ΕΛΑΤΗΡΙΟ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ

Transcript

1 ΕΛΑΤΗΡΙΟ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ Δύο ελαστικές σφαίρες Σ1 και Σ ίδιας µάζας είναι συνδεδεµένες µεταξύ τους µε ιδανικό ελατήριο σταθεράς k το οποίο βρίσκεται στο φυσικό του µήκος lo. Οι σφαίρες αρχικά ηρεµούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Μια τρίτη σφαίρα Σ3 ίδιας µάζας που ολισθαίνει χωρίς να στρέφεται, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά µε τη σφαίρα Σ1 κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου µε ταχύτητα µέτρου υο. 1) Να δείξετε ότι οι ταχύτητες των σφαιρών Σ1 και Σ, µετά την κρούση θα έχουν κάθε στιγµή την ίδια φορά. ) Να υπολογίσετε την ελάχιστη και τη µέγιστη απόσταση στην οποία βρίσκονται οι δύο σφαίρες Σ1 και Σ. 3) Να υπολογίσετε το µέτρο του µέγιστου ρυθµού µεταβολής της ορµής κάθε σφαίρας. 4) Να υπολογίσετε το έργο της δύναµης του ελατηρίου σε κάθε σφαίρα στο διάστηµα αµέσως µετά την κρούση µέχρι να βρεθούν στην ελάχιστη µεταξύ τους απόσταση. ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ Να µελετηθεί η κίνηση σωµάτων τα οποία βρίσκονται συνεχώς σε επαφή µε ελατήριο. Συγκεκριµένα, να γίνει κατανοητό πότε η κίνηση είναι επιταχυνόµενη και πότε επιβραδυνόµενη, πως µια κίνηση µπορεί να είναι µεταβαλλόµενη µε επιτάχυνση-επιβράδυνση που διαρκώς αλλάζει, τι σηµαίνει ελάχιστη και τι 1

2 µέγιστη απόσταση µεταξύ των σωµάτων και ποια θεµελιώδη φυσικά µεγέθη διατηρούνται κατά τη διάρκεια του φαινοµένου. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Κατά την κεντρική ελαστική κρούση των σφαιρών Σ1 και Σ3 πραγµατοποιείται ανταλλαγή ταχυτήτων, οπότε η Σ3 ακινητοποιείται και η Σ1 αρχίζει να κινείται µε ταχύτητα υο. Το ελατήριο αρχικά συσπειρώνεται, οπότε ασκεί απωστικές δυνάµεις F1 και F στις σφαίρες Σ1 και Σ αντίστοιχα. Οι δυνάµεις αυτές είναι συντηρητικές οπότε διατηρείται η µηχανική ενέργεια του συστήµατος σφαίρεςελατήριο. Επίσης οι δυνάµεις αυτές είναι εσωτερικές του συστήµατος σφαίρεςελατήριο, οπότε διατηρείται η ορµή του συστήµατος σε όλη τη διάρκεια του φαινοµένου. 1) Εφαρµόζοντας την Αρχή Διατήρησης της Ορµής αµέσως µετά την κρούση (όπου η σφαίρα Σ είναι ακόµα ακίνητη) και σε µια τυχαία χρονική στιγµή όπου οι σφαίρες έχουν ταχύτητες µε αλγεβρικές τιµές υ1 και υ αντίστοιχα έχουµε: pολ αρχ = pολ τελ υ = υ + υ υ = υ + υ ( ) ( ) o 1 o 1 (1) Λόγω διατήρησης της µηχανικής ενέργειας του συστήµατος έχουµε:

3 k l Kολ ( αρχ ) = Kολ ( τελ ) + Uελ υ = υ 1 + υ + k l υ = υ1 + υ + k l k l υ1 + υ + υυ 1 = υ1 + υ + υυ 1 = > Αφού το γινόµενο των αλγεβρικών τιµών των ταχυτήτων υ1 και υ είναι θετικό κάθε στιγµή, συµπεραίνουµε ότι οι ταχύτητες είναι οµόρροπες. ) Η δύναµη F1 που ασκεί το ελατήριο στη σφαίρα Σ1 µετά την κρούση µε τη σφαίρα Σ3, είναι αντίρροπη της ταχύτητάς της οπότε την επιβραδύνει. Αντίθετα η δύναµη F που ασκεί το ελατήριο στη Σ τη θέτει σε κίνηση και την επιταχύνει. Για όσο χρόνο υ1>υ, η Σ1 πλησιάζει τη Σ και το ελατήριο συσπειρώνεται. Κάποια στιγµή αποκτούν κοινή ταχύτητα υ1=υ=υκ και αµέσως µετά εφόσον η Σ1 εξακολουθεί να επιβραδύνεται και η Σ να επιταχύνεται, υ>υ1, οπότε η Σ αρχίζει να αποµακρύνεται από τη Σ1 και το ελατήριο να αποσυσπειρώνεται, τείνοντας να αποκτήσει ξανά το φυσικό του µήκος. Συµπέρασµα: Οι σφαίρες Σ1 και Σ πλησιάζουν στην ελάχιστη µεταξύ τους απόσταση τη στιγµή που αποκτούν κοινή ταχύτητα και το ελατήριο έχει υποστεί τη µέγιστη συσπείρωση. Λόγω διατήρησης της ορµής και της µηχανικής ενέργειας έχουµε: υ υ = υκ + υκ υ = υκ υκ = k lax υ k lax υ = υκ + υκ + k lax υ = υκ + υ = υ k lax = lax = υ () k Άρα η ελάχιστη απόσταση που πλησιάζουν οι δύο σφαίρες είναι: 3

4 din = l lax din = l υ (3) k Τη στιγµή που το ελατήριο καθώς αποσυσπειρώνεται αποκτά ξανά το φυσικό του µήκος, η σφαίρα Σ1 έχει υ1= και η σφαίρα Σ υ=υο. Στη συνέχεια το ελατήριο αρχίζει να επιµηκύνεται, οπότε ασκεί ελκτικές δυνάµεις στις σφαίρες. Η σφαίρα Σ1 αρχίζει να επιταχύνεται, αφού η F1 είναι οµόρροπη της υ1, ενώ η Σ να επιβραδύνεται αφού η F είναι αντίρροπη της υ. Για όσο χρόνο υ1<υ, η Σ αποµακρύνεται από τη Σ1 και το ελατήριο επιµηκύνεται. Κάποια στιγµή αποκτούν κοινή ταχύτητα υ1=υ=υκ και αµέσως µετά εφόσον η Σ1 εξακολουθεί να επιταχύνεται και η Σ να επιβραδύνεται, υ1>υ, οπότε η Σ1 αρχίζει να πλησιάζει τη Σ και το ελατήριο να χάνει την επιµήκυνσή του, τείνοντας να αποκτήσει ξανά το φυσικό του µήκος. Συµπέρασµα: Οι σφαίρες Σ1 και Σ βρίσκονται στη µέγιστη µεταξύ τους απόσταση τη στιγµή που αποκτούν κοινή ταχύτητα και το ελατήριο έχει υποστεί τη µέγιστη επιµήκυνση. Σε πλήρη αντιστοιχία µε τη µέγιστη συσπείρωση βρίσκουµε: lax = υ k Άρα η µέγιστη απόσταση που φθάνουν οι σφαίρες είναι: dax = l+ lax dax = l+ υ (4) k 3) Το µέτρο του µέγιστου ρυθµού µεταβολής της ορµής κάθε σφαίρας εκφράζεται: 4

5 dp dp dp =Σ F = Fελ = k l k l kυ dt = = dt dt k ax ax ax (5) 5) Το έργο της δύναµης του ελατηρίου στη σφαίρα Σ1 από τη στιγµή που αρχίζει να ολισθαίνει µέχρι να βρεθεί στην ελάχιστη απόσταση µε τη σφαίρα Σ υπολογίζεται µε χρήση του ΘΜΚΕ για τη σφαίρα Σ1 στο αντίστοιχο χρονικό διάστηµα: 1 υ 1 3 WF = K K WF WF ελ τελ αρχ = υ = υ ελ ελ (6) 4 8 Το έργο της δύναµης του ελατηρίου στη σφαίρα Σ από τη στιγµή που αρχίζει να ολισθαίνει µέχρι να βρεθεί στην ελάχιστη απόσταση µε τη σφαίρα Σ1 υπολογίζεται µε χρήση του ΘΜΚΕ για τη σφαίρα Σ στο αντίστοιχο χρονικό διάστηµα: 1 υ 1 WF = K K WF WF ελ τελ αρχ = = υ ελ ελ (7) 4 8 Δηλαδή η δύναµη του ελατηρίου αφαιρεί κινητική ενέργεια από τη σφαίρα Σ1, µέρος της οποίας µεταβιβάζει στη σφαίρα Σ και το υπόλοιπο αποθηκεύεται στο ελατήριο ως δυναµική ενέργεια ελαστικής παραµόρφωσης. Θοδωρής Παπασγουρίδης papasgou@gail.co 5