( x) ( ) ( ) ( ) ( ) Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. f x+ h f x. 5x 3 2. x x 2x. 3 x 2. x 2x. f x = log x. f x = ln x 4. log 9. 2x 7x 15. x x.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "( x) ( ) ( ) ( ) ( ) Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. f x+ h f x. 5x 3 2. x x 2x. 3 x 2. x 2x. f x = log x. f x = ln x 4. log 9. 2x 7x 15. x x."

Transcript

1 Κεφάλαιο - Συναρτήσεις I Πεδίο ορισµού συνάρτησης Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ίνονται οι συναρτήσεις: f( ) = +, (ii) f( ) = Να βρεθούν τα f( 0 ), f( ), f( ), f( α ), f( α+ β), f( α 5) ( ) ( ) f + h f, h Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: 5 f( ) = (iv) f( ) = + (ii) f( ) = + + (v) f( ) = 7+ Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: 5 f( ) = (ii) f( ) = 5 + (iii) f( ) = + 7 (iv) f( ) = ( ) ( ) f α f β +, α β 4 Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: f( ) (iv) f( ) + 5 = log 9 ( ) 5 ln 4 + f = ln 4 (ii) ( ) = (v) f( ) = ln ln( ) f = log (iii) ( ) 6 Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: f( ) = (iv) f( ) = (ii) f( ) = (iii) f( ) (v) f( ) = Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: f( ) = 5 (ii) f( ) (vi) f( ) (iii) f( ) = 7 + (iv) ( ) 8 Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: = f = 6 5 = =

2 Κεφάλαιο - Συναρτήσεις f( ) = log ( 4 ) (ii) ( ) ( ) 9 f = + (iv) f( ) = 4 ln( ) (v) ( ) f = ln 9 Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: f log = ( ) (ii) f( ) ln( e ) 0 Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το A= [ 0,8] = (iii) f( ) = ln( ln) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g( ) f( ) = Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το A= [,4] Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g( ) = f( 5+ ) II Παράµετροι Για ποιες τιµές του α R οι παρακάτω συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισµού το R : (iii) f () α α f() = f() α α + = (ii) = ( ) + ( ) + α+ 4 (iv) f() = log ( α ) ( α+ ) + ( α+ ) Για ποιες τιµές του α R οι παρακάτω συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισµού το R α f () = (ii) f () = α (α+ ) α+ α (iii) f () = l og[(α+ ) + α+ α] (iv) f () = ln( + α+ 4) 4 Για τις διάφορες τιµές του λ R να βρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: f () = + + λ (ii) III Σύνολο τιµών συνάρτησης f () = λ + (λ )+ 5 Να βρείτε το σύνολο τιµών των συναρτήσεων: f() = + (ii) f () = (iii) f() = (iv) f () = Να βρείτε το σύνολο τιµών των συναρτήσεων f() = (ii) f () = 4 4

3 Κεφάλαιο - Συναρτήσεις (iii) + f () = + + (iv) f () = + l n(+ ) 7 Να βρείτε το σύνολο τιµών των συναρτήσεων f () = 9 4 (ii) f () = + l n(+ ) α+ β 8 Για ποιες τιµές των α,β R η συνάρτηση f () = + έχει σύνολο τιµών το [,8] α 9 Για ποιες τιµές του α R η συνάρτηση f () = + έχει σύνολο τιµών το [,] IV Συναρτησιακές σχέσεις 0 ίνετε η συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει: ( ) ( ) ( ) ( ) f + ψ + f ψ = 4 + ψ 5 για κάθε,ψ R Να βρείτε το f( 0 ) και κατόπιν τον τύπο της συνάρτησης f Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f :R R όταν ισχύει (ii) (iii) (iv) f ( ) = + 5 για κάθε R 4 f () 0 f () 5 για κάθε R f () + f (+ ) για κάθε R 4 f () f ( ) = + + για κάθε R (v) f (+ ) + f ( ψ) = 4(ψ ) για κάθε,ψ R * Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f : R Rγια την οποία ισχύει: f () f = 5 για κάθε R (ii) f () + f = 8 για κάθε R (iii) f() f ( ) = 4+ για κάθε R * ίνεται η συνάρτηση f : R Rγια την οποία ισχύει: f () 5ψf ()f (ψ) για κάθε,ψ R 5 Να δείξετε ότι f () = 5 5

4 Κεφάλαιο - Συναρτήσεις 4 Έστω f:(0, + ) Rσυνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε,ψ (0, + ) ισχύει: f() + f(ψ) = f(ψ) Να αποδειχθεί ότι: f() = 0 (ii) ν N (v) ( ) ν f = f() (iii) f = f(), ν N µε ν ν V Γενικές f = f() f(ψ) ψ ν (iv) f( ) = νf(), 5 Να δειχθεί ότι, δεν υπάρχει συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το R, για την οποία ισχύει: f () f (5 ) = + για κάθε R 6 Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το R και για κάθε R ισχύει: 6 f() + f( ) = 6 + Να βρείτε τον τύπο της f (ii) Να βρείτε το σύνολο τιµών της f 7 ίνεται η συνάρτηση f () = log + Να βρείτε το πεδίο ορισµού της (ii) Να δειχθεί ότι : f ( ) = f () για κάθε Af + (iii) Να δειχθεί ότι, για κάθε, Af ισχύει: f ( ) + f ( ) = f + 8 Να βρεθούν οι τύποι των συναρτήσεων f, g όταν για κάθε R ισχύουν: f + + g + = και f( ) + 4g( + ) = ( ) ( ) I Γραφική παράσταση συνάρτησης ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πρέπει να γνωρίζουµε πολύ καλά τις γραφικές παραστάσεις των βασικών συναρτήσεων 9 Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:, ln, > f() = +, < (ii) f() =,,, < < 6

5 Κεφάλαιο - Συναρτήσεις (iii) f() = ln (iv) f() = (v) f() = + 0 Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων και από αυτές να βρείτε το σύνολο τιµών τους,<, f () = 4 (ii) f () =,, < (iii) f () = + +, < (iv) f() = (v) f() = ηµ ηµ (vi) (vii) f() () f () = ln (viii) f () = ln = f() = e f() = ln II Σηµεία τοµής της γραφικής µε τους άξονες Η γραφική πάνω, κάτω από τον άξονα 0 Να βρείτε τα σηµεία που οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων τέµνουν τους άξονες Επίσης να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων βρίσκεται πάνω, αντίστοιχα κάτω από τον άξονα f () = (ii) f() = 5+ 6 (iii) + 6 f () = (iv) + f () = (v) f() = + 4 (vi) f () = log( + ) log log4 Να βρείτε τα σηµεία που οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων τέµνουν τους άξονες Επίσης να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων βρίσκεται πάνω, αντίστοιχα κάτω από τον άξονα f () = e (ii) f() = 8 (iv) f() = log( log ) + log00 (v) + + f () = 4, 0 ln , > 0 III Σηµεία τοµής των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων Γραφική παράσταση συνάρτησης πάνω κάτω από άλλη Να βρείτε τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων f() = και g() = (ii) f() = και g() = (iii) (v) f() = + 5 και 5 f() = + και 6 g() = (iv) + g() = + + f () = και 8 g() = 7

6 Κεφάλαιο - Συναρτήσεις Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω, αντίστοιχα κάτω από την γραφική παράσταση της g + f() = και g() = (ii) f() = και g() = (iii) f() = ln και g() = ln( 5 ) 4 Για ποιες τιµές του R η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από την γραφική παράσταση της συνάρτησης g όταν: = ηµ =, [ 0, π] f () = +, g() = (ii) f () 0, g() 5 (iii) f () 5, g() = = (iv) l l f () = n, g() = n+ 5 ίνονται οι συναρτήσεις f() = 4 + και + g() 8 = Να βρεθούν τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f, g (ii) Να βρεθούν τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από την γραφική παράσταση της g IV Γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων και παράµετροι 6 Να αποδειχθεί ότι οι κορυφές της παραβολής σε µία παραβολή ψ= 4β+ βρίσκονται πάνω 7 Να βρεθούν οι α, β R ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 8β f() = + ( α+ ) + α+ β+ και g() = να τέµνονται πάνω στον άξονα ψψ + και η γραφική παράσταση της f να εφάπτεται του άξονα 8 ίνεται η συνάρτηση f λ λ λ 5 ( ) = ( ) + ( + ) + +, λ {} R Να βρεθεί ο λ R ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f α Να τέµνει τον άξονα σε δύο σηµεία β Να έχει µε τον άξονα ένα µόνο κοινό σηµείο γ Να βρίσκεται πάνω από τον άξονα (ii) Να δείξετε ότι καθώς το λ διατρέχει το R {} η C f διέρχεται από ένα σταθερό σηµείο 9 Αν f( ) = + α+ β και ( ) g = (α + ) + α 6, να βρεθούν οι α, β R ώστε οι γραφικές παραστάσεις των f, g να έχουν κοινά σηµεία πάνω στον άξονα ψψ και στην ευθεία = 8

7 Κεφάλαιο - Συναρτήσεις 40 ίνονται οι συναρτήσεις α ( ) 4+ f =, και g( ) = + ( α+ β) β Να βρείτε τον α Rώστε η M,α (ii) Για την τιµή του α που βρήκατε να δείξετε ότι οι C να διέρχεται από το σηµείο ( ) f C f και σηµεία Αν β=, να βρείτε τα κοινά σηµεία των C f και C g 4 Αν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ( ) g() = ( α+ ) + ( β) τέµνονται πάνω στις ευθείες βρεθούν: Τα α, β R και C g έχουν δύο κοινά 4 f() α β = και = και = να (ii) Τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f, g 4 Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) ( ) ( ) f = λ + λ + λ+ + λ λ+ λ λ καθώς το λ διατρέχει το R διέρχεται από δύο σταθερά σηµεία f = + µ+ 5 + µ+ 5, µ Rκαι έστω C µ η γραφική της παράσταση ( παραβολή ) Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των κορυφών της παραβολής όταν το µ διατρέχει 4 ίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) το R (ii) Για ποια τιµή του µ η ευθεία ε :ψ= + διέρχεται από την κορυφή της C µ V Γενικές 44 Έστω f: R Rσυνάρτηση τέτοια ώστε f( ) f( ) = + για κάθε R Να βρεθεί ο τύπος της f (ii) Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g = f, h = f +,φ = f + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 45 ίνεται η συνάρτηση f : R R τέτοια ώστε για κάθε R ισχύει: f( ) f = 4 Να βρείτε τον τύπο της f (ii) Να βρείτε τα σηµεία στα οποία η Cfτέµνει τους άξονες (iii) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η C f βρίσκεται πάνω, αντίστοιχα κάτω από τον άξονα 46 Έστω f : R R περιττή συνάρτηση τέτοια ώστε ( ) 5 f για κάθε R 9

8 Κεφάλαιο - Συναρτήσεις Να δείξετε ότι f( 0) = 0 (ii) Να βρείτε τον τύπο της f (iii) Να κάνετε την γραφική παράσταση των συναρτήσεων: ( ) = f( ), h( ) = f( ), φ( ) f( ) g = 47 ίνεται η συνάρτηση f : R R τέτοια ώστε: Να βρεθεί ο τύπος της f f( + ) f( ) = + 4 5, για κάθε R g = f + (ii) Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης: ( ) ( ) ΙΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ I Ίσες συναρτήσεις 48 Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις f, g είναι ίσες: (ii) f() = f() = και g() = και 9 9 g() =, (iii) f() = και g() = + 9 (iv) f() = ln και g() = ln( ) ln( ) 49 Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν κοινό πεδίο ορισµού το σύνολο Α και για κάθε Aισχύει: ( f + g )() ( f + g )() = ( f g )() Να δειχθεί ότι, f = g 50 Να δειχθεί ότι, οι παρακάτω συναρτήσεις είναι ίσες, αν f( ) = + + και g( ) =, αν > 5 Έστω f, g συναρτήσεις µε κοινό πεδίο ορισµού το A = R για τις οποίες ισχύει: f( ) + f( ψ) + g( ) g( ψ) = ( + ) 6ψ για κάθε, ψ R και ( ) να δείξετε ότι f = g g 0 = 0 0

9 Κεφάλαιο - Συναρτήσεις II Πρόσθεση Αφαίρεση πολλαπλασιασµός διαίρεση συναρτήσεων 5 ίνονται οι συναρτήσεις: 4 f() = και g() = Να βρεθούν οι συναρτήσεις f + g, f g, g και f g 5 Να βρεθούν οι συναρτήσεις f + g, f g και f g όταν: f() = και g() = + + (ii) f() = και g() = +, (iii) f() = και g() = +, > 54 ίνονται οι συναρτήσεις: 5, 0, f() = και g() = Να βρεθεί η συνάρτηση f + g +,> 0 +,> 55 ίνονται οι συναρτήσεις: +,,< f() = και g() = Να βρεθεί η συνάρτηση f + g,> +, III Σύνθεση συναρτήσεων 56 Να βρεθούν οι συναρτήσεις f g και g f όταν: f() = 9 και g() = (ii) f() = συν και (iii) f() = logκαι g() = 4 g() = 57 ίνονται οι συναρτήσεις f, g :R R ( )( ) f g = + 4για κάθε R Να δείξετε ότι οι C f και g f = και µε ( )( ) C g έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σηµείο 58 Θεωρούµε τη συνάρτηση f : R Rτέτοια ώστε για κάθε R ισχύει: f f f = + 4 ( )( ) Να δείξετε ότι f() = 59 Αν ( f f)( ) = +, να βρείτε το ( ) f 0

10 Κεφάλαιο - Συναρτήσεις IV Παράµετροι 60 Να βρεθεί ο α R ώστε οι παρακάτω συναρτήσεις να είναι ίσες: α + 4α + 4+ f () = α+ και g() = + α+ 6 ίνονται οι συναρτήσεις: (α+ ) + (α 4) f() =, και + α Να βρεθεί ο α R ώστε f = g g() = (α + ) (α 4α+ ) α+ 7 6 Να βρεθούν οι α, β Rώστε οι παρακάτω συναρτήσεις να είναι ίσες + β (α )+ f() = και g() = + β β+ 6 6 ίνονται οι συναρτήσεις Να βρεθεί ο α R ώστε η f() = + α+ 4 και g() = + C να διέρχεται από το σηµείο Μ( α,α) f g (ii) Να βρεθεί ο α Rώστε η γραφική παράσταση της f g να βρίσκεται πάνω από τον άξονα, για κάθε R α 64 ίνεται η συνάρτηση f() = Να βρεθεί ο α R ώστε για κάθε R να ισχύει: (f f )() = { } V Γενικές α+ β 65 ίνονται οι συναρτήσεις f() = µε α ότι, οι συναρτήσεις f f και g είναι ίσες στο σύνολο 66 ίνεται η συνάρτηση f( ) = l n( + ) + Η f έχει πεδίο ορισµού το R g = τότε f g= f (ii) Αν ( ) 67 Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το A [,4] της συνάρτησης g( ) f( 5) = α + β 0 και g() = Να δειχθεί α R Να δειχθεί ότι, = Να βρεθεί το πεδίο ορισµού 68 ίνεται η συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το R Αν για κάθε σταθερή συνάρτηση g ισχύει g f = f g f = για κάθε R, να δειχθεί ότι ( )

11 Κεφάλαιο - Συναρτήσεις =, να βρείτε µία συνάρτηση g τέτοια ώστε να ισχύει: + f g = R 69 Αν f( ) ( )( ) για κάθε { } 70 Αν f( ) = + 4, να βρείτε δύο συναρτήσεις g για τις οποίες ισχύει: 7 ίνονται οι συναρτήσεις f, g : ( )( ) ( )( ) f g = 4+ 7 R R, µε ( ) f g = + 5 Να βρεθεί ο τύπος της f g = + και 7 Έστω οι συναρτήσεις f, g : R R τέτοιες ώστε, για κάθε R ισχύει Αν υπάρχει µοναδικός α R ώστε g( α) α g( ) = ( f f)( ) = να δείξετε ότι ( ) f α = α ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΡΤΙΕΣ ΠΕΡΙΤΤΕΣ - ΠΕΡΙΟΔΙΚΕΣ I Άρτιες Περιττές συναρτήσεις 7 Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές: f() = (ii) f() = + + (iii) f() = 5συν (iv) f() = ln(+ + ) (v) f() = ln + (vi) f() log + = ίνονται οι συναρτήσεις f, g : R R Να αποδείξετε τις παρακάτω προτάσεις: Αν οι συναρτήσεις f, g είναι άρτιες τότε και η συνάρτηση λf + µg, λ, µ Rείναι άρτια (ii) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι περιττές τότε και η συνάρτηση λf + µg, λ, µ Rείναι περιττή (iii) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι άρτιες ή f, g είναι περιττές τότε η συνάρτηση f g είναι άρτια (iv) Αν η συνάρτηση f άρτια και η συνάρτηση g είναι περιττή, τότε η συνάρτηση f g είναι περιττή (v) Αν η συνάρτηση f είναι περιττή και η συνάρτηση g είναι άρτια, τότε η συνάρτηση f gείναι άρτια (vi) Αν η συνάρτηση f είναι άρτια και η συνάρτηση g είναι περιττή, τότε η συνάρτηση f g είναι άρτια 75 ίνεται η συνάρτηση f : R Rτέτοια ώστε ( ) ( ) κάθε R Να δείξετε ότι η f είναι περιττή συνάρτηση f + 4f = 5ηµσυν για

12 Κεφάλαιο - Συναρτήσεις R R τέτοια ώστε f( ψ) f( ) f( ψ), ψ R Να δείξετε ότι: f( 0) = 0 και (ii) Η f είναι περιττή συνάρτηση 76 ίνεται η συνάρτηση f : 77 ίνεται η συνάρτηση f : + = +, για κάθε R Rτέτοια ώστε: f( + ψ) + f( ψ) = f( ) f( ψ) για κάθε, ψ R Να δείξετε ότι: f (0) = ή f (0) = 0και (ii) Η f είναι άρτια συνάρτηση 78 Να δείξετε ότι κάθε συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού ένα «συµµετρικό» (ως προς το µηδέν) σύνολο Α γράφεται κατά µοναδικό τρόπο σαν άθροισµα µας άρτιας και µιας περιττής συνάρτησης Εφαρµογή: f: R {,} R µε f( ) = + II Περιοδικές συναρτήσεις 79 Αν Τ, T, T περίοδοι της συνάρτηση f : R R Να δείξετε ότι και οι T, T T, λt ( λ ) + Z είναι επίσης περίοδοι της f 80 Αν η συνάρτηση f είναι περιοδική µε περίοδο Τ να δείξετε ότι η συνάρτηση ( β) f α+, α> 0 είναι περιοδική µε περίοδο Τ α 8 ίνεται η συνάρτηση f : R Rτέτοια ώστε: f + f + + f f + 0 = 0 για κάθε R ( ) ( ) ( ) ( ) Να δείξετε ότι είναι περιοδική και να βρείτε την περίοδο της f R R ώστε: 8 ίνεται η συνάρτηση f : { } f( ) 5 f( + α) = f( ) Να δείξετε ότι η f είναι περιοδική µε περίοδο Τ= 4α, για κάθε R, ( α R ) 0, αν ρητος 8 Θεωρούµε τη συνάρτηση f : R R µε f () =, (Dirichlet), αν αρρητος Να δείξετε ότι η f είναι περιοδική µε περίοδο κάθε ρητό αριθµό Έχει ελάχιστη θετική περίοδο; 84 Να δείξετε ότι αν η συνάρτηση f : περιοδική, τότε ο αριθµός λ είναι ρητός 85 Να δείξετε ότι η συνάρτηση f : αριθµός δεν είναι περιοδική R R µε ( ) R Rµε ( ) f = συν+ ηµλ, λ 0 είναι f = συν+ ηµα όπου α άρρητος 4

13 Κεφάλαιο - Συναρτήσεις III Γενικές 86 Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτηση f είναι συµµετρική ως προς το σηµείο Μ(α,β) αν και µόνο αν για κάθε R ισχύει: f() + f (α ) = β Τι συµπεραίνετε αν το Μ είναι η αρχή Ο των αξόνων ; 87 Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f : R R είναι συµµετρική ως προς την ευθεία = α αν και µόνο αν για κάθε R ισχύει: f() f (α ) = 0 Τι συµπεραίνετε όταν α= 0 ; ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ I Μελέτη συνάρτησης ως προς την µονοτονία 88 Να µελετήσετε την µονοτονία των παρακάτω συναρτήσεων f () = 4 (ii) f () = 5 (iii) f () = + (iv) f () = (v) f () = (vi) f () = + 89 Να µελετήσετε την µονοτονία των παρακάτω συναρτήσεων f() = ln+ (ii) f() = 4 log (iii) f() = ln + ln+ + (iv) f() = e + (v) 5 f() 5 e e = (vi) α 90 ίνεται η συνάρτηση f() = α+, α R Για ποιες τιµές του α η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R (ii) Για ποιες από τις παραπάνω τιµές του α η f είναι: α Γνησίως αύξουσα β Γνησίως φθίνουσα 9 Να βρεθεί ο α Rώστε η συνάρτηση: f = α + α να είναι γνησίως αύξουσα στο R ( ) ( ) 9 Έστω f : R Rσυνάρτηση τέτοια ώστε: f < f + h για κάθε R και για κάθε h> 0 ( ) ( ) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα 5 f() = e + ln + 5

14 Κεφάλαιο - Συναρτήσεις II Μονοτονία συναρτήσεων και λύση εξισώσεων ανισώσεων 9 Να δείξετε ότι κάθε γνησίως µονότονη συνάρτηση f : R Rέχει το πολύ µία πραγµατική ρίζα (ii) Να λύσετε την εξίσωση = Η συνάρτηση f : R Rείναι γνησίως αύξουσα και η συνάρτηση g : R R είναι γνησίως φθίνουσα Να δείξετε ότι η συνάρτηση f g είναι γνησίως φθίνουσα f g ( ) f g (+ 4) (ii) Να λύσετε την ανίσωση : ( ) ( ) 95 ίνεται η συνάρτηση f() = α + (α ) α+ µε α> 0και α Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως µονότονη (ii) Να λύσετε την εξίσωση α + (α ) = α (όµοια όταν f() = α + (α α) α ) 96 Έστω f :R Rσυνάρτηση γνησίως φθίνουσα Να δείξετε ότι η συνάρτηση g() = f() είναι γνησίως φθίνουσα (ii) Να µελετήσετε ως προς την µονοτονία τη συνάρτηση h() = α, 0< α< και να λύσετε την εξίσωση: α α = Να µελετήσετε ως προς την µονοτονία τις συναρτήσεις: 5 f() = ln και g() = 6 7 e (ii) Να λύσετε τις ανισώσεις: f( ) > 0και g( ) 0 98 Να µελετήσετε την µονοτονία της συνάρτησης: f() = log () (ii) Να λύσετε την ανίσωση: log+ log( log) () 99 Να λύσετε τις ανισώσεις: (iii) (ii) + 4 n e e < 5 l (iv) III Μονοτονία και πρόσηµο συνάρτησης < 6 6 > Η συνάρτηση f : R Rείναι γνησίως φθίνουσα µε f( ) 0 g( ) = f( ), να βρείτε τα πρόσηµα των συναρτήσεων f και g = Αν 6

15 Κεφάλαιο - Συναρτήσεις 7 0 ίνεται η συνάρτηση f( ) ( ) ( 5 ) = + + Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία (ii) Να βρείτε το f( 0 ) (iii) Να βρείτε το πρόσηµο της f 0 Η συνάρτηση f : R Rείναι γνησίως αύξουσα µε f( ) = 0 Να βρείτε το πρόσηµο της f (ii) Να λύσετε τις ανισότητες: f( 5 λ ) > 0 και f ( µ 5) f( 7µ 5) π (iii) είξτε ότι: αν α, β R µε 0 β α f() (iv) Να βρείτε το πρόσηµο της συνάρτησης g() = + < + < < < τότε f( συνα) f( συνβ) III Μονοτονία συναρτήσεων και απόδειξη ανισοτήτων 0 Αν α,β (, + ) και α< β να δείξετε ότι: α + β α < + β < 04 Έστω f, g : R Rδύο συναρτήσεις Αν η g είναι γνησίως φθίνουσα και για κάθε R ισχύει f() < g() να δείξετε ότι f( g() ) < g( f() ) για κάθε R 05 Έστω f, g, h : R Rγνησίως αύξουσες συναρτήσεις τέτοιες ώστε για κάθε R ισχύει: f( ) g( ) h( ) Να δείξετε ότι: ( ) IV Γενικές ( ) ( ( )) ( ( )) f f g g h h, για κάθε R 06 Να δείξετε ότι: Αν οι συναρτήσεις f, g είναι γνησίως αύξουσες, τότε και οι συναρτήσεις f + g, f gείναι γνησίως αύξουσες (ii) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι γνησίως φθίνουσες, τότε η συνάρτηση f + g είναι γνησίως φθίνουσα και η συνάρτηση f gείναι γνησίως αύξουσα (iii) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα, τότε η συνάρτηση f g είναι γνησίως αύξουσα και η συνάρτηση f gείναι γνησίως φθίνουσα 07 Αν η συνάρτηση f : R R είναι περιττή και γνησίως αύξουσα στο,0 0,+ διάστηµα ( ), τότε είναι γνησίως αύξουσα και στο διάστηµα ( ) (ii) Αν η συνάρτηση f : R R είναι άρτια και γνησίως αύξουσα στο διάστηµα,0 0,+ ( ), τότε είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα ( ) 7

16 Κεφάλαιο - Συναρτήσεις 08 Αν οι συναρτήσεις f, g :A R είναι γνησίως φθίνουσες, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f + g+ α, α R είναι γνησίως φθίνουσα (ii) Να µελετήσετε την µονοτονία των συναρτήσεων: = + +, όπου α, β, γ ( 0,) g() α β γ (iii) Να λύσετε τις εξισώσεις: = 0 και f() α β = = + και (iv) Να λύσετε τις ανισώσεις: και > 09 Αν οι συναρτήσεις f, g :A R είναι γνησίως αύξουσες, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f + g+ α, α R είναι γνησίως αύξουσα (ii) Να µελετήσετε την µονοτονία της συνάρτησης (iii) Να λύσετε την εξίσωση: ( ) ln + log ln = ln + log ln (iv) Να λύσετε την ανίσωση: ( ) f() = + log ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ I Υπολογισµός ακρότατων τιµών συνάρτησης 0 Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων f() = 4 + (ii) f() = + (iii) (iv) f () = ηµ (v) f()=συν+ f() = + Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων + + f() = (ii) f() = Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων e 4 4 f() = (iι) f() = ηµ + συν + e Να βρείτε την µεγαλύτερη τιµή της συνάρτησης f () = Να βρείτε την µεγαλύτερη τιµή της συνάρτησης: Για ποια τιµή του α ( 0,π) f () =, α 0,π συνα+ ( ) η µεγαλύτερη τιµή της f είναι 4; 8

17 Κεφάλαιο - Συναρτήσεις II Υπολογισµός παραµέτρων 5 ίνεται η συνάρτηση f() = α+ Να βρείτε τον α Rώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f να διέρχεται από το σηµείο Μ(,5) (ii) Για την τιµή του α που βρήκατε να µελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα α+ β 6 Να βρεθούν οι α, β R ( α 0 ), ώστε η συνάρτηση: f() = + Να έχει ελάχιστο το 9και µέγιστο το 4 (ii) Να έχει ελάχιστη τιµή αντίθετη της µέγιστης (iii) Να ισχύει fma + fmin = β 4 III Θεωρητικές 7 ίνονται οι συναρτήσεις f, g :A R Αν η f παρουσιάζει µέγιστο στο o και η g παρουσιάζει ελάχιστο στο o µέγιστο στο o A A, να αποδείξετε ότι η f A g παρουσιάζει 8 ίνονται οι συναρτήσεις f, g :A R µε f() > 0και g() > 0για κάθε A Αν η f παρουσιάζει µέγιστο και η g παρουσιάζει ελάχιστο στο o ότι η f g παρουσιάζει µέγιστο στο o A A, να αποδείξετε 9 Αν η συνάρτηση f :R Rείναι περιττή και παίρνει ελάχιστη τιµή, να δείξετε ότι η f παίρνει και µέγιστη τιµή IV Γενικές 0 ίνεται η συνάρτηση f() = Να κάνετε την γραφική παράσταση της f, να τη µελετήσετε ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα και κατόπιν να βρείτε το σύνολο τιµών της Από όλους τους θετικούς αριθµούς µε σταθερό άθροισµα α, α Rνα βρείτε εκείνους που έχουν το µέγιστο γινόµενο το οποίο και να υπολογίσετε (ii) Από όλα τα ορθογώνια µε σταθερή περίµετρο, να βρείτε εκείνο που έχει το µέγιστο εµβαδόν Από όλους τους θετικούς αριθµούς µε σταθερό γινόµενο c, c Rνα βρείτε εκείνους που έχουν το ελάχιστο άθροισµα το οποίο και να υπολογίσετε (ii) Από όλα τα ορθογώνια µε σταθερό εµβαδόν, να βρείτε εκείνο που έχει την µικρότερη περίµετρο 9

18 Κεφάλαιο - Συναρτήσεις ( + ψ) ( ψ) Να αποδείξετε την ταυτότητα: ψ= 4 4 (ii) Αν οι πραγµατικοί αριθµοί και ψ έχουν σταθερό άθροισµα c, να αποδείξετε ότι c το γινόµενο Γ= ψ γίνεται µέγιστο όταν = ψ= (iii) Να βρείτε την µεγαλύτερη τιµή της συνάρτησης f( ) 4 Να αποδείξετε την ταυτότητα: ( ψ) 4ψ ( ψ) =, 0 + = + (ii) Aν οι θετικοί αριθµοί και ψ έχουν σταθερό γινόµενο γίνεται ελάχιστο όταν = ψ= c (iii) Να βρείτε την µικρότερη τιµή της συνάρτησης f( ) I Μελέτη αν µια συνάρτηση είναι ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - 5 Να εξετάσετε αν είναι οι παρακάτω συναρτήσεις: f() = + (ii) (iv) + f() = + 8 (v) 5 = (iii) f() = + (vi) 6 Να εξετάσετε αν είναι οι παρακάτω συναρτήσεις: f() = e (ii) f() = 8 4 log (iii) f() = + 4 (iv) c, το άθροισµα A= + ψ 4 = +, > 0 f() = 5 f() = + + f() = e + (v) e f()= e 7 Αν οι συναρτήσεις f, g : R Rείναι να δείξετε ότι και η συνάρτηση g f είναι (ii) Αν η συνάρτηση f :R Rείναι να δείξετε ότι και η συνάρτηση ( ) ( ) ( ) h = f + f + είναι επίσης 8 ίνεται η συνάρτηση f : για κάθε R Να δείξετε ότι: R Rγια την οποία ισχύει: ( )( ) f( ) = (ii) Η συνάρτηση ( ) ( ) II Συνάρτηση και λύση εξισώσεων + f f = + 4 g = f + 4 δεν είναι 9 Α Να δείξετε ότι κάθε γνησίως µονότονη συνάρτηση f :R R έχει το πολύ µια πραγµατική ρίζα Β Να λύσετε τις εξισώσεις: 0

19 Κεφάλαιο - Συναρτήσεις n+ + = 0 l (ii) e + l n+ = 00 (iii) = 008 (iv) = 6 Γ Αν α, β, γ είναι τα µήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, ( Α = 90 ο ), να δείξετε ότι η εξίσωση β + γ = α έχει ακριβώς µια πραγµατική ρίζα 0 Η συνάρτηση f :R R R Να δείξετε ότι η f είναι ικανοποιεί τη σχέση ( ) (ii) Να λύσετε την εξίσωση f( ) f( 4 ) + = ( ) ( ) f f + f = + για κάθε ίνονται οι συναρτήσεις f, g :R R και η συνάρτηση g f για την οποία ξέρουµε ότι είναι Αν η συνάρτηση f είναι και έχει σύνολο τιµών το R να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι + (ii) Να λύσετε την εξίσωση f( 9 ) f( 4 4 ) + = + ίνεται η συνάρτηση f( ) = συν, [ 0,π] Να µελετηθεί η f ως προς την µονοτονία (ii) Να βρεθεί το σύνολο τιµών της f + + = + +, (,) (iii) Να λυθεί η εξίσωση: ( ) ( ) συν συν Να λύσετε τις εξισώσεις: 5 ( ) ( ) e + + e + + e + = 0 + (ii) ( ) ( ) = III Γενικές 4 Να δείξετε ότι η συνάρτηση (ii) Να λύσετε την εξίσωση (iii) Να λύσετε την ανίσωση 5 Να µελετήσετε την συνάρτηση (ii) Να λύσετε την εξίσωση (iii) Να λύσετε την ανίσωση f () = e + είναι 4 e e = e e + < 0 f () = e + + ως προς την µονοτονία + e e = + + e e + 6 Αν η συνάρτηση f : R R είναι γνησίως µονότονη και ισχύει f(+ f(ψ)) = f(+ ψ) +, για κάθε, ψ R να δείξετε ότι: f () = + 7 ίνεται η συνάρτηση f : * * R R τέτοια ώστε για κάθε, ψ R ισχύει: ( ) ( ) f( ψ) f ψ = f

20 Κεφάλαιο - Συναρτήσεις Αν η εξίσωση f () = έχει µοναδική ρίζα, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ I Ύπαρξη και εύρεση αντίστροφης συνάρτησης 8 Να βρείτε την αντίστροφη (αν υπάρχει ) των παρακάτω συναρτήσεων: f() = (ii) f() = (iii) 5 e (iv) f() = 4 ln( + e ) (v) f() = + e 5 f() = e 7 9 Να βρείτε την αντίστροφη (αν υπάρχει ) των παρακάτω συναρτήσεων: 0 f() = (ii) f() = ln e (iii) f() = ln (iv) f() = + 40 ίνεται η συνάρτηση f() = 5 Να µελετηθεί ως προς την µονοτονία (ii) Να βρεθεί το σύνολο τιµών της (iii) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την 4 Όµοια όταν: f() = και (ii) f 4+ αν f() = αν < 4 Να βρείτε, αν υπάρχει, την αντίστροφη των παρακάτω συναρτήσεων: e e α f() = (ii) f() =, α> α 4 ίνεται η συνάρτηση f :A R τέτοια ώστε f + 5f = 0, για κάθε R ( ) ( ) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την II Υπολογισµός παραµέτρων 44 ίνεται η συνάρτηση ( ) f α β = +, α, β R Να βρεθούν οι α, β στις παρακάτω περιπτώσεις: f

21 Κεφάλαιο - Συναρτήσεις f = f (ii) f = f και (iii) f f c = + όπου c R 45 ίνεται η συνάρτηση f() = (α )+ β, α, β R Να βρεθούν οι α, β ώστε η f να αντιστρέφεται και f = f III Αντίστροφη συνάρτηση και λύση εξισώσεων - ανισώσεων 46 ίνεται η συνάρτηση 5 f() = + + Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται (ii) Να λύσετε την εξίσωση f() = f () (iii) Να υπολογίσετε το f () (iv) Να λύσετε την εξίσωση (v) Να λύσετε την ανίσωση f ( ) f (8) = f ( ) f ( 5) + 47 ίνονται οι συναρτήσεις f, g : R Rκαι η συνάρτηση g f για την οποία ξέρουµε ότι είναι Να δείξετε ότι και η συνάρτηση f είναι (ii) Να λύσετε την εξίσωση f( + ) = f( + ) (iii) Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα να λύσετε την ανίσωση: f ( ) < f (+ ) 48 Η συνάρτηση f : R R είναι γνησίως µονότονη και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σηµεία A(,) και B(5,9) Να λύσετε την εξίσωση : ( ) (ii) να λύσετε την ανίσωση: f + f ( + ) = 9 f f ( 8) 49 H συνάρτηση f: R Rείναι γνησίως µονότονη και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σηµεία Α(,5) και Β(,8) Να λύσετε την εξίσωση: f + f( ) = + 0 (ii) Να λύσετε την ανίσωση: f f IV Γενικές 50 Οι συναρτήσεις f, g : R R έχουν την ιδιότητα ( ) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται g f () = + f() + για κάθε R 5 Για τη συνάρτηση f γνωρίζουµε ότι ( ) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την (ii) Να δείξετε ότι f(+ ) = f() + f f () = + για κάθε R f

22 Κεφάλαιο - Συναρτήσεις (iii) Να λύσετε την εξίσωση f() = 5 Η συνάρτηση f : R Rέχει την ιδιότητα: f f = + f, για κάθε R Να αποδείξετε ότι Η f είναι αντιστρέψιµη f 0 = 0 (ii) ( ) ( )( ) ( ) ( ) (iii) Αν η f έχει σύνολο τιµών το Rτότε για κάθε Rισχύει: ( ) (iv) f( ) = + f ( ) 5 ίνεται η συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει: f + f = + +, για κάθε R ( ) ( ) 5 Να δείξετε ότι η f είναι περιττή (ii) Να µελετήσετε την µονοτονία της f f = f (iii) Να λύσετε την εξίσωση ( ) ( ) 54 ίνονται οι συναρτήσεις f, g : Να δείξετε ότι: f = ( ) (ii) Η g δεν αντιστρέφεται ( ) R R µε ( ) ( ) ( ) f f = f f = 5+ 9 και g = f +, για κάθε R 55 Αν η συνάρτηση f :A R είναι αντιστρέψιµη και για κάθε, R ισχύει ( ) = ( ) + ( ) να δείξετε ότι: f ( ψ + ψ ) = f ( ψ ) f ( ψ ), για κάθε ψ, ψ f( A) f f f 4

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση> Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( )

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( ) MONOTONIA ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ I MONOTONIA ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f στο α,β Παρατηρούµε ότι διάστηµα [ ] καθώς αυξάνουν οι τιµές του

Διαβάστε περισσότερα

- 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

- 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ) 1 Να βρεθεί η σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g γα τις οποίες ισχύει: f()+1=g()+e (Η C f κάτω

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους 4 ι) () = 6 + 6 iv) () = log ( log4(- )) v) () = ii) () = iii) () = log ( + ) 5 log 4 vii) () = 5 + 4 viii) ()

Διαβάστε περισσότερα

Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες. i) f(x) = 1 x. ii) f(x) = 2ln(x 2) 1 = (, 1] 1 x

Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες. i) f(x) = 1 x. ii) f(x) = 2ln(x 2) 1 = (, 1] 1 x . Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 56 57 A µάδας. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες. i) () = ii) () = ln( ) iii) () = e + iv) () = ( ), i)

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων µε τύπο: i) ii) iii) iv) v) 2. Δίνεται η συνάρτηση µε:. Να βρείτε µια περίοδο της. 3. Δίνεται η συνάρτηση µε:. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R Α.Πεδίο ορισμού. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) f() = 4 6 6 ii) f() = iii) f() = log ( ) iv) f() = log ( log 4(- )) v) 5 f() log vi) f() = 4 4 vii) f() 5 4 viii) f() ημ.

Διαβάστε περισσότερα

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Συναρτήσεις Έστω συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Να δείξετε ότι (), για κάθε R ( ) +, για κάθε R Έστω συνάρτηση µε πεδίο ορισµού και σύνολο τιµών το R και τέτοια ώστε ( ) ( ) e +,

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

x 1 vii) f(x) 5 x 4 viii) 2 + γ) f (x) = στ) f (x) = e x -1 Β. Γραφική παράσταση Γ. Ίσες συναρτήσεις x 3 x 3 f(x), g(x) ιι)

x 1 vii) f(x) 5 x 4 viii) 2 + γ) f (x) = στ) f (x) = e x -1 Β. Γραφική παράσταση Γ. Ίσες συναρτήσεις x 3 x 3 f(x), g(x) ιι) Α.Πεδίο ορισμού. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) f() = v) f() 4 6 6 5 log 4 ii) f() = iii) f() = log ( ) iv) f() = log ( log 4(- )) vi) f() = 4 vii) f() 5 4 viii) f() ημ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (1o Γ Λυκείου) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f( x)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (1o Γ Λυκείου) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f( x) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (o Γ Λυκείου).Να βρεθούν οι τιμές των α, β R ώστε: Α) τα σημεία (, ),(, ) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης α +β. Β)τα σημεία ( 0, ),( e, ) να ανήκουν στην γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 3. Μια μπάλα πέφτει από την κορυφή ενός πυργου. Το ύψος στο οποίο βρίσκετε μετά από t sec δίνεται από τη συνάρτηση f () x 75 3

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 3. Μια μπάλα πέφτει από την κορυφή ενός πυργου. Το ύψος στο οποίο βρίσκετε μετά από t sec δίνεται από τη συνάρτηση f () x 75 3 ΦΥΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να βρεθούν τα Πεδία Ορισμων συναρτήσεων: i) f () 4 f () i f () 4 f () 6 5 v) f () 9 vi) f () v f () log() vi f () 4, i) f () 8, Να βρεθούν επίσης οι τιμές : n f ( 4),( f ),( f0),(),(0),(

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια. Κεφαλά. ( x) = + ( ) ( ) ( )

Φροντιστήρια. Κεφαλά. ( x) = + ( ) ( ) ( ) Ασκήσεις Μαθηµατικών Όρια και Παράγωγος (4 ο θέµα) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο µε ( ) =, η οποία για κάθε, y R * ικανοποιεί τη σχέση ( y) = + ( y) ( ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet:

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet: Κεφάλαιο: Συναρτήσεις Γραφική παράσταση συνάρτησης Γράφημα μιας συνάρτησης ( ) ονομάζουμε το σύνολο των σημείων G( ) (, ( ) ) / A που είναι υποσύνολο του. Το γράφημα αυτό { } συνήθως παριστάνεται πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Ι. Πραγματικές ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ)

Ι. Πραγματικές ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ) Ι. Πραγματικές ΥΝΑΡΤΗΕΙ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΤΡΟΦΗ). Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον άξονα.. Δίνεται η συνάρτηση = f (). Οι τετμημένες των σημείων τομής της C

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Συναρτήσεων. 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: στ. x 1

Στοιχεία Συναρτήσεων. 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: στ. x 1 Στοιχεία Συναρτήσεων 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: 1 α. f() β. f() 3 6 8 3 1 γ. g() δ. g() ( 6)( 5) 4 ε. h() 4 στ. h() 4 ζ. ε. στ. 1 φ() η. 1 1 1 r() 5 6 1 r() 1 5 6 φ() 5. Στις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ενότητα 19 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1). Να βρεθεί η συνάρτηση f όταν: i) A, f ()=3 5 f(0)=1, ii) A=, f ()=συν-ημ f(π)=, Ασκήσεις για λύση - iii) A=, f ()=4e 6 f '(0)=f(0)=1,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας 2 ωρών στις Συναρτήσεις

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας 2 ωρών στις Συναρτήσεις ΘΕΜΑ Α Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας ωρών στις Συναρτήσεις 0 9-05 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ).. Αν η συνάρτηση f είναι -, είναι και γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων: ( = g( = + 4 h( = t( = 5 φ( = ln σ( = ln(ln p( = ln m( = λ R λ - λ - k( = ln 4 s( = ηµ. Να εξετάσετε αν για τις παραπάνω συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑ 5. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση - Αντίστροφη συνάρτηση Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση :Α R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α µε ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να μελετήσουμε και να χαράξουμε τη γραφική παράταση μιας συνάρτησης ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της.. Εξετάζουμε την

Διαβάστε περισσότερα

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας . Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. Ισότητα - Πράξεις Συναρτήσεων Σύνθεση συναρτήσεων Αντίστροφη συνάρτηση. Φιλεκπαιδευτική Εταιρεία Αρσάκεια - Τοσίτσεια Σχολεία

Συναρτήσεις. Ισότητα - Πράξεις Συναρτήσεων Σύνθεση συναρτήσεων Αντίστροφη συνάρτηση. Φιλεκπαιδευτική Εταιρεία Αρσάκεια - Τοσίτσεια Σχολεία Φιλεκπαιδευτική Εταιρεία Αρσάκεια - Τοσίτσεια Σχολεία Maθηματικά Γ Λυκείου Συναρτήσεις Ισότητα - Πράξεις Συναρτήσεων Σύνθεση συναρτήσεων Αντίστροφη συνάρτηση.. Α.Αλβέρτος, Δ.Βαμπούλης, Χ.Βραχνός, Φ.Γκάγκαρη,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x)= ημ x, x (0,π). α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 9η Κατηγορία: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να βρούμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Θεωρούμε, Δ, όπου Δ διάστημα του πεδίου ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Νδο ηµ α Α) = εφα +συνα Β) π συνα εφ α = +ηµ α Γ) ηµ α= ηµ α συνα+ συν α ηµα ) συν α+ηµ α εφα= + εφα εφα Ε) ( + συνα) εφα=ηµ α Ζ) =εφα εφα+σφα. Νδο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων. τέτοια ώστε. lim. και

Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων. τέτοια ώστε. lim. και Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων Άσκηση η Να βρεθούν τα ολικά ακρότατα των συναρτήσεων ) x, 0, ) x x a x x x, x x x x Άσκηση η Αν : a, συνεχής στο, τέτοια ώστε x x και x x Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος ) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει : [f()] 8 +α[f()] = -e f(), α>,για κάθε. α) Να δείξετε ότι f()=c, για κάθε,όπου c αρνητική σταθερά. β) Να βρείτε τις

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στις παράγουσες

Ασκήσεις στις παράγουσες Παράγουσες βασικών συναρτήσεων Ασκήσεις στις παράγουσες Να βρείτε τις παράγουσες της συνάρτησης f()= και μετά να βρείτε εκείνη από τις παράγουσες που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(,)

Διαβάστε περισσότερα

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x Σελίδα από 4 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Του Αντώνη Κυριακόπουλου Εισαγωγή Στην εργασία αυτή παραθέτω χρήσιµες επισηµάνσεις στις βασικές έννοιες των πραγµατικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α .5.. Ίσες συναρτήσεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f = g, Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α Για κάθε x Α ισχύει f ( x) = g( x) Αν για τις συναρτήσεις: f:

Διαβάστε περισσότερα

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι _ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Αν α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P () = (α - β) + (β - γ) + γ - α είναι το µηδενικό πολυώνυµο.. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P () = (κ - ) + (λ + 6) +

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1η κατηγορία: ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1η κατηγορία: ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ η κατηγορία: ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ Για να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης, αρκεί να βρούμε τις τιμές του χ για τις οποίες ορίζονται οι πράξεις που αναγράφονται στο τύπο

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

α) ( ) β) ( ) γ) ( ) δ) ( ) ( ) β) ( ) ( ) δ) ( ) ( ) ( )

α) ( ) β) ( ) γ) ( ) δ) ( ) ( ) β) ( ) ( ) δ) ( ) ( ) ( ) Συναρτήςεισ Όριο Συνέχεια Πεδίο οριςμού ςυνάρτηςησ 1) Να βρείτε τα πεδία οριςμού των ςυναρτήςεων α) β) γ) δ) 2) Να βρείτε τα πεδία οριςμού των ςυναρτήςεων α) β) γ) δ) 3) Να βρείτε τα πεδία οριςμού των

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός 9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7.. 8 8. 8 8 Kglykos.gr / / 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 Επιλεγμένες ασκήσεις από βιβλία Σε

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ( ) 1. Μορφή της συνάρτησης f ( ) Ιδιότητες Έχει πεδίο ορισµού ολο το R Είναι άρτια, άρα συµµετρική ως προς τον άξονα y y Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (,0] Είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΜΑΘΗΜΑΤΑ Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΥΦΩΝ ΠΑΥΛΟΣ Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Κατεύθυνσης

ΤΡΥΦΩΝ ΠΑΥΛΟΣ Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Κατεύθυνσης Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Οι µιγαδικοί αριθµοί και w συνδέονται µε την σέση a β w =, όπου γ α,β,γ R Όταν =0 τότε w= και όταν =-i τότε w=- i Να βρείτε τις σταθερές α,β,γ α Αν το άθροισµα και το γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

(2 x) ( x 5) 2(2x 11) 1 x 5

(2 x) ( x 5) 2(2x 11) 1 x 5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΝΑΛΥΣΗΣ 1. ίνεται η συνάρτηση ƒ µε τύπο, + 5 6 < + + 7 5 f( ) = < < 5 ( ) ( 5) 006 ( 11) 1 5 Υπολογίστε τα παρακάτω όρια της συνάρτησης, Α) Β) f ( ) f ( ) 1 Γ) f ( ) + και f ( )

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΑΥΤΗΣ. x 0 για κάθε xεr και για την συνάρτηση g ισχύει i. Να βρείτε

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΑΥΤΗΣ. x 0 για κάθε xεr και για την συνάρτηση g ισχύει i. Να βρείτε ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΤΑ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΑΥΤΗΣ Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : IR IR τέτοια ώστε f ( ) 1 για κάθε IR (1) και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο i Να βρείτε τα κ και λ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Από τα παρακάτω διαγράµµατα, γραφική παράσταση συνάρτησης είναι το

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Από τα παρακάτω διαγράµµατα, γραφική παράσταση συνάρτησης είναι το Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Από τα παρακάτω διαγράµµατα, γραφική παράσταση συνάρτησης είναι το διάγραµµα Α. B. Γ.. Ε. 7 . * Από τα παρακάτω διαγράµµατα δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης το διάγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

1 O ΛΥΚΕΙΟ ΡΟ ΟΥ ) ( ) = ) ( ) = 2 3, ) ( ) = 4, i f x x x x ii f x x iii f x x. x 4x. iv f x x v f x x vi f x vii f x

1 O ΛΥΚΕΙΟ ΡΟ ΟΥ ) ( ) = ) ( ) = 2 3, ) ( ) = 4, i f x x x x ii f x x iii f x x. x 4x. iv f x x v f x x vi f x vii f x 1 O ΛΥΚΕΙΟ ΡΟ ΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΕ ΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΣ, ΤΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1. ίνονται τα σύνολα A= (,5], B= [2,7], Γ= (6, + ) µε σύνολο αναφοράς το R Να βρείτε τα σύνολα : A, B, A B, A Β,( B

Διαβάστε περισσότερα

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση. . Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 6ο κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2

Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2 Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ Η γραφική της παράσταση είναι μια καμπύλη που λέγεται παραβολή. Ανάλογα με το πρόσημο του α έχω και τα αντίστοιχα συμπεράσματα. αν α > 0 1) Η γραφική της παράσταση είναι πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. (ii) f (x) = π. f (x)

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. (ii) f (x) = π. f (x) I Παράγωγος συνάρτησης σε σηµείο Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Να βρείτε ( αν υπάρχει ) την παράγωγο της συνάρτησης f στο σηµείο (i) f () = +, = (ii) f () =, = (iii) f () = + 6, = (iv) f () = συν, = Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ

ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ? Εύρεση πεδίου ορισμού σε συνθέσεις.. Δίνεται η γν. αύξουσα συνάρτηση :[ -, ] R. Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της g () = ( + ) + ( + ). Β. Να βρεθεί η μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

47 Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση gof, αν α) f και g, β) f ηµ και π γ) f ( ) και g εφ 4 g 48 ίνονται οι συναρτήσεις f + και g Να προσδιορίσετε τις συνα

47 Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση gof, αν α) f και g, β) f ηµ και π γ) f ( ) και g εφ 4 g 48 ίνονται οι συναρτήσεις f + και g Να προσδιορίσετε τις συνα ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 43 Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι f g Στις περιπτώσεις που είναι f g να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του στο οποίο ισχύει f g α) β) γ) f και f +

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη Θέματα Πανελλαδικών 000-04 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C

lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C στο σημείο της A, ( ; ( Έστω μια συνάρτηση και A, ( ένα σημείο της C. Αν υπάρχει το ( ( ( lim και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) =

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) = Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Να αποδείξετε ότι αν τα όρια lim - f () - f - είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο. ( ) και β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f () = lim + στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις

Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις wwwzitigr Πρόλογος Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις ομάδες προσανατολισμού: ç Θετικών σπουδών ç Οικονομίας και Πληροφορικής Αναπτύσσονται διεξοδικά τα κεφάλαια:

Διαβάστε περισσότερα

α) είξτε ότι f(0) 4 και g(0) 4. β) Na δειχθεί ότι: f() > g() για κάθε R. Μονάδες 6 Β. Έστω f:r R άρτια για την οποία ισχύουν ότι f ()5 και η γραφική π

α) είξτε ότι f(0) 4 και g(0) 4. β) Na δειχθεί ότι: f() > g() για κάθε R. Μονάδες 6 Β. Έστω f:r R άρτια για την οποία ισχύουν ότι f ()5 και η γραφική π ΤΡΙΩΡΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ :Ανάλυση:.8,. έως και.3 (Σχολικό) ΘΕΜΑ o Α. Έστω η συνάρτηση f() ν, ν Ν{0,}. Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Περιορισμοί στο R. ln x,log. Β= ln Α Β Α Β Α. Σύνοψη γραφικών παραστάσεων

Περιορισμοί στο R. ln x,log. Β= ln Α Β Α Β Α. Σύνοψη γραφικών παραστάσεων στο R Πεδίο ορισμού συνάρτησης είναι η συναλήθευση των περιορισμών της συνάρτησης στο R, αν δεν έχει περιορισμούς λέμε ότι έχει πεδίο ορισμού το R. Όταν έχω πρέπει ν Α, Α Α Α Β Β ln Α, log Α Α> ln Β logα

Διαβάστε περισσότερα

Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους :

Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Σύνολα ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΓΡΑΦΗ ΣΥΝΟΛΟΥ Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ) Παράσταση με αναγραφή των στοιχείων Όταν δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ.

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ. Συναρτήσεις σελ ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα),

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της x x x x β Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν γ Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο x x f ( x), να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ.

Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ 6 Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Θ Ε Μ Α ο Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f (χ)= για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα