ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω"

Transcript

1 ω ω + 1 ω + 2 ω + 3 ω + 4 ω2 ω2 + 1 ω2 + 2 ω2 + 3 ω3 ω3 + 1 ω3 + 2 ω4 ω4 + 1 ω5 ω 2 ω ω ω 2 + ω ω 2 + ω + 1 ω 2 + ω2 ω 2 2 ω ω ω ω 2 3 ω 3 ω ω 3 + ω ω 3 + ω 2 ω 3 2 ω 4 ω ω ω ω + 1 ω ω + 2 ω ω + 3 ω ω + ω ω ω + ω + 1 ω ω + ω2 ω ω + ω 2 ω ω + ω 2 + ω ω ω + ω 2 2 ω ω 2 ω ω ω ω ω ω 2 + ω ω ω 2 + ω 2 ω ω 3 ω ω ω ω 4 ω ω+1 ω ω ω ω+1 + ω ω ω+1 + ω ω ω ω+1 + ω ω 2 ω ω+1 2 1

2 ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 2 ω ω2 + ω ω+2 ω ω2 2 ω ω2+1 ω ω3 ω ω2 ω ω2 + 1 ω ω2 + 2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω2 ω ω2 2 ω ω ω ω2 3 ω ω2 +1 ω ω ω ω2 +ω ω ω2 2 ω ω3 ω ω3 + 1 ω ω3 2 ω ω4 ω ωω ω ωω + 1 ω ωω + 2 ω ωω + ω ω ωω + ω ω ω ωω 2 ω ωω ω ωω 3 ω ωω +1 ω ωω +1 2 ω ωω +ω ω ωω 2 ω ωω 3 ω ωω+1 2

3 ω ωω ω ωω+1 2 ω ωω+2 ω ωω2 ω ωω2 + 1 ω ωω2 2 ω ωω2 +1 ω ωω ω ωω2 +ω ω ωω2 2 ω ωω2+1 ω ωω3 ω ωω2 ω ωω2 +1 ω ωωω ω ωωω + 1 ω ωωω 2 ω ωωω +1 ω ωωω +ω ω ωωω 2 ω ωωω +1 ω ωωω +ω ω ωωω 2 ω ωωω+1 ω ωωω2 ω ωωω2 ω ωωωω = φ 1 (0) = ψ(0) ω + ω ω2 + ω3 + ω 2 + ω ω ω + ω ωω + ω ωωω ω 2 + ω ω 3 ω = ω +1 (ω + 1) = ω +1 + ω2 = ω +1 2 ω ω = ω +ω 3

4 2 = ω ω ω ω = ω = ω 3 ω = ω ω +1 ω + ω 2 ω ω = ω ω ω+1 = ω ω +1 + ω+1 + ω ω+1 2 ω+1 ω = ω ω ω+2 = ω ω ω2 = ω ω +1 2 ω 2 = ω ω +2 ω ω = ω ω +ω ω ω +1 = ω ω +ω + ω ω2 = ω ω +ω 2 ω ω+1 = ω ω +ω+1 ω ω2 = ω ω +ω2 ω ω2 = ω ω +ω2 ω ωω = ω ω +ωω = ω ω 2 2 = ω ω 3 ω = ω ω ω +1 = ω ωω 2 ω = ω ω ωω +1 = ω ω ωω 2 ε 1 = φ 1 (1) = ψ(1) 4

5 ε ε ε 1 + ω ε 1 + ε ε 1 + ω ε ε 1 2 ε ε 1 ω = ω ε 1+1 ε 1 = ω ε 1+ ε 1 2 = ω ε 12 ε 1 ω = ω ωε 1 +1 ε 1 ω ω = ω ωε 1 +ω ε 1 = ω ωε 1 + ε 1 ω = ω ω ε 1 +ω +1 ε 1 = ω ωε 1 +ω 2 ε 1 ε 1 = ω ωε 1 2 ε 1 ε 1 ω = ω ω ωε 1 +1 ε 1 ε 1 = ω ωωε 1 + ε 1 ε 1 ε 1 = ω ωωε 1 2 ε 2 = φ 1 (2) = ψ(2) ε ε 3 = φ 1 (3) = ψ(3) ε ω = φ 1 (ω) = ψ(ω) ε ω + 1 ε ω + ω ε ω + ε ω + ε 1 5

6 ε ω2 ε ω 2 ε ω = φ 1 (ω) φ 1(0) ε ω ε 1 = φ 1 (ω) φ 1(1) ε ω ε ω = φ 1 (ω) φ 1(ω) ε ω ε ω εω = φ 1 (ω) φ 1(ω) φ 1 (ω) ε ω+1 = φ 1 (ω + 1) = ψ(ω + 1) ε ω2 = φ 1 (ω2) = ψ(ω2) ε ω 2 = φ 1 (ω 2 ) = ψ(ω 2 ) ε ω ω = φ 1 (ω ω ) = ψ(ω ω ) ε ε0 = φ 1 (φ 1 (0)) = ψ(ψ(0)) ε ε0 2 = φ 1 (φ 1 (0) 2) = ψ(ψ(0) 2) ε ε0 = φ 1 (φ 1 (0) φ 1(0) ) = ψ(ψ(0) ψ(0) ) ε ε1 = φ 1 (φ 1 (1)) = ψ(ψ(1)) ε εε0 = φ 1 (φ 1 (φ 1 (0))) = ψ(ψ(ψ(0))) φ 2 (0) = ψ(ω) φ 2 (0) + 1 = ψ(ω) + 1 φ 2 (0) + 2 = ψ(ω) + 2 φ 2 (0) + ω = ψ(ω) + ω φ 2 (0) 2 = ψ(ω) 2 φ 2 (0) ω = ψ(ω) ω φ 2 (0) ω = ψ(ω) ω φ 2 (0) φ 2(0) = ψ(ω) ψ(ω) φ 1 (φ 2 (0) + 1) = ψ(ω + 1) φ 1 (φ 2 (0) + 2) = ψ(ω + 2) φ 1 (φ 2 (0) + ω) = ψ(ω + ω) φ 1 (φ 2 (0) 2) = ψ(ω + ψ(ω)) φ 1 (φ 1 (φ 2 (0) + 1)) = ψ(ω + ψ(ω + 1)) φ 2 (1) = ψ(ω2) 6

7 φ 2 (1) + 1 = ψ(ω2) + 1 φ 2 (1) 2 = ψ(ω2) 2 φ 2 (1) φ 2(1) = ψ(ω2) ψ(ω2) φ 1 (φ 2 (1) + 1) = ψ(ω2 + 1) φ 1 (φ 1 (φ 2 (1) + 1)) = ψ(ω2 + ψ(ω2 + 1)) φ 2 (2) = ψ(ω3) φ 2 (ω) = ψ(ωω) φ 2 ( ) = φ 2 (φ 1 (0)) = ψ(ωψ(0)) φ 2 (ε 1 ) = φ 2 (φ 1 (1)) = ψ(ωψ(1)) φ 2 (φ 1 (φ 1 (0))) = ψ(ωψ(ψ(0))) φ 2 (φ 2 (0)) = ψ(ωψ(ω)) φ 1 (φ 2 (φ 2 (0)) + 1) = ψ(ωψ(ω) + 1) φ 2 (φ 1 (φ 2 (0) + 1)) = ψ(ωψ(ω + 1)) φ 2 (φ 2 (1)) = ψ(ωψ(ω2)) φ 2 (φ 2 (φ 2 (0))) = ψ(ωψ(ωψ(ω))) φ 3 (0) = ψ(ω 2 ) φ 3 (0) + 1 = ψ(ω 2 ) + 1 φ 3 (0) 2 = ψ(ω 2 ) 2 φ 3 (0) φ 3(0) = ψ(ω 2 ) ψ(ω2 ) φ 1 (φ 3 (0) + 1) = ψ(ω 2 + 1) φ 1 (φ 1 (φ 3 (0) + 1)) = ψ(ω 2 + ψ(ω 2 + 1)) φ 2 (φ 3 (0) + 1) = ψ(ω 2 + Ω) φ 1 (φ 2 (φ 3 (0) + 1) + 1) = ψ(ω 2 + Ω + 1) 7

8 φ 2 (φ 2 (φ 3 (0) + 1)) = ψ(ω 2 + Ωψ(Ω 2 )) φ 3 (1) = ψ(ω 2 2) φ 3 (φ 3 (0)) = ψ(ω 2 ψ(ω 2 )) φ 4 (0) = ψ(ω 3 ) φ ω(0) = ψ(ω ω ) φ ω(0) + 1 = ψ(ω ω ) + 1 φ 1 (φ ω(0) + 1) = ψ(ω ω + 1) φ 2 (φ ω(0) + 1) = ψ(ω ω + Ω) φ 3 (φ ω(0) + 1) = ψ(ω ω + Ω 2 ) φ ω(1) = ψ(ω ω 2) φ ω(ω) = ψ(ω ω ω) φ ω(φ ω(0)) = ψ(ω ω ψ(ω ω )) φ ω+1 (0) = ψ(ω ω+1 ) φ ω2 (0) = ψ(ω ω2 ) φ ω(φ ω2 (0) + 1) = ψ(ω ω2 + Ω ω ) φ ω+1 (φ ω2 (0) + 1) = ψ(ω ω2 + Ω ω+1 ) φ ω2 (1) = ψ(ω ω2 2) φ ω ω (0) = ψ(ω ωω ) φ ε0 (0) = φ φ1 (0)(0) = ψ(ω ψ(0) ) φ ε0 (1) = φ φ1 (0)(1) = ψ(ω ψ(0) 2) φ ε0 ( ) = φ φ1 (0)(φ 1 (0)) = ψ(ω ψ(0) ψ(0)) φ φ1 (0)(φ φ1 (0)(0)) = ψ(ω ψ(0) ψ(ω ψ(0) )) φ ε0 +1(0) = φ φ1 (0)+1(0) = ψ(ω ψ(0)+1 ) φ ε1 (0) = φ φ1 (1)(0) = ψ(ω ψ(1) ) φ εε0 (0) = φ φ1 (φ 1 (0))(0) = ψ(ω ψ(ψ(0)) ) φ φ2 (0)(0) = ψ(ω ψ(ω) ) φ φφ1 (0) (0) (0) = ψ(ω ψ(ωψ(0)) ) Γ 0 = φ(1, 0, 0) = ψ(ω Ω ) 8

9 Γ Γ Γ 0 + ω Γ 0 2 Γ 0 2 Γ 0 ω Γ 0 Γ 0 ε Γ0 +1 = φ(1, φ(1, 0, 0) + 1) = ψ(ω Ω + 1) φ(φ 1 (0), φ(1, 0, 0) + 1) = ψ(ω Ω + Ω ψ(0) ) φ(φ φ1 (0)(0), φ(1, 0, 0) + 1) = ψ(ω Ω + Ω ψ(ωψ(0)) ) φ(φ(1, 0, 0), 1) = ψ(ω Ω + Ω ψ(ωω) ) φ(1, φ(φ(1, 0, 0), 1) + 1) = ψ(ω Ω + Ω ψ(ωω) + 1) φ(φ 1 (0), φ(φ(1, 0, 0), 1) + 1) = ψ(ω Ω + Ω ψ(ωω) + Ω ψ(0) ) φ(φ φ1 (0)(0), φ(φ(1, 0, 0), 1) + 1) = ψ(ω Ω + Ω ψ(ωω) + Ω ψ(ωψ(0)) ) φ(φ(1, 0, 0), 2) = ψ(ω Ω + Ω ψ(ωω) 2) φ(φ(1, 0, 0), φ 1 (0)) = ψ(ω Ω + Ω ψ(ωω) ψ(0)) φ(φ(1, 0, 0), φ(1, 0, 0)) = ψ(ω Ω + Ω ψ(ωω) ψ(ω Ω )) φ(φ(1, 0, 0), φ(φ(1, 0, 0), φ(1, 0, 0))) = ψ(ω Ω + Ω ψ(ωω) ψ(ω Ω + Ω ψ(ωω) ψ(ω Ω ))) φ(φ(1, 0, 0) + 1, 0) = ψ(ω Ω + Ω ψ(ωω )+1 ) 9

10 φ(φ(φ(1, 0, 0), 1), 0) = ψ(ω Ω + Ω ψ(ωω +Ω ψ(ωω ) ) ) Γ 1 = φ(1, 0, 1) = ψ(ω Ω 2) Γ Γ 2 = φ(1, 0, 2) = ψ(ω Ω 3) Γ ω = φ(1, 0, ω) = ψ(ω Ω ω) Γ Γ0 = φ(1, 0, φ(1, 0, 0)) = ψ(ω Ω ψ(ω Ω )) Γ ΓΓ0 = φ(1, 0, φ(1, 0, φ(1, 0, 0))) = ψ(ω Ω ψ(ω Ω ψ(ω Ω ))) φ(1, 1, 0) = ψ(ω Ω+1 ) φ(1, 1, 0) + 1 φ(1, 0, φ(1, 1, 0) + 1) = ψ(ω Ω+1 + Ω Ω ) φ(1, 1, 1) = ψ(ω Ω+1 2) φ(1, 2, 0) = ψ(ω Ω+2 ) φ(1, ω, 0) = ψ(ω Ω+ω ) φ(1, φ(1, 0, 0), 0) = ψ(ω Ω+ψ(ΩΩ) ) φ(2, 0, 0) = ψ(ω Ω2 ) φ(2, 0, 0) + 1 φ(2, 0, 1) = ψ(ω Ω2 2) φ(2, 1, 0) = ψ(ω Ω2+1 ) φ(3, 0, 0) = ψ(ω Ω3 ) φ(ω, 0, 0) = ψ(ω Ωω ) φ(ω, 0, 0) + 1 φ(ω, 0, 0) 2 φ(ω, 0, 0) φ(ω,0,0) φ(1, φ(ω, 0, 0) + 1) = ψ(ω Ωω + 1) φ(2, φ(ω, 0, 0) + 1) = ψ(ω Ωω + Ω) φ(φ 1 (0), φ(ω, 0, 0) + 1) = ψ(ω Ωω + Ω ψ(0) ) φ(φ(1, 0, 0), φ(ω, 0, 0) + 1) = ψ(ω Ωω + Ω ψ(ωω) ) 10

11 φ(1, 0, φ(ω, 0, 0) + 1) = ψ(ω Ωω + Ω Ω ) φ(2, 0, φ(ω, 0, 0) + 1) = ψ(ω Ωω + Ω Ω2 ) φ(ω, 0, 1) = ψ(ω Ωω 2) φ(ω, 0, φ(ω, 0, 0)) = ψ(ω Ωω ψ(ω Ωω )) φ(ω, 1, 0) = ψ(ω Ωω+1 ) φ(ω, φ(ω, 0, 0), 0) = ψ(ω Ωω+ψ(ΩΩω) ) φ(ω + 1, 0, 0) = ψ(ω Ω(ω+1) ) φ(ω2, 0, 0) = ψ(ω Ωω2 ) φ(ω ω, 0, 0) = ψ(ω Ωωω ) φ(φ 1 (0), 0, 0) = ψ(ω Ωψ(0) ) φ(φ 1 (0), 0, 0) 2 φ(φ 1 (0), 0, 0) φ(φ 1(0),0,0) φ(1, φ(φ 1 (0), 0, 0) + 1) = ψ(ω Ωψ(0) + 1) φ(ω, φ(φ 1 (0), 0, 0) + 1) = ψ(ω Ωψ(0) + Ω ω ) φ(φ 1 (0), 0, 1) = ψ(ω Ωψ(0) 2) φ(φ 1 (0), 0, φ 1 (0)) = ψ(ω Ωψ(0) ψ(0)) φ(φ 1 (0), 0, φ(φ 1 (0), 0, 0)) = ψ(ω Ωψ(0) ψ(ω Ωψ(0) )) φ(φ 1 (0), 1, 0) = ψ(ω Ωψ(0)+1 ) φ(φ 1 (0), φ 1 (0), 0) = ψ(ω Ωψ(0)+ψ(0) ) φ(φ 1 (0), φ(φ 1 (0), 0, 0), 0) = ψ(ω Ωψ(0)+ψ(ΩΩψ(0)) ) φ(φ 1 (0) + 1, 0, 0) = ψ(ω Ω(ψ(0)+1) ) φ(φ 1 (1), 0, 0) = ψ(ω Ωψ(1) ) 11

12 φ(φ 1 (φ 1 (0)), 0, 0) = ψ(ω Ωψ(ψ(0)) ) φ(φ 2 (0), 0, 0) = ψ(ω Ωψ(Ω) ) φ(φ φ1 (0)(0), 0, 0) = ψ(ω Ωψ(Ωψ(0)) ) φ(φ(1, 0, 0), 0, 0) = ψ(ω Ωψ(ΩΩ) ) φ(φ(φ 1 (0), 0, 0), 0, 0) = ψ(ω Ωψ(ΩΩψ(0)) ) φ(1, 0, 0, 0) = ψ(ω Ω2 ) φ(1, 0, 0, 0) + 1 φ(1, 0, 0, 0) + 2 φ(1, 0, 0, 0) + ω φ(1, 0, 0, 0)2 φ(1, 0, φ(1, 0, 0, 0) + 1) = ψ(ω Ω2 + Ω Ω ) φ(1, 0, 0, 1) = ψ(ω Ω2 2) φ(1, 0, 0, 1) + 1 φ(1, 0, 0, 2) = ψ(ω Ω2 3) φ(1, 0, 0, ω) = ψ(ω Ω2 ω) φ(1, 0, 1, 0) = ψ(ω Ω2 +1 ) φ(1, 0, 1, 0) + 1 φ(1, 0, 1, 1) = ψ(ω Ω2 +1 2) φ(1, 0, 2, 0) = ψ(ω Ω2 +2 ) φ(1, 0, ω, 0) = ψ(ω Ω2 +ω ) φ(1, 1, 0, 0) = ψ(ω Ω2 +Ω ) φ(1, 1, 0, 0) + 1 φ(1, 1, 0, 1) = ψ(ω Ω2 +Ω 2) φ(1, 1, 1, 0) = ψ(ω Ω2 +Ω+1 ) φ(1, 2, 0, 0) = ψ(ω Ω2 +Ω2 ) φ(1, ω, 0, 0) = ψ(ω Ω2 +Ωω ) φ(2, 0, 0, 0) = ψ(ω Ω22 ) φ(2, 0, 0, 0) + 1 φ(2, 0, 0, 1) = ψ(ω Ω22 2) φ(2, 0, 1, 0) = ψ(ω Ω2 2+1 ) φ(2, 1, 0, 0) = ψ(ω Ω2 2+Ω ) 12

13 φ(3, 0, 0, 0) = ψ(ω Ω23 ) φ(ω, 0, 0, 0) = ψ(ω Ω2ω ) φ(1, 0, 0, 0, 0) = ψ(ω Ω3 ) φ(1, 0, 0, 0, 0) + 1 φ(1, 0, 0, 0, 1) = ψ(ω Ω3 2) φ(1, 0, 0, 1, 0) = ψ(ω Ω3 +1 ) φ(1, 0, 1, 0, 0) = ψ(ω Ω3 +Ω ) φ(1, 1, 0, 0, 0) = ψ(ω Ω3 +Ω 2 ) φ(2, 0, 0, 0, 0) = ψ(ω Ω32 ) φ(1, 0, 0, 0, 0, 0) = ψ(ω Ω4 ) Conventions and notations: The order on finite rooted trees is recursively defined as follows: a tree A is less than a tree B, written A B, iff: either there is some child (=immediate subtree) B of B such that A B, or the following two conditions hold: every child A of A satisfies A B, and the list of children of A is lexicographically less than the list of children of B for the order (with the leftmost children having the most weight, i.e., either B has more children than A, or if A and B are the leftmost children on which they differ then A B ). This is a well-order. ω is the smallest infinite ordinal. Ordinal addition, multiplication and exponentiation are defined as usual: (i) α + 0 = α (ii) α + 1 is the successor of α. (iii) α + (β + 1) = (α + β) + 1 (iv) If δ is limit then α + δ is the limit of the α + β for β < δ. (v) α 0 = 0 (vi) α(β + 1) = αβ + α (vii) α 0 = 1 (viii) α β+1 = α β α φ 1 (α) = ε α is the α-th fixed point of ξ ω ξ (with the smallest: it is the limit of ω, ω ω, ω ωω, etc.). The Veblen hierarchy: For any β > 1, let φ β (α) be the α-th common fixed point of φ γ for all 0 < γ < β (with φ β (0) the smallest). Note: (i) φ β (α) is continuous in α for all β but it is not continuous in β except for α = 0. (ii) φ β+1 (0) is the limit of φ β (0), φ β (φ β (0)), φ β (φ β (φ β (0))), etc. (iii) φ β+1 (α + 1) is the limit of φ β+1 (α) + 1, φ β (φ β+1 (α) + 1), φ β (φ β (φ β+1 (α) + 1)), etc. (iv) If δ is limit (and β is arbitrary) then φ β (δ) is the limit of the φ β (ξ) for ξ < δ. (v) If δ is limit then φ δ (0) is the limit of the φ γ (0) for γ < δ. (vi) If δ is limit then φ δ (α + 1) is the limit of the φ γ (φ δ (α) + 1) for γ < δ. 13

14 φ(1, 0, α) = Γ α is the α-th fixed point of ξ φ ξ (0) (with Γ 0 the smallest: it is the limit of φ 1 (0), φ φ1(0)(0) φ φφ1 (0)(0)(0), etc.; this is known as the Feferman-Schütte ordinal). More generally, let φ(β, α) = φ β (α) (we only use the notation with a subscript for values less than Γ 0 ) and define φ of finitely many variables by: φ(β n, β n 1,..., β r, 0, 0,..., 0, α) is the α-th fixed point of all the ξ φ(γ n, γ n 1,..., γ r, ξ, 0, 0,..., 0) for (γ n,..., γ r ) lexicographically less than (β n,..., β r ) (the leftmost variable having the most weight), with the convention that φ(0, β n 1,..., β 0 ) = φ(β n 1,..., β 0 ). Ω is the first uncountable ordinal. A collapsing function: ψ(α) is defined inductively as the smallest ordinal not expressible from 0, 1, ω and Ω using addition, multiplication, exponentiation, and application of the function ψ itself to ordinals less than α. Or, more rigorously: Assume ψ has been defined for all ordinals β < α. Let C(α) be the set of ordinals constructed starting from 0, 1, ω and Ω by recursively applying the following functions: ordinal addition, multiplication and exponentiation and the function ψ α, i.e., the restriction of ψ to ordinals β < α. Formally, we define C(α) 0 = {0, 1, ω, Ω} and inductively C(α) n+1 = C(α) n {β 1 + β 2, β 1 β 2, β 1 β 2 : β 1, β 2 C(α) n } {ψ(β) : β C(α) n β < α} for all natural numbers n, and we let C(α) be the union of the C(α) n for all n. Define ψ(α) as the smallest ordinal not in C(α). It turns out that: (i) ψ is continuous and non-decreasing. (ii) The range of ψ is precisely the set of ε-numbers (i.e., fixed points of ξ ω ξ ) up to the Bachmann-Howard ordinal. (iii) C(α) consists exactly of those ordinals whose iterated base Ω representation only has pieces less than ψ(α); in particular, C(α) Ω = α. (iv) ψ(α + 1) is always equal either to the first ε-number after ψ(α) this happens when α C(α) or else to ψ(α) which happens when α C(α). (v) If δ is limit then ψ(δ) is the limit of the ψ(ξ) for ξ < δ. (vi) ψ(α + Ω) is the first fixed point of ξ ψ(α + ξ). (vii) ψ(αω) is the first fixed point of ξ ψ(αξ). (viii) ψ(α Ω ) is the first fixed point of ξ ψ(α ξ ). (ix) ψ(α βω ) is the first fixed point of ξ ψ(α βξ ). Certain ordinals have special names: ψ(ω Ω ) = φ(1, 0, 0) = Γ 0 is the Feferman-Schütte ordinal : it is the set of ordinals constructed starting from 0, 1, ω by recursively applying ordinal addition, multiplication and exponentiation and the Veblen functions φ β (α) of two variables; ψ(ω Ωω ) is the small Veblen ordinal: it is the set of ordinals constructed starting from 0, 1, ω by recursively applying ordinal addition, multiplication and exponentiation and the Veblen functions φ( ) of finitely many variables, and it is also the length of the ordering of finite rooted trees; ψ(ω ΩΩ ) is the large Veblen ordinal (it can be defined similarly to the small Veblen ordinal using a generalization of φ( ) to transfinitely many variables all but finitely many of which are zero); ψ(ε Ω+1 ) is the Bachmann-Howard ordinal. 14

15 α example α example = φ(φ 1 (1), ω, ω 2 + ω) φ(2,0,ωωω2 ) φ(ω ωω+1, ω, φ(1, 0, 0)) φ(ω ω + ω, 0, 2) = ψ(ω Ωψ(1)+ω (ω 2 + ω)) ψ(ωω2 ω ωω2 ) ψ(ω Ωωωω+1 +ω ψ(ω Ω )) ψ(ω Ω(ωω +ω) 3) 15

Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit

Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ting Zhang Stanford May 11, 2001 Stanford, 5/11/2001 1 Outline Ordinal Classification Ordinal Addition Ordinal Multiplication Ordinal

Διαβάστε περισσότερα

2 Composition. Invertible Mappings

2 Composition. Invertible Mappings Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,

Διαβάστε περισσότερα

ORDINAL ARITHMETIC JULIAN J. SCHLÖDER

ORDINAL ARITHMETIC JULIAN J. SCHLÖDER ORDINAL ARITHMETIC JULIAN J. SCHLÖDER Abstract. We define ordinal arithmetic and show laws of Left- Monotonicity, Associativity, Distributivity, some minor related properties and the Cantor Normal Form.

Διαβάστε περισσότερα

EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

Homework 3 Solutions

Homework 3 Solutions Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή

Διαβάστε περισσότερα

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ. Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action

Διαβάστε περισσότερα

Bounding Nonsplitting Enumeration Degrees

Bounding Nonsplitting Enumeration Degrees Bounding Nonsplitting Enumeration Degrees Thomas F. Kent Andrea Sorbi Università degli Studi di Siena Italia July 18, 2007 Goal: Introduce a form of Σ 0 2-permitting for the enumeration degrees. Till now,

Διαβάστε περισσότερα

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- ----------------- Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin

Διαβάστε περισσότερα

Physical DB Design. B-Trees Index files can become quite large for large main files Indices on index files are possible.

Physical DB Design. B-Trees Index files can become quite large for large main files Indices on index files are possible. B-Trees Index files can become quite large for large main files Indices on index files are possible 3 rd -level index 2 nd -level index 1 st -level index Main file 1 The 1 st -level index consists of pairs

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

Second Order Partial Differential Equations

Second Order Partial Differential Equations Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y

Διαβάστε περισσότερα

A Note on Intuitionistic Fuzzy. Equivalence Relation

A Note on Intuitionistic Fuzzy. Equivalence Relation International Mathematical Forum, 5, 2010, no. 67, 3301-3307 A Note on Intuitionistic Fuzzy Equivalence Relation D. K. Basnet Dept. of Mathematics, Assam University Silchar-788011, Assam, India dkbasnet@rediffmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Homework 8 Model Solution Section

Homework 8 Model Solution Section MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx

Διαβάστε περισσότερα

Second Order RLC Filters

Second Order RLC Filters ECEN 60 Circuits/Electronics Spring 007-0-07 P. Mathys Second Order RLC Filters RLC Lowpass Filter A passive RLC lowpass filter (LPF) circuit is shown in the following schematic. R L C v O (t) Using phasor

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1) 84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this

Διαβάστε περισσότερα

Section 8.2 Graphs of Polar Equations

Section 8.2 Graphs of Polar Equations Section 8. Graphs of Polar Equations Graphing Polar Equations The graph of a polar equation r = f(θ), or more generally F(r,θ) = 0, consists of all points P that have at least one polar representation

Διαβάστε περισσότερα

2. Let H 1 and H 2 be Hilbert spaces and let T : H 1 H 2 be a bounded linear operator. Prove that [T (H 1 )] = N (T ). (6p)

2. Let H 1 and H 2 be Hilbert spaces and let T : H 1 H 2 be a bounded linear operator. Prove that [T (H 1 )] = N (T ). (6p) Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Andreas Strömbergsson Prov i matematik Funktionalanalys Kurs: F3B, F4Sy, NVP 2005-03-08 Skrivtid: 9 14 Tillåtna hjälpmedel: Manuella skrivdon, Kreyszigs bok

Διαβάστε περισσότερα

CRASH COURSE IN PRECALCULUS

CRASH COURSE IN PRECALCULUS CRASH COURSE IN PRECALCULUS Shiah-Sen Wang The graphs are prepared by Chien-Lun Lai Based on : Precalculus: Mathematics for Calculus by J. Stuwart, L. Redin & S. Watson, 6th edition, 01, Brooks/Cole Chapter

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometric Formula Sheet

Trigonometric Formula Sheet Trigonometric Formula Sheet Definition of the Trig Functions Right Triangle Definition Assume that: 0 < θ < or 0 < θ < 90 Unit Circle Definition Assume θ can be any angle. y x, y hypotenuse opposite θ

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Forecasting ARMA processes

6.3 Forecasting ARMA processes 122 CHAPTER 6. ARMA MODELS 6.3 Forecasting ARMA processes The purpose of forecasting is to predict future values of a TS based on the data collected to the present. In this section we will discuss a linear

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval

Chapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval Chapter 6: Systems of Linear Differential Equations Let a (t), a 2 (t),..., a nn (t), b (t), b 2 (t),..., b n (t) be continuous functions on the interval I. The system of n first-order differential equations

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΕΠΛ342: Βάσεις Δεδομένων. Χειμερινό Εξάμηνο Φροντιστήριο 10 ΛΥΣΕΙΣ. Επερωτήσεις SQL

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΕΠΛ342: Βάσεις Δεδομένων. Χειμερινό Εξάμηνο Φροντιστήριο 10 ΛΥΣΕΙΣ. Επερωτήσεις SQL ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ342: Βάσεις Δεδομένων Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Φροντιστήριο 10 ΛΥΣΕΙΣ Επερωτήσεις SQL Άσκηση 1 Για το ακόλουθο σχήμα Suppliers(sid, sname, address) Parts(pid, pname,

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής

Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Να γραφεί πρόγραμμα το οποίο δέχεται ως είσοδο μια ακολουθία S από n (n 40) ακέραιους αριθμούς και επιστρέφει ως έξοδο δύο ακολουθίες από θετικούς ακέραιους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011 Διάρκεια Διαγωνισμού: 3 ώρες Απαντήστε όλες τις ερωτήσεις Μέγιστο Βάρος (20 Μονάδες) Δίνεται ένα σύνολο από N σφαιρίδια τα οποία δεν έχουν όλα το ίδιο βάρος μεταξύ τους και ένα κουτί που αντέχει μέχρι

Διαβάστε περισσότερα

Areas and Lengths in Polar Coordinates

Areas and Lengths in Polar Coordinates Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the

Διαβάστε περισσότερα

Tridiagonal matrices. Gérard MEURANT. October, 2008

Tridiagonal matrices. Gérard MEURANT. October, 2008 Tridiagonal matrices Gérard MEURANT October, 2008 1 Similarity 2 Cholesy factorizations 3 Eigenvalues 4 Inverse Similarity Let α 1 ω 1 β 1 α 2 ω 2 T =......... β 2 α 1 ω 1 β 1 α and β i ω i, i = 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =

Διαβάστε περισσότερα

Main source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1

Main source: Discrete-time systems and computer control by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 Main source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 A Brief History of Sampling Research 1915 - Edmund Taylor Whittaker (1873-1956) devised a

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 2. Ordinals, well-founded relations.

Chapter 2. Ordinals, well-founded relations. Chapter 2. Ordinals, well-founded relations. 2.1. Well-founded Relations. We start with some definitions and rapidly reach the notion of a well-ordered set. Definition. For any X and any binary relation

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Ανάπτυξης Εφαρμογών Βάσεων Δεδομένων. Εξάμηνο 7 ο

Εργαστήριο Ανάπτυξης Εφαρμογών Βάσεων Δεδομένων. Εξάμηνο 7 ο Εργαστήριο Ανάπτυξης Εφαρμογών Βάσεων Δεδομένων Εξάμηνο 7 ο Procedures and Functions Stored procedures and functions are named blocks of code that enable you to group and organize a series of SQL and PL/SQL

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΕΣ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ ΓΕΩΡΓΙΑ ΤΡΙΣΟΚΚΑ Λευκωσία 2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Lecture 13 - Root Space Decomposition II

Lecture 13 - Root Space Decomposition II Lecture 13 - Root Space Decomposition II October 18, 2012 1 Review First let us recall the situation. Let g be a simple algebra, with maximal toral subalgebra h (which we are calling a CSA, or Cartan Subalgebra).

Διαβάστε περισσότερα

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8 questions or comments to Dan Fetter 1

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8  questions or comments to Dan Fetter 1 Eon : Fall 8 Suggested Solutions to Problem Set 8 Email questions or omments to Dan Fetter Problem. Let X be a salar with density f(x, θ) (θx + θ) [ x ] with θ. (a) Find the most powerful level α test

Διαβάστε περισσότερα

Example of the Baum-Welch Algorithm

Example of the Baum-Welch Algorithm Example of the Baum-Welch Algorithm Larry Moss Q520, Spring 2008 1 Our corpus c We start with a very simple corpus. We take the set Y of unanalyzed words to be {ABBA, BAB}, and c to be given by c(abba)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Όλοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι του 10000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

MINIMAL CLOSED SETS AND MAXIMAL CLOSED SETS

MINIMAL CLOSED SETS AND MAXIMAL CLOSED SETS MINIMAL CLOSED SETS AND MAXIMAL CLOSED SETS FUMIE NAKAOKA AND NOBUYUKI ODA Received 20 December 2005; Revised 28 May 2006; Accepted 6 August 2006 Some properties of minimal closed sets and maximal closed

Διαβάστε περισσότερα

On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume

On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume BULETINUL ACADEMIEI DE ŞTIINŢE A REPUBLICII MOLDOVA. MATEMATICA Numbers 2(72) 3(73), 2013, Pages 80 89 ISSN 1024 7696 On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume I.S.Gutsul Abstract. In

Διαβάστε περισσότερα

Strukturalna poprawność argumentu.

Strukturalna poprawność argumentu. Strukturalna poprawność argumentu. Marcin Selinger Uniwersytet Wrocławski Katedra Logiki i Metodologii Nauk marcisel@uni.wroc.pl Table of contents: 1. Definition of argument and further notions. 2. Operations

Διαβάστε περισσότερα

Συντακτικές λειτουργίες

Συντακτικές λειτουργίες 2 Συντακτικές λειτουργίες (Syntactic functions) A. Πτώσεις και συντακτικές λειτουργίες (Cases and syntactic functions) The subject can be identified by asking ποιος (who) or τι (what) the sentence is about.

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing

Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing Γιώργος Μπορμπουδάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Procedure 1. Form the null (H 0 ) and alternative (H 1 ) hypothesis 2. Consider

Διαβάστε περισσότερα

Elements of Information Theory

Elements of Information Theory Elements of Information Theory Model of Digital Communications System A Logarithmic Measure for Information Mutual Information Units of Information Self-Information News... Example Information Measure

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΕΝΑ ΦΛΟΚΑ Επίκουρος Καθηγήτρια Τµήµα Φυσικής, Τοµέας Φυσικής Περιβάλλοντος- Μετεωρολογίας ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Πληθυσµός Σύνολο ατόµων ή αντικειµένων στα οποία αναφέρονται

Διαβάστε περισσότερα

Πτυχιακή Εργασία. Παραδοσιακά Προϊόντα Διατροφική Αξία και η Πιστοποίηση τους

Πτυχιακή Εργασία. Παραδοσιακά Προϊόντα Διατροφική Αξία και η Πιστοποίηση τους ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΤΡΟΦΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΤΡΟΦΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΤΟΛΟΓΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία Παραδοσιακά Προϊόντα Διατροφική Αξία και η Πιστοποίηση τους Εκπόνηση:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΔΟΝΤΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΟΔΟΝΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΔΟΝΤΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΟΔΟΝΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΔΟΝΤΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΟΔΟΝΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΗΣ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΓΚΡΑΤΗΤΙΚΗΣ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑΣ ΟΡΙΣΜΕΝΩΝ ΠΡΟΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΜΕΝΩΝ ΣΥΝΔΕΣΜΩΝ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2

If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2 Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the

Διαβάστε περισσότερα

If we restrict the domain of y = sin x to [ π 2, π 2

If we restrict the domain of y = sin x to [ π 2, π 2 Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the

Διαβάστε περισσότερα

TMA4115 Matematikk 3

TMA4115 Matematikk 3 TMA4115 Matematikk 3 Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet Trondheim Spring 2010 Lecture 12: Mathematics Marvellous Matrices Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet

Διαβάστε περισσότερα

DIRECT PRODUCT AND WREATH PRODUCT OF TRANSFORMATION SEMIGROUPS

DIRECT PRODUCT AND WREATH PRODUCT OF TRANSFORMATION SEMIGROUPS GANIT J. Bangladesh Math. oc. IN 606-694) 0) -7 DIRECT PRODUCT AND WREATH PRODUCT OF TRANFORMATION EMIGROUP ubrata Majumdar, * Kalyan Kumar Dey and Mohd. Altab Hossain Department of Mathematics University

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/2006

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/2006 ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/26 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι το 1 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΦΩΤΙΣΜΟ ΤΩΝ ΘΑΛΑΜΩΝ ΝΟΣΗΛΕΙΑΣ ΑΜΠΛΙΑΝΙΤΗ ΑΛΙΚΗ ΣΤΑΜΑΤΟΠΟΥΛΟΥ ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ

Διαβάστε περισσότερα

SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS

SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS Gerard t Hooft Stefan Nobbenhuis Institute for Theoretical Physics Utrecht University, Leuvenlaan 4 3584 CC Utrecht, the Netherlands and Spinoza Institute Postbox 8.195

Διαβάστε περισσότερα

«ΑΓΡΟΤΟΥΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΤΟΠΙΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΤΩΝ ΓΥΝΑΙΚΕΙΩΝ ΣΥΝΕΤΑΙΡΙΣΜΩΝ»

«ΑΓΡΟΤΟΥΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΤΟΠΙΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΤΩΝ ΓΥΝΑΙΚΕΙΩΝ ΣΥΝΕΤΑΙΡΙΣΜΩΝ» I ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΝΟΜΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ «ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟ ΓΙ ΚΟ ΕΚΠΑ ΙΔ ΕΥ Τ ΙΚΟ Ι ΔΡΥ Μ Α 'ΠΕ Ι ΡΑ ΙΑ ΤΜΗΜΑ ΚΛΩΣΤΟΥΦΑΝΤΟΥΡΓΙΑΣ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ ΒΑΦΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΉ ΕΡΓ ΑΣΙΑ ΤΙΤΛΟΣ ΕΥΧΡΗΣΤΙΑ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΜΕΝΟΥ

ΤΕΧΝΟΛΟ ΓΙ ΚΟ ΕΚΠΑ ΙΔ ΕΥ Τ ΙΚΟ Ι ΔΡΥ Μ Α 'ΠΕ Ι ΡΑ ΙΑ ΤΜΗΜΑ ΚΛΩΣΤΟΥΦΑΝΤΟΥΡΓΙΑΣ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ ΒΑΦΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΉ ΕΡΓ ΑΣΙΑ ΤΙΤΛΟΣ ΕΥΧΡΗΣΤΙΑ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΜΕΝΟΥ 515 ΤΕΧΝΟΛΟ ΓΙ ΚΟ ΕΚΠΑ ΙΔ ΕΥ Τ ΙΚΟ Ι ΔΡΥ Μ Α 'ΠΕ Ι ΡΑ ΙΑ ~ " ΤΜΗΜΑ ΚΛΩΣΤΟΥΦΑΝΤΟΥΡΓΙΑΣ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ ΒΑΦΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΉ ΕΡΓ ΑΣΙΑ ΤΙΤΛΟΣ ΕΥΧΡΗΣΤΙΑ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΜΕΝΟΥ ΠΡΟΣΤΑΤΕΥΤΙΚΟΥ ΙΜΑΤΙΣΜΟΥ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥ ΛΟΣ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Partial Trace and Partial Transpose

Partial Trace and Partial Transpose Partial Trace and Partial Transpose by José Luis Gómez-Muñoz http://homepage.cem.itesm.mx/lgomez/quantum/ jose.luis.gomez@itesm.mx This document is based on suggestions by Anirban Das Introduction This

Διαβάστε περισσότερα

υγεία των νοσηλευτών που συστηματικά εμπλέκονται στην παρασκευή και χορήγηση τους.

υγεία των νοσηλευτών που συστηματικά εμπλέκονται στην παρασκευή και χορήγηση τους. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Εισαγωγή: Τα χημειοθεραπευτικά φάρμακα έχουν αποδειχθεί οτι θέτουν σε κίνδυνο την υγεία των νοσηλευτών που συστηματικά εμπλέκονται στην παρασκευή και χορήγηση τους. Σκοπός: Σκοπός της παρούσας

Διαβάστε περισσότερα

1. Introduction and Preliminaries.

1. Introduction and Preliminaries. Faculty of Sciences and Mathematics, University of Niš, Serbia Available at: http://www.pmf.ni.ac.yu/filomat Filomat 22:1 (2008), 97 106 ON δ SETS IN γ SPACES V. Renuka Devi and D. Sivaraj Abstract We

Διαβάστε περισσότερα

Section 9.2 Polar Equations and Graphs

Section 9.2 Polar Equations and Graphs 180 Section 9. Polar Equations and Graphs In this section, we will be graphing polar equations on a polar grid. In the first few examples, we will write the polar equation in rectangular form to help identify

Διαβάστε περισσότερα

Δίκτυα Δακτυλίου. Token Ring - Polling

Δίκτυα Δακτυλίου. Token Ring - Polling Δίκτυα Δακτυλίου Token Ring - Polling Όλοι οι κόμβοι είναι τοποθετημένοι σε ένα δακτύλιο. Εκπέμπει μόνο ο κόμβος ο οποίος έχει τη σκυτάλη (token). The token consists of a number of octets in a specific

Διαβάστε περισσότερα

THE GENERAL INDUCTIVE ARGUMENT FOR MEASURE ANALYSES WITH ADDITIVE ORDINAL ALGEBRAS

THE GENERAL INDUCTIVE ARGUMENT FOR MEASURE ANALYSES WITH ADDITIVE ORDINAL ALGEBRAS THE GENERAL INDUCTIVE ARGUMENT FOR MEASURE ANALYSES WITH ADDITIVE ORDINAL ALGEBRAS STEFAN BOLD, BENEDIKT LÖWE In [BoLö ] we gave a survey of measure analyses under AD, discussed the general theory of order

Διαβάστε περισσότερα

Επιβλέπουσα Καθηγήτρια: ΣΟΦΙΑ ΑΡΑΒΟΥ ΠΑΠΑΔΑΤΟΥ

Επιβλέπουσα Καθηγήτρια: ΣΟΦΙΑ ΑΡΑΒΟΥ ΠΑΠΑΔΑΤΟΥ EΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ Ταχ. Δ/νση : Λεωφ. Αντ.Τρίτση, Αργοστόλι Κεφαλληνίας Τ.Κ. 28 100 τηλ. : 26710-27311 fax : 26710-27312

Διαβάστε περισσότερα

HISTOGRAMS AND PERCENTILES What is the 25 th percentile of a histogram? What is the 50 th percentile for the cigarette histogram?

HISTOGRAMS AND PERCENTILES What is the 25 th percentile of a histogram? What is the 50 th percentile for the cigarette histogram? HISTOGRAMS AND PERCENTILES What is the 25 th percentile of a histogram? The point on the horizontal axis such that of the area under the histogram lies to the left of that point (and to the right) What

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΥΝΘΕΣΗ ΚΑΙ ΤΑ ΣΥΝΘΕΤΑ ΝΟΗΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΝΟΗΜΑΤΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ

Η ΣΥΝΘΕΣΗ ΚΑΙ ΤΑ ΣΥΝΘΕΤΑ ΝΟΗΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΝΟΗΜΑΤΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Σχολή Ανθρωπιστικών & Κοινωνικών Επιστημών Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης ΤΙΤΛΟΣ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ Η ΣΥΝΘΕΣΗ ΚΑΙ ΤΑ ΣΥΝΘΕΤΑ ΝΟΗΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΝΟΗΜΑΤΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΕΙΡΗΝΗ

Διαβάστε περισσότερα

Exercises to Statistics of Material Fatigue No. 5

Exercises to Statistics of Material Fatigue No. 5 Prof. Dr. Christine Müller Dipl.-Math. Christoph Kustosz Eercises to Statistics of Material Fatigue No. 5 E. 9 (5 a Show, that a Fisher information matri for a two dimensional parameter θ (θ,θ 2 R 2, can

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΝΟΜΙΚΟ ΚΑΙ ΘΕΣΜΙΚΟ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΚΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΚΜΕΤΑΛΛΕΥΣΗΣ ΠΛΟΙΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ που υποβλήθηκε στο

Διαβάστε περισσότερα

Volume of a Cuboid. Volume = length x breadth x height. V = l x b x h. The formula for the volume of a cuboid is

Volume of a Cuboid. Volume = length x breadth x height. V = l x b x h. The formula for the volume of a cuboid is Volume of a Cuboid The formula for the volume of a cuboid is Volume = length x breadth x height V = l x b x h Example Work out the volume of this cuboid 10 cm 15 cm V = l x b x h V = 15 x 6 x 10 V = 900cm³

Διαβάστε περισσότερα

(Biomass utilization for electric energy production)

(Biomass utilization for electric energy production) ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ T.Ε.I. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ: ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ: ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ Επιβλέπων: ΠΕΤΡΟΣ Γ. ΒΕΡΝΑΔΟΣ, Ομότιμος Καθηγητής Συνεπιβλέπουσα: ΕΡΙΕΤΤΑ Ι. ΖΟΥΝΤΟΥΡΙΔΟΥ, Παν. Υπότροφος

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων

Συστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Συστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων Φροντιστήριο 9: Transactions - part 1 Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Tutorial on Undo, Redo and Undo/Redo

Διαβάστε περισσότερα

Capacitors - Capacitance, Charge and Potential Difference

Capacitors - Capacitance, Charge and Potential Difference Capacitors - Capacitance, Charge and Potential Difference Capacitors store electric charge. This ability to store electric charge is known as capacitance. A simple capacitor consists of 2 parallel metal

Διαβάστε περισσότερα

w o = R 1 p. (1) R = p =. = 1

w o = R 1 p. (1) R = p =. = 1 Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-570: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος 205 ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Τριτη Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Ασκηση 3. 5.2 (a) From the Wiener-Hopf equation we have:

Διαβάστε περισσότερα

Section 1: Listening and responding. Presenter: Niki Farfara MGTAV VCE Seminar 7 August 2016

Section 1: Listening and responding. Presenter: Niki Farfara MGTAV VCE Seminar 7 August 2016 Section 1: Listening and responding Presenter: Niki Farfara MGTAV VCE Seminar 7 August 2016 Section 1: Listening and responding Section 1: Listening and Responding/ Aκουστική εξέταση Στο πρώτο μέρος της

Διαβάστε περισσότερα

EPL 603 TOPICS IN SOFTWARE ENGINEERING. Lab 5: Component Adaptation Environment (COPE)

EPL 603 TOPICS IN SOFTWARE ENGINEERING. Lab 5: Component Adaptation Environment (COPE) EPL 603 TOPICS IN SOFTWARE ENGINEERING Lab 5: Component Adaptation Environment (COPE) Performing Static Analysis 1 Class Name: The fully qualified name of the specific class Type: The type of the class

Διαβάστε περισσότερα

1. Πόσοι αριθμοί μικρότεροι του διαιρούνται με όλους τους μονοψήφιους αριθμούς;

1. Πόσοι αριθμοί μικρότεροι του διαιρούνται με όλους τους μονοψήφιους αριθμούς; ΚΥΠΡΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΤΙΡΙ ΠΡΧΙΚΟΣ ΙΩΝΙΣΜΟΣ 7//2009 ΩΡ 0:00-2:00 ΟΗΙΣ. Να λύσετε όλα τα θέματα. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 0 μονάδες. 2. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (επιτρέπεται η χρήση μολυβιού για τα

Διαβάστε περισσότερα

Two generalisations of the binomial theorem

Two generalisations of the binomial theorem 39 Two generalisations of the binomial theorem Sacha C. Blumen Abstract We prove two generalisations of the binomial theorem that are also generalisations of the q-binomial theorem. These generalisations

Διαβάστε περισσότερα

AKAΔΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ: Η ΧΡΗΣΗ ΒΙΟΚΑΥΣΙΜΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ-ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ

AKAΔΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ: Η ΧΡΗΣΗ ΒΙΟΚΑΥΣΙΜΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ-ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ AKAΔΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ: Η ΧΡΗΣΗ ΒΙΟΚΑΥΣΙΜΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ-ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΕΣ : ΜΟΤΣΚΑΛΙΔΗΣ ΒΑΛΕΡΙΟΣ, ΠΕΛΕΚΑΝΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2 and compare to M.

( ) 2 and compare to M. Problems and Solutions for Section 4.2 4.9 through 4.33) 4.9 Calculate the square root of the matrix 3!0 M!0 8 Hint: Let M / 2 a!b ; calculate M / 2!b c ) 2 and compare to M. Solution: Given: 3!0 M!0 8

Διαβάστε περισσότερα

Πτυχιακή Εργασία ηµιουργία Εκπαιδευτικού Παιχνιδιού σε Tablets Καλλιγάς ηµήτρης Παναγιώτης Α.Μ.: 1195 Επιβλέπων καθηγητής: ρ. Συρµακέσης Σπύρος ΑΝΤΙΡΡΙΟ 2015 Ευχαριστίες Σ αυτό το σηµείο θα ήθελα να

Διαβάστε περισσότερα

Repeated measures Επαναληπτικές μετρήσεις

Repeated measures Επαναληπτικές μετρήσεις ΠΡΟΒΛΗΜΑ Στο αρχείο δεδομένων diavitis.sav καταγράφεται η ποσότητα γλυκόζης στο αίμα 10 ασθενών στην αρχή της χορήγησης μιας θεραπείας, μετά από ένα μήνα και μετά από δύο μήνες. Μελετήστε την επίδραση

Διαβάστε περισσότερα

Durbin-Levinson recursive method

Durbin-Levinson recursive method Durbin-Levinson recursive method A recursive method for computing ϕ n is useful because it avoids inverting large matrices; when new data are acquired, one can update predictions, instead of starting again

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα NP-Completeness (2)

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα NP-Completeness (2) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα NP-Completeness (2) Ιωάννης Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών NP-Completeness (2) x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 12 22 32 11 13 21

Διαβάστε περισσότερα

Solution to Review Problems for Midterm III

Solution to Review Problems for Midterm III Solution to Review Problems for Mierm III Mierm III: Friday, November 19 in class Topics:.8-.11, 4.1,4. 1. Find the derivative of the following functions and simplify your answers. (a) x(ln(4x)) +ln(5

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Ανάπτυξης Εφαρμογών Βάσεων Δεδομένων. Εξάμηνο 7 ο

Εργαστήριο Ανάπτυξης Εφαρμογών Βάσεων Δεδομένων. Εξάμηνο 7 ο Εργαστήριο Ανάπτυξης Εφαρμογών Βάσεων Δεδομένων Εξάμηνο 7 ο Oracle SQL Developer An Oracle Database stores and organizes information. Oracle SQL Developer is a tool for accessing and maintaining the data

Διαβάστε περισσότερα

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme. (a) Note: Award A for vertical line to right of mean, A for shading to right of their vertical line. AA N (b) evidence of recognizing symmetry

Διαβάστε περισσότερα

1. Αφετηρία από στάση χωρίς κριτή (self start όπου πινακίδα εκκίνησης) 5 λεπτά µετά την αφετηρία σας από το TC1B KALO LIVADI OUT

1. Αφετηρία από στάση χωρίς κριτή (self start όπου πινακίδα εκκίνησης) 5 λεπτά µετά την αφετηρία σας από το TC1B KALO LIVADI OUT Date: 21 October 2016 Time: 14:00 hrs Subject: BULLETIN No 3 Document No: 1.3 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Διαβάστε περισσότερα

"ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ ΕΙΣΟΔΗΜΑΤΟΣ ΕΤΑΙΡΕΙΩΝ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΕΤΗ 2011-2013"

ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ ΕΙΣΟΔΗΜΑΤΟΣ ΕΤΑΙΡΕΙΩΝ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΕΤΗ 2011-2013 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Επιμέλεια Κρανιωτάκη Δήμητρα Α.Μ. 8252 Κωστορρίζου Δήμητρα Α.Μ. 8206 Μελετίου Χαράλαμπος Α.Μ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Εμβέλεια Μεταβλητών Εμβέλεια = το τμήμα του προγράμματος στο οποίο έχει ισχύ ή είναι ορατή η μεταβλητή.

Διαβάστε περισσότερα

Jordan Form of a Square Matrix

Jordan Form of a Square Matrix Jordan Form of a Square Matrix Josh Engwer Texas Tech University josh.engwer@ttu.edu June 3 KEY CONCEPTS & DEFINITIONS: R Set of all real numbers C Set of all complex numbers = {a + bi : a b R and i =

Διαβάστε περισσότερα

ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. ΘΕΜΑ: «ιερεύνηση της σχέσης µεταξύ φωνηµικής επίγνωσης και ορθογραφικής δεξιότητας σε παιδιά προσχολικής ηλικίας»

ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. ΘΕΜΑ: «ιερεύνηση της σχέσης µεταξύ φωνηµικής επίγνωσης και ορθογραφικής δεξιότητας σε παιδιά προσχολικής ηλικίας» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ «ΠΑΙ ΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΙ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΥΛΙΚΟ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ που εκπονήθηκε για τη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΟΥ ΠΤΥΧΙΑΚΗ. Λεμεσός

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΟΥ ΠΤΥΧΙΑΚΗ. Λεμεσός ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΤΟ ΚΑΠΝΙΣΜΑ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΕΓΚΥΜΟΣΥΝΗ ΚΑΙ Η ΒΛΑΠΤΙΚΗ ΕΠΙΔΡΑ ΑΣΗ ΤΟΥ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΟΥ ΝΕΟΓΝΟΥ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ονοματεπώνυμο Αγγελική Παπαπαύλου Αριθμός Φοιτητικής

Διαβάστε περισσότερα

Πτυχιακή εργασία. Παραγωγή Βιοντίζελ από Χρησιμοποιημένα Έλαια

Πτυχιακή εργασία. Παραγωγή Βιοντίζελ από Χρησιμοποιημένα Έλαια ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Πτυχιακή εργασία Παραγωγή Βιοντίζελ από Χρησιμοποιημένα Έλαια Ελένη Χριστοδούλου Λεμεσός 2014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

STAT200C: Hypothesis Testing

STAT200C: Hypothesis Testing STAT200C: Hypothesis Testing Zhaoxia Yu Spring 2017 Some Definitions A hypothesis is a statement about a population parameter. The two complementary hypotheses in a hypothesis testing are the null hypothesis

Διαβάστε περισσότερα

SOLVING CUBICS AND QUARTICS BY RADICALS

SOLVING CUBICS AND QUARTICS BY RADICALS SOLVING CUBICS AND QUARTICS BY RADICALS The purpose of this handout is to record the classical formulas expressing the roots of degree three and degree four polynomials in terms of radicals. We begin with

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΜΣ «ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ» ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ «ΕΥΦΥΕΙΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΑΝΘΡΩΠΟΥ - ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ»

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΜΣ «ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ» ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ «ΕΥΦΥΕΙΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΑΝΘΡΩΠΟΥ - ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΜΣ «ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ» ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ «ΕΥΦΥΕΙΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΑΝΘΡΩΠΟΥ - ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΤΟΥ ΕΥΘΥΜΙΟΥ ΘΕΜΕΛΗ ΤΙΤΛΟΣ Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

The Probabilistic Method - Probabilistic Techniques. Lecture 7: The Janson Inequality

The Probabilistic Method - Probabilistic Techniques. Lecture 7: The Janson Inequality The Probabilistic Method - Probabilistic Techniques Lecture 7: The Janson Inequality Sotiris Nikoletseas Associate Professor Computer Engineering and Informatics Department 2014-2015 Sotiris Nikoletseas,

Διαβάστε περισσότερα

Μορφοποίηση υπό όρους : Μορφή > Μορφοποίηση υπό όρους/γραμμές δεδομένων/μορφοποίηση μόο των κελιών που περιέχουν/

Μορφοποίηση υπό όρους : Μορφή > Μορφοποίηση υπό όρους/γραμμές δεδομένων/μορφοποίηση μόο των κελιών που περιέχουν/ Μορφοποίηση υπό όρους : Μορφή > Μορφοποίηση υπό όρους/γραμμές δεδομένων/μορφοποίηση μόο των κελιών που περιέχουν/ Συνάρτηση round() Περιγραφή Η συνάρτηση ROUND στρογγυλοποιεί έναν αριθμό στον δεδομένο

Διαβάστε περισσότερα

«Συμπεριφορά μαθητών δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης ως προς την κατανάλωση τροφίμων στο σχολείο»

«Συμπεριφορά μαθητών δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης ως προς την κατανάλωση τροφίμων στο σχολείο» ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΓΕΩΠΟΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗ «ΑΓΡΟΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» «Συμπεριφορά μαθητών δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης ως προς την κατανάλωση τροφίμων στο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΙΔΙΟΚΤΗΣΙΑΣ

ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΙΔΙΟΚΤΗΣΙΑΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΙΔΙΟΚΤΗΣΙΑΣ Ο Οργανισμός Βιομηχανικής Ιδιοκτησίας (Ο.Β.Ι.) ιδρύθηκε το 1987 (Ν.1733/1987), είναι νομικό πρόσωπο ιδιωτικού δικαίου, οικονομικά ανεξάρτητο και διοικητικά αυτοτελές.

Διαβάστε περισσότερα

Advanced Subsidiary Unit 1: Understanding and Written Response

Advanced Subsidiary Unit 1: Understanding and Written Response Write your name here Surname Other names Edexcel GE entre Number andidate Number Greek dvanced Subsidiary Unit 1: Understanding and Written Response Thursday 16 May 2013 Morning Time: 2 hours 45 minutes

Διαβάστε περισσότερα