رياضي 1 و 2. ( + ) xz ( F) خواص F F. u( x,y,z) u = f = + + F = g g. Fx,y,z x y

Transcript

1 رياضي و رياضي و F,F,F F= F ˆ ˆ ˆ i+ Fj+ Fk)F ديورژانس توابع برداري ديورژانس ميدان برداري كه توابع اسكالر و حقيقي هستند) به صورت زير تعريف ميشود: F F F div ( F) = + + F= f در اين صورت ديورژانس گراديان,F) div( F ) =.F =,,. ( F,F يا f(,,) نكته: اگر ميدان برداري تابع اسكالر f به صورت زير تعريف ميشود: F گراديان يك تابع اسكالر مانند باشد يعني f f f div( grad(f )) =. ( f ) = f f = + + u = u(,,) كه در آن عملگر اگر تابع اسكالر را لاپلاس مينامند. در معادله لاپلاس صدق كند در اين صورت تابع را يك تابع همساز گويند. معادله لاپلاس F u(,,) تاو (كرل) ميدان برداري ˆ ˆ ˆ F F= يك ميدان برداري در i+ Fj+ فرض كنيد Fk كرل ميدان برداري باشد كرل يا تاو ميدان برداري به صورت زير تعريف ميشود: ˆi ˆj kˆ F F F F F F curl ( F) ˆ i ˆ = = + j + kˆ F F F curl F = F به اين صورت هم نمايش داده ميشود: F ( f ) = F = ) (f + g) = f + g ) (fg) = g f + f g f g f f g ) = g g ميدان برداري پايستار ميدانهاي برداري كه خود گردايان يك تابع اسكالر باشند كرلشان صفر است: به چنين ميدانهايي پايستار گويند و در غير اين صورت ناپايستار گويند. در نتيجه ميدان F را پايستار گوي يم هرگاه: (دل) خواص عملگر خواص مشابه خواص مشتق مرتبه اول است: = ( + ) F,, مثال: گراديان تابع

2 رياضي و a = d( ) b ( ) f + Lnf = Ln( + ) = ( ) Ln( + ) +. f + f = + Ln +,, +,, ( ) ( ) ) F+ G = F+ G ) f F = f F+ f F ) f = ). F = 5). F G = G. F F. G 6) g f f g = : برخي خواص ديگر قاعده زنجيرهاي فرض كنيد عملگر يك به يك T هر نقطه (,) از صفحه o را به نقطهاي متناظر در صفحه uov تصوير كندة به قسمي كه: ( u,v) = T(, ), u = U(, ) ; v = V(, ) (,) = T ( u,v ), = X( u,v ) ; = Y( u,v) f f u f v f u v f = + u v u = f f u f v f u v f = + u v v f f u v u u u u u = = f f u v v v v v v (,) u u J = = ( u,v) v v f X u,v,y u,v در نقطة ( ) = b = a در اين صورت ميتوان نوشت: و نيز خواهيم داشت: به ماتريسهاي اخير ماتريس ژاكوبين گويند و داريم: ماتريس ژاكوبين بردار گراديان تابع f(,) در هر نقطه در صفحه o را تبديل به بردار گراديان تابع = d(),= c() متناظرش در صفحة uov ميكند. انتگرال دو گانه ناحيه بسته در فضاي در صفحه o محصور بين منحنيهاي و خطهاي و را در نظر بگيريد. فرض كنيد ناحيه داراي چگالي سطحي f(,) باشد. در اين صورت جرم باريكه محصور به منحنيهاي روبرو را ميتوان با انتگرالگيري d() c() d() ; + d dm = ( f (, )d) d c() در امتداد محور o محاسبه نمود.

3 = c dm رياضي و با انتگرالگيري از روي متغير از a تا b جرم ناحيه به صورت زير به دست ميآيد: اگر ناحيه با چگالي f(,) محصور بين منحنيهاي a() = b(), = ناحيه به صورت زير محاسبه ميشود: و خطهاي b bd() m= dm = f(,)dd a ac() = باشد نيز ميتوان نشان داد جرم و d m d b() f (, )dd ca() = = {(,) a b, c d} b d m= f()d. g()d a c قضيه: اگر ناحيه با چگالي f().g() آنگاه جرم ناحيه به صورت روبرو به دست ميآيد: مركز ثقل يك ناحيه اگر سطح بستة داراي چگالي در صفحه o به صورت روبرو باشد: باشد در اين صورت نقطه X,Y) ( را مركز ثقل گوي يم هرگاه: f (, )dd f(, ) dd =, Y= f (, )dd f (, )dd (,) f(,) قضيه مقدار متوسط اگر مساحت ناحيه برابر S باشد در اين صورت براي هر تابع f(,) كه در درون انتگرالپذير باشد نقطه قسمي كه: وجود دارد به f, = f (, )dd S f, را مقدار متوسط تابع F(,) در ناحيه گويند. تغيير متغير در انتگرالهاي دوگانه I = انتگرال دوگانه f(,)dd است نخست تبديل يافته ناحيه كه در صفحه u = u(,) را در نظر بگيريد چنانچه به هر دليلي بخواهيم از تغيير متغيرهاي استفاده كنيم لازم v = v(,) تعريف شده را در صفحه (u,v) پيدا كرده و آن را' ميناميم. سپس تابع F(,) را بر حسب متغيرهاي (u,v) بازنويسي ميكنيم و آن را h(u,v) ميناميم. در انتها ژاكوبين تغيير دستگاه مختصات را كه با J (,) J= = J= (u,v) ( u,v) u u (,) v v I = h u,v J dudv (,) نشان ميدهند به صورت زير به دست ميآوريم: يا u v J = u v حال با توجه به J dudv ميتوان نوشت: نكته: ژاكوبين تبديل مختصات دكارتي (,) به قطبي ρ ميباشد. ρ, ( برابر φ)

4 رياضي و ( + + ) dd مثال: حاصل از مختصات قطبي استفاده ميكنيم: cos ρ ϕ ρ I d d ( sin ) d tg φ ( + tg φ ) = ρρϕ= φ ρ= dφ= sin φφ= d ρ + +ρ ( + tg φ) = (,) (,) انتگرال سهگانه ناحية بسته در فضاي را در نظر بگيريد. اگر محصور بين دو روية و بوده و چگالي حجمي نيز f(,,) باشد. همچنين تصوير ناحيه در صفحه o نيز ناحيه R باشد در اين صورت جرم ناحية با چگالي f(,,) به صورت زير (,) m= f(,,)ddd = f(,,)ddd R (,) = = ddd محاسبه ميشود: مثال: مطلوبست محاسبة ابتدا ناحيه فوق را رسم ميكنيم. كه در آن ناحية محصور بين است. و = + = = + = تصوير ناحيه روي صفحه تصوير ناحيه روي صفحه = = اگر ناحيه رادر جهت بگيريم آنگاه بين و و نيز بين و واقع ميشود. بنابراين خواهيم داشت: ddd = ddd = = = براي راحتتر شدن انتگرال جاي دو متغير را عوض ميكنيم. dv = ddd = = = = = ( ) dd = = = حال بهتر است از مختصات قطبي استفاده كنيم:

5 ( ) dd = ( r ) r.rdrdθ= ( r r ) drdθ= r r 5 6 dθ= ( θ ) = θ= r= =ρcos ϕ, =ρsin ϕ, = cosϕ sin ϕ J= ρsinϕ ρcos ϕ J =ρ ( = rsinθcos ϕ, = rsinθsin ϕ, = rcos θ) نكته: ماتريس ژاكوبين تبديل مختصات دكارتي به استوانهاي برابر است با: دترمينان : رياضي و ماتريس ژاكوبين تبديل مختصات دكارتي به كروي نيز برابر است با: sin θcosϕ sin θsin ϕ cosθ J = rsin sin rsin cos θ ϕ θ ϕ J = r sin θ r cosθcosϕ r cosθsin ϕ rsin θ مثال: فاصلة مركز ثقل نيم كره به شعاع R و چگالي واحد از صفحه دايرهاي شكل قاعده نيمكره چقدر است r = R ; ϕ ; θ f (,,)dv R = ; dv = V = R, dv = r cos θ.r sin θdrdϕdθ f(,,)dv R R dv = r [ ϕ ] sin θ = R = = R R ميتوان نشان داد: = = و در نتيجه فاصله همان R است. = (,), (,) S R و با محاسبة انتگرال روي سطح فرض كنيد سطح دلخواه s در فضاي به صورت روبرو باشد: همچنين فرض كنيد چگالي سطحي s نيز f(,,) باشد اگر جرم سطح s با چگالي فوق را بخواهيم داريم: d d m = f (,,) + + dd d d S (,) = است كه با ds نمايش ميدهيم. d d + + d d همانطور كه مشاهده ميشود اندازه گراديان تابع ( ) S مثال: انتگرال ds را محاسبه كنيد. كه در آن s قسمتي از صفحه است كه در اول دستگاه مختصات واقع شده است + = ابتدا ناحيه را رسم ميكنيم. 5

6 رياضي و + = d = d = ds = + ( ) + ( ) dd d = d I = ( )ds = ( ) 6dd = 6( + + ) d = s = = انتگرال سطح نوع دوم: +ˆ Qj =F pi +ˆ را در نظر بگيريد چنانچه s سطح يك رويه فضايي بوده و n بردار يكة عمود بر اين سطح باشد مطابق ميدان برداري Rkˆ Φ=F.n ds تعريف شار ميدان بردار F گذرنده از سطح s به صورت روبرو تعريف ميشود: s مثال: چنانچه S بخشي از سهميگون هذلولي j kˆ =F ˆi ˆ گذرنده از سطح S را بيابيد. = كه بالاي ناحيه مستطيلي و باشد شار ميدان برداري, > ; = =, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = N = i j+ k = i j+ k F.nds= ( F.n) N da= F.NdA= ( + ) da= ( + ) dd = + d = s A A = = توجه: همانطور كه ديده ميشود بردار n از گراديان تابع سطح به دست ميآيد. قضيه ديورژانس فرض كنيد كه S يك سطح بسته باشد كه حجم v را به خود محدود كرده است و ميدان برداري,.) F = p(,,) ˆi + Q(,,) ˆj + R( ديورژانس F در تمام حجم v توابعي پيوسته باشند. ميتوان نشان داد: kˆ F.nds =.F s V dv p(,,) dd + Q(,,) dd + R (,,) dd = (.F) d فرمول استروگرادسكي: s v مثال: حاصل انتگرال روبرو را حساب كنيد: s F.ds ; F = + ; s = + = R R F.ds = r r sin θdrdϕdθ= R 5 = R 5 s 5 5 ) ( :حل انتگرال منحني الخط تصوير روي اگر ds المان طول قوس بر روي منحني C باشد انتگرال منحني الخط به صورت روبرو تعريف ميشود: 6

7 I = f,, ds ; ds = d + d + d C ds = p (t) + q (t)dt تعريف شده باشد آنگاه: = p(t) = q(t) رياضي و اگر منحنيC در صفحه با معدلات پارامتري t چقدر است C: = cost f(,,) = + مثال: انتگرال تابع = و روي منحني t = sint و وقتي I = ( ) ds = ( cos t + t) sin t + cos 5 t + dt = ( cos t + t) dt = sin t + t = C ds = ρdϕ + dρ + d نكته : در مختصات استوانهاي داريم: ds = dr + rdθ + r sin θdϕ نكته : در مختصات كروي داريم: r ds نكته : براي محاسبه طول قوس يك منحني (S) از فرمول r استفاده ميكنيم. F.dr = Fd + Fd + Fd C c t F.dr = ( FX (t) + FY (t) + FZ (t)) dt C t نكته : كار نيروي F در مسير منحني C به صورت روبرو تعريف ميشود: اگر منحني C به صورت پارامتري باشد ) Z(t) ( C: = X(t), = Y(t), = آنگاه: قضيه استوكس فرض كنيد S يك سطح جهتدار و هموار در فضا باشد و C نيز منحني كرانة S باشد. همچنين فرض كنيد ميدان برداري F در S و كرانه C F.dr = ( F ).ds پيوسته باشد در اين صورت داريم: C s در حالتي كه F = باشد قضيه را گرين گويند و خواهيم داشت: F F Fd C + Fd = dd S F.dr c نتيجه: اگر ميدان برداري F پايستار باشد انتگرال منحنيالخط فواصل انتگرالگيري آن را ساده كرد. مستقل از مسير است و ميتوان با ثابت نگهداشتن و و در نكته: براي تشخيص پايستار بودن يك ميدان مقدار F نمونه سو الات: كه در آن C منحني نشان داده شده است را محاسبه ميكنيم. براي ميدانهاي پايستار اين مقدار برابر صفر است. e+ cos ( e cos ( - حاصل ) ( e sin d+ d C e+ cos e cos ( ( 7

8 C: cos t ; sin t ; lncos = = = t + dd C:=, رياضي و + = - محيط منحني بسته + = ( ( ( ( - طول قوس منحني C به معادله پارامتري روبرو وقتي t است ln ( + ) 6 ( ( ln ( + ) 6 ( ( c ln ( ln ( - حاصل انتگرال روبرو ميباشد + كه در آن C بيضي به معادله = (,) (, ) ( ( + d+ -5 حاصل d 6 ( ( ( ( 7 7 از نقطه + + F= + i+ روي مسير دايره = 6- كار نيروي jˆ به ( ln,, ln) ( - ( p(,, ) - ( ˆ ( ) باشد حاصل ( باشد گراديان تابع f در نقطه (u + v) ( ( ( ln,,ln ) (. (uv) ( -F ( F,,= f(,,) = (+ ) ( 7- اگر F ( - اگر ( ln,, ) ln,, ( ( 9- كرل ميدان =F u +v v u برابر است با: ( F= e ˆ i ˆ j e kˆ (uv) ( صفر ( 0- زاويه كرل ميدان برداري p با محور o ln,, در نقطة d = d I = e sin d e = + cos = e + cos R OH 6 ( ( Arcsin ( Arc cos ( حل نمونه سوالات كه OH فاصله - گزينه صحيح است. - گزينه صحيح است. منحني فوق از تقاطع يك صفحه باكره پديده آمده است. كه دايرهاي است به شعاع OH = =, R = r = = I = r = مركز كره از صفحه است و R شعاع كره ميباشد داريم:

9 r = cos t, sin t, ln cos t dr V= = sin t, cos t, tg t V = + tg t = sec t dt L = sec tdt = ln sec t + tg t L = ln ( + ) I= + dd I = ρρ. dρdϕ= ρ = + = S = ab = ( + )d + ( )d = ( )ds = s = F F I = ( + )d + ( + )d ; = = + = (, ) (, ) (, ) I = ( + )d + ( + )d = (,)d + ( + )d= + = (, ) (, ) (, ) F F F = ; = ; = = F d F F f(,,) = (+ ) f = ( )( + ) + ( + ) ln( + ), ( )( ), ( ) ln( ) f(,, ) = ( ln,, ln) F= u v+ v u = (uv) F = (uv) = رياضي و - گزينه صحيح است. - گزينه صحيح است. 5- گزينه صحيح است. 6- گزينه صحيح است. 7- گزينه صحيح است. - گزينه صحيح است. 9- گزينه صحيح است. 0- گزينه صحيح است. 9