2.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. e = 2. e, x ο. e f ( ln 2 ) = όταν : 4

Transcript

1 . Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 7 9 A Οµάδας. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης στο σηµείο ο όταν : i) ( ), ο ii) ( ), ο 9 iii) ( ) συν, v) ( ) ο 6 π e, ο ln iv) ( ) ln, ο e i) Για κάθε R είναι ( ) ( ) ( ) ii) Για κάθε (, ) είναι ( ) iii) Για κάθε R είναι ( ) iv) Για κάθε (, ) είναι ( ) (9) ηµ ( ) 9 6 π ηµ π 6 6 (e) e v) Για κάθε R είναι ( ) e ( ln ) ln e

2 .i) Να βρείτε, όπου ορίζεται, την παράγωγο της συνάρτησης ( ) Για κάθε < είναι ( ) ( ) Για κάθε > είναι ( ) ( ), <, ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( )( ) () Από τις (), () συµπεραίνουµε ότι η δεν παραγωγίζεται στο ο.ii) Να βρείτε, όπου ορίζεται, την παράγωγο της συνάρτησης ( ) Για κάθε < είναι ( ) (ηµ) συν Για κάθε > είναι ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ηµ ηµ Από τις (), () συµπεραίνουµε ότι () () () ηµ, <,

3 .iii) Να βρείτε, όπου ορίζεται, την παράγωγο της συνάρτησης ( ) Για κάθε < είναι ( ) ( ) Για κάθε > είναι ( ) ( ) ( ) ( ) 8 () 6 () <,, Από τις (), () συµπεραίνουµε ότι η δεν είναι συνεχής στο, άρα δεν παραγωγίζεται σ αυτό..iv) Να βρείτε, όπου ορίζεται, την παράγωγο της συνάρτησης ( ) Για κάθε < είναι ( ) ( ),, > Για κάθε > είναι ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () () Από τις (), () συµπεραίνουµε ότι η δεν είναι συνεχής στο παραγωγίζεται σ αυτό., άρα δεν

4 . Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν σηµεία της παραβολής y στα οποία οι εφαπτόµενες της γραφικής παράστασης να είναι µεταξύ τους παράλληλες. Ισχύει το ίδιο για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) ; Έστω g(), R Τότε g () Έστω τα σηµεία M (, g( )), M (, g( )) µε και ε, ε οι εφαπτόµενες της C σε αυτά αντίστοιχα. g ε ε g ( ) g ( ) που είναι άτοπο Άρα δεν υπάρχουν παράλληλες εφαπτόµενες της Για κάθε R είναι ( ) ( ) Έστω τα σηµεία N (, ( )), N (, ( )) µε και η, η οι εφαπτόµενες της η η ( ) C σε αυτά αντίστοιχα. ( ) (αφού ) Υπάρχουν, λοιπόν, τέτοια σηµεία και είναι εκείνα που έχουν αντίθετες τετµηµένες C g

5 5. Να παραστήσετε γραφικά την παράγωγο της συνάρτησης του διπλανού σχήµατος. - Στο διάστηµα (, ) η κλίση είναι ( ) Στο διάστηµα (, ) η κλίση είναι ( ) Στο διάστηµα (, ) η κλίση είναι ( ) Στο διάστηµα (, 6) η κλίση είναι ( ) ( ) 6 6 Στο διάστηµα (6, 9) η κλίση είναι ( ) y O 6 y () 9 y - - Γραφική παράσταση της O 6 9

6 6 5. Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση : [, 8] R, η οποία είναι συνεχής, µε () και της οποίας η παράγωγος παριστάνεται γραφικά στο διπλανό σχήµα. Στο διάστηµα (, ) η κλίση είναι ( ). Άρα η C είναι το ευθ. τµήµα ΟΑ y 6 A Γ Στο διάστηµα (, ) η κλίση είναι ( ). Άρα η C είναι το ευθ. τµήµα ΑΒ O B 5 8 Στο διάστηµα (, 8) η κλίση είναι ( ). Άρα η C είναι το ευθ. τµήµα ΒΓ

7 7 Β Οµάδας. ηµ, < π Να βρείτε τις τιµές των α, β για τις οποίες η συνάρτηση ( ) α β, π είναι παραγωγίσιµη στο ο π Για να είναι παραγωγίσιµη στο ο π, θα πρέπει, κατ αρχήν να είναι συνεχής. Άρα ( ) ( ) (π) π π ηµ (α β) απ β π π ηµπ απ β απ β β απ () παραγωγίσιµη στο ο π Η () β π ( ) ( π) π π π ηµ ( απβ) α β( απβ) π π π π ηµ π π α( π) π π ηµ ( π) α α π π π ( ) ( π) π. Έστω η συνάρτηση ( ) και το σηµείο Α(ξ, (ξ)), ξ της γραφικής παράστασης της. Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία Α(ξ, (ξ)) και Β( ξ, ) εφάπτεται της C στο Α. D [, ) Για να ορίζεται η τιµή (ξ) ξ, πρέπει ξ D και επειδή ξ, πρέπει ξ > Είναι. ( ) ( ξ ) ξ Η εφαπτοµένη ε της C στο σηµείο Α έχει εξίσωση y (ξ) ( ξ ) ( ξ) y ξ ( ξ) ξ Οι συντεταγµένες του Β( ξ, ) επαληθεύουν την εξίσωση της ε αφού ξ ξ ( ξ ξ) ξ ( ξ) ξ ξ ξ που ισχύει. Άρα η ευθεία ε συµπίπτει µε την ευθεία ΑΒ.

8 8. Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της ( ) σε οποιοδήποτε σηµείο της Μ(α, α ), α έχει µε αυτήν και άλλο κοινό σηµείο Ν εκτός του Μ. Στο σηµείο Ν η κλίση της C είναι τετραπλάσια της κλίσης της στο Μ. D R ( ) ( α ) α Η εφαπτοµένη ε της C στο σηµείο Α έχει εξίσωση y (α) ( α )( α) Για να βρούµε τα κοινά σηµεία των y y α α y α α y α α α y ( α ) α ( α ) y y α α ( α) y α α α y α α C, ε, λύνουµε το σύστηµα ( α )( α) α ( α ) y α α α ( )[( ) ] y α α α ή y α ή α ή α yα α ή y 8α α ( α ) ( α ) α α ( α ) Άρα Ν( α, 8α )

9 9. Έστω ε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ) σηµείο της Μ (, ) σε ένα ξ ξ. Αν Α, Β είναι τα σηµεία στα οποία η ε τέµνει τους άξονες και y y αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι i) To M είναι µέσο του ΑΒ ii) Το εµβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι σταθερό, δηλαδή ανεξάρτητο του ξ R ( ) ( ξ) ( ξ ) ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ε : y (ξ) ( ξ ) ( ξ) y ξ ( ξ) ξ Για y παίρνουµε ξ ( ξ) ξ ξ ξ ξ Άρα Α(ξ, ) Για παίρνουµε y ξ ξ ( ξ) y ξ ξ y ξ Άρα Β (, ξ) i) Μέσο του ΑΒ : ii) ξ ξ, (OAB) (OA)(OB) ξ ξ (, ) ξ ξ