Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις

Transcript

1 Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου + Επαναληπτικές ασκήσεις ς Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς Βαγγέλης Ραμαντάνης Ευάγγελος Τόλης wwwaskisopolisgr

2 η έκδοση Μάρτιος 6

3 wwwaskisopolisgr Παράγωγοι Εκφωνήσεις 7 Δίνεται η συνάρτηση, α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της τέμνει την ευθεία y 5 τουλάχιστον σε ένα σημείο με τετμημένη, γ) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της δ) Αν η είναι παραγωγίσιμη, να δείξετε ότι η ευθεία ε: y 5 είναι εφαπτομένη 8 8 της γραφικής παράστασης της στο ε) Υλικό σημείο Μ κινείται επί της ε και η τετμημένη του αυξάνεται με ρυθμό 8cm/sc Να βρείτε: i Την ταχύτητα με την οποία απομακρύνεται από την αρχή των αξόνων τη χρονική στιγμή κατά την οποία διέρχεται από το σημείο K, ii Το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου που σχηματίζεται από το σημείο Μ, τις προβολές του σημείου Μ στους άξονες και την αρχή των αξόνων, τη χρονική στιγμή κατά την οποία το Μ διέρχεται από το σημείο Α Δίνεται συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο με για κάθε α) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται β) Η γραφική παράσταση της δέχεται ακριβώς μία οριζόντια εφαπτομένη γ) Η εξίσωση έχει το πολύ ρίζες δ) Υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε ε) Υπάρχει, τέτοιο, ώστε ξ ξ ξ, και Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει ότι και α) Να αποδείξετε ότι β) Να εξετάσετε αν υπάρχει διάστημα της μορφής α,β στο οποίο να εφαρμόζεται το θεώρημα Roll β α β α γ) Να αποδείξετε ότι δ) Να αποδείξετε ότι lim β α β α για κάθε α,β

4 wwwaskisopolisgr ε) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 4 Δίνεται η συνάρτηση για το οποίο ισχύει ότι α ημ β,, αημ β, α) Να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων α,β για τις οποίες η είναι παραγωγίσιμη στο με Έστω α β β) Να δείξετε ότι δεν εφαρμόζεται για την το θεώρημα Roll στο π, π, όμως υπάρχει σημείο της C στο διάστημα αυτό που ικανοποιεί το συμπέρασμα του θεωρήματος αυτού γ) Να δείξετε ότι υπάρχει π, τέτοιο, ώστε δ) Να βρείτε διάστημα την ε) Να βρείτε το σύνολο τιμών της στ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός 5 Δίνονται οι συναρτήσεις α,β π, π στο οποίο να εφαρμόζεται το θεώρημα Roll για τέτοιο, ώστε ημ 7, g α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της που διέρχεται από το σημείο Α(,-) β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της g που είναι παράλληλη στην ευθεία y 6 γ) Να βρεθεί η εξίσωση της κοινής εφαπτομένης των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων,g δ) Ένα κινητό Μ ξεκινά από την αρχή των αξόνων και κινείται κατά μήκος της καμπύλης C, Να βρείτε σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του M είναι διπλάσιος από το ρυθμό μεταβολής του y, αν υποτεθεί ότι κάθε t t για () 5 6 Δίνεται συνεχής συνάρτηση :, για την οποία ισχύει: lim και 4 για κάθε α) Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο β) Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της C στο 6 γ) Να βρείτε τη τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η εφαπτομένη ε της C στο εφάπτεται και στη γραφική παράσταση της συνάρτησης g λ δ) Δίνεται ορθή γωνία Oy και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ του οποίου τα άκρα Α και Β ολισθαίνουν πάνω στις πλευρές O και Oy αντίστοιχα Ένα δοκάρι είναι τοποθετημένος κατά μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ Το κάτω μέρος του δοκαριού

5 wwwaskisopolisgr ολισθαίνει πάνω στον ημιάξονα Οχ με ρυθμό m/scτη χρονική στιγμή t του δοκαριού απέχει από την αρχή των αξόνων m, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής i) της οξείας γωνίας θ που σχηματίζει το δοκάρι με τον ii) την ταχύτητα που πέφτει το πάνω μέρος του δοκαριού (Δίνεται ότι το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ είναι ίσο με το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΓΔ όπου Γ,Δ τα σημεία τομής της εφαπτομένης ε του προηγούμενου ερωτήματος με τους άξονες) 7 Δίνονται οι συναρτήσεις,g : για τις οποίες ισχύει ότι για κάθε A g() α) Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις,g αντιστρέφονται () β) Να υπολογίσετε τo γ) Αν θεωρήσουμε ότι η g είναι παραγωγίσιμη, να υπολογίσετε τo δ) Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο με g() που η κορυφή 8 Δίνεται η συνάρτηση αln β,, α,β της οποίας η γραφική παράσταση έχει σημείο καμπής το A, α) Να αποδείξετε ότι α και β 4 β) Να λύσετε την εξίσωση ln 4 γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης k, k δ) Να αποδείξετε ότι ln για κάθε 9 Δίνονται οι συναρτήσεις,g :, όπου η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις: για κάθε g g για κάθε η g έχει σύνολο τιμών το α) Να δείξετε ότι β) Να αποδείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα γ) Να αποδείξετε ότι η g αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη της δ) Αν ορίζεται στο η συνάρτηση g g, να λύσετε την ανίσωση gg g g g

6 wwwaskisopolisgr ε) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cg στο στ) Αν η g είναι παραγωγίσιμη στο, να δείξετε ότι g Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει ότι για κάθε και α) Να αποδείξετε ότι ln, β) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο, γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ln k για τις διαφορετικές τιμές του πραγματικού αριθμού k δ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της έχει μοναδικό σημείο καμπής Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο α) Να αποδείξετε ότι η δεν έχει μέγιστο στο, 4 με Έστω ότι 5, 4 9 β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει, 4 τέτοιο, ώστε 7 γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν,, 4 τέτοια, ώστε δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο ε) Αν για κάθε, 4, να βρείτε το σύνολο τιμών της για κάθε, 4, να αποδείξετε ότι,, 4 στ) Αν Δίνεται συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο, ln και lnνα αποδείξετε ότι: α) υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε ξ ξ ξ Έστω ότι β) για κάθε lim γ) για κάθε και lim α) Να αποδείξετε ότι Έστω η συνάρτηση β) Να λύσετε την εξίσωση ln για κάθε lnξ ξ με, Να αποδείξετε ότι: ln, γ) Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης α β α β για κάθε α,β δ) Να δείξετε ότι λ ln, λ, 4 4

7 wwwaskisopolisgr 4 Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη με α) υπάρχει ρ, τέτοιο, ώστε ρ β) Αν η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη τότε υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε γ) Αν η είναι κυρτή στο,, να αποδείξετε ότι lim,, Να αποδείξετε ότι: δ) Αν η C έχει πλάγια ασύμπτωτη στο την ευθεία y, να αποδείξετε ότι lim 5 Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο α,β με ξ α β α β α) Να δείξετε ότι υπάρχει α,β τέτοιο, ώστε β) Να δείξετε ότι υπάρχει ξ α,β τέτοιο, ώστε ξ ξ γ) Να δείξετε ότι υπάρχει ρ α,β τέτοιο, ώστε ρ δ) Να δείξετε ότι η εξίσωση α έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο α,β 6 Έστω συνάρτηση, παραγωγίσιμη στο, α) Έστω ότι i 6, για κάθε, Να αποδείξετε ότι: ii Η έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο, β) Έστω ότι 6 7 για κάθε 48 Να αποδείξετε ότι: 5 i, ii η εξίσωση έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο 84 48,, 7 Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, με lim α) Να αποδείξετε ότι 6 β) Να βρείτε την εφαπτομένη της C στο σημείο γ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία y τέμνει τη C τετμημένη, 4 δ) Έστω ότι η είναι κοίλη, A,, και και 4 6 σε ένα τουλάχιστον σημείο με i να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα ξ, 4 στο οποίο η παρουσιάζει τοπικό μέγιστο ii Αν και 4 για κάθε,, να δείξετε ότι, 4 για κάθε 5

8 wwwaskisopolisgr 8 Δίνεται συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο α,β, α β α β και α) Η είναι γνησίως αύξουσα στο α,β β) Υπάρχει ξ α,β τέτοιο, ώστε: α β,με (α) β, για κάθε α,β Να αποδείξετε ότι : ξ γ) Υπάρχει α,β τέτοιο, ώστε α β α β 9 Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει: για κάθε α) Να αποδείξετε ότι β) Να αποδείξετε ότι ln και ln, γ) Έστω συνάρτηση g παραγωγίσιμη και κυρτή στο, για την οποία ισχύει ότι g και g για κάθε Να αποδείξετε ότι η ευθεία y είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cg στο δ) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και στη συνέχεια να υπολογίσετε το όριο lim Δίνεται συνάρτηση, δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο, Αν, και, να αποδείξετε ότι: α) η είναι γνησίως αύξουσα στο, και να βρείτε το σύνολο τιμών της β) η ευθεία y είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της και για κάθε, γ) υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε ξ δ) η γραφική παράσταση της τέμνει την ευθεία ε: y ακριβώς σε ένα σημείο στο διάστημα, Δίνεται συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει ότι για κάθε α) Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο Έστω επιπλέον ότι για τη συνάρτηση ισχύει ότι για κάθε, και 6

9 wwwaskisopolisgr γ) Να αποδείξετε ότι δ) Να γράψετε την ως σύνθεση δύο συναρτήσεων ε) Να αποδείξετε ότι αβ α β Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση ln για κάθε και α) Να αποδείξετε ότι, :,, για την οποία ισχύει ότι β) Αν α για κάθε, να αποδείξετε ότι α ln ln γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε g,, δ) Έστω i Να μελετήσετε τη g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα iiνα αποδείξετε ότι gα gβ για κάθε α,β, Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι για κάθε α) Να αποδείξετε ότι β) Να αποδείξετε ότι: και γ) Υλικό σημείο κινείται επί της C και η τετμημένη του αυξάνεται με σταθερό ρυθμό Να βρείτε τη θέση του τη χρονική στιγμή κατά την οποία ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του 4 Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη και κυρτή στο με α α, α α και α, α Να αποδείξετε ότι: α) Υπάρχει α,α τέτοιο, ώστε β) Η δεν είναι - γ) Η γραφική παράσταση της δέχεται οριζόντια εφαπτομένη δ) lim 5 Δίνονται οι συναρτήσεις και α) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις,g g ln β) Να λύσετε την εξίσωση ln γ) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των,g έχουν κοινή εφαπτομένη τον άξονα δ) Να λύσετε την εξίσωση ln 4 7

10 wwwaskisopolisgr 6 Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, ln για κάθε α) ln, και για την οποία ισχύει ότι Να αποδείξετε ότι: β) η αντιστρέφεται και η y, είναι η αντίστροφή της γ) για κάθε α για κάθε, α, τότε α δ) Αν 7 Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει ότι για κάθε α) Να βρείτε το πρόσημο και τις ρίζες της συνάρτησης g() () β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση 6 έχει ακριβώς ρίζα δ) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και y έχουν ένα μοναδικό κοινό σημείο στο α,β με α β 8 Έστω η συνάρτηση ln, α) Να εξετάσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία β) Να εξετάσετε τη συνάρτηση ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής της γ) Να λύσετε την εξίσωση ln ln δ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της ln α lnβ ε) Να αποδείξετε ότι για κάθε α β α,β α στ) Να αποδείξετε ότι α α α για κάθε α 6 9 Δίνεται η συνεχής στο συνάρτηση με Αν τότε: α) να βρείτε τις ρίζες της β) να βρείτε τον τύπο της γ) Αν να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την δ) να βρείτε τα κοινά σημεία των C και C Δίνεται η συνάρτηση με D,π και τα σημεία Β 4θ, ημ4θ ημ π με θ, 4 8 και Α 4θ,ημ4θ, 8

11 wwwaskisopolisgr α) Να εξετάσετε αν υπάρχει γωνία ορθογώνιο στο Ο β) Να εξετάσετε αν υπάρχει γωνία π θ, 4 π θ, 4 ώστε το τρίγωνο ΑΟΒ να είναι ώστε το τρίγωνο ΑΟΒ να είναι ισόπλευρο Δίνεται συνάρτηση : με, η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη h h με συνεχή δεύτερη παράγωγο και ικανοποιεί τις σχέσεις: lim, h h, για κάθε g είναι παραγωγίσιμη στο, και η a) Να δείξετε ότι και στη συνέχεια να δείξετε ότι η είναι κυρτή β) Να βρείτε την εφαπτομένη ε της C στο πλησιέστερο σημείο της απόστασή του από αυτή γ) Να δείξετε ότι και στη συνέχεια, να βρείτε το C στην ευθεία ζ: χ y 6, καθώς και την, για κάθε α) i Αν α iiαν α α να βρείτε το lim a a a, a, να βρείτε για τις διάφορες τιμές του α, a το lim a lim h Αν g 6, να δείξετε ότι: lim β) Δίνονται οι συναρτήσεις, g, h με πεδίο ορισμού το µε lim και g lim g και Δίνονται οι συνεχείς και παραγωγίσιμες στο [,6] συναρτήσεις, g Αν η γραφική παράσταση της τέμνει την ευθεία y,99 σε ένα τουλάχιστον σημείο, στο [,6], 6 5 και g 6 στο [,6] τότε να δείξετε ότι: για κάθε,6 α) ξ β) υπάρχει ξ,6 τέτοιο ώστε γ) υπάρχει ξ,6 ώστε ξ 6 δ) Αν επιπλέον ισχύει 6 δείξτε ότι υπάρχει ξ,6 τέτοιο ώστε ε) Αν επιπλέον ισχύει κυρτή, να βρείτε το πρόσημο της g στο ξ,6 g ξ 9

12 wwwaskisopolisgr 4 a) Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο για την οποία ισχύει ότι 4 και Δείξτε ότι η εξίσωση 4 έχει τουλάχιστον 4 ρίζες β) Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση ν ν, έχει μόνο δύο ρίζες στο όπου ν θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 5 α) Δίνεται συνάρτηση περιττή και παραγωγίσιμη στο R με Αν όλες οι εφαπτόμενες της διέρχονται από την αρχή των αξόνων να βρείτε τον τύπο της β) Να δείξετε ότι συν π για κάθε π, γ) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση g με πεδίο ορισμού το, και v v a a g lim για κάθε v v v Να βρείτε τον τύπο της g και τον θετικό πραγματικό αριθμό α 6 Δίνεται μια μπάλα διαμέτρου d και ένα ελαστικό κυκλικό στεφάνι που μεταβάλλει τη ημt συνt διάμετρό τoυ σύμφωνα με τον τύπο t, όπου t σε ώρες και ημt συνt t π π σε cm με t, Ρίχνουμε τη μπάλα προσπαθώντας να περάσει μέσα από τη 6 κυκλική στεφάνη a) Να βρείτε τη μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης β)τη χρονική στιγμή που μια μπάλα διαμέτρου d=cm έχει την μικρότερη πιθανότητα να περάσει μέσα από την κυκλική στεφάνη γ) τη μέγιστη τιμή της διαμέτρου μιας μπάλας που μπορεί ανά πάσα στιγμή να περάσει μέσα από την κυκλική στεφάνη δ) Βρείτε τη μέγιστη τιμή της διαμέτρου μιας μπάλας που θα είχε πιθανότητα π π κάποια στιγμή με t, να περάσει μέσα από την κυκλική στεφάνη 6 7 Έστω περιττή συνάρτηση, παραγωγίσιμη στο, της οποίας η γραφική παράσταση έχει στο ασύμπτωτη την ευθεία y Αν ορίζεται στο η συνάρτηση o, τότε: α) Να αποδείξετε ότι lim β) Να βρείτε την ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της o στο γ) Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτή της στο g για κάθε, να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής δ) Αν παράστασης της συνάρτησης g στο ε) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τέτοιο, ώστε

13 wwwaskisopolisgr 8 Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι lim ημ α) Να δείξετε ότι η ευθεία y είναι ασύμπτωτη της C στο α β 5 Έστω β) Να δείξετε ότι α και β γ) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, τους άξονες, y y και την ευθεία ε) Ένα υλικό σημείο Μ κινείται επί της C και η τετμημένη του αυξάνεται με ρυθμό cm/sc Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του, τη χρονική στιγμή κατά την οποία διέρχεται από το σημείο Α,5 Ολοκληρώματα 9 Δίνεται συνεχής συνάρτηση με σύνολο τιμών το, για την οποία ισχύει ότι: για κάθε α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο β) η αντιστρέφεται και να βρείτε την γ) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των και - έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο δ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: ε) Να υπολογίσετε το όριο lim I d στ) Αν η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και παρουσιάζει σημείο καμπής στο ζ) Να λύσετε την εξίσωση A,, τότε να βρείτε το ln ln, 4 Έστω η συνάρτηση α) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα 6 ln 6 5 β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε γ) Να αποδείξετε ότι d 6 δ) Να αποδείξετε ότι ο άξονας είναι ασύμπτωτη της C, ε) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln 4 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο

14 wwwaskisopolisgr 4 Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει ότι α) Να αποδείξετε ότι για κάθε β) Να μελετήσετε την ως προς τη κυρτότητα γ) Να αποδείξετε ότι η έχει σύνολο τιμών το δ) Να αποδείξετε ότι η C δεν έχει ασύμπτωτες ε) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ,ξ α,β, α β, τέτοια, ώστε: και για κάθε, να υπολογίσετε το εμβαδόν του στ) Αν χωρίου που περικλείεται από τη, ξ ξ ξ β α C, τους άξονες και y y και την ευθεία 4 Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, με σύνολο τιμών το, για την οποία ισχύει: για κάθε και α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο, β) Να αποδείξετε ότι για κάθε γ) Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την αντίστροφή της δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν E λ παράσταση της, την εφαπτομένη της στο ε) Να υπολογίσετε το όριο lim Ε λ λ 4 Έστω ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης ασύμπτωτες τις ευθείες α) Να δείξετε ότι α β γ β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της και y γ) Να βρείτε μια παράγουσα F της στο διάστημα, δ) Ν α λύσετε στο διάστημα, την εξίσωση του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική λ και την ευθεία λ α β γ 5 6 ε) Να βρείτε το εμβαδόν E λ του χωρίου που περικλείεται από τη C, τον άξονα, α,β, γ έχει και τις ευθείες και λ, λ Στη συνέχεια να υπολογίσετε το λ στ) Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και για κάθε lim E λ 44 Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε το σύνολο τιμών της είναι το α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο γ) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο δ) Να δείξετε ότι:

15 wwwaskisopolisgr i) d ii) d 8 ε) Να δείξετε ότι υπάρχει ξ, τέτοιο,ώστε ξ ξ ξ ξ 45 Δίνεται οι παραγωγίσιμες στο, συναρτήσεις,k για τις οποίες ισχύει:,, () k α) Να αποδείξετε ότι,, β) Να βρείτε τα ακρότατα της k γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της k δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης h την ευθεία = και τον άξονα y y 46 Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει ότι 4 για κάθε α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της διέρχεται από την αρχή των αξόνων β) Να βρείτε το πρόσημο της γ) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία δ) Να αποδείξετε ότι β α 4 β α για κάθε α β ε) Να βρείτε τις εφαπτομένες της C που είναι παράλληλες στην ευθεία ε : y 8 στ) Αφού αποδείξετε ότι η είναι κοίλη στο,, να δείξετε ότι κάθε ζ) Να δείξετε ότι 9 d 8 η) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της θ) Να αποδείξετε ότι η έχει σύνολο τιμών το ι) Να αποδείξετε ότι τα σημεία A, και B7, 4 ανήκουν στη C 47 Δίνεται συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με για κάθε, και α) Να δείξετε ότι ln λ β) Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης, λ α β γ γ) Να δείξετε ότι α β γ για κάθε α,β, γ δ) Να βρείτε συνάρτηση g για την οποία ισχύει ότι g t dt, για g και

16 wwwaskisopolisgr α β β ε) Να δείξετε ότι ln β α α με α β 48 Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο με για κάθε α) Να αποδείξετε ότι β) Να δείξετε ότι η ευθεία y συνάρτησης g ln στο, και είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της γ) Αν g λ για κάθε, λ, να αποδείξετε ότι λ δ) Αν E α το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g, τους άξονες και y y και την ευθεία α, να υπολογίσετε το όριο lim Ε α ε) Υλικό σημείο Μ κινείται επί της Cg έτσι ώστε ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του να είναι θετικός αριθμός Να βρείτε τη θέση του τη χρονική στιγμή κατά την οποία ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης του είναι ίσος με το μισό του ρυθμού μεταβολής της τετμημένης του 49 Έστω οι συναρτήσεις,g, παραγωγίσιμες στο, για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις: g, g και α) Οι συναρτήσεις,g είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο, β) g για κάθε γ) ln δ) π lnπ π ε) lim dt t 5 Δίνεται η συνάρτηση α g για κάθε Να αποδείξετε ότι: ln,, α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο β) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση και να βρείτε το σύνολο τιμών της γ) Να βρείτε το πλήθος των διαφορετικών θετικών ριζών της εξίσωσης για όλες τις πραγματικές τιμές του α δ) Να αποδείξετε ότι ισχύει: για κάθε ε) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, τους άξονες, y y και την ευθεία α 4

17 wwwaskisopolisgr α) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της 5 Έστω η συνάρτηση β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό γ) Να αποδείξετε ότι τέτοιο, ώστε για κάθε δ) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα Ι d και ε) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται με στ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ζ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 6 5 J d ln έχει μοναδική ρίζα το d 5 Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει ότι για κάθε α) Να δείξετε ότι β) Να δείξετε ότι και γ) Να υπολογίσετε το d δ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της ε) Να δείξετε ότι 4t 4dt για κάθε 5 Έστω συνεχής συνάρτηση για κάθε και :,,, για την οποία ισχύει ότι : α) Να δείξετε ότι ln β) Αφού δείξετε ότι η είναι κυρτή, να αποδείξετε ότι για κάθε γ) Να δείξετε ότι d ln α δ) Να δείξετε ότι ln ln α lnβ β α β ε) Έστω ότι η τετμημένη του σημείου με α β K k, k, k απομακρύνεται από την αρχή των αξόνων με ταχύτητα k cm/sc Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας θ που σχηματίζει η εφαπτομένη ε της γραφικής παράστασης της στο σημείο Κ με τον άξονα τη χρονική στιγμή t που είναι k, δίνεται από τη 6 σχέση θt συν θ t 5

18 wwwaskisopolisgr 54 Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με για κάθε, και Να αποδείξετε ότι: α) β) Να βρείτε το πλήθος των θετικών ριζών της εξίσωσης γ) i) Να εξετάσετε την ως προς την κυρτότητα ii) Να δείξετε ότι δ) Να βρείτε το 4, α για το οποίο ισχύει ότι: 6 ln, 55 Έστω η συνάρτηση α) Να αποδείξετε ότι η έχει ολικό ελάχιστο α α d ln ln d β) Αν η θέση ελαχίστου της, να αποδείξετε ότι, γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 6ln 6 δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, τον άξονα και τις ευθείες και 56 Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα αυτό για την οποία ισχύει ότι: και α) Να αποδείξετε ότι ln β) Να δείξετε ότι d d, με συνεχή πρώτη παράγωγο στο για κάθε γ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της (αν υπάρχουν) δ) Θεωρούμε τη συνάρτηση, g Αφού αποδείξετε ότι η g είναι συνεχής, στο, να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από η γραφική παράσταση της g και τους άξονες 57 Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει ότι για κάθε και α) Να δείξετε ότι ln β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση μια ρίζα στο, γ) Να αποδείξετε ότι δ) Να λύσετε την εξίσωση 6 έχει τουλάχιστον για κάθε 6

19 wwwaskisopolisgr ε) Να αποδείξετε ότι 4 d d 58 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, για την οποία ισχύει ότι: ημ για κάθε και α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα β) Να δείξετε ότι για κάθε, για κάθε γ) Να δείξετε ότι δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, την εφαπτομένη της C στο και την ευθεία π π 59 α) Αν,g συνεχείς στο [α,β] και β β α,β ώστε g δείξτε ότι d g για κάθε α,β και υπάρχει α α g d β) Αν η είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο δείξτε ότι 5 6 d 6 6 γ) Αν lim δείξε ότι lim 4 6 δ) Αν lim να υπολογίσετε το lim 6 Έστω η αντιστρέψιμη συνάρτηση με συνεχή παράγωγο στο,, με παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο, για την οποία ισχύει: d ln για κάθε α) Να βρεθεί η μονοτονία της και της β) να βρεθεί ο τύπος της γ) Αν για την παραγωγίσιμη στο συνάρτηση g ορίζεται η πραγματικό να λυθεί η εξίσωση g g g g για κάθε με την 6 α) Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής και - στο πεδίο ορισμού της δείξτε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη β) Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της και γνησίως αύξουσα δείξτε ότι για κάθε εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της γ) Αν η είναι -,, δυο φορές παραγωγίσιμη στο,,η αντίστροφή της είναι συνεχής και σε κάθε διάστημα, με, ισχύει και στο, τότε: d () d 7

20 wwwaskisopolisgr i) να βρεθεί η μονοτονία της g στο, ii) να βρεθεί η μονοτονία της στο, iii) αν η είναι συνεχής στο iν) να δειχτεί ότι υπάρχει,, να δείξετε ότι: ξ, ώστε ξ d d 6 Δίνεται συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το για την οποία ημ ισχύει ότι για κάθε α) Να αποδείξετε ότι η είναι - και να βρείτε τον τύπο της β) Να βρείτε τη μονοτονία της και να υπολογίσετε το γ) Να υπολογίσετε το π δ) Να υπολογίσετε το: d 6 Έστω συνάρτηση κυρτή στο της οποίας η γραφική παράσταση εφάπτεται του άξονα στο α α α) Να αποδείξετε ότι: α β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της γ) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό, α,β g, α,β ξ α,β τέτοιο ώστε: β α δ) Αν ξ β ββ β d, να δείξετε ότι υπάρχει α ξ ξ d α,β τέτοιο ώστε 64 Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο με για κάθε και συνεχής στο Αν υπάρχουν, 4,τότε: ώστε να ισχύουν α) Να βρείτε την μονοτονία της β) Να δείξετε ότι κάθε μη κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφικά παράσταση της σε δυο το πολύ σημεία γ) Υπάρχουν ξ,ξ τέτοια, ώστε 4 4 δ) Αν και ισχύει για κάθε ξ ξ, τότε: i) Δείξτε ότι η είναι κυρτή ii) Να αποδείξετε ότι η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της στο εφάπτεται της συνάρτησης g ln iii) Δείξτε ότι οι γραφικές παραστάσεις των, g δεν έχουν κοινά σημεία iv) Να υπολογίσετε το εμβαδόν μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g της παραπάνω εφαπτομένης της 8

21 wwwaskisopolisgr ν) Δείξτε ότι η γραφική παράσταση της δεν τέμνει την ευθεία y 7 65 Δίνεται η συνάρτηση ln ln α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα γ) Να βρείτε την εφαπτομένη της C στο δ) Δείξε ότι ln για κάθε ε) Να υπολογίσετε το σύνολο τιμών της και στη συνέχεια να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C τον άξονα και τις ευθείες και 66 Έστω δύο συναρτήσεις,g παραγωγίσιμες στο με g, κάθε, lim g και lim α) Να υπολογίσετε το όριο lim g για β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων,g στο γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση g έχει το πολύ μία ρίζα δ) Να αποδείξετε ότι g για κάθε ε) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις C,C g και 4 και τις ευθείες 67 Δίνεται συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει ότι: 8 για κάθε α) Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της β) Να αποδείξετε ότι η δεν έχει σημεία καμπής γ) Να αποδείξετε ότι η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα, 4 δ) Να εξετάσετε αν η C έχει πλάγια ασύμπτωτη δ) Να αποδείξετε ότι d d 4 68 Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη και κυρτή στο με συνεχή πρώτη παράγωγο, της οποίας η γραφική παράσταση έχει ασύμπτωτη την ευθεία y 8 α) Να βρείτε το λ για τον οποίο ισχύει ότι λ 4 lim 8 β) Να αποδείξετε ότι η έχει σύνολο τιμών το γ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της δ) Να υπολογίσετε το όριο lim 9

22 wwwaskisopolisgr ε) Να αποδείξετε ότι α α α α στ) Αν επιπλέον, να αποδείξετε ότι για κάθε, 69 Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη και κυρτή στο για την οποία ισχύει ότι για κάθε α α α) Να δείξετε ότι α d d, α α β) Να δείξετε ότι η παρουσιάζει ελάχιστο στο h h γ) Να αποδείξετε ότι lim h h δ) Να δείξετε ότι υπάρχουν σημεία της αντίστοιχα, στα οποία οι εφαπτομένες είναι παράλληλες ε) Να δείξετε ότι lim C με τετμημένες, και, 4 7 Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει ότι για κάθε και Να αποδείξετε ότι: α) ln 5 49 β) 5 γ) d d δ) Υπάρχει μοναδικός τέτοιος, ώστε ln 7 Δίνεται συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο με και α) Να δείξετε ότι για κάθε β) Χωρίς τη χρήση του θεωρήματος Frmat να αποδείξετε ότι η δεν έχει ακρότατο στο Έστω ότι γ) για κάθε Να δείξετε ότι: α α ln d, α, κ κ δ) ε) 4 για κάθε, 7 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο a) Να εξετάσετε την συνέχεια και να βρείτε την μονοτονία της β) Να βρείτε την εφαπτομένη ε της C σε σημείο της με τετμημένη γ) Να δείξετε ότι η C στρέφει τα κοίλα κάτω στο, και στο, δ) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η ε τέμνει την C

23 wwwaskisopolisgr ε) Να εξετάσετε αν η C στρέφει τα κοίλα κάτω στο στ) Να βρείτε το εμβαδόν μεταξύ της C και της εφαπτομένης ε 7 Δίνεται η συνεχής στο συνάρτηση α) Να αποδείξετε ότι β) Να δείξετε ότι η εξίσωση t dt, α, α,,, 6 έχει ακριβώς μια ρίζα α και στη συνέχεια να δείξετε ότι γ) Να βρείτε την εφαπτομένη της C στο και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι για κάθε 4 δ) Να δείξετε ότι d 5 ε) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g, τον άξονα και τις ευθείες και 4 74 α) Να αποδείξετε ότι ln για κάθε t β) Δίνεται η συνάρτηση dt t ln t t i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να δείξετε ότι για κάθε iii Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ln 6 iv Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης g, τον άξονα και την ευθεία 75 Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει ότι για κάθε, και ln α) Να αποδείξετε ότι β) Έστω, g, i Να δείξετε ότι η g είναι συνεχής ii Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g, τους άξονες, y y και την ευθεία γ) Να αποδείξετε ότι δ) Αν υπάρχει α για κάθε για τον οποίο ισχύει ότι α, να αποδείξετε ότι α

24 wwwaskisopolisgr ε) Αν λ για κάθε, να αποδείξετε ότι λ 76 Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει ότι 5 για κάθε α) Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της β) Να δείξετε ότι η διατηρεί σταθερό πρόσημο γ) Αν 5, να δείξετε ότι δ) Να δείξετε ότι 5 6 d 5 77 Δίνεται συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο, και Να αποδείξετε ότι: α) Η είναι γνησίως αύξουσα στο, β) για κάθε γ) lim δ) Η C δεν έχει ασύμπτωτες 5 d ε) στ) d, με για κάθε 78 Δίνεται η συνάρτηση με πεδίο ορισμού το, και σύνολο τιμών το για την οποία ισχύει ln () α) Να βρείτε το πρόσημο και τη μονοτονία της β) Να αποδείξετε ότι η είναι - και να βρείτε την γ) Να δείξετε ότι η είναι συνεχής δ) Να λύσετε την εξίσωση ε) Να υπολογίσετε το όριο lim στ)να βρείτε τις κατακόρυφες ασύμπτωτες της ζ) Να υπολογίσετε τα όρια η) Να βρείτε τον α lim C, lim α για τον οποίο ισχύει ότι: d lnα α θ) Να αποδείξετε ότι: αd d, α α a

25 wwwaskisopolisgr Αρχική συνάρτηση 79 Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο, με, με και F μια παράγουσα της στο, d, για την οποία υπάρχει α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο, Έστω ότι η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με για κάθε β) Αν, να αποδείξετε ότι υπάρχουν,, τέτοια, ώστε γ) Αν η είναι γνησίως αύξουσα, να αποδείξετε ότι i d ii η εξίσωση F 5 F έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο 8 Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, με π π ημ α) Να αποδείξετε ότι β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C,,, συν, και γ) Να αποδείξετε ότι lim F, όπου F αρχική της στο, 8 Δίνεται συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει ότι: για κάθε α) Να δείξετε ότι, β) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης γ) Αν F αρχική της, να υπολογίσετε το lim F δ) Αν F, να αποδείξετε ότι η F είναι κυρτή και ισχύει ότι F για κάθε 8 Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο ότι, α) Να δείξετε ότι: για κάθε, για την οποία ισχύει, 4 και

26 wwwaskisopolisgr β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση γ) στο, για κάθε δ), F ln, είναι μια παράγουσα της 8 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι, ln, α) Να αποδείξετε ότι β) Έστω F μια παράγουσα της Να βρείτε το F λ F lim λ λ γ) Να αποδείξετε ότι δ) Να αποδείξετε ότι lim F F για το οποίο ισχύει ln ln d ln d ln 7 ln, α) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της 84 Δίνεται η συνάρτηση γ) Αν F αρχική της, να αποδείξετε ότι lim F F δ) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της ε) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της βρίσκεται κάτω από την ευθεία y 85 Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, που ικανοποιεί τις σχέσεις: για κάθε και α) Να εκφραστεί η ως συνάρτηση της β) Να αποδείξετε ότι για κάθε γ) Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο δ) Να αποδείξετε ότι t dt t 4 t 86 Δίνεται δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση :,,, και t dt για την οποία ισχύει ότι: για κάθε, Να αποδείξετε ότι: α) Η είναι γνησίως μονότονη και να βρείτε το σύνολο τιμών της β) Η ευθεία y εφάπτεται στη γραφική παράσταση της γ) για κάθε, 4

27 wwwaskisopolisgr d δ) ε) Έστω F μια παράγουσα της στο, Να αποδείξετε ότι: i) Υπάρχει, τέτοιο, ώστε ii) Υπάρχει, τέτοιο, ώστεf F F F 87 Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει ότι για κάθε α) Να αποδείξετε ότι, και β) Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης λ λ, λ Έστω F αρχική της με F γ) Να δείξετε ότι υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε ξ t ξ dt t ξ δ) Να δείξετε ότι ε) Να δείξετε ότι F F, 88 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση κάθε α) και Να αποδείξετε ότι:, β) υπάρχει, τέτοιο, ώστε ξ t dt : για την οποία ισχύει ότι ln d α γ) η είναι άρτια και ισχύει: 4 δ) d d d, α α ε) η είναι κυρτή και συνέχεια ότι για κάθε για 89 Δίνεται συνάρτηση : με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύει ότι για κάθε και α) για κάθε και για κάθε Να αποδείξετε ότι: ξ β d β α α β) υπάρχει ξ α,β με α β, τέτοιο, ώστε γ) αν d 4, τότε υπάρχει ρ, τέτοιο, ώστε δ) F F F F,, όπου F παράγουσα της 9 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, με και ρ ρ ρ για κάθε 5

28 wwwaskisopolisgr α) Να αποδείξετε ότι F F β) Να λύσετε την εξίσωση γ) Να αποδείξετε ότι lim F δ) Αν ξ α β, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ α,β τέτοιο, ώστε β β α d ε) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g στ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει, την οριζόντια ασύμπτωτη της στο και τον άξονα y y ξ ξ, τέτοιο, ώστε d 9 Έστω F αρχική της συνάρτησης με F α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της F για κάθε, β) Να αποδείξετε ότι dt 5 t γ) Να αποδείξετε ότι F F c, c δ) Να αποδείξετε ότι lim F F ε) Να βρείτε την εφαπτομένη της C F στο στ) Αν Ε είναι το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη ευθείες και 4, να αποδείξετε ότι E 6 9 Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη και κυρτή στο α) Να αποδείξετε ότι: α β β) Να βρείτε το πρόσημο της α,β με C F, τον άξονα και τις α β γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει α,β τέτοιο, ώστε β β β Έστω ότι t d dt d α α α δ) να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, τον άξονα και τις ευθείες α και β ε) Έστω F αρχική συνάρτηση της στο α,β και β α 4 i) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ α,β τέτοιο, ώστε ξ για κάθε α,β με β α ii) lim α) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο 9 Δίνεται συνεχής συνάρτηση :, για την οποία ισχύει ότι A, είναι η ευθεία ε: y Έστω ότι η έχει συνεχή παράγωγο με για κάθε α 6

29 wwwaskisopolisgr β) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα γ) Να δείξετε ότι d d Έστω τώρα ότι η είναι και κυρτή στο δ) Να αποδείξετε ότι lim ε) Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, τους άξονες, y y και την ευθεία, να δείξετε ότι E 8 94 α) Δίνεται η συνάρτηση lnκαι η g ln Να δείξετε ότι έχουν δύο κοινά σημεία με τετμημένες και α και στη συνέχεια να δείξετε ότι υπάρχει κατακόρυφη ευθεία που να διαιρεί το εμβαδόν μεταξύ των δύο συναρτήσεων σε λόγο /6 β) Αν η είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο τότε αν η εφαπτόμενη της C τέμνει την C και σε άλλο σημείο τότε η έχει τουλάχιστον μια ρίζα ενώ αν εφάπτεται της C δυο σημεία τότε η έχει τουλάχιστον μια ρίζα 95 Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο για την οποία ισχύει ότι d για κάθε α) Να δείξετε ότι β) Αν G αρχική της γ) Αν και G G g, να δείξετε ότι lim t t dt, να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της δ) Να δείξετε ότι g, τους άξονες, y y και την ευθεία d d 96 Δίνεται συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει ότι για κάθε και α) Να δείξετε ότι είναι γνησίως αύξουσα στο β) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει το πολύ μια ρίζα στο, γ) Αν F αρχική της, να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της F δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο δ) Να αποδείξετε lim F F 97 Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη και κυρτή στο, παράγουσα της α) Η G είναι κυρτή β) στο g αβ β d αβ d με α β α γ) Η εξίσωση με, Να αποδείξετε ότι: έχει το πολύ μια θετική ρίζα Έστω G σε 7

30 wwwaskisopolisgr δ) για κάθε, ε) στ) G d αν γνωρίζετε ότι G G 98 Δίνεται συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο με για κάθε με και F μια παράγουσα της Έστω h F F 6, Να αποδείξετε ότι: α) Η h έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής β) 4 5 d d γ) 6 d d δ) Υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε ξf ξ ξ Fξ 99 Έστω συνάρτηση συνεχής στο α,β για την οποία ισχύει ότι β μια παράγουσα της στο διάστημα αυτό Να αποδείξετε ότι: ξ α,β ξ α) Υπάρχει τέτοιο, ώστε β) Υπάρχει ξ α,β τέτοιο, ώστε F ξ F α γ) Υπάρχει ξ α,β τέτοιο, ώστε ξ, αν γνωρίζεται ότι δ) Υπάρχει ξ α,β τέτοιο, ώστε ξ βξ F α F ξ 4 Έστω συνάρτηση συνεχής στο α,β α d και F α α α β, για την οποία ισχύει ότι β α) Υπάρχουν, α,β τέτοια, ώστε F Fα και F F β d και F μια παράγουσα της στο διάστημα αυτό Να αποδείξετε ότι: α β) Η συνάρτηση F δεν παρουσιάζει ακρότατα στα άκρα του διαστήματος α,β γ) Η εξίσωση έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο α,β δ) Η F έχει τουλάχιστον ένα πιθανό σημείο καμπής, αν γνωρίζετε ότι είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο α,β Έστω μια συνάρτηση φ τέτοια, ώστε φ φ και κάθε α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση στη συνέχεια να δείξετε ότι φ για κάθε φ φ για ψ φ φ είναι σταθερή στο και Έστω τώρα συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει ότι για κάθε, και β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση ερωτήματος και στη συνέχεια να δείξετε ότι φ ημ ικανοποιεί τις υποθέσεις του α ημ για κάθε 8

31 wwwaskisopolisgr γ) Να βρείτε τις εφαπτομένες ε, ε της γραφικής παράστασης της στα σημεία A, και B π, π δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της και τις ε, ε ε) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g στ) Αν G αρχική της g, να δείξετε ότι είναι γνησίως φθίνουσα στο π, lim G G 9

32 wwwaskisopolisgr

33 wwwaskisopolisgr Δίνεται η συνάρτηση α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της τέμνει την ευθεία τουλάχιστον σε ένα σημ γ) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της δ) Αν η είναι παραγωγίσιμη, να δείξετε ότι η ευθεία ε: y είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο ε) Υλικό σημείο Μ κινείται επί της ε και η τετμημένη του αυξάνεται με ρυθμό 8cm/sc Να βρείτε: i Την ταχύτητα με την οποία απομακρύνεται από την αρχή των αξόνων τη χρονική ii Το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου που σχηματίζεται από το σημείο Μ, τις προβολές του σημείου Μ στους άξονες και την αρχή των αξόνων, τη χρονική στιγμή κατά την οποία το Μ διέρχεται από το σημείο Α 7 7 α)έστω, με, τότε και με πρόσθεση κατά μέλη είναι lim lim 7 lim 7 7 Είναι 7 lim lim li Επειδή η είναι συνεχής στο ως πολυωνυμική, έχει σύνολο τιμών το A Επειδή το ανήκει στο σύνολο τιμών και η είναι γνησίως αύξουσα, υπάρχει μοναδικός τέτοιος, ώστε 7 7 β) Αρκεί η εξίσωση να έχει 7 τουλάχιστον μία ρίζα στο, Έστω g 4,, Παρατηρούμε ότι οπότε δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα Bolzano για τη g στο, και γι αυτό παραγοντοποιούμε τη g Παράγωγοι 7, έχει μοναδική ρίζα μείο με τετμημένη -4 ρ = Έστω h,, Είναι h, h, δηλαδή h h και επειδή η h είναι συνεχής στο πολυωνυμική, λόγω του ΘBolzano υπάρχει, τέτοιο, ώστε h, στιγμή κατά την οποία διέρχεται από το σημείο και lim lim 7 lim 7 K, Με βάση το σχήμα Hornr είναι g y 5 g,, ως

34 wwwaskisopolisgr Είναι g h και g h γ) αντιστρέφεται A A δ) Έστω ότι a τότε Για κάθε είναι και για Η εφαπτομένη της C στο y y y M t,y t, τότε y t t 5 με t 8cm / sc 8 8 y ε) Έστω i Είναι OM t y t 5 d OM t t 5 5 t t Είναι dt 5 t t 5, t 8 5 tt d t 5tt t 6 5 t t t t 5 Τη χρονική στιγμή t που είν d t 5 t t t t Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο τιμών a a a a, δ 7 7 έχει εξίσωση: 5 65 t t t t ναι t και 5 y t, είναι: cm/sc της, άρα δηλαδή είναι ii Το ορθογώνιο ΟΑΜΒ έχει εμβαδό 5 E OAOB yt t t t E t t Είναι Et t t, t με E t t t t είναι Et t t 5 5 t 8 8 cm / sc και τη χρονική στιγμή t

35 wwwaskisopolisgr Δίνεται συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο με για κάθε α) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται β) Η γραφική παράσταση της δέχεται ακριβώς μία οριζόντια εφαπτομένη γ) Η εξίσωση έχει το πολύ ρίζες δ) Υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε ε) Υπάρχει, τέτοιο, ώστε ξ ξ ξ, και α) Έστω ότι η δεν αντιστρέφεται, τότε θα υπάρχουν, με τέτοια ώστε Λόγω του θεωρήματος Roll για την η εξίσωση, τουλάχιστον μία ρίζα στο έχει που είναι άτοπο Άρα η αντιστρέφεται β) Επειδή λόγω του θεωρήματος Roll για την υπάρχει Επειδή η αντιστρέφεται είναι -, οπότε το είναι μοναδικό, : γ) Αν η είχε τρείς ρίζες τότε από το ΘR η θα έχει τουλάχιστον δύο ρίζες και η τουλάχιστον μία ρίζα, που είναι άτοπο δ) Έστω g,, Η g είναι συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο g Επειδή g g, λόγω του θεωρήματος Roll υπάρχει, τέτοιο, ώστε g, με ε) Επειδή η είναι συνεχής υπάρχουν m,m τέτοια, ώστε m M για κάθε, Άρα m M, m, M, m M και με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε: m,, M m M, Επειδή ο αριθμός ανήκει στο σύνολο τιμών της, υπάρχει,, τέτοιο, ώστε

36 wwwaskisopolisgr Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει ότι και α) Να αποδείξετε ότι β) Να εξετάσετε αν υπάρχει διάστημα της μορφής α,β στο οποίο να εφαρμόζεται το θεώρημα Roll β α β α γ) Να αποδείξετε ότι δ) Να αποδείξετε ότι lim β α β α για κάθε α,β ε) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό για το οποίο ισχύει ότι α) c Για είναι c c 9 άρα 9 () Έστω g, Επειδή g 9 είναι συνεχής διατηρεί σταθερό πρόσημο Είναι g άρα οπότε η () γίνεται: g c g και επειδή είναι g για κάθε, β) Εύκολα αποδεικνύεται ότι η είναι γνησίως αύξουσα οπότε είναι και -, οπότε δεν υπάρχουν, με τέτοια, ώστε, στο οποίο να εφαρμόζεται το θεώρημα Roll για την Άρα δεν υπάρχει διάστημα γ) Αν ισχύει η ισότητα Αν τότε επειδή η είναι συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο,, λόγω του ΘΜΤ υπάρχει, τέτοιο, ώστε Είναι Όμοια αν με δ) lim lim lim lim lim lim lim Επειδή η είναι συνεχής και ε) Είναι και 4 A lim, lim, γνησίως αύξουσα έχει σύνολο τιμών το Επειδή A και υπάρχει μοναδικό τέτοιο, ώστε

37 wwwaskisopolisgr α ημ β,, αημ β, α) Να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων α,β για τις οποίες η είναι παραγωγίσιμη στο με 4 Δίνεται η συνάρτηση Έστω α β β) Να δείξετε ότι δεν εφαρμόζεται για την το θεώρημα Roll στο π, π, όμως υπάρχει σημείο της C στο διάστημα αυτό που ικανοποιεί το συμπέρασμα του θεωρήματος αυτού γ) Να δείξετε ότι υπάρχει π, τέτοιο, ώστε δ) Να βρείτε διάστημα την ε) Να βρείτε το σύνολο τιμών της στ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός 5 α,β π, π στο οποίο να εφαρμόζεται το θεώρημα Roll για τέτοιο, ώστε ημ 7 α) Αν η είναι παραγωγίσιμη στο θα είναι και συνεχής σ αυτό, δηλαδή: lim lim lim lim lim lim lim, lim lim lim Για να είναι η παραγωγίσιμη στο με, πρέπει lim lim β) Είναι,,,, εφαρμόζεται για την το θεώρημα Roll στο συμπέρασμα του θεωρήματος στο γ) Επειδή και η είναι συνεχής στο, υπάρχει, τέτοιο, ώστε Επειδή, Επειδή ικανοποιείται το δεν, λόγω του θεωρήματος Bolzano, δ) Είναι και η είναι συνεχής στο υπάρχει, τέτοιο, ώστε Επειδή και η είναι συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο, εφαρμόζεται για την το θεώρημα Roll στο,, ε) Για κάθε, οπότε λόγω του θεωρήματος Bolzano, είναι

38 wwwaskisopolisgr για κάθε, είναι Επειδή στο, Για κάθε Επειδή στο, για κάθε, και η είναι συνεχής, είναι γνησίως αύξουσα και η είναι συνεχής, είναι γνησίως φθίνουσα lim lim lim γιατί για είναι Επειδή lim lim lim, από το κριτήριο παρεμβολής είναι και lim Επίσης lim lim lim γιατί από το κριτήριο παρεμβολής είναι και lim η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, άρα έχει αντίστοιχο Στο διάστημα, σύνολο τιμών: lim,, Στο διάστημα, η είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, άρα έχει αντίστοιχο σύνολο τιμών: lim,, Το σύνολο τιμών της είναι το A, στ) Επειδή 6 και η είναι γνησίως φθίνουσα στο τέτοιο, ώστε 7 υπάρχει μοναδικός, g α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της που διέρχεται από το σημείο Α(,-) β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της g που είναι παράλληλη στην ευθεία y 6 5 Δίνονται οι συναρτήσεις γ) Να βρεθεί η εξίσωση της κοινής εφαπτομένης των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων,g δ) Ένα κινητό Μ ξεκινά από την αρχή των αξόνων και κινείται κατά μήκος της καμπύλης C, Να βρείτε σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του M είναι διπλάσιος από το ρυθμό μεταβολής του y, αν υποτεθεί ότι κάθε t α) Έστω B, 6 t το σημείο επαφής,τότε η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο αυτό y y y είναι για

39 wwwaskisopolisgr To σημείο A ανήκει στην εφαπτομένη άρα Η εφαπτομένη έχει εξίσωση: β) Έστω,g y 4 το σημείο επαφής,αφού η εφαπτομένη είναι παράλληλη στην ευθεία y 6, έχουμε g Οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι η y g g y y 4 4 γ) Έστω (ε) η κοινή εφαπτομένη και,,e,g C,C αντίστοιχα Τότε η εξίσωση της (ε) για τα σημεία Δ,Ε είναι : g y y y y g g y y Επομένως 4 4 () και () Οπότε η εξίσωση της κοινής εφαπτομένης είναι η (ε): y 4 4 δ) Έστω t,yt τα σημεία επαφής με τις οι συντεταγμένες του M την τυχαία χρονική στιγμή t yt t yt tt yt tt () Έστω t η χρονική στιγμή κατά την οποία ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του M είναι διπλάσιος από το ρυθμό μεταβολής του y Για t t yt t t yt t yt t Είναι yt t 4 Οπότε στο σημείο, ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του M είναι 4 διπλάσιος από το ρυθμό μεταβολής του y () 5 6 Δίνεται συνεχής συνάρτηση :, για την οποία ισχύει: lim και 4 για κάθε α) Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο β) Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της C στο 6 γ) Να βρείτε τη τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η εφαπτομένη ε της C στο εφάπτεται και στη γραφική παράσταση της συνάρτησης g λ 7

40 wwwaskisopolisgr δ) Δίνεται ορθή γωνία Oy ολισθαίνουν πάνω στις πλευρές O και Oy αντίστοιχα Ένα δοκάρι είναι τοποθετημένος κατά μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ Το κάτω μέρος του δοκαριού ολισθαίνει πάνω στον ημιάξονα Οχ με ρυθμό m/scτη χρονική στιγμή t που η κορυφή του δοκαριού απέχει από την αρχή των αξόνων m, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής i) της οξείας γωνίας θ που σχηματίζει το δοκάρι με τον ii) την ταχύτητα που πέφτει το πάνω μέρος του δοκαριού (Δίνεται ότι το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ είναι ίσο με το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΓΔ όπου Γ,Δ τα σημεία τομής της εφαπτομένης ε του προηγούμενου ερωτήματος με τους άξονες) α) Θεωρούμε g, [,), lim lim g g lim lim lim g lim g lim g β) 4 () Για = : () 4 6 u4 u 6 lim lim lim 6 u6 u 6 H εξίσωση της εφαπτομένης της C στο 6 είναι η (ε) : y y y 6 γ) H εξίσωση της εφαπτομένης της (ε) : y y y 6 Έστω A,g το σημείο επαφής της εφαπτομένης με τη C g Οπότε g 4 και g To σημείο, g( ) ανήκει στην (ε) οπότε Έστω,y t, t, οι συ άκρου του πάσσαλου την τυχαία χρονική στιγμή t Αν t η γωνία θ την τυχαία χρονική στιγμή t τότε t t t t t () 5 5 και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ του οποίου τα άκρα Α και Β οπότε g 8 4 lim g 5 4 Άρα η είναι παραγωγίσιμη στο με () 6 C στο είναι η δ) H (ε) τέμνει τους άξονες στα σημεία, και,6 g g 5, y t, t, οι συντεταγμένες του πάνω και κάτω ή και

41 wwwaskisopolisgr Για t t t yt : t t t t t rad / sc β) y t t yt 5 t yt 5 t t 5 Για t t : y t 5 t t 5 t 5 5 m / sc 7 Δίνονται οι συναρτήσεις, g : για τις οποίες ισχύει ότι για κάθε A g() α) Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις,g αντιστρέφονται β) Να υπολογίσετε τo () γ) Αν θεωρήσουμε ότι η g είναι παραγωγίσιμη, να υπολογίσετε τo δ) Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο με α) Έστω, με Άρα η είναι - οπότε αντιστρέφεται 4 Έστω, 4 με 4 () και 4 4 (4) 4 4 g g 4 4 Επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα και - οπότε αντιστρέφεται β) 5 Θέτουμε y οπότε Άρα η αντίστροφη της έχει τύπο Η 5 y y y y y είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο Οπότε γ) Γνωρίζουμε ότι 9 g() g g (6) Mε παραγώγιση κατά μέλη στην (6) έχουμε: g g g g g g g g g g g g, g g δ) 5

42 wwwaskisopolisgr 5 (6) οπότε lim lim άρα lim από κριτήριο παρεμβολής 6 οπότε lim lim Επομένως η είναι παραγωγίσιμη στο με 8 Δίνεται η συνάρτηση αln β,, α,β της οποίας η γραφική παράσταση έχει σημείο καμπής το A, α) Να αποδείξετε ότι α και β 4 β) Να λύσετε την εξίσωση ln 4 γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης k, k δ) Να αποδείξετε ότι ln για κάθε α) Επειδή το Α είναι σημείο της C ισχύει ότι: Η είναι παραγωγίσιμη στο Επειδή η έχει σημείο καμπής στο 4, με και είναι Τότε ln, και Είναι Για κάθε,, l είναι o και για κάθε είναι, Η όντως έχει σημείο καμπής το Α 4 β) Πρέπει Τότε ln ln ln ln ln 4 l n ln l n ln () Είναι, γ) Είναι lim lim ln και lim lim ln lim ln, γιατί

43 wwwaskisopolisgr ln ln lim lim lim οπότε lim DLH Επειδή η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο,, το σύνολο τιμών της είναι: A lim, lim, Επειδή k υπάρχει μοναδικό k ός A, τέτοιος, ώστε δ) ln ln Επειδή η είναι κυρτή η γραφική της παράσταση βρίσκεται πάνω από κάθε εφαπτομένη της εκτός από το σημείο επαφής Αρκεί η y να είναι εφαπτομένη της C Για το λόγο αυτό πρέπει να υπάρχει, τέτοιο, ώστε Παρατηρούμε ότι Η εφαπτομένη της C στο είναι: y y ln y y, άρα για κάθε 9 Δίνονται οι συναρτήσεις, g :, όπου η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις: g g για κάθε η g έχει σύνολο τιμών το α) Να δείξετε ότι β) Να αποδείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα γ) Να αποδείξετε ότι η g αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη της δ) Αν ορίζεται στο η συνάρτηση g g, να λύσετε την ανίσωση gg ε) Να βρείτε την εφαπτομένη της στ) Αν η g είναι παραγωγίσιμ g g g για κάθε C g στο g μη στο, να δείξετε ότι 4

44 wwwaskisopolisgr α) c, c Για είναι c Για είναι c, άρα Επειδή είναι, άρα c, c και αφού η είναι συνεχής, διατηρεί σταθερό πρόσημο Επειδή για κάθε, άρα β) Έστω ότι υπάρχουν, με g g g : g g, τότε g g g, οπότε και g g g g g g g άτοπο Άρα γ) g και αντιστρέφεται Έστω g και y, τότε η αρχική σχέση γίνεται: y y g, δηλαδή g y y y, y άρα δ) gg g g, οπότε η () γίνεται: g g g g g g g g () Αντικαθιστώντας στη σχέση g g g g g g () όπου το g g g προκύπτει: ε) Αρχικά θα βρούμε τα g και g Έστω ότι g, τότε g g g Παρατηρούμε όμως ότι g, άρα gy g g y y lim lim lim lim, άρα g y y g y y g y y DLH y y Η ζητούμενη εφαπτομένη έχει εξίσωση: y g g y g στ) g g g () Επειδή η g είναι παραγωγίσιμη στο και τα δύο μέλη της σχέσης () είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις, οπότε: g g g g g g g g g 4

45 wwwaskisopolisgr Επειδή η g είναι παραγωγίσιμη, η συνάρτηση σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων, άρα η g είναι παραγωγίσιμη με: g g g g g g4 g g Επειδή η g είναι κοίλη βρίσκεται κάτω από κάθε εφαπτομένη της, εκτός του σημείου επαφής τους, άρα g y g g είναι παραγωγίσιμη στο ως πηλίκο και Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει ότι α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ln, β) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο, γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ln k για τις διαφορετικές τιμές του πραγματικού αριθμού k δ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της έχει μοναδικό σημείο καμπής ln ln c ln c, c α) Είναι c c ln ln Έστω g ln, Η g είναι παραγωγίσιμη στο,, με g Για κάθε g g, και για κάθε είναι β) Είναι είναι g g, Η g έχει g άρα g για κάθ γ) ln k ln k ln k k Είναι lim lim ln lim lim ln, και επειδή η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο,, έχει σύνολο τιμών το Άρα για κάθε τιμή του k, η εξίσωση ρίζα και, άρα ln, ελάχιστο στο θε το, άρα και, και g ln, άρα k έχει ακριβώς μία 4

46 wwwaskisopolisgr δ) Η είναι παραγωγίσιμη στο, με ln ln Έστω h ln, Η h είναι παραγωγίσιμη στο, με h Επειδή το τριώνυμο έχει 7, είναι h h,, άρα ln lim h lim ln lim, γιατί ln ln lim ln lim lim lim DLH και lim lim h lim ln Επειδή η h είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα έχει σύνολο τιμών το Επειδή το βρίσκεται στο σύνολο τιμών της h, υπάρχει μοναδικό τέτοιο, ώστε h h Για κάθε h h, h Για κάθε h h l, σημείο καμπής στο o Η έχει μοναδικό Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο α) Να αποδείξετε ότι η δεν έχει μέγιστο στο, 4 με Έστω ότι 5, 4 9 β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει, 4 τέτοιο, ώστε 7 γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν,, 4 τέτοια, ώστε δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο ε) Αν για κάθε, 4, να βρείτε το σύνολο τιμών της για κάθε, 4, να αποδείξετε ότι,, 4 στ) Αν, 4 α) Έστω ότι η παρουσιάζει μέγιστο στο, τότε Για κάθε,4 είναι, άρα, οπότε και lim Επειδή η είναι παραγωγίσιμη στο, ισχύει ότι lim άτοπο Άρα η δεν έχει μέγιστο στο () β) Επειδή 7 4 και η είναι συνεχής στο,4, λόγω του 44

47 wwwaskisopolisgr θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών υπάρχει,4 τέτοιο, ώστε 45 7 γ) Για την εφαρμόζεται το ΘΜΤ σε καθένα από τα διαστήματα, και οπότε υπάρχουν,,4 τέτοια, ώστε: και δ) 4,4, Έστω g,, 4 Η g είναι συνεχής στο,4 ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων και παραγωγίσιμη στο g 4,4 με Επιπλέον g 8, g g4, άρα λόγω του θεωρήματος Roll, η εξίσωση g 4 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο ε) Επειδή για κάθε,4 g , δηλαδή,4 και η είναι συνεχής, θα είναι γνησίως αύξουσα στο,4 Για κάθε 4, 4 Επειδή 5 και 4 9, η έχει σύνολο τιμών το 5,9 στ) Έστω,4 Για την εφαρμόζεται το θεώρημα μέσης τιμής σε καθένα από τα διαστήματα, και,4, οπότε υπάρχουν, και, και τέτοια, ώστε: Είναι () και () 4 Από τις (),() είναι,4 5 και για κάθε Επειδή, είναι για κάθε, Δίνεται συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο, lnνα αποδείξετε ότι: α) υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε ξ ξ ξ με, lnξ ξ ln και