Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona.

Transcript

1 Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona Prema osnovnoj formuli za dimenzionisanje maksimalni tangencijalni napon τ max koji se javlja u štapu mora biti manji od dozvoljenog τ d ili njemu jednak U najjednostavnijem slučaju, sa slike, kada je štap konstantnog prečnika d i konstantnog momenta uvijanja u maksimalni tangencijalni napon τ max i prečnik d bi odredili na način: Osnovne veličine: τ d aksimalni tangencijalni napon: Dimenzionisanje: max τ d, ρ max τ max d, 2 16 d u W u τ ρ d ρ max max ρ d u max d d d 16 2 u W W 16 τ d u u 16 d u

2 Primer 2 Za prikazan statički određen štap izložen uvijanju izvršiti dimenzionisanje (odrediti prečnik d) i odrediti ugao zakretanja desnog kraja (odnosno, odrediti θ - ) Veličine τ d, l, i G su poznate Za određivanje θ - smatrati da je i veličina d poznata Prvo se iz statičke jednačine odredi : i Polarni momenti inercije segmenata su: [ ( 2 ) ] d d d 15, 2d d 16 ( ) Polarni otporni momenti segmenata su: d d W 15, W 16 d d

3 Na osnovu prikazanog dijagrama momenata uvijanja, maksimumi apsolutnih vrednosti tangencijalnih napona, koji moraju biti manji od dozvoljenih, po segmentima iznose: τmax C τ1 τ, d W 15d 7 7 τmax C τ2 τ, d W 16d Za dimenzionisanje mora biti iskorišćena druga nejednakost, pošto su njenim zadovoljenjem zadovoljene obe nejednakosti: 7 1 τ d d 16d τ Pošto se u daljem proračunu veličina d smatra poznatom, takođe se smatraju poznatim veličine i Traženi ugao zakretanja preseka definiše izraz: 7 2l θ θ C + θc + G G d

4 Primer 25 Za prikazan statički određen štap izložen uvijanju izvršiti dimenzionisanje (odrediti prečnik d) i odrediti ugao zakretanja desnog kraja (odnosno, odrediti θ - ) Veličine τ d, l, i G su poznate Za određivanje θ - smatrati da je i veličina d poznata Prvo se iz statičke jednačine odredi : i Polarni momenti inercije segmenata su: [ ( 2 ) ] d d d 15, ( 2d ) d d 16, d Polarni otporni momenti: W 15, d d d W 16, W d d 2 16 ( )

5 Na osnovu prikazanog dijagrama momenata uvijanja, maksimumi apsolutnih vrednosti tangencijalnih napona, koji moraju biti manji od dozvoljenih, po segmentima iznose: 2 2 τmax C τ, d τmax C D τ, d W 15d W 16d 2 2 τmax D E τ, d τmax E < τd W 16d W Primetimo da u poslednjem segmentu (od E do ) nema napona zbog toga što moment uvijanja u njemu iznosi Za dimenzionisanje moraju biti iskorišćene istovetne nejednakosti (druga i treća), pošto su njihovim zadovoljenjem, zadovoljene sve nejednakosti: τ d d d τ Pošto se u daljem proračunu veličina d smatra poznatom, takođe se smatraju poznatim veličine i Traženi ugao zakretanja preseka definiše izraz: θ θ C + θ C D + θ D E + θ E 2 2 l + + G G G G 15Gd d

6 Statički neodređeni zadaci pri uvijanju Za rešavanje statički neodređenih problema neophodno osim statičkih koristiti i dopunske jednačine, koje se dobijaju iz geometrijskih uslova deformacije Primer 26 Za prikazan statički neodređen štap izložen uvijanju nacrtati dijagram momenata uvijanja i odrediti reakcije u uklještenjima i? Veličine d, l, i G su poznate Na štap osim zadatih spregova dejstvuju i reakcije u uklještenjima i, čiji smerovi su pretpostavljeni kao što je na slici prikazano Statička jednačina: i Nacrtan je mogući oblik dijagrama momenata uvijanja u skladu sa pretpostavljenim smerovima za i

7 Polarni momenti inercije segmenata: Geometrijski uslov deformacije (GUD) i dopunska jednačina: Pošto zbog zidova nema zakretanja krajnjih preseka i, geometrijski uslov deformacije (GUD) je θ Pošto je θ jednako algebarskom zbiru uglova uvijanja pojedinih segmenata dobiće se dopunska jednačina: θ d, θ C + θc D + θd Tražena rešenja: ( 2d ) d l + G ( ) G 16 Rešavanjem dobijenog sistema jednačina dobija se: 1, l l G 16

8 Primer 27 Za prikazan statički neodređen štap izložen uvijanju nacrtati dijagram momenata uvijanja i odrediti reakcije u uklještenjima i? Veličine d, l, i G su poznate Na štap osim zadatih spregova dejstvuju i reakcije u uklještenjima i, čiji smerovi su pretpostavljeni kao što je na slici prikazano Statička jednačina: i + + Nacrtan je mogući oblik dijagrama momenata uvijanja u skladu sa pretpostavljenim smerovima za i

9 Polarni momenti inercije segmenata: d, Geometrijski uslov deformacije (GUD) i dopunska jednačina: Pošto zbog zidova nema zakretanja krajnjih preseka i, geometrijski uslov deformacije (GUD) je θ Pošto je θ jednako algebarskom zbiru uglova uvijanja pojedinih segmenata dobiće se dopunska jednačina: θ θ + θ + θ + θ Tražena rešenja: ( 2d ) 16 C C D D E E [( ) ] 2d d 15 Rešavanjem dobijenog sistema jednačina dobija se: 51 62, 1 1, G 15 G 16 + G 16 + G

10 Primer 28 Za prikazan statički neodređen štap izložen uvijanju nacrtati dijagram momenata uvijanja i odrediti reakcije u uklještenjima i? Veličine d, l, i G su poznate Na štap osim zadatih spregova dejstvuju i reakcije u uklještenjima i, čiji smerovi su pretpostavljeni kao što je na slici prikazano Statička jednačina: i Nacrtan je mogući oblik dijagrama momenata uvijanja u skladu sa pretpostavljenim smerovima za i

11 Polarni momenti inercije segmenata: [ ( 2 ) ] d d d 15, ( 2d ) d 16 Geometrijski uslov deformacije (GUD) i dopunska jednačina: Pošto zbog zidova nema zakretanja krajnjih preseka i, geometrijski uslov deformacije (GUD) je θ Pošto je θ jednako algebarskom zbiru uglova uvijanja pojedinih segmenata dobiće se dopunska jednačina: θ θ C + θc D + θd Tražena rešenja: d G 15 ( ) Rešavanjem dobijenog sistema jednačina dobija se: 77, d G 16 + d G 15 +

12 Primer 29 Za prikazan statički neodređen sistem štapova izloženih uvijanju odrediti reakcije u uklještenju? Veličine d, l, i G su poznate Rastavljanje (dekompozicija):

13 U ovom primeru, bilo je neophodno izvršiti dekompoziciju, kako bi se mogli pozvati na statičke jednačine za svaki od elemenata celine, i kako bi se mogli definisati momenti uvijanja za oba elastična štapa Na cevasti elastični element 1, osim aktivnog sprega 2, dejstvuje i zid traženim spregom i kruti disk spregom 1 Na kruti disk osim prikazanog sprega 1 (od strane element 1, zbog principa akcije i reakcije), dejstvuje i elastični element 2 spregom 2 z uslova ravnoteže spregova koji dejstvuju na kruti disk i 2 1, dobija se da je 1 2 Na elastični element 2 (punog kružnog preseka), osim aktivnog sprega, dejstvuje i zid traženim spregom Z 2 i, po principu akcije i reakcije, kruti disk spregom 2 zrazimo preko iz statičke jednačine elementa 1: i 1 zrazimo preko iz statičke jednačine elementa 2: Z 2 + i Z 2 2 Z 2 Na slici su nacrtani mogući oblici dijagrama momenata uvijanja za elastične štapove u skladu sa pretpostavljenim smerovima za,, i 1 2 Z 2

14 Polarni momenti inercije elemenata su: d [( ) ( ) ] d 2d d, S obzirom da ovde imamo dve statičke jednačine, 2 i, a tri nepoznate,, i, ovaj problem je jedan Z 2 Z 2 put statički neodređen, i potrebno je naći GUD, kako bi se na osnovu njega dobila dopunska jednačina GUD se dobija iz uslova da je zakretanje krutog diska isto kao i uglovi uvijanja elementa 1 i 2 dakle θ 1 2 θ Ugao uvijanja elementa 1 je θ θ C + θc Ugao uvijanja elementa 2 je θ θ E + θe onačno, GUD ima oblik: θ + θ θ + θ C C Dopunska jednačina, dobijena iz GUD-a, je: l G 5l + G Z 2 5l G l G Rešenja dobijenog sistema jednačina su: , Z 1, Z E E 5 Z

15 Primer 21 Za prikazan statički neodređen sistem štapova izloženih uvijanju odrediti reakcije u uklještenju? Veličine d, l, i G su poznate Rastavljanje (dekompozicija):

16 U ovom primeru, bilo je neophodno izvršiti dekompoziciju, kako bi se mogli pozvati na statičke jednačine za svaki od elemenata celine, i kako bi se mogli definisati momenti uvijanja za oba elastična štapa Na cevasti elastični element 1, osim aktivnog sprega 2, dejstvuje i zid traženim spregom i kruti disk spregom 1 Na kruti disk osim prikazanog sprega 1 (od strane element 1, zbog principa akcije i reakcije), dejstvuje i elastični element 2 spregom 2 z uslova ravnoteže spregova koji dejstvuju na kruti disk i 2 1, dobija se da je 1 2 Na elastični element 2 (punog kružnog preseka), osim aktivnog sprega, dejstvuje i zid traženim spregom Z 2 i, po principu akcije i reakcije, kruti disk spregom 2 zrazimo preko iz statičke jednačine elementa 1: i 1 zrazimo preko iz statičke jednačine elementa 2: Z 2 + i Z 2 2 Z 2 Na slici su nacrtani mogući oblici dijagrama momenata uvijanja za elastične štapove u skladu sa pretpostavljenim smerovima za,, i 1 2 Z 2

17 Polarni momenti inercije elemenata su: d [( ) ( ) ] d 2d d, S obzirom da ovde imamo dve statičke jednačine, 2 i, a tri nepoznate,, i, ovaj problem je jedan Z 2 Z 2 put statički neodređen, i potrebno je naći GUD, kako bi se na osnovu njega dobila dopunska jednačina GUD se dobija iz uslova da su uglovi uvijanja, elementa 1 i prvog segmenta elementa 2, jednaki (jednaki su zakretanju krutog diska), dakle 1 2 θ E θ E Ugao uvijanja elementa 1 je θ E θ C + θc E onačno, GUD ima oblik: θ + θ θ C C E Dopunska jednačina, dobijena iz GUD-a, je: 2l G + G Z 2 l G Rešenja dobijenog sistema jednačina su: E , Z 1, Z Z