Η απόσταση του σημείου Ρ από τη δεύτερη πηγή είναι: β) Από την εξίσωση απομάκρυνσης των πηγών y = 0,2.ημ10πt (S.I.) έχουμε:

Transcript

1 Γενική άσκηση στη συμβολή κυμάτων (Λύση) α) Η χρονική στιγμή t 1 που το κύμα από την πρώτη πηγή φτάνει στο σημείο Ρ είναι: r1 r1 6 u = => t1 = => t1 = s => t1 = 0, 6s t u 10 1 Τα κύματα φτάνουν στο σημείο Ρ με χρονική διαφορά Δt = 0,8s και αφού r > r 1 η χρονική στιγμή t που το κύμα από τη δεύτερη πηγή φτάνει στο σημείο Ρ θα είναι: t = t 1 + Δt => t = 0,6s + 0,8s => t = 1,4s Η απόσταση του σημείου Ρ από τη δεύτερη πηγή είναι: r = u t => r = 10.1,4m => r 14m. = β) Από την εξίσωση απομάκρυνσης των πηγών y = 0,.ημ10πt (S.I.) έχουμε: Α = 0,m ω = 10π rad/s π π π ω = => Τ = => Τ = s => Τ = 0,s Τ ω 10π 1 1 f = => f = Hz => f = 5Hz T 0, Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής έχουμε: u 10 u = λ. f => λ = => λ = m => λ = m f 5 Θα εξετάσουμε αν το σημείο Ρ είναι σημείο ενίσχυσης: r r1 λ 14 6 = = 8 = 4 => r r 1 = 4. λ άρα στο σημείο Ρ έχουμε ενίσχυση.

2 γ) Για τα σημεία ενίσχυσης ισχύει ότι r r 1 = N.λ Για το σημείο Ρ αποδείξαμε στο ερώτημα (β) ότι Ν = 4 δηλαδή το σημείο αυτό βρίσκεται στον πέμπτο κροσσό ενίσχυσης. δ) Τώρα θα υπολογίσουμε το πλήθος των ενισχύσεων που υπάρχουν στο ευθύγραμμο τμήμα των πηγών. Π 1 Σ Π x Θεωρώ ένα τυχαίο σημείο ενίσχυσης Σ του τμήματος των πηγών που απέχει απόσταση x από την πρώτη πηγή. Θα ισχύει: r r 1 = N. λ => x ( d x) = N. => x d => x = N + 6 = N => x = N + 1 => Αφού το σημείο Σ ανήκει στο τμήμα των πηγών θα ισχύει: 0 x d => 0 N => 6 N 6 άρα οι τιμές του Ν είναι -6, -5, -4, -3, -, -1, 0, 1,, 3, 4, 5, 6. Υπάρχουν λοιπόν 13 σημεία ενίσχυσης στο ευθύγραμμο τμήμα των πηγών. ε) Για το σημείο Ρ ισχύουν: Από t = 0 μέχρι t = 0,6s είναι ακίνητο (δεν έχει φτάσει ακόμα κανένα από τα δύο κύματα στο Ρ). Από t = 0,6s μέχρι t = 1,4s το σημείο Ρ κινείται υπό την επίδραση του κύματος από την πρώτη πηγή άρα το πλάτος ταλάντωσης είναι Α = 0,m. Από τη στιγμή t = 1,4s και μετά το σημείο Ρ κινείται υπό την επίδραση και των δύο κυμάτων και αφού αποδείξαμε ότι είναι σημείο ενίσχυσης, το πλάτος ταλάντωσης θα είναι Α =.Α = 0,4m Η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του σημείου Ρ σε συνάρτηση με το χρόνο φαίνεται παρακάτω.

3 y(m) 0,4 0, 0 0,6 1,4 t(s) -0, -0,4 στ) Όταν το σημείο Ρ κινείται λόγω του πρώτου κύματος, η μέγιστή του ταχύτητα είναι: u = ω.α => u = 10π.0, m/s => u = π m/s Όταν το σημείο Ρ κινείται λόγω και των δύο κυμάτων, η μέγιστή του ταχύτητα είναι: u = ω.α => u = 10π. 0,4 m/s => u = 4π m/s Από t = 0 μέχρι t = 0,6s το σημείο Ρ είναι ακίνητο (u = 0). Από t = 0,6s μέχρι t = 1,4s η ταχύτητα μεταβάλλεται αρμονικά με μέγιστη τιμή την π m/s. Από t = 1,4s και μετά η ταχύτητα μεταβάλλεται αρμονικά με μέγιστη τιμή την 4π m/s.

4 Η γραφική παράσταση της ταχύτητας του σημείου Ρ σε συνάρτηση με το χρόνο φαίνεται παρακάτω. u(m/s) 4π π 0 0,6 1,4 t(s) -π -4π ζ) Όταν το σημείο Ρ κινείται λόγω του πρώτου κύματος, η μέγιστή του επιτάχυνση είναι: α = ω.α => u = (10π).0, m/s => α = 00 m/s Όταν το σημείο Ρ κινείται λόγω και των δύο κυμάτων, η μέγιστή του επιτάχυνση είναι: α = ω.α => α = (10π). 0,4 m/s => α = 400 m/s Από t = 0 μέχρι t = 0,6s το σημείο Ρ είναι ακίνητο (α = 0). Από t = 0,6s μέχρι t = 1,4s η επιτάχυνση μεταβάλλεται αρμονικά με μέγιστη τιμή την 00 m/s. Από t = 1,4s και μετά η επιτάχυνση μεταβάλλεται αρμονικά με μέγιστη τιμή την 400 m/s.

5 Η γραφική παράσταση της επιτάχυνσης του σημείου Ρ σε συνάρτηση με το χρόνο φαίνεται παρακάτω. α(m/s ) ,6 1,4 t(s) η) Για το πλάτος ταλάντωσης του σημείου Ρ ισχύουν: Από t = 0 μέχρι t = 0,6s A = 0 Από t = 0,6s μέχρι t = 1,4s Α = 0,m Από t = 1,4s και μετά Α = 0,4m Η γραφική παράσταση του πλάτους ταλάντωσης του σημείου Ρ σε συνάρτηση με το χρόνο φαίνεται παρακάτω.

6 A(m) 0,4 0, 0 0,6 1,4 t(s) θ) Για τη φάση του σημείου Ρ ισχύουν: Από t = 0 μέχρι t = 0,6s: φ = 0 Από t = 0,6s μέχρι t = 1,4s: t r1 t 6 φ = π ( ) => φ = π ( ) = π (5t 3) => φ = 10πt 6π (S.I.) T λ 0, Η γραφική παράσταση θα είναι ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα σημεία (0,6, 0) και (1,4, 8π). Από t = 1,4s και μετά: t r1 + r t φ = π ( ) => φ = π ( ) = π (5t 5) => φ = 10πt 10π T λ 0,. (S.I.) Η γραφική παράσταση θα είναι ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα σημεία (1,4, 4π) και (, 10π). Η γραφική παράσταση της φάσης ταλάντωσης του σημείου Ρ σε συνάρτηση με το χρόνο φαίνεται παρακάτω.

7 φ(rad/s) 10π 8π 4π 0 0,6 1,4 t(s) ι) Έστω ότι στο σημείο Ρ βρίσκεται ένας μικρός φελλός μάζας m =.10-4 Kg. Θα υπολογίσουμε τη δύναμη επαναφοράς που δέχεται ο φελλός κατά τις χρονικές στιγμές t 1 = 0,5s, t = 1,5s και t 3 = 1,45s. Τη χρονική στιγμή t 1 = 0,5s κανένα από τα δύο κύματα δεν έχουν φτάσει στο σημείο Ρ. Άρα η δύναμη επαναφοράς στο φελλό είναι F = 0 Τη χρονική στιγμή t = 1,5s μόνο το κύμα από την πρώτη πηγή έχει φτάσει στο σημείο Ρ. Άρα η δύναμη επαναφοράς στο φελλό είναι: t r1 4 1,5 6 F = m. a = m( ω. y) = m. ω. A. ηµ π ( ) => F =.10 (10π ).0,. ηµ π ( ) N T λ 0, => F = 0,.0,. ηµ π (6,5 3) N => F = 0,04ηµ (π.3,5) N => F = 0,04ηµ 6,5πN => π => F = 0,04ηµ N => F = 0,04N =>

8 Τη χρονική στιγμή t 3 = 1,45s έχουν φτάσει και τα δύο κύματα στο σημείο Ρ. Θα υπολογίσουμε πρώτα την απομάκρυνση του φελλού την παραπάνω χρονική στιγμή. r r1 t r1 + r 8 1,45 0 y = Acos π sin π ( => y = 0,4cos π sin π ( ) m => λ T λ 4 0, 4 => y = 0,4cos 4π.sin π (7,5 5) m => y = 0,4.1.sin(π.,5) m => y = 0,4.sin 4,5πm => π => y = 0,4.sin m => y = 0,4m Η δύναμη επαναφοράς στο φελλό είναι: 4 F = mω. y => F =.10 (10π ).0,4N => F = 0,.0,4N => F = 0, 08N Ψαρουδάκης Μανώλης, Φυσικός

9