Βελτιστοποίηση της ανατομίας μεταμορφικού ρομποτικού βραχίονα για την εκτέλεση συγκεκριμένων εργασιών. Διπλωματική Εργασία

Transcript

1 Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μηχανικών Σχεδίασης Προϊόντων και Συστημάτων Βελτιστοποίηση της ανατομίας μεταμορφικού ρομποτικού βραχίονα για την εκτέλεση συγκεκριμένων εργασιών. Διπλωματική Εργασία Κονταξάκης Ιωάννης ΑΜ:511/ Επιβλέπων : Μουλιανίτης Βασίλειος Τριμελής Επιτροπή : Μουλιανίτης Βασίλειος Παπανίκος Παρασκευάς Ξυδιάς Ηλίας Σύρος, Οκτώβριος 013

2

3 Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον καθηγητή μου κ. Μουλιανίτη για την καθοδήγηση και τη βοήθεια που μου παρείχε για την ολοκλήρωση της εργασίας. Επίσης, θα ήθελα να εκφράσω την ευγνωμοσύνη μου στους γονείς μου για όλα τα χρόνια που με στήριξαν. Τέλος, ευχαριστώ όλους τους φίλους και συμφοιτητές μου για τα όμορφα χρόνια που περάσαμε μαζί στη Σύρο. Θα μου μείνουν αξέχαστα. 3

4 4

5 Πίνακας Περιεχομένων Εισαγωγή... Γενική Ανασκόπηση...6 Σκοπός της εργασίας...8 Μεθοδολογία...8 Δομή της εργασίας...8 Επαναδιαμορφώσιμα συστήματα παραγωγής... Εισαγωγή...9 Χαρακτηριστικά...11 Εμπόδια και στόχοι...13 Μεταμορφικοί Βραχίονες... Εισαγωγή...15 Χαρακτηριστικά...18 Σχετικές Έρευνες... Παράδειγμα σύνθεσης...6 Κινηματική Ανάλυση... Η μέθοδος POE...9 Περιστροφή...9 Μεταφορά...31 Λογαριθμική συνάρτηση...31 Σύνοψη...3 Ευθεία κινηματική ανάλυση...33 Ιακωβιανή Μήτρα...34 Αντίστροφη κινηματική ανάλυση...36 Υποπροβλήματα...36 Παραμετρική Επίλυση...43 Επίλυση θέσης...44 Επίλυση Προσανατολισμού...54 Δείκτες αξιολόγησης...55 Περιγραφή...55 Μέτρο ευχέρειας...56 Δείκτης ισοτροπικότητας...58 Δείκτης ΜVR...58 Άλλοι δείκτες...59 Εφαρμογή... Μέθοδος βελτιστοποίησης Γενετικοί Αλγόριθμοι...61 Σύνθεση και καθορισμός ανατομίας...63 Αποτελέσματα...65 Επίσκεψη σημείων...65 Διαγραφή τροχιάς...67 Συμπεράσματα...74 Παράρτημα... Βιβλιογραφία...75 Ηλεκτρονικές Πηγές...77 Συναρτήσεις MATLAB

6 6

7 Εισαγωγή Γενική Ανασκόπηση Η δομή, ο σχεδιασμός αλλά και τα πρότυπα μιας γραμμής παραγωγής έχουν αλλάξει τις τελευταίες δεκαετίες εξαιτίας της συνεχόμενης μεταβολής μιας σειράς σημαντικών αστάθμητων παραγόντων, οι οποίοι διαμορφώνουν ένα αρκετά ανταγωνιστικό πλαίσιο μέσα στο οποίο θα πρέπει να προσαρμοστούν οι σύγχρονες μονάδες βιομηχανικής παραγωγής. Το ερώτημα που εγείρεται είναι πως μια επιχείρηση θα μπορεί να αντιδρά ταχύτερα σε αυτό το τοπίο το οποίο μεταβαίνει από τη φάση της μαζικής παραγωγής προς τη φάση των μαζικών αλλαγών (Wiahl t al., 007). Οι κύριοι παράγοντες που διαμορφώνουν τις επικείμενες τάσεις της βιομηχανίας είναι η μεγάλη και συνεχώς αυξανόμενη διαθεσιμότητα πληροφοριών, η τεχνολογική εξέλιξη αλλά και η ταυτόχρονη μείωση του κόστους του διαθέσιμου βιομηχανικού εξοπλισμού, η μεγάλη επίδραση της έρευνας και της εκπαίδευσης στην παραγωγή καινοτομιών και η υιοθέτηση προτύπων περισσότερο φιλικών προς το περιβάλλον (Zandin, 001). Σημαντική επίδραση ασκεί και ο αυξανόμενος οικονομικός ανταγωνισμός ο οποίος καθορίζει αυστηρά χρονικά και οικονομικά πλαίσια μέσα στα οποία θα πρέπει να κινείται μια βιομηχανική επιχείρηση προκειμένου να θεωρείται ανταγωνιστική. Πολλές από τις αλλαγές αυτές οδηγούνται και καθορίζονται από την αυξημένη απαίτηση των καταναλωτών για προϊόντα με πρόσθετα χαρακτηριστικά και νέες δυνατότητες κάτι το οποίο απαιτεί τη συνεχή μεταβολή σημαντικών παραμέτρων και λειτουργιών μιας γραμμής παραγωγής. Ιδιαίτερη έμφαση πρέπει να δοθεί στο γεγονός ότι η πρόσβαση των καταναλωτών σε γνώση και πληροφορία άλλαξε σε μεγάλο βαθμό την νοοτροπία τους. Οι καταναλωτές είναι πλέον ενημερωμένοι και έχουν συγκεκριμένες και πολλές φορές εξατομικευμένες απαιτήσεις από τα προϊόντα που επιθυμούν (Korn & Shpitalni, 010). Ένας από τους βασικότερους στόχους που καλείται να επιτύχει μια σύγχρονη βιομηχανική επιχείρηση είναι η μείωση της ταχύτητας εισαγωγής ενός νέου προϊόντος στην αγορά, κάτι το οποίο θα την περισσότερο ανταγωνιστική (Bi t al., 008). Αυτός ο στόχος αποτελεί αρκετές φορές καταλυτικό παράγοντα στο σχεδιασμό της γραμμής παραγωγής του προϊόντος. Εικόνα 1 : Πορεία βιομηχανικής παραγωγής από το 1850 μέχρι σήμερα (Hu t al., 001) 7

8 Για την επιβίωση σε αυτό το νέο βιομηχανικό περιβάλλον, οι βιομηχανικές επιχειρήσεις θα πρέπει να είναι ικανές να αντιδρούν στις αλλαγές γρήγορα, αποδοτικά και οικονομικά. Ο συνολικός σκοπός ενός εργοστασίου και ως εκ τούτου της παραγωγής, θα πρέπει να είναι ο προσανατολισμός και η προσαρμογή στις συνεχώς μεταβαλλόμενες συνθήκες της αγοράς κάτι το οποίο καθιστά την ευελιξία απαραίτητο χαρακτηριστικό του συνολικού σχεδιασμού μιας γραμμής παραγωγής (Wiahl t al., 007). Τα συστήματα παραγωγής που θα χρησιμοποιηθούν σε αυτές τις νέες συνθήκες θα πρέπει να σχεδιάζονται γρήγορα, να είναι ικανά να μετατρέπονται γρήγορα για την παραγωγή νέων προϊόντων, να είναι ικανά να ρυθμίζουν την ποσότητα παραγωγής τους γρήγορα, να είναι ικανά να ενσωματώνουν τεχνολογίες και να παράγουν μια αυξημένη ποικιλία προϊόντων σε μη προβλεπόμενες συνθήκες. Τα εργοστάσια του μέλλοντος θα πρέπει να χαρακτηρίζονται από ευελιξία, προσαρμοστικότητα, ταχύτητα και ευφυΐα κάτι το οποίο μπορεί να επιτευχθεί με τη χρήση πλήρως αυτοματοποιημένων επαναδιαμορφώσιμων εξοπλισμών, συστημάτων ελέγχου και λογισμικού (Mhrabi, Mostafa, Ulsoy, & Korn, 000), (Wiahl t al., 007). Τα βιομηχανικά ρομπότ αποτελούν πλέον βασικό συστατικό των σημερινών γραμμών παραγωγής καθώς μπορούν να εκτελέσουν ένα πλήθος διαφορετικών εργασιών (Siciliano & Khatib, 008). Αποτελούν αυτοτελή συστήματα με μεγάλη προσαρμοστικότητα προσφέροντας ένα σημαντικό βαθμό ευελιξίας σε μια γραμμή παραγωγής διότι μπορούν να προγραμματιστούν για την εκτέλεση εργασιών που ανήκουν σε διαφορετικές κατηγορίες και παρουσιάζουν σημαντικές διαφοροποιήσεις. Η απόδοση ενός βιομηχανικού ρομπότ, είναι αποτέλεσμα της δομής του συστήματος και επηρεάζεται άμεσα με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά των υποσυστημάτων που το αποτελούν (Valsamos, Moulianitis & Aspragathos, 01). Αυτό το γεγονός οδηγεί στο σχεδιασμό ρομποτικών διατάξεων συναρτήσει των εργασιών που προορίζονται για να εκτελέσουν. Ο εκ των προτέρων καθορισμός της εργασίας καθώς και η βελτιστοποίηση της απόδοσης του συστήματος θέτει περιορισμούς κατά τη σχεδίαση και τον καθορισμό των βασικών χαρακτηριστικών κάνοντας το σύστημα περισσότερο εξειδικευμένο (Pardis, 1996). Οι περιορισμοί αυτοί έχουν ως αποτέλεσμα τον παράλληλο περιορισμό των λειτουργικών δυνατοτήτων του συστήματος γεγονός το οποίο έχει αρνητικές επιπτώσεις ειδικά σε μια μικρή γραμμή παραγωγής (Bi t al. 008). Το πρόβλημα αυτό γίνεται ακόμη πιο σημαντικό σε εργασίες εκτός παραγωγής κατά τις οποίες η αλλαγή της μορφής του συστήματος πρέπει να γίνει χωρίς την ανθρώπινη επέμβαση (Fukuda & Nakagawa, 1988). Οι παραπάνω διαπιστώσεις οδήγησαν στην ανάπτυξη ρομποτικών συστημάτων τα οποία έχουν την ικανότητα να προσαρμόζονται σε ένα μεγαλύτερο εύρος εργασιών. Σε επίπεδο παραγωγής το σημαντικότερο ίσως πλεονέκτημα αυτών των συστημάτων είναι η ταχεία προσαρμογή της διάταξής τους ανάλογα με την εργασία που πρόκειται να εκτελέσουν (Valsamos, Moulianitis & Aspragathos, 01),(Gao 001). Αυτό έχει ως συνέπεια τη σύνθεση συστημάτων με βάση κάποια κινηματικά αλλά και δυναμικά κριτήρια απόδοσης, η ικανοποίηση των οποίων μπορεί να οδηγήσει στην αύξηση της παραγωγικότητας μιας βιομηχανικής επιχείρησης. Από τη στιγμή που τα χαρακτηριστικά αλλά και οι λειτουργικές δυνατότητές τους εντάσσονται σε ένα μεγάλο βαθμό στο γενικότερο πλαίσιο των επαναδιαμορφώσιμων συστημάτων παραγωγής τα συστήματα αυτά ονομάζονται επαναδιαμορφώσιμα ή αλλιώς μεταμορφικά ρομπότ και είναι ικανά να προσφέρουν σημαντικό βαθμό ευελιξίας και προσαρμοστικότητας κάτι το οποίο κρίνεται απαραίτητο για μια σύγχρονή γραμμή παραγωγής. 8

9 Σκοπός της εργασίας Στη συγκεκριμένη διπλωματική εργασία γίνεται μια έρευνα που αφορά τους σειριακούς μεταμορφικούς βραχίονες. Οι μεταμορφικοί βραχίονες μπορούν να σχηματίσουν διάφορες ανατομίες ως προς τον τύπο και την διάταξη των ενεργών αρθρώσεων, παρουσιάζοντας διαφορετική κινηματική απόδοση για την ίδια εργασία. Πιο συγκεκριμένα η γεωμετρική διάταξη των υποσυστημάτων ενός βραχίονα επηρεάζει μια σειρά ποσοτικών και ποιοτικών μεγεθών όπως για παράδειγμα την βέλτιστη σχετική ταχύτητα του άκρου εργασίας, το χώρο τον οποίο έχει τη δυνατότητα να προσεγγίσει αλλά και τις κατευθύνσεις τις οποίες έχει τη δυνατότητα να προσανατολιστεί. Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η αναζήτηση της καταλληλότερης διάταξης έξι ενεργών περιστροφικών αρθρώσεων, οι οποίες με τη χρήση ψευδοαρθρώσεων μπορούν να σχηματίσουν ένα μεγάλο αριθμό διαφορετικών κινηματικών αλυσίδων ως προς τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά. Κριτήριο για τη βελτιστοποίηση αποτελεί η κινηματική απόδοση του συστήματος για συγκεκριμένες και προκαθορισμένες εργασίες οι οποίες είναι η επίσκεψη σε σημείο και η διαγραφή ευθειών και καμπύλων τροχιών. Η απόδοση κάθε ανατομίας, υπολογίζεται με κινηματικούς δείκτες οι οποίοι εκφράζουν την ικανότητα του συστήματος να εκτελεί τις εργασίες αυτές. Η αναζήτηση της καταλληλότερης ανατομίας γίνεται με στοχαστικές μεθόδους και πιο συγκεκριμένα με χρήση γενετικών αλγορίθμων. Μεθοδολογία Ο τρόπος προσέγγισης του παραπάνω προβλήματος συνοψίζεται σε τρία βήματα. Αρχικά επιλέχθηκε η κατάλληλη μεθοδολογία για την κινηματική ανάλυση των ανατομιών που παράγονται με τη βοήθεια γενετικού αλγορίθμου. Έπειτα αναπτύχθηκαν στο προγραμματιστικό περιβάλλον MATLAB οι κατάλληλες συναρτήσεις για την κινηματική ανάλυση του συστήματος, την παρεμβολή των τροχιών αλλά και τον υπολογισμό των κινηματικών δεικτών. Τέλος εξετάστηκαν οι ανατομίες που προέκυψαν από το γενετικό αλγόριθμο με στόχο την εύρεση της ανατομίας με την κατάλληλη γεωμετρία. Οι γεωμετρίες που προέκυψαν τείνουν να είναι και οι αποδοτικότερες με βάση τα κριτήρια που τέθηκαν. Τελικό στάδιο της εργασίας αποτέλεσε ο σχεδιασμός και η αναπαράσταση των προτεινόμενων ανατομιών για την καλύτερη οπτική κατανόηση των συμπερασμάτων. Δομή της εργασίας Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα επαναδιαμορφώσιμα συστήματα παραγωγής. Μέσα από μια σύντομη περιγραφή αναλύονται κάποια βασικά χαρακτηριστικά και κάποιες γενικές διαπιστώσεις με στόχο να δοθεί μια εικόνα του γενικότερου θεωρητικού πλαισίου της παρούσας εργασίας αλλά και των γενικότερων στόχων των σύγχρονων γραμμών παραγωγής. Στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται μια περιγραφή των κύριων χαρακτηριστικών των μεταμορφικών ρομποτικών συστημάτων και παρουσιάζονται με σύντομο τρόπο οι συναφείς έρευνες και μεθοδολογίες. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται το μαθηματικό μοντέλο που βασίστηκε η ανάπτυξη του κατάλληλου λογισμικού για την κινηματική ανάλυση των ανατομιών και αναλύονται οι υπάρχοντες κινηματικοί δείκτες που χρησιμοποιούνται ως κριτήριο μέτρησης της κινηματικής απόδοσης ενός βραχίονα. Στο τέταρτο κεφάλαιο περιγράφεται η μέθοδος βελτιστοποίησης που επιλέχθηκε καθώς και τα αποτελέσματα που προέκυψαν για τις εργασίες που καθορίστηκαν. Στο τελευταίο κεφάλαιο αναφέρονται κάποια χρήσιμα συμπεράσματα που προέκυψαν από την παρούσα μελέτη ενώ στο παράρτημα παρατίθεται η βιβλιογραφία που αντλήθηκαν οι απαραίτητες πληροφορίες αλλά και ο κώδικας ο οποίος αναπτύχθηκε στο προγραμματιστικό περιβάλλον MATLAB. 9

10 Επαναδιαμορφώσιμα συστήματα παραγωγής Εισαγωγή Με τον όρο παραγωγή ορίζεται κάθε οργανωμένη δραστηριότητα που έχει σκοπό τη μετατροπή των πόρων σε χρήσιμα για τον άνθρωπο προϊόντα. Κάθε οργανωμένο σύνολο που παράγει προϊόντα ονομάζεται σύστημα παραγωγής και περιλαμβάνει υποσυστήματα που εκτελούν τις παραγωγικές διαδικασίες του συστήματος. Η παραγωγή είναι ένα ουσιαστικό κομμάτι σχεδόν κάθε οικονομίας γιατί χαρακτηρίζεται από δύο κυρίως στοιχεία, δημιουργία πλούτου και περισσότερες δουλειές (61). Η γραμμή παραγωγής είναι ένα σύνολο διαδοχικών διαδικασιών κατά τις οποίες υλικά διέρχονται μέσα από διαδικασίες επεξεργασίας και συναρμολόγησης και σχηματίζουν ένα τελικό προϊόν το οποίο προορίζεται για κατανάλωση. Τα σημερινά συστήματα παραγωγής μπορούν να χωριστούν σε βασικές κατηγορίες. Τις αποκλειστικές γραμμές παραγωγής και τα ευέλικτα συστήματα παραγωγής. Σε μια αποκλειστική γραμμή γίνεται παραγωγή και επεξεργασία ενός συγκεκριμένου προϊόντος, συνήθως από σταθμούς μηχανικής κατεργασίας (CNC) οι οποίοι λειτουργούν ταυτόχρονα αυξάνοντας με αυτόν τον τρόπο τον αριθμό των παραγόμενων κομματιών άρα και του κόστους παραγωγής. Οι ευέλικτες γραμμές παραγωγής αποτελούνται από ένα σύνολο εξειδικευμένου εξοπλισμού το οποίο μπορεί να παράγει ή να επεξεργαστεί μια ποικιλία προϊόντων, προσφέροντας ένα σύστημα παραγωγής με περισσότερες δυνατότητες και λειτουργίες και κατά συνέπεια αυξημένη ευελιξία. Οι αποκλειστικές γραμμές παραγωγής έχουν συνήθως υψηλή χωρητικότητα αλλά περιορισμένη λειτουργικότητα. Είναι οικονομικά αποδοτικές όσο παράγουν ένα συγκεκριμένο προϊόν και η ζήτηση του προϊόντος υπερβαίνει την προσφορά. Με την αυξανόμενη πίεση του παγκόσμιου ανταγωνισμού, υπάρχουν περιπτώσεις όπου οι αποκλειστικές γραμμές δεν λειτουργούν στην πλήρη δυναμικότητα τους, γεγονός το οποίο δημιουργεί οικονομικές απώλειες στη βιομηχανία καθότι το κεφάλαιο που έχει επενδυθεί δεν αξιοποιείται με το βέλτιστο τρόπο. Τα ευέλικτα συστήματα, από την άλλη πλευρά, κατασκευάζονται με όλη την ευελιξία και τη λειτουργικότητα διαθέσιμη εξ αρχής, ακόμη σε περιπτώσεις που μπορεί να μην κρίνεται απαραίτητο. Η αξία του εξοπλισμού για το σχηματισμό μιας ευέλικτης γραμμής παραγωγής παραμένει υψηλή σε σχέση με τις αποκλειστικές γραμμές παραγωγής οι οποίες αποτελούνται από χαμηλής αξίας συστήματα αυτοματισμών. Τα τελευταία χρόνια διαπιστώνεται ότι οι παραπάνω περιορισμοί έχουν αρκετές φορές σοβαρές επιπτώσεις σε μια βιομηχανία που στοχεύει να είναι ανταγωνιστική σε παγκόσμιο επίπεδο (Korn, 006). Εικόνα : Κόστος συστήματος παραγωγής σε συνάρτηση με την απαιτούμενη χωρητικότητα. (Korn, 1996) 10

11 Τα παραπάνω συμπεράσματα οδήγησαν στην αναζήτηση ενός συστήματος παραγωγής το οποίο θα είναι σε θέση να αυξομειώνει τόσο στην ποσότητα των παραγόμενων προϊόντων όσο και την ποικιλία αυτών (Korn, 1999). Τα συστήματα αυτά ονομάζονται επαναδιαμορφώσιμα συστήματα παραγωγής και εξ ορισμού πρέπει να έχουν την δυνατότητα να συνδυάζουν την υψηλή απόδοση των αποκλειστικών γραμμών παραγωγής με την ευελιξία των ευέλικτων συστημάτων. Το κυριότερο πλεονέκτημα το οποίο αποτελεί ίσως και τον κυριότερο στόχο για την ανάπτυξη τέτοιων συστημάτων είναι το γεγονός ότι θα πρέπει να προσφέρουν σε μια βιομηχανική επιχείρηση τη δυνατότητα να ανταποκρίνεται στις αλλαγές που εμφανίζονται με ταχύ και οικονομικό τρόπο. Ο σχεδιασμός εργοστασίων με επαναδιαμορφώσιμους εξοπλισμούς και συστήματα παραγωγής κρίνεται ζωτικής σημασίας για την επιβίωση τέτοιων επιχειρήσεων στο μέλλον, κάτι το οποίο προκύπτει και από τη συνεχόμενη μεταβολή των παραγόντων του εξωτερικού αλλά και εσωτερικού περιβάλλοντος. Οι ορισμοί που έχουν δοθεί για τα επαναδιαμορφώσιμα συστήματα παραγωγής, άλλοι με προσανατολισμό στην παραγωγική διαδικασία και άλλοι και πιο τεχνικοί, είναι οι παρακάτω. Ο Erixon το 1996, ορίζει τα επαναδιαμορφώσιμα συστήματα στην παραγωγή ως εξής: Η επαναδιαμόρφωση ενός συστήματος απορρέει από τη διαμόρφωση του συστήματος. Η διαμόρφωση συνδέεται με το σχεδιασμό, την επιλογή και τη σύνθεση των τμημάτων από ένα τμηματικό σύνολο κατασκευής, βάση των διευκρινίσεων και των απαιτήσεων του χρήστη. Οι επαναδιαμορφώσεις είναι μετέπειτα μετατροπές και τροποποιήσεις της δομής, της λειτουργικότητας, της ικανότητας παραγωγής και της τεχνολογίας αντικαθιστώντας, συμπληρώνοντας και αφαιρώντας διακριτά, αυτόνομα λειτουργικά συστατικά στοιχεία (Erixon t al., 1996). Μέσα από αυτόν τον ορισμό διαφαίνεται η σύγκριση των απαιτήσεων των παραγωγών και των χρηστών. Συστήματα Παραγωγής Ορισμοί Αποκλειστικές γραμμές παραγωγής Ddicatd Manufacturing Lins Μηχανικό σύστημα σχεδιασμένο με στόχο την παραγωγή συγκεκριμένων κομματιών σε μεγάλες ποσότητες. Η οικονομική αποδοτικότητα επιτυγχάνεται μέσω της βελτιστοποίησης και του σχεδιασμού της γραμμής παραγωγής Ευέλικτα συστήματα παραγωγής Flxibl Manufacturing Systms Ολοκληρωμένο σύστημα ηλεκτρομηχανολογικού εξοπλισμού και εργαλειομηχανών επεξεργασίας και διαχείρισης υλικών. Το σύστημα ελέγχεται μέσω ηλεκτρονικού υπολογιστή, έτσι ώστε να επιτυγχάνεται όσο το δυνατόν περισσότερο η αυτοματοποίηση των διαδικασιών επεξεργασίας και παραγωγής. Στόχος μιας βιομηχανίας που υιοθετεί μια ευέλικτη γραμμή παραγωγής είναι η οικονομικά αποδοτική παραγωγή τμημάτων προιόντων, τα οποία δύναται να παρουσίασουν μικρές διαφοροποιήσεις με την πάροδο του χρόνου, τόσο σε θέματα ποιότητας και σχεδιασμού όσο και σε θέματα ποσότητας παραγώμενων κομματιών. Επαναδιαμορφώσιμα συστήματα παραγωγής Rconfigurabl Manufacturing Systms Σύστημα παραγωγής σχεδιασμένο για την ταχεία αλλαγή της δομής του, έτσι ώστε να μπορεί γρήγορα να προσαρμοστεί στον απαιτούμενο όγκο παραγωγής αλλά και στις λειτουργικές απαιτήσεις που εμφανίζονται κατά την εισαγωγή ενός νέου προιόντος στην αγορά. Στόχος του συστήματος είναι να παρέχει την λειτουργικότητα και την χωρητικότητα που χρειάζεται, όσο το δυνατόν γρηγορότερα. Πίνακας 1 : Ορισμοί συστημάτων παραγωγής (El Maraghy, 006) 11

12 Χαρακτηριστικά Κατά τη σχεδίαση ενός επαναδιαμορφώσιμου συστήματος παραγωγής πρέπει να λαμβάνονται υπόψιν κάποια βασικά χαρακτηριστικά και κάποιες ικανότητες που θα πρέπει να έχει το σύστημα τα οποία αποτελούν στοιχεία κλειδιά. Αυτά τα χαρακτηριστικά ισχύουν για το σχεδιασμό ολόκληρων παραγωγικών συστημάτων, καθώς και των υποσυστημάτων τους όπως τα μηχανήματα που εκτελούν τις διαδικασίες της παραγωγής, τους ελεγκτές αλλά και το λογισμικό που είναι απαραίτητο για το χειρισμό των μηχανημάτων. Χωρίς τα χαρακτηριστικά αυτά η διαδικασία επαναδιαμόρφωσης απαιτεί μεγάλο χρονικό διάστημα και ανθρώπινο δυναμικό, έχει αυξημένο κόστος και κατά συνέπεια καθίσταται ασύμφορη. Παρακάτω γίνεται μια σύντομη περιγραφή των 6 χαρακτηριστικών που πρέπει έχει ένα επαναδιαμορφώσιμο σύστημα παραγωγής (Korn, 006). Ικανότητα επέκτασης. Το σύστημα παραγωγής θα πρέπει να έχει τη δυνατότητα να αυξομειώνει τον συνολικό αριθμό των παραγόμενων προϊόντων μέσω της προσθαφαίρεσης ή της αναδιάταξης των υποσυστημάτων που εκτελούν τις διαδικασίες της παραγωγής. Ικανότητα μετατροπής. Τα υποσυστήματα που σχηματίζουν τη συνολική γραμμή παραγωγής θα πρέπει να είναι εφικτό να συνδυαστούν με διαφορετικούς τρόπους έτσι ώστε να μπορούν να εκτελέσουν διαφορετικές διεργασίες και κατά συνέπεια να παράγουν διαφορετικούς τύπους προϊόντων που θα ανταποκρίνονται σε νέες πιθανόν διαφοροποιημένες απαιτήσεις. Ικανότητα επέκτασης. Το σύστημα παραγωγής θα πρέπει να έχει τη δυνατότητα να αυξομειώνει τον συνολικό αριθμό των παραγόμενων προϊόντων μέσω της προσθαφαίρεσης ή της αναδιάταξης των υποσυστημάτων που εκτελούν τις διαδικασίες της παραγωγής. Τμηματοποίηση. Οι λειτουργίες του συστήματος θα πρέπει να κατακερματίζονται σε στοιχειώδεις λειτουργίες, ο συνδυασμός των οποίων θα μπορεί να προσφέρει διαφορετικά υποσυστήματα με διαφορετικές λειτουργικές δυνατότητες. Αυτό το χαρακτηριστικό δεν ισχύει μόνο για το μηχανολογικό εξοπλισμό αλλά και για τα κτίρια, τις εγκαταστάσεις παραγωγής, τα συστήματα πληροφοριών και το λογισμικό. Ικανότητα ολοκλήρωσης. Το σύστημα θα πρέπει να προσφέρει τη δυνατότητα να σχηματίζονται ολοκληρωμένα υποσυστήματα επεξεργασίας, ελέγχου και λογισμικού με την κατάλληλη ενσωμάτωση των επιμέρους στοιχείων που είναι διαθέσιμα. Ικανότητα διάγνωσης. Σε κάθε επαναδιαμορφώσιμο σύστημα παραγωγής θα πρέπει να προσφέρεται η δυνατότητα διάγνωσης τυχόν αποκλίσεων που παρουσιάζονται κατά την εκτέλεση των διεργασιών, έτσι ώστε ο χειριστής του συστήματος να μπορεί να εντοπίσει που οφείλονται οι αποκλίσεις αυτές και να τις ελαχιστοποιήσει. Ένα σύστημα που έχει ικανότητες προσαρμογής, μετατροπής και επέκτασης μπορεί να χαρακτηριστεί επαναδιαμορφώσιμο. Τα τρία αυτά βασικά χαρακτηριστικά στοχεύουν άμεσα στη μείωση του κόστους παραγωγής ενός προϊόντος. Η τμηματοποίηση, και οι ικανότητες ολοκλήρωσης και διάγνωσης προσφέρουν στο σύστημα την δυνατότητα να επαναδιαμορφώνεται γρηγορότερα και κατά συνέπεια συνδέονται άμεσα με την μείωση του χρόνου και της προσπάθειας που απαιτείται για να ολοκληρωθούν οι διαδικασίες της μετατροπής και της επέκτασης του συστήματος. Κάθε βιομηχανική επιχείρηση και κατά συνέπεια και τα συστήματα παραγωγής που χρησιμοποιεί πρέπει να έχουν τρεις στόχους: να παράγουν με χαμηλό κόστος, να αυξάνουν την ποιότητα του προϊόντος και να έχουν ικανότητες γρήγορης προσαρμογής. Τα επαναδιαμορφώσιμα συστήματα επικεντρώνονται στην επίτευξη του τρίτου στόχου προσαρμοστικότητα με χαμηλό κόστος στον κατάλληλο χρόνο (Korn, 006). Στον πίνακα δίνεται μια συγκριτική παράθεση των ευέλικτων συστημάτων σε σχέση τα επαναδιαμορφώσιμα συστήματα και τις αποκελειστικές γραμμές παραγωγής (ElMaraghy, 006). 1

13 Αποκλειστικές γραμμές παραγωγής Επαναδιαμορφώσιμα Ευέλικτα συστήματα συστήματα παραγωγής παραγωγής Δομή συστήματος Προκαθορισμένη Διαμορφώσιμη Διαμορφώσιμη Δομή μηχανών Προκαθορισμένη Διαμορφώσιμη Προκαθορισμένη Εστιάση συστήματος Κομμάτι Οικογένεια κομματιών Εργαλείομηχανή Ευελιξία Όχι Προσαρμοσμένη Γενική Επεκτασιμότητα Όχι Ναι Ναι Ταυτόχρονα ενεργά εργαλεία Ναι Ναι Όχι Κόστος Χαμηλό Σχετικά Χαμηλό Υψηλό Πίνακας : Βασικές διαφορές μεταξύ συστημάτων παραγωγή (Korn, 005) Ο πυρήνας των επαναδιαμορφώσιμων συστημάτων σε επίπεδο παραγωγής είναι οι επαναδιαμορφώσιμες εργαλειομηχανές. Πρακτικά οι επαναδιαμορφώσιμες εργαλειομηχανές, είναι διατάξεις μηχανικών, ηλεκτρικών, υπολογιστικών και άλλων συστημάτων σε μια ολοκληρωμένη λειτουργική δομή, την οποία ο χρήστης του συστήματος έχει τη δυνατότητα να μεταβάλλει ανάλογα με τις εκάστοτε απαιτήσεις. Η μεταβολή αυτή μπορεί να γίνει είτε με την διάταξη των επιμέρους συστημάτων με διαφορετικό τρόπο είτε με την προσθαφαίρεση τους από το σύστημα. Η αλλαγή της δομής και της μορφής τέτοιων συστημάτων δεν απαιτεί μεγάλο χρονικό διάστημα και κόστος, καθώς ο σχεδιασμός των υποσυστημάτων που τα αποτελούν έχει γίνει με τέτοιες προδιαγραφές έτσι ώστε να εξυπηρετεί ακριβώς αυτό το σκοπό. Οι επαναδιαμορφώσιμες εργαλειομηχανές αποτελούνται από συστήματα στήριξης και τοποθέτησης, συστήματα συναρμολόγησης, επεξεργασίας υλικών, και τέλος συστήματα βαθμονόμησης και ελέγχου ποιότητας (Bi t al., 007). Στις παρακάτω εικόνες φαίνονται μερικά παραδείγματα. Η ευελιξία που προσφέρει ένα τέτοιο σύστημα μεταφράζεται άμεσα σε οικονομικά και παραγωγικά μεγέθη. Επιπλέον το κόστος του ίδιου του συστήματος μπορεί να μειωθεί σε μεγάλο βαθμό, αφού ο αριθμός των υποσυστημάτων που απαιτούνται για το σχηματισμό μιας συγκεκριμένης διάταξης μπορεί να καθοριστεί από τον τελικό χρήστη χωρίς να επιβαρύνεται από το κόστος επιπλέον χαρακτηριστικών και εξαρτημάτων που δεν είναι απαραίτητα. Εικόνα 3 : Επαναδιαμορφώσιμη εργαλειομηχανή σε δύο διαφορετικές διαμορφώσεις των υποσυστημάτων που την αποτελούν (Landrs t al, 001) 13

14 Εμπόδια και στόχοι Παρόλο που τα επαναδιαμορφώσιμα συστήματα παραγωγής μπορούν να προσφέρουν λύση στα προβλήματα και στις αυξανόμενες απαιτήσεις μιας σύγχρονης βιομηχανίας σε αρκετά επίπεδα, η υιοθέτησή τους δεν έχει πραγματοποιηθεί σε μεγάλο βαθμό και αυτό οφείλεται σε μια σειρά παραγόντων που αναλύονται παρακάτω (Rogrs & Bottaci, 1995),(ElMaraghy, 005),(Bi t al. 008), (Korn & Sphitalni, 010). Αρχικά, η εξ ολοκλήρου αλλαγή και αντικατάσταση ενός μεγάλου αριθμού μηχανημάτων παραγωγής αποτελεί μια πολύ χρονοβόρα διαδικασία με πολύ υψηλό κόστος. Ιδιαίτερα αυξημένο είναι όμως και το κόστος ενός επαναδιαμορφώσιμου συστήματος παραγωγής κάτι το οποίο αποτελεί ένα αρκετά αρνητικό παράγοντα. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι τα ήδη υπάρχοντα επαναδιαμορφώσιμα συστήματα δεν βρίσκονται σε ώριμη φάση και αυτό αποτελεί εμπόδιο στο να πειστούν οι βιομηχανίες για την αποτελεσματικότητά τους έτσι ώστε να προχωρήσουν σε μια ανάλογη επένδυση. Ένας άλλος παράγοντας είναι ότι είναι αρκετά δύσκολο να υπάρξει μια ομαλή μετάβαση από τα ευέλικτα στα επαναδιαμορφώσιμα συστήματα καθώς δεν έχει αναπτυχθεί ακόμα εξοπλισμός ο οποίος να μπορεί να ενσωματωθεί στον ήδη υπάρχοντα συστήματα παραγωγής. Τα υπάρχοντα συστήματα αποτελούνται από εξειδικευμένα εξαρτήματα διαφορετικών εταιριών με ετερογενή γεωμετρικά χαρακτηριστικά και διαφορετικά πρότυπα σχεδιασμού. Η ενσωμάτωση διαφορετικών μη τμηματοποιημένων υποσυστημάτων απαιτεί επιπλέον χρόνο, κόστος και προσπάθεια, ενώ αρκετές φορές ο συνδυασμός εξαρτημάτων διαφορετικών εταιρειών είναι ανέφικτος. Στα παραπάνω μειονεκτήματα πρέπει να προστεθεί το γεγονός ότι, σε τεχνικό επίπεδο η ποιότητα και η ακρίβεια που μπορεί να προσφέρει ένα επαναδιαμορφώσιμο σύστημα είναι ακόμα σε χαμηλά επίπεδα κάτι το οποίο είναι αρνητικό για μια μονάδα παραγωγής η οποία με ένα τυπικό σύστημα μπορεί να πετύχει μεγαλύτερη ακρίβεια, χαμηλότερο κόστος και υψηλότερη ποιότητα στο παραγόμενο προϊόν. Σύμφωνα με τις παραπάνω διαπιστώσεις ένα επαναδιαμορφώσιμο σύστημα δεν αποτελεί ακόμη τη βέλτιστη λύση σε ρεαλιστικό επίπεδο και όπως έχει διαπιστωθεί, τα ευέλικτα συστήματα φαίνεται να ανταποκρίνονται σε μεγάλο βαθμό τις έως τώρα απαιτήσεις με ικανοποιητική απόδοση και ευελιξία. Στη παρούσα φάση έχει παρατηρηθεί ότι οι εταιρίες προκειμένου να προσαρμοστούν ως ένα βαθμό στις μεταβαλλόμενες απαιτήσεις της αγοράς προτιμούν να βρίσκουν λύσεις με την αναδιάρθρωση της οργανωτικής δομής αλλά και την αξιοποίηση περισσότερου ανθρώπινου δυναμικού. Τα περισσότερα από τα παραπάνω προβλήματα όπως συμπεραίνεται και στη βιβλιογραφία οφείλονται στο γεγονός ότι η έρευνα και το θεωρητικό πλαίσιο των επαναδιαμορφώσιμων συστημάτων βρίσκεται ακόμα σε κατάσταση ανάπτυξης κάτι το οποίο οφείλεται εν γένει στην αυξημένη πολυπλοκότητα που παρουσιάζουν τα συστήματα αυτά. Σημαντικός παράγοντας που στέκεται επίσης εμπόδιο στην έρευνα για την ανάπτυξη των κατάλληλων μοντέλων και μεθοδολογιών αποτελεί το γεγονός ότι η σχεδίαση επαναδιαμορφώσιμου μηχανολογικού εξοπλισμού αλλά και λογισμικού απαιτεί μεγάλο όγκο αξιοποιήσιμων πληροφοριών, οι οποίες σχετίζονται με τα διάφορα στάδια παραγωγής. Οι μέχρι τώρα έρευνες βασίζονται σε απλοποιημένες και διαισθητικές υποθέσεις διότι οι απαιτούμενες πληροφορίες είναι εξαιρετικά δύσκολο να αντληθούν, να ποσοτικοποιηθούν και εν συνεχεία να εξεταστούν. Κατά συνέπεια η υπάρχουσα ερευνητική δραστηριότητα επικεντρώνεται στον τρόπο με τον οποίο μπορεί να επαναδιαμορφωθεί ένα σύστημα και πως θα μπορούσαν να σχεδιαστούν τα κατάλληλα υποσυστήματα έτσι ώστε να πληρούν τις αρχές της επαναδιαμόρφωσης, ενώ μέχρι στιγμής δεν επικεντρώνεται στον τρόπο με τον οποίο θα μπορούσαν να ολοκληρωθούν οι ζητούμενες διαδικασίες επαναδιαμόρφωσης και ποιες συνέπειες αυτές θα έχουν. 14

15 Η έλλειψη συστηματικής μεθοδολογίας είναι κάτι το οποίο προκαλεί περαιτέρω προβλήματα. Ένα από αυτά είναι και η αδυναμία σύστασης ενός οργανισμού ο οποίος θα καθορίζει κάποια πρότυπα σχεδιασμού σύμφωνα με τα οποία θα πρέπει να κατασκευάζονται τα επιμέρους υποσυστήματα ενός επαναδιαμορφώσιμου συστήματος παραγωγής. Το γεγονός αυτό εμποδίζει σημαντικά την ανάπτυξη ενός καθολικού συστήματος με ρεαλιστικές δυνατότητες. Εδώ θα πρέπει να τονιστεί η τυποποίηση και η τμηματοποίηση ενός μεγάλου αριθμού υποσυστημάτων και κυρίως λειτουργιών και διαδικασιών για την σύνθεση των απαραίτητων βιβλιοθηκών αλλά και για τον καθορισμό ενός ενιαίου συστήματος αναπαράστασης είναι μια πολύπλοκη υπόθεση και αυτό θέτει περαιτέρω εμπόδια. Επιπλέον, από πλευράς λειτουργικών δυνατοτήτων και απαιτήσεων είναι εύκολο να καταλάβει κανείς ότι η ολοκληρωμένη συσχέτιση της διαδικασίας του σχεδιασμού με τη διαδικασία της παραγωγής είναι μια ιδιαίτερα ασαφής διαδικασία διότι απαιτείται η ύπαρξη έγκυρων και ενημερωμένων σχεδιαστικών πηγών και αρχείων κάτι το οποίο δεν συνηθίζεται ή δεν είναι λογικό καθώς υπάρχουν αρκετές διαφοροποιήσεις από το στάδιο του σχεδιασμού μέχρι το τελικό στάδιο της παραγωγής ενός προϊόντος. Οι στόχοι που έχουν τεθεί κατά καιρούς για τα επαναδιαμορφώσιμα συστήματα βασίζονται κυρίως στο να ξεπεραστούν τα εμπόδια που έχουν να κάνουν με την έρευνα και πιο συγκεκριμένα την ανάπτυξη των κατάλληλων μεθοδολογιών. Οι βασικότεροι στόχοι έχουν να κάνουν με: Την καθιέρωση ανοιχτών προτύπων και μεθόδων σχεδιασμού, μεθόδων κατηγοριοποίησης των λειτουργιών των εργαλειομηχανών καθώς και την ανάπτυξη κατάλληλων και έγκυρων βιβλιοθηκών μέσα από τις οποίες θα είναι εφικτή η άντληση πληροφοριών για κάθε υποσύστημα και τα χαρακτηριστικά του (απόδοση,διαστάσεις). Την σχεδίαση υποσυστημάτων με τις κατάλληλες διεπαφές οι οποίες θα επιτρέπουν την στιβαρή ενσωμάτωση άλλων υποσυστημάτων χωρίς να προκύπτουν αποκλίσεις στις εργασίες που εκτελούνται. Την αυτόματη επαναδιαμόρφωση μιας ομάδας υποσυστημάτων για την προσαρμογή στην εκτέλεση νέας ομάδας εργασιών. Την καθιέρωση μέτρων με τα οποία θα είναι εφικτή η μέτρηση της πολυπλοκότητας, της παραγωγικότητας αλλά και των βαθμών ευελιξίας και προσαρμοστικότητας μιας επιχείρησης. Τον αυτοματοποιημένο προγραμματισμό αλλά και έλεγχο μέσω του κατάλληλου λογισμικού αλλά και ελεγκτών σύμφωνα με τα οποία το σύστημα θα είναι ικανό να προσαρμοστεί σε ένα μεγαλύτερο φάσμα λειτουργιών. Την ανάπτυξη κατάλληλα διαμορφωμένου εξοπλισμού ο οποίος θα μπορεί να ενσωματωθεί στα ήδη υπάρχοντα συστήματα έτσι ώστε να υπάρξει ομαλή μετάβαση από την μια γενιά συστημάτων στην άλλη. Την ανάπτυξη κατάλληλων μοντέλων σύμφωνα με τα οποία θα μπορούν να μετρηθούν οικονομικά μεγέθη που προκύπτουν από τη χρήση επαναδιαμορφώσιμων συστημάτων σε όλα τα στάδια της παραγωγής. Την ανάπτυξη μοντέλων και μεθόδων για τον πλήρη και ακριβή προσδιορισμό των παραμέτρων της παραγωγής. Την εξέταση και την έρευνα θεμάτων που έχουν να κάνουν με την επίδραση των επαναδιαμορφώσιμων συστημάτων στο ευρύτερο κοινωνικό περιβάλλον αλλά και την δημιουργία τρόπων επικοινωνίας και ανταλλαγής πληροφοριών μεταξύ των κατασκευαστών επαναδιαμορφώσιμου εξοπλισμού και των χειριστών του εξοπλισμού. 15

16 Μεταμορφικοί Βραχίονες Εισαγωγή Με τον όρο ρομπότ αναφερόμαστε σε μηχανικά ηλεκτρολογικά συστήματα μέτριας έως μεγάλης πολυπλοκότητας τα οποία είναι κατασκευασμένα για να εκτελούν κάποια συγκεκριμένη εργασία ή ένα σύνολο εργασιών. Τα ρομποτικά συστήματα διαχωρίζονται από τα απλά μηχανικά συστήματα ή τα συστήματα αυτοματισμού με βάση το πλήθος των εργασιών που μπορούν να υλοποιήσουν. Αν μια μηχανή μπορεί να προγραμματιστεί έτσι ώστε να υλοποιεί ένα μεγάλο εύρος εφαρμογών, τότε πιθανόν κατατάσσεται στις ρομποτικές διατάξεις. Διαφορετικά, εάν περιορίζεται στην εκτέλεση μιας συγκεκριμένης κατηγορίας εργασιών εντάσσεται στα απλά συστήματα αυτοματισμού (Graig, 1986). Η βασικότερη ίσως διαφορά μεταξύ απλών και ρομποτικών μηχανισμών είναι το γεγονός ότι οι μηχανισμοί σχεδιάζονται για πολύ συγκεκριμένες εργασίες και ως εκ τούτου έχουν συνήθως μόνο ένα βαθμό ελευθερίας, σε αντίθεση με τους ρομποτικούς μηχανισμούς οι οποίοι σχεδιάζονται για την εκτέλεση μιας μεγάλης ομάδας εργασιών και κατά συνέπεια απαιτείται να έχουν περισσότερους βαθμούς ελευθερίας (Murray t al., 1994). Εικόνα 4 : Εμπορικά ρομποτικά συστήματα με διαφορετικές λειτουργικές δυνατότητες Οι ρομποτικοί βραχίονες εμφανίστηκαν τη δεκαετία του 60 και σύμφωνα με τον Angls προέκυψαν από το συνδυασμό των κλασσικών μηχανικών χειριστών με τα μηχανήματα NC. Το 1954 ο Dvol, κατοχύρωσε τα διακαιώματα ενός μηχανισμού τον οποίο ονόμασε προγραμματιζόμενη αρθρωτή μηχανή μεταφοράς (programmd articulatd transfr dvic). Ο μηχανισμός αυτός προοριζόταν για διάφορες εργασίες σε σταθμούς επεξεργασίας ραδιενεργών υλικών (Angls, 007). Η εξέλιξη των ρομπότ τα τελευταία χρόνια είναι αρκετά μεγάλη και πλέον αποτελούν σύνθετα συστήματα με ενσωματωμένα υποσυστήματα τα οποία είναι απαραίτητα για τη λειτουργία τους. Όπως φαίνεται και στην εικόνα 5 ένα ολοκληρωμένο ρομποτικό σύστημα αποτελείται από το βραχίονα, την πηγή εξωτερικής τροφοδοσίας για την παροχή ενέργειας, τους αισθητήρες ανατροφοδότησης, το εργαλείο που είναι κατάλληλο για την εκτέλεση της εργασίας, το υπολογιστικό σύστημα καθώς και τη μονάδα ελέγχου μέσω της οποίας πραγματοποιείται ο έλεγχος του βραχίονα (Spong, Hutchinson & Vidyasagar 006). Σημαντικό μέρος του συστήματος αποτελεί και το λογισμικό το οποίο καθορίζει σε μεγάλο βαθμό τη γενικότερη συμπεριφορά του συστήματος, ενώ τα περισσότερα συστήματα συνοδεύονται από συσκευή εκπαίδευσης με την οποία μπορεί ο χειριστής να ρυθμίσει την κίνηση του βραχίονα όταν αυτή δεν καθορίζεται αυτόματα από το λογισμικό ελέγχου. 16

17 Τη δεκαετία του 1980 έγιναν αρκετές προσπάθειες για την βελτιστοποίηση της εκτέλεσης διάφορων εργασιών από βιομηχανικά ρομπότ, αξίζει όμως να σημειωθεί ότι δεν υπήρξαν σημαντικές έρευνες για το σχεδιασμό νέων τύπων ρομπότ. Το μεγαλύτερο κομμάτι της έρευνας κατά τη δεκαετία αυτή αφορούσε την κατανόηση των αλγορίθμων ελέγχου, των αλγορίθμων προγραμματισμού της τροχιάς του άκρου εργασίας και την ανάπτυξη των κατάλληλων τρόπων ανατροφοδότησης του συστήματος με πληροφορίες μέσω διαφορετικών τύπων αισθητήρων (Murray t al., 1994). Εικόνα 5 : Απαραίτητα υποσυστήματα ρομποτικού βραχίονα (Spong, Hutchinson & Vidyasagar 006) Πλέον υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός εξειδικευμένων συστημάτων στο εμπόριο με διαφορετικό σχεδιασμό. Ο σχεδιασμός ενός βραχίονα αποτελεί μια διαδικασία η οποία καθορίζεται σε μεγάλο βαθμό από τις εργασίες τις οποίες προορίζεται να εκτελέσει ο βραχίονας. Ο τύπος των εργασιών καθορίζει τις λειτουργικές απαιτήσεις του συστήματος και σύμφωνα με αυτές ο εκάστοτε σχεδιαστής θα πρέπει (Siciliano & Khatib, 008) :, να καθορίσει την τοπολογία της κινηματικής αλυσίδας, να διαστασιολογήσει τα μέλη του βραχίονα που ενώνουν τις αρθρώσεις του συστήματος έτσι ώστε να ανταποκρίνονται στις στατικές αλλά και δυναμικές φορτίσεις που αντίστοιχα επιδρούν ή πρόκειται να επιδράσουν στο σύστημα και τέλος να επιλέξει τον κατάλληλο τύπο αρθρώσεων εάν όλα τα παραπάνω κριτήρια ικανοποιηθούν. Για τα παραπάνω στάδια του σχεδιαστικού προβλήματος σημαντικό ρόλο έχει η εμπειρία των σχεδιαστών αλλά και κάποιοι δείκτες οι οποίοι μπορούν να αποτελέσουν σημαντικά κριτήρια αξιολόγησης τόσο της δυναμικής όσο και της κινηματικής απόδοσης ενός βραχίονα. Τα κριτήρια αυτά έχουν σημαντική επίδραση και μπορούν να καθορίσουν εξολοκλήρου το συνολικό σχεδιασμό του συστήματος. Τα βασικότερα ίσως χαρακτηριστικά τα οποία δίνουν μια σαφή εικόνα της απόδοσης ενός ρομποτικού συστήματος είναι η ταχύτητα, η επιτάχυνση, η επαναληψιμότητα, η ανάλυση της κίνησης και η ακρίβεια στην τοποθέτηση ή τον προσανατολισμό του άκρου εργασίας (Siciliano & Khatib, 008). Σημαντικό χαρακτηριστικό το οποίο καθορίζει σε μεγάλο βαθμό το κομμάτι του σχεδιασμού είναι και το επιτρεπόμενο φορτίο το οποίο έχει τη δυνατότητα να χειριστεί ο βραχίονας. Σημαντικά κριτήρια για την επιλογή του κατάλληλου συστήματος αποτελούν επίσης, η ικανότητα του κατόχου να ενσωματώσει το γενικότερο σύστημα στο υπάρχον σύστημα παραγωγής, το κόστος για την εκπαίδευση των χειριστών και των προγραμματιστών του συστήματος, ο ελάχιστος χρόνος για τον κατάλληλο προγραμματισμό των διαδικασιών που πρόκειται να εκτελέσει το σύστημα καθώς και ο χρόνος που απαιτείται για τον επαναπρογραμματισμό του και την προσαρμογή του σε νέες εργασίες (Sclatr, 001). 17

18 Παρ όλη την ευελιξία που μπορούν να προσφέρουν τα ρομπότ στη βιομηχανική παραγωγή οι δυνατότητές τους τις περισσότερες φορές δεν αξιοποιούνται πλήρως. Πιο συγκεκριμένα χρησιμοποιούνται για την εκτέλεση εξειδικευμένων εργασιών και ως εκ τούτου σχεδιάζονται για την βέλτιστη απόδοση σε συγκεκριμένες ομάδες εργασιών. Η χρήση εξειδικευμένου εξοπλισμού οδηγεί στην απόκτηση μεγάλου αριθμού μηχανημάτων τα οποία έχουν συγκεκριμένες λειτουργικές δυνατότητες μειώνοντας την απαιτούμενη ευελιξία που χρειάζεται μια βιομηχανική επιχείρηση (Rogrs & Bottaci, 1995). Επιπλέον το κόστος του εξοπλισμού αρκετές φορές εκτός του ότι είναι αρκετά υψηλό, σαν κεφάλαιο επένδυσης παραμένει αναξιοποίητο δημιουργώντας επιπλέον οικονομικά προβλήματα. Το πρόβλημα αυτό είναι εντονότερο στις μικρότερες βιομηχανικές επιχειρήσεις που παράγουν μικρές ποσότητες διαφορετικών προϊόντων καθότι υπάρχουν περιπτώσεις όπου ο εξοπλισμός είναι δύσκολο, χρονοβόρο και απαιτεί αρκετό ανθρώπινο δυναμικό ώστε να προσαρμοστεί στις αλλαγές που προκύπτουν. Επιπλέον τα βιομηχανικά ρομπότ απαιτούν ένα πλήρως δομημένο περιβάλλον εργασίας με ειδικό εξοπλισμό και το λογισμικό ελέγχου τους αρκετές φορές ξεπερνάει την αξία του συστήματος κατά μεγάλο βαθμό, διαπιστώσεις οι οποίες αποτελούν σημαντικό εμπόδιο για την απόκτησή τους από μια βιομηχανική επιχείρηση (Rogrs & Bottaci, 1995). Τέλος, τα περισσότερα συστήματα που υπάρχουν σήμερα στη βιομηχανία καλύπτουν ένα σχετικά μικρό φάσμα της παραγωγής σε σχέση με τις πραγματικές τους δυνατότητες διότι απαιτούν μεγάλο χρόνο επαναπρογραμματισμού, διαδικασία η οποία τις περισσότερες αποφεύγεται (Bi t al, 008). Οι παραπάνω διαπιστώσεις οδήγησαν στην ανάπτυξη ρομποτικών διατάξεων με μεταβαλλόμενη δομή οι οποίες έχουν την ικανότητα να προσαρμόζονται σε ένα μεγαλύτερο εύρος εργασιών. Η ιδέα της επαναδιαμόρφωσης στους βιομηχανικούς βραχίονες πρωτοεμφανίστηκε το 1986 από τον Wurst (Wurst, 1986) ο οποίος προσδιορίζει ένα επαναδιαμορφώσιμο βραχίονα ως τη συναρμολόγηση διακριτών μηχανικών αρθρώσεων σε μια δομή η οποία ανήκει σε ένα σύνολο δομών που μπορούν να σχηματιστούν από τον αριθμό και τον τύπο των αρθρώσεων αυτών. Αργότερα η ανάγκη για ανάπτυξη ολοένα και πιο ευέλικτων συστημάτων παραγωγής οδήγησε όχι μόνο στο σχεδιασμό κατάλληλων μηχανικών εξαρτημάτων αλλά και λογισμικού ελέγχου το οποίο έχει δυνατότητες προσαρμογής σε ένα μεγαλύτερο φάσμα εργασιών αλλά και λειτουργικών απαιτήσεων. Η χρήση επαναδιαμορφώσιμων ρομπότ στη βιομηχανική παραγωγή οδήγησε αργότερα στην ανάπτυξη ολοκληρωμένων ρομποτικών κυψελίδων με δυνατότητες επαναδιαμόρφωσης (Chn, 001), όπως αυτή που φαίνεται στην εικόνα 6. Εικόνα 6 : Επαναδιαμορφώσιμη ρομποτική κυψελίδα με 3 διαφορετικούς τύπους ρομπότ (63) 18

19 Χαρακτηριστικά Ένας τυπικός μεταμορφικός βραχίονας αποτελείται από τα ενεργά και τα παθητικά μέρη. Τα ενεργά μέρη είναι οι κατάλληλα σχεδιασμένες αρθρώσεις που προσφέρουν την κίνηση στο σύστημα ενώ τα παθητικά μέρη προσφέρουν τις απαραίτητες δυνατότητες μετατροπής την ανατομίας και των λειτουργιών του συστήματος. Μια άλλη κατηγοριοποίηση των υποσυστημάτων ενός επαναδιαμορφώσιμου συστήματος μπορεί να γίνει βάσει των διαστάσεων τους, διαχωρίζοντας τα σε μεταβαλλόμενου και μη μεταβαλλόμενου μεγέθους τμήματα. Στη συγκεκριμένη εργασία χρησιμοποιούνται οι οροί ενεργά και παθητικά μέρη και ο διαχωρισμός γίνεται βάσει αυτών των ιδιοτήτων. Τόσο τα παθητικά όσο και τα ενεργά μέρη είναι τμηματοποιημένα, δηλαδή σχεδιασμένα με τέτοιο τρόπο ώστε να δίνεται η δυνατότητα να ενσωματωθούν πάνω τους άλλα μέρη του συστήματος τα οποία είναι και αυτά σχεδιασμένα με τις κατάλληλες γεωμετρικές προδιαγραφές. Ακολουθεί μια συνοπτική περιγραφή των υποσυστημάτων ενός μεταμορφικού βραχίονα και πως αυτά μπορούν να συνδυαστούν έτσι ώστε να σχηματίσουν μια ολοκληρωμένη ανατομία. Η βάση είναι ένα ανενεργό παθητικό μέλος το οποίο δεν προσφέρει κάποιου είδους κίνηση ή μετατροπή στο σύστημα και χρησιμεύει για την τοποθέτηση και τη στήριξη του βραχίονα. Στους απλούς βιομηχανικούς βραχίονες η βάση αποτελεί το πιο στιβαρό και βαρύ κομμάτι του συστήματος για λόγους διατήρησης της ισορροπίας και της ακρίβειας της κίνησης. Στους μεταμορφικούς βραχίονες η βάση συνήθως διαθέτει υποδοχές για την στήριξή της επάνω σε μια επιφάνεια προσφέροντας περισσότερη ευελιξία στην τοποθέτηση. Η θέση της βάσης σε σχέση με την εργασία που πρόκειται να εκτελέσει ο βραχίονας παίζει σημαντικό ρόλο και αποτελεί αντικείμενο έρευνας. Υπάρχουν βραχίονες οι οποίοι είναι τοποθετημένοι σε κινούμενες βάσεις προσφέροντας παραπάνω βαθμούς ελευθερίας στο σύστημα. Ένα απλό παράδειγμα είναι ένας βραχίονας τοποθετημένος σε μια πλατφόρμα η οποία με τη βοήθεια τροχών μπορεί να κινείται πάνω σε κάποιο επίπεδο. Εικόνα 7 : Επαναδιαμορφώσιμοι ρομποτικοί μηχανισμοί με διαφορετικές δυνατότητες (6) Οι ενεργές αρθρώσεις ή ενεργοποιητές είναι από τα κυριότερα συστατικά του συστήματος. Υπάρχουν διάφοροι τύποι ενεργών αρθρώσεων και συνήθως κατηγοριοποιούνται ανάλογα με το είδος της σχετικής κίνησης που αποδίδουν μεταξύ δύο συνδεδεμένων μελών. Ανάλογα με το είδος της κίνησης ονομάζονται γραμμικές, περιστροφικές, ελικοειδείς και σφαιρικές. Οι γραμμικές αρθρώσεις έχουν την δυνατότητα να μεταφέρουν τα επόμενα μέλη του βραχίονα κατά μήκος κάποιου άξονα, οι περιστροφικές (εικόνα 8) να το περιστρέφουν και οι σφαιρικές να το προσανατολίσουν προς πάσα κατεύθυνση αθροίζοντας τρεις περιστροφές γύρω από τρεις άξονες. Οι ελικοειδείς αρθρώσεις συνδυάζουν την κίνηση που προσφέρει μία γραμμική άρθρωση με αυτήν που προσφέρει μια περιστροφική. Εάν η κίνηση και των δύο αρθρώσεων είναι ταυτόχρονη τότε ένα σημείο που βρίσκεται στο τέλος της άρθρωσης διαγράφει ελικοειδή τροχιά. 19

20 Εικόνα 8 : Περιστροφικές ενεργές αρθρώσεις με τις οποίες μπορεί να σχηματιστεί ένα μεταμορφικό ρομπότ (66) Η κίνηση των ενεργών αρθρώσεων γίνεται με τη βοήθεια ενός ενσωματωμένου κινητήρα. Ο κινητήρας αυτός στις περισσότερες περιπτώσεις είναι μια ηλεκτρική σερβομηχανή ενώ υπάρχουν και βραχίονες που κινούνται με τη βοήθεια υδραυλικών ή άλλων συστημάτων. Για την ολοκλήρωση ενός τέτοιου συστήματος το οποίο θα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως υποσύστημα ενός μεταμορφικού βραχίονα απαιτείται επιπλέον ένας κωδικοποιητής, ένας ελεγκτής, ένας ενισχυτής καθώς και μια θύρα επικοινωνίας η από την οποία λαμβάνονται ή και αποστέλλονται πληροφορίες στον κεντρικό ελεγκτή. Οι ενεργές αρθρώσεις όπως και όλα τα υποσυστήματα ενός επαναδιαμορφώσιμου συστήματος θα πρέπει να έχουν τις κατάλληλες υποδοχές για να συνδέονται με τα άλλα μέλη του συστήματος και να σχηματίζουν μια ανοιχτή κινηματική αλυσίδα. Επιπλέον θα πρέπει να σχεδιάζονται ως αυτοτελή και ολοκληρωμένα λειτουργικά τμήματα (moduls) των οποίων η μηχανική και ηλεκτρονική λειτουργία δεν επηρεάζεται από τη λειτουργία των επόμενων ή προηγούμενων συνδεδεμένων υποσυστημάτων. Επειδή οι κινηματικές ιδιότητες ενός βραχίονα είναι ίσως το βασικότερο χαρακτηριστικό του συστήματος, ένας βραχίονας αρκετές φορές περιγράφεται βάσει αυτών από την ακολουθία των γραμμάτων που υποδηλώνουν τον τύπο των ενεργών αρθρώσεων. Έτσι για παράδειγμα ένας βραχίονας με περιστροφικές, μια γραμμική και περιστροφικές αρθρώσεις στη σειρά χαρακτηρίζεται από την ακολουθία RRPRR( rotational rotational prismatic rotational rotational ) στην Αγγλική ορολογία. Από τον αριθμό των ενεργών αρθρώσεων εξαρτάται όπως προαναφέρθηκε και ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας. Το παραπάνω σύστημα έχει 5 B.E (Βαθμούς Ελευθερίας) ή 5 D.O.F ( Dgrs of Frdom ). Οι ψευδοαρθρώσεις ή παθητικές αρθρώσεις είναι άκαμπτα τμήματα τα οποία βρίσκονται ανάμεσα σε δύο συνεχόμενες ενεργές αρθρώσεις και λειτουργούν ως συνδετικός κρίκος. Βέβαια αυτό δεν απαγορεύει να χρησιμοποιηθούν τύποι ψευδοαρθρώσεων που έχουν δυνατότητα να περιστρέψουν ή να μετασχηματίζουν γραμμικά το επόμενο μέλος του βραχίονα. Κατά τη λειτουργία του βραχίονα τα στοιχεία αυτά παραμένουν άκαμπτα. Με λίγα λόγια μια ψευδοάρθρωση ή μια ομάδα ψευδοαρθρώσεων μπορεί να θεωρηθεί οτιδήποτε παρεμβάλλεται ανάμεσα σε δύο ενεργές αρθρώσεις αποτελεί δηλαδή ένα μέλος (link) με μη καθορισμένη ανατομία και μεταβαλλόμενα γεωμετρικά χαρακτηριστικά. Τέτοιου τύπου αρθρώσεις συνήθως δεν διαθέτουν κάποιο είδος κινητήρα, εάν πρόκειται για περιστροφικές ή γραμμικές ψευδοαρθρώσεις, αλλά αυτό δεν αποτελεί περιορισμό, δηλαδή θα μπορούσε να υπάρξει μεταμορφικό σύστημα με ψευδοαρθρώσεις που κινούνται με τη βοήθεια κινητήρα, αλλά η ρύθμισή τους θα πρέπει να γίνεται πριν τεθεί το σύστημα σε λειτουργία. Αυτός ο περιορισμός πρέπει να λαμβάνεται υπόψη διότι η μορφή του βραχίονα που θα προκύψει πρέπει να είναι εκ των προτέρων γνωστή καθώς παίζει καθοριστικό ρόλο στον έλεγχο και στον τρόπο λειτουργίας του βραχίονα. 0

21 Εικόνα 9 : Σχηματισμός διαφορετικών ανατομιών με τη χρήση ίδιων ενεργών αρθρώσεων και διαφορετικών ψευδοαρθρώσεων (63) Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι οι μεταμορφικοί βραχίονες όπως εξετάζονται στην παρούσα εργασία δεν πρέπει να συγχέονται με τους βραχίονες με πλεονάζοντες (περισσότερους από 6) βαθμούς ελευθερίας. Η ελευθερία που προσφέρουν οι ψευδοαρθρώσεις στη μεταβολή των χαρακτηριστικών των μελών δεν υπολογίζονται στους βαθμούς ελευθερίας του συστήματος διότι κατά τη διάρκεια λειτουργίας του συστήματος παραμένουν αμετάβλητες δηλαδή δεν προσφέρουν κάποιου είδους κίνηση. Υπάρχει η δυνατότητα να συνδυαστούν πολλές ψευδοαρθρώσεις σε σειρά δίνοντας μια πιο πολύπλοκη διάταξη με περισσότερες δυνατότητες μετασχηματισμού. Τέλος, οι ψευδοαρθρώσεις είναι αναγκαίο να έχουν κάποιο συγκεκριμένο πρότυπο σχεδιασμού, θα πρέπει να διαθέτουν τις κατάλληλες υποδοχές έτσι ώστε να συνδέονται κατάλληλα με τα υπόλοιπα μέρη του συστήματος αλλά και την κατάλληλη στιβαρότητα έτσι ώστε να διατηρείται η ακρίβεια της λειτουργίας και της κίνησης του άκρου εργασίας. Το άκρο εργασίας δεν είναι τίποτε παραπάνω από μία κατάλληλη υποδοχή στην οποία τοποθετείται ένα εργαλείο κατάλληλο για να εκτελεστεί η εκάστοτε εργασία. Η ενσωμάτωσή του εργαλείου στο σύστημα προϋποθέτει την τοποθέτησή του σε μια κατάλληλη βάση έτσι ώστε να μπορεί να ταυτιστεί με το αμέσως προηγούμενο μέλος είτε αυτό είναι ενεργή άρθρωση είτε ψευδοάρθρωση. Πολλές φορές το άκρο εργασίας διαθέτει κάποιο αισθητήρα για την ανατροφοδότηση του συστήματος με πληροφορίες που αφορούν τη θέση του ή την ταχύτητά του ή κάποια άλλη μεταβλητή του εξωτερικού περιβάλλοντος. Αυτές οι πληροφορίες είναι αρκετά σημαντικές και σε αρκετές περιπτώσεις καθορίζουν σε μεγάλο βαθμό τη συνολική συμπεριφορά του συστήματος, μέσω της μονάδας του ελεγκτή. Ο ελεγκτής αποτελεί μια υπολογιστική μονάδα η οποία δέχεται πληροφορίες τόσο από το χειριστή του συστήματος, όσο και από το ίδιο το σύστημα με ανατροφοδότηση (μέσω κατάλληλων αισθητήρων) και καθορίζει ανάλογα τη συμπεριφορά του συστήματος στέλνοντας τις κατάλληλες εντολές στα επιμέρους υποσυστήματα. Συνδέεται συνήθως με κάποιο ηλεκτρονικό υπολογιστή ή κάποια μονάδα χειρισμού για τον προγραμματισμό και τον καθορισμό των κατάλληλων ρυθμίσεων. Τα παραπάνω δομικά στοιχεία στοιχεία αποτελούν τα απαραίτητα μηχανικά μέρη με τα οποία μπορεί να σχηματιστεί ένα μεταμορφικός βιομηχανικός βραχίονας. Όλα τα δομικά στοιχεία πρέπει να έχουν το χαρακτηριστικό της τμηματοποίησης που εμφανίζεται στα επαναδιαμορφώσιμα 1

22 συστήματα παραγωγής με την έννοια ότι ο σχεδιασμός τους πρέπει να βοηθάει την εναλλαγή και την αναδιάταξη των συστημάτων αυτών σε σύντομο χρονικό διάστημα. Έτσι μια ενεργή/ παθητική άρθρωση άρθρωση μπορεί να συνδεθεί με άλλες ενεργές/παθητικές αρθρώσεις με αρκετά εύκολο τρόπο και σε μικρό χρονικό διάστημα. Ένα εξίσου σημαντικό στοιχείο του συστήματος το οποίο δεν αναφέρεται παραπάνω είναι το λογισμικό μέσω του οποίου γίνονται οι απαραίτητες ρυθμίσεις και μετρήσεις των μεταβλητών του συστήματος. Η σχεδίαση του λογισμικού θα πρέπει να κατακερματιστεί σε κατάλληλα τμήματα έτσι ώστε η χρήση του να βοηθάει την ενσωμάτωση και την εναλλαγή των υποσυστημάτων, την προσαρμογή του βραχίονα στην εργασία, την διεξαγωγή μετρήσεων κτλ. Επιπλέον η ανάπτυξη του κατάλληλου λογισμικού απεικόνισης και προσομοίωσης της εργασίας κρίνεται αρκετές φορές απαραίτητη. Οι αλγόριθμοι και οι δείκτες που μετρούν την απόδοση του συστήματος συνήθως αποτελούν ξεχωριστό λογισμικό καθότι δεν επηρεάζουν τη λειτουργία του συστήματος αλλά την εξετάζουν. Με τη χρήση επαναδιαμορφώσιμου εξοπλισμού και λογισμικού ο σχηματισμός μιας ρομποτικής κυψελίδας όχι μόνο είναι εφικτό να γίνει σε μικρό χρονικό διάστημα αλλά και να μετατραπεί σε εξίσου μικρό χρόνο (μείωση του ramp up). Εικόνα 10 : Μεταμορφικός βραχίονας τοποθετημένος σε κινούμενη βάση η οποία σχηματίζεται από συγγενικά υποσυστήματα Τα πλεονεκτήματα χρήσης ενός μεταμορφικού βραχίονα σε επίπεδο παραγωγής συνδέονται άμεσα με τα πλεονεκτήματα που προσφέρει ένα επαναδιαμορφώσιμο σύστημα. Ευελιξία, προσαρμοστικότητα και κόστος παραγωγής είναι μερικά από αυτά. Επιπλέον, ένας μεταμορφικός βραχίονας μπορεί να προσφέρει μεγαλύτερη ακρίβεια στην κίνηση, ικανοποιητική επαναληψιμότητα, μικρότερη κατανάλωση ενέργειας και να συναρμολογηθεί πιο γρήγορα. Εδώ πρέπει να προστεθεί ότι σε εκπαιδευτικό επίπεδο ένα τέτοιο σύστημα μπορεί να συναρμολογηθεί με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε να πάρει διάφορες μορφές και να γίνει ένα οικονομικό εργαλείο που να μπορεί να μιμηθεί την κινηματική ήδη υπαρχόντων ρομπότ με μια απλή αναδιάταξη των ενεργών και των παθητικών αρθρώσεων. Τέλος, η αναδιάταξη των moduls μπορεί να οδηγήσει σε νέες μορφές συστημάτων που ξεφεύγουν από τον όρο ρομποτικός βραχίονας.

23 Σχετικές Έρευνες Οι πρώτες προσπάθειες για την κατασκευή επαναδιαμορφώσιμων ρομποτικών χειριστών ξεκίνησαν τη δεκαετία του 80 κατά την οποία έγινε αντιληπτή η ανάγκη για συστήματα με μεταβαλλόμενη γεωμετρική δομή. Τα έως τότε επαναδιαμορφώσιμα ρομπότ χρησιμοποιούνταν κυρίως για εκπαιδευτικούς λόγους. Εικόνα 11 : RMMS. Ένας από τους πρώτους βραχίονες, ο οποίος σχηματίζεται με τη συνένωση διαφορετικών moduls. (Schmitz, Khosla & Kanad, 1988) Ένα από τα πρώτα συστήματα (Schmitz, Khosla & Kanad, 1988) δημιουργήθηκε με σκοπό να καλύψει τις ανάγκες για ένα βραχίονα του οποίου η δομή θα μπορούσε να μεταβληθεί με ελάχιστη ανθρώπινη επέμβαση, υπό δύσκολες συνθήκες σε εργασίες εκτός παραγωγής. Το ολοκληρωμένο σύστημα συνόδευαν και κατάλληλοι αλγόριθμοι ελέγχου της κίνησης του βραχίονα. Την ίδια περίοδο παρουσιάστηκε ένα επαναδιαμορφώσιμο ρομπότ το οποίο ήταν ικανό να προσαρμόσει την ανατομία του αυτόνομα, με βάση κάποια προκαθορισμένα κριτήρια όπως τον ελάχιστο αριθμό απαιτούμενων βαθμών ελευθερίας, το συνδυασμό και τον τύπο των ενεργών αρθρώσεων αλλά και το μήκος των μελών που συνέδεαν τις ενεργές αρθρώσεις. Κριτήριο για την αναδιαμόρφωση του συστήματος αποτελούσε το μέγεθος του προσβάσιμου χώρου εργασίας (Fukuda & Nakagawa, 1988). Τις αρχές της δεκαετίας του 90 παρουσιάστηκε ακόμα μια ομάδα μηχανικών υποσυστημάτων από τα οποία ήταν δυνατόν να σχηματιστούν βραχίονες με διαφορετικές ανατομίες. Ο στόχος και ο προσανατολισμός αυτής της έρευνας ήταν η βιομηχανική παραγωγή και παρουσιάστηκε ως μια λύση για τις νέες απαιτήσεις της αγοράς που άρχιζαν να διακρίνονται στον ορίζοντα (Bnhabib & Dai 1988). Από τα μέσα της δεκαετίας του 90 το ενδιαφέρον για τους επαναδιαμορφώσιμους βραχίονες έγινε μεγαλύτερο με την παράλληλη ανάπτυξη του βασικού θεωρητικού πλαισίου των επαναδιαμορφώσιμων συστημάτων παραγωγής ως μια πιο αποδοτική 3

24 λύση από τα ευέλικτα συστήματα. Το επόμενο στάδιο των ερευνών επικεντρώθηκε στη βελτιστοποίηση της απόδοσης των υποσυστημάτων μιας γραμμής παραγωγής κάτι το οποίο μπορούσε να επιτευχθεί με τη χρήση επαναδιαμορφώσιμου εξοπλισμού. Εικόνα 1 : Ο βραχίονας των Bnhabib και Dai (Bnhabib & Dai 1988) Σε μια από τις πρώτες έρευνες για την αναζήτηση της καταλληλότερης ανατομίας με βάση την εργασία που επρόκειτο να εκτελεστεί η βελτιστοποίηση γίνεται με χρήση γενετικών αλγορίθμων οι οποίοι περιορίζονται από κριτήρια κινηματικής απόδοσης αλλά και φυσικούς περιορισμούς όπως μεγίστη γωνιά περιστροφής των ενεργών αρθρώσεων και το μέγιστο μήκος των μελών του συστήματος (Kim & Khosla, 199). Σημαντική έρευνα είναι επίσης είναι αυτή του Chn ο οποίος προτείνει ένα αλγόριθμο υπολογισμού των ελάχιστων υποσυστημάτων που απαιτούνται για το σχηματισμό μιας ανατομίας η οποία θα είναι ικανή να εκτελέσει μια προκαθορισμένη εργασία (Chn, 1994). Στη συγκεκριμένη έρευνα προτείνεται επίσης μια μέθοδος υπολογισμού του πλήθους των διαφορετικών ανατομιών το οποίο μπορεί να σχηματιστεί από δεδομένο αριθμό μελών και αρθρώσεων. Η βελτιστοποίηση γίνεται επίσης με τη χρήση γενετικού αλγορίθμου με κριτήριο την ελαχιστοποίηση των υποσυστημάτων και εν συνεχεία την αύξηση του μέτρου ευχέρειας (manipulability indx) του συστήματος. Εικόνα 13 : Βελτιστοποιημένη ανατομία με βάση την εργασία που πρόκειται να εκτελεστεί (Valsamos, Moulianitis & Aspragathos, 01) 4

25 Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι το πρόβλημα της βελτιστοποίησης της απόδοσης ενός ρομποτικού βραχίονα προσεγγίζεται με διαφορετικούς τρόπους ένας από τους οποίους είναι και η τοποθέτηση της εργασίας στο βέλτιστο σημείο του χώρου εργασίας του βραχίονα (Aspragathos & Foussias, 00),(Athanasios & Aspragathos, 010). Η μέθοδος αυτή όμως αυτή αρκετές φορές δεν είναι εφικτή σε μια πολύπλοκη γραμμή παραγωγής ή σε περιπτώσεις όπου είναι αδύνατη η πρόσβαση του χρήστη στο σύστημα. Αυτός είναι και ένας από τους κυριότερους λόγους ανάπτυξης μιας σειράς ερευνών γύρω από την ταχεία βελτιστοποίηση της ανατομίας ενός μεταμορφικού βραχίονα. Οι συγγενικές έρευνες και μεθοδολογίες στις οποίες βασίστηκε τόσο το θεωρητικό όσο και το πρακτικό μέρος της παρούσας εργασίας εξετάζουν την αλλαγή της ανατομίας και την προσαρμογή της σε μια εργασία η οποία είναι εκ των προτέρων καθορισμένη (Valsamos, Moulianitis & Aspragathos, 01). Περισσότερο εξειδικευμένες πρακτικές αφορούν τη βελτιστοποίηση της ανατομίας με βάση ολοκληρωτικούς δείκτες οι οποίοι δίνουν διαφορετικά προσανατολισμένα απόδοση των κινηματικών ικανοτήτων του βραχίονα. Βασικό σημείο είναι η χρήση αριθμητικών μεθόδων βελτιστοποίησης ιδιαίτερα με χρήση γενετικών αλγορίθμων καθώς παρουσιάζουν σημαντικά πλεονεκτήματα σε τέτοιου είδους προβλήματα. Παρόμοιες έρευνες ενσωματώνουν τη χρήση υβριδικών αλγορίθμων ή ασαφών μέτρων λογικής (Σαγρής, 008),(Valsamos, Moulianitis & Aspragathos, 011). Εικόνα 14 : Επαναδιαμορφώσιμη ρομποτική κυψελίδα (Chn, 001) Σημαντική και ολοκληρωμένη παρουσίαση ενός επαναδιαμορφώσιμου συστήματος αποτελεί η ρομποτική κυψελίδα η οποία φαίνεται και στην εικόνα 14. Το σύστημα αποτελείται από στοιχεία όπως επαναδιαμορφώσιμους βραχίονες, εργαλεία επεξεργασίας υλικών, ειδικά τμηματοποιημένα πλαίσια στήριξης και κατάλληλους αισθητήρες για την ανατροφοδότηση του συστήματος. Το ολοκληρωμένο σύστημα συνοδεύεται από πλήρες λογισμικό και σύστημα ελέγχου το οποίο προσαρμόζεται στις αλλαγές της γενικότερης διάταξης της κυψελίδας. Εδώ πρέπει να τονιστεί ότι η σύνθεση και ο προγραμματισμός μιας κοινής ρομποτικής κυψελίδας απαιτεί μεγάλο χρονικό διάστημα και πολλές φορές αυξημένη προσπάθεια όμως οι απαιτήσεις αυτές ελαχιστοποιούνται σε μεγάλο βαθμό με τη χρήση κατάλληλα τμηματοποιημένου εξοπλισμού. Στον πίνακα 3 παρουσιάζονται κάποια κριτήρια, η βελτιστοποίηση των οποίων μπορεί να δώσει μια κυψελίδα με περισσότερες δυνατότητες και καλύτερη απόδοση σύμφωνα με κάποιες γενικές διαπιστώσεις (Chn, 001). 5

26 Επίπεδο εξαρτήματος Διεπαφή Ενεργά Παθητικά μέρη ακαμψία και στιβαρότητα των εξαρτημάτων ακρίβεια στην ευθυγράμμιση των υποσυστημάτων μηχανισμοί γρήγορης ενσωμάτωσης στο υπάρχον σύστημα ολοκληρωμένο μηχανοτρονικό σύστημα διεπαφής υιοθέτηση ενιαίων προτύπων για την εφικτή ενσωμάτωση συστημάτων διαφορετικών κατασκευαστών απόδοση σε ταχύτητα, όριο μέγιστης δύναμης ροπής, ακρίβεια, επαναληψιμότητα συμπαγής σχεδιασμός ως προς τον όγκο και το βάρος αξιοπιστία και χρόνος ζωής συχνότητα απαιτούμενων διαδικασιών συντήρησης ποικιλία εναλλακτικών επιλογών παραμετροποίηση από τον τελικό χρήστη Επίπεδο ρομποτικού μηχανισμού Υλικό Λογισμικό απαιτούμενος χρόνος συναρμολόγησης και επαναδιαμόρφωσης ακρίβεια τοποθέτησης άκρου εργασίας επαναληψιμότητα ακρίβεια εντοπισμού(tracking accuracy) απαιτούμενος χρόνος βαθμονόμησης αυτόματος σχεδιασμός της διαδικασίας αναδιαμόρφωσης απαιτούμενος χρόνος ρύθμισης αυτόματη δημιουργία μοντέλων προσομοίωσης και ελέγχου διαχείριση βάσης δεδομένων με τα πλήρη χαρακτηριστικά των υποσυστημάτων Επίπεδο ρομποτικής κυψελίδας Υλικό Λογισμικό απαιτούμενος χρόνος συναρμολόγησης και επαναδιαμόρφωσης συμβατότητα με άλλα συστήματα αυτοματισμού απαιτούμενος χρόνος βαθμονόμησης αυτόματος υπολογισμός διαρρύθμισης και διάταξης υποσυστημάτων ενιαία αρχιτεκτονική ελέγχου και εποπτείας του συστήματος αρχιτεκτονική δικτύου διασύνδεσης Πίνακας 3 : Σημαντικά στοιχεία τα οποία βελτιστοποιούν την απόδοση μιας ρομποτικής κυψελίδας (Chn 001) 6

27 Παράδειγμα σύνθεσης Σήμερα υπάρχουν εταιρείες οι οποίες προσφέρουν έτοιμα λειτουργικά τμήματα, τα οποία ονομάζονται moduls, με τα οποία κάποιος μπορεί να συνθέσει ένα μεταμορφικό βραχίονα χωρίς να χρειάζονται ιδιαίτερες γνώσεις για τη διαδικασία της συναρμολόγησης. Ο ειδικός σχεδιασμός αυτών των εξαρτημάτων, προσφέρει τη δυνατότητα για δημιουργία πολλών διαφορετικών ανατομιών με τη χρήση συγγενικών εξαρτημάτων. Για παράδειγμα ένας μεταμορφικός βραχίονας που εκτελεί εργασίες στον τρισδιάστατο χώρο μπορεί να μετατραπεί σε ένα βραχίονα SCARA, όσον αφορά την ανατομική διάταξη των αρθρώσεων και όχι την ενδοτικότητα. Εικόνα 15 : Βραχίονας SCARA, 5 βαθμών ελευθερίας Η σύνθεση ενός μεταμορφικού βραχίονα μπορεί να γίνει αρκετά εύκολα, εφόσον έχουν επιλεχθεί τα κατάλληλα moduls. Οι περισσότερες εταιρίες προσφέρουν έτοιμα σχέδια CAD και κατάλληλο λογισμικό και έτσι κάποιος μπορεί να πάρει μια πρώτη ιδέα σχηματίζοντας εικονικά το βραχίονα στις 3 διαστάσεις. Στην εικόνα 15 σχηματίζεται ένας βραχίονας 5 βαθμών ελευθερίας με αυτόν τον τρόπο. Το σύστημα διαθέτει 5 ενεργές αρθρώσεις εκ των οποίων οι 4 είναι περιστροφικές και η 1 γραμμική. Οι ενεργές αρθρώσεις είναι τα τμήματα με το πράσινο χρώμα, ενώ οτιδήποτε παρεμβάλλεται μεταξύ αυτών μπορεί να χαρακτηριστεί ως ψευδοάρθρωση και έχει μαύρο χρώμα. Για τον σχηματισμό της παρακάτω διάταξης χρησιμοποιήθηκε το λογισμικό Viro Con της εταιρείας Schunk η οποία δραστηριοποιείται στο εν λόγω πεδίο της ρομποτικής και αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα λογισμικού για το σχεδιασμό επαναδιαμορφώσιμων ρομποτ μέσω την αναδιάταξης των επιμέρους συστημάτων. Στον συγκεκριμένο βραχίονα οι ψευδοαρθρώσεις δεν έχουν δυνατότητα περιστροφής ή μεταφοράς, μπορούν όμως να μετασχηματίσουν τη μορφή του βραχίονα εάν τοποθετηθούν με διαφορετικό τρόπο. Η αλλαγή της ανατομίας μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους και να προκύψουν θεωρητικά άπειροι συνδυασμοί εάν ενσωματωθούν και άλλα τμήματα ψευδοαρθρώσεων. 7

28 Στην παρακάτω εικόνα διακρίνεται η αλλαγή της ανατομίας του συστήματος η οποία προέκυψε με την απλή αλλαγή του προσανατολισμού της δεύτερης ενεργής άρθρωσης, αλλά και της τελευταίας ψευδοάρθρωσης η οποία τονίζεται με έντονο πράσινο χρώμα. Εικόνα 16 : Αλλαγή της ανατομίας μέσω της αλλαγής του προσανατολισμού των ενεργών και των παθητικών αρθρώσεων Στην παρούσα εργασία χρησιμοποιούνται πιο αφαιρετικά μοντέλα αναπαράστασης ενός μεταμορφικού βραχίονα λόγω του ότι εξετάζονται οι κινηματικές ιδιότητες του. Επίσης γίνεται χρήση ψευδοαρθρώσεων οι οποίες έχουν δυνατότητες περιστροφής και μεταφοράς. Παρακάτω διακρίνεται μια αναπαράσταση ενός μεταμορφικού βραχίονα 6 βαθμών ελευθερίας. Εικόνα 17 : Τρισδιάστατο μοντέλο απεικόνισης μεταμορφικού βραχίονα που χρησιμοποιήθηκε για την συγκεκριμένη εργασία 8

29 Κινηματική Ανάλυση Η κινηματική ανάλυση ενός μηχανισμού είναι μια διαδικασία κατά την οποία εξετάζεται η τμηματική αλλά και η συνολική κίνηση του συστήματος χωρίς την επίδραση των δυνάμεων που την προκαλούν. Αποτελεί μια θεμελιώδη διαδικασία και παίζει σημαντικό ρόλο στο σχεδιασμό, την ανάλυση, τον έλεγχο και την προσομοίωση ενός ρομπότ, δεδομένου ότι τέτοιου είδους μηχανισμοί σχεδιάζονται για την πραγματοποίηση μιας μεγάλης ομάδας κινήσεων (Siciliano & Khatib, 008). Οι ρομποτικοί βραχίονες ονομάζονται ανοιχτές κινηματικές αλυσίδες (srial chains) διότι σχηματίζονται από τη διαδοχική συνένωση των ενεργών αρθρώσεων και των μελών. Η κίνηση του άκρου εργασίας, στην οποία επικεντρώνεται ένα μεγάλο κομμάτι της ανάλυσης, μελετάται ως η σύνθεση των κινήσεων που προκαλείται από τις ενεργές αρθρώσεις οι οποίες έχουν ως αποτέλεσμα την αλλαγή της θέσης και του προσανατολισμού του. Η μέθοδος της ανάλυσης συνίσταται στον συνδυασμό των κατάλληλων μαθηματικών εργαλείων βάσει των οποίων θα είναι εφικτή η παραμετροποίηση μιας κινηματικής αλυσίδας ώστε να μελετηθούν κάποιες βασικές δυνατότητες-ικανότητες που εξαρτώνται από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά των υποσυστημάτων που την αποτελούν. Στην παρούσα εργασία βασικό κριτήριο στην επιλογή της κατάλληλης μεθόδου αποτέλεσε το γεγονός ότι οι μεταμορφικοί βραχίονες αποτελούν συστήματα με μεταβαλλόμενα γεωμετρικά χαρακτηριστικά. Η ανάλυση τέτοιων συστημάτων προσεγγίζεται τις περισσότερες φορές με τη μέθοδο POE (Product of Exponntials) η οποία προσφέρει ένα περισσότερο περιγραφικό και ταυτόχρονα ομοιογενές μαθηματικό μοντέλο για την περιγραφή της κίνησης των στερεών σωμάτων. Η μέθοδος ενσωματώνει τα στοιχεία της θεωρίας των κοχλίων (scrw thory) η οποία παρουσιάστηκε ολοκληρωμένα για πρώτη φορά το 1900 από τον Ball, ο οποίος βασίστηκε στο θεώρημα του Chasls το οποίο κατά πολλούς αποδίδεται στο Mozzi. Η σημασία της παραπάνω θεωρίας έγινε περισσότερο εμφανής από τον Brocktt ο οποίος βασιζόμενος σε αυτή πρότεινε τη χρήση εκθετικών πινάκων για την ευθεία κινηματική ανάλυση των ανοιχτών κινηματικών αλυσίδων (Brocktt, 1984). Επίσης, λόγω της σύνδεσής της με τις ομάδες και τις άλγεβρες Li η μέθοδος POE προσφέρει μια σύγχρονη γεωμετρική ερμηνεία της κλασσικής θεωρίας των κοχλίων και ο συνδυασμός της με τις αρχές της σύγχρονης διαφορικής γεωμετρίας βρίσκει σημαντική εφαρμογή στη ρομποτική (Gao, 001). Πιο συγκεκριμένες περιγραφές για εναλλακτικές μεθόδους κινηματικής ανάλυσης μπορούν να βρεθούν (Slig, 005),(Aspragathos & Dimitros, 1998). Ένα επιπλέον χρήσιμο εργαλείο που παίζει καθοριστικό ρόλο σε ένα ιδιαίτερα απαιτητικό στάδιο της κινηματικής ανάλυσης, το οποίο είναι η επίλυση του αντίστροφου κινηματικού προβλήματος, είναι ορισμένα γεωμετρικά προβλήματα που διατυπώθηκαν και επιλύθηκαν από τους Padn και Kahan και αναφέρονται στη βιβλιογραφία ως υποπροβλήματα Padn_Kahan. Η χρήση των υποπροβλημάτων κρίνεται κατάλληλη για την αναλυτική επίλυση του αντίστροφου κινηματικού προβλήματος ιδιαίτερα για συστήματα με μεταβαλλόμενα γεωμετρικά χαρακτηριστικά όπως οι μεταμορφικοί βραχίονες. Η θεωρία των κοχλίων αποτελεί μια βάση πάνω στην οποία μπορεί να αναπτυχθεί όχι μόνο η κινηματική αλλά και η δυναμική ανάλυση ενός συστήματος. Η μαθηματική τεκμηρίωση, ανάλυση και εφαρμογή της παραπάνω μεθοδολογίας αλλά και ο συνδυασμός της με τα υποπροβλήματα παρουσιάζεται με πλήρη και αναλυτικό τρόπο στο (3). Στο κεφάλαιο αυτό αναλύονται και παρουσιάζονται τα απαραίτητα σημεία που χρησίμευσαν για την ανάπτυξη του κατάλληλου λογισμικού που κρίθηκε απαραίτητο για τη μαθηματική μοντελοποίηση του προβλήματος. 9

30 Η μέθοδος POE Ένα από τα βασικότερα εργαλεία που χρησιμοποιούνται στη ρομποτική αλλά και σε άλλες επιστήμες όπως τα γραφικά είναι οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί. Σε περιπτώσεις όπου εξετάζεται η κίνηση άκαμπτων στερεών σωμάτων, χρησιμοποιείται εκτενώς μια υποκατηγορία αυτών, οι μετασχηματισμοί στερεού σώματος. Οι μετασχηματισμοί αυτοί διατηρούν αναλλίωτα τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά των σωμάτων στα οποία εφαρμόζονται και συνήθως συμβολίζονται με πίνακες δύο διαστάσεων, γεγονός το οποίο διευκολύνει τις πράξεις μεταξύ αυτών σύμφωνα με τους κανόνες της γραμμικής άλγεβρας αλλά επίσης είναι μια συστηματική μέθοδος η οποία προσφέρει σημαντικά πλεονεκτήματα σε σχέση με άλλες μεθόδους όσον αφορά την υλοποίηση σε κάποιο προγραμματιστικό περιβάλλον. Η μεταφορά αλλά και η περιστροφή ενός σώματος ανήκουν στους μετασχηματισμούς στερεού σώματος οι οποίοι ορίζονται ως [ ] g = R p SE(3), 0 1 R SO(3), p R 3 Με SE(3) συμβολίζεται η ειδική ευκλείδια ομάδα, η οποία αναπαριστά τους μετασχηματισμούς στερεου σώματος οι οποίοι δύναται να περιέχουν μετασχηματιμούς περιστροφής, μεταφοράς ή συνδυασμό αυτών. Κατά συνέπεια η ομάδα αυτή εμπεριέχει την ομάδα SO(3), η οποία ονομάζεται ομάδα περιστροφών και περιέχει όλους τους ορθογώνιους πίνακες 3x3 των οποίων η ορίζουσα ισούται με +1 αλλά και τον τρισδιάστατο διανυσματικό υποχώρο R3 ο οποίος συμβολίζει τη μεταφορά στερεού σώματος. Τα στοιχεία του πίνακα R ονομάζονται παράμετροι της ομάδας περιστροφών SO(3) και μπορούν να σχηματιστούν με διάφορους τρόπους ένας εκ των οποίων παρουσιάζεται παρακάτω, ενώ σύμφωνα με τη θεωρία ομάδων οι δύο ομάδες που αναφέρθηκαν ορίζονται ως SO (3)={R R 3 3 : RRT = I,dt ( R)=+1} (ομάδα περιστροφών) [ ] SE (3)={g= R p : R SO (3), p R3 1 } ( ειδική ευκλείδια ομάδα) 0 1 Περιστροφή Η γραμμική ταχύτητα ενός σημείου p που περιστρέφεται γύρω από ένα άξονα με σταθερή γωνιακή ταχύτητα δίνεται από την παρακάτω σχέση, όπου q ένα τυχαίο σημείο του άξονα περιστροφής και ω το διάνυσμα κατεύθυνσης του άξονα. p (t )=ω ( p(t ) q) [1] Εάν οριστεί η αρχή του συστήματος συντεταγμένων ως το σημείο που διέρχεται ο άξονας περιστροφής τότε η παραπάνω σχέση απλοποιείται και μπορεί να γραφτεί ως p (t )=ω p(t) Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να μετατραπεί σε πολλαπλασιασμό πινάκων με τη βοήθεια ενός κατάλληλου πίνακα ο οποίος ονομάζεται αντισυμμετρικός και σχηματίζεται από τις συντεταγμένες του διανύσματος του άξονα περιστροφής. Κάθε τετραγωνικός πίνακας είναι αντισυμμετρικός εάν είναι ίσος με τον αντίθετο του ανάστροφού του και έχει την παρακάτω μορφή. Σύμφωνα με τη θεωρία ομάδων όλοι οι αντισυμμετρικοί πίνακες 3x3 σχηματίζουν την Li άλγεβρα περιστροφών so(3) και ονομάζονται γεννήτορες της Li ομάδας περιστροφών SO(3). 30

31 [ ] 0 ω z ω y ω= ωz 0 ω x, ω y ω x 0 Τ ω = ω, so(3)={ω R 3 3 : ω Τ = ω} Με το σχηματισμό του αντισυμμετρικού πίνακα από τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης του άξονα περιστροφής ω, η σχέση μπορεί να γραφτεί ισοδύναμα ως p (t )=ω p(t ) Είναι προφανές ότι η παραπάνω εξίσωση είναι μια διαφορική εξίσωση διότι συνδέει τη θέση ενός σημείου με την παράγωγό της που είναι η γραμμική ταχύτητα του σημείου σε μια δεδομένη χρονική στιγμή. Η λύση της διαφορικής εξίσωσης δίνεται από τον παρακάτω τύπο. p(t )= ω t p(0) Ο όρος ω t αποτελεί έναν πίνακα διαστάσεων 3x3. Ο πίνακας αυτός ονομάζεται εκθετική συνάρτηση του πίνακα ω και σύμφωνα με τη θεωρία των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων μπορεί να αναλυθεί ως εξής ω t = I + ωt+ ( ωt ) ( ω t )3 t3 t5 t t4 t = I +(t + ) ω+( + ) ω! 3! 3! 5!! 4! 6! ω t = I +ωsin (t )+ ω (1 cos(t )) SO (3) Η παραπάνω σχέση ονομάζεται τύπος του Rodriguz και αποτελεί ένα αποδοτικό αλγόριθμο για την κατασκευή του μετασχηματισμού της περιστροφής ή πιο συγκεκριμένα της εκθετικής συνάρτησης των στοιχείων της ομάδας so(3). Η σχέση αυτή γράφεται πλήρως σε μορφή πίνακα ως εξής, και είναι στοιχείο της ομάδας περιστροφών SO(3), χωρίς αυτό να σημαίνει ότι τα στοιχεία της ομάδας περιστροφών μπορούν να σχηματιστούν μόνο κατ αυτόν τον τρόπο [ ][ ] [ ] 0 ω z ω y 0 ω z ω y ω t = ωz 0 ω x sin(t )+ ω z 0 ω x (1 cos(t )) ω y ω x 0 ω y ω x 0 Το επόμενο βήμα για την γενίκευση του παραπάνω μετασχηματισμού αφορά την περιστροφή ενός σημείου γύρω από ένα άξονα του οποίου οποιοδήποτε σημείο δεν ταυτίζεται με το σημείο του συστήματος συντεταγμένων αναφοράς. Με παρόμοιο τρόπο και με τη χρήση του αντισυμμετρικού πίνακα η εξίσωση [1] μπορεί να γραφτεί αντίστοιχα p (t )=ω p(t ) (ω q) Η παραπάνω εξίσωση αποτελεί επίσης μια διαφορική εξίσωση η οποία λύνεται με ανάλογο τρόπο και δίνει τον αντίστοιχο μετασχηματισμό. Σε αντιστοιχία με την προηγούμενη περίπτωση ο μετασχηματισμός αυτός ονομάζεται εκθετική συνάρτηση των στοιχείων s(3), τα οποία ονομάζονται ελικώσεις, συμβολίζονται με τον χαρακτήρα ξ και αποτελούν τη Li άλγεβρα της ομάδας SE(3) [][ p = ω ω q [ ][ ] p 1 p (t )= ξ p (t) ] ω t ( Ι ω t )q SE (3), ξ t = 0 1 p (t)= ξ t p (0), [ ω q ξ = ω 0 0 ] [ ] v : ω so3 s (3)={ξ = ω, v R 3 1 }

32 Η γωνία που διαγράφει ένα διάνυσμα κατά τη διάρκεια της περιστροφικής κίνησης είναι ανάλογη της γωνιακής ταχύτητας της κίνησης. Με την σταθεροποίηση του μέτρου της γωνιακής ταχύτητας και τη χρήση μοναδιαίων διανυσμάτων για την περιγραφή της κατεύθυνσης του άξονα περιστροφής οι παραπάνω μετασχηματισμοί ουσιαστικά παραμετροποιούνται εκ του αποτελέσματος συναρτήσει της γωνίας περιστροφής. Πιο συγκεκριμένα και στις δυο περιπτώσεις μετασχηματισμών που αναφέρθηκαν παραπάνω εάν υποτεθεί ότι το σώμα περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ίση με 1 r/s τότε οι παραπάνω μετασχηματισμοί μπορούν να παραμετροποιηθούν ως προς τη γωνία περιστροφής. Επομένως η μεταβλητή t που υποδηλώνει το χρόνο παραμετροποιεί τη γωνία περιστροφής η οποία έχει μονάδα μέτρησης το 1 rad. Μεταφορά Ο μετασχηματισμός της μεταφοράς μπορεί να σχηματιστεί με ένα πίνακα ίδιων διαστάσεων και σε ομογενείς συντεταγμένες έχει την παρακάτω μορφή. [ ] [ ] ξ t = Ι vt SE (3), 0 1 ξ = 0 v s (3) 0 0 Σε αυτήν την περίπτωση η μεταβλητή t υποδηλώνει την απόσταση μεταφοράς του σώματος στο οποίο εφαρμόζεται ο μετασχηματισμός με την αντίστοιχη μονάδα μέτρησης, ενώ το διάνυσμα v υποδηλώνει την κατέυθυνση προς την οποία κινείται το σημείο ή το σύνολο των σημείων που σχηματίζουν το στερεό σώμα. Για την παραμετροποίηση του παραπάνω μετασχηματισμού ως προς τη μεταβλητή t, το διάνυσμα κατεύθυνσης v, θα πρέπει να είναι μοναδιαίο. Λογαριθμική συνάρτηση Σε αρκετές περιπτώσεις είναι απαραίτητο να εκτελεστεί η αντίστροφη διαδικασία από αυτήν που παρουσιάστηκε παραπάνω, δηλαδή δεδομένου ενός πίνακα μετασχηματισμού να βρεθεί ο αντισυμμετρικός πίνακας ή η ελίκωση τα οποία ως γεννήτορες μέσω της εκθετικής συνάρτησης δημιουργούν το μετασχηματισμό αυτό. Για την ομάδα περιστροφών η λογαριθμική συνάρτηση ουσιαστικά αποτελεί την διαδικασία για την εξαγωγή των συντεταγμένων του άξονα περιστροφής και μπορεί να υπολογιστεί με βάση τους παρακάτω τύπους. Στην περίπτωση όπου ο πίνακας R είναι μοναδιαίος τότε η γωνία περιστροφής ισούται με 0 και το διάνυσμα του άξονα περιστροφής μπορεί να επιλεχθεί τυχαία, καθώς δεν επηρρεάζει το αποτέλεσμα. Στους περισσότερους αλγόριθμους επιλέγεται το μηδενικό διάνυσμα. R SO (3) log ( R)=θ ω, R I : θ =cos 1 R= I ( θ R, ω so(3) trac( R) 1 ) : ω= θ=0,, ω= 1 ( R R T ) sin(θ ) [ ] Αντίστοιχα για την εξαγωγή των συντεταγμένων της ελίκωσης που αντιστοιχεί σε ένα στοιχείο της ομάδας SE(3) ή πιο συγκεκριμένα σε ένα δεδομένο μετασχηματισμό g μπορεί να 3

33 χρησιμοποιηθεί η παρακάτω διαδικασία. g SE (3) ξ =log ω 0 : log( g )= ξ, ([ ]) [ 1 R p = ω ] Α p, 0 ξ s (3) ω=log( R) sin ( ω ) ω (1+cos( ω )) 1 A 1= I ω+ ω ω sin ( ω ) ω=0 : Α= Ι Πρέπει να σημειωθεί ότι η λογαριθμική συνάστηση της ομάδας περιστροφών δεν είναι ταυτοτική διότι η μεταβλητή θ δεν είναι μοναδική. Επιπλέον η λογαριθμική συνάρτηση της ομάδας SE(3) δεν είναι επίσης ταυτοτική καθώς το διάνυσμα ω δεν είναι μοναδικό. Οι παραπάνω αλγόριθμοι αποτελούν έναν από τους τρόπους για την εξαγωγή της λογαριθμικής συνάρτησης από ένα πίνακα μετασχηματισμού, πρέπει δε να σημειωθεί ότι στην παρούσα εργασία χρησιμοποιήθηκαν έτοιμες συναρτήσεις με διαφορετική υλοποίηση για λόγους ακρίβειας. Ο λόγος όμως που αναφέρεται είναι η χρήση στους αλγόριθμους του επόμενου κεφαλαίου. Σύνοψη Ο χαρακτήρας ξ συμβολίζει μια ελίκωση, η οποία είναι ένας πίνακας διαστάσεων 4x4 και χρησιμέυει για τη δημιουργία ενός πίνακα μετασχηματισμού της ομάδας SE(3), μέσω της εκθετικής συνάρτησης. Ο μετασχηματισμός αυτός στη γενική του μορφή προκαλεί την ελικοειδή κίνηση ενός σημείου ή ενός συνόλου σημείων, παραπάνω όμως παρουσιάστηκαν συνοπτικά οι δύο ειδικές περιπτώσεις του μετασχηματισμού, η μεταφορά και η περιστροφή καθότι μόνο αυτές χρησιμοποιήθηκαν στην παρούσα εργασία. Μια ελίκωση μπορεί να χαρακτηριστεί πλήρως από τις συντεταγμένες της, οι οποίες ομαδοποιούνται σε ένα διάνυσμα 6 διαστάσεων και ονομάζονται συντεταγμένες της ελίκωσης. Οι συντεταγμένες της ελίκωσης μπορούν να καθορίσουν πλήρως τον τύπο μιας άρθρωσης, για το λόγο αυτό χρησιμοποιούνται συχνά στη ρομποτική, η σειρά όμως των διανυσμάτων που αποτελούν το 6-διάστατο διάνυσμα αρκετές φορές είναι η αντίστροφη αυτής που φαίνεται παρακάτω. g=xp ( ξ t ) SE (3), [ ] ξ = ω q t R 6 (περιστροφή κατά γωνία t ), ω ξ =(v,ω) R 6, [] ξ = v t R 6 ( μεταφορά κατά απόσταση t ) 0 Η παραπάνω μέθοδος επιλέγεται συνήθως διότι προσφέρει σημαντικά πλεονεκτήματα (Gao, 001),(Chn t al., 001). Πρώτον, παρέχει μια ενιαία και ομοιογενή αναπαράσταση τόσο της περιστροφικής όσο και τη μεταφορικής κίνησης των στερεών σωμάτων. Δεύτερον επιτρέπει μια συνολική περιγραφή της κίνησης στερεών σωμάτων η οποία δεν υποφέρει από τις ιδιομορφίες που οφείλονται στη χρήση τοπικών συστημάτων συντεταγμένων οι οποίες είναι αναπόφευκτες όταν η αναπαράσταση της περιστροφής αποδίδεται μέσω των γωνιών Eulr. Τέταρτον, αποτελεί μια μέθοδο με μηδενική θέση αναφοράς και αυτό σημαίνει ότι η περιγραφή μιας κινηματικής αλυσίδας γίνεται με τα στοιχεία των αξόνων που την αποτελούν, τα οποία αρκεί να οριστούν πλήρως ως προς ένα μόνο σύστημα συντεταγμένων αναφοράς. Τέλος ένα από τα βασικότερα πλεονέκτημα της μεθόδου είναι η χρήση απλών συμβολισμών γεγονός το οποίο οδηγεί στην απλοποίηση και την 33

34 καλύτερη κατανόηση όλης της διαδικασίας της κινηματικής ανάλυσης. Η απλοποίηση αυτή κάνει τη μεθοδολογία εύκολα εφαρμόσιμη σε συστήματα με μεταβαλλόμενα γεωμετρικά χαρακτηριστικά όπως οι μεταμορφικοί βραχίονες και κρίνεται κατάλληλη για την ανάπτυξη επαναδιαμορφώσιμου λογισμικού. Τέλος πρέπει να σημειωθεί ότι η μέθοδος αυτή μπορεί να εφαρμοστεί και σε μη μεταμορφικά συστήματα, ενώ πάνω στη θεωρία των ελικώσεων βασίζεται η θεωρία των κοχλίων πάνω στην οποία έχει αναπτυχθεί αντίστοιχη θεωρία για τη δυναμική ανάλυση ρομποτικών μηχανισμών. Ευθεία κινηματική ανάλυση Ένας ρομποτικός βραχίονας αποτελεί μια ανοιχτή κινηματική αλυσίδα που σχηματίζεται από την κατάλληλη διάταξη των αρθρώσεων και των μελών που την απαρτίζουν. Στην τελευταία θέση της κινηματικής αλυσίδας βρίσκεται το άκρο εργασίας. Το άκρο εργασίας συνήθως αναπαρίσταται με ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων του οποίου η αρχική διαμόρφωση (θέση και προσανατολισμός) είναι γνωστή και καθορίζεται από το χρήστη. Η αλλαγή της θέσης και του προσανατολισμού που προκύπτει από μια ενεργή άρθρωση μεταδίδεται στα επόμενα μέλη της κινηματικής αλυσίδας και κατά συνέπεια στο άκρο εργασίας, του οποίου η διαμόρφωση μπορεί να υπολογιστεί μέσα από μια διαδικασία που ονομάζεται ευθύ κινηματικό πρόβλημα. Το ευθύ κινηματικό πρόβλημα αφορά τον προσδιορισμό της θέσης και του προσανατολισμού του άκρου εργασίας σε σχέση με ένα καθορισμένο σύστημα συντεταγμένων (το οποίο συνήθως τοποθετείται στη βάση του ρομποτικού συστήματος) δεδομένων των παραμέτρων (θέσεων και προσανατολισμών) όλων των αρθρώσεων (Siciliano & Khatib 008). Για τον πλήρη καθορισμό μιας ανοιχτής κινηματικής αλυσίδας είναι απαραίτητος ο ορισμός του αριθμού και του τύπου των ενεργών αρθρώσεων καθώς και των παραμέτρων που τις καθορίζουν. Σύμφωνα με την παραπάνω μέθοδο, εάν οι ενεργές αρθρώσεις συμβολιστούν ως ελικώσεις, η θέση και ο προσανατολισμός του άκρου εργασίας ανά πάσα στιγμή προκύπτει από το διαδοχικό πολλαπλασιασμό των μετασχηματισμών που σχηματίζονται από την εκθετική συνάρτηση των ελικώσεων με την αρχική διαμόρφωση του άκρου εργασίας. Αυτό μαθηματικά αποτυπώνεται στον παρακάτω τύπο, όπου με st συμβολίζεται το σύστημα σντεταγμένων που βρίσκεται τοποθετημένο στο άκρο εργασίας. g st (θ )= ξ 1 θ 1 ξ θ ξ n θ n g st (0) [ ] Με αυτόν τον τρόπο η διαμόρφωση του άκρου εργασίας εκφράζεται συναρτήσει των γωνιών περιστροφής ή των αποστάσεων μεταφοράς των αρθρώσεων. Στους μεταμορφικούς βραχίονες η κινηματική εξίσωση έχει περισσότερους όρους. Οι παραπάνω μετασχηματισμοί οφείλονται στις ψευδοαρθρώσεις και σχηματίζονται επίσης με την παραπάνω μέθοδο είτε πρόκειται για γραμμικές είτε πρόκειται για περιστροφικές ψευδοαρθρώσεις. Η αλλαγή της ανατομίας του βραχίονα επιτυγχάνεται με την αλλαγή των παραμέτρων των ψευδοάρθρωσεων. Η μεταβολή μιας ψευδοάρθρωσης προκαλεί τον μόνιμο μετασχηματισμό όλων των επόμενων μελών και του άκρου εργασίας δημιουργώντας ουσιαστικά μια νέα ανατομία. 34

35 Ιακωβιανή Μήτρα Η κίνηση που εκτελεί το άκρο εργασίας κατά τη λειτουργία ενός βραχίονα είναι μια σύνθετη κίνηση καθώς εξαρτάται από τη σύνθεση των επιμέρους κινήσεων που προσφέρουν οι ενεργές αρθρώσεις σε αυτό. Ως εκ τούτου η συνολική ταχύτητα του άκρου εργασίας η οποία αποτελείται από τη γραμμική και τη γωνιακή του ταχύτητα, μπορεί να σχηματιστεί ως το άθροισμα των επιμέρους γωνιακών και γραμμικών ταχυτήτων που του μεταδίδουν οι ενεργές αρθρώσεις. Η ταχύτητα που προσδίδει μια ενεργή άρθρωση στα αμέσως επόμενα μέλη της κινηματικής αλυσίδας και κατά συνέπεια στο άκρο εργασίας επηρεάζεται και ουσιαστικά μετασχηματίζεται από τους μετασχηματισμούς που εφαρμόζουν οι προηγούμενες ενεργές αρθρώσεις σε αυτήν. Για το λόγο αυτό το αποτέλεσμα της σύνθεσης των επιμέρους ταχυτήτων εξαρτάται άμεσα από την διαμόρφωση του βραχίονα. Η ανάκτηση της ταχύτητας του συστήματος συντεταγμένων που βρίσκεται τοποθετημένο στην τελευταία θέση της κινηματικής αλυσίδας μπορεί να γίνει με την παραγώγιση της ευθείας κινηματικής εξίσωσης []. g st (θ )= d ξ θ ξ θ ( ) g st (0) dθ 1 1 n n Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να αναλυθεί περαιτέρω και να προκύψει μια πιο συνοπτική περιγραφή της ταχύτητας του τελικού συστήματος συντεταγμένων. ( dθd ( g st (θ )= ξ 1 θ 1 ( dθd ( g st (θ )= 1 ξ n θ n ξ 1 θ 1 ) ) ( ξ 1 θ 1 ξ n θ n ( dθd ( g st (θ ) g st (θ ) = ) ) ( ξ 1 θ 1 ξ n θn 1 ) ( ξ 1 θ 1 ξ n θ n ) ξ 1 θ1 ξ n θ n 1 ) ( ) ξ 1 θ 1 ξ n θ n ) g st (0) g st (θ ) ξ n θ n 1 ) Ο δεύτερος όρος της παραπάνω εξίσωσης όπως αποδεικνύεται (Murray t al., 1994) αποτελεί μια ελίκωση, δηλαδή έναν πίνακα 4x4 και υποδηλώνει την γωνιακή και τη γραμμική ταχύτητα του τελικού συστήματος συντεταγμένων εκφρασμένες στο σύστημα συντεταγμένων αναφοράς. Η ταχύτητα της ελίκωσης συμβολίζεται με Vst και είναι στοιχείο της ομάδας s(3). Η ταχύτητα αυτή μπορεί να αναλυθεί περαιτέρω και πιο συγκεκριμένα να συσχετιστεί με το ρυθμό μεταβολής των παραμέτρων των ενεργών αρθρώσεων μέσω της παρακάτω διαδικασίας. V sst = g st (θ) g st (θ ) 1 ( ) ( ) n n g st (θ ) g st (θ) s 1 V st = θ i g st (θ ) = g st (θ ) 1 θ i θi θi i=1 i =1 [( g st (θ ) 1 V sst = g st (θ) θ1 ) ( g st (θ ) 1 g st (θ ) θn ) ][ θ 1 θ n ] V sst = J sst (θ ) θ Ο πίνακας J ονομάζεται ιακωβιανό μητρώο του συστήματος και με τη βοήθεια του πίνακα αυτού συσχετίζεται γραμμικά η στιγμιαία μεταβολή των παραμέτρων των ενεργών αρθρώσεων με 35

36 την συνολική στιγμιαία γραμμική και γωνιακή ταχύτητα του άκρου εργασίας μέσω της παραπάνω σχέσης. Ο ιακωβιανός πίνακας εξαρτάται από τη στιγμιαία διαμόρφωση του συστήματος και μπορεί να υπολογιστεί αναλύοντας τους επιμέρους όρους του πίνακα ως εξής. ( ) g st (θ ) 1 ξ θ ξ g st (θ ) = θi ( 1 ) 1 i 1 θi 1 g st (θ ) 1 ξ θ ξ g st (θ ) = θi ( 1 1 i 1 ) ξ i θ i ( ) ξ θi i +1 θ i 1 ( ξ i ) g st (θ ) ξ θ ξ g st (θ ) 1= θi 1 1 i 1 θi 1 θ i+1 ξ i +1 θ i+1 ( ξ i ) ξ n θ n ξ n θ n ξ i 1 θi 1 1 g st (0) g st 1 g st (0) g st ξ 1 θ1 Σχηματίζοντας την παραπάνω σχέση με τις συντεταγμένες των ελικώσεων προκύπτει μια αρκετά συνοπτική περιγραφή του ιακωβιανού πίνακα. Κάθε στήλη του ιακωβιανού πίνακα ουσιαστικά υποδηλώνει την επίδοση της γωνιακής ταχύτητας σε κάθε ελίκωση. s ' ' J st (θ )=[ξ 1 ξ ξ n ] ξ 'i = Ad ( ξ 1 θ 1 ξ θ i 1 i 1 ) ξi Στο δεύτερο μέλος της δέυτερης σχέσης διακρίνεται ο μετασχηματισμός ομοιότητας ο οποίος στην ξένη βιβλιογραφία αναφέρεται ως adjoint μετασχηματισμός. Ο μετασχηματισμός αυτός ουσιαστικά μετασχηματίζει τις ελικώσεις που περιγράφουν το σύστημα στην αρχική του διαμόρφωση στην εκάστοτε διαμόρφωση που βρίσκεται το σύστημα. Πιο συγκεκριμένα για ένα στοιχείο της ομάδας s(3) ή μια ελίκωση η οποία ανήκει στο διανυσματικό χώρο R. O μετασχηματισμός ομοιότητας υπολογίζεται αντίστοιχα από τις παρακάτω σχέσεις, ενώ τα δύο στοιχεία, δηλαδή το αρχικό στοιχείο και το στοιχείο που προκύπτει μετά το μετασχηματισμό ονομάζονται συζηγή. Η σχέση συζηγίας είναι συμμετρική, που σημαίνει ότι εάν ένα στοιχείο Α είναι συζηγές προς το Β,τότε και το Β είναι συζηγές προς το Α (Σούρλας, 008). Ο μετασχηματισμός ομοιότητας ουσιατικά αποτελεί μια δράση (Action) της ομάδας SE(3) πάνω στην Li άλγεβρα της 1 [ ][ ][ ] Ad g ( ξ )= g ξ g 1= R p ω v [ Ad g ( ξ )= R 0 ][ ] p R v, 1 ω R p 0 1, ξ s(3) ξ =( v,ω) R 6 1 Ο ιακωβιανός πίνακας είναι ένα χρήσιμο εργαλείο το οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση του αντίστροφου κινηματικού προβλήματος αλλά και για τον καθορισμό κινηματικών και δυναμικών δεικτών. 36

37 Αντίστροφη κινηματική ανάλυση Ένα από τα βασικότερα στάδια της κινηματικής ανάλυσης είναι η επίλυση του αντίστροφου κινηματικού προβλήματος. Στο πρόβλημα αυτό αναζητούνται οι κατάλληλες γωνίες που πρέπει να περιστραφούν οι ενεργές αρθρώσεις του βραχίονα έτσι ώστε το άκρο εργασίας να ταυτιστεί με ένα συγκεκριμένο σημείο ή/και να προσανατολιστεί προς μια συγκεκριμένη κατεύθυνση. Εάν δεν υπάρχει λύση του προβλήματος σημαίνει ότι άκρο εργασίας δεν έχει τη δυνατότητα να προσεγγίσει το σημείο και κατά συνέπεια να εκτελέσει την εργασία, επομένως η ανατομία του βραχίονα απορρίπτεται και δεν εξετάζεται ως προς την κινηματική της απόδοση. Στην υπάρχουσα βιβλιογραφία, το αντίστροφο κινηματικό πρόβλημα για έναν αρθρωτό βραχίονα λύνεται με τρεις διαφορετικούς τρόπους: αναλυτικά, αριθμητικά και υβριδικά. Οι αναλυτικές μέθοδοι παρέχουν ακριβείς λύσεις απαιτώντας μειωμένη υπολογιστική ισχύ και χρόνο. Οι αριθμητικές ή επαναληπτικές μέθοδοι από την άλλη πλευρά έχουν το πλεονέκτημα της πιο γενικής τους μορφής που τις καθιστά ικανές να παράγουν λύσεις για μεγαλύτερο αριθμό συστημάτων (Βάλσαμος & Ασπράγκαθος). Μεγάλη έρευνα υπάρχει και γύρω από τις υβριδικές μεθόδους επίλυσης οι οποίες συνδυάζουν γενετικούς αλγορίθμους και νευρωνικά δίκτυα αλλά αφορούν κυρίως βραχίονες με πλεονάζοντες βαθμούς ελευθερίας. Ενώ η αριθμητική επίλυση του αντίστροφου κινηματικού προβλήματος είναι ενδεδειγμένη για συστήματα με μεταβαλλόμενη μορφή, η αναλυτική επίλυση δίνει περισσότερα αποτελέσματα με μεγαλύτερη ταχύτητα. Η εξέταση ενός μεγάλου αριθμού ανατομιών πρέπει να είναι γρήγορη και η απόκτηση μιας αναλυτικής λύσης για μεταμορφικούς βραχίονες εξακολουθεί να είναι ο πιο επιθυμητός τρόπος αφού η σύγκλιση και η πληρότητα της λύσης μπορεί να είναι εγγυημένη. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι η εύρεση λύσεων κλειστής μορφής είναι πολλές φορές ανέφικτη κυρίως για συστήματα με περισσότερους από έξι βαθμούς ελευθερίας. Ωστόσο ένας βραχίονας που διαθέτει ακριβώς έξι βαθμούς ελευθερίας μπορεί να κινηθεί και να προσανατολιστεί ικανοποιητικά στο χώρο. Σύμφωνα με τη σύμβαση αυτή στην παρούσα εργασία οι βραχίονες που εξετάζονται αποτελούνται από έξι ενεργές περιστροφικές αρθρώσεις. Ένας δεύτερος περιορισμός που τίθεται κατά την επίλυση του αντίστροφου κινηματικού προβλήματος ονομάζεται η πρόταση του Pipr σύμφωνα με την οποία για την ύπαρξη λύσεων κλειστής μορφής είναι απαραίτητο τρεις διαδοχικοί άξονες των ενεργών αρθρώσεων να τέμνονται σε ένα σημείο. Μια πιο λεπτομερής καταγραφή των ανατομιών που δέχονται αναλυτικής επίλυσης μπορεί να βρεθεί στην έρευνα της GAO (Gao, 001) η οποία έχει εξετάσει όλους τους πιθανούς συνδυασμούς των τύπων των ενεργών αρθρώσεων καθώς και όλες τις πιθανές διατάξεις που μπορούν να σχηματίσουν και προσφέρει μια αναλυτική γεωμετρική περιγραφή για την αναλυτική επίλυση του προβλήματος με τη χρήση γεωμετρικών προβλημάτων αλλά και τεχνικών απόπλεξης της ευθείας κινηματικής εξίσωσης του βραχίονα. Υποπροβλήματα Η απλοποίηση της διαδικασίας επίλυσης του αντίστροφου κινηματικού προβλήματος μπορεί να γίνει με την αποσύνθεση του προβλήματος σε απλούστερα υποπροβλήματα. Τα υποπροβλήματα, που παρουσιάζονται παρακάτω αποτελούν γεωμετρικά προβλήματα, που επιλύθηκαν από τους Padn και Kahan. Στην παρούσα διπλωματική εργασία έχουν χρησιμοποιηθεί δύο επιπλέον υποπροβλήματα (Kong t al, 006) τα οποία αποτελούν προεκτάσεις των ήδη υπάρχοντων υποπροβλημάτων. Το βασικότερο πλεονέκτημα των υποπροβλημάτων είναι ότι είναι γεωμετρικά ερμηνεύσιμα και αριθμητικά σταθερά (Gao, 001). Τα 5 υποπροβλήματα, τα οποία βοήθησαν στην αναλυτική επίλυση του προβλήματος για ανατομίες των οποίων οι τρείς τελευταίες αρθρώσεις τέμνονται σε κοινό σημείο, παρουσιάζονται παρακάτω. 37

38 Υποπρόβλημα 1 - Περιστροφή σημείου γύρω από ελίκωση Σε αντιστοιχία με το σχήμα 1, αναζητείται η γωνία θ κατά την οποία πρέπει να περιστραφεί το σημείο p γύρω από τον άξονα της ελίκωσης ξ, έτσι ώστε να ταυτιστεί με το σημείο q. Επομένως, η εξίσωση που πρέπει να επιλυθεί είναι η [3]. ξ 1 θ 1 p=q [3] Όπως διακρίνεται και στο σχήμα 1 έστω r το σημείο του άξονα της ελίκωσης, ω το διάνυσμα του άξονα και u,v διανύσματα για τα οποια ισχύει u = p - r, v = q - r. Σχήμα 1 : Περιστροφή σημείου γύρω από ελίκωση Για να υπάρχει λύση στο υποπρόβλημα αυτό θα πρέπει να ισχύουν οι παρακάτω περιορισμοί. ωτ u=ωτ v, u' = v ' Σύμφωνα με την πρώτη σχέση, τα διανύσματα των προβολών των διανυσμάτων u,v, πάνω στον άξονα ω, θα πρέπει να είναι ίσα, ενώ σύμφωνα με τη δεύτερη σχέση τα διανύσματα των προβολών των διανυσμάτων u,v πάνω σε επίπεδο το οποίο είναι κάθετο στον άξονα ω, τα οποία συμβολίζονται με u' και v' αντίστοιχα, θα πρέπει να έχουν ίδιο μέτρο. Εάν οι σχέσεις αυτές ικανοποιούνται από τα δεδομένα του προβλήματος, τότε η γωνία θ μπορεί να βρεθεί από τον παρακάτω τριγωνομετρικό τύπο. Τ T θ=atan(ω (u ' v ), u' v ' ) Ο αριθμός των πιθανών λύσεων για την γωνία θ είναι 1 ή 0. Η συνάρτηση atan επιστρέφει το τόξο εφαπτομένης, δύο τιμών. Εάν αυτές οι τιμές είναι το ημίτονο και το συνημίτονο μιας γωνίας τότε η συνάρτηση επιστρέφει την τιμή της γωνίας η οποία μπορεί να βρίσκεται σε οποιοδήποτε από τα 4 τεταρτημόρια του τριγωνομετρικού κύκλου. 38

39 Υποπρόβλημα Διαδοχική περιστροφή σημείου γύρω από ελικώσεις με τεμνόμενους άξονες Στο δεύτερο υποπρόβλημα αναζητούνται οι κατάλληλες γωνίες κατά τις οποίες πρέπει να περιστραφεί ένα σημείο p διαδοχικά γύρω απο δύο ελικώσεις ξ1, ξ με τεμνόμενους άξονες, έτσι ώστε να ταυτιστεί με το σημείο q. Σχήμα : Περιστροφή σημείου γύρω από ελικώσεις με τεμνόμενους άξονες Η εξίσωση που πρέπει να επιλυθεί είναι η [4], η οποία και υποδεικνύει ότι το σημείο p περιστρέφεται πρώτα γύρω από τον άξονα της ελίκωσης ξ και στη συνέχεια γύρω από τον άξονα της ελίκωσης ξ1. ξ 1 θ 1 ξ θ p=q [4] Σε αντιστοιχία και με το σχήμα έστω r το σημείο το οποίο τέμνονται οι δύο άξονες ω 1 και ω των ελικώσεων ξ1 και ξ αντίστοιχα και c το σημείο στο οποίο τέμνονται οι δύο νοητές κυκλικές τροχιές που σχηματίζονται κατά την περιστροφή του σημείου p γύρω από τον άξονα ω 1 και του σημείου q γύρω από τον άξονα ω. Επιπλέον έστω u,v,z διανύσματα τέτοια ώστε u = p r, v = q r, z = c - r. Σύμφωνα με τα παραπάνω ισχύουν οι σχέσεις. ξ θ ( p r )=c r = 1θ1 ξ (q r) ξ θ 1θ 1 ξ u= z= v Όπως και με το πρώτο υποπρόβλημα, οι περιορισμοί που θα πρέπει να ληφθούν υπόψιν έτσι ώστε να υπάρχει λύση στο υποπρόβλημα αυτό είναι οι εξής. T T ω u=ω z, T T ω1 v=ω1 z, u = z = v Επιπλέον, εφόσον τα διανύσματα ω 1, ω και το εξωτερικό τους γινόμενο είναι γραμμικά ανεξάρτητα προκύπτει ότι το διάνυσμα z μπορεί να γραφτεί ως συνδυασμός των διανυσμάτων αυτών, δηλαδή υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί α,β,γ τέτοιοι ώστε να ισχύει z=aω1+ βω +γ(ω1 ω ) Τ z =a + β +αβω1 ω +γ ω1 ω 39

40 Αντικαθιστώντας στις προηγούμενες σχέσεις προκύπτει ένα σύστημα δύο εξισώσεων του οποίου η επίλυση δίνει τις τιμές των παραμέτρων α και β. α= (ωτ1 ω ) ωτ u ωτ1 v, (ω Τ1 ω ) 1 β= (ωτ1 ω ) ωτ1 v ωτ u (ωτ1 ω ) 1 Επιλύοντας την προηγούμενη εξίσωση ως προς γ, προκύπτει ότι γ = u a β αβωτ1 ω ω1 ω Με τις παραπάνω παραμέτρους γνωστές μπορεί να υπολογιστεί η τιμή του z και επομένως οι συντεταγμένες του διανύσματος c. Αυτό που απομένει είναι η επίλυση των αρχικών εξισώσεων με τη βοήθεια του υποπροβλήματος 1 και πιο συγκεκριμένα ξ θ p=c, 1 θ1 ξ q=c Ο μέγιστος αριθμός των πιθανών λύσεων για τις γωνίες περιστροφής είναι, και αυτό προκύπτει από τις τιμές που μπορεί να πάρει η μεταβλητή γ επιλύοντας την εξίσωση 3 η οποία είναι δευτέρου βαθμού, γεγονός το οποίο οδηγεί σε διαφορετικές τιμές για τις συντεταγμένες του διανύσματος c. Στην περίπτωση όπου οι δύο κύκλοι του σχήματος τέμνονται σε ένα μόνο σημείο η λύση της εξίσωσης είναι διπλή, ενώ στην περίπτωση όπου δεν οι κύκλοι δεν τέμνονται η τιμή της παραμέτρου γ είναι μιγαδικός αριθμός. Υποπρόβλημα 3 Περιστροφή σημείου γύρω από ελίκωση κατά απόσταση από σημείο Στο τρίτο υποπρόβλημα αναζητάται η κατάλληλη γωνία κατά την οποία πρέπει να περιστραφεί το σημείο p, γύρω από τον άξονα της ελίκωσης ξ, έτσι ώστε να απέχει μια συγκεκριμένη απόσταση δ>0 από το σημείο q. Σχήμα 3 : Περιστροφή σημείου γύρω από ελίκωση κατά απόσταση από σημείο Σε μορφή εξίσωσης το υποπρόβλημα αυτό εκφράζεται ως q ξ θ p =δ Έστω r σημείο του άξονα της ελίκωσης και u,v διανύσματα τέτοια ώστε u = p r, v = q r. Χρησιμοποιώντας το επίπεδο το οποίο είναι κάθετο στον άξονα της ελίκωσης και περνά από το 40

41 σημείο p, τότε προκύπτει η παρακάτω σχέση για τις προβολές των διανυσμάτων u και v στο επίπεδο αυτό. u '=u ωωt u, v=v ωωτ v Όπως φαίνεται και στο σχήμα 3, εάν από το διάνυσμα v αφαιρεθεί το διάνυσμα το οποίο ενώνει το σημείο που πρέπει να ταυτιστεί το σημείο p με το σημείο r άξονα της ελίκωσης, τότε για το δ αλλά και για την προβολή του δ στο επίπεδο που κινείται το σημείο p, η οποία συμβολίζεται με δ', ισχύει δ = v ω θ u δ ' =δ ωτ ( p q) δ ' = v ' ω θ u ' H γωνία θ0 που περικλείεται από τα διανύσματα u',v' μπορεί να υπολογιστεί από τον παρακάτω τύπο. θ 0 =atan (ωτ (u ' v),u ' T v ' ) H γωνία φ = θ0 θ ικανοποιεί τον κανόνα των συνημιτόνων για το τρίγωνο το οποίο σχηματίζεται από το κέντρο του άξονα της ελίκωσης, το διάνυσμα v', και την προβολή του διανύσματος το οποίο ενώνει το σημείο που πρέπει να ταυτιστεί το σημείο p με το σημείο r άξονα της ελίκωσης, πάνω στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς που κινείται το σημείο p. Εφαρμόζοντας τα παραπάνω, η τιμή της γωνίας θ δίνεται από την παρακάτω εξίσωση της οποίας ο μέγιστος αριθμός των λύσεων δεν υπερβαίνει τις. δ ' = u ' + v ' u ' v ' cosφ 1 θ =θ 0±cos ( u ' + v ' δ ' u ' v ' ) Στην συνέχεια παρουσιάζονται δύο υποπροβλήματα (Kong t al., 008),τα οποία αποτελούν επεκτάσεις των υποπροβλημάτων και 3 αντίστοιχα. Υποπρόβλημα 4 Διαδοχική Περιστροφή σημείου γύρω από ελικώσεις με παράλληλους άξονες. Στο υποπρόβλημα αυτό αναζητούνται οι κατάλληλες γωνίες κατά τις οποίες πρέπει να περιστραφεί το σημείο p διαδοχικά γύρω από δύο ελικώσεις με παράλληλους άξονες έτσι ώστε να ταυτιστεί με το σημείο q. Σχήμα 4 : Διαδοχική Περιστροφή σημείου γύρω από ελικώσεις με παράλληλους άξονες 41

42 Η εξίσωση προς επίλυση είναι η παρακάτω, η οποία και υποδυκνύει ότι το σημείο p περιστρέφεται πρώτα γύρω από την ελίκωση ξ και έπειτα γύρω από την ελίκωση ξ1. ξ θ ξ 1 θ 1 p=q Σύμφωνα και με το σχήμα 4, τα δύο σημεία p και q θα πρέπει να βρίσκονται πάνω στο ίδιο επίπεδο, το οποίο θα πρέπει να είναι κάθετο και στους δύο άξονες εφόσον αυτοί είναι παράλληλοι. Eάν θεωρηθεί t το σημείο το οποίο πρέπει να ταυτιστεί με το σημείο p κατά την περιστροφή γύρω από τον άξονα της ελίκωσης ξ, δηλαδή μετά την πρώτη περιστροφή, τότε εάν οριστούν τα παρακάτω διανύσματα ώστε να ισχύει u = p - r, v = q r1, k1 = t r1, k = t r, r1 = r1 r, r1 = r r1, το πρόβλημα μπορεί να μεταφραστεί ισοδύναμα στις παρακάτω σχέσεις. ξ θ u=k, θ ξ 1 1 v=k,, u = k v = k 1 Η γωνία θ0 που σχηματίζεται από τα διανύσματα u και r1 στο τρίγωνο p, r1, r δίνεται από τον εξής τύπο. θ 0 =atan (ωτ (u r 1 ), u T r 1 ) Κάνοντας χρήση του κανόνα των συνημιτόνων για το τρίγωνο που σχηματίζεται από τα σημεία t,r1, r η γωνία φ που περικλύεται από τα διανύσματα k και r1 μπορεί να υπολογιστεί από την παρακάτω σχέση. v = u + r 1 u r 1 cosφ θ =θ 0 ±cos 1 ( u + r 1 v u r 1 ) Τελικά εφαρμόζοντας τις αντίστοιχες σχέσεις μπορεί να βρεθεί η γωνία θ 01 και συναρτήσει αυτής η γωνία θ1 συμφωνα με την εφαρμογή των αντίστοιχων τύπων στο τρίγωνο q, r1, r θ 01 =atan (ωτ ( v r 1 ), v T r 1) 1 θ 1=θ 01±cos ( v + r 1 u v r 1 ) Το υποπρόβλημα αυτό έχει μέγιστο αριθμό πιθανών λύσεων, δηλαδή δύο ζεύγη τιμών για τις γωνίες που αναζητώνται. Στην περίπτωση όπου οι δύο νοητές κυκλικές τροχιές που σχηματίζονται κατα την περιστροφή του σημείου p γύρω από τον άξονα ω 1 και του σημείου q γύρω από τον άξονα ω εφάπτονται μεταξύ τους, προκύπτει μόνο ένα ζέυγος τιμών, δηλαδή 1 λύση, ενώ στην περίπτωση όπου οι δύο νοητές κυκλικές τροχιές δεν καλύπτονται δεν υπάρχει λύση στο υποπρόβλημα. 4

43 Υποπρόβλημα 5 Διαδοχική Περιστροφή σημείου γύρω από ελικώσεις με παράλληλους άξονες κατά απόσταση από σημείο. Στο υποπρόβλημα αυτό αναζητούνται οι κατάλληλες γωνίες κατά τις οποίες πρέπει να περιστραφεί το σημείο p διαδοχικά γύρω από δύο παράλληλους άξονες, έτσι ώστε οι αποστάσεις από τα σημεία q1 και q να είναι συγκεκριμένες, και ίσες με δ1 και δ αντίστοιχα. Σχήμα 5 : Περιστροφή σημείου γύρω από ελικώσεις με παράλληλους άξονες κατά απόσταση από σημείο. Επομένως, οι δύο εξισώσεις που πρέπει να ικανοποιούνται από τις γωνίες που αναζητώνται είναι οι εξής ξ 1 θ 1 ξ θ p q 1 =δ 1, ξ 1 θ 1 ξ θ p q =δ Σε αντιστοιχία με το σχήμα 5 και με τη βοήθεια του επιπέδου το οποίο είναι κάθετο στους δύο άξονες των ελικώσεων και περνά από το αρχικό σημείο p, έστω τα παρακάτω διανύσματα, όπου q1' και q' οι προβολές των σημείων q1 και q στο επίπεδο αυτό. u 1 '=q 1 q 1 ', z 1=q1 ' q ' u ' =q q ', t 1=, v 1=q q1 ' z1 z 1, t =, [5] z z, v =q q ' z =ω 1 t 1 Έχοντας ορίσει τα παραπάνω διανύσματα τότε από το πυθαγόρειο θεώρημα προκύπτει ότι u 1 '=ωωτ ( p q 1 ), u ' =ωω Τ ( p q ) δ 1 ' = v 1 ' = δ 1 u 1 ', δ '= v ' = δ u ' Χρησιμοποιόντας πάλι τον κανόνα των συνημιτόνων για το τρίγωνο που σχηματίζεται από τα σημεία q,q1',q', η γωνία που βρίσκεται στο σημείο q 1', μπορεί να υπολογιστεί βάσει της παρακάτω εξίσωσης. θ q '=±cos ( 1 δ 1 ' + z 1 δ ' δ1 ' z 1 ) 43

44 Εφόσον τα διανύσματα v, t 1, t είναι γραμμικά ανεξάρτητα τότε το διάνυσμα v 1' μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων t1, t, με τους συντελεστές να δίνονται από τους εξής τύπους. v 1 ' =at 1 + β t a= δ 1 ' cos(θ q ' ), β = δ 1 ' sin(θ q ' ) Με την εύρεση των συντεταγμένων του διανύσματος v 1, το σημείο q μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση [5] και το υποπρόβλημα να επιλυθεί με τη χρήση του υποπροβλήματος 5, εφόσον όλες οι παράμετροι είναι γνωστές. Παραμετρική Επίλυση Ο συνδυασμός της μεθόδου POE και των υποπροβλημάτων ως τρόπος επίλυσης του αντίστροφου κινηματικού προβλήματος συνιστά μια μεθοδολογία η οποία μπορεί να εφαρμοστεί τόσο σε μεταμορφικούς όσο και σε μη μεταμορφικούς σειριακούς βραχίονες. Παρόλα αυτά, η ανατομία οποιουδήποτε συστήματος θα πρέπει να εξετάζεται σύμφωνα με τον κανόνα του Pipr ο οποίος απέδειξε ότι οποιοσδήποτε βραχίονας 6 περιστροφικών ενεργών αρθρώσεων του οποίου 3 διαδοχικοί άξονες των αρθρώσεων τέμνονται σε ένα σημείο έχει επιλύσιμο αντίστροφο κινηματικό πρόβλημα με λύσεις κλειστής μορφής. Αργότερα ο Duffy απέδειξε ότι το ίδιο ισχύει εάν τρεις διαδοχικοί άξονες του συστήματος είναι παράλληλοι (Slig, 005). Στην παρούσα διπλωματική εργασία οι βραχίονες που εξετάζονται έχουν τυχαίες ανατομίες και για αυτό κρίνεται απαραίτητος ο παραπάνω έλεγχος. Στο σημείο αυτό πρέπει να τονιστεί ότι οι ανατομίες που εξετάζονται δεν παράγονται με βάση τους παραπάνω κανόνες αλλά εξετάζονται με βάση αυτούς. Κατά συνέπεια οι ανατομίες που δεν υπακούν στους κανόνες αυτούς απορρίπτονται. Σε τέτοιες περιπτώσεις η εύρεση λύσεων μπορεί να γίνει με αριθμητικές μεθόδους όμως αυτό είναι αρκετά χρονοβόρο και απαιτεί μεγάλο υπολογιστικό κόστος ειδικά στην περίπτωση που πρέπει να εξεταστεί ένας μεγάλος αριθμός ανατομιών. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι οι βραχίονες που εξετάζονται αποτελούνται μόνο από περιστροφικές αρθρώσεις. Για βραχίονες με περιστροφικές αρθρώσεις η διαδικασία επίλυσης διαφοροποιείται ανάλογα με τα χαρακτηριστικά των τριών πρώτων αξόνων του συστήματος. Πιο συγκεκριμένα, για την επιλογή της κατάλληλης διαδικασίας κρίνεται απαραίτητο να εξεταστεί εάν ανάμεσα στους τρεις πρώτους άξονες του συστήματος, υπάρχουν άξονες που τέμνονται, είναι παράλληλοι ή είναι ασύμβατοι, δηλαδή δεν τέμνονται και δεν είναι παράλληλοι. Από τον έλεγχο αυτό προκύπτουν 5 διαφορετικές περιπτώσεις οι οποίες οδηγούν στην εύρεση λύσεων κλειστής μορφής. 1η περίπτωση 1ος και ος άξονας τέμνονται η περιπτωση ος και 3ος άξονας τέμνονται 3η περίπτωση ος και 3ος άξονας παράλληλοι 4η περίπτωση 1ος και ος άξονας παράλληλοι 5η περιπτωση 1ος, ος και 3ος άξονας παράλληλοι 6η περίπτωση 1ος, ος και 3ος άξονας ασύμβατοι Εφόσον μια ανατομία διαχωριστεί με βάση τις παραπάνω κατηγορίες η επίλυση του αντίστροφου κινηματικού προβλήματος μπορεί να χωριστεί σε δυο στάδια. Στο πρώτο στάδιο αναζητούνται οι γωνιές κατά τις οποίες πρέπει να περιστραφούν οι τρεις πρώτες ενεργές αρθρώσεις του συστήματος έτσι ώστε μόνο η θέση του άκρου εργασίας να ταυτιστεί με την επιθυμητή θέση στο 44

45 χώρο. Στο δεύτερο στάδιο, το οποίο είναι κοινό για όλους τους τύπους των παραπάνω ανατομιών, αναζητούνται οι γωνίες κατά τις οποίες πρέπει να περιστραφούν οι τρεις τελευταίες ενεργές αρθρώσεις έτσι ώστε το άκρο εργασίας να προσανατολιστεί προς την επιθυμητή κατεύθυνση. Η τεχνική αυτή βασίζεται στην απόπλεξη της κινηματικής εξίσωσης και στην ξένη βιβλιογραφία αναφέρεται ως dcoupling tchniqu. Τα δύο στάδια παρουσιάζονται παρακάτω, ξεκινώντας από τις υποπεριπτώσεις του πρώτου σταδίου. Επίλυση θέσης Όπως αναφέρθηκε, για την εξαγωγή των κατάλληλων εξισώσεων που πρέπει να επιλυθούν είναι απαραίτητος ο κατάλληλος διαχωρισμός της κινηματικής εξίσωσης του βραχίονα, η οποία σύμφωνα με το προηγούμενο κεφάλαιο αποτελεί τον διαδοχικό πολλαπλασιασμό των εκθετικών πινάκων των ελικώσεων που αντιπροσωπεύουν τις ενεργές αρθρώσεις του συστήματος, με τον πίνακα του συστήματος συντεταγμένων το οποίο υποδηλώνει την αρχική θέση και τον αρχικό προσανατολισμό του άκρου εργασίας. Σχήμα 6 : Το σημείο τομής των 3 τελευταίων αξόνων του συστήματος Ο διαχωρισμός αυτός βασίζεται στο γεγονός ότι η θέση του σημείου τομής των τριών τελευταίων αξόνων του συστήματος, όπως φαίνεται στο σχήμα 6, δεν επηρρεάζεται από τις γωνίες περιστροφής των τριών τελευταίων αρθρώσεων. Κατά συνέπεια, εάν ολόκληρη η κινηματική εξίσωση του βραχίονα εφαρμοστεί στο σημείο αυτό, το οποίο ειναι και το μοναδικό σημείο του συστήματος που έχει αυτή την ιδιότητα, τότε οι τρεις τελευταίοι πίνακες που αντιστοιχούν στις αρθρώσεις του καρπού μπορούν να απαλοιφθούν καταλήγωντας στην παρακάτω εξίσωση, η οποία όπως φαίνεται είναι μια εξίσωση 3 μεταβλητων. ξ 1 θ1 1 ξ θ 1 1 ξ 3 θ 3 ξ 4 θ 4 ξ 5 θ ξ 6 θ 6 6 g st (0)=g d ξ θ ξ θ ξ θ ξ θ ξ θ ξ θ = g d g 1 st (0) ξ θ ξ θ ξ θ p=g d g 1 st (0) p 1 3 ξ θ ξ θ ξ θ p= p' 1 3 [6] 45

46 Η εξίσωση [6] μπορεί να μεταφραστεί ως η διαδοχική περιστροφή ενός σημείου p γύρω από τρεις άξονες έτσι ώστε να ταυτιστεί με γνωστό σημείο p'. Το σημείο p' προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό του πίνακα που ορίζει την επιθυμητή διαμόρφωση του άκρου εργασίας, με τον αντίστροφο του πίνακα που ορίζει την αρχική διαμόρφωση του άκρου εργασίας και έπειτα με το σημείο που ορίζει την αρχική θέση του σημείου τομής των τριών τελευταίων αξόνων. 1η περίπτωση - Ο πρώτος και ο δεύτερος άξονας του βραχίονα τέμνονται στο σημείο q Σε αυτήν την περίπτωση η απόσταση του σημείου q από το σημείο που βρίσκεται τοποθετημένο το επιθυμητό σύστημα συντεταγμένων gd είναι σταθερή επομένως η κινηματική εξίσωση του βραχίονα μπορεί να απλοποιηθεί εάν ληφθεί υπόψιν ότι οι μετασχηματισμοί των τριών τελευταίων αρθρώσεων δεν επηρεάζουν τη θέση του σημείου p. Η περίπτωση απεικονίζεται στο σχήμα 7. Σχήμα 7 : Το σημείο τομής των πρώτων αξόνων του συστήματος Λαμβάνοντας υπόψιν το γεγονός ότι οι μετασχηματισμοί των δύο πρώτων αρθρώσεων δεν επηρεάζουν τη θέση του σημείου q, η εξίσωση [6] μπορεί να απλοποιηθεί ως εξής. ξ 1 θ1 1 ξ 1 θ 1 ξ θ ξ θ ξ 3 θ 3 3 ξ 3 θ 3 p= p' p q= p' q ξ θ ξ θ ( ξ θ p q)= p' q ξ θ p q = p' q =δ 3 [7] Η εξίσωση 7 μπορεί να μεταφραστεί ως περιστροφή του σημείου p γύρω από την τρίτη ενεργή άρθρωση έτσι ώστε η απόσταση του από το σημείο q είναι ίση με δ. Η εξίσωση αυτή μπορεί να λυθεί με τη βοήθεια του 3ου υποπροβλήματος και ο μέγιστος αριθμός των πιθανών λύσεων για την τρίτη γωνία είναι. Εφόσον η τιμή της τρίτης γωνίας γίνει γνωστή τότε είναι δυνατή η εύρεση των πρώτων γωνιών στο επόμενο βήμα. ξ 1 θ1 1 θ ξ θ ξ 1 ξ θ ( ξ 3 θ 3 p)= p ' p= p ' [8] 46

47 Στο βήμα αυτό μπορούν να υπολογίστούν οι λύσεις για την πρώτη και τη δεύτερη γωνία καθώς η εξίσωση 8 μπορεί να μεταφραστεί ως περιστροφή του σημείου p διαδοχικά γύρω από δυο τεμνόμενους άξονες έτσι ώστε να ταυτιστεί με το σημείο p'. Επομένως η επίλυση της εξίσωσης γίνεται με τη βοήθεια του ου υποπροβλήματος. Για τις αρθρώσεις 1, και 3 προκύπτουν συνολικά 4 λύσεις, εκ των οποίων οι ενδέχεται να είναι ίδιες για ορισμένες ανατομίες. η περίπτωση - Ο δεύτερος και ο τρίτος άξονας του βραχίονα τέμνονται στο σημείο q Σε αντιστοιχία με την πρώτη περίπτωση, η θέση και επομένως η απόσταση του σημείου q από το σημείο p δεν επηρρεάζεται από την περιστροφή της δέυτερης και της τρίτης άρθρωσης. Σχήμα 8 : Το σημείο τομής του δεύτερου και του τρίτου άξονα Σε αυτήν την περίπτωση για την αξιοποίηση της ιδιότητας αυτής κρίνεται απαραίτητη η ανακατανομή των όρων της εξίσωσης έτσι ώστε να μπορεί να επιλυθεί με τη βοήθεια των υποπροβλημάτων. Με τη μεταφορά των τριών εκθετικών πινάκων των ελικώσεων στο δεξιό μέλος της εξίσωσης προκύπτει ξ 1 θ 1 ξ θ p= ξ 3 θ 3 p= p ' 3 θ 3 ξ θ ξ 1 θ1 ξ 1 θ1 p ' q 1 θ1 p ' q) p q= ξ θ ξ θ ξ 3 3 p q= ξ θ ξ θ ( ξ 3 3 p' p q = ξ θ ξ θ ξ θ p ' q 3 3 θ 3 ξ θ ξ 3 1θ1 ξ 1 1 p ' q =δ ξ θ p' q =δ 1 1 [9] Η εξίσωση 9 μπορεί να μεταφραστεί ως περιστροφή του σημείου p' γύρω από την αντίστροφη ελίκωση που αντιστοιχεί στην πρώτη άρθρωση του βραχίονα έτσι ώστε η απόστασή του από το σημείο q να είναι ίση με δ. Η επίλυση πραγματοποιείται με τη βοήθεια του 3 47

48 υποπροβλήματος και επομένως ο μέγιστος αριθμός των διαφορετικών τιμών για την πρώτη γωνία είναι. Στο επόμενο βήμα μπορούν να υπολογιστούν και οι επόμενες γωνίες του συστήματος, με την εφαρμογή του δεύτερου υποπροβλήματος για την εξίσωση [10], η οποία μεταφράζεται ως διαδοχική περιστροφή του σημείου q γύρω από τους αντίθετους άξονες της τρίτης και της δέυτερης άρθρωσης έτσι ώστε να ταυτιστεί με το σημείο p. p= θ ξ θ ξ θ ξ θ ξ θ ξ 3 3 p '= ξ θ ξ θ p = p 3 3 ( θ ξ 1 1 p' ) [10 ] Οι πιθανές λύσεις για τις γωνίες δεν υπερβαίνουν τις για κάθε τιμή της πρώτης γωνίας, επομένως ο συνολικός αριθμός των λύσεων για τις 3 πρώτες γωνίες δεν υπερβαίνει τις 4. 3η περίπτωση - Ο δεύτερος και ο τρίτος άξονας του συστήματος είναι παράλληλοι. Σε αυτήν την περίπτωση η αρχική εξίσωση [6] είναι δυνατόν να έρθει σε μια μορφή η οποία μπορεί να επιλυθεί με τη χρήση του 5ου υποπροβλήματος. Τα σημεία q 1,q, όπως φαίνεται και στο σχήμα 9, είναι τυχαία σημεία τα οποία βρίσκονται πάνω στον άξονα της πρώτης άρθρωσης, επομένως η απόστασή τους από το σημείο p δεν επηρρεάζεται από την περιστροφή της. Σχήμα 9 : Τα σημείa q1 και q επάνω στον πρώτο άξονα Όπως φαίνεται και παρακάτω με την αξιοποίηση της ιδιότητας αυτής από την αρχική εξίσωση προκύπτουν εξισώσεις για τις οποίες μπορεί να βρεθεί αναλυτική λύση, με τη βοήθεια του 5ου υποπροβλήματος. ξ 1 θ 1 ξ θ ξ 3 θ3 p= p ' p q 1= p ' q1, ξ θ ( ξ θ ξ θ p q 1 )= p ' q1, ξ θ (ξ θ ξ 1 ξ 1 θ1 1 ξ θ ξ 3 θ ξ 1 θ 1 ξ θ ξ 3 θ3 1 1 ξ θ ξ θ p q 1 = p' q1 =δ 1 ξ θ ξ θ p q = p ' q =δ p q = p' q 3 θ 3 p q )= p' q [11] [1 ] 48

49 Οι εξισώσεις 11 και 1 μπορούν να μεταφραστούν ως διαδοχική περιστροφή του σημείου p γύρω από παράλληλους άξονες έτσι ώστε η απόστασή του από τα σημεία q 1 και q να είναι ίση με δ1 και δ αντίστοιχα. Επoμένως μπορούν να επιλυθούν ταυτόχρονα με το 5o υποπρόβλημα. Εν συνεχεία είναι δυνατόν να επιλυθεί και η εξίσωση 13 με τη βοήθεια του 1ου υποπροβλήματος, εφόσον οι γωνίες και 3 αποκτήσουν γνωστές τιμές.ο συνολικός αριθμός των λύσεων για τις 3 πρώτες γωνίες και σε αυτήν την περίπτωση δεν υπερβαίνει τις 4. ξ 1 θ 1 1 ( ξ θ ξ 3 θ 3 p)= p ' ξ θ p = p ' [13] 1 4η περίπτωση - Ο πρώτος και ο δεύτερος άξονας του βραχίονα είναι παράλληλοι. Σε αντιστοιχία με την προηγούμενη περίπτωση η εξίσωση [6] μετά από ανακατανομή των όρων στο δεξί μέλος της, μπορεί να επιλυθεί επίσης με τη χρήση του 5ου υποπροβλήματος, αυτήν την φορά όμως τα σημεία q1 και q (σχήμα 10) είναι τυχαία σημεία τα οποία βρίσκονται πάνω στον άξονα της τρίτης άρθρωσης. Οι αντίστοιχες εξισώσεις προς επίλυση είναι η [14] και η [15]. Σχήμα 10 : Τα σημείa q1 και q επάνω στον τρίτο άξονα Η επίλυση της περίπτωσης αυτής ολοκληρώνεται με την επίλυση της εξίσωσης [16] με τη χρήση του πρώτου υποπροβλήματος, και ο μέγιστος αριθμός των πιθανών λύσεων για τις 3 πρώτες γωνίες είναι και σε αυτήν την περίπτωση 4. p= p q 1 = 3 θ3 ξ θ ξ 1θ 1 ξ 3 θ 3 ξ θ ξ 1θ1 ξ 1 θ1 p q = ξ θ ξ θ ξ 3 3 3θ3 ξ p ' q 1 = 3θ3 ξ p= 3θ3 ξ ( θ ξ 1 θ1 ξ ( p ' q 1) p ' q = ξ θ ( ξ θ ξ θ p ' q ) θ ξ 1θ1 ξ p q 1 = θ θ ξ θ ξ ξ p q = 3 p' 3 θ ξ 1θ 1 ξ 1 1 p' )= p ' q 1 [14 ] p ' q [15] 3θ3 ξ p [16] 49

50 5η περίπτωση - Οι 3 πρώτοι άξονες του βραχίονα είναι παράλληλοι. Η περίπτωση αυτή μπορεί να επιλυθεί με ανάλογο τρόπο με την περίπτωση 3. Τα σημεία όμως που επιλέγονται (σχήμα 11) δεν θα πρέπει να βρίσκονται και τα επάνω στον πρώτο άξονα του συστήματος καθώς προκύπτουν άπειρες λύσεις για τις γωνίες και 3. Η διαφοροποίηση του αλγόριθμου επίλυσης σε αυτήν την περίπτωση είναι ελάχιστη. Επίσης οι βραχίονες με τέτοια ανατομία είναι προφανές ότι μπορούν να κινηθούν πάνω σε ένα και μόνο επίπεδο. Σχήμα 11 : Τα σημείa q1 και q όπως ορίζονται σε αυτή την περίπτωση 6η περίπτωση - Οι 3 πρώτοι άξονες του βραχίονα δεν τέμνονται και δεν είναι παράλληλοι. Η περίπτωση αυτή μπορεί να προσεγγιστεί με αλγεβρικό τρόπο, καθώς δεν υπάρχει μέχρι στιγμής στη βιβλιογραφία κάποιο υποπρόβλημα ή καποιος συνδυασμός υποπροβλημάτων με τον οποίο θα μπορεί να βρεθεί αναλυτική λύση. Η διαδικασία επίλυσης παρουσιάζεται παρακάτω και αποδίδεται στον Pipr, η συγκεκριμένη προσέγγιση όμως βασίζεται στη χρήση ελικώσεων, όπως παρουσιάζεται στο βιβλίο του Slig (Slig, 005). Η ανατομία του βραχίονα φαίνεται στο σχήμα 1. Σχήμα 1 : Η ανατομία του βραχίονα της 6ης περίπτωσης 50

51 Σύμφωνα με το σχήμα 13, το οποίο βοηθά στη γεωμετρική κατανόηση του προβλήματος, το σημείο p πρέπει να ταυτιστεί με το σημείο a το οποίο εν συνεχεία περιστρέφεται γύρω από τον μεσαίο άξονα έτσι ώστε να ταυτιστεί με το σημείο b, το οποίο τελικά περιστρέφεται γύρω από τον 3 άξονα έτσι ώστε να ταυτιστεί με το σημείο p'. Αρχικά, για να είναι εφικτή η περιστροφή του σημείου a γύρω από τον μεσαίο άξονα έτσι ώστε να ταυτιστεί με το σημείο b είναι προφανές ότι τα δύο σημεία θα πρέπει να βρίσκονται σε ένα επίπεδο κάθετο στο μεσαίο άξονα. Σχήμα 13 : Γεωμετρική αναπαράσταση του προβλήματος Επιπλέον οι αποστάσεις των σημείων από ένα τυχαίο σημείο του μεσαίου άξονα θα πρέπει να είναι ίσες, καθότι θα πρέπει και τα δύο σημεία να βρίσκονται επάνω στον ίδιο κύκλο ο οποίος βρίσκεται πάνω στο επίπεδο που αναφέρθηκε πριν. Σύμφωνα με τα παραπάνω ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις, οι οποίες εκφράζουν τα σημεία a και b συναρτήσει των σημείων p και p' με τη χρήση ελικώσεων. a= ξ 3 θ3 p, b= 1 θ1 ξ p', ξ θ a=b a= p+sin(θ 3 )(ω 3 ( p q3 ))+(1 cos (θ 3)) ω 3 ( p q3 ) b= p ' sin(θ 1 )( ω 1 ( p ' q 1 ))+(1 cos(θ 1 )) ω 1 ( p ' q1 ) Με τους δύο περιορισμούς που αναφέρθηκαν πριν είναι δυνατή η πλήρης διατύπωση του προβλήματος αλγεβρικά. Πιο συγκεκριμένα για τα σημεία a και b θα πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις. a ω β ω =0, (a q ) ( β q )=0 Η πρώτη σχέση αφορά την ισότητα των εσωτερικών γινομένων των διανυσμάτων των ακραίων αξόνων με το διάνυσμα του μεσαίου άξονα. Η δεύτερη σχέση αφορά την ισότητα των αποστάσεων των σημείων από ένα τυχαίο σημείο του μεσαίου άξονα. Με την μετατροπή των σχέσεων σε ένα σύστημα εξισώσεων είναι εμφανείς οι όροι που σχετίζονται με τις γωνίες της πρώτης και της τρίτης άρθρωσης, ενώ όπως φαίνεται το σύστημα είναι ανεξάρτητο από τη γωνία του μεσαιου αξονα, της οποίας η τιμή μπορεί να βρεθεί στο επόμενο στάδιο αφού γινουν γνωστές η 1η και η 3η γωνία. 51

52 Με την πλήρη ανάπτυξη και επαναπαραγοντοποίηση των δύο παραπάνω εξισώσεων το σύστημα παίρνει την παρακάτω μορφή όπου A,B,C,D,E,F,G,H,I,K,L,M,N,O, οι συντελεστές του συστήματος οι οποίοι έχουν γνωστές τιμές και παρατίθενται στο παράρτημα σε μορφή κώδικα Α sin(θ 1 )+ B cos(θ 1 )+C sin (θ 3 )+ D cos(θ 3 )+E=0 F sin(θ 1 )+G cos (θ 1 )+ H sin(θ 3 )+ I cos(t 3 )+ K sin(θ 1 ) + Lcos (θ 1 )+M sin(θ 3 ) + N cos(θ 3 )+O=0 Το σύστημα στην παραπάνω μορφή δεν είναι δυνατόν να επιλυθεί με λύση κλειστής μορφής διότι η πλήρης ανάπτυξή και ανάλυσή του οδηγεί σε εξισώσεις 8 βαθμού λόγω της παρουσίας τετραγωνικών τριγωνομετρικών όρων. Παρατηρώντας όμως καλύτερα τους συντελεστές των τετραγωνικών όρων (J,K,L,M), το σύστημα μπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω. Πιο συγκεκριμένα εάν στη δέυτερη εξίσωση το διάνυσμα του μεσαίου άξονα θεωρηθεί μοναδιαίο τότε οι τετραγωνικοί όροι απαλοίφονται καθώς όπως φαίνεται και στις παρακάτω σχέσεις ισχύει. K L=(ω1x +ω 1y +ω1z 1)( p y +...)=0 K= L K sin(θ 1 ) + L cos(θ 1) = K sin(θ 1 ) + K cos (θ 1)= K (cos(θ 1 ) +sin(θ 1 ) )= K M N =(ω3x +ω 3y +ω3z 1)( p y +...)=0 M = N M sin (θ 3 ) + N cos (θ 3) = M sin(θ 3 ) +M cos(θ 3 ) =M (cos (θ 3)+sin(θ 3 ) )=M Επομένως αυτό το στάδιο επίλυσης του προβλήματος έγκειται στην επίλυση του παρακάτω συστήματος το οποίο αποτελεί μια απλοποιημένη μορφή του πρώτου, για το οποίο πλέον μπορεί να βρεθεί αναλυτική λύση. Αsin(θ 1 )+ B cos (θ 1 )+C sin (θ 3)+ D cos(θ 3 )+E=0 F sin(θ 1 )+G cos (θ 1 )+ H sin(θ 3 )+ I cos(θ 3 )+ J =0 ( J = K +M +O) sin (θ 1 )+cos(θ 1 )=1 sin (θ 3 ) +cos(θ 3 ) =1 Σε αυτό το στάδιο κρίνεται απαραίτητη η απλοποίηση του συστηματος με μια τεχνική η οποία ονομάζεται limination. Για την εφαρμογή της τεχνικής απαιτούνται δυο επιπλέον εξισώσεις οι οποίες στην προκειμένη περίπτωση δίνονται από την γνωστή τριγωνομετρική ταυτότητα του κύκλου. Με αυτήν την τεχνική μέθοδο παράγεται μια εξίσωση προς επίλυση η οποία εξαρτάται από μεταβλητές. Για να διευκολυνθεί η αλγεβρική προσέγγιση της επίλυσης οι συναρτήσεις του ημιτόνου και του συνημιτόνου της τρίτης γωνίας αντικαθίστανται από τους χαρακτήρες s 3 και c3 αντίστοιχα. Η εξίσωση που προκύπτει είναι η παρακάτω. s3 C E F + c3 D E F + E F + s 3 C E G + c3 D E G + E G s3 A E F H s 3 B E G H c 3 A E F I c 3 B E G I A E F J B E G J = c 3 B F +s3 B F s 3 C F s 3 c 3 C D F c 3 D F c 3 A B F G s3 A B F G+c 3 A G +s3 A G s3 C G c3 s3 C D G c3 D G + s 3 AC F H + c3 s3 A D F H + s3 B C G H + c3 s 3 B D G H s3 A H s3 B H + c 3 s 3 AC F I + c 3 A D F I + c3 s 3 B C G I + c 3 B D G I s 3 c 3 A H I c3 s3 B H I c 3 A I c 3 B I + s 3 AC F J + c 3 A D F J + s3 BC G J + c3 B D G J s3 A H J s 3 B H J c 3 A I J c3 B I J A J B J 5

53 Το επόμενο στάδιο αφορά την αντικατάσταση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σύμφωνα με τον τύπο του Wirstrass ο οποίος συναντάται στην ξένη βιβλιογραφία και ως tan half angl substitution ή στην ελληνική βιβλιογραφία αντικατάσταση τόξου εφαπτομένης. Η αντικατάσταση αυτή εφαρμόζεται συχνά στην ρομποτική, κυρίως σε περιπτώσεις όπου είναι κρίνεται αναγκαία η απλοποίηση εξισώσεων, καθώς μετατρέπει ένα σύστημα αλγεβρικών τριγωνομετρικών εξισώσεων n μεταβλητών σε ένα σύστημα n/ μεταβλητών. Στην προκειμένη περίπτωση, έπειτα από την αντικατάσταση σύμφωνα με τις παρακάτω σχέσεις, η παραπάνω εξίσωση μεταβλητών μετατρέπεται σε εξίσωση μιας μεταβλητής. sin (θ 3 )= s3 = v 1+v cos(θ 3 )=c 3= 1 v 1+v Η επίλυση της εξίσωσης που προκύπτει έπειτα από την αντικατάσταση τόξου εφαπτομένης μπορεί να πραγματοποιηθεί εάν η εξίσωση παραγοντοποιηθεί και επιλυθεί ως προς τον αριθμητή ο οποίος είναι πολυώνυμου 4ου βαθμού ως προς v. Οι συντελεστές του πολυωνύμου είναι οι εξής Ζ = z 4 v 4+ z 3 v 3+ z v +z 1 v+ z 0 z 4 = D F B F D E F + E F + A B F G A G + D G D E G + E G A D F I + A E F I B D G I + B E G I + A I + B I + A D F J A E F J + B D G J B E G J A I J B I J + A J + B J z 3= 4C D F +4 C E F 4C D G +4C E G +4 A D F H 4 A E F H +4 B D G H 4 B E G H +4 AC F I +4 B C G I 4 A H I 4 B H I 4 AC F J 4 B C G J +4 A H J +4 B H J z = B F +4 C F D F + E F +4 A B F G A G +4C G D G + E G 8 AC F H 8 B C G H +4 A H +4 B H +4 A D F I +4 B D G I A I B I 4 A E F J 4 B E G J + A J + B J z 1=4 C D F +4 C E F +4 C D G +4C E G 4 A D F H 4 A E F H 4 B D G H 4 B E G H 4 AC F I 4 B C G I +4 A H I +4 B H I 4 AC F J 4 B C G J +4 A H J +4 B H J z 0 = D F B F + D E F +E F + A B F G A G + D G + D E G + E G A D F I A E F I B D G I B E G I + A I + B I A D F J A E F J B D G J B E G J + A I J + B I J + A J + B J Εφόσον οι τιμές της μεταβλητής v γίνουν γνωστές τότε με μπορούν να υπολογιστούν οι τιμές των μεταβλητών s3 και c3 καθώς και η ζητούμενη γωνία με την βοήθεια της παρακάτω συνάρτησης, η οποία ουσιαστικά αποτελεί την αντίστροφη διαδικασία της αντικατάστασης τόξου εφαπτομένης. Όπως είναι λογικό για την τρίτη γωνία ο μέγιστος αριθμός των διαφορετικών λύσεων είναι 4, κάτι το οποίο οφείλεται στο βαθμό του πολυωνύμου Z. θ 3= atan(v ) 53

54 Γνωρίζοντας τις τιμές των μεταβλητών s3 και c3,, από τις αρχικές εξισώσεις του συστήματος μπορούν να βρεθούν οι αντίστοιχες τιμές των μεταβλητών s1 και c1 και τελικά η τιμή της γωνίας θ1. Με την ταυτόχρονη επίλυση των εξισώσεων [9] και [4] οι μεταβλητές s 1 και c1, καθώς και η τιμή της γωνίας θ1 δίνονται από τους παρακάτω τύπους. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι ο παρονομαστής των δεξιών μελών των παρακάτω εξισώσεων δεν θα πρέπει να ισούται με το 0, κάτι το οποίο όμως αποφεύγεται, καθώς ισχύει σε περιπτώσεις παραλληλίας ή τεμνόμενων αξόνων οι οποίες επιλύονται με διαφορετικό τρόπο στην παρούσα εργασία. Κατα συνέπεια εάν η διαδικασία αυτή επιλεχθεί για την εξαγωγή λύσεων που θα καλύπτουν όλες τις περιπτώσεις που αναφέρθηκαν αρχικά, ως μια γενική προσέγγιση του πρώτου σταδίου επίλυσης, θα πρέπει να γίνει ο κατάλληλος έλεγχος στους συντελεστές του συστήματος, κάτι το οποίο οδηγεί σε διαφορετικές διαδικασίες για την εύρεση της πρώτης γωνίας. sin(θ 1 )= s1 = cos(θ 1 )=c 1= B J E G+ B I c 3 D G c 3+ B H s 3 C G s 3 AG B F ( A J E F+ A I c 3 D F c3+ A H s 3 C F s 3 ) AG B F θ 1 =arctan( s1, c1) Τέλος η δεύτερη γωνία, μπορεί να βρεθεί με τη χρήση του πρώτου υποπροβλήματος, επιλύοντας την παρακάτω εξίσωση, εφόσον οι συντεταγμένες των σημείων a και b είναι πλέον γνωστές ξ θ a=b Στην περίπτωση μιας πλήρους αλγεβρικής προσέγγισης μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο παρακάτω τύπος όπως παρατίθεται από τον Slig. b=a+sin (θ )( ω (a q ))+(1 cos (θ )) ω (ω (a q )) cos(θ )=c =1 (b a ) (ω (ω ( a q ))) sin (θ )= s = (ω (ω (a q ))) (b a) (ω (a q )) (ω (a q )) θ =arctan( s, c ) 54

55 Επίλυση Προσανατολισμού Εφόσον οι 3 πρώτες γωνίες έχουν γνωστές τιμές, αυτό που απομένει για την επίλυση του αντίστροφου κινηματικού προβλήματος είναι η εύρεση των 3 τελευταίων γωνιών. Στη συγκεκριμένη εργασία επιλέγεται η μέθοδος των υποπροβλημάτων σύμφωνα με (Murray t al, 1994) ενώ μια αλγεβρική προσέγγιση μπορεί να βρεθεί στο βιβλίο του Slig (Slig, 005). Ανακατατάσσοντας τους όρους της κινηματικής εξίσωσης του βραχίονα, αυτή μπορεί να γραφτεί ως ξ 1 θ 1 ξ θ ξ 3 θ 3 ξ 4 θ 4 ξ 5 θ5 ξ 6 θ 6 g st (0)=g d ξ θ ξ θ ξ θ ξ θ ξ θ ξ θ = g d g 1 st (0) ξ θ ξ θ ξ θ = ξ θ ξ θ ξ θ g d g 1 st (0) Πολλαπλασιάζοντας ένα σημείο pw το οποίο βρίσκεται στον άξονα μόνο της τελευταίας ελίκωσης και όχι των δύο προηγούμενων αυτής, προκύπτει ξ 4 θ 4 ξ 5 θ 5 3 θ 3 ξ θ ξ 1θ1 ξ p w = 4 5 θ 5 ξ θ ξ 4 g d g 1 st (0) p w pw= pw ' Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να λυθεί με τη βοήθεια του δεύτερου υποπροβλήματος, επομένως για κάθε μια απο τις 4 συνολικά λύσεις για τις τρεις πρώτες αρθρώσεις του βραχίονα προκύπτουν ζεύγη λύσεων για τις αρθρώσεις 4 και 5. Σε αυτό το σημείο πρέπει να σημειωθεί ότι υπάρχει περίπτωση το σημείο pw να βρίσκεται πάνω στους άξονες 4 και 5 εάν αυτοί βρίσκονται περιστραμμένοι κατά τέτοια γωνία έτσι ώστε στην αρχική διαμόρφωση του συστήματος να είναι παράλληλοι με τον άξονα της τελευταίας άρθρωσης. Σε αυτήν την περίπτωση θα πρέπει να γίνει η κατάλληλη περιστροφή των αξόνων έτσι ώστε το σημείο να μην βρίσκεται πάνω στον άξονα της 6ης άθρωσης και έπειτα να αναζητηθούν οι γωνίες των αρθρώσεων 4 και 5. Μετά από αυτό το στάδιο ο μέγιστος αριθμός των πιθανών λύσεων ανέρχεται στις 8. Η επίλυση του αντίστροφου κινηματικού προβλήματος ολοκληρώνεται με την επίλυση της παρακάτω εξίσωσης, της οποίας η άγνωστη μεταβλητή είναι η γωνία της 6ης άρθρωσης, κάνοντας χρήση του πρώτου υποπροβλήματος. Με pl συμβολίζεται τυχαίο σημείο το οποίο όμως βρίσκεται εκτός του άξονα της τελευτάιας άρθρωσης. ξ 6 θ 6 pl = 5 θ 5 ξ 4 θ 4 ξ 3 θ 3 ξ θ ξ 1 θ1 ξ 6 θ 6 ξ g d g 1 st (0) pl pl = p l ' Η παραπάνω διαδικασία αποτελεί μια ολοκληρωμένη προσέγγιση για την επίλυση του ακ ωστόσο υπάρχουν και άλλες προσεγγίσεις οι οποίες προσφέρουν αναλυτικές λύσεις. Επίσης πρέπει να σημειωθεί ότι με τις παραπάνω τεχνικές είναι δυνατόν να βρεθούν λύσεις για ανατομίες οι οποίες νε μεν συμφωνούν με την πρόταση του Pipr, οι τρεις διαδοχικοί όμως άξονες που τέμνονται να μην είναι αυτοί των τριών τελευταίων αρθρώσεων. Αυτό επιτυγχάνεται με την σωστή ανακατανομή των όρων της κινηματικής εξίσωσης του βραχίονα έτσι ώστε σταδιακά να προκύπτουν εξισώσεις οι οποίες μπορούν να επιλυθούν με τη χρήση υποπροβλημάτων. Ανάλογες τεχνικές ακολοθούνται και σε περιπτώσεις όπου υπάρχουν πρισμάτικές ενεργές αρθρώσεις στο σύστημα. 55

56 Δείκτες αξιολόγησης Περιγραφή Οι δείκτες αξιολόγησης είναι βαθμωτά μεγέθη τα οποία προσδιορίζουν την απόδοση ενός συστήματος σύμφωνα με κάποια προκαθορισμένα κριτήρια και εμφανίστηκαν τη δεκαετία του ογδόντα, καλύπτοντας ως ένα βαθμό την ανάγκη για κριτήρια αξιολόγησης τα οποία θα καθόριζαν το σχεδιασμό βιομηχανικών ρομπότ, μια εργασία η οποία έως τότε εξαρτώταν σε μεγάλο βαθμό από την εμπειρία των σχεδιαστών (Morno t al., 01). Οι δείκτες αυτοί αποτελούν πλέον σημαντικά εργαλεία διότι χρησιμεύουν στο βέλτιστο σχεδιασμό τόσο των χειριστών όσο και των κινήσεων τους. Κατά τη διαδικασία του σχεδιασμού οι δείκτες μετρούν την ικανότητα του συστήματος να προσεγγίσει ένα συγκεκριμένο σημείο ή ένα σύνολο σημείων ενώ κατά τον προγραμματισμό της κίνησης μετρούν την ικανότητα του συστήματος να μεταβάλλει την διαμόρφωση του άκρου εργασίας. Η χρήση των δεικτών για τον προσδιορισμό της απόδοσης των μηχανικών συστημάτων, παρέχει μια βάση πάνω στην οποία μπορεί να βασιστεί τόσο ο έλεγχος όσο και ο σχεδιασμός του συστήματος, χωρίς η διαδικασία αυτή να πρέπει να στηριχτεί εξ ολοκλήρου στην εμπειρία και τη διαίσθηση του σχεδιαστή. Με τα κριτήρια αυτά είναι εφικτό να αξιολογηθεί η απόδοση μιας ανατομίας ως προς την απόδοση της σε συγκεκριμένους εργασίες, να σχεδιαστεί ένα σύστημα με σκοπό τη μέγιστη ή την ελάχιστη απόδοση σε ένα συγκεκριμένο δείκτη ή μια ομάδα δεικτών, ενώ είναι εφικτός ο προσαρμοστικός έλεγχος του συστήματος με βάση τη μεγιστοποίηση των δεικτών σε κάθε χρονική στιγμή της λειτουργίας του βραχίονα (Chang 1988). Οι δείκτες αξιολόγησης μπορούν να χωριστούν σε δύο βασικές κατηγορίες. Η πρώτη κατηγορία δεικτών η οποία χρησιμεύει κατά το στάδιο του σχεδιασμού, χρησιμοποιείται ως κριτήριο ελέγχου στη διαδικασία υπολογισμού των γεωμετρικών παραμέτρων και χαρακτηριστικών που ορίζουν την αρχιτεκτονική ενός βραχίονα και στην περίπτωση αυτή ονομάζονται ανεξάρτητοι δείκτες. Στην κατηγορία αυτή υπάρχουν δείκτες οι οποίοι ποσοτικοποιούν το χώρο εργασίας του βραχίονα, δηλαδή τις μέγιστες αποστάσεις και το σύνολο των προσανατολισμών που μπορεί να καλύψει το άκρο εργασίας. Βάσει αυτών των ικανοτήτων οι βραχίονες μπορούν να χαρακτηριστούν ως επιδέξιοι ή μη επιδέξιοι, ανάλογα με το αν έχουν την απαραίτητη διάταξη η οποία θα επιτρέπει την απαιτούμενη μεταφορά και προσανατολισμό του άκρου εργασίας στο σημείο εκτέλεσης της εργασίας. Αυτοί οι δείκτες εξαρτώνται σε μεγάλο βαθμό από τον αριθμό των ενεργών αρθρώσεων καθώς και από τον τύπο τους. Η δεύτερη κατηγορία δεικτών αφορά τη διαδικασία του σχεδιασμού της κίνησης του συστήματος, ως εκ τούτου βοηθούν συνήθως στη βελτιστοποίηση της ταχύτητας και την εξομάλυνση της επιτάχυνσης του βραχίονα. Στην περίπτωση αυτή ονομάζονται τοπικοί δείκτες διότι εξαρτώνται από την στιγμιαία διαμόρφωση του συστήματος. Οι δείκτες της κατηγορίας αυτής ονομάζονται κινετοστατικοί δείκτες και χωρίζονται στους κινηματικούς και τους δυναμικούς δείκτες. Σε αυτή την κατηγορία ικανοτήτων ανήκουν οι δείκτες που ποσοτικοποιούν τις κινηματικές και δυναμικές ικανότητες του συστήματος και ως εκ τούτου έχουν να κάνουν με την ανάλυση των ταχυτήτων, των επιταχύνσεων, των δυνάμεων και των ροπών του συστήματος. Όπως αναφέρθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο κατά την κίνηση ενός βιομηχανικού βραχίονα η ταχύτητα του άκρου εργασίας σχετίζεται με την ταχύτητα μεταβολής των παραμέτρων των ενεργών αρθρώσεων. Η συσχέτιση αυτή μπορεί να δημιουργηθεί με την χρήση του ιακωβιανού πίνακα του συστήματος και αποτυπώνεται στην παρακάτω σχέση. V = J Θ Θ = J 1 V 56

57 Η εξέταση της παραπάνω σχέσης μπορεί να οδηγήσει σε χρήσιμα συμπεράσματα σχετικά με τα ποιοτικά και ποσοτικά χαρακτηριστικά τόσο των κινηματικών όσο και των δυναμικών ιδιοτήτων ενός βιομηχανικού βραχίονα. Πιο συγκεκριμένα υπάρχουν περιπτώσεις όπου η συνολική κίνηση που είναι ικανές να προσφέρουν οι ενεργές αρθρώσεις του συστήματος έχει ως αποτέλεσμα άλλοτε μεγάλη, άλλοτε μικρή και άλλοτε μηδενική μεταβολή της θέσης και του προσανατολισμού του άκρου εργασίας. Όσο μικραίνει η μεταβολή αυτή τόσο πιο δύσκολο είναι για το άκρο εργασίας να κινηθεί με την έννοια ότι απαιτούνται μεγάλες ταχύτητες των ενεργών αρθρώσεων για την επίτευξη μικρών μεταβολών στη διαμόρφωση του. Όταν ο βραχίονας δεν έχει τη δυνατότητα να κινηθεί προς την επιθυμητή κατεύθυνση τότε βρίσκεται σε σημείο ιδιομορφίας. Γενικά, τα σημεία ιδιομορφίας μπορούν να χωριστούν σε δύο κατηγορίες: Τα σημεία ιδιομορφίας ορίων χώρου εργασίας και τα σημεία ιδιομορφίας στο εσωτερικό του χώρου εργασίας. Στην πρώτη κατηγορία ανήκουν τα σημεία τα οποία εμφανίζονται όταν ο χειριστής είναι πλήρως εκτεταμένος ή συνεπτυγμένος, έτσι ώστε το εργαλείο του να βρίσκεται κοντά ή πάνω στο όριο του χώρου εργασίας ενώ στην δεύτερη κατηγορία ανήκουν τα σημεία που εμφανίζονται εντός των ορίων του χώρου εργασίας και προκαλούνται εν γένει από τη συγγραμμικότητα δύο ή περισσότερων αξόνων των ενεργών αρθρώσεων. Όταν ο βραχίονας βρίσκεται σε σημείο ιδιομορφίας, από κινηματικής πλευράς σημαίνει ότι η συνολική ταχύτητα που φτάνει στο άκρο εργασίας μέσω των ενεργών αρθρώσεων είναι μηδενική. Από δυναμικής πλευράς αυτό πρακτικά σημαίνει ότι οι ενεργές αρθρώσεις δεν έχουν τη κατάλληλη διάταξη έτσι ώστε η δύναμη που απαιτείται να μεταφερθεί στο άκρο εργασίας να είναι μή μηδενική. Τα σημεία ιδιομορφίας έχουν μεγάλη σημασία στο προγραμματισμό της κίνησης ενός συστήματος. Όλα αυτά τα χρήσιμα συμπεράσματα μπορούν να προκύψουν από την εξέταση της παραπάνω σχέσης. Αυτό όμως που είναι ιδιάιτερα σημαντικό στη παρούσα εργασία είναι ότι η συσχέτιση του ιακωβιανού πίνακα με το ρυθμό μεταβολής των γωνιών περιστροφής των ενεργών αρθρώσεων προσφέρει τη βάση για τον καθορισμό των κινηματικών δεικτών που χρησιμοποιήθηκαν για την αξιολόγηση των ανατομιών και περιγράφονται παρακάτω. Μέτρο ευχέρειας Ένας αρκετά γνωστός δείκτης αξιολόγησης είναι το μέτρο ευχέρειας (manipulability indx) ή μέτρο ευχρηστίας, ο οποίος δίνει μια γενική εικόνα της ικανότητας του συστήματος να κινείται ελεύθερα προς όλες τις κατευθύνσεις μέσα στο χώρο εργασίας. Για τον υπολογισμό του μέτρου ευχέρειας χρησιμοποιείται ο δείκτης του Yoshikawa ο οποίος αναφέρεται στη βιβλιογραφία ως manipulability indx (Yoshikawa, 1990). Ο δείκτης αυτός συμβολίζεται συνήθως με το χαρακτήρα w και δίνεται από τη σχέση 17, όπου J η ιακωβιανή μήτρα του βραχίονα για μια συγκεκριμένη διαμόρφωση Θ R. Για βραχίονες με 6 βαθμούς ελευθερίας ο δείκτης απλοποιείται και ισοδυναμεί με την ορίζουσα του ιακωβιανού πίνακα, δηλαδή μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση 18. Για βραχίονες με περισσότερους από 6 βαθμούς ελευθερίας χρησιμοποιείται η ψευδοαντίστροφη ιακωβιανή μήτρα του συστήματος. w= dt ( JJ T ), n<6 [17] w=dt ( J ), n=6 [18] Από τις παραπάνω σχέσεις είναι προφανές ότι ο δείκτης w εξαρτάται από τον ιακωβιανό πίνακα του βραχίονα και ως εκ τούτου οι τιμές του δείκτη διαφοροποιούνται για κάθε πιθανή διαμόρφωση των ενεργών αρθρώσεων. Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ο δείκτης αυτός αποτελεί ένα τοπικό μέγεθος μέτρησης. Αυτό γίνεται ευκολότερα αντιληπτό εάν θεωρηθεί ότι σε κάθε χρονική στιγμή t το διάνυσμα V δημιουργείται από την αντίστοιχη κλιμάκωση του διανύσματος θ μέσω του πολλαπλασιασμού του με τον ιακωβιανό πίνακα που περιγράφει το σύστημα τη 57

58 δεδομένη χρονική στιγμή. (Spong, Hutchinson & Vidyasagar 006). Μέσω της σχέσης 1 το σύνολο όλων των πιθανών μεταβολών μιας γνωστής διαμόρφωσης Θ αντιστοιχεί στο σύνολο όλων των πιθανών ταχυτήτων του άκρου εργασίας. Εάν το διάνυσμα θ περιοριστεί ως προς το μέτρο, δηλαδή επιλεχθούν μόνο οι συνδυασμοί για τους οποίους ισχύει θ 1 τότε το σύνολο των διανυσμάτων της συνολικής ταχύτητας που αντιστοιχούν στους συνδυασμούς αυτούς, σχηματίζουν ένα συμπαγές ελλειψοειδές σχήμα. Πιο συγκεκριμένα για κάθε πιθανή ταχύτητα θ 1 το αντίστοιχο διάνυσμα V βρίσκεται εντός του όγκου του νοητού ελλειψοειδούς. Ο όγκος του ελλειψοειδούς ή της σφαίρας που σχηματίζεται είναι ανάλογος με την τιμή του μέτρου ευχέρειας διότι όπως αποδεικνύεται δεν επηρεάζεται σχετικά από την κανονικοποίηση των ταχυτήτων, κατά συνέπεια όσο μεγαλύτερο είναι το ελλειψοειδές τόσο πιο μεγάλες ταχύτητες μπορεί να αναπτύξει ο βραχίονας. Τέλος, όπως αποδεικνύεται η τιμή του δείκτη w είναι ανεξάρτητη του πρώτου βαθμού ελευθερίας του βραχίονα που τον συνδέει με το σύστημα συντεταγμένων της βάσης του, αλλά και σχετικά ανεξάρτητη σε σχέση με την θέση της αρχής των αξόνων του σταθερού συστήματος συντεταγμένων του χώρου εργασίας (60). Εικόνα 18 : Σχηματική αναπαράσταση του ελλειψοειδούς που εκφράζει το μέτρο ευχέρειας (Morno t al,01) Σύμφωνα με τα παραπάνω η βελτιστοποίηση της συνολικής ταχύτητας έγκειται στην επιλογή του κατάλληλου συνδυασμού θ ο οποίος μέσω του πολλαπλασιασμού του με τον ιακωβιανό πίνακα θα έχει ως αποτέλεσμα τη μεγαλύτερη δυνατή μεταβολή της διαμόρφωσης του άκρου εργασίας. Η πρακτική αυτή τις περισσότερες φορές δεν προσφέρει κάποιο σημαντικό όφελος διότι η κατεύθυνση της βέλτιστης ταχύτητας δεν είναι απαραίτητα και η επιθυμητή. Για το λόγο αυτό έχουν δημιουργηθεί δείκτες οι οποίοι μπορούν να δώσουν μια πιο αντιπροσωπευτική εικόνα των κινηματικών ιδιοτήτων ενός ρομποτικού βραχίονα. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω ο δείκτης w εξαρτάται άμεσα από τον ιακωβιανό πίνακα, η περαιτέρω ανάλυση του οποίου μπορεί να δώσει περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τις κινηματικές ικανότητες του συστήματος. Πιο συγκεκριμένα κάνοντας αποσύνθεση και ανάλυση των ιδιαζουσών τιμών (singular valu dcomposition) του ιακωβιανού πίνακα μπορούν να προκύψουν παρεμφερείς δείκτες με αυτόν του Yoshikawa. J =USV T, [ U R m m, S = σ1 0 0 σm ] m m 0 R σ 1 σ σ m 0, V R n n Σύμφωνα με τους παραπάνω τύπους εάν ο πίνακας J σχηματιστεί ως γινόμενο των πινάκων 58

59 U,S,V, τότε εξετάζοντας τον πίνακα S αποδεικνύεται ότι το μέτρο ευχέρειας είναι ανάλογο του γινομένου των διαγώνιων όρων του S, δηλαδή των ιδιοτιμών του ιακωβιανού πίνακα του βραχίονα. w=σ 1 σ σ m Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι οι τιμές των διαγώνιων στοιχείων σ 1, σ,... σμ. του πίνακα S έχουν ιδιαίτερη σημασία καθώς η ελάχιστη και ή μέγιστη τιμή αυτών προσδιορίζει την κατεύθυνση κατά την οποία ο βραχίονας μπορεί να κινηθεί με τη μικρότερη ή μεγαλύτερη δυνατή σχετική ταχύτητα αντίστοιχα. Επομένως η ελάχιστη τιμή αυτών μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ένα κατώτατο όριο για τον προσδιορισμό του μεγέθους των κινηματικών ικανοτήτων ενός βραχίονα που βρίσκεται σε μια συγκεκριμένη διαμόρφωση. Πιο συγκεκριμένα προκύπτει ο παρακάτω δέικτης ο οποίος ονομάζεται δέικτης ελάχιστης ιδιοτιμής. μ=min(σ 1,σ, σ m ) Δείκτης ισοτροπικότητας Ένας άλλος δείκτης που προκύπτει από την ανάλυση του πίνακα J είναι ο δείκτης ισοτροπικότητας (condition numbr)(murray t al., 1994). Ο δείκτης αυτός ορίζεται ως το πηλίκο της μέγιστης σmax προς την ελάχιστη σmin τιμή των διαγώνιων όρων του πίνακα S. Δεδομένου ότι οι τιμές αυτές προσδιορίζουν τους άξονες ενός ελλειψοειδούς το μέτρο το δείκτη αυτού ουσιαστικά δίνει μια εικόνα του σχήματος του ελλειψοειδούς μέσω της αναλογίας των αξόνων του. Έτσι για παράδειγμα για μια διαμόρφωση με τιμή δείκτη ισοτροπικότητας 1 υποδηλώνει ότι το ελλειψοειδές έχει τη μορφή μιας σφαίρας και κατά συνέπεια ο βραχίονας μπορεί να αναπτύξει ίσες σχετικές ταχύτητες προς όλες τις κατευθύνσεις. Ο δείκτης ισοτροπικότητας είναι αρκετά σημαντικός και τις περισσότερες φορές αποτελεί το βασικό δείκτη για σχεδιασμό των ρομποτικών βραχιόνων (Siciliano & Khatib, 008). κ= σ max σ min Δείκτης ΜVR Ένας περισσότερο αντιπροσωπευτικός κινηματικός δείκτης που χρησιμοποιείται για την εξέταση μιας ανατομίας σε σχέση με μια προκαθορισμένη εργασία που πρέπει να εκτελεστεί είναι ο δείκτης MVR (manipulator vlocity ratio)(duby & Luh, 1988). Ο δείκτης MVR προέρχεται από την περαιτέρω εξέταση του μέτρου ευχέρειας (manipulability indx) και ορίζεται ως ο λόγος του μέτρου του διανύσματος μιας καθορισμένης ταχύτητας του άκρου εργασίας προς το μέτρο του αντίστοιχου διανύσματος των ταχυτήτων των ενεργών αρθρώσεων που απαιτούνται για να επιτευχθεί η ταχύτητα αυτή. Ως εκ τούτου ο δείκτης αυτός δηλώνει ουσιαστικά την ικανότητα του βραχίονα να κινηθεί και να προσανατολιστεί προς μια συγκεκριμένη κατεύθυνση όταν βρίσκεται σε μια συγκεκριμένη διαμόρφωση επομένως αποτελεί ένα επιπλέον τοπικό μέτρο το οποίο βασίζεται επίσης στον ιακωβιανό πίνακα. Ο δείκτης MVR υπολογίζεται από την παρακάτω σχέση όπου με x συμβολίζεται το διάνυσμα προς την επιθυμητή κατέυθυνση της κίνησης. r= x T x θ T θ Με την κανονικοποίηση της ταχύτητας του άκρου εργασίας είναι δυνατόν να προκύψουν συγκρίσιμα αποτελέσματα ως προς το μέγεθος του δείκτη για διαφορετικές διαμορφώσεις. Η 59

60 περαιτέρω χρήση κατάλληλα σταθμισμένων πινάκων ελαχιστοποιεί το πρόβλημα των διαφορετικών μεγεθών που εκφράζονται από το διάνυσμα της συνολικής ταχύτητας. Ο δείκτης MVR επομένως μπορεί να δοθεί από την παρακάτω σχέση δίνοντας περισσότερο αντιπροσωπευτικά και συγκρίσιμα αποτελέσματα. Στην παρακάτων σχέση με u συμβολίζεται το μοναδιαίο κανονικοποιημένο διάνυσμα που υποδηλώνει την κατεύθυνση της κίνησης. u= x, x T x r= 1 u ( J J T ) 1 u T Ο δείκτης MVR μπορεί να θεωρηθεί ένα αντικειμενικό κριτήριο απόδοσης και θεωρείται κατάλληλο για την μέτρηση των κινηματικών ικανοτήτων για εργασίες οι οποίες σχετίζονται με διαγραφή τροχιών. Άλλοι δείκτες Οι δείκτες που παρουσιάστηκαν παραπάνω αποτελούν τοπικά μεγέθη μέτρησης για το λόγο αυτό έχουν προταθεί αρκετές μέθοδοι ολοκλήρωσης των δεικτών αυτών σε όλο το μήκος του μονοπατιού εργασίας. Πιο συγκεκριμένα έχουν γίνει προσπάθειες ώστε να ορισθούν ολικοί δείκτες, που χαρακτηρίζουν την απόδοση ενός βραχίονα σε όλο τον όγκο του χώρου εργασίας του ή κατά την εκτέλεση μιας εργασίας (Aspragathos & Foussias, 00). Η διαδικασία, που απαντάται συνήθως σε τέτοια προβλήματα βελτιστοποίησης απαιτεί τον καθορισμό μιας περιοχής του χώρου εργασίας του βραχίονα όπου αν τοποθετηθεί το προς κατεργασία εξάρτημα ή αντικείμενο, αυτός θα επιτυγχάνει την καλύτερη δυνατή απόδοση (Valsamos & Aspragathos, 009). Για βραχίονες σταθερής ανατομίας αυτό επιτυγχάνεται συνήθως με τον υπολογισμό του ολικού δείκτη σε όρους που χαρακτηρίζουν την απόδοση του βραχίονα για μια δεδομένη εργασία απαιτώντας ωστόσο τον επανυπολογισμό του δείκτη για μια νέα διαφορετική εργασία. 60

61 Εφαρμογή Οι μεταμορφικοί βραχίονες, έχουν τη δυνατότητα να αποκτούν διάφορες ανατομίες με διαφορετικές κινηματικές ιδιότητες. Για παράδειγμα ένας μεταμορφικός βραχίονας SCARA μπορεί να προσεγγίσει σημεία που βρίσκονται μόνο πάνω σε κάποιο επίπεδο, ενώ με την προσθαφαίρεση κάποιων ενεργών και παθητικών αρθρώσεων μπορεί να μετατραπεί σε έναν αρθρωτό βραχίονα και να μπορεί να προσεγγίσει σημεία στις 3 διαστάσεις ακόμα και να προσανατολιστεί προς μια δεδομένη κατεύθυνση. Πολλές φορές κρίνεται απαραίτητο να βρεθεί η κατάλληλη ανατομία για μια καθορισμένη εργασία. Εάν ο αριθμός των moduls του συστήματος θεωρηθεί σταθερός, τότε το πρόβλημα εύρεσης της καταλληλότερης ανατομίας έγκειται στην κατάλληλη ρύθμιση των ψευδοαρθρώσεων που θα δώσουν την ανατομία με την καλύτερη κινηματική απόδοση. Υπάρχουν αρκετοί δείκτες αξιολόγησης των κινηματικών ικανοτήτων ενός βραχίονα και συνήθως η εύρεση και ο σχεδιασμός μιας ανατομίας βασίζεται στην μεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση των δεικτών που αναφέρθηκαν στο προηγούμενο κεφάλαιο. Επίσης υπάρχουν δείκτες οι οποίοι αφορούν δυναμικά μεγέθη που έχουν να κάνουν με την ικανότητα του βραχίονα να χειρίζεται βάρη και να ασκεί δυνάμεις. Αυτοί οι δείκτες παίζουν σαφώς σημαντικό ρόλο αλλά βρίσκονται σε άλλο πεδίο έρευνας. Σε αυτό το σημείο πρέπει να σημειωθεί ότι στη συγκεκριμένη εργασία οι βραχίονες εξετάζονται ως προς τα μεγέθη τοπικών κινηματικών δεικτών που ανήκουν στην δεύτερη κατηγορία δεικτών αξιολόγησης. Ωστόσο η εξέταση ενός μεγάλου αριθμού ανατομιών αποδίδει αποτελέσματα που μπορούν να δώσουν χρήσιμα στοιχεία για τον προσδιορισμό της βέλτιστης διάταξης μέσα από ένα μεγάλο αριθμό πιθανών διατάξεων μέγεθος το οποίο ανήκει στην πρώτη κατηγορία. Το πρόβλημα εύρεσης των καταλληλότερων γεωμετρικών χαρακτηριστικών ενός ρομποτικού βραχίονα σε σχέση με την εργασία που πρέπει να εκτελεστεί αποτελεί ένα πρόβλημα με αρκετές μεταβλητές και προσεγγίζεται πολλές φορές με διαφορετικό τρόπο. Βασικό ρόλο στην ορθή αξιολόγηση μιας ανατομίας με τοπικούς δείκτες παίζει η επιλογή του κατάλληλου δείκτη και σε αυτό το σημείο μεγάλο ρόλο παίζει ο τύπος της εργασίας. Επιπλέον οι κινηματικοί δείκτες απόδοσης ορίζονται σε συνάρτηση με τον ιακωβιανό πίνακα και περιέχουν ανομοιογενή στοιχεία και τα αποτελέσματα που προσφέρουν πολλές φορές δεν είναι πλήρως αξιοποιήσιμα (60). Σχήμα 14 : Μεταμορφικός βραχίονας - τύπος ψευδοαρθρώσεων που χρησιμοποιήθηκαν Όπως είναι λοιπόν λογικό, η επίλυση του συγκεκριμένου προβλήματος σχετίζεται άμεσα με τις γωνίες των ψευδοαρθρώσεων καθώς και το μήκος αυτών, δηλαδή την απόσταση μεταξύ δύο ενεργών αρθρώσεων. Ο τύπος των ψευδοαρθρώσεων που χρησιμοποιήθηκε φαίνεται στο σχήμα

62 Στην επόμενη ενότητα όπου γίνεται ο καθορισμός του εξεταζόμενου βραχίονα προκύπτει ένα σύστημα με πάρα πολλές παραμέτρους. Ένα τόσο σύνθετο μαθηματικό πρόβλημα βελτιστοποίησης μπορεί να επιλυθεί σε σχετικά μικρό χρονικό διάστημα με τη βοήθεια ενός γενετικού αλγόριθμου. Ένας άλλος τρόπος επίλυσης του συγκεκριμένου προβλήματος θα μπορούσε να είναι και μια εξαντλητική μέθοδος, στη συγκεκριμένη περίπτωση όμως η μέθοδος αυτή απαιτεί εξαιρετικά μεγάλο χρονικό διάστημα και υπολογιστικό κόστος για την εύρεση των λύσεων. Παρακάτω γίνεται μια σύντομη περιγραφή των γενετικών αλγορίθμων ως τη μέθοδο που επιλέχθηκε για την βελτιστοποίηση του προβλήματος. Μέθοδος βελτιστοποίησης Γενετικοί Αλγόριθμοι Οι γενετικοί αλγόριθμοι αποτελούν μια μέθοδο βελτιστοποίησης η οποία είναι αρκετά διαδεδομένη κυρίως για προβλήματα πολλών μεταβλητών-παραμέτρων. Αυτό οφείλεται σε μια σειρά σημαντικών πλεονεκτημάτων έναντι άλλων μεθόδων βελτιστοποίησης, όπως η αποδοτικότητά τους, η ευκολία στην ενσωμάτωση σε ήδη υπάρχοντα μοντέλα και συστήματα, η ευκολία επέκτασης και εξέλιξης και το σημαντικότερο ότι έχουν από τη φύση τους το στοιχείο του παραλληλισμού. Οι ΓA σε κάθε τους βήμα επεξεργάζονται μεγάλες ποσότητες πληροφορίας και μπορούν να καλύψουν με αποδοτικό ψάξιμο μεγάλους χώρους σε μικρούς χρόνους και αυτό τους καθιστά ικανούς να εκμεταλλευτούν τα πλεονεκτήματα των παράλληλων μηχανών, αφού λόγω της φύσης τους, εύκολα μπορούν να δεχτούν παράλληλη υλοποίηση. Το χαρακτηριστικό αυτό αυξάνει ακόμη περισσότερο την απόδοσή τους, ενώ σπάνια συναντάται σε ανταγωνιστικές μεθόδους (Λυκοθανάσης, 001). Εικόνα 19 : Τρόπος λειτουργίας απλού γενετικού αλγορίθμου(65) Ο τρόπος λειτουργίας ενός γενετικού αλγόριθμου μιμείται τον τρόπο της βιολογικής εξέλιξης των ειδών που συναντάται στη φύση (Εικόνα 19). Από ένα πληθυσμό οποιουδήποτε είδους επιβιώνει και συνεπώς προσφέρει απογόνους το ικανότερο και δυνατότερο είδος. Έτσι και στον γενετικό αλγόριθμο από ένα τυχαίο σύνολο δυνατών λύσεων επιλέγονται οι καλύτερες και μέσω κάποιων διεργασιών επιλογής, διασταύρωσης ή μετάλλαξης των καλύτερων λύσεων του αρχικού πληθυσμού γεννιέται ένα νέο σύνολο λύσεων οι οποίες προσδοκάται ότι θα είναι καλύτερες. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται έως ότου οι νέες λύσεις που δημιουργούνται πάψουν να παρουσιάζουν καλύτερες τιμές από τις προηγούμενες. Η επιλογή μιας λύσης βασίζεται στην τιμή που θα δώσει η ομάδα των μεταβλητών εάν επαληθεύσει μια συνάρτηση. Η συνάρτηση αυτή 6

63 ονομάζεται συνάρτηση ικανότητας ή ποιότητας ή στην αγγλική ορολογία fitnss function. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι οι γενετικοί αλγόριθμοι είναι στοχαστικές, επαναληπτικές μέθοδοι, που δεν εγγυώνται τη σύγκληση στο γενικό βέλτιστο, παρά μόνο προσεγγίζουν διακριτές λύσεις στο χώρο αναζήτησης, που μέσω των επαναλήψεων τείνουν να ωθούν τις λύσεις προς τις πλέον ποιοτικές (Σαγρής, 008). Εικόνα 0 : Το γραφικό περιβάλλον OPTIMTOOL (66) Στη συγκεκριμένη εργασία ο γενετικός αλγόριθμος πραγματοποιεί τη βελτιστοποίηση του προβλήματος ως εξής. Αρχικά ορίζεται ο μεταμορφικός βραχίονας, δηλαδή ο αριθμός των ενεργών αρθρώσεων καθώς και των ψευδοαρθρώσεων, καθώς και ο τρόπος που συνδέονται μεταξύ τους για να σχηματίζουν μια ανοιχτή κινηματική αλυσίδα. Οι παράμετροι του προβλήματος είναι οι γωνίες και τα μήκη των ψευδοαρθρώσεων και οι τιμές που μπορούν να πάρουν είναι διακριτές τιμές σε ένα συνεχές διάστημα τιμών. Για παράδειγμα η γωνία που μπορεί να περιστραφεί η ψευδοάρθρωση Α κυμαίνεται μεταξύ 0 και 90 μοιρών και μπορεί να πάρει 6 τιμές στο διάστημα αυτό. Δηλαδή οι τιμές που μπορεί να πάρει είναι 0, 15, 30, 45, 60,75 και 90 μοίρες. Το ίδιο ισχύει και για το μήκος της ψευδοάρθρωσης. Για όλες τις ψευδοαρθρώσεις δίνονται κάποιες αρχικές τιμές. Ο γενετικός αλγόριθμος δημιουργεί τυχαίες τιμές οι οποίες όμως βρίσκονται μέσα στα καθορισμένα όρια και βρίσκει την απόδοση τους. Ως συνάρτηση ικανότητας ορίζεται η τιμή του κινηματικού δείκτη. Έπειτα επιλέγει από αυτές τις τυχαίες τιμές, δηλαδή τον αρχικό πληθυσμό, τις τιμές των παραμέτρων οι οποίες παρουσιάζουν την μεγαλύτερη απόδοση, μεγιστοποιούν δηλαδή την συνάρτηση ικανότητας και συνεπώς τον κινηματικό δείκτη. Μέσα από τις διαδικασίες της επιλογής, της διασταύρωσης και της μετάλλαξης των παραμέτρων αυτών δημιουργείται μια νέα ομάδα παραμέτρων οι οποίες έχουν και τις μεγαλύτερες πιθανότητες να προσφέρουν μια καλύτερη απόδοση. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται έως ότου οι συνάρτηση ικανότητας πάψει να διαφοροποιείται σε σημαντικό βαθμό. Στο τέλος ο αλγόριθμος έχει καταλήξει σε κάποιες τιμές παραμέτρων, οι οποίες δίνουν μια μορφή βραχίονα που έχει μεγαλύτερη κινηματική απόδοση από την αρχική ανατομία. Η μοντελοποίηση του προβλήματος έχει γίνει στο πρόγραμμα MATLAB το οποίο προσφέρει το εργαλείο OPTIMTOOL μέσα από το οποίο έγινε και η παραμετροποίηση του γενετικού αλγόριθμου. 63

64 Σύνθεση και καθορισμός ανατομίας Η ανατομία που καθορίστηκε για τη βελτιστοποίηση αποτελείται από έξι ενεργές αρθρώσεις και 4 ψευδοαρθρώσεις, όπως φαίνεται και σχήμα. Η πρώτη ψευδοάρθρωση, η οποία είναι τοποθετημένη στη βάση του συστήματος αποτελείται από δύο περιστροφικές αρθρώσεις κατα συνέπεια έχει δύο παραμέτρους. Οι επόμενες 3 ψευδοαρθρώσεις οι οποίες βρίσκονται ανάμεσα ανάμεσα στην πρώτη και δεύτερη, δεύτερη και τρίτη και τρίτη και τέταρτη ενεργή άρθρωση, αποτελούνται από 3 περιστροφικές και μία πρισματική άρθρωση. Κατά συνέπεια ο αριθμός των μεταβλητών παραμέτρων του συστήματος είναι 14, ενώ οι ψευδοαρθρώσεις που βρίσκονται μεταξύ των αρθρώσεων του καρπού δεν λαμβάνονται υπόψιν στην βελτιστοποίηση, καθώς παραμένουν αμετάβλητες. Και στις περιπτώσεις της βελτιστοποίησης οι τιμές των παραμέτρων των ψευδοαρθρώσεων, παίρνουν διακριτές τιμές εντός προκαθορισμένων διαστημάτων, οι οποίες φαίνονται και στον πίνακα 4, στον οποίο παρουσιάζονται όλες οι αρθρώσεις του συστήματος με τη μορφή ελικώσεων. Πιο συγκεκριμένα κάθε περιστροφική ψευδοάρθρωση λαμβάνει διακριτές τιμές οι οποίες διαφέρουν κατά 15 μοίρες (π/1 rad), ενώ οι τρεις πρισματικές ψευδοαρθρώσεις λαμβάνουν διακριτές τιμές οι οποίες διαφέρουν κατά εκατοστά. Σχήμα 15 : Η αρχική ανατομία που καθορίστηκε για τη βελτιστοποίηση Η κινηματική εξίσωση του βραχίονα περιλαμβάνει όλες τις ελικώσεις του συστήματος και δίνεται από τον παρακάτω τύπο, ενώ η αρχική θέση του άκρου εργασίας δίνεται από τον πίνακα gst. g st (θ )= ξ 1α t 1 ξ 1b t ξ 1 θ 1 ξ α t 3 ξ b t 4 ξ c t 5 ξ d t 6 ξ θ ξ 3α t 7 ξ 3b t 8 ξ 3c t 9 4b t 1 ξ 4c t 13 ξ 4d t 14 ξ 4 θ 4 ξ [ 5 6 θ 6 ξ θ ξ 5 g st (0) g st (0)= ξ 3d t 10 ξ 3 θ3 ξ 4α t 11 ] Για την επίλυση του αντίστροφου κινηματικού προβλήματος χρησιμοποιούνται οι ενεργές αρθρώσεις του συστήματος όπως έχουν μετασχηματιστεί μετά από κάθε επαναδιαμόρφωση, μαζί με τον πίνακα του άκρου εργασίας. 64

65 Τύπος Συντεταγμένες Ελίκωσης Ενεργή Παθητικ ή v ω Τιμές Παραμέτρων Συνεχείς Διακριτές ξ1a 0,0,0 0,0,1 t1 = i1 π/1 rad i1 = 0,1, 5 ξ1b -18,0,0 0,1,0 t = i π/1 rad i = -6,-5 0,1, 6 0,0,0 0,0,1 ξ1 0-π rad ξa -50,0,0 0,1,0 t3 = i3 π/1 rad i3 = 0,1, 13 ξb -1,0,0 0,0,0 t4 = i4 cm i4 = 0,1, 5 ξc 0,-50,0-1,0,0 t5 = i5 π/1 rad i5 = 0,1, 5 ξd 0,-0,0 0,0,-1 t6 = i6 π/1 rad i6 = 0,1, 5 0,-50,-0-1,0,0 ξ 0-π rad ξ3a 0,-5,0 0,0,-1 t7 = i7 π/1 rad i7 = 0,-1,- -13 ξ3b 0,1,0 0,0,0 t8 = i8 cm i8 = 0,1, 5 ξ3c -50,0,-5 0,1,0 t9 = i9 π/1 rad i9 = 0,1, 5 ξ3d -65,-5,0 0,0,-1 t10 = i10 π/1 rad i10 = 0,-1, ,-50,-65 1,0,0 ξ3 0-π rad ξ4a -65,-0,0 0,0,-1 t11 = i11 π/1 rad i11 = 0,1, 13 ξ4b 0,1,0 0,0,0 t1 = i1 cm i1 = 0,1, 5 ξ4c -50,0,-0 0,1,0 t13 = i13 π/1 rad i13 = 0,1, 5 ξ4d -95,-0,0 0,0,-1 t14 = i14 π/1 rad i14 = -6,-5 0,1, 6 ξ4-50,-0,0 0,1,0 0-π rad ξ5 0,50,-1 1,0,0 0-π rad ξ ,-13.35, ,0.74, π rad Πίνακας 4 : Στοιχεία των αρθρώσεων και των παραμέτρων του συστήματος 65

66 Αποτελέσματα Επίσκεψη σημείων Για την εκτέλεση της συγκεκριμένης βελτιστοποίησης χρησιμοποιήθηκε το μέτρο ευχέρειας. Τα 9 σημεία που επιλέχθηκαν φαίνονται στο σχήμα 16 και μαζί με τον πίνακα προσανατολισμού Rd ορίζονται ως [ g id = Rd 0 ] p id, 1 i=1...9, [ R d = ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] p1 d = , p d = 105, p 3d = , p 4d = , p 5d = , p6 d = , p 7d =, p =, p = d d Για την αρχική ανατομία η οποία φαίνεται στο σχήμα η ελάχιστη τιμή του μέτρου ευχέρειας είναι 1371, επομένως μέσω της βελτιστοποίησης αναζητώνται ανατομίες με μεγαλύτερη ελάχιστη τιμή του δείκτη σε όλα τα σημεία που έχουν οριστεί παραπάνω. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι εάν μια ανατομία δεν είναι ικανή να προσεγγίσει τα παραπάνω σημεία και να προσανατολιστεί προς την επιθυμητή κατεύθυνση τότε το μέτρο ευχέρειας λαμβάνει την τιμή 0 και επομένως η ανατομία απορρίπτεται. Σχήμα 16 : Τα 9 σημεία που ορίστηκαν για τη βελτιστοποίηση 66

67 Έπειτα από αρκετές εκτελέσεις της βελτιστοποίησης η μέγιστη ελάχιστη τιμή του δείκτη ανέβηκε στην τιμή Οι τιμές των παραμέτρων καθώς και η προτεινόμενη ανατομία φαίνονται παρακάτω. Ψευδοάρθρωση Παράμετρος Τιμή ξ1a t rad ξ1b t rad ξa t rad ξb t cm ξc t rad ξd t rad ξ3a t rad ξ3b t cm ξ3c t rad ξ3d t rad ξ4a t rad ξ4b t cm ξ4c t rad ξ4d t rad Ελάχιστη τιμή μέτρου ευχέρειας Πίνακας 5 : Οι τιμές των παραμέτρων της προτεινόμενης ανατομίας Σχήμα 17 : Η προτεινόμενη ανατομία μετά την εκτέλεση της βελτιστοποίησης 67

68 Διαγραφή τροχιάς Η διαγραφή μιας προκαθορισμένης τροχιάς αποτελεί σημαντικό μέρος της λειτουργίας ενός ρομποτικού βραχίονα και σχετίζεται άμεσα με τους αλγόριθμους σχεδιασμού διαδρομής του συστήματος. Σε αυτό το ερευνητικό πεδίο αναπτύσσονται τα κατάλληλα μοντέλα τα οποία μέσα από ένα σύνολο παραμέτρων του συστήματος, υλοποιούν αλγόριθμους για τον έλεγχο των ενεργών αρθρώσεων έτσι ώστε αυτές να προσφέρουν το απαραίτητο είδος κίνησης στο άκρο εργασίας ή ακόμα και μεμονωμένα στις επόμενες αρθρώσεις όταν απαιτείται περισσότερο εξειδικευμένη λειτουργία, όπως για παράδειγμα η αποφυγή εμποδίων. Το κομμάτι αυτό αποτελεί ξεχωριστό πεδίο έρευνας εκτός των πλαισίων της παρούσας εργασίας. Ο αλγόριθμος που υλοποιήθηκε αποσκοπεί στη σωστή ανακατανομή των γωνιών που προέρχονται από την επίλυση του αντίστροφου κινηματικού προβλήματος, έτσι ώστε να μην υπάρχουν ασυνέχειες στις τιμές τους (jrks) κατά τη διαγραφή του μονοπατιού. Για την αποφυγή της ασυνέχειας συνήθως χρησιμοποιούνται κυβικά πολυώνυμα για την παρεμβολή μεταξύ δύο συνεχόμενων τιμών των γωνιών, αυτό όμως, δεν συνεπάγεται ότι οι δύο τιμές που επιλέγονται αποτελούν και τη βέλτιστη λύση καθώς τις περισσότερες φορές επιλέγονται αυθέραιτα. Μια δεύτερη μέθοδος που χρησιμοποιείται είναι η εύρεση των αρχικών διαμορφώσεων που αντιστοιχούν στο πρώτο σημείο του μονοπατιού και εν συνεχεία η χρήση επαναληπτικών αριθμητικών μεθόδων για την διαγραφή της τροχιάς. Το πρόβλημα της ασυνέχειας των τιμών μπορεί να προέρχεται από διαφορετικές αιτίες. Η πρώτη αιτία είναι ο τρόπος υπολογισμού των γωνιών καθώς σε αυτή τη διαδικασία εμπλέκονται τριγωνομετρικές συναρτήσεις οι οποίες προσφέρουν αποτελέσματα με διαφορετική σειρά. Η δεύτερη αιτία είναι η μετάβαση μιας ανατομίας από ένα πλήρες σετ 8 λύσεων σε ένα σετ λύσεων 4 τιμών και σχετίζεται άμεσα με τη δομή του συστήματος. Το φαινόμενο αυτό προκαλείται όταν ο βραχίονας αλλάζει στάση (Postur) μεταξύ δύο σημείων, και εμφανίζεται σε βραχίονες με συγκεκριμένη δομή. Οι βραχίονες αυτοί ονομάζονται στην αγγλική ορολογία cuspidal manipulators. Η πλήρης κατηγοριοποίηση αυτών των ρομποτ σύμφωνα με τη βιβλιογραφία δεν έχει ολοκληρωθεί πλήρως, έχουν όμως προκύψει κάποιοι χρήσιμοι κανόνες, για συστήματα με ανατομίες των οποίων οι τρεις τελευταίοι άξονες τέμνονται σε ένα σημείο. Σύμφωνα με τον Wngr για τις ανατομίες αυτές, εάν ανάμεσα στους τρεις πρώτους άξονες του συστήματος, δεν υπάρχουν συνεχόμενοι παράλληλοι ή τεμνόμενοι άξονες τότε το σύστημα ανήκει στην κατηγορία αυτή. Οι βραχίονες αυτοί μπορούν να αλλάξουν στάση μέσα στα όρια του χώρου εργασίας, χωρίς να περνούν από ένα σημείο ιδιομορφίας, προκαλώντας ασυνέχεια στις τιμές των γωνιών που προέρχονται από την επίλυση του αντίστροφου κινηματικού προβλήματος και γενικά ο σχεδιασμός ρομποτ με αυτά τα χαρακτηριστικά αποφεύγεται καθώς προκύπτουν προβλήματα στο σχεδιασμό της κίνησης (Wngr, 007). Η σχέση που χρησιμοποιείται για την ταύτιση των γωνιών βασίζεται στην ελάχιστη διαφορά των γωνιών μεταξύ δύο σημείων του μονοπατιού. Με αυτόν τον τρόπο, για κάθε πιθανή λύση του αντίστροφου κινηματικού προβλήματος σε ένα σημείο του μονοπατιού, η επόμενη λύση ορίζεται ως η γωνία με τη μικρότερη διαφορά από την προηγούμενη. Για το λόγο αυτό οι ανατομίες που δεν παρουσιάζουν 8 λύσεις καθόλη τη διάρκεια του μονοπατιού απορρίπτονται, έτσι ώστε να υπάρχει επαληθευμένη ταύτιση μεταξύ των πιθανών λύσεων. Για την εκτέλεση της βελτιστοποίησης ορίστηκαν τροχιές για τις οποίες μετρήθηκε η τιμή του δείκτη MVR. Η πρώτη τροχιά περιορίζει την κίνηση του βραχίονα επάνω σε ευθεία με δεδομένο προσανατολισμό, ενώ η δεύτερη τροχιά σχηματίζεται από ένα τόξο. Ο προσανατολισμός του άκρου εργασίας είναι και στην δεύτερη περίπτωση δεδομένος με την έννοια ότι δεν εξάγεται από την εφαπτομένη της καμπύλης. Η βελτιστοποίηση της ανατομίας βασίστηκε στην ελάχιστη τιμή που μπορεί να παρουσιάσει μια ανατομία για κάθε μια από τις 8 στάσεις με τις οποίες μπορεί να διαγράψει το μονοπάτι, ενώ η τιμή που χαρακτηρίζει την κάθε στάση της ανατομίας απότελεί την ελάχιστη τιμή του δείκτη mvr σε όλο το μήκος του μονοπατιού, για τη στάση αυτή. 68

69 Και στις δύο περιπτώσεις που παρουσιάζονται παρακάτω αναζητήθηκε η ανατομία για την οποία η ελάχιστη τιμή του δείκτη MVR για όλες τις στάσεις γίνεται μεγαλύτερη της μέγιστης τιμής του δείκτη για οποιαδήποτε από τις 8 στάσεις της αρχικής ανατομίας. Με αυτόν τον περιορισμό η προτεινόμενη ανατομία θα πρέπει να παρουσίαζει καλύτερη απόδοση από την αρχική με οποιαδήποτε και από τις 8 στάσεις διαγράψει το μονοπάτι. Διαγραφή ευθείας Για την εκτέλεση της συγκεκριμένης βελτιστοποίησης τα δύο ακραία σημεία που επιλέχθηκαν και ορίζουν το μονοπάτι καθώς και ο επιθυμητός προσανατολισμός του άκρου εργασίας φαίνονται στο σχήμα 18 και δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις. Επίσης πρέπει να σημειωθεί ότι ο βραχίονας επισκέπτεται 100 ενδιάμεσα σημεία των οποίων οι συντεταγμένες υπολογίζονται με γραμμική παρεμβολή. [ ] [ ] [ p s= , p f = , R d = ] Η μέγιστη τιμή του δείκτη MVR για τη συγκεκριμένη ανατομία, η οποία καθορίστηκε είναι 60,554, για την στάση η οποία φαίνεται στο σχήμα 19. Σχήμα 18 : Η ευθεία που ορίζει την εργασία που πρέπει να εκτελεστεί Μετά την εκτέλεση της βελτιστοποίησης και την επαναδιαμόρφωση του βραχίονα με τις παραμέτρους που φαίνονται στον πίνακα 6, η ελάχιστη τιμή του δείκτη ανήλθε σε 8,334. Η προτεινόμενη ανατομία φαίνεται στο σχήμα 0, ενώ στο σχήμα 1 φαίνεται η προτεινόμενη ανατομία κατά τη διαγραφή του μονοπατιού με διαφορετική στάση. 69

70 Σχήμα 19 : Η αρχική ανατομία κατά την διαγραφή του μονοπατιού με τη στάση που παρουσιάζει τη μεγαλύτερη τιμή του δείκτη MVR Ψευδοάρθρωση Παράμετρος Τιμή ξ1a t rad ξ1b t rad ξa t rad ξb t cm ξc t rad ξd t rad ξ3a t rad ξ3b t cm ξ3c t rad ξ3d t rad ξ4a t rad ξ4b t cm ξ4c t rad ξ4d t rad Ελάχιστη τιμή δείκτη MVR Πίνακας 6 : Οι τιμές των παραμέτρων της προτεινόμενης ανατομίας 70

71 Σχήμα 0 : Η προτεινόμενη ανατομία Σχήμα 1 : Η προτεινόμενη ανατομία σε διαφορετική στάση κατά την διαγραφή του μονοπατιού 71

72 Διαγραφή τόξου Για την συγκεκριμένη βελτιστοποίηση ορίστηκε τόξο με άξονα περιστροφής ω, ο οποίος διέρχεται από το σημείο q, και ξεκινά από το σημείο ps, διαγράφοντας γωνία θ έτσι ώστε να ταυτιστεί με το σημείο pf, όπως φαίνεται και στο σχήμα. [ ] [ ] [ [ ] [ ] ω= 0.670, q= , p s = 9.535, R d = p f = , ] θ =1.099 rad Η μέγιστη τιμή του δείκτη για την αρχική ανατομία του βραχίονα παίρνει την τιμή 56,7108 για τη στάση η οποία φαίνεται στο σχήμα 3. Μετά τη βελτιστοποίηση η ελάχιστη τιμή του δείκτη για όλες τις στάσεις με τις οποίες μπορεί να διαγραφεί το μονοπάτι ανήλθε σε 6,56. Σχήμα : Το τόξο και η αρχική ανατομία που ορίστηκαν Οι τιμές των παραμέτρων των ψευδοαρθρώσεων, καθώς και οι προτεινόμενη επαναδιαμόρφωση του βραχίονα παρουσιάζονται στην επόμενη σελίδα. Σχήμα 3 : Διαγραφή του μονοπατιού από την αρχική ανατομία 7

73 Ψευδοάρθρωση Παράμετρος Τιμή ξ1a t1.356 rad ξ1b t rad ξa t rad ξb t cm ξc t rad ξd t rad ξ3a t rad ξ3b t cm ξ3c t rad ξ3d t rad ξ4a t rad ξ4b t cm ξ4c t rad ξ4d t rad Ελάχιστη τιμή δείκτη MVR 6.56 Πίνακας 7 : Τιμές παραμέτρων για την προτεινόμενη ανατομία Σχήμα 4 : Η ανατομία του βραχίονα μετά τη βελτιστοποίηση Στην εικόνα 1 απεικονείζεται η ταχύτητα αλλαγής των γωνιών των ενεργών αρθρώσεων για την αρχική ανατομία(έντονο φωτεινό χρώμα), ενώ με τα σκούρα χρώματα απεικονίζεται η αντίστοιχη τιμή για την προτεινόμενη ανατομία. Στα δύο τελευταία διαγράμματα της δεύτερης σειράς απεικονίζονται οι ταχύτητες των έξι ενεργών αρθρώσεων για τις δύο στάσεις της αρχικής ανατομίας όπου ο δείκτης MVR παρουσιάζει την μέγιστη τιμή σε αντίθεση με τις δύο στάσεις της προτεινόμενης ανατομίας όπου ο δείκτης παρουσιάζει την ελάχιστη τιμή. Όπως φαίνεται, ακόμη και στην χειρότερη περίπτωση το εύρος των ταχυτήτων των ενεργών αρθρώσεων της προτεινόμενης 73

74 ανατομίας είναι ίσο ή και μικρότερο από αυτό της αρχικής ανατομίας για τις δύο στάσεις όπου ο δείκτης είναι μέγιστος. Είναι εμφανές λοιπόν ότι η προτεινόμενη ανατομία μπορεί να διαγράψει το μονοπάτι χρησιμοποιόντας μικρότερες ταχύτητες στις ενεργές αρθρώσεις, κάτι το οποίο συνεπάγεται ότι κινείται με μεγαλύτερη ευκολία. Εικόνα 1 : Ταχύτητα περιστροφής των ενεργών αρθρώσεων για την αρχική και τελική ανατομία Επιπλέον από τα παραπάνω διαγράμματα φαίνεται ότι η μεταβολή των ταχυτήτων για την προτεινόμενη ανατομία είναι σχετικά χαμηλότερη από αυτή της αρχικής, παρουσιάζει δηλαδή μικρότερες διακυμάνσεις. Αυτό σημαίνει ότι και η επιτάχυνση της προτεινόμενης ανατομίας είναι σχετικά μικρότερη, γεγονός το οποίο συνεπάγεται την ομαλότερη διεξαγωγή της κίνησης, καθόλη τη διάρκεια της διαγραφής του μονοπατιού. Για την προτεινόμενη ανατομία η μέγιστη τιμή του δείκτη MVR εμφανίζεται όταν ο βραχίονας εκτελεί την εργασία με τις δύο πρώτες στάσεις που εμφανίζονται στην εικόνα στην πρώτη σειρά και έχει την τιμή 67,554. Όπως φαίνεται, σε αυτήν την περίπτωση η ταχύτητα των ενεργών αρθρώσεων παρουσιάζει αρκετά χαμηλές τιμές, σχεδόν μηδενικές για ορισμένες αρθρώσεις, κάτι το οποίο σημαίνει ότι ο βραχίονας μπορεί να εκτελέσει την κίνηση και κάποιες ενεργές αρθρώσεις να χρειαστεί να κινηθούν ελάχιστα εως και καθόλου, ενώ οι αρθρώσεις που θα πραγματοποιήσουν την μεγαλύτερη κίνηση, θα κινηθούν εντός κάποιων ορίων τα οποία είναι επίσης χαμηλότερα σε σχέση με την αρχική ανατομία. Σχήμα 5:Η προτεινόμενη ανατομία κατά τη διαγραφή του μονοπατιού με διαφορετική στάση. 74