2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Transcript

1 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ, 9 Πότε μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της ; Απάντηση : Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν και μόνο αν υπάρχει το και είναι πραγματικός αριθμός Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται με Δηλαδή: Σχόλια : α Αν, τώρα, στην ισότητα h h h h Πολλές φορές το συμβολίζεται με Δ, ενώ το συμβολίζεται με Δ, οπότε ο παραπάνω τύπος γράφεται: θέσουμε h, τότε έχουμε h Δ Δ Δ Δ Η τελευταία ισότητα οδήγησε το Libniz να συμβολίσει την παράγωγο στο με d d Ο συμβολισμός είναι μεταγενέστερος και οφείλεται στον Lagrang β Αν το είναι εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της, τότε: Η είναι παραγωγίσιμη στο, αν και μόνο αν υπάρχουν στο R τα όρια :, και είναι ίσα d ή d ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

2 9 Α Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη της C στο σημείο της A, Β Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο, να γράψετε την εξίσωση της o εφαπτομένης της C στο σημείο της A, Απάντηση : Α Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν υπάρχει το και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ Β Η εξίσωση της εφαπτομένης ε της C στο σημείο της A, είναι: y Σχόλια : Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό: Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης ε της C στο σημείο C μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης, στο σημείο A, είναι η παράγωγος της στο Δηλαδή, είναι λ, οπότε η εξίσωση της ε φ α π τ ο μ έ ν η ς ε είναι : y Την κλίση της εφαπτομένης ε στο A, θα τη λέμε και κλίση της C στο Α ή κλίση της στο Η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγμή t, είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης St τη χρονική στιγμή t Δηλαδή, είναι υ t S t Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό,, 7 Β, Β, 7 Σ-Λ με εξήγηση Απόδειξη : Για έχουμε, οπότε θα είναι : [ ], αφού η είναι παραγωγίσιμη στο Επομένως,, δηλαδή η είναι συνεχής στο Σχόλιο : Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει Για παράδειγμα : Έστω η συνάρτηση Η είναι συνεχής στο, αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σ αυτό, αφού :, ενώ 7 Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι μια συνάρτηση μπορεί να είναι συνεχής σ ένα σημείο χωρίς να είναι παραγωγίσιμη σ αυτό Αν, όμως, η είναι παραγωγίσιμη στο, τότε θα είναι και συνεχής στο, Ισχύει όμως ότι : Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σ ένα σημείο, τότε, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ Μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε σημείο υπάρχει το όριο του πεδίου ορισμού της, αν, και είναι πραγματικός αριθμός Το όριο αυτό συμβολίζεται με και ονομάζεται παράγωγος της στο Αν ' ' Δηλ = είναι σημείο του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης και η δίνεται αριστερά του και δεξιά του με διαφορετικό τύπο σε κλάδους, τότε είναι παραγωγίσιμη στο, αν και μόνο αν, τα πλευρικά όρια : = =α όπου α πραγματικός αριθμός ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΟ ' Μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε σημείο του πεδίου ορισμού της, αν h υπάρχει το όριο, και είναι πραγματικός αριθμός Το όριο h h αυτό συμβολίζεται με και ονομάζεται παράγωγος της στο Δηλ = ' ' h h h ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΤΙ ΕΚΦΡΑΖΕΙ Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Το ρυθμό μεταβολής του y= ως προς, όταν Το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης ε της γραφικής παράστασης της, στο σημεία επαφής Α δηλαδή, Την ταχύτητα t ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα και η θέση του δίνεται από τη συνάρτηση t, τη χρονική στιγμή t Είναι t Την επιτάχυνση t ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα με ταχύτητα t, τη χρονική στιγμή t Είναι t t t ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν δεν είναι συνεχής στο τότε δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 85

4 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Παράγωγος στο συνάρτησης απλού τύπου ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να βρείτε την παράγωγο της στο σημείο άρα D Έχουμε : Άρα η είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει Να βρείτε αν υπάρχει την παράγωγο της στο σημείο και D [, Έχουμε : Το παραπάνω όριο υπάρχει, αλλά δεν είναι πραγματικός αριθμός, άρα η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Παράγωγος και συνέχεια παράγωγος στο συνάρτησης πολλαπλού τύπου Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο τότε είναι και συνεχής στο Αν όμως δεν είναι συνεχής στο τότε δεν είναι και παραγωγίσιμη ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να εξετάσετε αν η συνάρτηση σημείο = Θα εξετάσω πρώτα αν η είναι συνεχής στο, είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο, Άρα η δεν είναι συνεχής στο και άρα η δεν είναι και παραγωγίσιμη στο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 86

5 , Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη, στο σημείο Θα εξετάσω πρώτα αν η είναι συνεχής στο Άρα η είναι συνεχής στο Θα εξετάσω τώρα αν είναι και παραγωγίσιμη στο Άρα η είναι παραγωγίσιμη στο με, 5 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη, στο σημείο Θα εξετάσω πρώτα αν η είναι συνεχής στο Άρα η είναι συνεχής στο Θα εξετάσω τώρα αν είναι και παραγωγίσιμη στο έ : u u Ό : u u ό : u Άρα η δεν είναι παραγωγίσιμη στο Παρατηρώ δηλαδή ότι μια συνάρτηση μπορεί να είναι συνεχής σε ένα σημείο αλλά να μην είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό 6 Αν η συνάρτηση g είναι συνεχής στο και g να βρεθεί η τιμή Η g είναι συνεχής στο άρα g g ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 87

6 g g g Επίσης : g g Άρα η είναι παραγωγίσιμη στο με ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Παράγωγος στο συνάρτησης με απόλυτη τιμή Αν έχουμε συνάρτηση που περιέχει απόλυτες τιμές και θέλουμε να βρούμε την παράγωγο σε ένα σημείο, βρίσκουμε τα πρόσημα των παραστάσεων που περιέχονται στην απόλυτη τιμή κατασκευάζοντας πίνακα προσήμων και με βάση τα πρόσημα βγάζουμε τις απόλυτες τιμές Αν χρειαστεί γράφουμε τη συνάρτηση με πολλαπλό τύπο και κάνουμε χρήση πλευρικών ορίων τόσο για την συνέχεια όσο και για την παραγωγισιμότητα ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 7 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση, είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο σημείο Έχω : - - +, Άρα η γίνεται :, Θα εξετάσω πρώτα αν η είναι συνεχής στο,, Άρα η είναι συνεχής στο Θα εξετάσω τώρα αν είναι και παραγωγίσιμη στο Άρα η δεν είναι παραγωγίσιμη στο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 88

7 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Καθορισμός παραμέτρων ώστε η συνάρτηση να είναι παραγωγίσιμη στο Βρίσκουμε αρχικά τη σχέση μεταξύ των παραμέτρων πχ α,β ώστε η να είναι συνεχής στο Έπειτα βρίσκουμε τα όρια l, l και ζητάμε να ισχύει l Από τις σχέσεις και l προσδιορίζουμε τις παραμέτρους α,β ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 8 Να βρεθούν οι τιμές των παραμέτρων α και β ώστε η συνάρτηση, να είναι παραγωγίσιμη στο σημείο, Αφού η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, θα είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Δηλαδή ισχύει : Άρα 5 5 Αφού η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, ισχύει : Από και και λόγο της ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 89

8 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 5 : Προσδιορισμός από ανισοτική σχέση κριτήριο παρεμβολής Αρχικά θέτουμε όπου το και βρίσκουμε την τιμή Έπειτα μορφοποιούμε την ανισότητα ώστε να έχουμε στη μέση κριτήριο παρεμβολής βρίσκουμε το και τέλος εφαρμόζοντας το ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 9 Αν για κάθε ισχύει : 5 να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο Για η σχέση γίνεται : 5 Άρα Η παράγωγος στη θέση είναι : Άρα έχω : Για : Είναι άρα από κριτήριο παρεμβολής έχω : Για : Είναι άρα από κριτήριο παρεμβολής έχω : 9 Άρα από και ισχύει : 9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

9 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : Προσδιορισμός ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : από γνωστό όριο Δίνεται συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι : i Να βρείτε το ii Νδο η είναι παραγωγίσιμη στο και να βρείτε το i Η είναι συνεχής στο άρα : Θέτω g, άρα g Έχω : g g g Άρα : [ g ], άρα από ii Για να δείξω ότι η είναι παρ/μη στο, αρκεί να δείξω ότι το όριο υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός g Έχω : g g g, άρα η είναι παρ/μη στο και Δίνεται συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι : Αν η είναι παραγωγίσιμη στο να βρείτε το Η είναι παραγωγίσιμη στο άρα είναι και συνεχής στο δηλαδή : Θέτω g με g Λύνοντας ως προς έχω : g g άρα : g άρα από : Επίσης : η είναι παραγωγίσιμη στο άρα : Το όριο που δίνεται γράφεται : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

10 Δίνεται συνάρτηση : η οποία είναι συνεχής στο 5 και 8 Να δείξετε ότι 5 και ότι η είναι παραγωγίσιμη στο 5 με 5 έ u u u u Έχουμε : u u 5 u u 5 u 5 5 u u 8 u 5 u 5 u 5 u Έστω : g, 5 και g Είναι : 5 g 5 5 Επειδή η είναι συνεχής στο g Έτσι 5 5 5, άρα ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7 : Ισοδύναμος ορισμός για το Μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε σημείο h υπάρχει το όριο, και είναι πραγματικός αριθμός Το όριο αυτό h h συμβολίζεται με και ονομάζεται παράγωγος της στο Δηλ = ' ' h h h ' του πεδίου ορισμού της, αν ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Άσκηση σελ Β ομάδας σχολικού βιβλίου κατεύθυνσης Αν για μια συνάρτηση ισχύει h h h h, για κάθε h, να αποδείξετε ότι : i ii η είναι παραγωγίσιμη στο και ότι i Για να βρω το, στη σχέση h h h h, θα βάλω όπου h και έχω : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9 ii Για να είναι η παραγωγίσιμη στο αρκεί το όριο h h h να υπάρχει και να είναι πραγματικός αριθμός Έχω h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h Άρα η παρ/μη στο με h h h Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο να δείξετε ότι h h h h H είναι παραγωγίσιμη στο άρα h h h Έχουμε : h h h h h h h h * h h h h h h * είναι u h u h έ u h h h h u u u u u u ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 5 Δίνεται η συνάρτηση : παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει : για κάθε Να βρείτε : i το και ii το i Στη σχέση θέτω για και έχω : ii Η είναι παραγωγίσιμη στο άρα Όμως : καθώς η παράσταση είναι τριώνυμο ως προς με άρα για κάθε Έτσι έχουμε : ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 8 : Παράγωγος και συναρτησιακές σχέσεις

12 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9 καθώς η είναι παραγωγίσιμη στο άρα είναι και συνεχής στο, οπότε 6 Δίνεται η συνάρτηση : παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει : για κάθε Να βρείτε : i το και ii το i Στη σχέση θέτω για και έχω : ii Είναι Διαιρώ τη σχέση : με και έχουμε : άρα παίρνοντας όριο έχουμε : 7 Δίνεται η συνάρτηση :, για την οποία ισχύει : για κάθε Να δείξετε ότι : i η είναι συνεχής στο και ii ότι i Για κάθε έχουμε Είναι : για κάθε Δηλ Έτσι : από κριτήριο παρεμβολής : Επίσης :, άρα, άρα η είναι συνεχής στο ii καθώς

13 8 Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο με και για κάθε, y είναι y y με, να δείξετε ότι για κάθε Για y είναι : καθώς h h h Επίσης : h h h h h h h h h ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 9 Αν, να βρείτε το Αν να εξετάσετε αν η είναι παραγωγίσιμη στο = Να εξετάσετε αν η συνάρτηση, είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο σημείο Υποδ για να βρούμε την παράγωγο σε ένα σημείο μιας συνάρτησης που περιέχει απόλυτα, πρώτα βγάζουμε τα απόλυτα και η συνάρτηση γίνεται πολλαπλού τύπου Να εξετάσετε αν η συνάρτηση, είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο σημείο Να βρείτε αν υπάρχει την παράγωγο της συνάρτησης στο σημείο, όταν i, ii, iii,,, Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης ημ στο σημείο, 5 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη 5 5, στο σημείο Υποδ Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο τότε είναι και συνεχής στο Αν όμως δεν είναι συνεχής στο τότε δεν είναι και παραγωγίσιμη 6 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο σημείο,, είναι συνεχής και ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 95

14 7 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο σημείο,, είναι συνεχής και 8 Να βρείτε τα α,β ώστε η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο σημείο,, να είναι 9 Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 7 και 7, να βρείτε το 7 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 5 g είναι παραγωγίσιμη στο Αν μια συνάρτηση είναι είναι συνεχής στο και 7 i ii 7 να αποδείξετε : 7 Αν μια συνάρτηση είναι είναι συνεχής και i Να βρείτε το ii Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο και να βρείτε το iii Να υπολογίσετε το Αν μια συνάρτηση είναι είναι συνεχής και i Να βρείτε το ii Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο και να βρείτε το 5 iii Να υπολογίσετε το 5 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση :,για την οποία ισχύει 5 i Να δείξετε ότι = ii Να δείξετε ότι = λ iii Να βρείτε το λ IR έτσι, ώστε: Πανελλήνιες 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 96

15 6 Αν για μια συνάρτηση : ισχύει : για κάθε Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο και να βρείτε το 7 Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο και για κάθε ισχύει : ημ i ii ημ να αποδείξετε ότι : 8 Δίνεται συνάρτηση :, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο Αν 5 και να υπολογίσετε το όριο : 5 9 Αν η συνάρτηση : είναι συνεχής στο και 7 i να αποδείξετε ότι ii να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο με iii να υπολογίσετε το όριο : 9 Δίνεται συνάρτηση :, για την οποία ισχύει 5 Να υπολογίσετε τα όρια : i ii Δίνεται συνάρτηση :, για την οποία ισχύει Να υπολογίσετε τα όρια : i 7 ii Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, τότε h i h h h h ii h h Δίνεται η συνάρτηση : παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει : για κάθε Να βρείτε : i το και ii το Δίνεται η συνάρτηση : παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει : 8 για κάθε Να βρείτε : i το και ii το ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 97

16 5 Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι : y y y για κάθε, y Επίσης η είναι παραγωγίσιμη στο με Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη σε κάθε 6 Δίνεται η συνάρτηση :, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο Αν επιπλέον η, συνάρτηση : g είναι παραγωγίσιμη στο, τότε να βρείτε :, i τα και ii το όριο iii Να δείξετε ότι η εξίσωση g 5 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, 7 Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων θέσεως τριών κινητών που κινήθηκαν πάνω στον άξονα στο χρονικό διάστημα από sc έως 8sc Να βρείτε : =St κινητό Γ κινητό Α O t sc κινητό Β i Ποιο κινητό ξεκίνησε από την αρχή του άξονα κίνησης; ii Ποιο κινητό κινήθηκε μόνο προς τα δεξιά; iii Ποιο κινητό άλλαξε φορά κίνησης τη χρονική στιγμή t sc, ποιο τη χρονική στιγμή t sc και ποιο τη χρονική στιγμή t 5sc; iv Ποιο κινητό κινήθηκε προς τα αριστερά σε όλο το χρονικό διάστημα από sc έως sc; v Ποιο κινητό τερμάτισε πιο κοντά στην αρχή του άξονα κίνησης; vi Ποιο κινητό διάνυσε το μεγαλύτερο διάστημα; y 8 Να παραστήσετε γραφικά την παράγωγο της συνάρτησης του διπλανού σχήματος O 6 y= 9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 98

17 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΡΙΣΜΟΙ Πότε μια συνάρτηση λέγεται : α Παραγωγίσιμη στο σύνολο Α β Παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα αβ, γ Παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [ αβ, ] Β, δ Τι ονομάζουμε πρώτη, δεύτερη και γενικά νιοστή παράγωγο μιας συνάρτησης ; Απάντηση : Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α Θα λέμε ότι: α H είναι παραγωγίσιμη στο Α ή, απλά, παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο A β Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα αβ, του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο, γ Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ, ] του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο, και επιπλέον ισχύει: R και R δ Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού και τo σύνολο των σημείων του στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη Αντιστοιχίζοντας κάθε στο, ορίζουμε τη συνάρτηση A R :, η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος της ή απλά παράγωγος της H πρώτη d παράγωγος της συμβολίζεται και με που διαβάζεται ντε εφ προς ντε χι Για d πρακτικούς λόγους την παράγωγο συνάρτηση y θα τη συμβολίζουμε και με y Αν υποθέσουμε ότι το είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων, τότε η παράγωγος της, αν υπάρχει, λέγεται δεύτερη παράγωγος της και συμβολίζεται με ν Επαγωγικά ορίζεται η νιοστή παράγωγος της, με ν, και συμβολίζεται με Δηλαδή ν ν [ ], ν Η εύρεση της παραγώγου συνάρτησης, με βάση τον ορισμό που δώσαμε, δεν είναι πάντα εύκολη Στη συνέχεια θα δούμε μερικές βασικές περιπτώσεις παραγώγισης συναρτήσεων, που θα τις χρησιμοποιούμε στην εύρεση παραγώγου συναρτήσεων αντί να χρησιμοποιούμε τον ορισμό κάθε φορά ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 99

18 Παρατήρηση : h h Ισχύει : και h h h h u u Επίσης : και [ h u] u u u u Να αποδείξετε ότι : α Αν c, τότε β Αν, τότε γ Αν, με N {,}, τότε δ Αν, τότε, Απόδειξη : α Για ισχύει: cc Επομένως, 5 Β, δηλαδή c β Για ισχύει ότι : Επομένως,, δηλαδή γ Αν είναι ένα σημείο του R, τότε για ισχύει: Επομένως : δ Αν είναι ένα σημείο του,, τότε για ισχύει:, δηλαδή,, οπότε : Παρατήρηση : η έχει πεδίο ορισμού το [,, όμως : Σχόλια Τύποι :, άρα η δεν είναι παραγωγίσιμη στο,δηλαδή Έστω συνάρτηση ημ Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει συν, δηλαδή ημ συν Έστω η συνάρτηση συν Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει ημ, δηλαδή συν ημ Έστω η συνάρτηση Αποδεικνύεται ότι η είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει, δηλαδή Έστω η συνάρτηση ln Αποδεικνύεται ότι η είναι παραγωγίσιμη στο, ισχύει, δηλαδή ln ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

19 ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ Παράγωγος αθροίσματος Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: g g Απόδειξη : g g g g g g Για, ισχύει: Επειδή οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, έχουμε: g g g g g, g g δηλαδή Σημείωση : Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε Δ ισχύει: g g Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις Δηλαδή, αν,,, k, είναι παραγωγίσιμες στο Δ, τότε : k k Για παράδειγμα, ημ ημ συν ΘΕΩΡΗΜΑ Παράγωγος γινομένου Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε και η συνάρτηση gείναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: g g g Σημείωση : Αν οι συναρτήσεις,g είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε ισχύει: g g g Για παράδειγμα, ln ln ln ln, Το παραπάνω θεώρημα επεκτείνεται και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις Έτσι, για τρεις παραγωγίσιμες συναρτήσεις ισχύει: g h [ g h ] g h g h Για παράδειγμα : [ g g ] h g h g h g h g h ημ ln ημ ln ημ ln ημ ln ημ ln συν ln ημ, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

20 Αν είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση σ ένα διάστημα Δ και c R, επειδή c, σύμφωνα με το θεώρημα έχουμε: c c Για παράδειγμα : ΘΕΩΡΗΜΑ Παράγωγος πηλίκου Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο και g, τότε και η συνάρτηση g g g g [g ] είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: Σημείωση : Αν οι συναρτήσεις,g είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα Δ και για κάθε ισχύει g g g, τότε για κάθε έχουμε: g [ g ] Έστω η συνάρτηση *, N Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R* και ισχύει, δηλαδή Απόδειξη * Πράγματι, για κάθε έχουμε: Έστω η συνάρτηση εφ Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R { συν } και ισχύει, δηλαδή εφ συν συν Απόδειξη: Πράγματι, για κάθε R { συν } έχουμε: ημ ημ συν ημσυν συνσυν ημημ συν ημ εφ συν συν συν συν συν Έστω η συνάρτηση ισχύει ημ σφ Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R { ημ } και, δηλαδή σφ ημ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

21 6 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και η είναι παραγωγίσιμη στο g, τότε η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει g g g Σχόλια : Γενικά, αν μια συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και η είναι παραγωγίσιμη στο g, τότε η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει g g g Δηλαδή, αν u g, τότε u u u Με το συμβολισμό του Libniz, αν y u dy dy du και u g, έχουμε τον τύπο d du d αλυσίδας που είναι γνωστός ως κανόνας της 7 ΘΕΩΡΗΜΑ Να αποδείξετε ότι : α Η συνάρτηση, a Z είναι παραγωγίσιμη στο, και ισχύει, β Η συνάρτηση, είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει ln γ Η συνάρτηση ln, R * είναι παραγωγίσιμη στο R * και ισχύει 8 Απόδειξη : α Πράγματι, αν ln και θέσουμε u ln y ln u, τότε έχουμε y Επομένως, u u ln y u ln β Πράγματι, αν y u και θέσουμε u ln, τότε έχουμε y Επομένως, u u ln y u ln ln γ Πράγματι αν, τότε ln ln, ενώ αν, τότε ln ln, οπότε, αν θέσουμε y ln και u, έχουμε y lnu Επομένως, y lnu u u και άρα ln ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ,,,,,,, Επίσης ισχύουν οι εξής κανόνες παραγώγισης :, c c c ln ln ln g g c c c g g g g g g g Α ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 5 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων i 5 ii 5 iii 5 7 iv 9 v 5 ln vi vii ln viii, i 5 5 ii iii iv 9 9 v ln 5 ln 5 ln vi vii ln ln ln viii Είναι, Άρα : Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων i ln ii 7 5 iii ln iv v vi vii

24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6 viii ln i ln 6 ln 6 ln ln ln ii iii ln ημ ln ημ ln ημ ln ημ ημ ln συν ln ημ, iv ] [ ] [ v vi vii viii ln ln ln ln ln ln ln ln ln Να βρείτε την παράγωγο της παρακάτω συνάρτησης :,, Για έχω άρα Για έχω άρα Στο θα πρέπει να εξετάσω με τον ορισμό αν είναι παραγωγίσιμη : Πρώτα θα εξετάσω αν είναι συνεχής στο :

25 τώρα αν είναι και παραγωγίσιμη στο : άρα η είναι συνεχής στο παραγωγίσιμη στο με άρα :,, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων i ii 5 στο =- iii 5 7 iv v 6ln =6 vi vii 5 viii ln = 5 Να βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων i ln ii iii iv v vi vii viii i ln t ln t t t Θα εξετάσω άρα η είναι,,, ή ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

26 6 Να βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων : i ii iii ln iv v vi ln 7 Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης 8 Να βρείτε, όπου ορίζεται, την παράγωγο των συναρτήσεων :,, i ii,,, 9 Δίνεται η συνάρτηση Να δείξετε ότι η είναι συνεχής Στη, συνέχεια να βρείτε την παράγωγο και να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο = Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε τα όρια : i ii Αν μία συνάρτηση : είναι παραγωγίσιμη στο σημείο, να αποδείξετε ότι : i a ii Αν και g ; g, να βρείτε τις συναρτήσεις, g Ισχύει ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

27 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων : i ii ln iii iv ln v vi vii viii i i i ii ln ln ln ln ln ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ισχύει : ln g g g ln

28 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα iii iv ln v vi vii viii i i Υποδ Για κάθε ισχύει : lna Μια συνάρτηση h g, η οποία ορίζεται όταν g, για να βρούμε την γράφουμε τον τύπο της ως έξης : ln ln g h g h g h και στη συνέχεια παραγωγίζουμε, με, και είναι : ln ln έτσι έχουμε : ln ln ln ln Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης g g ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 5 Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων : i ii 5 iii iv ln v ln vi 5 vii 5 viii i

29 i ii 6 Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων i ii iii 5 iv v vi vii 5 / viii ημ i ln ln i ii iii 5 iv v ln 7 Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων : i ii ln iii 5 iv v vi ln vii viii ln i ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

30 8 Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης στο σημείο όταν : i ii, / /, iii ημ, iv 6, 9 Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων : ln i ii iii iv 5 ln, ημ συν Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων i ii Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει : 5 5 6, Να βρείτε το 6 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης g ln για κάθε Στη συνέχεια αν δίνεται ότι, να βρείτε την τιμή g ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται η συνάρτηση, Να βρεθούν οι τιμές των παραμέτρων,, ώστε να ισχύει : για κάθε Άρα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

31 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Δίνεται συνάρτηση, δυο φορές παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει : ln ln, για κάθε Να βρείτε το 5 Να βρεθεί πολυώνυμο τέτοιο ώστε για κάθε να είναι 5 Υπόδειξη : Αν το πολυώνυμο έχει βαθμό, τότε το έχει βαθμό 6 Να βρεθεί πολυώνυμο τέτοιο ώστε και για κάθε να είναι 7 Να βρείτε πολυώνυμο τρίτου βαθμού τέτοιο, ώστε,, και 6 8 Δίνεται η συνάρτηση Να δείξετε ότι για κάθε 9 Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε την τιμή του λ ώστε να ισχύει : ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει : 8 για κάθε Να βρείτε τις τιμές και Στη σχέση : 8 θέτω και έχω : 8 Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγισιμων, ομοίως και η συνάρτηση 8 είναι παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική Επομένως παραγωγίζω και τα μέλη της και έχω : 8 8 Στη για έχω : 8 Προσοχή : Στην παραπάνω άσκηση παραγωγίσαμε τη συναρτησιακή σχέση εφαρμόζοντας κανόνες παραγώγισης, γιατί είχαμε την πληροφορία ότι η είναι παραγωγίσιμη στο Αν γνωρίζαμε ότι η είναι παραγωγίσιμη μόνο στο δεν θα μπορούσαμε να παραγωγίσουμε τη σχέση και θα έπρεπε να βρούμε το με τον ορισμό ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

32 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : * για την οποία ισχύει : y y y για κάθε y y y *, y Να δείξετε ότι για κάθε *, y ισχύει : Παραγωγίζουμε τη σχέση y y y ως προς, θεωρώντας το y σταθερά : y y y y y y y y y y y, επίσης με παραγώγιση στη σχέση έχουμε : y y y y y y y y y y y y y y y y y Τώρα παραγωγίζουμε την ως προς y, θεωρώντας το σταθερά : y y y y y y y y y y, επίσης με παραγώγιση στη σχέση έχουμε : y y y y y y y y y y 5 Από και 5 έχουμε : y y y y y y Δίνεται η συνάρτηση i Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται ii Να βρείτε την είναι παραγωγίσιμη, αν θεωρήσουμε γνωστό ότι η i Έχω : D, Έστω, D, με Επίσης : Προσθέτω κατά μέλη τις και και έχω : Άρα η είναι γνησίως αύξουσα, άρα η είναι «-» και άρα η αντιστρέψιμη Επίσης,, Άρα D ii Για κάθε, όμως Στην για έχω : ισχύει ότι οπότε : άρα : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

33 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε Να βρείτε τις τιμές και Δίνεται συνάρτηση : παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει : 8 για κάθε Να βρείτε τις τιμές και 5 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει : 9 Να βρείτε τις τιμές και για κάθε 6 Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε Να βρείτε τις τιμές και αν γνωρίζουμε ότι η είναι : i παραγωγίσιμη στο ii παραγωγίσιμη στο 7 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει : a για κάθε iνα βρείτε το α ii Να εκφράσετε την ως συνάρτηση της iii Να βρείτε το Αν η C διέρχεται από την αρχή των αξόνων : 8 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει : 5 για κάθε Να βρείτε : iτο ii Το όριο : 9 Δίνεται παραγωγίσιμη και περιττή συνάρτηση :, για την οποία ισχύει : 7 7 i Να βρείτε τις τιμές και ii Αν g, να βρείτε τη g Δίνεται η συνάρτηση i Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται ii Να βρείτε την **Δίνεται συνάρτηση : με συνεχή πρώτη παράγωγο και για κάθε, για την οποία ισχύει : για κάθε i Να βρείτε τις τιμές και ii Να αποδείξετε ότι iii Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 5

34 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε Αν η C διέρχεται από το Α,, να βρείτε : iτο σημείο τομής της C με τον άξονα y y ii Το iii Το όριο : Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει : y y για κάθε, y Να αποδείξετε ότι για κάθε, y ισχύει : y y [ ] [ y y] Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει : y y για κάθε, y, y y, y, ισχύει : y y y Να αποδείξετε ότι για κάθε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

35 Β ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΠΡΟΣΟΧΗ ΙΣΧΥΟΥΝ ΤΑ ΕΞΗΣ : Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η C δέχεται εφαπτομένη στο σημείο Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης είναι όπου ω η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη με τον άξονα Η εξίσωση της εφαπτομένης στο είναι : y Το αντίστροφο όμως δεν ισχύει Δηλαδή αν μια συνάρτηση δέχεται εφαπτομένη στο,, τότε δεν είναι πάντα παραγωγίσημη στο, αφού μπορεί να δέχεται και κατακόρυφη εφαπτομένη ο συντελεστής διεύθυνσης δεν ορίζεται άρα και το Αν όμως δέχεται εφαπτομένη όχι κατακόρυφη τότε είναι παραγωγίσιμη Οι έννοιες εφαπτομένη στο και παράγωγος στο είναι ταυτόσημες o ω αμβλεία, o ω= // Η εφαπτομένη της C στο σημείο,, μπορεί να έχει με τη C και άλλα κοινά σημεία πχ η εφαπτομένη της στο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΤΑΝ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΕΠΑΦΗΣ, C Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης της σε γνωστό σημείο, χρησιμοποιούμε τον τύπο y Βρίσκουμε το άρα το,, Αν μια παραγωγίσημη συνάρτηση δέχεται εφαπτομένη στο σημείο της οποία σχηματίζει με τον άξονα γωνία ω, τότε : o ω οξεία σημείο επαφής, Στη συνέχεια βρίσκω την και το κάνω αντικατάσταση στον παραπάνω τύπο και προκύπτει η εξίσωση της εφαπτομένης ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΤΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ 8, ή ή ή ή 5 ή ή 9, η ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

36 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται η συνάρτηση 5, Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της, C στο σημείο Έστω η εφαπτομένη της C στο σημείο επαφής, άρα το σημείο επαφής,,7, τότε : y Έχω 7 Έχω : άρα Ισχύει : : y y 7 y 7 6 y Άρα : : y Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει : 8 για κάθε Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C Έστω η εφαπτομένη της : y στο σημείο της, C στο σημείο επαφής,, τότε Στη σχέση : 8 θέτω και έχω : 8 Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγισιμων, ομοίως και η συνάρτηση 8 είναι παραγωγίσιμη ως πολυωνυμία Επομένως παραγωγίζω και τα μέλη της και έχω : 8 8 Στη για έχω : 8 Ισχύει : : y y y Άρα : : y Δίνεται η συνάρτηση της, C στο σημείο Έστω η εφαπτομένη της, Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης 5, C στο σημείο επαφής,, τότε : y Έχω άρα το σημείο επαφής,, Επίσης πρέπει να βρω το άρα παραγωγίσιμη στο Ισχύει : : y y 9 y 9 8 y 9 Άρα : : y 9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

37 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : C στο,,, ii,,,, iv Να βρείτε την εφαπτομένη της i 5 6 iii ii iii, ln,,, στις παρακάτω περιπτώσεις :, 5 Δίνεται η συνάρτηση : Να βρείτε, αν υπάρχει, την εξίσωση 6, της εφαπτομένης της, C στο σημείο της a, 6 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : a a, iνα βρείτε το α ii Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο και να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της, C στο σημείο της a, 7 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : a 5, εξίσωση της εφαπτομένης της, C στο σημείο της a, Να βρείτε την 8 Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της σε οποιοδήποτε σημείο της M,, έχει με αυτήν και άλλο κοινό σημείο Ν εκτός του Μ Στο σημείο Ν η κλίση της C είναι τετραπλάσια της κλίσης της στο Μ 9 Δίνεται η παραγωγίσημη συνάρτηση : με την ιδιότητα : 7 για κάθε Να δείξετε ότι 5 και στη συνέχεια να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της, C στο Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει : 9 για κάθε Να αποδείξετε ότι για τη C ορίζεται εφαπτομένη στο σημείο της,, της οποίας και να βρείτε την εξίσωση Δίνεται συνάρτηση : δυο φορές παραγωγίσιμη, για την οποία ισχύει Αν g, τότε να βρείτε την εφαπτομένη της Cg στο σημείο που αυτή τέμνει τον άξονα y y Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο της, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

38 Δίνεται συνάρτηση : παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει : 8 για κάθε, C στο σημείο της Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει : 9 για κάθε Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο της, 5 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει : 9 για κάθε Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της, C στο σημείο της 6 Έστω ε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης σε ένα σημείο της, Αν, είναι τα σημεία στα οποία η ε τέμνει τους άξονες και y y αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι : i Το Μ είναι μέσο του ΑΒ * ii Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι σταθερό, δηλαδή ανεξάρτητο του 7 Έστω : μια παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύουν : h h 8 και Να βρείτε την εφαπτομένη της C h στο h 8 Έστω μια συνάρτηση, παραγωγίσιμη στο διάστημα,, για την οποία ισχύει :, για κάθε, Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C, σχηματίζει με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο στο σημείο 9 Δίνεται συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : Να αποδείξετε ότι για τη C ορίζεται εφαπτομένη στο σημείο της, της οποίας να βρείτε την εξίσωση Δίνεται η συνάρτηση Έστω ότι η C διέρχεται από το σημείο Α-,-5 και η εφαπτομένη της στο Α σχηματίζει με τον άξονα γωνία i Να βρείτε τα α,β ii Για και 8 να βρείτε την εφαπτομένη της καμπύλης της χ στο σημείο, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

39 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΤΑΝ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ ΤΗΝ ΚΛΙΣΗ ΤΗΣ Όταν δε μας δίνεται το σημείο επαφής αλλά ένα στοιχείο για την κλίση της εφαπτομένης, τότε ξεκινάμε θεωρώντας το σημείο επαφής, το οποίο πρέπει και να υπολογίσουμε χρησιμοποιώντας το στοιχείο για την κλίση της εφαπτομένης Πιο συγκεκριμένα διακρίνουμε τις περιπτώσεις : ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Η εφαπτομένη ε της στο σημείο έχει συντελεστή διεύθυνσης ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Η εφαπτομένη ε της στο σημείο είναι παράλληλη στην ευθεία : y, όταν ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Η εφαπτομένη ε της στο σημείο είναι κάθετη στην ευθεία : y, όταν ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Η εφαπτομένη ε της στο σημείο είναι παράλληλη στον άξονα, όταν C, C ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 5 : Η εφαπτομένη ε της στο σημείο σχηματίζει γωνία 9 με τον άξονα, όταν ισχύει ότι Αφού βρούμε το σημείο επαφής, κάνουμε αντικατάσταση στον τύπο : : y, C, C και βρίσκουμε την εξίσωση της εφαπτομένης, C,, ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται η συνάρτηση, Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της που i Έχει συντελεστή διεύθυνσης 5 ii Είναι παράλληλη στην ευθεία : y 5 iii Είναι κάθετη στην ευθεία : y iv Είναι παράλληλη στον άξονα v Σχηματίζει γωνία με τον άξονα 5 Έστω η εφαπτομένη που ψάχνω με σημείο επαφής το,, τότε : y Επίσης i Η έχει συντελεστή διεύθυνσης 5 άρα 5 5 Άρα δηλαδή το σημείο επαφής είναι,, Ισχύει : : y y 5 y 5 5 y 5 Άρα : : y 5 ii Η // : y 5 Άρα δηλαδή το σημείο επαφής είναι,, Ισχύει : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

40 : y y y y Άρα : : y iii : y Όταν δυο ευθείες είναι κάθετες οι συντελεστές διεύθυνσης τους είναι αντιθετοαντιστροφοι 6 Άρα δηλαδή το σημείο επαφής είναι,, Ισχύει : : y y y 9 Άρα : : y 9 iv // 9 Άρα δηλαδή το σημείο επαφής είναι 9,, Ισχύει : : y y y Άρα : : y Θα μπορούσαμε να πούμε ότι επειδή // άρα θα είναι της μορφής y y και 9 9 αφού βρούμε το σημείο επαφής,, να πούμε κατευθείαν : y v Η σχηματίζει με τον άξονα γωνία 5 άρα 5 Άρα δηλαδή το σημείο επαφής είναι,, Ισχύει : : y y y Άρα : : y ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Δίνεται η συνάρτηση 5 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της που iέχει συντελεστή διεύθυνσης ii Είναι παράλληλη στην ευθεία : y 5 7 iii Είναι κάθετη στην ευθεία : 7y ivείναι παράλληλη στον άξονα vσχηματίζει γωνία με τον άξονα 5 viσχηματίζει γωνία με τον άξονα 5 Να βρείτε την εφαπτομένη της καμπύλης της που σχηματίζει με τον άξονα γωνία Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της καμπύλης της ln που είναι παράλληλες στη διχοτόμο της γωνίας ˆ y 5 Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της καμπύλης της παράλληλες στον άξονα που είναι ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

41 6 Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε τα σημεία της καμπύλης της στα οποία οι εφαπτομένες είναι παράλληλες στην ευθεία : y Στη συνέχεια να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων 7 Δίνεται η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν σημεία της καμπύλης της ώστε οι εφαπτομένες σ αυτά να είναι παράλληλες στην ευθεία : y 8 Δίνεται η συνάρτηση 5 Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν σημεία της καμπύλης της ώστε οι εφαπτομένες σ αυτά να είναι παράλληλες στον άξονα 9 Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης : ημ ημ, [, ], στα οποία η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στον άξονα των Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της καμπύλης της συνάρτησης οποιοδήποτε σημείο της σχηματίζει με τον άξονα αμβλεία γωνία σε ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΠΟΥ ΔΕΝ ΑΝΗΚΕΙ ΣΤΗ C Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης της, που δεν ανήκει στη C, εργαζόμαστε ως εξής : θεωρούμε το σημείο επαφής, που διέρχεται από ένα σημείο γράφουμε τον τύπο της εφαπτομένης : y η ε διέρχεται από το σημείο,, άρα οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση της, Δηλ από την παραπάνω εξίσωση βρίσκουμε την τιμή ή τις τιμές του και στη συνέχεια την εξίσωση της εφαπτομένης Προσοχή : σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να μπερδεύουμε το σημείο επαφής με το σημείο διέλευσης C ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

42 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της καμπύλης της συνάρτησης 5 που διέρχονται από το σημείο Α, Έστω, τότε, η εφαπτομένη που ψάχνω με σημείο επαφής το : y Επίσης 6 5 Άρα : : y y Όμως η διέρχεται από το σημείο Α, άρα οι συντεταγμένες του Α επαληθεύουν την y : y ή 5 εξίσωση της δηλαδή : Για, και άρα : y y y άρα : y Για 5, 5 5 και 5 5 άρα : y y y y 5 7 άρα : y 5 7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της καμπύλης της συνάρτησης που διέρχονται από την αρχή των αξόνων Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ευθείας της καμπύλης της που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της συνάρτησης οποία διέρχεται από το σημείο Α-,- η 7 5 Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C που διέρχεται από το σημείο Α, 6 Δίνεται η συνάρτηση 6 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C που διέρχεται από το σημείο Α-,- 7 Δίνεται η συνάρτηση, λ> Να βρείτε την εφαπτομένη της C που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ιούνιος 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

43 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΓΙΑ ΝΑ ΕΦΑΠΤΕΤΑΙ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΗ Η ευθεία ε: y εφάπτεται στη C, αν και μόνο αν υπάρχει D, ώστε να ισχύει : ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 8 Αν η ευθεία y 6 εφάπτεται στην καμπύλη της συνάρτησης στο σημείο,, i Να βρείτε τα α,β ii Να αποδείξετε ότι η ευθεία y εφάπτεται στη C i Έστω η εφαπτομένη που ψάχνω με σημείο επαφής το, Επίσης Η ευθεία y 6 εφάπτεται στη C στο 6 8, ii Για και 6 ο τύπος της γίνεται : 6 άρα Η ευθεία y εφάπτεται στη C, αν και μόνο αν υπάρχει σημείο, της C, ώστε να ισχύουν : στη C,,,6 C στο σημείο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6 Άρα η ευθεία y εφάπτεται 9 Να αποδείξετε ότι η ευθεία : y 6 εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης 5 7 Να αποδείξετε ότι η ευθεία : y εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης Έστω : παραγωγίσιμη συνάρτηση με : και g, για κάθε iνα βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ε της, ii Να βρείτε το g iii Να αποδείξετε ότι η ε εφάπτεται της C στο, g g C στο σημείο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 5

44 Δίνεται η συνάρτηση με, Η εφαπτομένη της C στο σημείο της, έχει εξίσωση : y 9 i Να βρείτε τα, ii Να αποδείξετε ότι και η ευθεία : y εφάπτεται της C Δίνεται η συνάρτηση με, Η εφαπτομένη της C στο σημείο της, έχει εξίσωση : y 7 i Να βρείτε τα, iiνα αποδείξετε ότι και η ευθεία : y εφάπτεται της C Αν η ευθεία y εφάπτεται στην καμπύλη της συνάρτησης στο σημείο,, να βρείτε τα α,β 5 Αν η ευθεία y εφάπτεται στην καμπύλη της συνάρτησης στο σημείο,, να βρείτε τα α,β 6 Αν η ευθεία y εφάπτεται στην καμπύλη της συνάρτησης, να βρείτε το σημείο επαφής και στη συνέχεια την ευθεία ε 7 Αν η διχοτόμος της γωνίας ˆ y εφάπτεται στην καμπύλη της συνάρτησης,, να βρείτε το σημείο επαφής 8 Δίνονται οι συναρτήσεις ln και g iνα βρείτε της εφαπτομένη της καμπύλης της στο και τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα ii Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εφαπτομένη, εφάπτεται και στην καμπύλη της g 9 Δίνεται συνάρτηση : της οποίας η εφαπτομένη την ευθεία y Να βρείτε το όριο : C στο σημείο, 9 έχει 5 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : και θεωρούμε και τη συνάρτηση g, για κάθε Η ευθεία y 76 εφάπτεται στη Cg στο σημείο της, g Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο της, 5 Δίνονται οι παραγωγισιμες συναρτήσεις, g : για τις οποίες ισχύει : g για κάθε Αν η ευθεία : y εφάπτεται στη γραφική παράσταση της στο σημείο της,, τότε να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο της, g g 5 Δίνεται άρτια και παραγωγίσιμη συνάρτηση : Η εφαπτομένη της C στο σημείο της, έχει εξίσωση y iνα αποδείξετε ότι ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

45 iiθεωρούμε τη συνάρτηση g Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο της, g g 5 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει : 8 για κάθε Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση y εφάπτεται στη C και να βρείτε το σημείο επαφής 5 Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση στο για την οποία ισχύει και g η συνάρτηση που ορίζεται από την ισότητα g, Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C στο, εφάπτεται της C g στο, g a, 55 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : και η συνάρτηση, g με a,, i Να βρείτε το α ii Να βρείτε την ii Αν η εφαπτομένη της C στο σημείο της, εφάπτεται και στη C g στο σημείο, g, τότε να βρείτε τα β,γ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 5 : ΚΟΙΝΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΔΥΟ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΕ ΚΟΙΝΟ ΣΗΜΕΙΟ ΤΟΥΣ Οι γραφικές παραστάσεις C, δυο συναρτήσεων,g έχουν κοινή εφαπτομένη ή C g αλλιώς εφάπτονται μεταξύ τους στο κοινό σημείο τους, y, αν ισχύει : g και g ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 56 Δίνονται οι συναρτήσεις και g Να βρεθούν τα,, έτσι ώστε οι C, Cg να έχουν κοινή εφαπτομένη στο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

46 g Οι C, Cg έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό σημείο τους με, άρα ισχύει : g και g Έχω g Και g, άρα από ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 57 Δίνονται οι συναρτήσεις βρείτε τις τιμές των α,β ώστε οι με τετμημένη C, ln και g, με, Να C g να έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο 58 Δίνονται οι συναρτήσεις 7 7 και g Να αποδείξετε ότι οι C, C στο κοινό σημείο τους έχουν κοινή εφαπτομένη, της οποίας να βρείτε και την εξίσωση g 59 Δίνονται οι συναρτήσεις και g Να αποδείξετε ότι οι C, C στο κοινό σημείο τους έχουν κοινή εφαπτομένη, της οποίας να βρείτε και την g εξίσωση 6 Δίνονται οι συναρτήσεις και i Να βρείτε τα κοινά σημεία των C, ii Να βρείτε το διάστημα όπου η C g iii Να δείξετε ότι στο κοινό σημείο τους οι g C είναι κάτω από τη C, C g C έχουν κοινή εφαπτομένη g ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

47 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : ΚΟΙΝΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΔΥΟ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΕ ΜΗ ΚΟΙΝΟ ΤΟΥΣ ΣΗΜΕΙΟ Για να βρούμε, αν υπάρχει, κοινή εφαπτομένη ε των C, C σε μη κοινό σημείο τους, εργαζόμαστε ως εξής : θεωρούμε, και, g τα σημεία επαφής της ε με τις C και αντίστοιχα η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο, είναι : y y ενώ η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο, g είναι : g y g g y g g g για να παριστάνουν οι και την ίδια ευθεία πρέπει : g g g από το παραπάνω σύστημα βρίσκουμε τα α,β g Cg ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6 Δίνονται οι συναρτήσεις και g 7 6 Να βρεθούν οι κοινές εφαπτομένες των C, C g με D και και g 7 6 με D και g 7 Αρχικά θα εξετάσουμε αν οι C, C g έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό σημείο τους Για να βρούμε κοινά σημεία των C, C g, λύνουμε την εξίσωση : g 7 6, άρα το κοινό σημείο των C, C g είναι το,, Για να έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό σημείο τους Μ πρέπει να ισχύει : g που ισχύει, και g που δεν ισχύει Άρα οι C, C g δεν έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό σημείο τους Θα εξετάσουμε τώρα αν έχουν κοινή εφαπτομένη σε μη κοινό σημείο Έστω ε η κοινή εφαπτομένη των C, C και, και, g τα σημεία επαφής της ε με τις C και C αντίστοιχα g g g ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

48 Η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο, είναι : y y ενώ η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο, g είναι : y g g y g g g g Για να παριστάνουν οι και την ίδια ευθεία πρέπει : g g g , η λόγο της γίνεται, 6 και από Άρα τα σημεία επαφής είναι,, και, g,, ενώ η εξίσωση της κοινής εφαπτομένης είναι : : y y y δηλαδή : y ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6 Να βρείτε τις κοινές εφαπτομένες των C, g C αν και g 6 Να βρείτε την εξίσωση της κοινής εφαπτομένης των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και g 6 Να βρείτε τις κοινές εφαπτομένες των C, g 5 6 C αν και g 65 Να βρείτε την εξίσωση της κοινής εφαπτομένης των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και g 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

49 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7 : ΥΠΑΡΞΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΕΠΑΦΗΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 66 Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον,, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο,, να είναι κάθετη στην ευθεία : : y 7 Έχουμε και Έστω η εφαπτομένη της C στο, με : y τότε Δηλ Έστω g δείξω ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε g Εφαρμόζω Θ Bolzano για τη g στο [,] Η g είναι συνεχής στο [,] ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων g g g g Άρα από Θ Bolzano υπάρχει, τέτοιο ώστε g ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :, Θα 67 Δίνεται η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι υπάρχει : i Ένα τουλάχιστον σημείο Α της C με τετμημένη,, ώστε η εφαπτομένη της C στο Α να είναι παράλληλη στην ευθεία : : y ii Ένα τουλάχιστον σημείο Β της C με τετμημένη,, ώστε η εφαπτομένη της C στο Β να τέμνει τον άξονα y y στο Να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα,, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης την αρχή των αξόνων ln στο σημείο, h, να διέρχεται από 69 Δίνονται οι συναρτήσεις και g ln Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων,g έχουν μοναδική κοινή εφαπτομένη ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

50 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 8 : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 7 Δίνεται η συνάρτηση i Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε το σύνολο τιμών της ii Να βρείτε την εφαπτομένη της C στο, αν θεωρήσουμε γνωστό ότι η είναι παραγωγίσιμη i Έχω : D, Έστω, D, με Επίσης : Προσθέτω κατά μέλη τις και και έχω : Άρα η είναι γνησίως αύξουσα, άρα η είναι «-» και άρα η αντιστρέψιμη Επίσης,, Άρα D ii Έστω ε η εφαπτομένη της : y C στο σημείο, τότε : Για είναι : Άρα Για κάθε ισχύει ότι οπότε :, όμως άρα : Στην για έχω : Άρα : : y y ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : y 7 Δίνεται η συνάρτηση i Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε το σύνολο τιμών της ii Να βρείτε την εφαπτομένη της C στο, αν θεωρήσουμε γνωστό ότι η είναι παραγωγίσιμη 5 7 Δίνεται η συνάρτηση i Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε το σύνολο τιμών της ii Να βρείτε την εφαπτομένη της C στο, αν θεωρήσουμε γνωστό ότι η είναι παραγωγίσιμη : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

51 Γ ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν, g, R {, }, g' σε περιοχή του με εξαίρεση ίσως το και υπάρχει το πεπερασμένο ή άπειρο, τότε: ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν, g, R {, }, g' σε περιοχή του με εξαίρεση o ίσως το και υπάρχει το πεπερασμένο ή άπειρο, τότε: o g ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑ g Αφού διαπιστώσω την απροσδιοριστία, εφαρμόζω το Θ D L Hospital παραγωγίζω αριθμητή και παρανομαστή Αν έχουμε και πάλι απροσδιοριστία επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα o g o g g g πχ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να υπολογιστούν τα όρια : ln i ii iii iv v 5 vi vii viii i ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑ Αφού διαπιστώσω την απροσδιοριστία, εφαρμόζω το Θ D L Hospital παραγωγίζω αριθμητή και παρανομαστή Αν έχουμε και πάλι απροσδιοριστία επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα πχ ln ln ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

52 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να υπολογιστούν τα όρια : 6 ln ln i ii iii iv ln ln ln ln ln v vii viii i ln 5 ln ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑ g Αφού διαπιστώσω την απροσδιοριστία, γράφω g ή οπότε έχω απροσδιοριστία ή και λειτουργώ όπως παραπάνω πχ πχ ln ln ln g g ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να υπολογιστούν τα όρια : i ln ii ln iii iv v ln vi ln ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

53 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑ Α Όριο [ g ] Αφού διαπιστώσω την απροσδιοριστία, γράφουμε τον g g τύπο με τη μορφή ή g Για το ή έχουμε g g απροσδιοριστία της μορφής, και εφαρμόζουμε Θ D L Hospital πχ όμως ln ln ln ln l επίσης : ln Άρα : ln πχ **Ειδική περίπτωση!! σε όρια αυτής της μορφής, αν δουλέψουμε σύμφωνα με τη μεθοδολογία και το πχ θα οδηγηθούμε σε απροσδιοριστία, για αυτό χρησιμοποιώ το εξής τέχνασμα : ln l ln ln ln Έχουμε : Όμως ln ln Άρα : Β Όταν ο τύπος είναι διαφορά, με ένα τουλάχιστον όρο κλάσμα, και έχουμε απροσδιοριστία της μορφής, κάνουμε ομώνυμα και μετά βρίσκουμε το Όριο πχ DLH DLH ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 5

54 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να υπολογιστούν τα όρια : i ii ln iii ln iv ln v vi vii** ln ln viii ** ln i** ln ** 5 Να υπολογιστούν τα όρια : i ii iii ln ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 5 : ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑ,, g ln[ ] g ln g Αφού διαπιστώσω την απροσδιοριστία, γράφω l συνέχεια βρίσκω το όριο [ g ln ] Το ζητούμενο όριο είναι l Στη πχ ln, έχουμε : ln ln ln ln Άρα : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6 Να υπολογιστούν τα όρια : i ii iii ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

55 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 7 Να εξετάσετε αν είναι συνεχείς στη θέση = η συνάρτηση : 8 Να εξετάσετε αν είναι συνεχείς στη θέση = η συνάρτηση : 9 Να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμη στη θέση = η συνάρτηση : Να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμη στη θέση = η συνάρτηση : Να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμη στη θέση = η συνάρτηση : Δίνεται συνάρτηση : με συνεχή δεύτερη παράγωγο, για την οποία ισχύει : h h h h για κάθε Να βρείτε την Δίνεται συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : i Να βρείτε την τιμή ii Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο iii Αν h, να αποδείξετε ότι οι εφαπτομένες των C και h C στα σημεία, και, h είναι παράλληλες Θέμα πανελληνίων,,, ln ln,, ln,,,, ln, ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ Θ HOSPITAL ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

56 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ Τι λέμε ρυθμό μεταβολής του μεγέθους y ως προς το μέγεθος για, αν y είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση ; Απάντηση : Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y, όταν είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο την παράγωγο Σχόλια : Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας v ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t είναι η παράγωγος v t, της ταχύτητας v ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t Η παράγωγος v t λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t και συμβολίζεται με t Είναι δηλαδή : t v t S t Στην οικονομία, το κόστος, η είσπραξη και το κέρδος εκφράζονται συναρτήσει της ποσότητας του παραγόμενου προϊόντος Έτσι, η παράγωγος παριστάνει το ρυθμό μεταβολής του κόστους ως προς την ποσότητα, όταν και λέγεται οριακό κόστος στο Ανάλογα, ορίζονται και οι έννοιες οριακή είσπραξη στο και οριακό κέρδος στο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΡΥΘΜΟΥ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Για να επιλύσουμε προβλήματα σχετικά με ρυθμούς μεταβολής μεγεθών, κάνουμε τα εξής : i Πρώτα καταγράφουμε όλους τους αγνώστους, καθώς και τις σχέσεις που τους συνδέουν Αν η σχέση που συνδέει τους αγνώστους δε δίνεται στην εκφώνηση, τότε την φτιάχνουμε μέσα από τα δεδομένα της εκφώνησης είτε με σχήμα, είτε με τη λογική σκέψη ii Έπειτα μετατρέπουμε τη σχέση που συνδέει τους αγνώστους σε συνάρτηση ως προς τον ανεξάρτητο άγνωστο iii Υπολογίζουμε τις τιμές των αγνώστων όταν που ζητείται ο ρυθμός μεταβολής iv Τέλος παραγωγίζουμε τη συνάρτηση που φτιάξαμε και με αντικατάσταση προκύπτει ο ζητούμενος ρυθμός μεταβολής ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

57 Υπενθύμιση : Εμβαδόν σφαίρας : R, Όγκος σφαίρας : V R Εμβαδόν κώνου : R R, Όγκος κώνου : V R, Όγκος πυραμίδας : V ά Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας v ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t είναι η παράγωγος v t, της ταχύτητας v ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t Η παράγωγος v t λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t και συμβολίζεται με t Είναι δηλαδή : t v t S t Στην οικονομία, το κόστος, η είσπραξη και το κέρδος εκφράζονται συναρτήσει της ποσότητας του παραγόμενου προϊόντος δηλ,, Έτσι, η παράγωγος παριστάνει το ρυθμό μεταβολής του κόστους ως προς την ποσότητα, όταν και λέγεται οριακό κόστος στο Ανάλογα, ορίζονται και οι έννοιες οριακή είσπραξη στο και οριακό κέρδος στο Η βασική σχέση που συνδέει τις συναρτήσεις,, είναι Το μέσο κόστος παραγωγής μονάδων προϊόντος συμβολίζεται με και είναι ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης των σημείων Α, και Β, ως προς, όταν = Η Απόσταση δυο σημείων, y και, y Δίνεται από τον τύπο : y Άρα 6 y Άρα η συνάρτηση που δίνει την απόσταση ως προς είναι 6 με D Εδώ θέλω το ρυθμό μεταβολής της όταν =, δηλ το Βρίσκω πρώτα την Άρα Δίνεται ορθογώνιο με διαστάσεις t t 9t και y t 6t 8, όπου t ο χρόνος σε sc Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου, τη χρονική στιγμή που γίνεται τετράγωνο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9