ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ Θ.ΜΤ. g είναι παραγωγίσιμη στο,τότε και η συνάρτηση f x g x

Transcript

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΘΜΤ ΘΕΜΑ o Α Η συνάρτηση f( ), f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει ( ) ln, δηλαδή ln a a a Μονάδες Α Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «αν η συνάρτηση : g είναι παραγωγίσιμη στο,τότε και η συνάρτηση f g παραγωγίσιμη στα σημεία για τα οποία ισχύει g είναι α) Να χαρακτηρίσετε τον ισχυρισμό, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής (μονάδα ) β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α (μονάδες ) Μονάδες 5 ΑΝα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α) Η εφαπτομένη μιας συνάρτησης έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης β) Αν οι συναρτήσεις f, g, h είναι παραγωγίσιμες στο, τότε και η συνάρτηση f g h είναι παραγωγίσιμη στο o και ισχύει: ( f g h) ( ) f ( ) g( )h f ( ) g( ) h γ) Γενικά, αν μια συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και η f είναι παραγωγίσιμη στο g f g f g g, τότε η συνάρτηση f g o είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει δ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, και δύο σημεία της με διαφορετικές τετμημένες έχουν ίδιες τεταγμένες, τότε η γραφική παράσταση της παραγώγου της f,τέμνει τον άξονα χ χ σε ένα τουλάχιστον σημείο S( t) S( t) ε) Το όριο lim S( t) λέγεται ρυθμός μεταβολής της τετμημένης S ενός κινητού ως προς το tt t t χρόνο t,τη χρονική στιγμή t Μονάδες

2 ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) e και g( ) BΝα αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C f στο σημείο A(,) εφάπτεται και στην C g Μονάδες 9 B Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε α,β με ισχύει : e e e e BΝα δείξετε ότι : α) η εξίσωση f g έχει μία τουλάχιστον λύση στο β) υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο τομής των γραφικών παραστάσεων των παραγώγων των συναρτήσεων f και g με τετμημένη μεγαλύτερη του - και μικρότερη του, Μονάδες 8 ΘΕΜΑ ο Μονάδες 8 Έστω ε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης της M, Αν, αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι Γ Το Μ είναι μέσο του ΑΒ είναι τα σημεία στα οποία η ε τέμνει τους άξονες f ( ), σε ένα σημείο και yy Μονάδες 7 * Γ Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι σταθερό, δηλαδή ανεξάρτητο του Μονάδες 6 dd του Μ από την αρχή των Γ Να δείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της απόστασης 5 7 αξόνων,όταν (AB) 7 είναι ίσος με και η τετμημένη του Μ είναι 7 μικρότερη του Μονάδες 6 Γ Να βρείτε την κοινή εφαπτομένη των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g Μονάδες 6

3 ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι δύο φορές παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g : με Af Ag f A ga g g () f Δ Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται g για τις οποίες ισχύει ότι : Δ Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (δ) της g στο σημείο με τετμημένη ΔΑν η (δ) έχει εξίσωση B,f με f α) η εξίσωση y Μονάδες 5 Μονάδες 5 και τέμνει τη γραφική παράσταση της f στα σημεία A,f, να δείξετε ότι: έχει ακριβώς μία λύση β) τα σημεία Α και Β είναι μοναδικά και Μονάδες + Δ α) Να δείξετε ότι η g αντιστρέφεται g 9 β) Να λύσετε την εξίσωση f g e g g f gg Μονάδες + Πατσιμάς Δημήτρης

4 Λύσεις ΘΕΜΑ o Α Θεωρία Α α) Λ β) Αν θεωρήσουμε τις συναρτήσεις g και f g,,τότε έχουμε: Η f είναι παραγωγίσιμη στο παραγωγίσιμη στο αφού, με τύπο f όμως δεν είναι f f lim lim lim lim ΑΛΛΣΣΣ ΘΕΜΑ ο Β H εφαπτομένη (ε) της C f στο σημείο A(,) έχει εξίσωση : y f f y y Βρίσκουμε τα σημεία για τα οποία Το σημείο ( ) g,g, ( ) αφού οι συντεταγμένες του την επαληθεύουν Η εφαπτομένη της g και η (ε) είναι παράλληλες με κοινό σημείο άρα ταυτίζονται Β Για την f ικανοποιούνται οι συνθήκες του ΘΜΤ στο, άρα υπάρχει f f e e,,τέτοιος ώστε f e Έχουμε e < e e e e e e e Bα) Θεωρούμε τη συνάρτηση f g Η συνάρτηση κ είναι συνεχής στο, σαν διαφορά συνεχών συναρτήσεων

5 k f g e e k f g e e,οπότε ισχύει το θεώρημα Bolzano άρα υπάρχει μία Άρα τουλάχιστον ρίζα β) k της εξίσωσης, k f g Η συνάρτηση κ είναι συνεχής στο, στο,,παραγωγίσιμη στο, με τύπο k f g Επομένως ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle δηλαδή υπάρχει,, τέτοιο ώστε k f g f g Επομένως οι γραφικές παραστάσεις των παραγώγων των συναρτήσεων f και g τέμνονται σ ένα τουλάχιστον σημείο ΘΕΜΑ ο Γ H εφαπτομένη (ε) της C f στο σημείο M, έχει εξίσωση : y f f y y y Για έχουμε: άρα το σημείο Α έχει συντεταγμένες, Για έχουμε: y άρα το σημείο Β έχει συντεταγμένες, Γ Το τρίγωνο ΟΑΒ έχει εμβαδόν Γ (AB) Θέτουμε οπότε έχουμε την εξίσωση 7 με ρίζες,η οποία απορρίπτεται και Αν d η απόσταση του Μ από την αρχή των αξ όνων, τότε :

6 d Επομένως d d d Γ Έστω ζ η κοινή εφαπτομένη των συναρτήσεων f και g και,f,,g τα αντίστοιχα σημεία επαφής Η εξίσωση εφαπτομένης της ζ για τα σημεία Γ και Δ είναι αντίστοιχα: y f f y f f f y y y g g y g g g y y Επειδή οι εξισώσεις αφορούν την ίδια ευθεία έχουμε: () και Με τη βοήθεια του σχήματος Horner,βρίσκουμε ότι η εξίσωση έχει ρίζες το (τριπλή) και το, η οποία απορρίπτεται αφού Άρα η κοινή εφαπτομένη έχει εξίσωση y ΘΕΜΑ ο Δ α) Έστω ότι η δεν αντιστρέφεται Τότε υπάρχουν f f Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, αφού είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο, επίσης είναι παραγωγίσιμη στο, για τον ίδιο λόγο f, με Άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle δηλαδή υπάρχει, f άτοπο Επομένως η f δεν είναι -,τέτοιο ώστε Δ Από τη σχέση () έχουμε για ότι: g g g g g g

7 g g g g g g g g g Γνωρίζουμε ότι η g είναι παραγωγίσιμη,οπότε από τη σχέση () έχουμε με παραγώγιση g g g gg g g Για έχουμε g, οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης που ζητάμε g είναι : y g g y Δ α) Τα σημεία Α και Β ανήκουν στη (δ) οπότε f και Για την f ισχύει το ΘΜΤ στο f f f Έστω ότι η εξίσωση f f, άρα υπάρχει έχει και δεύτερη λύση,,τότε f τέτοιο ώστε f Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, αφού είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο, επίσης είναι παραγωγίσιμη στο, για τον ίδιο λόγο Άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle δηλαδή υπάρχει, f άτοπο Όμοια αν,τέτοιο ώστε β) Έστω ότι η ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε τρία σημεία A,f,B,f,,f με,τότε f Για την f ισχύει το ΘΜΤ στο, άρα υπάρχει, τέτοιο ώστε f f f Αποδείξαμε ότι η εξίσωση f έχει δύο λύσεις άτοπο από το α) Δα)Έστω, με g g g g () Με πρόσθεση των σχέσεων () και () έχουμε : g g g g Άρα η g είναι - οπότε αντιστρέφεται β) Θέτουμε g y στην () και έχουμε y y y y y y y y g y Άρα g,

8 9 g 9 g f g e g g f g g g g e g g g g g 9 g 9 e g g g e g (*) f Θεωρούμε τη συνάρτηση h e,η οποία αποδεικνύεται εύκολα ότι είναι γνησίως αύξουσα άρα και - Με τη βοήθεια της συνάρτησης h η σχέση (*) γίνεται : h g h g h g h g g g g