Να διατηρηθεί µέχρι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.:

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ Να διατηρηθεί µέχρι Βαθµός ασφαλείας Μαρούσι, Αριθ. Πρωτ /Γ Βαθµός Προτερ. ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΚΑΙ ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Β Ταχ. / νση: Α. Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: Μαρούσι Πληροφορίες: Μαρία Πατσή Τηλέφωνο: fax: Ιστοσελίδα: t09tee17@ypepth.gr ΠΡΟΣ: * Περιφερειακές /νσεις Α/θµιας και Β/θµιας Εκπ/σης * ιευθύνσεις.ε. της χώρας * Γραφεία Ε.Ε. (µέσω /νσεων.ε.) * Ηµερήσια και Εσπερινά ΕΠΑ.Λ. και ΕΠΑ.Σ. όλης της χώρας (µέσω /νσεων.ε. και Γραφείων Ε.Ε.) * Σχολεία εύτερης Ευκαιρίας (µέσω /νσεων.ε.) * Σιβιτανίδειος Σχολή (Θεσσαλονίκης 150, Καλλιθέα) * Γραφεία Σχολικών Συµβούλων (µέσω /νσεων.ε.) ΚΟΙΝ.: Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, Τµήµα Β ΤΕΕ, Μεσογείων 400, ΑΓ. ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ ΘΕΜΑ: «Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµάτων των ΕΠΑ.Λ.- ΕΠΑ.Σ. για το σχολικό έτος » Μετά από σχετική εισήγηση του Τµήµατος Τεχνικής Επαγγελµατικής Εκπαίδευσης του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου σας αποστέλλουµε την Πράξη (1/ , θέµα ο ) η οποία περιέχει οδηγίες του Π.Ι. σχετικά µε τη διδασκαλία των Μαθηµάτων των ΕΠΑ.Λ. ΕΠΑ.Σ. για το σχολικό έτος Οι διδάσκοντες να ενηµερωθούν ενυπόγραφα. Συνηµµένα στο ηλεκτρονικό ταχυδροµείο: Σελίδες 440 ( t09tee17@ypepth.gr) Ο ΠΡΟΪΣΤΑΜΕΝΟΣ Εσωτ. ιανοµή: /νση Σπουδών.Ε. Τµήµα Β ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΡΤΣΟΛΗΣ Τοµέας Εφαρµοσµένων Τεχνών

2 Σχετικά µε τις οδηγίες διδασκαλίας των µαθηµάτων των Β και Γ τάξεων ΕΠΑΛ και της Α τάξης ΕΠΑΣ ενηµερώνουµε ότι δεν υ άρχουν τρο ο οιήσεις στα ωρολόγια ρογράµµατα, γι αυτό και δεν ροβαίνουµε σε νέες οδηγίες διδασκαλίας. Οι εκ αιδευτικοί µ ορούν να στηριχτούν στα Προγράµµατα Σ ουδών ή/και στα αντίστοιχα βιβλία. Τοµέας οµικών Έργων Στο αρελθόν είχαν δοθεί οδηγίες µετά α ό αίτηµα του ΥΠ ΒΜΘ, ε ειδή είχαν ρογραµµατισθεί α ό το ΥΠ ΒΜΘ να χρησιµο οιούνται βιβλία και αναλυτικά ρογράµµατα των ΤΕΕ στα διάφορα µαθήµατα των ΕΠΑΛ-ΕΠΑΣ, σε ορισµένα εκ των ο οίων ροβλέ ονταν και ροβλέ εται ακόµη η χρήση ερισσότερων του ενός βιβλίου των ΤΕΕ. Παρά το γεγονός ότι δόθηκαν ό ως ζητήθηκε οδηγίες τουλάχιστον για τον τοµέα των κατασκευών, οι οδηγίες αυτές καταχωρήθηκαν ως αναλυτικά ρογράµµατα σε σχετικά ΦΕΚ. Οι διευκρινίσεις αυτές είναι α αραίτητες για να γίνει κατανοητό ότι ροτείνεται εκ νέου η χρησιµο οίηση των ίδιων οδηγιών ου καταχωρήθηκαν ως αναλυτικά ρογράµµατα.

3 «ιδακτέα ύλη των Μαθηµατικών των Α, Β και Γ Τάξεων του Ηµερήσιου ΕΠΑ.Λ. και των Α, Β, Γ και Τάξεων του Εσ ερινού ΕΠΑ.Λ., καθώς και διδακτική της διαχείριση, κατά το σχολικό έτος » Εισηγούµαι τη διδακτέα ύλη και τη διδακτική της διαχείριση των Μαθηµατικών του Ηµερήσιου και του Εσ ερινού ΕΠΑ.Λ. κατά το σχολικό έτος ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Α ΕΠΑ.Λ. Άλγεβρα Α ΕΠΑ.Λ. Σελ. Γεωµετρία Α ΕΠΑ.Λ. Σελ. 11 Β ΕΠΑ.Λ. Άλγεβρα Β ΕΠΑ.Λ. Σελ. 18 Γεωµετρία Β ΕΠΑ.Λ. Σελ. Μαθηµατικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης Σελ. 5 Γ ΕΠΑ.Λ. Μαθηµατικά Ι Γ ΕΠΑ.Λ. Σελ. 8 Μαθηµατικά ΙΙ Γ ΕΠΑ.Λ. Σελ. 3 Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής Σελ. 44 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΕΠΑ.Λ. Σελ. 58 ΗΜΕΡΗΣΙΟ ΕΠΑ.Λ. Α Τάξη Ηµερήσιου ΕΠΑ.Λ. Άλγεβρα Ι. Εισαγωγή Η Άλγεβρα Α Λυκείου, αλλά και Β Λυκείου εριέχει σηµαντικές έννοιες, ό ως της α όλυτης τιµής, της συνάρτησης και της ανίσωσης, των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων κλ, οι ο οίες είναι α αραίτητες για την µετέ ειτα µαθηµατική εξέλιξη των µαθητών. Ε ειδή οι µαθητές αντιµετω ίζουν σοβαρά ροβλήµατα στην κατανόηση των αρα άνω εννοιών, ροτείνεται να µην δοθεί βάρος σε θέµατα ου έχουν διδαχθεί στο Γυµνάσιο και να αφιερωθεί ερισσότερος χρόνος στην κατανόηση και εµ έδωση των νέων εννοιών µέσα α ό την ανά τυξη ολλα λών ανα αραστάσεων τους, καθώς και τη χρήση τους στην ε ίλυση ροβληµάτων. Για την καλύτερη διαχείριση της ύλης µεταφέρεται η Τριγωνοµετρία της Α Λυκείου στην αρχή της Β Λυκείου, ώστε να

4 ολοκληρώνεται µε µεγαλύτερη άνεση η διδασκαλία της ύλης της Α Λυκείου. ΙΙ. ιδακτέα ύλη Α ό το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Πα ασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β Εισαγωγικό κεφάλαιο Ε1 Το Λεξιλόγιο της Λογικής Ε Σύνολα Κεφ. 1 ο : Οι Πραγµατικοί Αριθµοί 1.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 1.. ιάταξη Πραγµατικών Αριθµών 1.3. Α όλυτη Τιµή Πραγµατικού Αριθµού 1.4. Ρίζες Πραγµατικών Αριθµών Κεφ. ο : Εξισώσεις.1. Εξισώσεις 1 ου Βαθµού.. ν Η Εξίσωση x = α.3. Εξισώσεις ου Βαθµού Κεφ. 3 ο : Ανισώσεις 3.1. Ανισώσεις 1 ου Βαθµού 3.. Ανισώσεις ου Βαθµού 3.3. Ανισώσεις Γινόµενο & Ανισώσεις Πηλίκο Κεφ. 4 ο : Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων 4.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 4.. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης f x = αx+ β 4.3. Η Συνάρτηση ( ) 4.4. Κατακόρυφη Οριζόντια Μετατό ιση Καµ ύλης 4.5. Μονοτονία Ακρότατα Συµµετρίες Συνάρτησης Κεφ. 5 ο : Μελέτη Βασικών Συναρτήσεων 5.1. Μελέτη της Συνάρτησης : f ( x) = αx 5.. Μελέτη της Συνάρτησης : f ( x) α = x f x = αx + βx+ γ 5.3. Μελέτη της Συνάρτησης : ( ) Κεφ. 6 ο : Γραµµικά Συστήµατα

5 6.1. Γραµµικά Συστήµατα (χωρίς την υ ο αράγραφο «Λύση διερεύνηση γραµµικού συστήµατος») 6.. Μη Γραµµικά Συστήµατα ΙΙΙ. ιαχείριση ιδακτέας ύλης Εισαγ. Κεφάλαιο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες.) Στο κεφάλαιο αυτό αρουσιάζονται τα α ολύτως α αραίτητα στοιχεία α ό τη µαθηµατική λογική και τη θεωρία των συνόλων. Το συγκεκριµένο κεφάλαιο, ως κεφάλαιο αναφοράς, δεν α οτελεί αυτοσκο ό και δεν συµ εριλαµβάνεται στην εξεταστέα ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου. Το εριεχόµενό του, όµως, για να γίνει κατανοητό ρέ ει να διαχέεται σε όλη την έκταση του βιβλίου. Ειδικότερα: Ε.1 (Προτείνεται να διατεθεί 1 διδακτική ώρα.) Στη αράγραφο αυτή αρουσιάζονται µερικές βασικές έννοιες της Λογικής, οι ο οίες θα χρησιµο οιηθούν στη συνέχεια, ό ου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύ ωση µαθηµατικών εννοιών, ροτάσεων κτλ. Τα αραδείγµατα ου χρησιµο οιούνται αναφέρονται σε έννοιες και ιδιότητες ου είναι γνωστές α ό το Γυµνάσιο. Ε. (Προτείνεται να διατεθεί 1 διδακτική ώρα.) Η αράγραφος αυτή είναι στο σύνολό της α ό ε ανάληψη των βασικών στοιχείων των συνόλων ου έχουν διδαχθεί στην Γ Γυµνασίου. Αν οι έννοιες ου ραγµατεύεται η αράγραφος αυτή δεν έχουν διδαχτεί όλες στην Γ Γυµνασίου, να διατεθούν συνολικά διδακτικές ώρες. Κεφάλαιο 1 ο (Προτείνεται να διατεθούν 1 διδακτικές ώρες.) Το κεφάλαιο αυτό α οτελείται κατά το µεγαλύτερο µέρος του α ό ε ανάληψη βασικών στοιχείων του αλγεβρικού λογισµού ου έχουν ήδη διδαχθεί στο Γυµνάσιο. Για το λόγο αυτό, και ροκειµένου να µην καθυστερήσει η διδασκαλία, ενδείκνυται η διεξαγωγή µιας διαγνωστικής δοκιµασίας µε ερωτήσεις αντικειµενικού τύ ου, ώστε ο διδάσκων να ροσδιορίσει τις ανάγκες της τάξης του και να ροσαρµόσει ανάλογα τη διδασκαλία του. Ειδικότερα: 1.1 (Προτείνεται να διατεθούν 4 διδακτικές ώρες.) Α) Να γίνει υ ενθύµιση µόνο των ιδιοτήτων δυνάµεων και των βασικών ταυτοτήτων και να δοθεί έµφαση στην α οδεικτική διαδικασία. Β) Να δοθεί ροτεραιότητα σε ασκήσεις ου συµ ληρώνουν τη θεωρία και ενισχύουν την κατανόηση των διδασκοµένων εννοιών. Γενικώς να διδάσκονται ε ιλεγµένες ασκήσεις µε συγκεκριµένο στόχο η καθεµία, ου θα τις ε εξεργάζεται µε ενεργητικό τρό ο ολόκληρη η τάξη (και όχι ολλές µε ένα ε ιφανειακό τρό ο). Να γίνουν κατά ροτεραιότητα οι ασκήσεις 3, 4 και 5 της Α Οµάδας και οι ασκήσεις 1, 4, 5, 6, και 7 της Β Οµάδας. 1. (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες.)

6 Α ό τις ιδιότητες της διάταξης στο σύνολο R των ραγµατικών αριθµών ν ν α οδεικνύεται µόνο η ιδιότητα των θετικών αριθµών α> β α > β και, µε ν ν τη βοήθειά της, η ισοδυναµία για θετικούς αριθµούς α= β α = β. Οι άλλες ιδιότητες ου αναφέρονται είναι γνωστές α ό το Γυµνάσιο και ροκύ τουν εύκολα α ό τον ορισµό της διάταξης και τον τρό ο εκτέλεσης των ράξεων µεταξύ των ραγµατικών αριθµών. Οι α οδείξεις των ιδιοτήτων αυτών, εφόσον το ε ιτρέ ει ο χρόνος και το ε ί εδο της τάξης, µ ορούν να δοθούν ως ασκήσεις. Ε ισηµαίνεται ότι η α όδειξη ανισοτήτων και γενικά η διαχείριση ανισοτικών σχέσεων είναι ιδιαίτερα δύσκολη και δεν ρέ ει ο διδάσκων να α αιτεί α ό τους µαθητές να αντιµετω ίσουν ασκήσεις ανώτερου ε ι έδου α ό τις εριεχόµενες στο σχολικό βιβλίο. Να γίνουν κατά ροτεραιότητα οι ασκήσεις της Α Οµάδας µε ροτεραιότητα στις 4, 5 και (Προτείνεται να διατεθούν 3 διδακτικές ώρες.) Για τη µελέτη της έννοιας της α όλυτης τιµής και των εφαρµογών της, ροκρίνεται κυρίως ο γεωµετρικός της ορισµός. Ο ορισµός αυτός λεονεκτεί του αλγεβρικού ορισµού, αφού αρέχει τη δυνατότητα ο τικο οίησης και συνε ώς κατανόησης των σχετικών ροβληµάτων µε α όλυτες τιµές, αλλά και εύκολα γενικεύεται σε χώρους µεγαλύτερης διάστασης ό ως στο ε ί εδο, στο χώρο των τριών διαστάσεων και γενικότερα σε ευκλείδειους χώρους διάστασης ν. Με βάση την αρα άνω ε ιλογή, η ε ίλυση εξισώσεων της µορφής x x0 = ρ και ανισώσεων της µορφής x x0 < ρ ή της µορφής x x0 > ρ, ό ου ρ> 0, γίνεται γεωµετρικά, δηλαδή µε τη βοήθεια του τύ ου της α όστασης δύο ραγµατικών αριθµών (ό ως γίνεται µε την ανίσωση x 3 < και την ανίσωση x 3 >, σελ ), χωρίς όµως να α αιτείται α οµνηµόνευση των ισοδυναµιών: x x0 < ρ x0 ρ< x< x0+ ρ και x x0 > ρ x< x0 ρ ή x> x0+ ρ των σελίδων Ε ι λέον, η διδασκαλία της α όλυτης τιµής δεν ρέ ει σε καµιά ερί τωση να ξε ερνάει το βάθος και την έκταση όσων αναφέρονται στο βιβλίο ή να καθυστερήσει µε διανοµή στους µαθητές δύσκολων και εξεζητηµένων ασκήσεων. Να γίνουν κατά ροτεραιότητα οι ασκήσεις της Α Οµάδας (ιδιαίτερα η άσκηση 7) και η άσκηση 5 της Β Οµάδας. 1.4 (Προτείνεται να διατεθούν 3 διδακτικές ώρες.) Η ν-οστή ρίζα ενός µη αρνητικού αριθµού ροκύ τει ως µια φυσιολογική γενίκευση της έννοιας της τετραγωνικής ρίζας αριθµού. Οι τρεις ιδιότητες- ορίσµατα των ριζών ου εριέχονται στο σχόλιο της σελίδας 47 µ ορούν να αντιµετω ιστούν α ό τους ίδιους τους µαθητές στην τάξη ως ασκήσεις. Για λόγους ληρότητας και διευκόλυνσης του ολλα λασιασµού και της διαίρεσης µε ριζικά εισάγεται και η έννοια της δύναµης µε ρητό εκθέτη. Κατά τη διδασκαλία της αραγράφου αυτής να δίνεται, έµφαση στην εννοιολογική κατανόηση µε τα αραδείγµατα ου ο καθηγητής θεωρεί ότι θα εξυ ηρετήσουν αυτό το σκο ό. Στο λαίσιο αυτό να γίνει ε ιλογή των κατάλληλων ερωτήσεων κατανόησης α ό το διδάσκοντα. Α ό τις ασκήσεις να γίνουν κατά ροτεραιότητα οι ασκήσεις της Α Οµάδας και η 5 της Β Οµάδας.

7 Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν 7 διδακτικές ώρες.) Στο κεφάλαιο αυτό ε ιλύονται βασικά εξισώσεις ρώτου και δευτέρου βαθµού. Οι εξισώσεις αυτές και η ε ίλυση τους είναι ήδη γνωστές α ό το Γυµνάσιο, αλλά εδώ εξετάζονται στη γενική τους µορφή. Ε ι λέον ε ιλύονται εξισώσεις ου ανάγονται σε εξισώσεις ρώτου και δευτέρου βαθµού, ό ως είναι οι εξισώσεις µε α όλυτες τιµές και οι διτετράγωνες εξισώσεις, χωρίς όµως να α οτελούν ξεχωριστή ενότητα. Ως ιδιαίτερη ν ερί τωση εξετάζεται η εξίσωση x = α, της ο οίας η λογική και η τεχνική ε ίλυσης διαφορο οιείται α ό τις εξισώσεις ρώτου και δευτέρου βαθµού. Ειδικότερα:.1 (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες.) Να δοθεί έµφαση στη γενική ε ίλυση της ρωτοβάθµιας, σε ροβλήµατα ου λύνονται µε ρωτοβάθµιες και σε α λές αραµετρικές εξισώσεις (το αράδειγµα και οι ασκήσεις του βιβλίου). Προτείνεται να γίνουν κατά ροτεραιότητα οι ασκήσεις Α Οµάδας και οι 1, 3 και 4 της Β Οµάδας. Η διατύ ωση για την κατανόηση της αραµετρικής εξίσωσης µ ορεί να γίνει.χ. για την άσκηση 3i) της Α Οµάδας ως εξής: «Ποια είναι η λύση της εξίσωσης α) αν λ=1; β) αν λ=0; γ) αν λ= κτλ, δ) τι συµ έρασµα βγάζετε; Μ ορείτε να το γενικεύσετε;» Αυτό θα διευκολύνει το µαθητή να κατανοήσει το ρόλο της αραµέτρου και τη διάκρισή της α ό τον άγνωστο. Στην άσκηση 10 της Α Οµάδας φαίνεται η δυνατότητα ε ίλυσης εξισώσεων µε αναγωγή τους σε ρωτοβάθµιες µε κατάλληλη αραγοντο οίηση και εφαρµογή της ιδιότητας α β= 0 α= 0ή β= 0.. (Προτείνεται να διατεθεί 1 διδακτική ώρα.) ν Η ε ίλυση εξισώσεων της µορφής x = α θα εριοριστεί σε α λές εξισώσεις Α οµάδας..3 (Προτείνεται να διατεθούν 3 διδακτικές ώρες.) Η εξίσωση ου βαθµού έχει διδαχθεί στο Γυµνάσιο. Εδώ ε ιλύεται στη γενική της µορφή. Στόχος είναι η αναγωγή της ε ίλυσής της σε εξισώσεις 1ου βαθµού και αυτό γίνεται µε τη µέθοδο «συµ λήρωσης τετραγώνου». Α ό την ε ίλυσή της ροκύ τει µε φυσικό τρό ο ο ίνακας διερεύνησης της µε βάση τη διακρίνουσα. Αν αυτό γίνει κατανοητό α ό τους µαθητές, δεν θα έχουν διαδικαστικές ή εννοιολογικές δυσκολίες στην ε ίλυση των ασκήσεων και των ροβληµάτων. Συνε ώς, ρέ ει να δοθεί έµφαση σε ασκήσεις ου ενισχύουν τη νέα γνώση, στις διτετράγωνες εξισώσεις και στις εξισώσεις µε α όλυτο ου ανάγονται σε εξισώσεις ου βαθµού ( αράδειγµα 1 και 3). Προτείνεται να γίνουν κατά ροτεραιότητα οι ασκήσεις 3, 4, 6, 7, 10, 11, 1, 14 και 15 της Α Οµάδας και οι 7, 8 και 9 της Β Οµάδας. Κεφάλαιο 3 ο (Προτείνεται να διατεθούν 7 διδακτικές ώρες.) Στο κεφάλαιο αυτό ε ιλύονται ανισώσεις 1ου και ου βαθµού. Ανισώσεις 1ου βαθµού έχουν ε ιλυθεί και στο Γυµνάσιο, αλλά εδώ ε ιλύονται και α λές ανισώσεις µε α όλυτες τιµές ου η ε ίλυσή τους ανάγεται σε ανισώσεις 1ου βαθµού. Για ρώτη φορά όµως ε ιλύονται ανισώσεις δευτέρου βαθµού καθώς και ανισώσεις ου η ε ίλυσή τους ανάγεται σε ανισώσεις ου βαθµού. Η

8 ε ίλυση ανισώσεων ου βαθµού στηρίζεται στις µορφές και στο ρόσηµο του τριωνύµου. Στο κεφάλαιο αυτό η διερεύνηση του ροσήµου του τριωνύµου γίνεται αλγεβρικά Όµως στο 5ο κεφάλαιο θα γίνει και γραφική ερµηνεία των σχετικών συµ ερασµάτων µε τη βοήθεια της µελέτης της συνάρτησης f ( x) = αx + βx+ γ. Ειδικότερα: 3.1 (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες.) Για τις λύσεις µιας ανίσωσης 1ου βαθµού ε ισηµαίνεται ότι είναι χρήσιµη η αράστασή τους άνω στον άξονα των ραγµατικών αριθµών, διότι µε τον τρό ο αυτό οι µαθητές κατανοούν ότι οι λύσεις µιας ανίσωσης είναι διάστηµα ή ένωση διαστηµάτων, αλλά και ροσδιορίζουν µε ευκολία τις κοινές λύσεις δυο ανισώσεων. Η ε ίλυση των ανισώσεων µε α όλυτες τιµές να εριοριστεί σε α λές ανισώσεις και να στηρίζεται κυρίως στον ορισµό και στη γεωµετρική ερµηνεία της α όλυτης τιµής. 3. (Προτείνεται να διατεθούν 3 διδακτικές ώρες.) Είναι γνωστές α ό την έρευνα οι δυσκολίες ου αντιµετω ίζουν οι µαθητές στις ανισώσεις. Για την ε ίλυση των ανισώσεων ου βαθµού το κλειδί βρίσκεται στο ρόσηµο των τιµών του τριωνύµου. Οι µαθητές ρέ ει να κατανοήσουν τη διαδικασία του µετασχηµατισµού του τριωνύµου στις διάφορες µορφές του, ανάλογα µε τη διακρίνουσα και την εξέταση του ροσήµου του και να µην α οστηθίσουν α λά τους αντίστοιχους ίνακες. Στο 5 ο κεφάλαιο θα γίνει και γραφική ερµηνεία των σχετικών συµ ερασµάτων µε τη βοήθεια της µελέτης της συνάρτησης f ( x) = αx + βx+ γ. Η εισαγωγή στις δευτεροβάθµιες ανισώσεις µ ορεί να γίνει ως εξής: ίνουµε στους µαθητές να λύσουν τις ανισώσεις: x 4x+ 3< 0 και x 4x+ 3> 0 Θα δια ιστώσουν ότι η µέθοδος ε ίλυσης των ρωτοβάθµιων ανισώσεων είναι ανε αρκής και θα ρέ ει να αναζητηθεί µια νέα µέθοδος για την ε ίλυση των δευτεροβάθµιων ανισώσεων. Για να βοηθηθούν οι µαθητές να λύσουν τις ανισώσεις αυτές ροτείνουµε να ακολουθήσουν τα ε όµενα βήµατα: 1 ο Να αραγοντο οιήσουν το τριώνυµο x 4x+ 3. ο Αφού α οδείξουν ότι το τριώνυµο x 4x+ 3 αίρνει τη µορφή x 4x+ 3 = ( x 1) ( x 3), να βρουν ότε το γινόµενο ( x 1) ( x 3) είναι θετικό και ότε είναι αρνητικό και 3 ο Τέλος να βρουν τις λύσεις των ανισώσεων x 4x+ 3< 0 και x 4x+ 3> 0. Προτείνεται να δοθούν ρος λύση κατά ροτεραιότητα οι ασκήσεις της Α Οµάδας και οι 4 και 7 της Β Οµάδας. 3.3 (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες.) A( x) Η ε ίλυση των ανισώσεων της µορφής A( x) B( x) > 0 και 0 B( x ) > είναι εφαρµογή του κανόνα των ροσήµων και της ε ίλυσης ανισώσεων 1ου και ου βαθµού. Σε καµιά ερί τωση δεν ρέ ει να καθυστερήσει η διδασκαλία για την ε ίλυση εξεζητηµένων ανισώσεων Αντίθετα, ρέ ει να ε ιδιωχθεί να ε εξεργαστούν οι µαθητές όλα τα ροτεινόµενα ροβλήµατα στο βιβλίο. Να

9 γίνουν, κατά ροτεραιότητα, οι ασκήσεις Α Οµάδας και µόνο οι ασκήσεις 1, 5 και 6 της Β Οµάδας. Α ό τις ερωτήσεις κατανόησης, να γίνει ε ιλογή α ό τον διδάσκοντα και να συζητηθεί κατά ροτεραιότητα η IV. Κεφάλαιο 4 ο (Προτείνεται να διατεθούν 9 διδακτικές ώρες.) Το κεφάλαιο αυτό αναφέρεται στις συναρτήσεις. Υ άρχουν ολλοί και σηµαντικοί λόγοι για τους ο οίους η έννοια της συνάρτησης συµ εριλαµβάνεται στα αναλυτικά ρογράµµατα σ ουδών της µέσης εκ αίδευσης, αφού η συνάρτηση: Είναι µια α ό τις ιο θεµελιώδεις έννοιες της µαθηµατικής ε ιστήµης. Είναι ένας συνδετικός ενο οιητικός αράγοντας όλων σχεδόν των άλλων εννοιών του αναλυτικού ρογράµµατος ( ράξεις, εξισώσεις, ανισώσεις, τύ οι, µετασχηµατισµοί, ακολουθίες, ιθανότητες, συναρτήσεις κτλ.) Χρησιµο οιείται ως όχηµα για τη διασαφήνιση της µαθηµατικής σκέψης και της µαθηµατικής αιτιολόγησης, αλλά και ως ένα ισχυρό εργαλείο για την α όδειξη ροτάσεων και τέλος Είναι µέσον για την ανα αράσταση, την εριγραφή και τη µοντελο οίηση φαινοµένων και ραγµατικών καταστάσεων. Ειδικότερα: 4.1 (Προτείνεται να διατεθεί 1 διδακτική ώρα.) Οι µαθητές της Α Λυκείου, έχοντας γνωρίσει στο Γυµνάσιο συγκεκριµένες συναρτήσεις, είναι λέον σε θέση να κατανοήσουν βαθύτερα τον ορισµό της συνάρτησης και στη συνέχεια να εξετάσουν ειδικές ερι τώσεις συναρτήσεων. Υ άρχουν διάφοροι συµβολισµοί της συνάρτησης και είναι σηµαντικό για τους µαθητές να χρησιµο οιούν µε άνεση τους διάφορους συµβολισµούς της και να µην εριορίζονται σε έναν εξ αυτών. Σε αντίθετη ερί τωση, µαθητές ου συνδέουν τη συνάρτηση µε µια µόνο µορφή της, αδυνατούν να έχουν ε αρκή εννοιολογική κατανόηση της έννοιας. Άλλωστε, ο καθένας α ό τους διάφορους τρό ους συµβολισµού µιας συνάρτησης ερµηνεύει καλύτερα µια συγκεκριµένη ανα αράσταση της. Έτσι για αράδειγµα: Ο συµβολισµός f : x x + 1 συνδέεται ερισσότερο µε την έννοια της αντιστοίχισης, Ο συµβολισµός f ( x) = x + 1 αναδεικνύει ερισσότερο τη φύση της συναρτησιακής σχέσης, Ο συµβολισµός y= x + 1 υ οστηρίζει ερισσότερο τη γραφική της αράσταση στο ε ί εδο. 4. (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες.) Για τη γραφική αράσταση συνάρτησης ε ισηµαίνεται ότι τα σχετικά µε τις καρτεσιανές συντεταγµένες έχουν ε αναλη τικό χαρακτήρα, αφού οι µαθητές τα έχουν διδαχθεί και στο Γυµνάσιο. Έχει όµως µεγάλη σηµασία να κατανοήσουν οι µαθητές τον τύ ο της α όστασης δυο σηµείων ως έκφραση του Πυθαγόρειου Θεωρήµατος µε τη βοήθεια των συντεταγµένων, αφού έτσι γίνεται φανερή η διασύνδεση της Άλγεβρας µε τη Γεωµετρία και καθίσταται δυνατή η αναλυτική µελέτη σχηµάτων. Να διδαχθεί η εφαρµογή της σελίδας 108, διότι εριέχει σηµαντικά στοιχεία ό ως: ερµηνεία γραφικής αράστασης, σύνδεση αλγεβρικών και γραφικών µεθόδων και σύνδεση µε εξίσωση και ανίσωση (µε διαφορετική διατύ ωση ερωτηµάτων). Προτείνεται κατά ροτεραιότητα να γίνουν οι ασκήσεις 8, 9 και 10 της Α Οµάδας. Να σχεδιαστούν, αν είναι δυνατόν µε χρήση λογισµικού οι

10 γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων αυτών για να γίνει σύνδεση µεταξύ ανα αραστάσεων και να φανεί η συµ ληρωµατικότητά τους. 4.3 (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες.) Η συνάρτηση f ( x) = αx+ β αρουσιάζεται στη θέση αυτή κυρίως για διδακτικούς λόγους, αφού στη συνέχεια χρησιµο οιείται για την αρουσίαση άλλων συναρτήσεων. Άλλωστε οι µαθητές την έχουν γνωρίσει στο Γυµνάσιο και εδώ η διδασκαλία της έχει ε αναλη τικό χαρακτήρα. Για την ανάδειξη του ρόλου των αραµέτρων α και β στη γραφική αράσταση της f ( x) = αx+ β ενδείκνυται στη διδασκαλία η χρησιµο οίηση δυναµικών λογισµικών ρογραµµάτων (ό ως για αράδειγµα είναι το GeoGebra, το Geometer s Sketchpad κτλ.). Τονίζεται ότι στην τάξη αυτή η µελέτη της ευθείας δεν γίνεται α ό τη σκο ιά της Αναλυτικής Γεωµετρίας και ε οµένως οι ασκήσεις ου θα δίνονται στους µαθητές για ε εξεργασία θα είναι µέσα στο νεύµα του σχολικού βιβλίου. Να δοθεί έµφαση σε ροβλήµατα ό ου αναδεικνύεται η αξία και η χρησιµότητα των µαθηµατικών. Να γίνουν κατά ροτεραιότητα οι ασκήσεις 5, 6, 7, και 8 της Α Οµάδας και να δοθεί έµφαση στις ασκήσεις ( ροβλήµατα) της Β Οµάδας. 4.4 (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες.) Για την αρουσίαση της κατακόρυφης και της οριζόντιας µετατό ισης µιας καµ ύλης έχει ε ιλεγεί η συνάρτηση της α όλυτης τιµής f ( x) = x, της ο οίας η γραφική αράσταση κατασκευάζεται µε ευκολία α ό τους µαθητές. Ε ισηµαίνεται ότι εδώ έχουµε µεταφορά καµ ύλης και όχι µεταφορά αξόνων. 4.5 (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες.) Η τελευταία αράγραφος του 4ου κεφαλαίου αναφέρεται λέον στις οιοτικές ιδιότητες της µονοτονίας και των ακροτάτων µιας συνάρτησης, καθώς και των συµµετριών της γραφικής της αράστασης. Στη διδασκαλία θα ροηγείται η ε ο τική αρουσίαση της κάθε ιδιότητας µε τη βοήθεια γραφικών αραστάσεων, θα ακολουθεί η λεκτική της ερµηνεία και τέλος θα δίνεται ο συµβολικός της ορισµός. Να ε ισηµανθεί στους µαθητές ότι στη µονοτονία µιας συνάρτησης f σε ένα διάστηµα εξετάζουµε τις τιµές του f(x), καθώς το x κινείται στο «α ό αριστερά ρος τα δεξιά». Κεφάλαιο 5 ο (Προτείνεται να διατεθούν 7 διδακτικές ώρες.) Στο κεφάλαιο αυτό αξιο οιείται το εριεχόµενο του 4ου κεφαλαίου για τη µελέτη συγκεκριµένων συναρτήσεων και κυρίως των συναρτήσεων: α y= ax, y= και y= ax + βx+ γ. x Πιο συγκεκριµένα, για τη µελέτη της συνάρτησης y= ax αξιο οιείται το α γεγονός ότι είναι άρτια, ενώ για την y= ότι είναι εριττή. Έτσι οι x 0 + 0, + συναρτήσεις αυτές µελετώνται κατ αρχήν στο διάστηµα [, ) και ( )

11 αντιστοίχως και, στη συνέχεια, εξάγουµε εύκολα τα συµ εράσµατα για τη 0, 0 αντιστοίχως. συµ εριφορά τους στο (, ] και ( ) Η µελέτη της συνάρτησης y= ax + βx+ γ α οτελεί το γενικότερο και τελικό στόχο του 5ου κεφαλαίου, αφού αυτό α αιτεί τη χρησιµο οίηση και αξιο οίηση όλων σχεδόν των γνώσεων ερί συναρτήσεων ου έχουν µέχρι τώρα στη διάθεσή τους οι µαθητές. Στην διδασκαλία κάθε αραγράφου θα ροηγηθούν αραδείγµατα µελέτης συναρτήσεων µε συγκεκριµένους συντελεστές και ύστερα θα ακολουθήσει η µελέτη της κάθε συνάρτησης στη γενική της µορφή. ιαφορετικά η διδασκαλία κινδυνεύει να οδηγήσει τους µαθητές σε α λή α οµνηµόνευση των σχετικών ινάκων συµ ερασµάτων για εργαλειακή ε εξεργασία των ασκήσεων, χωρίς όµως αράλληλη εννοιολογική κατανόηση του εριεχοµένου. Σε καµιά ερί τωση δεν ρέ ει να καθυστερήσει η διδασκαλία για την ε ίλυση εξεζητηµένων ασκήσεων, ρέ ει όµως να ε ιδιωχθεί να ε εξεργαστούν οι µαθητές όλα τα ροτεινόµενα ροβλήµατα στο βιβλίο. Ειδικότερα: 5.1 (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες.) Πολλά στοιχεία έχουν διδαχθεί στο γυµνάσιο, να δοθεί έµφαση στα νέα στοιχεία. Να γίνει, αν είναι δυνατόν και χρήση λογισµικού. Να λυθούν ο ωσδή οτε η άσκηση 4 της Α Οµάδας και η άσκηση 3 της Β Οµάδας. 5. (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες.) Πολλά στοιχεία έχουν διδαχθεί στο γυµνάσιο, να δοθεί έµφαση στα νέα στοιχεία. Να γίνει, αν είναι δυνατόν και χρήση λογισµικού. Να λυθούν κατά ροτεραιότητα οι ασκήσεις 4, 5 και 6 της Α Οµάδας. 5.3 (Προτείνεται να διατεθούν 3 διδακτικές ώρες.) Πολλά στοιχεία έχουν διδαχθεί στο γυµνάσιο, να δοθεί έµφαση στα νέα στοιχεία. Να γίνει, αν είναι δυνατόν και χρήση λογισµικού. Να λυθούν κατά ροτεραιότητα οι ασκήσεις 3, και 4 της Α Οµάδας, τα ροβλήµατα της Β Οµάδας και η ερώτηση κατανόησης IV. Κεφάλαιο 6 ο (Προτείνεται να διατεθούν 4 διδακτικές ώρες.) Στο κεφάλαιο αυτό ε ιλύονται γραµµικά συστήµατα x, γραµµικά συστήµατα 3x3, καθώς και µη γραµµικά συστήµατα. Η ε ίλυση γραµµικών συστηµάτων x έχει ε αναλη τικό χαρακτήρα, αφού οι µαθητές τα έχουν διδαχθεί στο Γυµνάσιο. Στο βιβλίο ροστίθεται η διαδικασία της διερεύνησης ενός τέτοιου συστήµατος µε τη βοήθεια των οριζουσών x, αλλά η υ ο αράγραφος αυτή εξαιρείται της διδακτέας ύλης. Τα γραµµικά συστήµατα 3x3 δεν εξετάζονται ως ιδιαίτερη ενότητα, αφού η ε ίλυσή τους έχει εριοριστεί στη µέθοδο της αντικατάστασης ου είναι µια φυσιολογική ε έκταση της µεθόδου ου γνώρισαν οι µαθητές στα συστήµατα x. Η ε ίλυση µη γραµµικών συστηµάτων εριορίζεται σε συστήµατα µε δυο εξισώσεις ου είναι το ολύ ου βαθµού. Η θέση του κεφαλαίου των συστηµάτων ε ιλέχτηκε σκό ιµα να ακολουθεί το κεφάλαιο των συναρτήσεων, ροκειµένου να αξιο οιηθούν οι γραφικές αραστάσεις στην ερµηνεία των λύσεων τους και στην κατανόηση της διερεύνησης τους.

12 Τα γραµµικά συστήµατα είναι κλάδος της Γραµµικής Άλγεβρας και κατέχουν σηµαντική θέση στα αναλυτικά ρογράµµατα σ ουδών των διαφόρων χωρών, αφού Ε ιλύουν σηµαντικά ροβλήµατα όχι µόνο των Μαθηµατικών, αλλά και των άλλων ε ιστηµών ό ως της Φυσικής, της Χηµείας, της Πληροφορικής, της Οικονοµίας κτλ. Στα Μαθηµατικά η Θεωρία των Γραµµικών Συστηµάτων α οτελεί ένα α ό τα θεµέλια των συγχρόνων Μαθηµατικών. Οι υ ολογιστικοί αλγόριθµοι για την ανεύρεση λύσεων είναι ένα σηµαντικό τµήµα της αριθµητικής γραµµικής άλγεβρας. Ένα σύστηµα µη γραµµικών εξισώσεων µ ορεί συχνά να ροσεγγιστεί µε ένα γραµµικό σύστηµα. Βοηθάνε στη µαθηµατική µοντελο οίηση ή στις ροσοµοιώσεις ενός σχετικά σύνθετου συστήµατος. Σε καµιά ερί τωση δεν ρέ ει να καθυστερήσει η διδασκαλία µε την ε ίλυση συστηµάτων µορφής εκτός αυτών ου εριέχει το βιβλίο. Αντίθετα, ρέ ει να ε ιδιωχθεί οι µαθητές να ε εξεργαστούν όλα τα ροτεινόµενα ροβλήµατα. Ειδικότερα: 6.1 (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες.) Να γίνει σύντοµη ε ανάληψη των συστηµάτων x και στη συνέχεια να λυθούν τα συστήµατα 3 3 και οι αντίστοιχες ασκήσεις. 6. (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες.) Να δοθεί έµφαση στη γραφική ε ίλυση και να υ οστηριχθεί µε λογισµικό. Να ζητείται ρώτα γραφικά µια εκτίµηση της λύσης και µετά να υ ολογίζεται και αλγεβρικά. Ι. ιδακτέα ύλη Γεωµετρία Α ό το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωµετρία Α και Β Γενικού Λυκείου» των Αργυρό ουλου Η., Βλάµου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη Σ. και Σιδέρη Π., έκδοση Ο.Ε..Β Κεφ. 1 ο : Εισαγωγή στην Ευκλείδεια Γεωµετρία 1.1 Το αντικείµενο της Ευκλείδειας Γεωµετρίας 1. Ιστορική αναδροµή στη γένεση και ανά τυξη της Γεωµετρίας Κεφ. 3 ο : Τρίγωνα 3.1 Είδη και στοιχεία τριγώνων 3. 1o Κριτήριο ισότητας τριγώνων (χωρίς την α όδειξη του θεωρήµατος) 3.3 o Κριτήριο ισότητας τριγώνων (χωρίς την α όδειξη του θεωρήµατος) 3.4 3o Κριτήριο ισότητας τριγώνων (χωρίς την α όδειξη του θεωρήµατος)

13 3.5 Ύ αρξη και µοναδικότητα καθέτου (χωρίς την α όδειξη του θεωρήµατος) 3.6 Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων (χωρίς τις α οδείξεις των θεωρηµάτων I και II) 3.7 Κύκλος - Μεσοκάθετος ιχοτόµος 3.8 Κεντρική συµµετρία 3.9 Αξονική συµµετρία 3.10 Σχέση εξωτερικής και α έναντι γωνίας (χωρίς την α όδειξη του θεωρήµατος) 3.11 Ανισοτικές σχέσεις λευρών και γωνιών 3.1 Τριγωνική ανισότητα (χωρίς την α όδειξη του θεωρήµατος και την εφαρµογή 4) 3.13 Κάθετες και λάγιες (χωρίς τις α οδείξεις του θεωρήµατος II) 3.14 Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου (χωρίς την α όδειξη του θεωρήµατος) 3.15 Εφα τόµενα τµήµατα 3.16 Σχετικές θέσεις δύο κύκλων 3.17 Α λές γεωµετρικές κατασκευές 3.18 Βασικές κατασκευές τριγώνων Κεφ. 4 Ο : Παράλληλες ευθείες 4.1 Εισαγωγή 4. Τέµνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτηµα (χωρίς την α όδειξη της ρότασης iv) 4.3 Κατασκευή αράλληλης ευθείας 4.4 Γωνίες µε λευρές αράλληλες 4.5 Αξιοσηµείωτοι κύκλοι τριγώνου (χωρίς την εφαρµογή) 4.6 Άθροισµα γωνιών τριγώνου 4.7 Γωνίες µε λευρές κάθετες 4.8 Άθροισµα γωνιών κυρτού ν-γώνου Κεφ. 5 Ο : Παραλληλόγραµµα Τρα έζια 5.1 Εισαγωγή 5. Παραλληλόγραµµα 5.3 Ορθογώνιο 5.4 Ρόµβος 5.5 Τετράγωνο 5.6 Εφαρµογές στα τρίγωνα 5.7 Βαρύκεντρο τριγώνου 5.8 Το ορθόκεντρο τριγώνου (χωρίς την α όδειξη του θεωρήµατος) 5.9 Μια ιδιότητα του ορθογωνίου τριγώνου 5.10 Τρα έζιο 5.11 Ισοσκελές τρα έζιο 5.1 Αξιοσηµείωτες ευθείες και κύκλοι τριγώνου Κεφ. 6 Ο : Εγγεγραµµένα σχήµατα 6.1 Εισαγωγικά Ορισµοί 6. Σχέση εγγεγραµµένης και αντίστοιχης ε ίκεντρης (χωρίς την ερί τωση ii στην α όδειξη του θεωρήµατος) 6.3 Γωνία χορδής και εφα τοµένης (χωρίς την εφαρµογή 1)

14 Κεφ. 7 Ο : Αναλογίες 7.1 Εισαγωγή 7. ιαίρεση ευθύγραµµου τµήµατος σε ν ίσα µέρη 7.3 Γινόµενο ευθύγραµµου τµήµατος µε αριθµό Λόγος ευθύγραµµων τµηµάτων 7.4 Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αναλογίες 7.5 Μήκος ευθύγραµµου τµήµατος 7.6 ιαίρεση τµηµάτων εσωτερικά και εξωτερικά ως ρος δοσµένο λόγο 7.7 Θεώρηµα του Θαλή (χωρίς την α όδειξη του θεωρήµατος) 7.8 Θεωρήµατα των διχοτόµων τριγώνου Κεφ. 8 Ο : Οµοιότητα 8.1 Όµοια ευθύγραµµα σχήµατα 8. Κριτήρια οµοιότητας (χωρίς τις α οδείξεις των θεωρηµάτων ΙΙ και III και τις εφαρµογές 1 και ) ΙΙ. ιαχείριση διδακτέας ύλης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Προτείνεται να γίνει αναφορά στις ελλείψεις της ρακτικής Γεωµετρίας και την ανάγκη της θεωρητικής Γεωµετρίας. Για αράδειγµα µ ορεί να συζητηθεί η έλλειψη ακρίβειας στα α οτελέσµατα µέσω της µέτρησης των γωνιών ενός τριγώνου α ό τους µαθητές ώστε να δια ιστωθεί ότι κά οιοι δεν βρίσκουν ακριβώς 180 µοίρες και η ανάγκη να α αντηθούν µε βεβαιότητα ερωτήµατα ό ως γιατί α ό κάθε σηµείο ευθείας άγεται µοναδική κάθετος ρος την ευθεία αυτή. Να αναφερθούν οι ρωταρχικές έννοιες και τα αξιώµατα αιτήµατα. Προτείνεται να αφιερωθεί 1 ώρα. ΚΕΦΑΛΑΙΟ Να αραλειφθεί ε ειδή α οτελεί ε ανάληψη γνώσεων του Γυµνασίου. Αν, κατά την κρίση του διδάσκοντος, το ε ί εδο της τάξης α αιτεί να ε αναληφθούν ορισµένα σηµεία αυτού του κεφαλαίου µ ορεί να αφιερώσει 1- ώρες για αυτή την ε ανάληψη. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Παράγραφοι ( ροτείνεται να διατεθούν 5 ώρες): Το εριεχόµενο αυτών των αραγράφων έχει αρκετές οµοιότητες µε την ύλη της Γ Γυµνασίου. Προτείνεται να διδαχθούν όλα τα κριτήρια µαζί και µετά τα ορίσµατα ου ροκύ τουν α ό αυτά. Η α όδειξη

15 του κριτηρίου 1 µ ορεί να αραλειφθεί γιατί έχει διδαχθεί ακριβώς η ίδια στην Γ Γυµνασίου. Οι α οδείξεις των κριτηρίων και 3 ροτείνεται να διδαχθούν για να κατανοήσουν οι µαθητές τη διαφορά της θεωρητικής α όδειξης α ό την ρακτική α όδειξη αυτών των κριτηρίων ου είδαν στην Γ Γυµνασίου. Ε ίσης η α όδειξη του ου κριτηρίου γίνεται µε την εις άτο ον α αγωγή ου είναι βασική α οδεικτική µέθοδος. Στο 1ο κριτήριο ροτείνεται να τονιστεί η αναγκαιότητα της υ όθεσης να είναι οι ίσες γωνίες εριεχόµενες στις ίσες λευρές µε τη χρήση κατάλληλου αντι αραδείγµατος. Τα ορίσµατα 1 σελ. 37, 1 σελ. 40 και το 1 σελ. 45 (α ό ε όµενες αραγράφους) είναι τα ίδια (το ύψος, η διάµεσος και η διχοτόµος ου άγονται α ό την κορυφή ενός ισοσκελούς τριγώνου συµ ί τουν). Γι αυτό µ ορούν να διδαχθούν ως ένα όρισµα. Το όρισµα σελ. 37 οι µαθητές θα το συναντήσουν στην αράγραφο 4.6 όρισµα 4 σε λήρη µορφή και άρα µ ορεί να µην αναφερθεί. Το όρισµα 3 σελ. 37 να συνδυαστεί µε το όρισµα σελ. 40, το ο οίο είναι ο αντίστροφος ισχυρισµός, και να διατυ ωθεί µε ενιαίο τρό ο ώστε να αναδειχθεί η διαδικασία α όδειξης ισοδυναµιών στη Γεωµετρία. Οµοίως για τα ορίσµατα 4 σελ. 37 και 3 και 4 σελ. 41. Για τις ασκήσεις ροτείνεται να δοθεί ροτεραιότητα στην 3 σελ. 38, στην ερώτηση κατανόησης 1 σελ. 43, στις ασκήσεις εµ έδωσης και 3 σελ. 43 (στην 3 µ ορεί να σχολιαστεί ότι το τετρά λευρο είναι αραλληλόγραµµο κεφ. 5) και στις α οδεικτικές ασκήσεις 1 και 3 σελ. 43 (στην 3 µ ορεί να αναφερθεί το σχόλιο σελ.38). Παράγραφοι 3.5, 3.6 ( ροτείνεται να διατεθούν 5 ώρες): Να διδαχθούν όλα τα θεωρήµατα και τα ορίσµατα των αραγράφων 3.5 και 3.6 µε τις α οδείξεις τους, εκτός α ό το όρισµα 1 σελ. 45 το ο οίο θα διδαχθεί στην αράγραφο 3.4 ό ως αναφέρεται αρα άνω. Να δοθεί βάρος στις α οδεικτικές ασκήσεις. Να µη διδαχθούν τα σύνθετα θέµατα, σελ. 48. Παράγραφοι ( ροτείνεται να διατεθεί 1 ώρα): Η έννοια του γεωµετρικού τό ου είναι βασική για τη θεωρητική Γεωµετρία, αλλά και για την κατεύθυνση της Β Λυκείου. Μαζί µε τους βασικούς γεωµετρικούς τό ους της αραγράφου, να διδαχθεί το λυµένο αράδειγµα της 3.7 και το σχόλιο της σελ. 50 ου ροετοιµάζει για τις γεωµετρικές κατασκευές και δείχνει το σκε τικό εύρεσης ενός γεωµετρικού τό ου, καθώς και η ερώτηση κατανόησης 1, σελ.50. Οι αράγραφοι 3.8 και 3.9 ου αναφέρονται στη συµµετρία, είναι θέµα ου οι µαθητές έχουν αντιµετω ίσει διεξοδικά στο Γυµνάσιο. Ε ίσης, το συµµετρικό ενός σηµείου ως ρος ευθεία ου χρειάζεται στη Β Λυκείου έχει διδαχθεί στην αράγραφο.14 (ερώτηση κατανόησης 1 σελ. 0). Αρκεί µια σύντοµη υ ενθύµιση των βασικών σηµείων της θεωρίας και αν υ άρξει χρόνος να λυθεί η άσκηση 5 ου συνδέεται µε τους γεωµετρικούς τό ους. Εναλλακτικά, θα µ ορούσαν οι αράγραφοι αυτές να µην αναφερθούν και να διατεθεί ολόκληρη η διδακτική ώρα στους γεωµετρικούς τό ους. Παράγραφοι ( ροτείνεται να διατεθούν 3 ώρες): Οι ανισοτικές σχέσεις είναι ένα κεφάλαιο ου οι µαθητές δεν έχουν συναντήσει υ ό αυτή τη µορφή στο Γυµνάσιο. Το θεώρηµα της 3.10 (µε α όδειξη εκτός ύλης) χρειάζεται για την α όδειξη του θεωρήµατος της 4. ου εξασφαλίζει την ύ αρξη αραλλήλων ευθειών. Με την α όδειξη του θεωρήµατος της 3.11, αφενός οι µαθητές έρχονται σε

16 ε αφή µε τη µοναδική εντός ύλης α όδειξη στις ανισοτικές σχέσεις και αφετέρου µέσα α ό το αντίστροφο, το όρισµα της 3.11 και το όρισµα 1 της σελίδας 37 ου έχουν διδαχθεί, συγκεντρώνονται οι ιδιότητες του ισοσκελούς τριγώνου. Σε αυτό το νεύµα, ροτείνεται να διδαχθεί η εφαρµογή, σελ.55. Ε ίσης ροτείνεται να διδαχθεί η εφαρµογή 3, σελ. 56. Προτεινόµενες ασκήσεις: Οι 3 ερωτήσεις κατανόησης, και α ό τις ασκήσεις εµ έδωσης οι, 8 και 10. Να µη διδαχθεί η εφαρµογή 4, σελ. 56 και τα σύνθετα θέµατα, σελ. 58. Παράγραφος 3.13 ( ροτείνεται να διατεθεί 1 ώρα): Προτείνεται να διδαχθεί το θεώρηµα Ι µε α όδειξη και να συνδεθεί µε τον γεωµετρικό τό ο της µεσοκαθέτου. Παράγραφοι ( ροτείνεται να διατεθούν 4 ώρες): Προτείνεται να δοθεί ως άσκηση το όρισµα της Ε ίσης να γίνει εισαγωγή στην έννοια της γεωµετρικής κατασκευής για την ο οία µ ορούν να αναφερθούν κά οια ιστορικά στοιχεία. Προτεινόµενες ασκήσεις: κατανόησης, σελ. 6, εµ έδωσης 1,, σελ. 63, εµ έδωσης, 3, σελ Παράγραφοι ( ροτείνεται να διατεθούν ώρες): Προτείνεται να διδαχθούν: το ρόβληµα, σελ. 67, το ρόβληµα 4, σελ.68, η εφαρµογή, σελ.68 και τα ροβλήµατα (µε το ο οίο ροετοιµάζονται για το 5ο αίτηµα ου θα ακολουθήσει) και 3 ( ου συνδέεται και µε την τριγωνική ανισότητα) της 3.18 στο νεύµα του Αναλυτικού Προγράµµατος, ό ου αναφέρεται: «Θα ε ισηµανθεί η αξία της κατασκευής µε κανόνα και διαβήτη και θα αναφερθούν ιστορικά στοιχεία σχετικά µε τη µέθοδο αυτή». Να µη δοθούν για λύση οι γενικές ασκήσεις του κεφαλαίου. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Με το κεφάλαιο αυτό εισάγεται το 5ο αίτηµα του Ευκλείδη. Εδώ µ ορεί να αξιο οιηθεί διδακτικά η Ιστορία των Μαθηµατικών µε τη χρήση του ιστορικού σηµειώµατος στο τέλος του κεφαλαίου στο βιβλίο του µαθητή και τα ιστορικά στοιχεία ου αρατίθενται στην αρχή του βιβλίου του καθηγητή ( ροτάσεις ισοδύναµες µε το 5ο αίτηµα, αναφορά σε κά οιες ροσ άθειες α όδειξής του, αναφορά στη δηµιουργία µη Ευκλείδειων Γεωµετριών). Παράγραφοι 4.1, 4., 4.3, 4.4 ( ροτείνεται να διατεθούν 4 ώρες): Το τελευταίο όρισµα της σελ. 78 έχει γίνει στην Η 4.4 µ ορεί να διδαχθεί ως εφαρµογή. Παράγραφοι 4.5 ( ροτείνεται να διατεθούν 3 ώρες): Να µη διδαχθεί η εφαρµογή της 4.5. Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες α ό τις 3 ροτεινόµενες, ώστε να διδαχθούν οι ερωτήσεις κατανόησης και ό οιες α ό τις ασκήσεις (εµ έδωσης ή α οδεικτικές) κρίνει ο διδάσκων. Να µη διδαχθούν τα σύνθετα θέµατα, σελ. 83. Παράγραφοι 4.6, 4.7, 4.8 ( ροτείνεται να διατεθούν 3 ώρες): Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες α ό τις 3 ροτεινόµενες, ώστε να γίνουν οι ερωτήσεις κατανόησης και α ό τις ασκήσεις εµ έδωσης οι 3-7. Να µη γίνουν τα σύνθετα θέµατα 3-7, σελ. 88. Να µη γίνουν οι γενικές ασκήσεις του κεφαλαίου. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5

17 Παράγραφοι 5.1, 5. ( ροτείνεται να διατεθούν 3 ώρες): Προτείνεται να διατεθούν ώρες για τη θεωρία και 1 ε ι λέον ώρα για εφαρµογές µε ε ιλογή α ό τις ερωτήσεις και ασκήσεις του βιβλίου. Να µη γίνουν τα σύνθετα θέµατα 1, 4, 5, σελ Παράγραφοι ( ροτείνεται να διατεθούν 4 ώρες): Να µη γίνουν τα σύνθετα θέµατα 1,, σελ Παράγραφος 5.6 ( ροτείνεται να διατεθούν ώρες): Προτείνεται να γίνουν και οι δύο εφαρµογές της σελίδας 106 (η εφαρµογή θα συνδεθεί στη συνέχεια µε την αράγραφο 7.). Παράγραφοι 5.7, 5.8 ( ροτείνεται να διατεθούν ώρες): Προτείνεται να γίνουν οι αρατηρήσεις. Παράγραφος 5.9 ( ροτείνεται να διατεθούν ώρες): Προτείνεται να διατεθεί η 1 διδακτική ώρα α ό τις ροτεινόµενες για εφαρµογές µε ε ιλογή α ό τις ερωτήσεις και ασκήσεις του βιβλίου. Να µη γίνουν τα σύνθετα θέµατα, 4, 6, 7, σελ Παράγραφοι 5.10, 5.11, 5.1 ( ροτείνεται να διατεθούν 3 ώρες): Προτείνεται να διατεθεί η 1 διδακτική ώρα α ό τις 3 ροτεινόµενες για εφαρµογές µε ε ιλογή α ό τις ερωτήσεις και ασκήσεις του βιβλίου. Προτείνεται να γίνει η εφαρµογή της σελίδας 114, οι δραστηριότητες και η εργασία στο τέλος του κεφαλαίου. Να µη γίνουν τα σύνθετα θέµατα 3, 4, 5, σελ Να µη γίνουν οι γενικές ασκήσεις 1 7 του κεφαλαίου. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 (Εγγεγραµµένα σχήµατα) Παράγραφοι ( ροτείνεται να διατεθούν 3 ώρες): Προτείνεται να δοθεί έµφαση στις ασκήσεις εµ έδωσης 1-5. Να µη γίνει η εφαρµογή 1 της σελ.15. Να µη γίνουν τα σύνθετα θέµατα, 3, σελ Παράγραφοι : Μ ορούν να εξαιρεθούν α ό την ύλη µαζί µε τις αντίστοιχες ασκήσεις αφού δεν χρησιµο οιούνται ουθενά στις εντός ύλης ε όµενες αραγράφους ώστε να αναδειχθεί η σηµασία τους. Ε ίσης, οι µαθητές έχουν ήδη έρθει σε ε αφή µε την έννοια του γεωµετρικού τό ου και τη µέθοδο της γεωµετρικής κατασκευής σε ροηγούµενα κεφάλαια. Στην ε όµενη τάξη δίνεται η µέθοδος εγγραφής βασικών κανονικών ολυγώνων σε κύκλο και µέσω αυτών γίνεται η ροσέγγιση του µήκους κύκλου. Να µη γίνουν οι γενικές ασκήσεις του κεφαλαίου. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 (Αναλογίες Θεώρηµα Θαλή) Παράγραφοι ( ροτείνεται να διατεθούν 5 ώρες): Στις αραγράφους αυτές γίνεται ρώτη φορά λόγος για σύµµετρα και ασύµµετρα ευθύγραµµα τµήµατα. Η έννοια της ασυµµετρίας µ ορεί να βοηθήσει σηµαντικά τους µαθητές να ξεκαθαρίσουν την έννοια του αρρήτου αριθµού. Η ανά τυξη της ύλης στο σχολικό βιβλίο (θεωρία, αρατηρήσεις, σηµειώσεις) είναι λήρης και αν διδαχθεί ροσεκτικά θα βοηθήσει τους µαθητές σε σηµαντικές εριοχές της Γεωµετρίας ου ακολουθεί (Θεώρηµα Θαλή, όµοια τρίγωνα) και της Άλγεβρας (η

18 έννοια του ραγµατικού αριθµού). Προτείνεται να δοθεί έµφαση στις ερωτήσεις κατανόησης. Ε ίσης, οι τύ οι της αραγράφου 7.6 να µην α οµνηµονευθούν. Παράγραφος 7.7 ( ροτείνεται να διατεθούν 4 ώρες): Προτείνεται να γίνουν τα δύο ροβλήµατα της σελίδας 154 και να δοθεί έµφαση στις ερωτήσεις κατανόησης 1-3 και στις ασκήσεις εµ έδωσης 3-7. Να µη γίνουν τα σύνθετα θέµατα, σελ Παράγραφοι 7.8, 7.9 ( ροτείνεται να διατεθεί 1 ώρα): Η αράγραφος 7.9 (Α ολλώνιος κύκλος) είναι εκτός ύλης και τα θεωρήµατα των διχοτόµων ( αράγραφος 7.8) χρειάζονται µόνο για την κατασκευή αυτού του κύκλου και για ασκήσεις. Θα µ ορούσε έτσι, να διδαχθεί η αράγραφος 7.8 α λώς ως εφαρµογή του θεωρήµατος του Θαλή (χωρίς τις ασκήσεις της) και να συνδεθεί και µε τα συζυγή αρµονικά µέσω της αρατήρησης σελ Να µη γίνουν τα σύνθετα θέµατα, σελ Να µη γίνουν οι γενικές ασκήσεις του κεφαλαίου. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 (Οµοιότητα) Παράγραφοι 8.1, 8. ( ροτείνεται να διατεθούν 7 ώρες): Ε ειδή είναι το 1ο κεφάλαιο της Β Λυκείου ίσως χρειασθεί, κατά την κρίση του διδάσκοντος, να γίνει µία γρήγορη ε ανάληψη στις αναλογίες και το Θεώρηµα του Θαλή ου διδαχθήκαν στην Α Λυκείου. Η εφαρµογή 4 της αραγράφου 8. θα χρειασθεί στη συνέχεια για να α οδειχθεί τύ ος για το εµβαδόν τριγώνου. Το κεφάλαιο ροσφέρεται για τη συζήτηση εφαρµογών ου ήδη θίγονται στο σχολικό βιβλίο (µέτρηση ύψους α ρόσιτων σηµείων, χρήση εξάντα). Να µη γίνουν οι εφαρµογές 1 και 3, τα σύνθετα θέµατα 1,, 3, σελ Να µη γίνουν οι γενικές ασκήσεις του κεφαλαίου. Β Τάξη Ηµερήσιου ΕΠΑ.Λ. Άλγεβρα Ι. ιδακτέα ύλη Α ό το βιβλίο «Αλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Πα ασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β Κεφ. 7 ο : Τριγωνοµετρία 7.1. Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Γωνίας 7.. Βασικές Τριγωνοµετρικές Ταυτότητες 7.3. Αναγωγή στο 1o Τεταρτηµόριο Α ό το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Πα ασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β Κεφ. 1 ο : Τριγωνοµετρία 1.1. Οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις 1.. Βασικές τριγωνοµετρικές εξισώσεις

19 1.3. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί αθροίσµατος γωνιών (χωρίς την υ ο αράγραφο «Εφα τοµένη αθροίσµατος και διαφοράς γωνιών») 1.4. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας α (χωρίς τον τύ ο της εφα και τις εφαρµογές 1,, 3, 4, 6) Κεφ. ο: Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις.1. Πολυώνυµα.. ιαίρεση ολυωνύµων.3. Πολυωνυµικές εξισώσεις.4. Εξισώσεις ου ανάγονται σε ολυωνυµικές. Κεφ. 3 ο : Πρόοδοι 3.1. Ακολουθίες 3.. Αριθµητική ρόοδος 3.3. Γεωµετρική ρόοδος 3.4. Ανατοκισµός Ίσες καταθέσεις Χρεωλυσία 3.5. Άθροισµα ά ειρων όρων γεωµετρικής ροόδου Κεφ. 4 ο : Εκθετική και Λογαριθµική συνάρτηση 4.1. Εκθετική συνάρτηση 4.. Λογάριθµοι (χωρίς την α όδειξη της αλλαγής βάσης) 4.3. Λογαριθµική συνάρτηση (να διδαχθούν µόνο οι λογαριθµικές συναρτήσεις µε βάση το 10 και το e.). ΙΙ. ιαχείριση διδακτέας ύλης Κεφάλαιο 7 ο Άλγεβρας Α Λυκείου (Προτείνεται να διατεθούν 6 διδακτικές ώρες) 7.1 Να δοθεί έµφαση στην έννοια του ακτινίου, στη σύνδεσή του µε τις µοίρες και την ανα αράστασή του στον τριγωνοµετρικό κύκλο. 7. Προτείνεται να µη διδαχθούν οι ταυτότητες 4. Ε ίσης, να γίνει ε ιλογή α ό τις ασκήσεις 1-6 και α ό τις της Α Οµάδας. 7.3 Προτείνεται να µη δοθούν ρος λύση οι ασκήσεις της Β Οµάδας. Κεφάλαιο 1 ο (Προτείνεται να διατεθούν 8 ώρες) 1.1 Προτείνεται να γίνουν κατά ροτεραιότητα οι ασκήσεις 1, 3, 4, 5, 6 και 7(i, ii) της Α Οµάδας και οι 1, και 3 της Β οµάδας. 1. Προτείνεται να µη γίνουν η άσκηση 11(ii) της Α Οµάδας και όλες οι ασκήσεις της Β οµάδας.

20 1.3 Προτείνεται να µη γίνουν οι ασκήσεις, 3, 7, 8 και 9 της Β Οµάδας. 1.4 Προτείνεται να µη γίνουν οι ασκήσεις 7, 8 και 9 της Β Οµάδας. Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν 13 διδακτικές ώρες).1 Προτείνεται να γίνουν κατά ροτεραιότητα ασκήσεις οι 1 και (i, ii, iii) της Α Οµάδας και οι και 3 της Β Οµάδας.. Προτείνεται να γίνουν κατά ροτεραιότητα οι ασκήσεις 1 (i, iv),, 3 και 10 της Α Οµάδας και να µη γίνουν οι ασκήσεις της Β Οµάδας..3 Α) Να µη δοθεί έµφαση στην τυ ική διατύ ωση του θεωρήµατος (σελ. 77), αλλά στη γεωµετρική ερµηνεία του, στο αράδειγµα ου ακολουθεί και στην άσκηση 8. Β) Ε ι λέον, ροτείνεται να γίνουν κατά ροτεραιότητα οι ασκήσεις 1, 4, 5, 6 και 8 της Α Οµάδας και τα ροβλήµατα της Β Οµάδας, τα ο οία οδηγούν στην ε ίλυση ολυωνυµικών εξισώσεων..4 Α) Να δοθεί έµφαση στο γεγονός ότι η ύψωση των µελών µιας εξίσωσης στο τετράγωνο δεν οδηγεί άντα σε ισοδύναµη εξίσωση. Αυτό µ ορεί να γίνει και µε τη βοήθεια των αρακάτω γραφικών αραστάσεων ου αναφέρονται στο αράδειγµα, σελ. 8. Γραφική λύση της x = x Γραφική λύση της x= ( x ) Β) Ε ι λέον, ροτείνεται να µη γίνουν οι ασκήσεις 3 και 4 της Β Οµάδας. Κεφάλαιο 3 ο (Προτείνεται να διατεθούν 11 διδακτικές ώρες ) 3.1 Προτείνεται να µη γίνουν οι ασκήσεις της Β Οµάδας.

21 3. Προτείνεται να γίνουν κατά ροτεραιότητα οι ασκήσεις 1(i, ii, iii), (ii), 3(i, ii), 4(i), 5(i), 8(iii, iv), 9(i), 11(i), και 1 της Α Οµάδας και οι 4, 5, 11, 1, 14, και 16 της Β Οµάδας 3.3 Προτείνεται να γίνουν κατά ροτεραιότητα οι ασκήσεις 1(i, ii), (ii), 3(i), 4(i), 5(ii), 6, 9(i, ii), 10(i, ii), 11(i), 1 και 13 της Α Οµάδας και οι 13 και 14 της Β Οµάδας. 3.4 Α) Προτείνεται οι τύ οι να δίνονται στους µαθητές για την ε ίλυση ασκήσεων, ώστε να µην α οτελέσουν αντικείµενο α οµνηµόνευσης. Προτείνεται, ε ίσης, να χρησιµο οιούνται υ ολογιστές τσέ ης. Β) Ε ι λέον, ροτείνεται να µη γίνουν οι ασκήσεις Β Οµάδας. 3.5 Προτείνεται να γίνουν κατά ροτεραιότητα οι ασκήσεις της Α Οµάδας και µόνο η 3 της Β Οµάδας Κεφάλαιο 4 ο (Προτείνεται να διατεθούν 1 διδακτικές ώρες) 4.1 Προτείνεται να δοθεί έµφαση στα ροβλήµατα της Β Οµάδας, µε ροτεραιότητα στα 6, 7 και Προτείνεται να γίνουν κατά ροτεραιότητα οι ασκήσεις της Α Οµάδας µε έµφαση στα ροβλήµατα και οι, 3, 5 της Β Οµάδας. Προτείνεται να µη γίνουν οι ασκήσεις 6, 7 και 8 της Β Οµάδας. 4.3 Α) Προτείνεται να διδαχθούν µόνο οι συναρτήσεις f ( x) = log x και f ( x) = ln x. Β) Ε ι λέον, ροτείνεται να γίνουν κατά ροτεραιότητα οι ασκήσεις, 5, 6, 7 και 8 της Α Οµάδας και οι 1(i, iii), 3, 5, 7 και 8 της Β Οµάδας. Ασκήσεις Γ Οµάδας: Θα δίνονται για λύση ασκήσεις Γ Οµάδας, εφόσον το ε ιτρέ ει ο χρόνος και το ε ί εδο της τάξης. Ι. ιδακτέα ύλη Γεωµετρία Α ό το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωµετρία Α και Β Γενικού Λυκείου» των Αργυρό ουλου Η., Βλάµου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη Σ. και Σιδέρη Π., έκδοση Ο.Ε..Β Κεφ. 9 Ο : Μετρικές σχέσεις

22 9.1 Ορθές ροβολές 9. Το Πυθαγόρειο θεώρηµα 9.3 Γεωµετρικές κατασκευές 9.4 Γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήµατος (χωρίς την α όδειξη του θεωρήµατος ΙΙ) 9.5 Θεωρήµατα ιαµέσων 9.7 Τέµνουσες κύκλου Κεφ. 10 Ο : Εµβαδά 10.1 Πολυγωνικά χωρία 10. Εµβαδόν ευθύγραµµου σχήµατος - Ισοδύναµα ευθύγραµµα σχήµατα 10.3 Εµβαδόν βασικών ευθύγραµµων σχηµάτων 10.4 Άλλοι τύ οι για το εµβαδόν τριγώνου (χωρίς την α όδειξη του τύ ου ΙΙΙ) 10.5 Λόγος εµβαδών οµοίων τριγώνων ολυγώνων 10.6 Μετασχηµατισµός ολυγώνου σε ισοδύναµό του Κεφ. 11 Ο : Μέτρηση Κύκλου 11.1 Ορισµός κανονικού ολυγώνου 11. Ιδιότητες και στοιχεία κανονικών ολυγώνων (χωρίς τις α οδείξεις των θεωρηµάτων) 11.3 Εγγραφή βασικών κανονικών ολυγώνων σε κύκλο και στοιχεία τους (χωρίς τις εφαρµογές και 3) 11.4 Προσέγγιση του µήκους του κύκλου µε κανονικά ολύγωνα 11.5 Μήκος τόξου 11.6 Προσέγγιση του εµβαδού κύκλου µε κανονικά ολύγωνα 11.7 Εµβαδόν κυκλικού τοµέα και κυκλικού τµήµατος 11.8 Τετραγωνισµός κύκλου ΙΙ. ιαχείριση διδακτέας ύλης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 (Μετρικές σχέσεις) Παράγραφοι 9.1, 9. ( ροτείνεται να διατεθούν ώρες): Στις αραγράφους αυτές η άσκο η ασκησιολογία αλγεβρικού χαρακτήρα δε συνεισφέρει στην κατανόηση της Γεωµετρίας. Προτείνεται να γίνει το σχόλιο της εφαρµογής ως σύνδεση µε την ε όµενη αράγραφο. Να µη γίνουν τα σύνθετα θέµατα 4, 6, σελ Παράγραφος 9.3 ( ροτείνεται να διατεθούν ώρες): Στην αράγραφο αυτή είναι σκό ιµο να διατεθεί χρόνος ώστε να σχολιαστεί το ιστορικό σηµείωµα για την ανακάλυψη της ασυµµετρίας και να γίνουν και οι 3 κατασκευές (υ οτείνουσα και κάθετη λευρά ορθογωνίου τριγώνου, µέση ανάλογος, άρρητα ολλα λάσια ευθύγραµµου τµήµατος ου δίνει και τον τρό ο κατασκευής ευθυγράµµων τµηµάτων µε µήκος τετραγωνική ρίζα φυσικού αφορµή για µία σύντοµη συζήτηση για την κατασκευασιµότητα ή µη των αρρήτων). Παράγραφος ( ροτείνεται να διατεθούν 3 ώρες): Και εδώ (στην αράγραφο 9.4), ροτείνεται να µην αναλωθεί ε ι λέον

23 διδακτικός χρόνος για άσκο η ασκησιολογία αλγεβρικού τύ ου. Τα θεωρήµατα των διαµέσων ( αράγραφος 9.5) µ ορούν να διδαχθούν ως εφαρµογές των θεωρηµάτων της οξείας και αµβλείας γωνίας (χωρίς τις ασκήσεις τους) αφού και η αράγραφος 9.6 (γεωµετρικοί τό οι ου στηρίζονται στα θεωρήµατα των διαµέσων) είναι εκτός ύλης. Ε ίσης, εφαρµογές των θεωρηµάτων των διαµέσων υ άρχουν σε ασκήσεις των ε όµενων αραγράφων. Να µη γίνουν τα σύνθετα θέµατα της σελίδας 194. Παράγραφος 9.7 ( ροτείνεται να διατεθούν ώρες): Προτείνεται να δοθεί έµφαση στην 3η εφαρµογή και στο σχόλιό της (κατασκευή χρυσής τοµής, ο λόγος φ). Α ό τις ασκήσεις µία ε ιλογή θα µ ορούσε να είναι: οι ερωτήσεις κατανόησης, εµ έδωσης οι 1,4 α οδεικτικές οι 1,3. Τα σύνθετα θέµατα θα µ ορούσαν να εξαιρεθούν α ό την ύλη και οι γενικές ασκήσεις. Η δραστηριότητα σελ. 05 θα µ ορούσε να συνεισφέρει στην κατανόηση της 1 ρος 1αντιστοιχίας µεταξύ των σηµείων της ευθείας και των ραγµατικών αριθµών. Να µη γίνουν τα σύνθετα θέµατα 3, 4, σελ. 04. Να µη γίνουν οι γενικές ασκήσεις του κεφαλαίου. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 (Εµβαδά) Παράγραφοι ( ροτείνεται να διατεθούν ώρες): Οι διαθέσιµες ώρες αυξάνονται ροκειµένου να γίνουν και οι 3 εφαρµογές (µε την αρατήρηση της ) και οι δραστηριότητες των σελ. 15 και 17. Ε ίσης θα µ ορούσε να γίνει η α όδειξη του Πυθαγορείου θεωρήµατος µέσω εµβαδών, ό ως αρατίθεται στα στοιχεία του Ευκλείδη και αναφέρεται στο ιστορικό σηµείωµα της σελ. 8. Προτεινόµενες ασκήσεις: οι ερωτήσεις κατανόησης, α ό τις ασκήσεις εµ έδωσης οι 3, 6 και α ό τις α οδεικτικές ασκήσεις οι 1,4,7,8. Να µη γίνουν τα σύνθετα θέµατα 1, 5, σελ. 18. Παράγραφος 10.4 ( ροτείνεται να διατεθούν ώρες): Να µη γίνει ο τύ ος του Ήρωνα και οι αντίστοιχες ασκήσεις (αλλά να εξηγηθεί ο συµβολισµός της ηµι εριµέτρου). Μία ε ιλογή ασκήσεων θα µ ορούσε να είναι: ερωτήσεις κατανόησης 1,, ασκήσεις εµ έδωσης 3,4 και α οδεικτικές 1,3,5. Να µη γίνουν τα σύνθετα θέµατα 1,, σελ. 1. Παράγραφοι 10.5, 10.6 ( ροτείνεται να διατεθούν 4 ώρες): Η αράγραφος 10.6 ροτείνεται να διδαχθεί αφού χρειάζεται στο ρόβληµα του τετραγωνισµού του κύκλου ( αράγραφος 11.8). Να µη γίνουν τα σύνθετα θέµατα της σελίδας 5. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 (Μέτρηση κύκλου) Παράγραφοι 11.1,11. ( ροτείνεται να διατεθούν 3 ώρες): Στην αράγραφο 11.1 µ ορεί να γίνει µία υ ενθύµιση της έννοιας του κυρτού ολυγώνου και των στοιχείων του, ό ως αναφέρεται στην αράγραφο.0 ου είναι εκτός της ύλης της Α Λυκείου. Προτείνεται να γίνει η αρατήρηση και το σχόλιο της σελ.36 ( ου χρειάζονται

24 για την ε όµενη αράγραφο). Μ ορεί ε ίσης να γίνει µία αναφορά στο ρόλο των κανονικών ολυγώνων στη φύση, την τέχνη και τις ε ιστήµες (βιβλίο καθηγητή για ε έκταση της α οδεικτικής άσκησης 1 σελ. 37 και συσχέτιση µε τη διακόσµηση µε κανονικά ολύγωνα). Να µη γίνουν τα σύνθετα θέµατα της σελίδας Παράγραφος 11.3 ( ροτείνεται να διατεθούν 3 ώρες): Βάσει του σχολίου και της αρατήρησης της σελ. 36 της ροηγούµενης αραγράφου οι µαθητές µ ορούν µόνοι τους να οδηγηθούν στην εγγραφή των βασικών κανονικών ολυγώνων σε κύκλο, ό ως ροτείνεται και στο βιβλίο του καθηγητή. Προτείνεται να δοθεί έµφαση στην εφαρµογή 1 και στη συνέχεια να γίνει η δραστηριότητα 1 σελ. 4. Να µη γίνουν οι εφαρµογές,3 της αραγράφου 11.3 και τα σύνθετα θέµατα της σελίδας 4. Παράγραφοι 11.4, 11.5 ( ροτείνεται να διατεθούν ώρες): Οι αράγραφοι αυτοί µ ορούν να ροετοιµάσουν τους µαθητές ου θα ακολουθήσουν τη θετική κατεύθυνση για την εισαγωγή στις ά ειρες διαδικασίες µε φυσιολογικό τρό ο. Θα µ ορούσαν να αναφερθούν κά οια ε ι λέον στοιχεία για τον αριθµό, αλλά θα ρέ ει να ξεκαθαριστεί τι είναι αλγεβρικός και τι υ ερβατικός αριθµός (για την αράγραφο 11.8). Να µη γίνει το σύνθετο θέµα της σελίδας 45. Παράγραφοι ( ροτείνεται να διατεθούν ώρες): Προτείνεται να δοθεί έµφαση στις εφαρµογές (µηνίσκοι του Ι οκράτη) και στη δραστηριότητα σελ. 49. Στην αράγραφο 11.8 (το αδύνατο του τετραγωνισµού του κύκλου) να γίνει αναφορά στα µη ε ιλύσιµα ροβλήµατα της Γεωµετρίας µε στοιχεία α ό το ιστορικό σηµείωµα της σελ.54. Να µη γίνει το σύνθετο θέµα 4 της σελίδας 51. Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Ι. ιδακτέα ύλη Α ό το βιβλίο «Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Τάξης Γενικού Λυκείου» των Αδαµό ουλου Λ., Βισκαδουράκη Β., Γαβαλά., Πολύζου Γ. και Σβέρκου Α., έκδοση Ο.Ε..Β Κεφ. 1 ο : ιανύσµατα 1.1. Η Έννοια του ιανύσµατος 1.. Πρόσθεση και Αφαίρεση ιανυσµάτων 1.3. Πολλα λασιασµός Αριθµού µε ιάνυσµα (χωρίς τις Εφαρµογές 1 και στις σελ. 5-6) 1.4. Συντεταγµένες στο Ε ί εδο (χωρίς την Εφαρµογή στη σελ. 35) 1.5. Εσωτερικό Γινόµενο ιανυσµάτων Κεφ. ο : Η Ευθεία στο Ε ί εδο.1. Εξίσωση Ευθείας.. Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας.3. Εµβαδόν Τριγώνου (χωρίς τις α οδείξεις των τύ ων της α όστασης σηµείου α ό ευθεία, του εµβαδού τριγώνου και της Εφαρµογής 1 στη σελ. 73)

25 Κεφ. 3 ο : Κωνικές Τοµές 3.1. Ο Κύκλος (χωρίς τις αραµετρικές εξισώσεις του κύκλου) 3.. Η Παραβολή (χωρίς την α όδειξη της εξίσωσης της αραβολής, την α όδειξη του τύ ου της εφα τοµένης και την Εφαρµογή 1 στη σελ. 96) 3.3. Η Έλλειψη (χωρίς την α όδειξη της εξίσωσης της έλλειψης, τις αραµετρικές εξισώσεις της έλλειψης, την Εφαρµογή στη σελ. 107, την Εφαρµογή 1 στη σελ. 109 και την Εφαρµογή στη σελ. 110) 3.4. Η Υ ερβολή (χωρίς την α όδειξη της εξίσωσης της υ ερβολής και την α όδειξη του τύ ου των ασυµ τώτων) 3.5 Μόνο η υ ο αράγραφος «σχετική θέση ευθείας και κωνικής» και σύµφωνα µε την ροτεινόµενη διαχείριση. Κεφ. 4 ο : Θεωρία Αριθµών 4.1. Η Μαθηµατική Ε αγωγή ΙΙ. ιαχείριση διδακτέας ύλης Κεφάλαιο 1 ο (Προτείνεται να διατεθούν 6 διδακτικές ώρες). 1.5 Α) Μετά τη διδασκαλία της υ ο αραγράφου «Προβολή διανύσµατος σε διάνυσµα» να δοθεί και να συζητηθεί η ερώτηση κατανόησης 13 της σελίδας 54, µε σκο ό να κατανοήσουν οι µαθητές: Το ρόλο της ροβολής διανύσµατος σε διάνυσµα κατά τον υ ολογισµό του εσωτερικού γινοµένου αυτών. Ότι δεν ισχύει η ιδιότητα της διαγραφής στο εσωτερικό γινόµενο. Β) Προτείνεται να µη γίνουν οι ασκήσεις 8, 9 και 10 της Α Οµάδας (σελ ), οι ασκήσεις 1, 3 και 10 της Β Οµάδας (σελ ) και οι Γενικές Ασκήσεις (σελ ). Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν 15 διδακτικές ώρες)..3 Α) Πριν δοθούν οι τύ οι της α όστασης σηµείου α ό ευθεία και του εµβαδού τριγώνου, ροτείνεται να δοθούν στους µαθητές να ε εξεργαστούν δραστηριότητες, ό ως οι αρακάτω δύο: 1 η : ίνονται η ευθεία ε : x y 1 0 A 5,. Να βρεθούν: + = και το σηµείο ( ) α) Η εξίσωση της ευθείας ζ ου διέρχεται α ό το A και είναι κάθετη στην ε. β) Οι συντεταγµένες του σηµείου τοµής της ζ µε την ε. γ) Η α όσταση του A α ό την ε. Στη συνέχεια, να δηλωθεί στους µαθητές ότι µε ανάλογο τρό ο µ ορεί να α οδειχθεί ο τύ ος α όστασης ενός σηµείου α ό µία ευθεία, ο ο οίος και να δοθεί. 5,, 3 B 3, 4. Να βρεθούν: η : ίνονται τα σηµεία A ( ), B ( ) και ( ) α) Η εξίσωση της ευθείας ΒΓ. β) Το ύψος Α του τριγώνου ΑΒΓ και γ) Το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.