ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ και ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ. Μέρος 2

Transcript

1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ και ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Μέρος 2

2 Υπενθύμιση από την περασμένη διάλεξη Μοντέλο ή υπόδειγμα y x σφάλμα ή στοχαστική μεταβλητή 66

3 Για κάθε x=ανεργία υπάρχει μια κατανομή πιθανοτήτων για το αντίστοιχο y=πληθωρισμός y x y ε i = κατάλοιπο Y ε i x 67

4 Ασχολούμαστε με ένα σύνολο δεδομένων: data engineering Εν προκειμένω, πληθωρισμό και ανεργία και αναζητούμε γραμμική εξάρτηση. 68

5 ΠΙΝΑΚΑΣ 1 Έτος % Ανεργία % Πληθωρισμός Υπολογισμός της ευθείας

6 Η άριστη ευθεία είναι y x και το μοντέλο γίνεται (πληθωρισμός) = (ανεργία)+ε κλίση β ρυθμός μεταβολής πληθωρισμού ως προς ανεργία αρνητικός : Άρα, καθώς ανεργία πληθωρισμός 70

7 Πληθωρισμός vs. ανεργία Πληθωρισμό 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 y = -0,0756x + 0, ,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 Ανεργία 71

8 2.2 Έλεγχοι Υποθέσεων Θα ελέγξομε μια υπόθεση σχετικά με την κλίση β (ανάλογα μπορούμε να πούμε για το α αν και αυτό παρουσιάζει συνήθως μικρότερο ενδιαφέρον). Στις περισσότερες των περιπτώσεων φαίνεται εύλογο να υποθέτομε ότι ο στοχαστικός όρος ακολουθεί κανονική κατανομή με μέσο μηδέν. Η τυπική απόκλιση σ, ας πούμε, αυτής της κανονικής κατανομής εκτιμάται με τον τύπο 72

9 SEE 2 e i n ˆ ˆ e i i i i SEE S ( y ) y ( x y ) n 2 = 1,626304/10 = standard error of the estimate Υποθέτομε ότι τα κατάλοιπα είναι ανεξ τμ ~ Ν(0,σ 2 ) Τότε S e αμερόληπτος εκτιμητής του σ Οπότε, μπορούμε να κάνομε προτάσεις για το σφάλμα πρόβλεψης. Πχ, το 95% περίπου των σφαλμάτων πρόβλεψης θα είναι <1.96S e. Τότε = δίνει μια 95% μπάντα για άλλα σημεία με το ίδιο πείραμα. 73

10 95% μπάντα πρόβλεψης Πληθωρισμός vs. ανεργία 1,8 1,6 1,4 Πληθωρισμό 1,2 1 0,8 0,6 0,4 y = -0,0756x + 0,8849 παρεμβολή προεκβολή 0, ,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 Ανεργία 74

11 Το επόμενο αποτέλεσμα (θεώρημα) μιλά για τη δειγματική κατανομή των β και α όταν κάνομε έλεγχο υποθέσεων. Δηλαδή, κάνομε έλεγχο υποθέσεων για τα σφάλματα των προβλέψεων. (Διαστήματα εμπιστοσύνης για τις παραμέτρους των γραμμικών υποδειγμάτων) 75

12 Αποτέλεσμα 3.1 Υποθέτομε ότι ένα τ.α.δ. n παρατηρήσεων λαμβάνεται από το μοντέλο γραμμικής παλινδρόμησης Τότε η t κατανομή με n 2 βε είναι η κατανομή του πληθυσμού αμφοτέρων των εκφράσεων t ˆ S e y x ˆ t ˆ S e ˆ 76

13 Αποτέλεσμα 3.1 (εναλλακτική έκφραση) Υποθέτομε ότι ένα τ.α.δ. n παρατηρήσεων λαμβάνεται από το μοντέλο γραμμικής παλινδρόμησης y x Τότε η t κατανομή με n 2 βε είναι η κατανομή του πληθυσμού αμφοτέρων των εκφράσεων t β 2 ˆβ β n (x ) x 2 ˆα α n (x 2 ) x 2 tα S e n 2 S e (x ) SEE 77

14 df=8 Statistician William Sealy Gosset, known as "Student"

15 81

16 Ερώτημα Υπάρχει σημαντική μείωση του πληθωρισμού όταν η ανεργία αυξάνει? Δηλ. είναι β < 0? o : 0 1 : 0 εσ: 5% 82

17 Υποθέτομε ότι είναι αληθής η H 0 : β=0 Απορρίπτομε την Η 0 αν t β είναι στο ακραίο 5% περιοχής του t n-2 = t 10, δηλ. αν t β < -t 10, 0.05 = Από Αποτέλεσμα 3, βˆ tβ Εναλλακτικώς, ˆ αναλυτικά S β e Άρα με 5% εσ τα δεδομένα δείχνουν ότι τη δεκαετία του '60, ο πληθωρισμός και η ανεργία ΔΕΝ κινήθηκαν σ' αντίθετη κατεύθυνση (αρνητική κλίση). 83

18 Με πράξεις στο Excel 84

19 1 2 ˆ ˆ e i i i i SEE S ( y ) y ( x y ) n ( ) t 2 ˆ ( ) e 2 n x x S n 0, Όπως προηγουμένως Με τη συνάρτηση LINEST, έχομε αμέσως το β_hat, το SE(β) και το SEE 85

20 Η συνάρτηση Linest του Excel έδωσε τα εξής αποτελέσματα: b=-0, a=0, , , , SEE = 0, F=0, degf =10 y 0, RSS=1, x όπου (βλπ Σημειώσεις του ΙΚΔ για τη χρήση του Excel στην Εφαρμοσμένη Στατιστική) S ( ˆ ) 0, e β t ˆ S ˆ e 0, , SEE=sqrt(RSS/degF)=sqrt(1.62/10)=

21 Η συνάρτηση Linest του Excel δίνει και άλλα αποτελέσματα: b=-0, a=0, , , , SEE = 0, F=0, degf =10 ESS=0, RSS=1, F = ESS / RSS RSS = 0, / 1, = 0, ESS 87

22 Εφαρμογή στο Παράδειγμα 2 Υποδεικνύει η αύξηση θερμοκρασίας μια σημαντική μείωση πωλήσεων? Δηλ. είναι β < 0? H o : 0 H : 1 0 εσ: 5% 88

23 Η συνάρτηση Linest του Excel έδωσε τα εξής αποτελέσματα: -16, ,8571 5, ,6294 0, ,9525 7, S ( ˆ ) 5, e β 41223, Απορρίπτομε την Η 0 αν η τιμή της t β είναι < -t 18,0.05 = -1,734, t β Άρα σε 5% εσ οι πωλήσεις καφέδων αναμένεται να μειωθούν όταν αυξάνεται η θερμοκρασία. 89

24 2.3 Πρόβλεψη και δ εμπιστοσύνης Τί πωλήσεις καφέ αναμένονται αν θ=27 c ; Είναι y αˆ βx ˆ Γενικά, η πρόβλεψη είναι αξιόπιστη για κοντινές τιμές του x στη δεξιότατη δεδομένη τιμή του x που χρησιμοποιήθηκε στο μοντέλο της παλινδρόμησης. Ειδάλλως για τις σχετικές προβλέψεις είναι προτιμότερο να χρησιμοποιούμε διαστήματα εμπιστοσύνης. 90

25 Πχ ένα 95% δε για το β στο παράδειγμα πωλήσεωνθερμοκρασιών βρίσκεται ως εξής: Είναι Τότε για n-2=18 και α/2=0.025 η κρίσιμη τιμή t n-2,α/2 = 2.1. Επομένως η πιθανότητα είναι 95% ότι το t β θα ικανοποιεί τις ανισότητες ή ˆ S ˆ e t ˆ ~ t S ˆ e n2-2.1 < t β < 2.1 S e ˆ 2.1 S ˆ ˆ 2.1 ˆ e Είναι 95% δε 91

26 2.4 Άλλα μοντέλα παλινδρόμησης Για πιο πολύπλοκες περιγραφές καταφεύγομε σε μοντέλα όπως: 1. Πολλαπλή γραμμική παλινδρόμηση y x x x Πολυωνυμική παλινδρόμηση y x x x 2 m m 3. Λογάριθμους. Εδώ αντικαθιστούμε το ζεύγος (xi,yi), xi>0 με (lnxi, lnyi) και ln y ˆαβˆ lnx 4. Κατά τμήματα γραμμική παλινδρόμηση 5. Εκθετική παλινδρόμηση, κοκ 92

27 2.5 Εφαρμογή στην Εκθετική Παλινδρόμηση Αν αντί για το γραμμικό επιλέξομε το εκθετικό υπόδειγμα y τότε με λογαρίθμιση λαμβάνομε το αντίστοιχο γραμμικό b ax e ln y lna bln x u από το οποίο μπορούμε να βρούμε α και b. u 93

28 Παραδείγματος χάριν, υποθέτομε ότι το εκτιμημένο υπόδειγμα έχει τη μορφή yˆ ˆ ˆ b ax yˆ 42.9 x 1.6 Πώς ερμηνεύεται το υπόδειγμα: η ελαστικότητα, η, της y ως προς x είναι -1.6, σταθερή. η = Δy/y / Δx/x = Δy/Δx x/y dy/dx x/y dy x x x bax b1 bax b1 b dx yˆ yˆ ax b 94

29 Δηλ. η ποσοστιαία μεταβολή της y είναι σταθερή, ανεξάρτητη από την τιμή της x (χρήσιμο σε ζήτηση, προσφορά κλπ). 95

30 η = Δy/y / Δx/x = Δy/y / 1% 2 = Δy/y / 1% Δy/y = 2% 96

31 3. Συσχέτιση Αναζητούμε πληροφορίες για τη σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών. Η συσχέτιση προτιμάται της γραμμικής παλινδρόμησης, όταν δεν ζητείται συναρτησιακή σχέση ή πρόβλεψη. 97

32 3.1 Κίνητρο Υπάρχει σχέση ή συσχέτιση μεταξύ ύψους και βάρους? Υπάρχει συσχέτιση μεταξύ βαθμών μικροοικονομίας και μαθηματικών? Υπάρχει συσχέτιση μεταξύ δαπανών των εισοδημάτων για οικογένειες ιδίου μεγέθους και ηλικιακών ομάδων? Υπάρχει συσχέτιση μεταξύ κερδών επιχειρήσεων ή αριθμού εργαζομένων? Γνωρίζομε πως να απαντήσομε αυτές τις ερωτήσεις: Υποθέτομε ένα γραμμικό μοντέλο παλινδρόμησης y x 98

33 και οι ερωτήσεις ουσιαστικά είναι αν ο ρυθμός αλλαγής μιας μεταβλητής ως προς την άλλη είναι θετικός ή αρνητικός. Δηλαδή, αν είναι β>0 ή β<0. Η απάντηση δίνεται με έλεγχο υποθέσεως επί του β. Ωστόσο στα παραδείγματα θέλομε να γνωρίζομε απλώς αν β>0 ή β<0, και όχι τις τιμές των α και β, το οποίο γίνεται χρησιμοποιώντας έναν αριθμό, το συντελεστή συσχέτισης. 99

34 Ορίζεται ως 3.2 Ο συντελεστής συσχέτισης r ( ) i i i i n x y x y 2 2 n( x ) ( ) i x n y i i yi r 1 Αν r > 0, θετική συσχ μεταξύ x και y, y αν x Αν r < 0, αρνητική συσχ, y αν x 100

35 r T ( x x) ( y y) x x y y 2 2 r = [covar xy ]/[σ x σ y ] = cos θ θ = γωνία μεταξύ x και y Ανισότητα Cauchy-Scwartz: covar xy σ x σ y x T y x 2 y 2 101

36 Παράδειγμα Θεωρούμε τα δεδομένα από την πώληση καφέδων και υπολογίζομε r = Οι υποθέσεις β < 0 και β 0 είναι ισοδύναμες των r <0 και r 0, αντίστοιχα. Δηλ., είναι H : 0 o H : 0 1 εσ: 5% 102

37 Αποτέλεσμα 3.2 Αν ο πληθυσμιακός συντελεστής συσχέτισης δύο μεταβλητών είναι μηδέν και r είναι ο συντελεστής συσχέτισης δείγματος μεγέθους n, τότε ισχύει r n 2 2 ~ 1 r t n2 Μια εναλλακτική χρήση του r είναι το r 2 (συντελεστής προσδιορισμού) το οποίο δίνει το κλάσμα της μεταβολής της Y λόγω της μεταβολής της X. Στο παράδειγμα με τους καφέδες, λαμβάνομε r 2 = Αυτό σημαίνει ότι η μεταβολή στη θερμοκρασία επιφέρει μεταβολή 30% στη ζήτηση καφέδων. 103

38 Ο έλεγχος r=0 έναντι r0 Υπολογίζομε το στατιστικό t r n2 2 1 r Αν t n-2 > κρίσιμης τιμής = t n-2,α/2 (πίνακας t), τότε απορρίπτεται η Η 0. Παράδειγμα με καφέδες Υπολογίζομε r =-0.55 και t n-2 = -0.55/ 10/ ( ) = 2.08 < t n-2,α/2 =2.23, άρα αποδοχή Η 0. n 2 104

39 3.3 Εφαρμογές Θεωρούμε τύπους παραδειγμάτων όπου χρειάζεται μόνον ο συντελεστής συσχέτισης, ενώ η παλινδρόμηση δεν χρειάζεται. Αυτά είναι της μορφής που ο πληθυσμός συνίσταται από μονάδες όπως άνθρωποι, επιχειρήσεις, πειράματα κλπ, εν γένει χρήσιμα στις γνωστικές επιστήμες, την ψυχολογία και την ιατρική. Τα παραδείγματα στην οικονομία όπου αρμόζει ο συντελεστής συσχέτισης και όχι η παλινδρόμηση, συνήθως επικεντρώνονται σε έρευνες αγοράς και τη μικροοικονομική. Προσοχή στην κοινή παρερμήνευση του r: Ο r είναι μόνον ένα στατιστικό μέτρο της δύναμης της σχέσης. Δεν συνεπάγεται υποχρεωτικά κάποια αιτιατή σχέση. 105

40 2) Χρήση πακέτων του Excel Πολύπλευρες αναφορές πολλών επιστημών στο πρόβλημα της γραμμικής παλινδρόμησης Απαιτείται κατανόηση της θεωρίας και δυνατότητα διερμήνευσης 106

41 ( Τρίτος τρόπος εκτίμησης των συντελεστών a_hat και β_hat με το Excel: Με τo πακέτο Analysis Toolpak (Regression) ) 107

42 Διεξαγωγή ανάλυσης παλινδρόμησης με το Excel: Θα αναλύσομε τη σχέση θερμοκρασίας περιβάλλοντος και θνησιμότητας λόγω καρκίνου του μαστού: Είναι ο δείκτης θνησιμότητας διαφορετικός για γυναίκες που ζουν σε περιοχές με διαφορετικές θερμοκρασίες; 108

43 Περιοχή Θερμοκρασία Θνησιμότητα 1 31,8 67,3 2 34,0 52,5 3 40,2 68,1 4 42,1 84,6 5 42,3 65,1 6 43,5 72,2 7 44,2 81,7 8 45,1 89,2 9 46,3 78, ,3 88, ,8 95, ,5 87, ,2 95, ,9 104, ,0 100, ,3 102,5 Επειδή τα δεδομένα επιδεικνύουν μια γραμμική σχέση, η βασική ερώτηση αφορά στον έλεγχο σημαντικότητας αυτής της γραμμικότητας Ακολουθούμε τα εξής βήματα: 109

44 1. Σχεδίαση του διαγράμματος διασποράς Κατάλοιπα 110,0 100,0 Θνησιμότητ 90,0 80,0 70,0 60,0 50,0 30,0 35,0 40,0 45,0 50,0 55,0 Θερμοκρασία 111

45 Συντελεστής προσδιορισμού 2. Προσθήκη της γραμμικής παλινδρόμησης (γραμμής τάσης) Γραμμή τάσης y = 2,3577x - 21, ,0 R 2 = 0, ,0 Θνησιμότητ 90,0 80,0 70,0 60,0 50,0 30,0 35,0 40,0 45,0 50,0 55,0 Θερμοκρασία 112

46 Γραμμή τάσης 110,0 100,0 Θνησιμότητ 90,0 80,0 70,0 60,0 50,0 30,0 35,0 40,0 45,0 50,0 55,0 Θερμοκρασία Και η παραβολή φαίνεται να δίνει κατάλληλη προσαρμογή, αλλά για τοπικές προσεγγίσεις (με λίγα δεδομένα) η γραμμική έχει θεωρητική κάλυψη από το Θ. Taylor. 113

47 3. Υπολογισμός στατιστικών παλινδρόμησης Είναι η παλινδρόμηση στατιστικά σημαντική; - Εξετάζομε τον έλεγχο Η 0 : Δεν υπάρχει γραμμική σχέση Η 1 : Υπάρχει γραμμική σχέση με το Analysis ToolPak του Excel 114

48 Τα εξαγόμενα καταμερίζονται σε έξι περιοχές: 1. Στατ παλινδρόμ 2. ΑΝΑΔΙΑ 3. Εκτιμ παραμέτρων 4. Κατάλοιπα 5. Πιθανότητες 6. Διαγράμματα 115

49 .xls 116

50 Το φύλλο Excel BCancer2.xls Προσοχή στην ορολογία του Excel, διότι δεν είναι η επίσημα χρησιμοποιούμενη. 117

51 Διερμήνευση στατιστικών παλινδρόμησης του Excel Στατιστικά παλινδρόμησης Πολλαπλό R (correlation) 0, R Τετράγωνο 0, Προσαρμοσμένο R Τετράγωνο (επόμενη ΟΣΣ) 0, = correl Τυπικό σφάλμα (τυπική απόκλιση) 7, Μέγεθος δείγματος 16 Σκέψου το ως, ΜΟ των αποκλίσεων από τη γραμμή παλινδρόμησης, δηλ η τυπική απόκλιση μιας παρατήρησης από τη γραμμή 118

52 Διερμήνευση ΑΝΑΔΙΑ Αναλύει τη μεταβλητότητα του δείκτη θνησιμότητας, η οποία διαιρείται σε δύο μέρη: λόγω της παλινδρόμησης και λόγω της τυχαιότητας. 56,92=7,54 2 = τυπ αποκλιση 2 ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ βαθμοί ελευθερίας SS MS F Σημαντικότητα F Παλινδρόμηση , ,53 45,67 9,2E-06 Κατάλοιπα RSS ,91 56,92 Σύνολο TSS ,44 n-1 γίνεται ελάχιστο 2599,53/ 3396,44 = 76.54% = R αποδίδεται στην Παλινδρ

53 Η στήλη SS δίνει αθροίσματα τετραγώνων. TSS = άθροισμα τετραγώνων αποκλίσεων του δείκτη θνησιμότητας από τον ολικό μέσο TSS μερίζεται εις διπλούν: ESS = άθροισμα τετραγώνων αποκλίσεων της γραμμής παλινδρόμησης από τον ολικό μέσο RSS = άθροισμα τετραγώνων αποκλίσεων του δείκτη θνησιμότητας από τη γραμμή παλινδρόμησης. Αυτό θέλομε να ελαχιστοποιήσομε. 120

54 Διερμήνευση ΑΝΑΔΙΑ (συνέχεια) 3396,44/15= = διακύμανση δείκτη θνησιμότητας = = stdev δείκτη θνησιμότητας F κλάσμα = 2599,53/ 56,92 = 45,67 Αν F > > τότε παλινδρ στατ σημαντική ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ βαθμοί ελευθερίας SS MS=SS/df F Σημαντικότητα F Παλινδρόμηση , ,53 45,67 9,2E-06 Κατάλοιπα RSS ,91 56,92 Σύνολο TSS ,44 p-value =

55 Εκτιμητές παραμέτρων και στατιστικά Συντελεστές Τυπικό σφάλμα t τιμή-p Κατώτε ρο 95% Υψηλότ ερο 95% Τεταγμένη στην αρχή -21,79 15,67-1,39 0,19-55,41 11,82 t 14 Θερμοκρασία 2,36 0,35 6, ,61 3,11 κλίση = -21,79 / 15,67 = 2,36 / 0,35 Όπως στην ΑΝΑΔΙΑ Διαστήματα εμπιστοσύνης δίνονται αυτόματα. Το άλλο ζεύγος καθορίζεται από χρήστη. 122

56 Τι συμπεραίνομε από τα στατιστικά της παλινδρόμησης αυτής; Κατ αρχήν, μπορούμε να απορρίψομε την Η 0 και να αποδεχθούμε την Η 1 ότι υπάρχει γραμμική σχέση μεταξύ δείκτη θνησιμότητας και θερμοκρασίας. Από τα δε έχομε 95% εμπιστοσύνη για την κλίση, ότι κάθε μοναδιαία αύξηση της Θ, θα αυξάνει ο δείκτης θνησιμ μεταξύ 1.61 και 3.11 σημείων. 123

57 Τιμές Πρόβλεψης Ένας κύριος στόχος της παλινδρόμησης είναι να κάνει προβλέψεις, y 0 = α + β*x 0 Αν x 0 ~ x_bar τότε αναμένεται καλή πρόβλεψη. Γενικά μπορούμε να θεωρήσομε ένα διάστημα εμπιστοσύνης y 0 t v,2.5% σ p, όπου y 0 λαμβάνεται από x 0 και σ p από την πρόβλεψη όταν x 0 124

58 Άνω γραμμή εμπιστοσύνης y_bar Κάτω γραμμή εμπιστοσύνης x_bar 125

59 Κατάλοιπα 7, ΕΞΟΔΟΣ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ ΕΞΟΔΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μέγεθος δείγματος Προβλεπόμενη Θνησιμότητα Κατάλοιπα Κανονικοποιημένα κατάλοιπα = Κ / St Error Estim Εκατοστημόριο Θνησιμότητα 1 53,18 14,12 1, ,125 52,5 2 58, , , ,375 65,1 3 72, , , ,625 67,3 4 77, , , ,875 68,1 5 77, ,8358-1, ,125 72,2 6 80, , , ,375 78,9 7 82, , , ,625 81,7 8 84, , , ,875 84,6 9 87, , , ,125 87, , , , ,375 88, , , , ,625 89, , , , ,875 95, , , , ,125 95, , , , , , , , , , , , , , , ,5

60 Τι συμπεραίνομε από τα κατάλοιπα; Κατ αρχήν, μπορούμε να διακρίνομε έκτοπα σημεία και εφεξής να προσέχομε την επιρροή τους στην ανάλυση. Αν τα κατάλοιπα είναι κανονικά κατανεμημένα, τότε πρέπει να είναι συγκεντρωμένα πέριξ του μηδενός. Γιατί; Διότι για μια Ν κατανομή, 50% των τιμών είναι άνω και 50% κάτω από τον μέσο (Σ Res_i/n = 0). Άρα τα μισά περίπου είναι + και τα υπόλοιπα

61 Διάγραμμα καταλοίπων Κατάλοιπα Θερμοκρασία Διακρίνομε μια καμπύλη τάση 128

62 Στη συνέχεια αναλύομε τα κατάλοιπα για να εξετάσομε την καταλληλότητα τού παλινδρομικού υποδείγματος. 129

63 Είναι τα κατάλοιπα κανονικά κατανεμημένα; Αν τα κατάλοιπα είναι κανονικά κατανεμημένα, περίπου 68% των κανονικοποιημένων καταλοίπων πρέπει να είναι μεταξύ -1 και 1. Και περίπου 95% πρέπει να είναι μεταξύ 1.96 και Εν προκειμένω: 11/16=68.8% στο 1 έως 1. Άρα πλησίον του 68%. 16/16=100% στο 1.96 έως 1,96. Πολύ κοντά στο 95%. Ικανοποιητικά αποτελέσματα Κανονικοποιημένα κατάλοιπα = Κ / StErrorEstim 1,937-0,804-0,670 0,979-1,761-1,175-0,098 0,639-1,162-0,154 0,562-0,762 0,233 1,186 0,591 0,

64 Διάγραμμα κανονικής πιθανότητας Θνησιμότητ y = 0,4976x + 58,465 R 2 = 0,9681 Διαφορά θέσης της μπλε κατανομής από Ν Δείγμα ποσοστού Τα κατάλοιπα είναι εναλλάξ άνω και κάτω της γραμμής πιθανότητας. Δεν αποκλίνουν και πολύ από την κανονική. 131

65 Έχουν τα κατάλοιπα σταθερή διακύμανση; Κατάλοιπ Προβλεπ θνησιμότητα Η διακύμανση φαίνεται να είναι μεγαλύτερη για κάποιες εκτιμημένες τιμές. Ενδεχομένως να είναι έκτοπο σημείο ή λάθος παλινδρόμηση σ αυτή την περιοχή. Επιφυλακτικοί! 132

66 Ανεξαρτησία των καταλοίπων; Εφαρμόζομε runs test ή Durbin Watson test, κλπ, με πιο προηγμένα πακέτα λογισμικού. Σ αυτό το σημείο ο αναλυτής είναι ήδη αρκετά προχωρημένος! 133

67 Τέλος 136