...for geometry, you know, is the gate of science, and the gate is so low and small that one can only enter it as a little child. William K.

Transcript

1 Διδακτορική Διατριβή Σπινοριακή Σύμπλεξη, Δυναμική Χορδών και Γεωμετρία Κιοσ σ ές Βασ ίλειος Ιούλιος 2013 Αρισ τοτέλειο Πανεπισ τήμιο Θεσ σ αλονίκης

2 Στη Μητέρα μου, Στην Οικογένειά μου 2

3 ...for geometry, you know, is the gate of science, and the gate is so low and small that one can only enter it as a little child. William K. Cliord 3

4 Περιεχόμενα 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η πρότασ ή μας Η ΛΟΓΙΚΗ ΤΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΩΝ Λογική των σ χέσ εων (Relational Logic) Θεωρία Κατηγοριών (Category Theory) Η κατηγορία του ενός είδους (The Monoidal Category) ΣΠΙΝΟΡΣ Εισ αγωγή σ τα Σπίνορς Εισ αγωγή σ το μαθηματικό φορμαλισ μό των σ πίνορς Ορισ μός Γεωμετρική αναπαράσ τασ η ανακλάσ εων και σ τροφών Γεωμετρική Άλγεβρα Σύντομη Ισ τορική Αναδρομή Γινόμενο διανυσ μάτων Εξωτερικό Γινόμενο Γεωμετρικό Γινόμενο Παραδείγματα Εφαρμογής Γεωμετρικής Άλγεβρας Πινακική Αναπαράσ τασ η Διανυσ μάτων Σπίνορς και Στροφές Σπινοριακή αναπαράσ τασ η σ τροφών και ανακλάσ εων Σπίνορς και μη-μηδενικά διανύσ ματα Σπίνορς και Πραγματικός χώρος ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΣΠΙΝΟΡΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ HILBERT, ΣΤΙΣ ΧΟΡΔΕΣ ΚΑΙ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η εμφάνισ η του χωρόχρονου Minkowski Σπινοριακή αναπαράσ τασ η του κοσ μικού φύλλου μιας χορδής Γεωμετρία του ενός qubit με σ πίνορς Απεικόνισ η Hopf S 3 S1 S Χώρος Hilbert ενός qubit και σ φαίρα του Bloch Απεικόνισ η Hopf S 3 S1 S 2 ως σ ύνθεσ η σ τερεογραφικών προβολών Απεικόνισ η Hopf S 3 S1 S 2 με σ πίνορς Σπινοριακή αναπαράσ τασ η ενός χώρου Anti-de Sitter Υπερβολικοί χώροι ,1 H1, Απεικονίσ εις Hopf υπερβολοειδών H H 2, Σύμμορφη σ υμμετρία του χώρου AdS

5 Περιεχόμενα 5. 4-ΔΙΑΣΤΑΤΑ ΣΠΙΝΟΡΣ, ΣΥΜΠΛΕΞΗ ΚΑΙ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ Γεωμετρία των δύο qubits Απεικόνισ η Hopf S 7 S3 S Χώρος Hilbert δύο qubit και γενικευμένη σ φαίρα του Bloch Απεικόνισ η Hopf S 7 S3 S 4 με σ πίνορς Σύμπλεξη δύο σ πίνορς και γεωμετρία Σύμπλεξη και γεωμετρία Φαινομενολογία Συμπεράσ ματα ΣΥΝΟΨΗ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗΣ ΜΑΣ ΔΟΥΛΕΙΑΣ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΠΡΩΤΟΤΥΠΙΑΣ ΕΡΓΟΥ 95 I. Παράρτημα 1 97 II. Παράρτημα

6 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Στο σ ημείο αυτό θα ήθελα να εκφράσ ω την ευγνωμοσ ύνη μου σ ε όσ ους βοήθησ αν σ την εκπλήρωσ η του σ τόχου της ολοκλήρωσ ης αυτής της διατριβής, όπως επίσ ης και σ ε όσ ους σ τάθηκαν εμπόδιο, η σ υνεισ φορά τους ήταν καθορισ τική. Αρχικά θα ήθελα να ευχαρισ τήσ ω θερμά τον επιβλέποντα της διατριβής μου, καθηγητή Αργύρη Νικολαϊδη. Το ενδιαφέρον και η υποσ τήριξή του, τόσ ο σ ε επισ τημονικό όσ ο και σ ε προσ ωπικό επίπεδο, υπήρξε ο καταλύτης για την ολοκλήρωσ η της παρούσ ας διατριβής. Επίσ ης θα ήθελα να τον ευχαρισ τήσ ω για την δυνατότητα που μου έδωσ ε να σ υμμετάσ χω σ ε δύο θερινά σ χολεία και να γνωρίσ ω σ ημαντικούς καθηγητές αλλά και ενδιαφέροντες φοιτητές. Θα ήθελα, επίσ ης, να ευχαρισ τήσ ω τα μέλη της τριμελής επιτροπής αναπλ. καθηγητή Νίκο Βλάχο και επίκουρο καθηγητή Ιωάννη Πασ χάλη για την σ υμπαράσ τασ η και την προθυμία τους να με βοηθήσ ουν με τον έναν ή τον άλλο τρόπο σ την επιτυχή ολοκλήρωσ η της διατριβής μου. Τέλος, οφείλω ένα μεγάλο ευχαρισ τώ σ τη μητέρα μου Σωτηρία, τον αδελφό μου Κώσ τα και τη θεία μου Κατερίνα για την ανεκτίμητη προσ φορά αλλά και υπόμονη που επέδειξαν όλα αυτά τα χρόνια. 6

7 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ενας από τους πρωταρχικούς σ τόχους της φυσ ικής είναι η κατανόησ η των πολλαπλών εκφάνσ εων της φύσ ης με ένα ενιαίο τρόπο. Τα μεγαλύτερα βήματα προόδου, που έχουν γίνει σ το παρελθόν, ήταν προς τη κατεύθυνσ η αυτή: η ενοποίησ η της επίγειας με την ουράνια μηχανική από τον Isaac Newton το 17 ο αιώνα, της οπτικής με τις θεωρίες του ηλεκτρισ μού και του μαγνητισ μού από τον James Maxwell το 19 ο αιώνα, της γεωμετρίας του χωρόχρονου με τη βαρύτητα από τον Albert Einstein σ τις αρχές του 20 ου αιώνα και τέλος της χημείας με την ατομική φυσ ική με την έλευσ η της κβαντικής μηχανικής τη δεκαετία του Ο Einstein αφιέρωσ ε τα τελευταία 30 χρόνια της ζωής του σ την ανεπιτυχή αναζήτησ η μιας ενοποιημένης θεωρίας πεδίου, η οποία θα ενοποιούσ ε τη γενική σ χετικότητα, τη δική του θεωρία για τη βαρύτητα, με τη ηλεκτρομαγνητική θεωρία του Maxwell. Το επόμενο βήμα ενοποίησ ης έγινε πολύ αργότερα, αλλά σ ε διαφορετική κατεύθυνσ η. Στα πλαίσ ια του καθιερωμένου προτύπου (standard model), της καλύτερα δοκιμασ μένης και πιο ευρέως αποδεκτής θεωρίας που έχουμε για τα σ τοιχειώδη σ ωματίδια και τις αλληλεπιδράσ εις τους, οι Steven Weinberg, Abdus Salam και Sheldon Glashow κατάφεραν να ενοποιήσ ουν τις ασ θενείς δυνάμεις με τις ηλεκτρομαγνητικές [1, 2, 3]. Υπάρχουν προτάσ εις για το πώς η θεωρία των ισ χυρών αλληλεπιδράσ εων μπορούν να ενωθούν με τη θεωρία των ηλεκτρασ θενών αλληλεπιδράσ εων (έχει επικρατήσ ει ο όρος: grand unication [4, 5, 6, 7]), αλλά προϋποθέτουν την σ υμμετοχή της βαρύτητας, κάτι που παρουσ ιάζει σ οβαρές δυσ κολίες [8]. Το τέλος του 20 ου αιώνα μας κληροδότησ ε δύο βασ ικές θεωρίες, οι οποίες άλλαξαν ριζικά την, μέχρι τότε, θεώρησ η του κόσ μου και είναι τρομερά δύσ κολο να σ υνταιριάξουμε: τη γενική σ χετικότητα και το καθιερωμένο πρότυπο της σ ωματιδιακής φυσ ικής που βασ ίζεται σ την κβαντική θεωρία πεδίου. Η πρώτη παίρνει υπόψη την βαρύτητα και αγνοεί την κβαντική μηχανική, ενώ η δεύτερη παίρνει υπόψη την κβαντική μηχανική αλλά αγνοεί την βαρύτητα. Με άλλα λόγια, η πρώτη αναγνωρίζει ότι ο χωρόχρονος είναι καμπυλομένος αλλά παραμελεί την αρχή αβεβαιότητας, ενώ η δεύτερη υπολογίζει την αρχή αβεβαιότητας αλλά προσ ποιείται ότι ο χωρόχρονος είναι επίπεδος [9]. Και οι δύο θεωρίες, σ το τομέα τους, έχουν επιδείξει εξαιρετικές επιτυχίες, καμία όμως δεν μπορεί να θεωρηθεί κάτι περισ σ ότερο από μια προσ έγγισ η της αλήθειας. Σαφώς μια σ ύνθεσ η αυτών, δηλαδή μια θεωρία κβαντικής βαρύτητας, είναι αναγκαία. Δυσ τυχώς όμως η ενοποίησ η τους αποδείχτηκε ένα από τα πιο απαιτητικά προβλήματα της θεωρητικής φυσ ικής, η λύσ η του οποίου ακόμη δεν έχει βρεθεί. Με τον όρο κβαντική βαρύτητα σ υνήθως αναφερόμασ τε σ το πρόβλημα της ενοποίησ ης της γενικής σ χετικότητας με την κβαντική θεωρία, δηλαδή της φυσ ικής του πολύ μεγάλου, με φαινόμενα που διέπονται από τις βαρυτικές αλληλεπιδράσ εις και τις παρατηρήσ εις να κυμαίνονται από την κοσ μολογική κλίμακα μέχρι μερικά χιλιοσ τά [10], με τη φυσ ική του πολύ μικρού, με φαινόμενα που κυριαρχούνται από τις ισ χυρές και ηλεκτρασ θενείς αλληλεπιδράσ εις και τις παρατηρήσ εις να κυμαίνονται σ ε διασ τάσ εις από κλάσ ματα του χιλιοσ τού [11] μέχρι μέτρα. Υπάρχουν τομείς της φυσ ικής όπου χρειαζόμασ τε και τις δύο θεωρίες, όπως σ την περίπτωσ η της φυσ ικής των μελανών οπών, όπου δεν μπορεί να σ ημειωθεί καμία σ ημαντική πρόοδος χωρίς την ύπαρξη μιας θεωρίας κβαντικής βαρύτητας. Επίσ ης, η παρατηρησ ιακή 7

8 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ κοσ μολογία μας αφήνει το 95% του σ ύμπαντος άγνωσ το και πολλά δεδομένα, της φυσ ικής υψηλών ενεργειών για το πρώιμο σ ύμπαν, μη ενταγμένα σ ε κάποια θεωρία. Οπότε κάθε θεωρητικός της κβαντικής βαρύτητας οφείλει να μπορεί να σ υνδέσ ει τη θεωρία του με τα νέα δεδομένα. Τι είναι η σ κοτεινή ενέργεια και η σ κοτεινή ύλη; Είναι η κλίμακα της κβαντικής βαρύτητας η κλίμακα του Planck ; Επίσ ης, υπάρχουν καίριας σ ημασ ίας θέματα, τα οποία μια ικανοποιητική κβαντική βαρύτητα θα πρέπει να μπορεί να αντιμετωπίσ ει. Ενδεικτικά μπορώ να αναφέρω τρία τέτοια θέματα: 1) Μεγάλη έκρηξη και άλλα σ ημεία ανωμαλίας: Είναι γενικά αποδεκτό, ότι η πρόβλεψη ενός σ ημείου ανωμαλίας από μια φυσ ική θεωρία, όπως αυτό της μεγάλης έκρηξης που προβλέπει η γενική σ χετικότητα, είναι σ ημάδι ότι η σ υγκεκριμένη θεωρία έχει φτάσ ει σ τα όρια της εγκυρότητάς της. Η ερώτησ η κλειδί επομένως σ ε κάθε θεωρία κβαντικής βαρύτητας είναι: Τί αντικαθισ τά τη μεγάλη έκρηξη; Είναι η κλασ ική γεωμετρία και η εικόνα της σ υνέχειας απλώς μία προσ έγγισ η, ανάλογη της μαγνήτισ ης σ τους σ ιδηρομαγνήτες; Αν είναι, ποιά είναι τα μικροσ κοπικά σ υσ τατικά (όπως τα μαγνητικά δίπολα); Στο μοντέλο του Heisenberg για το σ ιδηρομαγνητισ μό, ποιά δομή διαδραματίζει ρόλο ίδιο με αυτό του χωρόχρονου; 2) Μελανές οπές και εντροπία: Στις αρχές τις δεκαετίας του 1970, χρησ ιμοποιώντας πειράματα σ κέψης, ο Bekenstein [12] επιχειρηματολόγησ ε ότι οι μελανές οπές πρέπει να φέρουν εντροπία ανάλογη της επιφάνειάς τους. Περίπου την ίδια εποχή οι Bardeen, Carter και Hawking (BCH) έδειξαν ότι οι μελανές οπές, όντας σ ε ισ ορροπία, υπακούουν σ ε δύο βασ ικούς νόμους, οι οποίοι έχουν την ίδια μορφή με τον μηδενικό και πρώτο νόμο της θερμοδυναμικής. Οι νόμοι αυτοί λένε ότι η βαρύτητα σ την επιφάνεια της μελανής οπής είναι ανάλογη της θερμοκρασ ίας σ τη θερμοδυναμική και το εμβαδό του ορίζοντα της μελανής οπής είναι ανάλογο της εντροπίας [13]. Ωσ τόσ ο, αρχικά αυτή η ομοιότητα θεωρήθηκε μια τυπική αναλογία. Και αυτό γιατί, παρόλο που η ανάλυσ η των (BCH) βασ ίσ τηκε σ τη κλασ ική γενική σ χετικότητα, με έναν απλό διασ τατικό σ υλλογισ μό προκύπτει ο σ υντελεσ τής αναλογίας να εμπεριέχει τη σ ταθερά του Planck. Δύο χρόνια αργότερα, χρησ ιμοποιώντας κβαντική θεωρία πεδίου σ ε χωρόχρονο μελανής οπής, ο Hawking [14] έδειξε ότι οι μελανές οπές ακτινοβολούν κβαντομηχανικά όπως ένα μελανό σ ώμα. Κάνοντας χρήσ η της αναλογίας με τον πρώτο νόμο, βρήκε ότι η εντροπία της μελανής οπής είναι ανάλογη της επιφάνειας της. Το αποτέλεσ μα αυτό είναι εντυπωσ ιακό γιατί σ υνδέει τους τρείς πυλώνες της βασ ικής φυσ ικής - γενική σ χετικότητα, κβαντική θεωρία και σ τατισ τική μηχανική. Παρόλα αυτά το επιχείρημα από μόνο του είναι ένα μίγμα κλασ ικών και ημικλασ ικών ιδεών, που θυμίζει τη θεωρία του Bohr για το άτομο. Οπότε προκύπτει το ερώτημα: ποιά θεωρία είναι ανάλογη της θεμελιώδους θεωρίας των Pauli-Schrödinger για το άτομο του υδρογόνου; Πιο σ υγκεκριμένα, πώς προκύπτει η εντροπία μιας μελανής οπής από τη σ τατισ τική μηχανική; Ποια είναι η φύσ η της κβαντισ μένης μελανής οπής και ποια είναι η αλληλεπίδρασ η μεταξύ των κβαντικών βαθμών ελευθερίας, υπεύθυνων για την εντροπία; Υπάρχει κάποιο αποτύπωμα του κλασ ικού σ ημείου ανωμαλίας σ την τελική κβαντική περιγραφή, π.χ. μέσ ω απώλεια πληροφορίας ; 3)Φυσ ική σ την κλίμακα Planck και χαμηλής ενέργειας κόσ μος: Στη γενική σ χετικότητα δεν υπάρχει μια μετρική υποβάθρου σ την οποία να ξετυλίγεται η δυναμική. Η ίδια η γεωμετρία έχει δυναμική. Συνεπώς κάποιος θα περίμενε μια πλήρη θεωρία κβαντικής βαρύτητας να είναι ανεξάρτητη της χωροχρονικής γεωμετρίας υποβάθρου. Ομως αναγκασ τικά, μια ανεξάρτητη του υποβάθρου περιγραφή θα πρέπει να κάνει χρήσ η φυσ ικών εννοιών και μαθηματικών εργαλείων, διαφορετικών των οικείων σ ε εμάς, δηλαδή της φυσ ικής χαμηλών ενεργειών. Οπότε, η μεγάλη πρόκλησ η έγκειται σ τη σ ύνδεσ η της φυσ ικής των χαμηλών ενεργειών με τον πρωτόγονο κόσ μο του Planck, ένα κενό, 16 τάξεων μεγέθους της ενεργειακής κλίμακας. 8

9 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αντιμέτωποι με αυτή τη μεγάλη πρόκλησ η, της εναρμόνισ ης και κατ επέκτασ η της ενοποίησ ης της γενικής θεωρίας της σ χετικότητας με τη κβαντική θεωρία, είναι δύσ κολο να γνωρίζουμε εκ των προτέρων το βαθμό της αναθεώρησ ης που χρειάζεται να κάνουμε σ ε βασ ικές έννοιες. Είναι πιθανό μια πετυχημένη κβαντική θεωρία της βαρύτητας να απαιτεί την τροποποίησ η τόσ ο της γενικής θεωρίας της σ χετικότητα όσ ο και της κβαντική θεωρίας, με αποτέλεσ μα, τουλάχισ τον μία από τις δύο θεωρίες, να μην είναι πλέον θεμελιώδη αλλά προϊόν μιας άλλης θεωρίας. Οι περισ σ ότερες προσ εγγίσ εις για τη κβαντική βαρύτητα αφήνουν ανέπαφη τη κβαντική θεωρία, λόγω των πολλών πειραματικών επιβεβαιώσ εων, αφήνοντας να πέσ ουν όλες οι υποψίες σ το θεμελιακό ρόλο της γενικής σ χετικότητας. Η θεωρία της γενικής σ χετικότητας του Einstein περιγράφει τη βαρύτητα ως τη καμπύλωσ η του χωρόχρονου από την ύλη. Αυτό σ ημαίνει ότι σ την περίπτωσ η που η θεωρία της γενικής σ χετικότητας βρεθεί να προκύπτει ως προϊόν άλλης, θεμελιωδέσ τερης, θεωρίας, οι σ ημερινές έννοιες του χώρου και του χρόνου θα πρέπει να αντικατασ ταθούν από ιδέες περισ σ ότερο βασ ικές. Θα πρέπει να θεωρηθεί ο χωρόχρονος και η γεωμετρία ως προσ έγγισ η μιας βαθύτερης δομής, μιας προγεωμετρίας (pregeometry), όπως σ υνέσ τησ ε ο Wheeler [16]. Προς την κατεύθυνσ η της επίλυσ ης του προβλήματος της κβαντικής περιγραφής του βαρυτικού πεδίου υπάρχουν δοκιμασ τικές θεωρίες και ανταγωνισ τικές ερευνητικές προσ εγγίσ εις. Οι προσ εγγίσ εις μπορούν να χωρισ τούν σ ε δύο κύριες κατηγορίες, με γνώμονα την ανεξαρτησ ία ή μη της κάθε προσ έγγισ ης από το χωροχρονικό υπόβαθρο (background independence) [17]. Η ανεξαρτησ ία υποβάθρου διαδραματίζει σ ημαντικό ρόλο τόσ ο σ τη διαφοροποίησ η της κβαντικής μηχανικής από τη γενική σ χετικότητα, όσ ο και σ τη δυσ κολία ενοποίησ ής τους. Το καθιερωμένο πρότυπο, ακολουθώντας το φορμαλισ μό της κβαντικής θεωρίας πεδίου (ΚΘΠ), χρειάζεται καθορισ μένες μετρικές και προτιμά την διαίρεσ η του χωρόχρονου σ ε χώρο και χρόνο. Ηδη είναι πολύ δύσ κολο να διατυπωθεί μια ΚΘΠ σ ε μη-minkowski (δηλαδή καμπυλομένο) υπόβαθρο και φαίνεται εντελώς αδύνατο για δυναμικά μεταβαλλόμενο υπόβαθρο (μετρική). Αντίθετα η γενική σ χετικότητα πρεσ βεύει το δυναμικά εξελισ σ όμενο χωροχρονικό υπόβαθρο. Δεν υπάρχει κάποια μετρική σ το υπόβαθρο όπου εκτυλίσ σ εται η φυσ ική, αλλά ο ίδιος ο χωρόχρονος είναι ένα δυναμικό μέγεθος. Στην πρώτη κατηγορία είναι οι προσ εγγίσ εις σ τις οποίες υπάρχει εξάρτησ η από το υπόβαθρο. Εδώ υιοθετείται ο καλά εδραιωμένος μαθηματικός φορμαλισ μός της ΚΘΠ, έχοντας ως βασ ική γλώσ σ α την θεωρία διαταραχών. Η κβαντική θεωρία πεδίου και το καθιερωμένο πρότυπο έχουν κερδίσ ει τις εντυπώσ εις κατά την διάρκεια του προηγούμενου αιώνα (δεν έ- χουν διαψευσ θεί από κανένα πείραμα), οπότε είναι λογικό να θεωρείται και η βαρύτητα από πολλούς θεωρητικούς, ως η τελευταία από τις αλληλεπιδράσ εις και πιο ασ θενής, το τελευταίο κομμάτι της ίδιας θεωρίας. Εχουν γίνει προσ πάθειες να κατανοηθούν οι κβαντικές ιδιότητες της βαρύτητας κάνοντας χρήσ η των σ τρατηγικών που σ τέφθηκαν με επιτυχία σ τις υπόλοιπες αλληλεπιδράσ εις. Η αναζήτησ η μιας σ υμβατικής κβαντικής θεωρίας πεδίου ικανής να περιλάβει τη βαρύτητα κράτησ ε αρκετές δεκαετίες και τελικά κατέληξε σ τη θεωρία χορδών [18]. Αν και οι βάσ εις της θεωρίας χορδών δεν έχουν ακόμη κατανοηθεί πλήρως, σ ύμφωνα με τις εξαιρετικές θεωρητικές επιτυχίες σ το ενεργητικό της σ ήμερα θεωρείται η κυρίαρχη και πιο ευρέως διερευνόμενη υποψήφια θεωρία κβαντικής βαρύτητας. Η θεωρία χορδών επιμένει σ τις διαταραχές αλλά δεν είναι θεωρία πεδίου με την σ υνηθισ μένη έννοια του όρου. Αρχικά, ήταν μια διδιάσ τατη θεωρία πεδίου κοσ μικών φύλλων (worldsheets). Τα κοσ μικά φύλλα ήταν εμβαπτισ μένα σ ε μια καθορισ μένη, D-διάσ τατη, ψευδο- Riemannian πολλαπλότητα λορετζιανού χαρακτήρα, η οποία πολλαπλότητα εθεωρείτο ότι 9

10 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ήταν ο χωρόχρονος του φυσ ικού κόσ μου. Η λαγκρατζιανή της θεωρίας είναι ένα είδος λαγκρατζιανής μη-γραμμικού μοντέλου-σ για τις σ χετιζόμενες εμβαπτισ μένες μεταβλητές X. Εάν κάποιος πάρει τη διαταραχή της μετρικής και κρατήσ ει τους μικρότερους όρους προκύπτει μια ελεύθερη θεωρία πεδίου σ τις δύο διασ τάσ εις, η οποία όμως είναι σ υνεπής μόνο για D = 26 (bosonic string) ή D = 10 (superstring) διασ τάσ εις. Είναι αξιοσ ημείωτο, ότι το φάσ μα μάζας των σ ωματιδιακών διεγέρσ εων της θεωρίας κλεισ τού κοσ μικού φύλλου (προκύπτει από κλεισ τή χορδή) εμπεριέχει ένα άμαζο σ ωματίδιο με σ πιν 2 το οποίο ερμηνεύεται ως γκραβιτόνιο (graviton). Αυτό είναι ένα από τα δυνατά σ ημεία της θεωρίας. Ενα άλλο είναι ότι η θεωρία χορδών δεν περιέχει πολλές ελεύθερες παραμέτρους (όπως σ την περίπτωσ η του καθιερωμένου πρότυπου) αλλά μία, την τάσ η της χορδής. Το τίμημα για να ακολουθήσ ει κάποιος τη θεωρία χορδών είναι η απαίτησ η εισ αγωγής νέων δομών, άγνωσ των σ τη κλασ ική θεωρία του Einstein, την υπερσ υμμετρία, τις επιπλέον διασ τάσ εις και ένα σ ύνολο νέων και βαριών σ ωματιδίων μετά το γκραβιτόνιο. Στην δεύτερη κατηγορία ανήκουν οι προσ εγγίσ εις που είναι ανεξάρτητες του υποβάθρου. Στις προσ εγγίσ εις αυτές η γενική σ χετικότητα θεωρείται αρκετά θεμελιώδης ώσ τε να υπάρχουν ελπίδες να πάρουμε τη κβαντική θεωρία της βαρύτητας από την κβάντωσ ή της [19]. Κυριότερος εκπρόσ ωπος αυτής της κατηγορίας προσ εγγίσ εων είναι η κβαντική βαρύτητα βρόγχων (loop quantum gravity) [20, 21, 22, 23], σ την οποία θα κάνουμε μια μικρή εισ αγωγή παρακάτω. Εχουν υπάρξει και άλλες προσ πάθειες, όπως: τα αιτιώδη σ ύνολα (causal sets) [24], οι αφροί σ πιν (spin foams) [25, 32], οι αιτιώδεις δυναμικοί τριγωνισ μοί (causal dynamical triangulations) [111], οι δυναμικοί τριγωνισ μοί (dynamical triangulations) [112, 37] ή ο κβαντικός λογισ μός του Regge (quantum Regge calculus) [38], σ τις οποίες δεν θα αναφερθούμε περαιτέρω σ την εργασ ία αυτή. Η κβαντική βαρύτητα βρόγχων (ΚΒΒ) είναι μια μη-διαταρακτική προσ έγγισ η σ το πρόβλημα της σ υμφιλίωσ ης των θεωριών της κβαντικής μηχανικής και της γενικής σ χετικότητας, που βασ ίζεται σ τη κβαντική θεωρία της γεωμετρίας [39]. Σε αυτή την προσ έγγισ η υιοθετείται το βασ ικό πρόσ ταγμα της γενικής σ χετικότητας: η βαρύτητα είναι γεωμετρία, το οποίο σ την περίπτωσ η μιας θεμελιώδους θεωρίας μεταφράζεται σ το ότι δεν πρέπει να υπάρχει καμία μετρική υποβάθρου. Η ΚΒΒ αντιμετωπίζει ευθέως το πρόβλημα της μη-ύπαρξης χωρικού υποβάθρου σ τη φύσ η και ανακατασ κεύαζει την κβαντική θεωρία πεδίου από το μηδέν σ ε μια μορφή που δεν απαιτεί υπόβαθρο. Στην κβαντική βαρύτητα βρόχων, τόσ ο η γεωμετρία όσ ο και η ύλη θα πρέπει να γεννιούνται κβαντομηχανικά. Το ρόλο της διακριτοποίησ ης της γεωμετρίας αναλαμβάνει η κβαντική Riemannian γεωμετρία. Η γενική σ χετικότητα σ υνήθως παρουσ ιάζεται ως η θεωρία των μετρικών. Μπορεί όμως να διατυπωθεί και ως μια δυναμική θεωρία σ υνδέσ εων (connections) [40]. Ο A. Ashtekar κατάφερε να γράψει την γενική σ χετικότητα σ ε μια μορφή παρόμοια με αυτή της θεωρίας Yang-Mills [41], θεωρώντας τις σ υνδέσ εις ως μεταβλητές πεδίων. Αυτός ο μετασ χηματισ μός φέρνει τη γενική σ χετικότητα πιο κοντά σ ε θεωρίες βαθμίδας, οι οποίες, όπως γνωρίζουμε, περιγράφουν τις υπόλοιπες τρεις αλληλεπιδράσ εις της φύσ ης, με την έννοια ότι μοιράζονται τουλάχισ τον την ίδια κινηματική. Η διαφορά φυσ ικά είναι σ τη δυναμική, όπου η δυναμική των θεωριών βαθμίδας των άλλων αλληλεπιδράσ εων απαιτούν μια γεωμετρία υποβάθρου, ενώ της γενικής σ χετικότητας όχι. Η διαδικασ ία σ χηματισ μού μιας ανεξάρτητης του υποβάθρου κβαντικής θεωρίας σ υνδέσ εων και γεωμετρίας ακολουθεί τη λογική των καθιερωμένων κβαντικών θεωριών πεδίου [42, 43]. Οι John Wheeler και Bryce DeWitt εισ ήγαγαν την ιδέα της κυματοσ υνάρτησ ης γεωμετρίας. Η σ υνάρτησ η αυτή εκφράζει την πιθανότητα να έχουμε μια σ υγκεκριμένη χω- 10

11 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ροχρονική γεωμετρία από μια άλλη και ικανοποιεί την εξίσ ωσ η Wheeler-DeWitt, η οποία, κατά κάποιο τρόπο αποτελεί την εξίσ ωσ η Schördinger του βαρυτικού πεδίου. Οι Smolin και Rovelli κατάφεραν να βρούν αρκετές ακριβείς λύσ εις της εξίσ ωσ ης αυτής, χρησ ιμοποιώντας τους βρόγχους (loops) ως μεταβλητές. Οι βρόγχοι σ υμπίπτουν με τα δίκτυα σ πιν (spinnetworks) του Penrose, το αποτέλεσ μα της προσ πάθειας του Penrose να διακριτοποιήσ ει τον σ υνήθη χωρόχρονο. Η ιδέα του Penrose ήταν να ξεκινήσ ει από την γωνιακή σ τροφορμή, η οποία κβαντισ μένη έχει διακριτό φάσ μα και χρησ ιμοποιώντας τους κβαντικούς κανόνες ά- θροισ ής της να παράγει μια διακριτή, κβαντισ μένη, έννοια του χώρου. Ως αποτέλεσ μα, σ τα δίκτυα που επινόησ ε, οι σ υνδέσ εις χαρακτηρίζονται από κβαντικούς αριθμούς παρόμοιους με τις δυνατές τιμές της γωνιακής σ τροφορμής [44]. Η εικόνα του χωρόχρονου ως δίκτυα σ πιν σ την θεωρία βρόγχων οδήγησ ε σ ε έναν κβαντισ μένο χώρο, αποτελούμενο από μικρά κομμάτια με μήκος ακμής ίσ ο με ένα μήκος Planck. Ο ισ τός του χώρου ήταν ένα δίκτυο σ πιν με γραμμές και κόμβους (τελείες). Κάθε μικρό κομμάτι χώρου, για παράδειγμα ένας κύβος, απεικονίζονταν σ αν μια τελεία, από την οποία προεξείχαν 6 γραμμές, που σ υμβολίζουν τις έδρες του. Οταν δύο τέτοιοι κύβοι εφάπτονταν, τότε παρισ τάνονταν με δύο τελείες που ενώνονταν με μία γραμμή (η οποία γραμμή σ υμβολίζει την κοινή τους έδρα), ενώ άλλες 5 γραμμές προεξείχαν από την κάθε τελεία. Είναι προφανές το πόσ ο πολύπλοκοι μπορούσ αν να γίνουν τέτοιοι σ υνδυασ μοί, οι οποίοι, εκτός από κύβους, μπορούσ αν να περιλαμβάνουν και κάθε άλλο πολυεδρικό σ χήμα. Ωσ τόσ ο, παρά τις εξελίξεις, που με πολύ μόχθο επιτεύχθηκαν, υπάρχουν θέματα σ τη κβαντική βαρύτητα που υπερβαίνουν τις υπάρχουσ ες προσ εγγίσ εις. Αυτά περιλαμβάνουν ουσ ιασ τικά προβλήματα τόσ ο μαθηματικής όσ ο και φιλοσ οφικής φύσ ης, που απορρέουν από τη θεμελιακή διαφοροποίησ η της γενικής σ χετικότητας (κλασ ική φυσ ική) από την κβαντική φυσ ική. Στη γενική σ χετικότητα, ο χωρόχρονος, από την μία, διαπλάθεται μόνος του από μια διαφορίσ ιμη πολλαπλότητα M, δηλαδή από ένα σ ύνολο τα σ τοιχεία του οποίου ερμηνεύονται ως χωροχρονικά σ ημεία και το βαρυτικό πεδίο, από την άλλη, αναπαρισ τάται από τον τανυσ τή καμπυλότητας της M. Οντας κλασ ική θεωρία, η βασ ική φιλοσ οφική ερμηνεία της γενικής σ χετικότητας είναι αυτή του ρεαλισ μού: και ο χωρόχρονος και τα σ ημεία που τον αποτελούν υπάρχουν σ την πραγματικότητα όπως και το βαρυτικό πεδίο. Κάνοντας μια μικρή περένθεσ η, αξίζει να αναφέρουμε ότι, η θέσ η αυτή έχει σ υχνά αμφισ βητηθεί, κυρίως από εκείνους που δίνουν έμφασ η σ τα σ χεσ ιακά χαρακτηρισ τικά που είναι εγγενή σ τη γενική σ χετικότητα. Το βασ ικό αξίωμα, το οποίο εμφανίζει τη γενική σ χετικότητα ως μια σ χεσ ιακή θεωρία είναι ότι: οι φυσ ικοί χωρόχρονοι ορίζονται έτσ ι ώσ τε να αντισ τοιχούν, όχι σ ε μια μοναδική πολλαπλότητα M, αλλά σ ε μια κλάσ η ισ οδυναμίας πολλαπλοτήτων και μετρικών, η οποία δημιουργείται από την ομάδα των διαφορομορφισ μών (dieomorphism) Diff(M). [45] Η καθιερωμένη κβαντική θεωρία διαφοροποιείται χρησ ιμοποιώντας ένα καλά καθορισ μένο χωροχρονικό υπόβαθρο σ ε ό,τι αφορά, τόσ ο την διαφορική δομή όσ ο και τη μετρική/καμπυλότητά της. Επιπλέον, η σ υμβατική ερμηνεία της κβαντικής θεωρίας είναι αυτή του χειρισ τή (instrumentalist) σ τη φύσ η, δηλαδή, ασ χολείται με την καταμέτρησ η των πραγματικών κατασ τάσ εων σ χετικά με το τι θα μπορούσ ε να σ υμβεί ή για να είμασ τε πιο ακριβείς, με την πιθανότητα του τι θα μπορούσ ε να σ υμβεί, από την μέτρησ η μιας φυσ ικής ποσ ότητας. Οσ ον αφορά την κβαντική βαρύτητα, το ερώτημα που προκύπτει είναι: Πώς μπορεί ένας τέτοιος φορμαλισ μός να εφαρμοσ τεί σ το χώρο και τον χρόνο Συγκεκριμένα, τι θα μπορούσ ε να σ ημαίνει μέτρησ η ιδιοτήτων του χώρου και του χρόνου, αν η ίδια η πράξη της μέτρησ ης απαιτεί ένα χωρο-χρονικό υπόβαθρο μέσ α σ το οποίο γίνεται Και πώς μπορούμε ουσ ιασ τικά 11

12 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ να μιλάμε για πιθανότητα των αποτελεσ μάτων μιας τέτοιας μέτρησ ης. Ενα σ υναφές ερώτημα που τίθεται είναι για το νόημα, εάν αυτό υπάρχει, που θα μπορούσ ε να αποδοθεί σ την κβαντική υπέρθεσ η των ιδιοκατασ τάσ εων του χώρου και του χρόνου ή χωρόχρονου. Με την πάροδο των χρόνων, το θέμα αυτό έχει σ υζητηθεί διεξοδικά από τον Roger Penrose, ο οποίος κατέληξε σ το σ υμπέρασ μα ότι ο υπάρχων κβαντικός φορμαλισ μός δεν μπορεί να εφαρμοσ τεί σ το χώρο και το χρόνο, και ότι μια νέα αφετηρία είναι απαραίτητη. Ενα άλλο θέμα προκύπτει σ την κβαντική κοσ μολογία, η οποία έχει ως σ τόχο την εφαρμογή της κβαντικής θεωρίας σ το σ ύνολο του σ ύμπαντος. Εκ πρώτης όψεως, η μόνη σ χέσ η μεταξύ της κβαντικής κοσ μολογίας και του αντικειμένου της κβαντικής βαρύτητας είναι το γεγονός ότι κάνουμε κοσ μολογία χρησ ιμοποιώντας διάφορες απλές λύσ εις των κλασ ικών εξισ ώσ εων της γενικής σ χετικότητας. Παρόλα αυτά, ανεξάρτητα από το αν η σ χέσ η με την κβαντική βαρύτητα είναι ορθή, είναι προκλητικό να εφαρμόζει κανείς την κβαντική θεωρία σ ε όλο το σ ύμπαν. Αν κάποιος, όμως, προσ παθήσ ει, τότε το πρόβλημα της εφαρμογής του χειρισ τή γίνεται ξεκάθαρο: πού είναι ο εξωτερικός παρατηρητής, εάν ολόκληρο το σ ύμπαν είναι το σ ύσ τημα Το γεγονός, ότι η κβαντική θεωρία, έτσ ι όπως την γνωρίζουμε, διεγείρει ερωτήματα, δεν είναι καινούργιο. Ο John von Neumann τρία χρόνια μετά την έκδοσ η του βιβλίου του Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik (το 1932)[46], αποσ τέλλει μια επισ τολή προς τον αμερικανικό μαθηματικό Garrett Birkho σ την οποία μεταξύ άλλων αναφέρει: I would like to make a confession which may seem immoral: I do not believe absolutely in Hilbert space no more [47] Με άλλα λόγια, μόνο τρία χρόνια μετά την ολοκλήρωσ η ενός έργου, το οποίο έδωσ ε, κατά πολλούς, το πιο επιτυχημένο φορμαλισ μό που έχει γνωρίσ ει ποτέ η φυσ ική, τόσ ο από την άποψη των πειραματικών προβλέψεων, των τεχνολογικών εφαρμογών, όσ ο και των εννοιολογικών προκλήσ εων, ο ίδιος ο δημιουργός το αποδοκίμασ ε. Παρόλα αυτά ακόμη και σ ήμερα διδασ κόμασ τε τον χώρο Hilbert του John von Neumann. Βέβαια, έχουν υπάρξει προσ πάθειες να βρεθούν εναλλακτικοί φορμαλισ μοί, που να βασ ίζονται σ ε φυσ ικά υποκινούμενες μαθηματικές δομές, εκτός από τους χώρους Hilbert. Για παράδειγμα το 1936 οι Birkho και von Neumann πρότειναν τη λεγόμενη κβαντική λογική [48]. Αλλά οι οπαδοί της κβαντικής λογικής δεν κατάφεραν να πείσ ουν την ευρύτερη κοινότητα των φυσ ικών για τις αρετές αυτής της προσ έγγισ ης. Εναλλακτικές προσ εγγίσ εις έχουν υπάρξει επίσ ης από τους Ludwig, Mackie, Jauch-Piron, and Foulis-Randall [49], αλλά καμία από αυτές δεν έχει καταφέρει να επικρατήσ ει με αδιάσ εισ τα σ τοιχεία για την ορθότητά της. Σήμερα, περισ σ ότερο από 70 χρόνια μετά, έχουμε μάθει εν τω μεταξύ πολλά νέα πράγματα. Για παράδειγμα, έχουμε ανακαλύψει καινούργια πράγματα για τον κβαντικό κόσ μο και τις δυνατότητές του για εφαρμογές: Κατά τη διάρκεια του προηγούμενου αιώνα, η μεγάλη σ υζήτησ η για την κβαντική θεμελίωσ η (η οποία ακόμη δεν τελείωσ ε) ουσ ιασ τικά αμφισ βήτησ ε με τον ένα ή τον άλλο τρόπο την εγκυρότητα της κβαντικής θεωρίας. Η αιτία αυτής της σ υζήτησ ης ήταν η αδυναμία σ χεδιασ μού μιας ικανοποιητικής κοσ μοθεωρίας υπό το φως των ακόλουθων σ τοιχείων: Κβαντική μη-τοπικότητα ή το EPR παράδοξο (Quantum non-locality or the EPR paradox). Σύνθετα κβαντικά σ υσ τήματα, τα οποία μπορεί να χωρίζονται από μεγάλη απόσ τασ η μεταξύ τους, παρουσ ιάζουν ορισ μένες σ υσ χετίσ εις, οι οποίες δεν 12

13 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ μπορούν να εξηγηθούν λέγοντας ότι είχαν επιβληθεί σ το παρελθόν όταν τα σ υσ τήματα ήταν κοντά. Αντίθετα, οι σ υσ χετίσ εις μπορούν να εξηγηθούν λέγοντας ότι δημιουργούνται σ τιγμιαία σ ε μεγάλες αποσ τάσ εις, εξ ου και η μη-τοπικότητα. Είναι αξιοσ ημείωτο ότι οι σ υγκεκριμένοι σ υσ χετισ μοί είναι τόσ ο λεπτοί ώσ τε δεν ενέχουν κάποια μετάδοσ η της πληροφορίας και ως εκ τούτου δεν τίθεται θέμα παραβίασ ης της θεωρίας σ χετικότητας του Einstein. Το πρόβλημα της κβαντικής μέτρησ ης. Δεν υπάρχει καμία καλή εξήγησ η για το τι προκαλεί την κατάρρευσ η της κυματοσ υνάρτησ ης, όπως επίσ ης δεν υπάρχει καμία καλή εξήγησ η για την έλλειψη αιτιοκρατίας σ τις κβαντικές μετρήσ εις. Το τελευταίο προκύπτει να σ χετίζεται σ τενά με την κβαντική μη-τοπικότητα [50]. Πολλοί έλαβαν αυτά τα παράδοξα ως ένδειξη ότι υπάρχει κάποιο θεμελιώδες λάθος σ την κβαντική θεωρία. Ομως η θέσ η αυτή φαίνεται να είναι ολοένα και πιο δύσ κολο να διατηρηθεί. Οχι μόνο υπάρχουν εντυπωσ ιακά πειράματα τα οποία ενισ χύουν την κβαντική θεωρία σ ε όλες τις πτυχές της, αλλά επίσ ης, πολλά νέα κβαντικά φαινόμενα έχουν παρατηρηθεί, τα οποία μεταβάλουν ριζικά τον τρόπο με τον οποίο βλέπουμε τη φύσ η και εγείρουν μια νέα γενιά εννοιολογικών προκλήσ εων. Παραδείγματα πειραματικά επιβεβαιωμένων νέων φαινομένων είναι η κβαντική τηλεμεταφορά [51] και η κβαντική ανταλλαγή κλειδιών [52]. Ειδικότερα, το πεδίο της κβαντικής πληροφορίας προέκυψε θεωρώντας την κβαντική παραδοξότητα, όχι ως κάποιο παρείσ ακτο μικρόβιο, αλλά ως ένα εγγενή χαρακτηρισ τικό. Μέσ α σ ε αυτή την προσ πάθεια της κβαντικής πληροφοριοποίησ ης, όλο και περισ σ ότερο σ υνειδητοποιούμε την ιδιαίτερη σ ημασ ία της σ υγκεκριμένης σ υμπεριφοράς των σ ύνθετων σ υσ τημάτων σ την κβαντική θεωρία. Σήμερα μπορεί κάποιος να αναφέρεται σ ε αυτή την σ υμπεριφορά αποκαλώντας την κβαντική σ ύμπλεξη (quantum entanglement). Είναι τότε όταν σ ύνθετα κβαντικά σ υσ τήματα βρίσ κονται σ ε σ ύμπλεξη που η μη-τοπική σ υσ χέτισ η μπορεί να σ υμβεί. Ο πρώτος που τόνισ ε τον ρόλο κλειδί της σ ύμπλεξης σ την κβαντική θεωρία ήταν ο Schrödinger το 1935 [53]. Τα περισ σ ότερα από τα νέα φαινόμενα που ανακαλύφθηκαν σ την κβαντική πληροφορία βασ ίζονται αποκλεισ τικά σ την κβαντική σ ύμπλεξη. Αυτός ο ρόλος κλειδί, όμως της κβαντικής σ ύμπλεξης, είναι που αγνοήθηκε εντελώς σ τις εναλλακτικές λύσ εις για το χώρο Hilbert που αναφέραμε παραπάνω. Οι βασ ικές έννοιες αυτών των προσ εγγίσ εων εφαρμόζονται αποκλεισ τικά σ ε μεμονωμένα κβαντικά σ υσ τήματα, και αναγνωρίζεται ως ευαίσ θητο σ ημείο τους η αδυναμία αναπαραγωγής της σ ύμπλεξης. Βλέποντας τα πράγματα αποσ τασ ιοποιημένα, αυτό δεν πρέπει να μας προκαλεί καμία έκπληξη. Ούτε τα φυσ ικά σ τοιχεία αλλά ούτε και τα κατάλληλα μαθηματικά εργαλεία διαθέταμε (ακόμη) για να ιδρύσ ουμε ένα νέο φορμαλισ μό για την κβαντική θεωρία σ την οποία η κβαντική σ ύμπλεξη θα διαδραματίζει πρωταγωνισ τικό ρόλο [54]. Από τον Νεύτωνα μέχρι τις αρχές του προηγούμενου αιώνα η φυσ ική ήταν θεμελιωμένη πάνω σ ε ένα μικρό αριθμό βασ ικών εννοιών όπως χώρος, χρόνος, αιτιότητα και ύλη. Παρά την εξέλιξη, οι έννοιες αυτές παρέμειναν αρκετά σ ταθερές και αυτοσ υνεπείς. Στο πρώτο τέταρτο του προηγούμενου αιώνα όμως η κβαντική θεωρία και η γενική σ χετικότητα τροποποίησ αν ριζικά αυτά τα θεμέλια. Και οι δύο θεωρίες, λόγω των πολλών πειραματικών επαληθεύσ εων, έχουν καταφέρει να αντιμετωπίζονται πλέον ως εδραιωμένη γνώσ η. Κάθε μία από τις δύο θεωρίες τροποποιεί την εννοιολογική βάσ η της κλασ ικής φυσ ικής με έναν (λιγότερο ή περισ σ ότερο) εσ ωτερικά σ υνεπή τρόπο. Ενώ, όμως, σ την περίπτωσ η της γενικής σ χετικότητας, 13

14 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ γνωρίζουμε τη θεμελιακή αρχή της, που είναι η αρχή της αντισ τοιχίας, σ την περίπτωσ η της κβαντικής θεωρίας δεν ισ χύει το ίδιο. Εχοντας υπόψη ότι, ο Einstein είχε πρώτα καταλήξει σ την αρχή της αντισ τοιχίας με νοητικά πειράματα και σ τη σ υνέχεια έχτισ ε την θεωρία του, καταλαβαίνουμε την σ ημασ ία που έχει για μια θεωρία η γνώσ η της θεμελιακής αρχής της. Οπως αναφέρει και ο E. Witten [55], η βαρύτητα υπό το φως της γενικής σ χετικότητας έφερε σ την επιφάνεια μια νέα αρχή σ υμμετρίας, -την αρχή της αντισ τοιχίας- η οποία άλλαξε για πάντα τον ρόλο της βαρύτητας σ τη τάξη των πραγμάτων. Μια παρόμοια διαδικασ ία μπορεί να εξελιχθεί και για την περίπτωσ η της κβαντικής μηχανικής. Είναι γενικά παραδεκτό πως κάτι δραματικά διαφορετικό σ υμβαίνει σ τη φύσ η του χώρου και του χρόνου σ την κλίμακα του Planck 1. Ακριβώς, το ποια δραματική αλλαγή μπορεί να είναι αυτή, έχει γίνει πηγή πολυάριθμων εικασ ιών. Ωσ τόσ ο, υπάρχει μια αρκετά ευρεία προσ δοκία ότι, κατά το μέτρο που οι χωρο-χρονικές έννοιες δεν θα έχουν κανένα νόημα, το κατάλληλο μαθηματικό μοντέλο δεν θα βασ ίζεται σ τη καθιερωμένη, σ υνεχή διαφορική γεωμετρία. Πράγματι, από φυσ ική άποψη, δεν είναι δύσ κολο να πεισ τεί κανείς ότι, το σ ημαντικό σ υσ τατικό για ένα χωροχρονικό μοντέλο δεν θα είναι τα σ ημεία του χώρου [56], αλλά μια θεμελιώδη δομή από την οποία θα προκύπτει ο χωρόχρονος. Η ιδέα ότι η βασ ική δομή θεμελίωσ ης όλης της φυσ ικής είναι αυτή της λείας 4-διάσ τατης χωροχρονικής πολλαπλότητας έχει επικρατήσ ει σ την ανάπτυξη της κλασ ικής και κβαντικής φυσ ικής όπως και σ την κλασ ική γενική σ χετικότητα. Στην πραγματικότητα, αυτή η ανάπτυξη οφείλεται, σ ε μεγάλο βαθμό, σ τα μαθηματικά εργαλεία του λογισ μού, που αναπτύχθηκαν αρχικά από τους Νεύτωνα και Leibniz, με αποτέλεσ μα να υπάρχει η πεποίθησ η ότι αυτή η εικόνα τις σ υνέχειας είναι η σ ωσ τή. Αυτή η εικόνα, όμως, τα τελευταία χρόνια αποτελεί σ ημείο κριτικής των θεωρητικών, από τους οποίους πολλοί πισ τεύουν ότι αποτελεί μια προσ έγγισ η μιας πιο θεμελιώδους μορφής. Αυτή η νέα δομή αναμένεται να αποκαλυφθεί σ ε περιοχές όπου η κβαντική βαρύτητα είναι ισ χυρή, δηλαδή σ ε διασ τάσ εις της τάξης του μήκους Planck l P. Υπάρχουν αρκετοί λόγοι που σ υνηγορούν σ την ύπαρξη μιας θεμελιωδέσ τερης του χωρόχρονου δομής. Πρώτον, σ την προσ πάθεια κάποιος να ενοποιήσ ει τις αρχές της κβαντικής μηχανικής και της γενικής σ χετικότητας, κάνει τους ακόλουθους σ υλλογισ μούς: εάν ο χωρόχρονος είναι πράγματι μια πολλαπλότητα, τότε ο μετρικός τανυσ τής πρέπει να υπόκειται σ ε κβαντικές διακυμάνσ εις, οι οποίες γίνονται σ υγκρίσ ιμες με τις αναμενόμενες τιμές αυτού, σ την κλίμακα Planck [57]. Ενας ποιοτικός τρόπος για να το δούμε αυτό είναι ο εξής: υπόθεσ τε ότι θέλουμε να κάνουμε μια μέτρησ η σ ε μια πολύ μικρή περιοχή του χωρόχρονου. Τότε θα έπρεπε να χρησ ιμοποιήσ ουμε φορείς με μικρό χαρακτηρισ τικό μήκος ή/και χρονική κλίμακα, δηλαδή μεγάλη ορμή ή/και ενέργεια. Αυτό όμως σ ημαίνει ότι ο τανυσ τής ενέργειας-ορμής παίρνει μεγάλες τιμές, που από την γενική σ χετικότητα γνωρίζουμε ότι προκαλεί μεγάλη καμπυλότητα και επομένως μεγάλη παραμόρφωσ η της περιοχής του χωρόχρονου που μας ενδιαφέρει. Συμπερασ ματικά μπορούμε να πούμε πως, σ ε μια θεωρία, η οποία περιλαμβάνει την κβαντική μηχανική και τη γενική σ χετικότητα, η έννοια του χωροχρονικού σ ημείου γίνεται ασ αφής. Δεύτερον, αν καταφέρναμε να κάνουμε φυσ ική με όρους γεωμετρίας, για να είμασ τε σ ε θέσ η να αναπαράγουμε την γνωσ τή φυσ ική, η οποία δεν είναι ανεξάρτητη της κλίμακας, η γεωμετρία θα έπρεπε να εμπεριέχει μια θεμελιώδη κλίμακα μήκους. Κάτι που δεν μπορεί να προκύψει από μια λεία πολλαπλότητα. Τρίτον, σ την κβαντική θεωρία πεδίου, οι υπολογισ μοί πλατών πιθανότητας για φυσ ικές 1 l P = ( G c 3 ) 1/ cm 14

15 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ διεργασ ίες δίνουν απειρισ μούς. Σε μερικές περιπτώσ εις οι απειρισ μοί αυτοί μπορούν να απαλειφθούν χρησ ιμοποιώντας τεχνικές της θεωρίας επανακανονικοποίησ ης. Η πηγή του προβλήματος, σ τις περισ σ ότερες περιπτώσ εις, έγκειται σ τα ολοκληρώματα σ το χώρο των ορμών, τα οποία εκτείνονται σ ε αυθαίρετα μεγάλες τιμές της ορμής (δηλαδή σ ε αυθαίρετα μικρές κλίμακες μήκους). Ο απλούσ τερος τρόπος να κάνουμε τα ολοκληρώματα να σ υγκλίνουν είναι να εισ άγουμε ένα άνω όριο ορμής (δηλαδή μια θεμελιώδη κλίμακα μήκους, η οποία θα δηλώνει πως κάτι αλλάζει σ την δομή της θεωρίας σ τις μικρές κλίμακες). Τέλος, σ τη γενική σ χετικότητα, από την λύσ η Schwarzschild για τις μελανές οπές μέχρι τις λύσ εις Friedmann σ την κοσ μολογία, τα σ ημεία ανωμαλίας σ την μετρική είναι σ υχνό φαινόμενο. Αν και αρχικά θεωρήθηκαν ως παραπλανητικές σ υνέπειες της υψηλού βαθμού σ υμμετρίας των ακριβών λύσ εων, τα θεωρήματα των Hawking και Penrose έδειξαν ότι ανώμαλα σ ημεία γενικά μπορούν να προκύψουν σ ε πολλές, φυσ ικά λογικές, περιπτώσ εις. Ενα σ ημείο ανωμαλίας σ ηματοδοτεί το τέλος της περιοχής όπου μπορούμε να εφαρμόσ ουμε τις εξισ ώσ εις του Einstein: η εξέλιξη του βαρύτικού πεδίου σ ε μελλοντικούς κώνους φωτός είναι εντελώς απρόβλεπτη. Οπότε λόγω της απροθυμίας μας να δεχτούμε σ ημεία άπειρης καμπυλότητας, είναι σ ημαντικό να ψάχνουμε τρόπους να τις αποφύγουμε. Με βάσ η το ισ τορικό της, η κβαντική θεωρία θεωρείται ότι μπορεί να βοηθήσ ει σ το σ κοπό αυτό. Γνωρίζουμε ότι η κβαντική θεωρία κατάφερε να αντιμετωπίσ ει το κλασ ικό πρόβλημα της πτώσ ης του ηλεκτρονίου σ τον πυρήνα του ατόμου, ορίζοντας μια κατώτερη τροχιά περιφοράς, για το ηλεκτρόνιο, γύρω από τον πυρήνα. Θα μπορούσ ε κάποιος να πει πως το σ ημείο ανωμαλίας μπορεί να απαλειφθεί από μια ελάχισ τη εκτεταμένη επιφάνεια. Ερωτήματα σ χετικά με την σ υνέχεια της χωροχρονικής πολλαπλότητας είχαν τεθεί πολύ πριν την εμφάνισ η των φυσ ικών κινήτρων. Συγκεκριμένα ο Riemann αναρωτιόνταν: Γιατί υπάρχει χωρική μετρική;. Ο ίδιος, σ την προσ πάθεια του να απαντήσ ει, παρατήρησ ε ότι αν ο χώρος δεν ήταν μια σ υνεχή αλλά μια διακριτή πολλαπλότητα, τότε θα ορίζονταν φυσ ικά η έννοια του όγκου ή η αναλογία των όγκων. Σήμερα, τα ερωτήματα αυτά, γίνεται προσ πάθεια να απαντηθούν μέσ α από μια θεωρία της κβαντικής βαρύτητας. Στην αρχή της εισ αγωγής αναφέραμε τις δύο κατηγορίες προσ εγγίσ εων, με τους κυριότερους εκπροσ ώπους τους. Ειδικά σ την κατηγορία των θεωριών που είναι ανεξάρτητες του υποβάθρου, το κυριότερο πρόβλημα έγκειται σ το να δειχτεί ο τρόπος με τον οποίο προκύπτει η κλασ ική γενική σ χετικότητα σ το όριο των χαμηλών ενεργειών ή μεγάλων όγκων. Για την αντιμετώπισ η του προβλήματος αυτού υπάρχει η εξής πρότασ η: τα ενδιαφέροντα μοντέλα κβαντικής βαρύτητας να έχουν τουλάχισ τον δύο θερμοδυναμικές φάσ εις [58]. Στην υψηλή θερμοκρασ ία, ή φάσ η αταξίας, οι έννοιες της γεωμετρίας και των διασ τάσ εων να μην έχουν νόημα, και η φυσ ική θα περιγράφεται καθαρά με κβαντομηχανικούς όρους. Στην φάσ η χαμηλής θερμοκρασ ίας το σ υσ τήμα θα αποκτά μια τάξη ή μια χωροχρονική δομή, έτσ ι ώσ τε η φυσ ική να μπορεί να περιγράφεται με όρους πεδίων, τα οποία θα ζουν σ ε πολλαπλότητες λίγων διασ τάσ εων με μετρική που θα υπακούει σ τις εξισ ώσ εις του Einstein. Βλέποντας τα πράγματα με αυτόν τον τρόπο, θα μπορούσ αμε να αντιμετωπίσ ουμε το πρόβλημα της εμφάνισ ης του κλασ ικού χωρόχρονου, σ τη φάσ η χαμηλής θερμοκρασ ίας, έχοντας σ τα εργαλεία μας και την σ τατισ τική φυσ ική. Ως κοινά χαρακτηρισ τικά αυτής της ομάδας των προσ εγγίσ εων μπορούμε να αναφέρουμε τα εξής: 1. Θεωρείται πιθανό να πάρουμε την έννοια του χωρόχρονου, και της γεωμετρικές ι- διότητες αυτού, όπως την μετρική, από άλλες δομές, οι οποίες μπορεί να μην είναι γεωμετρικής φύσ ης. 15

16 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 2. Η αρχικός χωρόχρονος που προκύπτει δεν είναι ανάγκη να είναι τεσ σ άρων διασ τάσ εων ή απλής τοπολογίας, αφού θα υπάρχει μια διαδικασ ία ανάκτησ ης σ ε αυτόν που είμασ τε εξοικειωμένοι. 3. Μια θεμελιώδη θεωρία πρέπει να λαμβάνει υπόψη την ύπαρξη των σ ωματιδίων με σ πιν- 1 2, όπως και τα υπόλοιπα σ ωματίδια με τις σ υμμετρίες τους. Για το λόγο αυτό είναι φυσ ικό να αντιμετωπίζουμε τα σ πίνορς ως πιο θεμελιώδες οντότητες από τους τανυσ τές. Αυτό θα το αναλύσ ουμε περισ σ ότερο παρακάτω. 4. Τέλος, όσ ον αφορά την κβαντική δυναμική των προ-γεωμετρικών δομών, ο Wheeler [59] το έθεσ ε έτσ ι: Surely the Lord did not on Day One create geometry and on Day Two proceed to quantize it. The quantum principle, rather, came on Day One and out of it something was built on Day Two which on rst inspection looks like geometry but which on closer examination is at the same time simpler and more sophisticated Η πρότασ ή μας Στην παρούσ α διατριβή ενσ τερνιζόμασ τε την άποψη του Wheeler για την ύπαρξη μιας, θεμελιωδέσ τερης του χώρου και χρόνου δομής, από την οποία η γεωμετρία αποτελεί παράγωγο, ενώ η κβαντική θεωρία διαδραματίζει τον πρωταρχικό ρόλο. Θεωρώντας φυσ ικά δικαιολογημένη την επίκλησ η σ τη λογική, ως τρόπου θεμελίωσ ης μιας θεωρίας που δυνητικά μπορεί να περιγράψει τη φυσ ική πραγματικότητα, υιοθετούμε την πρότασ η ότι η λογική των σ χέσ εων (relational logic), μια μορφή λογικής που αναπτύχθηκε από τον C. S. Peirce την δεκαετία του 1870, μπορεί να χρησ ιμεύσ ει ως κοινή εννοιολογική βάσ η της κβαντικής μηχανικής και της θεωρίας χορδών [60]. Η κλασ ική φυσ ική έχει ως βάσ η την Αρισ τοτελική λογική, η οποία μετασ χηματίσ τηκε σ την αλγεβρική λογική από τον G. Boole. Η άλγεβρα Boole βασ ίζεται σ τη θεωρία σ υνόλων, η οποία αποτελεί την ραχοκοκαλιά των μαθηματικών εργαλείων (σ υνεχές, διανύσ ματα, διαφορικές εξισ ώσ εις) της κλασ ικής φυσ ικής. Η κβαντική θεωρία, από την άλλη, έρχεται σ ε αντίθεσ η με την άλγεβρα Boole και τη θεωρία σ υνόλων. Η κβάντωσ η ενός σ υσ τήματος οδηγεί σ τη κβαντική υπέρθεσ η όλων των δυνατών κατασ τάσ εων του, οπότε δεν μπορούμε να μιλάμε για την κατάσ τασ η αυτή ή την κατάσ τασ η εκείνη εφαρμόζοντας την κβαντική υπέρθεσ η σ τη γεωμετρία, οι έννοιες του εδώ και του εκεί δείχνουν να χάνουν τη σ ημασ ία τους. Επίσ ης, σ την κβαντική αντιμετώπισ η ενός σ ύνθετου σ υσ τήματος εμφανίζονται καινούργια χαρακτηρισ τικά, ξένα σ την κλασ ική φυσ ική, όπως η σ ύμπλεξη. Το λογικό οικοδόμημα του Peirce μοιάζει πολύ με τη θεωρία κατηγοριών (category theory), έναν εξαιρετικά πλούσ ιο κλάδο των μαθηματικών που αναπτύχθηκε από τους Eilenberg και Maclane το 1945 [62]. Μέσ α από την οπτική της θεωρίας κατηγοριών, η δυσ κολία να σ υνδυάσ ουμε τη γενική σ χετικότητα με τη κβαντική θεωρία έγκειται σ τη χρήσ η διαφορετικών μαθηματικών εργαλείων: η πρώτη βασ ίζεται σ τις πολλαπλότητες, ενώ η δεύτερη σ τους χώρους Hilbert. Δεν αναφέρομαι περαιτέρω σ τα θέμετα της λογικής των σ χέσ εων και θεωρίας κατηγοριών αφού αποτελούν το αντικείμενο του επομένου κεφαλαίου. Επιλέγουμε ως βασ ικό σ τοιχείο του λογικού οικοδομήματος των σ χέσ εων τα σ πίνορς και αυτό για δύο λόγους: 16

17 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι δυνατές διασ τάσ εις των σ πίνορς είναι 2 ν με ν N, οπότε εύκολα σ υνδέονται με τις σ χέσ εις, ως σ υνδετικοί κρίκοι τουλάχισ τον δύο πραγμάτων Η λογική των σ χέσ εων προτάθηκε ουσ ιασ τικά ως απαίτησ η της κβαντικής υπέρθεσ ης. Τα σ πίνορς εκτός αυτού του χαρακτηρισ τικού καταφέρνουν να ενσ ωματώσ ουν και ένα άλλο χαρακτηρισ τικό της κβαντικής μηχανικής, την κβαντική σ ύμπλεξη. Τα διανύσ ματα και ο τανυσ τικός λογισ μός αποτελούν παράγωγα των σ πίνορς και του σ πινοριακού λογισ μού. Στην περίπτωσ ή μας, τα σ πίνορς δεν ορίζουν νέες οντότητες σ ε έναν ήδη υπάρχοντα χωρόχρονο (όπως σ την περίπτωσ η της κβαντικής θεωρίας πεδίου) αλλά αντίθετα, ο χωρόχρονος εμφανίζεται ως ένα παράγωγο της δομής των σ πίνορς. Τα σ πίνορς, σ την πιο γενική μαθηματική τους μορφή, εισ ήχθησ αν από τον E. Cartan, το 1913 [63], σ την προσ πάθεια του να πάρει τις γραμμικές αναπαρασ τάσ εις διαφόρων γεωμετριών. Την ιδέα των σ πίνορς μελέτησ ε περεταίρω και ο Penrose σ την προσ πάθεια του να βρει έναν πιο αποδοτικό τρόπο μελέτης του χωρόχρονου, από αυτόν που παρέχουν οι τανυσ τές[64]. Συνδυάζοντας τα παραπάνω, τα σ πίνορς εμφανίζονται ως το ικανό εργαλείο μελέτης τόσ ο της γεωμετρίας όσ ο και της κβαντικής μηχανικής. Ισ ως μάλισ τα τα σ πίνορς, να αποτελέσ ουν το κοινό μαθηματικό εργαλείο μελέτης της σ χετικότητας και της κβαντικής θεωρίας. Φυσ ικά σ την εργασ ία αυτή δεν ισ χυριζόμασ τε ότι αποδεικνύουμε κάτι τέτοιο, απλά παρέχουμε μερικές ενδείξεις προς την κατεύθυνσ η αυτή. Ενα απλό σ πίνορ σ υνδέεται, από την μία, με μια σ φαίρα του Bloch, και από την άλλη, με τον, τοπολογικά ισ οδύναμο της σ φαίρας, κώνο φωτός ενός χωρόχρονου Minkowski. Μάλισ τα, ο φορμαλισ μός των σ πίνορς μας επιτρέπει να μελετήσ ουμε την επίδρασ η της κβαντικής σ ύμπλεξης σ την γεωμετρία. Κάτι που αποτελεί βασ ική επιδίωξη της εργασ ίας αυτής. Στο δεύτερο κεφάλαιο κάνουμε μια εισ αγωγή σ τη λογική των σ χέσ εων του Peirce, και αναφερόμασ τε σ την πρότασ η η λογική των σ χέσ εων να θεωρηθεί η κοινή εννοιολογική βάσ η της κβαντικής μηχανικής και της θεωρίας χορδών. Επίσ ης κάνουμε μια εισ αγωγή σ τη θεωρία κατηγοριών, η οποία εμφανίζει μια αρκετά μεγάλη σ υνάφεια με την λογική των σ χέσ εων. Στο τρίτο κεφάλαιο εισ άγουμε τα σ πίνορς και όλα τα μαθηματικά εργαλεία που θα χρησ ιμοποιήσ ουμε αργότερα. Στο τέταρτο κεφάλαιο, ακολουθώντας την λογική του Peirce, μελετάμε τετραγωνικές σ χέσ εις οι οποίες μπορούν να προκύψουν από σ πίνορς. Βρίσ κουμε, πως ακολουθώντας την άλγεβρα διδιάσ τατων σ πίνορς, αναπαράγουμε το Λορετζιανό χαρακτήρα του χωρόχρονου. Επίσ ης εφαρμόζουμε την ανάλυσ ή μας σ τη γεωμετρία χορδών. Οι περιορισ μοί σ τις εξισ ώσ εις κίνησ ης των χορδών αναπαρισ τώνται από πραγματικά σ πίνορς, τα οποία δημιουργούν μια παραμετροποίησ η του κοσ μικού φύλλου της χορδής παρόμοια με αυτής της αναπαράσ τασ ης Enneper-Weierstass των ελάχισ των επιφανειών. Επιπλέον, η σ πινοριακή μελέτη υπερβολοειδών μας αποκαλύπτει την απεικόνισ η μεταξύ χώρων AdS: AdS 3 Euclid.AdS 2, όπου χρησ ιμοποιώντας την σ χέσ η μεταξύ της σ ύμμορφης απεικόνισ ης (conformal mapping) και του σ πινοριακού μετασ χηματισ μού, όπως εκτεταμένα μελετήθηκαν από τους Penrose και Rindler [64], επισ ημαίνεται η σ ύμμορφη σ υμμετρία που είναι σ υμφυής με τα υπερβολοειδή, όπως και με τον χωρόχρονο AdS 2 ως ειδική περίπτωσ η υπερβολοειδούς. Στο πέμπτο και τελευταίο κεφάλαιο θεωρούμε δύο διδιάσ τατα σ πίνορς και μελετούμε τους τρόπους σ ύζευξής τους σ ε ένα τετραδιάσ τατο σ πίνορς. Ο φορμαλισ μός των σ πίνορς επιτρέπει δύο τρόπους σ ύζευξης των σ πίνορς, έναν τύπου Majorana (ίδιας χειραλικότητας) και έναν τύπου Dirac (διαφορετικής χειραλικότητας). Εχοντας δείξει πως ένα μονό σ πίνορ σ χετίζεται 17

18 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ με τον κώνο φωτός του χωρόχρονου Minkowski αναζητούμε την γεωμετρία που προκύπτει από την σ ύζευξη δύο σ πίνορς. Βρίσ κουμε ότι η σ ύζευξη τύπου Majorana αποδίδει την σ υνήθη κβαντική σ ύμπλεξη, ενώ η σ ύζευξη τύπου Dirac δημιουργεί μια επιπλέον διάσ τασ η σ την οποία σ υνυπάρχουν δύο μεμβράνες. Η απόσ τασ η σ την επιπλέον διάσ τασ η μετριέται από το ποσ ό της σ ύμπλεξης. Η εικόνα που προκύπτει μοιάζει αρκετά με αυτή του εκπυρωτικού σ εναρίου, με μια διαφορά όμως: η μία μεμβράνη φιλοξενεί τα αρισ τερόσ τροφα σ ωματίδια (η δικιά μας), ενώ η άλλη φιλοξενεί τα δεξιόσ τροφα. Μια ξεχωρισ τή φαινομενολογία σ υνοδεύει την πρότασ ή μας. Η σ υμμετρία δεξιά-αρισ τερά επιτυγχάνεται έχοντας δύο μεμβράνες, όπου η μία αποτελεί το είδωλο της άλλης (mirror branes), με το νετρίνο να εμφανίζεται ως ο ιδανικός μεσ ολαβητής μεταξύ των δύο μεμβρανών. Μπορούμε να ξαναεξετάσ ουμε τα θέματα της σ κοτεινής ύλης και σ κοτεινής ενέργειας θεωρώντας οτιδήποτε υπάρχει σ την άλλη μεμβράνη όπως και σ τον χώρο έξω από τις μεμβράνες (bulk) να εμφανίζεται ως σ κοτεινό σ ε εμάς. Τέλος, κατά την διάρκεια της σ ύγκρουσ ης των δύο μεμβρανών όλα τα σ ημεία εμφανίζονται να έχουν μια αιτιώδη σ χέσ η, κάνοντας με αυτόν τον τρόπο λιγότερο επιτακτικό το πληθωρισ τικο σ ενάριο. Αποτελέσ ματα της διατριβής αυτής δημοσ ιεύτηκαν σ τις εργασ ίες A. Nicolaidis, V. Kiosses, Spinor Geometry, Int. J. of Mod. Phys. A27, Issue 22, id , arxiv: A. Nicolaidis, V. Kiosses, Quantum Entanglement on Cosmological Scale, accepted by Journal of Modern Physics (JMP), arxiv:

19 2. Η ΛΟΓΙΚΗ ΤΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΩΝ Η κβαντική μηχανική παρά τις επιτυχίες της και τον καθορισ τικό ρόλο που καλείται να διαδραματίσ ει δεν έχει ακόμη κατανοηθεί πλήρως. Υπάρχουν σ υσ σ ωρευμένες αποδείξεις (ανισ ότητες Bell, ισ ότητες GHZ) ότι η κβαντική θεωρία διαφοροποιείται ριζικά από την κλασ ική φυσ ική. Κι όμως, ενώ γνωρίζουμε τις θεμελιώδεις αρχές των υπόλοιπων θεωριών (π.χ. η αρχή της ισ οδυναμίας σ την περίπτωσ η της γενικής θεωρίας της σ χετικότητας του Einstein), μας λείπει η θεμελιώδη αρχή που διέπει την κβαντική μηχανική, η οποία θα μας επιτρέψει την διερεύνησ η πιο σ ύνθετων θεμάτων. Η λογική των σ χέσ εων ή η ισ οδύναμη διατύπωσ η της ως θεωρία κατηγοριών (η οποία αποτελείται από μορφισ μούς και αντικείμενα) φαίνεται να δίνουν μια απάντησ η σ ε αυτό. Στην κοινή λογική τα ατομικά αντικείμενα είναι τα σ ημεία εκκίνησ ης και ορίζονται ως μέλη ενός σ υνόλου. Στη λογική των σ χέσ εων ένα ατομικό αντικείμενο θεωρείται ως το άθροισ μα όλων των σ χέσ εων του σ υγκεκριμένου αντικειμένου με τα υπόλοιπα αντικείμενα. Η σ ύνθεσ η δύο σ υσ τημάτων προς τον σ χηματισ μό ενός τρίτου είναι ένα από τα κυριότερα σ ημεία διαφοροποίησ ης της κβαντικής από την κλασ ική φυσ ική (σ την πρώτη εμφανίζεται η σ ύμπλεξη). Στη λογική των σ χέσ εων ισ χύει ο νόμος σ ύνθεσ ης, δηλαδή δύο σ χέσ εις μπορούν να σ υνθέσ ουν μια τρίτη μεταβατική σ χέσ η, ο οποίος μας οδηγεί σ τους βασ ικούς νόμους της κβαντικής μηχανικής (κανόνας πιθανότητας, κανόνες αντιμετάθεσ ης). Στη θεωρία κατηγοριών τον ρόλο του νόμου σ ύνθεσ ης παίζει ο σ υναρτητής, ο οποίος σ υνθέτει αντικείμενα του ίδιου είδους δίνοντας αντικείμενα του ίδιου είδους. Στο τελευταίο κεφάλαιο αυτής της εργασ ίας μελετούμε τον νόμο σ ύνθεσ ης αναπαρισ τώντας την σ χέσ η με ένα σ πίνορ, όπου θεωρώντας τα σ πίνορς ως σ υσ τατικά μια θεμελιώδης δομής από την οποία προκύπτει η γεωμετρία, θα δούμε τις σ υνέπειες της σ ύμπλεξης σ την διαμόρφωσ η της γεωμετρίας Λογική των σ χέσ εων (Relational Logic) Εχει προταθεί [60] ότι η λογική των σ χέσ εων (relational logic), μια μορφή λογικής που αναπτύχθηκε από τον C. S. Peirce την δεκαετία του 1870, μπορεί να χρησ ιμεύσ ει ως εννοιολογική βάσ η τόσ ο της κβαντικής μηχανικής όσ ο και της θεωρίας χορδών. Ο Peirce έκανε σ ημαντικές σ υνεισ φορές σ την επισ τήμη, σ την φιλοσ οφία και κυρίως σ τη λογική. Πολλοί μελετητές (Cliord, Schröder, Whitehead, Lukasiewicz) κατέταξαν τον Peirce σ την ισ τορία της σ κέψης ανάμεσ α σ τους Leibniz και Αρισ τοτέλη. Η λογική, σ την πιο γενική της έννοια, είναι η επίσ ημη επισ τήμη των αναπαρασ τάσ εων (representation), μαζί με την σ ημειωτική. Η Αλγεβρική λογική επιχειρεί να εκφράσ ει τους νόμους της σ κέψης με τη μορφή μαθηματικών εξισ ώσ εων και ο Peirce ενσ ωμάτωσ ε μια θεωρία των σ χέσ εων σ την αλγεβρική λογική. Ο Peirce εφηύρε επίσ ης μια σ ημειογραφία για τους ποσ οδείκτες (quantiers) και την κατηγορηματική λογική, επομένως, θεωρείται ως ένας από τους κύριους θεμελιωτές της σ ύγχρονης λογικής. 19

20 2. Η ΛΟΓΙΚΗ ΤΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΩΝ Το σ ημείο εκκίνησ ης είναι η δυαδική σ χέσ η S i RS j μεταξύ δύο ατομικών όρων (αντικειμένων) S j και S i, την οποία σ υνοπτικά θα αναπαρισ τούμε ως R ij. Η σ χέσ η R ij δέχεται πολλαπλές ερμηνείες: ως η απόδειξη της λογικής πρότασ ης i ξεκινώντας από το λογικό σ υλλογισ μό j, ως η μετάβασ η από την κατάσ τασ η j σ την κατάσ τασ η i. Στο πυρήνα του σ υσ τήματος λογικής του Peirce βρίσ κεται η σ ύνθεσ η των σ χέσ εων. Δύο σ χέσ εις της μορφής R ij, R jk μπορούν να σ υνθέσ ουν μια τρίτη μεταβατική σ χέσ η R ik ακολουθώντας τον κανόνα [61] R ij R lk = δ jl R ik. (2.1) Στην κοινή λογική τα ατομικά αντικείμενα είναι τα σ ημεία εκκίνησ ης και ορίζονται ως μέλη ενός σ υνόλου. Ο Peirce, σ ε μια πρωτότυπη κίνησ η, θεώρησ ε ως ατομικό αντικείμενο το άθροισ μα όλων των σ χέσ εων του σ υγκεκριμένου αντικειμένου S i = j R ij. (2.2) Είναι εύκολο να εξακριβώσ ουμε πως ο όρος S i, ορισ μένος όπως σ την σ χέσ η (2.2), αποτελεί ιδιοκατάσ τασ η της σ χέσ ης R ii R iis i = S i (2.3) όπου παρατηρούμε πως η R ii διαδραματίζει τον ρόλο ενός τελεσ τή. Οι σ χέσ εις R ii είναι ταυτοδύναμες R 2 ii = R ii (2.4) και ικανοποιούν την ταυτότητα όπου σ τα δεξιά εμφανίζεται ο μοναδιαίος τελεσ τής 1. Προχωρούμε σ ε μια αναπαράσ τασ η του R ij R ii = 1. (2.5) i R ij = r i r j (2.6) όπου η κατάσ τασ η r i αποτελεί την δυασ τική βάσ η της κατάσ τασ ης r i και υπακούουν την ορθοκανονική σ υνθήκη r i r j = δ ij. (2.7) Αμέσ ως γίνεται φανερό ότι η σ υγκεκριμένη αναπαράσ τασ η ικανοποιεί τον κανόνα σ ύνθεσ ης εξισ. (2.1). Η πληρότητα, εξίσ. (2.5), παίρνει την μορφή r i r i = 1. (2.8) i Ολες οι σ χέσ εις σ υνεχίζουν να ικανοποιούνται αν αντικατασ τήσ ουμε την κατάσ τασ η r i με την ϱ i, όπου ϱ i = 1 r i r n (2.9) N με N τον αριθμό των κατασ τάσ εων. Οπότε επιβεβαιώνουμε την πρότασ η του Peirce, εξίσ. (2.2), και η κατάσ τασ η ϱ i προκύπτει ως το άθροισ μα όλων των αλληλεπιδράσ εων της με n 20

21 2. Η ΛΟΓΙΚΗ ΤΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΩΝ της υπόλοιπες κατασ τάσ εις. Η σ χέσ η R ij δρα ως προβολικός τελεσ τής αλλάζοντας μια κατάσ τασ η r σ ε μια άλλη r R ij r k = δ jk r i. (2.10) Ο νόμος σ ύνθεσ ης των σ χέσ εων οδηγεί σ τους βασ ικούς νόμους της κβαντικής μηχανικής (κανόνας πιθανότητας, κανόνες αντιμετάθεσ ης) υποδεικνύοντας την λογική των σ χέσ εων ως θεμέλιο της κβαντικής μηχανικής. Εχει επίσ ης επισ ημανθεί μια βαθιά σ χέσ η ανάμεσ α σ την Κβαντική Μηχανική και την γεωμετρία [1]. Θεωρούμε την απλοποιημένη περίπτωσ η των δύο κατασ τάσ εων (i = 1, 2) και ορίζουμε R z = 1 2 (R 11 R 22 ) (2.11) και R + = R 12 R = R 21. (2.12) Αυτοί οι τελεσ τές ικανοποιούν τις σ χέσ εις αντιμετάθεσ ης [R z, R ± ] = ±R ± [R +, R ] = 2R z (2.13) της ομάδας σ υμμετρίας SU (2) και ο τετραγωνικός τελεσ τής Casimir παίρνει την μορφή R 2 = Rz (R +R + R R + ) = 1 ( ) (2.14) Η κείμενη δυναμική είναι ανάλογη με αυτήν ενός σ ωματιδίου με γωνιακή σ τροφορμή 1 /2 και η άλγεβρα SU (2) γίνεται αντιληπτή υπενθυμίζοντας κατά κάποιον τρόπο το μοντέλο του Schwinger [65]. Για την γενική περίπτωσ η των N κατασ τάσ εων οι σ χέσ εις R ij παράγουν την άλγεβρα W [R ij, R kl ] = δ jk R il δ li R kj. (2.15) Η άλγεβρα W αποτελεί μποζονική επέκτασ η της άλγεβρας Virasoro και σ υνδέεται με αμφιδιαφορίσ εις αναλλοίωτης επιφάνειας (area-preserving dieomorphisms) διδιάσ τατων επιφανειών της θεωρίας χορδών. Οι σ υμμετρίες της W εμφανίζονται σ ε ένα σ ύνολο σ υτημάτων, μεταξύ των οποίων, QCD 2, βαρύτητα σ ε δύο διασ τάσ εις, μποσ ονικές χορδές σ ε 4-διάσ τατο χώρο Minkowski. Η σ ύνδεσ η ανάμεσ α σ τη λογική των σ χέσ εων και σ τη θεωρία χορδών γίνεται προφανής όταν προχωρούμε σ ε αναπαράσ τασ η των σ χέσ εων με διπλή γραμμή. Ο κανόνας σ ύνθεσ ης των σ χέσ εων εμφανίζεται ως ένωσ η ή διαίρεσ η χορδών και η επανάληψη τέτοιων αλληλεπιδράσ εων μεταξύ χορδών οδηγούν σ ε γεωμετρικά μοτίβα που θυμίζουν την 21

22 2. Η ΛΟΓΙΚΗ ΤΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΩΝ διάκριτη εκδοχή της γεωμετρίας Riemann του T. Regge [66], τα δίκτυα σ πιν του R. Penrose [67, 44] και την πλεγματική θεωρία χορδών [68]. Σχήμα 2.1.: Σχηματική αναπαράσ τασ η του νόμου σ ύνθεσ ης R ij R lk = δ jl R ik Αυτά τα γεωμετρικά μοτίβα μπορούν να προκύψουν επίσ ης από ένα μοντέλο τυχαίου πίνακα (random matrix model). Ο χωρόχρονος είναι διακριτός, το σ υνεχές προκύπτει ως μεταβολή φάσ ης σ το όριο διπλής κλίμακας (double scaling limit). Μέσ α σ ε αυτή την προσ έγγισ η, ο χώρος αντλείται από τη δομή των διεργασ ιών της κβαντικής λογικής και οι κβαντικές σ χέσ εις κωδικοποιούν τις ιδιότητες μιας αναδυόμενης γεωμετρία Θεωρία Κατηγοριών (Category Theory) Το λογικό οικοδόμημα του Peirce φέρει μεγάλη ομοιότητα με την θεωρία κατηγοριών (Category Theory) [60], έναν εξαιρετικά πλούσ ιο κλάδο των μαθηματικών που αναπτύχθηκε από τους Eilenberg και Maclane το 1945 [62]. Στην θεωρία σ υνόλων (set theory), η ιδιότητα του μέλους είναι κυρίαρχη και ένα σ ύνολο καθορίζεται από τα αντικείμενα που το αποτελούν. Αντίθετα, σ την θεωρία κατηγοριών η σ ύνθεσ η αποτελεί την κυρίαρχη έννοια και ένα αντικείμενο γίνεται κατανοητό εντάσ σ οντάς το σ ε μια κατηγορία αντικειμένων, μελετώντας τις σ χέσ εις του με τα υπόλοιπα αντικείμενα της κατηγορίας (μορφισ μοί), ή με άλλες κατηγορίες που σ χετίζονται με την κατηγορία που ανήκει (functors: μορφισ μοί μεταξύ κατηγοριών). Η θεωρία κατηγοριών είναι ένας γενικός φορμαλισ μός ο οποίος αποτελείται από αντικείμενα και μορφισ μούς. Γενικά, τα αντικείμενα αναπαρισ τούν πράγματα και οι μορφισ μοί τρόπους να μεταβείς από το ένα πράγμα σ το άλλο. Στην φυσ ική, τα αντικείμενα είναι οι κατασ τάσ εις ενός φυσ ικού σ υσ τήματος και οι μορφισ μοί οι διαδικασ ίες μετάβασ ης από μία κατάσ τασ η σ ε μια άλλη. Αξίζει να σ ημειώσ ουμε πως η θεωρία κατηγοριών εμφανίζεται ως ο κοινός τόπος μελέτης μεταξύ της φυσ ικής, της τοπολογίας, της πληροφορικής και της λογικής [69] και μάλισ τα έχει προταθεί η σ ύσ τασ η μιας νέας επισ τήμης, μιας επισ τήμης των σ υσ τημάτων και των διαδικασ ιών. Φυσ ικά, ξεφεύγει κατά πολύ από τον σ κοπό της εργασ ίας αυτής η περαιτέρω αναφορά σ το θέμα αυτό. 22

23 2. Η ΛΟΓΙΚΗ ΤΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΩΝ Υπάρχουν πολλές εισ αγωγές σ τη θεωρία κατηγοριών [70], παρόλα αυτά ας δούμε τα βασ ικά σ τοιχεία της. Ορισ μός: Μια κατηγορία C αποτελείται από: Ενα σ ύνολο αντικειμένων (objects) A, B, C,..., X, Y,... Για κάθε ζευγάρι αντικειμένων, ένα σ ύνολο μορφισ μών (morphisms), π.χ. σ ύνολο (A, B) οι μορφισ μοί C (A, B):f : A B από το A σ το B Το A είναι το πεδίο ορισ μού και το B το πεδίο τιμών για το Το σ ύνολο των μορφισ μών f, g, h,... ονομάζονται και απεικονίσ εις (maps) ή τόξα (arrows) Για κάθε αντικείμενο A, ένα ταυτοτικό μορφισ μό 1 A : A A Για κάθε ζευγάρι μορφισ μών ένα σ ύνθετο μορφισ μό A f B g C, (2.16) g f : A C (2.17) Η σ ύνθεσ η πρέπει να υπακούει δύο νόμους 1. Τον ταυτοτικό: Εάν f : A B, τότε 2. Τον προσ εταιρισ τικό: Εάν A f B g C h D, τότε 1 B f = f = f 1 A (2.18) h (g f) = (h g) f (2.19) Ορισ μός: Λέμε πως ένας μορφισ μός f : A B είναι ισ ομορφισ μός εάν έχει τον αντισ τροφό του, δηλαδή έναν άλλο μορφισ μός g : B A, τέτοιος ώσ τε g f = 1 A και f g = 1 B. Ακολουθώντας το παράδειγμα του Feynman, ο οποίος είχε καταλάβει ότι σ την κβαντική θεωρία πεδίου είναι χρήσ ιμο να σ χεδιάζουμε τους γραμμικούς τελεσ τές ως διαγράμματα, τα αντικείμενα μιας κατηγορίας μπορούμε να τα σ χεδιάσ ουμε ως χορδές και τους μορφισ μούς f : A B ως μαύρα κουτιά με μια εισ ερχόμενη χορδή A και μια εξερχόμενη χορδή B: 23

24 2. Η ΛΟΓΙΚΗ ΤΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΩΝ Συνθέτουμε δύο μορφισ μούς σ υνδέοντας την εξερχόμενη χορδή του ενός μαύρου κουτιού με την εισ ερχόμενη χορδή του επόμενου μαύρου κουτιού. Οπότε η σ ύνθεσ η δύο μορφισ μών, f : A B και g : B C μοιάζει με αυτό: Η προσ εταιρισ τικότητα τότε της σ ύνθεσ ης είναι εμφανής: όπου σ υμβολίσ αμε τους μορφισ μούς h (g f) και (h g) f. Παρόμοια, αν σ χεδιάσ ουμε τον ταυτοτικό μορφισ μό 1 A : A A ως ένα κομμάτι χορδής τύπου A: ο ταυτοτικός νόμος (2.18) γίνεται εμφανής. Η αναλογία με την λογική των σ χέσ εων του Πειρςε είναι προφανής, οι σ χέσ εις R ij σ υμπεριφέρονται ως μορφισ μοί και ο ταυτοτικός μορφισ μός για A S i είναι η σ χέσ η R ii. Στην θεωρία κατηγοριών, όπως είπαμε, η κατανόησ η μιας οντότητας επιτυγχάνεται από την μελέτη των σ χέσ εων της με άλλες οντότητες. Οπότε, για να προχωρήσ ουμε σ την θεωρία 24

25 2. Η ΛΟΓΙΚΗ ΤΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΩΝ κατηγοριών πρέπει να ορίσ ουμε και τις απεικονίσ εις μεταξύ κατηγοριών. Η απεικόνισ η μεταξύ κατηγοριών ονομάζεται κατηγορικός τελεσ τής ή σ υναρτητής (functor): Ορισ μός: Ενας σ υναρτητής F : C D από την κατηγορία C σ την κατηγορία D είναι η απεικόνισ η που σ τέλνει κάθε αντικείμενο A C σ ε ένα αντικείμενο F (A) D, κάθε μορφισ μό f : A B σ τη C σ το μορφισ μό F (f) : F (A) F (B) σ τη D, με τέτοιον τρόπο ώσ τε: Η F να διατηρεί τις ταυτότητες: για κάθε αντικείμενο A C, F (1 A ) = 1 F(A) Η F να διατηρεί την σ ύνθεσ η: για κάθε ζευγάρι μορφισ μών f : A B και g : B C σ τη C, F (g f) = F (g) F (f) Μπορούμε να εκλάβουμε έναν σ υναρτητή F : C D ως την απεικόνισ η που κατα μία έννοια οπτικοποιεί μια κάπως αφηρημένη κατηγορία C σ ε μια πιο σ υγκεκριμένη κατηγορία D Η κατηγορία του ενός είδους (The Monoidal Category) Στη φυσ ική, είναι σ υχνά χρήσ ιμο να μελετούμε δύο σ υσ τήματα (ή και περισ σ ότερα) θεωρώντας ότι αποτελούν ένα ενιαίο σ ύσ τημα με δύο μέρη. Από την καθημερινή μας εμπειρία πισ τεύουμε ότι για τον καθορισ μό της κατάσ τασ ης ενός τέτοιου ενιαίου σ υσ τήματος, πρέπει να καθορίσ ουμε τις κατασ τάσ εις των δύο σ υσ τηματών που το αποτελούν. Με άλλα λόγια, μια κατάσ τασ η του ενιαίου σ υσ τήματος είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος κατασ τάσ εων των σ υσ τημάτων-μελών. Μαθηματικά αυτό λέγεται ως: η κατάσ τασ η του ενιαίου σ υσ τήματος δίνεται από το καρτεσ ιανό γινόμενο των κατασ τάσ εων των δύο σ υσ τημάτων-μελών. Η κβαντική μηχανική, τον 20 ο αιώνα, ήρθε για να το ανατρέψει αυτό. Και σ την κλασ ική και σ την κβαντική φυσ ική, παίρνοντας κατασ τάσ εις από τα σ υσ τήματα-μέλη προκύπτει μια κατάσ τασ η του ενιαίου σ υσ τήματος. Αλλά μόνο σ την κλασ ική φυσ ική κάθε κατάσ τασ η του ενιαίου σ υσ τήματος είναι αυτής της μορφής. Στην κβαντική φυσ ική υπάρχουν επίσ ης οι κατασ τάσ εις σ ύμπλεξης, οι οποίες μπορούν μόνο να περιγραφούν ως υπέρθεσ η των κατασ τάσ εων των δύο σ υσ τημάτων-μερών. Το καρτεσ ιανό γινόμενο της κλασ ικής φυσ ικής δίνει την θέσ η του σ το τανυσ τικό γινόμενο. Εμείς, σ την εργασ ία αυτή, την θέσ η του καρτεσ ιανού γινομένου παίρνει η σ πινοριακή σ ύνθεσ η. Το καρτεσ ιανό γινόμενο της κλασ ικής φυσ ικής σ τηρίζεται σ τα σ ύνολα και ορίζεται ως εξής: Εσ τω δύο σ ύνολα S και T, τότε ορίζουμε το σ ύνολο S T με σ τοιχεία τα ζευγάρια (s, t) με s S και t T. Το καρτεσ ιανό γινόμενο S T έχει σ υναρτήσ εις, που ονομάζονται προβολές των σ υνόλων S και T : p 1 : S T S, p 2 : S T T. (2.20) Στην θεωρία κατηγοριών, όλα τα παραπάνω γενικεύονται σ ε μια αυθαίρετη κατηγορία. Εσ τω δύο αντικείμενα A και B σ ε μια κατηγορία, ορίζουμε το καρτεσ ιανό γινόμενο αυτών να είναι το αντικείμενο A B, εφοδιασ μένο με τους μορφισ μούς p 1 : A B A, p 2 : A B B, (2.21) 25

26 2. Η ΛΟΓΙΚΗ ΤΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΩΝ οι οποίοι ονομάζονται προβολές, έτσ ι ώσ τε για κάθε αντικείμενο X και μορφισ μούς f 1 : X A, f 2 : X B, υπάρχει ένας μοναδικός μορφισ μός f : X A B με f 1 = p 1 f και f 2 = p 2 f. Το καρτεσ ιανό γινόμενο μπορεί να μην υπάρχει και μπορεί να μην είναι μοναδικό, αλλά θα είναι μοναδικό ως προς έναν κανονικό ισ ομορφισ μό. Η κατάσ τασ η αλλάζει όταν περνάμε σ την κβαντική θεωρία. Οι κατασ τάσ εις ενός κβαντικού σ υσ τήματος μπορούν ακόμη να θεωρούνται ότι σ χηματίζουν ένα σ ύνολο. Ομως, δεν παίρνουμε το γινόμενο αυτών των κατασ τάσ εων να είναι οι κατασ τάσ εις ενός ενιαίου κβαντικού σ υσ τήματος. Αντίθετα, περιγράφουμε τις κατασ τάσ εις ως μοναδιαία διανύσ ματα σ ε έναν χώρο Hilbert, με μια αυθαιρεσ ία φάσ ης. Ορίζουμε τον χώρο Hilbert για ένα ενιαίο σ ύσ τημα ως το τανυσ τικό γινόμενο των χώρων Ηιλβερτ των σ υσ τημάτων-μελών. Το τανυσ τικό γινόμενο των χώρων Hilbert δεν είναι καρτεσ ιανό γινόμενο με την έννοια που δώσ αμε παραπάνω, αφού για δύο χώρους Hilbert H και K δεν υπάρχουν γραμμικοί τελεσ τές p 1 : H K H, p 2 : H K K με τις απαραίτητες ιδιότητες. Αυτό σ ημαίνει πως από μια κατάσ τασ η του ενιαίου σ υσ τήματος δεν μπορεί να προκύψουν κατασ τάσ εις των σ υσ τημάτων-μελών. Αφού το τανυσ τικό γινόμενο δεν είναι καρτεσ ιανό, δηλαδή διατεταγμένα ζεύγη, τότε τί ακριβώς είναι; Η απάντησ η έρχεται αφού ορίσ ουμε την κατηγορία του ενός είδους (monoidal category). Οι κατηγορίες του ενός είδους εισ ήχθησ αν από τον Mac Lane [71] σ τις αρχές του 1960, ακριβώς για να σ υμπεριλάβει σ τις κατηγορίες ένα γινόμενο, όχι αναγκασ τικά το καρτεσ ιανό, το οποίο να έχει τα παραπάνω χαρακτηρισ τικά. Ορισ μός: Μια κατηγορία ενός είδους αποτελείται από: 1. μια κατηγορία M, 2. έναν σ υναρτητή : M M M, 3. ένα μοναδιαίο αντικείμενο I M, 4. έναν φυσ ικό ισ ομορφισ μό, που ονομάζεται σ υσ χετισ τής (associator), εκχωρώντας σ ε κάθε τριάδα αντικειμένων A, B, C M τον ισ ομορφισ μό 5. τους φυσ ικούς ισ ομορφισ μούς αʹ) τον αρισ τερό μοναδιαίο νόμο α A,B,C : (A B) C A (B C), (2.22) l A : I A A, (2.23) βʹ) τον δεξί μοναδιαίο νόμο r A : A I A, (2.24) Αφού δώσ αμε τον ορισ μό, ας δώσ ουμε τώρα και μερικές εξηγήσ εις. Πρώτα από όλα τι σ ημαίνει ο σ υμβολισ μός M M; Ετσ ι ορίζεται η κατηγορία της οποίας τα αντικείμενα είναι ζευγάρια αντικειμένων σ την M και της οποίας οι μορφισ μοί είναι ζευγάρια μορφισ μών σ τηνm. Οπότε, όταν λέμε ότι το τανυσ τικό γινόμενο είναι ο σ υναρτητής : M M M, αυτό σ ημαίνει ότι για κάθε ζευγάρι αντικειμένων x, y M υπάρχει ένα αντικείμενο x, y M, όπως επίσ ης για κάθε ζευγάρι μορφισ μών f : x x, f : y y σ την M 26

27 2. Η ΛΟΓΙΚΗ ΤΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΩΝ υπάρχει ένας μορφισ μός f f : x y x y σ την M [72]. Σχεδιάζοντας την δράσ η του σ υναρτητή, προκύπτει το σ χήμα 2.2. Τώρα γίνεται κατανοητό και το όνομα της κατηγορίας. Ονομάζεται κατηγορία του ενός είδους γιατί το τανυσ τικό γινόμενο δεν μας εξαναγκάζει να ορίσ ουμε νέες ποσ ότητες, σ υνεχίζουμε να δουλεύουμε με αντικείμενα και μορφισ μούς. Παρατηρήσ τε την αντισ τοιχία με την σ ύνθεσ η δύο σ χέσ εων, η οποία δίνει πάλι μια σ χέσ η σ χ. (2.1) από την λογική των σ χέσ εων του προηγούμενου κεφαλαίου. Φυσ ικά την αντισ τοιχία την βλέπουμε σ υγκρίνοντας και τα αντίσ τοιχα σ χήματα (εικόνες 2.1 και 2.2). Στην εργασ ία αυτή αναπαρισ τούμε μια σ χέσ η ως σ πίνορ, οπότε σ το πέμπτο κεφάλαιο θα δούμε πως το ρόλο του σ υναρτητή παίζει η σ πινοριακή πρόσ θεσ η. Σχήμα 2.2.: Σχηματική αναπαράσ τασ η του σ υναρτητή 27

28 3. ΣΠΙΝΟΡΣ Επιλέγουμε να αναπαρισ τούμε τα θεμελιώδη σ τοιχεία της λογικής των σ χέσ εων, δηλαδή τις σ χέσ εις, με τα σ πίνορς. Μία λογική πρότασ η, η οποία δέχεται ένα ναι ή ένα όχι ως απάντησ η, μοιάζει με ένα απλό σ πίνορ (spinor), το οποίο κάτω από μια μέτρησ η μπορεί να πάρει δύο τιμές, σ πιν πάνω και σ πιν κάτω. Στην επιλογή μας αυτή σ υνηγορεί και ο αριθμός των δυνατών διασ τάσ εων ενός σ πίνορ, που είναι 2 n με n N. Η βάσ η του δύο ταυτίζεται με το γεγονός ότι μια σ χέσ η αναγκασ τικά σ υνδέει δύο αντικείμενα με n τον αριθμό των σ χέσ εων δύο σ χέσ εις αναπαρισ τώνται με ένα σ πίνορ τεσ σ άρων διασ τάσ εων, τρεις σ χέσ εις με ένα σ πίνορ οχτώ διασ τάσ εων κ.τ.λ. Τέλος, τα σ πίνορς χρησ ιμοποιούνται τόσ ο σ την κβαντική θεωρία, π.χ. σ τη γεωμετρία των qubits, όσ ο και σ τη μελέτη του χωρόχρονου. Θεωρείται πως ο λογισ μός των σ πίνορς είναι θεμελιωδέσ τερος του σ υνήθη τανυσ τικού λογισ μού [64, 73] σ τη μελέτη του χωρόχρονου και της γεωμετρίας. Τα σ πίνορς εισ ήχθησ αν από τον Cartan σ την προσ πάθειά του να βρεί γραμμικές αναπαρασ τάσ εις απλών ομάδων σ υμμετρίας. Τα σ πίνορς παρέχουν μια γραμμική αναπαράσ τασ η της ομάδας των σ τροφών. Ενας σ υνήθης διανυσ ματικός χώρος, οποιασ δήποτε διάσ τασ ης, μπορεί να σ υσ χετισ τεί με σ πίνορς μέσ ω της τετραγωνικής σ χέσ ης του μετρικού τανυσ τή που τον χαρακτηρίζει. Τα σ πίνορς ορίζονται ως οι ποσ ότητες που μετασ χηματίζονται με τέτοιο τρόπο ώσ τε να διατηρείται αναλλοίωτη η τετραγωνική σ χέσ η του χώρου με τον οποίο σ υνδέονται, ή πιο απλά, τα σ πίνορς ορίζονται από τον τρόπο που μετασ χηματίζονται κάτω από την σ τροφή των διανυσ μάτων του χώρου με τον οποίο σ χετίζονται. Ο φορμαλισ μός των σ πίνορς σ τις δύο διασ τάσ εις σ υμπίπτει με την σ τροφή που παίρνουμε από την μιγαδική ανάλυσ η, σ τις τρεις διασ τάσ εις σ υμπίπτει με τον φορμαλισ μό των quaternions, ενώ για χώρους με υπογραφή (3, 1) σ υμπίπτει με τους μετασ χηματισ μούς Lorentz. Η βασ ική πράξη των σ πίνορς, όντας διαφορετικές οντότητες από τα διανύσ ματα, είναι το γεωμετρικό γινόμενο της άλγεβρας Cliord, το οποίο είναι άθροισ μα, των γνωσ τών από το διανυσ ματικό λογισ μό, εσ ωτερικού και εξωτερικού γινομένου. Στο κεφάλαιο αυτό, αφού κάνουμε μια εισ αγωγή σ τα σ πίνορς όπως παρουσ ιάσ τηκαν από τον Cartan και τον Penrose. Ορίζουμε ένα μονό σ πίνορ με δύο τρόπους: αρχικά ως ένα σ ημείο πάνω σ ε μια μοναδιαία σ φαίρα που ζει σ τις τρεις διασ τάσ εις και δεύτερον ως μεταβλητή των μιγαδικών σ υνισ τωσ ών ενός ισ οτροπικού 3-διάσ τατου διανύσ ματος. Στη σ υνέχεια κάνουμε μια μικρή αναδρομή σ την άλγεβρα Cliord, την αλγεβρική εκδοχή των γεωμετρικοποιημένων σ πίνορς του Cartan όπου παρουσ ιάζουμε το γεωμετρικό γινόμενο. Εφαρμόζουμε τον σ πινοριακό φορμαλισ μό σ τρέφοντας διανύσ ματα σ τις δύο και τρείς διασ τάσ εις. Στην προτελευταία παράγραφο ορίζουμε σ πίνορς από μη-ισ οτροπικά διανύσ ματα που ζουν σ ε χώρο διάσ τασ ης n. Ο φορμαλισ μός αυτός θα μας φανεί χρήσ ιμος σ το τελευταίο κεφάλαιο όπου σ υζεύγνουμε δύο σ πίνορς που σ χετίζονται με ισ οτροπικά διανύσ ματα παίρνοντας ένα σ πίνορ που σ χετίζεται με μη-ισ οτροπικό διάνυσ μα. Αυτή η μη ισ οτροπικότητα, όπως θα δούμε, την σ υνδέουμε με την σ ύμπλεξη. Στην τελευταία παράγραφο ορίζουμε σ πίνορς που σ χετίζονται με διανύσ ματα σ τον χώρο των πραγματικών αριθμών. Ο φορμαλισ μός της παραγράφου αυτής ουσ ιασ τικά σ υμπίπτει με αυτόν που σ υναντάμε σ τη γεωμετρία του χώρου Hilbert, όπως 28

29 3. ΣΠΙΝΟΡΣ βλέπουμε σ το επόμενο κεφάλαιο Εισ αγωγή σ τα Σπίνορς Τα σ πίνορς σ την πιο γενική, μαθηματική τους μορφή, εισ ήχθησ αν από τον E. Cartan, ο οποίος ερευνώντας γραμμικές αναπαρασ τάσ εις απλών ομάδων σ υμμετρίας [63] βρήκε ότι τα σ πίνορς παρέχουν μια γραμμική αναπαράσ τασ η της ομάδας των σ τροφών. Συγκεκριμένα, όπως θα δούμε σ ε αυτό το κεφάλαιο, η αναπαράσ τασ η σ τροφής σ ε χώρο n διασ τάσ εων γίνεται με σ πίνορς 2 ν διασ τάσ εων, όπου n = 2ν + 1 ή n = 2ν. Σπίνορς σ ε 4-διάσ τατο χώρο απαντώνται σ την διάσ ημη εξίσ ωσ η του Dirac για τα ηλεκτρόνια, όπου οι τέσ σ ερις κυματοσ υναρτήσ εις δεν είναι τίποτα άλλο από τέσ σ ερις σ υνισ τώσ ες ενός σ πίνορ. Πριν τον E. Cartan πλήθος εργασ ιών είχαν δημοσ ιευτεί με αντικείμενο τα σ πίνορς, αλλά σ την πλειοψηφία τους τα σ πίνορς εισ άγονταν με έναν καθαρά τυπικό τρόπο, χωρίς κανένα διαισ θητικά γεωμετρικό νόημα. Ο ίδιος ο Cartan επισ ημαίνει πως αυτή η έλλειψη γεωμετρικού νοήματος έκαναν τις προσ πάθειες επέκτασ ης της εξίσ ωσ ης Dirac, ώσ τε να σ υμπεριλάβει την γενική σ χετικότητα, τόσ ο περίπλοκες. Για το λόγο αυτό ο Cartan θέλησ ε να αναπτύξει περαιτέρω την θεωρία των σ πίνορς δίνοντάς την έναν καθαρά γεωμετρικό ορισ μό [74]. Λόγω αυτής της γεωμετρικής αρχής πρώτον οι πίνακες που χρησ ιμοποιούνται σ την Κβαντική Μηχανική (πίνακες Pauli, Dirac) εμφανίζονται από μόνοι τους και δεύτερον μπορούμε να κατανοήσ ουμε την βαθύτερη αρχή της ιδιότητας, την οποία κατέχει η Cliord algebra, της αναπαράσ τασ ης των σ τροφών σ ε χώρους οποιασ δήποτε διάσ τασ ης. Με πολύ μεγάλη ακρίβεια, μπορούμε να θεωρήσ ουμε τον χωρόχρονο που ζούμε ως μία λεία 4-διάσ τατη πολλαπλότητα, προικισ μένη με την μετρική του Lorentz της ειδικής ή γενικής σ χετικότητας του Einstein. Ο πιο σ υχνά χρησ ιμοποιούμενος μαθηματικός φορμαλισ μός τόσ ο των πολλαπλοτήτων όσ ο και των μετρικών προέρχεται από τον τανυσ τικό λογισ μό. Συγκεκριμένα όμως για την περίπτωσ η των 4-διάσ τατων πολλαπλοτήτων και της μετρικής Lorentz ο R. Penrose υπέδειξε έναν άλλο φορμαλισ μό ως καταλληλότερο και αυτός δεν είναι άλλος από τον φορμαλισ μό των 2-σ πίνορς [64]. Ο Penrose ανέπτυξε τον σ υγκεκριμένο λογισ μό λεπτομερώς και έδειξε πως μπορεί να παρουσ ιασ τεί ως χρήσ ιμο σ υμπλήρωμα ή πρακτική εναλλακτική πρότασ η σ τον γνωσ τό τανυσ τικό λογισ μό. Ο λογισ μός των σ πίνορ του Penrose μπορεί να θεωρηθεί πως εφαρμόζεται αποδοτικότερα σ την δομή του χωρόχρονου από ότι ο σ υνήθης τανυσ τικός λογισ μός. Συγκριτικά οι τανυσ τές είναι λιγότερα εκλεπτυσ μένοι και αποτυγχάνουν να κάνουν εμφανές κάποιες από τις ιδιότητες του χωρόχρονου που έφερε σ την επιφάνεια η κβαντική μηχανική Εισ αγωγή σ το μαθηματικό φορμαλισ μό των σ πίνορς Ορισ μός Ορισ μός σ πίνορς με ισ οτροπικά διανύσ ματα Υποθέσ τε ότι ο 3-διάσ τατος χώρος E 3 αναφέρεται σ ε ένα σ ύσ τημα ορθογώνιων σ υντεταγμένων και έσ τω (ζ 1, ζ 2, ζ 3 ) C οι σ υντεταγμένες ενός ισ οτροπικού διανύσ ματος (isotropic vector) Z αυτού του χώρου, διανύσ ματος δηλαδή με μηδενικό μήκος ή κάθετο σ τον εαυτό του. Μπορούμε τότε να σ υναρτήσ ουμε σ ε αυτό το διάνυσ μα, οι σ υνισ τώσ ες του οποίου ικανοποιούν την σ χέσ η: Z Z = ζ ζ ζ 2 3 = 0, (3.1) 29

30 3. ΣΠΙΝΟΡΣ δύο ανεξάρτητες μιγαδικές μεταβλητές a, b C, μέσ ω των σ χέσ εων ζ 1 = a 2 b 2 ζ 2 = i ( a 2 + b 2) (3.2) ζ 3 = 2ab. Αυτές τις σ χέσ εις τις βρίσ κουμε μετασ χηματίζοντας πρώτα την εξίσ ωσ η (3.1) σ την ζ3 2 = ( ) ζ1 2 + ζ2 2 = (ζ 1 + iζ 2 ) (ζ 1 iζ 2 ) και έπειτα θέτοντας ζ 1 + iζ 2 = 2b 2, ζ 1 iζ 2 = 2a 2. (3.3) Από τις σ χέσ εις (3.3) μπορούμε να εκφράσ ουμε τις ποσ ότητες a, και b σ υναρτήσ ει των ζ 1 και ζ 2 : ζ1 iζ 2 ζ1 iζ 2 a = ±, b = ±. (3.4) 2 2 Το ζευγάρι των μιγαδικών αριθμών (a, b) σ υνισ τούν ένα σ πίνορ. Συνδεόμενα διανύσ ματα Παραπάνω είδαμε πώς προκύπτει ένα σ πίνορ από ένα 3- διάσ τατο ισ οτροπικό διάνυσ μα. Οπως αναφέραμε σ την εισ αγωγή ο Cartan εισ ήγαγε τα σ πίνορς σ την προσ πάθεια του να βρεί μια γραμμική αναπαράσ τασ η της ομάδας των σ τροφών. Στην παράγραφο αυτή θα δούμε πως προκύπτει ένα σ πίνορ από δύο διανύσ ματα του 3- διάσ τατου πραγματικού χώρου, τα οποία, όπως θα δούμε σ ε επόμενη παράγραφο, ορίζουν το επίπεδο του φυσ ικού χώρου όπου πραγματοποιείται η σ τροφή. Θεωρήσ τε τα διανύσ ματα X 1 = (x 1, y 1, z 1 ) και X 2 = (x 2, y 2, z 2 ) του πραγματικού Ευκλείδειου χώρου E 3, τα οποία πρέπει να είναι κάθετα μεταξύ τους και να έχουν το ίδιο μέτρο, δηλαδή: X 1 2 = X 2 2 = x y z 2 1 = x y z 2 2 (3.5) X 1 X 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0. (3.6) Ο απλούσ τερος τρόπος για να ορίσ ουμε ένα σ πίνορ από τα παραπάνω διανύσ ματα είναι να σ υνδέσ ουμε τα διανύσ ματα με το ισ οτροπικό διάνυσ μα Z. Επειδή Z C 3, θέτουμε ζ 1 = x 1 + ix 2 ζ 2 = y 1 + iy 2 (3.7) ζ 3 = z 1 + iz 2 και λόγο των σ χέσ εων (3.5) και (3.6) παρατηρούμε ότι ικανοποιείται η σ χ. (3.1) ζ1 2 + ζ2 2 + ζ3 2 = x y1 2 + z1 2 [ ] x y2 2 + z2 2 +2i (x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 ) = 0. 30

31 3. ΣΠΙΝΟΡΣ Ετσ ι δικαιολογούμε και τις σ υνθήκες που επιβάλαμε σ τα διανύσ ματα. Οπότε οι σ χέσ εις (3.2) σ την περίπτωσ η των διανυσ μάτων τροποποιούνται σ τις x 1 + ix 2 = a 2 b 2 y 1 + iy 2 = i ( a 2 + b 2) (3.8) z 1 + iz 2 = 2ab. Παίρνοντας το σ υζυγή μιγαδικό των παραπάνω σ χέσ εων και αθροίζοντας σ τις ίδιες εκφράζουμε το διάνυσ μα X 1 σ υναρτήσ ει του σ πίνορ (a, b): x 1 = 1 2 ( a 2 b 2 + a 2 b 2) y 1 = 1 2 i ( a 2 + b 2 a 2 b 2) (3.9) z 1 = (ab + a b ). Αφαιρώντας εκφράζουμε το διάνυσ μα X 2 σ υναρτήσ ει του σ πίνορ (a, b): x 2 = 1 2 i ( a 2 + b 2 + a 2 b 2) y 2 = 1 ( a 2 + b 2 + a 2 + b 2) 2 (3.10) z 2 = i (ab a b ). Στερεογραφική προβολή Η προβολή σ ημείων μιας 3-διάσ τατης σ φαίρας σ το επίπεδο με την μέθοδο της σ τερεογραφικής προβολής δύναται ως άλλη μια εισ αγωγή σ τα σ πίνορς, λιγότερο αφηρημένης από αυτή του Cartan. Την μέθοδο αυτή χρησ ιμοποίησ αν και οι Penrose και Rindler για να ορίσ ουν κοσ μικά διανύσ ματα 1 σ υναρτήσ ει μιγαδικών αριθμών που σ υνισ τούν τα σ πίνορς [64]. 1 διανύσ ματα του 4-διάσ τατου χωρόχρονου Σχήμα 3.1.: Στερεογραφική προβολή 31

32 3. ΣΠΙΝΟΡΣ Εσ τω (x, y, z) οι σ υντεταγμένες ενός σ ημείου P μιας σ φαίρας με κέντρο O και μοναδιαία ακτίνα σ χ.(3.1). Ισ χύει x 2 + y 2 + z 2 = 1. (3.11) Εσ τω N = (0, 0, 1) ο βόρειος πόλος της σ φαίρας και M το υπόλοιπο της σ φαίρας. Το επίπεδο z = 0 διέρχεται από το κέντρο της σ φαίρας και ο ισ ημερινός είναι η τομή της σ φαίρας με το επίπεδο. Για κάθε σ ημείο P M, υπάρχει μια μοναδική ευθεία η οποία διέρχεται από τα σ ημεία N και P και τέμνει το επίπεδο z = 0 σ το σ ημείο P. Ορίζουμε την σ τερεογραφική προβολή του σ ημείου P της σ φαίρας να είναι το σ ημείο P σ το επίπεδο. Το γεγονός ότι τα σ ημεία P = (x, y, z), P = (X, Y, 0) και N = (0, 0, 1) βρίσ κονται όλα σ την ίδια ευθεία μπορεί να εκφρασ τεί μαθηματικά από την σ χέσ η Οπότε παίρνουμε την προβολή: (x, y, z 1) = t (X, Y, 1) t R, t 0 (3.12) (X, Y ) = ( ) x 1 z, y. (3.13) 1 z Ταυτίζοντας το επίπεδο z = 0 με το μιγαδικό επίπεδο, μπορούμε να το παραμετροποιήσ ουμε με την βοήθεια μιας μιγαδικής μεταβλητής ζ = X + iy = x + iy 1 z. (3.14) Για να πάρουμε τις αντίσ τροφες σ χέσ εις, αρχικά απαλοίφουμε τα x και y με την βοήθεια της (3.11): ζζ = x2 + y 2 (1 z) 2 = 1 + z (3.15) 1 z και σ τη σ υνέχεια λύνοντας την (3.15) ως προς το z και αντικαθισ τώντας το αποτέλεσ μα σ την (3.14) παίρνουμε x = ζ + ζ ζζ + 1, y = ζ ζ i (ζζ + 1), z = ζζ 1 ζζ + 1. (3.16) Η προβολή (3.14) μας επιβάλει να σ υνδέουμε την απειρισ μένη σ υντεταγμένη ζ = του μιγαδικού επιπέδου με το σ ημείο N = (0, 0, 1) της σ φαίρας. Για να το ξεπεράσ ουμε αυτό ορίζουμε την μιγαδική μεταβλητή ζ ως πηλίκο δύο μιγαδικών μεταβλητών ζ = a b. (3.17) Οι καινούργιες σ υντεταγμένες θεωρούνται προβολικές (ομογενείς), επειδή τα ζευγάρια (a, b) και (λa, λb) αναπαρισ τούν το ίδιο σ ημείο της σ φαίρας, με λ ένας τυχαίος μη-μηδενικός μιγαδικός αριθμός. Με αυτές τις σ υντεταγμένες το άπειρο, ζ =, δίνεται από το σ ημείο (1, 0) και οι σ χ. (3.16) μετατρέπονται σ τις x = ab + ba aa + bb, y = ab ba i (aa + bb ), z = aa bb aa + bb. (3.18) ή παίρνοντας υπόψην την σ χ. (3.11) x = ab + ba, y = ab ba, z = aa bb (3.19) 32

33 3. ΣΠΙΝΟΡΣ επειδή aa + bb = 1. (3.20) Σύμφωνα με τα παραπάνω, σ ε κάθε σ ημείο P μιας μοναδιαίας σ φαίρας μπορούμε να αντισ τοιχήσ ουμε ένα ζευγάρι μιγαδικών αριθμών (a, b). Αυτό το ζευγάρι των μιγαδικών αριθμών σ υνισ τά ένα σ πίνορ. Παρακάτω θα δείξουμε ότι μπορούμε να βρούμε δύο νέα διανύσ ματα X 1, και X 2 του Ευκλείδειου χώρου E 3 τα οποία θα σ χετίζονται με το σ πίνορ (a, b) της μοναδιαίας σ φαίρας. Αυτά τα διανύσ ματα θα ορισ θούν ως ορθογώνια με μέτρο μηδέν, όπως επίσ ης κάθετα σ το διάνυσ μα OP. Εσ τω X 3 = OP και (x i, y i, z i ), με i = 1, 2, 3, οι αντίσ τοιχες σ υνισ τώσ ες των διανυσ μάτων X 1, X 2, X 3 τα οποία σ υνδέονται μέσ ω της σ χέσ ης X 3 = X 1 X 2. (3.21) Παίρνοντας υπόψην τις σ υνισ τώσ εις του διανύσ ματος OP σ υναρτήσ ει των σ πινοριακών σ υνισ τωσ ών (3.19), καθώς και την σ υνθήκη (3.20) γράφουμε x 3 = y 1 z 2 y 2 z 1 = (aa + bb ) (ab + ba ) y 3 = z 1 x 2 z 2 x 1 = (aa + bb ) (ab ba ) z 3 = x 1 y 2 y 1 x 2 = (aa + bb ) (aa bb ). Από τις παραπάνω εξισ ώσ εις δεν μπορούμε να λύσ ουμε ως προς τις σ υνισ τώσ εις των διανυσ μάτων X 1, X 2, έχουμε τρεις εξισ ώσ εις με έξι αγνώσ τους. Θεωρώντας, όμως, τις σ υνθήκες ορθοκανονικότητας και των τριών διανυσ μάτων παίρνουμε έξι επιπλέον εξισ ώσ εις, οπότε μπορούμε να γράψουμε τα διανύσ ματα X 1, X 2 σ υναρτήσ ει των μιγαδικών μεταβλητών του σ πίνορ 2 x 1 + ix 2 = a 2 b 2 y 1 + iy 2 = i ( a 2 + b 2) (3.22) z 1 + iz 2 = 2ab Παρατηρούμε πως οι σ χέσ εις που βρήκαμε σ υμπίπτουν με αυτές της προηγούμενης παραγράφου ( ). Συμπερασ ματικά, απο τη μία, σ ε κάθε σ ημείο P μιας μοναδιαίας σ φαίρας μπορούμε να αντισ τοιχήσ ουμε ένα ζευγάρο μιγαδικών αριθμών (a, b), το οποίο θα σ υνισ τά ένα σ πίνορ. Από την άλλη, τις μιγαδικές σ υνισ τώσ εις ενός ισ οτροπικού 3-διάσ τατου διανύσ ματος μπορούμε πάντα να τις εκφράζουμε σ υναρτήσ ει δύο μιγαδικών αριθμών a, b ή ενός σ πίνορ. Το κοινό σ ημείο των παραπάνω τρόπων ορισ μού ενός σ πίνορ είναι τα σ χετιζόμενα ορθοκανονικά διανύσ ματα X 1 και X 2 που σ υναντήσ αμε και σ τις δύο περιπτώσ εις. Στην πρώτη ως τα διανύσ ματα που ορίζουν το κάθετο επίπεδο σ το διάνυσ μα θέσ ης του σ ημείου P πάνω σ την σ φαίρα και σ την άλλη ως το πραγματικό και φαντασ τικό μέλος των σ υνισ τωσ ών του ισ οτροπικού διανύσ ματος Z. 2 οι λύσ εις εμπεριέχουν μια απροσ διορισ τία λόγω του μη καθορισ μού της διεύθυνσ ης των εν λόγω διανυσ μάτων 33

34 3. ΣΠΙΝΟΡΣ 3.2. Γεωμετρική αναπαράσ τασ η ανακλάσ εων και σ τροφών Ο Cartan, όπως αναφέρθηκε σ το πρώτο υποκεφάλαιο, ερευνώντας γραμμικές αναπαρασ τάσ εις απλών ομάδων σ υμμετρίας βρήκε ότι τα σ πίνορς παρέχουν μια γραμμική αναπαράσ τασ η της ομάδας των σ τροφών σ ε χώρους οποιασ δήποτε διάσ τασ ης. Ο ίδιος θέλοντας αργότερα να αναπτύξει περαιτέρω την θεωρία του για τα σ πίνορ προσ πάθησ ε να προσ δώσ ει ένα καθαρά γεωμετρικό περιεχόμενο σ τις σ υγκεκριμένες μαθηματικές οντότητες και το κατάφερε εκμεταλεύομενος την βασ ική ιδιότητα των σ πίνορς να σ τρέφουν διανύσ ματα οποιασ δήποτε διάσ τασ ης με μοναδικό τρόπο. Για ορθογώνιες σ τροφές σ το σ υνήθη χώρο, ενώ οι ορθοκανονικές σ υνισ τώσ εις ενός κοινού διανύσ ματος μετασ χηματίζονται, όπως είναι γνωσ τό, από σ τοιχεία της ειδικής ομάδας ορθογώνιων μετασ χηματισ μών SO (n), ο Cartan έδειξε πως οι σ υνισ τώσ ες ενός μηδενικού (ή σ ταθερού μέτρου) διανύσ ματος μετασ χηματίζονται με σ τοιχεία της ομάδας spin (n) που δρουν σ τις σ υνισ τώσ εις ενός σ πίνορ, οι οποίες σ χετίζονται με το μηδενικό διάνυσ μα. Την ιδιότητα της αναπαράσ τασ ης σ τροφών σ ε χώρους αυθαίρετης διάσ τασ ης, πολύ πρίν τα σ πίνορς του Cartan, την κατείχε η Γεωμετρική Άλγεβρα του W. K. Cliord ή Άλγεβρα Cliord όπως έχει επικρατήσ ει προς τιμήν του μαθηματικού που την εισ ήγαγε το Οπότε ήταν αναμενόμενο τα σ πίνορς κατά κάποιο τρόπο να σ χετίζονται με την Γεωμετρική Άλγεβρα. Πράγματι ο Cartan δουλεύοντας πάνω σ την σ τροφή διανυσ μάτων με τη βοήθεια σ πίνορς κατέληξε σ τον ορισ μό του γεωμετρικού γινομένου μεταξύ διανυσ μάτων, βασ ικής πράξης της Γεωμετρικής Άλγεβρας. Στο κεφάλαιο αυτό, αφού κάνουμε μια εισ αγωγή σ την Γεωμετρική Άλγεβρα, ακολουθώντας μια πινακική αναπαράσ τασ η των διανυσ μάτων, όπως πρότεινε ο Cartan, θα αναπαράγουμε το γεωμετρικό γινόμενο μεταξύ δυο διανυσ μάτων. Στην σ υνέχεια αξιοποιώντας τα καινούργια μας μαθηματικά εργαλεία θα μελετήσ ουμε ανακλάσ εις και σ τροφές τόσ ο διανυσ μάτων όσ ο και σ πίνορς Γεωμετρική Άλγεβρα Σύντομη Ισ τορική Αναδρομή Ενα κεντρικό πρόβλημα που αντιμετωπίζεται σ το πρώτο μισ ό του 19 ου αιώνα ήταν η εύρεσ η ενός τρόπου για την καλύτερη αναπαράσ τασ η 3-διάσ τατων σ τροφών. Ο W. R. Hamilton ασ χολήθηκε αρκετά χρόνια με αυτό το πρόβλημα και τελικά παρήγαγε τα quaternions, τα οποία αποτελούν γενίκευσ η των μιγαδικών αριθμών και σ τροφών φάσ ης σ τις τρεις διασ τάσ εις. Παρά την προφανή χρησ ιμότητά τους, για πολλά χρόνια επικράτησ ε σ ύγχυσ η ως προς τον ρόλο που καλούνταν να διαδραματίσ ουν τα quaternions. Η άλγεβρα περιλαμβάνει τέσ σ ερα σ τοιχεία {1, i, j, k}, αλλά μόνο τρία από αυτά προσ διορίζουν ένα διάνυσ μα. Ουσ ιασ τικά ένα quaternion ορίζεται ως το άθροισ μα ενός βαθμωτού και ενός διανυσ ματικού όρους. Σε μια διαφορετική εξέλιξη, ο H. Grassmann καινοτόμησ ε εισ άγοντας το εξωτερικό γινόμενο (exterior product), το οποίο ορίζει την ποσ ότητα, που σ ήμερα ονομάζουμε 2-μορφή (bivector), a b από δύο διανύσ ματα. Τα κρίσ ιμα χαρακτηρισ τικά αυτού του γινομένου είναι η προσ εταιρισ τικότητα (associativity) a (b c) = (a b) c (3.23) 34

35 3. ΣΠΙΝΟΡΣ και αντι-αντιμεταθετικότητα (anticommutativity) a b = b a. (3.24) O Grassmann ήταν ένας γερμανός δάσ καλος ο οποίος αγνοήθηκε κατά τη διάρκεια της ζωής του. Η δουλειά του σ τα μαθηματικά έμειναν σ την αφάνεια λόγω της αδιαπέρασ της μορφής λόγου και σ υχνά φτωχής επιλογής σ υμβολισ μών που χρησ ιμοποιούσ ε. Μετά το θάνατό του, ωσ τόσ ο, το έργο του προκάλεσ ε την δημιουργία των σ ημαίνοντων τομέων των διαφορίσ ιμων μορφών (dierential forms) και μεταβλητών Grassmann (anticommuting). Ο τελευταίος είναι βασ ικός σ τη θεμελίωσ η μεγάλου μέρους της σ ύγχρονης θεωρίας υπερσ υμμετρίας (supersymmetry). Το κρίσ ιμο βήμα έγινε το 1878 από τον Cliord, ο οποίος φαίνεται να ήταν από τους λίγους μαθηματικούς της εποχής οι οποίοι είχαν διαβάσ ει και κατανοήσ ει την δουλειά του Grassmann. O Cliord εισ ήγαγε την Γεωμετρική Άλγεβρα ενώνοντας το εσ ωτερικό με το εξωτερικό γινόμενο σ ε μία και μοναδική πράξη το γεωμετρικό γινόμενο. Η Γεωμετρική Άλγεβρα εκτός από προσ εταιρισ τική, όπως του Grassmann, είχε επιπλέον την ιδιότητα να είναι αντισ τρέψιμη, όπως του Hamilton. Πράγματι, το πρωταρχικό κίνητρο του Cliord ήταν να ενοποιήσ ει τις άλγεβρες του Grassmann και του Hamilton σ ε μία και μοναδική δομή. Το σ ύσ τημα του Cliord σ υνδύαζε όλα τα πλεονεντήματα των χυατερνιονς με αυτά της διανυσ ματικής γεωμετρίας, άρα θα μπορούσ ε να εξελιχθεί ως το κυριότερο σ ύσ τημα της μαθηματικής φυσ ικής. Παρόλα αυτά, αυτό δεν έγινε πρώτον λόγω του πρόωρου θανάτου του Cliord, μόλις σ τα 34 χρόνια του, δεύτερον λόγω της εισ αγωγής του διανυσ ματικού λογισ μού του J. W. Gibbs. Ο λογισ μός του Gibbs επειδή ήταν προσ αρμοσ μένος για την θεωρία του ηλεκτρομαγνητισ μού, όπως ήταν γνωσ τός σ τα τέλη του 19 ου αιώνα, καθώς επίσ ης και η μεγάλη φήμη του Gibbs έριξαν σ την αφάνεια την δουλειά των Cliord και Grassmann. Από την σ τιγμή που εμφανίσ τηκε η ειδική θεωρία της σ χετικότητας και οι φυσ ικοί σ υνειδητοποίησ αν ότι χρειάζονται ένα σ ύσ τημα ικανό να χειρίζεται 4-διάσ τατους χώρους, οι ιδέες των Cliord και Grassmann είχαν χαθεί για μια ολόκληρη γενιά. Την δεκαετία του 1920 η άλγεβρα του Cliord ήρθε ξανά σ την επιφάνεια ως η άλγεβρα πίσ ω από το κβαντικό σ πίν. Συγκεκριμένα η άλγεβρα των πινάκων Pauli και Dirac, που αποτελεί κομμάτι της άλγεβρας Cliord, έγινε βασ ικό εργαλείο μελέτης της κβαντικής θεωρίας. Παρόλα αυτά, η τελευταία μεταχειρίζεται περισ σ ότερο ως άλγεβρα, χωρίς γεωμετρικό περιεχόμενο. Για τον λόγο αυτό, γενικά αλλά και ειδικά σ την Κβαντική θεωρία, χρησ ιμοποιείται περισ σ ότερο ο όρος άλγεβρα Cliord και όχι Γεωμετρική Άλγεβρα. Η κατάσ τασ η δεν άλλαξε μέχρι την δεκαετία του 1960, όπου ο D. Hestenes άρχισ ε να αποκαλύπτει το γεωμετρικό περιεχόμενο της άλγεβρας των πινάκων Pauli και Dirac. Το βασ ικό κίνητρο του Hestenes ήταν να αποκτήσ ει μια εικόνα για την φύσ η της Κβαντικής Μηχανική, αλλά σ ύντομα κατάλαβε πως αν εφαρμοσ τεί κατάλληλα, το σ ύσ τημα του Cliord δεν είναι τίποτα άλλο από μια παγκόσ μια γλώσ σ α για τα μαθηματικά, την φυσ ική και την μηχανική [75]. Τα τελευταία χρόνια η Γεωμετρική Άλγεβρα εφαρμόζεται σ ε διάφορους τομής της επισ τήμης, από τις μελανές οπές, την κοσ μολογία και την κβαντική θεωρία πεδίου μέχρι την κβαντική πληροφορία και ρομποτική Γινόμενο διανυσ μάτων Ως διανυσ ματικός ή γραμμικός χώρος ορίζεται το σ ύνολο V πάνω σ το σ ώμα K σ τον οποίο έχουν ορισ τεί οι πράξεις του αθροίσ ματος και του βαθμωτού πολλαπλασ ιασ μού, δηλαδή 35

36 3. ΣΠΙΝΟΡΣ a, b V a + b V λa V, λ K Υιοθετώντας την γεωμετρική ερμηνεία του όρου διάνυσ μα ως κατευθυνόμενο ευθύγραμμο τμήμα, μπορούμε να εκφράσ ουμε αλγεβρικά τις γεωμετρικές ιδέες: ένα διάνυσ μα να είναι παράλληλο σ ε ένα άλλο και το μέτρο ενός διανύσ ματος, αν ορίσ ουμε το εσ ωτερικό γινόμενο μεταξύ διανυσ μάτων. Εσ ωτερικό γινόμενο Το εσ ωτερικό ή βαθμωτό γινόμενο (inner or scalar product) δύο διανυσ μάτων a και b, σ υνήθως γράφεται σ την μορφή a b, είναι ένα βαθμωτό μέγεθος ίσ ο με a b = a b cos ϑ, (3.25) όπου a και b τα μήκη των διανυσ μάτων a, b και ϑ η μεταξύ τους γωνία. Ενώ σ τον Ευκλείδειο χώρο το εσ ωτερικό γινόμενο είναι ορισ μένο πάντα ως θετική ποσ ότητα a 2 = a a > 0 a 0, (3.26) σ τον μη-ευκλείδειο, όπως σ τον χώρο Minkowski, αυτό αλλάζει. Πάντα όμως μπορούμε να ορίσ ουμε ένα ορθογώνιο σ ύσ τημα σ υντεταγμένων και να υπολογίσ ουμε το εσ ωτερικό γινόμενο ως a µ b µ ή η µν a µ b ν με η µν τον μετρικό τανυσ τή του χώρου. Αυτό το γινόμενο δεν περιέχει όλη την πληροφορία για την σ χετική διεύθυνσ η δύο τυχαίων διανυσ μάτων, αφού μηδενίζεται για την περίπτωσ η που είναι κάθετα. Για το λόγο αυτό εισ άγουμε το διανυσ ματικό γινόμενο. Διανυσ ματικό γινόμενο διάνυσ μα με μέτρο Το διανυσ ματικό γινόμενο a b δύο διανυσ μάτων είναι ένα a b = a b sin ϑ (3.27) και διεύθυνσ η κάθετη σ το επίπεδο που ορίζουν τα a και b, έτσ ι ώσ τε τα η τριάδα a, b και a b να σ χηματίζουν ένα δεξιόσ τροφο σ ύσ τημα. Αυτό είναι αρκετό για να ορισ τεί το διανυσ ματικό γινόμενο με μοναδικό τρόπο, μόνο όμως για τον 3-διάσ τατο χώρο. Σε αυτόν το χώρο εισ άγοντας ένα δεξιόσ τροφο ορθοκανονικό σ ύσ τημα σ υντεταγμένων {e i } μπορούμε να ανακτήσ ουμε τον ορισ μό του διανυσ ματικού γινομένου σ υναρτήσ ει των σ υνισ τωσ ών των διανυσ μάτων. Επειδή e i e j = ɛ ijk e k (3.28) αν αναλύσ ουμε τα διανύσ ματα σ τις σ υνισ τώσ εις αυτών, a = a i e i και b = b i e i, βρίσ κουμε a b = (a i e i ) (b j e j ) = a i b j (e i e j ) = (ɛ ijk a i b j ) e k. Ετσ ι ο γεωμετρικός ορισ μός δίνει και τον αντίσ τοιχο αλγεβρικό. 36

37 3. ΣΠΙΝΟΡΣ Εξωτερικό Γινόμενο Το διανυσ ματικό γινόμενο έχει ένα βασ ικό ελάττωμα - ζει μόνο σ τις τρεις διασ τάσ εις. Στις δύο διασ τάσ εις δεν υπάρχει κάθετη διεύθυνσ η σ τα διανύσ ματα a και b, ενώ σ τις τέσ σ ερις ή περισ σ ότερες διασ τάσ εις η κάθετη διεύθυνσ η είναι ασ αφώς ορισ μένη. Για να γίνει κατανοητό αυτό, θεωρείσ τε τέσ σ ερα ορθοκανονικά διανύσ ματα e 1, e 2, e 3, e 4. Εάν πάρουμε το ζευγάρι e 1, e 2 και προσ παθήσ ουμε να βρούμε το κάθετο και σ τα δύο διάνυσ μα, παρατηρούμε πως κάθε σ υνδυασ μός των e 3 και e 4 μας κάνει. Αυτό που χρειάζεται να κάνουμε είναι κατά κάποιο τρόπο να κωδικοποιήσ ουμε ένα επίπεδο γεωμετρικά, χωρίς να σ τηριζόμασ τε σ την θεωρία του κάθετος σ ε αυτό διανύσ ματος. Οπότε ορίζουμε το εξωτερικό γινόμενο (outer product) να είναι το προσ ανατολισ μένο επίπεδο που σ αρώνουν τα διανύσ ματα a, b και παρισ τάνεται ως a b. Σχήμα 3.2.: Το Εξωτερικό γινόμενο Το επίπεδο έχει εμβαδό a b sin ϑ, το οποίο ορίζεται να είναι το μέτρο του a b. Το αποτέλεσ μα του εξωτερικού γινομένου δεν είναι ούτε αριθμός ούτε διάνυσ μα. Είναι μια νέα μαθηματική οντότητα που κωδικοποιεί μια προσ ανατολισ μένη επιφάνεια και έχει το όνομα δι-διάνυσ μα (βι εςτορ). Μπορούμε να το φαντασ τούμε ως ένα παραλληλόγραμμο το οποίο παίρνουμε σ αρώνοντας το ένα διάνυσ μα κατά μήκος του άλλου (3.2). Γενικεύοντας την θεώρησ η αυτή οδηγούμασ τε σ την παραγωγή αντικειμένων μεγαλύτερης διάσ τασ ης ή βαθμού. Δηλαδή, αν ένα δι-διάνυσ μα a b (βαθμού 2) το σ αρώνουμε κατά μήκος ενός διανύσ ματος c (βαθμού 1), τότε παίρνουμε τον προσ ανατολισ μένο σ τοιχείο όγκου (a b) c, το οποίο είναι τρι-διάνυσ μα (βαθμού 3). Οντας σ ε ένα χώρο n-διασ τάσ εων το αντικείμενο με την μεγαλύτερη διάσ τασ η που μπορούμε να παράγουμε είναι βαθμού n με σ υνισ τώσ εις n-διανύσ ματα. Εκ κατασ κεύης το εξωτερικό γινόμενο είναι προσ εταιρισ τικό: (a b) c = a (b c) = a b c (3.29) όπως επίσ ης, επειδή αλλάζοντας τη σ ειρά των διανυσ μάτων αλλάζει και ο προσ ανατολισ μός του παραλληλογράμμου, το εξωτερικό γινόμενο είναι αντισ υμμετρικό a b = b a (3.30) όπως και επιμερισ τικό a (b + c) = a b + a c (3.31) 37