ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ"

Οκυροη Ασπάσιος
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε να συναντήσουμε. Ρητός λέγεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή ενός κλάσματος όπου μ, ν ακέραιοι αριθμοί και ν 0. Άρρητος λέγεται κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός. Παραδείγματα ρητών αριθμών είναι: 3, 4, 9, 3 Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α συμβολίζεται με α και είναι ίση με την απόσταση του σημείου, που παριστάνει τον αριθμό α, από την αρχή του άξονα. ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1

Ρητός λέγεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή ενός κλάσματος όπου μ, ν ακέραιοι αριθμοί και ν 0.

2 Δύο αριθμοί που έχουν άθροισμα μηδέν, λέγονται αντίθετοι. Δύο αριθμοί που έχουν γινόμενο τη μονάδα, λέγονται αντίστροφοι. Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού Η τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού x συμβολίζεται με x και είναι ο θετικός αριθμός που όταν υψωθεί στο τετράγωνο μας δίνει τον αριθμό x. Για παράδειγμα: 9 = 3, αφού 3 = 9 Παρατηρήσεις: x = x x = x ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού Η τετραγωνική ρίζα ενός θετικού

3 Δεν ορίζεται τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού, γιατί δεν υπάρχει αριθμός που το τετράγωνο του να είναι αρνητικός αριθμός. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗΣ ΡΙΖΑΣ Αν α, β είναι θετικοί αριθμοί, τότε a + β α + β a β = a β = Αλγεβρικές παραστάσεις Πολλές φορές για να λύσουμε ένα πρόβλημα, καταλήγουμε σε εκφράσεις που περιέχουν μόνο αριθμούς και γι αυτό ονομάζονται αριθμητικές παραστάσεις. Υπάρχουν όμως και προβλήματα στα οποία καταλήγουμε σε εκφράσεις οι οποίες, εκτός από αριθμούς, περιέχουν και μεταβλητές. Οι εκφράσεις αυτές λέγονται αλγεβρικές παραστάσεις. Ειδικότερα μια αλγεβρική παράσταση λέγεται ακέραια, όταν μεταξύ των μεταβλητών της σημειώνονται μόνο οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και οι εκθέτες των μεταβλητών της είναι φυσικοί αριθμοί Αν σε μια αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές με αριθμούς και κάνουμε τις πράξεις, θα προκύψει ένας αριθμός που λέγεται αριθμητική τιμή ή απλά τιμή της αλγεβρικής παράστασης. Για παράδειγμα: ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 3

αριθμούς και γι αυτό ονομάζονται αριθμητικές παραστάσεις. Υπάρχουν όμως και προβλήματα στα οποία καταλήγουμε σε εκφράσεις οι οποίες, εκτός από αριθμούς, περιέχουν και μεταβλητές.

4 Μονώνυμα Οι ακέραιες αλγεβρικές παραστάσεις, στις οποίες μεταξύ των μεταβλητών σημειώνεται μόνο η πράξη του πολλαπλασιασμού, λέγονται μονώνυμα. Σ ένα μονώνυμο ο αριθμητικός παράγοντας λέγεται συντελεστής του μονωνύμου, ενώ το γινόμενο όλων των μεταβλητών του με τους αντίστοιχους εκθέτες τους λέγεται κύριο μέρος του μονωνύμου. Ο εκθέτης μιας μεταβλητής λέγεται βαθμός του μονωνύμου ως προς τη μεταβλητή αυτή, ενώ ο βαθμός του μονωνύμου ως προς όλες τις μεταβλητές του λέγεται το άθροισμα των εκθετών των μεταβλητών του. Πολυώνυμα Κάθε μονώνυμο που περιέχεται σε ένα πολυώνυμο λέγεται όρος του πολυωνύμου. Ειδικότερα, ένα πολυώνυμο που δεν έχει όμοιους όρους λέγεται διώνυμο, αν έχει δύο όρους τριώνυμο, αν έχει τρεις όρους. Βαθμός ενός πολυωνύμου ως προς μία ή περισσότερες μεταβλητές του, είναι ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς των όρων του. Επιπλέον, για να γίνουμε πιο αντιληπτοί, πολυώνυμο μπορεί να χαρακτηριστεί μία αλγεβρική παράσταση η οποία περιέχει φυσικές δυνάμεις του x πολλαπλασιασμένες με αριθμούς και όλα αυτά τα προσθέτουμε ή τα αφαιρούμε μεταξύ τους. Παραδείγματα πολυωνύμων: Προσοχή!!! Το x x + x 1 δεν είναι πολυώνυμο αφού περιέχει δύναμη του x υψωμένη σε ακέραιο αριθμό και όχι σε φυσικό!!! ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 4

Ο εκθέτης μιας μεταβλητής λέγεται βαθμός του μονωνύμου ως προς τη μεταβλητή αυτή, ενώ ο βαθμός του μονωνύμου ως προς όλες τις μεταβλητές του λέγεται το άθροισμα των εκθετών των μεταβλητών του.

5 Παρατηρήσεις: o Ένα πολυώνυμο είναι γραμμένο σε κανονική μορφή, εάν εμφανίζονται όλες οι δυνάμεις του x κατά φθίνουσα σειρά. o Εάν θέλουμε να γράψουμε το Q(x) σε κανονική μορφή προσθέτουμε μηδενικά στους συντελεστές των δυνάμεων που λείπουν. Έτσι έχουμε: Ταυτότητες (α + β) = α + αβ + β (α β) = α αβ + β (α + β) = α + 3α β + 3αβ + β (α β) = α 3α β + 3αβ β α β = (α β)(α + β) Ε.Κ.Π.-Μ.Κ.Δ Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) δύο ή περισσοτέρων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ονομάζεται, το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παραγόντων τους με εκθέτη καθενός το μεγαλύτερο από τους εκθέτες του. Παράδειγμα: ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 5

Έτσι έχουμε: Ταυτότητες (α + β) = α + αβ + β (α β) = α αβ + β (α + β) = α + 3α β + 3αβ + β (α β) = α 3α β + 3αβ β α β = (α β)(α + β) Ε.Κ.

6 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης ( Μ.Κ.Δ. ) δύο ή περισσοτέρων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ονομάζεται, το γινόμενο των κοινών παραγόντων τους με εκθέτη καθενός το μικρότερο από τους εκθέτες του. Παράδειγμα: Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης Γραμμική εξίσωση είναι μία εξίσωση η οποία εμφανίζει τον άγνωστο x υψωμένο στην πρώτη δύναμη και όχι στον παρονομαστή. Μία τέτοια εξίσωση παριστάνει πάντα ευθεία. Αν ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία, τότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. Αν οι συντεταγμένες ενός σημείου επαληθεύουν την εξίσωση μιας ευθείας, τότε το σημείο ανήκει στην ευθεία αυτή. Παραδείγματα γραμμικών εξισώσεων: Προσοχή!!! + x = δεν είναι γραμμική εξίσωση γιατί ο άγνωστος x εμφανίζεται στον παρονομαστή!!! ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 6

) δύο ή περισσοτέρων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ονομάζεται, το γινόμενο των κοινών παραγόντων τους με εκθέτη καθενός το μικρότερο από τους εκθέτες του.

7 Η εξίσωση y = 3x 7 είναι γραμμική, άρα παριστάνει ευθεία, της οποίας το γράφημα φαίνεται παρακάτω. Επιπλέον, κάθε σημείο το οποίο βρίσκεται πάνω στην ευθεία αυτή, επαληθεύει την εξίσωση της ευθείας. Για παράδειγμα το σημείο (0,-7) βρίσκεται πάνω στην ευθεία. Όντως, εάν αντικαταστήσουμε, έχουμε: Ισότητα Τριγώνων 7 = = = 7 Για τις γωνίες κάθε τρίγωνου ισχύει : Α + Β + Γ = 180 Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται:, όταν έχει όλες τις γωνίες του οξείες., όταν έχει μια γωνία αμβλεία., όταν έχει μια γωνία ορθή. Ένα τρίγωνο ανάλογα με τις σχέσεις που συνδέονται οι πλευρές του ονομάζεται:, όταν έχει και τις τρεις πλευρές του άνισες., όταν έχει δυο πλευρές ίσες., όταν έχει και τις τρεις πλευρές του ίσες. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 7

Όντως, εάν αντικαταστήσουμε, έχουμε: Ισότητα Τριγώνων 7 = 3 0 7 7 = 0 7 7 = 7 Για τις γωνίες κάθε τρίγωνου ισχύει : Α + Β + Γ = 180 Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται:, όταν

8 Σ ένα τρίγωνο, εκτός από τα κύρια στοιχεία, υπάρχουν και τα δευτερεύοντα στοιχεία, που είναι οι διάμεσοι, οι διχοτόμοι και τα ύψη. Διάμεσος Διάμεσος ενός τριγώνου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς Διχοτόμος Διχοτόμος ενός τριγώνου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που φέρουμε από μία κορυφή, χωρίζει την γωνία σε δύο ίσες γωνίες και καταλήγει στην απέναντι πλευρά. Ύψος Ύψος ενός τριγώνου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που φέρουμε από μία κορυφή και είναι κάθετο στην ευθεία της απέναντι πλευράς. Ίσα τρίγωνα Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες, τότε είναι ίσα. Ισχύει ακόμη και το αντίστροφο. Δηλαδή Αν δύο τρίγωνα είναι ίσα, τότε θα έχουν τις πλευρές τους και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες μία προς μία. ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 8

φέρουμε από μία κορυφή, χωρίζει την γωνία σε δύο ίσες γωνίες και καταλήγει στην απέναντι πλευρά.

9 Κριτήρια ισότητας τριγώνων 1 ο κριτήριο ισότητας (Π - Γ - Π) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την περιεχόμενη γωνία τους ίση, τότε είναι ίσα. ο κριτήριο ισότητας (Γ - Π - Γ) Αν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. 3 ο κριτήριο ισότητας (Π - Π - Π) Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. Γενικά: Σε ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 9

ο κριτήριο ισότητας (Γ - Π - Γ) Αν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες ίσες μία προς

10 Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων. Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα, όταν έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές ίσες μία προς μία ή μία αντίστοιχη πλευρά ίση και μία αντίστοιχη οξεία γωνία ίση. Ίσα τμήματα μεταξύ παραλλήλων ευθειών Αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία που τις τέμνει. Αν από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μία άλλη πλευρά του, τότε αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του. H έννοια του λόγου δύο ευθυγράμμων τμημάτων Ο λόγος δύο ευθυγράμμων τμημάτων είναι ίσος με το λόγο των μηκών τους, εφόσον έχουν μετρηθεί με την ίδια μονάδα μέτρησης. Ανάλογα ευθύγραμμα τμήματα Τα ευθύγραμμα τμήματα α, γ είναι ανάλογα προς τα ευθύγραμμα τμήματα β, δ, α όταν ισχύει : = γ β δ Οι σημαντικότερες ιδιότητες των αναλογιών είναι: Σε κάθε αναλογία το γινόμενο των άκρων όρων είναι ίσο με το γινόμενο των μέσων όρων. α β = γ δ αδ = βγ Σε κάθε αναλογία μπορούμε να εναλλάξουμε τους μέσους ή τους άκρους όρους και να προκύψει πάλι αναλογία. Αν α β = γ δ τότε α γ = β δ ή δ β = γ α Λόγοι ίσοι μεταξύ τους είναι και ίσοι με το λόγο που έχει αριθμητή το άθροισμα των αριθμητών και παρονομαστή το άθροισμα των παρονομαστών. Αν α β = γ δ τότε α β = γ α + γ = δ β + δ ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 10

Αν από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μία άλλη πλευρά του, τότε αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του.

11 Ομοιότητα Αν δύο πολύγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες, τότε είναι όμοια. Αν δύο πολύγωνα είναι όμοια, τότε έχουν τις ομόλογες πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος εμβαδών ομοίων σχημάτων Ο λόγος των εμβαδών δύο ομοίων σχημάτων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητάς τους. Τριγωνομετρικοί αριθμοί απέναντι κάθετη πλευρά της γωνίας ω εφω = προσκείμενη κάθετη πλευρά της γωνιας ω απέναντι κάθετη πλευρά ημω = υποτείνουσα προσκείμενη κάθετη πλευρά συνω = υποτείνουσα Γωνία ω ημω συνω εφω = π = = π = π = π 1 0 Δεν ορίζεται!!! ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 11

Λόγος εμβαδών ομοίων σχημάτων Ο λόγος των εμβαδών δύο ομοίων σχημάτων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητάς τους.

12 Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών Για δύο παραπληρωματικές γωνίες ω και 180º ω ισχύουν: ημ(180 ω) = ημω, συν(180 ω) = συνω, εφ(180 ω) = εφω Παραδείγματα παραπληρωματικών γωνιών: Παρατήρηση: Αν δύο γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο και το μέτρο τους είναι από 0º μέχρι και 180º, τότε είναι ίσες ή παραπληρωματικές. ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1

παραπληρωματικών γωνιών: Παρατήρηση: Αν δύο γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο και το μέτρο

Σχετικά έγγραφα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα