ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_.ΜλΑ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηία: Κυριακή 7 Απριλίου 04 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α) Λάθος (βλέπε σελίδα 4 του σχολικού βιβλίου, Το σωστό είαι α, β, οµόσηµοι τότε α β > 0). β) Σωστό (βλέπε σελίδα 6 του σχολικού βιβλίου). γ) Λάθος (βλέπε σελίδα 6 του σχολικού βιβλίου. Το σωστό είαι ότι y= x ). δ) Σωστό (βλέπε σελίδα 7 του σχολικού βιβλίου). ε) Σωστό (βλέπε σελίδα 64 του σχολικού βιβλίου). Α. Βλέπε απόδειξη () στη σελίδα 7 του σχολικού βιβλίου. ΘΕΜΑ Β Β. Για τις πιθαότητες τω εδεχοµέω Βκαι Β είαι: Ρ( Β ) = Ρ( Β) Ρ( Β ) = Ρ( Β ) Ρ( Β ) = Ρ( Β ) =. Επίσης Ρ Β Α = Ρ Α Ρ Α Β Ρ Α Β = Ρ Α Ρ Α Β Ρ( Α Β ) = Ρ( Α Β ) = 6 6 Ρ( Α Β ) =. 6 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

2 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_.ΜλΑ(α) Β. Από το προσθετικό όµο τω πιθαοτήτω για τα εδεχόµεα Α, Β ισχύει: Ρ Α Β = Ρ Α + Ρ Β Ρ Α Β Ρ( Α Β ) = Ρ( Α Β ) = 6 Ρ( Α Β ) =. Β. Από το κλασικό ορισµό της πιθαότητας για εδεχόµεο Β ισχύει: ΘΕΜΑ Γ Ν Β Ρ( Β ) = Ν Ω 40 = Ν Ω Ν Ω = 0 Γ. Η εξίσωση γίεται: Επειδή α = 8 α = 8 α = α = α = 6 α + 6 ω = + ω = ω = ω = 0 ω = ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_.ΜλΑ(α) Γ. Το άθροισµα τω πρώτω όρω αριθµητικής προόδου είαι: S = α + ( ) ω Επειδή α =, ω = και θέλουµε S > 440, έχουµε: S > 440 Το τριώυµο έχει δύο ρίζες άισες: ( ) > β ± ± 764 ± 4, = = = α ( 6 + ) > = = = 0 και ( + 4) > = = = + > 440 Επειδή ο είαι θετικός ακέραιος, > 0 δεκτή λύση είαι η = 0. Η ιακρίουσα του τριωύµου είαι = 4 4 ( 440)= 4+760=764 Το πρόσηµο του τριωύµου φαίεται στο παρακάτω πίακα: Οπότε πρέπει > 0. Άρα το ελάχιστο πλήθος πρώτω όρω της αριθµητικής προόδου, που απαιτούται, ώστε το άθροισµά τους α ξεπερά το 440 είαι =. Γ. Επειδή οι αριθµοί γεωµετρικής προόδου, ο αριθµός ισχύει: α x, α x, α x είαι διαδοχικοί όροι α x είαι γεωµετρικός µέσος, οπότε ( ) ( ) ( x x x ) α = α α () Οι αριθµοί α, α, α είαι όροι της αριθµητικής προόδου του ερωτήµατος Γ µε α = α + ω α = + α = α = α + ω α = + 4 α = 7 α = α + 4ω α = + 8 α = ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_.ΜλΑ(α) Η εξίσωση () γίεται: ( 7 x ) = ( x ) ( x ) 49 4x + x = 0x x + x + = x 7x 6 0 ( ιτετράγωη) x 7x + 6 = 0 Θέτουµε x = ω µε ω 0 οπότε η παραπάω εξίσωση γίεται: ω 7ω+ 6 = 0 Το τριώυµο έχει: α =, β = 7, γ = 6. Η διακρίουσά του είαι: = β 4αγ = = 49 4 =. β ± 7 ± 7 ± Οι ρίζες του είαι: ω, = = = α δηλαδή: ω = = = 6 και ω = = = Η εξίσωση x = ω για ω = γίεται: x = x = ± x = ή x = Η εξίσωση x = ω για ω = 6 γίεται: x = 6 x = ± 6 x = 6 ή x = 6 Οι ακέραιες τιµές του x είαι το και το. Για x= οι όροι της γεωµετρικής προόδου είαι: α x = = 4 α = = x 7 6 α = = x 9 Για x= οι όροι της γεωµετρικής προόδου είαι: x 4 α = = = x α = = = x 9 α = = = Ο λόγος της γεωµετρικής προόδου είαι: 6 λ = = 4 Για x = ± 6 οι όροι της γεωµετρικής προόδου είαι: α = = x 6 α = = x 7 6 α = = x 6 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 6

5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_.ΜλΑ(α) ΘΕΜΑ Ο λόγος της γεωµετρικής προόδου είαι λ.. Η διακρίουσα της εξίσωσης () είαι: = 4 = 4 = 0 = 0 = 0 ή = λ= = που απορρίπτεται γιατί Για το πλήθος τω ριζώ της εξίσωσης () έχουµε: Α = 0, η εξίσωση έχει µια διπλή πραγµατική ρίζα, τη x = 0. Α =, η εξίσωση έχει δύο άισες πραγµατικές ρίζες.. Για = η εξίσωση () γίεται: x x+ = 0 α) Από τους τύπους του Vieta γωρίζουµε: β γ x + x = = = και x x = = α α Έτσι ο τύπος της συάρτησης g γίεται: g x = x x + = + g x x 0x g x = x g x = x β) Για το πεδίο ορισµού της συάρτησης f πρέπει: x 0 x. Άρα το R. πεδίο ορισµού της f είαι το { } Για α απλοποιήσουµε το τύπο της f πρέπει α παραγοτοποιήσουµε το τριώυµο: x x+ Η διακρίουσά του είαι: = ( ) 4 = 9 8 =. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_.ΜλΑ(α) β ± ± + 4 Οι ρίζες του είαι: x, = =, δηλαδή: x= = = και α x = = =. 4 4 Οπότε το τριώυµο παραγοτοποιείται στη µορφή: x x + = ( x ) x = ( x ) ( x ) Άρα ο τύπος της συάρτησης f γίεται: ( x )( x ) f( x) = f( x) = x x γ) Για α βρούµε τα κοιά σηµεία τω γραφικώ παραστάσεω τω f x = g x µε x. συαρτήσεω f και g, θα λύσουµε τη εξίσωση: Από και (β) ερώτηµα, ισχύει: x = x () Για α βγάλουµε τη απόλυτη τιµή, πρέπει α διακρίουµε περιπτώσεις: Α x 0 δηλαδή x έχουµε x = x. Η εξίσωση () γίεται: x = x x x = + x = 4 Η ρίζα απορρίπτεται διότι 4 <. Α x < 0 δηλαδή x εξίσωση () γίεται: x = x + x + x = + x = 6 x = x = x+. Η < έχουµε x = Η ρίζα x= είαι δεκτή γιατί < Για x f = f = = έχουµε ότι: Άρα οι γραφικές παραστάσεις τω συαρτήσεω f και g έχου έα Α,. κοιό σηµείο το ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 6 ΑΠΟ 6