Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ)

Transcript

1 ΘΕΜΑ ο Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ) Α. Να αποδείξετε ότι αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο 0,τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( ) ln, * είναι παραγωγίσιμη στο Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ως Σωστές ή Λάθος. i. Αν η είναι παραγωγίσιμη στο 0,τότε η είναι συνεχής στο 0. ( ) ii. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R και ()>0 τότε ( ) iii. a a ln a, a 0 (8 μονάδες) ln. (7 μονάδες) * και ότι iv. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο 0 του πεδίου ορισμού της όταν υπάρχει ( ) ( 0) το lim. 0 0 v. Η ταχύτητα ενός κινητού τη χρονική στιγμή t0 είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης =s(t) τη χρονική στιγμή t0. (0 μονάδες) ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι συναρτήσεις, g. α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της που διέρχεται από το σημείο Α(0,-) (7 μονάδες) β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της g που είναι παράλληλη στην ευθεία y 06. γ) Να βρεθεί η εξίσωση της κοινής εφαπτομένης των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων,g δ) Ένα κινητό Μ ξεκινά από την αρχή των αξόνων και κινείται κατά μήκος της καμπύλης Cg, 0. Να βρείτε σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του M είναι διπλάσιος t για κάθε t 0 από το ρυθμό μεταβολής του y, αν υποτεθεί ότι 0

2 ΘΕΜΑ ο Δίνεται συνεχής συνάρτηση :, για την οποία ισχύει: lim για κάθε. ( ) 5 και α) Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο 0. β) Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της C στο 6 γ) Να βρείτε τη τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η εφαπτομένη ε της C στο 0 εφάπτεται και στη γραφική παράσταση της συνάρτησης g. δ) Δίνεται ορθή γωνία Oy και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ του οποίου τα άκρα Α και Β ολισθαίνουν πάνω στις πλευρές O και Oy αντίστοιχα. Ένα δοκάρι είναι τοποθετημένος κατά μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.Το κάτω μέρος του δοκαριού ολισθαίνει πάνω στον ημιάξονα Οχ με ρυθμό m/sec.τη χρονική στιγμή t 0 που η κορυφή του δοκαριού απέχει από την αρχή των αξόνων m, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής i) της οξείας γωνίας θ που σχηματίζει το δοκάρι με τον χ χ ii) την ταχύτητα που πέφτει το πάνω μέρος του δοκαριού. (Δίνεται ότι το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ είναι ίσο με το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΓΔ όπου Γ,Δ τα σημεία τομής της εφαπτομένης ε του προηγούμενου ερωτήματος με τους άξονες) (7 μονάδες) ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι συναρτήσεις,g : για τις οποίες ισχύει ότι για κάθε A g( ) e α) Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις,g αντιστρέφονται. (8 μονάδες) (0) (5 μονάδες) β) Να υπολογίσετε τo γ) Αν θεωρήσουμε ότι η g είναι παραγωγίσιμη,να υπολογίσετε τo g (). δ) Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο 0 με 0.

3 ΘΕΜΑ ο Α. Θεωρία Β. Θεωρία Λύσεις Γ. ΣΛΣΛΣ ΘΕΜΑ ο, g. B, το σημείο επαφής,τότε η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο αυτό είναι Δίνονται οι συναρτήσεις α) Έστω 0 0 y y y To σημείο A ανήκει στην εφαπτομένη άρα 0. 0 y β) Έστω,g το σημείο επαφής,αφού η εφαπτομένη είναι παράλληλη στην ευθεία y 06 έχουμε g. Οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι η y g g y y,, E, g τα σημεία επαφής με τις C, C γ) Έστω (ε) η κοινή εφαπτομένη και αντίστοιχα. Τότε η εξίσωση της (ε) για τα σημεία Δ,Ε είναι : y y y y g g y y Επομένως () και () 8 Οπότε η εξίσωση της κοινής εφαπτομένης είναι η (ε): y g

4 δ) Έστω t,yt yt t yt t t yt t t οι συντεταγμένες του M την τυχαία χρονική στιγμή t. () Έστω t 0 η χρονική στιγμή κατά την οποία ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του M είναι διπλάσιος από το ρυθμό μεταβολής του y. Για t t0 yt0 t0 t0 yt0 t0 yt0 t 0. y t t Οπότε στο σημείο, ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του M είναι 6 διπλάσιος από το ρυθμό μεταβολής του y ΘΕΜΑ ο α) Θεωρούμε g, [0,), lim lim g οπότε g lim lim lim g lim g lim g 5 lim g Άρα η είναι παραγωγίσιμη στο 0 με β) () Για = : () 6 () 6 u u 6 g και lim lim lim 6 u6 u 6 H εξίσωση της εφαπτομένης της C στο 6 είναι η (ε) : y y y 6 γ) H εξίσωση της εφαπτομένης της C στο είναι η (ε) : y y y 6 Έστω A0, g 0 το σημείο επαφής της εφαπτομένης με τη C g. Οπότε g και g To σημείο,g( ) ανήκει στην (ε) οπότε g 0 0 5

5 δ) α)h (ε) τέμνει τους άξονες στα σημεία,0 και 0, Έστω 0,,,0. y t t οι συντεταγμένες του πάνω και κάτω άκρου του πάσσαλου την τυχαία χρονική στιγμή t. Αν t η γωνία θ την τυχαία χρονική στιγμή t τότε t t t tt () 5 5 Για t t0 t0 yt0 t0 t0 t t0 t0 rad / sec β) yt t y t t y t t t Για t t0 : yt t t t0 5 5 m / sec ΘΕΜΑ ο με. α) Έστω, Άρα η είναι - οπότε αντιστρέφεται. Έστω, με e e () και () e e g g. Επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα και - οπότε αντιστρέφεται. 5 β) Θέτουμε y οπότε. Άρα η αντίστροφη της έχει τύπο Η 5 y y y y y. είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο Οπότε 0 γ) Γνωρίζουμε ότι g g (6).. Mε παραγώγιση της (6) έχουμε gg g g g. g g g g g 0

6 g g g e g 0 0, 0 0 δ) άρα lim 0 lim (6) οπότε lim 0 από κριτήριο παρεμβολής. οπότε Επομένως η είναι παραγωγίσιμη στο 0 με lim lim