Εξισώσεις για αρμονικά μεταβαλλόμενες ακουστικές ποσότητες

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εξισώσεις για αρμονικά μεταβαλλόμενες ακουστικές ποσότητες"

Ἀπολλωνία Ρέντης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Εξισώσεις για αρμονικά μεταβαλλόμενες ακουστικές ποσότητες 1. Τοπική μορφή νόμου Newton για μιγαδικές ακουστικές ποσότητες Η τοπική μορφή του νόμου Newton που συσχετίζει την ταχύτητα σωματιδίων με την ηχητική πίεση είναι: Αν όπου υ ρ + p 0 [ a/m t υ Re Ve, p Re e ] (1.1) (1.) V V ( x, y, z) Vxi + Vy j + Vzk (1.3) ( V + iv ) i + ( V + iv ) j + ( V + iv ) k x xi y yi z zi με ( ) 1 iϕ 1V α αi Vα Vα + ivαi Vα + Vαi e, ϕα tan, αx,y,z (1.4) Vα και ( ) 1 iϕ 1 i + ii + i e, ϕ tan (1.5) τότε υ d d Re Ve Re V e t dt dt (1.6) Re iωve και p Re e Re e (1.7) Αντικατάσταση των (6) και (7) στην (1) δίνει: LESSON_04_009.doc 1

2 ή υ ρ + p ρre iωve + Re e 0 t (1.8) Re i ω t iωρve + e 0 (1.9) Από την (9) προκύπτει με βάση το λήμμα 1 ότι: iωρv + 0 V 1 (1.10) iωρ Η τελευταία σχέση αποτελεί την τοπική μορφή του νόμου Newton για τις μιγαδικές ακουστικές ποσότητες V και. LESSON_04_009.doc

3 . Παραγωγή βαθμωτής εξίσωσης Helmholtz για τη μιγαδική ηχητική πίεση (φασική ποσότητα phaso) από την αντίστοιχη κυματική εξίσωση για την ηχητική πίεση. Η κυματική εξίσωση για την ηχητική πίεση είναι: 1 p p 0 a/m c t (.1) Αν όπου i t p Re e ω (.) ( ) 1 i e iϕ 1 i + i + i, ϕ tan (.3) προκύπτει από την αντικατάσταση της () στην (1) ότι: 1 p 1 p Re e Re 0 c t c t e (.4) ή ω Re + e 0 c Από την (5) προκύπτει με βάση το λήμμα 1 ότι: ω + 0 c + k 0 ω όπου k c Η σχέση (6) είναι η βαθμωτή εξίσωση Helmholtz για την μιγαδική ηχητική πίεση. (.5) (.6) LESSON_04_009.doc 3

4 3. Λύσεις της βαθμωτής εξίσωσης Helmholtz για την ηχητική πίεση Μονοδιάστατο (επίπεδο) κύμα ηχητικής πίεσης Υπολογισμός της αντίστοιχης μιγαδικής ταχύτητας σωματιδίων (Διάμηκες κύμα: ταχύτητα σωματιδίων κατά τη διεύθυνση διάδοσης) Υπολογισμός πραγματικών (στιγμιαίων) τιμών ηχητικής πίεσης και ταχύτητας σωματιδίων σε ηχητικό σωλήνα Η εξίσωση Helmholtz για την μιγαδική ηχητική πίεση είναι: ω + + c k 0 (3.1) Επίλυση της τελευταίας επιτρέπει τον υπολογισμό της στιγμιαίας ηχητικής πίεσης p από τη σχέση: p i t Re e ω (3.) Στη γενική περίπτωση η μιγαδική ηχητική πίεση ως συνάρτηση της θέσης εξαρτάται και από τις τρεις συντεταγμένες x, y και z. xy (,, z) (3.3) LESSON_04_009.doc 4

5 Αν θεωρήσουμε την ειδική περίπτωση της διάδοσης επιπέδου κύματος κατά τη διεύθυνση x, τότε x ( ) (3.4) και η εξίσωση (1) γίνεται: dx ( ) + k + k ( x) 0 (3.5) dx με αντίστοιχη λύση για τη μιγαδική ηχητική πίεση : ( x) Ae + Be (3.6) Χρησιμοποιώντας τη () βρίσκει κανείς τη στιγμιαία ηχητική πίεση p : ω ( ) i( ωt kx) i( ωt+ kx) ( Ae Be ) i t p p( x, t) Re e Re Ae + Be e Re + Acos( ωt kx) + B cos( ωt + kx) (3.7) Η (7) παριστάνει την επαλληλία δύο επιπέδων κυμάτων που διαδίδονται προς τις αντίθετες κατευθύνσεις +x και x με αντίστοιχα πλάτη A και B. LESSON_04_009.doc 5

6 Η μιγαδική ταχύτητα σωματιδίων μπορεί να υπολογιστεί από την 1 1 V ( Ae + Be ) iωρ iωρ 1 ( Ae + Be ) i iωρ x k ( Ae Be ) i (3.8) ωρ 1 ( Ae Be ) i ρc Η στιγμιαία ταχύτητα σωματιδίων υ είναι: 1 υ Re Ve Re ( Ae Be ) ie ρc 1 i( ωt kx) i( ωt+ kx) Re ( Ae Be ) i ρc 1 [ Acos( ωt kx) Bcos( ωt+ kx) ] i ρc (3.9) LESSON_04_009.doc 6

7 4. Συνθήκες διάδοσης επιπέδου κύματος σε ηχητικό σωλήνα Συσχέτιση χρονικών μέσων τιμών των πραγματικών (ακουστικών) ποσοτήτων με τις αντίστοιχες μιγαδικές (ακουστικές) ποσότητες. 1. Απόδειξη των σχέσεων ( ) AB και A 1 Re AB A. Υπολογισμός της μέσης τετραγωνικής ηχητικής πίεσης και προσδιορισμός θέσεων και τιμών για τα ακρότατα (μέγιστα και ελάχιστα) λ 1 xmin, n n+ pmin 4 λ 1 xmax, n n, pmax A+B ( 1 ), ( A-B) ( ) 3. Υπολογισμός της μέσης τετραγωνικής ταχύτητας σωματιδίων και προσδιορισμός θέσεων και τιμών για τις ακραίες τιμές της (μέγιστα και ελάχιστα) 4. Υπολογισμός της ηχητικής έντασης 5. Συσχέτιση στάθμης ηχητικής έντασης και στάθμης ηχητικής πίεσης I 1 pef LI 10log ( Lpmax + Lpmin ) + 10log I ρci ef ef LESSON_04_009.doc 7

Μετρήσεις ηχοαπορρόφησης σε ηχητικό σωλήνα (διάταξη Kundt) Να αποδειχθεί ότι ο συντελεστής απορρόφησης για κάθετη πρόσπτωση α 0 του υλικού στο άκρο του σωλήνα, όπως προσδιορίζεται από τη μέθοδο του

8 Μετρήσεις ηχοαπορρόφησης σε ηχητικό σωλήνα (διάταξη Kundt) Να αποδειχθεί ότι ο συντελεστής απορρόφησης για κάθετη πρόσπτωση α 0 του υλικού στο άκρο του σωλήνα, όπως προσδιορίζεται από τη μέθοδο του ηχητικού σωλήνα, συνδέεται με το λόγο στάσιμων κυμάτων S με τη σχέση: 4S 1 α o S + S S + 4 S Αριθμητική Εφαρμογή Μετρήσεις ηχητικής πίεσης σε ηχητικό σωλήνα στη συχνότητα f1khz έδωσαν για το λόγο στάσιμων κυμάτων την τιμή S30dB και για την απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών ελαχίστων του διαγράμματος στάσιμων κυμάτων την τιμή d16,7cm. Αν η ελάχιστη στάθμη ηχητικής πίεσης στο σωλήνα είναι L pmin 5dB e 0 μa να υπολογιστούν: α) Η χαρακτηριστική αντίσταση ρc του αέρα β) Η στάθμη ηχητικής έντασης στο σωλήνα γ) Ο συντελεστής απορροφητικότητας α 0 του υλικού στο άκρο του σωλήνα (Δίνεται : ατμοσφαιρική πίεση 1atm 1,013x10 5 a 1013x10 a 1013 ha) LESSON_04_009.doc 8

Σχετικά έγγραφα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 «Κυμάνσεις» Μαρία Κατσικίνη users.auth.gr/~katsiki

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 «Κυμάνσεις» Μαρία Κατσικίνη katsiki@auth.gr users.auth.gr/~katsiki Σχέση δύναμης - κίνησης Δύναμη σταθερή εφαρμόζεται σε σώμα Δύναμη ανάλογη της απομάκρυνσης (F-kx) εφαρμόζεται σε σώμα Το σώμα