ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία: Κυριακή Απριλίου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α.. Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση ) σελίδα 9. Α.. Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση ) σελίδα 95. Α.. α) Σωστό β) Λάθος γ) Λάθος δ) Λάθος ε) Λάθος A.. ΘΕΜΑ Β Β.. Αριθµός Με µορφή λογαρίθµου Με µορφή δύαµης log 7 log 7 log log log ln Έχουµε f (x) = x x + = (). Επειδή όλοι οι συτελεστές είαι ακέραιοι, οι πιθαές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης f (x) =, είαι το - ή το. Το - δε είαι ρίζα, γιατί f = + =. Εώ το είαι ρίζα, γιατί f () = () () + =. Με εφαρµογή του σχήµατος Horner έχουµε: Ε_.ΜλΓΑ(α) - ρ= e ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 5

2 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Η εξίσωση () είαι τώρα ισοδύαµη µε τη (x )(x x ) =. Έτσι, x = x = ή x x = µε ρίζες x= ή x= - αφού =9. Οι ρίζες λοιπό της εξίσωσης () είαι x= ή x= (διπλή). Ε_.ΜλΓΑ(α) Β.. Επειδή το α = είαι η διπλή ρίζα τότε: π π ηµ x = ηµ x = ηµ x = κπ + ( κ Z ) ή π π x = κπ + π = κπ + ( κ Z ). Όµοια, το β = είαι η άλλη ρίζα οπότε: π π π συ x = συ x = συ( π ) x = κπ + ή x = κπ ( κ Z ). Β.. Β.. Επειδή η γραφική παράσταση της f δε είαι πάω από το άξοα x x πρέπει: f (x) (x )(x x ).Το πρόσηµο της f (x) φαίεται στο παρακάτω πίακα: x - -/ + x x -x f(x) Έτσι, οι τιµές τω x R για τις οποίες η γραφική παράσταση της f δε βρίσκεται πάω από το άξοα x x είαι: x ή x=. Έχουµε f ( x) = ( x) ( x) + = x x +. Εκτελούµε τη ευκλείδεια διαίρεση, όπως φαίεται παρακάτω: -x - x +x+ x + x +x -x- - x +x + + x + x+ Το πηλίκο είαι: π (x) = x και το υπόλοιπο: υ (x) = x +. Εποµέως, f ( x) = (x + )( x ) + (x+ ). ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 5

3 ΘΕΜΑ Γ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ.. Αφού ln α,ln β,ln γ διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου ισχύει: ln ln ln ln ln () β = α + γ β = αγ β = αγ. Για τη συάρτηση f µε f (x) x x, x = α + β + γ R έχουµε: = β αγ =β β = β <, αφού β >. Επειδή α > και < είαι f (x) >, για κάθε πραγµατικό αριθµό x. Έτσι το πεδίο ορισµού της συάρτησης h είαι το R. Γ. α) Είαι Ε_.ΜλΓΑ(α) ln log ln e, e β γ α = α = = α = = β, α = = γ. Επειδή α = α λ, όπου λ ο λόγος της προόδου, τότε για = 5 έχουµε α 5 = α λ. Έχουµε α 5 = 56 και α =, εποµέως 56 ή = λ λ = λ = λ =. α β Επειδή λ = = > τότε η τιµή λ = απορρίπτεται. α Για λ = έχουµε β = α λ = και γ = β λ = = 6. Έτσι, λοιπό α =, β = και γ = 6. β) Για α =, β =, γ = 6 είαι f (x) = x + x+ 6 και g(x) = ηµ x +. Η εξίσωση f ( συ x) = g(x) είαι ισοδύαµη µε τη συ + συ + = ηµ + Επειδή x x 6 x συ x + συx ηµ x 5 = (). ηµ x = συ x τότε από τη () έχουµε: συ x + συx + συ x 5 = συ x + συx 6 = συ x + συx = (). y + y = Θέτουµε συ x = y όπου y οπότε η () γίεται µε ρίζες y= ή y=. Η y= απορρίπτεται. Για y= έχουµε: συ x = συ x = συ x = κπ, κ Z. x, π < x π < κπ π < κ. Όµως, ( ] Ο κ είαι ακέραιος, οπότε κ = ή κ =. Για κ = : x = π και για κ = : x = π. Γ.. Αφού ω > τότε β = π και β = π. Η διαφορά είαι: ω = β β = π. Ο ιοστός όρος της αριθµητικής προόδου ( β ) είαι: β = β + ( ) ω = π + ( )π = π. Το άθροισµα τω πρώτω δίεται από το τύπο S = ( β + β ). ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 5

4 ΘΕΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Επειδή Sv = 55π έχουµε: 55 π = (π + π) 55 π = π( + ) + = =. Η διακρίουσα είαι = ( 55) = =. + Έτσι, = = 5 ή = = 5. Επειδή ο είαι θετικός ακέραιος, τότε = 5... Για α ορίζεται η g πρέπει α ισχύει x>. Έτσι, Α g = (, + ) (είαι ln γιατί ).. Για α συγκρίουµε g και βρίσκουµε το πρόσηµο της διαφοράς Είαι ln ln ln ln ln ln ln ln g = = = = =. ln ln ln ln ln Όµως < άρα ln < και >, οπότε ln >. g < g <. Είαι Εαλλακτικά λύουµε τη ln g < < ln αληθεύει, γιατί <. Για α ορίζεται η f πρέπει επί ln> Ε_.ΜλΓΑ(α) g. ln < ln ln < ln ln < ln η οποία x x > και ln( ). ln > x x x ln Έχουµε > > ln > ln x ln > ln x > ln και x ln x ln x x ln x x. Από το είαι.. Είαι f( log ) ln ln <, οπότε ln Α f = (,), +. ln κ = = ln log κ ( ) ln( κ ) log, αφού κ = κ. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 5

5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ κ < <. ln Έχουµε f( log ) ( κ ) Επειδή κ > ισχύει Οπότε Τελικά ln κ >. ln κ > ln κ > ln e κ > e κ > + e. κ ( + e, + )... Το υπόλοιπο της διαίρεσης ( x 7x + 6 ) :( x+ ) υ (x) = = =. είαι Έχουµε υ (x) = (f ( β) ) x + g( α ) + g( α ) + g( α ) g( α ). ln Από τη ισότητα τω δύο πολυωύµω έχουµε : f ( β) = και g( α ) + g( α ) + g( α ) g( α ) =. ln ιαδοχικά έχουµε: f( β) = f( β ) = = ln β ( ) β β β ln = ln e = e = e + () και g( α ) + g( α ) + g( α ) g( α ) = ln lnα ln α ln α ln α = ln ln ln ln ln l ( ln α + ln α + ln α ln α ) = ln ln ln α ( ) = (). ln ln Ε_.ΜλΓΑ(α) Το S= είαι άθροισµα τω πρώτω όρω της αριθµητικής προόδου µε α =, ω =.Έτσι, S = ( α + α ) = ( + ) =. Από τη () προκύπτει ln α = ln α = α = e () ln ln Έτσι, έχουµε () () β ln ln β β e = (e ) = = e + = α +. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ 5