4 ΤΥΠΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Στο δι λανό Έστω η συνάρτηση f(x) = l n Αν f( x) = x+ x + 1. Να α οδείξετε ότι

Transcript

1 Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 4 ΤΥΠΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 4. Έστω η συνάρτηση () l n A) Βρείτε το εδίο ορισµού της B) Λύστε την εξίσωση + Γ) Λύστε την ανίσωση < ) Να δείξετε ότι + ( ) συν συν 4. Αν + +. Να α οδείξετε ότι ( ) 4.4 Στο δι λανό σχήµα να βρείτε συναρτήσει του, τη συνάρτηση ου εριγράφει το εµβαδόν της γραµµοσκιασµένης εριοχής ου δηµιουργείται α ό τη Ε και τις λευρές του τριγώνου ΑΒΓ για τις διάφορες θέσεις του E άνω στη BΓ. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισό- λευρο µε µήκος λευράς η BE και Ε ΒΕ 4. ίνεται η συνάρτηση ( α α ) +. Να α οδείξετε ότι ( + y) + ( y) ( y),, y 4. ίνεται η συνάρτηση µε εδίο ορισµού το µε Γραφική Παράσταση + ( ) και το : 4. Να υ ολογίσετε το Nα σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης () ln και να βρείτε το λήθος των ριζών της εξίσωσης 4.7 Να σχεδιάσετε τις γραφικές αραστάσεις των αρακάτω συναρτήσεων g h m + k n Να σχεδιάσετε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων: Α) ( ) Β) Γ), g() ln, < ( ), > () συν 4.8 Να σχεδιάσετε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων () ln( ), < g() ln( ), < k() ln m() ln t() ln

2 4 ο ΓΛΧ 4 Πεδίο ορισµου 4. Να βρείτε τα εδία ορισµού των συναρτή- σεων ln( ) + g() t() -+ h() k() ( - ) + 4. Να βρείτε τα εδία ορισµού των συναρτήσεων φ() + ηµ+ g t εφ ηµηµ συν + συν+ 4. Να βρείτε τα εδία ορισµού των συναρτήσεων g() ( ) ln t ln ln k ln( ) 4. Να βρείτε τα εδία ορισµού των συναρτήσεων h() συν g() () ( ) ln( ) ln Να βρείτε τα εδία ορισµού των συναρτήσεων g ln h 4 k ln 4. Να βρείτε τα εδία ορισµού των συναρτήσεων r() k() + +, t, k + ln 4 4. Να βρείτε το εδίο ορισµού κάθε µιας α ό τις αρακάτω συναρτήσεις: () ln m ln( ) 4.7 Να βρείτε το εδίο ορισµού κάθε µιας α ό τις αρακάτω συναρτήσεις: 4 + g log Κοινά Σηµεία 4.8 Για τη συνάρτηση : ισχύει ότι,. Να δείξετε ότι η C δεν τέµνει τον άξονα 4.9 Έστω οι συναρτήσεις, g : για τις ο οίες ισχύει + 9 g + για κάθε. Να βρεθεί η σχετική θέση των C, C g 4. Έστω η συνάρτηση : για την ο- οία ισχύει ότι. Να δείξετε ότι η δύο τουλάχιστον σηµεία + + για κάθε C τέµνει τον άξονα σε 4. Έστω οι συναρτήσεις, g :, ώστε να ισχύει () g() + κ κάθε, κ. Να βρεθεί ο κ ώστε οι γραφικές αραστάσεις τους, να τέµνονται στην ευθεία καθώς και τα διαστήµατα στα ο οία η C είναι άνω α ό την 4. Να βρεθούν τα διαστήµατα ό ου η C είναι άνω α ό τη C g όταν: Α) και Β) αν () αν < καθώς και η α όστασή τους. g 8 C g και g() + Μ. Πα αγρηγοράκης

3 7 Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση Ισότητα Συναρτήσεων 4. ίνεται η συνάρτηση () +. Α) Να εξετάσετε οιες α ό τις αρακάτω συναρτήσεις είναι ίσες µε τη συνάρτηση. - () - + () - + () + 4() + ln + () ln(+ ) Β) Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υ οσύνολο του στο ο οίο οι αρα άνω συναρτήσεις είναι όλες ίσες. 4.4 Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις + συν ηµ () και g() ηµ συν 4. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις () + και g() Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις στις αρακάτω ερι τώσεις. Α) () + και Β) () ln g() + + g ln ln και 4.8 Να βρεθεί ο λ ώστε να είναι ίσες οι συναρτήσεις g() λ λ + 4 () και λ Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις + και g 4.9 Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις () ln g ln ln και Πράξεις Συναρτήσεων 4. Να βρεθούν οι συναρτήσεις + g,και g όταν Α) () 4 ] και g() 4. Να βρεθούν οι συναρτήσεις + g,και g +, αν (), > και g ln, < < -+, 4. Για τις συναρτήσεις, g : ισχύει ότι g + +,. Να δείξετε ότι η C g τέµνει τον θετικό ηµιάξονα Oy 4. Να βρείτε τις συναρτήσεις, g : αν για κάθε ισχύει ότι + + ( ) g ηµ συν g 4.4 Nα βρείτε όλες τις συναρτήσεις : ου ικανο οιούν την σχέση: +, 4. Nα βρείτε όλες τις συναρτήσεις : ου ικανο οιούν την σχέση: 4, 4. Να ροσδιορίσετε όλες τις γνήσια αύξουσες συναρτήσεις : για τις ο οίες ισχύει ότι () ( ) για κάθε 4.7 Να βρείτε τις συναρτήσεις τις συναρτήσεις : αν για κάθε ισχύει ότι ( )( ) 4.8 Nα α οδείξετε ότι g, αν ισχύει ότι + g () + g () για κάθε

4 4 ο ΓΛΧ 4 8 Άρτιες Περιττές 4.9 Nα εξετάσετε αν είναι άρτιες ή εριττές οι συναρτήσεις g() ln + +, + < () > 4.4 Για τη συνάρτηση : ισχύει ότι [ () + ( ) + ] + ( ),. Να α οδείξετε ότι η είναι εριττή και να βρείτε τον τύ ο της. 4.4 ** ίνεται η συνάρτηση : για την ο οία ισχύει (+ y) + ( y) () + (y) για κάθε,y. Να α οδείξετε ότι: Α) Η C διέρχεται α ό το (, ) Β) η είναι άρτια Γ) () για κάθε 4.4 Αν ισχύει (+ y) () + (y),, y να δείξετ ε ότι η είναι εριττή 4.4 Αν ισχύει () + (y) (+ y), για κάθε ()(y),y να δείξετε ότι η είναι εριττή 4.44 Έστω συνάρτηση : η ο οία είναι εριττή και για την ο οία ισχύει ότι + για κάθε. Να βρείτε τον τύ ο της 4.4 ύο συναρτήσεις, g : έχουν τις ιδιότητες: και g g g για κάθε. Να δείξετε ότι η είναι άρτια και η g εριττή 4.4 ίνονται οι συναρτήσεις,g µε A A Να α οδείξετε ότι: Αν οι,g είναι g εριττές τότε η + g είναι εριττή ενώ οι g, /g, ( g() ) είναι άρτιες Σύνολο Τιµών 4.47 Να βρείτε τα σύνολα τιµών των συναρτήσεων: Α) + [, ] Β) ln( ), [, /] Να βρείτε τα σύνολα τιµών των συναρτήσεων: Α) [, ] Β) 4+ (, ] 4. Στο σχήµα φαίνεται η γραφική αράσταση της συνάρτησης y. Να βρείτε το λήθος των ριζών των εξισώσεων: Α) Β) Γ) ) Ε) α, α [,] 4.49 Να βρείτε τα σύνολα τιµών των + < αν () αν <, g() + 4. Να βρείτε τα σύνολα τιµών των () log, + g + () 4 Μ. Πα αγρηγοράκης

5 9 Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση Σύνθεση Συναρτήσεων 4. Να εκφράσετε τη συνάρτηση ως σύνθεση δύο ή ερισσοτέρων (µη ταυτοτικών) συναρτήσεων, αν: () g() ln( + ) ln( + ) k() ( ln(+ ) ln ) 4. Να οριστεί η συνάρτηση g αν Α) () και g() ln αν (,) Β) () + αν [, 4) 4.4 Αν, g να ορίσετε τις συναρτήσεις g και g 4. Αν () g() ( ) ln(+ + ), να α οδείξετε ότι ( g)() (g )(),, g() 4. Να βρείτε το εδίο ορισµού της συνάρτησης h, αν h :[,) και h() ( 4) + (+ ) 4.9 Να α οδειχτεί ότι δεν υ άρχει συνάρτηση ου να ικανο οιεί τη σχέση () +, 4. Αν + + και Ah g + να α οδείξετε ότι δεν υ άρχει συνάρτηση h µε, ώστε να ισχύει h( () ) + h( g() ) g( () ) 4. Να βρείτε τη συνάρτησης :(, ) για την ο οία ισχύει ότι κάθε >. 4. Αν ( () ) ότι η αίρνει την τιµή 4 4. Αν ισχύει ότι τότε να υ ολογίσετε το ( ) + ln για για κάθε, να δείξετε () για κάθε 4.4 Να ροσδιορισθεί ο τύ ος της : Α) Αν + +, Β) Αν ισχύει () +, * 4.7 Να βρεθεί ο τύ ος µιας συνάρτησης σε κάθε µια α ό τις ερι τώσεις: Α) Αν ( ln() ) +, >, Β) Αν ( g)() + + και g() + Γ) Αν (g )() συν και g() 4.8 Έστω οι συναρτήσεις : A, g : Ag µε ( A) Ag. Να α οδειχτούν οι ροτάσεις: A) Αν η είναι άρτια, τότε και η go είναι άρτια. B) Αν η είναι εριοδική, τότε και η g είναι εριοδική µε την ίδια ερίοδο. * 4. Για τησυνάρτηση : ισχύει ότι (y) (+ y) (), y.να α οδείξετε ότι () () και () για κάθε και να βρείτε την 4. Αν () α + να βρεθεί ο α, αν ισχύει: ( )(), 4.7 Να βρεθούν οι συναρτήσεις : αν για κάθε, y ισχύει ότι + ( y) + ( y) + y+ y

6 4 ο ΓΛΧ 4 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. Εξεταστε τη µονοτονία των συναρτήσεων Α) () Β) Γ) ( ) ) Ε) () + ln αν < Ζ) () αν. ίνονται οι συναρτήσεις και g µε και g ln. Να λυθούν οι ανισώσεις >, g >. Α) Αν 4 +, τότε να α οδειχθεί ότι η είναι γν. φθίνουσα. Β) Να λυθεί η ανίσωση.4 Nα λύσετε τις ανισώσεις: Α) ln > Β) + 4 >. > +. Για τη συνάρτηση : ισχύει ότι: () + για κάθε. Α) Να α οδείξετε ότι η είναι γνήσια αύξουσα Β) Να λυθεί η ανίσωση + <. Να α οδείξετε ότι η συνάρτηση - y y.8 Η συνάρτηση : (, + ) έχει την ιδιότητα ισχύει ότι «αν α για κάθε, y>. Ε ι λέον > τότε η είναι γν. αύξουσα στο (,+ ) α >». Να δείξετε ότι.9 Έστω συναρτήσεις,g µε κοινό σύνολο ορισµού το [ α,β ], σύνολο τιµών το [ α,β ] ώστε >, [ α,β] g και η είναι γνήσια φθίνουσα. είξτε ότι ( g() ) < g( () ) [ α,β]. Αν : εριττή και γνησίως φθίνουσα στο µε (()) για κάθε, να δείξετε ότι (),. Να α οδειχθεί ότι δεν υ άρχει συνάρτηση :, γνήσια φθίνουσα µε την ιδιότητα ( 8) 4,. Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και + () για κάθε ισχύει ότι:, να α οδείξετε ότι (), για κάθε. Αν : είναι η συνάρτηση του σχή- µατος, να βρείτε την µονοτονία της συνάρτησης ( () ) στο [,] g +. είναι γνησίως αύξουσα και να λύσετε την ανίσωση +.7 ίνεται ότι η συνάρτηση ορισµένη και είναι γνήσια αύξουσα στο (,+ ). Να λύσετε την εξίσωση + ( ) + ( ) Μ. Πα αγρηγοράκης

7 Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση.4 Για τη συνάρτηση : ισχύει ότι + + για κάθε Α) Να α οδειχτεί ότι η είναι γνήσια αύξουσα Β) Να µελετηθεί ως ρος τη µονοτονία η συ- νάρτηση g + Γ) Να υ ολογίσετε το ( ) Γ) Να βρείτε το ρόσηµο της. Έστω συνάρτηση, ορισµένη στο, ου είναι γνήσια µονότονη και η γραφική της αράσταση διέρχεται α ό τα σηµεία (, ) και (, ) Α) Να α οδείξετε ότι είναι γνήσια αύξουσα Β) Να λύσετε τις ανισώσεις ( ) > και ( ) < ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) Ε) Πόσες ρίζες µ ορεί να έχει η εξίσωση 4. Α) Να α οδείξετε ότι η συνάρτηση h + +, είναι γνήσια αύξουσα. Β) Έστω συνάρτηση ορισµένη στο ώστε να ισχύει + + για κάθε. Να α οδείξετε ότι η είναι γνήσια αύξουσα Γ) Να λύσετε την εξίσωση h και να υ ολογίσετε το ( ).7 Έστω η συνάρτηση :(, ) + ώστε + τέτοια για κάθε >. Θεωρούµε τη συνάρτηση g ( h() ) ό ου h. Τό- + τε: Α) Να α οδείξετε ότι η g είναι εριττή. Β) Nα α οδείξετε ότι η h είναι γνήσια φθίνουσα στο (,) Γ) Να λύσετε την εξίσωση h h h h + + στο (,) Ακρότατα.8 Να βρεθούν τα ακρότατα κάθε µιας α ό τις αρακάτω συναρτήσεις ν + g() 4 4 t() 4 4 :[, 4) µε () + αν φ αν > r 4+.9 Να βρεθούν τα ακρότατα κάθε µιας α ό τις αρακάτω συναρτήσεις Α) ln( ), [, ] Β) :[, 4) µε (). Α)Να δείξετε ότι + αν > Β. Έστω () ( 9 8) ( 9 8) + +. Nα α οδείξετε ότι () για κάθε και ότι η αρουσιάζει ελάχιστο. Έστω : συνάρτηση µε () Α) Να α οδείξετε ότι η συνάρτηση () g() έχει µέγιστη τιµή το. + () Β) Να βρείτε την µέγιστη τιµή της συνάρτη- σης Φ() + +. Να βρεθούν τα ακρότατα κάθε µιας α ό τις αρακάτω συναρτήσεις Α) 4+ Β) +. Να βρεθεί ο λ, ώστε η συνάρτηση () (λ+ )+ να έχει ελάχιστο το

8 4 ο ΓΛΧ 4 Συνάρτηση :.4 Να εξεταστεί οιες α ό τις αρακάτω συναρτήσεις, είναι και οιες όχι: Α) ln + Β) Γ) ( )( 4) + 4. ίνεται η ln( ) Α Β + +, > Να µελετήσετε τη µονοτονία της Να λύσετε την εξίσωση: ( - + ) ln στο [,+ ). ίνεται η συνάρτηση :[, + ) για την ο οία ισχύει (()) +, για κάθε [, + ). Να δείξετε ότι η είναι.4 Να βρεθεί ο λ ώστε να είναι η 4 αν < συνάρτηση () + λ 8 αν. ίνεται ότι η συνάρτηση : είναι. Να α οδείξετε ότι η η F + είναι.. Θεωρούµε τις συναρτήσεις : Α και g :Β, να α οδείξετε ότι αν B (A) και η g είναι τότε η g είναι +, να δείξετε ότι.7 Αν η συνάρτηση : έχει την ιδιότητα είναι -.8 Να α οδειχτεί ότι δεν είναι η συνάρτηση αν ισχύει () 9.9 ίνεται η συνάρτηση ln Α) Nα µελετήσετε τη µονοτονία της Β) Να λύσετε την εξίσωση Γ) Να λύσετε την ανίσωση + ln >. Έστω συνάρτηση : µε σύνολο τι- µών το και () + (), Να α οδείξετε η αντιστρέφεται και να βρείτε τα κοινά σηµεία των C και C y.7 Αν είναι + y+,, y τότε Α) Να α οδείξετε ότι y. Β) Να λυθεί η εξίσωση Να α οδείξετε ότι αν ισχύει α β β α τότε α β µε α,β. Να λύσετε τις εξισώσεις. Α) + ln Β). Nα λύσετε την εξίσωση ( 4 + ) ( ) ( + ) 4 log λ log λ λ λ. ίνονται οι συναρτήσεις, g : µε ( )() + 9 και g +,. Nα α οδείξετε ότι και ότι η g δεν είναι 4.9 Αν () + τότε: Α) Να δείξετε ότι η είναι Β) Να λύσετε την εξίσωση.4 Αν τότε Α) Nα δείξετε ότι είναι Β) Να λύσετε την εξίσωση: ( - ) + - +( + ) + Μ. Πα αγρηγοράκης

9 Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση Αντίστροφη.4 Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης () +. Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης () ln +.4 Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης + ( ), <. Να βρείτε τα κοινά σηµεία των C (), [,] C αν.4 Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης () +.44 Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης () log.4 Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης () +.4 Έστω συνάρτης ώστε να ισχύει ((())) 7για κάθε. ίνεται ακόµη ότι (), () 9. Να α οδείξετε ότι η είναι ' και να λύσετε την εξίσωση () 9.. Για τη συνάρτηση : µε ισχύει ότι () + (), για κάθε. Να α οδείξετε η αντιστρέφεται και να βρείτε την.4 Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης () Αν για τις συναρτήσεις, g ορισµένες.47 Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης () log.48 Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης () ln(+ ).49 Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης () Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης, < () 9, στο, υ άρχουν οι συναρτήσεις ( g) και ( g ), να α οδείξετε ότι υ άρχουν και οι αντίστοιχα..7 Έστω η µε () +. Α) Να α οδείξετε ότι η αντιστρέφεται. Β) Να λύσετε την εξίσωση () (). Γ) Να λύσετε την ανίσωση (+ ) <..8 Έστω η συνάρτηση () + + Α) Να α οδείξετε ότι αντιστρέφεται Β) Να λύσετε τις εξισώσεις (), g, () Γ) Να βρείτε τα κοινά σηµεία της C µε τους ά- ξονες και µε την ευθεία y ) Να λύσετε την την εξίσωση. Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης () + ( ηµ ) ηµ + ηµ + ηµ και τις ανισώσεις: () <, και (+ ) +

10 4 ο ΓΛΧ 4 4 ΓΕΝΙΚΕΣ ( ( )). Για τη συνάρτηση : ισχύει ότι ν όροι να βρείτε το ( ). Θεωρούµε τις συναρτήσεις, g : ότι: Α) g g Β) g g ου είναι αντιστρέψιµες και ισχύει g g να α οδείξετε. ίνεται η συνάρτηση : (, + ) για την ο οία ισχύει ότι (+ y) () (y) για κάθε, y. Να α οδείξετε ότι: (y) () + (y),, y ().4 Έστω η συνάρτηση : µε σύνολο τιµών το () (). Α) Να βρείτε την,+ και για κάθε ισχύει Β) Να δείξετε ότι η είναι "-" και να βρείτε την αντίστροφη της. - y y. Έστω συνάρτηση : (, + ) µε την ιδιότητα: έχει µοναδική ρίζα, τότε Α) Να α οδείξετε ότι η είναι Β) Να λύσετε την εξίσωση + ( + ) ( + ) + ( + ) για κάθε, y> Αν η εξίσωση. Για τη συνάρτηση : ισχύει ότι ( y) ( y) >, να α οδείξετε ότι: Α) η είναι εριττή και γνήσια αύξουσα + +, για κάθε, y Β) Να λύσετε την εξίσωση: ( 4 + ) + ( 4 ) ( 8 4). Αν > για κάθε.7 H συνάρτηση : είναι γνήσια µονότονη και η τότε: Α) Να α οδείξετε ότι η είναι γν. αύξουσα Β) Να λυθεί η εξίσωση C διέρχεται α ό τα σηµεία A(,9 ) και B(, ) + ( + ) 9.8 Για την συνάρτηση : είναι γνωστό ότι + για κάθε Α) Να δείξετε ότι η είναι αντιστρέψιµη. Β) Να βρείτε το ( ). Γ) Nα λύσετε την εξίσωση Να α οδείξετε ότι η C της +, έχει άξονα συµµετρίας την y Μ. Πα αγρηγοράκης

11 Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση. Έστω ένα ισοσκελές και οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( ΑΒΑΓ ) εγγεγραµµένο σε κύκλο µε ακτίνα και έστω ότι ΒΑΓ ˆ Θ (rad). A) Να δείξετε ότι το εµβαδόν του ABΓ είναι Ε( θ) 4( ) + συνθ ηµθ, < θ< Β) Αν η γωνία θ µεταβάλλεται στο χρόνο, σύµφωνα µε τη συνάρτηση θ ( t) t, < t<, να 4 εκφράσετε το εµβαδόν Ε σε συνάρτηση µε το χρόνο, να βρείτε σε οια χρονική στιγµή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισό λευρο καθώς και το εµβαδόν του τη στιγµή εκείνη.. Α) Αν γν. αύξουσα στο και o B) Να α οδείξετε ότι η συνάρτηση σηµεία των C και C., τότε ( ( ) o o o o 4 αντιστρέφεται, να βρείτε την καθώς και τα κοινά. Για τη συνάρτηση : ισχύει ότι (+ y) ()(y) για κάθε, y και υ άρχει ξ, ώστε (ξ). Να α οδείξετε ότι: Α) () > για κάθε και () Β) ( ) () και () ( y), (y) Γ) ν (ν) () για κάθε ν Ν και. * ίνεται η συνάρτηση : για την ο οία ισχύει: Α. Να δείξετε ότι () > για κάθε. Β. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. Γ. Να λύσετε την ανίσωση: ln () >. (), για κάθε + ().4 * ίνεται η συνάρτηση : για την ο οία ισχύει ότι ( () ) Α) Να α οδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιµη Β) Να α οδείξετε ότι ( ) Γ) Αν είναι ( 8) 7 να α οδείξετε ότι ) Αν η συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα να λύσετε την εξίσωση Ε) Να α οδείξετε ότι ( ) + για κάθε... Έστω η συνάρτηση :(, + ) (, + ) µε γνησίως φθίνουσα. Α) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα. B) Nα λύσετε την εξίσωση ln( ) Γ) Να λυθεί η εξίσωση + ( 7 ) ( ) + ( 9 ) και η συνάρτηση g η ο οία είναι