ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Κυριακή 17 Απριλίου 2016 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 016 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 016 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς α και β ισχύει: α β = α β Μονάδες 15 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α. Για οποιουσδήποτε αριθµούς α, β και θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναµία: α > β α ν > β ν. β. Για κάθε πραγµατικό αριθµό α ισχύει α α. γ. Για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και Α' ισχύει πάντοτε Ρ(Α ) = 1+ Ρ(Α). ν δ. Η εξίσωση x = α, µε α > 0 και ν περιττό φυσικό αριθµό έχει ακριβώς µία λύση την ν α. ε. Έστω Α(α, β) ένα σηµείο του καρτεσιανού επιπέδου. Το συµµετρικό του ως προς τη διχοτόµο της 1 ης και 3 ης γωνίας των αξόνων είναι το σηµείο Α'(β, α). Μονάδες 10 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 1 ΑΠΟ 3

2 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 016 ΘΕΜΑ Β Β1. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) x x 6 = 0 ii) (x 1) x 1 6 = 0 Β. i) Να λύσετε την ανίσωση x + x + 6 < 0 Μονάδες 4 Μονάδες 8 Μονάδες 6 λ ii) Για ποιες τιµές του πραγµατικού αριθµού λ η εξίσωση x + x + 4 = 0 είναι αδύνατη στο R; Μονάδες ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση f (x) = 3 1 x + κ 3 +1, κ R Γ1. Να αποδείξετε ότι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f είναι το Α=[,4]. Μονάδες 10 Γ. Να βρείτε την τιµή του κ για την οποία το σηµείο Μ( 1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f. Μονάδες 8 Γ3. Έστω ο δειγµατικός χώρος Ω = {1,,3,...,10}. ω του Ω. Να βρείτε την πιθανότητα το f(ω) να έχει νόηµα. Παίρνουµε τυχαία ένα στοιχείο Μονάδες ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 3

3 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 016 ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση f (x) = x 4x +, x R Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει δύο ρίζες άνισες. Μονάδες 3. Αν x 1, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης f(x)=0, να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: Α = f (0) f ( 1) f (0) Β = x 3 x + x x 3 f ( 1) f (0) + f (0) f ( 1) f (0) + f (0) Μονάδες 6 Μονάδες 6 Γ = x 1 x Μονάδες 3 3. Αν Α =, Β = 4 και Γ= 3 i. Να σχεδιάσετε την ευθεία (ε): συντεταγµένων Οxy. y = Γx + Β 10 Α σε ένα σύστηµα Μονάδες 3 ii. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τους άξονες x'x, y'y. Μονάδες 4 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 3 ΑΠΟ 3

4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 016 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 016 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ A ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1. Θεωρία. (Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6). Α. α Λάθος β Σωστό γ Λάθος δ Σωστό ε Σωστό ΘΕΜΑ Β Β1. i. Έχουµε = ( 1) 4 1 ( 6) = 1+ 4 = 5 > 0, άρα η εξίσωση έχει δύο ( 1) ± 5 1 ± 5 ρίζες άνισες: x 1, = = 1, άρα x 1 =, x = 3 ii. Ισχύει (x 1) = x 1. Θέτουµε x 1 y µε y 0 οπότε έχουµε την εξίσωση y y 6 = 0 µε y 0. Εποµένως (από i) είναι y = που απορρίπτεται ή y = 3 που είναι δεκτή. Άρα x 1 = 3 (x 1 = 3 ή x 1 = 3) x = 4 ή x = Β. i. Λύνουµε την εξίσωση x + x + 6 = 0 η οποία είναι ισοδύναµη µε την (i) του ερωτήµατος Β1. Άρα x 1 =, x = 3. Το πρόσηµο του τριωνύµου φαίνεται στον πίνακα που ακολουθεί x 3 + x + x Εποµένως οι λύσεις της ανίσωσης x (, ) (3,+ ) x + x + 6 < 0 είναι τα ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 1 ΑΠΟ 4

5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 016 ΘΕΜΑ Γ λ ii. Για να είναι η εξίσωση x + x + = 0 4 διακρίνουσά της να είναι αρνητική. ηλαδή <0 αδύνατη στο R θα πρέπει η λ < λ λ λ 4 < 0 4 < 0 > 4 λ > λ > ή λ < Οι παραπάνω λύσεις προκύπτουν και από τον κανόνα προσήµου τριωνύµου: Ζητάµε τις τιµές του λ για τις οποίες είναι 4 λ <0. ηλαδή τις τιµές του λ για τις οποίες το τριώνυµο του πρώτου µέλους είναι οµόσηµο του συντελεστή του δευτεροβάθµιου όρου. Σύµφωνα µε τον κανόνα προσήµου τριωνύµου, πρέπει ο λ να βρίσκεται εκτός του διαστήµατος των ριζών του τριωνύµου 4 λ, οι οποίες είναι και. Έτσι τελικά πρέπει λ > ή λ <. Γ1. Για να ορίζεται η f πρέπει 3 1 x 0 1 x x 3 4 x x 4 Άρα το πεδίο ορισµού της f είναι το Α = [,4]. Γ. Για να ανήκει το σηµείο Μ( 1,1) στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f πρέπει οι συντεταγµένες του να επαληθεύουν τον τύπο της. ηλαδή πρέπει 3 3 f ( 1) = ( 1) + κ +1 = κ +1 = κ +1 = 1 κ +1 = 0 κ +1 = 0 κ = 1 κ = 3 1 κ = 1. Γ3. Από τη φράση παίρνουµε τυχαία ένα στοιχείο ω του Ω συµπεραίνουµε ότι όλα τα δυνατά αποτελέσµατα είναι ισοπίθανα. Εποµένως ισχύει ο κλασικός ορισµός της πιθανότητας. Το πλήθος των δυνατών περιπτώσεων είναι το πλήθος των στοιχείων του Ω, δηλαδή Ν(Ω)=10. Αν θεωρήσουµε Ε το ενδεχόµενο «το f(ω) έχει νόηµα» τότε το πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεων είναι Ν(Ε). Από τους αριθµούς που βρίσκονται στο Ω παρατηρούµε ότι µόνο οι αριθµοί 1,,3,4, βρίσκονται στο πεδίο ορισµού της f που είναι το Α=[,4] όπως γνωρίζουµε από το Γ1. Άρα Ε={1,,3, 4} µε Ν(Ε)=4. Έτσι έχουµε τελικά σύµφωνα µε τον κλασικό ορισµό της πιθανότητας P(E) = N(E) = 4 =. N(Ω) 10 5 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 4

6 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 016 ΘΕΜΑ 1. Έχουµε την εξίσωση x 4x + = 0. Η διακρίνουσα είναι = ( 4) 4 1 = 16 8 = 8. Αφού > 0, η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες.. Αρχικά έχουµε f (0) = 0 Άρα = και f ( 1) = ( 1) 4( 1) + = = A = = = + = = ( 5 + ) + 5 ( ( 5 ) ( = + 5 = S 5 ) = ) 4 Από τους τύπους Vieta έχουµε S = x 1 + x = = 4 1 και P = x 1 x = = 1 Έτσι είναι B x 3 3 1x x1x x1x x1 x Όμως από την ταυτότητα (x 1 + x ) = x + x x + x προκύπτει x + x = (x + x ) x 1 x. Έτσι B = x 1 x [(x 1 + x ) x x ] = P( P) ή B = (4 ) = (16 4) = 1 = 4 Επίσης είναι, Γ = x 1 x = x 1 x = x 1 x = P = =. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 3 ΑΠΟ 4

7 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ i. Για Α = 3, Β=4 και Γ= είναι (ε): y = x ή y = x ή y = x + 6. Για x=0 είναι y=6. Για y=0 είναι x= 3. Εποµένως χαράζουµε την ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία Α(0,6) και Β(-3,0). ii. Το τρίγωνο ΒΟΑ είναι ορθογώνιο µε µήκη κάθετων πλευρών OA = 6 = 6 µονάδες και OB = 3 = 3 µονάδες. Εποµένως θα έχει εµβαδόν (ΒΟΑ)=1/ 9 / τετραγωνικές µονάδες. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 4