α) είξτε ότι f(0) 4 και g(0) 4. β) Na δειχθεί ότι: f() > g() για κάθε R. Μονάδες 6 Β. Έστω f:r R άρτια για την οποία ισχύουν ότι f ()5 και η γραφική π

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "α) είξτε ότι f(0) 4 και g(0) 4. β) Na δειχθεί ότι: f() > g() για κάθε R. Μονάδες 6 Β. Έστω f:r R άρτια για την οποία ισχύουν ότι f ()5 και η γραφική π"

Λυσάνδρα Γεννάδιος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΤΡΙΩΡΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ :Ανάλυση:.8,. έως και.3 (Σχολικό) ΘΕΜΑ o Α. Έστω η συνάρτηση f() ν, ν Ν{0,}. Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει f ()ν ν. Μονάδες 0 Β. ώστε τους ορισµούς πότε µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα (α,β) και πότε στο [α,β]. Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. Αν η f συνεχής στο o µε f()>0 κοντά στο o τότε f( o )>0. Σ Λ. Αν η συνάρτηση f:a R συνεχής και f() 0 για κάθε A, τότε η f διατηρεί πάντα σταθερό πρόσηµο στο Α. Σ Λ 3. Αν f,g συνεχείς συναρτήσεις στο [0, ] µε f( )g( )[, ] τότε η συνάρτηση f+g έχει µέγιστη τιµή το 4. Σ Λ 4. Αν f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις στο κοινό τους 0 τότε ισχύει f( ) + g( )) f ( ) + g ( ) Σ Λ ( Αν για την συνάρτηση f:r R ισχύει f () και είναι συνεχής τότε είναι παραγωγίσιµη στο o. Σ Λ Μονάδες 0 ΘΕΜΑ ο Α. ίνονται οι συναρτήσεις f, g συνεχείς στο R ώστε να ισχύουν: f() + κοινό σηµείο. Τότε : 3 και f()g() και οι C f, C g δεν έχουν κανένα

2 α) είξτε ότι f(0) 4 και g(0) 4. β) Na δειχθεί ότι: f() > g() για κάθε R. Μονάδες 6 Β. Έστω f:r R άρτια για την οποία ισχύουν ότι f ()5 και η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σηµείο Α(,6) α) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο o. Μονάδες 7 β) Να βρείτε το f (). Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 3 ο A. ίνονται οι συναρτήσεις f(), R και g(), για >. + + Να δείξετε ότι η κλίση της f στο σηµείο (,f()) είναι τετραπλάσια της κλίσης της g στο (3, g(3)). Μονάδες 0 B. α) είξτε ότι + για κάθε R f() f() β) Έστω συνάρτηση f:r R παραγωγίσιµη µε f()0 και η g() +. Βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της g στο σηµείο της µε τετµηµένη ηµ() ηµ() γ) ίνεται η συνάρτηση h() +, > 0 είξτε ότι τα σηµεία της είναι όλα πάνω από την εφαπτοµένη της στο σηµείο Μ(,h()) εκτός του σηµείου Μ. ΘΕΜΑ 4 ο A. Έστω συνάρτηση f:r R, -, που είναι παραγωγίσιµη στα και µε f () και f () και f(). f(f()) f() α) Να δείξετε ότι. Μονάδες 7 β) Αν η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f o f στο σηµείο της µε τετµηµένη o περνάει από το σηµείο (f(),) δείξτε ότι f(). Μονάδες 7 f() Β. Έστω συνάρτηση f:r R που είναι γνήσια αύξουσα και συνεχής. Αν τότε : α) Να δείξετε ότι f()0. Μονάδες 4

3 f() γ) Αν g() για να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της g τέµνει την ευθεία (ε) y σε τουλάχιστον ένα σηµείο µε τετµηµένη o (0,). Μονάδες 7 ΘΕΜΑ ο ΛΥΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 4. Β. Σχολικό βιβλίο σελ. 9. Γ. Λ Για παράδειγµα η f() > 0 κοντά στο ο 0 και συνεχής στο ο 0 και f(0)0. Λ 3Λ. 4Λ 5Σ Γιατί µπορεί το σύνολο Α να είναι ένωση διαστηµάτων Για να συµβαίνει αυτό πρέπει να υπάρχουν ε, µ [0,] ώστε f( ε ) f() f( µ ) και g( ε ) g() g( µ ), που δεν ισχύει πάντα π.χ. αν η f είναι γν. φθίνουσα στο [0,] και η g γν. αύξουσα στο [0,]. Γιατί (f( o )+g( o )) 0 και f ( o )+g ( o ) είναι το άθροισµα των τιµών της f και g για o. Η f () έχει λύσεις τις f(), f(), < 0, < 0 f() f() που όλες είναι παραγωγίσιµες στο o., 0, 0 ΘΕΜΑ ο A. α) Αφού f συνεχής στο R f() f(0) οπότε από (f() + ) 3 έχουµε f() + 3 ή f(0)+ 3 f(0)3 f(0)4. f()g() f()g() Από αν h() µε h() και f()g()h() ή f()g()h()+ οπότε (f()g()) (h()+) ή f() g() (h())+ f(0)g(0)0+ (αφού g συνεχής στο R) 4g(0) g(0) 4. β) Αρκεί f()g() > 0. Επειδή C f, C g δεν έχουν κοινό σηµείο f() g() για κάθε R ή f()g() 0, R και επειδή f()g() συνεχής σαν διαφορά συνεχών 5 θα διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο R και επειδή f(0)g(0)4 > 0 τότε 4 4 f()g() > 0, για κάθε R. 3

4 f() f() Β. α) Είναι από υπόθεση f ()5 άρα 5 () και f()6 f() 6 θέτω g(), οπότε g()5 και ισοδύναµα έχουµε f()g()()+6, απ όπου f() (g()()+6)6 () Ακόµη είναι ψ f() ψ f(ψ) f άρτια άρα f( ψ) f(ψ) f( ) f() f()f()f(-) που σηµαίνει ότι f συνεχής στο - β) για έχουµε ψ f άρτια άρα f( ψ) f() f( ) f( ψ) f( ) f () ψ ψ+ f(ψ) ( ) f() f ()5 ψ (ψ ) f(ψ) f(ψ) ( ) 6 άρα ψ f(ψ) f() (ψ ψ ) ΘΕΜΑ 3 ο Α. Είναι η f παραγωγίσιµη στο R σαν πηλίκο παραγωγισίµων συναρτήσεων και η + g() σαν σύνθεση παραγωγισίµων, > και f στο R. Οπότε g ()f ( )( ) f'( ) f( ), οπότε η g παραγωγίσιµη, f'(), οπότε g (3) 4 Ή ( ος τρόπος) f παραγωγίσιµη στο R σαν πηλίκο παραγωγισίµων συναρτήσεων µε ( )( + ) ( f () ( + ) + ) + ( + + ) f ()4g (3) άρα f () g παραγωγίσιµη στο R σαν πηλίκο ( + ) 5 5 (+ )( ) ( + ) παραγωγισίµων συναρτήσεων µε g () ( ) 5 ( + )5 (4+ 4) 5+ 8 g (3) 5 5 B. α) Είναι ( > 0, R) άρα f ()4 ( )4g (3) 5 5 ( ) + ( ) + 0 ( ) 0 που ισχύει για κάθε R. β) H g() f() + f() παραγωγίσιµη ως αποτέλεσµα πράξεων µεταξύ των f(), παραγωγισίµων στο R µε g ()( f() + f() ) ( f() ) +( f() ) f() f ()+ f() (f()) f() f () f() f ()f ()( f() -f() ) από όπου 4

5 f () 0 g ()( f() f() )f () ( 0 0 )f ()0 g() f() + f() εποµένως η εφαπτοµένη της g στο σηµείο o είναι y0() ή y γ) Είναι h() ηµ() ηµ () + ln ηµ() ηµ() + ln lnηµ() + (lnηµ()) Για f()lnηµ() µε f()ln+ηµ00, παραγωγίσιµη για > 0 σαν άθροισµα των παραγωγισίµων ln και ηµ() σύµφωνα µε το (β) θα έχει εφαπτοµένη. Η h στο Μ(,h()) την y και σύµφωνα µε το (α) h() για κάθε > 0. ΘΕΜΑ 4 ο A. α) ( ος τρόπος) f(f()) f() f(f()) f(f()) Είναι και επειδή f, ισχύει f() f(), οπότε f(f()) f(f()) f() f() ( )L f() f() f() f() απ όπου f () και f (f()) f(f()) u f() f(u) f() f () f() f() u u Άρα L ( ος τρόπος) Επειδή η f παραγωγίσιµη στο µε f () και για f() η f είναι παραγωγίσιµη στο µε f (), η fo f παραγωγίσιµη στο µε ( fo f ) ()f (f()) f ()f () f (), όµως (fo f)() (fo f)() f(f()) f(f()) ( fo f ) () f(f()) f() οπότε. β) Από (α) ( fo f ) () οπότε η εφαπτοµένη της fo f στο Μ(,f(f())) ή Μ(,f()) είναι ψf() () και αφού περνάει από το (f(),), έχουµε: f() (f()) f()f() 3f()3 f() 5

6 A. a) Επειδή f συνεχής στο R άρα και o είναι 0 f() f() f() ( ()) f() () 00 f() β) Αρκεί να δείξουµε ότι η εξίσωση έχει λύση στο (0, ), γι αυτό: ( ος τρόπος) f() Θεωρούµε τη συνάρτηση h(), [0,) f(0) που είναι συνεχής στο [0, ) σαν πράξεις µεταξύ συνεχών µε h(0) 0 f(0)>0 γιατί αφού f γνήσια αύξουσα f(0)< f()0 oπότε f(0)< 0. f() Eπίσης είναι h() ()< 0 άρa υπάρχει α κοντα στο που h(a)<0 οπότε επειδή h(a)<0<h(0) και h() συνεχής από Θ.Ε.Τ υπάρχει o (0,a) (0,) ώστε h( o )0 ( ος τρόπος) f() Η συνάρτηση g() ορίζεται στο [0,) και είναι συνεχής, αφού είναι πηλίκο των συνεχών f στο R, άρα και στο [0,) και και της στο R άρα και στο [0,) και g(),0 < επειδή g(), θεωρούµε την φ() που είναι συνεχής στο, [0,]. Αρκεί να δείξουµε ότι η εξίσωση g() g()0 έχει λύση στο (0,) ή φ()0 έχει λύση στο (0,). Έτσι θεωρούµε την h()φ() στο [0,] που είναι συνεχής σαν διαφορά συνεχών µε h()φ() < 0 f(0) h(0)φ(0)0g(0) 0 f(0) και επειδή f γνήσια αύξουσα µε 0 < ισχύει f(0) < f()0 οπότε f(0) > 0, δηλαδή h(0) > 0, άρα h(0) h() < 0, οπότε σύµφωνα µε Θ.Β. υπάρχει o (0,) ώστε h( o )0, δηλαδή η h()0, άρα και η αρχική έχει λύση στο (0,). 6

Σχετικά έγγραφα

ΘΕΜΑ A. Θεωρούµε τη συνάρτηση f:r R ώστε να ισχύει f(+f())=+f() για κάθε R. Να αποδείξετε ότι α. Η f είναι β. f(0)= και f() 0. (Μονάδες 0) Β. Έστω συν

ΘΕΜΑ A. Θεωρούµε τη συνάρτηση f:r R ώστε να ισχύει f(+f())=+f() για κάθε R. Να αποδείξετε ότι α. Η f είναι β. f(0)= και f() 0. (Μονάδες 0) Β. Έστω συν ΤΡΙΩΡΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ A. Έστω πολυώνυµο P()=α ν ν +α ν ν + + α +α ο µε α ν 0, ν Ν * και o R. Να δείξετε ότι lim P() = P( ). o Β. Πότε δύο συναρτήσεις f και g λέγονται