) = 0 όπου: ω = κ µε m-εκφυλισµό

Transcript

1 Εκφυλισμένες ιδιοτιμές Ø Υποθέσαµε ότι : ω k ω k ΦΥΣ Διαλ.25 1 Ø Τι ακριβώς συµβαίνει όταν έχουµε εκφυλισµών των ιδιοτιµών? Ø Στην περίπτωση αυτή πολλαπλές ιδιοτιµές αντιστοιχούν σε πολλαπλά ιδιοδιανύσµατα Ø Η χαρακτηριστική εξίσωση των ιδιοτιµών γράφεται στην περίπτωση αυτή: det U ω 2 Τ = ( ω 2 κ 2 ) m f ( ω 2 ) = 0 όπου: ω = κ µε m-εκφυλισµό Ø Η εξίσωση ιδιοδιανυσµάτων : ( U κ 2 Τ)a = 0 όπου =1,,m ιδιοδιανύσµατα Ø Αλλά ο γραµµικός συνδυασµός ιδιοδιανυσµάτων είναι επίσης ιδιοδιάνυσµα: c a Ø Είναι επίσης δυνατόν να βρεθεί µια οµάδα από m ορθογώνιων διανυσµάτων

2 Εκφυλισμένες ιδιοτιμές Η συνταγή ΦΥΣ Διαλ.25 2 Ø Για µια m-εκφυλισµένως ιδιοτιµή µε m-ιδιοδιανύσµατα Ø Αρχικά κανονικοποιούµε ένα ιδιοδιάνυσµα χρησιµοποιώντας: a 1 T T a 1 Ø Κατόπιν χρησιµοποιούµε το ιδιοδιάνυσµα α 2 και το µετασχηµατίζουµε ως: a 2 = a 2 ( a T 1 T a 2 ) a 1 Ø Έτσι ικανοποιείται η συνθήκη ορθοκανονικότητας: a T 1 T a 2 = 0 Ø Κανονικοποιούµε το ιδιοδιάνυσµα α 2 : a 2 T T a 2 Ø Κατόπιν χρησιµοποιούµε το ιδιοδιάνυσµα α 3 και το µετασχηµατίζουµε ως: a 3 = a 3 ( a T 1 T a 3 ) a 1 ( a 2 T T a 3 ) a 2 Ø Ο µετασχηµατισµός ικανοποιεί τις συνθήκες: Ø Συνεχίζουµε την διαδικασία για τα υπόλοιπα ιδιοδιανύσµατα a T 2 T a 3 = 0 και a T 1 T a 3 = 0 Ø Η διαδικασία αυτή οδηγεί σίγουρα στον σχηµατισµό του πίνακα Α: A Τ T A = 1

3 ΦΥΣ Διαλ.26 3 Συζευγμένες ταλαντώσεις Υλικά σημεία σε χορδή Ø Θεωρήστε Ν υλικά σηµεία µάζας m, τα οποία ισαπέχουν (απόσταση d µεταξύ δυο γειτονικών σηµείων) και συνδέονται µε αβαρή χορδή που έχει τάση τ Ø Τα άκρα της χορδής είναι ακλόνητα θέτοντας συνοριακές συνθήκες Ø Το πρόβληµα ουσιαστικά οδηγεί στην περιγραφή της ταλάντωσης συνεχούς µέσου, διάδοσης κυµάτων µέσω συνεχούς µέσου και δονήσεις ενός κρυσταλικού πλέγµατος όπως στα στερεά Ø Περιοριζόµαστε µόνο σε εγκάρσιες κινήσεις των µαζών Ø Έστω y k η µετατόπιση του σηµείου k Ø Η κινητική ενέργεια θα είναι: T = 1 2 my 2 k (1) Ø Θεωρώντας την επιµήκυνση της χορδής, Δl, µεταξύ δυο υλικών σηµείων: Δl = d 2 + ( y k+1 y k ) 2 d Δl d + 1 ( ) 2 d Δl = 1 2d y k+1 y k Ø Για τάση, τ, η δυναµική ενέργεια στο τµήµα αυτό της χορδής θα είναι: U (k+1,k ) = τδl = τ ( 2d y k+1 y k ) 2 (2) ( ) 2 2d y k+1 y k

4 Υλικά σημεία σε χορδή ΦΥΣ Διαλ.26 4 ( ) 2 Ø Για ένα τµήµα της χορδής έχουµε: T = 1 2 my 2 k και U (k+1,k ) = τ 2d y y k+1 k Ø Για όλο το σύστηµα εποµένως: T = N ( ) 2 N 1 2 my 2 k και U = k=1 N U = τ y k+1 y k U = K 2d y k+1 y k k=1 2 k=1 µε συνοριακές συνθήκες: y 0 = y N+1 = 0 N ( ) 2 my 2 k K ( y k+1 y k ) 2 Ø H Lagrangan θα είναι: L = 1 2 k=1 d L Ø και οι EOK: dt y k L y k = 0 δίνουν: my k = K y k y k 1 π.χ. για δυο σώµατα: L = 1 2 m y y 2 οπότε: my 2 = K y 2 y 1 ( ) + K ( y 3 y 2 ) ( ) K y 1 y 0 όπου: N k=1 τ ( 2d y y k+1 k ) 2 K = τ d ( ) + K ( y k+1 y k ) Ø Υποθέτουµε ότι τα y k κινούνται αρµονικά και εξετάζουµε την λύση: y k = a k cosωt όπου α k το πλάτος ταλάντωσης του k-υλικού σηµείου (( ) 2 + ( y 2 y 1 ) 2 ) ( ) ( ) Ø Αντικατάσταση στις διαφορικές εξισώσεις δίνει: mω 2 a k = K a k 1 2a k + a k+1 Ø που περιλαµβάνει τα άκρα της χορδής όπου: a 0 = a N+1 = 0 0 και: 0 k διαφορικές εξισώσεις my 1 = Ky 1 + K y 2 y 1

5 Υλικά σημεία σε χορδή Ø Στην συνηθισµένη µορφή πινάκων: T = m " " " # και U = K " " " # ΦΥΣ Διαλ.26 5 Ø Η χαρακτηριστική εξίσωση των ιδιοτιµών θα είναι: det ω 2 T + U = 0 det 2K mω 2 2 K 2K mω 2 K 0 2 K 0 K 2K mω 2 2 " " " # = 0 N λύσεις για ω Ø Αντί να λύσουµε την ορίζουσα, µπορούµε να δουλέψουµε µε την εξίσωση: mω 2 a k = K ( a k 1 2a k + a k+1 )και υποθέτουµε ότι: a k = Asn kϕ Ø Αντικατάσταση: mω 2 Asn kϕ ( ) ( ) = KA sn( kϕ ϕ) 2sn( kϕ ) + sn( kϕ +ϕ)

6 Υλικά σημεία σε χορδή Ø Από την σχέση: mω 2 Asn kϕ Ø Καταλήγουµε στην: ΦΥΣ Διαλ.26 6 ( ) ( ) = KA sn( kϕ ϕ) 2sn( kϕ ) + sn( kϕ +ϕ) ϕ ( ) mω 2 = 4K sn 2 mω 2 = K 2 2cosϕ ω 2 = 4K ϕ m sn2 2 ω = 2 K 1 2 m sn ϕ 2 ω = 2ω 0 sn ϕ 2 Ø Η αντικατάσταση για το πλάτος α k : a k = Asn kϕ ικανοποιεί την συνθήκη α 0 =0: Ø Η παράµετρος φ υπολογίζεται από την άλλη συνοριακή συνθήκη, α N+1 =0 a N+1 = Asn N +1 = 0 ( N +1)ϕ = nπ όπου n ακέραιος ( )ϕ Ø Έχοντας το φ, οι ιδιοσυχνότητες θα είναι: ω n = 2ω 0 sn nπ 2N + 2 Ø Τα πλάτη των κανονικών ταλαντώσεων θα είναι: a k = Asn nπk N +1 Ø H κίνηση του συστήµατος σε µια ιδιοσυχνότητα θα είναι: y k = Asn πnk N +1 cosω n t Ø Στο όριο : N, d 0 d( N +1) l όπου l το µήκος της χορδής τ nπd αν επίσης m 0, m d = ρ τότε ω n = 2 sn md 2l ω nπ τ n l ρ 2

7 Υλικά σημεία σε χορδή ΦΥΣ Διαλ.26 7 Ø Θεωρώντας την απόσταση των σηµείων από το ακλόνητο άκρος της χορδής: x = kd y k = Asn πnk πn kd N +1 cosω n t = Asn ( ) ( N +1)d cosω t n Ø H προηγούµενη σχέση καταλήγει: y k = Asn nπ x l cosω n t εξίσωση στάσιµων κυµάτων

8 Μη αδρανειακά συστήματα αναφοράς ΦΥΣ Διαλ.26 8 q Μέχρι τώρα έχουµε χρησιµοποιήσει συστήµατα αναφοράς όπως ( x, y,z) καρτεσιανό q όπου ο 2 ος νόµος του Newton F = m a x = f x, y,z έχει την µορφή: y = q x, y,z z = h x, y,z ( ) ( ) ( ) q Πολύ συχνά χρησιµοποιούνται συντεταγµένες οι οποίες κινούνται ως προς τις στατικές καρτεσιανές συντεταγµένες q Αν οι εξισώσεις κίνησης του Newton έχουν και πάλι την µορφή Ø το νέο σύστηµα συντεταγµένων είναι «αδρανειακό» x = f y = q z = h Ø Γιατί έτσι, ο 1 ος νόµος του Newton σύµφωνα µε τον οποίο ένα σώµα σε ηρεµία θα παραµείνει σε ηρεµία όταν δεν εφαρµόζονται δυνάµεις πάνω του εξακολουθεί να ισχύει Ø Για παράδειγµα ένα σύστηµα συντεταγµένων µε µορφή: x = x υt είναι αδρανειακό γιατί: ""x = ""x q Σε διαφορετική περίπτωση το σύστηµα συντεταγµένων είναι «µη αδρανειακό»

9 Μη αδρανειακά συστήματα αναφοράς ΦΥΣ Διαλ.26 9 q Οι νόµοι της φυσικής είναι ανεξάρτητοι από το σύστηµα συντεταγµένων Ø Αλλάζει µόνο η µορφή των εξισώσεων κίνησης Ø Για παράδειγµα: επιταχυνόµενο σύστηµα συντεταγµένων: x = x + f t ² Αν η συνάρτηση f(t) γραµµική µε t έχουµε και πάλι αδρανειακό σύστηµα ² Μια πολύπλοκη µορφή της f(t) περιγράφει επιταχυνόµενο σύστηµα αναφοράς Ø Έστω σύστηµα συντεταγµένων που κινείται µε σταθερή επιτάχυνση: y = y at 2 y = y + a Ø Εισαγωγή φανταστικής δύναµης λόγω επιτάχυνσης του συστήµατος αναφοράς Ø Η φανταστική δύναµη υπάρχει επειδή γράψαµε την εξίσωση κίνησης σε µη αδρανειακό σύστηµα Ø Έστω στο παραπάνω παράδειγµα, ότι βρισκόµαστε στην επιφάνεια της γης Ø Όλα τα σώµατα υπόκεινται στην σταθερή επιτάχυνση της βαρύτητας: Ø Επιλέγω ένα σύστηµα αναφοράς που κινείται µε επιτάχυνση: ² Στο σύστηµα αυτό εποµένως: y = 0 a = g Ø Εποµένως, η βαρυτική δύναµη στην επιφάνεια της γης µπορεί να αφαιρεθεί κάνοντας αλλαγή του συστήµατος αναφοράς Αρχή της ισοδυναµίας ( ) y = g

10 ΦΥΣ Διαλ Περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων q Σηµεία για ξεκαθάρισµα: Ø Η κίνηση συµµβαίνει σε κάποιο περιστρεφόµενο σώµα και παρατηρείται ² Είτε ως προς σύστηµα αναφοράς «καρφωµένο» στο περιστρεφόµενο σώµα ² Είτε ως προς εξωτερικό σύστηµα αναφοράς «αδρανειακό»/χωρικό Ø Το πρόβληµα της περιγραφής της κίνησης χωρίζεται σε 3 µέρη ² Πως µετασχηµατίζουµε τις συνιστώσες ενός διανύσµατος µεταξύ των δυο συστηµάτων αναφοράς? (για καθορισµένη περιστροφή) ü Η απάντηση εξαρτάται από τον σχετικό προσανατολισµό των αξόνων στα δυο συστήµατα αναφοράς και όχι από το διάνυσµα ² Πως µετασχηµατίζουµε τις συντεταγµένες ενός σηµείου το οποίο είναι ακίνητο στο ένα σύστηµα αναφοράς στις συντεταγµένες του άλλου συστήµατος όταν ένα από τα δυο συστήµατα περιστρέφεται ως προς το άλλο ² Πως µετασχηµατίζουµε τις χρονικές παραγώγους διανυσµάτων από το ένα σύστηµα συντεταγµένων στο άλλο. ü Ο ρυθµός µεταβολής στο περιστρεφόµενο σύστηµα προέρχεται από: (α) ρυθµό µεταβολής των συνιστωσών του διανύσµατος όπως γίνεται αντιληπτός στο ένα σύστηµα και µετασχηµατίζεται στο άλλο σύστηµα (β) µεταβολή του µετασχηµατισµού µεταξύ των δυο συστηµάτων

11 ΦΥΣ Διαλ Περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων q Σηµεία για προσοχή: Ø Το µέτρο ενός διανύσµατος παραµένει σταθερό ανεξάρτητα του συστήµατος που επιλέγουµε για να το περιγράψουµε r 2 2 = r k = Ø Το εσωτερικό γινόµενο δυο διανυσµάτων είναι αµετάβλητο από αλλαγή του συστήµατος συντεταγµένων: a b = a k b k = a k b k Ø Για να δούµε τον ακριβή µετασχηµατισµό συντεταγµένων ü Επιλέξτε δυο συστήµατα µε ίδια αρχή που διαφέρουν κατά µια περιστροφή ü Θεωρήστε το εσωτερικό γινόµενο και το Αναλυτικά: r e το οποίο γράφεται: r 1 = r 1 e1 e 1 + r 2 e2 e 1 + r 3 e3 e 1 r 2 = r 1 e1 e 2 + r 2 e2 e 2 + r 3 e3 e 2 r 3 = r 1 e1 e 3 + r 2 e2 e 3 + r 3 e3 e 3 k k k k r k 2 e e r k ek e = r k ek e (προβολή του άξονα στον άξονα ) k r 1 r 2 = r 3,k e 1 e 1 e2 e 1 e3 e 1 e 1 e 2 e2 e 2 e3 e 2 e 1 e 3 e2 e 3 e3 e 3 Ø O παραπάνω µετασχηµατισµός αποτελεί και τον ορισµό ενός διανύσµατος ü Αποφεύγεται η θεώρηση µέτρου και διεύθυνσης που απαιτούν καθορισµό συστήµατος συντεταγµένων r 1 r 2 r 3

12 Περιστρεφόμενα συστήματα αναφοράς ΦΥΣ Διαλ q Έστω ότι η θέση ενός σώµατος ως προς στατικό καρτεσιανό σύστηµα: r =1,2,3 q ενώ η θέση ενός σώµατος σχετικά µε περιστρεφόµενο σύστηµα είναι: r =1,2,3 q Το διάνυσµα θέσης εποµένως στα δυο συστήµατα αναφοράς θα είναι: r = r e µε e τα διανύσµατα των στατικών αξόνων συντεταγµένων ŷ yˆ Ø Ανάλογα: r = zˆ ˆx ẑ xˆ r e Ø Για κάποιο περιστρεφόµενο σώµα: διάνυσµα µε συνιστώσες διανύσµατα e = e 1 e 2 e 3 r r e µε τα διανύσµατα των περιστρεφόµενων αξόνων χωρικές συντεταγµένες = στατικές συντεταγµένες σώµατος = περιστρεφόµενες Ø Τι σηµαίνει όµως ότι τα 2 συστήµατα συντεταγµένων σχετίζονται µεταξύ τους µέσω περιστροφής? e Οι στατικοί άξονες,, σχετίζονται µε τους περιστρεφόµενους άξονες,, µέσω µιας γραµµικής σχέσης: e = U e e r 1 r = r 2 r 3 r = 3 3 πίνακας µετασχηµατισµού πίνακας περιστροφής r 1 r 2 r 3

13 Περιστρεφόμενα συστήματα αναφοράς q Μπορούµε να γράψουµε: e = U e ΦΥΣ Διαλ q Ο πίνακας περιστροφής U εν γένει εξαρτάται από τον χρόνο t, άρα έχουµε U (t) q Η σύνδεση µε τις συνιστώσες θέσης ενός σώµατος µέσω του µετασχηµατισµού: r = r e = U r e = U r Ø και θέλουµε να το συγκρίνουµε µε: r e = r e εφόσον r είναι αµετάβλητο r = r U Ø και θα µπορούσαµε να το γράψουµε µε την µορφή: r = U Τ r e e = δ e e e e = δ q Η σχέση µεταξύ των «χωρικών» και «περιστροφικών» συντεταγµένων: q O πίνακας U έχει την ιδιότητα ότι τα και είναι ορθοκανονική βάση: δηλαδή τα µετασχηµατισµένα διανύσµατα παραµένουν ορθοκανονικά Ορισµός περιστροφής e e = δ e = U q Από την σχέση και την e θα έχουµε: k U k ek l U le l = δ U k U l ek e l k,l = δ k,l U U k lδ kl = δ

14 Πίνακας περιστροφής q Από την συνθήκη ορθοκανονικότητας έχουµε: q Ουσιαστικά είναι ο τύπος πολ/σµου πινάκων: U k U l δ kl = U k U k q Εποµένως µπορούµε να γράψουµε την (1) σαν: U U Τ = 1 Δηλαδή, ο πίνακας περιστροφής είναι ορθοκανονικός k,l A B k ΦΥΣ Διαλ k ( ) k = A B U Τ = U 1 q Το σύνολο όλων των πινάκων περιστροφής για τους οποίους ισχύει U Τ = U 1 αποτελούν την οθογώνια οµάδα Ο(3) Ø Επειδή U Τ = U 1 det U Τ = det U 1 Ø αλλά det U = det U T και det U 1 = 1 det U det U = +1 det U = ±1 (1) Ορισµός ορθοκανονικού πίνακα ² Το σύνολο των ορθογώνιων πινάκων µε αποτελούν την οµάδα SO(3) στην QM θα δείτε τους πίνακες Paul (πίνακες spn) που ανήκουν στην SO(3) q Ο πίνακας U εξαρτάται εν γένει από τον χρόνο και έχουµε δει ότι: r = r e = r e

15 ΦΥΣ Διαλ Απειροστές περιστροφές και γωνιακή ταχύτητα q Θεωρήστε ότι έχετε ένα σώµα το οποίο περιστρέφεται ως προς άξονα: q Θεωρήστε ότι ένα σηµείο P πάνω στο σώµα µε διάνυσµα θέσης r t O r t ( ) Ø Η σχέση P q Eξετάζουµε την κίνηση του P ως προς ακίνητο παρατηρητή Ø Πόσο µετακινείται το P σε χρόνο dt? Ø Έστω r ( t + dt) r ( t) + d r όπου d r η απειροστή µετατόπιση ˆn d r d r = rsnθdϕ και d r d ϕ d r r δφ Ø Χρησιµοποιώντας το διάνυσµα ˆn r ( t + dt) r ( t) ˆn r = r snθ θ d r = d ϕ r ( ) Ø Εποµένως: d r = dϕ ˆn r Ø Θεωρώντας: d ϕ dϕ ˆn d r = d ϕ r Ø Η ταχύτητα του σηµείου P για συνεχή περιστροφή θα είναι: Ø Ορίζουµε γωνιακή ταχύτητα ω: ισχύει µόνο για απειροστές περιστροφές ω d ϕ dt u P = d r dt = d ϕ dt r οπότε: u P = ω r Ø Τα διανύσµατα ω και dφ δεν είναι ακριβώς διανύσµατα αλλά ψευδο-διανύσµατα u ψευδοδιανύσµατα περιστρέφονται σαν διανύσµατα αλλά είναι αµετάβλητα ως προς χωρικούς αντικατοπτρισµούς Χ Χ,Υ Υ,Ζ Ζ ( )

16 Πίνακας περιστροφής ΦΥΣ Διαλ q Ο πίνακας U εξαρτάται εν γένει από τον χρόνο και έχουµε δει ότι: r = r = r e e q Η ταχύτητα εποµένως του σηµείου µε διάνυσµα θέσης r r " = r " e τα e είναι σταθερά και δεν µεταβάλλονται µε τον χρόνο Ø Αλλά αν προσπαθήσω να γράψω την ταχύτητα του r στο περιστρεφόµενο σύστηµα τα e δεν είναι σταθερά και µεταβάλλονται µε τον χρόνο Ø H χρονική παράγωγος του r θα αποτελείται από δυο τµήµατα: r " = "r e + r "e Ø Ποια η χρονική παράγωγος των " e? e " = d U e dt = U " e "e = "U U 1 k ek k "e = ( "U U Τ ) e Ø Εποµένως καταλήγουµε ότι: "r = "r e + r ( "U U Τ ) e "r = "r + ( "U U Τ ) r e Διόρθωση για το γεγονός ότι οι άξονες συντεταγµένων δεν είναι σταθεροί χρονικά

17 Πίνακας περιστροφής q Είδαµε ότι στο περιστρεφόµενο σύστηµα συντεταγµένων: " r = q Ορίζουµε τον πίνακα: A = U U Τ Ø Α αντισυµµετρικός γιατί: U U Τ = 1 d dt A = U U Τ A Τ = ΦΥΣ Διαλ ο οποίος είναι αντισυµµετρικός "r + ( "U U Τ ) r ( U U Τ ) = 0 U U Τ + U U Τ = 0 ( U U Τ ) Τ A Τ = ( U Τ ) Τ U Τ A Τ = U U Τ Ø Εποµένως: U U Τ + U U Τ = 0 A + A Τ = 0 A = A Τ e Α αντισυµµετρικός q Α είναι ένας 3 3 αντισυµµετρικός πίνακας 0 Ø Καθορίζεται πλήρως µε τον ορισµό των A = 0 στοιχείων πάνω από την κύρια διαγώνιο 0 Εποµένως τα στοιχεία α 12, α 13 και α 23 0 ω 3 ω 2 0 ω αντισυµµετρικός 3 ω 2 A = 0 ω A = 1 ω 3 0 ω 1 0 ω 2 ω 1 0 q Χρησιµοποιώντας φορµαλισµό δεικτών: A k = ε k ω k µε ε k το σύµβολο Lev-Cvta 1 (,,k) = (1,2,3),(2,3,1),(3,1,2) k ε ι k = -1 (,,k) = (1,3,2),(3,2,1),(2,1,3) 0

18 ΦΥΣ Διαλ Ταχύτητα σε περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων q Είδαµε ότι µπορούµε να γράψουµε: Α = q Τα ω είναι οι συνιστώσες του διανύσµατος: k ε k ω k ω = ω e q Με βάση τα παραπάνω, µπορούµε να γράψουµε τις ποσότητες: " e = "U U Τ ( ) e και e " = Α e = ε k ω k e k r " = "r + "U U Τ ( ) r e γωνιακή ταχύτητα " e = ω e Ø Από το εξωτερικό γινόµενο διανυσµάτων: e k e = ε k e = ε k e q To διάνυσµα της ταχύτητας θα γραφεί: "r = "r + Α r e "r = "r + r ω q Η παραπάνω απόδειξη ισχύει εν γένει, για οποιοδήποτε διάνυσµα w και την παράγωγό του ως προς χρόνο σε περιστρεφόµενο σύστηµα αναφοράς: w = w e = w e w " = "w + w ω ( ) e [ ] e Άθροισµα δυο όρων, ο ένας εκ των οποίων είναι κάθετος στα διανύσµατα και ίσος µε e w ω e

19 ΦΥΣ Διαλ Επιτάχυνση σε περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς q Θεωρήστε ένα σώµα µε θέση που δίνεται από το διάνυσµα: r = ( ) e q Η ταχύτητά του θα είναι: " r = "r + r ω q Η επιτάχυνση του σώµατος (στο περιστρεφόµενο σύστηµα) προκύπτει από την παράγωγο της (1): a = d "r ( ) dt ( ) e Ø Είδαµε όµως: " "w = dw dt = "w + w ω και θεωρήστε ότι: w = r + r ω d " Ø Εποµένως θα έχουµε: a = [ ( "r + r ω ) + r + r ω dt a = [r "" + r " ω +r " ω + r " " " ω + r ω ω ] e a = r "" + 2 "r ω + "r ω ω + r "ω e (1) r e ( ) " ω " e διάνυσµα επιτάχυνσης σε περιστρεφόµενο σύστηµα q Η έκφραση αυτή της επιτάχυνσης οδηγεί στην εισαγωγή «φαινοµενικών» δυνάµεων

20 ΦΥΣ Διαλ ος Νόμος του Newton σε περιστρεφόμενο σύστημα q Θεωρούµε δυο νέα διανύσµατα ορισµένα στο περιστρεφόµενο σύστηµα (αγνοώντας τις διορθώσεις από την περιστροφή των αξόνων) v σωµ. = "r e και a σωµ. = "" r e q Με τα παραπάνω διανύσµατα, το διάνυσµα της επιτάχυνσης στο περιστρεφόµενο σύστηµα αναφοράς µπορεί να γραφεί: a = r "" + 2r ω + "r ω ω + r "ω e a = a σωµ. + 2 ω v σωµ. + ω ω r ( ) + " ω r (προσοχή: δεν είναι ταχύτητα ή επιτάχυνση) F = m a επιτάχυνση σε περιστρεφόµενο σύστηµα συντεταγµένων q Εποµένως για περιστρεφόµενο σύστηµα αναφοράς, οι εξισώσεις κίνησης είναι: Ø Σύµφωνα µε τον 2 ο νόµο του Newton: Ø Σύµφωνα µε την έκφραση της πραγµατικής επιτάχυνσης α συναρτήσει της α σωµ. εµφανίζονται 3 νέοι όροι: a 1 = ω ( ω r ) φυγόκεντρος επιτάχυνση a 2 = ω v σωµ. Corols επιτάχυνση a 3 = συνεπίπεδη της κίνησης και ω " κάθετη στη φυγόκεντρο. r Euler επιτάχυνση Εµφανίζεται λόγω µεταβολής της ω