RAVANSKI GREDNI NOSAČI Osnovni element ravanskih grednih nosača je štap, koji je u opštem slučaju opterećen proizvoljnim ravanskim sistemom sila i

Transcript

1 RVNSKI GREDNI NOSČI Osnovn eement ravanskh grenh nosača je štap, koj je u opštem sučaju opterećen provojnm ravanskm sstemom sa spregova. amšjenm presecanjem takvog štapa posmatranjem jenog njegovog ea, ejstvo ukonjenog ea na posmatran, sarž unutrašnje se u poprečnom uužnom pravcu (tranverana aksjana sa) unutrašnj spreg (napan moment). Ove večne (transverana sa, aksjana sa napan moment) koje su efnsane a gotovo svak presek nosača veoma su važne a funkconanost, obk menje samog nosača navaju se presečnm sama. Osnovn aatak pr proučavanju grenh nosača je oređvanje presečnh sa u svm njegovm presecma u kojma su one efnsane. TIPOVI GREDNIH NOSČ Prostu greu, S.1, čn opterećen prav štap koj se osanja na osonce svojm krajevma. Jean osonac je pokretan (ove ) a rug nepokretan (B). Grea s prepustom, S., a raku o proste gree, prestavja opterećen prav štap čj se jean osonac ne naa na kraju. Konou, S.5, prestavja opterećen štap koj je ukešten na jenom kraju. Ram, S.6, prestavja opterećen osonjen (putem osonaca / ukeštenja) nosač koj je sačnjen o vše štapova čje se ose seku.

2 Gerberov nosač, S.7, je nosaččj su pojen eov (štapov) gobno povean. gobove, koj poveuju eove nosača, vaćemo Gerberovm gobovma. a statčk neoređenu greu, S.8, nje moguće oret otpor osonaca samo na osnovu usova ravnoteže (ovakve gree u statc nećemo rešavat).

3 OPTEREĆENJ GREDNIH NOSČ Osm koncentrsanh sa koncentrsanh spregova koj neposreno ejstvuju na neke o tačaka grenh nosača u ovom kursu ćemo se sretat sa kontnuanm (neprekno raspoređenm) posrenm opterećenjem. Otpor nepokretnh pokretnh osonaca, koje ćemo uvek prethono oret usova ravnoteže, spaaće u koncentrsane se. Reakcje ukeštenja, a koje se smatra a ejstvuju na krajnju tačku nosača, čnće koncentrsana sa koncentrsan reaktvn spreg (moment ukeštenja). Kontnuano opterećenje se aaje specfčnm opterećenjem (opterećenjem po užn), čja je menja sa kro užnu (npr. kn/m). Ono je, u opštem sučaju, funkcja koornate, ake (). Opterećenje koje ne ejstvuje neposreno na greu već na nek proat eement (npr. štap ugaonk), koj je kruto vean (npr. avaren) a greu, navamo posrenm opterećenjem.

4 KONTINULNO OPTEREĆENJE Na S.1 prkaano je provojno poprečno kontnuano opterećenje (), koje se proteže na užn,. Kontnuano opterećenje može bt shvaćeno kao beskonačno mnogo, jenako usmerenh, paraenh sa. r r ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 Prmer 8.1 Oret reutante ravnomernog, trougaonog trapenog kontnuanog opterećenja kao njhova mesta.

6 Ravnomerno (pravougaono) kontnuano opterećenje ( ) ( ) 1 1 Trougaono kontnuano opterećenje Trapeno kontnuano opterećenje 6

7 POSREDNO OPTEREĆENJE a oređvanje presečnh sa grenog nosača važno je nat kakvo je ejstvo ovh ekscentrčnh sa (posrenog opterećenja) na tačke grenog nosača (ove su to D) u kojma su proat eement kruto vean a njega. Usov ravnoteže, S h1 1 h1 Opterećenje sa S., mogo je bt objeno reukcjom sa r 1 r na tačke D. D Usov ravnoteže, S.4 D D D D h D D h

8 Pre oređvanja presečnh sa požejno a se kose se amene svojm komponentama u poprečnom uužnom pravcu u onosu na greu PRESEČNE SILE

9 Presečne se u ma kom preseku grenog nosača, oređuju se tek nakon što se oree otpor osonaca Kaa je ponato svo spojašnje opterećenje koje ejstvuje na nosač, kao na sc, može T -transverana sa se posmatrat ravnoteža evog esnog ea o provojnog preseka kako b se na a -aksjana sa osnovu usova ravnoteže tog ea oree -napan moment presečne se. Ukonjen eo nosača ejstvuje na posmatran u samom preseku upravo sa presečnm sama. Transverana sa je unutrašnja sa u poprečnom pravcu (onosno, u pravcu je amšjenog preseka a koj se poraumeva a je upravan na osu gree). ksjana sa je unutrašnja sa u uužnom pravcu (u pravcu ose gree) koja postoj samo u onm segmentma gree koj su, među ostaog, aksjano opterećen (na ateanje prtsak). Napan moment (onosno, moment savjanja) je unutrašnj spreg use kojeg se reane (eformabne) gree savjaju (pr savjanju, osa gree pravonjskog obka prea u krvonjsk).

10 ODREĐIVNJE TRNSVERLNIH SIL Usov ravnoteže evog ea Usov ravnoteže esnog ea p K T p p T K p p T K T ODREĐIVNJE KSIJLNIH SIL Usov ravnoteže evog ea Usov ravnoteže esnog ea u u a K K a u ODREĐIVNJE NPDNOG OENT Usov ravnoteže evog ea Usov ravnoteže esnog ea K K K K K K K K K K u u K a K K a p u

11 Prmer 8. a greu prkaanu na sc, oret presečne se u presecma:, B, 1, 1', '? Prvo se kosa sa r raož na komponente oree otpor osonaca p 1 kn p u B B B 1 kn kn ε knm B B, Presečne se: ( ) kn a 1 u a a a B u T 1 p 1 kn a a 1 T T 1 B T T T B ( ) kn 1 1 B p knm, B 1 knm.

12 Ovaj jenostavan prmer jasno ukauje na seeće važne akjučke koj će se često korstt: -ko na neku tačku grenog nosača ejstvuje koncentrsana spojašnja sa u poprečnom pravcu, ona se transverane se, u presecma neposreno evo neposreno esno o te tačke, rakuju a konačnu vrenost. -ko na neku tačku grenog nosača ejstvuje koncentrsana spojašnja sa u uužnom pravcu, ona se aksjane se, u presecma neposreno evo neposreno esno o te tačke, rakuju a konačnu vrenost. -ko na neku tačku grenog nosača ejstvuje koncentrsan spreg, ona se napan moment, u presecma neposreno evo neposreno esno o te tačke, rakuju a konačnu vrenost. VEE IEĐU NPDNOG OENT, TRNSVERLNE SILE I SPEIIČNOG OPTEREĆENJ

13 Presečne se u preseku Presečne se u preseku

14 omentn usov ravnoteže, S., a momentnu tačku D, aje veu među napanog momenta transverane se: T D ( ) ( ) T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T Čan koj sarž je anemaren jer prestavja mau večnu rugog rea. Dake transverana sa se može obt kao vo napanog momenta, koj je funkcja uužne koornate, po toj koornat. Usov ravnoteže, koj govor o sum projekcja sa u poprečnom pravcu, S., aje veu među transverane se specfčnog opterećenja (): T ( ) T ( ) p T ( ) T ( ) ( ) ( ) T ( ) ( ) ( ) Dake, specfčno opterećenje promenjenog prenaka - koje je u opštem sučaju funkcja uužne koornate jenako je prvom vou transverane se rugom vou napanog momenta po toj koornat.

15 Imajuć u vu objene vee kao akjučke prmera 8., oamo o seećh novh važnh akjučaka: -ko se među va preseka gree, koja se naae na konačnom rastojanju, ne naae n kontnuano opterećenje () n spojašnje poprečne koncentrsane se n koncentrsan spregov, ona je u svakom preseku među th preseka transverana sa konstantna a napan moment je nearna funkcja uužne koornate; -ko se među va preseka gree, koja se naae na konačnom rastojanju, naa samo ravnomerno kontnuano opterećenje (const.), ona je u svakom preseku među th preseka transverana sa nearna funkcja uužne koornate a napan moment je kvaratna funkcja ste; -ko se među va preseka gree, koja se naae na konačnom rastojanju, naa samo trougaono trapeno kontnuano opterećenje, ()kn, ona je u svakom preseku među th preseka transverana sa kvaratna funkcja uužne koornate a napan moment je kubna funkcja ste; -ko je u nekom ntervau T >, a prat se tok funkcje s eva na esno (ake >), ona mora bt >, što nač a napan moment (), uć s eva na esno, u tom ntervau, raste;

16 -ko je, suprotno prethonom, u nekom ntervau T <, ona a > mora bt <, što nač a napan moment (), uć s eva na esno, u tom ntervau, opaa; -ko je u nekom ntervau T, a, ona mora bt, što nač a je napan moment (), u tom ntervau, konstantan; ko je u nekom konačnom ntervau, u kom se naa samo poprečno kontnuano opterećenje, transverana sa takva funkcja a u jenoj tačk tog ntervaa (na prmer, tačk e, sa ske) menja svoj nak, ona funkcja napanog momenta u toj tačk (onosno, preseku) ma svoj okan maksmum (mnmum);

17 DIJGRI PRESEČNIH SIL Presečne se su funkcje uužne koornate (, onosno, u) njhovo jagramsko prestavjanje aje kompetnu sku o presečnm sama u ma kom preseku grenog nosača u kojem su one efnsane. Koornatn sstem nute nje a jagrame presečnh sa pscsna osa, a svak o jagrama, je horontana, esno usmerena. Ornatna osa je u sučaju transveranh aksjanh sa usmerena navše, ok je u sučaju napanog momenta usmerena nanže. pscsne ose se ovm jagramma najčešće navaju nutm njama koje se onačavaju -, - -. Ko njh se streca, koja govor o porastu koornate (u esnu stranu), najčešće ne crta.

18 Prmer 8. a prostu greu a koju su u prmeru 8. oređene vrenost presečnh sa u presecma, 1, 1,, B nacrtat jagrame presečnh sa. bog transverane se u svakom preseku među preseka 1 moraju mat konstantnu vrenost. Isto važ a preseke među 1 kao B. bog th konstantnost, nje u jagramu transveranh sa su paraene sa nutom njom. U ntervama u kojma je napan moment su nearne funkcje uužne koornate. bog toga su pravm njama poveane vrenost u presecma: 1, 1 kao B U jagramu aksjanh sa nje su paraene sa nutom njom.

19 rtanje jagrama transveranh sa uć s eva na esno naoveujuć spojašnje se u poprečnom pravcu rtanje jagrama aksjanh sa uć s eva na esno naoveujuć spojašnje se u uužnom pravcu

20 PRESEI U KOJI SE RČUNJU NPDNI OENTI Presec u kojma treba računat napan moment (karakterstčne tačke) su: -Presec ko kojh ejstvuju se. Takv su presec, 1, B. (tu je najboje ne uvot po va bska preseka pošto su vrenost napanog momenta praktčno ste) a preseke sa ske važ:,, ' 1' 1 ', B' -Presec na početku kraju kontnuanog opterećenja. Takv su presec 4 sa ske. -Presec koj su beskonačno bu evo beskonačno bu esno o mesta ge ejstvuje koncentrsan spreg. Takv su presec 5 5 kao B sa ske. Pošto je tačka B na kraju presek B koj b morao bt esno o B ne postoj. -Presek u okvru kontnuanog opterećenja ge je tranverana sa jenaka nu a napan moment ma okan maksmum (mnmum). Takav je presek e na sc. B

21 Prmer 8.4 a at Gerberov nosač, rastavjanjem na mestu goba, anatčkm putem oret otrore osonaca se u gobu a atm nacrtat jagrame presečnh sa. Prvo se rastavjanjem na mestu goba (ekompocjom), kao što se to ra ko sstema kruth tea, oređuju otpor osonaca reakcje u gobu. Nakon toga se u karakterstčnm tačkama oređuju napan moment kako b se jagram napanog momenta mogao što boje nacrtat. a što boje crtanje jagrama napanog momenta korsno je to što se prvo crta jagram transveranh sa bog njhove poveanost formuom: T Ramera a sve jagrame, koja se upsuje na crtežu, usvaja se provojno

22 S B G 5 1 B G S. G B kn 1 G 1kN G G 4 G 1kN 1kN G 6kN 1kN

23 NPDNI OENTI knm knm knm 1 1 G G knm G B B B G G 4 knm 1 G ( ) < < < < 4,, G G ( ) < < < < 4 1, 5, a a

24 TRNSVERLNE SILE a rug eo gree (opterećen ravnomernm kontnuanm opterećenjem), funkcja transverane se, u skau sa veenm formuama, ma obk: T ( ) 1, 5, a < a < < < 4 Djagram presečnh sa a ceo nosač

25 Prmer 8.5 a at Gerberov nosač, rastavjanjem na mestu goba, anatčkm putem oret reakcje spojašnjh vea se u gobu a atm nacrtat jagrame presečnh sa.

26 4 4 B G 8kN B 4 B G kn G kn 4 G G G 1kNm 1 G kn 1kN G

27 1kNm G 1 knm G G G 1 1 knm G G, G B ( ), knm knm < < < < 4 G G B ( ) B B G 1 6 knm 4 4, 6 16, a < < a < < 4

28 Provera uskađenost jagrama napanog momenta sa jagramom transveranh sa Na prvom metru transverana sa je potvna a moment uć s eva na esno (u smeru porasta koornate ) raste što je OK. Narena va metra transverana sa je nua a moment je konstantan što je OK. Seeć metar transverana sa je negatvna a moment opaa što je OK. Još jean metar transverana sa je negatvna sa stom vrenošću kako ko prethonog metra a moment takođe opaa sa stm nagbom što je OK. atm je transverana sa negatvna promenjva a moment opaa sa promenjvm nagbom što je OK. Na kraju transverana sa je potvna promenjva a moment raste sa promenjvm nagbom što je OK.

29 Prmer 8.6 a at ram sačnjen o va vertkana stuba horontane prečage, anatčkm putem oret otrore osonaca napane momente u karakterstčnm presecma a atm nacrtat jagrame presečnh sa. ODREĐIVNJE OTPOR OSLON B kn 4 B 1 B 4 kn 4kN

30 RSTVLJNJE R N PREČGU I STUBOVE I ODREĐIVNJE REKIJ UNUTRŠNJIH VE U TČK I D S. 4 8 knm S. D 4kN kn 4 D D B D D D kn 4 D kn 4 knm

31 NPDNI OENTI S. S. knm 1 1 S.1 " " 1,5,5 knm 1,5 8, knm knm knm D D D knm 4 D knm

32 S. D D D B B 5 5' 5 4kNm

33 Prmer 8.7 a at ram sačnjen o jenog vertkanog stuba horontane prečage, anatčkm putem oret reakcje u ukeštenju napane momente u karakterstčnm presecma a atm nacrtat jagrame presečnh sa. ODREĐIVNJE REKIJ U UKLEŠTENJU kNm 4 5 1kN kN

34 ODREĐIVNJE REKIJ IEĐU PREČGE I STUB S knm 4 kn 1 5 4

35

36 NPDNI OENTI knm S.1 knm knm knm , 5,5 knm ,5,5 knm 7 7 e e 1kNm knm 1 1 S. knm

37

38 Prmer 8.8 a aat ram oret presečne se nacrtat njhove jagrame be oređvanja reakcja u ukeštenju be rastavjanja na mestu B. Večne, α, a b smatrat ponatm. T a ( 1 ) p, T ( ) p cosα ( 1 ) u, a ( ) u sn α ( 1 ) K 1 ( ) ( a α) cos P

39