( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i.

Transcript

1 Στροφορμή στερεού q Η στροφορµή του στερεού γράφεται σαν: q Αλλά ο τανυστής αδράνειας έχει οριστεί σαν: q H γωνιακή ταχύτητα δίνεται από: ω = 2 l = m a ra ω ω ra ω e a ΦΥΣ Διαλ.31 1 r a I j = m a ra 2 δ j r a r j a q Μπορούµε να γράψουµε το διάνυσµα της στροφορµής στο περιστρεφόµενο σύστηµα αναφοράς σαν: q Από τις (2) και (3) η (1) µπορεί να γραφεί: l = j a I j q Από διατήρηση στροφορµής: l " l " = d l = d Ø Αλλά: l e dt dt l " = ( "l e + l " e ) " l = "l e + l ω e l " = l " ( + l ω ) e Ø Αλλά από την (4) θα έχουµε: Ø ενώ: ω e = Ø και: l ω e = ε ek l = I j l ε ek = I l ω l ε ek j l l = l e (1) (2) (3) (4) l = I j + ε l I kl ω l j l

2 ΦΥΣ Διαλ.31 2 Εξισώσεις κίνησης στερεού q Η εξίσωση κίνησης που καταλήξαµε: l = I j + ε l I kl ω l Ø αρκετά πολύπλοκη µορφή q Αν γράψουµε όµως τον τανυστή αδράνειας ως προς τους κύριους άξονες: Ø o τανυστής αδράνειας είναι τώρα διαγώνιος: I j = I για =j και Ι j j j l Ø H στροφορµή εποµένως ως προς το σύστηµα των κύριων αξόνων είναι: l = I ω q H διατήρηση της στροφορµής θα πάρει την µορφή: l " l " + ε l k I ω + ε I k ω k q Εξίσωση κίνησης ενός περιστρεφόµενου στερεού σώµατος χρησιµοποιώντας τους κύριους άξονες: Εξισώσεις Euler ω 1 ω 2 ω 2 ( ) Τρεις διαφορικές εξισώσεις κίνησης που χρησιµοποιούνται για να βρεθούν τα ω Δηλαδή να βρεθεί ο πίνακας περιστροφής και εποµένως η θέση του στερεού συναρτήσει του χρόνου q Οι εξισώσεις αυτές περιγράφουν την κίνηση ενός στερεού που είναι ελεύθερο χωρίς εξωτερικές δυνάµεις (εξωτερικές ροπές)

3 Εξισώσεις κίνησης στερεού q Οι εξισώσεις κίνησης που καταλήξαµε: ω 1 ΦΥΣ Διαλ.31 3 ω 2 ( ) ω 2 ( ) περιγράφουν την κίνηση ενός περιστρεφόµενου στερεού που δεν υπόκειται σε εξωτερικές ροπές q Αν υπήρχαν εξωτερικές ροπές τότε η στροφορµή δεν διατηρείται και εποµένως η µεταβολή της στροφορµής θα είναι ίση µε την ροπή που ασκείται: l " = τ = τ 1 = τ 2 = τ 3 ω 1 ω 2 ω 2 Εξισώσεις Euler µε εξωτερική ροπή

4 Διερεύνηση των εξισώσεων κίνησης q Οι εξισώσεις κίνησης που καταλήξαµε: ω 1 ΦΥΣ Διαλ.31 4 ω 2 ( ) ω 2 ( ) q Θα εξετάσουµε τις λύσεις των διαφορικών αυτών εξισώσεων για διάφορες περιπτώσεις στερεών σωµάτων q Έστω ένα στερεό σώµα µε ίσες κύριες ροπές αδράνειας: = = σφαιρικά συµµετρικό σώµα Ø Στην περίπτωση αυτή οι εξισώσεις κίνησης είναι απλά: ω 1 = ω 2 = Ø Δηλαδή: ω = σταθ. Ø Στο περιστρεφόµενο σύστηµα που χρησιµοποιούµε, το σφαιρικά συµµετρικό σώµα (µια µπάλα) θα περιστρέφεται ως προς τους κύριους άξονές του µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα q Έστω η περίπτωση που ένα στερεό σώµα έχει = Ø Τα σώµατα είναι συµµετρικά ως προς περιστροφές Ø Αξονική συµµετρία Ø Είδαµε διάφορα παραδείγµατα στερεών µε ίδιες 2 κύριες ροπές αδράνειας Ø Σώµα µε αξονική συµµετρία, ονοµάζεται συµµετρική σβούρα

5 ΦΥΣ Διαλ.31 5 Συμμετρική σβούρα χωρίς εξωτερικές δυνάμεις q Οι εξισώσεις κίνησης Euler: ω 1 ω 2 ( ) ω 2 ( ) Ø Εφόσον: = = σταθ. Ø οι άλλες 2 εξισώσεις είναι: ω 1 = ω 2 Ø Ορίζουµε: Ω = Ø Οι εξισώσεις κίνησης γίνονται: ω 1 = ω 2 Ω ω 2 = ω 1 και ω 2 = ω 1 Ω Ø Οι λύσεις των εξισώσεων αυτών είναι απλά: ω 1 = ω 2 Ω ω 1 = ω 2 Ω ω 1 = ω 2 1 Ω 2 Ø Όµοια για το ω 2 : ω 2 = ω 2 2 Ω 2 απλός αρµονικός ταλαντωτής µε συχνότητα Ω Ø Οι λύσεις για ω 1 και ω 2 δίνουν: ω 1,ω 2 = A snωt,cosωt πλάτος της ταλάντωσης

6 ΦΥΣ Διαλ.31 6 Συμμετρική σβούρα χωρίς εξωτερικές δυνάμεις q Ποια η φυσική σηµασία του αποτελέσµατος: Αντίθετα µε την περίπτωση της σφαιρικής συµµετρίας όπου η γωνιακή ταχύτητα είναι σταθερή ως προς τους κύριους άξονες Στην περίπτωση αυτή, η συνιστώσα της γωνιακής ταχύτητας ως προς τον άξονα συµµετρίας είναι σταθερή αλλά οι συνιστώσες ως προς τους δυο άλλους κύριους άξονες (κάθετους στον άξονα συµµετρίας) ταλαντώνονται µε συχνότητα Ω Περιστρέφονται ουσιαστικά µε συχνότητα Ω Η διεύθυνση της περιστροφής δεν είναι σταθερή αλλά µεταπίπτει γύρω από τον άξονα συµµετρίας. I Η συχνότητα της µετάπτωσης είναι: Ω = ω 1 3 Η διεύθυνση της µετάπτωσης εξαρτάται από : > ή < I 3 e 3 Για κοντό και παχύ στερεό, όπου Ι 1 =Ι 2 >Ι 3, η µετάπτωση είναι σύµφωνα µε τους δείκτες του ρολογιού e 1 e 2 Για µακρύ και λεπτό στερεό, όπου Ι 1 =Ι 2 <Ι 3, η µετάπτωση είναι αντίθετα µε τους δείκτες του ρολογιού Για την γη: ( ) και : = 1 day Ω = day πειραµατικά Ω=1/435 και πλάτος 10m:

7 Γενική περίπτωση στερεού ΦΥΣ Διαλ.31 7 q Εξετάζουµε την περίπτωση όπου: Εν γένει µπορεί να µην υπάρχει µια γενική λύση, αλλά υπάρχουν µερικές ειδικές περιπτώσεις που είναι εύκολο να βρούµε Ø Θεωρήστε ότι έχετε περιστροφή γύρω από έναν κύριο άξονα µε ω 1 =Ω Ø Οι εξισώσεις Euler θα είναι: ω 1 ω 2 ω 2 Ø Αλλά τώρα: ω 1 = Ω ενώ: ω 2 = Ø Εξετάζουµε αν η λύση αυτή είναι ευσταθής ή όχι είναι µια ειδική λύση Ø Θεωρούµε: ω 1 = Ω + η 1 ω 2 = η 2 = η 3 όπου η διαταραχές ² H 1 η εξίσωση θα δώσει: η 1 + O η 2 ² H 2 η εξίσωση θα δώσει: η 2 = Ωη 3 ² H 3 η εξίσωση θα δώσει: η 3 = Ωη 2

8 Γενική περίπτωση στερεού ΦΥΣ Διαλ.31 8 q Η λύση του συστήµατος αυτόυ βρίσκεται όπως πριν: ² Από την 2 η εξίσωση: η 2 = Ωη 3 η 2 = Ω η 3 ² Αντικατάσταση από την 3 η εξίσωση: η 2 = Ω2 η 2 ( )( ) ² H ποσότητα αυτή θα είναι θετική ή αρνητική ανάλογα µε το πρόσηµο του όρου: > & < < ² H λύση θα είναι ευσταθής αν ( )( ) < 0 < & ² H λύση θα είναι ασταθής αν ( ) > 0 < < ² Ένα σώµα µε τρεις κύριες ροπές αδράνειας διαφορετικές µεταξύ τους, µπορεί να περιστρέφεται ως προς ένα κύριο άξονά του και η περιστροφή θα είναι σταθερή αν ο άξονας αυτός είναι ο άξονας µε την µεγαλύτερη ή την µικρότερη ροπή αδράνειας