ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΘΕΡΜΙΚΗ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ (THERMAL CONDUCTIVITY) ΚΑΙ ΟΙ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΓΙΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΘΕΡΜΙΚΗ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ (HERMAL CONDUCIIY) ΚΑΙ ΟΙ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΓΙΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Είναι γνωστό οτι µερικά υλικά µεταφέρουν ενέργεια πιο εύκολα από άλλα (µέταλλα σε σχέση µε το ξύλο). Η φυσική ιδιότητα που έχει σχετίζεται µε την µεταφορά της ενέργειας λέγεται θερµική αγωγιµότητα (thermal conductivit),. Οι µηχανισµοί για την µεταφορά θερµότητας είναι. Αγωγή θερµότητας (heat conduction): µοριακός µηχανισµός µεταφοράς ενέργειας (molecular energ transort) Μεταφορά ενέργειας µε συναγωγή (convective energ transort): εξαρτάται από την ροή του ρευστού (bul fluid motion) και έχει νόηµα µόνο όταν υπάρχει ροή. Μεταφορά ενέργειας µε διάχυση (diffusive energ transort): Ισχύει για µείγµατα που αλληλοδιαχέονται (interdiffusiοn or interdiffusing mitures) Μεταφορά ενέργειας µε ακτινοβολία (radiative energ transort): δεν χρειάζεται µέσον για να µεταδοθεί όπως για µετάδοση µε αγωγή (conduction) και συναγωγή (convection). Η ακτινοβολία µπορεί να µεταδοθεί και στο κενό. Ως συνήθως θα αρχίσουµε µε τον µοριακό µηχανισµό µετάδοσης της θερµότητας που είναι η αγωγή. Μετά θα συνεχίσουµε µε την εξέταση της µετάδοσης της θερµότητας από µικροσκοπική σκοπιά, αναπτύσσοντας τα µικροσκοπικά ισοζύγια ενέργειας (microscoic descrition of energ transort) Τέλος θα µελετήσουµε τη µετάδοση της θερµότητας µακροσκοπικά, αναπτύσσοντας τα µακροσκοπικά ισοζύγια ενέργειας (macroscoic descrition of energ transort).

2 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ - Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ FOURIER (FOURIER S LAW) Θεωρούµε µία πλάκα υλικού µε επιφάνεια A, µεταξύ δύο µεγάλων παράλληλων πλακών. Εχει βρεθεί πειραµατικά ότι: Q A 1 o Y Y or q d d ( Fourier' s law in 1 D) όπου q είναι ο ρυθµός µεταφοράς θερµότητας ανά µονάδα επιφανείας (heat flu) στην κατεύθυνση. Το αρνητικό πρόσηµο - σηµαίνει ότι η θερµότητα µεταφέρεται στην κατεύθυνση που η θερµοκρασία µειώνεται η θερµότητα ολισθαίνει κατηφορικά (heat slides downhill) σε ένα διάγραµµα απόστασης-θερµοκρασίας (-). Ο νόµος του Fourier µπορεί να γραφεί σε τρεις διαστάσεις: q d d q d d q d d Γενικεύοντας q Μερικά στερεά (µή κυβικά κρύσταλλα (non-cubic crstals), ινώδη υλικά (fibrous materials) και αντικολλητικά φυλλώδη υλικά (laminates)) είναι ανισότροπα (anisotroic)

3 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ -3 έτσι ώστε η θερµική αγωγιµότητα τους εξαρτάται από την προσανατολισµό π.χ. προσανατολισµό των ινών (orientation of fibres). q κ Σε αυτή την περίπτωση κ είναι ένας συµµετρικός τανυστής που λέγεται τανυστής θερµικής αγωγιµότητας (thermal conductivit tensor). Σε περιπτώσεις ανισότροπων υλικών, ο ρυθµός θερµότητας ανά µονάδα επιφανείας (heat flu) δεν µεταδίδεται απαραίτητα στην ίδια κατεύθυνση µε την κλίση θερµοκρασίας. Συχνά η θερµική διαχυτικότητα (thermal diffusivit) χρησιµοποιείται: όπου α ) ρc Ĉ είναι η θερµική χςριτικότητα (heat caacit) σε σταθερή πίεση; Η περισπωµένη (circulfle) (^) πάνω από το σύµβολο δείχνει µία ποσότητα ανά µονάδα µάζας. Περιστασιακά το σύµβολο C ~ χρησιµοποιείται στην οποία η ισπανική περισπωµένη (tilde) (~) πάνω από το σύµβολο δείχνει µία ποσότητα ανά µονάδα mole er mole. Ο ορισµός του συντελεστή θερµικής διαχυσης (ή θερµικής διαχυτικότητας) (thermal diffusivit) οδηγεί στους εξής άλλους ορισµούς: ) C Prandtl number µ Pr ν (δείχνει το λόγο της ευκολίας µετάδοσης ορµής σε α σχέση µε την αντίστοιχη µετάδοση θερµότητας - relative ease of momentum and thermal transort) Peclet number Pe Re Pr που θα δούµε παρακάτω. Οι πίνακες to περιέχουν (δίνουν) τιµές για ) α, C, Pr για αέρια,, υγρά και στερεά.

4 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ -4 ΕΞΑΡΤΗΣΗ ΤΗΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ (HERMAL CONDUCIIY) ΑΠΟ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΚΑΙ ΠΙΕΣΗ Το σχήµα 9.-1 µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να υπολογίσουµε τιµές σαν συνάρτηση της and. Αυτό µπορεί να γίνει µε αναφορά στις µειωµένες ποσότητες (reduced quantities) όπως είδαµε και στην περίπτωση του ιξώδους.

5 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ -5 ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ ΑΕΡΙΑ Θεωρούµε την περίπτωση ενός µονοατοµικού αερίου χαµηλής πυκνότητας η οποία περιγράφηκε πριν, χρησιµοποιώντας την κινετική θεωρία αερίων. Χρησιµοποιούµε τα αποτελέσµατα της προηγούµενης ανάπτυξης: Μέση µοριακή ταχύτητα u 8Κ π m mean molecular seed Συχνότητα συγκρούσεων ανά µονάδα επιφάνειας Z 4 1 nu wall collision Μέση ελεύθερη τροχιά µεταξύ συγκρούσεων λ 1 π d n mean frequenc er unit area free ath Γενικά τα µόρια που πλησιάζουν ένα οποιοδήποτε επίπεδο µέσα στο αέριο, είχαν την τελευταία τους σύγκρουση σε απόσταση α από το επίπεδο, όπου α 3 Η µόνη µορφή ενέργειας που µπορεί να ανταλλαγεί σε µία σύγκρουση µεταξύ δύο οµαλών σφαιρικών σωµατιδίων είναι η κινητική ενέργεια (translational energ), thus 1 mu λ 3 Κ Για ένα τέτοιο αέριο, η µοριακή θερµική χωρητικότητα (molar heat caacit) σε σταθερό όγκο είναι:

6 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ -6 ~ ~ U ~ d 1 3 C N ( mu ) R d Ας υποθέσουµε τώρα ότι το αέριο βρίσκεται κάτω από την επίρεια µίας κλίσης θερµοκρασίας (under a temerature gradient). Ο ρυθµός µεταφοράς θερµότητας (heat flu) δια µέσου ενός επιπέδου µε σταθερό είναι ίσος µε το άθροισµα των κινητικών ενεργειών των µορίων που διατέµνουν το επίπεδο ανά µονάδα χρόνου στην θετική κατεύθυνση µείον την κινητική ενέργεια ενός ίδιου αριθµού µορίων που διατέµνουν το επίπεδο στην αρνητική κατεύθυνση. q Z ( α + α ) mu mu ΚZ( ) α Επίσης γνωρίζοντας την απόσταση µεταξύ των δύο επιπέδων, µπορούµε να γράψουµε: Συνδιάζοντας, q + α α α 3 d λ d d λ d 1 d nκuλ d Ετσι προύπτει η σχέση για την θερµική αγωγιµότητα: 1 1 nκuλ ρc u ( monoatomic gas λ ) Στην οποία ρ nm and C 3 Κ / m Αντικαθιστώντας: 3 mκ / π Κ πmκ C ( monoatomic gas) πd m 3π πd Αυτή η σχέση δείχνει ότι η θερµική αγωγιµότητα είναι ανεξάρτητη απο την (στην πραγµατικότητα πειραµατικές µετρήσεις δείχνουν ότι εξαρτάται), και η εξάρτηση της από την θερµοκρασία είναι ασθενής µετρήσεις δείχνουν µια πιο δυνατή εξάρτηση). (στην πραγρατικότητα πειραµατικές Η θεωρία των Chaman-Ensog είναι πιό ακριβής και προβλέπει:

7 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ mκ / π Κ 4 / M or ( monoatomic gas) πσ Ω m σ Ω όπου το ολοκλήρωµα σύγκρουσης (collision integral) Ω είναι το ίδιο µε αυτό για το ιξώδες και οι τιµές του δίνονται στον πίνακα able E.. Αυτή η εξίσωση έχει βρεθεί να είναι πολύ ακριβής στις προβλέψεις της για την θερµική αγωγιµότητα των µονοατοµικών αερίων. Συκρίνοντας αυτή την εξίσωση (formula) µε τις αντίστοιχες για το ιξώδες των µονοατοµικών αερίων, µπορούµε να γράψουµε: 15 R 5 µ C µ ( monoatomic gases) 4 M Για πολυατοµικά αέρια, µία θεωρία που αναπτύχθηκε απο τον Eucen δίνει 5 R C + µ ( olatomic gases) 4 M Ετσι ο αδιάστατος αριθµός Prandtl number που προκύπτει είναι, C µ Pr C C R ( olatomic gases) Η εξίσωση αυτή έχει βρεθεί να δίνει ικανοποιητικά αποτελέσµατα για µη-πολικά αέρια (nonolar gases). H θερµική αγωγιµότητα για µείγµατα αερίων σε χαµηλές πυκνότητες, µπορεί να υπολογιστεί από την εξής εξίσωση: mi N α α α Φ β β αβ 1 Οι συντελεστές Φαβ είναι οι ίδιοι µε εκείνους που χρησιµοποιούνται για να υπολογίσουµε το ιξώδες των αερίων µειγµάτων. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ ΥΓΡΑ Μια λεπτοµερής κινητική θεωρία για την θερµική αγωγιµότητα υγρών έχει αναπτυχθεί, αλλά δεν εχει γίνει δυνατόν να χρησιµοποιηθεί σε πρακτικές εφαρµογές. Ετσι θα συζητήσουµε πιο απλές θεωρίες.

8 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ -8 Ο Bridgman ανέπτυξε µία θεωρία για µεταφορά ενέργειας σε υγρά. Υπέθεσε οτι τα µόρια είναι διευθετηµένα σε µία κυβική κρυσταλλική δοµή (cubic lattice) µε την ~ ~ απόσταση τους (center-to-center) να είναι ( / N ) 1/ 3 ~ στην οποία ( / N ~ ) είναι ο όγκος ανά µόριο. Επίσης υπέθεσε οτι η ενέργεια µεταφέρεται από ένα επίπεδο της κρυσταλλικής δοµής σε ένα άλλο, µε την ταχύτητα του ήχου (sonic velocit), υ s. Η θεωρητική ανάπτυξη έδωσε την εξής εξίσωση: 1 ρc uλ ρc 3 u α Ĉ δίνεται από την σχέση DuLong Petit (ίδια όπως στα µονοατοµικά αέρια και υγρά C 3( Κ / m). Η µέση µοριακή ταχύτητα στην -κατεύθυνση µπορεί να αντικατασταθεί απο την ταχύτητα του ήχου. Κάνοντας αυτές τις αντικαταστάσεις: 3 ~ ~ 3 ( N / ) / Κυs Πειραµατικά αποτελέσµατα δείχνουν οτι ο παράγοντας 3 µπορεί να αντικατασταθεί µε.8, έτσι ώστε η εξίσωση να δώσει καλύτερα αποτελέσµατα,.80 ~ ~ 3 ( N / ) / Κυ s Η εξίσωση αυτή µπορεί να χρησιµοποιηθεί και για πολυατοµικά υγρά, παρ ότι χρησιµοποιεί 3( Κ / m) που ισχύει µόνο για µονοατοµικά υγρά (αυτό επειδή οι C συγκρούσεις πολυατοµικών µορίων είναι ατελής). Η ταχύτητα του ήχου είναι, υ s C C ρ όπου ( / ρ) µπορεί να υπολογισθεί από µετρήσεις ισόθερµης συµπιεστικότητας ή από κάποια καταστατική εξίσωση, µε τον λόγο υγρά. C / C να είναι πολύ κοντά στο 1 για ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ ΣΤΕΡΕΑ Η θερµική αγωγιµότητα στερεών µετρείται πειραµατικά (δεν υπάρχει ικανοποιητική θεωρία) επειδή πολλοί παράγοντες παίζουν σηµαντικό ρόλο.

9 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ -9 Σε κρυσταλλικά υλικά (crstalline materials) το µέγεθος και η έκταση των κρυστάλλων αποτελούν πολύ σηµαντικούς παράγοντες. Σε άµορφα στερεά (amorhous solids) ο προσανατολισµός των µορίων παίζει σηµαντικό ρόλο. Σε πορώδη υλικά (orous materials) το κλάσµα κενού (void fraction) είναι σηµαντικό, όπως επίσης και το µέγεθος του πόρου (ore sie). Τα µέταλλα είναι καλύτεροι αγωγοί θερµότητας απο τα αµέταλλα. Τα κρυσταλλικά υλικά µεταφέρουν την θερµότητα πιο εύκολα από τα αντίστοιχα άµορφα. Τα ξηρά υλικά (dr solids) είναι πολύ καλοί αγωγοί. Το των µετάλλων µειώνεται µε την αύξηση της θερµοκρασίας. Το των αµετάλλων αυξάνει µε την αύξηση της θερµοκρασίας. Τα κράµατα (allos) δείχνουν κάποια µέση συµπεριφορά µεταξύ αυτής των µετάλλων και αµετάλλων. Για καθαρά µέταλλα (ure metals) η Wiedemann-Fran-Loren εξίσωση ισχύει: L cons tan t e Που σηµαίνει οτι: η θερµική και ηλεκτρική αγωγιµότητα δείχνουν παρόµοια συµπεριφορά. Στην παραπάνω εξίσωση, e είναι η ηλεκτρική αγωγιµότητα καί L είναι ο αριθµός του Loren ο οποίος είναι περίπου 10-9 volt /K για καθαρά µέταλλα στους 0 o C και αλλάζει πολύ λίγο µε την θερµοκρασία. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ ΠΟΛΥΣΥΝΘΕΤΑ ΣΤΕΡΕΑ (COMPOSIE SOLIDS) Είναι εφικτό να υπολογίσουµε τις θερµικές αγωγιµότητες πολυσύνθετων υλικών (διφασικά στερεά) όπου ένα στερεό είναι διασκορπισµένο µέσα σ ενα άλλο. Υπάρχουν πολλές χρήσιµες εξισώσεις για τέτοιες περιπτώσεις (βλέπε BSL ransort henomena)

10 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ -10 ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΜΕ ΣΥΝΑΓΩΓΗ (CONECIE RANSPOR OF ENERGY) Η ενέργεια µπορεί να µεταφερθεί και µε την ροή ρευστών και αυτός ο µηχανισµός αναφέρεται σαν µεταφορά ενέργειας µε συναγωγή (convective transort of energ) (βλέπε σχήµα 9.7-1) Η ταχύτητα του ρευστού είναι v. Ο ογκοµετρικός ρυθµός ροής δια µέσου της επιφάνειας ds κάθετης στην -άξονα είναι υ sds. Ο ρυθµός µε την οποία η ενέργεια µεταφέρεται (is being swet) δια µέσου της ίδιας επιφάνειας (surface element) είναι: 1 1 όπου ( ρυ ) ρ( υ + υ + υ ) ρu 1 ( ρυ + ρu ) υ ds είναι η κινητική ενέργεια ανά µονάδα όγκου, και είναι η εσωτερική ενέργεια ανά µονάδα όγκου. Οι παραπάνω εξισώσεις µπορούν να γενικευθούν σε τρείς διαστάσεις: ( ) ( ) ( ) ( 1 U 1 U 1 U 1 ρυ + ρ δ υ + ρυ + ρ δ υ + ρυ + ρ δ υ ρυ + ρ U )v Αυτή η ποσότητα λέγεται διάνυσµα ρυθµού µεταφοράς της ενέργειας αν µονάδα επιφάνειας µε συναγωγή (convective energ flu vector). Για να υπολογίσουµε την συναγωγή ενέργειας (convective energ flu) δια µέσου µιας µονάδας επιφάνειας, η οποία είναι κάθετη στον µοναδιαίο διάνυσµα n, χρησιµοποιούµε το εσωτερικό γινόµενο (dot roduct),

11 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ -11 ( ) 1 ρυ + v ) ( n ρu. Πρέπει να επισηµανθεί ότι αυτή είναι η συναγωγή ενέργειας (flu) από την αρνητική πλευρά της επιφάνειας προς την αντίστοιχη θετική, που σηµαίνει κατεύθυνση από ένα σηµείο µε µικρότερη συντεταγµένη προς ένα άλλο σηµείο µε µεγαλύτερη συντεταγµένη (sign convention i.e. from lesser -coordinate to higher -coordinate). ΣΥΣΧΕΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΟΥ ΜΕ ΜΟΡΙΑΚΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ (WORK ASSOCIAED WIH MOLECULAR MOIONS) Οταν η αρχή διατήρησης της ενέργειας εφαρµόζεται πάνω σε ένα διαφορικό στοιχείο υλικού (cell), πρέπει να λάβουµε υπ όψη και το έργο που γίνεται πάνω στο σύστηµα απο τις µοριακές κινήσεις. Σε αυτή την περίπτωση εφαρµόζουµε τον πρώτο νόµο της Θερµοδυναµικής για ένα ανοικτό σύστηµα (first law of thermodnamics for a oen flowing sstem). Οταν µία δύναµη, F, ασκείται πάνω σε ένα σώµα και προκαλεί µετατόπιση κατά µία απόσταση dr τότε το έργο είναι dwf.dr. Ο ρυθµός παραγωγής έργου είναι dw/dt F.dr/dtF.v. Αυτή η αρχή θα χρησιµποποιηθεί τώρα πάνω σε ένα σύστηµα ροής που ορίζεται από τρείς επιφάνειες που είναι µεταξύ τους κάθετες (mutuall erendicular surface elements) (βλέπε σχήµα Fig )

12 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ -1 Θεωρούµε την πρώτη επιφάνεια που είναι κάθετη στον -άξονα. Το ρευστό στην αρνητική πλευρά ασκεί µία δύναµη π ds πάνω στο ρευστό στην άλλη πλευρά (θετική). Το ρευστό κινείται µε ταχύτητα v. Τότε ο ρυθµός µε τον οποίο το έργο που γίνεται από το «αρνητικό» ρευστό στο «θετικό» ρευστό είναι όλες τις άλλες πλευρές, οι εξής σχέσεις προκύπτουν: ( π v ds. Κάνοντας το ίδιο και για ) ( π v) π υ + π υ + π υ [ π v] ( π v) π υ + π υ + π υ [ π v] ( π v) π υ + π υ + π υ [ π v] Οταν αυτές πολλαπλασιαστούν µε τα αντίστοιχα µοναδιαία διανύσµατα και προστεθούν, η εξίσωση για το διάνυσµα ρυθµού παραγωγής έργου ανά µονάδα επιφανείας (wor flu) µπορεί να εξαχθεί: [ π v ] δ ( π v) + δ ( π v) + δ ( π v) Επιπλέον, ο ρυθµός παραγωγής έργου δια µέσου µιας επιφάνειας µε προσανατολισµό που δίνεται απο το µοναδιαίο κάθετο στην επιφάνεια διάνυσµα n είναι (n.[π.v]). Τώρα µπορούµε να ορίσουµε το διάνυσµα συνδιασµένου ρυθµού παραγωγής έργου ανά µονάδα επιφανείας (combined energ flu vector) e, ως: Αυτή η ποσότητα συνδιάζει: ( ) 1 ρυ + ρu v + [ π v q e ] + Το flu της ενέργειας (Convective energ flu) Το ρυθµό παραγωγής έργου ανά µονάδα επιφανείας µε µοριακό µηχανισµό (wor b molecular mechanisms) Το ρυθµό µεταφοράς ενέργειας µε µοριακά µέσα (molecular mechanisms) Ο τανυστής π µπορεί να γραφεί π δ + τ έτσι ώστε [ π v ] v + [ τ v]. Ο όρος v µπορεί να συνδιαστεί µε την εσωτερική ενέργεια για να δώσει την ενθαλπία (enthal). Ετσι µπορούµε να γράψουµε: ( ) 1 ρυ + ρh v + [ τ v q e ] + Για µία επιφάνεια µε προσανατολισµό n, η ποσότητα (n.e) δίνει το ρυθµό ενέργειας µε συναγωγή, µε αγωγή και το ρυθµό έργου δια µέσου του διαφορικού στοιχείου επιφάνειας, ds, από την αρνητική πλευρά προς τη θετική.

13 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ -13 Τέλος για να υπολογίσουµε την ενθαλπία µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την εξής εξίσωση: d d C d H d H dh + + Οταν αυτή ολοκληρωθεί απο ένα σηµείο αναφοράς o, o σε ένα άλλο,, µπορούµε να πάρουµε: d d C H H o o o + Ολες οι ποσότητες µε την περισπωµένη (^) συµβολίζουν ποσότητες ανά µονάδα µάζας. Το ολοκλήρωµα πίεσης για ένα ιδανικό αέριο είναι µηδέν και ίσον µε ( ) o ( 1 ρ για ρευστά µε σταθερή πυκνότητα.