Αξιολόγηση Σεισµικής Τρωτότητας Μνηµειακών Κατασκευών από Τοιχοποιία. Μαρίας Γ. Δουβίκα

Transcript

1 Ανώτατη Σχολή Παιδαγωγικής & Τεχνολογικής Εκπαίδευσης Τµήµα Εκπαιδευτικών Πολιτικών Μηχανικών Αξιολόγηση Σεισµικής Τρωτότητας Μνηµειακών Κατασκευών από Τοιχοποιία Μεταπτυχιακή Εργασία της Μαρίας Γ. Δουβίκα στα πλαίσια του Προγράµµατος Μεταπτυχιακών Σπουδών (ΠΜΣ) στην Εφαρµοσµένη Υπολογιστική Δοµική Μηχανική του Τµήµατος Εκπαιδευτικών Πολιτικών Μηχανικών της Ανώτατης Σχολής Παιδαγωγικής & Τεχνολογικής Εκπαίδευσης Επιβλέπων Παναγιώτης Γ. Αστερής Δρ. Πολιτικός Μηχανικός ΕΜΠ, Αν. Καθηγητής Τµήµατος Εκπαιδευτικών Πολιτικών Μηχανικών, Ανώτατη Σχολή Παιδαγωγικής & Τεχνολογικής Εκπαίδευσης Μάιος 2017

2 School of Pedagogical and Technological Education Department of Civil Engineering Educators Seismic Vulnerability Assessment of Monumental Masonry Structures Thesis by Maria G. Douvika Submitted in part fulfilment of the requirements for the degree of Master of Science in Applied Computational Structural Engineering Of the Department of Civil Engineering Educators School of Pedagogical and Technological Education Supervisor Panagiotis G. Asteris, Ph.D. Assoc. Professor, Department of Civil Engineering, School of Pedagogical and Technological Education, Athens, Greece May 2017

3 Οι κάτωθι υπογεγραµµένοι έχουν εξετάσει την διατριβή µε τίτλο «Αξιολόγηση Σεισµικής Τρωτότητας Μνηµειακών Κατασκευών από Τοιχοποιία» που παρουσιάστηκε από τη Μαρία Γ. Δουβίκα, υποψήφια για την απόκτηση Μεταπτυχιακού Τίτλου στην Εφαρµοσµένη Υπολογιστική Δοµική Μηχανική και βεβαιώνουν ότι είναι άξια αποδοχής. Ηµεροµηνία Παναγιώτης Γ. Αστερής (Επιβλέπων) Ηµεροµηνία Αντωνία Μοροπούλου Ηµεροµηνία Κωνσταντίνος Σπυράκος ii

4 The undersigned have examined the thesis entitled Seismic Vulnerability Assessment of Monumental Masonry Structures presented by Maria G. Douvika, a candidate for the degree of Master of Science in Applied Computational Structural Engineering and hereby certify that it is worthy of acceptance. Date Panagiotis G. Asteris (Supervisor) Date Antonia Moropoulou Date Constantine Spyrakos iii

5 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Παρά το µεγάλο πλήθος των ερευνητικών προσπαθειών τις τελευταίες τρεις δεκαετίες, η αξιολόγηση της τρωτότητας των ιστορικών και µνηµειακών κατασκευών από τοιχοποιία παραµένει και στις µέρες µας ένα προς διερεύνηση θέµα και συνάµα συνεχίζει να αποτελεί σηµαντική και γοητευτική πρόκληση για τον µηχανικό. Κύριο αντικείµενο της παρούσας µεταπτυχιακής εργασίας αποτελεί η διατύπωση και παρουσίαση µίας αναλυτικής µεθοδολογίας για την εκτίµηση της σεισµικής τρωτότητας (seismic vulnerability) των ιστορικών/µνηµειακών κατασκευών από τοιχοποιία. Αξίζει να σηµειωθεί ότι αυτό το είδος των κατασκευών µεταξύ των οποίων κυρίως συγκαταλέγονται θρησκευτικά µνηµεία (εκκλησίες, µιναρέδες) αλλά και άλλες κατασκευές όπως φρούρια/κάστρα, φάροι και υδραυλικά έργα, επιδεικνύουν υψηλή τρωτότητα υπό σεισµικές καταπονήσεις. Επιπρόσθετα η αξιόπιστη µαθηµατική προσοµοίωση της συµπεριφοράς τους καθίσταται ιδιαίτερα δύσκολη και περίπλοκη λόγω του πολύµορφου και πολύτροπου του δοµικού συστήµατος και της έντονα ανισότροπης και ψαθυρής συµπεριφοράς του υλικού της τοιχοποιίας. Επιπλέον, µια πρόσθετη και συνάµα κύρια δυσκολία για τη µαθηµατική προσοµοίωση της σεισµικής απόκρισης αυτών των κατασκευών αποτελεί ο πιθανοτικός χαρακτήρας των παραµέτρων που επηρεάζουν τη συµπεριφορά των κατασκευών από τοιχοποιία. Στις παραµέτρους αυτές συγκαταλέγονται οι τιµές των µηχανικών χαρακτηριστικών των υλικών (λόγω της µεγάλης διασποράς τους στο σύνολο της κατασκευής ή λόγω της έλλειψης ακρίβειας στις µεθόδους εκτίµησης και οργάνων). Επίσης δεν θα πρέπει να iv

6 αγνοηθεί και ο τυχηµατικός χαρακτήρας του σεισµού ο οποίος είναι άµεσα συνδεδεµένος µε ένα µεγάλο αριθµό παραµέτρων. Λαµβάνοντας υπόψη τις παραπάνω ιδιαιτερότητες, στην παρούσα εργασία, παρουσιάζεται διεξοδικά και σε βάθος µια αναλυτική µεθοδολογία για την εκτίµηση της σεισµικής τρωτότητας των ιστορικών/µνηµειακών κατασκευών από τοιχοποιία λαµβάνοντας υπόψη τον πιθανοτικό χαρακτήρα των παραµέτρων που υπεισέρχονται στο πρόβληµα µέσω της ανάπτυξης αναλυτικών καµπυλών θραυστότητας (fragility curves). Η όλη µεθοδολογία παρουσιάζεται διεξοδικά και σε βάθος, βήµα προς βήµα, µέσω της παρουσίασης της εφαρµογής αυτής σε µια πραγµατική κατασκευή από τοιχοποιία όπως είναι η Μονή Καισαριανής. Λέξεις-Κλειδιά: Ιστορικές Κατασκευές, Καµπύλες Θραυστότητας, Κριτήριο Αστοχίας, Σεισµική Τρωτότητα, Στάθµη Επιτελεστικότητας, Τοιχοποιία v

7 ABSTRACT Despite the plethora of research work in the last three decades, assessing the seismic vulnerability of masonry historical and monumental structures remains an open problem and, at the same time, a challenge for the practicing civil engineer. The main objective and subject of the present Master s thesis is the formulation and description of an analytical methodology approach for the assessment of the seismic vulnerability of masonry historical and monumental structures. These types of structures, which include religious monuments such churches and minarets, as well as historical monuments such as castles, beacons and waterways, exhibit high vulnerability under seismic stresses. Reliable simulations of their response to seismic stresses are exceedingly difficult because of the complexity of the structural system and the anisotropic and brittle behavior of the masonry materials. The probabilistic nature of the input parameters accentuates the simulation complexity and greatly influences the vulnerability assessment outcome. The input parameters include the numerical values of the mechanical characteristics of the masonry materials, which are notoriously non-homogeneous in the overall structure and/or not sufficiently accurate (due to the measurements performed for their determination and the instruments with which the measurements have been performed). Within this framework, the thesis presents a detailed analytical methodological approach for assessing the seismic vulnerability of masonry historical and monumental structures, taking into account the probabilistic nature of the input parameters by means of analytically determining fragility curves. The proposed method is presented in detail and is applied to a real-life monumental masonry structure, namely the masonry structures of the Kaisariani Monastery, located in Attica, Greece. vi

8 Keywords: Historical Structures, Fragility Curves, Failure Criterion, Seismic Vulnerability, Structural Performance Level, Masonry vii

9 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Η παρούσα µεταπτυχιακή εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια του µεταπτυχιακού προγράµµατος σπουδών στην Εφαρµοσµένη Υπολογιστική Δοµική Μηχανική του τµήµατος Εκπαιδευτικών Πολιτικών Μηχανικών της Ανώτατης Σχολής Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης. Κατ αρχάς, θα ήθελα να ευχαριστήσω ολόψυχα τον επιβλέποντά µου κ. Παναγιώτη Αστερή, Αναπληρωτή Καθηγητή του τµήµατος Εκπαιδευτικών Πολιτικών Μηχανικών της Α.Σ.ΠΑΙ.ΤΕ., για την εµπιστοσύνη που µου έδειξε αναθέτοντάς µου το παρόν ερευνητικό αντικείµενο, για τη γνώση που µου πρόσφερε, για την αρµονική συνεργασία και για τη µε επιµονή και υποµονή καθοδήγησή που µου παρείχε σε όλο το διάστηµα συνεργασίας µας, προσπαθώντας πάντα για το βέλτιστο αποτέλεσµα. Θερµές ευχαριστίες θα ήθελα να εκφράσω στους καθηγητές, κ. Κ. Σπυράκο και κα Α. Μοροπούλου οι οποίοι µε τίµησαν µε τη συµµετοχή τους στην εξεταστική επιτροπή µου. Επιθυµώ επίσης, να ευχαριστήσω τον καθηγητή Dr. Liborio Cavaleri του πανεπιστηµίου Università degli Studi di Palermo και τον καθηγητή Dr. Fabio Di Trapani Politecnico di Torino για την πολύτιµη βοήθειά τους και συνεργασία στα θέµατα που πραγµατεύεται η παρούσα εργασία. Ιδιαίτερα, θέλω να πω πολλά ευχαριστώ στην υποψήφια Διδάκτορα του Τµήµατος Χηµικών Μηχανικών του ΕΜΠ, κ. Μ. Αποστολοπούλου για τη βοήθειά της και τον κατάλληλο σχολιασµό της µεταπτυχιακής εργασίας. viii

10 Αισθάνοµαι ιδιαίτερη ανάγκη να ευχαριστήσω τους µεταπτυχιακούς φοιτητές Α. Σκέντου, Φ. Φώσκολο, Δ. Γεωργακόπουλο και Ν. Μάργαρη για την πολύτιµη βοήθειά τους κατά τη διάρκεια της εκπόνησης της µεταπτυχιακής µου εργασίας. Πάνω από όλους όµως θα ήθελα να ευχαριστήσω τον σύζυγό µου Γιώργο και τα παιδιά µου Ειρήνη, Θεανώ και Γρηγόρη, στους οποίους αφιερώνω αυτή τη µεταπτυχιακή εργασία, που είναι πάντοτε κοντά µου σε οτιδήποτε και αν επιχειρώ µε πολύ αγάπη, υποµονή και κατανόηση. 20 Ιουνίου 2017 Δουβίκα Μαρία ix

11 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΛΗΨΗ... iv ABSTRACT... vi ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ... xxiv 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ: ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΤΟΙΧΟΠΟΙΙΑΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Εισαγωγή Μακροσκοπική Θεώρηση του Υλικού Ορθογωνικό Πεπερασµένο Στοιχείο Υπολογισµός του Μητρώου Δυσκαµψίας του απλού ορθογωνικού στοιχείου Μητρώο Στροφής Ορθογωνικού Στοιχείου MAFEA - Κώδικας Πεπερασµένων Στοιχείων για Ανάλυση Τοιχοποιίας Εφαρµογή του προγράµµατος MAFEA Συµπεράσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ: ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΣΤΟΧΙΑΣ Εισαγωγή Κλασικά κριτήρια αστοχίας Κριτήριο Μέγιστης Διατµητικής Τάσης [TRESCA SAINT VENANT, 1859, 1871] Κριτήριο Ενέργειας Παραµόρφωσης [Beltrami, 1885] Κριτήριο Στροφικής Ενέργειας Παραµόρφωσης [Mises, 1913] Κριτήριο Αντοχής Mohr-Coulomb [1900] Πειραµατικές Διερευνήσεις εργασίες στο χώρο της τοιχοποιίας Επιφάνεια Αστοχίας Υπό Διαξονική Ένταση [Page, 1980, 1981, 1983] [Tassios and Vachliotis, 1989] x

12 3.3.3 [Samarasinghe, 1980], [Samarasinghe and Hendry, 1980], [Samarasinghe, Page and Hendry, 1982] και [Hendry, Sinka and Davies, 1987] [Page, 1980], [Page, Samarasinghe and Hendry, 1980] [Kupfer et al., 1969] Εµπειρικά Κριτήρια Αστοχίας [Ganz and Thurlimann, 1985] [Bernadini, Modena and Vesconi, 1982] [Naraine and Sinha, 1991] Τροποποιηµένο Κριτήριο του Von Mises [Syrmakezis et al, 1995, 1997] Αναλυτικά Κριτήρια Αστοχίας [Dhanasekar, Page and Kleeman, 1985], [Page, Kleeman and Dhanasekar, 1985] [Scarpas, 1991], [Andreaus, 1996], [Συρµακέζης και Αστερής, 1999] [Ottosen, 1977] Συµπεράσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙV: ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΟ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΣΤΟΧΙΑΣ Εισαγωγή Αναλυτικό προσοµοίωµα Κριτήριο αστοχίας υπό απλοποιηµένη µορφή Διατύπωση Κριτηρίου Παράδειγµα Κριτήριο αστοχίας υπό γενικευµένη µορφή Διατύπωση κριτηρίου Παράδειγµα Κριτήριο αστοχίας υπό αδιαστατοποιηµένη µορφή Κριτήριο αστοχίας ως επιφάνεια διαρροής για µη γραµµική ανάλυση: Μαθηµατική Θεώρηση Λογισµικό προσοµοίωσης της αστοχίας της τοιχοποιίας Συµπεράσµατα xi

13 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ V: ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΘΡΑΥΣΤΟΤΗΤΑΣ Εισαγωγή Μεθοδολογία Ανάπτυξης Καµπυλών Θραυστότητας Σεισµική Επικινδυνότητα (Seismic Risk) Παράµετρος Απόκρισης (Response Parameter) Στάθµες Επιτελεστικότητας (Structural Performance Levels) Στατιστική Επεξεργασία Αποτελεσµάτων Ανάλυσης Αστοχίας Παράδειγµα Ανάπτυξης Καµπυλών Θραυστότητας Συµπεράσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ VI: ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗΣ ΣΕΙΣΜΙΚΗΣ ΤΡΩΤΟΤΗΤΑΣ & ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΜΝΗΜΕΙΑΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Προτεινόµενη Μεθοδολογία Βήµα 1: Ιστορική και πειραµατική τεκµηρίωση Βήµα 2: Ιδιότητες υλικών Βήµα 3: Προσοµοίωση κατασκευής Βήµα 4: Δράσεις Βήµα 5: Ανάλυση Βήµα 6: Κριτήρια αστοχίας και δείκτες βλαβών Βήµα 7: Εκτίµηση σεισµικής τρωτότητας Βήµα 8: Απόφαση και Επανυπολογισµός για Επισκευή και Ενίσχυση Βήµα 9: Οριστική απόφαση για το πιο κατάλληλο και αποτελεσµατικό σενάριο αποκατάστασης Βήµα 10: Αιτιολογική Έκθεση Εφαρµογή Χαρακτηρισµός και ταξινόµηση των υλικών Χαρακτηρισµός και ταξινόµηση των ιστορικών κονιαµάτων Προσοµοίωµα κατασκευής Σεισµικότητα της περιοχής Σενάρια παρεµβάσεων xii

14 6.8 Δείκτες Βλαβών Καµπύλες Θραυστότητας ΚΕΦΑΛΑΙΟ VII: ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ REFERENCES xiii

15 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 2.6.1: Απαιτούµενη υπολογιστική µνήµη των τριών µεθόδων επίλυσης. 29 Πίνακας 2.6.2: Απαιτούµενη υπολογιστική µνήµη των τριών µεθόδων επίλυσης.. 31 Πίνακας 2.7.1: Μηχανικά χαρακτηριστικά τοιχοποιίας (Page 1981) Πίνακας 2.7.2: Πίνακας 2.7.3: Εντατική κατάσταση των κόµβων της κατασκευής για τιµές της µέγιστης σεισµικής επιτάχυνσης από 0.00 έως 0.40 µε βήµα Χαρακτηρισµός εντατικής κατάστασης των κόµβων της κατασκευής για τιµές της µέγιστης σεισµικής επιτάχυνσης από 0.00 έως 0.40 µε βήµα Πίνακας 3.3.1: Βασικά δεδοµένα των διερευνήσεων του Σχήµατος Πίνακας 3.5.1: Τιµές των σταθερών των ελλειπτικών κώνων Πίνακας 4.3.1: Δεδοµένα διαξονικών δοκιµών (Page, 1981) Πίνακας 4.3.2: Μονοαξονικές αντοχές αστοχίας τοιχοποιίας Πίνακας 4.3.3: Συντελεστές F i, F ii Πίνακας 4.4.1: Δεδοµένα διαξονικών δοκιµών [Page, 1981] Πίνακας 4.4.2: Συντελεστές F 12, F 112, F 122, F 166, F Πίνακας 4.4.3: Συντελεστές F 12, F 112, F 122, F 166, F Πίνακας 4.5.1: Μέγιστη και ελάχιστη τιµή για τα δύο κριτήρια / επιφάνειες Πίνακας 4.7.1: Εξέλιξη της αστοχίας της κατασκευής για τρία διαφορετικά κριτήρια αστοχίας και για τιµές της µέγιστης σεισµικής επιτάχυνσης από 0.00 έως 0.40 µε βήµα Πίνακας 5.2.1: Προτεινόµενες στάθµες επιτελεστικότητας για άοπλη τοιχοποιία 143 Πίνακας 5.3.1: Μηχανικά χαρακτηριστικά τοιχοποιίας (Page 1981) Πίνακας 5.3.2: Πίνακας 5.3.3: Περιοχές αστοχίας και δείκτες βλάβης (Damage Indeces) για τρία διαφορετικά ποσοστά ανοιγµάτων, δύο κριτήρια αστοχίας και για τιµή της µέγιστης σεισµικής επιτάχυνσης 0.40 g Δείκτες βλαβών της κατασκευής για τρία διαφορετικά ποσοστά ανοιγµάτων (0, 16 & 36%), για το τροποποιηµένο κριτήριο του Von Mises (Syrmakezis et al. 1995, 1997) xiv

16 Πίνακας 5.3.4: Πίνακας 5.3.5: Πίνακας 5.3.6: Πίνακας 5.3.7: Πίνακας 5.3.8: Πίνακας 6.4.1: Δείκτες βλαβών της κατασκευής για τρία διαφορετικά ποσοστά ανοιγµάτων (0, 16 & 36%), για το τροποποιηµένο κριτήριο του Kupfer (Kupfer et al. 1969) Δείκτες βλάβης (Damage Indeces) για τρία διαφορετικά ποσοστά ανοιγµάτων και για δύο κριτήρια αστοχίας Δείκτες βλάβης της τοιχοποιίας για ποσοστό ανοίγµατος 16% και χρήση του τροποποιηµένου κριτηρίου αστοχίας του Von Mises (Syrmakezis et al. 1995, 1997) Τιµές αθροιστικής συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας δεικτών βλάβης (Normal Distribution) για ποσοστό ανοίγµατος 16% και χρήση του τροποποιηµένου κριτηρίου αστοχίας του Von Mises (Syrmakezis et al. 1995, 1997) Τιµές πιθανότητας υπέρβασης σταθµών επιτελεστικότητας για κάθε δείκτη σεισµικής έντασης PGA) για ποσοστό ανοίγµατος 16% και χρήση του τροποποιηµένου κριτηρίου αστοχίας του Von Mises (Syrmakezis et al. 1995, 1997) Συσχέτιση των φυσικοχηµικών δεδοµένων µε την αντοχή σε εφελκυσµό Πίνακας 6.7.1: Σύνθεση κονιαµάτων αποκατάστασης (Aggelakopoulou 2006, Moundoulas 2004) Πίνακας 6.7.2: Πίνακας 6.7.3: Πίνακας 6.8.1: Πίνακας 6.9.1: Μηχανικά χαρακτηριστικά κονιαµάτων αποκατάστασης. (Aggelakopoulou 2006, Moundoulas 2004) Στατικό και δυναµικό µέτρο ελαστικότητας κονιαµάτων/σκυροδεµάτων που εξετάστηκαν (12 µήνες ωρίµανσης) (Aggelakopoulou 2006, Moundoulas 2004) Δείκτες Βλαβών της κατασκευής πριν και µετά τις παρεµβάσεις Πιθανότητα υπέρβασης επιπέδου βλαβών της κατασκευής πριν και µετά τις παρεµβάσεις (Κανονική Κατανοµή) xv

17 ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήµα 2.1.1: Μαθηµατικά προσοµοιώµατα τοιχοποιίας: α) Τοιχοποιία,... 8 Σχήµα 2.3.1: Απλό ορθογωνικό στοιχείο Σχήµα 2.4.1: Σχήµα 2.4.2: Σχήµα 2.5.1: Ένα επίπεδο ορθογωνικό στοιχείο (e) και τα επικόµβια φορτία µε τα οποία καταπονείται Ένα επίπεδο ορθογωνικό στοιχείο (e) και τα επικόµβια φορτία µε τα οποία καταπονείται Απλό ορθογωνικό στοιχείο σε τυχαία θέση ως προς το καθολικό σύστηµα συντεταγµένων xοy Σχήµα 2.6.1: Συµµετρικό µητρώο Σχήµα 2.6.2: Μητρώο Half Bandwidth Σχήµα 2.6.3: Συνολικός αριθµός στοιχείων των τριών µεθόδων επίλυσης Σχήµα 2.6.4: Μείωση της απαιτούµενης υπολογιστικής µνήµης µε χρήση της µεθόδου Half Bandwidth Σχήµα 2.6.5: Χρόνος επίλυσης µητρώων για κάθε µέθοδο Σχήµα 2.6.6: Συνολικός χρόνος επίλυσης προγράµµατος για κάθε µέθοδο Σχήµα 2.7.1: Παράδειγµα τοιχοποιίας για εφαρµογή προγράµµατος ΜAFEA Σχήµα 2.7.2: Απαραµόρφωτος φορέας τοιχοποιίας Σχήµα 2.7.3: Σχήµα 2.7.4: Σχήµα 2.7.5: Σχήµα 2.7.6: Παραµορφωµένος φορέας τοιχοποιίας µόνο µε ίδιο βάρος (pga=0.00g) Ισοτασικές καµπύλες ορθής τάσης σ x µόνο µε ίδιο βάρος (pga=0.00g) Ισοτασικές καµπύλες ορθής τάσης σ y µόνο µε ίδιο βάρος (pga=0.00g) Ισοτασικές καµπύλες διατµητικής τάσης τ µόνο µε ίδιο βάρος (pga=0.00g) Σχήµα 2.7.7: Ισοτασικές καµπύλες κύριας τάσης σ 1 (pga=0.00g) xvi

18 Σχήµα 2.7.8: Ισοτασικές καµπύλες κύριας τάσης σ 2 (pga=0.00g) Σχήµα 2.7.9: Ισοτασικές καµπύλες γωνίας θ (pga=0.00g) Σχήµα : Απαραµόρφωτος φορέας τοιχοποιίας Σχήµα : Παραµορφωµένος φορέας τοιχοποιίας (pga=0.16g) Σχήµα : Ισοτασικές καµπύλες ορθής τάσης σ x (pga=0.16g) Σχήµα : Ισοτασικές καµπύλες ορθής τάσης σ y (pga=0.16g) Σχήµα : Ισοτασικές καµπύλες διατµητικής τάσης τ (pga=0.16g) Σχήµα : Ισοτασικές καµπύλες κύριας τάσης σ 1 (pga=0.16g) Σχήµα : Ισοτασικές καµπύλες κύριας τάσης σ 2 (pga=0.16g) Σχήµα : Ισοτασικές καµπύλες γωνίας θ (pga=0.16g) Σχήµα : Σχήµα : Σχήµα : Σχήµα : Σχήµα 3.2.1: Εντατική κατάσταση των κόµβων της κατασκευής σε όρους ορθών τάσεων (pga=0.40g) Εντατική κατάσταση των κόµβων της κατασκευής σε όρους κυρίων τάσεων (pga=0.40g) Χαρακτηρισµός εντατικής κατάστασης της κατασκευής σε όρους ορθών τάσεων (pga=0.40g) Χαρακτηρισµός εντατικής κατάστασης της κατασκευής σε όρους κυρίων τάσεων (pga=0.40g) Η καµπύλη αστοχίας σύµφωνα µε το κριτήριο της µέγιστης διατµητικής τάσεως για επίπεδες εντατικές καταστάσεις σ 1, σ 2 0, σ 3 = Σχήµα 3.2.2: Η επιφάνεια αστοχίας σύµφωνα µε το κριτήριο Mises Σχήµα 3.2.3: Η επιφάνεια διαρροής (έλλειψη) von Mises, σύµφωνα µε το κριτήριο von Mises, για επίπεδη εντατική κατάσταση µε σ 3 = Σχήµα 3.2.4: Γραφική αναπαράσταση κριτηρίου Mohr Coulomb Σχήµα 3.2.5: Εύρεση µε γραφικό τρόπο των επιπέδων αστοχίας του υλικού Σχήµα 3.2.6: Επίπεδα ολίσθησης, όπου λαµβάνει χώρα η αστοχία του υλικού, βάσει κριτηρίου Mohr-Coulomb Σχήµα 3.2.7: Περιβάλλουσα αστοχίας του Mohr xvii

19 Σχήµα 3.3.1: Σχηµατική αναπαράσταση δοκιµίων της εργασίας [Page, 1981], για τιµές της γωνίας µεταξύ της κύριας τάσης σ 1 και του αρµού θ = 0, θ = 22.5, θ = 45, θ = 67.5 και θ = Σχήµα 3.3.2: Σχήµα 3.3.3: Σχήµα 3.3.4: Σχήµα 3.3.5: Σχήµα 3.3.6: Σχήµα 3.3.7: Σχήµα 3.3.8: Σχήµα 3.3.9: Σχήµα : Σχήµα : Σχήµα : Σχήµα : Σχήµα : Σχήµα : Καµπύλη αστοχίας οπτοπλινθοδοµής υπό διαξονική θλίψη, θ= 0 [Page, 1981] Αστοχία της τοιχοποιίας υπό διαξονική θλίψη, θ= 22.5 [Page, 1981] Αστοχία της τοιχοποιίας υπό διαξονική θλίψη, θ= 45 [Page, 1981] Επιφάνεια αστοχίας της τοιχοποιίας υπό διαξονική θλίψη [Page, 1981] Προβολή στο επίπεδο (σ1, σ2 ) της επιφάνειας αστοχίας της τοιχοποιίας [Page, 1981] Αδιαστατοποιηµένη καµπύλη αστοχίας της τοιχοποιίας υπό διαξονική ένταση για θ = 0 σε όρους κυρίων τάσεων Αδιαστατοποιηµένη καµπύλη αστοχίας της τοιχοποιίας υπό διαξονική ένταση για θ = 22.5 σε όρους κυρίων τάσεων Αδιαστατοποιηµένη καµπύλη αστοχίας της τοιχοποιίας υπό διαξονική ένταση για θ = 45 σε όρους κυρίων τάσεων Αδιαστατοποιηµένη καµπύλη αστοχίας της τοιχοποιίας υπό διαξονική ένταση για θ = 67.5 σε όρους κυρίων τάσεων Αδιαστατοποιηµένη καµπύλη αστοχίας της τοιχοποιίας υπό διαξονική ένταση για θ = 90 σε όρους κυρίων τάσεων Καµπύλη αστοχίας της τοιχοποιίας υπό ετερόσηµη ένταση θ=45 ο [Tassios, Vachliotis, 1989] Η χρήση γραµµικού κριτηρίου στην ετερόσηµη περιοχή της έντασης συχνά οδηγεί σε µη ρεαλιστική προσέγγιση [Tassios, Vachliotis, 1989] Καµπύλες αστοχίας τοιχοποιίας υπό διαξονική ετερόσηµη ένταση σε όρους κύριων τάσεων (α=90 ο ) [Tassios, Vachliotis, 1989] Επιφάνεια αστοχίας της τοιχοποιίας υπό διαξονική ένταση [Tassios, Vachliotis, 1989] xviii

20 Σχήµα : Σχήµα : Σχήµα : Σχήµα : Σχήµα : Σχήµα : Κατασκευάστηκαν δοκίµια µεγαλύτερων διαστάσεων και επί αυτών σχεδιάστηκαν τα τελικά δοκίµια, δηλαδή ένα τετράγωνο µε τις επιθυµητές διαστάσεις και τον κατάλληλο προσανατολισµό Διαξονικές καµπύλες αντοχής τοιχοποιίας για διάφορες γωνίες θ [Samarasinghe, 1980] Εξειδικευµένες καµπύλες αντοχής τοιχοποιίας [Samarasinghe, 1980] Επιφάνεια αστοχίας τοιχοποιίας υπό διαξονικές τάσεις (Samarasinghe, 1980] Επιφάνεια αστοχίας τοιχοποιίας υπό διαξονικές εφελκυστικές τάσεις [Samarasinghe,1980] Διαξονική αντοχή του σκυροδέµατος [Kupfer and Gerstle 1973] Σχήµα : Διαξονική αντοχή τοιχοποιίας [Kupfer and Gerstle 1973] Σχήµα 3.4.1: Σχήµα 3.4.2: Σχήµα 3.4.3: Σχήµα 3.4.4: Σχήµα 3.5.1: Κριτήριο αστοχίας τοιχοποιίας [Granz H.R., and Thurlimann B., 1985] Κριτήριο αστοχίας τοιχοποιίας [Bernadini, Modena, and Vesconi, 1982] Καµπύλη αστοχίας της τοιχοποιίας υπό διαξονική θλίψη [Naraine and Sinha, 1991] Η επιφάνεια αστοχίας βάσει του τροποποιηµένου κριτηρίου Von Mises. [Syrmakezis et al, 1995, 1997] Ισοδιατµητικές καµπύλες στο επίπεδο σx σy [Dhanasekar M., 1985] Σχήµα 3.5.2: Επιφάνεια αστοχίας στο χώρο (σ x,σ y, τ) [Dhanasekar M., 1985] Σχήµα 3.5.3: Σχήµα 4.2.1: Σχήµα 4.2.2: Επιφάνεια αστοχίας τοιχοποιίας σε όρους ορθών τάσεων (τ=0.0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0 ΜPa) [Συρµακέζης, Αστερής, 1999] Μονοαξονική δοκιµή εφελκυσµού και θλίψης κατά Χ και Χ αντίστοιχα Μονοαξονική δοκιµή εφελκυσµού και θλίψης κατά Y και Y αντίστοιχα xix

21 Σχήµα 4.2.3: Δοκιµή της τοιχοποιίας σε καθαρή διάτµηση Σχήµα 4.3.1: Μεταβολή του τετραγωνικού σφάλµατος Ε ν συναρτήσει της F 12, σύµφωνα µε την εξίσωση [4.3.2] Σχήµα 4.3.2: Καµπύλη αστοχίας της τοιχοποιίας για τ= Σχήµα 4.3.3: Επιφάνεια αστοχίας τοιχοποιίας σε όρους ορθών τάσεων (τ=0.0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0 MPa) Σχήµα 4.3.4: Ανοικτή καµπύλη αστοχίας της τοιχοποιίας Σχήµα 4.4.1: Σχήµα 4.4.2: Ανοικτή επιφάνεια αστοχίας της τοιχοποιίας σε όρους ορθών τάσεων (τ=0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0 MPa) Μεταβολή του τετραγωνικού σφάλµατος Εν συναρτήσει της F Σχήµα 4.4.3: Επιφάνεια αστοχίας της τοιχοποιίας σε όρους ορθών τάσεων... (τ=0.0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5 MPa) Σχήµα 4.4.4: Σχήµα 4.4.5: Σχήµα 4.4.6: Σχήµα 4.5.1: Σχήµα 4.5.2: Σχήµα 4.5.3: Σχήµα 4.6.1: Σχήµα 4.6.2: Καµπύλη αστοχίας της τοιχοποιίας σε όρους κυρίων τάσεων (θ=0 ο ) Καµπύλη αστοχίας της τοιχοποιίας σε όρους κυρίων τάσεων (θ=22.5 ο ) Καµπύλη αστοχίας της τοιχοποιίας σε όρους κυρίων τάσεων (θ=45 ο ) Αδιαστατοποιηµένη επιφάνεια αστοχίας τοιχοποιίας σε όρους ορθών τάσεων ( t 90 ƒ wc =0.00 έως 0.45 µε βήµα 0.05) Αδιαστατοποιηµένη επιφάνεια αστοχίας τοιχοποιίας γενικευµένου κριτηρίου (α) Αδιαστατοποιηµένοι όροι ορθών τάσεων Αδιαστατοποιηµένη επιφάνεια αστοχίας τοιχοποιίας απλοποιηµένου κριτηρίου (α) Αδιαστατοποιηµένοι όροι ορθών τάσεων Αδιαστατοποιηµένη επιφάνεια αστοχίας τοιχοποιίας σε όρους κύριων τάσεων Γενικευµένου και Απλοποιηµένου Κριτηρίου Αστοχίας θ=0.0 ο Αδιαστατοποιηµένη επιφάνεια αστοχίας τοιχοποιίας σε όρους κυρίων τάσεων Γενικευµένου και Απλοποιηµένου Κριτηρίου Αστοχίας θ=22.5 ο xx

22 Σχήµα 4.6.3: Σχήµα 4.6.4: Σχήµα 4.6.5: Σχήµα 4.7.1: Σχήµα 4.7.2: Σχήµα 4.7.3: Αδιαστατοποιηµένη επιφάνεια αστοχίας τοιχοποιίας σε όρους κυρίων τάσεων Γενικευµένου και Απλοποιηµένου Κριτηρίου Αστοχίας θ=45.0 ο Αδιαστατοποιηµένη επιφάνεια αστοχίας τοιχοποιίας σε όρους κυρίων τάσεων Γενικευµένου και Απλοποιηµένου Κριτηρίου Αστοχίας θ=67.5 ο Αδιαστατοποιηµένη επιφάνεια αστοχίας τοιχοποιίας σε όρους κυρίων τάσεων Γενικευµένου και Απλοποιηµένου Κριτηρίου Αστοχίας θ=90.0 ο Περιοχές αστοχίας µε χρήση του κυβικού τανυστικού πολυωνύµου (pga=0.40g) Περιοχές αστοχίας µε χρήση του Τροποποιηµένου κριτηρίου αστοχίας του Von Mises (Syrmakezis et al. 1995, 1997) (pga=0.40g) Περιοχές αστοχίας µε χρήση του κριτηρίου αστοχίας του Kupfer (Kupfer et al. 1969) (pga=0.40g) Σχήµα 5.1.1: Διαδικασία ανάπτυξης αναλυτικών καµπυλών θραυστότητας Σχήµα 5.2.1: Σχήµα 5.2.2: Διάγραµµα ροής για τη δηµιουργία των καµπυλών θραυστότητας Στατιστικός κανόνας των διαστηµάτων εµπιστοσύνης του πεδίου τιµών της κανονικής κατανοµής Σχήµα 5.3.1: Γεωµετρία τοίχου µε δυο ανοίγµατα Σχήµα 5.3.2: Σχήµα 5.3.3: Σχήµα 5.3.4: Κατασκευή Καµπυλών Θραυστότητας για Κανονική Κατανοµή για το τροποποιηµένο κριτήριο του Von Mises (Syrmakezis et al. 1995, 1997) για ποσοστό ανοίγµατος 16% Καµπύλες θραυστότητας για κανονική και λογαριθµοκανονική κατανοµή, για ποσοστό ανοίγµατος 16%, και χρήση του τροποποιηµένου κριτηρίου αστοχίας του Von Mises (Syrmakezis et al. 1995, 1997) Καµπύλες θραυστότητας για κανονική και λογαριθµοκανονική κατανοµή, για ποσοστό ανοίγµατος 16% και χρήση του τροποποιηµένου κριτηρίου αστοχίας του Kupfer (Kupfer et al. 1969) xxi

23 Σχήµα 5.3.5: Σχήµα 5.3.6: Σχήµα 5.3.7: Σχήµα 5.3.8: Σχήµα 5.3.9: Καµπύλες θραυστότητας για ποσοστό ανοίγµατος 0% µε χρήση κανονικής κατανοµής, για τα δύο κριτήρια αστοχίας ανά επίπεδο βλάβης Καµπύλες θραυστότητας για ποσοστό ανοίγµατος 16% µε χρήση κανονικής κατανοµής, για τα δύο κριτήρια αστοχίας ανά επίπεδο βλάβης Καµπύλες θραυστότητας για ποσοστό ανοίγµατος 36% µε χρήση κανονικής κατανοµής, για τα δύο κριτήρια αστοχίας ανά επίπεδο βλάβης Καµπύλες θραυστότητας για τα τρία ποσοστά ανοίγµατος, µε χρήση κανονικής κατανοµής, για το τροποποιηµένο κριτήριο του Von Mises ανά επίπεδο βλάβης Καµπύλες θραυστότητας για τα τρία ποσοστά ανοίγµατος µε χρήση κανονικής κατανοµής, για το κριτήριο αστοχίας του Kupfer ανά επίπεδο βλάβης Σχήµα 6.1.1: Διάγραµµα ροής προτεινόµενης µεθοδολογίας Σχήµα 6.2.1: Πρόσοψη της Μονής Καισαριανής Σχήµα 6.2.2: Τοπογραφικό διάγραµµα της µονής Καισαριανής Σχήµα 6.2.3: Κάτοψη της µονής Καισαριανής Σχήµα 6.4.1: Σχήµα 6.4.2: Οµαδοποίηση των κονιαµάτων της Μονής Καισαριανής, σύµφωνα µε τα αποτελέσµατα της θερµικής ανάλυσης Συσχέτιση της αντοχής σε εφελκυσµό και του αντίστροφου δείκτη υδραυλικότητας Σχήµα 6.5.1: Μοντελοποίηση της Μονής Καισαριανής µε πεπερασµένα στοιχεία Σχήµα 6.6.1: Χάρτης Σεισµικότητας της Ελλάδας (Μέγεθος Σεισµικής Ροπής: ) Σχήµα 6.6.2: Χάρτης Σεισµικότητας της Ελλάδας (Μέγεθος Σεισµικής Ροπής: ) Σχήµα 6.6.3: Χάρτης Σεισµικότητας της Ελλάδας (Μέγεθος Σεισµικής Ροπής: ) xxii

24 Σχήµα 6.6.4: Σχήµα 6.7.1: Σχήµα 6.8.1: Σχήµα 6.9.1: Σχήµα 6.9.2: Σχήµα 6.9.3: Σχήµα 6.9.4: Χάρτης Σεισµικότητας της Ελλάδας (Μέγεθος Σεισµικής Ροπής: > 5.0) Θλιπτική αντοχή (MPa) σε σχέση µε το χρόνο σκλήρυνσης (µήνες) Δείκτες βλάβης της υπάρχουσας κατασκευής, καθώς και για τις δύο περιπτώσεις επισκευής της κατασκευής µε τα κονιάµατα Μ5 και Μ10 µε χρήση τόσο του γενικευµένου όσο και του απλοποιηµένου κριτηρίου αστοχίας Καµπύλες θραυστότητας υπάρχουσας κατασκευής για κανονική κατανοµή (a) και λογαριθµοκανονική κατανοµή (b) Καµπύλες θραυστότητας της κατασκευής πριν και µετά τις επισκευές µε χρήση του κριτηρίου αστοχίας του κυβικού τανυστικού πολυωνύµου Καµπύλες θραυστότητας της κατασκευής πριν και µετά τις επισκευές µε χρήση και των δύο κριτηρίων αστοχίας Μείωση της σεισµικής τρωτότητας της κατασκευής για δύο επισκευαστικά σενάρια. (Κανονική Κατανοµή) xxiii

25 ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΟΙ ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ γ xy ε u ε x, ε y διατµητική παραµόρφωση στο επίπεδο x-y µέγιστη αξονική παραµόρφωση παραµορφώσεις κατά x και y αντίστοιχα ξ, η αδιάστατες συντεταγµένες κατά x και y αντίστοιχα θ λ [Οttosen, 1977] γωνία µεταξύ κύριας τάσης σ 1 και διεύθυνσης των αρµών σταθερά που καθορίζεται µέσω κατάλληλων σχέσεων ως συνάρτηση των αναλλοίωτων των κυρίων τάσεων σ α σ ισ σ Δ ν xy, ν yx λόγος Poisson (ο πρώτος δείκτης δηλώνει τη διεύθυνση φόρτισης και ο δεύτερος τη διεύθυνση εγκάρσιας συστολής) τάση αστοχίας ισοδύναµη τάση τάση διαρροής υλικού σ 1, σ 2, σ 3 κύριες τάσεις µε σ 1 σ 2 σ 3 σ xx σ θ θρ σ ε θρ τ θρ τ max φ τάση απλού µονοαξονικού εφελκυσµού, κατά τον άξονα x τάση θραύσης σε θλίψη τάση θραύσης σε εφελκυσµό τάσης θραύσης σε απλή διάτµηση µέγιστη διατµητική τάση γωνία εσωτερικής τριβής (κριτήριο Mohr-Coulomb) ΛΑΤΙΝΙΚΟΙ ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ c f bc f mc συνεκτικότητα θλιπτική αντοχή λιθοσώµατος θλιπτική αντοχή κονιάµατος xxiv

26 f m f mο Α, Β(Ottosen, 1977) C E F i F ij F ijk G J 2, I 1, I 2 Κ P i W W u W s u ι, v ι µέση αντοχή σε θλίψη κάθετα στον αρµό βάσης µέση αντοχή σε θλίψη παράλληλα στον αρµό βάσης σταθερές που προσδιορίζονται µε βάση τον λόγο της εφελκυστικής προς τη θλιπτική αντοχή σταθερά η οποία διέπει τη φύση της αλληλεπιδρούσης καµπύλης αστοχίας µέτρο ελαστικότητας τανυστής 2 ου βαθµού τανυστής 4 ου βαθµού τανυστής 6 ου βαθµού µέτρο διάτµησης οι αναλλοίωτες των κυρίων τάσεων µητρώο δυσκαµψίας επικόµβια δράση ολική ενέργεια πυκνότητα ενέργειας που καταναλώνεται για µεταβολή όγκου πυκνότητα της στροφικής ενέργειας, δηλαδή της ενέργειας που καταναλώνεται για τη στρέβλωση του µοναδιαίου όγκου µετατοπίσεις κατά x και y αντίστοιχα ΔΕΙΚΤΕΣ c t m w compression (θλίψη) tension (εφελκυσµός) mortar (κονίαµα) wall (τοίχος) xxv

27 ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΝΤΟΜΟΓΡΑΦΙΩΝ DI ISCARSAH ICOMOS FEM FEMA MAFEA ANNs BPNNs PGA PGV Damage Index International Scientific Committee of the Analysis and Restoration of Structures of Architectural Heritage International Council on Monuments and Sites Finite Element Method Federal Emergency Management Agency Masonry Finite Element Analysis Artificial Neural Networks Back-Propagation Neural Networks Peak Ground Acceleration Peak Ground Velocity EC8 Eurocode 8 xxvi

28 ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΟΝΑΔΩΝ Newton (N) είναι η δύναµη που δίνει επιτάχυνση ενός m/sec 2 σε ένα σώµα ενός kg µάζας. Pascal (Pa) είναι η πίεση που εξασκεί δύναµη ενός Ν σε επιφάνεια ενός m 2 (Pa=N/m 2 ). Αντιστοιχίες: 1 Ν = kg (δυνάµεως) = 0.1 kg (δυνάµεως) 1 Pa = 1 N/m 2 1 kpa = 1 kg/m 2 1 MPa = 1 N/mm 2 = 1 kg/cm 2 = 1000 kn/m 2 1 GPa = 104 kg/cm 2 = 106 kn/m 2 1 kνm = 0.1 tm = 100 kgm 1 psi = kn/m 2 xxvii

29 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι: ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η τοιχοποιία συγκαταλέγεται µεταξύ των αρχαιότερων δοµικών συστηµάτων και υλικών. Αυτό εξηγεί και το ότι οι µνηµειακές και ιστορικές κατασκευές, είναι στη συντριπτική τους πλειοψηφία κατασκευές από τοιχοποιία δηλαδή λιθοσώµατα (λίθοι, οπτόπλινθοι) συνδεδεµένα µεταξύ τους µε κονίαµα. Το πολύµορφο και πολύτροπο αφενός του υλικού και αφετέρου του δοµικού συστήµατος της τοιχοποιίας καθορίζουν εν πολλοίς και τη σεισµική απόκριση (seismic response) των µνηµειακών κατασκευών. Ειδικότερα, κύριο χαρακτηριστικό των κατασκευών αυτών είναι το ότι επιδεικνύουν υψηλή σεισµική τρωτότητα (seismic vulnerability) όταν υπόκεινται σε σεισµικές διεγέρσεις λόγω της έντονης ψαθυρής συµπεριφοράς και πολύ µικρής εφελκυστικής αντοχής του υλικού της τοιχοποιίας. Η πολιτισµική, κοινωνική και αρχιτεκτονική αξία των ιστορικών κατασκευών, επιβάλλει το σεβασµό της ιδιαιτερότητάς τους. Κατά συνέπεια, οποιαδήποτε µέτρα προστασίας, που στόχο έχουν τη µείωση της τρωτότητας, πρέπει να υπακούουν στις αρχές αναστρεψιµότητας (reversibility) και συµβατικότητας (compatibility). Για τον λόγο αυτόν, απαιτείται η αυστηρή τήρηση των κανονιστικών πλαισίων που διέπουν αυτές τις κατασκευές, τόσο σε εθνικό όσο και σε διεθνές επίπεδο. Από τις αρχές του προηγούµενου αιώνα διατυπώθηκαν και έγιναν αποδεκτά κανονιστικά πλαίσια για την προστασία αυτών των κατασκευών όπως είναι η πρόταση της επιστηµονικής επιτροπής ISCARSAH (International Scientific Committee of the Analysis and Restoration of Structures of Architectural Heritage) του ICOMOS 2001 και συγκεκριµένα τη Χάρτα του ICOMOS (Principles for the Analysis, Conservation and 1

30 Structural Restoration of Architectural Heritage, ISCARSAH Principles). Το κανονιστικό αυτό πλαίσιο οριοθετείται από τις αρχές της: έρευνας και τεκµηρίωσης, αυθεντικότητας και ακεραιότητας, αισθητικής αρµονίας, ελάχιστης επέµβασης και αναστρεψιµότητας, οι οποίες συµφωνούν µε τη Χάρτα τόσο των Αθηνών όσο και της Βενετίας, καθώς επίσης και µε τους [Morton & Hume, 1979] (The Secretary of the Interior s Standards for Historic Preservation Projects). Επίσης, αναγκαία προϋπόθεση για την επιτυχή προστασία αυτών των κατασκευών αποτελεί η διεπιστηµονική προσέγγιση και αντιµετώπιση κατά τη διερεύνηση οποιουδήποτε επισκευαστικού σεναρίου. Η αξιόπιστη διατύπωση µιας µεθοδολογίας για την εκτίµηση της σεισµικής τρωτότητας των ιστορικών/µνηµειακών κατασκευών από τοιχοποιία προϋποθέτει την επιτυχή προσοµοίωση του δοµικού συστήµατος καθώς και του υλικού της τοιχοποιίας µέσω της διατύπωσης κατάλληλων αναλυτικών καταστατικών νόµων. Για τις νέες κατασκευές µε σύγχρονα βιοµηχανικά υλικά (οπλισµένο σκυρόδεµα, χάλυβας, κλπ), η ανάπτυξη ενός αξιόπιστου µαθηµατικού µοντέλου είναι περισσότερο εφικτή και συνιστά µία απλή διαδικασία, εξαιτίας του ότι οι µηχανικές ιδιότητες των υλικών (καταστατικοί νόµοι) και τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά των µελών είναι πλέον ενιαία και γνωστά µε υψηλή ακρίβεια. Αντίθετα, για την περίπτωση της τοιχοποιίας και συγκεκριµένα των µνηµειακών/ιστορικών κατασκευών, υπάρχουν πολλά ακόµη αναπάντητα ερωτήµατα, τα οποία θα πρέπει να διερευνηθούν ενδελεχώς, έως ότου οι µηχανικοί να είναι σε θέση να γνωρίζουν µε ασφάλεια την ακρίβεια της προσοµοίωσης. Προϋπόθεση για µία αποτελεσµατική διερεύνηση της συµπεριφοράς των κατασκευών από τοιχοποιία µε χρήση σύγχρονων µεθόδων ανάλυσης είναι η ύπαρξη ενός απλού, 2

31 λειτουργικού και αξιόπιστου κριτηρίου αστοχίας, το οποίο να λαµβάνει υπόψη τις πολλές αβεβαιότητες που εισάγονται στο πρόβληµα και να περιγράφει ικανοποιητικά την επιφάνεια αστοχίας της τοιχοποιίας. Προκειµένου να θεωρηθεί ένα κριτήριο αστοχίας αξιόπιστο, απαιτείται να επιβεβαιώνεται τεκµηριωµένα η εφαρµοσιµότητά του, είτε µε εκπόνηση ειδικών πειραµάτων είτε µε βάση πειραµατικά δεδοµένα και εφαρµογές της βιβλιογραφίας. Στην κατεύθυνση αυτή όµως, η περίπλοκη µηχανική συµπεριφορά της τοιχοποιίας που είναι ένα υλικό πολυφασικό, δηµιουργεί σοβαρά εµπόδια. Επιπλέον, µια πρόσθετη και συνάµα κύρια δυσκολία για τη διατύπωση µιας τέτοιας µεθοδολογίας αποτελεί ο πιθανοτικός χαρακτήρας των παραµέτρων που επηρεάζουν τη συµπεριφορά των κατασκευών από τοιχοποιία. Στις παραµέτρους αυτές συγκαταλέγονται οι τιµές των µηχανικών ιδιοτήτων των υλικών (λόγω της µεγάλης διασποράς τους στο σύνολο της κατασκευής ή λόγω της έλλειψης ακρίβειας στις µεθόδους εκτίµησης και οργάνων). Επίσης δεν θα πρέπει να αγνοηθεί και ο τυχηµατικός χαρακτήρας του σεισµού ο οποίος είναι άµεσα συνδεδεµένος µε ένα µεγάλο αριθµό παραµέτρων. Λόγω της µεγάλης αβεβαιότητας των παραµέτρων που επηρεάζουν τη συµπεριφορά των κατασκευών από τοιχοποιία, η αποτίµηση της τρωτότητας δε µπορεί να υλοποιηθεί σε όρους ντετερµινιστικής θεώρησης. Αντιθέτως, µία πιθανοτική προσέγγιση είναι περισσότερο κατάλληλη, ώστε να εφαρµοστεί στις περιπτώσεις κατά τις οποίες η απόκριση της κατασκευής εκτιµάται και συγκρίνεται µε οριακές καταστάσεις, όπως συγκεκριµένες οριακές τιµές ποσοτήτων απόκρισης που σχετίζονται άµεσα µε τις δοµικές βλάβες. Λαµβάνοντας υπόψη τις παραπάνω ιδιαιτερότητες, η παρούσα εργασία, παρουσιάζει µια αναλυτική µεθοδολογία για την εκτίµηση της σεισµικής τρωτότητας των ιστορικών/µνηµειακών κατασκευών από τοιχοποιία λαµβάνοντας υπόψη τον πιθανοτικό 3

32 χαρακτήρα των παραµέτρων που υπεισέρχονται στο πρόβληµα µέσω της ανάπτυξης αναλυτικών καµπυλών θραυστότητας (fragility curves). Η όλη µεθοδολογία παρουσιάζεται διεξοδικά και σε βάθος µέσω της παρουσίασης της εφαρµογής αυτής σε µια πραγµατική κατασκευή. Η εργασία αποτελείται από 7 κεφάλαια (συµπεριλαµβανοµένου του παρόντος πρώτου κεφαλαίου της εισαγωγής) και τη βιβλιογραφία. Στο δεύτερο κεφάλαιο µε στόχο µια αποτελεσµατική και συνάµα αξιόπιστη µαθηµατική προσοµοίωση της συµπεριφοράς της τοιχοποιίας παρουσιάζεται αναλυτικά και σε βάθος η διατύπωση ενός µαθηµατικού µακροπροσοµοιώµατος το οποίο και λαµβάνει υπόψη την έντονα ανισότροπη συµπεριφορά της τοιχοποιίας. Ειδικότερα, µε χρήση της µεθόδου των πεπερασµένων στοιχείων (Finite Element Method) προτείνεται ένα ορθότροπο πεπερασµένο στοιχείο για την µακρο-προσοµοίωση του υλικού της τοιχοποιίας. Με βάση το προτεινόµενο ορθότροπο πεπερασµένο στοιχείο αναπτύχθηκε κώδικας σε περιβάλλον Matlab. Κατά την ανάπτυξη του λογισµικού δόθηκε ιδιαίτερη έµφαση στη χρήση σύγχρονων τεχνικών, τόσο για την αποθήκευση του µητρώου δυσκαµψίας όσο και για την επίλυση του συστήµατος ισορροπίας. Επιπρόσθετα, κατεβλήθει ιδιαίτερη προσπάθεια µε στόχο τη βέλτιστη και συνάµα εύγλωττη απεικόνιση της αναπτυσσόµενης έντασης. Στο τρίτο κεφάλαιο παρατίθενται τόσο τα κλασικά κριτήρια αστοχίας, που αποτελούν τη βάση της αντοχής των υλικών, όσο και πειραµατικές εργασίες και αναλυτικές προσεγγίσεις της διεθνούς βιβλιογραφίας που µελετούν συγκεκριµένους τύπους του 4

33 υλικού φέρουσα τοιχοποιία και έχουν προτείνει εµπειρικά και αναλυτικά κριτήρια αστοχίας για αυτό το ιδιαίτερο υλικό. Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζεται ο αναλυτικός προσδιορισµός της επιφάνειας αστοχίας µίας κανονικής ανισότροπης (ορθότροπης) τοιχοποιίας υπό διαξονική ένταση. Ο προσδιορισµός της επιφάνειας αστοχίας γίνεται µε χρήση ενός κυβικού τανυστικού πολυωνύµου (Cubic Tensor Polynomial ) τόσο σε απλοποιηµένη όσο και σε γενικευµένη µορφή. Ο προσδιορισµός δε των συντελεστών αυτού επιτυγχάνεται µε χρήση της µεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων (Least Square Method) και πειραµατικών δεδοµένων της βιβλιογραφίας. Σε υλοποίηση του προτεινόµενου κριτηρίου αναπτύχθηκε κατάλληλο λογισµικό το οποίο και ενσωµατώθηκε στο πρόγραµµα ανάλυσης κατασκευών από τοιχοποιία MAFEA το οποίο και παρουσιάζεται στο δεύτερο κεφάλαιο. Στο πέµπτο κεφάλαιο παρουσιάζεται διεξοδικά το µαθηµατικό υπόβαθρο της ανάλυσης θραυστότητας των κατασκευών. Εδικότερα, µε στόχο την αξιολόγηση της σεισµικής τρωτότητας των ιστορικών κατασκευών από τοιχοποιία, παρουσιάζονται βήµα προς βήµα τα στάδια για την κατασκευή των καµπυλών θραυστότητας. Μάλιστα η παρουσίαση της µεθοδολογίας πραγµατοποιήται µέσω της ανάπτυξης αναλυτικών καµπυλών θραυστότητας για την περίπτωση ενός επίπεδου τοίχου τοιχοποιίας µε ανοίγµατα. Στο έκτο κεφάλαιο παρουσιάζεται µία µεθοδολογία αποτίµησης της σεισµικής τρωτότητας και αποκατάστασης των µνηµειακών κατασκευών. Η όλη µεθοδολογία παρουσιάζεται διεξοδικά και σε βάθος µέσω της παρουσίασης της εφαρµογής αυτής σε µια πραγµατική µνηµειακή κατασκευή από τοιχοποιία όπως είναι η Μονή Καισαριανής. 5

34 Στο έβδοµο κεφάλαιο συνοψίζονται τα κυριότερα συµπεράσµατα της µεταπτυχιακής εργασίας και στο τέλος παρουσιάζεται η βιβλιογραφία που χρησιµοποιήθηκε για την υποστήριξή της. 6

35 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ: ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΤΟΙΧΟΠΟΙΙΑΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ 2.1 Εισαγωγή Όπως ήδη αναφέρθηκε η τοιχοποιία είναι ένα υλικό πολυφασικό και πολύµορφο το οποίο και επιδεικνύει έντονα ανισότροπη (ορθότροπη) και συνάµα ψαθυρή συµπεριφορά. Μια αποτελεσµατική και συνάµα αξιόπιστη µαθηµατική προσοµοίωση της συµπεριφοράς αυτού στόχο θα πρέπει να έχει την προσοµοίωση αυτών των ιδιαιτεροτήτων. Τις τελευταίες τέσσερις δεκαετίες, παράλληλα µε την εξέλιξη των υπολογιστών έχουν προταθεί σειρά µεθόδων και τεχνικών για την προσοµοίωση των κατασκευών από τοιχοποιία. Το σύνολο αυτών των µεθόδων µπορεί να ταξινοµηθεί σε τρεις κατηγορίες η παρουσίαση των οποίων θα επιχειρηθεί αµέσως παρακάτω µε βάση τη χρονολογική εµφάνιση και εξέλιξη αυτών. Μακροπροσοµοιώµατα (MacroModels) όπου η τοιχοποιία θεωρείται ως ένα µονοφασικό υλικό (one-phase material). Με βάση αυτή την τεχνική/µεθοδολογία τόσο τα λιθοσώµατα (λίθοι/πλίνθοι) όσο και το κονίαµα και η διεπιφάνεια (interface) λιθοσωµάτων / κονιάµατος θεωρούνται ως ένα οµογενές υλικό Σχήµα 2.1.1(β). Δηλαδή, δεν υιοθετείται καµία διαφοροποίηση µεταξύ µεµονωµένων λιθοσωµάτων και αρµών, µε αποτέλεσµα η τοιχοποιία να θεωρείται ως ένα οµογενές είτε ισότροπο είτε ανισότροπο συνεχές µέσο. Η συγκεκριµένη διαδικασία έχει γίνει ευρέως αποδεκτή και ενδείκνυται κυρίως για την προσοµοίωση πραγµατικής κλίµακας κατασκευών από τοιχοποιία, ενώ δεν είναι κατάλληλη για λεπτοµερή προσοµοίωση, καθώς δεν είναι δυνατόν να ληφθούν υπόψη όλοι οι πιθανοί µηχανισµοί αστοχίας. Απλοποιηµένα Μικροπροσοµοιώµατα (Simplified MicroModels) όπου η τοιχοποιία θεωρείται ως ένα διφασικό υλικό (two-phase material). Με βάση αυτή την τεχνική τα λιθοσώµατα προσοµοιώνονται ως συνεχή στοιχεία µε το ίδιο µέγεθος µε αυτό των αρχικών λιθοσωµάτων συν το πραγµατικό πάχος των αρµών. Το συνδετικό κονίαµα, προσοµοιώνεται ως διεπιφάνεια µε µηδενικό πάχος, όπως φαίνεται στο Σχήµα (γ). Η δυσκαµψία της διεπιφάνειας συνάγεται από την δυσκαµψία των πραγµατικών αρµών. Σύµφωνα µε την ενδιάµεση αυτή θεώρηση, το κονίαµα και η διεπιφάνεια αρµών/κονιάµατος θεωρούνται ένα υλικό, ενώ διευρυµένα στοιχεία χρησιµοποιούνται για να 7

36 αναπαραστήσουν τους πλίνθους (τοιχοποιία ως υλικό δύο φάσεων). Η συγκεκριµένη προσέγγιση µειώνει το υπολογιστικό κόστος, ενώ το αντίστοιχο προσοµοίωµα εφαρµόζεται σε πολύ ευρύτερο φάσµα κατασκευών. Λεπτοµερή Μικροπροσοµοιώµατα (Detailed MicroModels) όπου η τοιχοποιία θεωρείται ως ένα τριφασικό υλικό (three-phase material). Με βάση αυτή την τεχνική γίνεται χρήση διαφορετικών προσοµοιωµάτων τόσο για τα υλικά που απαρτίζουν την τοιχοποιία όσο και για τη διεπιφάνεια λιθοσώµατος/κονιάµατος Σχήµα (δ). Η εν λόγω µεθοδολογία οδηγεί σε περισσότερο αξιόπιστα αποτελέσµατα αλλά ταυτόχρονα αφενός η πολυπλοκότητα αυτής καθώς και η απαίτηση ισχυρών υπολογιστικών µονάδων καθιστά τη χρήση της περιορισµένη. (α) (β) (γ) (δ) Σχήµα 2.1.1: Μαθηµατικά προσοµοιώµατα τοιχοποιίας: α) Τοιχοποιία, β) Μακροπροσοµοίωµα, γ) Απλοποιηµένο Μικροπροσοµοίωµα, δ) Λεπτοµερές Μικροπροσοµοίωµα 8

37 Με στόχο µια αποτελεσµατική και συνάµα αξιόπιστη µαθηµατική προσοµοίωση της συµπεριφοράς της τοιχοποιίας στις αµέσως επόµενες ενότητες παρουσιάζεται αναλυτικά και σε βάθος η διατύπωση ενός µαθηµατικού µακροπροσοµοιώµατος το οποίο και λαµβάνει υπόψη την έντονα ανισότροπη συµπεριφορά της τοιχοποιίας. Ειδικότερα, µε χρήση της µεθόδου των πεπερασµένων στοιχείων (Finite Element Method) προτείνεται ένα ορθότροπο πεπερασµένο στοιχείο για τη µακρο-προσοµοίωση του υλικού της τοιχοποιίας. 2.2 Μακροσκοπική Θεώρηση του Υλικού Θεωρούµε ότι το υλικό του στοιχείου είναι οµογενές, συνεχές και επί πλέον ανισότροπο (ορθότροπο) δηλαδή θεωρούµε ότι το υλικό εµφανίζει διαφορετικό µέτρο ελαστικότητας κατά τη διεύθυνση x (E x ) και διαφορετικό κατά τη διεύθυνση y (E y ). Οπότε στην περίπτωση της επίπεδης εντατικής κατάστασης θεωρώντας ότι οι δύο άξονες ορθοτροπίας του στοιχείου συµπίπτουν µε τους x, y το µητρώο ελαστικών σταθερών (Ε) είναι: E = 1 E ' ν *' E * 0 ν '* E ' 1 E * G '* [2.2.1] Θέτοντας τώρα στη σχέση [2.2.1] Ε x =E y και ν xy =ν yx προκύπτει εύκολα το µητρώο των ελαστικών σταθερών (Ε) για το ισότροπο υλικό. 9

38 2.3 Ορθογωνικό Πεπερασμένο Στοιχείο Θεωρείται το απλό ορθογωνικό στοιχείο του Σχήµατος Οι µετατοπίσεις κάθε κόµβου i (i=1,2,3,4) έχουν δύο συνιστώσες. Επιπλέον λαµβάνεται το τοπικό σύστηµα x1y. y,v v4 v3 4 u4 3 u3 b (e) β=b/a 1 v1 2 v2 x,u u1 a u2 Σχήµα 2.3.1: Απλό ορθογωνικό στοιχείο. Οι οκτώ συνιστώσες των µετατοπίσεων του στοιχείου (e) γράφονται µε τη µορφή µητρώου διανύσµατος ως εξής: D. = D / D 0 D 1 D 2 [2.3.1] Όπου: D 3 = u 3 v 3, i = 1,2,3,4 [2.3.2] Εφόσον το στοιχείο (e) έχει οκτώ βαθµούς ελευθερίας (2 βαθµοί σε κάθε κόµβο) το πεδίο των µετατοπίσεων στο τοπικό σύστηµα είναι: 10

39 u x, y = a / + a 0 x + a 1 xy + a 2 y v x, y = a 9 + a : x + a ; xy + a < y [2.3.3] ή σε µητρωική µορφή: D x, y = u(x, y) v(x, y) = 1 x xy y x 0 xy 0 y a / a 0 a 1 a 2 a 9 a : a ; a < [2.3.4] ή D x, y = M x, y a [2.3.5] Αντικαθιστώντας στην [2.3.5] όπου x, y τις συντεταγµένες των κόµβων προκύπτει ότι: u / v / u 0 v 0 u 1 v 1 u 2 v 2 = a a ab a b a b ab b b a / a 0 a 1 a 2 a 9 a : a ; a < [2.3.6] ή D. = Aa [2.3.7] Λύνοντας ως προς a την [2.3.6] προκύπτει: 11

40 a / a 0 a 1 a 2 a 9 a : a ; a < = a 0 1 a 1 ab a 1 a b 1 b a ab b ab b 1 a 1 a b ab a b 1 b a b 1 b u / v / u 0 v 0 u 1 v 1 u 2 v 2 [2.3.8] Θεωρούµε τις αδιάστατες συντεταγµένες: j = x a, n = y b [2.3.9] Αντικαθιστώντας στην [2.3.4] τις [2.3.9] προκύπτει: D j, n = u(j, n) v(j, n) = 1 ja abjn nb ja 0 abjn 0 nb a / a 0 a 1 a 2 a 9 a : a ; a < [2.3.10] Αντικαθιστώντας τώρα στην [2.3.10] το διάνυσµα a από την [2.3.8] προκύπτει: D j, n = (1 j)(1 n) 0 (1 n)j 0 (1 j)(1 n) 0 0 jn 0 (1 n)j 0 jn (1 j)n 0 0 (1 j)n u / v / u 0 v 0 u 1 v 1 u 2 v 2 [2.3.11] Παρατηρείται ότι οι µετατοπίσεις u και v µεταβάλλονται γραµµικά κατά µήκος των πλευρών του ορθογωνίου. Εφόσον λοιπόν υπάρχει συµβιβαστότητα των κοµβικών µετατοπίσεων των κοινών κορυφών δύο στοιχείων σε επαφή θα υπάρχει συµβιβαστότητα µετατοπίσεων και στην κοινή πλευρά τους. Άρα το πεδίο των µετατοπίσεων είναι 12

41 κινηµατικά αποδεκτό και επιπλέον οι µετατοπίσεις είναι συνεχείς στις κοινές πλευρές των στοιχείων. Το πεδίο των παραµορφώσεων ορίζεται ως: ε = ε '' ε ** γ '* ϑ G (x, y) ϑ ' ϑ H (x, y) ϑ * ϑ G (x, y) ϑ * + ϑ H(x, y) ϑ ' = 1 b ϑ G (j, n) ϑ K 1 θ G (j, n) a ϑ J 1 ϑ H (j, n) b ϑ K + 1 a ϑ H (j, n) ϑ J [2.3.12] ε '' ε ** γ '* = (1 n) 0 a (1 j) 0 b (1 j) 1 n b a (1 n) a 0 0 j b j (1 n) b a n a 0 j b 0 j b n a n a 0 (1 j) b 0 (1 j) b n a u / v / u 0 v 0 u 1 v 1 u 2 v 2 [2.3.13] ή σε µητρωική µορφή ε = BD. [2.3.14] Το πεδίο των τάσεων δίνεται από τη σχέση σ = εe = EBD. [2.3.15] για το πεδίο όµως των παραµορφώσεων ισχύει: ε xx ε yy γ xy = 1 E ' ν '* ν '* E * 0 E ' 1 E * G '* σ '' σ ** σ '* 13

42 οπότε: E = 1 E ' ν '* ν *' E * 0 E ' 1 E * G '* O/ E = E 'E * G '* 1 ν '* ν *' 1 ν *' 0 E * G '* E * G '* ν '* 1 0 E ' G '* E ' G '* ν '* ν *' E ' E * [2.3.16] Για να πλησιάσουµε τους συµβολισµούς του ισότροπου υλικού, εισάγουµε τα µεγέθη Ε και ν τα οποία ορίζουµε µε τις ισότητες: E = (E ' E * ) / 0, ν = (ν '* ν *' ) / 0 [2.3.17] µε χρήση των σχέσεων [2.3.17] η [2.3.16] γράφεται: E = E0 G '* 1 ν 0 1 ν '* 0 E * G '* E * G '* ν '* 1 0 E ' G '* E ' G '* ν 0 E 0 [2.3.18] µε χρήση τώρα της [2.3.18] η [2.3.15] γράφεται: σ = EBD. = ND. [2.3.19] 14

43 όπου: N = E B (1 n) ae * G '* (1 j)ν *' be * G '* (1 n) ae * G '* jν *' be * G '* n ae * G '* jν *' be * G '* n ae * G '* (1 j)ν *' be * G '* N = E0 G '* 1 ν 0 (1 n)ν '* (1 j) ae ' G '* be ' G '* (1 n)ν '* ae ' G '* j be ' G '* nν '* ae ' G '* j be ' G '* nν '* ae ' G '* (1 j) be ' G '* (1 j)(1 ν0 ) (1 n)(1 ν0 ) j(1 ν0 ) be 0 ae 0 be 0 (1 n)(1 ν 0 ) j(1 ν 0 ) n(1 ν 0 ) ae 0 be 0 ae 0 (1 j)(1 ν 0 ) n(1 ν0 ) be 0 ae 0 [2.3.20] 2.4 Υπολογισμός του Μητρώου Δυσκαμψίας ορθογωνικού στοιχείου Στην περίπτωση των ραβδωτών κατασκευών ανάλογα µε το είδος του στοιχείου (ράβδος δικτυώµατος, δοκός σε επίπεδη κάµψη, δοκός στο χώρο κλπ) προκύπτουν αναλυτικά, κάνοντας χρήση των απλών θεωρηµάτων της αντοχής υλικών, το µητρώο δυσκαµψίας (Stiffness Matrix) και οι δράσεις στους κόµβους. Στην περίπτωση όµως επιφανειακών φορέων το µητρώο δυσκαµψίας του στοιχείου δεν µπορεί να προκύψει αναλυτικά από τη µορφή του στοιχείου. Γι αυτό καταφεύγουµε σε κάποια προσέγγιση του πεδίου µετατοπίσεων του στοιχείου που εξαρτάται απ το σχήµα του στοιχείου, τον αριθµό των κόµβων καθώς και τον αριθµό των κοµβικών παραµέτρων, δηλαδή από την επιλογή των συναρτήσεων σχήµατος. Μετά την προσέγγιση αυτή το µητρώο δυσκαµψίας καθώς και οι δράσεις στους κόµβους µπορούν να προκύψουν µε χρήση της αρχής των δυνατών έργων στο στοιχείο. Αποµονώνουµε λοιπόν από την κατασκευή το στοιχείο του Σχήµατος Αυτό µετά τη φόρτιση και παραµόρφωση της κατασκευής θα ισορροπεί στην τελική του θέση, υπό 15

44 την επενέργεια των οκτώ επικόµβιων δράσεων Ρ 1, Ρ 2, Ρ 3, Ρ 4, Ρ 5, Ρ 6, Ρ 7 και Ρ 8 της κατασκευής επάνω στο αποκοπτόµενο αυτό στοιχείο. Οι µαζικές δυνάµεις δε λαµβάνονται υπόψη και όταν δεν υπάρχουν θεωρούνται κατά προσέγγιση σαν επικόµβια εξωτερικά φορτία του δικτύου των πεπερασµένων στοιχείων. y P8 P6 P7 4 3 P5 (e) P1 1 2 P3 P2 P4 Σχήµα 2.4.1: Ένα επίπεδο ορθογωνικό στοιχείο (e) και τα επικόµβια φορτία µε τα οποία καταπονείται. Οι οκτώ πιο πάνω επικόµβιες δυνάµεις (δύο για κάθε κόµβο) θεωρώντας προς στιγµή τη θερµοκρασία του δικτύου σταθερή και αφού βρισκόµαστε στο χώρο της γραµµικής ελαστικότητας των µικρών παραµορφώσεων και άρα ισχύει η αρχή της επαλληλίας, θα εκφράζονται σαν γραµµικές συναρτήσεις των οκτώ µετατοπίσεων u 1, v 1, u 2, v 2, u 3, v 3, u 4, v 4 µε τη µορφή: x P. = K. D. [2.4.1] όπου K e παριστάνει το «µητρώο δυσκαµψίας» του στοιχείου (e). Για τον υπολογισµό των 64 στοιχείων του µητρώου δυσκαµψίας K e και τη διατύπωση της τελικής εξίσωσης που συνδέει τις δυνάµεις Ρ e µε τις αντίστοιχες µετατοπίσεις D e 16

45 εφαρµόζουµε διαδοχικά την αρχή των δυνατών έργων για φόρτιση αυτή του Σχήµατος και δυνατές παραµορφώσεις διαδοχικά τις παραµορφώσεις του Σχήµατος K81 K61 K82 K62 K K51 K K52 1' K K31 K K32 K21 1' K41 K22 K42 K83 K63 K84 K64 K K53 K K54 2' K K33 K K34 2' K23 K43 K24 K44 K66 K85 K65 K86 3' 3' K K55 K K56 K K35 K K36 K25 K45 K26 K46 K88 K87 K67 4' K68 4' K K57 K K58 K K37 K K38 K27 K47 K28 K48 Σχήµα 2.4.2: Ένα επίπεδο ορθογωνικό στοιχείο (e) και τα επικόµβια φορτία µε τα οποία καταπονείται. 17

46 Εφαρµόζοντας την αρχή των δυνατών έργων και δεδοµένου ότι τα σ και ε είναι σταθερά στο εσωτερικό του στοιχείου (e) προκύπτουν οι πιο κάτω εκφράσεις: P /. δ /. = ε / U δ / σ dv X Y P <. δ <. = ε < U δ < σ dv X Y ή σε µητρωική µορφή: P 3. δ Z. = ε U 3 δ 3 σ dv, i = 1, 8 [2.4.2] X Y Θέτοντας δ i = 1 η πιο πάνω σχέση [2.4.2] γράφεται ισοδύναµα: P 3. = ε U 3 σ dv, i = 1, 8 [2.4.3] X Y Όπου ε 3 [ = ε '' 3 ε ** 3 γ '* 3, ο πίνακας των συµβιβαστών ανηγµένων παραµορφώσεων µε τη µοναδιαία µετατόπιση και σ = σ '' σ ** σ '*, oι τάσεις που υπάρχουν από τη φόρτιση όλων των δυνάµεων [Ρ]. Αξίζει εδώ να υπενθυµίσουµε τη σχέση [2.3.14] η οποία είναι: ε = BD. 18

47 Παρατηρούµε τώρα ότι αν η θεώρηση είναι σωστή για δ 3 = D 3 = 1 και δ J = D J = 0 (i j) ο πίνακας ε 3 ισούται µε την i στήλη του [Β] οπότε ισχύει: ε = B [2.4.4] µε χρήση των σχέσεων [2.4.4] και [2.3.19] η σχέση [2.4.3] γράφεται ισοδύναµα: P. = B. [ N. D. dv X Y [2.4.5] Εξισώνοντας τώρα τα δεύτερα µέλη των ισοδύναµων σχέσεων [2.4.1] και [2.4.5] προκύπτει: K. = B [ N dv X Y [2.4.6] Η πιο πάνω σχέση [2.4.6] είναι η ζητούµενη σχέση ορισµού του µητρώου δυσκαµψίας του στοιχείου (e). 19

48 B " N = (1- n) - a (1- n) a n a n a 0 (1- j) - b j b 0 j b (1- j) b (1- j) - b (1- n) - a j - b (1- n) a j b n a (1- j) b n - a 1 n ae * G,* 1 j ν *, be * G,* 1 n ν,* ae, G,* 1 n ae * G,* 1 j be, G,* 1 n ν,* ae, G,* 1 j 1 ν 0 1 n 1 ν 0 j 1 ν 0 be 0 ae 0 be 0 jν *, be * G,* j be, G,* nν,* ae, G,* n ae * G,* jν *, be * G,* j be, G,* 1 n 1 0 j 1 0 n 1 0 ae 0 be 0 ae 0 n ae * G,* 1 j *, be * G,* n,* ae, G,* 1 j be, G,* 1 j 1 0 n 1 0 be 0 ae ν 0 όπου E = (E, E * ) 8 0, ν = (ν,* ν *, )

49 Κάνοντας χρήση της σχέσης [2.4.6] εύκολα υπολογίζουµε τις αναλυτικές εκφράσεις που µας δίνουν τα 64 στοιχεία του µητρώου δυσκαµψίας του απλού ορθογωνικού στοιχείου (e). π.χ. Κ "" # = % & ' () ("*/) & + "*3 & ("*+ & ) dv, - "*+ & 1 & % ) ' () 4 & % & όµως dv = dxdydt dx = adj dv = abdjdndt dy = bdn Κ # "" = E? G G AB ab dt 1 ν? H " dj H H " (1 n)? a? + 1 j? (1 ν? ) E B G AB b? E? dn = E? G " AB tab dj 1 ν? H H " (1 n)? a? + 1 j? (1 ν? ) E B G AB b? E? dn " = E? G AB 1 ν? tab dj n n? + n J 3 a? + 1 j? (1 ν? ) E B G AB b? E? H " H = E? G AB 1 ν? tab 1 3a? + 1 j? 1 ν? E B G AB b? E? H " dj = E? G AB 1 ν? tab j 3a? + (j j? + j J 3) 1 ν? E B G AB b? E? " H = E? G AB 1 ν? tab 1 3a? + 1 ν? E B G AB 3b? E? 21

50 = E? G AB 1 ν? t b + 1 ν? a 3aE B G AB 3bE? Θέτοντας β = b a προκύπτει: Κ "" # = E? G AB t 1 ν? β 3E B G AB + 1 ν? 3βE? [2.4.7] Οµοίως: é 2 ( )( ) ( 1- j)( 1-n)( 1- ν ) 2 e EGxy 1-n 1-j νxy K 12 = ò e V 2 ê + dv 2 ú 1- ν abexgxy abe êë 2 ( )( ) ( 1- j)( 1-n)( 1- ν ) 2 EGxy t 1 1é 1-n 1-j ν ù xy = ab dt dj + dn ν ò ò ò ê ú ê abexgxy abe ë úû 2 ( )( ) ( 1- j)( 1-n)( 1- ν ) 2 EGxy 1 1é 1-n 1-j ν ù xy = tab dj + dn ν ò ò ê ú ê abexgxy abe ë úû ù úû ( n-n /2)( 1-j) ν ( n-n /2)( 1-j)( 1-ν ) 1 2 EGxy 1 xy ν ò abexg xy abe = tab dj + 2 ( 1-j) ν ( 1- j)( 1- ν ) 2 EGxy 1æ ö xy = tab + dj ν ò ç 2abExGxy 2abE è ø ( j- j /2) ν ( )( ) 1 xy j- j /2 1-ν 2 EGxy ν 2abExGxy 2abE = tab

51 2 ( 1-ν ) 2 EG æ xy ν ö xy = tab ν ç 4abExG xy 4E è ø 2 ( 1-ν ) 2 EG æ xy ν ö xy = t ν ç 4ExG xy 4E è ø Θέτοντας T = ν xy E x G xy προκύπτει: 2 ( 1- ν ) 2 EGxyt æλ ö K 12 = ν ç 4 4E è ø [2.4.8] 23

52 Ακολουθώντας ίδια διαδικασία και για τα υπόλοιπα στοιχεία προκύπτει το µητρώο δυσκαµψίας του απλού ανισότροπου ορθογωνικού στοιχείου (Σχέση[2.4.9]). é 2 ù ê β 1-ν + ú ê 3E 2 yg 3β E ú ê ú ê ú ê l 1-ν 2 1 β(1-ν 2 ) ú ê βΕ 2 ú ê E xg 3E ú ê ú ê -β 1-ν 2 -l 1-ν 2 β 1-ν 2 ú ê ú ê 3E G E G 2 y 6βE 4E y 3βE ú ê ú ê 1-ν 2 1 β(1-ν 2 ) 1-ν 2 1 β(1-ν 2 ú ê l -l ) ú ê βΕ e 4 xg βΕxG ú E Gt ê E E E 3E ú [Κ ]= 2 = 1-ν ê ú ê -β 1-ν 2 -l 1-ν 2 β 1-ν 2 -l 1-ν 2 β 1-ν 2 ú ê ú ê 6E G E G 2 4 y 6βE 4E y 3βE 4E 2 3E G 2 y 3β E ú ê ú ê 1-ν 2 1 β(1-ν 2 ) 1-ν 2 1 β(1-ν 2 ) 1-ν 2 1 β(1-ν 2 ú ê -l - l - l ) ú ê 4 4E 2 6βΕ xg 6E 4 4E 3βΕxG 6E 4 4E 3βΕxG 3E ú ê ú ê β 1-ν 2 l 1-ν 2 -β 1-ν 2 l 1-ν 2 -β 1-ν 2 -l 1-ν 2 β 1-ν 2 ú ê ú ê E G E G E G E G 2 ú ê y 3βE 4E y 6βE 4E y 6βE 4E y 3βE ú ê ú ê - l 1-ν 2-1 β(1-ν 2 ) l 1-ν 2-1 β(1-ν 2 ) l 1-ν 2 1 β(1-ν 2 ) -l 1-ν 2 1 β(1-ν 2 ) ú ê ú ê 4 4E 2 3βΕ xg βΕxG βΕxG βΕxG ë E E E E E E 3E ú û [2.4.9] Όπου β = b a, E = (E ' E ( ) * +, - = (- '( - (' ) * +,. = - /0 1 / 2 0/ = - 0/ /, G = G '( 24

53 2.5 Μητρώο Στροφής Ορθογωνικού Στοιχείου Θεωρούµε το απλό ορθογωνικό στοιχείο του Σχήµατος καθώς επίσης και το καθολικό σύστηµα συντεταγµένων!οy. y φ (y2-y1) (x2-x1) x Σχήµα 2.5.1: Απλό ορθογωνικό στοιχείο σε τυχαία θέση ως προς το καθολικό σύστηµα συντεταγµένων xοy. Στο καθολικό σύστηµα συντεταγµένων το µητρώο δυσκαµψίας του στοιχείου (e) δίνεται από τη σχέση: K & = a ) * K & a ) [2.5.1] όπου, a 1 είναι το µητρώο στροφής που στη γενικότερη µορφή του, δηλαδή όταν τα δύο συστήµατα συντεταγµένων είναι εντελώς τυχαία, δίνεται από τη σχέση: α ) = t t t t [2.5.2] Όπου: 25

54 t = 1 / m / n / 1 2 m 2 n 2 [2.5.3] και (l /, m /, n / ), (l 2, m 2, n 2 ) τα διευθύνοντα συνηµίτονα των αξόνων x, y, z ως προς το καθολικό σύστηµα συντεταγµένων x, y, z. Στην περίπτωση που το επίπεδο (x, y) είναι παράλληλο προς το (x, y) τότε: t = 1 m m 1 [2.5.4] όπου: 1 = cosφ = x < x ) a m = sinφ = y < y ) a [2.5.5] µε φ τη γωνία που σχηµατίζει η διεύθυνση (Σχήµα 2.5.1) της πλευράς (12) του ορθογωνικού στοιχείου µε τον άξονα x του καθολικού συστήµατος. 2.6 MAFEA - Κώδικας Πεπερασμένων Στοιχείων για Ανάλυση Τοιχοποιίας Στην ενότητα αυτή παρουσιάζεται το πρόγραµµα πεπερασµένων στοιχείων MAFEA: (MA)sonry (F)inite (E)lement (A)nalysis, το οποίο αναπτύχθηκε σε κώδικα Matlab, για τη γραµµική ανάλυση τοιχωµάτων σε επίπεδη εντατική κατάσταση, λαµβάνοντας υπόψη την ανισότροπη συµπεριφορά των υλικών τοιχοποιίας. 26

55 Το πρόγραµµα κάνοντας χρήση των απλών ορθογωνικών στοιχείων και δηµιουργώντας τα µητρώα δυσκαµψίας αυτών, όπως αναφέρθηκαν στην προηγούµενη ενότητα, υπολογίζει τάσεις και δηµιουργεί ισοτασικές καµπύλες για τον φορέα, σε όρους κύριων και ορθών τάσεων. Επιπλέον προσδιορίζει το είδος της έντασης σε όρους κύριων και ορθών τάσεων καθώς και τον τύπο, τη θέση και την έκταση των αστοχιών της τοιχοποιίας, σχεδιάζοντας µε διαφορετικό χρώµα τις επιφάνειες αυτές, για διαξονική θλιπτική καταπόνηση (θλίψη / θλίψη), για διαξονική ετερόσηµη ένταση (θλίψη / εφελκυσµός ή εφελκυσµός / θλίψη) και για διαξονική εφελκυστική ένταση (εφελκυσµός / εφελκυσµός). Για τον προσδιορισµό της αστοχίας γίνεται χρήση τεσσάρων διαφορετικών κριτηρίων αστοχίας, τα οποία έχουν χρησιµοποιηθεί από πολλούς ερευνητές και παρουσιάζονται αναλυτικά στα επόµενα κεφάλαια. Με βάση τα αποτελέσµατα αυτά, για κάθε κριτήριο αστοχίας, προσδιορίζονται οι δείκτες βλαβών, για µια σειρά εδαφικών επιταχύνσεων και αντοχών εφελκυσµού τοιχοποιίας, µε τους οποίους κατασκευάζονται οι καµπύλες θραυστότητας, που συντελούν στην ποσοτική εκτίµηση της τρωτότητας της κατασκευής. Για τον υπολογισµό των µετακινήσεων χρησιµοποιούνται τρεις διαφορετικές µέθοδοι επίλυσης του συστήµατος των γραµµικών εξισώσεων: Επίλυση µε αντιστροφή µητρώου (Matrix Inversion) Επίλυση µε τη µέθοδο απαλοιφής Gauss (Gaussian Elimination Method) Επίλυση µε χρήση µητρώου µισού εύρους ζώνης (Half Bandwidth Method) H ανάλυση πεπερασµένων στοιχείων συχνά οδηγεί σε µητρωικές εξισώσεις στις οποίες τα µητρώα που εµπλέκονται είναι πολύ µεγάλα και συµµετρικά. Αυτό έχει ως 27

56 αποτέλεσµα τη χαµηλή υπολογιστική αποδοτικότητα καθώς απαιτείται µεγάλη υπολογιστική µνήµη και χρόνος επίλυσης. Η απαίτηση σε υπολογιστική µνήµη και χρόνο µπορεί να µειωθεί σηµαντικά µε χρήση της µεθόδου Half Bandwidth η οποία αποθηκεύει µόνο τα στοιχεία του µισού εύρους ζώνης και όχι ολόκληρου του πίνακα όπως φαίνεται στα µητρώα των παρακάτω Σχηµάτων και éa11 A12 A ê ê A22 A23 A24 ê ê A33 A34 A35 0 ê ê A A A ê ê Symmetric A A ê êë A ù ú ú ú ú ú ú ú ú ú úû Σχήµα 2.6.1: Συµµετρικό µητρώο. éa A A ê êa A A ê êa A A ê êa A A ê êa55 A56 0 ê êëa ù ú ú ú ú ú ú ú ú ú úû Σχήµα 2.6.2: Μητρώο Half Bandwidth. Στον παρακάτω Πίνακα προσδιορίζεται ο συνολικός αριθµός των στοιχείων των µητρώων διαστάσεων nxm και για τις τρεις µεθόδους επίλυσης του συστήµατος των γραµµικών εξισώσεων και υπολογίζεται η µείωση της απαιτούµενης υπολογιστικής 28

57 µνήµης µε τη χρήση της µεθόδου Half Bandwidth και τα οποία απεικονίζονται στα Σχήµατα και αντίστοιχα. Πίνακας 2.6.1: Απαιτούµενη υπολογιστική µνήµη των τριών µεθόδων επίλυσης. n m Finite Elements DOF hbw 29 Elements of Global Stiffness Matrix ( E+06) Matrix Inversion Gaussian Elimination Method Half Bandwidth Reduction

58 Σχήµα 2.6.3: Συνολικός αριθµός στοιχείων των τριών µεθόδων επίλυσης. Σχήµα 2.6.4: Μείωση της απαιτούµενης υπολογιστικής µνήµης µε χρήση της µεθόδου Half Bandwidth. 30

59 Στον ακόλουθο Πίνακα φαίνονται ο χρόνος επίλυσης των µητρώων καθώς και ο συνολικός χρόνος επίλυσης του προγράµµατος, για κάθε µητρώο διαστάσεων nxm και για τις τρεις µεθόδους επίλυσης του συστήµατος των γραµµικών εξισώσεων και τα οποία απεικονίζονται στα Σχήµατα και αντίστοιχα. Πίνακας 2.6.2: Απαιτούµενη υπολογιστική µνήµη των τριών µεθόδων επίλυσης. Matrix Solution Time (s) Total Time (s) n m Matrix Inversion Gaussian Elimination Method Half Bandwidth Matrix Inversion Gaussian Elimination Method Half Bandwidth

60 Σχήµα 2.6.5: Χρόνος επίλυσης µητρώων για κάθε µέθοδο. Σχήµα 2.6.6: Συνολικός χρόνος επίλυσης προγράµµατος για κάθε µέθοδο. 32

61 2.7 Εφαρμογή του προγράμματος MAFEA Με στόχο την αξιολόγηση του προγράµµατος πεπερασµένων στοιχείων MAFEA: (MA)sonry (F)inite (E)lement (A)nalysis στην παρούσα ενότητα παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα της προσοµοίωσης ενός επίπεδου τοίχου τοιχοποιίας. Ειδικότερα, επελέγει να µελετηθεί η συµπεριφορά του επιπέδου τοίχου τοιχοποιίας µε δυο ανοίγµατα του οποίου η γεωµετρία απεικονίζεται στο Σχήµα Τα µηχανικά δε χαρακτηριστικά του υλικού της τοιχοποιίας παρουσιάζονται στον Πίνακα Αξίζει να σηµειωθεί, ότι τα δεδοµένα αυτά είναι κλασσικά και αναφέρονται σε πειραµατική εργασία του Page η οποία πραγµατοποιήθηκε το 1981 (Page 1981) και τα αποτελέσµατα αυτής έχουν χρησιµοποιηθεί ευρέως από την πλειονότητα των ερευνητών που διερευνούν είτε σε πειραµατικό είτε σε αναλυτικό επίπεδο τη συµπεριφορά της τοιχοποιίας. Στα Σχήµατα έως και παρουσιάζονται διαδοχικά, για την περίπτωση φόρτισης µόνο ίδιου βάρους, η προσοµοίωση του τοίχου (Σχήµα 2.7.2), η παραµόρφωση αυτού (Σχήµα 2.7.3) και η αναπτυσσόµενη ένταση τόσο σε όρους ορθών τάσεων (Σχήµατα 2.7.4, και 2.7.6) όσο και σε όρους κυρίων τάσεων (Σχήµατα 2.7.7, και 2.7.9). Επιβεβαιώνεται η συµµετρία τόσο των παραµορφώσεων όσο και των ορθών τάσεων σ x, σ y (Σχήµατα και 2.7.5) και κυρίων τάσεων σ 1, σ 2 (Σχήµατα και 2.7.8). Επίσης επιβεβαιώνεται η αναµενόµενη ανισυµµετρία της διατµητικής τάσης τ (Σχήµα 2.7.6) και της γωνίας θ των κυρίων τάσεων (Σχήµα 2.7.9) δεδοµένου ότι υπάρχει συµµετρία τόσο ως προς τον φορέα της κατασκευής όσο και ως προς τη φόρτιση αυτής. 33

62 Στα Σχήµατα έως και παρουσιάζονται τα αντίστοιχα διαγράµµατα για την περίπτωση φόρτισης εκτός του ιδίου βάρους και σεισµού και µάλιστα για την περίπτωση µέγιστης σεισµικής επιτάχυνσης (Peak Ground Acceleration ) pga=0.16g. Επιπρόσθετα πραγµατοποιήθηκε έλεγχος της αξιοπιστίας και της εγκυρότητας του προγράµµατος πεπερασµένων στοιχείων MAFEA: (MA)sonry (F)inite (E)lement (A)nalysis, µέσω της σύγκρισης των αποτελεσµάτων αυτού µε αντίστοιχα αποτελέσµατα του λογισµικού SAP2000 V.14 για διάφορα παραδείγµατα τοίχων, επιβεβαιώνοντας την ορθότητα και την ακρίβειά τους. 5,00 m 1,50 2,00 1,50 2,00 2,00 2,00 10,00 m 2,00 2,00 Σχήµα 2.7.1: Παράδειγµα τοιχοποιίας για εφαρµογή προγράµµατος ΜAFEA. 34

63 Πίνακας 2.7.1: Μηχανικά χαρακτηριστικά τοιχοποιίας (Page 1981). Μέτρο Ελαστικότητας κατά τη διεύθυνση x E x = ΜPa Μέτρο Ελαστικότητας κατά τη διεύθυνση y Θλιπτική Αντοχή κατά τη διεύθυνση x Θλιπτική Αντοχή κατά τη διεύθυνση y Εφελκυστική Αντοχή κατά τη διεύθυνση x Εφελκυστική Αντοχή κατά τη διεύθυνση y Λόγος Poisson στο επίπεδο xy Λόγος Poisson στο επίπεδο yx E y = ΜPa f x c = ΜPa y f c = ΜPa f x t = 0.40 ΜPa y f t = 0.10 ΜPa n xy = 0.20 n yx = 0.20 Ειδικό Βάρος γ = 20 kn/m 3 Σχήµα 2.7.2: Απαραµόρφωτος φορέας τοιχοποιίας. 35

64 Σχήµα 2.7.3: Παραµορφωµένος φορέας τοιχοποιίας µόνο µε ίδιο βάρος (pga=0.00g). Σχήµα 2.7.4: Ισοτασικές καµπύλες ορθής τάσης σ x µόνο µε ίδιο βάρος (pga=0.00g). 36

65 Σχήµα 2.7.5: Ισοτασικές καµπύλες ορθής τάσης σ y µόνο µε ίδιο βάρος (pga=0.00g). Σχήµα 2.7.6: Ισοτασικές καµπύλες διατµητικής τάσης τ µόνο µε ίδιο βάρος (pga=0.00g). 37

66 Σχήµα 2.7.7: Ισοτασικές καµπύλες κύριας τάσης σ 1 (pga=0.00g). Σχήµα 2.7.8: Ισοτασικές καµπύλες κύριας τάσης σ 2 (pga=0.00g). 38

67 Σχήµα 2.7.9: Ισοτασικές καµπύλες γωνίας θ (pga=0.00g). Σχήµα : Απαραµόρφωτος φορέας τοιχοποιίας. 39

68 Σχήµα : Παραµορφωµένος φορέας τοιχοποιίας (pga=0.16g). Σχήµα : Ισοτασικές καµπύλες ορθής τάσης σ x (pga=0.16g). 40

69 Σχήµα : Ισοτασικές καµπύλες ορθής τάσης σ y (pga=0.16g). Σχήµα : Ισοτασικές καµπύλες διατµητικής τάσης τ (pga=0.16g). 41

70 Σχήµα : Ισοτασικές καµπύλες κύριας τάσης σ 1 (pga=0.16g). Σχήµα : Ισοτασικές καµπύλες κύριας τάσης σ 2 (pga=0.16g). 42

71 Σχήµα : Ισοτασικές καµπύλες γωνίας θ (pga=0.16g). Εκτός των παραπάνω γνωστών διαγραµµάτων απεικόνισης της παραµόρφωσης και της αναπτυσσόµενης έντασης, κατά την ανάπτυξη του λογισµικού κρίθηκε αναγκαία η εξαγωγή νέων διαγραµµάτων, µε στόχο τη βέλτιστη απεικόνιση της αναπτυσσόµενης έντασης. Η αναγκαιότητα αυτή προκύπτει από τη δυσκολία στην αξιολόγηση της αναπτυσσόµενης έντασης µε βάση τα µέχρι τώρα διαγράµµατα. Μια επιτυχής αξιολόγηση προϋποθέτει την ικανότητα ταυτόχρονου συνδυασµού είτε των τριών διαγραµµάτων των ορθών τάσεων (Σχήµατα , και ) είτε των τριών διαγραµµάτων των κυρίων τάσεων (Σχήµατα , και ). Με στόχο την άρση της παραπάνω δυσκολίας προτείνονται τα παρακάτω διαγράµµατα ταυτόχρονης απεικόνισης της αναπτυσσόµενης έντασης είτε σε όρους ορθών τάσεων (Σχήµα ) είτε σε όρους κυρίων τάσεων (Σχήµα ). Τα διαγράµµατα αυτά 43

72 καθίστανται ιδιαίτερα χρήσιµα για την αξιόπιστη αξιολόγηση της αναπτυσσόµενης έντασης. Με ευκολία µπορεί να διαπιστωθεί το είδος της αναπτυσσόµενης έντασης (διαξονική θλίψη, διαξονικός εφελκυσµός ή ετερόσηµη ένταση). Με βάση την προτεινόµενη αποτύπωση της έντασης στον Πίνακα παρουσιάζεται η εξέλιξη της αναπτυσσόµενης έντασης για τιµές της µέγιστης σεισµικής επιτάχυνσης από 0.00 έως 0.40 µε βήµα Προς την ίδια κατεύθυνση προτείνονται και τα παρακάτω Σχήµατα και χαρακτηρισµού της αναπτυσσόµενης τάσης, τόσο σε όρους ορθών όσο και σε όρους κυρίων τάσεων. Με βάση τον προτεινόµενο χαρακτηρισµό της έντασης στον Πίνακα παρουσιάζεται επίσης η εξέλιξη της αναπτυσσόµενης έντασης για τιµές της µέγιστης σεισµικής επιτάχυνσης από 0.00 έως 0.40 µε βήµα Σχήµα : Εντατική κατάσταση των κόµβων της κατασκευής σε όρους ορθών τάσεων (pga=0.40g). 44

73 Σχήµα : Εντατική κατάσταση των κόµβων της κατασκευής σε όρους κυρίων τάσεων (pga=0.40g). 45

74 Πίνακας 2.7.2: Εντατική κατάσταση των κόµβων της κατασκευής για τιµές της µέγιστης σεισµικής επιτάχυνσης από 0.00 έως 0.40 µε βήµα PGA In Normal Stresses Terms Developed Stress State In Principal Stresses Terms

75

76 Σχήµα : Χαρακτηρισµός εντατικής κατάστασης της κατασκευής σε όρους ορθών τάσεων (pga=0.40g). Σχήµα : Χαρακτηρισµός εντατικής κατάστασης της κατασκευής σε όρους κυρίων τάσεων (pga=0.40g). 48

77 Πίνακας 2.7.3: Χαρακτηρισµός εντατικής κατάστασης των κόµβων της κατασκευής για τιµές της µέγιστης σεισµικής επιτάχυνσης από 0.00 έως 0.40 µε βήµα PGA Normal Stresses Developed Stresses Principal Stresses

78 Συμπεράσματα Με στόχο µια αποτελεσµατική και συνάµα αξιόπιστη µαθηµατική προσοµοίωση της τοιχοποιίας, λαµβάνοντας υπόψη ότι αυτή επιδεικνύει έντονα ανισότροπη (ορθότροπη) και ψαθυρή συµπεριφορά, παρουσιάστηκε ένα µαθηµατικό προσοµοίωµα για τις κατασκευές από τοιχοποιία. Ειδικότερα, µε χρήση της µεθόδου των πεπερασµένων στοιχείων (Finite Element Method) προτείνεται ένα ορθότροπο πεπερασµένο στοιχείο για τη µακρο-προσοµοίωση του υλικού της τοιχοποιίας. Στα κυριότερα συµπεράσµατα συγκαταλέγονται η ανάπτυξη αξιόπιστου λογισµικού το οποίο και ενσωµατώνει σύγχρονες τεχνικές τόσο για την αποθήκευση του µητρώου 50

79 δυσκαµψίας της κατασκευής όσο και για την επίλυση του συστήµατος εξισώσεων που περιγράφουν την ισορροπία αυτού. Επιπρόσθετα, προτάθηκαν νέα διαγράµµατα απεικόνισης και χαρακτηρισµού της αναπτυσσόµενης έντασης τα οποία και είναι ιδιαίτερα χρήσιµα για την εύκολη αξιολόγηση αυτής. 51

80 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ: ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΣΤΟΧΙΑΣ 3.1 Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται τα κριτήρια αστοχίας που έχουν προταθεί για την προσοµοίωση του υλικού της τοιχοποιίας. Ειδικότερα, παρουσιάζονται αντιπροσωπευτικές και µάλιστα οι πλέον αποδεκτές τόσο πειραµατικές όσο και αναλυτικές εργασίες µε αντικείµενο την αστοχία της τοιχοποιίας. Μάλιστα µε στόχο την κατανόηση της µηχανικής της αστοχίας των υλικών, πριν από την παρουσίαση αυτών των εργασιών παρουσιάζονται τα κλασσικά κριτήρια που έχουν προταθεί για την αστοχία των υλικών. 3.2 Κλασικά κριτήρια αστοχίας Στο παρόν κεφάλαιο παρατίθενται τα κλασικά κριτήρια υπό διαξονική επίπεδη ένταση, τα οποία αποτελούν τη βάση της αντοχής των υλικών Κριτήριο Μέγιστης Διατμητικής Τάσης [TRESCA SAINT VENANT, 1859, 1871] Το κριτήριο αυτό διατυπώθηκε αρχικά από τον Tresca (1859) και πήρε τη µαθηµατική του µορφή από τον Saint Venant (1871). Σύµφωνα µε αυτό, «η αστοχία, κάτω από συνθήκες σύνθετης εντατικής καταστάσεως, επέρχεται όταν η µέγιστη διατµητική τάση τ max γίνει ίση µε τη µέγιστη διατµητική τάση που αναπτύσσεται, τη στιγµή της διαρροής, όταν το υλικό καταπονείται σε καθαρό εφελκυσµό». Θεωρώντας σ 1 > σ 2 >σ 3, = (C ) C D ) 2 [3.2.1] 52

81 οπότε η ισοδύναµη µονοαξονική καταπόνηση θα είναι: σ ισ = σ 1 σ 3. Αστοχία επέρχεται όταν σ ισ = σ α. Για διαξονική επίπεδη εντατική κατάσταση µε σ 1, σ 2 0, σ 3 = 0, προκύπτει η καµπύλη αστοχίας του Σχήµατος Σχηµατίζεται ένα εξάγωνο, το εξάγωνο Tresca. To κριτήριο Tresca δίνει ικανοποιητικά αποτελέσµατα όταν εφαρµόζεται σε όλκιµα υλικά. Σχήµα 3.2.1: Η καµπύλη αστοχίας σύµφωνα µε το κριτήριο της µέγιστης διατµητικής τάσεως για επίπεδες εντατικές καταστάσεις σ 1, σ 2 0, σ 3 = Κριτήριο Ενέργειας Παραμόρφωσης [Beltrami, 1885] Η πυκνότητα της ενέργειας παραµόρφωσης W, η οποία αποταµιεύεται σε ένα σώµα µετά την επιβολή των φορτίων, µπορεί να θεωρηθεί άθροισµα δύο όρων, της πυκνότητας της 53

82 ενέργειας που καταναλώνεται για µεταβολή όγκου (W u ) και της πυκνότητας της στροφικής ενέργειας, δηλαδή της ενέργειας που καταναλώνεται για τη στρέβλωση του µοναδιαίου όγκου. Συνεπώς: W = W u + W s [3.2.2] όπου: Wu = 1 2v 6E (σ ) + σ < + σ D ) < [3.2.3] και Ws = )MN OP σ ) σ < < + σ < σ D < + σ D σ ) < [3.2.4] Σύµφωνα µε αυτό το κριτήριο, η ισοδύναµη τάση δηµιουργεί ίση ολική ενέργεια. Δηλαδή, ισχύει η σχέση: (C QR ) < 2S = T [3.2.5] Τα αποτελέσµατα του κριτηρίου αυτού δεν είναι εφαρµόσιµα, καθώς δεν ανταποκρίνονται στην πραγµατικότητα. Ωστόσο, το κριτήριο αυτό έχει ιστορική αξία, καθότι εξέλιξη αυτού αποτελεί το κριτήριο αστοχίας Von Mises. 54

83 3.2.3 Κριτήριο Στροφικής Ενέργειας Παραμόρφωσης [Mises, 1913] Γνωστό µε το όνοµα κριτήριο von Mises. Σύµφωνα µε αυτό, η αστοχία (διαρροή ή θραύση) ενός υλικού υπό την επίδραση συνθέτου εντατικής καταστάσεως σ 1, σ 2, σ 3, επέρχεται όταν η πυκνότητα στροφικής ενέργειας των παραµορφώσεων W s, που αναπτύσσεται στο υλικό, γίνει ίση µε την αντίστοιχη πυκνότητα στροφικής ενέργειας που αναπτύσσεται κατά τη διαρροή του υλικού υπό καθαρό εφελκυσµό. Για τρισδιάστατη εντατική κατάσταση, θεωρώντας σ 1, σ 2, σ 3 τις κύριες τάσεις και σ α το όριο διαρροής του υλικού σε µονοαξονικό εφελκυσµό, και λαµβάνοντας υπόψη την εξίσωση του κριτηρίου της ενέργειας παραµόρφωσης, προκύπτει: < < σ QR = C ) + < C< + C < D C ) C < C < C D C D C ) 2 C QR < = (C ) C < ) < + (C < C D ) < + C D C ) < [3.2.6] Από τη σχέση [3.2.6], που εκφράζει το κριτήριο von Mises, προκύπτει η γραφική παράσταση του κριτηρίου Mises. Η γραφική παράσταση παριστάνει κύλινδρο στο χώρο, ο οποίος είναι κάθετος στο αποκλίνον επίπεδο, όπως φαίνεται στο Σχήµα Η παράπλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου αυτού είναι η επιφάνεια αστοχίας κατά το κριτήριο της πυκνότητας της στροφικής ενέργειας παραµορφώσεων. 55

84 Σχήµα 3.2.2: Η επιφάνεια αστοχίας σύµφωνα µε το κριτήριο Mises. Σχήµα 3.2.3: Η επιφάνεια διαρροής (έλλειψη) von Mises, σύµφωνα µε το κριτήριο von Mises, για επίπεδη εντατική κατάσταση µε σ 3 =0. 56

85 Στην περίπτωση της επίπεδης εντατικής καταστάσεως (σ 3 =0, σ 1, σ 2 0), το κριτήριο πυκνότητας της στροφικής ενέργειας παραµορφώσεων εκφράζεται από την καµπύλη που προκύπτει από την τοµή του επιπέδου (το οποίο ορίζεται από τους άξονες σ 1 και σ 2 ) και της κυλινδρικής επιφάνειας διαρροής, η οποία είναι µια έλλειψη (έλλειψη von Mises) (Σχήµα 3.2.3) µε εξίσωση: C ) < + C < < C ) C < = C QR < [3.2.7] Το κριτήριο αυτό συµφωνεί πολύ ικανοποιητικά µε τα πειραµατικά δεδοµένα στην περίπτωση των όλκιµων υλικών, αλλά αποτυγχάνει στις προβλέψεις του, όταν πρόκειται για ψαθυρό υλικό. Το κριτήριο έχει διατυπωθεί και µε άλλες εκδοχές: Α) Αστοχία κατά Mises επέρχεται όταν η ισοδύναµη τάση σ ισ υπερβεί την τάση διαρροής του υλικού υπό µονοαξονικό εφελκυσµό. C QR = C U = ± 2 2 [ C ) C < < + C < C D < + C D C ) < ] )/< [3.2.8] Β) Εισάγοντας το µέτρο διάτµησης στη σχέση [3.2.4] προκύπτει: T Z = 1 12[ σ ) σ < < + σ < σ D < + σ D σ ) < [3.2.9] Θεωρώντας τ n την οκταεδρική διατµητική τάση, δηλαδή την τάση η οποία δρα επί επιπέδου το οποίο ισοκλίνει ως προς τους κύριους άξονες, η παραπάνω σχέση µπορεί να γραφτεί ως: 57

86 ± 1 3 [ C ) C < < + C )< C D < + C D C ) < ] )/< = ±] 2 3 [3.2.10] οπότε:?^ = ±] 2 3 [3.2.11] Σύµφωνα µε την παραπάνω σχέση, το κριτήριο αστοχίας διατυπώνεται ως εξής: Αστοχία κατά Mises επέρχεται όταν η οκταεδρική διατµητική τάση, τ n, υπερβεί µία κρίσιµη τιµή, η οποία είναι συνάρτηση της τάσεως διαρροής του υλικού υπό απλή διάτµηση. Γ) Αν η σχέση [3.2.6] γραφεί ως: 4 C ) C < 2 < + C < C D 2 < + C D C ) 2 < = 6] < [3.2.12] δηλαδή ως: < < < +? a = ] D < = ] D < [3.2.13] Τότε το κριτήριο αστοχίας von Mises διατυπώνεται ως εξής: Αστοχία κατά von Mises επέρχεται όταν το µέτρο του γεωµετρικού αθροίσµατος των µεγίστων διατµητικών τάσεων, τ m, υπερβεί µια κρίσιµη τιµή, η οποία είναι συνάρτηση της τάσεως διαρροής του υλικού υπό απλή διάτµηση. 58

87 3.2.4 Κριτήριο Αντοχής Mohr-Coulomb [1900] Το κριτήριο αντοχής Mohr-Coulomb βασίζεται στην αναπαράσταση του εντατικού πεδίου µε τη βοήθεια των κύκλων του Mohr και ισχύει ικανοποιητικά για ψαθυρά υλικά µε εσωτερική τριβή (φ) και συνεκτικότητα (c). Σύµφωνα µε την υπόθεση Mohr (1900), η αντοχή ενός υλικού δεν εξαρτάται από την ενδιάµεση κύρια τάση, ενώ το δε υλικό αστοχεί όταν σε κάποιο κρίσιµο επίπεδο ο λόγος της διατµητικής προς την αντίστοιχη ορθή τάση λάβει µία κρίσιµη τιµή. Οι έννοιες αυτές ορίζονται µε την βοήθεια του κύκλου του Mohr. (Σχήµα 3.2.4) Σχήµα 3.2.4: Γραφική αναπαράσταση κριτηρίου Mohr Coulomb. Σύµφωνα µε το γραµµικό κριτήριο Mohr-Coulomb, το υλικό αστοχεί όταν ο αντίστοιχος (µέγιστος) κύκλος Mohr εφάπτεται ενός ζεύγους ευθειών F 1 =0 και F 2 =0, συµµετρικών 59

88 ως προς τον άξονα των ορθών τάσεων (Σχήµα 3.2.5). Η γωνία φ µεταξύ των «περιβαλλουσών» αυτών και του άξονα σ n καλείται γωνία εσωτερικής τριβής του υλικού, ενώ η τεταγµένη του σηµείου τοµής της µε τον άξονα τ n καλείται συνεκτικότητα c του υλικού. Η εξίσωση της περιβάλλουσας Mohr-Coulomb είναι η εξής: τ n = c σ n tanφ [3.2.14] Σχήµα 3.2.5: Εύρεση µε γραφικό τρόπο των επιπέδων αστοχίας του υλικού. Όταν η εντατική κατάσταση είναι οριακή σύµφωνα µε το κριτήριο Mohr-Coulomb, δεχόµαστε ότι το υλικό αστοχεί κατά µήκος δύο χαρακτηριστικών επιπέδων (α) και (β), τα οποία σχηµατίζουν γωνία θ α,β = ± (45 + b ) µε την κύρια κατεύθυνση σ 1 (Σχήµα < 3.2.6). Το υλικό αστοχεί σε διάτµηση, ενώ ο συνδυασµός ορθής και διατµητικής τάσης στα χαρακτηριστικά αυτά επίπεδα (επίπεδα ολίσθησης) ικανοποιεί το παραπάνω κριτήριο Mohr-Coulomb, δηλαδή η αστοχία του υλικού λαµβάνει χώρα παράλληλα προς 60

89 εκείνα τα επίπεδα, όπου ο λόγος διατµητικής προς την «απόλυτη» ορθή τάση γίνεται ακρότατος.?^ c C^ = de! [3.2.15] Σχήµα 3.2.6: Επίπεδα ολίσθησης, όπου λαµβάνει χώρα η αστοχία του υλικού, βάσει κριτηρίου Mohr-Coulomb. Αν για ένα υλικό σχεδιάσουµε όλους τους κύκλους Mohr που περιγράφουν µία κρίσιµη εντατική κατάσταση, δηλαδή µία κατάσταση όπου επέρχεται αστοχία, τότε όλοι αυτοί οι κύκλοι είναι εγγεγραµµένοι σε µία οµαλή καµπύλη, την περιβάλλουσα του Mohr (Σχήµα 3.2.7). Όλοι οι κύκλοι, που είναι στο εσωτερικό της περιβάλλουσας, παριστάνουν µία ασφαλή εντατική κατάσταση, ενώ οποιοσδήποτε κύκλος εφάπτεται στην περιβάλλουσα παριστάνει µια εντατική κατάσταση στην οποία επέρχεται θραύση της κατασκευής. 61

90 Σχήµα Περιβάλλουσα αστοχίας του Mohr. Οι κύκλοι αντιστοιχούν µε τη σειρά στην κατάσταση θραύσης του υλικού υπό απλό εφελκυσµό, υπό καθαρή διάτµηση και υπό απλή θλίψη. Οι διάµετροι των αντίστοιχων κύκλων απεικονίζουν την τάση θραύσης σ θρ ε σε εφελκυσµό, το διπλάσιο της τάσης θραύσης τ θρ σε απλή διάτµηση και την τάση θραύσης σ θρ θ σε θλίψη. Η καµπύλη που περιβάλλει τους κύκλους είναι η περιβάλλουσα αστοχίας του Mohr. 3.3 Πειραματικές Διερευνήσεις εργασίες στο χώρο της τοιχοποιίας Στο χώρο της πειραµατικής διερεύνησης της αστοχίας της τοιχοποιίας, υπάρχουν πολλές αξιόλογες εργασίες που καλύπτουν κάθε δυνατό τύπο καταπόνησης. Οι πειραµατικές µελέτες αναφέρονται σε διαξονική θλιπτική καταπόνηση (θλίψη/θλίψη), σε διαξονική ετερόσηµη ένταση (θλίψη/εφελκυσµός ή εφελκυσµός/θλίψη), σε διαξονική εφελκυστική ένταση (εφελκυσµός/εφελκυσµός) και σε διαξονική ένταση όλων των τύπων (συνδυασµοί των παραπάνω). Οι πιο χαρακτηριστικές εργασίες παρουσιάζονται παρακάτω. 62

91 3.3.1 Επιφάνεια Αστοχίας Υπό Διαξονική Ένταση [Page, 1980, 1981, 1983] Στις τρεις αυτές εργασίες µελετάται πειραµατικά η επιφάνεια αστοχίας της τοιχοποιίας υπό διαξονική θλίψη σε όρους (σ 1, σ 2, θ). Ειδικότερα, το 1981 πραγµατοποιήθηκαν διαξονικές θλιπτικές δοκιµές σε σύνολο 102 δοκιµίων τοιχοποιίας από οπτόπλινθους (τούβλα) και κονίαµα (αρµούς κονιάµατος). Τα δοκίµια αυτά µελετήθηκαν για τιµές της γωνίας θ (γωνία µεταξύ της κύριας τάσης σ 1 και της διεύθυνσης του αρµού), 0.0, 22.5, 45.0, 67.5 και 90. Στο Σχήµα απεικονίζονται τα τετραγωνικής διατοµής µε πλευρά διαστάσεων 360mm δοκίµια που χρησιµοποιήθηκαν τα οποία κατασκευάστηκαν εξ αρχής στο τελικό τους σχήµα και µε την επιθυµητή διεύθυνση αρµών. Για να επιτευχθεί αυτό, η κατασκευή τους έγινε σε οριζόντιο επίπεδο χρησιµοποιώντας άκαµπτες µήτρες. Οι οπτόπλινθοι στερεώθηκαν σε προσχεδιασµένες κάθε φορά θέσεις, ώστε να επιτευχθεί σταθερό πάχος αρµού. Για να διαµορφωθεί το κατάλληλο σχήµα έκαστου δοκιµίου, όπου χρειάστηκε, κόπηκε κάθε οπτόπλινθος ξεχωριστά πριν από την τοποθέτησή του στη µήτρα. Τα τούβλα ήταν µισής κλίµακας µε αντοχή σε θλίψη ίση µε 15,41 MPa, ενώ το ασβεστοκονίαµα ήταν σύνθεσης 1:1:6 (τσιµέντο:άσβεστος:άµµος, κατ όγκο) µε αντοχή ίση µε 5,55 MPa. Αξίζει εδώ να σηµειωθεί ότι προγενέστερη εργασία του ίδιου ερευνητή είχε δείξει ότι η επιρροή του µεγέθους των λιθοσωµάτων των δοκιµών στα µεγέθη των τάσεων αστοχίας είναι ανεπαίσθητη. 63

92 Σχήµα 3.3.1: Σχηµατική αναπαράσταση δοκιµίων της εργασίας [Page, 1981], για τιµές της γωνίας µεταξύ της κύριας τάσης σ 1 και του αρµού θ = 0, θ = 22.5, θ = 45, θ = 67.5 και θ = 90. Κατά την πειραµατική διερεύνηση, οι λόγοι της κατακόρυφης θλιπτικής τάσης σ 1 προς την οριζόντια θλιπτική τάση σ 2 που επιβλήθηκαν ήταν 1, 2, 4, 10 και άπειρο (σ 2 =0, µονοαξονική θλίψη κατά την κατακόρυφη διεύθυνση). Ο λόγος των κύριων τάσεων µε τιµή 0, 0.1, 0.25, 0.5 και 1 αποκτήθηκε από τα αποτελέσµατα χρησιµοποιώντας τη συµµετρία των δοκιµίων και της φόρτισης. Η διαξονική εντατική κατάσταση υπεβλήθη στα δοκίµια µε χρήση υδραυλικών γρύλων σε δύο ορθογώνιες διευθύνσεις. Ο σταθερός λόγος φόρτισης σε κάθε διεύθυνση διατηρήθηκε κατά τη διάρκεια της δοκιµής φόρτισης, 64

93 ενώ υπήρχε συνεχής παρακολούθηση και καταγραφή του φορτίου σε κάθε διεύθυνση µε αισθητήρες που ήταν άµεσα στερεωµένοι στο δοκίµιο. Υλοποιήθηκε ελάχιστος αριθµός τεσσάρων δοκιµών για κάθε συνδυασµό σ 1 /σ 2 και θ. Βάσει των πειραµατικών στοιχείων που αποκοµίστηκαν, προέκυψαν για κάθε γωνία θ (µεταξύ της διεύθυνσης των αρµών και της κύριας τάσης σ 1 ) περιβάλλουσες αστοχίας που φαίνονται στα Σχήµατα 3.3.2, 3.3.3, 3.3.4, και οι οποίες βασίζονται στις µέγιστες τιµές αντοχής, όπως προέκυψαν από την εφαρµογή των παραπάνω περιγραφέντων πειραµατικών δοκιµών. Χρειάζεται να αναφερθεί ότι σε αυτά τα γραφήµατα οι θετικές τιµές των τάσεων δηλώνουν τη θλίψη. Σχήµα 3.3.2: Καµπύλη αστοχίας οπτοπλινθοδοµής υπό διαξονική θλίψη, θ= 0 [Page, 1981]. 65

94 Σχήµα 3.3.3: Αστοχία της τοιχοποιίας υπό διαξονική θλίψη, θ= 22.5 [Page, 1981]. Σχήµα 3.3.4: Αστοχία της τοιχοποιίας υπό διαξονική θλίψη, θ= 45 [Page, 1981]. 66

95 Σχήµα 3.3.5: Επιφάνεια αστοχίας της τοιχοποιίας υπό διαξονική θλίψη [Page, 1981]. Σχήµα 3.3.6: Προβολή στο επίπεδο (σ1, σ2 ) της επιφάνειας αστοχίας της τοιχοποιίας [Page, 1981]. 67

96 Επίσης, ο Page, τόσο το 1980 όσο και το 1983, πραγµατοποίησε διαξονικές δοκιµές για τη µελέτη της αστοχίας της τοιχοποιίας τόσο υπό διαξονικό εφελκυσµό όσο και υπό ετερόσηµη ένταση (Σχήµατα 3.3.7, 3.3.8, 3.3.9, και ) Σχήµα 3.3.7: Αδιαστατοποιηµένη καµπύλη αστοχίας της τοιχοποιίας υπό διαξονική ένταση για θ = 0 σε όρους κυρίων τάσεων. Σχήµα 3.3.8: Αδιαστατοποιηµένη καµπύλη αστοχίας της τοιχοποιίας υπό διαξονική ένταση για θ = 22.5 σε όρους κυρίων τάσεων. 68

97 Σχήµα 3.3.9: Αδιαστατοποιηµένη καµπύλη αστοχίας της τοιχοποιίας υπό διαξονική ένταση για θ = 45 σε όρους κυρίων τάσεων. Σχήµα : Αδιαστατοποιηµένη καµπύλη αστοχίας της τοιχοποιίας υπό διαξονική ένταση για θ = 67.5 σε όρους κυρίων τάσεων. 69

98 Σχήµα : Αδιαστατοποιηµένη καµπύλη αστοχίας της τοιχοποιίας υπό διαξονική ένταση για θ = 90 σε όρους κυρίων τάσεων [Tassios and Vachliotis, 1989] Στην εργασία αυτή µελετάται η εντατική κατάσταση στην περιοχή της ετερόσηµης διαξονικής έντασης (εφελκυσµός/θλίψη), ενώ τα αποτελέσµατα συγκρίνονται µε τα αντίστοιχα αποτελέσµατα προγενέστερων εργασιών [Samarasinghe and Hendry, 1980], [Page, 1982] και [Albanesi and Radicioni, 1981]. Ετερόσηµες διαξονικές τάσεις µέσω δισδιαγώνιων θλιπτικών δοκιµών επιβλήθηκαν σε δοκίµια πλήρους κλίµακας τοιχοποιίας για γωνία θ=45 ο. Τα δοκίµια της τοιχοποιίας κατασκευάστηκαν από οπτόπλινθους θλιπτικής αντοχής ίσης µε 7,660 ΜPa και κονίαµα του οποίου η θλιπτική αντοχή κυµαινόταν από 2,05 έως 5,110 MPa. Με βάση τα αποτελέσµατα της εργασίας αυτής σχεδιάστηκε η καµπύλη αστοχίας για θ=45 ο (Σχήµα 70

99 3.3.12). Τα αποτελέσµατα της πειραµατικής αυτής διερεύνησης προσεγγίζουν σε ικανοποιητικό βαθµό την πραγµατική συµπεριφορά της τοιχοποιίας. Σχήµα : Καµπύλη αστοχίας της τοιχοποιίας υπό ετερόσηµη ένταση θ=45 ο [Tassios, Vachliotis, 1989]. Στην εργασία καταδεικνύεται επίσης ο βαθµός του σφάλµατος που µπορεί να προκύψει για µία συνηθισµένη τοιχοποιία από τη χρήση ενός γραµµικού κριτηρίου αστοχίας, στην ετερόσηµη περιοχή της έντασης (Σχήµα ). Στην περίπτωση ισχυρής τοιχοποιίας, µε πλήρους σύνδεσης κυβικά στοιχεία, το γραµµικό κριτήριο προσεγγίζει καλύτερα την πραγµατικότητα. Ένα τέτοιο χαρακτηριστικό παράδειγµα ισχυρής τοιχοποιίας είναι η τοιχοποιία µε έγχυτο σκυρόδεµα, για την οποία έχει αποδειχτεί ότι το γραµµικό κριτήριο στην περιοχή της ετερόσηµης έντασης προσεγγίζει ικανοποιητικά την πραγµατική συµπεριφορά [Ahmad and Drysdale, 1979]. 71

100 Σχήµα : Η χρήση γραµµικού κριτηρίου στην ετερόσηµη περιοχή της έντασης συχνά οδηγεί σε µη ρεαλιστική προσέγγιση [Tassios, Vachliotis, 1989]. Στην υπόψη εργασία, επιβεβαιώνεται η µορφή της επιφάνειας αστοχίας (Σχήµα ) σε σχέση µε προγενέστερες εργασίες [Albanesi S. and Radicioni F., 1981], [Page, 1982] και [Samarasinghe W. and Hendry A.W., 1980], των οποίων τα βασικά χαρακτηριστικά των υλικών που µελετήθηκαν παρατίθενται στον Πίνακα Στην εργασία αυτή, παρατίθεται για πρώτη φορά (Σχήµα ), έστω και ενδεικτικά, η αναπαράσταση της προσδοκώµενης αστοχίας της τοιχοποιίας στο χώρο, µε επισήµανση βέβαια του γεγονότος ότι η πραγµατική συµπεριφορά µπορεί να είναι διαφορετική από την προτεινόµενη αναπαράσταση. Πίνακας 3.3.1: Βασικά δεδοµένα των διερευνήσεων του Σχήµα α/α Συγγραφείς f bc (MPa) f mc (MPa) f wc,90 o (MPa) f wt,90 o (MPa) I Page, II Albanesi et al, III Samarasinghe et al, IV Tassios et al,

101 Σχήµα : Καµπύλες αστοχίας τοιχοποιίας υπό διαξονική ετερόσηµη ένταση σε όρους κύριων τάσεων (α=90 ο ) [Tassios, Vachliotis, 1989]. Σχήµα : Επιφάνεια αστοχίας της τοιχοποιίας υπό διαξονική ένταση [Tassios, Vachliotis, 1989] [Samarasinghe, 1980], [Samarasinghe and Hendry, 1980], [Samarasinghe, Page and Hendry, 1982] και [Hendry, Sinka and Davies, 1987] Κοινό σηµείο µελέτης και των τεσσάρων αυτών εργασιών είναι η πειραµατική διερεύνηση της συµπεριφοράς της τοιχοποιίας κατά την αστοχία στο χώρο της ετερόσηµης έντασης και η πρόταση εµπειρικού κριτηρίου αστοχίας για την τοιχοποιία στον ίδιο χώρο. 73

102 Διαξονικές δοκιµές πραγµατοποιήθηκαν σε δοκίµια τοιχοποιίας τετραγωνικής διατοµής των 150 mm, για διάφορες τιµές του λόγου κύριας εφελκυστικής τάσης προς κύρια θλιπτική (σ 1 /σ 2 ). Τα υλικά κατασκευής ήταν τούβλα στο 1/6 της κλίµακας και ασβεστοκονίαµα σύνθεσης 1:0.25:3 (τσιµέντο:άσβεστος:άµµος, κατ όγκο). Δοκιµές πραγµατοποιήθηκαν τόσο στα τούβλα όσο και στο κονίαµα και έδωσαν για µεν τα τούβλα µέση αντοχή σε θλίψη 30,5MPa, για δε το κονίαµα (µετά από δοκιµές σε κύβους των 25mm) 9,6MPa. Κατασκευάστηκαν δοκίµια τοίχου µε οριζόντιους και κατακόρυφους αρµούς σε διαστάσεις µεγαλύτερες από αυτές που θα είχαν τα τελικά δοκίµια κατά τη διάρκεια των πειραµάτων. Έπειτα, σχεδιάστηκε επί του τοίχου ένα τετράγωνο µε τις επιθυµητές διαστάσεις και τον κατάλληλο προσανατολισµό, ώστε να επιτευχθεί η κατάλληλη γωνία θ, όπως φαίνεται στο Σχήµα Η γωνία αυτή ορίζεται ως η γωνία µεταξύ της διεύθυνσης των αρµών και µιας από τις άκρες του τελικού δοκιµίου. Μελετήθηκαν πέντε τιµές της γωνίας θ και συγκεκριµένα οι 0.0, 22.5, 45.5, 67.5 και Έπειτα από δεκατέσσερις ηµέρες, τα µεγαλύτερα δοκίµια κόπηκαν, µε κατάλληλο εργαλείο, στο επιθυµητό µέγεθος και σχήµα. Τα δοκίµια για γωνία θ= 0.0 και 90.0 κατασκευάστηκαν απ ευθείας στις επιθυµητές διαστάσεις. Δύο µέρες πριν από την ηµέρα της δοκιµής, οι πλευρές του δοκιµίου που θα καταπονούνταν σε θλίψη καλύφθηκαν µε κονίαµα αναλογίας 1:1 (τσιµέντο:άµµο). 74

103 Σχήµα : Κατασκευάστηκαν δοκίµια µεγαλύτερων διαστάσεων και επί αυτών σχεδιάστηκαν τα τελικά δοκίµια, δηλαδή ένα τετράγωνο µε τις επιθυµητές διαστάσεις και τον κατάλληλο προσανατολισµό. Με βάση τα αποτελέσµατα των πειραµατικών δοκιµών, τα οποία φαίνονται στα διαγράµµατα των Σχηµάτων και , προτείνονται εµπειρικές προσεγγιστικές καµπύλες για κάθε µία γωνία (Σχήµα ). Όλες αυτές οι καµπύλες εκφράζονται µε τη συνάρτηση: C ) = 0,7g hi,)jr a 1,34 k 0,02, όπου θ σε rad. [3.3.1] l 75

104 Σχήµα : Διαξονικές καµπύλες αντοχής τοιχοποιίας για διάφορες γωνίες θ [Samarasinghe, 1980]. Σχήµα : Εξειδικευµένες καµπύλες αντοχής τοιχοποιίας [Samarasinghe, 1980]. Σχήµα : Επιφάνεια αστοχίας τοιχοποιίας υπό διαξονικές τάσεις (Samarasinghe, 1980]. 76

105 3.3.4 [Page, 1980], [Page, Samarasinghe and Hendry, 1980] Αντικείµενο αυτών των εργασιών αποτελεί η πειραµατική διερεύνηση της επιφάνειας αστοχίας της τοιχοποιίας υπό διαξονικό εφελκυσµό. Η πειραµατική διερεύνηση πραγµατοποιήθηκε σε όρους κύριων τάσεων (σ 1, σ 2, θ). Με βάση τα προκύπτοντα πειραµατικά αποτελέσµατα, σχεδιάστηκαν οι καµπύλες αστοχίας του Σχήµα Οι συγγραφείς σηµειώνουν ότι η επιφάνεια αστοχίας εξαρτάται σηµαντικά από τη σχέση µεταξύ της διατµητικής και της εφελκυστικής αντοχής συνάφειας της τοιχοποιίας. Σχήµα : Επιφάνεια αστοχίας τοιχοποιίας υπό διαξονικές εφελκυστικές τάσεις [Samarasinghe,1980] [Kupfer et al., 1969] Στην κλασική αυτή εργασία του Kupfer, παρουσιάζονται τα πειραµατικά αποτελέσµατα αστοχίας (Σχήµα ), τα οποία έχουν προκύψει από δοκιµές που έχουν πραγµατοποιηθεί σε δοκίµια σκυροδέµατος. 77

106 Αρκετοί ερευνητές κατά τη µελέτη της τοιχοποιίας θεωρούν αυτή ως ισότροπο υλικό και χρησιµοποιούν ως κριτήριο αστοχίας αδιαστατοποιηµένες περιβάλλουσες αστοχίας βασιζόµενες στην εργασία του Kupfer [Ignatakis, Stavrakakis and Penelis, 1989], [Πενέλης, Ιγνατάκης και Σταυρακάκης, 1991], [Triantafillou and Fardis, 1993], [Cerioni and Donida, 1994]. Σχήµα : Διαξονική αντοχή του σκυροδέµατος [Kupfer and Gerstle 1973]. Σύµφωνα µε την εργασία του Kupfer, ορίζεται η αδιαστατοποιηµένη περιβάλλουσα αστοχίας σε όρους κύριων τάσεων, αποτελούµενη από την ένωση έξι τµηµάτων (Σχήµα ), που εκφράζονται από τις εξής σχέσεις: 78

107 Σχήµα Διαξονική αντοχή τοιχοποιίας [Kupfer and Gerstle 1973]. S 1 για π/4 θ π/2: C < = 0.10 o p [3.3.2] S 2 για π/2 θ π-φ: C < = o q C ) o p [3.3.3] S 3 για π-φ θ 5π/4: C ) o p + C < o p < + C ) o p C < o q = 0 [3.3.4] 79

108 Και τις αντίστοιχες συµµετρικές τους ως προς τη διχοτόµο του πρώτου και τρίτου τεταρτηµορίου. S 1 για 0 θ π/4: C ) = 0.10 o p [3.3.5] S 2 για 3π/2+φ θ 2π: C ) = o q C < o p [3.3.6] S 3 για 5π/4 θ 3π/2+φ: C ) o p + C < o p < + C < o p C ) o q = 0 [3.3.7] όπου: f c : η θλιπτική αντοχή τοιχοποιίας f t : η εφελκυστική αντοχή τοιχοποιίας φ: η γωνία που αντιστοιχεί στο σηµείο τοµής των εξισώσεων [3.3.3] και [3.3.4] ή των εξισώσεων [3.3.6] και [3.3.7] (Σχήµα ) και ο προσδιορισµός της οποίας θα παρουσιαστεί αµέσως παρακάτω Υπολογισµός τοπολογίας κριτηρίου Υπολογισµός γωνίας φ Το σηµείο τοµής Α των S 3 και S 2 βρίσκεται µε αντικατάσταση της [3.3.6] στην [3.3.7] όπου προκύπτει µία δευτεροβάθµια εξίσωση της µορφής: t u v v + β u v + γ = 0 [3.3.8] 80

109 Όπου οι συντελεστές α, β και γ φαίνονται παρακάτω: t = 0.64 o q < o p j + 1 o p < o q o p D y = 1.6 o q < o p D + 2 o q o p < + 1 o p o q o p < { = o q < o p < o q o p Η εξίσωση [3.3.8] έχει λύσεις τις: C < = h h a hj } ~ < } και C < = häm Äa hj Å Ç < Å Και δίνοντας τις παρακάτω τιµές για τα f c και f t f Ñ = 1 και f Ö = ÜMá = i.jmi.) = Ü Má j.do<àmâ.ààà Η εξίσωση [3.3.8] έχει λύσεις τις: C < = και C < ä = [3.3.9] Και µε αντικατάσταση των [3.3.9] στην [3.3.6] προκύπτει: C ) = και C ) ä = [3.3.10] Εποµένως το σηµείο τοµής των S 3 και S 2 είναι το Α (0.0089, ) µε γωνία θ = tan h) σ ) σ < = å 81

110 Και επειδή όπως φαίνεται στο Σχήµα θ = φ άρα φ = 0.52 = ç [3.3.11] Το αντίστοιχο συµµετρικό σηµείο τοµής των S 3 και S 2 είναι το Α( , ) µε γωνία θ = å. Ακρότατα κριτηρίου Σε αυτό το σηµείο, έχει µεγάλο ενδιαφέρον να γνωρίζουµε τα ακρότατα των συναρτήσεων που εκφράζουν το παραπάνω κριτήριο αστοχίας. Αυτό µπορεί να επιτευχθεί µε την εξίσωση µε το µηδέν των µερικών παραγώγων των συναρτήσεων [3.3.6] και [3.3.7] του κριτηρίου αστοχίας σε σχέση µε τις συνιστώσες s καιs. 1 2 Δηλαδή, f s 1 = 0 και f s 2 = 0 [3.3.12] Από την επίλυση των σχέσεων [3.3.12] για τις S 3 και S 2 προκύπτουν δύο σηµεία µε: C ) = o p étè C < = o p [3.3.13] C ) = o p étè C < = o p [3.3.14] Εποµένως τα ακρότατα της S 3 απεικονίζονται στο Σχήµα και είναι τα: 82

111 C (-0.567, ) και D (0.094, ) καθώς και τα αντίστοιχα συµµετρικά σηµεία για την S 3 C (-1.257, ) και D(-0.594, 0.094) 3.4 Εμπειρικά Κριτήρια Αστοχίας Στη συγκεκριµένη ενότητα παρουσιάζονται τα πιο αντιπροσωπευτικά εµπειρικά κριτήρια αστοχίας που χρησιµοποιούνται κατά την ανάλυση κατασκευών από τοιχοποιία [Ganz and Thurlimann, 1985] Το κριτήριο αστοχίας, το οποίο προτείνεται από τους Ganz και Thurliman, αναφέρεται σε τοιχοποιίες από διάτρητα αργιλικά τούβλα. Σύµφωνα µε το κριτήριο αυτό, γίνεται διάκριση της αστοχίας σε πέντε κατηγορίες στις οποίες αντιστοιχούν η καθεµία από τις εξισώσεις [3.4.1], [3.4.2], [3.4.3], [3.4.4] και [3.4.5], όπως φαίνονται στο Σχήµα 3.4.1, ενώ αγνοείται κάθε εφελκυστική αντοχή.? < Bê C B C ê = 0 [3.4.1]? < Bê C B + C ê + = 0 [3.4.2]? < Bê + C ê C ê + = 0 [3.4.3]? < Bê ë C B tan í < = 0 [3.4.4]? < Bê + C B C B + 2 ë tan ç 4 + í 2 = 0 [3.4.5] 83

112 Σχήµα 3.4.1: Κριτήριο αστοχίας τοιχοποιίας [Granz H.R., and Thurlimann B., 1985] [Bernadini, Modena and Vesconi, 1982] Στην εργασία αυτή, προτείνεται ένα απλοποιηµένο ανισότροπο διαξονικό κριτήριο για τοιχοποιία από κοίλες οπτόπλινθους. Πιο συγκεκριµένα, οι συγγραφείς, κάνοντας χρήση των πειραµατικών δεδοµένων σε κανονική τοιχοποιία µε κεκλιµένους τους αρµούς έδρασης (θ=45, 60, 90 ) και για σταθερό λόγο των επιβαλλοµένων τάσεων (σ 1 /σ 2 = 3), προτείνουν ένα απλοποιηµένο κριτήριο θραύσης (Σχήµα 3.4.2), το οποίο προσεγγίζει ικανοποιητικά τα πειραµατικά δεδοµένα. Με βάση το κριτήριο αυτό, διαπιστώνεται η σηµασία της επιρροής της κλίσης των αρµών έδρασης στον τρόπο αστοχίας της τοιχοποιίας. 84

113 Σχήµα 3.4.2: Κριτήριο αστοχίας τοιχοποιίας [Bernadini, Modena, and Vesconi, 1982] [Naraine and Sinha, 1991] Στην εργασία αυτή (η οποία αποτελεί επέκταση προγενέστερων εργασιών [Naraine and Sinha, 1988/1989] για τη µελέτη της συµπεριφοράς της τοιχοποιίας υπό µονοαξονικές θλιπτικές φορτίσεις), επιχειρείται η πειραµατική διερεύνηση της συµπεριφοράς της τοιχοποιίας υπό διαξονική θλίψη και η εν συνεχεία προσοµοίωση των πειραµατικών αποτελεσµάτων µε τη βοήθεια µιας εµπειρικής εξίσωσης. Πραγµατοποιήθηκαν 45 θλιπτικές διαξονικές δοκιµές σε δοκίµια διαστάσεων 360mm x 360mm x 115mm, τα οποία ήταν κατασκευασµένα µε µισής κλίµακας τούβλα διαστάσεων 115mm x 55mm x 35mm, και κονίαµα πάχους 6mm. Η µέση αντοχή των τούβλων ήταν 13,6 MPa (απόκλιση 1,6 MPa). Η σύνθεση του κονιάµατος ήταν 1:5 (τσιµέντο:άµµος) κατ όγκο, ενώ η µέση θλιπτική αντοχή αυτού ήταν 6,6 MPa (απόκλιση 1,1 MPa). 85

114 Σχήµα 3.4.3: Καµπύλη αστοχίας της τοιχοποιίας υπό διαξονική θλίψη [Naraine and Sinha, 1991]. Τα αποτελέσµατα της πειραµατικής διερεύνησης απεικονίζονται στο Σχήµα Από το διάγραµµα του Σχήµα 3.4.3, συνάγεται το συµπέρασµα ότι σε σχετικά χαµηλά επίπεδα τάσεων (π.χ. fn / fp = 5.0 και fn / fp = 0.2), υπάρχει µια µέση αύξηση 30% της δεσπόζουσας τάσης αστοχίας. Ωστόσο, για µεγαλύτερα επίπεδα τάσεων, δεν υπάρχει έντονη επιρροή του λόγου των κύριων τάσεων στη δεσπόζουσα τάση αστοχίας. Τα πειραµατικά αυτά δεδοµένα προσεγγίζονται σε όρους κύριων τάσεων διαµέσου ενός εµπειρικού κριτηρίου αστοχίας σε όρους κύριων τάσεων, το οποίο και περιγράφεται από τη σχέση: 86

115 ì î < + 1 ì ï ) + ì ï < = 1 [3.4.6] όπου î <, ï ), ï < είναι οι αναλλοίωτες των κύριων τάσεων, οι οποίες καθορίζονται από τις σχέσεις: î < = o^ o ó < [3.4.7] ï ) = o^ + o ó [3.4.8] ï < = o^ o ó [3.4.9] όπου: : µέση αντοχή σε θλίψη κάθετα στον αρµό βάσης : µέση αντοχή σε θλίψη παράλληλα στον αρµό βάσης ì: σταθερά η οποία διέπει τη φύση της αλληλεπιδρούσης καµπύλης αστοχίας Για ì = 1 στην εξίσωση [3.4.6] προκύπτει το κριτήριο του Von Mises, ενώ για ì = 1.6 έχουµε τη βέλτιστη προσέγγιση των πειραµατικών αποτελεσµάτων. Στην ίδια εργασία πραγµατοποιείται σύγκριση των προκυπτουσών καµπυλών αστοχίας µε τις πειραµατικές καµπύλες αστοχίες της εργασίας [Page, 1981] και [Page, Kleeman, and Dhanasekar, 1985]. 87

116 3.4.4 Τροποποιημένο Κριτήριο του Von Mises [Syrmakezis et al, 1995, 1997] Σύµφωνα µε αυτό το κριτήριο, ορίζεται ως επιφάνεια αστοχίας µια τροποποιηµένη επιφάνεια από αυτές του κριτηρίου του Von Mises. Η επιφάνεια αυτή φαίνεται σε τοµή στο επίπεδο στο Σχήµα και ορίζεται από την ένωση τεσσάρων επιφανειών S1, S2, S3, S4, που εκφράζονται από τις εξής σχέσεις: S1 (ταυτίζεται µε έλλειψη Von Mises): για σ xx και σ yy 0: C < BB + C < êê C BB C êê + 3? < o < ôp = 0 [3.4.10] S2: s xx ³ 0 και syy 0: C êê + 1 C BB e o < ôp 3? < = 0 [3.4.11] S3: για s xx και syy ³ 0: C BB + C êê e = 0 [3.4.12] S4: συµµετρική της S2 ως προς το διχοτοµούν επίπεδο του πρώτου τεταρτηµορίου. όπου: e = ö õú ö õù o < ôp 3? < f wc : η θλιπτική αντοχή θραύσης f wt : η εφελκυστική αντοχή θραύσης 88

117 Σχήµα 3.4.4: Η επιφάνεια αστοχίας βάσει του τροποποιηµένου κριτηρίου Von Mises. [Syrmakezis et al, 1995, 1997]. 3.5 Αναλυτικά Κριτήρια Αστοχίας Τα αναλυτικά κριτήρια αστοχίας για την περίπτωση της τοιχοποιίας σπανίζουν. Ενδεικτικό είναι το γεγονός ότι οι αντίστοιχες αναλυτικές µέθοδοι προσδιορισµού της επιφάνειας αστοχίας εισήχθησαν µόλις τις δύο τελευταίες δεκαετίες [Dhanasekar, Page and Kleeman, 1985], [Page, Kleeman and Dhanasekar, 1985] Οι συγκεκριµένες εργασίες προτείνουν ένα αναλυτικό προσοµοίωµα προσδιορισµού της επιφάνειας αστοχίας σε όρους (σ x, σ y, τ). Για να προσδιοριστεί το κριτήριο αυτό, χρησιµοποιήθηκαν τα πειραµατικά αποτελέσµατα 180 δοκιµών για διάφορες τιµές της κλίσης θ του αρµού έδρασης. Σηµειωτέον δε ότι οι δοκιµές αυτές έχουν πραγµατοποιηθεί 89

118 σε προγενέστερη φάση [Page 1981, 1983] και µάλιστα σε διαφορετικές χρονικές περιόδους. Οι συγγραφείς αναφέρουν ότι η επιφάνεια αστοχίας στο χώρο (σ 1, σ 2, θ) έχει ακανόνιστη µορφή και είναι δύσκολο να εκφραστεί αλγεβρικά, ενώ επιπροσθέτως, σηµειώνουν ότι τοπικές κοιλότητες στο διαξονικά καταπονούµενο (εφελκυσµός/ θλίψη) τεταρτηµόριο της επιφανείας αστοχίας µπορούν να θέσουν προβλήµατα στους αριθµητικούς υπολογισµούς. Έτσι, και εξετάστηκε µία εναλλακτική επιφάνεια αστοχίας σε όρους (σ x, σ y, τ). Τα πειραµατικά σηµεία (σ 1, σ 2, θ) της επιφάνειας αστοχίας µετασχηµατίστηκαν σε (σ x, σ y, τ). Με βάση τα στοιχεία (σ x, σ y, τ) αυτά, σχεδιάστηκαν καµπύλες ισοδιατµητικής τάσης στο επίπεδο σ x - σ y (Σχήµα 3.5.1), από τις οποίες προκύπτει ότι η επιφάνεια αστοχίας µπορεί να προσεγγιστεί από τρεις ελλειπτικούς κώνους σε όρους (σ x, σ y, τ). Η επιφάνεια αστοχίας αναπαρίσταται διά µέσου τριών ελλειπτικών κώνων, Σχήµα Η εξίσωση των ελλειπτικών κώνων δίνεται από την έκφραση: ì ) C ê < + ì < C B < + ì D? < + ì j C ê C B + ì à C ê < + ì O C B + 1 = 0 [3.5.1] όπου C i, i = 1, 6 σταθερές. Οι σταθερές αυτές για καθέναν από τους τρεις κώνους δίνονται στον Πίνακα Πίνακας 3.5.1: Τιµές των σταθερών των ελλειπτικών κώνων. Κώνος C1 C2 C3 C4 C5 C6 x10-3 x10-3 x10-3 x10-3 x10-3 x

119 Σχήµα 3.5.1: Ισοδιατµητικές καµπύλες στο επίπεδο σx σy [Dhanasekar M., 1985]. Σχήµα 3.5.2: Επιφάνεια αστοχίας στο χώρο (σ x,σ y, τ) [Dhanasekar M., 1985]. 91

120 3.5.2 [Scarpas, 1991], [Andreaus, 1996], [Συρμακέζης και Αστερής, 1999] Στις τρεις αυτές εργασίες προτείνεται ένα ενιαίο αναλυτικό προσοµοίωµα προσδιορισµού της επιφάνειας αστοχίας σε όρους (σ x, σ y, τ). Η διαφοροποίηση µεταξύ των τριών εργασιών έγκειται στον διαφορετικό τρόπο προσδιορισµού της σταθεράς F 12 για κάθε µία εργασία. Η επιφάνεια αστοχίας αναπαρίσταται από µία ελλειπτική επιφάνεια (Σχήµα 3.5.3) που εκφράζεται από την παρακάτω εξίσωση: Σχήµα 3.5.3: Επιφάνεια αστοχίας τοιχοποιίας σε όρους ορθών τάσεων (τ=0.0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0 ΜPa) [Συρµακέζης, Αστερής, 1999] [Ottosen, 1977] Πρόκειται για ένα ισότροπο κριτήριο αστοχίας, το οποίο χρησιµοποιείται από πολλούς ερευνητές, θεωρώντας την αργολιθοδοµή ως ισότροπο υλικό (Karantoni et.al. 1993). Έχει προταθεί για το σκυρόδεµα από τον Otttosen 1977 και περιγράφεται από τη σχέση: 92

121 tî < + û î < + yï ) = 1 [3.5.2] Όπου I 1 είναι η πρώτη αναλλοίωτη των κυρίων τάσεων και J 2 η δεύτερη, ενώ η σταθερά λ καθορίζεται µέσω παρακάτω σχέσεων: û = ë ) cos Ñü ` p a Ñü Dk D εάν cos3θ 0 [3.5.3] û = ë ) ë lhpòz ` hp a pòz Dk D εάν cos3θ<0 [3.5.4] Όπου cosθ στις σχέσεις [3.5.3] και [3.5.4] είναι: ë 3 = 3 3 î D D < 2î < [3.5.5] Όπου J 3 είναι η τρίτη αναλλοίωτη των κυρίων τάσεων Για εφαρµογή του κριτηρίου αστοχίας σε τοιχοποιία, προτείνονται από τη µελέτη των Karantoni et.al. 1993, οι τιµές των παραµέτρων α, β, c 1 και c 2 που φαίνονται στη σχέση [3.5.5], µε αναλογία εφελκυστικής προς θλιπτική αντοχή ίση µε 0,085 και διαξονικής- µονοαξονικής θλιπτικής αντοχής ίση µε 1,65. α = 0,665 o ô < y = 3,84 o ô ë ) = 13,8 o ô ë < = 0,959 [3.5.6] όπου f w = µονοαξονική θλιπτική αντοχή της τοιχοποιίας. 93

122 3.6 Συμπεράσματα Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάστηκαν τόσο τα κλασσικά κριτήρια αστοχίας της βιβλιογραφίας όσο και τα πιο αντιπροσωπευτικά κριτήρια που έχουν διατυπωθεί για την προσοµοίωση της αστοχίας της τοιχοποιίας. Παρά την πληθώρα των κριτηρίων που έχουν διατυπωθεί τις τελευταίες τέσσερις δεκαετίες για την περιγραφή της αστοχίας της τοιχοποιίας κρίνεται αναγκαία η παιραιτέρω έρευνα και πιο συγκεκριµένα, η διατύπωση ενός κριτηρίου αστοχίας µέσω µιας και µόνο εξίσωσης, για το σύνολο των δυνατών εντατικών καταστάσεων, σε αντίθεση µε την πλειονότητα των µέχρι σήµερα προτάσεων. Αξίζει να σηµειωθεί ότι συνιστάται (Zienkiewicz et al. 1969) να αποφεύγεται η χρήση επιφάνειας αστοχίας µε ιδιόµορφα σηµεία, κάνοντας κατάλληλη επιλογή συνεχών κλειστών καµπυλών, οι οποίες συνήθως αντιπροσωπεύουν την πραγµατική συνθήκη µε ικανοποιητικό βαθµό ακρίβειας. Προς την κατεύθυνση αυτή στο αµέσως επόµενο κεφάλαιο θα διατυπωθεί ένα αναλυτικό κριτήριο αστοχίας µε στόχο την αξιόπιστη προσοµοίωση της συµπεριφοράς της τοιχοποιίας στη φάση της αστοχίας. 94

123 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙV: ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΟ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΣΤΟΧΙΑΣ 4.1 Εισαγωγή Δεδοµένων των πολλαπλών αβεβαιοτήτων του προβλήµατος, µία αποτελεσµατική διερεύνηση της συµπεριφοράς των κατασκευών από τοιχοποιία µε χρήση σύγχρονων µεθόδων ανάλυσης προϋποθέτει την ύπαρξη ενός αναλυτικού προσοµοιώµατος, το οποίο να περιγράφει ικανοποιητικά την επιφάνεια αστοχίας της τοιχοποιίας. Στην κατεύθυνση αυτή όµως, η περίπλοκη µηχανική συµπεριφορά της τοιχοποιίας που είναι ένα υλικό πολυφασικό, δηµιουργεί σοβαρά εµπόδια. Παρά ταύτα, τουλάχιστον για τις κανονικές τοιχοποιίες, δηλαδή για τοιχοποιίες µε λιθοσώµατα σχήµατος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου και αρµούς οριζόντιους και κατακόρυφους, αρκετές προτάσεις αναλυτικών κριτηρίων έχουν προταθεί (Dhanasekar, Page and Kleeman 1985, Naraine et al. 1991, Vratsanou 1992, Scarpas 1991, Syrmakezis et al. 1995, Syrmakezis et al. 1997). Μία παράλληλη εξέλιξη στον πειραµατικό τοµέα παρέχει ουσιαστική υποστήριξη στις αναλυτικές προσπάθειες (Samarasinghe 1980, Page 1980, Page 1981, και Tassios et al. 1989). Κοινό χαρακτηριστικό των περισσοτέρων πειραµατικών εργασιών είναι το ότι µελετούν κανονικές τοιχοποιίες. Στις εργασίες αυτές, τα δοκίµια της τοιχοποιίας είναι συνήθως τετραγωνικής διατοµής. Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζεται ο αναλυτικός προσδιορισµός της επιφάνειας αστοχίας µίας κανονικής ανισότροπης (ορθότροπης) τοιχοποιίας υπό διαξονική ένταση. Ο προσδιορισµός της επιφάνειας αστοχίας γίνεται µε χρήση ενός κυβικού τανυστικού πολυωνύµου. Για την εφαρµογή της µεθόδου χρησιµοποιούνται τα πειραµατικά 95

124 δεδοµένα του Page (Page 1981). Τα δεδοµένα αυτά θεωρούνται κλασικά, πολλοί δε ερευνητές τα έχουν ήδη χρησιµοποιήσει στις εργασίες τους (π.χ. Dhanasekar Page and Kleeman 1985, Naraine and Sinha 1991, Vratsanou 1992). Η µέθοδος παρουσιάζεται τόσο σε απλοποιηµένη όσο και σε γενικευµένη µορφή. Τα κύρια προβλήµατα στα οποία πρέπει να απαντήσει η µέθοδος είναι: η εξασφάλιση κλειστής µορφής της επιφάνειας αστοχίας (διατύπωση συνθήκης εξασφάλισης του κλειστού της επιφάνειας αστοχίας), η ενιαία µαθηµατική έκφραση για το σύνολο των δυνατών συνδυασµών επίπεδης έντασης, έτσι ώστε να είναι εύκολη η χρήση και αξιοποίηση αυτής κατά την ανάλυση κατασκευών από τοιχοποιία, η ικανοποιητική προσέγγιση των πραγµατικών δεδοµένων της τοιχοποιίας στη φάση της αστοχίας. 4.2 Αναλυτικό προσομοίωμα Ως γενικό κριτήριο αστοχίας κατάλληλο για σύνθετα υλικά, µπορεί να χρησιµοποιηθεί ένα τανυστικό πολυώνυµο. Συγκεκριµένα, η επιφάνεια αστοχίας στο χώρο της έντασης µπορεί να περιγραφεί από την εξίσωση (Tsai et al. 1971, Wu 1972, Jiang et al. 1989): ( ) f s = Fs + Fss + F ss s + - = [4.2.1] l i i ij i j ijk i j k όπου i, j, k δείκτες µε τιµές 1,2,,6, ( l 1, 2,..., 6) s l = οι συνιστώσες της τάσης και F i, F ij, F ijk προσδιοριστέοι συντελεστές των τανυστών. Προφανώς, όπως φαίνεται και στην εξίσωση [4.2.2], για τιµές f ( s l ) < 0 δεν υπάρχει αστοχία, ενώ για ( l ) 0 έχει ήδη συντελεστεί. f s > η αστοχία 96

125 ƒ ì á 1 no failure ï σ = F i σ i + F ij σ i σ j + F ijk σ i σ j σ k + í = 1 failure [4.2.2] ï î ñ 1 exceeded failure ( ) Επιλέγονται γενικά ως συνιστώσες της τάσης σ 1, σ 2, σ 3 οι ορθές τάσεις και ως σ 4, σ 5, σ 6 αντίστοιχα οι διατµητικές. Έτσι, στην επίπεδη εντατική κατάσταση που εξετάζεται, θα υπάρχουν οι τρεις µόνον συνιστώσες της τάσης σ 1, σ 2, σ 6 (i, j, k = 1, 2 και 6) που αντιστοιχούν στις τάσεις σ xx, σ yy, τ. Στην περίπτωση αυτή, και µε διατήρηση των τριών µόνο πρώτων όρων της εξίσωσης [4.2.2] (τανυστικό πολυώνυµο 3 ης τάξης), αυτή γράφεται: F s + F s + F s + F s + F s s + F s s F s s + F s + F s s + F s s + F s s + F s F s + F s s + F s s + F s s + F s s F s s s + F s s + F s s s + F F s s + F s s + F s s s + F s s + F s F s s + F s s s + F s s + F s s F s s + F s s s + F s s + F s s s F s s + F s s + F s s + s s + s s + s - = F F [4.2.3] Γίνονται οι πιο κάτω παραδοχές (Wu and Scheublein1974): Το υλικό είναι ορθότροπο, εµφανίζει δηλαδή συµµετρία ως προς τους άξονες Ox, Oy. Άρα, για i¹ j, Fij ¹ F. ji Η αστοχία εξαρτάται µόνον από την εντατική κατάσταση και είναι ανεξάρτητη από τον τρόπο επιβολής της φόρτισης. Άρα, για i¹ j ¹ k ¹ i, Fijk = Fikj = Fjik = Fkij = Fkji = F. jki Το υλικό υπό δεδοµένη διατµητική φόρτιση, πρέπει να εµφανίζει κοινή διατµητική αντοχή (S=S ), και για θετική, και για αρνητική φορά της φόρτισης. Η 97

126 ικανοποίηση της συνθήκης αυτής επιβάλλει το µηδενισµό των περιττών δυνάµεων του σ 6, αφού αλλιώς, για µία απλή περίπτωση διατµητικής φόρτισης, θα υπήρχε εξάρτηση της τιµής του κριτηρίου από το πρόσηµο της φόρτισης. Άρα: F = F = F = F = F = F = F = F = F = Αποδεικνύεται ότι οι όροι F, 111 F δεν επιτρέπουν την ανάπτυξη µίας συνεχούς 222 επιφάνειας της περιβάλλουσας αστοχίας (δίνουν 12 διακεκριµένες ρίζες στο επίπεδο σ 1, σ 2 ) και ως εκ τούτου πρέπει να παραλειφθούν ως µη αποδεκτοί. Με βάση τις πιο πάνω παραδοχές και µε χρήση των συνήθων συµβόλων (σ xx, σ yy, τ) αντί των (σ 1, σ 2, σ 6 ), η εξίσωση [4.2.3] γράφεται: ( x, y, ) 1 x 2 y 11 x 22 y 66 f s s t = F s + F s + F s + F s + F t F s s + 3 F s s + 3 F s s x y 112 x y 122 x y + 3 F s t + 3 F s t - 1= x 266 y [4.2.4] Για τον υπολογισµό των σταθερών F 1, F 2, F 11, F 22, F 66, έχουν προταθεί διάφοροι τρόποι µέχρι σήµερα. Σε όλες τις προτάσεις οι πέντε πρώτες σταθερές F 1, F 2, F 11, F 22, F 66 υπολογίζονται πειραµατικά, από τις τιµές των µονοαξονικών (εφελκυστικών και θλιπτικών) τάσεων αστοχίας κατά µήκος των αξόνων x και y και των διατµητικών τάσεων αστοχίας στο επίπεδο xy. Από φυσική άποψη, οι συντελεστές (F 1, F 11 ) και (F 12, F 22 ), πρέπει να υπολογισθούν µε βάση τις µονοαξονικές δοκιµές (εφελκυσµός - θλίψη). Για την περίπτωση της κανονικής τοιχοποιίας που εξετάζεται, τα δύο σηµεία τοµής (Χ,0,0) και (-Χ,0,0) της επιφάνειας αστοχίας π.χ. µε τον άξονα x, καθορίζονται από τις µονοαξονικές κατά x αντοχές της σε εφελκυσµό και θλίψη, Χ και Χ αντίστοιχα (Σχήµα 4.2.1). 98

127 Σχήµα 4.2.1: Μονοαξονική δοκιµή εφελκυσµού και θλίψης κατά Χ και Χ αντίστοιχα. Για τα σηµεία αυτά, η εξίσωση [4.2.4] γράφεται: F X + F X = 1, - F X ' + F X ' = [4.2.5] Η λύση του συστήµατος των εξισώσεων [4.2.5] δίνει τις τιµές: F1 = -, F11 = X X ' X X ' [4.2.6] Ανάλογα, τα δύο σηµεία τοµής (0,Υ,0) και (0,-Υ,0) της επιφάνειας αστοχίας µε τον άξονα y, καθορίζονται µε µονοαξονικές δοκιµές εφελκυσµού και θλίψης κατά Y και Y αντίστοιχα (Σχήµα 4.2.2). Σχήµα 4.2.2: Μονοαξονική δοκιµή εφελκυσµού και θλίψης κατά Y και Y αντίστοιχα. 99

128 Και αντίστοιχα η εξίσωση [4.2.4] δίνει τις τιµές: F2 = -, F22 = Y Y' Y Y' [4.2.7] Τέλος, µε δοκιµή της τοιχοποιίας σε καθαρή διάτµηση καθορίζονται τα σηµεία (0,0,S) και (0,0,-S) της επιφάνειας αστοχίας (Σχήµα 4.2.3). Σχήµα Δοκιµή της τοιχοποιίας σε καθαρή διάτµηση. Για τα σηµεία αυτά, από την εξίσωση [4.2.4] προκύπτει: F 1 = S 66 2 [4.2.8] 4.3 Κριτήριο αστοχίας υπό απλοποιημένη μορφή Διατύπωση Κριτηρίου Εάν στην εξίσωση [4.2.4] παραλείψουµε προς το παρόν, χάριν απλοποίησης, τους όρους των τριπλών δεικτών, το κριτήριο απλοποιείται στη µορφή: ( x, y, ) 1 x 2 y 11 x 22 y 66 f s s t = F s + F s + F s + F s + F t F s s - 1= 0 12 x y [4.3.1] 100

129 Σηµειώνεται ότι η παράλειψη των τριπλών όρων συντελεί σε µικρότερη εξάρτηση της συµπεριφοράς του υλικού από τη διατµητική αντοχή του, κάτι το οποίο όµως, όπως αποδεικνύεται και στη συνέχεια, δεν είναι αµελητέο. Υπό τη µορφή αυτή, το κριτήριο εφαρµόστηκε ήδη µέχρι σήµερα, κυρίως για τοιχοποιίες από οπτοπλινθοδοµή µε οριζόντιους και κατακόρυφους αρµούς (Dhanasekar Page and Kleeman 1985, Scarpas 1991), µε χρήση υφιστάµενων πειραµατικών αποτελεσµάτων (Page 1981, Σπανός 1986, Τάσσιος, Σπανός και Βαχλιώτης, 1987). Για τον προσδιορισµό της τελευταίας σταθεράς F 12 προτείνεται η εφαρµογή της µεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων. Συγκεκριµένα, αναζητείται η τιµή της F 12 κατά τρόπον n ( ) å E = F s + F s + F s + F s + F t + F s s - v xi yi xi yi i xi yi i= 1 [4.3.2] για µία ν-άδα δεδοµένων πειραµατικών (σ xi,σ yi,τ i ), (i=1,2,,ν), να εµφανίζει ακρότατη τιµή και µάλιστα ελάχιστη. Αυτό επιτυγχάνεται όταν: F E v 12 = 0 [4.3.3] Από την εξίσωση αυτή προκύπτει η έκφραση της σταθεράς F 12 : F 12 = - n å( F1 F2 F11 F22 F66 1) i= 1 s + s + s + s + t - s s xi yi xi yi i xi yi n 2 2 å( xi yi ) 2 s s i= 1 [4.3.4] 101

130 Η εξίσωση [4.3.1] οδηγεί, για οποιοδήποτε επίπεδο τ, σε κλειστή καµπύλη (έλλειψη) (McCoy et al. 1955), (και κατά συνέπεια σε κλειστή επιφάνεια αστοχίας) αν F - F F <, δηλαδή: F11 F22 < F12 < F11 F22 [4.3.5] Εάν η τελευταία συνθήκη δεν ισχύει, τότε ως τιµή ακρότατου της F 12 λαµβάνουµε αντί της [4.3.5] την τιµή - F11 F22 ή + F11 F22, ανάλογα αν το ελάχιστο της καµπύλης βρίσκεται προς τα αριστερά ή δεξιά της αποδεκτής περιοχής, εις τρόπον ώστε να εξασφαλίζεται και το κλειστό της καµπύλης. Στη βιβλιογραφία έχουν προταθεί µέχρι σήµερα διάφοροι άλλοι τρόποι υπολογισµού της σταθεράς F 12, π.χ. (Wu, 1972). Κύριο γνώρισµα των προτεινόµενων µεθόδων είναι ότι υπολογίζουν πρώτα τον βέλτιστο λόγο β=σ x /σ y, για τον οποίο παρατηρείται µικρότερη µεταβολή της F 12 και µετά πραγµατοποιείται διαξονική δοκιµή που αντιστοιχεί στον λόγο β. Με βάση τα αποτελέσµατα της δοκιµής αυτής προκύπτει από την εξίσωση [4.3.3], η σταθερά F 12. Με τον τρόπο όµως αυτόν υπάρχει πάντοτε ο κίνδυνος η τιµή της σταθεράς F 12 που θα προκύψει να µην οδηγεί σε κλειστή καµπύλη αστοχίας και άρα να µην είναι η βέλτιστη συνολικά λύση (Wu, 1972). Αλλά και στην περίπτωση όπου η λύση θα προκύψει κλειστή, θα πρέπει αυτή να ελεγχθεί και ως προς τη συµβατότητά της µε τα υφιστάµενα δεδοµένα, αφού δεν είναι βέβαιον ότι τα προσεγγίζει κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο. 102

131 4.3.2 Παράδειγμα Για την εφαρµογή της µεθόδου αναπτύχθηκε πρόγραµµα Ηλεκτρονικού Υπολογιστή σε γλώσσα προγραµµατισµού FORTRAN. Με χρήση του προγράµµατος δηµιουργείται η επιφάνεια αστοχίας για µία πραγµατική περίπτωση υλικού κανονικής τοιχοποιίας, εφόσον υπάρχουν διαθέσιµα κατάλληλα πειραµατικά δεδοµένα. Στο πρώτο αυτό παράδειγµα χρησιµοποιήθηκαν πειραµατικά δεδοµένα από την εργασία του Page (Page, 1981) τα οποία παρουσιάζονται στον Πίνακα Πίνακας 4.3.1: Δεδοµένα διαξονικών δοκιµών (Page, 1981). Α/α δοκιµής σ x (MPa) σ y (MPa) τ (MPa) Οι τιµές των µονοαξονικών αντοχών αστοχίας φαίνονται στον Πίνακα Πίνακας 4.3.2: Μονοαξονικές αντοχές αστοχίας τοιχοποιίας. X (MPa) X' (MPa) Y (MPa) Y' (MPa) S=S' (MPa) Με βάση τις τιµές αυτές και µε χρήση των εξισώσεων [4.2.6], [4.2.7] και [4.2.8], υπολογίζονται οι σταθερές F i, F ii. Οι τιµές τους αναγράφονται στον Πίνακα Πίνακας 4.3.3: Συντελεστές F i, F ii. F 1 (MPa) -1 F 11 (MPa) -2 F 2 (MPa) -1 F 22 (MPa) -2 F 66 (MPa) E E E E E+01 Για τον υπολογισµό της F 12 κάνουµε χρήση των πειραµατικών δεδοµένων του Πίνακα Όπως προκύπτει από τον Πίνακα, πρόκειται για αποτελέσµατα πειραµάτων της 103

132 συνήθους από τη βιβλιογραφία µορφής, µε σταθερά µηδενική τη διατµητική τάση. Από την εξίσωση [4.3.4], υπολογίζεται η τιµή F 12 = Η τιµή αυτή είναι αποδεκτή, αφού βρίσκεται, σύµφωνα µε τη συνθήκη [4.3.5], και όπως φαίνεται και στο Σχήµα 4.3.1, µεταξύ των ορίων ± )) << = ± Σχήµα 4.3.1: Μεταβολή του τετραγωνικού σφάλµατος Ε ν συναρτήσει της F 12, σύµφωνα µε την εξίσωση [4.3.2]. Στο Σχήµα απεικονίζεται η καµπύλη αστοχίας τ=0 για την υπόψη τιµή της F 12. Στο ίδιο σχήµα απεικονίζονται µε τελείες και τα πειραµατικά δεδοµένα, τα οποία δηµιουργήθηκαν για τον προσδιορισµό της (δεδοµένα Πίνακα 4.3.1). Κατά συνέπεια, η εξίσωση του κριτηρίου αστοχίας είναι η: x 9,87 y x 1.32 y x y 1 s + s + s + s + t - s s = [4.3.6] 104

133 Σχήµα 4.3.2: Καµπύλη αστοχίας της τοιχοποιίας για τ=0.00. Η συνολική γραφική παράσταση του κριτηρίου, συµµετρικής ως προς τους κύριους άξονές του, φαίνεται στο Σχήµα Σχήµα 4.3.3: Επιφάνεια αστοχίας τοιχοποιίας σε όρους ορθών τάσεων (τ=0.0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0 MPa). 105

134 Η µέγιστη τιµή της διατµητικής τάσης τ εµφανίζεται στο ανώτατο (top) σηµείο f f ταυτόχρονου µηδενισµού των δύο παραγώγων του κριτηρίου = 0, = 0. Η τιµή s s αυτή είναι η: x y F F + F F - 2 F F F + 4 F F - 4 F t = max 2 ( F11 F22 F12 ) [4.3.7] Οι αντίστοιχες τιµές των ορθών τάσεων είναι 1 : - F F + F F, F F - F s = s = F x, top, 2 y top 2 ( F11 F22 F12 ) ( F11 F22 F12 ) [4.3.8] Για το παράδειγµα που εξετάσθηκε, η µέγιστη τιµή της διατµητικής τάσης υπολογίζεται από την [4.3.7] ίση µε 2.08 MPa. Οι αντίστοιχες ορθές τάσεις βρίσκονται s = MPa, s = MPa. x, top y, top Στο παράδειγµα αυτό, µπορεί κανείς να δείξει εύκολα και τους κινδύνους που προαναφέρθηκαν ήδη, όταν γίνεται άµεσος υπολογισµός της σταθεράς F 12. Για παράδειγµα, για τα δεδοµένα της τελευταίας (ενδέκατης) δοκιµής του Πίνακα 4.3.1, η τιµής της F 12 προκύπτει άµεσα από την εξίσωση [4.3.1] ίση µε Η γραφική 1 Απόδειξη ö R ß = ) + 2 )) C B + 2 )< C ê = 0 C ê = h `h< ``R ß < `a (1) o C ê = < + 2 << C ê + 2 )< C B = 0 1 C ê = < + 2 << 2 )< ) 2 )) C B + 2 )< C B = 0 C B,qòó = ) << + < )< < 2 )) << )< όµοια διαδικασία ακολουθείται και για τον προσδιορισµό της C ê,qòó 106

135 παράσταση του κριτηρίου για την περίπτωση αυτή σχεδιάζεται στο Σχήµα (καµπύλη α). Αλλά και στην περίπτωση 4 του Πίνακα των δεδοµένων, η τιµή της F 12 προκύπτει από την εξίσωση [4.3.1] ίση µε , οπότε το κριτήριο έχει τη µορφή της καµπύλης β όπως φαίνεται στο Σχήµα Παρόλο ότι η καµπύλη, στην περίπτωση αυτή προκύπτει κλειστή, είναι προφανής η απόκλισή της από τα δεδοµένα του προβλήµατος. Σχήµα 4.3.4: Ανοικτή καµπύλη αστοχίας της τοιχοποιίας. Σε αριθµούς, το µέσο τετραγωνικό σφάλµα για την περίπτωση της καµπύλης (α) είναι ,610, ενώ για την περίπτωση της καµπύλης (β) 1.038,766. Σηµειωτέον ότι για την καµπύλη στο Σχήµα 4.3.2, το τετραγωνικό σφάλµα ήταν µόνο 540,

136 4.4 Κριτήριο αστοχίας υπό γενικευμένη μορφή Στην παρούσα ενότητα παρουσιάζεται η µεθοδολογία για τον αναλυτικό προσδιορισµό της επιφάνειας αστοχίας της τοιχοποιίας υπό διαξονική ένταση, µε χρήση ενός κυβικού τανυστικού πολυωνύµου, που έχει ως κύριους στόχους την εξασφάλιση κλειστής µορφής της επιφάνειας αστοχίας (διατύπωση συνθήκης εξασφάλισης του κλειστού της επιφάνειας αστοχίας) καθώς και την ενιαία µαθηµατική έκφραση για το σύνολο των δυνατών συνδυασµών επίπεδης έντασης, έτσι ώστε να είναι εύκολη η χρήση και αξιοποίηση αυτής κατά την ανάλυση κατασκευών από τοιχοποιία. Η διατύπωση της επιφάνειας αστοχίας µέσω µίας ενιαίας µαθηµατικής έκφρασης καταργεί την ύπαρξη ιδιόµορφων σηµείων ασυνέχειας στην επιφάνεια διαρροής και υποβοηθά έτσι την επίλυση του κύριου προβλήµατος της µη γραµµικής ανάλυσης. Επίσης, σε αντίθεση µε την περίπτωση του κριτηρίου αστοχίας που εξετάσθηκε αµέσως παραπάνω, η παρουσία των «τριπλών» όρων συντελεί στην καλύτερη προσέγγιση της επιφάνειας αστοχίας, η οποία πλέον έχει ασύµµετρη µορφή Διατύπωση κριτηρίου Για τη διατύπωση του κριτηρίου, πρέπει να προσδιορισθούν οι σταθερές F τριπλών δεικτών. Αντίστοιχα µε την προηγούµενη περίπτωση, οι σταθερές F 12, F 112, F 122, F 166 και F 266 υπολογίζονται µε εφαρµογή της µεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων, κατά τρόπον τέτοιον ώστε η συνάρτηση: n å( E = F s + F s + F s + F s + F t + 2 F s s + n i= xi 2 yi 11 xi 22 yi 66 i 12 xi yi + 3 F s s + 3 F s s + 3 F s t + 3 F s t xi yi 122 xi yi 166 xi i 266 yi i ) 2 [4.4.1] 108

137 για µία ν-άδα πειραµατικών δεδοµένων (,, )( 1,2,..., ) s s t = n, να εµφανίζει xi yi i i ακρότατο, και µάλιστα ελάχιστο για τις τιµές αυτές. Αυτό επιτυγχάνεται όταν: En En En En En = 0, = 0, = 0, = 0, = 0 F F F F F [4.4.2] Το σύστηµα των παραπάνω πέντε εξισώσεων γράφεται µε τη µορφή: n é ù ê- 4 å( s xi s yi Ai ) ú i= 1 ê ú n ê 2 ú é8 S S S S S122 ù éf12 ù ê- 6 å( s xi s yi Ai ) ú ê 12 S S S S S ú ê 222 F ú i= 1 ê ú ê ú ê 112 ú n ê 2 ú ê12 S S S S S ú 132 xêf ú 122 = ê- 6 å( s xi s yi Ai ) ú ê ú ê ú i 1 ê12 S S S S S114 ú F ê = ú ê 166 ú n ê 2 ú ê ë12 S S S S S ú 024 û ê ëf ú û ê- å( s xi t i Ai ) ú ê i= 1 ú ê n ú 2 ê- 6 å( s yi t i Ai ) ú ë i= 1 û [4.4.3] S n j k l ( ),( j, k, l 0,1,2,3,4) = å s s t = [4.4.4] jkl xi yi i i= 1 και: A = F s + F s + F s + F s + F t - [4.4.5] i 1 xi 2 yi 11 xi 22 yi 66 i 1 Από την επίλυση του συστήµατος αυτού, προκύπτουν οι τιµές των F 12, F 112, F 122, F 166 και F

138 Οι προκύπτουσες τιµές των σταθερών πρέπει να ελεγχθούν ως προς το κατά πόσον αντιστοιχούν σε κλειστή επιφάνεια. Για το σκοπό αυτόν, ελέγχεται το κατά πόσον η ολική κατά Gauss καµπυλότητα Κ είναι θετική σε όλα τα σηµεία της επιφάνειας, δηλαδή (Stoker 1969, Mishchenko Solovyev and Fomenko 1985): 1 K = - D > æ f ö æ f ö æ f ö ç + + ç ç è s x ø è s y ø è t ø [4.4.6] ή, επειδή ο παρονοµαστής είναι πάντα θετικός: 2 f s 2 x 2 2 f f 2 s x s y s y D = < f f f 2 s t s t t x f f f s s t x y y 0 [4.4.7] Αν το κριτήριο [4.4.7] ικανοποιείται, οι τιµές των F που προκύπτουν από την επίλυση του συστήµατος [4.4.3] είναι αποδεκτές. Για την περίπτωση κατά την οποία η προκύπτουσα λύση δεν ικανοποιεί το κριτήριο [4.4.7], οπότε οι σταθερές δεν αντιστοιχούν σε κλειστή επιφάνεια, θα πρέπει να αναζητηθεί η λύση του συστήµατος [4.4.3], δηλαδή η βέλτιστη κλειστή επιφάνεια, ακολουθώντας διαδικασία, ανάλογη µε αυτή της παραγράφου

139 Συγκεκριµένα αναζητείται, αντί του ακρότατου (δηλαδή της λύσης του συστήµατος [4.4.3]), το τοπικά ελάχιστο ακρότατο, στις περιοχές εξασφάλισης του κλειστού της καµπύλης αστοχίας, ή αλλιώς της ικανοποίησης της συνθήκης [4.4.7]. Προκειµένου να αναζητηθούν τα όρια των περιοχών αυτών, γίνεται παραµετρική διερεύνηση ως προς µία των πέντε σταθερών, π.χ. ως προς τη σταθερά F 12, όπως και στην περίπτωση του απλοποιηµένου κριτηρίου. Θεωρώντας γνωστή την F 12, το σύστηµα [4.4.3] απλοποιείται: é18 S 18 S 18 S 18 S ù éf ù ê 18 S 18 S 18 S 18 S ú ê F ú n 2 å( xi yi i ) n å( xi yi i ) ê ú 122 x ê ú = ê18 S S S S ú ê 114 F ú 166 ê ú ê ú 18 S 18 S 18 S 18 S F ë û ë 266 û é ê- 6 s s B i= 1 ê ê ê- 6 s s B i= 1 ê n ê 2 ê- 6 å s xi ti Bi ê i= 1 n ê 2 ê- 6 å s yi t i Bi ë i= 1 ( ) ( ) ù ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú û [4.4.8] όπου: B = F s + F s + F s + F s + F t + 2 F s s - 1 [4.4.9] i 1 xi 2 yi 11 xi 22 yi 66 i 12 xi yi Για διάφορες τιµές της F 12, από - έως +, προκύπτουν διάφορες πεντάδες τιµών των σταθερών F 12, F 112, F 122, F 166 και F 266, σε κάθε µία από τις οποίες, αντιστοιχεί και µία τιµή της συνάρτησης [4.4.1]. Η βέλτιστη λύση είναι η πεντάδα, η οποία δίδει τη µικρότερη δυνατή τιµή στο τετραγωνικό σφάλµα Ε ν (εξίσωση [4.4.1]), και εξασφαλίζει ταυτόχρονα και το κλειστό της επιφάνειας αστοχίας (ικανοποίηση συνθήκης [4.4.7]). 111

140 4.4.2 Παράδειγμα Για τον προσδιορισµό των πέντε σταθερών F 12, F 112, F 122, F 166 και F 266, κάνουµε ταυτόχρονα χρήση των πειραµατικών δεδοµένων του Πίνακα 4.3.1, καθώς επίσης και αυτών του παρακάτω Πίνακα (χρησιµοποιούνται συνολικά 23 τριάδες δεδοµένων). Πίνακας 4.4.1: Δεδοµένα διαξονικών δοκιµών [Page, 1981]. Α/α δοκιµής σ x (MPa) σ y (MPa) τ (MPa) Από το σύστηµα [4.4.8], µε χρήση των πειραµατικών αυτών δεδοµένων, προκύπτουν οι τιµές των πέντε σταθερών F 12, F 112, F 122, F 166 και F 266 (Πίνακας 4.4.2), οι οποίες δεν ικανοποιούν τη συνθήκη κλειστής επιφάνειας (εξίσωση [4.4.7]). Πίνακας Συντελεστές F 12, F 112, F 122, F 166, F 266. F 12 (MPa) -2 F 112 (MPa) -3 F 122 (MPa) -3 F 166 (MPa) -3 F 266 (MPa) E E E E E-01 Η γραφική παράσταση της επιφάνειας για την υπόψη λύση απεικονίζεται στο Σχήµα

141 Σχήµα 4.4.1: Ανοικτή επιφάνεια αστοχίας της τοιχοποιίας σε όρους ορθών τάσεων (τ=0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0 MPa). Σχήµα 4.4.2: Μεταβολή του τετραγωνικού σφάλµατος Εν συναρτήσει της F

142 Εφόσον η λύση δεν εξασφαλίζει το κλειστό της επιφάνειας, ακολουθείται η διαδικασία ελέγχου του τετραγωνικού σφάλµατος Ε ν. Σύµφωνα µε τα προαναφερθέντα, σχεδιάζεται στο Σχήµα η µεταβολή του τετραγωνικού σφάλµατος Ε ν, ως προς τη µεταβλητή F 12. Επίσης, στο ίδιο σχήµα και σύµφωνα µε τη διαδικασία που περιγράφηκε στην παράγραφο (βλέπε εξίσωση [4.4.8]) απεικονίζεται και η περιοχή τιµών της F 12 για τις οποίες εξασφαλίζεται το κλειστό της επιφάνειας αστοχίας (ικανοποίηση της συνθήκης [4.4.7]). Η περιοχή αυτή είναι η: F [4.4.10] 12 Σύµφωνα µε το διάγραµµα αυτό, η βέλτιστη λύση αντιστοιχεί στην τιµή F 12 = Για την τιµή αυτή, οι τιµές των υπολοίπων σταθερών δίνονται στον Πίνακα Πίνακας 4.4.3: Συντελεστές F 12, F 112, F 122, F 166, F 266. F 12 (MPa) -1 F 112 (MPa) -2 F 122 (MPa) -1 F 166 (MPa) -2 F 266 (MPa) E E E E E+00 Έτσι, τελικά η επιφάνεια αστοχίας για την υπόψη τοιχοποιία περιγράφεται από την εξίσωση: 2.27 s s s s t x y x y s s s s s s x y x y x y + s t + s t = x y 1 [4.4.11] Η γραφική παράσταση της επιφάνειας απεικονίζεται στο Σχήµα

143 Σχήµα 4.4.3: Επιφάνεια αστοχίας της τοιχοποιίας σε όρους ορθών τάσεων (τ=0.0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5 MPa). Η γενικευµένη µορφή του κριτηρίου αστοχίας οδηγεί σε κατά πολύ ακριβέστερα αποτελέσµατα από αυτά της απλοποιηµένης µορφής. Ενδεικτικά, αναφέρεται ότι για το υπόψη παράδειγµα το τετραγωνικό σφάλµα Ε ν προκύπτει για τη γενικευµένη µορφή ίσο µε 942 (εξίσωση [4.4.1]), ενώ για την απλοποιηµένη µορφή ίσο µε Μία άλλη ενδιαφέρουσα σύγκριση µεταξύ των αναλυτικών προσοµοιωµάτων (απλοποιηµένο και γενικευµένο) και των πειραµατικών αποτελεσµάτων του [Page, 1981] αποτελεί αυτή της µέγιστης διατµητικής τάσης τ, η οποία σύµφωνα µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα 3.5MPa. Παρατηρείται ότι το απλοποιηµένο κριτήριο υποεκτιµά τη µέγιστη διατµητική τάση τ (maxτ=2.08 MPa µε βάση τη σχέση [4.3.7] σε αντίθεση µε 115

144 το γενικευµένο κριτήριο που προσεγγίζει τη µέγιστη διατµητική τάση 3.5 MPa (Σχήµα 4.4.3). Στα Σχήµατα 4.4.4, και 4.4.6, σχεδιάζονται οι καµπύλες αστοχίας σε όρους κυρίων τάσεων για τις χαρακτηριστικές τιµές της γωνίας θ (θ=0 ο, θ=22.5 ο και θ=45 ο ). Στα Σχήµατα αυτά σχεδιάζονται τόσο οι καµπύλες αστοχίας µε βάση το απλοποιηµένο και το γενικευµένο κριτήριο αστοχίας, όσο και τα αντίστοιχα πειραµατικά αποτελέσµατα [Page, 1981]. Σχήµα 4.4.4: Καµπύλη αστοχίας της τοιχοποιίας σε όρους κυρίων τάσεων (θ=0 ο ). 116

145 Σχήµα 4.4.5: Καµπύλη αστοχίας της τοιχοποιίας σε όρους κυρίων τάσεων (θ=22.5 ο ). Σχήµα 4.4.6: Καµπύλη αστοχίας της τοιχοποιίας σε όρους κυρίων τάσεων (θ=45 ο ). 117

146 Από τα Σχήµατα αυτά προκύπτει ότι το γενικευµένο κριτήριο αστοχίας προσεγγίζει καλύτερα τα πειραµατικά αποτελέσµατα από ότι το απλοποιηµένο κριτήριο, και µάλιστα η διαφορά ως προς την προσέγγιση των πειραµατικών αποτελεσµάτων είναι ιδιαίτερα έντονη στα Σχήµατα (θ=22.5 ο ) και Σχήµα (θ=45 ο ). Στα ίδια Σχήµατα καταδεικνύεται και η δυνατότητα του γενικευµένου κριτηρίου αστοχίας να προσεγγίζει το ασύµµετρο της επιφάνειας αστοχίας. Η αξιοσηµείωτη διαφοροποίηση των καµπυλών του γενικευµένου κριτηρίου αστοχίας µεταξύ των τριών τιµών θ=0 ο, θ=22.5 ο και θ=45 ο, δείχνει την ανισότροπη συµπεριφορά της τοιχοποιίας στις διάφορες διευθύνσεις θ. 4.5 Κριτήριο αστοχίας υπό αδιαστατοποιημένη μορφή Το κύριο µειονέκτηµα του ανισοτροπικού κριτηρίου αστοχίας (Εξίσωση [4.4.11]) είναι το ότι εφαρµόζεται µόνο στο υλικό τοιχοποιίας στο οποίο αναφέρονται τα αποτελέσµατα δοκιµών [Page, 1981]. Ωστόσο, τα κριτήρια αστοχίας µπορούν δυνητικά να γενικευθούν και να εφαρµοστούν σε ευρύ φάσµα υλικών τοιχοποιίας, αν είχαν εκφραστεί σε αδιαστατοποιηµένη µορφή. Αυτό επιτυγχάνεται διαιρώντας και πολλαπλασιάζοντας ταυτόχρονα κάθε όρο της εξίσωσης [4.4.11] µε τη µονοαξονική αντοχή του υλικού υψωµένη στο άθροισµα των δεικτών των µεταβλητών σ x, σ y, τ (όπως εµφανίζονται σε κάθε όρο). Με την επιλογή της µονοαξονικής θλιπτικής αντοχής Υ κατά τη διεύθυνση του άξονα Υ, η οποία στην περίπτωση του υλικού τοιχοποιίας αντιστοιχεί στη 90 µονοαξονική θλιπτική αντοχή ƒ, η [4.4.11] µετασχηµατίζεται ως: wc 118

147 æ s ö æ s ö y æ x s ö æ s ö x y æ t ö 17.15ç ç 90 ç 90 ç 90 ç 90 èƒwc ø èƒwc ø èƒwc ø èƒwc ø èƒwc ø 2 2 æ s öæ s ö y æ x s ö æ s ö x y æ s öæ s ö x y æ s öæ x t ö ç ç 90 ç 90 ç 90 ç èƒwc øèƒwc ø èƒwc ø èƒwc ø èƒ ç ç ç wc øèƒwc ø èƒwc øèƒwc ø æ s y öæ t ö = 1 ç 90 ç 90 èƒwc øèƒwc ø 2 [4.5.1] ή σε αδιαστατοποιηµένη µορφή s s y t s =, s y = ƒ ƒ 90, t = ƒ 90 ) [4.5.2] ( x x 90 wc wc wc é s ù ê x sy sx sy t + ú ê ú ê sx sy sx sy sx sy sx t + ú ê 2 ú ê sy t = 1 ú ë û [4.5.3] Το Σχήµα απεικονίζει τις ισοϋψείς που προκύπτουν από την εξίσωση [4.5.3], η οποία συνιστά την αδιαστατοποιηµένη επιφάνεια αστοχίας της τοιχοποιίας σε όρους 90 ορθών τάσεων (µε τον όρο t ƒ να λαµβάνει τιµές από 0 έως 0.45 µε βήµα 0.05). wc 119

148 Σχήµα 4.5.1: Αδιαστατοποιηµένη επιφάνεια αστοχίας τοιχοποιίας σε όρους ορθών τάσεων ( t 90 ƒ wc =0.00 έως 0.45 µε βήµα 0.05). Εξαλείφοντας όλους τους όρους τρίτης τάξης στην εξίσωση [4.5.3], προκύπτει το απλοποιηµένο κριτήριο αστοχίας (Syrmakezis and Asteris 2001; Asteris 2013): sx s y sx s y t ü ï ý sxs y = 1 ïþ [4.5.4] Αυτή η απλοποιηµένη µορφή του κριτηρίου έχει ήδη χρησιµοποιηθεί από Dhanasekar et al. (1985), Scarpas (1991), Andreaus (1996), Syrmakezis and Asteris (1999 and 2001); Asteris (2013) and Asteris et al. (2016). Στα Σχήµατα και απεικονίζονται οι γραφικές αναπαραστάσεις του κυβικού και του απλοποιηµένου κριτηρίου αστοχίας µε αδιαστατοποιηµένους όρους κύριων και ορθών τάσεων. 120

149 Σχήµα 4.5.2: Αδιαστατοποιηµένη επιφάνεια αστοχίας τοιχοποιίας γενικευµένου κριτηρίου (α) Αδιαστατοποιηµένοι όροι ορθών τάσεων (b) Αδιαστατοποιηµένοι όροι κύριων τάσεων Σχήµα 4.5.3: Αδιαστατοποιηµένη επιφάνεια αστοχίας τοιχοποιίας απλοποιηµένου κριτηρίου (α) Αδιαστατοποιηµένοι όροι ορθών τάσεων (b) Αδιαστατοποιηµένοι όροι κύριων τάσεων 121

150 Σε αυτό το σηµείο, έχει µεγάλο ενδιαφέρον να γνωρίζουµε την ελάχιστη και τη µέγιστη τιµή των συναρτήσεων που εκφράζουν τα παραπάνω κριτήρια αστοχίας. Αυτό µπορεί να επιτευχθεί µε την εξίσωση µε το µηδέν των τριών µερικών παραγώγων των συναρτήσεων του κριτηρίου αστοχίας σε σχέση µε τις τρεις συνιστώσες s x, s y και t. Δηλαδή, f s x f = 0, = 0 s y f και = 0 t [4.5.5] Οι ελάχιστες και µέγιστες τιµές για κάθε κριτήριο αστοχίας, για κάθε άξονα, παρουσιάζονται στον Πίνακα Αξίζει να σηµειωθεί ότι η µέγιστη αδιάστατη τιµή της διατµητικής τάσης µε βάση το κυβικό κριτήριο αστοχίας είναι σχεδόν διπλάσια από την αντίστοιχη τιµή του απλοποιηµένου κριτηρίου (0,50 αντί του 0,27 αντίστοιχα). Με βάση αυτό το εύρηµα, ο τύπος και το ποσοστό της αστοχίας θα διαφέρουν πολύ για µία κατασκευή η οποία εµφανίζει διατµητική συµπεριφορά σε σύγκριση µε µια κατασκευή µε συµπεριφορά καµπτικού προβόλου. Πίνακας : Μέγιστη και ελάχιστη τιµή για τα δύο κριτήρια / επιφάνειες Άξονας s x Ελάχιστο s y t s x Μέγιστο s y t Γενικευµένο κριτήριο Αστοχίας Απλοποιηµένο Κριτήριο Αστοχίας x y τ x y τ

151 4.6 Κριτήριο αστοχίας ως επιφάνεια διαρροής για μη γραμμική ανάλυση: Μαθηματική Θεώρηση Προκειµένου να διατυπωθεί µία θεωρητική περιγραφή ικανή να προσοµοιώσει την παραµόρφωση ελαστοπλαστικού υλικού, θα πρέπει να πληρούνται οι ακόλουθες τρεις προϋποθέσεις: Θα πρέπει να αναπτυχθεί µία σχέση µεταξύ τάσεων και ανηγµένων παραµορφώσεων, η οποία θα περιγράφει την ελαστική συµπεριφορά του υλικού, Θα πρέπει να υιοθετηθεί ένα κριτήριο διαρροής, το οποίο θα καθορίζει την τιµή της τάσης, πέραν της οποίας το υλικό συµπεριφέρεται ελαστοπλαστικά, Θα πρέπει να αναπτυχθεί µία σχέση µεταξύ τάσεων και ανηγµένων παραµορφώσεων για την ελαστοπλαστική συµπεριφορά του υλικού (µετά τη διαρροή). Οι προαναφερθείσες συνθήκες έχουν διερευνηθεί στην ολότητά τους και οι αντίστοιχοι καταστατικοί νόµοι είναι γνωστοί. Ειδικότερα, η περίπτωση ισότροπου υλικού (όπως για παράδειγµα ο χάλυβας) έχει µελετηθεί διεξοδικά και όλες οι σχετικές µελέτες και αναφορές είναι διαθέσιµες στη διεθνή βιβλιογραφία. Η πλαστική ροή στην περίπτωση ψαθυρού υλικού, το οποίο εµφανίζει έντονα ανισότροπη συµπεριφορά, απαιτεί επιπρόσθετη διερεύνηση. Αυτό σχετίζεται µε το γεγονός ότι η πλειονότητα των επιφανειών διαρροής, οι οποίες έχουν ήδη προταθεί για την περίπτωση ψαθυρών ανισότροπων υλικών δεν ορίζονται από µία µόνο απλή συνεχή (και καµπύλη) συνάρτηση, αλλά από µία σειρά συναρτήσεων ƒ, 1 ƒ,...ƒ 2 n. Όπως έχει ήδη αναφερθεί προηγουµένως, σύµφωνα µε Koiter [Koiter, 1953], µία τέτοια επιφάνεια καλείται ιδιόµορφη (singular). Τέτοια είναι η επιφάνεια διαρροής του Tresca, του Drucker-Prager, καθώς επίσης και η επιφάνεια διαρροής για τοιχοποιία (τρεις αµοιβαία τεµνόµενοι κώνοι) που πρότειναν οι Dhanasekar, Page και Kleeman [Dhanasekar et al., 1985]. 123

152 Ωστόσο, σε ένα ιδιόµορφο σηµείο της επιφάνειας διαρροής µπορεί να ικανοποιείται η συνθήκη ƒ =... = ƒ = 0. Το παρόν κεφάλαιο εστιάζει στον κατάλληλο προσδιορισµό h m του διανύσµατος ροής στα ιδιόµορφα αυτά σηµεία. Όπως έχει ήδη επισηµανθεί, σύµφωνα µε τους Zienkiewicz, Valliapan, και King [Zienkiewicz et al., 1969], η ύπαρξη ιδιόµορφων περιοχών δηµιουργεί σηµαντικά προβλήµατα στη µη γραµµική επαναληπτική διαδικασία. Για τον λόγο αυτόν, συνιστάται να αποφεύγεται η χρήση επιφάνειας αστοχίας µε ιδιόµορφα σηµεία, κάνοντας κατάλληλη επιλογή συνεχών κλειστών καµπυλών, οι οποίες συνήθως αντιπροσωπεύουν την πραγµατική συνθήκη µε ικανοποιητικό βαθµό ακρίβειας. Με βάση τα παραπάνω στοιχεία, προτείνεται η εξίσωση [4.5.3] για την περιγραφή της επιφάνειας αστοχίας για ψαθυρά ανισότροπα υλικά. Με τη χρήση των παραπάνω επιφανειών διαρροής, το διάνυσµα της ροής µπορεί να προσδιοριστεί ως εξής: ì ü 2 ï 2 ƒ ï é ù s x s y s x s y s y t ï ï ê ú ï s x ï ê ú ï ï ê ú ê ú ï ï 2 a = ƒ ê s y s x 4.13s x 2.7s xs y t ú í ý= ê ú ï s ï y ê ú ï ï ê ú ï ï ê ú ï ï ƒ ê t s xt s y ú ï ï + + ê ú ïî t ïþ ë û [4.6.1] Η αξιοπιστία της µεθόδου, η οποία εφαρµόστηκε για τον καθορισµό του κριτηρίου αστοχίας, επιδεικνύεται µε τη σύγκριση της αναλυτικής επιφάνειας αστοχίας (που προκύπτει από την εξίσωση [4.5.3] µε τα διαθέσιµα πειραµατικά αποτελέσµατα [Page, 1981]. Τα Σχήµατα 4.6.1, 4.6.2, 4.6.3, και συγκρίνουν τις αναλυτικές 124

153 καµπύλες, οι οποίες περιγράφουν την επιφάνεια αστοχίας που προκύπτει από τις εξισώσεις [4.5.3] και [3.5.4], γενικευµένου και απλοποιηµένου κριτηρίου αντίστοιχα, για θ= 0 ο, 22.5 ο, 45.0 ο, 67.5 ο, 90.0 ο αντίστοιχα, µε περισσότερα από 75 πειραµατικά σηµεία (τιµές), επιπρόσθετα εκείνων που χρησιµοποιήθηκαν για τον προσδιορισµό της επιφάνειας αστοχίας. Είναι εµφανής η ικανοποιητική ταύτιση των πειραµατικών τιµών µε τις αντίστοιχες αναλυτικές. Σχήµα 4.6.1: Αδιαστατοποιηµένη επιφάνεια αστοχίας τοιχοποιίας σε όρους κύριων τάσεων Γενικευµένου και Απλοποιηµένου Κριτηρίου Αστοχίας θ=0.0 ο. 125

154 Σχήµα 4.6.2: Αδιαστατοποιηµένη επιφάνεια αστοχίας τοιχοποιίας σε όρους κυρίων τάσεων Γενικευµένου και Απλοποιηµένου Κριτηρίου Αστοχίας θ=22.5 ο. Σχήµα 4.6.3: Αδιαστατοποιηµένη επιφάνεια αστοχίας τοιχοποιίας σε όρους κυρίων τάσεων Γενικευµένου και Απλοποιηµένου Κριτηρίου Αστοχίας θ=45.0 ο. 126

155 Σχήµα 4.6.4: Αδιαστατοποιηµένη επιφάνεια αστοχίας τοιχοποιίας σε όρους κυρίων τάσεων Γενικευµένου και Απλοποιηµένου Κριτηρίου Αστοχίας θ=67.5 ο Σχήµα 4.6.5: Αδιαστατοποιηµένη επιφάνεια αστοχίας τοιχοποιίας σε όρους κυρίων τάσεων Γενικευµένου και Απλοποιηµένου Κριτηρίου Αστοχίας θ=90.0 ο 127

156 Επιπρόσθετα, για την περίπτωση της µη γραµµικής ανάλυσης, τα κύρια πλεονεκτήµατα της χρήσης του παραπάνω κριτηρίου αστοχίας ως επιφάνεια διαρροής είναι τόσο ο πιο αποδοτικός προσδιορισµός του διανύσµατος της ροής, ο οποίος απαλείφει τις αριθµητικές αστάθειες που συνδέονται µε ιδιόµορφα σηµεία, όσο και η απλή εφαρµογή σε οποιοδήποτε υφιστάµενο λογισµικό µη γραµµικών πεπερασµένων στοιχείων. Ο προτεινόµενος αλγόριθµος µπορεί να εφαρµοστεί σε περιπτώσεις ψαθυρών ανισότροπων υλικών από τοιχοποιία έως σύνθετα ελάσµατα ή ακόµη και για να προσδιορίσει την αντοχή σπογγωδών οστών σε πλειάδα προβληµάτων εµβιοµηχανικής (διευκολύνοντας τη διερεύνηση της επίδρασης της γήρανσης, των ασθενειών και της χρήσης φαρµάκων). 4.7 Λογισμικό προσομοίωσης της αστοχίας της τοιχοποιίας Σε υλοποίηση του προτεινόµενου κριτηρίου αναπτύχθηκε κατάλληλο λογισµικό το οποίο και ενσωµατώθηκε στο πρόγραµµα ανάλυσης κατασκευών από τοιχοποιία MAFEA το οποίο και παρουσιάζεται στο 2 ο κεφάλαιο. Επιπρόσθετα εκτός της προσοµοίωσης της αστοχίας της τοιχοποιίας µε βάση το προτεινόµενο κριτηρίου αστοχίας το πρόγραµµα προσδιορίζει την περιοχές αστοχίας της κατασκευής και µε βάση δυο άλλα κριτήρια της βιβλιογραφίας τα οποία και παρουσιάσθηκαν στο τρίτο κεφάλαιο. Ειδικότερα τα κριτήρια αυτά είναι το Τροποποιηµένο κριτήριο του Von Mises (Syrmakezis et al. 1995, 1997) και το Κριτήριο αστοχίας του Kupfer (Kupfer et al. 1969). Στα Σχήµατα 4.7.1, και παρουσιάζονται οι περιοχές αστοχίας για την περίπτωση του τοίχου που παρουσιάσθηκε στο 2 ο κεφάλαιο και του οποίου επίσης τα µηχανικά χαρακτηριστικά του υλικού της τοιχοποιίας έχουν παρουσιασθεί στον Πίνακα 128

157 2.7.1 και στο Σχήµα Τα διαγράµµατα αυτά καθίστανται ιδιαίτερα χρήσιµα για τον προσδιορισµό των περιοχών της κατασκευής που αστοχούν. Μάλιστα, όπως θα παρουσιασθεί στα επόµενα δύο κεφάλαια, τα διαγράµµατα αυτά είναι ιδιαίτερα χρήσιµα για την επιλογή των επισκευαστικών µέτρων για την επισκευή αυτών των κατασκευών. Ειδικότερα, οι περιοχές αστοχίας προσδιορίζονται µε χρωµατική διάκριση της εντατικής κατάστασης υπό την οποία λαµβάνουν χώρα. Όπως εύκολα είναι αντιληπτό διαφορετικά µέτρα επισκευής απαιτούνται όταν η αστοχία λαµβάνει χώρα υπό διαξονική θλίψη, διαφορετικά για την περίπτωση του διαξονικού εφελκυσµού και διαφορετικά για την περίπτωση της ετερόσηµης έντασης. Με βάση το λογισµικό που σχεδιάσθηκε, στον Πίνακα παρουσιάζεται η εξέλιξη της αστοχίας συγκριτικά για τα τρία κριτήρια αστοχίας και µάλιστα για τιµές της µέγιστης σεισµικής επιτάχυνσης από 0.00 έως 0.40 µε βήµα Σχήµα 4.7.1: Περιοχές αστοχίας µε χρήση του κυβικού τανυστικού πολυωνύµου (pga=0.40g). 129

158 . Σχήµα 4.7.2: Περιοχές αστοχίας µε χρήση του Τροποποιηµένου κριτηρίου αστοχίας του Von Mises (Syrmakezis et al. 1995, 1997) (pga=0.40g). Σχήµα 4.7.3: Περιοχές αστοχίας µε χρήση του κριτηρίου αστοχίας του Kupfer (Kupfer et al. 1969) (pga=0.40g). 130

159 Πίνακας 4.7.1: Εξέλιξη της αστοχίας της κατασκευής για τρία διαφορετικά κριτήρια αστοχίας και για τιµές της µέγιστης σεισµικής επιτάχυνσης από 0.00 έως 0.40 µε βήµα PGA Cubic Failure Criterion Syrmakezis et al. 1995, 1997 Kupfer et al

160 4.8 Συμπεράσματα Στο κεφάλαιο αυτό διατυπώθηκε ένα αναλυτικό κριτήριο για την προσοµοίωση της επιφάνειας αστοχίας της τοιχοποιίας. Ειδικότερα έγινε χρήση του κυβικού τανυστικού πολυωνύµου (Cubic Tensor Polynomial) του οποίου και οι συντελεστές προσδιορίσθηκαν µε χρήση της µεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων (Least Square Method) και πειραµατικών δεδοµένων της βιβλιογραφίας. Η αξιοπιστία του προτεινόµενου κριτηρίου επιβεβαιώθηκε µέσω της σύγκρισης µε διαθέσιµα στη βιβλιογραφία πειραµατικά δεδοµένα. Κύριο πλεονέκτηµα του προτεινόµενου κριτηρίου αστοχίας εκτός της αξιοπιστίας του αποτελεί το ότι η αστοχία περιγράφεται από µία και µόνο εξίσωση. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα την εύκολη χρήση του καθώς µπορεί να ενσωµατωθεί εύκολα σε υφιστάµενα λογισµικά για τον προσδιορισµό της αστοχίας της κατασκευής. Σε υλοποίηση του προτεινόµενου κριτηρίου αναπτύχθηκε κατάλληλο λογισµικό το οποίο και ενσωµατώθηκε στο πρόγραµµα ανάλυσης κατασκευών πεπερασµένων στοιχείων από τοιχοποία MAFEA το οποίο και παρουσιάζεται στο 2 ο κεφάλαιο. 132

161 5.1 Εισαγωγή 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ V: ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΘΡΑΥΣΤΟΤΗΤΑΣ Για τον σχεδιασµό των κατασκευών, αλλά και την αποτελεσµατική εφαρµογή διαδικασιών αποκατάστασης και αξιολόγησή τους, απαιτείται η εκτίµηση της σεισµικής τρωτότητάς τους. Προς την κατεύθυνση αυτή, το πιο σηµαντικό εργαλείο είναι η ανάλυση τρωτότητας, η οποία εκτιµά το περιθώριο ασφαλείας της κατασκευής ως προς τη στάθµη επιτελεστικότητας και το επίπεδο κινδύνου. Αρκετές µεθοδολογίες ανάλυσης τρωτότητας έχουν προταθεί, όπως οι απλοποιηµένες των [Kircher et al., 1997], οι οποίες ενσωµατώθηκαν στο HAZUS99 [FEMA, 1999] και θεωρούν λογαριθµοκανονική κατανοµή για τις φασµατικές τιµές και λογαριθµική τυπική απόκλιση για τη µεταβλητότητα. Οι [Wen & Ellingwood, 2005] υπέδειξαν την αξία της ανάλυσης τρωτότητας σε διάφορα στάδια της αποτίµησης σεισµικής επικινδυνότητας, της εκτίµησης απωλειών και της λήψης αποφάσεων µηχανικού, προκειµένου να επιτευχθούν οι µακροπρόθεσµοι στόχοι της µείωσης των βλαβών µε τη χρήση αποτελεσµατικών µέτρων ενίσχυσης. Οι [Pagni & Lowes, 2006] ανέπτυξαν συναρτήσεις τρωτότητας, οι οποίες υποδεικνύουν την κατάλληλη µέθοδο επισκευής για την ενίσχυση υφιστάµενων κόµβων (δοκών υποστυλωµάτων) από οπλισµένο σκυρόδεµα µε βλάβες λόγω σεισµού. Μία µεθοδολογία για την αποτίµηση κινδύνου κατασκευών τοιχοποιίας είτε από οπλισµένο είτε από άοπλο σκυρόδεµα έχει παρουσιαστεί από τους Kappos, Panagopoulos, Panagiotopoulos και Penelis [Kappos et al., 2006] και µία ανάλυση τρωτότητας για την αποτίµηση 133

162 κατασκευών από οπλισµένο σκυρόδεµα µε ενδόσιµο έδαφος και κοντά υποστυλώµατα παρατίθεται από τον Lagaros [Lagaros, 2008]. Οι Omidvar, Gatmiri και Derakhshan [Omidvar et al., 2012] ανέπτυξαν καµπύλες θραυστότητας για τοιχοποιίες άοπλου σκυροδέµατος στο Ιράν, σύµφωνα µε τις οποίες η τρωτότητά τους είναι µεγαλύτερη από την τρωτότητα παρόµοιων φορέων (εργασία Risk-UE). Μία πολύ ενδιαφέρουσα διαδικασία ανάλυσης, για ιστορικές κατασκευές τοιχοποιίας, έχει προταθεί πρόσφατα από τους Milani και Venturini [Milani & Venturini, 2011], οι οποίοι πρότειναν ένα καινοτόµο λογισµικό τρισδιάστατων πεπερασµένων στοιχείων για την εκτίµηση των καµπυλών θραυστότητας εκκλησιών από τοιχοποιία. Οι καµπύλες θραυστότητας για δοµικά συστήµατα προσδιορίζονται µε βάση πληροφορίες σχετικές τόσο µε τη σεισµική ικανότητα αυτών όσο και µε τη σεισµική επικινδυνότητα των περιοχών στις οποίες έχουν ανεγερθεί. Λόγω του ότι οι δύο παράγοντες είναι έντονα αβέβαιοι, η αποτίµηση της τρωτότητας δε µπορεί να υλοποιηθεί σε όρους ντετερµινιστικής θεώρησης. Αντιθέτως, για την εκτίµηση της απόκρισης της κατασκευής θα πρέπει να χρησιµοποιείται µια πιθανοτική προσέγγιση και να συγκρίνεται µε «οριακές καταστάσεις» που εµπεριέχουν συσχετισµό της βλάβης µε την σεισµική απόκριση της κατασκευής. Στο Σχήµα παρουσιάζεται η διαδικασία ανάπτυξης των καµπυλών θραυστότητας. Ως θραυστότητα ορίζεται η πιθανότητα η βλάβη της κατασκευής να φτάσει ή να ξεπεράσει ένα ορισµένο όριο βλάβης di (επίπεδο βλάβης) υπό σεισµική φόρτιση δεδοµένης εντάσεως (µέγιστη επιτάχυνση του εδάφους (PGA). Αυτή γενικά αυξάνεται 134

163 καθώς τα επίπεδα έντασης του σεισµού αυξάνονται. Ο τοµέας αστοχίας είναι όταν ο δείκτης βλάβης (DI) ξεπερνά ένα συγκεκριµένο όριο. Damage Index (DI) d i P 1 P 2 P n Masonry Tensile Strengths PGA (g) Probability of Exciding a Damage State P n P 2 P 1 PGA (g) Σχήµα 5.1.1: Διαδικασία ανάπτυξης αναλυτικών καµπυλών θραυστότητας. Οι καµπύλες θραυστότητας προσδιορίζονται µε βάση ένα σύνολο δεδοµένων, το οποίο εκτιµά την πιθανότητα µία παράµετρος απόκρισης R (µετατόπιση, τάση, επιτάχυνση, βλάβη) να υπερβεί οριακές τιµές r lim για διάφορα επίπεδα σεισµικής επικινδυνότητας επί συγκεκριµένου τύπου κτιρίων. Ο αριθµητικός υπολογισµός της τρωτότητας απαιτεί πληροφορίες για την αναµενόµενη απόκριση και τη µεταβλητότητά της και εµπλέκει τη δηµιουργία λεπτοµερούς προσοµοιώµατος και την εφαρµογή αριθµητικών τεχνικών πιθανοτικής εκτίµησης. Η τρωτότητα είναι η δεσµευµένη πιθανότητα η παράµετρος απόκρισης R να υπερβεί την επιτρεπόµενη τιµή απόκρισης r lim (οριακή κατάσταση), για διάφορες σεισµικές εντάσεις Ι. Σε µαθηµατική µορφή, είναι απλά µια αθροιστική 135

164 πιθανότητα (Barron-Corvera 2000, Reinhorn et al. 2001) που δίνεται από την παρακάτω εξίσωση: 3 å ( ) Fragility = P é ër ³ r I ù= û P é ër ³ r I Cù ûp C = c, lim lim j j [5.1.1] όπου PC ( = c j ) η πιθανότητα να εξασφαλιστεί σεισµική ικανότητα c j. 5.2 Μεθοδολογία Ανάπτυξης Καμπυλών Θραυστότητας Για την ανάπτυξη των καµπυλών θραυστότητας ακολουθείται µια σαφής µεθοδολογία που παρουσιάζεται στο διάγραµµα ροής του Σχήµατος και η οποία προϋποθέτει την εκ των προτέρων υιοθέτηση κατάλληλου µαθηµατικού προσοµοιώµατος για την κατασκευή και περιλαµβάνει τρεις κατηγορίες δεδοµένων εισόδου: δεδοµένα σχετικά µε την εκτίµηση σεισµικού κινδύνου µε τον προσδιορισµό του δείκτη σεισµικής έντασης και το αντίστοιχο εύρος της µεταβολής του, δεδοµένα που µας παρέχουν πληροφορίες για τις κρίσιµες ιδιότητες και τη σεισµική ικανότητα της κατασκευής (παράµετρος παρατήρησης) δεδοµένα που είναι απαραίτητα για τον καθορισµό της εκτίµησης της απόκρισης της κατασκευής. Τα απαραίτητα στοιχεία για τη σεισµική απόκριση της κατασκευής µπορούν να παραχθούν είτε αναλυτικά (αναλυτικές καµπύλες θραυστότητας), είτε εµπειρικά µέσω συλλογής και αξιολόγησης πραγµατικών µετρήσεων (εµπειρικές καµπύλες θραυστότητας). 136

165 Start Initialization of Intensity Parameter Loop Initialization of Observed Parameter Loop Damage Quantification Intensity Parameter (PGA) Mathematical Model of Structure Developed Stress Damage Quantification (Damage Index) Observed Parameter (Masonry Tensile Strength) Initialization of Structural Performance Level Loop Structural Performance Level Fragility Function Fragility Curves End Σχήµα 5.2.1: Διάγραµµα ροής για τη δηµιουργία των καµπυλών θραυστότητας. 137

166 5.2.1 Σεισμική Επικινδυνότητα (Seismic Risk) Προκειµένου να προβλεφθεί η απόκριση µιας κατασκευής υπό την επίδραση ενός µελλοντικού ισχυρού σεισµού, είναι απαραίτητο να εκτιµηθεί ο σεισµικός κίνδυνος µε τον προσδιορισµό του δείκτη σεισµικής έντασης και το αντίστοιχο εύρος της µεταβολής του. Ο δείκτης σεισµικής έντασης περιγράφει, µε ικανοποιητική ακρίβεια, το µέγεθος της σεισµικής δραστηριότητας. Ως µέτρο της σεισµικής έντασης για την ανάπτυξη των καµπυλών θραυστότητας, χρησιµοποιείται ως επί το πλείστον η µέγιστη εδαφική επιτάχυνση (PGA) από την αντίστοιχη χρονοϊστορία. Η µέγιστη φασµατική επιτάχυνση (SA) ενός µονοβάθµιου συστήµατος υπό εδαφική διέγερση συνιστά την κυριότερη εναλλακτική λύση, ενώ άλλες παράµετροι που χρησιµοποιούνται συνήθως για να αντιπροσωπεύσουν τη σεισµική ένταση είναι η µέγιστη εδαφική ταχύτητα (PGV), η φασµατική ταχύτητα (SV) Παράμετρος Παρατήρησης ((Observed Parameter) Για να καθοριστούν τα χαρακτηριστικά τυχηµατικού χαρακτήρα, τα οποία επηρεάζουν την συµπεριφορά µίας κατασκευής από τοιχοποιία, θα πρέπει να εκτιµηθεί προηγουµένως ο βαθµός σπουδαιότητάς τους. Τέτοια χαρακτηριστικά µπορεί να είναι οι µηχανικές ιδιότητες τόσο των υλικών του µνηµείου (µέτρο ελαστικότητας, θλιπτική αντοχή) όσο και του αντίστοιχου υπεδάφους θεµελίωσης. Ο τυχηµατικός χαρακτήρας και οι αβεβαιότητες που υπεισέρχονται στην εκτίµηση του βαθµού σπουδαιότητας των ιδιοτήτων αυτών καθιστούν αναγκαία την πιθανολογική προσέγγιση του προβλήµατος. 138

167 Εξετάζοντας τη µεταβολή κάθε παραµέτρου και την επίδρασή της στο υπολογιστικό προσοµοίωµα, τίθεται σε προτεραιότητα εκείνη που εκτιµάται ότι επηρεάζει καθοριστικά την απόκριση της κατασκευής. Αυτή που επιλέγεται ως η περισσότερο αντιπροσωπευτική, αναφέρεται ως παράµετρος παρατήρησης, για την οποία µπορεί να αναπτυχθεί µία οικογένεια καµπυλών θραυστότητας. Η ανάπτυξη περισσότερων οικογενειών καµπυλών θραυστότητας (επανάληψη µεθοδολογίας) µπορεί να ερµηνεύσει µε σαφήνεια την επιρροή της µεταβολής κάθε παραµέτρου παρατήρησης στην τρωτότητα του µνηµείου. Ο καθορισµός του εύρους των τιµών της παραµέτρου παρατήρησης είναι µια θεµελιώδης απαίτηση της διαδικασίας, δεδοµένου ότι οι ιδιότητες της κατασκευής έχουν σοβαρή επίδραση στην απόκρισή της και επηρεάζουν άµεσα τις αντίστοιχες καµπύλες θραυστότητας. Για κατασκευές από τοιχοποιία, ως παράµετρος παρατήρησης επιλέγεται συνήθως η εφελκυστική αντοχή της τοιχοποιίας, δεδοµένου ότι είναι άµεσα συνυφασµένη µε τη σεισµική της συµπεριφορά και παρουσιάζει µεγάλη διασπορά. Λόγω τόσο της περιορισµένης γνώσης για την εφελκυστική αντοχή της τοιχοποιίας όσο και της αντίστοιχης επιστηµονικής και τυχηµατικής αβεβαιότητας που υπεισέρχεται, αντί της ντετερµινιστικής θεώρησης του µεγέθους της, στην παρούσα εργασία επιλέχθηκε µια ανάλυση αβεβαιότητας ως στρατηγική αντιµετώπιση του προβλήµατος. Η προτεινόµενη µεθοδολογία υποθέτει ότι η συγκεκριµένη αντοχή ποικίλει εντός προκαθορισµένου εύρους µε µέση τιµή την αντίστοιχη ντετερµινιστική, ενώ θεωρείται στατιστικά ότι ακολουθεί κανονική κατανοµή (όπως και πλήθος άλλων φυσικών και µηχανικών χαρακτηριστικών), µε µεγάλη πιθανότητα οι πραγµατικές τιµές να κυµαίνονται γύρω από 139

168 την αρχική θεωρητική. Εισάγεται, λοιπόν, ένα φάσµα τιµών για την αντοχή αυτή µε τα χαρακτηριστικά της κανονικής κατανοµής, το οποίο λαµβάνει ως µέση τιµή τη ντετερµινιστική, ενώ έχει συγκεκριµένο συντελεστή διασποράς και ορισµένο εξ αρχής πεδίο δυνατών τιµών. Για τον καθορισµό του εύρους της εφελκυστικής αντοχής της τοιχοποιίας (επιλογή ακροτάτων και διακύµανση αυτών), χρησιµοποιήθηκε ο στατιστικός κανόνας των διαστηµάτων εµπιστοσύνης (Σχήµα 5.2.2). Το εύρος των τιµών περιορίζεται στο αντίστοιχο εύρος των δύο τυπικών αποκλίσεων περί της µέσης τιµής µ, το οποίο και περικλείει το 95% των δυνατών πραγµατικών τιµών σύµφωνα µε τη σχέση [5.2.1]. Σχήµα 5.2.2: Στατιστικός κανόνας των διαστηµάτων εµπιστοσύνης του πεδίου τιµών της κανονικής κατανοµής. o = Ø ± ì Ø [5.2.1] 140

169 5.2.3 Παράμετρος Απόκρισης (Response Parameter) Προκειµένου να προσδιοριστεί ποσοτικά η επίδραση µίας τυχαίας δράσης στην κατασκευή από τοιχοποιία, είναι απαραίτητο να καθοριστεί µία παράµετρος απόκρισής της. Υπάρχουν αρκετές παράµετροι απόκρισης που µπορούν να συµβάλουν στον προσδιορισµό των περιοχών που αστοχούν όταν µία ιδιαίτερη κατασκευή καταπονείται κατά τη διάρκεια εδαφικής κίνησης. Από τις πιο σηµαντικές αυτές παραµέτρους, αξίζει να αναφερθούν οι ακόλουθες: η παραµόρφωση, η σχετική ταχύτητα, η απόλυτη επιτάχυνση και η πλαστική διάχυση ενέργειας (ιξώδους ή υστερητικού τύπου). Η επιλογή κατάλληλης παραµέτρου απόκρισης σχετίζεται άµεσα µε την αποτίµηση της σεισµικής τρωτότητας του φορέα και καθορίζεται µε βάση τις οικονοµικές απαιτήσεις. Ο έλεγχος του επιπέδου βλάβης σε µία κατασκευή ισοδυναµεί µε τον έλεγχο της µέγιστης απόκρισης αυτής. Οι δείκτες βλάβης υιοθετούν αναλυτικές σχέσεις µεταξύ της µέγιστης και της αθροιστικής απόκρισης των δοµικών στοιχείων του φορέα και του αντίστοιχου επιπέδου βλάβης που εµφανίζουν [Park et al., 1987]. Για την περίπτωση των κατασκευών από τοιχοποιία, έχει προταθεί (Asteris, 2008) ένας νέος δείκτης βλάβης (damage index), ο οποίος χρησιµοποιεί ως παράµετρο απόκρισης το ποσοστό της περιοχής της κατασκευής που αστοχεί σε σχέση µε τη συνολική της επιφάνεια. Ο προτεινόµενος δείκτης βλαβών (DI), για µια κατασκευή από τοιχοποιία µπορεί να εκτιµηθεί από την ακόλουθη εξίσωση: 141

170 A fail [ DI ] = 100 [5.2.2] A tot όπου A fail : είναι η επιφάνεια της κατασκευής που έχει αστοχήσει και A tot : η συνολική επιφάνεια της κατασκευής Στάθμες Επιτελεστικότητας (Structural Performance Levels) Δεδοµένου ότι η τρωτότητα της κατασκευής εξαρτάται από το εύρος των βλαβών, ορίζεται µια κλίµακα αναφοράς, η οποία µετατρέπει τις ποσοτικές τιµές του δείκτη βλάβης σε αντίστοιχες ποιοτικές περιγραφές και βαθµονοµεί τους δείκτες της παραµέτρου απόκρισης µε τη βοήθεια κατωτάτων ορίων. Αυτά τα όρια βλάβης αντικατοπτρίζουν ουσιαστικά ένα αποδεκτό επίπεδο βλάβης (στάθµη επιτελεστικότητας) για δεδοµένη εδαφική επιτάχυνση επί του κτιρίου, όπως η άµεση χρήση µετά τον σεισµό, η προστασία ζωής και η οιονεί κατάρρευση. Θεωρούνται τρεις στάθµες επιτελεστικότητας: α) σοβαρές β) µέτριες γ) ασήµαντες βλάβες, µε παρόµοιο τρόπο µε εκείνον που υιοθετεί η Federal Emergency Management Agency [FEMA ]. Οι στάθµες επιτελεστικότητας καθορίζονται από τον δείκτη βλάβης DI (Πίνακας 5.2.1). Ειδικά, τιµή του [DI] µικρότερη από 15% υποδεικνύει βλάβες ασήµαντες, από 15% έως 25% µέτριες, ενώ µεγαλύτερη ή ίση από 25% σοβαρές. Στην πραγµατικότητα, µπορούν να χρησιµοποιηθούν και άλλες προσεγγίσεις, σύµφωνα µε τους Ευρωκώδικες (EC8 2005), βασισµένες σε µία πιο λεπτοµερή εκτίµηση του επιπέδου βλάβης από τον µηχανικό. 142

171 Πίνακας : Προτεινόµενες στάθµες επιτελεστικότητας για άοπλη τοιχοποιία Overall Heavy Damage Moderate Damage Insignificant Damage Damage Extensive cracking: face course and veneer may peel off. Noticeable in-plane and out-ofplane offsets. Extensive cracking. Noticeable in-plane offsets of masonry and minor out-of-plane offsets. Minor cracking of veneers. Minor spalling in veneers at a few corner openings. No observable out-ofplane offsets. [DI] 25% 15% ~ < 25% < 15% Collapse prevention Life safety Immediate occupancy Στατιστική Επεξεργασία Αποτελεσμάτων Ανάλυσης Αστοχίας Μετά από πλήθος επαναλήψεων ανάλυσης µε διαφορετικό PGA για διάφορες τιµές της παραµέτρου παρατήρησης (εφελκυστική αντοχή τοιχοποιίας), τον υπολογισµό του αντίστοιχου ποσοστού βλάβης και τη στατιστική επεξεργασία των αποτελεσµάτων, ορίζεται η κανονική και η λογαριθµοκανονική συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, η οποία εκφράζει την πιθανότητα το ποσοστό βλαβών να λάβει µια συγκεκριµένη τιµή, υπό δοθέν PGA. Κανονική κατανοµή (Normal Distribution) Η κατανοµή περιγράφεται από την παρακάτω εξίσωση: o! = 1 C 2ç g!± 1 2C <! Ø <, {èt èάc? Øt <! < + [5.2.3] Η αθροιστική πυκνότητα προκύπτει ολοκληρώνοντας την o! : Mñ! = o!! hñ [5.2.4] 143

172 Λογαριθµοκανονική κατανοµή (Lognormal Distribution) Η κατανοµή περιγράφεται από την παρακάτω εξίσωση: o! = ) R <l <R a ln! Ø <,! > 0 0,! < 0 [5.2.5] Η αθροιστική πυκνότητα προκύπτει ολοκληρώνοντας την o! : Mñ! = o!! hñ [5.2.6] Με την αντιστοίχιση των ποσοστών αστοχίας (µε βάση τους ολικούς δείκτες βλάβης) µε τα καθορισµένα επίπεδα βλάβης (στάθµες επιτελεστικότητας), η πιθανότητα υπέρβασης της στάθµης βλάβης υπολογίζεται (για κάθε δείκτη σεισµικής έντασης, PGA) ως το ολοκλήρωµα (εντός των ορίων των επιπέδων βλάβης) των επιλεγµένων συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας. Η αθροιστική πιθανότητα υπέρβασης του επιπέδου βλάβης ισούται µε το άθροισµα των προηγούµενων αθροιστικών πιθανοτήτων υπέρβασης των κάτω ορίων κάθε επιπέδου βλάβης, για κάθε δείκτη σεισµικής έντασης. 5.3 Παράδειγμα Ανάπτυξης Καμπυλών Θραυστότητας Σύµφωνα µε τη µεθοδολογία ανάπτυξης των καµπυλών θραυστότητας που παρουσιάζεται στο Σχήµα 5.2.1, στην παρούσα ενότητα επιχειρείται η εφαρµογή της 144

173 προτεινόµενης µεθοδολογίας µέσω της εκτίµησης της σεισµικής τρωτότητας ενός επιπέδου τοίχου από τοιχοποιία. Ειδικότερα θα ποσοτικοποιηθεί η σεισµική τρωτότητα ενός επιπέδου τοίχου µε δυο ανοίγµατα από τοιχοποιία του οποίου η γεωµετρία απεικονίζεται στο Σχήµα ενώ τα µηχανικά χαρακτηριστικά του υλικού της τοιχοποιίας παρουσάζονται στον Πίνακα L=5.00 m a a H=10.00 m a Σχήµα 5.3.1: Γεωµετρία τοίχου µε δυο ανοίγµατα 145

174 Πίνακας 5.3.1: Μηχανικά χαρακτηριστικά τοιχοποιίας (Page 1981). Μέτρο Ελαστικότητας κατά τη διεύθυνση x Μέτρο Ελαστικότητας κατά τη διεύθυνση y Θλιπτική Αντοχή κατά τη διεύθυνση x Θλιπτική Αντοχή κατά τη διεύθυνση y Εφελκυστική Αντοχή κατά τη διεύθυνση x Εφελκυστική Αντοχή κατά τη διεύθυνση y Λόγος Poisson στο επίπεδο xy Λόγος Poisson στο επίπεδο yx E x = ΜPa E y = ΜPa f x c = ΜPa y f c = ΜPa f x t = 0.40 ΜPa y f t = 0.10 ΜPa n xy = 0.20 n yx = 0.20 Ειδικό Βάρος 20 kn/m 3 Αρχικά δηµιουργείται το υπολογιστικό προσοµοίωµα της κατασκευής µε χρήση του προγράµµατος πεπερασµένων στοιχείων MAFEA. Στη συνέχεια καθορίζεται ο δείκτης σεισµικής έντασης και το εύρος της µεταβολής του. Στην παρούσα ανάλυση λαµβάνεται ως η µέγιστη εδαφική επιτάχυνση (PGA) από µια χρονοϊστορία επιταχύνσεων σεισµικής εντάσεως, µε τιµές από 0.00g έως 0.80g (µε βήµα 0.08g) οι οποίες και καλύπτουν όλο το φάσµα τιµών της µέγιστης σεισµικής επιτάχυνσης των σεισµικών γεγονότων που µπορούν να λάβουν χώρα στην περιοχή της κατασκευής. Στη συνέχεια καθορίζεται το εύρος τιµών της παραµέτρου παρατήρησης δηλαδή της εφελκυστικής αντοχή της τοιχοποιίας, δεδοµένου ότι είναι άµεσα συνυφασµένη µε τη σεισµική της συµπεριφορά και παρουσιάζει µεγάλη διασπορά. Η θλιπτική και η εφελκυστική αντοχή της τοιχοποιίας εκτιµάται ως ο µέσος όρος των µονοαξονικών αντοχών αστοχίας κατά τις δύο διευθύνσεις X και Y σύµφωνα µε τα 146

175 πειραµατικά δεδοµένα από την εργασία του Page (Page, 1981) τα οποία παρουσιάζονται στον Πίνακα o ôp = 0.5 o ª º ôp + o ôp = = Ωæe [5.3.1] o ôq = 0.5 o ª º ôq + o ôq = = 0.25 Ωæe [5.3.2] Ελλείψει πειραµατικών αποτελεσµάτων, η ανωτέρω τιµή για την εφελκυστική αντοχή της τοιχοποιίας θεωρείται ως η µέση τιµή παρατήρησης µίας κανονικής κατανοµής µε συγκεκριµένο συντελεστή απόκλισης και συγκεκριµένο εύρος τιµών δείγµατος και ορίζεται ώστε να χαρακτηρίσει το φάσµα των τιµών της συγκεκριµένης ιδιότητας. Με µ συµβολίζεται η µέση τιµή της εφελκυστικής αντοχής της τοιχοποιίας, η οποία ορίστηκε ίση µε Ø =0.25 Mpa. Ο συντελεστής διασποράς κυµαίνεται µεταξύ των ποσοστών 20-45% της µέσης τιµής της εφελκυστικής αντοχής, ενώ στα πλαίσια της εργασίας αυτής ορίστηκε ίσος µε ì = 37% και εφαρµόζοντας τη σχέση [5.2.1] έχουµε: o ôq,@ ^ = = Ωæe [5.3.3] o ôq,@ab = = Ωæe [5.3.4] Το δείγµα ισούται µε το 95% του πληθυσµού, ο οποίος περικλείεται από την καµπύλη της κανονικής κατανοµής (µη λαµβάνοντας υπόψη µη ρεαλιστικές τιµές) και η αντίστοιχη διακύµανση ισούται µε ΜPa (µε βήµα µετάβασης ίσο µε ΜPa). Για τις τιµές αυτές των εδαφικών επιταχύνσεων και των εφελκυστικών αντοχών προσδιορίζονται οι περιοχές αστοχίας και οι αντίστοιχοι δείκτες βλάβης της τοιχοποιίας. 147

176 Στον Πίνακα απεικονίζονται οι περιοχές αστοχίας και οι δείκτες βλάβης (Damage Indeces) για τρία διαφορετικά ποσοστά ανοιγµάτων (0, 16% & 36%) εντός της τοιχοποιίας και µάλιστα τόσο για το τροποποιηµένο κριτήριο του Von Mises (Syrmakezis et al. 1995, 1997) όσο και το κριτήριο αστοχίας του Kupfer (Kupfer et al. 1969) και για τιµή της µέγιστης σεισµικής επιτάχυνσης 0.40 g. Πίνακας 5.3.2: Περιοχές αστοχίας και δείκτες βλάβης (Damage Indeces) για τρία διαφορετικά ποσοστά ανοιγµάτων, δύο κριτήρια αστοχίας και για τιµή της µέγιστης σεισµικής επιτάχυνσης 0.40 g. Openings Percentage Failure Criterion Syrmakezis et al. 1995, 1997 Kupfer et al % 16% 36% 148

177 Στους Πίνακες 5.3.3, και απεικονίζονται οι δείκτες βλάβης (Damage Indeces) για τρία διαφορετικά ποσοστά ανοιγµάτων (0%, 16% & 36%) εντός της τοιχοποιίας, για το τροποποιηµένο κριτήριο του Von Mises (Syrmakezis et al. 1995, 1997) και το κριτήριο αστοχίας του Kupfer (Kupfer et al. 1969). Πίνακας 5.3.3: Δείκτες βλαβών της κατασκευής για τρία διαφορετικά ποσοστά ανοιγµάτων (0, 16 & 36%), για το τροποποιηµένο κριτήριο του Von Mises (Syrmakezis et al. 1995, 1997) Tensile Openings Strength Percentage (kpa) 0% 16% 36% Peak Ground Acceleration (PGA)

178 Πίνακας 5.3.4: Δείκτες βλαβών της κατασκευής για τρία διαφορετικά ποσοστά ανοιγµάτων (0, 16 & 36%), για το τροποποιηµένο κριτήριο του Kupfer (Kupfer et al. 1969). Tensile Openings Strength Percentage (kpa) 0% 16% 36% Peak Ground Acceleration (PGA)

179 Πίνακας 5.3.5: Δείκτες βλάβης (Damage Indeces) για τρία διαφορετικά ποσοστά ανοιγµάτων και για δύο κριτήρια αστοχίας Openings Percentage Damage Indeces Syrmakezis et al. 1995, 1997 Kupfer et al % 16% 36% Στις αµέσως επόµενες παραγράφους παρουσιάζεται η διαδικασία κατασκευής των καµπύλων θραυστότητας για την περίπτωση όπου εντός του τοίχου υπάρχουν δύο ανοίγµατα συνολικού ποσοστού 16% (δύο τετραγωνικά ανοίγµατα πλευράς 2,0 m). Η όλη διαδικασία παρουσιάζεται για χρήση των δεικτών βλάβης που έχουν προκύψει µε χρήση του τροποποιηµένου κριτηρίου αστοχίας του του Von Mises (Syrmakezis et al. 151

180 1995, 1997) όπως φαίνεται στον Πίνακα Επιπρόσθετα ορίζεται ως συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας βλάβης η κανονική κατανοµή. Στον ίδιο πίνακα θεωρώντας ότι οι δείκτες βλάβης ακολουθούν κανονική κατανοµή υπολογίζεται η µέση τιµή (Average) και η τυπική απόκλιση (Standard Deviation) των τιµών των δεικτών βλάβης για κάθε εδαφική επιτάχυνση. Πίνακας 5.3.6: Δείκτες βλάβης της τοιχοποιίας για ποσοστό ανοίγµατος 16% και χρήση του τροποποιηµένου κριτηρίου αστοχίας του Von Mises (Syrmakezis et al. 1995, 1997) PGA fwt (Mpa) Average Standard Deviation Στον Πίνακα υπολογίζονται οι τιµές της αθροιστικής συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας των δεικτών βλάβης, για κανονική κατανοµή σε ολόκληρο το διάστηµα (τιµές του x από 0 έως 100 ανά 5) και για κάθε εδαφική επιτάχυνση, σύµφωνα µε τις σχέσεις [5.2.3] και [5.2.4]. 152

181 Πίνακας 5.3.7: Τιµές αθροιστικής συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας δεικτών βλάβης (Normal Distribution) για ποσοστό ανοίγµατος 16% και χρήση του τροποποιηµένου κριτηρίου αστοχίας του Von Mises (Syrmakezis et al. 1995, 1997) F(x) PGA Με την αντιστοίχιση των δεικτών βλάβης (αστοχία) στο επιθυµητό κατά περίπτωση διάστηµα, σύµφωνα µε τις στάθµες επιτελεστικότητας (Insignificant, Moderate, Heavy), η πιθανότητα υπέρβασης των συγκεκριµένων επιπέδων βλάβης υπολογίζεται (για κάθε δείκτη σεισµικής έντασης, PGA) ως το ολοκλήρωµα (εντός των ορίων των επιπέδων βλάβης) της επιλεγµένης συναρτήσης πυκνότητας πιθανότητας (Πίνακας 5.3.8). Η αθροιστική πιθανότητα υπέρβασης του επιπέδου βλάβης ισούται µε το άθροισµα των προηγούµενων αθροιστικών πιθανοτήτων υπέρβασης των κάτω ορίων κάθε επιπέδου βλάβης, για κάθε δείκτη σεισµικής έντασης. Το πλήθος των τιµών πιθανοτήτων υπέρβασης επιπέδου βλάβης συµπίπτει µε τον αριθµό των επιπέδων βλάβης που έχουν ορισθεί. 153

182 Πίνακας : Τιµές πιθανότητας υπέρβασης σταθµών επιτελεστικότητας για κάθε δείκτη σεισµικής έντασης PGA) για ποσοστό ανοίγµατος 16% και χρήση του τροποποιηµένου κριτηρίου αστοχίας του Von Mises (Syrmakezis et al. 1995, 1997) PGA Insignificant Damage Moderate Damage Heavy Damage (5 εως 15)% (15 εως 25)% (>25)% 1-F(5) 1-F(15) 1-F(25) Οι καµπύλες θραυστότητας δηµιουργούνται µε τη χρήση της αθροιστικής συνάρτησης πιθανότητας, δηλαδή του ολοκληρώµατος της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας µεταξύ των ορίων του εκάστοτε επιπέδου βλάβης. 154

183 Σχήµα 5.3.2: Κατασκευή Καµπυλών Θραυστότητας για Κανονική Κατανοµή για το τροποποιηµένο κριτήριο του Von Mises (Syrmakezis et al. 1995, 1997) για ποσοστό ανοίγµατος 16% 155

184 Με αντίστοιχο τρόπο κατασκευάζονται οι καµπύλες θραυστότητας για τον επίπεδο τοίχο τοιχοποιίας για τρία διαφορετικά ποσοστά ανοιγµάτων 0%, 16% και 36%, για δύο κριτήρια αστοχίας το τροποποιηµένο κριτήριο του Von Mises (Syrmakezis et al. 1995, 1997) και του Kupfer (Kupfer et al. 1969) καθώς και για δύο κατανοµές την κανονική και τη λογαριθµοκανονική. Στα Σχήµατα και παρουσιάζονται οι καµπύλες θραυστότητας, για την περίπτωση ποσοστού ανοίγµατος 16% και για τα δύο κριτήρια αστοχίας ανά επίπεδο βλάβης. Στα Σχήµατα 5.3.5, και παρουσιάζονται οι καµπύλες θραυστότητας µε χρήση κανονικής κατανοµής, για τα δύο κριτήρια αστοχίας το τροποποιηµένο κριτήριο του Von Mises (Syrmakezis et al. 1995, 1997) και του Kupfer (Kupfer et al. 1969) και για τα τρία ποσοστά ανοίγµατος 0%, 16% και 36 %, ανά επίπεδο βλάβης. Στα Σχήµατα και παρουσιάζονται οι καµπύλες θραυστότητας µε χρήση κανονικής κατανοµής, για τα τρία ποσοστά ανοίγµατος 0%, 16% και 36 % και για τα δύο κριτήρια αστοχίας το τροποποιηµένο κριτήριο του Von Mises (Syrmakezis et al. 1995, 1997) και του Kupfer (Kupfer et al. 1969), ανά επίπεδο βλάβης. 156

185 Σχήµα 5.3.3: Καµπύλες θραυστότητας για κανονική και λογαριθµοκανονική κατανοµή, για ποσοστό ανοίγµατος 16%, και χρήση του τροποποιηµένου κριτηρίου αστοχίας του Von Mises (Syrmakezis et al. 1995, 1997). 157

186 Σχήµα 5.3.4: Καµπύλες θραυστότητας για κανονική και λογαριθµοκανονική κατανοµή, για ποσοστό ανοίγµατος 16% και χρήση του τροποποιηµένου κριτηρίου αστοχίας του Kupfer (Kupfer et al. 1969). 158

187 Σχήµα 5.3.5: Καµπύλες θραυστότητας για ποσοστό ανοίγµατος 0% µε χρήση κανονικής κατανοµής, για τα δύο κριτήρια αστοχίας ανά επίπεδο βλάβης. 159

188 Σχήµα 5.3.6: Καµπύλες θραυστότητας για ποσοστό ανοίγµατος 16% µε χρήση κανονικής κατανοµής, για τα δύο κριτήρια αστοχίας ανά επίπεδο βλάβης. 160

189 Σχήµα 5.3.7: Καµπύλες θραυστότητας για ποσοστό ανοίγµατος 36% µε χρήση κανονικής κατανοµής, για τα δύο κριτήρια αστοχίας ανά επίπεδο βλάβης. 161

190 Σχήµα 5.3.8: Καµπύλες θραυστότητας για τα τρία ποσοστά ανοίγµατος, µε χρήση κανονικής κατανοµής, για το τροποποιηµένο κριτήριο του Von Mises ανά επίπεδο βλάβης. 162

191 Σχήµα 5.3.9: Καµπύλες θραυστότητας για τα τρία ποσοστά ανοίγµατος µε χρήση κανονικής κατανοµής, για το κριτήριο αστοχίας του Kupfer ανά επίπεδο βλάβης. 163

192 5.4 Συμπεράσματα Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάστηκε βήµα προς βήµα η διαδικασία κατασκευής των καµπύλων θραυστότητας κάνοντας χρήση ενός επιπέδου τοίχου τοιχοποιίας µε δυο ανοίγµατα. Στα κυριότερα συµπεράσµατα συγκαταλέγονται ότι οι καµπύλες θραυστότητας είναι κρίσιµα εξαρτώµενες από τη συνάρτηση κατανοµής που επιλέγεται για την ανάπτυξη αυτών και από την επιλογή του κριτηρίου που περιγράφει την αστοχία του υλικού. Επίσης η ύπαρξη ανοιγµάτων (πόρτες, παράθυρα) εντός της τοιχοποιίας επηρεάζει σηµαντικά την πλευρική δυσκαµψία του τοίχου και µάλιστα συναρτήσει του µεγέθους των ανοιγµάτων. Μάλιστα η µετάβαση από ποστοστό ανοίγµατος 0% (πλήρης τοίχος χωρίς ανοίγµατα, περίπτωση καµπτοδιατµητικής λειτουργίας (Flexural Shear Wall) σε ποσοστό ανοίγµατος 16% (δύο τετραγωνικά ανοίγµατα πλευράς 2.0m, περίπτωση καµπτικής/πλαισιακής λειτουργίας (Flexural Wall) είναι ιδιαίτερα χαρακτηριστική και µάλιστα οδηγεί σε αύξηση της τρωτότητας περίπου 20%. Επιπρόσθετα καταδεικνύεται ιδιαίτερα έντονα ότι είναι ένα χρήσιµο εργαλείο που έρχεται να συµβάλει στην ποσοτικοποίηση της βλαβών της κατασκευής (Damage Quantification). 164

193 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ VI: ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗΣ ΣΕΙΣΜΙΚΗΣ ΤΡΩΤΟΤΗΤΑΣ & ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΜΝΗΜΕΙΑΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Τα ιστορικά µνηµεία υψηλής αρχιτεκτονικής και πολιτιστικής αξίας σε όλο τον κόσµο αποτελούν πραγµατική πρόκληση και παρουσιάζουν µεγάλο ενδιαφέρον για τον σύγχρονο µηχανικό (συντήρηση, αποτύπωση παθολογίας, ανάλυση δοµικής συµπεριφοράς, επισκευή, ενίσχυση). Επιπλέον για την επιτυχή προστασία αυτών των κατασκευών απαιτείται µία διεπιστηµονική προσέγγιση και αντιµετώπιση και η αυστηρή τήρηση των σύγχρονων κανονισµών και κτιριακών προτύπων, που διέπουν τις κατασκευές αυτές τόσο σε εθνικό όσο και σε διεθνές επίπεδο. Η παρούσα εργασία υιοθέτησε την πρόταση της επιστηµονικής επιτροπής ISCARSAH (International Scientific Committee of the Analysis and Restoration of Structures of Architectural Heritage) του ICOMOS 2001 και συγκεκριµένα τη Χάρτα του ICOMOS (Principles for the Analysis, Conservation and Structural Restoration of Architectural Heritage, ISCARSAH Principles). Το κανονιστικό αυτό πλαίσιο οριοθετείται από τις αρχές της: έρευνας και τεκµηρίωσης, αυθεντικότητας και ακεραιότητας, αισθητικής αρµονίας, ελάχιστης επέµβασης και ανατρεψιµότητας, οι οποίες συµφωνούν µε τη Χάρτα τόσο των Αθηνών όσο και της Βενετίας, καθώς επίσης και µε τους [Morton & Hume, 1979] (The Secretary of the Interior s Standards for Historic Preservation Projects). 6.1 Προτεινόμενη Μεθοδολογία Με βάση τις αρχές και τις υποθέσεις τόσο του ICOMOS όσο και παρόµοιων εργασιών [Syrmakezis et al. 1995, 1997, Binda et al. 2000, Asteris et al. 2005, Lourenço 2006, Asteris 2008, Onaka 2009, Tassios 2010, Chronopoulos et al. 2012, Figueiredo et al. 165

194 2013, Asteris et al. 2014, Asteris et al. 2015, Asteris et al. 2016], έχει αναπτυχθεί συγκεκριµένη µεθοδολογία για την αποκατάσταση ιστορικών κατασκευών από τοιχοποιία, της οποίας το διάγραµµα ροής απεικονίζεται στο Σχήµα 6.1.1: Start Initialization of Restoration Scenario Loop Initialization of Intensity Parameter Loop Initialization of Observed Parameter Loop Damage Quantification Intensity Parameter (PGA) Mathematical Model of Structure Developed Stress Damage Quantification (Damage Index) Initialization of Structural Performance Level Loop Observed Parameter (Masonry Tensile Strength) Restoration Scenario Fragility Analysis Structural Performance Level Fragility Function Fragility Curves Decision Optimum Restoration Scenarios Optimum Restoration Scenario Experts Knowledge End Σχήµα 6.1.1: Διάγραµµα ροής προτεινόµενης µεθοδολογίας Η προτεινόµενη µεθοδολογία αποτελείται από τα ακόλουθα δέκα βήµατα: 166

195 Βήμα 1: Ιστορική και πειραματική τεκμηρίωση Υπάρχουν ορισµένες διαδικασίες που θα πρέπει να ακολουθηθούν πριν από τη διεξοδική ανάλυσης της κατασκευής. Ειδικότερα, η εµπειρία αποδεικνύει ότι η αντισεισµική ανάλυση ενός µνηµείου αποτελεί αναπόσπαστο µέρος της ευρύτερης µελέτης του. Η γνώση της ιστορίας και της αρχιτεκτονικής του µνηµείου είναι απαραίτητη προϋποθέση για την ανάλυση της κατασκευής, προκειµένου να ληφθούν υπόψη προηγούµενες παρεµβάσεις ή προσθήκες, τόσο αρχικών όσο και διαδοχικών φάσεων κατασκευής. Επιπλέον, τα αποτελέσµατα των πειραµατικών διερευνήσεων σχετικά µε: γεωµετρικά δεδοµένα, επιτόπια εκτίµηση αντοχής υλικών, µηχανικά χαρακτηριστικά τοιχοποιίας, δυναµική απόκριση της κατασκευής, καθώς και τα αποτελέσµατα της πιθανής προηγούµενης παρακολούθησης, µπορεί να είναι ζωτικής σηµασίας για µια κατάλληλη προσοµοίωση και έναν αξιόπιστο αντισεισµικό σχεδιασµό της µνηµειακής κατασκευής από τοιχοποιία. Συστηµατικές πειραµατικές και αναλυτικές διερευνήσεις σχετικά µε την ιστορική και πειραµατική τεκµηρίωση έχουν διεξαχθεί τις τελευταίες δεκαετίες (Moropoulou et al. (1995), Binda et al. (2000 and 2006), Lourenco (2006), Tassios (2010) and Asteris et al. (2014)). Βήμα 2: Ιδιότητες υλικών Οι ιδιότητες των υλικών που συνθέτουν µια κατασκευή αποτελούν κρίσιµες παραµέτρους, για τον αξιόπιστο σχεδιασµό και την ανάλυσή της. Δηλαδή, η θλιπτική/εφελκυστική αντοχή των υλικών, το µέτρο ελαστικότητας και ο λόγος Poisson είναι πρωταρχικής σηµασίας, ιδιαίτερα όσον αφορά στη γραµµική/ελαστική ανάλυση. 167

196 Για την εκτίµηση των παραµέτρων αυτών, πρέπει να χρησιµοποιηθεί συνδυασµός αναλυτικών ή ηµι-εµπειρικών µεθόδων και πειραµατικών δεδοµένων. Για τον προσδιορισµό της θλιπτικής και της εφελκυστικής αντοχής της τοιχοποιίας, αρκετές ηµιεµπειρικές εκφράσεις είναι διαθέσιµες στη βιβλιογραφία. Στην πλειοψηφία αυτών των εκφράσεων, δεν λαµβάνονται υπόψη καθολικές επιδράσεις που συµβάλλουν στην αντοχή του δοµικού του συστήµατος, όπως τα φαινόµενα λυγισµού και η αντοχή σε τοπική θλίψη. Για την εκτίµηση της θλιπτικής f wc και της εφελκυστικής f αντοχής της τοιχοποιίας wt έχουν προταθεί µια πληθώρα τύπων. Για την ειδική περίπτωση µονόστρωτης (single leaf) τοιχοποιίας, οι [Tassios & Chronopoulos, 1986] έχουν προτείνει τις ακόλουθες ηµιεµπειρικές εκφράσεις. (Εξισώσεις [6.1.1] και [6.1.2]): éæ2 ö ù fwc = x êç fbc -a + b f mc [ MPa] 3 ú ëè ø û [6.1.1] 2 fwt = f mt [ MPa] [6.1.2] 3 όπου: f wc, f wt : είναι η θλιπτική και η εφελκυστική αντοχή της τοιχοποιίας αντίστοιχα, f mc, f mt : είναι η θλιπτική και η εφελκυστική αντοχή του κονιάµατος, αντίστοιχα, f bc : είναι η θλιπτική αντοχή του τοιχοσώµατος 168

197 α : είναι µειωτικός συντελεστής για τοιχοποιία από φυσικούς λίθους, ο οποίος εκφράζει τη γεωµετρική κανονικότητα των λιθοσωµάτων ( a = 0.5 για ορθογωνικούς πλίνθους, a = 2.5 για τυχαία τοποθετηµένους ακανόνιστους πλίνθους) β : συντελεστής που λαµβάνει υπόψη την συνεισφορά του κονιάµατος στην αντοχή και είναι β = 0.5 για λιθοδοµή και β = 0.1 για οπτοπλινθοδοµή. ξ : είναι ένας συντελεστής που εκφράζει την αρνητική επίδραση του πάχους των αρµών του κονιάµατος, ξ=1/[1+3.5(k-k o )], όπου k = ο όγκος του κονιάµατος / ο όγκος της τοιχοποιίας & ko=0.3. Συστηµατικές πειραµατικές και αναλυτικές διερευνήσεις σχετικά µε τις µηχανικές ιδιότητες του υλικού τοιχοποιίας, συµπεριλαµβανοµένων των δίστρωτων και τρίστρωτων τοιχοποιιών έχουν προταθεί από τους (Tassios 1988, Tassios and Chronopoulos 1986, Asteris et al ). Βήμα 3: Προσομοίωση κατασκευής Η απλούστερη προσοµοίωση σύνθετων ιστορικών κατασκευών περιλαµβάνει τη θεώρηση οµογενούς υλικού και τη χρήση διαφόρων τύπων δοµικών στοιχείων, όπως πεπερασµένων στοιχείων δικτυώµατος/ δοκού/ πλάκας/ κελύφους για την προσοµοίωση υποστυλωµάτων, τοιχωµάτων, τόξων και θόλων, µε την παραδοχή της ισότροπης συµπεριφοράς υλικού. Το 3-D προσοµοίωµα πεπερασµένων στοιχείων (µε ελαστικά υλικά), που χρησιµοποιείται σε αυτή τη µελέτη, αποδεικνύεται το πλέον κατάλληλο για την ανάλυση 169

198 της κατασκευής. Για την επίτευξη υψηλότερης ακρίβειας, πρέπει να ληφθούν υπόψη ειδικές παράµετροι προσοµοίωσης, όπως η στροφική ικανότητα ξύλινου δαπέδου, η σύνδεση οροφής µε τοίχους τοιχοποιίας, ο βαθµός σύνδεσης µεταξύ αλληλοτεµνόµενων τοίχων, η επιρροή δοκών που φέρουν φορτία τοιχοποιίας, κλπ. Βήμα 4: Δράσεις Για µνηµεία που βρίσκονται σε σεισµικές περιοχές θα πρέπει να λαµβάνονται υπόψη διάφορες περιπτώσεις φόρτισης συµπεριλαµβανοµένων των σεισµικών δράσεων. Πρέπει να χρησιµοποιούνται συνδυασµοί µόνιµων φορτίων, κινητών φορτίων και σεισµικών δράσεων. Ο σεισµός πρέπει να λαµβάνεται υπόψη σε όλες τις δυσµενείς διευθύνσεις του κτηρίου. Παρ 'όλα αυτά, συγκεκριµένα κρίσιµα ζητήµατα παραµένουν ακόµη αναπάντητα, όπως για παράδειγµα η κακή υστερητική συµπεριφορά της τοιχοποιίας ή η αρνητική επίδραση της κατακόρυφης σεισµικής συνιστώσας. Βήμα 5: Ανάλυση Χρησιµοποιώντας τα δεδοµένα εισόδου από τα προηγούµενα βήµατα γίνεται ανάλυση του φορέα µε τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων προκειµένου να υπολογιστούν οι µετατοπίσεις των κόµβων και το αντίστοιχο πεδίο των τάσεων (ορθές, διατµητικές). Η ελαστική ανάλυση είναι ένα πρώτο πολύτιµο εργαλείο για τέτοιου είδους κατασκευές, λόγω της αναµενόµενης απόκλισης της υπολογισθείσας από την πραγµατική απόκριση του φορέα και του υψηλού βαθµού αβεβαιότητας (ο οποίος έχει ήδη εισαχθεί και στα προηγούµενα βήµατα), ειδικά πριν από οποιαδήποτε επισκευή ή / και ενίσχυση τους. 170

199 Βήμα 6: Κριτήρια αστοχίας και δείκτες βλαβών Πρέπει να υιοθετηθεί ένα κατάλληλο κριτήριο αστοχίας για τον καθορισµό των περιοχών αστοχίας της κατασκευής (ως µία πρώτη εκτίµηση). Λαµβάνοντας υπόψη τις ιδιότητες των υλικών σύµφωνα µε το Βήµα 2, προτείνεται ένα κριτήριο το οποίο χρησιµοποιείται για τη διεξαγωγή της ανάλυσης. Με βάση τα αποτελέσµατα αστοχίας προκύπτει ο δείκτης αστοχίας (παράµετρος απόκρισης) για το σύνολο των επιφανειών του φορέα, µε τον ορισµό του οποίου καθίσταται δυνατό (έπειτα από σειρά βηµάτων) να εκτιµηθεί η πιθανότητα υπέρβασης επιπέδου βλάβης της κατασκευής (βαριά, µέτρια, ασήµαντη) για διάφορα επίπεδα εδαφικής επιτάχυνσης. Η πληροφορία αυτή είναι σηµαντική κατά τη διάρκεια της ανάλυσης και διαδικασίας επανασχεδιασµού για µια ιστορική κατασκευή, δεδοµένου ότι δίνει τη δυνατότητα διερεύνησης διάφορων σεναρίων µε διαφορετικές επιλογές σχετικά µε την επισκευή/ενίσχυση. Βήμα 7: Εκτίμηση σεισμικής τρωτότητας Με βάση τους δείκτες βλάβης που υπολογίζονται στο προηγούµενο βήµα πρέπει να επιτευχθεί µια ποσοτικοποίηση της σεισµικής τρωτότητας. Για την εκτίµηση της τρωτότητας της κατασκευής έχουν προταθεί πολλές τεχνικές. Λαµβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι ένας µεγάλος αριθµός των παραµέτρων που εµπλέκονται στην προσοµοίωση της κατασκευής παρουσιάζει πιθανοτικό χαρακτήρα (π.χ. ιδιότητες των υλικών και οι διεγέρσεις σεισµικών φορτίων), η πιο κατάλληλη και αξιόπιστη τεχνική για κατασκευές από τοιχοποιία είναι µια πιθανοτική προσέγγιση που επιτυγχάνεται µέσω της ανάλυσης καµπυλών θραυστότητας. 171

200 Βήμα 8: Απόφαση και Επανυπολογισμός για Επισκευή και Ενίσχυση Σύµφωνα µε τα αποτελέσµατα των σταδίων 5, 6 και 7, εντοπίζονται οι περιοχές αστοχίας του µνηµείου, οι οποίες θα πρέπει να επισκευαστούν και να ενισχυθούν. Η µέθοδος που θα χρησιµοποιηθεί, η έκταση των παρεµβάσεων, το είδος των υλικών, κλπ, σχετίζονται άµεσα µε τα αποτελέσµατα και βασίζονται σε ηµιεµπειρικές εκφράσεις για τα τελικά µηχανικά χαρακτηριστικά της τοιχοποιίας. Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι λόγω των περιορισµών που επιβάλλονται από τις επιστηµονικές χάρτες, το άµεσα διαθέσιµο, αποτελεσµατικό και επιλέξιµο µέσο αποκατάστασης είναι η χρήση των παραδοσιακών κονιαµάτων αποκατάστασης, η σύνθεση των οποίων καθορίζεται σε µεγάλο βαθµό από τη σύνθεση των κονιαµάτων της υφιστάµενης κατασκευής. Αν έχουν πραγµατοποιηθεί προηγούµενες παρεµβάσεις η σύνθεση των κονιαµάτων πρέπει να αποκαλύπτεται µέσω λεπτοµερούς χαρακτηρισµού των κονιαµάτων της αρχικής κατασκευής, εφόσον είναι εφικτό ή ακόµη και από την αναζήτηση ιστορικών πηγών εάν δεν είναι. Αν και αυτό είναι τις περισσότερες φορές µια ιδιαίτερα περίπλοκη διαδικασία, ωστόσο, είναι µια απολύτως απαραίτητη διαδικασία για την επιτυχή επισκευή και ανακαίνιση του µνηµείου. Τέλος, µια νέα ανάλυση της κατασκευής πρέπει να εκτελεστεί, η οποία να λαµβάνει υπόψη τα τελικά δεδοµένα για τις ιδιότητες υλικού, τις συνθήκες φόρτισης, τις συνοριακές συνθήκες και τη γεωµετρία του φορέα. Τα αποτελέσµατα της ανάλυσης πρέπει εν συνεχεία να χρησιµοποιηθούν στη διαδικασία των σταδίων 5 έως 7, που οδηγεί σε µια τελική έγκριση (ή απόρριψη) για τις αποφάσεις που έχουν ήδη ληφθεί για την επισκευή ή την ενίσχυση της υπάρχουσας κατασκευής. 172

201 Βήμα 9: Οριστική απόφαση για το πιο κατάλληλο και αποτελεσματικό σενάριο αποκατάστασης Σε αυτό το σηµείο, θα πρέπει να αναφερθεί ότι η τελική απόφαση για την επιλογή του βέλτιστου επισκευαστικού σεναρίου θα πρέπει να πραγµατοποιείται µε τη συνεργασία ειδικών από κάθε επιστηµονικό κλάδο. Η συλλογική εµπειρία των ειδικών, λόγω της µεγάλης αβεβαιότητας των παραµέτρων που επηρεάζουν τη συµπεριφορά των κατασκευών από τοιχοποιία, θεωρείται ότι είναι ένας πολύ σηµαντικός παράγοντας προς µια επιτυχηµένη πρόταση για την αποκατάσταση των ιστορικών κατασκευών από τοιχοποιία. Βήμα 10: Αιτιολογική Έκθεση Το τελευταίο βήµα, ως αποτέλεσµα της προτεινόµενης µεθοδολογίας, περιλαµβάνει την αναλυτική «Αιτιολογική Έκθεση» όπου όλες οι πληροφορίες που συλλέγονται, η διάγνωση, συµπεριλαµβανοµένης της αξιολόγησης της ασφάλειας καθώς και τυχόν αποφάσεις παρέµβασης θα πρέπει να είναι πλήρως εµπεριστατωµένες. Αυτή η έκθεση είναι απαραίτητη για ενδεχόµενες µελλοντικές αναλύσεις και µέτρα παρεµβάσεων στη κατασκευή. 6.2 Εφαρμογή Η όλη µεθοδολογία παρουσιάζεται διεξοδικά και σε βάθος µέσω της παρουσίασης της εφαρµογής αυτής σε µια πραγµατική µνηµειακή κατασκευή από τοιχοποιία όπως είναι η Μονή Καισαριανής. Η Μονή Καισαριανής είναι µια βυζαντινή εκκλησία (Σχήµα 6.2.1) που χτίστηκε στην Αθήνα, στα τέλη του 11 ου µε αρχές του 12 ου αιώνα. Επιπλέον, η περιοχή έχει πολύ 173

202 µεγάλη ιστορία ως κέντρο λατρείας: στην Αρχαιότητα, ήταν πιθανώς ένα χώρος αφιερωµένος στην Αφροδίτη, πριν την πάρουν οι Χριστιανοί τον 5 ο /6 ο αιώνα. Αποµεινάρια µιας µεγάλης παλαιοχριστιανικής βασιλικής βρίσκονται στα δυτικά, πάνω από την οποία χτίστηκε µια µικρότερη εκκλησία το 10 ο /11 ο αιώνα. Σχήµα 6.2.1: Πρόσοψη της Μονής Καισαριανής Όλα τα κτίσµατα της Μονής είναι διατεταγµένα γύρω από την εσωτερική αυλή, όπου δεσπόζει το Καθολικό. Απέναντι του, απαντάται το επιµηκές κτίριο µε την µεγάλη καµινάδα, που στεγάζει την τράπεζα, το µαγειρείο και την εστία, στη νότια πλευρά ο λουτρώνας, ενώ στη βόρεια πλευρά διώροφα κτίρια κελιών. (Σχήµα 6.2.2) 174

203 Σχήµα 6.2.2: Τοπογραφικό διάγραµµα της µονής Καισαριανής Η όλη κατασκευή αποτελείται από τρεις διαφορετικές και διακριτές φάσης κατασκευής που χτίστηκαν σε τρεις διαφορετικές χρονικές περιόδους. Δηλαδή, η αρχική µεσοβυζαντινή κατασκευή που χτίστηκε στα τέλη του 11 ου µε αρχές του 12 ου αιώνα και αποτελείται από τον κυρίως ναό του καθολικού που είναι οικοδοµηµένος σύµφωνα µε τον τύπο του σύνθετου τετρακιόνιου σταυροειδούς εγγεγραµµένου ναού µε τρούλο. Η δεύτερη φάση κατασκευής ήταν στις αρχές του 17 ου αιώνα, όπου προστέθηκε νάρθηκας µε τρούλο και η τρίτη φάση κατασκευής στα τέλη του 17 ου αιώνα, όπου προστέθηκε το παρέκκλιση του Αγίου Αντωνίου (Σχήµα 6.2.3). 175

204 Σχήµα 6.2.3: Κάτοψη της µονής Καισαριανής 6.3 Χαρακτηρισμός και ταξινόμηση των υλικών Το εργαστήριο Επιστήµης και Τεχνικής των Υλικών, της Σχολής Χηµικών Μηχανικών, ΕΜΠ, µε επιστηµονικά υπεύθυνη την κα Μοροπούλου, διεξήγαγε διάφορες εργαστηριακές τεχνικές προκειµένου να χαρακτηριστούν και να µελετηθούν τα δείγµατα που λήφθηκαν από το Καθολικό της Μονής Καισαριανής. Η επί τόπου και εργαστηριακή µικροσκοπική εξέταση των δειγµάτων πραγµατοποιήθηκε µε Μικροσκοπία Οπτικών Ινών (FOM), µε τη χρήση ενός PICO SCOPEMAN-MORITEX. Η κοκκοµετρική ανάλυση πραγµατοποιήθηκε σύµφωνα µε το πρότυπο Normal 27/88 χρησιµοποιώντας κόσκινα σύµφωνα µε το ISO 565. Με την διαφορική θερµική και θερµοβαρυµετρική ανάλυση (DTA-TG) ελήφθησαν ποιοτικές και ποσοτικές πληροφορίες σχετικά µε τη 176

205 σύνθεση των δειγµάτων (Mettler Toledo 651e). Το εύρος της θερµοκρασίας που εφαρµόστηκε ήταν o C και ο ρυθµός θέρµανσης επιλέχθηκε σε 10oC / min (Moropoulou et al. 1995). Με την περίθλαση ακτίνων Χ (XRD) ελήφθησαν πληροφορίες σχετικά µε την ορυκτολογική σύσταση των υλικών (Advance D8 Diffractometer of Bruker Corporation) (Normal 27/88, Normal 4/80, Moropoulou et al. 1995). Τα χαρακτηριστικά µικροδοµής των δειγµάτων µελετήθηκαν µε τη χρήση της ποροσιµετρίας υδραργύρου (MIP) µε τη χρήση ενός Pascal 400 Thermo-Electronics-Corporation (Normal 27/88, Normal 4/80, Moropoulou et al. 1995). Επιπλέον, οι δοκιµές κρουσιµέτρησης έγιναν επί τόπου, προκειµένου να εκτιµηθεί η αντοχή σε θλίψη των πλίνθων και των λίθων του πλινθοπερίλειστου, χρησιµοποιώντας ένα N-type Schmidt hammer της Proceq (Aydin and Basu 2005, Aliabdo and Elmoaty 2012). 6.4 Χαρακτηρισμός και ταξινόμηση των ιστορικών κονιαμάτων Τα κονιάµατα του Καθολικού της Μονής Καισαριανής είναι τυπικά ασβεστοκονιάµατα µε ανάµιξη ασβεστιτικών ή ασβεστιτικών και αργιλοπυριτικών αδρανών, µε υψηλές τιµές πορώδους και περιστασιακά την προσθήκη άχυρου ή φυτικών ινών. Στο Σχήµα φαίνεται η κατάταξη των κονιαµάτων της Μονής Καισαριανής µέσω της συσχέτισης των αποτελεσµάτων της θερµικής ανάλυσης που έχει διενεργηθεί στο εργαστήριο Επιστήµης και Τεχνικής των Υλικών, της Σχολής Χηµικών Μηχανικών, ΕΜΠ, σε πλήθος ιστορικών κονιαµάτων από τους Moropoulou et al (2003). Οι ίδιοι ερευνητές, αξιοποιώντας τα αποτελέσµατα θερµικής ανάλυσης και αντοχής σε εφελκυσµό σε πληθώρα ιστορικών κονιαµάτων, συσχέτισαν την αντοχή σε εφελκυσµό ιστορικών κονιαµάτων µε το αντίστροφο δείκτη υδραυλικότητας, Έτσι, µπορεί να 177

206 εκτιµηθεί η αντοχή σε εφελκυσµό ενός ιστορικού κονιάµατος (Σχήµα 6.4.2, Πίνακας 6.4.1). Σχήµα 6.4.1: Οµαδοποίηση των κονιαµάτων της Μονής Καισαριανής, σύµφωνα µε τα αποτελέσµατα της θερµικής ανάλυσης Σχήµα 6.4.2: Συσχέτιση της αντοχής σε εφελκυσµό και του αντίστροφου δείκτη υδραυλικότητας 178

207 Πίνακας 6.4.1: Συσχέτιση των φυσικοχηµικών δεδοµένων µε την αντοχή σε εφελκυσµό Δείγµα Αντίστροφος δείκτης υδραυλικότητας (CO2/Structurally bound water) Αντοχή σε εφελκυσµό δείγµα δείγµα δείγµα δείγµα Προσομοίωμα κατασκευής Το πρόγραµµα που χρησιµοποιήθηκε για την προσοµοίωση της κατασκευής είναι το λογισµικό SAP2000 v14. Με αυτό το λογισµικό δηµιουργήθηκε ένα κατάλληλο µοντέλο πεπερασµένων στοιχείων για την προσοµοίωση της απόκρισης της κατασκευής. Η ιδεατή συγκέντρωση των µαζών στους κόµβους συµβάλλει στην πιο πιστή προσοµοίωση της πραγµατικής κατανοµής της µάζας, για τέτοιου τύπου κτίρια (φέρων οργανισµός από λιθοδοµή) και εξασφαλίζει ακριβέστερη προσοµοίωση των αντίστοιχων αδρανειακών φορτίων. Θεωρήθηκαν έξι βαθµοί ελευθερίας για κάθε κόµβο για να προσδιοριστεί πλήρως η παραµόρφωση του συστήµατος. Οι έξι βαθµοί ελευθερίας αντιστοιχούν σε τρεις µετάθεσης, κατά µήκος των αξόνων x, y, z και τρεις στροφής, παράλληλα προς τους ίδιους άξονες. Το µοντέλο του κτιρίου φαίνεται στο Σχήµα Η γεωµετρική προσοµοίωση έγινε µε επιφανειακά στοιχεία κελύφους και γραµµικά στοιχεία πλαισίου, τα οποία θεωρούνται ότι αντιπροσωπεύουν µε επαρκή αξιοπιστία τις ιδιότητες του πραγµατικού φορέα. Το µοντέλο που χρησιµοποιήθηκε για την ανάλυση της κατασκευής είναι χωρικό. Η διακριτοποίηση του πλέγµατος πεπερασµένων στοιχείων έγινε µέσω επίπεδων τετράπλευρων και τριγωνικών στοιχείων. Η πύκνωση του κανάβου επιλέχθηκε ανάλογα µε τις συνθήκες γεωµετρίας και φόρτισης που επικρατούσαν σε κάθε περιοχή του προσοµοιώµατος/κατασκευής. Με τον τρόπο αυτό προσοµοιάστηκε 179

208 καλύτερα η ανισότροπη συµπεριφορά της κατασκευής από τοιχοποιία. Συγκεκριµένα, πύκνωση έγινε στις ακόλουθες περιοχές: θέσεις συγκεντρωµένων φορτίων, περιµετρικά των ανοιγµάτων, γωνιακές περιοχές (ενώσεις τοίχων). Για το µοντέλο προσοµοίωσης χρησιµοποιήθηκαν κόµβοι, επιφανειακά και 120 γραµµικά στοιχεία. Σχήµα 6.5.1: Μοντελοποίηση της Μονής Καισαριανής µε πεπερασµένα στοιχεία 6.6 Σεισμικότητα της περιοχής Είναι γνωστό ότι η Ελλάδα είναι µία από τις πιο ενεργές σεισµικά χώρες στον κόσµο και η πιο ενεργή στην Ευρώπη. Στην καταγεγραµµένη σεισµική ιστορία της Ελλάδας αναφέρονται πολλές καταστροφές λόγω σεισµών. Θα µπορούσε κανείς να πει ότι είναι ένα «ιδανικό σεισµολογικό εργαστήριο» για τον πολιτικό µηχανικό. Δηλαδή, οι σεισµοί στην Ελλάδα είναι στενά συνδεδεµένοι µε την καθηµερινή ζωή, σε όλη την πορεία της 180

209 χώρας στην ιστορία. Οι ισχυροί σεισµοί που σηµειώθηκαν, σχετικά περιορισµένοι στην περιοχή της ανατολικής Μεσογείου, έχουν επηρεάσει την ιστορία, την παράδοση, τη θρησκεία, τις τέχνες, την οικοδόµηση και την πολιτική, κοινωνική και οικονοµική κατάσταση της χώρας για πολύ µεγάλο χρονικό διάστηµα. Το 5% της σεισµικής δραστηριότητας σε παγκόσµιο επίπεδο και το 50% της σεισµικής δραστηριότητας στην Ευρώπη έχει παρουσιαστεί στην Ελλάδα. Αξίζει να σηµειωθεί ότι η συντριπτική πλειοψηφία των προηγούµενων σεισµών παρουσιάστηκαν στην περιοχή της Ανατολικής Μεσογείου. Η υψηλή σεισµική δραστηριότητα αυτής της περιοχής οφείλεται στο γεγονός ότι βρίσκεται στο όριο της σύγκλισης Αφρικής-Ευρασίας (Armijo et al. 1999). Στην Ελλάδα συµβαίνουν συχνά σεισµοί µεγάλους µεγέθους, ενώ κατά µέσο όρο ένας σεισµός µετρίου ή µικρού µεγέθους είναι αισθητός κάθε 2-3 ηµέρες. Σηµαντικοί επιφανειακοί σεισµοί (Μ> 8, µε περίοδο επαναφοράς περίπου χρόνια), οι οποίοι µπορούν να προκαλέσουν εκτεταµένες καταστροφές, εµφανίζονται σπάνια. Παρά το γεγονός ότι η πλειοψηφία αυτών των σεισµών είναι επιφανειακοί, µόνο λίγοι έχουν καταγραφεί ως «καταστροφικοί» για το ανθρώπινο περιβάλλον ή την απώλεια ζωής (π.χ. σεισµοί, το 1881 στη Χίο, το 1953 στην Κεφαλονιά, το 1999 στην Αθήνα). Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η πλειοψηφία αυτών των σεισµών συµβαίνουν στη θάλασσα και έτσι το µεγαλύτερο µέρος της ενέργειας που απελευθερώνεται διαχέεται πριν να φθάσει τις κατοικηµένες περιοχές. Στα Σχήµατα 6.6.1, 6.6.2, και παρουσιάζονται οι χάρτες σεισµικότητας της Ελλάδας για εύρος τιµών σεισµικών ροπών ( ), ( ), ( ), (> 5.0) αντίστοιχα. 181

210 Σχήµα 6.6.1: Χάρτης Σεισµικότητας της Ελλάδας (Μέγεθος Σεισµικής Ροπής: ) Σχήµα 6.6.2: Χάρτης Σεισµικότητας της Ελλάδας (Μέγεθος Σεισµικής Ροπής: ) 182

211 Σχήµα 6.6.3: Χάρτης Σεισµικότητας της Ελλάδας (Μέγεθος Σεισµικής Ροπής: ) Σχήµα 6.6.4: Χάρτης Σεισµικότητας της Ελλάδας (Μέγεθος Σεισµικής Ροπής: > 5.0) 183

212 6.7 Σενάρια παρεμβάσεων Στο πλαίσιο των αρχών που επιβλήθηκαν στο παρελθόν ή τους ισχύοντες κανονισµούς και τις επιστηµονικές Χάρτες (π.χ. η Χάρτα της Αθήνας του 1931 (ICOMOS 1931), η Χάρτα της Βενετίας 1964 (ICOMOS 1964), κ.λπ.), κοµβικό σηµείο όλων των σεναρίων παρέµβασης ήταν η χρησιµοποίηση συµβατών και επιτελεστικών κονιαµάτων αποκατάστασης για τη µείωση της σεισµικής τρωτότητας. Τα κονιάµατα αποκατάστασης επιλέχθηκαν µέσα από εκτενή έρευνα της διαθέσιµης βιβλιογραφίας (Aggelakopoulou 2006, Moundoulas 2004). Τα επιλεγµένα κονιάµατα ήταν όλα σχεδιασµένα για χρήση σε ιστορικά κτήρια µέσω της µεθοδολογίας της αντίστροφης µηχανικής προσέγγισης. Τα κονιάµατα αποκατάστασης επιλέγονται να παρουσιάζουν επαρκή υδραυλικότητα, έτσι ώστε να εξασφαλίζεται η σκλήρυνση και η επιτελεστικότητα σε συνθήκες υψηλής υγρασίας µε παρουσία αλάτων. Συγκεκριµένα, επιλέχθηκαν δύο κονιάµατα ασβέστη- µετακαολίνη, ένα κονίαµα υδραυλικής ασβέστου, δύο σκυροδέµατα ασβέστη- µετακαολίνη και ένα σκυρόδεµα υδραυλικής ασβέστου (Πίνακας 6.7.2). Τα σκυροδέµατα σχεδιάστηκαν µε την προσθήκη θραυσµένου κεραµικού, προκειµένου να προσοµοιωθούν ιστορικά κονιάµατα βυζαντινών µνηµείων που έχουν επιδείξει εξαιρετική συµπεριφορά σε σεισµούς (Moropoulou et al. 2006). Οι πρώτες ύλες που χρησιµοποιήθηκαν πληρούν όλα τα κριτήρια ώστε να είναι αποδεκτές για χρήση σε µια ιστορική τοιχοποιία (Moropoulou 2000). Οι µέσες τιµές της καµπτικής και θλιπτικής αντοχής που µετρήθηκαν στα εξεταζόµενα κονιάµατα και σκυροδέµατα παρατίθενται στον Πίνακα Οι τιµές αντοχής σε κάµψη είναι ο µέσος όρος της τιµής τριών διαφορετικών πρισµατικών δειγµάτων για κάθε σύνθεση, ενώ οι τιµές αντοχής σε θλίψη είναι ο µέσος όρος της τιµής έξι 184

213 διαφορετικών κυβικών δειγµάτων που µετρήθηκαν για κάθε σύνθεση. Τα προτεινόµενα κονιάµατα και σκυροδέµατα αποκατάστασης καλύπτουν ένα ευρύ φάσµα τιµών µηχανικών αντοχών, ενώ παρουσιάζουν επαρκή φυσικοχηµική συµβατότητα, ειδικά στην περίπτωση των κονιαµάτων ασβέστη-µετακαολίνη. Επιπλέον, τα επιλεγµένα κονιάµατα εξασφαλίζουν επαρκείς µηχανικές αντοχές σε µικρούς χρόνους ωρίµανσης (Σχήµα 6.7.1). Πίνακας 6.7.1: Μηχανικά χαρακτηριστικά κονιαµάτων αποκατάστασης. (Aggelakopoulou 2006, Moundoulas 2004) Sample Curing Time (months) Ff (MPa) St.Dev. Fc (MPa) St.Dev LM LM NHL LM C NHLC LΜC *Ff: Flexural strength (MPa), Fc: Compressive strength (MPa), St.Dev.: standard deviation 185

214 Πίνακας 6.7.2: Σύνθεση κονιαµάτων αποκατάστασης (Aggelakopoulou 2006, Moundoulas 2004) Sample Lime Silicate Sand Silicate Sand Crushed brick Metakaolin NHL3,5 Code powder (0-2 mm) (0-6 mm) (0-16 mm) LΜ LM NHL LΜC NHLC LMC Σχήµα 6.7.1: Θλιπτική αντοχή (MPa) σε σχέση µε το χρόνο σκλήρυνσης (µήνες) Στον ακόλουθο Πίνακα παρουσιάζονται οι τιµές που αντιστοιχούν στο στατικό µέτρο ελαστικότητας του κάθε κονιάµατος/σκυροδέµατος, ως ο µέσος όρος των 6 δειγµάτων που εξετάστηκαν, για κάθε σύνθεση. Στον ίδιο πίνακα παρουσιάζονται επίσης, οι τιµές του δυναµικού µέτρου ελαστικότητας για κάθε δείγµα, όπως εκτιµήθηκαν µέσω µετρήσεων υπερηχοσκόπησης. Οι δοκιµές διεξήχθησαν σε δείγµατα που είχαν 186

215 συµπληρώσει 12 µήνες ωρίµανσης, έτσι ώστε να έχουν σταθεροποιηθεί όσον αφορά στην εξέλιξη των χηµικών αντιδράσεων. Πίνακας 6.7.3: Στατικό και δυναµικό µέτρο ελαστικότητας κονιαµάτων/σκυροδεµάτων που εξετάστηκαν (12 µήνες ωρίµανσης) (Aggelakopoulou 2006, Moundoulas 2004) Χρόνος ωρίµανσης Κωδικός σύνθεσης (µήνες) Εst. (MPa) St.Dev. Εd (MPa) LM LM NHL LM C NHL C LΜ C *Εst.: Στατικό µέτρο ελαστικότητας, Εd: δυναµικό µέτρο ελαστικότητας, St.Dev.: τυπική απόκλιση Όπως ήταν αναµενόµενο τα σκυροδέµατα που εξετάστηκαν παρουσιάζουν πολύ υψηλότερες τιµές µέτρου ελαστικότητας σε σύγκριση µε τα κονιάµατα. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα στις µετρήσεις του στατικού µέτρου ελαστικότητας. Μεταξύ των σκυροδεµάτων, η χαµηλότερη τιµή στατικού και δυναµικού µέτρου ελαστικότητας παρουσιάζεται στο σκυρόδεµα LMC5, το οποίο παρουσιάζει επίσης τις χαµηλότερες τιµές σε κάµψη και θλίψη. Η υψηλότερη µε διαφορά τιµή στατικού και δυναµικού µέτρου ελαστικότητας παρουσιάζεται από το σκυρόδεµα υδραυλικής ασβέστου, αν και εµφανίζει χαµηλότερες τιµές αντοχής σε κάµψη και θλίψη από το LΜC15. Το κονίαµα που περιέχει το υψηλότερο ποσοστό µετακαολίνη, παρουσιάζει και τις υψηλότερες τιµές αντοχής σε θλίψη, και επίσης την υψηλότερη τιµή στατικού µέτρου ελαστικότητας. Η βέλτιστη επιλογή, προκειµένου να εξασφαλιστεί µια καλή συµπεριφορά υπό σεισµική δράση είναι ο συνδυασµός της υψηλής αντοχής σε θλίψη και του χαµηλού δυναµικού µέτρου ελαστικότητας. 187

216 6.8 Δείκτες Βλαβών Η ανάλυση αστοχίας για την υπάρχουσα κατασκευή, καθώς και για τα σενάρια παρεµβάσεων που µελετήθηκαν βασίστηκαν στα κριτήρια αστοχίας που αναλύθηκαν στο κεφάλαιο IV. Εκτός από το κύριο πρόγραµµα υπολογιστή που χρησιµοποιείται για την ανάλυση (SAP2000), αναπτύχθηκε ένα ειδικό πρόγραµµα ηλεκτρονικού υπολογιστή, που απεικονίζει γραφικά τις επιφάνειες αστοχίας της κατασκευής. Το πρόγραµµα λαµβάνει ως δεδοµένα εισόδου τα αποτελέσµατα της ανάλυσης από το SAP2000 και δίνει στατιστικά τον αριθµό των σηµείων αστοχίας για κάθε ένα από τα δύο προτεινόµενα κριτήρια αστοχίας (Εξισώσεις [4.5.3] και [4.5.4]). Επιπλέον δίνει τον τύπο της βλάβης, παρέχοντας µια γενική άποψη του πιθανού επιπέδου βλαβών και του κύριου είδους ζηµιών στην κατασκευή. Με βάση αυτά τα αποτελέσµατα και τη χρήση της Εξίσωσης [5.2.2], προσδιορίστηκαν οι δείκτες βλαβών (Πίνακας 6.8.1) για µια σειρά εδαφικών επιταχύνσεων µεταξύ 0.08 έως 0.40g και αντοχών εφελκυσµού τοιχοποιίας που κυµαίνονται από 50 kpa έως 324 kpa. Στο Σχήµα φαίνονται οι δείκτες βλάβης της υπάρχουσας κατασκευής, καθώς και για τις δύο περιπτώσεις επισκευής της κατασκευής µε τα κονιάµατα Μ5 και Μ

217 Πίνακας 6.8.1: Δείκτες Βλαβών της κατασκευής πριν και µετά τις παρεµβάσεις Case Existing Structure Repaired Structure with Mortar M5 Repaired Structure with Mortar M10 Tensile Strength (kpa) Cubic Tensor Failure Peak Ground Acceleration (PGA) Simplified Failure

218 (a) Existing structure (Cubic) (b) Existing structure (Simplified) (c) Repaired structure with mortar M5 (Cubic) (d) Repaired structure with mortar M5(Simplified) (e) Repaired structure with mortar M10 (Cubic) (f) Repaired structure with mortar M10 (Simplified) Σχήµα 6.8.1: Δείκτες βλάβης της υπάρχουσας κατασκευής, καθώς και για τις δύο περιπτώσεις επισκευής της κατασκευής µε τα κονιάµατα Μ5 και Μ10 µε χρήση τόσο του γενικευµένου όσο και του απλοποιηµένου κριτηρίου αστοχίας 190

219 6.9 Καμπύλες Θραυστότητας Τα αποτελέσµατα που αφορούν τους δείκτες βλάβης της κατασκευής αναλύθηκαν µε στατιστική επεξεργασία. Συγκεκριµένα, υπολογίστηκαν οι τιµές για τις συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας και αθροιστικής πιθανότητας για κάθε τιµή της επιτάχυνσης του εδάφους της κατασκευής. Χρησιµοποιώντας τις συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας υπολογίστηκαν οι πιθανότητες υπέρβασης και για τα τρία επίπεδα βλαβών της κατασκευής (ασήµαντη, µεσαία και βαριά βλάβη), για κανονική κατανοµή, πριν και µετά τις παρεµβάσεις και για τα δύο κριτήρια αστοχίας και τα αποτελέσµατα παρουσιάζονται στον Πίνακα Πίνακας 6.9.1: Πιθανότητα υπέρβασης επιπέδου βλαβών της κατασκευής πριν και µετά τις παρεµβάσεις (Κανονική Κατανοµή) Case Tensile Strength (kpa) Cubic Tensor Failure criterion Simplified Peak Ground Acceleration (PGA) Peak Ground Acceleration (PGA) Insignificant Existing Structure Moderate Heavy Repaired Structure with Mortar M5 Repaired Structure with Mortar M Insignificant Moderate Heavy Insignificant Moderate Heavy

220 Στα Σχήµατα (α) - (β) παρουσιάζονται οι καµπύλες θραυστότητας της υφιστάµενης κατασκευής για την κανονική και λογαριθµοκανονική κατανοµή, αντίστοιχα. Από τις καµπύλες αυτές, είναι σαφές ότι οι συναρτήσεις κατανοµής επηρεάζουν καθοριστικά την πιθανότητα υπέρβασης του επιπέδου βλαβών της κατασκευής. Λαµβάνοντας υπόψη ότι τα µηχανικά χαρακτηριστικά των υλικών τοιχοποιίας (λιθοσώµατα και κονιάµατα) ακολουθούν κανονική κατανοµή παρουσιάζονται καµπύλες θραυστότητας µόνο για την κανονική κατανοµή. Ειδικότερα, στα Σχήµατα (α) - (β) - (γ) παρουσιάζονται καµπύλες θραυστότητας της κατασκευής πριν και µετά τις παρεµβάσεις για κάθε επίπεδο βλάβης για την περίπτωση της κανονικής κατανοµής. Από τα σχήµατα φαίνεται ότι οι καµπύλες θραυστότητας είναι σηµαντικά εργαλεία για την αξιολόγηση και την κατάταξη της αποτελεσµατικότητας των προτάσεων παρέµβασης, για την αντιµετώπιση της αντισεισµικής προστασίας των κατασκευών από τοιχοποιία. Επίσης, στα Σχήµατα (α) - (β) - (γ) παρουσιάζεται η µείωση της σεισµική τρωτότητας της κατασκευής για τα δύο σενάρια αποκατάστασης βλαβών και για τα δύο διαφορετικά κριτήρια αστοχίας για την περίπτωση χρήση της κανονικής συνάρτησης κατανοµής. Θα πρέπει να αναφερθεί ενδεικτικά ότι η πιθανότητα υπέρβασης βαριάς βλάβης για σεισµική επιτάχυνση εδάφους PGA = 0.16g (τυπική τιµή σχεδιασµού για το µνηµείο) µειώνεται σε 63,90% και 97,80% για την επισκευασµένη κατασκευή µε κονιάµατα αποκατάστασης M5 και M10 αντίστοιχα, όπως φαίνεται στα Σχήµατα και Επιπλέον, από τα Σχήµατα και φαίνεται ότι η επίδραση του κριτηρίου αστοχίας είναι πολύ µικρή, για την περίπτωση που µελετάται, παρά το γεγονός ότι το κριτήριο του κυβικού τανυστικού πολυωνύµου εµφανίζει διπλάσια διατµητική αντοχή, 192

221 όπως φαίνεται παραπάνω. Το εύρηµα αυτό δεν πρέπει να µας οδηγήσει στο λανθασµένο συµπέρασµα ότι τα κριτήρια αστοχίας δεν επιφέρουν αισθητές επιπτώσεις στα αποτελέσµατα. Η επίδραση του κριτηρίου αστοχίας είναι πολύ µικρή, ως ειδική περίπτωση µιας εξειδικευµένης µελέτης αποκατάστασης, η οποία λόγω των ιδιαίτερων γεωµετρικών χαρακτηριστικών της κατασκευής έδωσε µικρές τιµές διατµητικών τάσεων. (a) Fragility curves of existing structure (Normal distribution) (b) Fragility curves of existing structure (LogNormal distribution) Σχήµα 6.9.1: Καµπύλες θραυστότητας υπάρχουσας κατασκευής για κανονική κατανοµή (a) και λογαριθµοκανονική κατανοµή (b) 193

222 (a) Fragility curves of the structure before and after interventions (Normal distribution) (b) Fragility curves of the structure before and after interventions (Normal distribution) (c) Fragility curves of the structure before and after interventions (Normal distribution) Σχήµα 6.9.2: Καµπύλες θραυστότητας της κατασκευής πριν και µετά τις επισκευές µε χρήση του κριτηρίου αστοχίας του κυβικού τανυστικού πολυωνύµου. 194

223 (a) Fragility curves of the existing structure (b) Fragility curves of the repaired structure with mortar M5 (c) Fragility curves of the repaired structure with mortar M10 Σχήµα 6.9.3: Καµπύλες θραυστότητας της κατασκευής πριν και µετά τις επισκευές µε χρήση και των δύο κριτηρίων αστοχίας. 195

224 Σχήµα 6.9.4: Μείωση της σεισµικής τρωτότητας της κατασκευής για δύο επισκευαστικά σενάρια. (Κανονική Κατανοµή). Από τα αποτελέσµατα φαίνεται ότι ακόµη και µε τη χρήση επισκευαστικού κονιάµατος µε αντοχή σε θλίψη 5 ΜΡα, µπορεί να επιτευχθεί βελτίωση όσον αφορά τις βλάβες σε περίπτωση ενός σεισµού. Η βελτίωση είναι µεγαλύτερη όσο αυξάνεται η σοβαρότητα σε βλάβη. Λόγω της χαµηλής αντοχής σε θλίψη τα επισκευαστικά κονιάµατα NHLC10 και LΜC15 απορρίπτονται προκειµένου να διασφαλιστεί η συµβατότητα µε τα αρχικά δοµικά υλικά. Έτσι τα επισκευαστικά κονιάµατα LM5 και LMC5 µπορούν να επιλεγούν για να χρήση µε αρµολόγηµα, καθώς αυτά είναι συµβατά και αποτελεσµατικά µε την αρχική κατασκευή και το περιβάλλον της Μονής Καισαριανής και ταυτόχρονα συµβάλλουν στην επιτελεστικότητα της κατασκευής υπό σεισµική δράση. 196