8. GREDA OPTEREĆENA PODUŽNIM SILAMA

Transcript

1 O V8 V9 V0 me i preime: ne br: GRED OPTEREĆEN PODUŽN SL Slika 8. N + (8.5) 8. KSJLNO NPREZNJE GREDE N (8.6) ε E γ γ N E γ, ε 0 ε ν E N ν E (8.8) Nl Δ l (a N const i const) (8.) E N( ) ( ) (8.) ( ) iferencijalna jenačina štapa pri aksijalnom napreanju : N( ) u (8.) E( ) ili Eu q ( ) (8.6) uticaj temperature u N( ) ε + αδt + αδt (8.0) E E( ) imenionisanje (8.)

2 O V8 V9 V0 me i preime: ne br: ČSTO PRVO SVJNJE GREDE Slika 8. (ose i - glavne centralne ose poprečnog preseka) (8.),,,, (8.5) ( i, ) (8.5),i i krivina (Bernoulli-Euler-ov akon) κ w ρ E const (8.9) imenionisanje,ma ma (8.55) stepen iskorišćenja preseka < (8.60)

3 O V8 V9 V0 me i preime: ne br: ČSTO KOSO SVJNJE GREDE (8.6) neutralna osa: 0 imenionisanje (8.76),ma 8.6 EKSCENTRČNO NPREZNJE GREDE Slika 8.8 N + (8.78) P e e ( + + ) (8.79) i i i i (8.80) jenačina neutralne ose + p p (8.8) jegro preseka 8.6. imenionisanje ( + ) ( ) (,ma,,ma p,ma )(8.90), (8.9)

4 O V8 V9 V0 me i preime: ne br: KSJLNO NPREZNJE GREDE KSJLNO NPREZNJE GREDE PRER PRER. Štap konstantnog poprečnog preseka sa uklještenim jenim krajem je opterećen jenako-raspoeljenim opterećenjem q () const. Oreiti funkcije N(), (), ε() i u() i nacrtati njihove ijagrame.. Orejivanje funkcije ( ) opterećenja : ( ) N a) q N ( ) ( ) ( ) q + C C N korišćenjem iferencijalne vee imeđu normalne sile i použnog Konstanta se oređuje i graničnog uslova a normalnu silu, a presek u kome je ponata vrenost presečne sile (ramatranjem samo postavke aatka), a to je presek na onjem kraju štapa: () l 0 N C q l

5 O V8 V9 V0 me i preime: ne br: ( ) ( l ) N q Ovaj ira se može i irektno oreiti i efinicije presečnih sila. Normalna sila u preseku je jenaka normalnoj komponenti reukcione reultante opterećenja sa ela ispo preseka na rastojanju (užine l ). b) Funkcija ( ) ( ) N se oređuje i iraa a normalni napon kaa u preseku postoji normalna sila: ( ) ) Funkcija ( ) c se orejuje i Hook-ovog akona a jenoaksijalno stanje napona: ε ε ( ) E ( ) ) Pomeranje u se orejuje integracijom: u q ε E ( ) ( ) + C ( l ) C + u ( ) q E C Konstanta se orejuje i uslova po pomeranju a presek u kome je pomeranje ponato na isnovu postavke aatka, a to je presek na : u () 0 0 onosno C 0 i konačno u ( ) q l E aksimalna vrenost pomeranja obija se u preseku u kome je prvi ivo pomeranja jenak nuli, a o nosno ge je - na onjem kraju štapa. ε ( ) 0 u ma u q E () l l E q

6 O V8 V9 V0 me i preime: ne br: PRER. Štap oblika konusa uklješten je jenim krajem i opterećen sopstvenom težinom. Oreiti N() i u() i nacrtati ijagrame. Dato je D 0, L i γ (apreminska težina). U ovom aatku moguće je irektno oreiti normalnu silu u nekom preseku, polaeći o pravila a se presečne sile obijaju reukovanjem svih spoljašnjih sila sa jenog o elova nosača na koje ga uočeni presek eli. Prema tome, ako posmatramo proivoljni presek na rastojanju i eo ispo tog preseka (koji je konus visine L ), težina tog ela prestavlja ukupnu spoljašnju silu koja eluje na taj eo i to už ose. H Težina konusa je G V γ γ H γ Za eo ispo preseka na rastojanju : H L Prečnik preseka na rastojanju se može iraiti i proporcije (sličnosti trouglova) D D 0 L Površina posmatranog preseka je : ( ) D D π 0 L L π D0 π L L 0 L L D0 π ge je 0 () 0

7 O V8 V9 V0 me i preime: ne br: N ( ) G( L ) ( L ) (kubna funkcija po ) 0 L L γ γ 0 Tražena funkcija a u() oređuje se slično kao u prethonom aatku, integracijom. ( ) ε ( ) C u + Potrebno je bog toga iraiti ilataciju ( ) ε : ( L ) L ε ( ) E ( ) N( ) ( ) E γ E ( L ) ( ) ( L ) + C C u γ + E Konstanta C se orejuje i uslova po pomeranju u pravcu ose štapa na kraju štapa: u () 0 0 onosno C 0 i konačno funkcija u() u γ E ( ) L. Za maksimalnu vrenost aključuje se, sličnim ramatranjem kao u prethonom aatku, a se obija u krajnjem onjem preseku (vrh konusa) a L u ma u L ( )

8 O V8 V9 V0 me i preime: ne br: PRER. Želeničke šine užine L0m postavljaju se na temperaturi t 0 C sa aorom δmm. a) Naći temperaturu t na kojoj će nestati aora. b) Ukoliko je površina šine, kakva i kolika sila bi trebalo a eluje na šinu a ukupna promena užine usle ejstva temperature i te sile bue jenaka nuli. E0GPa α t,5 0-5 / C 0 cm t t a) Promena užine šine usle agrevanja obija se kao l ε L α ( t t ) L Uslov aatka je Δl δ δ α ( t t ) L ( t t ) C t + t + 0 C δ α L Δ b) Na šinu treba a eluje použna sila pritiska P, koja aje normalnu silu N u šini i koja bi ovela o skraćenja šine jenakom iuženju usle temperature Promena užine usle sile je Δ l N ε N L L N N Δ l t Δl L ( α Δt) L E N 6 ( α Δt) 6 0 Pa E N P N 6 0 N 6 kn

9 O V8 V9 V0 me i preime: ne br: ČSTO PRVO SVJNJE GREDE ČSTO PRVO SVJNJE GREDE PRER PRER. Konolni štap trougaonog poprečnog preseka opterećen je na kraju spregom čiji momenat je 6kNm. Oreiti ma i τ ma u štapu.. Za aato opterećenje treba prvo nacrtati ijagrame presečnih sila. naliom preseka uočava se a je osa jena o glavnih osa preseka, pa obijeni momenti eluju oko glavne ose i svi preseci su iloženi čistom pravom savijanju. U slučaju štapa konstantnog preseka ovoljno je posmatrati jean, ma koji presek. O komponentalnih napona može postojati samo normalni napon, što ogovara linearnom stanju napona. Najveći normalni napon u nekoj tački pri linearnom naponskom stanju je jenak komponentalnom normalnom naponu u toj tački. Najveći normalni komponentalni naponi u preseku se javljaju u najualjenijim tačkama o neutralne ose. Najveći smičući napon ko linearnog naponskog stanja se javlja u ravnima po 5 u onosu na glavnu osu i jenak je. Za oređivanje komponentalnog normalnog napona primeniće se formule,,,, g,, g Potrebno je oreiti geometrijske karakteristike:

10 O V8 V9 V0 me i preime: ne br: cm 06.5, 8.5 cm 06.5, 0.65 cm g U ira a oređivanje napona unose se sve veličine u osnovnim jeinicama (m, m, m, m, N, Nm), tako a se napon takođe obija prvo u osnovnim jeinicama ( Pa), a atim se pretvara u pogonije jeinice (kpa, Pa). U okviru Otpornosti materijala ne treba koristiti ruge jeinice a napon, kao što su kn/cm, koje se još koriste u nekim rugim oblastima Pa,,. Pa 6 0, g.67 Pa.67 Pa 0.65, g Najveći normalni napon je jenak največem komponentalnom normalnom naponu i javlja se u tački ma,ma,g.67 Pa U okviru Otpornosti materijala ako rugačije ne bue nanačeno po maksimalnim normalnim naponom poraumevaćemo apsolutno najveći normalni napon po brojnoj vrenost - be naka (ne po algebarskoj vrenosti koja uključuje i nak i ge je + > -5 ), onosno ma ma pa se u ovom aatku obija ma. 67 Pa.67 ma,g Pa τ ma ma. Pa

11 O V8 V9 V0 me i preime: ne br: PRER. Prosta grea B opterećena je prema skici. a) Proveriti stanje napona u preseku - (imeđu koncentrisanih sila) b) Ojačati presek -, ukoliko je,ma > o, simetrično lamelama ebljine cm, tako a,ma o pa. Dijagrami 6 9 cm ma cm 90 6, ma ± ± Pa ± 7.6 > 58 o Pošto je > potrebno je ojačati presek na traženi način.,ma o

12 O V8 V9 V0 me i preime: ne br: ' ' b b ' b Postavlja se uslov < Pa,ma o o 90, ma < 0 ( b) b b cm usvaja se b cm 7. 7 (ibor vrenosti b se vrši aokruživanjem na veću vrenost, jer u suprotnom bi se obio otporni moment o ahtevanog, a napon o ovoljenog. Zaokruživanje se vrši u avisnosti o materijala, naprimer a čelik obično na, a beton obično na ) U okviru Otpornosti materijala pri aokruživanju važno je a se vii glavno pravilo. Provera napona: stvarna vrenost otpornog momenta : ' b cm Pa stv,ma. 898 Pa Dobijena stvarna vrenost normalnog napona je manja o ovoljene i ovoljno bliska njoj, što je i cilj pri imenionisanju.

13 O V8 V9 V0 me i preime: ne br: PRER. Nosač BC leži u ravni i opterećen je u preseku C spregom ξ 60kNm prema skici. Dimenionisati nosač tako a τ ma u nosaču a presek - ne pređe ovoljenu vrenost τ 80Pa. Dijagrami presečnih sila Na elu - postoji samo. Pošto je osa iloženi čistom pravom savijanju oko te ose. jena o glavnih osa svi preseci na ovom elu su t [ ] ( ) 65 t 65 t t ξ,ma

14 O V8 V9 V0 me i preime: ne br: a linearno stanje napona τ ma ma ξ,ma Uslov aatka je τ ma τ o pa treba a bue τ ma τ o, pot.75 0 τ o >., pot ( 75 0 ) t.75 0 t cm usvaja se t.55 cm Provera napona : Stvarna vrenost otpornog momenta : i stvarna vrenost smičućeg napona:, stv cm τ stv Pa 7. 0 Pa Pa < Pa

15 O V8 V9 V0 me i preime: ne br: ČSTO KOSO SVJNJE GREDE ČSTO KOSO SVJNJE GREDE PRER PRER. Nosač B je iložen savijanju spregovima, prema skici. Oreiti ma i τ ma u nosaču, ako je poprečni presek oblika -. Usle aatog opterećenja treba prvo treba nacrtati ijagrame presečnih sila. Pri crtanju momenta savijanja ijagrami se mogu nacrtati u onosu na aate ose. Prema tome a ati slučaj moguće je nacrtati ijagram savijanja u onosu na osu. Dobija se konstantan moment savijanja už nosača : knm. Kaa se nakon oređivanja ijagrama presečnih sila prelai na analiu napona u slučaju kaa postoji moment savijanja, kao u ovom aatku, prvo što treba konstatovati je a li je to slučaj pravog ili kosog savijanja (be obira a li je to slučaj čistog ili savijanja silama). Za to je potrebno oreiti ge se nalae glavne centralne ose inercije preseka, ili bar uočiti a li su aate ose inercije glavne ose. U atom slučaju ovoljno je uočiti a ate ose nisu glavne ose inercije (bilo na osnovu iskustva i prethono urađenih aataka ili i ponate činjenice a a ovako postavljene ose pravouglog trougla postoji centrifugalni moment inercije što nači a ate ose nisu glavne ose). To nači a se rai o kosom savijanju i a sleeće treba oreiti vrenosti glavnih momenata inercije i položaj glavnih centralnih osa inercije, onosno oreiti potrebne geometrijske karakteristike a analiu kosog savijanja i nastaviti rešavanje prema ahtevima aatka u sistemu glavnih osa inercije. Pošto se traže vrenosti ma i τ ma, a i u slučaju kosog savijanja jeini komponentalni napon je, pa što se tiče aljeg rešavanja aatka slei slično ramatranje kao u primeru poglavlja o čistom pravom savijanju. Geometrijske karakteristike: cm 5 cm 6 5 cm

16 O V8 V9 V0 me i preime: ne br: ( u slučaju trougaonog preseka uvek posebnu pažnju treba voiti o naku centrifugalnog momenta inercija prema pravilu atom u poglavlju o momentima inercije - u ovom slučaju nak je + ),, ζ ± ± cm ζ 80. cm tg α ζ > ili < tg α sin < 0 cos > 0 α V kvarantu α arctg 5 ( ) ( ) 6. Kaa je oređen položaj glavnih centralnih osa inercije treba oreiti projekcije vektora momenta na te ose. Ove se uočava ugao θ 80 α u aljoj irai aatka biće potrebne vrenost sinusa i kosinusa uglova θ i ϕ cosθ sinθ cosϕ sinθ Pomoću ugla θ se oređuju brojne vrenosti (apsolutne vrenosti) projekcija momenta glavne ose inercije: na

17 O V8 V9 V0 me i preime: ne br: θ ζ θ Oave je moguće nastaviti ili a) unošenjem ovih iraa u ponati ira a normalni napon u slučaju kosog savijanja (ge će alje ostati a figuriše ili b) aljim sračunavanjem konačnih vrenosti i i njihovim unošenjem ponati ira a normalni napon u slučaju kosog savijanja. ζ (a) U ovom aatku biće primenjen prvi način. ( Použnu osu moguće je ostaviti onačenu kao ili upotrebiti onaku ξ ) U ovoj formuli sem postojećih nakova u formuli nak imaju momenti i koorinate. U prvom koraku unosimo samo momente. Konvencija o naku momenata koja se upotreblljava sa ovom formulom je a ako su vektori momenta usmereni u poitivnim smerovima koorinatnih osa ona je njihov nak +. Uvođenjem naka je cosθ sinθ ζ Unošenjem ovih iraa u (a) obija se θ θ cos sin ζ ili cosθ sinθ ζ + ζ ζ (b) Sleeće treba oreiti položaj neutralne ose i uslova 0 onosno cosθ sinθ ζ + 0 ζ oakle je ζ unošenjem prethono sračunatih vrenosti obija se ζ Ovo je jenačina prave linije koja. Jena tačka na toj liniji je prema tome, a ruga se orejuje aavanjem pogone vrenost a i sračunavanjem ogovarajuće vrenosti ζ i obijene jenačine. (Druga mogućnost je a se ume u obir a je to oblik jenačine prave osa - ( )i a se i α Slei crtanje neutralne ose. ζ tg α, ge je α ugao nagiba prave prema prvoj o tg orei α i nacrta prava pomoću tog ugla)

18 O V8 V9 V0 me i preime: ne br: Da bi oreili, ma treba uočiti najalje tačke o neutralne ose. U ovom aatku su to tačke i B. Dalje treba sračunati koorinate ovih tačaka u sistemu ζ i ponatih vrenosti kooorinata tih tačaka u sistemu korišćenjem iraa a transformaciju koorinata pri rotaciji koorinatnog sistema a aati ugao (u ovom aatku a ugao ϕ ) cosϕ + sinϕ ζ sinϕ + cosϕ ( ; 6) B ; 8 ( ) : ζ cm 6.7 cm B: B B cosϕ + B sinϕ ζ sinϕ + cosϕ B B B ( ) + ( 8) cm ( ) + ( 8) ( ) cm Saa su ponate sve vrenosti koje se pojavljuju u irau (b) a i unošenjem tih vrenost u ira (b) primenjen na tačke i B obijaju se normalni naponi u tim tačkama:, ( 0 ) +.89 Pa,B ( ). 89 Pa τ ma,ma,.89 Pa ma ma, ma, τ ma, Pa

19 O V8 V9 V0 me i preime: ne br: PRER. Nosač poprečnog preseka prikaanog na skici opterećen je na koso savijanje. Ravan ejstva momenta sa osom grai ugao φ5, 0kNm. Oreiti rastojanje a imeđu [ profila tako a, ma bue jenako ovoljenom naponu 0Pa. Prema postavci aatka i obliku efinisanog preseka aključuje se a se rai o kosom savijanju. Potrebno je iraiti geometrijske karakteristike u funkciji ponatih i traženih imenija: 0 cm + F a a Pretpostavljamo mogući položaj neutralne ose i na osnovu njega aključujemo o mogučim tačkama u kojima bi se mogao javiti maksimalni napon. Za pretpostavljeni položaj neutralne ose maksimalni normalni napon će se javiti u tački ( a +.5 ; 7 ) Uslov aatka je sinϕ, ( onosno cosϕ + ) 0 0 ( + ) 0 0

20 O V8 V9 V0 me i preime: ne br: a +, a ( ). 0 8 a a a a a a Rešavanjem ove kvaratne jenačine obija se a cm a cm usvajamo a 8.65 cm (ruga vrenost nema geometrijskog smisla u onosu na formulaciju aatka i efinisano rastojanje a ) Oređujemo stvarne vrenosti geometrijskih karakteristika,stv cm,stv + F a cm Nalaimo stvarni položaj neutralne ose Crtamo neutralnu osu i uočavamo a je tačka stvarno najualjenija tačka o neutralne ose Oređujemo koorinate tačke : ( ; ) i sračunavamo napon u toj tački,,stv 0 0 ( ) 9. Pa τ 9 0 Pa,,stv., ma ma,, Pa

21 O V8 V9 V0 me i preime: ne br: PRER. Grea pravougaonog poprečnog preseka onosa stranica b/h5/7 iložena je napreanju na čisto koso savijanje momentom savijanja 60kNm u ravni ejstva momenta koja sa osom aklapa ugao φ0. Dimenionisati greu tako a ma bue jenako ovoljenom naponu Pa. Pošto je položaj vektora momenta prema koorinatnim osama isti kao u prethonom aatku može se iskoristiti ira a neutralnu osu iveen u prethonom aatku ako nisu ponate pojeinačne vrenosti b i h, pošto je aat onos b/h može se oreiti konačna jenačina neutralne ose. ctgϕ b 7 ( ) ( ) -. h 5 Uočava se najalja tačka i a nju postavlja uslov aatka koristeći ira a komponentalni normalni napon i prethonog aatka sin0 cos0,ma, ( + ) ( + ) ( + ) bh b h 7 9 ( + ) 5h 5h kaa ubacimo onos rešava se po neponatoj imeniji h h 7 9 ( + ) b 5 h 7

22 O V8 V9 V0 me i preime: ne br: h m 6 0 usvajamo h cm b cm Provera napona: 7 9 ( + ) 69 Pa Pa 5h 5h ma, stv. PRER. Konolni štap čiji je poprečni presek o L/ kvarat stranice a0cm, a na L/ trougao stranice a0cm, prema skici, opterećen je na kraju momentom savijanja 0kNm. Oreiti maksimalne vrenosti napona i τ a oba poprečna preseka. Crta se ijagram momenta savijanja usle aatog opterećenja. Uočava se a je na elu - osa glavna osa i a je presek - iložen čistom pravom savijanju, a a na elu - osa nije glavna osa i a je ovaj presek iložen čistom kosom savijanju. Deo - cm 0 0,ma 7. 5 Pa 6 0 τ,ma ma,, 69. 6Pa

23 O V8 V9 V0 me i preime: ne br: Deo - Osa simetrije je jena o glavnih centralnih osa inercije. Druga je upravna na nju i prolai kro težište preseka. Za usvojene smerove glavnih osa i prema konvenciji o naku momenata komponente momenta savijanja u onosu na glavne ose su: ζ omenti inercije 6666 cm cm Unošenjem ovih vrenosti u ira a normalni napon ζ ζ ζ obija se / / ζ + i uslova 0 ζ obija se jenačina neutralne ose ζ ζ Najveći napon se obija u tačkam i B, ζ 0 Pa Pa ζ,b ζ B B 8 ζ ma 0 Pa τ ma ma 5 Pa