تحلیل تغییر شکل نانولوله کربنی تک جداره: یک تئوری پوسته بر پایه پتانسیل بین اتمی

Transcript

1 Vol. 46, No., Winter 4, pp. - نشريه علمي پژوهشي اميرکبير مهندسي مکانيک( mirkbir Journl of Science & eserch (Mechnicl Engineering (JS - ME تحلیل تغییر شکل نانولوله کربنی تک جداره: یک تئوری پوسته بر پایه پتانسیل بین اتمی ابوالفضل شهاب الدینی عاطفه علیپور رضا انصاری - کارشناسي ارشد مهندسي مکانيک دانشکده فني دانشگاه گيالن - دانشيار مهندسي مکانيک دانشکده فني دانشگاه گيالن - دانشجوی دکترا مهندسي مکانيک دانشکده فني دانشگاه گيالن چکیده هدف از این مقاله ارائه تئوری پوسته با تغییر شکل محدود بر پایه پتانسیل بین اتمی برای یک نانو لوله تک جداره است. بدین منظور با بکارگیری قانون کوشی بورن رابطهای میان چگالی انرژی کرنشی سطح پیوسته و پتانسیل بین اتمی برقرار شده است. این تئوری با در نظر گرفتن برهم نهی چند اتمی غیرخطی و نوع ساختار نانولوله کربنی اثرات مهم ممان خمشی و انحنای سطح خمیده را مورد بررسی قرار میدهد. با بکارگیری تئوری توسعه داده شده روابط ساختاری که مستقل از ضخامت نانولوله و مدول یانگ هستند میان تنش گشتاور کرنش انحنا و پتانسیل بین اتمی استخراج میشود. مشاهده شد که نوع ساختار بر روی رفتار مکانیکی نانولوله تحت کشش و خمش مؤثر بوده و این تأثیر برای نانولولههای با شعاع بزرگتر تحت کرنش و انحنای کوچک کمتر خواهد بود. کلمات کلیدی تئوری پوسته پتانسیل بین اتمی نانولوله کربنی خمش انحنا مدل ساختاری. Emil: r_nsri@guiln.c.ir

2 - مقدمه نانولولههای کربني به علت دارا بودن خواص شيميايي الکتريکي و مکانيکي ممتاز کاربردهای فراواني در تکنولوژیهای نو دارند. مدول االستيک تقريبا تراپاسکال و مقاومت کششي حدود 6 گيگاپاسکال اين ساختار را از پرکاربردترين ساختارهای نانو قرار داده است ]7-[. اين ساختارها توجه بسياری از محققان را در دو شاخه اتمي و مکانيک محيطهای پيوسته به خود جلب کردهاند. اخيرا با استفاده از مدلسازی اتمي بيان تحليلي از صلبيت خمشي و کششي نانولولهها بدست آمده ]8[ که مستقيما با پارامترهای پتانسيل بين اتمي رابطه دارد. همچنين با استفاده از همان روش مدول يانگ نانولولههای کربني محاسبه شد که با نتايج مدلسازی اتمي مستقيم مطابقت دارد. برای تحليل نانولولههای کربني در مکانيک پيوسته دو ديدگاه وجود دارد. ديدگاه اول نانولوله را بصورت يک پوسته نازک در نظر ميگيرد که دارای رفتار االستيک خطي است ]-9[. در نوع ديگر از مطالعات پيوسته نانولولههای کربني از تابع پتانسيل غيرخطي چند اتمي برای کربن استفاده ميشود ]5[ ]5-[. چگالي انرژی کرنشي پيوسته از پتانسيل بين اتمي طبق قانون کوشي بورن قابل - محاسبه است. اين تئوری پيوسته بر مبنای اتمي( با در نظر گرفتن نوع ساختار نانولوله با مدلسازی ديناميک مولکولي مطابقت خوبي دارد ]6-[. سانگ و همکاران ]7[ اين تئوریها را توسعه داده و به منظور مطالعه پارگي ناشي از نقص در نانولولههای کربني بهکار بردند. در سالهای اخير محققين زيادی تغيير شکل نانولولههای کربني را مورد بررسي قرار دادند. به عنوان مثال ژانگ و همکارانش [8] تغيير شکل نانولولههای کربني تک جداره تحت کرنشهای محوری بزرگ را مطالعه کردند و دريافتند که تغييرات انرژیهای کرنشي مستقل از شعاع و وابسته به نوع ساختار است. وانگ و گو ]9[ يک مدل ساختاری پيوسته در مقياس نانو با استفاده از قانون کوشي-بورن مرتبه باال ايجاد کردند و رفتار نانولولههای کربني تک جداره تحت تغيير شکل- های بزرگ در دماهای محدود را شبيهسازی نمودند. با استفاده از يک مدلسازی پيوسته مبتني بر تئوری پوسته نازک شيما و همکارانش ][ تغيير شکل شعاعي نانولولههای کربني چند جداره تحت فشار هيدرواستاتيکي را مورد مطاله قرار دادند و با به کارگيری اين تئوری فشار بحراني نانولوله را تخمين زدند. در تحقيقات انجام شده بر اساس تئوریهای پيوسته بر روی نانولولههای کربني که در آنها نانولوله بهعنوان يک پوسته نازک و با رفتار االستيک خطي مدلسازی ميشود تعامالت چند اتمي غيرخطي و اثرات مهم ساختاری زيگزاگ و آرمچر( ناديده گرفته ميشوند. همچنين اين تئوریها به پارامترهای مدول يانگ و ضخامت نانولوله که دارای مقدار دقيق و يکتايي نيستند وابسته هستند. همچنين در ديدگاه دوم تئوریهای پيوسته که تاکنون مورد مطالعه قرار گرفتند اثرات انحنا و خمش که از اهميت زيادی در رفتار مکانيکي نانولولهها برخوردار هستند ناديده گرفته شده است. با انگيزه از اين مالحظات در اين مقاله پس از توضيحات مختصری راجع به هندسه صفحه کربني و نانولوله در بخش يک تئوری پيوسته بر مبنای اتمي در بخش توسعه داده شده که اثرات مهم انحنا و خمش را در نظر ميگيرد. پتانسيل چند اتمي غيرخطي ]5[ که در اين بخش ارائه ميشود به طور مستقيم با اين تئوری ترکيب ميشود. در بخش 4 تئوری غيرخطي پوسته با در نظر گرفتن يک تغيير شکل محدود ايجاد ميشود که مستقل از مدول يانگ و ضخامت نانولوله است و در بخش 5 چند مثال نمونه مورد بررسي قرار ميگيرد. - هندسه صفحه کربنی و نانولوله هندسه يک صفحه گرافيتي دو بعدی که شامل دو محور x x است در شکل ( نشان داده شده است. محور x x و بهترتيب بيانگر محور آرمچر و محور زيگزاگ هستند و نقطه O نشاندهنده مرکز صفحه است. بردار که دو نقطه معادل از صفحه مانند O C h و يک بردار شبکه بوده را به هم وصل مي- کند. دو سر اين بردار بايد بر روی دو اتم درون صفحه دو رأس از شش ضلعيها( قرار گيرد. بردار ناميده ميشود. C h يک بردار مشخصه صفحه شکل (: نمایش صفحه گرافیتی دو بعدی [] در شکل ( زاويه بين بردار داده شده است. همچنين بردارهای C h و و محور زيگزاگ با نشان بردارهای پايه اوليه

3 و C h را ميتوان به صورت ضرائب صحيحي از شبکه ميباشند. بردار بردارهای نوشت: C ( h nm C h مي- که در آن اعداد صحيح(, mn ( را انديسهای بردار نامند. يک مفهوم اساسي و مهم در ساختار نانولولههای کربني جهت پيچش صفحه کربني حول محور برای تبديل به نانولوله کربني است. نانولولههای کربني تک جداره به سه نوع زيگزاگ آرمچر و کايرال تقسيم بندی ميشوند. اگر چرخش بردار Ch در امتداد محور صورت گيرد نانو لوله زيگزاگ تشکيل مي- C h در امتداد شود. نانولوله آرمچر از چرخش بردار C h حول هر محور 6 / ايجاد ميشود و با چرخش بردار باشد نانولوله محوری که در آن زاويه بين صفر تا 6/ کايرال تشکيل ميشود []. نانولوله زيگزاگ آرمچر و کايرال به ترتيب به صورت ( mn, و( ( mm, ( m, شوند که در شکلهای ( تا 4( نشان داده شدهاند. نمايش داده مي- شکل 4(: تصویر نمای روبرو و جانبی نانولوله کایرال برای محاسبه قطر نانولوله ساخته شده ميتوان از رابطه ( استفاده کرد []: Ch n m nm d ثابت شبکه و دارای مقدار /46 آنگستروم است. ( که در آن - پتانسیل بین اتمی شکل 5( اتم کربن i نشان ميدهد. اگر يکي از اتمهای اطراف را های همسايگي j خواهند بود. k را به همراه اتمهای همسايه اول آن بناميم بقيه اتم- زاويه ijk بين پيوندهای i j i است. k و شکل (: تصویر نمای روبرو و جانبی نانولوله آرمچر شکل 5(: اتم کربن مرکزی و سه اتم مجاور آن شکل (: تصویر نمای روبرو و جانبی نانولوله زیگزاگ برنر و همکارانش ]5[ در سال رابطه پتانسيل بين اتمي برای کربن را که توصيف خوبي از انرژیها طولها و مخصوصا ثوابت نيرو برای پيوندهای کربن کربن ارائه ميدهد بصورت رابطه ( توسعه دادند: V( rij V ( rij Bij V ( rij (

4 -4 V V و r ij بيانگر فاصله بين اتمهای i و j است و که در آن به ترتيب جملههای دفع و جذب جفت اتم را نشان ميدهند که Q r V ( r ( e fc( r r V ( r n B nr ne c, 4. nm f ( r 954, nm, B فقط به فاصله بين دو اتم وابسته هستند: تئوری غیرخطی پوسته با تغییر شکل نانولولههای کربنی بر اساس پتانسیل بین اتمی -4- توصیف کلی یک سطح خمیده نقطه روی سطح خميدهای را در نظر بگيريد: برای محدود P P(, (, P ( که مختصات استوانهای اين نقطه روی سطح (Z (,, مختصات استوانهای يک نانولوله کربني با هستند. ( شعاع اوليه قبل از بارگذاری است(. طبق شکل 6( بردارهای بردارهايي در صفحه مماس بر سطح پايه هموردا P هستند که ضرايب فرم اساسي اول را نتيجه ميدهند: ( B 89 ev, 47.5 nm, Q.4 nm,, B.75 ev,.87 nm ev که fc ( r يک تابع قطع يکنواخت است که ميزان پتانسيل بين اتمي را محدود ميکند و در رابطه 7( ارائه شده است: 4( 5( 6( صفحهی مماس (, r ( r fc( r cos, r ( ( ( r ( ( 7( / /7 ( ( که در آن و بهترتيب نانومتر و هستند. مؤلفه برهم نهي چند اتمي در رابطه ( به اتمهای مجاور اتم i وابسته است. بطوریکه: G( (. 5 ijk fc rik B ij ijk k( i, j i, k و j k فاصله بين اتمهای, i زاويه بين پيوندهای i j و ik بوده و رابطه G بصورت زير معرفي مي- G( cos.486cos.564cos.7cos.79cos for 9.47 G( cos.4cos cos cos 5.cos for 9.47 G(.6.98cos 4.46cos 6.8cos 4.98cos.44cos for r ik 8( شود ]5[: قابل توجه است مقدار فاصله تعادلي با استفاده از اين تابع ( r ij. 4nm 9( ( ( پتانسيل تعادلي محاسبه شده از برنر ميباشد. اين مقدار کمتر از مقدار مرجع شکل 6(: شماتیک بردارهای پایه هموردا در صفحه مماس بر سطح بردار نرمال عمود بر سطح( و ضرايب فرم اساسي دوم طبق N, B P(, N P روابط 4( بدست ميآيند: اگر روی همين سطح دو نقطه 4( P( P در نظر گرفته شوند ميتوان از بسط, و P P P P 4 O( 6 سری تيلور رابطه 5( را نتيجه گرفت: سطح خمیده 5( که P و نيز جمالت سمت راست عبارت فوق تابعي از, B ميباشند. بنابراين: ( ( r ij.4nm 99 ]6[ است.

5 p ( E ( B K 4( u P ( B B u 6 B N u که u دارای رابطه زير با است: P در نتيجه ميتوان رابطه زير را برای طول فاصله بين دو P ( B B 6( 7( نقطه( بدست آورد: محاسبه ميشود: -4- تغییر شکل یک نانو لوله کربنی تک جداره قانون کوشي بورن ][ چگالي انرژی کرنشي در سطح پيوسته را با انرژی ذخيره شده در پيوند ميان اتمها مرتبط ميکند. برای اعمال اين قانون ميتوان ساختار شش ضلعي صفحات کربني را به دو زير B شبکه عالمت گذاری شده توسط و در شکل 7( تجزيه کرد که هر زير شبکه دارای يک ساختار مثلثي و متقارن مرکزی است. زاويه بين دو پيوند P, P از رابطه 9( P P cos P P P P BB ( 8( 9( ( -4- تغییر شکل سطح خمیده کرنش و انحنا P(, فرض کنيد نقطه روی سطح اوليه به نقطه p تغيير شکل يافته است. بردارهای پايه بردار نرمال و, همچنين ضرايب فرمهای اول و دوم برای سطح تغيير شکل بصورت زير قابل محاسبه هستند: p n,, p, b n ( اگر فرض کنيم دو نقطه P و P ΔP از سطح اوليه به نقاط p و p Δp تغيير شکل يابند ميتوان p را از رابطه 8( با جايگذاری n,,, b بدست آورد. در اين مرحله نياز به محاسبه مؤلفههای تنسور کرنش گرين است که از تفاضل ضرايب فرم اساسي اول قبل و بعد از تغيير شکل نتيجه ميشوند ][: E ( ( بطور مشابه مؤلفههای تنسور انحنا از تفاضل ضرايب فرم اساسي دوم قبل و بعد از تغيير شکل بدست ميآيند ][: K ( b B ( با توجه به روابط فوق و جايگذاری در 8( رابطه زير برای فاصله بين دو نقطه بعد از تغيير شکل نتيجه ميشود: شکل 7(: ساختار شش ضلعی تجزیه شده صفحات کربنی به دو زیر شبکه انتقالي مثلثی در تغيير شکلهای محدود دو زير شبکه تحت يک بردار شکل 7 (( نسبت به يکديگر جابهجا ميشوند و در اين حالت تعادل اتمها برقرار خواهد شد. بردار P زير شبکه متفاوت که قبل از تغيير شکل مختصات بين دو اتم از دو را روی نانولوله دارند پس از تغيير شکل به p با مختصات زير تبديل η ميشود: 5( از مينيمم کردن پتانسيل بين اتمي محاسبه ميشود و طول p پيوند و نيز زاويه بين پيوندها از روابط زير بدست ميآيند: p ( ( B ( p p cos p p p p ( ( ( B K E K ( B E ( B K K 6( 7( 8(

6 D w L ( DE E w w w EE Eη η η D w S ( DK K w w w K K K η η η w ηe w ηk 5( 6( بطور خالصه طول پيوند دو اتم زاويه بين پيوندها و پتانسيل بين اتمي به مؤلفه تنسورهای کرنش گرين انحنا بردار انتقالي وابسته هستند: و همچنين به r r ( E, K,, ( E, K, ij ij ijk ijk, V V ( r, ; k i, j ij ijk چگالي انرژی کرنشي که مجموع انرژی کرنشي ذخيره شده 9( در پيوندهای بين اتمي درون يک سلول است طبق رابطه زير w w( E j,,, K V ( r, ; k i, j ij ijk S, ( E, K, ( S 4 S ( ij r بدست ميآيد: در حالي که به ميانگين مساحت پيرامون هر اتم در سلول ( اوليه قبل از تغيير شکل اشاره ميکند تحلیل تنسور تنش و ممان در یک نانو لوله کربنی E تنسور کرنش گرين با مؤلفههای ميتوان نشان داد در حالي که را بصورت بردار پايه E E B ناهموردا است که با رابطه به بردار پايه هموردا مرتبط ميشود. بطور مشابه تنسور انحنا بصورت K K نشان داده ميشود. تنسور تنش پيوال - کيرشهف دوم حاصل مشتقگيری کامل ازچگالي انرژی کرنشي نسبت به تنسور کرنش گرين است. Dw w w η w T DE E η E E T w E در حالي که: و بطور مشابه تنسور ممان از مشتقگيری کامل چگالي انرژی Dw w w η w M DK K η K K M w K B ( ( کرنشي نسبت به تنسور انحنا بدست ميآيد: ( در حالي که: به ترتيب تنسورهای متقارن سفتي کششي و خمشي T : S S, L L T S,L 4( هستند و T H,H نيز کشش بر خمش کوپل هستند به طوری که: D w H ( DK E w w w w EK Eη ηη ηk T D w H ( DE K w w w w KE Kη ηη ηe 5-4- مسائل تبدیل صفحه کربنی به نانولوله کربنی فرض کنيد مختصات دکارتي بر صفحه کربني باشند, 7( 8( که در امتداد طولي نانو لوله است(. به يک نانولوله تبديل ميشود. ( محور ضرايب فرمهای اساسي اول و دوم قبل از تغيير شکل بصورت B هستند., کرنشهای مهندسي در و جهات محيطي و محوری در تبديل صفحه به نانولوله ميباشند p e ( ez شعاع نانو لوله کربني و که بايد محاسبه شوند. P(, نقطه روی صفحه به روی نانولوله تبديل ميشود که e بردارهای يکه به ترتيب در جهات محوری و شعاعي, e Z هستند. شکل 8( شماتيک نانولوله کربني و نقطه تبديل يافته را نشان ميدهد. زاويه قطبي ( / و بردارهای پايه ( e Z و پس از تغيير شکل بصورت e محاسبه ميشوند در حاليکه بردار پايه در جهت محيطي ( e است.

7 همچنين با افزايش شعاع نانولوله مشاهده ميشود که اختالف ميان کرنش محيطي و شعاعي کاهش مييابد. در واقع در شعاع- های بزرگ انحنای نانولوله کمتر شده و به حالت صفحه کربني نزديکتر ميشود نانولوله کربني آرمچر نانولوله کربني زيگزاگ شکل 8(: نمای نانولوله کربنی و نقطه تبدیل یافته ضرايب غير صفر فرمهای اساسي اول و دوم و نيز مؤلفههای غيرصفر تنسورهای کرنش گرين و انحنا پس از تغيير شکل بصورت زير خواهند بود: (, (, ( E b E,, (, K 9( محاسبه کليه ضرايب فوق در بخش ضميمه ارائه شده است(. و بردار انتقال(, چگالي انرژی کرنشي w تابعي از است. اگر نانولوله تحت هيچگونه کرنش خارجي قرار نگيرد., آيند ( با مينيمم کردن انرژی کرنشي بدست مي- w w (, شکل 9( کرنشهای محيطي و محوری, را در حين تبديل صفحه کربني به نانولوله کربني به شعاع در حالت آرمچر و زيگزاگ( نشان ميدهد. گفتني است کرنش محيطي برای نانولولههای خيلي کوچک به %5 ميرسد در حاليکه کرنش محوری در مقايسه با کرنش محيطي کوچک است. اين بدان معني است که در تبديل صفحه کربني به نانولوله طول آن در راستای محوری تغيير چنداني نميکند. در صورتيکه تغيير طول پيوندها در راستای محيطي برای نانولولههايي با شعاع کوچک محسوس است. هر چه شعاع نانولوله کوچکتر باشد بدليل اثرات هندسي مانند انحنا طول پيوندها و زاويه بين آنها اختالف بيشتری نسبت به حالت صفحه کربني دارند. بنابراين برای اينکه اتمها در موقعيت انرژی کمينه خود قرار گيرند مجبور هستند که طوری تغيير مکان دهند تا طول پيوندها و زاويه بين آنها به فاصله تعادلي و زاويه تعادلي صفحه کربني نزديکتر شود. شکل 9(: تغییرات کرنش محوری و محیطی بر حسب شعاع نانولوله هنگام تبدیل صفحه کربنی به نانولوله ياکوبسان و همکارانش ]4[ صلبيت خمشي صفحه کربني را برای محاسبه ضخامت نانولوله مورد بررسي قرار دادند. آنها از ديناميک مولکولي برای بدست آوردن اختالف انرژی هر اتم ( U بين صفحه کربني و نانولوله استفاده کردند. اگر را EI صلبيت خمشي برای صفحه و نانولوله در نظر بگيريم اين اختالف انرژی با شعاع نانولوله بصورت رابطه دارد که ( U EIS / S مساحت پيرامون هر اتم در صفحه کربني است. برای اعتبارسنجي تئوری حاضر اختالف انرژی هر اتم مربوط به قبل و بعد از تغيير شکل محاسبه شده و با رابطه بدست آمده از ديناميک مولکولي مقايسه شده است. شکل ( انرژی کرنشي به ازای هر اتم بر حسب شعاع نانولوله ساخته شده را نشان ميدهد. رابطه U رسم شده است که در آن تحليل ارائه شده بخوبي با از ديناميک مولکولي در همان شکل EI ( 4 ( V cos ijk U EIS / است. مطابقت دارد. قابل مشاهده است با افزايش شعاع نانولوله انرژی کرنشي ذخيره شده در آن کاهش مي يابد. در واقع هر چه شعاع بزرگتر شود انحنای نانولوله و در نتيجه کرنش ايجاد شده در آن کوچکتر ميشود. Strin [nm] همانطور که در شکل 9( نشان داده شد کرنشهای محوری و محيطي برای دو ساختار آرمچر و زيگزاگ يکسان نيستند. بطوریکه در نانولولههای زيگزاگ اين کرنشها دارای

8 ..6 مقدار کمتری هستند. اما در شکل ( منحني انرژی کرنشي برای دو ساختار زيگزاگ و آرمچر برخالف برابر نبودن کرنشها روی هم قرار گرفتهاند. B [Nn-nm]..8.4 Energy [ev/tom] نانولوله کربني آرمچر تئوری حاضر( نانولوله کربني زيگزاگ تئوری حاضر( انرژی از رابطه نانولوله آرمچر نانولوله زيگزاگ k [/nm] ]4[ U EI S / شکل (: تغییرات انرژی بر حسب شعاع نانولوله همچنين ميتوان صلبيت خمشي نانوله ساخته شده با در نظر گرفتن انحنای ايجاد شده بدست آورد [5]: ( B k / را طبق رابطه 4( w B k 4( که شعاع نانولوله ميباشد. شکل ( مقدار صلبيت خمشي را برای نانولولههای آرمچر و زيگزاگ نشان ميدهد. همانطورکه در اين شکل ميتوان ديد در انحناهای کوچک صلبيت خمشي نانولولههای زيگزاگ و آرمچر يکسان بوده در حاليکه با افزايش انحنا مقدار صلبيت خمشي در نانولولههای زيگزاگ نسبت به آرمچر افزايش بيشتری دارد. نتيجه مذکور با نتايج ارائه شده در مرجع کامال [5] منطبق ميباشد. بطوریکه در انحنای کوچک مقدار صلبيت خمشي در مرجع گفته شده / نانونيوتن نانومتر ( معادل با,69 الکترون ولت( و در مقاله حاضر, نانونيوتن نانومتر است. شکل (: صلبیت خمشی نانولوله بر حسب انحنا نانولوله کربنی تحت کشش در اين بخش هدف تحليل کرنشهای ايجاد شده در يک نانولوله کربني زيگزاگ و آرمچر( تحت کشش ساده است. فرض lterl کنيد xi و محوری ايجاد شده در نانولوله باشند. نظرگرفته ميشوند در حاليکه بهترتيب کرنشهای مهندسي محيطي و,Z در, Z بيانگر مختصات استوانهای و شعاع نانولوله قبل از تغيير شکل است. ضرايب فرمهای اساسي اول و دوم قبل از تغيير شکل بصورت B / و نقطه P e Ze Z و بردارهای پايه پس از تغيير شکل به ترتيب بصورت و ( lterl e p ( lterl e ( xil ZeZ نوشته ميشوند و نيز ضرايب غيرصفر فرم- و ( xile z های اساسي اول و دوم و مؤلفههای غير صفر تنسورهای کرنش گرين و انحنا بصورت زير محاسبه ميشوند: (, (, lterl xil ( lterl, K ( lterl b, E lterl lterl, E xil xil 4( چگالي انرژی کرنشي w تابعي از و بردار lterl, xil انتقال( است. اگر نانولوله فقط در جهت محوری تحت کشش قرار گيرد کرنش lterl xil محاسبه کرد در جهت محيطي را ميتوان بر حسب. w lterl [nm]

9 xil force / (π [N/m] (7, (4, (, (, (8,8 (4,4 مقدار نيروی موثر از روابط تعادل نانولوله بطور تحليلي مطابق رابطه زير بدست ميآيد: ( F T 4( اگر فرض شود که روی سطح داخلي و خارجي نانولوله کششي وجود نداشته باشد: ( F T e 4( بنابراين سه رابطه زير از 4( و 4( بدست ميآيند: خوبي دارد. ( F T ( F T ( F T Z ( F T ( F T ( F T Z ( F T Z Z ( F T Z Z 44( 45( 46( در کشش ساده تنش برشي را ( T Z T Z عمودی روی سطح مقطع صفر فرض ميکنيم. بنابراين نيروی محوری از انتگرالگيری تنش ( ez ( FT ez 47( نتيجه ميشود: P F T E T شکل ( نسبت نيروی محوری اعمال شده بر محيط نانولوله بر حسب کرنش محوری برای چند نوع نانولوله آرمچر ([ 8 8( ]4 4( و زيگزاگ 7 ([ 4 ( ] ( را نشان ميدهد. منحنيها وابستگي چنداني به شعاع نانولوله ندارند اما نوع ساختار نانولوله تأثير زيادی بر روند نمودارها مي- گذارد. همچنين مشاهده ميشود برای کرنشهای کوچکتر روند اين منحني خطي است در حاليکه در کرنشهای بزرگتر دارای روندی غيرخطي خواهد بود بطوریکه با افزايش کرنش شيب اين نمودار در حال کاهش است و اين بدان معني است که سفتي کششي يا مدول يانگ نانولوله در بارگذاری کششي به تدريج کاهش مييابد که اين نتيجه با مرجع [6] سازگاری دارد. بطوریکه با در نظر گرفتن ضخامت گفته شده در مرجع [6] مقدار حاصلضرب تنش محوری و ضخامت در کرنش محوری % برای نانولوله و ( حدود 4,7 نيوتن بر متر بوده که با مقدار,6 نيوتن بر متر بدست آمده در شکل ( همخواني شکل (: نسبت نیروی محوری اعمال شده بر محیط نانولوله بر حسب کرنش محوری در حالتي که کرنش ها نزديک به صفر باشند نسبت نيرو به کرنش بطور تحليلي از روابط 48( و 49( بدست ميآيد [7]: L L L H L H H S 48( 49( که معرف ضريب پواسون است. شکل ( نسبت نيرو به کرنش بر حسب شعاع نانولوله آرمچر و زيگزاگ را نشان ميدهد. ميتوان گفت نيرو برای شعاعهای بزرگتر از حدود نانومتر ثابت ميشود. شکل (: نسبت نیرو به کرنش بر حسب شعاع نانولوله در کرنشهای نزدیک به صفر همچنين سفتي کششي االستيک خطي حاصل ضرب مدول يانگ در ضخامت( در جهت محوری نانولوله برای تغيير شکل- های کوچک کرنش کوچک( از رابطه زير پيروی ميکند: L 4 5 [nm] L L....4 xil E, 5( نانولوله کربني آرمچر نانولوله کربني زيگزاگ

10 شکل 4( مقدار مدول يانگ نانولولههای کربني آرمچر و زيگزاگ را بر حسب شعاع آنها نشان ميدهد. مقدار ضخامت نانولولهها طبق مرجع [8] /4 نانومتر در نظر گرفته شده است. در اين شکل با افزايش شعاع نانولوله مقدار مدول يانگ آن کاهش مييابد که اين روند نزولي با مرجع [8] کامال مطابقت دارد. قابل ذکر است که در شعاعهای کوچک با انحنای زياد همواره مقدار مدول يانگ نانولولههای کربني زيگزاگ از آرمچر بيشتر ميباشد. شکل 4(: مدول یانگ بر حسب شعاع نانولوله نانولوله کربنی تحت خمش در خمش نانولوله سطح مقطع آن پس از تغيير شکل بصورت دايرهای باقي نميماند. استفاده از يک روش عددی مانند روش المان محدود( برای بررسي و تحليل ممان بر حسب انحنا در اين تغيير شکل نياز است. فقط زماني که انحنای سطح بسيار کوچک باشد ميتوان آن را بصورت تحليلي بيان کرد. برای يک نانولوله آرمچر يا زيگزاگ با فرض انحنای کوچک خمشي به انحنا از رابطه زير بدست ميآيد [7]: 5( نسبت ممان L L H ( L ( H H S L 4H 4S 5( بر شکل 5( اين نسبت را بر حسب شعاع نانولوله در حالي که تقسيم شده است نشان ميدهد. به راحتي ميتوان نتيجه گرفت نسبت ممان خمشي به انحنا برای شعاعهای بزرگتر از حدود نانومتر ثابت ميشود. با توجه به شکلهای ( و 5( مادامي که شعاع زياد ميشود تاثير نوع ساختار نانولوله ( آرمچر و زيگزاگ( بر روی نسبتهای نيرو به کرنش و ممان به انحنا کاهش مييابد. شکل 5(: نسبت ممان خمشی به انحنا بر حسب شعاع نانولوله در انحنای نزدیک به صفر با توجه به نتايج بدست آمده مشاهده شد که نوع ساختار بر روی نتايج تأثيرگذار بوده است و به اين دليل است که تغييرات زاويه منجر به تغيير در برهمنهي چند اتمي و تعامالت ميان اتم- ها ميشود. بنابراين تحت تغيير شکلهای مختلف رفتار نانولوله- های آرمچر و زيگزاگ متفاوت خواهد بود. 5- نتیجهگیری در اين مقاله رفتار يک نانولوله تک جداره تحت تغيير شکل- های مختلف با استفاده از يک تئوری پوسته با تغيير شکل محدود مورد بررسي قرار گرفت. اين تئوری پتانسيل بين اتمي را به طور مستقيم با تئوریهای غشايي ترکيب نموده و اثرات خمش و انحنا را در نظر ميگيرد. همچنين مدل ساختاری حاضر با مقادير پراکنده مستقل از مدول يانگ و ضخامت نانولوله بوده و تعامالت چند اتمي غيرخطي را شامل ميشود. با بررسي اثرات نوع ساختار ديده شد که نانولولههای آرمچر و زيگزاگ تحت کشش و خمش رفتار متفاوتي از خود نشان ميدهند و در محدوده کرنش و انحنای کوچک اين تفاوت برای نانولولههای با شعاع بزرگتر کمتر خواهد بود. به عالوه تئوری توسعه داده شده محدود به نانولولههای تک جداره کربني نبوده و قابل کاربرد برای ساير نانوساختارها يا به عبارتي ساير توابع پتانسيل بين اتمي( است. 6- ضمیمه نقطه بگيريد. P(, نانولوله کربني آرمچر نانولوله کربني زيگزاگ را روی سطح قبل از تغيير شکل در نظر بردار پايه هموردا بردار عمود بر سطح و اساسي اول و دوم بصورت زير محاسبه مي شوند: [nm] نانولوله کربني آرمچر نانولوله کربني زيگزاگ ضرايب فرم Young, s Modulus [GP] [nm]

11 . Krishnn., E. Dujrdin., T.W. Ebbesen., P.N. Yinilos., M.M.J. Trecy, Young s modulus of single-wlled nnotubes, Phys. ev. B, vol, 58, pp. 4 49, 998. O. Lourie., H.D. Wgner, Evlution of Young s modulus of crbon nnotubes by micro- mn spectroscopy, J. Mter. es, vol,, pp. 48 4, 998. B.I. Ykobson., P. vouris, Mechnicl properties of crbon nnotubes, In: Dresselhus, M.S., Dresselhus, G., vouris, P. (Eds., Crbon Nnotubes. Topics in pplied Physics, vol, 8, pp. 87 9,. D. Qin., G.J. Wgner., W.K. Liu., M.F. Yu.,.S. uoff, Mechnics of crbon nnotubes, ppl. Mech. ev, vol, 55, pp ,. D.W. Brenner., O.. Shenderov., J.. Hrrison., S.J. Sturt., B. Ni., S.B. Sinnott, secondgenertion rective empiricl bond order (EBO potentil energy expression for hydrocrbons, J. Phys.- Condens. Mtter, vol, 4, pp. 78 8,. D.W. Brenner, Empiricl potentil for hydrocrbons for use in simulting the chemicl vpor deposition of dimond films, Phys ev. B, vol, 4, pp , 99. G.G. Smsonidze., B.I. Ykobson, Energetics of Stone Wles defects in deformtions of monotomic hexgonl lyers, Comput. Mter. Sci, vol,, pp. 6 7,. Y. Hung., J. Wu., K.C. Hwng, Thickness of grphene nd single-wll crbon nnotubes, Phys. ev. B, vol, 74, pp. 45-4, 6. C.Q. u, xilly compressed buckling of doublewlled crbon nnotube embedded in n elstic medium, J. Mech. Phys. Solids, vol, 49, pp ,. Z. Tu., Z. Ou-Yng, Single-wlled nd multiwlled crbon nnotubes viewed s elstic tubes with the effective Young s moduli dependent on lyer number, Phys. ev. B, vol, 65, pp. - 47,.. Pntno., D.M. Prks., M.C. Boyce, Mechnics of deformtion of single- nd multiwll crbon nnotubes, J. Mech. Phys. Solids, vol, 5, pp , 4. P. Zhng., Y. Hung., H. Go., K.C. Hwng, Frcture nucletion in single-wll crbon nnotubes under tension: continuum nlysis incorporting intertomic potentils, J. ppl. Mech, vol, 69, pp ,. 7- مراجع ] [ ][ ][ ]4[ ]5[ ]6[ ]7[ ]8[ ]9[ ][ ][ ][ P e, e Z 5( N N e, 54( P B 55( N B موقعيت نقطه بعد از تغيير شکل: Z Z Z Z ( ( 56( 57( در نتيجه پس از تغيير شکل اين ضرايب بصورت روابط 58( تا 6( تغيير ميکنند: ( p ( e e, ( Z n b n e ( ( ez e, ( e ( b e ( b p n E ( K با استفاده از روابط ( و ( : 58( 59( 6(, 6(

12 H. Shim., S. Ghosh., M. rroyo., K. Liboshi., M. Sto., Thin-shell theory bsed nlysis of rdilly pressurized multiwll crbon nnotubes, Compt. Mter. Sci, vol, 5, pp. 9-94,. ] [ P. Zhng., Y.G. Hung., P.H. Geubelle., K.C. Hwng, On the continuum modeling of crbon nnotubes, ct Mech. Sin, vol, 8, pp ,. ][ B.J. Cox., J.M. Hill., Exct nd pproximte geometric prmeters for crbon nnotubes incorporting curvture, Crbon, vol, 45, pp. 45, 7. Y.C. Fung., first course in continuum mechnics. Englewood Cliffs, N.J., Prentice- Hll, Inc., 977. M. Born., K. Hung, Dynmicl Theory of Crystl Lttices, Oxford University Press, Oxford, 954. B.I. Ykobson., C.J. Brbec., J. Bernholc, Nnomechnics of crbon tubes: instbilities beyond liner response, Phys. ev. Lett, vol, 76, pp. 5 54, 996. Q. Lu., M. rroyo.,, Hung, Elstic bending modulus of monolyer grphene, J. Phys. D: ppl. Phys, vol, 4, pp. -, 9. K.M. Liew., X.Q. He., C.H. Wong, On the study of elstic nd plstic properties of multi-wlled crbon nnotubes under xil tension using moleculr dynmics simultion, ct Mterili, vol, 5, pp. 5-57, 4. J. Wu., K.C. Hwng., Y. Hung., n tomisticbsed finite-deformtion shell theory for singlewll crbon nnotubes, J. Mech. Phys. Solids, vol, 56, pp. 79-9, 8. S. Xio., W. Hou., Studies of size effects on crbon nnotubes, mechnicl properties by using different potentil functions, Fullerenes, Nnotubes nd crbon nnostructures, vol, 4, pp. 9-6, 6. ] [ ] [ ] [ ] 4[ ] 5[ ] 6[ ] 7[ ] 8[ P. Zhng., Y. Hung., P.H. Geubelle., P.. Klein., K.C. Hwn, The elstic modulus of single-wll crbon nnotubes: continuum nlysis incorporting intertomic potentils, Int. J. Solids Struct, vol, 9, pp ,. H. Jing., P. Zhng., B. Liu., Y. Hung., P.H. eubelle., H. Go., K.C. Hwng, The effect of nnotube rdius on the constitutive model for crbon nnotubes, Comput. Mter. Sci, vol, 8, pp ,. P. Zhng., H. Jing., Y. Hung., P.H. Geubelle., K.C. Hwng, n tomistic-bsed continuum theory for crbon nnotubes: nlysis of frcture nucletion, J. Mech Phys. Solids, vol, 5, pp , 4. J. Song., H. Jing., D.L. Shi., X.Q. Feng., Y. Hung., M.F. Yu., K.C. Hwng., Stone Wles trnsformtion: precursor of frcture in crbon nnotubes, Int. J. Mech. Sci, vol, 48, pp , 6. H.W. Zhng., K. Ci., L. Wng., Deformtion of single- wlled crbon nnotubes under lrge xil strins, Mter. Lett, vol, 6, pp , 8. X. Wng., X. Guo., Numericl simultion for finite deformtion of single-wlled crbon nnotubes t finite temperture using temperture-relted higher order Cuchy-Born rule bsed qusi-continuum model, Compt. Mter. Sci, vol, 55, pp. 7-8,. ]4[ ]5[ ]6[ ]7[ ]8[ ]9[ 8- زیرنویس ها rmchir Zigzg Chirl vector 4 Smooth cutoff function 5 Multi-body coupling 6 Covrint bse vectors 7 First fundmentl form 8 Second fundmentl form 9 Contrvrint bse vector Second Piol-Kirchhoff stress tensor Coupled tension/bending