10 ﻞﺼﻓ ﺶﺧﺮﭼ : ﺪﻴﻧاﻮﺘﺑ ﺪﻳﺎﺑ ﻞﺼﻓ ﻦﻳا يا ﻪﻌﻟﺎﻄﻣ زا ﺪﻌﺑ

Transcript

1 فصل چرخش بعد از مطالعه اي اين فصل بايد بتوانيد : - مكان زاويه اي سرعت وشتاب زاويه اي را توضيح دهيد. - چرخش با شتاب زاويه اي ثابت را مورد بررسي قرار دهيد. 3- رابطه ميان متغيرهاي خطي و زاويه اي را بشناسيد. 4- انرژي جنبشي چرخشي و لختي چرخشي را محاسبه كنيد. 5- گشتاور نيرو را تعريف و محاسبه كنيد. 6- قانون دوم نيوتن را براي چرخش يك جسم بنويسيد. - متغيرهاي چرخشي اگر جسم صلبي حول محوري بچرخد مي توان نقطه اي را را در نظر گرفت كه حول محور چرخش يك مسير دايره اي را مي پيمايد. خط مرجع ثابت در جسم را در نظر بگيريد كه عمود بر محور باشد و همراه جسم مي چرخد. مكان زاويه اي اين خط برابر زاويه خط نسبت به يك راستاي ثابت است كه آن را مكان زاويه اي صفر در نظر مي گيريم. طول كمان طي شده برابر است با گيريم. كه در اين جا s طول كمان r s = rθ شعاع دايره و θزاويه طي شده از نقطه ي صفر در نظر مي شكل هاي - و -3 كتاب وضعيت يك جسم در حال چرخش را نشان مي دهند. زاويه ي θبر حسب راديان (rad) اندازه گيري مي شود و بايد دانست كه يك دور چرخش معادل π راديان مي باشد.

2 جابه جاي ي زاويه اي : اگر جسمي حول محور چرخشي خود بگردد جابه جاي ي زاويه اي نقطه اي در اين چرخش برابر است با : θ = θ θ اين تعريف نه تنها براي يك جسم صلب بلكه براي هر ذره داخلي جسم صلب نيز برقرار است. در نظر داشته باشيد كه هر جابجايي زاويه اي در جهت پاد ساعت گرد مثبت و در جهت ساعت گردد منفي تعريف شده است.

3 -- سرعت زاويه اي اگر جسم چرخاني در لحظه t در θو در لحظه t در θ باشد سرعت زاويه اي متوسط اين جسم دربازه ي زماني t از t به t به صورت زير تعريف مي شود. است با : در صورتي كه θ θ θ ωave = = t t t t باشد. سرعت زاويه اي لحظه اي را مي تو ان تعريف كرد كه برابر dθ ω = سرعت زاويه اي مثبت است چنانچه كه جسم پاد ساعتگرد حركت كند و منفي است چنانچه جسم ساعتگرد حركت نمايد. شتاب زاويه اي تω غيير كند و اين تغيير را در بازه ω به اگر سرعت زاويه اي جسمي از t انجام دهد مي توان شتاب متوسطي را تعريف كرد كه از رابطه ي زير به دست مي آيد. Ave = و چنانچه t محاسبه مي گردد: ي زماني ω t اين شتاب به شتاب لحظه اي تبديل مي شود كه از رابطه ي زير = dω -- چرخش با شتاب زاويه اي ثابت چنانچه به ياد داريم در حركت انتقالي يك جسم با شتاب ثابت يكدسته معادله حركت آن جسم را توصيف مي كرد. اين معادلات عبارت بودند از : v = v + at x = x + v t + at v v = a( x x ) X X = ( v + v ) t در مورد حركت چرخشي خالص كافي است كه كميت هاي نوشته شده در معادلات بالا را با كميت هاي متناظر آنها در يك حركت چرخشي تعويض كرد. بدين معني كه x را با v θ را با w و a را با تعويض كنيد. معادلات به دست آمده عبارت خواهند بود از :

4 w = w θ = θ + w t + w w + t θ θ = = t ( θ θ ) ( w + w )t 3-- رابطه ميان متغيرهاي خطي و زاويه اي اگر خط مرجع روي جسم صلب با زاويه θبچرخد يك نقطه روي جسم در مكان r از محور چرخش مسافت s را در طول يك كمان دايره اي طي مي كند. مقدار s از رابطه ي زير به دست مي آيد. اگر ازمعادله بالا نسبت به زمان مشتق بگيريم. s = rθ ds dv dθ = r v = rw d t و چنانچه از رابطه ي به دست آمده نسبت به زمان مشتق بگيريم خواهيم داشت كه : توجه داشته باشيدكه زاويه ي θبر حسب راديان مي باشد. v r dw = r a = r a در رابطه بالا شتاب مماس جسم است و نبايد با شتاب مركز گرا كه برابر با مي باشد اشتباه شود. 4-- انرژي جنبشي چرخشي اگر جسم صلب را مجموعه اي از ذرات در نظر بگريم كه همگي با يك سرعت زاويه اي حول محوري در حال چرخش هستند مي توا ن انرژي جنبشي كل سيستم متشكل از ذرات را به صورت زير نوشت : توجه داشته باشيد كه K = m v + m v +... = m ( r w) + m ( r w) +... = ( mr + m r +...) w ( mr ) w w براي تمام ذرات يكسان ولي v و r متفاوت هستند. كميت داخل پرانتز را به نام لختي چرخشي (يا گشتاور ماند) مي شناسيم و در حركت چرخشي يك

5 جسم نقش متناظر جرم را در حركت انتقالي دارد. بنابراين اگر لختي چرخشي را با I نشان دهيم خواهيم داشت كه : K = I w, I = m r براي محاسبه لختي چرخشي يك جسم صلب بايد علامت جمع را در عبارت I با علامت انتگرال تعويض كرد و به جاي ذره اي با جرم m بايد يك ديفرانسيل از جرم را به نا م dm در نظر گرفت در اين حالت لختي دوران يك جسم صلب را مي توان به صورت زير نوشت : جدول - كتاب جواب هاي به دست آمده از انتگرال I را نشان مي دهد. I = r dm جدول - لختيهاي چرخشي چند جسم قضيه محورهاي موازي اين قضيه اظهار مي دارد كه چنانچه لختي جسمي حول محوري كه از مركز جرم مي گذرد محاسبه شده و دانسته باشد مي توان لختي آن جسم را حول محوري موازي با محور اوليه به دست آورد. رابطه ي زير اين لختي را حول محور جديد نشان مي دهد. I I + cm = Mh h فاصله ي عمودي ميان محور داده شده و محوري است كه از مركز جرم مي گذرد.

6 5-- گشتاور نيرو گشتاور نيرور يك كميت برداري است و اثر چرخشي نيروي F v وارد به يك جسم حول محور چرخش را بيان مي كند. اين كميت از ضرب برداري دو بردار r v و F v به دست مي آيد. اگر F v بر نقطه اي اثر كند كه داراي بردار مكان r v مي باشد گشتاور عبارت است از: v τ = r v F مقدار اين بردار عبارت خواهد بود از : τ = r F snϕ ϕ زاويه ي بين بردار F و بردار r خواهد بود. در دستگاه اندازه گيري SI واحد گشتاور N.m خواهد بود. آمد. 6-- قانون دوم نيوتن براي چرخش كميتي كه متناظر با نيروي F v در يك حركت انتقالي است گشتاور چرخش مي باشد. يعني با نوشتن قانون دوم نيوتن در يك حركت انتقالي مي توان F v را با τو v m را با I و a را با تعويض كرد و معادله ي قانون دوم نيوتن در يك حركت چرخشي به صورت زير در خواهد τ = I اگر بيش از يك نيرو به جسم وارد شود مي توان گشتاور هر نيرو را جداگانه حساب كرد و مجموع برداري آنها را با τ net نشان داد. در اين حالت خواهيم داشت كه : τ net = I جهت τبر جهت r v و F v عمود مي باشد و بنابراين بر صفحه ي چرخش جسم عمود است. بياد داشته باشيد كه جهت τاز قانون دست راست به دست مي آيد. 7-- كار و انرژي جنبشي چرخشي در حالت انتقالي يك جسم مي دانيم زماني كه نيروي F v بر جسمي وارد مي شود تغييرات انرژي جنبشي برابر با كار انجام توسط آن نيرو روي جسم مي باشد. در حالتي كه نيروي F v بر جسمي اثر مي كند و باعث چرخش آن جسم مي شود اگر v سرعت چرخش جسم باشد مي توان فرض كرد كه جسم از تعداد ذرات با جرم هاي فاصله ي r از محور چرخش قرار دارند بنابراين : m تشكيل يافته كه هر كدام در K K = m v v m r ( m r ) w r Iw = = =

7 بنابراين انرژي جنبشي را مي توان حاصل ضرب لختي چرخش در قضيه كار انرژي جنبشي را مي توان به صورت زير نوشت كه : است از : w دانست حال K = Iw f Iw = اين قضيه كار انرژي در حالت چرخشي خالص مي باشد. از اين گذشته اگر به فرمول را كار در مورد حركت انتقالي دقت كنيم كه عبارت r = r F dr مي توان متناظر با اين فرمول براي يك حركت چرخشي مطلق نوشت كه : و در صورتي كه τثابت باشد مي توان نوشت كه : به همين ترتيب براي توان مصرف شده مي توان نوشت كه : P = = τ dθ = τ dw ( θ θ ) f dθ = τ = τw در جدول 3- كتاب فرمول هاي فيزيك براي حركت انتقالي و حركت چرخشي نوشته شده است. با نگاهي به اين جدول متوجه تناظر بين كميت هاي اين دو گروه از عبارات مي شويد. جدول -3 برخي رابطه هاي متناظر براي حركت انتقالي و چرخشي مكان زاويه اي چرخش خالص (محور ثابت) مكان انتقالي خالص (راستاي ثابت) x سرعت زاويه اي سرعت v = dx / شتاب زاويه اي شتاب a = dv / لختي چرخشي قانون دوم نيوتون كار انرژي جنبشي جرم قانون دوم نيوتون كار انرژي جنبشي m Fnet = ma = F dx K = mv توان (با گشتاور نيروي ثابت) توان (با نيروي ثابت) P = Fv قضيه كار-انرژي جنبشي قضيه كار-انرژي جنبشي = K θ ω = dθ / α = dω / I τ net = I α = τ d θ K = Iω P = τω = K تمرين هاي فصل : #, 5, 9, 3, 9, 3, 33, 39, 45, 55, 59, 67, 69, 77, 85, 96.