Ενότητα 10 Γράφοι (ή Γραφήµατα)
|
|
- Πάρις Πυλαρινός
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ενότητα 10 Γράφοι (ή γραφήµατα) ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 1 Γράφοι (ή Γραφήµατα) Ένας γράφος αποτελείται από ένα σύνολο από σηµεία (που λέγονται κόµβοι) και ένα σύνολο από γραµµές (που λέγονται ακµές) οι οποίες συνδέουν ζεύγη κόµβων. Εφαρµογές Μοντελοποίηση πολλών προβληµάτων: Αεροπορικές πτήσεις µεταξύ κάποιων πόλεων. Συνηθίζεται στη δηµιουργία χαρτών να ζωγραφίζονται γειτονικές χώρες (νοµοί) µε διαφορετικό χρώµα. Το πρόβληµα αυτό µπορεί να µοντελοποιηθεί σαν ένα πρόβληµα γράφων. Πολλά παιχνίδια µπορούν να µοντελοποιηθούν µε χρήση γράφων. Traveling Salesman Problem (Πρόβληµα περιπλανώµενου πωλητή): εδοµένου ενός συνόλου από πόλεις και της απόστασης µεταξύ κάθε ζεύγους πόλεων, βρείτε τη συντοµότερη διαδροµή που επισκέπτεται κάθε πόλη (δηλαδή εκείνη στην οποία διανύεται η µικρότερη απόσταση). ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 2 1
2 Παραδείγµατα Γράφων ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 3 Χρήσιµη Ορολογία Ένας γράφος G χαρακτηρίζεται από δύο σύνολα V και E. Το σύνολο V είναι ένα πεπερασµένο σύνολο, που περιέχει ως στοιχεία τις κορυφές (vertices) ή κόµβους (nodes) ή σηµεία (points) του γράφου. Το σύνολο Ε περιέχει τα ζεύγη κορυφών του γράφου, τα οποία ορίζουν τις ακµές (edges) ή τόξα (arcs) ή συνδέσµους (links) του. Οι κόµβοι ή οι ακµές ενός γράφου χαρακτηρίζονται από ένα µοναδικό όνοµα που ονοµάζεται ετικέτα (label). V(G) ή V: το σύνολο των κόµβων ενός γράφου G E(G) ή E: το σύνολο των ακµών ενός γράφου G G(V,E): γράφος µε σύνολο κόµβων V και σύνολο ακµών Ε Παραδείγµατα V(G 1 ) = {1,2,3,4, E(G 1 ) = {(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4) V(G 2 ) = {1,2,3,4,5,6,7, E(G 2 ) = {(1,2), (1,3), (2,4), (2,5), (3,6), (3,7) Γράφος µε βάρη στις ακµές (weighted graph) λέγεται ένας γράφος, όπου µε κάθε ακµή του έχει συσχετισθεί ένας αριθµός που ονοµάζεται βάρος (weight). ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 4 2
3 Χρήσιµη Ορολογία Ένας γράφος είναι µη κατευθυνόµενος αν τα ζεύγη των κορυφών που ορίζουν τις ακµές του στερούνται διάταξης, π.χ., τα ζεύγη (v, u) και (u, v) αναφέρονται στην ίδια ακµή. Στους κατευθυνόµενους γράφους κάθε ακµή συµβολίζεται µε το κατευθυνόµενο ζεύγος <v, u>, όπου v είναι η ουρά (tail) και u είναι η κεφαλή (head) της ακµής (έτσι, οι ακµές <v, u> και <u, v> είναι δυο διαφορετικές ακµές). Ένας µη κατευθυνόµενος γράφος µπορεί να θεωρηθεί ως ένας συµµετρικός κατευθυνόµενος γράφος. Παράδειγµα Οι γράφοι G και G3 είναι κατευθυνόµενοι ενώ ο γράφος του σχήµατος (a) είναι µη-κατευθυνόµενος. V(G 3 ) = {1,2,3, E(G 3 ) = {<1,2>,<2,1>,<2,3> V(G) = {u,v,w,x,y, E(G) = {<u,w>, <w,u>, <w,y>, <x,w>, <y,v>,<v,u>. ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 5 G Χρήσιµη Ορολογία Αν (v, u) Ε(G), τότε οι κορυφές v και u λέγονται διπλανές (adjacent) ή γειτονικές (neighboring) και η ακµή (v, u) ονοµάζεται προσκείµενη στις κορυφές v και u. Αν δύο κορυφές v και u δεν συνδέονται µεταξύ τους µε ακµή λέγονται ανεξάρτητες (independent). Αν (v, u) είναι µια ακµή τότε η κορυφή v λέγεται διπλανή (adjacent) της u. Επίσης, οι κορυφές v και u λέγονται γειτονικές. Αν <v,u> είναι µια ακµή ενός κατευθυνόµενου γράφου, τότε ο κόµβος v είναι γειτονικός του κόµβου u, αλλά το αντίστροφο ισχύει µόνο αν και η ακµή <u, v> υπάρχει επίσης στον κατευθυνόµενο γράφο. Ένας γράφος µε πολλές ακµές λέγεται πυκνός (συνήθως µε Θ(nlogn) ή περισσότερες ακµές). Ένας γράφος µε λίγες ακµές (συνήθως λιγότερες από O(n)) λέγεται αραιός. ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 6 3
4 Θεµιτές Λειτουργίες σε Γράφους MakeGraph(V): επιστρέφει έναν γράφο µε σύνολο κορυφών V και καµία ακµή. Vertices(G): επιστρέφει V(G), το σύνολο των κορυφών του G. Εdges(G): επιστρέφει Ε(G), το σύνολο των ακµών του G. Neighbors(G,v): επιστρέφει το σύνολο των κορυφών που είναι γειτονικές του κόµβου v στον G. AddVertex(G,v): Προσθέτει ένα νέο κόµβο µε ετικέτα v στον G. AddDirectedEdge(G,u,v): προσθέτει µια νέα (κατευθυνόµενη) ακµή <u,v> που συνδέει τους κόµβους u και v στον G. AddUndirectedEdge(G,u,v): προσθέτει τη νέα ακµή (u,v) που συνδέει τους κόµβους u και v στον G. DeleteVertex(G,v): διαγράφει τον κόµβο v από τον G, µαζί µε όλες τις ακµές που πρόσκεινται σε αυτόν. DeleteEdge(G,u,v): διαγράφει την ακµή που συνδέει τους κόµβους u και v στον G. ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 7 Αναπαράσταση Γράφων Παραδείγµατα Έστω ένας γράφος G του οποίου οι κόµβοι έχουν αριθµηθεί από το 1 ως το V κατά αυθαίρετο τρόπο. Ο πίνακας γειτνίασης Α του G είναι ένας V x V Κατευθυνόµενος γράφος G 1 πίνακας µε στοιχεία: 1 αν (i,j) E A[ i, j] = 0 διαφορετικά Ορίζουµε ως ανάστροφο ενός πίνακα γειτνίασης Α τον πίνακα Α Τ = {a ijt, όπου a ijt = a ji, για κάθε i,j {1,.., V. Πίνακας γειτνίασης του G 1 Ο πίνακας γειτνίασης ενός µη-κατευθυνόµενου γράφου ισούται µε τον ανάστροφό του. Για κάθε εγγραφή A[i,j] του πίνακα που είναι ίση µε 1, η εγγραφή Α[j,i] ισούται επίσης µε 1. ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 8 4
5 Θετικά & Αρνητικά Πινάκων Γειτνίασης Θετικά Αν δεν χρειάζεται να αποθηκευτούν επιπρόσθετες πληροφορίες για κάθε κόµβο του γράφου, η µέθοδος είναι πολύ ελκυστική. Κάθε κόµβος χαρακτηρίζεται από έναν ακέραιο και οι ακέραιοι αυτοί χρησιµοποιούνται για διευθυνσιοδότηση του πίνακα γειτνίασης. Πολλές λειτουργίες υλοποιούνται απλά και αποτελεσµατικά. Αρνητικά Κάθε διαγραφή ή εισαγωγή κόµβου στο γράφο προκαλεί αλλαγή στο µέγεθος του πίνακα. Η µέθοδος πίνακα γειτνίασης είναι απλή, αλλά δεν υποστηρίζει αποτελεσµατικά όλες τις λειτουργίες. Ποια η πολυπλοκότητα της λειτουργίας εύρεσης των γειτονικών κόµβων ενός κόµβου υ? Θα µπορούσαµε να υλοποιήσουµε τη λειτουργία αυτή πιο αποτελεσµατικά αν γνωρίζαµε πως ο κόµβος δεν έχει καθόλου γειτονικούς κόµβους ή έχει πολύ λίγους? ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 9 Λίστες Γειτνίασης Οι κόµβοι αποθηκεύονται σε µια (στατική ή δυναµική) λίστα. Σε κάθε κόµβο v της λίστας αποθηκεύεται δείκτης στο πρώτο στοιχείο µιας λίστας που περιέχει τους γειτονικούς κόµβους του v στο γράφο. Η λίστα γειτνίασης είναι µια λίστα από λίστες! Λίστα Γειτνίασης G 1 Λίστα Γειτνίασης G 3 Θετικά Ένας κόµβος µπορεί να εισαχθεί ή να διαγραφεί µε την ίδια ευκολία όπως µια ακµή. Οδηγεί σε καλή χωρική πολυπλοκότητα για την αναπαράσταση αραιών γράφων. Αρνητικά Η χρονική πολυπλοκότητα της λειτουργίας «Εύρεση αν δύο κόµβοι είναι γειτονικοί» είναι µεγαλύτερη από όταν χρησιµοποιείται πίνακας γειτνίασης. Ακριβή µέθοδος ως προς τη χωρική πολυπλοκότητα για πυκνούς γράφους. ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 10 5
6 Πολυπλοκότητα Αλγορίθµων Γράφων Πρόταση: Το µέγιστο πλήθος ακµών για κάθε µη κατευθυνόµενο γράφο µε n κορυφές είναι E max = n(n-1)/2. Γιατί; Τι ισχύει αν ένας γράφος G είναι κατευθυνόµενος? Ο G µπορεί να έχει το πολύ διπλάσιο πλήθος ακµών από τον αντίστοιχο µη κατευθυνόµενο γράφο. Τι θα ήταν καλύτερο, ένας αλγόριθµος που τρέχει σε χρόνο Θ(n 2 ) ή σε Θ(m)? Αλγόριθµοι µε πολυπλοκότητα Θ(m) συνήθως δεν µπορούν να σχεδιαστούν, αφού αν το E είναι µικρό, δεν αρκεί ο χρόνος ούτε για να εξεταστεί κάθε κόµβος. Πολλές φορές η γνώση του αν ο γράφος είναι πυκνός ή αραιός βοηθάει στο σχεδιασµό αποτελεσµατικών αλγόριθµων. Η χρονική πολυπλοκότητα γράφων είναι συνήθως συνάρτηση τόσο του αριθµού των κόµβων, όσο και του αριθµού των ακµών, π.χ. Θ(n+m). Άλλοι παράγοντες που επηρεάζουν σηµαντικά την πολυπλοκότητα είναι η υλοποίηση (δηλαδή η µέθοδος αναπαράστασης που χρησιµοποιείται). Πως θα µπορούσε να υλοποιηθεί µια εντολή ανακύκλωσης του τύπου για κάθε ακµή e στον G δεδοµένου ότι ο G υλοποιείται µε: Πίνακα γειτνίασης; Λίστες γειτνίασης; ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 11 ιάσχιση «Κατά Πλάτος»(Breath First Search ή BFS) εδοµένων ενός γραφήµατος G=(V,E) και ενός κόµβου s V (κόµβος ρίζα ή κόµβος εκκίνησης), η διάσχιση κατά πλάτος συνίσταται στον εντοπισµό (δηλαδή τη διάσχιση) όλων των κόµβων που είναι προσπελάσιµοι από τον s. Κατά την εκτέλεση µιας διάσχισης κατά πλάτος στον G: δηµιουργείται ένα δένδρο µε ρίζα τον κόµβο s που περιέχει όλους τους κόµβους του G που είναι προσπελάσιµοι από τον s (το δένδρο αυτό ονοµάζεται δένδρο «κατά πλάτος»), υπολογίζεται η απόσταση, δηλαδή το µήκος του συντοµότερου µονοπατιού, από τον s προς οποιονδήποτε κόµβο v (την οποία θα συµβολίζουµε µε δ(s,v)). Η διάσχιση των κόµβων γίνεται «κατά πλάτος»: «Η διάσχιση οποιουδήποτε κόµβου σε απόσταση k+1 από τον s πραγµατοποιείται µόνο όταν όλοι οι κόµβοι σε απόσταση k από τον s έχουν διασχισθεί». ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 12 6
7 ιάσχιση «Κατά Πλάτος» Σηµαντικότερα σηµεία του αλγορίθµου Ο αλγόριθµος χρωµατίζει κάθε κόµβο του γράφου λευκό, γκρίζο ή µαύρο. Λευκοί κόµβοι: είναι αυτοί που δεν έχουν ακόµη εξερευνηθεί. Ένας κόµβος θεωρείται πως έχει εξερευνηθεί την πρώτη φορά που συναντάται στη διάσχιση, οπότε και καθίσταται µη λευκός. Γκρίζοι κόµβοι: είναι κόµβοι που έχουν εξερευνηθεί αλλά ίσως έχουν γείτονες που δεν έχουν ακόµη εξερευνηθεί (δηλαδή που είναι ακόµη λευκοί). Αποτελούν το σύνορο µεταξύ µαύρων και λευκών κόµβων. Μαύροι κόµβοι: είναι κόµβοι των οποίων όλοι οι γείτονες έχουν εξερευνηθεί (δηλαδή οι γειτονικοί κόµβοι αυτών είναι είτε γκρίζοι ή µαύροι). Ο διαχωρισµός µεταξύ γκρίζων και µαύρων κόµβων γίνεται για να εξασφαλισθεί ότι η διάσχιση των κόµβων θα γίνει «κατά πλάτος». ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 13 ιάσχιση «Κατά Πλάτος» Βασικές Ιδέες Αλγορίθµου Αρχικά, ο µοναδικός γκρίζος κόµβος είναι ο s. Κάθε χρονική στιγµή, οι γκρίζοι κόµβοι είναι αποθηκευµένοι σε µια ουρά Q (που αρχικά περιέχει µόνο τον s). Επαναληπτικά, εκτελούνται τα εξής: 1. Εξαγωγή ενός γκρίζου κόµβου u από την Q; 2. ιερεύνηση των γειτονικών κόµβων του u και εισαγωγή στην ουρά όσων εξ αυτών είναι λευκοί. 3. Ακριβώς πριν την εισαγωγή στην Q ενός λευκού κόµβου v εκτελούνται τα εξής: Το χρώµα του v αλλάζει σε γκρίζο. Ο u ορίζεται να είναι ο γονικός κόµβος του v στο «κατά πλάτος» δένδρο που δηµιουργείται και η ακµή (u,v) εισάγεται στο δένδρο (ο u ονοµάζεται προκάτοχος του v στο δένδρο). Η απόσταση του v από τον κόµβο εκκίνησης s υπολογίζεται και καταχωρείται σε ένα κατάλληλο πεδίο του struct του κόµβου v. 4. Όταν όλοι οι γειτονικοί κόµβοι του u έχουν εξετασθεί (και οι ενέργειες του βήµατος 3 έχουν εκτελεστεί για όσους εξ αυτών είναι λευκοί), το χρώµα του u αλλάζει σε µαύρο. ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 14 7
8 ιάσχιση «Κατά Πλάτος» Η διάσχιση «κατά πλάτος» σας θυµίζει κάποια από τις διασχίσεις που έχουν µελετηθεί σε δένδρα; ιάσχιση ένδρου κατά Επίπεδα (κατά πλάτος) Επισκέπτεται τους κόµβους κατά αύξον βάθος. Χρήση Ουράς Αρχικά η ουρά περιέχει µόνο τη ρίζα. Επαναληπτικά: κάνουµε Deque ένα στοιχείο της ουράς και προσθέτουµε τα παιδιά από αριστερά προς τα δεξιά του στοιχείου αυτού. Procedure LevelOrder(pointer r) { Queue Q; pointer P; MakeEmptyQueue(Q); Enqueue(Q,r); while (! IsEmptyQueue(Q)) { P = Dequeue(Q); Visit(P); foreach child c of P, in order, do Enqueue(c); Παράδειγµα Περιεχόµενα Ουράς Α B, C, D C, D, E, F D, E, F E, F, G F, G G, H, I H, I, J, K I, J, K J, K K, L L <empty> ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 15 ιάσχιση «Κατά Πλάτος» Ο κώδικας υποθέτει ότι ο γράφος G αναπαρίσταται µέσω λίστας γειτνίασης. Σε κάθε κόµβο v του γράφου διατηρούνται διάφορες πληροφορίες: o v->c: το χρώµα του κόµβου v o v->d: η απόσταση του κόµβου v από τον s o v->p: ο γονικός κόµβος του v στο κατά πλάτος δένδρο Ο αλγόριθµος χρησιµοποιεί µια ουρά Q για τη διαχείριση του συνόλου των γκρίζων κόµβων. procedure BFS(graph G, node s) { Queue Q; node u, v; foreach node u V(G) {s { u->c = WHITE; u->d = ; u->p = nil; s->c = GRAY; s->d = 0; s->p = nill; MakeEmptyQueue(Q); Enqueue(Q, s); while (!IsEmptyQueue(Q)) { u = Dequeue(Q); // διάσχιση λίστας γειτονικών κόµβων του u foreach v u->adj { if (v->c = WHITE) { v->c = GRAY; v->d = u->d+1; v->p = u; Enqueue(Q,v); u->c = BLACK; ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 16 // αρχικοποίηση // των κόµβων // του γράφου // αρχικοποίηση κόµβου // s και ουράς Q 8
9 ιάσχιση «Κατά Πλάτος» Αναπαράσταση τρόπου λειτουργίας της BFS() σε µη κατευθυνόµενο γράφο. ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 17 ιάσχιση «Κατά Πλάτος» Ta αποτελέσµατα της διάσχισης «κατά πλάτος» είναι πιθανό να εξαρτώνται από τη σειρά µε την οποία εξετάζονται οι γείτονες ενός δεδοµένου κόµβου. το τελικό δένδρο µπορεί να ποικίλλει αλλά οι αποστάσεις που προκύπτουν είναι πάντα οι ίδιες. Χρονική Πολυπλοκότητα Κάθε κόµβος εισάγεται στην ουρά και αφαιρείται από αυτήν το πολύ µια φορά -> Ο(1) Συνολικός χρόνος που αναλώνεται στις λειτουργίες της ουράς -> Ο(n) Η λίστα γειτνίασης κάθε κόµβου διατρέχεται µία µόνο φορά. Το άθροισµα των µεγεθών όλων των λιστών γειτνίασης είναι Ο(m). Επιβάρυνση από την απόδοση αρχικών τιµών -> Ο(n). Ο συνολικός χρόνος εκτελέσης της διάσχισης «Κατά πλάτος» είναι Ο(n+m). ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 18 9
10 ιάσχιση «Κατά βάθος» (Depth First Search) Η διάσχιση επεκτείνεται (όσο αυτό είναι δυνατό) προς κόµβους σε µεγαλύτερα «βάθη» στο γράφο. Οι ακµές εξερευνούνται µε αφετηρία τον πιο πρόσφατα εντοπισµένο κόµβο v από τον οποίο εκκινούν µη εξερευνηµένες ακµές. Αφού εξερευνηθούν όλες οι ακµές του v, η διάσχιση επιστρέφει τον κόµβο από τον οποίο εντοπίστηκε ο v και συνεχίζεται µε τις τυχόν άλλες ακµές που εκκινούν από αυτόν. Αν εξακολουθούν να υπάρχουν µη-εντοπισµένοι κόµβοι, επιλέγεται ένας από αυτούς και η διάσχιση συνεχίζεται από αυτόν. Η όλη διαδικασία επαναλαµβάνεται έως ότου να πραγµατοποιηθεί η διάσχιση όλων των κόµβων. ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 19 ιάσχιση «Κατά βάθος» Κατά τη διάρκεια της διάσχισης, αποδίδονται στους κόµβους χρώµατα τα οποία υποδεικνύουν την κατάστασή τους. λευκοί κόµβοι (ανεξερεύνητοι κόµβοι) γκρίζοι κόµβοι (εντοπισµένοι κόµβοι των οποίων η εξερεύνηση δεν έχει ακόµη τελειώσει) µαύροι κόµβοι (η εξερεύνηση τους έχει τελειώσει) Κάθε κόµβος συσχετίζεται µε δύο χρονοσφραγίδες: d[v]: καταγράφει τη χρονική στιγµή που εντοπίζεται για πρώτη φορά ο v f[v]: καταγράφει τη χρονική στιγµή που ολοκληρώνεται η εξέταση του καταλόγου γειτνίασης του v 1 d[u] < f[u] 2n ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 20 10
11 ιάσχιση «Κατά βάθος» DFS(Graph G) { for each vertex u V[G] { u -> c = WHITE; u -> p = nil; time = 0; for each vertex u V[G] { if (u -> c == WHITE) DFS-Visit(u); DFS-Visit(Node u) { u -> c = GRAY; time = time + 1; u -> d = time; for each v Adj[u] { if (v -> c == WHITE) { v -> p = u; DFS-Visit(v); u -> c = BLACK; u->f = time + 1; ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 21 ιάσχιση «Κατά βάθος» Χρόνος Εκτέλεσης DFS Χρόνος εκτέλεσης 1ου for της DFS() -> Ο(n) Χρόνος εκτέλεσης 2ου for της DFS() χωρίς να υπολογίζουµε τον χρόνο που απαιτείται για την Dfs- Visit() -> Ο(n) Η DFS-Visit() καλείται ακριβώς µια φορά για κάθε κόµβο (αφού καλείται µόνο αν ο κόµβος είναι λευκός) και αµέσως µετά την κλήση της ο κόµβος χρωµατίζεται γκρίζος και δεν ξαναγίνεται ποτέ λευκός. Το συνολικό κόστος για την εκτέλεση της for της DFS- Visit() είναι Θ(m). Το συνολικό κόστος εκτέλεσης της DFS είναι O(n+m). ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 22 11
12 ιάσχιση «Κατά βάθος» ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 23 12
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Δομές δεδομένων. Ενότητα 10η: Γράφοι Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές δεδομένων Ενότητα 10η: Γράφοι Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Ενότητα 10 Γράφοι ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 2 Γράφοι (ή Γραφήματα) Ένας γράφος
Διαβάστε περισσότεραΓράφοι. κόµβοι) και ένα σύνολο από γραµµές (που λέγονται ακµές) οι οποίες
Ενότητα 11 Γράφοι (ή γραφήµατα) ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 1 Γράφοι Ένας γράφος αποτελείται από ένα σύνολο από σηµεία (που λέγονται κόµβοι) και ένα σύνολο από γραµµές (που λέγονται ακµές) οι οποίες συνδέουν
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Γραφημάτων
Αλγόριθμοι Γραφημάτων. Γραφήματα. Αναπαράσταση Γραφημάτων 3. Διερεύνηση σε Πρώτα σε Πλάτος (BFS) Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Γράφημα Ορισμός: Ένα γράφημα G είναι το διατεταγμένο ζεύγος
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 10β: Αλγόριθμοι Γραφημάτων-Γραφήματα- Αναπαράσταση Γραφημάτων- Διερεύνηση Πρώτα σε Πλάτος (BFS) Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ
Διάλεξη 9: Εισαγωγή στους Γράφους Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Γράφοι - ορισμοί και υλοποίηση Διάσχιση Γράφων Διδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Γραφημάτων
Αλγόριθμοι Γραφημάτων 1. Διερεύνηση Πρώτα σε Βάθος (DFS) 2. Τοπολογική Ταξινόμηση Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Depth-First Search Πρώτα σε Βάθος διερεύνηση (Depth-First Search) είναι
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 10γ: Αλγόριθμοι Γραφημάτων- Διερεύνηση Πρώτα σε Βάθος (DFS)- Τοπολογική Ταξινόμηση Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήµατα Μοντελοποίηση πολλών σηµαντικών προβληµάτων (π.χ. δίκτυα
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ111. Ανοιξη 2005. Μάθηµα 10 ο. Γράφοι. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης
ΠΛΗ111 οµηµένος Προγραµµατισµός Ανοιξη 2005 Μάθηµα 10 ο Γράφοι Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Γράφοι Ορισµός Αφηρηµένος τύπος δεδοµένων Υλοποίηση Αναζήτηση έντρο
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι Γραφηµάτων
Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Παύλος Σπυράκης Πανεπιστήµιο Πατρών Τοµέας Θεµελιώσεων και Εφαρµογών της Επιστήµης των Υπολογιστών Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών Γραφήµατα Μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Γραφήματα. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο
Δομές Δεδομένων Γραφήματα Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Γραφήματα Κατευθυνόμενο Γράφημα Ένα κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζευγάρι (V, E) όπου V είναι ένα
Διαβάστε περισσότερα(elementary graph algorithms)
(elementary graph algorithms) Παύλος Εφραιμίδης περιεχόμενα αναπαραστάσεις οριζόντια διερεύνηση καθοδική διερεύνηση αναπαράσταση δύο καθιερωμένοι τρόποι: πίνακας γειτνίασης συλλογή από καταλόγους γειτνίασης
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 231 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι Άννα Φιλίππου,
Γράφοι Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Γράφοι - ορισµοί και υλοποίηση Τοπολογική Ταξινόµηση ιάσχιση Γράφων ΕΠΛ 23 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι Άννα Φιλίππου, 26 - Γράφοι Ηπιο
Διαβάστε περισσότεραένδρα (tail, head) Γονέας Παιδί (ancestor, descendant) Φύλλο Εσωτερικός Κόµβος (leaf, non-leaf) που αποτελεί το γονέα του v.
ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΝ ΡΑ ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 1 ένδρα Κόµβοι (nodes) Ακµές (edges) Ουρά και κεφαλή ακµής (tail, head) Γονέας Παιδί Αδελφικός κόµβος (parent, child, sibling) Μονοπάτι (path) Πρόγονος απόγονος
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 29: Γράφοι. Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου
Διάλεξη 9: Γράφοι Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Γράφοι - ορισμοί και υλοποίηση - Διάσχιση Γράφων Διδάσκων: Παναγιώτης νδρέου ΕΠΛ035 Δομές Δεδομένων και λγόριθμοι για Ηλ. Μηχ.
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (IΙ) (γράφοι και δένδρα)
Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 2016-17 Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (IΙ) (γράφοι και δένδρα) http://mixstef.github.io/courses/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Αφηρημένες
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 231 Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι 11-1
Γράφοι Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Γράφοι - ορισµοί και υλοποίηση Διάσχιση Γράφων Τοπολογική Ταξινόµηση ΕΠΛ 23 Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι - Γράφοι Η πιο γενική µορφή δοµής
Διαβάστε περισσότερα6η Διάλεξη Διάσχιση Γράφων και Δέντρων
ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 6 η Διάλεξη Διάσχιση Γράφων και Δέντρων Αλγόριθμος αναζήτησης σε Βαθος Αλγόριθμος αναζήτησης κατά Πλάτος Αλγόριθμοι για Δένδρα Εύρεση ελαχίστων Γεννητορικών (Επικαλύπτοντα) Δένδρων Διάσχιση
Διαβάστε περισσότερα(elementary graph algorithms)
(elementary graph algorithms) Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα γραφήματα αναπαραστάσεις οριζόντια διερεύνηση καθοδική διερεύνηση 2 ΓΡΑΦΉΜΑΤΑ 3 αναπαράσταση δύο καθιερωμένοι τρόποι: πίνακας γειτνίασης συλλογή
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα συνεκτικότητα,
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 9 Ξένα Σύνολα που υποστηρίζουν τη λειτουργία της Ένωσης (Union-Find)
Ενότητα 9 Ξένα Σύνολα που υποστηρίζουν τη (Union-Find) ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 1 Ξένα Σύνολα που υποστηρίζουν τη λειτουργία της Ένωσης Έστω ότι S 1,, S k είναι ξένα υποσύνολα ενός συνόλου U, δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραΓράφοι: κατευθυνόμενοι και μη
Γράφοι: κατευθυνόμενοι και μη (V,E ) (V,E ) Γράφος (ή γράφημα): ζεύγος (V,E), V ένα μη κενό σύνολο, Ε διμελής σχέση πάνω στο V Μη κατευθυνόμενος γράφος: σχέση Ε συμμετρική V: κορυφές (vertices), κόμβοι
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 4 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΓράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά.
Γράφοι Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο πλευρές (ακµές) και κορυφές (κόµβους). Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά. Graph Drawing 4 πιθανές αναπαραστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 5: Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ Ενότητα : Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΝ ΡΑ. ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 1
ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΝ ΡΑ ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 1 ένδρα Κόµβοι (nodes) Ακµές (edges) Ουρά και κεφαλή ακµής (tail, head) Γονέας Παιδί Αδελφικός κόµβος (parent, child, sibling) Μονοπάτι (path) Πρόγονος απόγονος
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1
ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1 Θέματα μελέτης Πρόβλημα αναζήτησης σε γραφήματα Αναζήτηση κατά βάθος (Depth-first search DFS) Αναζήτηση κατά πλάτος (Breadth-first search BFS) 2 Γράφημα (graph) Αναπαράσταση συνόλου
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Βάθος. Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης διαφάνειες για SCC: A. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Αναζήτηση Κατά Βάθος Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης διαφάνειες για SCC: A. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση
Διαβάστε περισσότεραΑφηρημένες Δομές Δεδομένων. Στοίβα (Stack) Υλοποίηση στοίβας
Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής ισαγωγή στην πιστήμη των Υπολογιστών 2015-16 λγόριθμοι και ομές εδομένων (IΙ) (γράφοι και δένδρα) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης φηρημένες
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 5 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση στους γράφους. - Αναζήτηση η κατά βάθος Συνεκτικές Συνιστώσες - Αλγόριθμος εύρεσης συνεκτικών συνιστωσών
Αναζήτηση στους γράφους Βασικός αλγόριθμος λό - Αναζήτηση κατά πλάτος - Αναζήτηση η κατά βάθος Συνεκτικές Συνιστώσες - Αλγόριθμος εύρεσης συνεκτικών συνιστωσών Διάσχιση (αναζήτηση ) στους γράφους Φεύγοντας
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 9 Ξένα Σύνολα που υποστηρίζουν τη λειτουργία της Ένωσης (Union-Find)
Ενότητα 9 (Union-Find) ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 1 Έστω ότι S 1,, S k είναι ξένα υποσύνολα ενός συνόλου U, δηλαδή ισχύει ότι S i S j =, για κάθε i,j µε i j και S 1 S k = U. Λειτουργίες q MakeSet(X): επιστρέφει
Διαβάστε περισσότερα1 Διάσχιση κατευθυνόμενων γραφημάτων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2010 11 Ιστοσελίδα μαθήματος: http://eclass.teilam.gr/di288 5ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.0 ( ) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 3 Γραφήµατα v1.0 (2010-05-25) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισµοί και Εφαρµογές γραφήµατα γράφηµα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Γραφημάτων
Αλγόριθμοι Γραφημάτων 1. Συντομότατα μονοπάτια 2. Αλγόριθμος Bellman-Ford 3. Αλγόριθμος Dijkstra 4. Floyd-Warshall Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Single-Source Shortest Path Πρόβλημα:
Διαβάστε περισσότεραΓράφηµα (Graph) Εργαστήριο 10. Εισαγωγή
Εργαστήριο 10 Γράφηµα (Graph) Εισαγωγή Στην πληροφορική γράφηµα ονοµάζεται µια δοµή δεδοµένων, που αποτελείται από ένα σύνολο κορυφών ( vertices) (ή κόµβων ( nodes» και ένα σύνολο ακµών ( edges). Ενας
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory)
Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory) Ε Εξάμηνο, Τμήμα Πληροφορικής & Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΙ Λαμίας plam@inf.teilam.gr, Οι διαφάνειες βασίζονται στα βιβλία:. Αλγόριθμοι, Σχεδιασμός & Ανάλυση, η έκδοση,
Διαβάστε περισσότεραh/2. Άρα, n 2 h/2-1 h 2log(n+1). Πως υλοποιούµε τη LookUp()? Πολυπλοκότητα?
Κόκκινα-Μαύρα ένδρα (Red-Black Trees) Ένα κόκκινο-µαύρο δένδρο είναι ένα δυαδικό δένδρο αναζήτησης στο οποίο οι κόµβοι µπορούν να χαρακτηρίζονται από ένα εκ των δύο χρωµάτων: µαύρο-κόκκινο. Το χρώµα της
Διαβάστε περισσότεραΕιδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων
Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Άσκηση 1 α) Η δομή σταθμισμένης ένωσης με συμπίεση διαδρομής μπορεί να τροποποιηθεί πολύ εύκολα ώστε να υποστηρίζει τις
Διαβάστε περισσότεραΓράφοι. Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα. Στάθης Ζάχος, Δημήτρης Φωτάκης
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Στάθης Ζάχος, Δημήτρης Φωτάκης Γράφοι Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΚατ οίκον Εργασία 5 Σκελετοί Λύσεων
Κατ οίκον Εργασία 5 Σκελετοί Λύσεων Άσκηση 1 Χρησιμοποιούμε τις δομές: struct hashtable { struct node array[maxsize]; int maxsize; int size; struct node{ int data; int status; Στο πεδίο status σημειώνουμε
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Βάθος. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Συμπληρώσεις: Α. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Αναζήτηση Κατά Βάθος Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Συμπληρώσεις: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση
Διαβάστε περισσότεραένδρα u o Κόµβοι (nodes) o Ακµές (edges) o Ουρά και κεφαλή ακµής (tail, head) o Γονέας Παιδί Αδελφικός κόµβος (parent, child, sibling) o Μονοπάτι (pat
ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΝ ΡΑ ένδρα u o Κόµβοι (nodes) o Ακµές (edges) o Ουρά και κεφαλή ακµής (tail, head) o Γονέας Παιδί Αδελφικός κόµβος (parent, child, sibling) o Μονοπάτι (path) o Πρόγονος απόγονος (ancestor, descendant)
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 7 Ουρές Προτεραιότητας
Ενότητα Ουρές Προτεραιότητας ΗΥ4 - Παναγιώτα Φατούρου Ουρές Προτεραιότητας Θεωρούµε ένα χώρο κλειδιών U και έστω ότι µε κάθε κλειδί Κ (τύπου Key) έχει συσχετισθεί κάποια πληροφορία Ι (τύπου Type). Έστω
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Γραφημάτων
Αλγόριθμοι Γραφημάτων 1. Minimum Spanning Trees 2. Αλγόριθμος Prim 3. Αλγόριθμος Kruskal Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Minimum Spanning Tree Πρόβλημα: Για δοσμένο συνεκτικό, μη προσανατολισμένο,
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση προβλημάτων με αναζήτηση
Επίλυση προβλημάτων με αναζήτηση Περιεχόμενα Μέθοδοι (πράκτορες) επίλυσης προβλημάτων Προβλήματα και Λύσεις Προβλήματα παιχνίδια Προβλήματα του πραγματικού κόσμου Αναζήτηση λύσεων Δέντρο αναζήτησης Στρατηγικές
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9 Απριλίου 2009 1 / 0 Παραδείγµατα γράφων
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση Αλγορίθμων - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ -4ο εξάμηνο 1
Σχεδίαση Αλγορίθμων Μείωσε και Βασίλευε http://delab.csd.auth.gr/~gounaris/courses/ad auth gounaris/courses/ad Σχεδίαση Αλγορίθμων - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ -4ο εξάμηνο 1 Μείωσε και Βασίλευε 1. Μειώνουμε
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 6 Μαΐου 2015 1 / 42 Εύρεση Ελάχιστου Μονοπατιού
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Αναζήτηση Κατά Βάθος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Αναζήτηση Κατά Βάθος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 3 Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισµοί και Εφαρµογές γραφήµατα γράφηµα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων
Διαβάστε περισσότεραΣχεδιαση Αλγοριθμων -Τμημα Πληροφορικης ΑΠΘ - Κεφαλαιο 9ο
Σχεδίαση Αλγορίθμων Άπληστοι Αλγόριθμοι http://delab.csd.auth.gr/~gounaris/courses/ad 1 Άπληστοι αλγόριθμοι Προβλήματα βελτιστοποίησης ηςλύνονται με μια σειρά επιλογών που είναι: εφικτές τοπικά βέλτιστες
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 2 Η ΔΙΑΛΕΞΗ Βασικές Έννοιες Γράφων - Ορισμοί (συνέχεια) - Ισομορφισμοί-Ομοιομορφισμοί Γράφων - Πράξεις - Αναπαράσταση Γράφων (Πίνακες
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση σε Γράφους. Μανόλης Κουμπαράκης. ΥΣ02 Τεχνητή Νοημοσύνη 1
Αναζήτηση σε Γράφους Μανόλης Κουμπαράκης ΥΣ02 Τεχνητή Νοημοσύνη 1 Πρόλογος Μέχρι τώρα έχουμε δει αλγόριθμους αναζήτησης για την περίπτωση που ο χώρος καταστάσεων είναι δένδρο (υπάρχει μία μόνο διαδρομή
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Γραφημάτων
11 Αλγόριθμοι Γραφημάτων Περιεχόμενα Κεφαλαίου 11.1 Βασικές Έννοιες....................... 330 11.2 Εσωτερική Παράσταση Γράφων.............. 333 11.3 Μέθοδοι Διάσχισης...................... 336 11.4 Τοπολογική
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1)
Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 1 / 23 Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ. 10 η Διάλεξη Κατευθυνόμενοι Γράφοι Βασικά χαρακτηριστικά Αλγόριθμοι διάσχισης κατευθυνόμενων γράφων Λίγα Λόγια για Αλυσίδες Markov
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 10 η Διάλεξη Κατευθυνόμενοι Γράφοι Βασικά χαρακτηριστικά Αλγόριθμοι διάσχισης κατευθυνόμενων γράφων Λίγα Λόγια για Αλυσίδες Markov Βασικά Χαρακτηριστικά
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs)
Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E) µε σύνολο κορυφών/κόµβων V Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,
Διαβάστε περισσότεραιαφάνειες παρουσίασης #11
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/programming/ ιδάσκοντες: Στάθης Ζάχος (zachos@cs.ntua.gr) Νίκος Παπασπύρου (nickie@softlab.ntua.gr) ιαφάνειες παρουσίασης
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων ομές εδομένων
Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων 11. Γράφοι 2 ομές εδομένων 4 5 Χρήστος ουλκερίδης Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων 23/12/2016 Εισαγωγή Οι γράφοι
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 11: Minimum Spanning Trees Αλγόριθμος Prim Αλγόριθμος Kruskal Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότερα1 Το πρόβλημα της συντομότερης διαδρομής
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 00 Ιστοσελίδα μαθήματος: http://eclass.teilam.gr/di88 6ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 21: Γράφοι II - Τοπολογική Ταξινόμηση
ΕΠΛ231 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 1 Διάλεξη 21: Γράφοι II - Τοπολογική Ταξινόμηση Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Τοπολογική Ταξινόμηση - Εφαρμογές, Παραδείγματα, Αλγόριθμοι
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Δοµές Δεδοµένων. Σύντοµη επανάληψη (ΕΠΛ 035).
Βασικές Δοµές Δεδοµένων Σύντοµη επανάληψη (ΕΠΛ 035). Περίληψη Γραµµικές Δοµές Δεδοµένων Πίνακες Λίστες Στοίβες Ουρές Γράφοι Δέντρα Γραµµικές Δοµές Πίνακας (array) A[0] A[1] A[2] A[ ] A[n-1] Προκαθορισµένη
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγόριθμους
Εισαγωγή στους Αλγόριθμους Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών Σκοποί ενότητας Παρουσίαση και μελέτη αλγορίθμων
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 18: Γράφοι I Εισαγωγή
Διάλεξη 18: Γράφοι I Εισαγωγή Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Γράφοι ορισμοί και υλοποίηση Διάσχιση Γράφων ΕΠΛ231 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 1 Εισαγωγή στους Γράφους Η πιο
Διαβάστε περισσότεραΕλάχιστα Γεννητορικά ένδρα
λάχιστα Γεννητορικά ένδρα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Ο αλγόριθµος του Prim και ο αλγόριθµος του Kruskal για εύρεση λάχιστων Γεννητορικών ένδρων ΠΛ 23 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι
Διαβάστε περισσότεραΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 1
ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΔΕΝΔΡΑ ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 1 Δένδρα Ένα δένδρο Τ αποτελείται από ένα σύνολο από κόµβους µεταξύ των οποίων ορίζεται µια σχέση γονέα-παιδιού µε τις εξής ιδιότητες: q Αν το Τ δεν είναι το
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Γραφήματα Βασικές Έννοιες και Εφαρμογές Βασικοί
Διαβάστε περισσότεραNetwork Science. Θεωρεία Γραφηµάτων (2)
Network Science Θεωρεία Γραφηµάτων () Section.8 PATHOLOGY Διαδρομές Μια διαδρομή είναι μια σειρά κόμβων όπου κάθε κόμβος είναι δίπλα στην επόμενη P i0,in μήκους n μεταξύ των κόμβων i 0 και i n είναι μια
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΑσκηση 1 [ ] Παράδοση : Τετάρτη , 13:00
Χρήστος. Ζαρολιάγκης Τεχνολογίες Υλοποίησης Αλγορίθµων : Άσκηση 1 1 Ασκηση 1 [16.03.2016] Παράδοση : Τετάρτη 13.04.2016, 13:00 Η παρούσα άσκηση αφορά στον έλεγχο διµερότητας ενός γραφήµατος. Σκοπός της
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 21: Γράφοι IV - Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους
Διάλεξη 2: Γράφοι IV - Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Βραχύτερα Μονοπάτια σε γράφους - Ο αλγόριθμος Dijkstra για εύρεση της βραχύτερης απόστασης
Διαβάστε περισσότεραΕνότητες 3 & 4: Δένδρα, Σύνολα & Λεξικά Ασκήσεις και Λύσεις
Ενότητες 3 & 4: Δένδρα, Σύνολα & Λεξικά Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Γράψτε μία αναδρομική συνάρτηση που θα παίρνει ως παράμετρο ένα δείκτη στη ρίζα ενός δυαδικού δένδρου και θα επιστρέφει το βαθμό του
Διαβάστε περισσότεραΜέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες
Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 12 16 2 Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 13 1 με τις ακόλουθες ιδιότητες 4 14 9 7 4 τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση
Διαβάστε περισσότεραΓράφοι. Ορολογία. Ορισµός: G = (V, E) όπου. Ορολογία (συνέχεια) γράφος ή γράφηµα (graph) V:ένα σύνολο E:µια διµελής σχέση στο V
Γράφοι Ορολογία γράφος ή γράφηµα (graph) Ορισµός: G = (V, E) όπου V:ένα σύνολο E:µια διµελής σχέση στο V Ορολογία (συνέχεια) κάθε v V ονοµάζεται κορυφή (vertex) ή κόµβος (node) κάθε (v 1, v 2 ) Ε ονοµάζεται
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές δεδομένων Άσκηση αυτοαξιολόγησης 3-4 Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Ενότητες 3 & 4: ένδρα, Σύνολα & Λεξικά Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Γράψτε
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ενότητα 3 Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Dijkstra Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα - Ενότητα 3 Dijkstra
Διαβάστε περισσότεραΟι δυναμικές δομές δεδομένων στην ΑΕΠΠ
Καθηγητής Πληροφορικής Απαγορεύεται η αναπαραγωγή των σημειώσεων χωρίς αναφορά στην πηγή Οι σημειώσεις, αν και βασίζονται στο διδακτικό πακέτο, αποτελούν προσωπική θεώρηση της σχετικής ύλης και όχι επίσημο
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι
Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 18 Dijkstra s Shortest Path Algorithm 1 / 12 Ο αλγόριθμος εύρεσης της συντομότερης διαδρομής του Dijkstra
Διαβάστε περισσότεραΚατανεμημένα Συστήματα Ι
Κατανεμημένα Συστήματα Ι Εκλογή αρχηγού και κατασκευή BFS δένδρου σε σύγχρονο γενικό δίκτυο Παναγιώτα Παναγοπούλου Περίληψη Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Ορισμός του προβλήματος Ο αλγόριθμος FloodMax
Διαβάστε περισσότεραΠροηγµένα Θέµατα Τεχνολογιών Υλοποίησης Αλγορίθµων
Προηγµένα Θέµατα Τεχνολογιών Υλοποίησης Αλγορίθµων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τµήµα Μηχ/κων Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήµιο Πατρών email: zaro@ceid.upatras.gr Ενότητα 6 1 / 35 Ενότητα 6 - Συντοµότερες
Διαβάστε περισσότεραΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Βασικές Ιδιότητες και Διάσχιση Κεφάλαιο 5 ( και ) Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Βασικές Ιδιότητες και Διάσχιση Κεφάλαιο 5 (5.1-5.2 και 5.4-5.6) Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής Περίληψη Δέντρα Βασικοί ορισµοί Μαθηµατικές ιδιότητες Διάσχιση δέντρων Preorder, postorder,
Διαβάστε περισσότεραΔομές δεδομένων. Ενότητα 8: Ξένα Σύνολα που υποστηρίζουν τη λειτουργία της Ένωσης (Union-Find) Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές δεδομένων Ενότητα 8: Ξένα Σύνολα που υποστηρίζουν τη λειτουργία της Ένωσης (Union-Find) Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Ενότητα 8 Ξένα Σύνολα
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 26 Ιουνίου 201 1 / Απληστοι (Greedy) Αλγόριθµοι
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 3
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 3 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Μαΐου 201 1 / Απληστοι (Greedy) Αλγόριθµοι
Διαβάστε περισσότεραΣυντομότερες Διαδρομές
Συντομότερη Διαδρομή Συντομότερες Διαδρομές Διδάσκοντες: Σ Ζάχος, Δ Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος
Διαβάστε περισσότεραΘέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Δένδρα. Δένδρα
Δένδρα Δένδρα Ειδική κατηγορία γραφημάτων: συνεκτικά γραφήματα που δεν περιέχουν απλά κυκλώματα [1857] Arthur Cayley: για απαρίθμηση ορισμένων ειδών χημικών ενώσεων Χρησιμοποιούνται σε πληθώρα προβλημάτων,
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Προβληµάτων µε Greedy Αλγόριθµους
Επίλυση Προβληµάτων µε Greedy Αλγόριθµους Περίληψη Επίλυση προβληµάτων χρησιµοποιώντας Greedy Αλγόριθµους Ελάχιστα Δέντρα Επικάλυψης Αλγόριθµος του Prim Αλγόριθµος του Kruskal Πρόβληµα Ελάχιστης Απόστασης
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητικό Μέρος. int rec(int n) { int n1, n2; if (n <= 5) then return n; else { n1 = rec(n-5); n2 = rec(n-3); return (n1+n2); } }
Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων, Τµήµα Πληροφορικής 2 Νοεµβρίου 2005 Η/Υ 432: οµές εδοµένων Χειµερινό Εξάµηνο Ακαδηµαϊκού Έτους 2005-2006 Παναγιώτα Φατούρου Ηµεροµηνία Παράδοσης 1 ο Σετ Ασκήσεων Θεωρητικό Μέρος:
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 016-17 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Ενότητα 7.0 Αλγόριθμοι Γραφημάτων Διερεύνηση Γραφημάτων
Διαβάστε περισσότεραΗΥ240: οµές εδοµένων Χειµερινό Εξάµηνο Ακαδηµαϊκό Έτος Παναγιώτα Φατούρου. Προγραµµατιστική Εργασία 3 ο Μέρος
Πανεπιστήµιο Κρήτης, Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών 6 εκεµβρίου 2008 ΗΥ240: οµές εδοµένων Χειµερινό Εξάµηνο Ακαδηµαϊκό Έτος 2008-09 Παναγιώτα Φατούρου Προγραµµατιστική Εργασία 3 ο Μέρος Ηµεροµηνία Παράδοσης:
Διαβάστε περισσότεραΔοµές Δεδοµένων. 11η Διάλεξη Ταξινόµηση Quicksort και Ιδιότητες Δέντρων. Ε. Μαρκάκης
Δοµές Δεδοµένων 11η Διάλεξη Ταξινόµηση Quicksort και Ιδιότητες Δέντρων Ε. Μαρκάκης Περίληψη Quicksort Χαρακτηριστικά επιδόσεων Μη αναδροµική υλοποίηση Δέντρα Μαθηµατικές ιδιότητες Δοµές Δεδοµένων 11-2
Διαβάστε περισσότεραΒασικές δοµές δεδοµένων. Ορολογία λιστών. 8.1 Βασικές έννοιες δοµών δεδοµένων 8.2 Υλοποίηση δοµών δεδοµένων 8.3 Μια σύντοµη υπόθεση εργασίας
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Αφηρηµένοι τύποι δεδοµένων 8.1 οµές δεδοµένων (data structures) 8.1 Βασικές έννοιες δοµών δεδοµένων 8.2 Υλοποίηση δοµών δεδοµένων 8.3 Μια σύντοµη υπόθεση εργασίας Αδόµητα δεδοµένα οδός Ζέας
Διαβάστε περισσότεραΛυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007
Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Πρόβλημα 1 Το πρώτο πρόβλημα λύνεται με τη μέθοδο του Δυναμικού Προγραμματισμού. Για να το λύσουμε με Δυναμικό Προγραμματισμό
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 8: Συνδεσμικότητα Ιωάννης Μανωλόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότερα