχετιζόμενα με το βρογχικό άσθμα στα παιδιά και στους έφηβους Κουρομπίνα Αλεξάνδρα Λεμεσός [2014] i ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων ικριτά Μηµτικά κι Μηµτική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ σ ί 4η Θεωρί Γρφηµάτων Α π ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµ. ίετι το ένρο του πρκάτω σχήµτος. e d f b l i a k m p c g h n o Θεωρώντς σν ρίζ του ένρου

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες χρήσης υλικού D U N S Registered

Οδηγίες χρήσης υλικού D U N S Registered Οδηγίες χρήσης υλικού D U N S Registered Οδηγίες ένταξης σήματος D U N S Registered στην ιστοσελίδα σας και χρήσης του στην ηλεκτρονική σας επικοινωνία Για οποιαδήποτε ερώτηση, σας παρακαλούμε επικοινωνήστε

Διαβάστε περισσότερα

Αβδέλαρου Κωνσταντίνα

Αβδέλαρου Κωνσταντίνα ΧΑΡΟΚΟΠΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΜΑΤΙΚΗΣ Αβδέλαρου Κωνσταντίνα 1 η Εργασία στο μάθημα Λειτουργικά Συστήματα Ταύρος, 9 Δεκεμβρίου 2014 Άσκηση 1.1 Το shell script που δημιουργήθηκε είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Διάρηζηα Δπηθαιύπηνληα Γέλδξα

Διάρηζηα Δπηθαιύπηνληα Γέλδξα Διάρηζηα Δπηθαιύπηνληα Γέλδξα Οξηζκόο Δύξεζε Δπηθαιύπηνληνο Γέλδξνπ κε Διάρηζην Βάξνο, δειαδή ειάρηζην άζξνηζκα βαξώλ αθκώλ Αιγόξηζκνη Prim, Kruskal, Baruvka Βαζίδνληαη ζηελ ηερληθή ηεο Απιεζηίαο Η νξζόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 14: Δομές Δεδομένων ΙΙI (Λίστες και Παραδείγματα)

Διάλεξη 14: Δομές Δεδομένων ΙΙI (Λίστες και Παραδείγματα) Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Κύπρου ΕΠΛ132 Αρχές Προγραμματισμού II Διάλεξη 14: Δομές Δεδομένων ΙΙI (Λίστες και Παραδείγματα) Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ http://www.cs.ucy.ac.cy/courses/epl132 14-1 Περιεχόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι. Κεφάλαιο 6ο: Αδιέξοδα

ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι. Κεφάλαιο 6ο: Αδιέξοδα ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Κεφάλαιο 6ο: Αδιέξοδα 1 3.1 Εισαγωγή Αδιέξοδο = ένα σύνολο από διεργασίες που δημιουργούν μια κυκλική αλυσίδα όπου κάθε process στην αλυσίδα δεν μπορεί να προχωρήσει και περιμένει

Διαβάστε περισσότερα

LESSON 16 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΚΑΕΞΙ) REF : 102/018/16-BEG. 4 March 2014

LESSON 16 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΚΑΕΞΙ) REF : 102/018/16-BEG. 4 March 2014 LESSON 16 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΚΑΕΞΙ) REF : 102/018/16-BEG 4 March 2014 Family η οικογένεια a/one(fem.) μία a/one(masc.) ένας father ο πατέρας mother η μητέρα man/male/husband ο άντρας letter το γράμμα brother ο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ. Πτυχιακή εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ. Πτυχιακή εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ Πτυχιακή εργασία ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΚΗΣ ΔΙΑΤΡΟΦΗΣ ΣΤΗ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ ΜΕ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΤΗ ΠΑΧΥΣΑΡΚΙΑ Έλλη Φωτίου 2010364426 Επιβλέπουσα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΓΞΙΛΟΓΙΟ BIΒΛΙΟΥ Γ ΤΑΞΗΣ

ΛΓΞΙΛΟΓΙΟ BIΒΛΙΟΥ Γ ΤΑΞΗΣ ΛΓΞΙΛΟΓΙΟ BIΒΛΙΟΥ Γ ΤΑΞΗΣ MAGIC BOOK PREUNIT magic/μάηδηθ/=μαγηθόξ book/μπμοθ/=βηβιίμ letter/ιέηεν/=γνάμμα colour/θόιμν/=πνώμα picture/πίθηζεν/=εηθόκα match/μαηξ/=ηαηνηάδς circle/ζηνθι/=θοθιώκς finger/θίκγθεν/=δάπηοιμ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΡΑΣΤΕΣ ΗΥ340

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΡΑΣΤΕΣ ΗΥ340 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΡΑΣΤΕΣ ΗΥ340 ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2010 Ι ΑΣΚΩΝ: ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΣΑΒΒΙ ΗΣ ΒΑΣΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΑΣΗ 2η από 5 Ανάθεση: Πέµπτη 15 Απριλίου 2010, 11:00 (πρωί)

Διαβάστε περισσότερα

H ελαστικότητα και οι εφαρµογές της

H ελαστικότητα και οι εφαρµογές της 5 H ελαστικότητα και οι εφαρµογές της Ελαστικότητα... µας επιτρέπει να αναλύσουµε την προσφορά και ζήτηση µε µεγαλύτερη ακρίβεια. είναι ένα µέτρο του πως οι αγοραστές και πωλητές ανταποκρίνονται στις αλλαγές

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #2: Πολυωνυμικοί Αλγόριθμοι, Εισαγωγή στα Γραφήματα, Αναζήτηση κατά Βάθος, Τοπολογική Ταξινόμηση

Διαβάστε περισσότερα

STAGES 12 MIN ROUNDS 198

STAGES 12 MIN ROUNDS 198 LEVEL IΙI IPSC MATCH 1-9-2013 LEVEL IΙI MATCH STAGES 12 MIN ROUNDS 198 Course designer C. Kathareios J. Kelaidakis STAGE 1 George Meimaridis MEDIUM COURSE 10 IPSC targets, 3 IPSC Popper,1 MP, 1 Metal No-Shoot

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 06: Συνδεδεμένες Λίστες & Εφαρμογές Στοιβών και Ουρών

Διάλεξη 06: Συνδεδεμένες Λίστες & Εφαρμογές Στοιβών και Ουρών ΕΠΛ231 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 1 Διάλεξη 06: Συνδεδεμένες Λίστες & Εφαρμογές Στοιβών και Ουρών Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Υλοποίηση ΑΤΔ με Συνδεδεμένες Λίστες -

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΟΙ ΚΑΙ ΠΡΟΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΣΧΕΔΙΟΥ

ΟΡΟΙ ΚΑΙ ΠΡΟΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΣΧΕΔΙΟΥ ΟΡΟΙ ΚΑΙ ΠΡΟΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΣΧΕΔΙΟΥ 1. Η διαφήμιση της Τράπεζας για τα "Διπλά Προνόμια από την American Express" ισχύει για συναλλαγές που θα πραγματοποιηθούν από κατόχους καρτών Sunmiles American Express, American

Διαβάστε περισσότερα

24ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

24ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Γ ΦΑΣΗΣ Θέμα 1 ο : Λουτράκι [30 Μονάδες] C++ Παναγιώτου Σωτήριος 59 ο ΓΕΛ Αθηνών /* USER:pdp24u226 TASK:loutraki LANG:C++ */ #include

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ-ΓΛΩΣΣΑ C ΑΤΕΙ (ΝΑ ΕΚΤΕΛΕΣΤΟΥΝ ΤΑ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ LCC COMPILER)

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ-ΓΛΩΣΣΑ C ΑΤΕΙ (ΝΑ ΕΚΤΕΛΕΣΤΟΥΝ ΤΑ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ LCC COMPILER) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ-ΓΛΩΣΣΑ C ΑΤΕΙ (ΝΑ ΕΚΤΕΛΕΣΤΟΥΝ ΤΑ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ LCC COMPILER) 1. Να γραφεί πρόγραµµα το οποίο να αναγνωρίζει αν κάποιος χαρακτήρας είναι ψηφίο, κεφαλαίο γράµµα ή

Διαβάστε περισσότερα

Ανταλλακτικά για Laptop Toshiba

Ανταλλακτικά για Laptop Toshiba Ανταλλακτικά για Laptop Toshiba Ημερομηνία έκδοσης καταλόγου: 6/11/2011 Κωδικός Προϊόντος Είδος Ανταλλακτικού Μάρκα Μοντέλο F000000901 Inverter Satellite A10 Series, A10 PSA10L-033X4P F000000902 Inverter

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Πτυχιακή εργασία ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΩΝ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΚΤΙΡΙΩΝ Εβελίνα Θεμιστοκλέους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ, Sanjoy Dasgupta, Christos Papadimitriou, Umesh Vazirani, Κεφάλαιο 4 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ, Jon Kleinberg, Eva Tardos, Κεφάλαιο 4) 1 Θέματα

Διαβάστε περισσότερα

VERBS: memory aids through lesson 9 ACTIVE PRESENT AND IMPERFECT IMPERATIVE

VERBS: memory aids through lesson 9 ACTIVE PRESENT AND IMPERFECT IMPERATIVE Verbs. thr.less9, p1 moods tenses INDICATIVE VERBS: memory aids through lesson 9 ACTIVE PRESENT AND IMPERFECT present present stem + / primary person endings present stem + / ending of infinitive I stop

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή Εργασία ΑΓΧΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή Εργασία ΑΓΧΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία ΑΓΧΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ Ονοματεπώνυμο : Φάραχ Βαλεντίνα Αρ. Φοιτητικής Ταυτότητας : 2008899422 ΚΥΠΡΟΣ- ΛΕΥΚΩΣΙΑ 2012

Διαβάστε περισσότερα

Newsletter. ΚΑΛΗ ΑΡΧΗ και ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ σ όλους! Wishing a GOOD START! Registration forms are available in our web site! Ανοίξαν τα σχολεία

Newsletter. ΚΑΛΗ ΑΡΧΗ και ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ σ όλους! Wishing a GOOD START! Registration forms are available in our web site! Ανοίξαν τα σχολεία Newsletter September/ October 2010 Volume : 45 Holy Cross Greek School http://belmontgreekschool.com Ανοίξαν τα σχολεία Ένα θερµό Καλωσόρισµα σ όλες τις οικογένειες καινούριες και παλιές. Ενθουσιασµένοι

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary Education

UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary Education www.xtremepapers.com UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary Education *6301456813* GREEK 0543/03 Paper 3 Speaking Role Play Card One 1 March 30

Διαβάστε περισσότερα

Cambridge International Examinations Cambridge International General Certificate of Secondary Education

Cambridge International Examinations Cambridge International General Certificate of Secondary Education Cambridge International Examinations Cambridge International General Certificate of Secondary Education GREEK 0543/03 Paper 3 Speaking Role Play Card One For Examination from 2015 SPECIMEN ROLE PLAY Approx.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΡΑΣΤΕΣ ΗΥ340

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΡΑΣΤΕΣ ΗΥ340 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΡΑΣΤΕΣ ΗΥ340 ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2008 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΣΑΒΒΙΔΗΣ ΒΑΣΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΑΣΗ 2η από 5 Παράδοση: Πέμπτη 10 Απριλίου 2008, 24:00 (μεσάνυχτα)

Διαβάστε περισσότερα

SOAP API. https://bulksmsn.gr. Table of Contents

SOAP API. https://bulksmsn.gr. Table of Contents SOAP API https://bulksmsn.gr Table of Contents Send SMS...2 Query SMS...3 Multiple Query SMS...4 Credits...5 Save Contact...5 Delete Contact...7 Delete Message...8 Email: sales@bulksmsn.gr, Τηλ: 211 850

Διαβάστε περισσότερα

User s Manual / Οδηγίες Χρήσης

User s Manual / Οδηγίες Χρήσης User s Manual / Οδηγίες Χρήσης EUROPEAN STANDARDS Your child s safety depends on you. Proper bed rail usage cannot be assured unless you follow these instructions. DO NOT USE YOUR BED RAIL UNTILL YOU READ

Διαβάστε περισσότερα

GREECE BULGARIA 6 th JOINT MONITORING

GREECE BULGARIA 6 th JOINT MONITORING GREECE BULGARIA 6 th JOINT MONITORING COMMITTEE BANSKO 26-5-2015 «GREECE BULGARIA» Timeline 02 Future actions of the new GR-BG 20 Programme June 2015: Re - submission of the modified d Programme according

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΠΝΙΣΜΑ ΚΑΙ ΣΥΝΔΡΟΜΟ ΑΙΦΝΙΔΙΟΥ ΒΡΕΦΙΚΟΥ ΘΑΝΑΤΟΥ

ΚΑΠΝΙΣΜΑ ΚΑΙ ΣΥΝΔΡΟΜΟ ΑΙΦΝΙΔΙΟΥ ΒΡΕΦΙΚΟΥ ΘΑΝΑΤΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΚΑΠΝΙΣΜΑ ΚΑΙ ΣΥΝΔΡΟΜΟ ΑΙΦΝΙΔΙΟΥ ΒΡΕΦΙΚΟΥ ΘΑΝΑΤΟΥ Ονοματεπώνυμο: Λοϊζιά Ελένη Λεμεσός 2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

LESSON 26 (ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΚΟΣΙ ΕΞΙ) REF : 102/030/26. 18 November 2014

LESSON 26 (ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΚΟΣΙ ΕΞΙ) REF : 102/030/26. 18 November 2014 LESSON 26 (ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΚΟΣΙ ΕΞΙ) REF : 102/030/26 18 November 2014 But Weekend I love The song I sing I smile I laugh Greek (thing) Greek(people) Greek (man) αλλά (το) Σαββατοκύριακο αγαπώ (το) τραγούδι τραγουδώ

Διαβάστε περισσότερα

LESSON 28 (ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΚΟΣΙ ΟΚΤΩ) REF : 201/033/28. 2 December 2014

LESSON 28 (ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΚΟΣΙ ΟΚΤΩ) REF : 201/033/28. 2 December 2014 LESSON 28 (ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΚΟΣΙ ΟΚΤΩ) REF : 201/033/28 2 December 2014 Place/Seat Right (noun) I am right I am not right It matters It does not matter The same (singular) The same (Plural) Η θέση Το δίκιο Έχω

Διαβάστε περισσότερα

Μεταπτυχιακή διατριβή

Μεταπτυχιακή διατριβή ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Μεταπτυχιακή διατριβή «100% Α.Π.Ε.» : ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΠΡΟΚΛΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΗ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΤΩΝ ΣΥΜΒΑΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3 (μέρος 1 ο )

Ενότητα 3 (μέρος 1 ο ) Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού Ενότητα 3 (μέρος 1 ο ) Σιέττος Κωνσταντίνος Άδεια Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΠΟΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή διατριβή

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΠΟΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή διατριβή ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΠΟΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Πτυχιακή διατριβή ΠΙΘΑΝΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΜΕΛΑΤΟΝΙΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΟΥ ΓΙΑΟΥΡΤΙΟΥ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΠΡΟΒΕΙΟ ΓΑΛΑ

Διαβάστε περισσότερα

Εγκατάσταση λογισμικού και αναβάθμιση συσκευής Device software installation and software upgrade

Εγκατάσταση λογισμικού και αναβάθμιση συσκευής Device software installation and software upgrade Για να ελέγξετε το λογισμικό που έχει τώρα η συσκευή κάντε κλικ Menu > Options > Device > About Device Versions. Στο πιο κάτω παράδειγμα η συσκευή έχει έκδοση λογισμικού 6.0.0.546 με πλατφόρμα 6.6.0.207.

Διαβάστε περισσότερα

11/4 Αναστάσιμο Δείπνο. 11/4 Easter Dinner. 12/4 Πασχαλινός Μπουφές. 12/4 Easter Lunch

11/4 Αναστάσιμο Δείπνο. 11/4 Easter Dinner. 12/4 Πασχαλινός Μπουφές. 12/4 Easter Lunch Easter 2015 55 ανά άτομο 25 για παιδιά έως 12 ετών 55 per person 25 for children up to 12 years old 65 ανά άτομο 30 για παιδιά έως 12 ετών 65 per person 30 for children up to 12 years old Mονόκλινο 130

Διαβάστε περισσότερα

ιαδικτυακές Εφαρµογές

ιαδικτυακές Εφαρµογές ιαδικτυακές Εφαρµογές µε Java2 Στοιχεία ικτυακής Επικοινωνίας Όροι IP address 32bit αριθµός που χρησιµοποιείται από το Internet Protocol για την παράδοση δεδοµένων στο σωστό υπολογιστή στο δίκτυο. Port

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary Education

UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary Education www.xtremepapers.com UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary Education GREEK 0543/03 Paper 3 Speaking Role Play Card One 1 March 30 April 2010

Διαβάστε περισσότερα

Επιστήμη και Δημοσιογραφία. Δημοσιογραφία Επιστήμης Μπορούν να αποτυπωθούν δημοσιογραφικά τα αποτελέσματα της επιστήμης;

Επιστήμη και Δημοσιογραφία. Δημοσιογραφία Επιστήμης Μπορούν να αποτυπωθούν δημοσιογραφικά τα αποτελέσματα της επιστήμης; Δημοσιογραφία Μπορούν να αποτυπωθούν δημοσιογραφικά τα αποτελέσματα της επιστήμης; Μενέλαος Σωτηρίου 8ο Συνέδριο «Ελληνική Γλώσσα και Ορολογία», Αθήνα, 10-12 Νοεμβρίου 2011 Επιστήμη και Δημοσιογραφία «Η

Διαβάστε περισσότερα

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Λουκία Βασιλείου

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Λουκία Βασιλείου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΑΙΔΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΗΒΙΚΗ ΚΑΚΟΠΟΙΗΣΗ: ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΥΓΕΙΑ Λουκία Βασιλείου 2010646298 Επιβλέπουσα καθηγήτρια: Δρ.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜηχανισμός ΑΜΕΜ. στο ΧΑ - ΟΑΣΗΣ

ΟΜηχανισμός ΑΜΕΜ. στο ΧΑ - ΟΑΣΗΣ ΟΜηχανισμός ΑΜΕΜ στο ΧΑ - ΟΑΣΗΣ ΑΘΗΝΑ 08/07/2007 Ποιος είναι οσκοπός της χρήσης του ΑΜΕΜ; Ηχρήση του ΑΜΕΜ στοχεύει στον περιορισμό της απότομης μεταβλητότητας των τιμών (market volatility), προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη ΙΙ Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Εργασία ΙΙ: Σχεδιασμός Ημερομηνία Παράδοσης: 26 Μαρτίου 2012

Τεχνητή Νοημοσύνη ΙΙ Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Εργασία ΙΙ: Σχεδιασμός Ημερομηνία Παράδοσης: 26 Μαρτίου 2012 Τεχνητή Νοημοσύνη ΙΙ Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Εργασία ΙΙ: Σχεδιασμός Ημερομηνία Παράδοσης: 26 Μαρτίου 2012 Ον/μο φοιτητή: Μπεγέτης Νικόλαος Α.Μ.: 1115200700281 Άσκηση 1(i) Το πλάνο εκτέλεσης για το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Το αντικείμενο αυτό είναι χειροποίητο από 100% οικολογικό βαμβάκι, με φυτικές βαφές και φυτική κόλλα.

Το αντικείμενο αυτό είναι χειροποίητο από 100% οικολογικό βαμβάκι, με φυτικές βαφές και φυτική κόλλα. Cotton leather paper Με υπερηφάνια σας παρουσιάζουμε μια νέα σειρά χειροποίητων προϊόντων το...cotton leather paper. Το αντικείμενο αυτό είναι χειροποίητο από 100% οικολογικό βαμβάκι, με φυτικές βαφές

Διαβάστε περισσότερα

1. Έκδοση Άδειας Γάμου. 2. Πιστοποιητικό Ελευθερίας. 3. Τέλεση Γάμου - Ενημέρωση. 4. Έκδοση Άδειας Γάμου (Στην αγγλική)

1. Έκδοση Άδειας Γάμου. 2. Πιστοποιητικό Ελευθερίας. 3. Τέλεση Γάμου - Ενημέρωση. 4. Έκδοση Άδειας Γάμου (Στην αγγλική) 1. Έκδοση Άδειας Γάμου 2. Πιστοποιητικό Ελευθερίας 3. Τέλεση Γάμου - Ενημέρωση 4. Έκδοση Άδειας Γάμου (Στην αγγλική) 5. Λύση Γάμου 6. Πιστοποιητικό Τελέσεως Γάμου 7. Επικοινωνία 1.Έκδοση Άδειας Γάμου Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΠΟΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΠΟΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΠΟΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Πτυχιακή εργασία Η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ HACCP ΣΕ ΜΙΚΡΕΣ ΒΙΟΤΕΧΝΙΕΣ ΓΑΛΑΚΤΟΣ ΣΤΗΝ ΕΠΑΡΧΙΑ ΛΕΜΕΣΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

www.pwc.com ΟΝΓΕΕ Γραφείο Σταδιοδρομίας ΥΣΦΜ Αποτελεσματικές Τεχνικές Παρουσιάσεων Μάρτιος 2012

www.pwc.com ΟΝΓΕΕ Γραφείο Σταδιοδρομίας ΥΣΦΜ Αποτελεσματικές Τεχνικές Παρουσιάσεων Μάρτιος 2012 www.pwc.com ΟΝΓΕΕ Γραφείο Σταδιοδρομίας ΥΣΦΜ Αποτελεσματικές Τεχνικές Παρουσιάσεων Μάρτιος 2012 Οι 10 μεγαλύτεροι φόβοι του ανθρώπου 10. Σκύλοι 9. Μοναξιά 8. Πτήσεις 7. Θάνατος 6. Ασθένειες 5. Βαθιές Θάλασσες

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝΑΣΦΑΛΕΙΑΣ

ΦΥΛΛΟ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝΑΣΦΑΛΕΙΑΣ 1.Στοιχείαουσίας/παρασκευάσματοςκαιεταιρείας/επιχείρηση Στοιχείατηςουσίαςήτουπαρασκευάσματος Αριθμόςπροΐόντος Ονομασίαπροΐόντος B1601 (alpha)-bungarotoxin *from Bungarus Στοιχείατηςεταιρείας/επιχείρησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΒΑΣΕΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕΡΟΣ ΠΕΜΠΤΟ Triggers, Stored procedures Γιώργος Μαρκοµανώλης Περιεχόµενα Triggers-Ενηµέρωση δεδοµένων άλλων πινάκων... 1 Ασφάλεια...

Διαβάστε περισσότερα

-,,.. Fosnot. Tobbins Tippins -, -.,, -,., -., -,, -,.

-,,.. Fosnot. Tobbins Tippins -, -.,, -,., -., -,, -,. παιδαγωγικά ρεύµατα στο Αιγαίο Προσκήνιο 77 : patrhenis@keda.gr -,,.. Fosnot. Tobbins Tippins -, -.,, -,., -., -,, -,. Abstract Constructivism constitutes a broad theoretical-cognitive movement encompassing

Διαβάστε περισσότερα

Bring Your Own Device (BYOD) Legal Challenges of the new Business Trend MINA ZOULOVITS LAWYER, PARNTER FILOTHEIDIS & PARTNERS LAW FIRM

Bring Your Own Device (BYOD) Legal Challenges of the new Business Trend MINA ZOULOVITS LAWYER, PARNTER FILOTHEIDIS & PARTNERS LAW FIRM Bring Your Own Device (BYOD) Legal Challenges of the new Business Trend MINA ZOULOVITS LAWYER, PARNTER FILOTHEIDIS & PARTNERS LAW FIRM minazoulovits@phrlaw.gr What is BYOD? Information Commissioner's Office

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ ΣΤΟ ΣΥΓΧΡΟΝΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Η ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ ΣΤΟ ΣΥΓΧΡΟΝΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Η ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ ΣΤΟ ΣΥΓΧΡΟΝΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Ιόνιο Πανεπιστήµιο Τµήµα Αρχειονοµίας-Βιβλιοθηκονοµίας Μεταπτυχιακό Πρόγραµµα Σπουδών2007-2008 ιδάσκουσα: Κατερίνα Τοράκη (Οι διαλέξεις περιλαµβάνουν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΛΤΙΟ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝΑΣΦΑΛΕΙΑΣ

ΔΕΛΤΙΟ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΔΕΛΤΙΟ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑ 1:Ταυτοποίησηουσίας/παρασκευάσματοςκαιεταιρείας/επιχείρησης Ταυτοποίησηουσίαςήμείγματος Ταυτοποίησηεταιρείας/επιχείρησης Life Technologies 5791 Van Allen Way PO Box 6482

Διαβάστε περισσότερα

Advanced Unit 2: Understanding, Written Response and Research

Advanced Unit 2: Understanding, Written Response and Research Write your name here Surname Other names Edexcel GCE Centre Number Candidate Number Greek Advanced Unit 2: Understanding, Written Response and Research Tuesday 18 June 2013 Afternoon Time: 3 hours Paper

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή Εργασία ΕΠΙΛΟΧΕΙΑ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΚΑΤ ΟΙΚΟΝ ΝΟΣΗΛΕΙΑΣ. Φοινίκη Αλεξάνδρου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή Εργασία ΕΠΙΛΟΧΕΙΑ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΚΑΤ ΟΙΚΟΝ ΝΟΣΗΛΕΙΑΣ. Φοινίκη Αλεξάνδρου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία ΕΠΙΛΟΧΕΙΑ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΚΑΤ ΟΙΚΟΝ ΝΟΣΗΛΕΙΑΣ Φοινίκη Αλεξάνδρου Λεμεσός 2014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #7: Ελάχιστα Επικαλυπτικά Δένδρα, Αλγόριθμος Kruskal, Δομές Union-Find Άσκηση # 0 5 0 0 0

Διαβάστε περισσότερα

Terabyte Technology Ltd

Terabyte Technology Ltd Terabyte Technology Ltd is a Web and Graphic design company in Limassol with dedicated staff who will endeavour to deliver the highest quality of work in our field. We offer a range of services such as

Διαβάστε περισσότερα

Μια Επισκόπηση της Ύλης & Μερικές Οδηγίες

Μια Επισκόπηση της Ύλης & Μερικές Οδηγίες Μια Επισκόπηση της Ύλης & Μερικές Οδηγίες Βαγγέλης ούρος douros@aueb.gr 1 11/6/2012 Αλγόριθμοι, Εαρινό Εξάμηνο 2012, Φροντιστήριο #14 Γενικά Σχόλια (1) 2 Για το τελικό διαγώνισμα θα χρειαστείτε: Φοιτητική

Διαβάστε περισσότερα

Test Data Management in Practice

Test Data Management in Practice Problems, Concepts, and the Swisscom Test Data Organizer Do you have issues with your legal and compliance department because test environments contain sensitive data outsourcing partners must not see?

Διαβάστε περισσότερα

PVC + ABS Door Panels

PVC + ABS Door Panels PVC + ABS Door Panels Η εταιρεία «ΤΕΧΝΗ Α.Ε.» ιδρύθηκε στην Ξάνθη, το 1988 με αντικείμενο τις ηλεκτροστατικές βαφές μετάλλων. Με σταθερά ανοδική πορεία, καταφέρνει να επεκτείνει τις δραστηριότητες της

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΙΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΙΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΙΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Η ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΟΥ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΟΥ ΑΓΓΙΓΜΑΤΟΣ ΣΕ ΑΣΘΕΝΕΙΣ ΜΕ ΚΑΡΚΙΝΟ ΩΣ ΑΝΑΚΟΥΦΙΣΤΙΚΟ ΜΕΤΡΟ ΑΝΤΡΕΑΣ ΠΙΤΣΙΛΛΟΣ Α.Φ.Τ 2007947541 ΛΕΥΚΩΣΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

This is an electronic reprint of the original article. This reprint may differ from the original in pagination and typographic detail.

This is an electronic reprint of the original article. This reprint may differ from the original in pagination and typographic detail. This is an electronic reprint of the original article. This reprint may differ from the original in pagination and typographic detail. Author(s): Chasandra, Mary; Tsiaousi, Louisa; Zisi, Vasiliki; Karatzaferi,

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις δεδομένων. (10 ο μάθημα) Ηρακλής Βαρλάμης varlamis@hua.gr

Βάσεις δεδομένων. (10 ο μάθημα) Ηρακλής Βαρλάμης varlamis@hua.gr Βάσεις δεδομένων (10 ο μάθημα) Ηρακλής Βαρλάμης varlamis@hua.gr Περιεχόμενα Ευρετήρια Σκανδάλες PL/SQL Δείκτες/Δρομείς 2 Αποθήκευση δεδομένων Πρωτεύουσα αποθήκευση Κύρια μνήμη (main memory) ή κρυφή μνήμη

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-150. Προγραμματισμός

ΗΥ-150. Προγραμματισμός ΗΥ-150 Αλφαριθμητικά (Strings) Χαρακτήρες Αναπαριστώνται από έναν δυαδικό αριθμό 8 δυαδικών ψηφίων (8 bits) (256 διαφορετικές τιμές) Η κωδικοποίησή τους έχει τυποποιηθεί με τον κώδικα ASCII Εκτός από γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Passport number (or) διαβατηρίου (ή)

Passport number (or) διαβατηρίου (ή) APPLICATION FOR DEMATERIALIZED SECURITIES SYSTEM (S.A.T.) ACCOUNT WITH THE ATHENS EXCHANGE ΑΙΤΗΣΗ ΓΙΑ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟ ΣΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΥΛΩΝ ΤΙΤΛΩΝ (Σ.Α.Τ.) ΜΕ ΤΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΟ Please type Latin Characters.

Διαβάστε περισσότερα

ιαδικτυακές Εφαρµογές Πραγµατικού Χρόνου µε Java

ιαδικτυακές Εφαρµογές Πραγµατικού Χρόνου µε Java ιαδικτυακές Εφαρµογές Πραγµατικού Χρόνου µε Java Java Media Framework Ηβιβλιοθήκη JMF Εγκαθίσταται επιπρόσθετα στη Java Αναπαραγωγή πολυµέσων Αποστολή και λήψη πολυµέσων σε πραγµατικό χρόνο Γραφικά αντικείµενα

Διαβάστε περισσότερα

Quantifying the Financial Benefits of Chemical Inventory Management Using CISPro

Quantifying the Financial Benefits of Chemical Inventory Management Using CISPro of Chemical Inventory Management Using CISPro by Darryl Braaksma Sr. Business and Financial Consultant, ChemSW, Inc. of Chemical Inventory Management Using CISPro Table of Contents Introduction 3 About

Διαβάστε περισσότερα

Το «κλειστό» σύστημα. Ανοικτές επικοινωνίες... Εισαγωγή στην Τεχνολογία της Πληροφορικής. Εισαγωγή στην τεχνολογία της πληροφορικής

Το «κλειστό» σύστημα. Ανοικτές επικοινωνίες... Εισαγωγή στην Τεχνολογία της Πληροφορικής. Εισαγωγή στην τεχνολογία της πληροφορικής ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Εισαγωγή στην Τεχνολογία της Πληροφορικής ΓΙΩΡΓΟΣ Ν. ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Λέκτορας στο Πανεπιστήμιο Αθηνών gyannop@law.uoa.gr Το «κλειστό» σύστημα ΕΙΣΟΔΟΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 Μάθημα: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α 1. ΑΡΧΗ ιάβασε vath1, vath2 syn_vath

Διαβάστε περισσότερα