ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1. α. Ορισμός στο σχολικό βιβλίο σελίδα 15. β. i) Μια συνάρτηση : έχει αντίστροφη όταν είναι συνάρτηση 1-1. ii) Έστω μια συνάρτηση :. Αν η f είναι συνάρτηση 1-1, τότε για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της υπάρχει μοναδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α για το οποίο ισχύει. Επομένως, ορίζεται μια συνάρτηση : με την οποία κάθε αντιστοιχίζεται στο μοναδικό για το οποίο. Από τον τρόπο που ορίστηκε η προκύπτει ότι: Έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών της Έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού της Ισχύει η ισοδυναμία: Η συνάρτηση λέγεται αντίστροφη συνάρτηση της και συμβολίζεται. Επομένως: Α2. ιατύπωση Θ. Fermat σχολικό βιβλίο σελίδα 142 Α3. Απόδειξη του Θεωρήματος σχολικό βιβλίο σελίδα 135 Α4. α. Λάθος Αιτιολόγηση στο σχόλιο σχολικό βιβλίο σελίδα 134 β. Λάθος Αιτιολόγηση: η σχέση lim ισχύει μόνο όταν η είναι συνεχής στο του πεδίου ορισμού της. π.χ.,0 1, 0 όπου, lim lim, ενώ 0 1 [1]

2 Α5. Σωστή απάντηση είναι η (γ) αφού: 2134 ΘΕΜΑ Β Συνάρτηση,, Β1. Αφού η ευθεία 2 είναι οριζόντια ασύμπτωτη της στο ισχύει: lim 2 όπου, lim lim lim 0 Άρα 2 Β2. Αφού 2 είναι 2, Θεωρώ τη συνάρτηση 2, και αρκεί να δείξω ότι υπάρχει μοναδικό 2,3 ώστε 0 Η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [2,3] ως άθροισμα των συνεχών (εκθετική) και 2 (πολυωνυμική) Άρα, από Θ. Bolzano, υπάρχει τουλάχιστον ένα 2,3 ώστε 0 Είναι 1 1 0,, άρα στο Επομένως, το είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης 0 σε όλο το. [2]

3 Β3. Η είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη (άρα και συνεχής) στο με: 0, Άρα η είναι στο, άρα η είναι 1-1 άρα ορίζεται η συνάρτηση : Αφού η είναι συνεχής και στο, το σύνολο τιμών της είναι το lim, lim 2, lim 2 (από Β1.) lim lim 2 lim 2 Άρα, 2, Έστω 2, 2 2 ln2 ln 2 ln2, 2 Άρα ln2, 2 Β4. Είναι ln 2, 2, lim lim ln 2lim Άρα η ευθεία 2 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της (από δεξιά και πάνω) [3]

4 Γραφική παράσταση των, Οι, είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία Για 0 είναι άρα η τέμνει τον άξονα στο σημείο (0,3) 0,2 ln Άρα η τέμνει τον άξονα στο σημείο (3,0) f y x=2 y=x y=2 x f -1 [4]

5 ΘΕΜΑ Γ Παραγωγίσιμη συνάρτηση : με, 1, 1 Γ1. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο (ως παραγωγίσιμη), άρα η είναι συνεχής και στο 1 Άρα ισχύει lim lim 1 όπου lim lim 1 lim lim Άρα ισχύει 11 Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 1, άρα τα όρια lim, lim είναι ο ίδιος πραγματικός αριθμός όπου: 1 lim lim 1 lim lim lim lim 0 ( ) 0 Άρα 12 1 άρα 1 lim lim 1 D.L.H 1 1 [5]

6 Γ2. Αφού 1 είναι 1, 1, 1 1 η συνάρτηση 1 είναι παραγωγίσιμη με 2, άρα 0, 1 1 η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με 1, άρα 0,, 1 Αφού 0,,1 1, και συνεχής στο 1 ισχύει ότι η είναι γνήσια αύξουσα στο. Αφού συνεχής και στο, το σύνολο των τιμών της είναι το αφού: lim, lim, lim lim lim και lim lim 1 Γ3. i. Στο διάστημα,0 η είναι συνεχής και, άρα έχει αντίστοιχο σύνολο τιμών το lim, lim, lim lim Αφού,,0 ώστε 0., υπάρχει τουλάχιστον ένα To είναι αρνητικός αριθμός επειδή,0 και είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης 0 σε όλο το αφού στο. [6]

7 ii. Εξίσωση 0,, Άρα 0 και 0 Επομένως 0,, 0 0 Άρα η εξίσωση 0,, είναι αδύνατη Γ4. Το σημείο Μ κινείται πάνω στην καμπύλη 1, 1 άρα έχει συντεταγμένες, όπου y y=x 2 +1, x 1 > 1, 1 ίνεται ότι τη στιγμή που το Μ διέρχεται 2 M(x(t),y(t)) από το σημείο 3,10, ισχύει 2 / O(0,0) 1 K(x(t),0) x To τρίγωνο ΜΟΚ με κορυφές,, O(0,0) και,0 έχει εμβαδόν: , 1 O ρυθμός μεταβολής του εμβαδού είναι: [7]

8 Άρα τη στιγμή ισχύει: / ΘΕΜΑ Συνάρτηση 1 ln 22,, 1. 1 ln 22 1 ln 22 ln 22 1 ln 22, 2 2 Η ευθεία : 2 εφάπτεται της στο σημείο Α(1,1) άρα ισχύουν 1 1, , 2 Άρα 1 ln 22 2, 2. Οι συναρτήσεις, 2 είναι συνεχείς στο (ως παραγωγίσιμες), άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι: όπου 1 ln ln 22, [8]

9 1,2 δηλαδή 12 ισχύει 10 και ln 1 11 ln 220 Άρα 1 ln 22 0, 1,2 Άρα 1 ln Για 1 είναι 1 0 Για 2 είναι 2 3. i. ln 22 1 ln ln , [9]

10 , ισχύει και H είναι γνήσια φθίνουσα στο διάστημα, 1 και γνήσια αύξουσα στο 1,. Άρα η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το 1 1 άρα x f '' f ' Ισχύει: 1 1 (όπου η ισότητα ισχύει μόνο για 1 που είναι η μοναδική θέση ολικού ελάχιστου της ) ΟΛ. ΕΛΑΧ. f ' (1) = -1 ii. Θέλω να δείξω ότι ισχύει: ln ln Για κάθε ισχύει, άρα ορίζεται το διάστημα, στο οποίο η είναι παραγωγίσιμη, άρα και συνεχής, άρα από Θ.Μ.Τ, υπάρχει τουλάχιστον ένα, ώστε: [10]

11 Από ( 3.I) ισχύει 1 4. H ευθεία :2 εφάπτεται της στο σημείο της 3 1, 1, 1 1,1 Η εφαπτομένη της στο σημείο της, έχει συντελεστή διεύθυνσης. Λύνω την εξίσωση Η εφαπτομένη της στο σημείο της 0, 0 0,2 έχει εξίσωση Άρα η ευθεία : 2 εφάπτεται και της στο σημείο Β(0,2). Ισχύει 1, όπου η ισότητα ισχύει μόνο για 1 και ισχύει 1, όπου η ισότητα ισχύει μόνο για 0. Άρα ισχύει 1, όπου 1 μόνο για 0 και 1 μόνο για 1. [11]

12 Αν μια άλλη ευθεία (δ) εφάπτεται των, στα σημεία,,, αντίστοιχα με 1 και 0, τότε ισχύει, άτοπο, αφού 1. Άρα η ευθεία : 2 είναι η μοναδική κοινή εφαπτομένη των,. Επιμέλεια λύσεων ΑΝΝΙΝΟΣ ΗΜΗΤΡΗΣ ΜΑΡΚΑΤΟΣ ΙΟΝΥΣΗΣ ΜΑΣΤΟΡΑΚΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ [12]