ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Transcript

1 Να διατηρηθεί µέχρι Βαθµός ασφαλείας ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ Μαρούσι, Αριθ. Πρωτ. :11837 /Γ Βαθµός Προτερ.: ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΚΑΙ ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Β Ταχ. / νση: Α. Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: Μαρούσι Πληροφορίες:Τάσος Βιολέτης, Ρόη Μάρκου Τηλέφωνο: fax: t9tee7@minedu.gov.gr ΠΡΟΣ: * Περιφερειακές /νσεις Α/θµιας και Β/θµιας Εκπ/σης * ιευθύνσεις.ε. της χώρας * Γραφεία Ε.Ε. (µέσω /νσεων.ε.) * Ηµερήσια και Εσπερινά ΕΠΑ.Λ. και ΕΠΑ.Σ. όλης της χώρας (µέσω /νσεων.ε. και Γραφείων Ε.Ε.) * Σχολεία εύτερης Ευκαιρίας (µέσω /νσεων.ε.) * Σιβιτανίδειος Σχολή (Θεσσαλονίκης 15, Καλλιθέα) * Γραφεία Σχολικών Συµβούλων (µέσω /νσεων.ε.) ΚΟΙΝ.: Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, Τµήµα Β ΤΕΕ, Μεσογείων 4, ΑΓ. ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ ΘΕΜΑ: «Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµάτων των ΕΠΑ.Λ.- ΕΠΑ.Σ. για το σχολικό έτος 11-1» Σας αποστέλλουµε οδηγίες σχετικά µε τη διδασκαλία των Μαθηµάτων των ΕΠΑ.Λ. ΕΠΑ.Σ. για το σχολικό έτος 11 1, σύµφωνα µε τις αρ. 1/14-6-1, 19/7-1-1 και 9/ Πράξεις του Τµήµατος Τεχνικής και Επαγγελµατικής Εκπαίδευσης του Παιδαγωγικού.Ινστιτούτου. Οι διδάσκοντες να ενηµερωθούν ενυπόγραφα. Συνηµµένα στο ηλεκτρονικό ταχυδροµείο: Σελίδες 44 Ο ΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΣΤΥΛΙΑΝΟΣ ΜΕΡΚΟΥΡΗΣ Εσωτ. ιανοµή: /νση Σπουδών.Ε.,Τµήµα Β

2 «Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ Ι ΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΠΑ.Λ.- ΕΠΑ.Σ. ΓΙΑ ΤΟ ΣΧ. ΕΤΟΣ 11-1 Α Τάξη Ηµερησίου ΕΠΑ.Λ. Η διδακτέα ύλη των µαθηµάτων Άλγευρας, Γεωµετρίας για την Α Λυκείου στο Ηµερήσιο και Εσ ερινό ΕΠΑ.Λ. και για το σχολικό έτος 11-1 θα ακολουθεί το αναλυτικό ρόγραµµα και τα βιβλία ου θα ισχύσουν για το αντίστοιχο έτος στο Γενικό Λύκειο. ιδακτέα ύλη των Μαθηµατικών των Β και Γ Τάξεων του Ηµερήσιου ΕΠΑ.Λ. και των Β, Γ και Τάξεων του Εσ ερινού ΕΠΑ.Λ., καθώς και διδακτική της διαχείριση, κατά το σχολικό έτος Β Τάξη Ηµερήσιου ΕΠΑ.Λ. Άλγεβρα Γενικής Παιδείας [ ώρες την εβδοµάδα καθ όλη τη διάρκεια του έτους] Ι. ιδακτέα ύλη Α ό το βιβλίο «Αλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Πα ασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β.. Κεφ. 7 ο : Τριγωνοµετρία ( ιδακτέα αλλά όχι εξεταστέα) 7.1. Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Γωνίας 7.. Βασικές Τριγωνοµετρικές Ταυτότητες 7.3. Αναγωγή στο 1o Τεταρτηµόριο Α ό το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Πα ασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β.. Κεφ. 1 ο : Τριγωνοµετρία 1.1. Οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις 1.. Βασικές τριγωνοµετρικές εξισώσεις 1.3. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί αθροίσµατος γωνιών (χωρίς την υ ο αράγραφο «Εφα τοµένη αθροίσµατος και διαφοράς γωνιών») 1.4. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας α (χωρίς τον τύ ο της εφα και τις εφαρµογές 1,, 3, 4, 6) Κεφ. ο: Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις.1. Πολυώνυµα.. ιαίρεση ολυωνύµων.3. Πολυωνυµικές εξισώσεις

3 .4. Εξισώσεις ου ανάγονται σε ολυωνυµικές. Κεφ. 3 ο : Πρόοδοι 3.1. Ακολουθίες 3.. Αριθµητική ρόοδος 3.3. Γεωµετρική ρόοδος 3.4. Ανατοκισµός Ίσες καταθέσεις Χρεωλυσία 3.5. Άθροισµα ά ειρων όρων γεωµετρικής ροόδου Κεφ. 4 ο : Εκθετική και Λογαριθµική συνάρτηση 4.1. Εκθετική συνάρτηση 4.. Λογάριθµοι (χωρίς την α όδειξη της αλλαγής βάσης) 4.3. Λογαριθµική συνάρτηση (να διδαχθούν µόνο οι λογαριθµικές συναρτήσεις µε βάση το 1 και το e). ΙΙ. ιαχείριση διδακτέας ύλης Κεφάλαιο 7 ο Άλγεβρας Α Λυκείου (Προτείνεται να διατεθούν 6 διδακτικές ώρες) 7.1 Να δοθεί έµφαση στην έννοια του ακτινίου, στη σύνδεσή του µε τις µοίρες και την ανα αράστασή του στον τριγωνοµετρικό κύκλο. 7. Α) Προτείνεται να µη διδαχθούν οι ταυτότητες 4. Β) Να γίνει ε ιλογή α ό τις ασκήσεις 1-6 και 1-13 της Α Οµάδας. 7.3 Προτείνεται να µη δοθούν ρος λύση οι ασκήσεις της Β Οµάδας. Κεφάλαιο 1 ο (Προτείνεται να διατεθούν 1 διδακτικές ώρες) 1.1 Προτείνεται να γίνουν κατά ροτεραιότητα οι ασκήσεις: Α) 1, 3, 4, 5, 6 και 7(i, ii) της Α Οµάδας Β) 1, και 3 της Β οµάδας. 1. Προτείνεται να µη γίνουν: Α) Η άσκηση 11(ii) της Α Οµάδας Β) Όλες οι ασκήσεις της Β οµάδας. 1.3 Προτείνεται να µη γίνουν οι ασκήσεις, 3, 7, 8 και 9 της Β Οµάδας. 1.4 Προτείνεται να µη γίνουν οι ασκήσεις 7, 8 και 9 της Β Οµάδας. Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν 13 διδακτικές ώρες).1 Προτείνεται να γίνουν κατά ροτεραιότητα ασκήσεις: Α) 1 και (i, ii, iii) της Α Οµάδας Β) και 3 της Β Οµάδας.

4 . Προτείνεται: Α) Να γίνουν κατά ροτεραιότητα οι ασκήσεις 1 (i, iv),, 3 και 1 της Α Οµάδας Β) Να µη γίνουν οι ασκήσεις της Β Οµάδας..3 Α) Να µη δοθεί έµφαση στην τυ ική διατύ ωση του θεωρήµατος (σελ. 77), αλλά στη γεωµετρική ερµηνεία του, στο αράδειγµα ου ακολουθεί και στην άσκηση 8. Β) Ε ι λέον, ροτείνεται να γίνουν κατά ροτεραιότητα οι ασκήσεις 1, 4, 5, 6 και 8 της Α Οµάδας και τα ροβλήµατα της Β Οµάδας, τα ο οία οδηγούν στην ε ίλυση ολυωνυµικών εξισώσεων..4 Α) Να δοθεί έµφαση στο γεγονός ότι η ύψωση των µελών µιας εξίσωσης στο τετράγωνο δεν οδηγεί άντα σε ισοδύναµη εξίσωση. Αυτό µ ορεί να γίνει και µε τη βοήθεια των αρακάτω γραφικών αραστάσεων ου αναφέρονται στο αράδειγµα, σελ. 8. Γραφική λύση της x = x Γραφική λύση της x= ( x ) Β) Ε ι λέον, ροτείνεται να µη γίνουν οι ασκήσεις 3 και 4 της Β Οµάδας. Κεφάλαιο 3 ο (Προτείνεται να διατεθούν 11 διδακτικές ώρες ) 3.1 Προτείνεται να µη γίνουν οι ασκήσεις της Β Οµάδας. 3. Προτείνεται να γίνουν κατά ροτεραιότητα οι ασκήσεις: Α) 1(i, ii, iii), (ii), 3(i, ii), 4(i), 5(i), 8(iii, iv), 9(i), 11(i), και 1 της Α Οµάδας Β) 4, 5, 11, 1, 14 και 16 της Β Οµάδας 3.3 Προτείνεται να γίνουν κατά ροτεραιότητα οι ασκήσεις: Α) 1(i, ii), (ii), 3(i), 4(i), 5(ii), 6, 9(i, ii), 1(i, ii), 11(i), 1 και 13 της Α Οµάδας Β) 13 και 14 της Β Οµάδας.

5 3.4 Α) Προτείνεται οι τύ οι να δίνονται στους µαθητές για την ε ίλυση ασκήσεων, ώστε να µην α οτελέσουν αντικείµενο α οµνηµόνευσης. Β) Προτείνεται, ε ίσης, να χρησιµο οιούνται υ ολογιστές τσέ ης. Γ) Προτείνεται να µη γίνουν οι ασκήσεις Β Οµάδας. 3.5 Προτείνεται να γίνουν κατά ροτεραιότητα: Α) Οι ασκήσεις της Α Οµάδας Β) Μόνο η άσκηση 3 της Β Οµάδας Κεφάλαιο 4 ο (Προτείνεται να διατεθούν 1 διδακτικές ώρες) 4.1 Προτείνεται να δοθεί έµφαση στα ροβλήµατα της Β Οµάδας, µε ροτεραιότητα στα 6, 7 και Α) Προτείνεται να γίνουν κατά ροτεραιότητα: Οι ασκήσεις της Α Οµάδας µε έµφαση στα ροβλήµατα Οι ασκήσεις, 3, 5 της Β Οµάδας. Β) Προτείνεται να µη γίνουν οι ασκήσεις 6, 7 και 8 της Β Οµάδας. 4.3 Α) Προτείνεται να διδαχθούν µόνο οι συναρτήσεις f ( x) = log x και f ( x) = ln x. Β) Προτείνεται να γίνουν κατά ροτεραιότητα οι ασκήσεις:, 5, 6, 7 και 8 της Α Οµάδας 1(i, iii), 3, 5, 7 και 8 της Β Οµάδας. Ασκήσεις Γ Οµάδας: Να µη διδάσκονται ασκήσεις Γ Οµάδας. Γεωµετρία Γενικής Παιδείας [ 1 ώρα την εβδοµάδα καθ όλη τη διάρκεια του έτους] Ι. ιδακτέα ύλη Α ό το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωµετρία Α και Β Γενικού Λυκείου» των Αργυρό ουλου Η., Βλάµου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη Σ. και Σιδέρη Π., έκδοση Ο.Ε..Β.. Κεφ. 9 Ο : Μετρικές σχέσεις 9.1 Ορθές ροβολές 9. Το Πυθαγόρειο θεώρηµα 9.3 Γεωµετρικές κατασκευές 9.4 Γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήµατος (χωρίς την α όδειξη του θεωρήµατος ΙΙ) 9.5 Θεωρήµατα ιαµέσων 9.7 Τέµνουσες κύκλου Κεφ. 1 Ο : Εµβαδά 1.1 Πολυγωνικά χωρία 1. Εµβαδόν ευθύγραµµου σχήµατος - Ισοδύναµα ευθύγραµµα σχήµατα

6 1.3 Εµβαδόν βασικών ευθύγραµµων σχηµάτων 1.4 Άλλοι τύ οι για το εµβαδόν τριγώνου (χωρίς την α όδειξη του τύ ου ΙΙΙ) 1.5 Λόγος εµβαδών οµοίων τριγώνων ολυγώνων 1.6 Μετασχηµατισµός ολυγώνου σε ισοδύναµό του Κεφ. 11 Ο : Μέτρηση Κύκλου 11.1 Ορισµός κανονικού ολυγώνου 11. Ιδιότητες και στοιχεία κανονικών ολυγώνων (χωρίς τις α οδείξεις των θεωρηµάτων) 11.3 Εγγραφή βασικών κανονικών ολυγώνων σε κύκλο και στοιχεία τους (χωρίς τις εφαρµογές και 3) 11.4 Προσέγγιση του µήκους του κύκλου µε κανονικά ολύγωνα 11.5 Μήκος τόξου 11.6 Προσέγγιση του εµβαδού κύκλου µε κανονικά ολύγωνα 11.7 Εµβαδόν κυκλικού τοµέα και κυκλικού τµήµατος 11.8 Τετραγωνισµός κύκλου ΙΙ. ιαχείριση διδακτέας ύλης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 (Προτείνεται να διατεθούν 9 διδακτικές ώρες) Παράγραφοι 9.1, 9. ( ροτείνεται να διατεθούν δ.ω.): Α) Στις αραγράφους αυτές η άσκο η ασκησιολογία αλγεβρικού χαρακτήρα δε συνεισφέρει στην κατανόηση της Γεωµετρίας. Β) Προτείνεται να γίνει το σχόλιο της εφαρµογής ως σύνδεση µε την ε όµενη αράγραφο. Γ) Να µη γίνουν τα σύνθετα θέµατα 4, 6 σελ Παράγραφος 9.3 ( ροτείνεται να διατεθούν δ.ω.): Στην αράγραφο αυτή είναι σκό ιµο να διατεθεί χρόνος ώστε να σχολιαστεί το ιστορικό σηµείωµα για την ανακάλυψη των ασύµµετρων µεγεθών και να γίνουν και οι 3 κατασκευές (υ οτείνουσα και κάθετη λευρά ορθογωνίου τριγώνου, µέση ανάλογος, άρρητα ολλα λάσια ευθύγραµµου τµήµατος ου δίνουν και τον τρό ο κατασκευής ευθυγράµµων τµηµάτων µε µήκος τετραγωνική ρίζα φυσικού αφορµή για µία σύντοµη συζήτηση για τη δυνατότητα κατασκευής ή µη των αρρήτων). Παράγραφος ( ροτείνεται να διατεθούν 3 δ.ω): Α) Στην αράγραφο 9.4, ροτείνεται να µην αναλωθεί ε ι λέον διδακτικός χρόνος για άσκο η ασκησιολογία αλγεβρικού τύ ου. Β) Τα θεωρήµατα των διαµέσων ( αράγραφος 9.5) µ ορούν να διδαχθούν ως εφαρµογές των θεωρηµάτων της οξείας και αµβλείας γωνίας (χωρίς τις ασκήσεις τους) αφού και η αράγραφος 9.6 (γεωµετρικοί τό οι ου στηρίζονται στα θεωρήµατα των διαµέσων) είναι εκτός ύλης. Γ) Εφαρµογές των θεωρηµάτων των διαµέσων υ άρχουν σε ασκήσεις των ε όµενων αραγράφων. ) Να µη γίνουν τα σύνθετα θέµατα της σελίδας 194. Παράγραφος 9.7 ( ροτείνεται να διατεθούν δ.ω.): Α) Προτείνεται να δοθεί έµφαση στην 3η εφαρµογή και στο σχόλιό της (κατασκευή χρυσής τοµής, ο λόγος φ).

7 Β) Α ό τις ασκήσεις µία ε ιλογή θα µ ορούσε να είναι: οι ερωτήσεις κατανόησης, εµ έδωσης οι 1 και 4 α οδεικτικές οι 1 και 3. Τα σύνθετα θέµατα θα µ ορούσαν να εξαιρεθούν α ό την ύλη και οι γενικές ασκήσεις. Γ) Η δραστηριότητα σελ. 5 θα µ ορούσε να συνεισφέρει στην κατανόηση της 1-1 αντιστοιχίας µεταξύ των σηµείων της ευθείας και των ραγµατικών αριθµών. ) Να µη γίνουν: Τα σύνθετα θέµατα 3, 4 σελ. 4. Οι γενικές ασκήσεις του κεφαλαίου. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 (Προτείνεται να διατεθούν 8 διδακτικές ώρες) Παράγραφοι ( ροτείνεται να διατεθούν δ.ω.): Α) Οι διαθέσιµες ώρες αυξάνονται ροκειµένου να γίνουν και οι 3 εφαρµογές (µε την αρατήρηση της ) και οι δραστηριότητες των σελ. 15 και 17. Β) Θα µ ορούσε να γίνει η α όδειξη του Πυθαγορείου θεωρήµατος µέσω εµβαδών, ό ως αρατίθεται στα στοιχεία του Ευκλείδη και αναφέρεται στο ιστορικό σηµείωµα της σελ. 8. Γ) Προτεινόµενες ασκήσεις: Οι ερωτήσεις κατανόησης Α ό τις ασκήσεις εµ έδωσης οι 3 και 6 Α ό τις α οδεικτικές ασκήσεις οι 1,4,7 και 8. ) Να µη γίνουν τα σύνθετα θέµατα 1, 5 σελ. 18. Παράγραφος 1.4 ( ροτείνεται να διατεθούν δ.ω.): Α) Να µη γίνει ο τύ ος του Ήρωνα και οι αντίστοιχες ασκήσεις αλλά να εξηγηθεί ο συµβολισµός της ηµι εριµέτρου. Β) Μία ε ιλογή ασκήσεων θα µ ορούσε να είναι: Οι ερωτήσεις κατανόησης 1 και. Α ό τις ασκήσεις εµ έδωσης οι 3 και 4. Α ό τις α οδεικτικές 1,3 και 5. Γ) Να µη γίνουν τα σύνθετα θέµατα 1, σελ. 1. Παράγραφοι ( ροτείνεται να διατεθούν 4 δ.ω.): Α)Η αράγραφος 1.6 ροτείνεται να διδαχθεί αφού χρειάζεται στο ρόβληµα του τετραγωνισµού του κύκλου ( αράγραφος 11.8). Β) Να µη γίνουν τα σύνθετα θέµατα της σελίδας 5. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 (Προτείνεται να διατεθούν 1 διδακτικές ώρες) Παράγραφοι ( ροτείνεται να διατεθούν 3 δ.ω.): Α) Στην αράγραφο 11.1 µ ορεί να γίνει µία υ ενθύµιση της έννοιας του κυρτού ολυγώνου και των στοιχείων του, ό ως αναφέρεται στην αράγραφο. ου είναι εκτός της ύλης Α Λυκείου. Β) Προτείνεται να γίνει η αρατήρηση και το σχόλιο της σελ.36 ου χρειάζονται για την ε όµενη αράγραφο. Γ) Μ ορεί ε ίσης να γίνει µία αναφορά στο ρόλο των κανονικών ολυγώνων στη φύση, την τέχνη και τις ε ιστήµες (βιβλίο

8 καθηγητή για ε έκταση της α οδεικτικής άσκησης 1 σελ. 37 και συσχέτιση µε τη διακόσµηση µε κανονικά ολύγωνα). ) Να µη γίνουν τα σύνθετα θέµατα των σελίδων Παράγραφος 11.3 ( ροτείνεται να διατεθούν 3 δ.ω.): Α) Βάσει του σχολίου και της αρατήρησης της σελ. 36 της ροηγούµενης αραγράφου οι µαθητές µ ορούν µόνοι τους να οδηγηθούν στην εγγραφή των βασικών κανονικών ολυγώνων σε κύκλο, ό ως ροτείνεται και στο βιβλίο του καθηγητή. Β) Προτείνεται να δοθεί έµφαση στην εφαρµογή 1 και στη συνέχεια να γίνει η δραστηριότητα 1 σελ. 4. Γ) Να µη γίνουν οι εφαρµογές: Οι εφαρµογές και 3 της αραγράφου 11.3 Τα σύνθετα θέµατα της σελίδας 4. Παράγραφοι ( ροτείνεται να διατεθούν δ.ω.): Α) Οι αράγραφοι αυτοί µ ορούν να ροετοιµάσουν τους µαθητές ου θα ακολουθήσουν τη θετική κατεύθυνση για την εισαγωγή στις ά ειρες διαδικασίες µε φυσιολογικό τρό ο. Β) Θα µ ορούσαν να αναφερθούν κά οια ε ι λέον στοιχεία για τον αριθµό, αλλά θα ρέ ει να ξεκαθαριστεί τι είναι αλγεβρικός και τι υ ερβατικός αριθµός (για την αράγραφο 11.8). Γ) Να µη γίνει το σύνθετο θέµα της σελίδας 45. Παράγραφοι ( ροτείνεται να διατεθούν δ.ω.): Α) Προτείνεται να δοθεί έµφαση στις εφαρµογές (µηνίσκοι του Ι οκράτη) και στη δραστηριότητα σελ. 49. Β) Στην αράγραφο 11.8 (το αδύνατο του τετραγωνισµού του κύκλου) να γίνει αναφορά στα µη ε ιλύσιµα ροβλήµατα της Γεωµετρίας µε στοιχεία α ό το ιστορικό σηµείωµα της σελ.54. Γ) Να µη γίνει το σύνθετο θέµα 4 της σελίδας 51. Μαθήµατα Κατεύθυνσης Μαθηµατικά Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Ι. ιδακτέα ύλη Α ό το βιβλίο «Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Τάξης Γενικού Λυκείου» των Αδαµό ουλου Λ., Βισκαδουράκη Β., Γαβαλά., Πολύζου Γ. και Σβέρκου Α., έκδοση Ο.Ε..Β.. Κεφ. 1 ο : ιανύσµατα 1.1. Η Έννοια του ιανύσµατος 1.. Πρόσθεση και Αφαίρεση ιανυσµάτων 1.3. Πολλα λασιασµός Αριθµού µε ιάνυσµα (χωρίς τις Εφαρµογές 1 και στις σελ. 5-6) 1.4. Συντεταγµένες στο Ε ί εδο (χωρίς την Εφαρµογή στη σελ. 35) 1.5. Εσωτερικό Γινόµενο ιανυσµάτων Κεφ. ο : Η Ευθεία στο Ε ί εδο.1. Εξίσωση Ευθείας.. Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας.3. Εµβαδόν Τριγώνου (χωρίς τις α οδείξεις των τύ ων της α όστασης σηµείου α ό ευθεία, του εµβαδού τριγώνου και της Εφαρµογής 1 στη σελ. 73)

9 Κεφ. 3 ο : Κωνικές Τοµές 3.1. Ο Κύκλος (χωρίς τις αραµετρικές εξισώσεις του κύκλου) 3.. Η Παραβολή (χωρίς την α όδειξη της εξίσωσης της αραβολής, την α όδειξη του τύ ου της εφα τοµένης και την Εφαρµογή 1 στη σελ. 96) 3.3. Η Έλλειψη (χωρίς την α όδειξη της εξίσωσης της έλλειψης, τις αραµετρικές εξισώσεις της έλλειψης, την Εφαρµογή στη σελ. 17, την Εφαρµογή 1 στη σελ. 19 και την Εφαρµογή στη σελ. 11) 3.4. Η Υ ερβολή (χωρίς την α όδειξη της εξίσωσης της υ ερβολής και την α όδειξη του τύ ου των ασυµ τώτων) 3.5 Μόνο η υ ο αράγραφος «σχετική θέση ευθείας και κωνικής» και σύµφωνα µε την ροτεινόµενη διαχείριση. Κεφ. 4 ο : Θεωρία Αριθµών 4.1. Η Μαθηµατική Ε αγωγή ΙΙ. ιαχείριση διδακτέας ύλης Κεφάλαιο 1 ο (Προτείνεται να διατεθούν 17 διδακτικές ώρες). Ειδικότερα για την 1.5 ροτείνονται τα εξής: Α) Μετά τη διδασκαλία της υ ο αραγράφου «Προβολή διανύσµατος σε διάνυσµα» να δοθεί και να συζητηθεί η ερώτηση κατανόησης 13 της σελίδας 54, µε σκο ό να κατανοήσουν οι µαθητές: Το ρόλο της ροβολής διανύσµατος σε διάνυσµα κατά τον υ ολογισµό του εσωτερικού γινοµένου αυτών. Ότι δεν ισχύει η ιδιότητα της διαγραφής στο εσωτερικό γινόµενο. Β) Προτείνεται να µη γίνουν οι ασκήσεις: 8, 9 και 1 της Α Οµάδας (σελ ). Οι ασκήσεις 1, 3 και 1 της Β Οµάδας (σελ. 48-5). Οι Γενικές Ασκήσεις (σελ. 5-51). Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν 1 διδακτικές ώρες). Ειδικότερα για την.3 ροτείνονται τα εξής: Α) Πριν δοθούν οι τύ οι της α όστασης σηµείου α ό ευθεία και του εµβαδού τριγώνου, ροτείνεται να δοθούν στους µαθητές να ε εξεργαστούν δραστηριότητες, ό ως οι αρακάτω δύο: 1 η : ίνονται η ευθεία ε : x y 1 A 5,. Να βρεθούν: + = και το σηµείο ( ) α) Η εξίσωση της ευθείας ζ ου διέρχεται α ό το A και είναι κάθετη στην ε. β) Οι συντεταγµένες του σηµείου τοµής της ζ µε την ε. γ) Η α όσταση του A α ό την ε. Στη συνέχεια, να δηλωθεί στους µαθητές ότι µε ανάλογο τρό ο µ ορεί να α οδειχθεί ο τύ ος α όστασης ενός σηµείου α ό µία ευθεία, ο ο οίος και να δοθεί. 5, B, 3 και Γ (3,4). Να βρεθούν: η : ίνονται τα σηµεία A ( ), ( ) α) Η εξίσωση της ευθείας ΒΓ. β) Το ύψος Α του τριγώνου ΑΒΓ και γ) Το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

10 Στη συνέχεια, να δηλωθεί στους µαθητές ότι µε ανάλογο τρό ο µ ορεί να α οδειχθεί ο τύ ος του εµβαδού τριγώνου του ο οίου είναι γνωστές οι συντεταγµένες των κορυφών. Β) Προτείνεται να µη γίνουν: Η άσκηση 7 της Β Οµάδας (σελ. 76). Α ό τις Γενικές Ασκήσεις οι 3, 4, 5, 6 και 7 (σελ ). Κεφάλαιο 3 ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες). Ειδικότερα για τις 3., 3.3 και 3.5 ροτείνονται τα εξής: 3. Α) Πριν δοθεί ο τύ ος της εξίσωσης της αραβολής, ροτείνεται να λυθεί ένα ρόβληµα εύρεσης εξίσωσης αραβολής της ο οίας δίνεται η εστία και η διευθετούσα. Για αράδειγµα της αραβολής µε εστία το σηµείο E (1,) και διευθετούσα την ευθεία δ : x= 1. Με τον τρό ο αυτό οι µαθητές έρχονται σε ε αφή µε τη βασική ιδέα της α όδειξης. Β) Προτείνονται οι ασκήσεις 4-8 να γίνουν για συγκεκριµένη τιµή του p,.χ. για p= 3.3 Α) Πριν δοθεί ο τύ ος της εξίσωσης της έλλειψης, ροτείνεται να λυθεί ένα ρόβληµα εύρεσης εξίσωσης έλλειψης της ο οίας δίνονται οι εστίες και το σταθερό άθροισµα α. Για αράδειγµα της έλλειψης µε εστίες τα σηµεία Ε (-4,), Ε(4,) και α= 1. Β) Προτείνεται να µη δοθεί έµφαση σε ασκήσεις ου αναλώνονται σε ολλές ράξεις,.χ. οι ασκήσεις 3 και 5 της Β Οµάδας (σελ ) 3.5 Α ό την αράγραφο αυτή θα διδαχθεί µόνο η υ ο αράγραφος «Σχετική θέση ευθείας και κωνικής» και για κωνικές της µορφής των αραγράφων Έτσι, οι µαθητές θα γνωρίσουν την αλγεβρική ερµηνεία του γεωµετρικού ορισµού της εφα τοµένης των κωνικών τοµών και γενικότερα της σχετικής θέσης ευθείας και κωνικής τοµής. Κεφάλαιο 4 ο (Προτείνεται να διατεθούν 4 διδακτικές ώρες ). 4.1Η Μαθηµατική Ε αγωγή α οτελεί βασική α οδεικτική µέθοδο την ο οία ρέ ει να γνωρίζουν οι µαθητές ου στρέφονται ρος τις θετικές σ ουδές.

11 Ι. ιδακτέα ύλη Γ Τάξη Ηµερήσιου ΕΠΑ.Λ. Μαθηµατικά Ι [ 5 ώρες την εβδοµάδα καθ όλη τη διάρκεια του έτους] Α ό το βιβλίο Μαθηµατικά, Α τάξης του ου Κύκλου των Τ.Ε.Ε. (Π. Βλάµος, Α. ούναβης,. Ζέρβας), έκδοση Ο.Ε..Β.. Α/Α Κεφάλαιο / Περιεχόµενο 1 Κεφ. : Περιγραφική Στατιστική Παράγρ..1,.,.3 (χωρίς την κατανοµή συχνοτήτων σε κλάσεις άνισου λάτους στις σελ ) Παράγρ..4 και.5 (εκτός της µέσης α όλυτης α όκλισης στις σελίδες 84 86) Παράγρ..6 Εξαιρούνται οι Γενικές Ασκήσεις Κεφαλαίου στη σελ.1. Κεφ. 3: Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης Α. Παράγρ. 3.1, 3., 3.3 Παράγρ. 3.4 (µόνο µελέτη α ροσδιόριστης µορφής / για ρητές συναρτήσεις καθώς και για τα ριζικά µόνο την ρώτη ερί τωση του ίνακα συζυγών αραστάσεων της σελ. 115). Εξαιρούνται οι εφαρµογές: 1β και 1γ στις σελίδες 118 και 119, 4δ στις σελίδες 1 και 13, 5 στις σελ. 13 και 14, 6 στις σελίδες 14 και 15, και 7 στις σελίδες 15 και 16. Β. Παράγρ. 3.6, 3.7, 3.8 και 3.9. Εξαιρούνται οι εφαρµογές : στις σελίδες 14 και 143, 5 στη σελ.145 και 7 στις σελίδες 147 και 148. Σελίδες ( α ό έως) Κεφ. 4: Στοιχεία ιαφορικού Λογισµού Α. Παράγρ. 4.1, 4., 4.3, 4.4, 4.5 και Β. Παράγρ. 4.8 και Κεφ. 5: Στοιχεία Ολοκληρωτικού Λογισµού Παράγρ. 5.1, 5., 5.3 και 5.4. Εξαιρούνται οι εφαρµογές: 7 και 8 στις σελίδες 38 και 39, 9 και 1 στις σελίδες 46 και 47, οι ασκήσεις 1,, 3, 4 στις σελίδες 49 και 5, η α όδειξη του τύ ου της αραγοντικής ολοκλήρωσης στη σελ. 4 και οι Γενικές Ασκήσεις Κεφαλαίου στις σελ Γενική Παρατήρηση : Α) Οι εφαρµογές και τα αραδείγµατα του βιβλίου µ ορούν να χρησιµο οιηθούν ως ροτάσεις για τη λύση ασκήσεων ή την α όδειξη άλλων ροτάσεων.

12 Β) Εφαρµογές και ασκήσεις ου αναφέρονται σε όρια στο ά ειρο, καθώς και σε αραγράφους ή τµήµατα αραγράφων ου έχουν εξαιρεθεί, δεν α οτελούν µέρος της εξεταστέας ύλης. ΙΙ. ιδακτική διαχείριση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Το κεφάλαιο αυτό δε θα διδαχθεί. ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ (Προτείνεται να διατεθούν µέχρι διδακτικές ώρες.) Με τη διδασκαλία του κεφαλαίου αυτού ε ιδιώκεται οι µαθητές: Να γνωρίζουν τις διαδοχικές φάσεις µίας στατιστικής έρευνας Να γνωρίζουν τις βασικές έννοιες της Περιγραφικής Στατιστικής και να χρησιµο οιούν σωστά τη σχετική ορολογία. Να µ ορούν να διαβάσουν και να κατασκευάσουν ίνακες κατανοµής συχνοτήτων. Να µ ορούν να διαβάζουν τις διάφορες µορφές των γραφικών αραστάσεων κατανοµών συχνοτήτων. Να µ ορούν να αριστάνουν γραφικά µία κατανοµή συχνοτήτων. Να γνωρίζουν και να µ ορούν να υ ολογίζουν: τις αραµέτρους θέσης µίας κατανοµής συχνοτήτων και τις αραµέτρους διασ οράς µιας κατανοµής συχνοτήτων. Μεγάλο µέρος του εριεχοµένου της ενότητας της Περιγραφικής Στατιστικής έχει διδαχθεί στο Γυµνάσιο. Εδώ γίνεται συστηµατικότερη αράσταση και συµ λήρωση των σχετικών εννοιών. Για να µην καθυστερεί η διδασκαλία, οι στατιστικοί ίνακες και τα διαγράµµατα κρίνεται σκό ιµο να ετοιµάζονται σε φωτοτυ ίες ή διαφάνειες ριν α ό το µάθηµα. Αν αυτό δεν είναι εφικτό, συνιστάται να γίνεται ε εξεργασία τους µέσα α ό το βιβλίο. Να καταβληθεί ροσ άθεια µε κατάλληλα αραδείγµατα να κατανοήσουν οι µαθητές τις έννοιες ληθυσµός, µεταβλητή και δείγµα. Είναι σηµαντικό να αναγνωρίζουν οι µαθητές τη χρησιµότητα του δείγµατος α ό το ο οίο µ ορούν να ροκύψουν αξιό ιστες ληροφορίες για ολόκληρο τον ληθυσµό. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Κατά τη διδασκαλία του ου κεφαλαίου Α ό την αράγραφο.3 δε θα διδαχθεί η κατανοµή συχνοτήτων σε κλάσεις άνισου λάτους στις σελ Α ό την αράγραφο.5 δε θα διδαχθεί η µέση α όλυτη α όκλιση στις σελίδες ε θα διδαχθούν οι Γενικές Ασκήσεις του Κεφαλαίου. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (Προτείνεται να διατεθούν µέχρι 8 διδακτικές ώρες.) Με τη διδασκαλία του κεφαλαίου αυτού ε ιδιώκεται οι µαθητές: Να µ ορούν να βρίσκουν το όριο µίας συνάρτησης στο x o, όταν δίνεται η γραφική της αράσταση. Να γνωρίζουν τις βασικές ιδιότητες του ορίου συνάρτησης και µε τη βοήθειά του να υ ολογίζουν το όριο ολλών συναρτήσεων. Να κατανοήσουν την έννοια της συνέχειας συνάρτησης σε ένα σηµείο x o του εδίου ορισµού της.

13 Η έννοια του ορίου συνάρτησης στο x o, εισάγεται είτε ε ο τικά µε την βοήθεια της γραφικής αράστασης, είτε µε αρατήρηση κατάλληλου ίνακα τιµών της συνάρτησης. Τόσο τα σχήµατα όσο και οι ίνακες, για οικονοµία χρόνου, να δίδονται στους µαθητές είτε µε διαφάνειες, είτε µε φωτοτυ ίες ή ακόµα να γίνονται οι αρατηρήσεις µέσα α ό ανοικτά βιβλία. Η διδασκαλία του ορίου δεν α οτελεί αυτοσκο ό αλλά στοχεύει στην ροετοιµασία για την εισαγωγή στις έννοιες της αραγώγου και του ολοκληρώµατος. εν θα γίνουν ασκήσεις ου αναφέρονται στις ερι τώσεις και 3 του ίνακα συζυγών αραστάσεων της σελίδας 115. Η έννοια της συνέχειας συνάρτησης εισάγεται ε ο τικά και ακολουθεί ο ορισµός µε την βοήθεια του ορίου. ιευκρινίζεται ότι στην αρχή του κεφαλαίου αυτού ρέ ει να γίνει µία ε ανάληψη στην έννοια της συνάρτησης, µε ε ιδίωξη οι µαθητές να µ ορούν: να βρίσκουν το εδίο ορισµού µιας συνάρτησης να σχεδιάζουν τις γραφικές αραστάσεις των βασικών συναρτήσεων (αχ, αχ, α/χ, ηµ, συν, εφ, e χ, lnχ) α ό τη γραφική αράσταση µιας συνάρτησης να βρίσκουν την τιµή της σ ένα σηµείο x, τη µονοτονία της κατά διαστήµατα και τα ακρότατα. να βρίσκουν το άθροισµα, το γινόµενο και το ηλίκο α λών συναρτήσεων. Ε ειδή οι µαθητές δεν έχουν διδαχθεί την έννοια της σύνθετης συνάρτησης, θα ρέ ει ο διδάσκων να αφιερώσει τον αναγκαίο χρόνο για την κατανόηση της έννοιας αυτής ριν τη διδασκαλία του θεωρήµατος της συνέχειας σύνθετης συνάρτησης, σελ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Κατά τη διδασκαλία του 3 ου κεφαλαίου Α ό την αράγρ. 3.4 θα διδαχθεί µόνο η µελέτη α ροσδιόριστης µορφής / για ρητές συναρτήσεις καθώς και για τα ριζικά µόνο η ρώτη ερί τωση του ίνακα συζυγών αραστάσεων της σελ ε θα διδαχθούν οι αράγραφοι 3.5, 3.1 και ε θα διδαχθούν οι εφαρµογές: 1β και 1γ στις σελίδες 118 και 119, 4δ στις σελίδες 1 και 13, 5 στις σελ. 13 και 14, 6 στις σελίδες 14 και 15, 7 στις σελίδες 15 και 16, στις σελίδες 14 και 143, 5 στη σελ.145, και 7 στις σελίδες 147 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Προτείνεται να διατεθούν µέχρι 4 διδακτικές ώρες.) Με τη διδασκαλία του κεφαλαίου αυτού ε ιδιώκεται οι µαθητές: Να κατανοήσουν την έννοια της αραγώγου σε ένα σηµείο του εδίου ορισµού µιας συνάρτησης και να την ερµηνεύουν ως ρυθµό µεταβολής. Να γνωρίζουν του κανόνες αραγώγισης βασικών συναρτήσεων. Να µ ορούν να ροσδιορίζουν τα διαστήµατα στα ο οία µία συνάρτηση είναι σταθερή, γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα. Να µ ορούν να βρίσκουν τα ακρότατα (αν υ άρχουν) µίας συνάρτησης. Για την εύρεση του ρυθµού µεταβολής να χρησιµο οιηθούν αραδείγµατα α ό τη µέτρηση στερεών έτσι, ώστε οι µαθητές να ε αναλάβουν τους αντίστοιχους τύ ους. Να λυθούν ροβλήµατα στα ο οία να ζητείται το µέγιστο ή το ελάχιστο µιας συνάρτησης. Να γίνουν ολλές εφαρµογές του ιαφορικού Λογισµού τόσο στην Γεωµετρία, όσο και σε άλλες ε ιστήµες. ιευκρινίζεται ότι: α) Στην Παράγραφο 4.4, η αράγωγος σύνθετης συνάρτησης α οτελεί µέρος της διδακτέας και εξεταστέας ύλης. ηλαδή, δεν εξαιρείται ο κανόνας της αλυσίδας.

14 β) Η αράγραφος 4.6 της αράγουσας συνάρτησης να διδαχθεί µαζί µε τα ολοκληρώµατα (Αν µείνει στη θέση της, θα ξεχαστεί α ό τους µαθητές, αφενός γιατί ακολουθούν η µονοτονία και τα ακρότατα ου είναι ιδιαίτερης βαρύτητας, αφετέρου ε ειδή δεν υ άρχουν ασκήσεις στο σχολικό βιβλίο ου να υ οστηρίζουν τη διδασκαλία της.) β) Στην Παράγραφο 4.9, το κριτήριο της ης αραγώγου α οτελεί µέρος της διδακτέας και εξεταστέας ύλης. Με τη διδασκαλία του κριτηρίου της ης αραγώγου, ροσφέρεται στους µαθητές η δυνατότητα να χρησιµο οιούν εναλλακτικούς τρό ους για την εύρεση των ακρότατων της συνάρτησης. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ εν θα διδαχθεί η αράγραφος 4.7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Προτείνεται να διατεθούν µέχρι 35 διδακτικές ώρες.) Με τη διδασκαλία του κεφαλαίου αυτού ε ιδιώκεται οι µαθητές: Να κατανοήσουν την έννοια της αράγουσας ή αρχικής συνάρτησης. Να κατανοήσουν την έννοια και τις ιδιότητες του ορισµένου ολοκληρώµατος. Να υ ολογίζουν ολοκληρώµατα διαφόρων συναρτήσεων. Να µ ορούν να υ ολογίζουν το ολοκλήρωµα για την ε ίλυση διάφορων ροβληµάτων και για τον υ ολογισµό εµβαδών. Ο υ ολογισµός των ολοκληρωµάτων θα γίνεται µε την ανακάλυψη της αράγουσας ή µε την αραγοντική ολοκλήρωση. Να λυθούν ροβλήµατα στα ο οία δίνεται ο ρυθµός µεταβολής ενός µεγέθους ως ρος ένα άλλο και ζητείται η συνάρτηση ου εκφράζει τη σχέση των δύο µεγεθών. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Κατά τη διδασκαλία του 5 ου κεφαλαίου ε θα διδαχθούν: Η α όδειξη του τύ ου της αραγοντικής ολοκλήρωσης στη σελ. 4. Οι εφαρµογές: 7 και 8 στις σελίδες 38 και 39, 9 και 1 στις σελίδες 46 και 47. Οι ασκήσεις 1,, 3, 4 στις σελίδες 49 και 5. Οι Γενικές Ασκήσεις του Κεφαλαίου. Γενική Παρατήρηση: Εφαρµογές και ασκήσεις ου αναφέρονται σε όρια στο ά ειρο καθώς και σε αραγράφους ή τµήµατα αραγράφων ου έχουν εξαιρεθεί δεν α οτελούν µέρος της εξεταστέας ύλης. Μαθηµατικά ΙΙ Εισαγωγή Η ύλη στα Μαθηµατικά κατεύθυνσης Γ' Λυκείου, στο µεγαλύτερο µέρος της, α οτελεί µια εισαγωγή των µαθητών στις βασικές έννοιες της Μαθηµατικής Ανάλυσης. Ό ως έχει ροκύψει α ό διεθνείς έρευνες αλλά και α ό έρευνες ου έχουν γίνει στη χώρα µας, οι µαθητές αντιµετω ίζουν σηµαντικά ροβλήµατα στην κατανόηση των εννοιών της Ανάλυσης. Ο σχηµατισµός σωστών εικόνων για µια µαθηµατική έννοια α οτελεί αναγκαία ροϋ όθεση για την κατανόηση της. Οι ροτάσεις ου ακολουθούν έχουν ως στόχο τη σωστή διαισθητική κατανόηση των βασικών εννοιών και των βασικών θεωρηµάτων, µε την ανά τυξη

15 σωστών εικόνων και αντιλήψεων, καθώς και την ανά τυξη δεξιοτήτων για τη λύση ροβληµάτων. ΙΙ. ιδακτέα ύλη Α ό το βιβλίο «Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης» Γ Τάξης Γενικού Λυκείου των Ανδρεαδάκη Στ., κ.α., έκδοση Ο.Ε..Β. ΜΕΡΟΣ Α Κεφ. ο : Μιγαδικοί αριθµοί.1. Η έννοια του Μιγαδικού Αριθµού.. Πράξεις στο σύνολο C των Μιγαδικών.3. Μέτρο Μιγαδικού Αριθµού ΜΕΡΟΣ Β Κεφ. 1 ο : Όριο - Συνέχεια συνάρτησης 1.1. Πραγµατικοί αριθµοί 1.. Συναρτήσεις Μονότονες συναρτήσεις - Αντίστροφη συνάρτηση Όριο συνάρτησης στο x R 1.5. Ιδιότητες των ορίων (χωρίς τις α οδείξεις της υ ο αραγράφου: «Τριγωνοµετρικά όρια») 1.6. Μη ε ερασµένο όριο στο x R 1.7. Όριο συνάρτησης στο ά ειρο 1.8. Συνέχεια συνάρτησης Κεφ. ο : ιαφορικός Λογισµός.1. Η έννοια της αραγώγου (χωρίς την υ ο αράγραφο: «Κατακόρυφη εφα τοµένη»)... Παραγωγίσιµες συναρτήσεις - Παράγωγος συνάρτηση..3. Κανόνες αραγώγισης, χωρίς την α όδειξη του θεωρήµατος ου αναφέρεται στην αράγωγο γινοµένου συναρτήσεων..4. Ρυθµός µεταβολής..5. Θεώρηµα Μέσης Τιµής ιαφορικού Λογισµού..6. Συνέ ειες του Θεωρήµατος Μέσης Τιµής..7. Το ικά ακρότατα συνάρτησης, χωρίς το θεώρηµα της σελίδας 64 («Κριτήριο της ης αραγώγου»)..8. Κυρτότητα-Σηµεία καµ ής συνάρτησης (Θα µελετηθούν µόνο οι συναρτήσεις ου είναι δύο, τουλάχιστον, φορές αραγωγίσιµες στο εσωτερικό του εδίου ορισµού τους)..9. Ασύµ τωτες - Κανόνες De l Hospital..1. Μελέτη και χάραξη της γραφικής αράστασης µιας συνάρτησης. Κεφ. 3 ο : Ολοκληρωτικός Λογισµός 3.1. Αόριστο ολοκλήρωµα (Μόνο η υ ο αράγραφος «Αρχική συνάρτηση», ου θα συνοδεύεται α ό ίνακα αραγουσών συναρτήσεων ο ο οίος εριλαµβάνεται στην ροτεινόµενη διδακτική διαχείριση Ορισµένο ολοκλήρωµα. x =. α 3.5. Η συνάρτηση F( x) f ( t) dt

16 3.7. Εµβαδόν ε ί εδου χωρίου (χωρίς την εφαρµογή 3 της σελίδας 348). Παρατηρήσεις: 1. Η διδακτέα - εξεταστέα ύλη θα διδαχτεί σύµφωνα µε τις οδηγίες του Π.Ι.. Τα θεωρήµατα, οι ροτάσεις, οι α οδείξεις και οι ασκήσεις ου φέρουν αστερίσκο δε διδάσκονται και δεν εξετάζονται. 3. Οι εφαρµογές και τα αραδείγµατα των βιβλίων δεν εξετάζονται ούτε ως θεωρία ούτε ως ασκήσεις. Μ ορούν, όµως, να χρησιµο οιηθούν ως ροτάσεις για τη λύση ασκήσεων ή την α όδειξη άλλων ροτάσεων. 4. Εξαιρούνται α ό την διδακτέα - εξεταστέα ύλη οι εφαρµογές και οι ασκήσεις ου αναφέρονται σε λογαρίθµους µε βάση διαφορετική του e και του 1. ΙΙ. ιαχείριση διδακτέας ύλης ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν 1 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.1 -. (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).3 (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες). Κατά τη διδασκαλία των τριών αρα άνω αραγράφων ροτείνεται να δοθεί έµφαση στη γεωµετρική ερµηνεία των µιγαδικών αριθµών και των ιδιοτήτων τους σε συνδυασµό µε γνώσεις α ό τα µαθηµατικά κατεύθυνσης της Β' Λυκείου και την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Οι δύο () ώρες ου α οµένουν α ό τον συνολικό αριθµό των ροτεινόµενων ωρών να διατεθούν για ασκήσεις α ό το σύνολο του κεφαλαίου. ΜΕΡΟΣ Β : Ανάλυση Κεφάλαιο 1 ο (Προτείνεται να διατεθούν 33 διδακτικές ώρες). Ειδικότερα: 1.1 (Προτείνεται να διατεθεί 1 διδακτική ώρα). Το εριεχόµενο της αραγράφου αυτής είναι σηµείο αναφοράς για τα ε όµενα. Οι ερισσότερες α ό τις έννοιες ου εριέχονται είναι ήδη γνωστές στους µαθητές. Γι αυτό η διδασκαλία δεν ρέ ει να στοχεύει στην εξ υ αρχής αναλυτική αρουσίαση γνωστών εννοιών, αλλά στο να δίνει αφορµές στους µαθητές να ανατρέχουν στα βιβλία των ροηγούµενων τάξεων και να ε αναφέρουν στη µνήµη τους γνωστές έννοιες και ροτάσεις ου θα τις χρειαστούν στα ε όµενα. 1. (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες).

17 Να δοθεί έµφαση στις έννοιες της ισότητας και της σύνθεσης συναρτήσεων και στη χρήση και ερµηνεία των γραφικών αραστάσεων. 1.3 (Προτείνεται να διατεθούν 3 διδακτικές ώρες). α) Να γίνουν ασκήσεις ελέγχου της ιδιότητας 1-1 µέσα α ό γραφήµατα. β) Στην άσκηση 3 (σελ. 156) να µελετηθεί η µονοτονία των συναρτήσεων ου δίδονται οι γραφικές τους αραστάσεις. Να γίνουν και άλλες τέτοιου τύ ου ασκήσεις. 1.4(Προτείνεται να διατεθούν 3 διδακτικές ώρες). Με δεδοµένο ότι ο τυ ικός ορισµός του ορίου (σελ. 161) δεν συµ εριλαµβάνεται στην ύλη, να δοθεί βάρος στη διαισθητική ροσέγγιση της έννοιας του ορίου. ηλαδή, να γίνει ροσ άθεια, µέσα α ό γραφικές αραστάσεις κατάλληλων συναρτήσεων, να α οκτήσουν οι µαθητές µια καλή εικόνα και να α οφευχθούν αρανοήσεις, ου α ό τη βιβλιογραφία έχει ροκύψει ότι δηµιουργούνται συχνά στους µαθητές, για την έννοια του ορίου. Να τονιστεί ιδιαίτερα, µέσα α ό κατάλληλες γραφικές αραστάσεις, ότι η συµ εριφορά της συνάρτησης στο σηµείο x δεν ε ηρεάζει το όριο της όταν το x τείνει στο x, καθώς και ότι η τιµή του lim f ( x) καθορίζεται, α ό τις τιµές ου αίρνει η συνάρτηση κοντά στο x. ηλαδή, δύο συναρτήσεις ου έχουν τις ίδιες τιµές σε ένα διάστηµα γύρω α ό το x αλλά µ ορεί να διαφέρουν στο x ( αίρνουν διαφορετικές τιµές ή η µια ορίζεται και η άλλη δεν ορίζεται ή καµία δεν ορίζεται) έχουν το ίδιο όριο όταν το x τείνει στο x (σχολικό βιβλίο, σελ ). Να τονιστεί, ε ίσης, ότι η ύ αρξη του ορίου δεν συνε άγεται µονοτονία, κάτι ου ό ως ροκύ τει α ό τη βιβλιογραφία είναι συνηθισµένη αρανόηση των µαθητών, ούτε όµως και το ική µονοτονία δεξιά και αριστερά του x, δηλαδή µονοτονία σε ένα διάστηµα αριστερά του x και σε ένα διάστηµα δεξιά του x. Για το σκο ό αυτό µ ορεί να χρησιµο οιηθούν γραφικές αραστάσεις κατάλληλων συναρτήσεων, ου θα σχεδιαστούν µε τη βοήθεια λογισµικού, ό ως είναι για αράδειγµα η f ( x) 1 = x ηµ (Σχήµα 1). x x x

18 Σχήµα 1. Ε ίσης, ε ειδή ολλοί µαθητές θεωρούν ότι όταν ένα όριο δεν υ άρχει τα λευρικά όρια υ άρχουν και είναι διαφορετικά, να δοθούν γραφικά και να συζητηθούν αραδείγµατα ου δεν υ άρχουν τα λευρικά όρια, ό ως για αράδειγµα η (Σχήµα ). f ( x) 1 = ηµ x Σχήµα. 1.5(Προτείνεται να διατεθούν 6 ώρες). Στην ενότητα αυτή δεν έχει νόηµα µια άσκο η ασκησιολογία ου οι µαθητές υ ολογίζουν όρια, κάνοντας χρήση αλγεβρικών δεξιοτήτων. Στη λύση των ασκήσεων να ζητείται α ό τους µαθητές να τονίζουν τις ιδιότητες των ορίων ου χρησιµο οιούν, ώστε οι ασκήσεις αυτές να α οκτούν ουσιαστικό εριεχόµενο α ό λευράς Ανάλυσης, κάτι ου θα βοηθήσει στην ανά τυξη της κατανόησης α ό τους µαθητές της έννοιας του ορίου. Για αράδειγµα σε ερωτήσεις ό ως «να βρεθεί 4 x 16 το lim»(άσκηση 3 ί) θα ρέ ει να ζητείται α ό τους µαθητές να x 3 x 8 αιτιολογήσουν οιες ιδιότητες των ορίων χρησιµο οιούνται στα ενδιάµεσα στάδια µέχρι τον τελικό υ ολογισµό, να

19 4 x 16 ( x + 4) ( x+ ) ροβληµατιστούν αν οι f ( x) = και g( x) = είναι 3 x 8 x + x+ 4 ίσες και, αφού δια ιστώσουν ότι δεν είναι ίσες, να δικαιολογήσουν γιατί έχουν ίσα όρια. Ε ίσης σε ασκήσεις ό ου η συνάρτηση ορίζεται µε διαφορετικό τύ ο σε δύο συνεχόµενα διαστήµατα, ό ως.χ. η άσκηση 5 (σελ. 175), να ζητείται αιτιολόγηση γιατί στο σηµείο αλλαγής του τύ ου είµαστε υ οχρεωµένοι να ελέγχουµε τα λευρικά όρια, ενώ στα άλλα σηµεία του εδίου ορισµού µ ορούµε να βρούµε το όριο χρησιµο οιώντας τον αντίστοιχο τύ ο. ηλαδή, να φαίνεται ότι οι µαθητές κατανοούν ότι το όριο καθορίζεται α ό τις τιµές της συνάρτησης κοντά στο x και εκατέρωθεν αυτού. Αυτό µας ε ιτρέ ει στα σηµεία τα διαφορετικά α ό το x να χρησιµο οιούµε τον ένα τύ ο, ενώ στο x ρέ ει να άρουµε λευρικά όρια. 1.6(Προτείνεται να διατεθούν 4 διδακτικές ώρες). Να δοθεί βάρος στη διαισθητική ροσέγγιση της έννοιας µε τη χρήση γραφικών αραστάσεων. Εκτός α ό τα αραδείγµατα του βιβλίου να δοθούν, µέσα α ό κατάλληλες γραφικές αραστάσεις, ου θα σχεδιαστούν µε τη βοήθεια λογισµικού, αραδείγµατα ό ου το όριο δεν είναι ε ερασµένο αλλά δεν υ άρχει µονοτονία, ό ως.χ. 1 1 lim ηµ x + (Σχήµα 3), ώστε να α οφευχθεί η αρανόηση ου x x συνδέει την ύ αρξη µη ε ερασµένου ορίου στο x µε τη µονοτονία. Σχήµα (Προτείνεται να διατεθούν 4 διδακτικές ώρες). Να δοθεί βάρος στη διαισθητική ροσέγγιση της έννοιας. Να δοθούν, µέσα α ό κατάλληλες γραφικές αραστάσεις, αραδείγµατα συναρτήσεων των ο οίων το όριο, όταν το x τείνει στο +, υ άρχει αλλά οι συναρτήσεις αυτές δεν είναι µονότονες, ό ως είναι για ηµx αράδειγµα η f ( x) = (Σχήµα 4), καθώς και συναρτήσεων των x ο οίων το όριο δεν υ άρχει, όταν το x τείνει στο +, ό ως είναι για αράδειγµα η f ( x) = ηµx.

20 Σχήµα 4. Τα όρια: 1 1 lim x n, lim x n, lim x + x x + x n και lim x x n να συζητηθούν µε τη χρήση γραφικών αραστάσεων, ου θα σχεδιαστούν µε τη βοήθεια λογισµικού, και ινάκων τιµών, µε στόχο να αντιληφθούν διαισθητικά οι µαθητές οια είναι τα όρια αυτά. Η τελευταία αράγραφος, ε ερασµένο όριο ακολουθίας, να συζητηθεί γιατί θα χρειαστεί για το ορισµένο ολοκλήρωµα. 1.8(Προτείνεται να διατεθούν 1 διδακτικές ώρες). Στην ρώτη ενότητα (ορισµός της συνέχειας) να συζητηθούν και γραφικά αραδείγµατα συνεχών συναρτήσεων µε εδίο ορισµού ένωση ξένων διαστηµάτων, ό ως είναι για αράδειγµα οι συναρτήσεις f ( x) 1 = (Σχήµα 5) και x g x ( ) x 1 = (Σχήµα 6) Σχήµα 5 Σχήµα 6 και να συζητηθεί γιατί το γράφηµα των συναρτήσεων αυτών διακό τεται, αρόλο ου είναι συνεχείς. Να δοθούν στους µαθητές και σχετικές ασκήσεις.

21 Ε ίσης, κατά τη διδασκαλία των θεωρηµάτων Bolzano, ενδιάµεσων τιµών και µέγιστης και ελάχιστης τιµής, καθώς και της ρότασης ότι η συνεχής εικόνα διαστήµατος είναι διάστηµα, να δοθεί έµφαση και να συζητηθούν οι γραφικές αραστάσεις ου ακολουθούν τις τυ ικές διατυ ώσεις αυτών, ώστε οι µαθητές να βοηθηθούν στην ουσιαστική κατανόηση τους. Το θεώρηµα Bolzano είναι το ρώτο ουσιαστικά θεώρηµα ου συναντάνε οι µαθητές στην Ανάλυση. Για αυτό είναι καλό να γίνει µια συζήτηση ου να αφορά την αναγκαιότητα των υ οθέσεων του θεωρήµατος ανάλογη µε το σχόλιο του θεωρήµατος των ενδιάµεσων τιµών (σελ. 194). Ε ίσης θα ρέ ει να τονισθεί ότι δεν ισχύει το αντίστροφο. ηλαδή ενδέχεται οι τιµές µιας συνάρτησης στα άκρα ενός κλειστού διαστήµατος [ α, β ] του εδίου ορισµού της να έχουν το ίδιο ρόσηµο, η συνάρτηση να µην είναι συνεχής στο [ α, β ] και όµως να αίρνει την τιµή σε ένα εσωτερικό σηµείο του [ α, β ]. Οι ώρες ου α οµένουν να διατεθούν για την ε ίλυση ε αναλη τικών ασκήσεων α ό ολόκληρο το κεφάλαιο. Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν 38 διδακτικές ώρες).1(προτείνεται να διατεθούν 7 διδακτικές ώρες). Να δοθεί έµφαση στην εισαγωγή της έννοιας µέσω του ροβλήµατος της στιγµιαίας ταχύτητας και της εφα τοµένης. Μετά τον ορισµό της αραγώγου και της εφα τοµένης γραφικής αράστασης συνάρτησης (σελ14) να συζητηθεί αναλυτικότερα η έννοια της εφα τοµένης. Ε ίσης, να δοθούν αραδείγµατα ου θα βοηθήσουν τον µαθητή να ανακατασκευάσει την εικόνα της εφα τοµένης ου έχει α ό τον κύκλο (η εφα τοµένη έχει ένα κοινό σηµείο και δεν κόβει την καµ ύλη) και να σχηµατίσει µια γενικότερη εικόνα για την εφα τοµένη ευθεία. Για αράδειγµα, ροτείνεται να συζητηθούν και να δοθούν στους µαθητές γραφικά: i) Η εφα τοµένη της γραφικής αράστασης της συνάρτησης 3 f ( x) = x στο σηµείο Ο, ώστε να καταλάβουν ότι η εφα τοµένη µιας καµ ύλης µ ορεί να δια ερνά την καµ ύλη και ii) Η εφα τοµένη της γραφικής αράστασης της συνάρτησης x, αν x g( x) = στο σηµείο Ο, ώστε να καταλάβουν ότι µια, αν x> ηµιευθεία της εφα τοµένης µιας καµ ύλης µ ορεί να συµ ί τει µε ένα τµήµα της καµ ύλης και ε ι λέον ότι η εφα τοµένη µιας ευθείας σε κάθε σηµείο της συµ ί τει µε την ευθεία..(προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες). Να ροσεχθεί ιδιαίτερα το θέµα της κατανόησης α ό τους µαθητές f ( x+ h) f ( x) των ρόλων του h και του x στην έκφραση f '( x) = lim h h ου χρησιµο οιείται στο βιβλίο για τον υ ολογισµό της αραγώγου των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων (σελ 5). Να τονιστεί η διαφορά αραγώγου σε σηµείο και αραγώγου συνάρτησης..3 (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).

22 Να δοθεί βάρος στην αραγώγιση σύνθετης συνάρτησης καθώς και στην αρατήρηση της σελίδας 34 σχετικά µε το ότι το σύµβολο dy dx δεν είναι ηλίκο. Στην εφαρµογή (σελ 36) ου αφορά στην εφα τοµένη του κύκλου να τονιστεί ότι η εξίσωση της ευθείας ου βρέθηκε µε βάση τον αναλυτικό ορισµό της εφα τοµένης είναι ίδια µε αυτή ου γνωρίζουµε α ό την αναλυτική γεωµετρία. Αυτό για να σταθερο οιηθεί στους µαθητές η αντίληψη ότι η έννοια της εφα τοµένης ου ραγµατεύονται στην ανάλυση συνδέεται και ε εκτείνει την έννοια της εφα τοµένης ου γνωρίσανε στη γεωµετρία..4 (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες). Η έννοια του ρυθµού µεταβολής είναι σηµαντική και δείχνει τη σηµασία της έννοιας της αραγώγου στις εφαρµογές. Για το λόγο αυτό καλό είναι να γίνει ροσ άθεια οι µαθητές να κατανοήσουν την έννοια και να δουν ορισµένες χρήσιµες εφαρµογές..5(προτείνεται να διατεθούν 3 διδακτικές ώρες). Να δοθεί έµφαση στη γεωµετρική ερµηνεία των θεωρηµάτων Rolle και Μέσης Τιµής ου υ άρχει στο σχολικό βιβλίο µετά τη διατύ ωση των θεωρηµάτων αυτών. Ε ειδή οι µαθητές έχουν χρησιµο οιήσει το θεώρηµα του Bolzano, σε ασκήσεις ό ως η εφαρµογή 1 ii) µ ορεί να συζητηθεί ρώτα η δυνατότητα α όδειξης µε χρήση του θεωρήµατος Bolzano και να φανεί ότι δεν µ ορούµε να εφαρµόσουµε αυτό το θεώρηµα. Έτσι φαίνεται ότι το θεώρηµα Rolle α οτελεί ουσιαστικό εργαλείο και για τέτοιες ερι τώσεις. Στην εφαρµογή 3 να γίνει S(,5) S() συζήτηση τι εκφράζει το ηλίκο (µέση ταχύτητα της,5 κίνησης) µε στόχο να κατανοήσουν οι µαθητές ότι αυτό ου α οδεικνύεται είναι ότι κατά τη διάρκεια της κίνησης υ άρχει τουλάχιστον µια χρονική στιγµή κατά την ο οία η στιγµιαία ταχύτητα θα είναι ίση µε τη µέση ταχύτητα ου είχε το αυτοκίνητο σε όλη την κίνηση. Εναλλακτικά θα µ ορούσε να συζητηθεί στην αρχή του κεφαλαίου, το γεγονός ότι κατά τη διάρκεια της κίνησης ενός αυτοκινήτου κά οια στιγµή της διαδροµής η στιγµιαία ταχύτητά του θα είναι ίση µε τη µέση ταχύτητά του (κάτι ου οι µαθητές το αντιλαµβάνονται διαισθητικά). Στη συνέχεια να διατυ ωθεί η µαθηµατική σχέση ου εκφράζει το γεγονός αυτό, και να τεθεί το ερώτηµα αν το συµ έρασµα µ ορεί να γενικευθεί και για άλλες συναρτήσεις. Η α άντηση στην ερώτηση αυτή είναι το θεώρηµα Μέσης Τιµής..6(Προτείνεται να διατεθούν 4 διδακτικές ώρες). Στην αρχή της διδασκαλίας αυτού του κεφαλαίου µ ορεί να συνδεθεί η µονοτονία µιας συνάρτησης f σε ένα διάστηµα του εδίου ορισµού της µε την διατήρηση του λόγου µεταβολής f ( x) f ( x1 ) στο διάστηµα αυτό. Συγκεκριµένα, να α οδειχτεί ότι η x x1 f είναι:

23 f ( x) f ( x1 ) i) γνησίως αύξουσα στο, αν και µόνο αν >, x x1 δηλαδή, αν και µόνο αν όλες οι χορδές της γραφικής της αράστασης της f στο έχουν θετική κλίση. f ( x) f ( x1 ) ii) γνησίως φθίνουσα στο, αν και µόνο αν <, x x1 δηλαδή, αν και µόνο αν όλες οι χορδές της γραφικής της αράστασης της f στο έχουν αρνητική κλίση. Με τον τρό ο αυτό θα συνδεθεί η µονοτονία µε την αράγωγο και θα δικαιολογηθεί το γιατί στην α όδειξη του θεωρήµατος της σελίδας f ( x) f ( x1 ) 53 χρησιµο οιούµε το λόγο µεταβολής. x x 1.7 (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες)..8 (Προτείνεται να διατεθούν 3 διδακτικές ώρες)..9(προτείνεται να διατεθούν 4 διδακτικές ώρες). Για µια διαισθητική κατανόηση του κανόνα De L Hospital ροτείνεται, ριν τη διατύ ωση του, να δοθεί στους µαθητές να ln x υ ολογίσουν το lim, το ο οίο είναι της µορφής. Οι µαθητές x 1 x θα δια ιστώσουν ότι αδυνατούν να υ ολογίσουν το όριο αυτό µε τις µεθόδους ου γνωρίζουν µέχρι τώρα. Για να τους βοηθήσουµε να υ ολογίσουν το αρα άνω όριο ροτείνουµε να δοθεί σε αυτούς η ακόλουθη δραστηριότητα. ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ: i) Να αραστήσετε γραφικά στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων τις συναρτήσεις f ( x) = ln x και g( x) = 1 x. ii) Να α οδείξετε ότι οι εφα τόµενες των γραφικών αραστάσεων των f και g στο κοινό τους σηµείο A(1,) είναι οι ευθείες ε : y= x 1και ζ : y= x+ αντιστοίχως και να τις χαράξετε. iii) Να κάνετε χρήση του ότι «κοντά» στο x = 1 οι τιµές των συναρτήσεων f ( x) = ln x και g( x) 1 x = ροσεγγίζονται α ό τις τιµές των εφα τοµένων τους y= x 1 και y= x+ για να καταλήξετε στο ln x συµ έρασµα ότι «κοντά» στο x = 1 η τιµή του ηλίκου είναι 1 x x 1 κατά ροσέγγιση ίση µε την τιµή του ηλίκου, δηλαδή ότι x+ «κοντά» στο x = 1ισχύει: ln x x 1 x 1 1 = =, 1 x x+ x( x 1) ου είναι το ηλίκο των κλίσεων των αρα άνω ευθειών. f ( x) f ( 1) Ε οµένως, «κοντά» στο x = 1ισχύει, το ο οίο υ ό µορφή g x g 1 ορίου γράφεται: ( ) ( )

24 ( ) ( ) ( 1) ( 1) f x f lim =. x 1 g x g ΣΧΟΛΙΟ x Η δια ίστωση του ότι «κοντά» στο = 1 οι τιµές των συναρτήσεων f x = x και g( x) = 1 x ροσεγγίζονται α ό τις τιµές των ( ) ln εφα τοµένων τους y= x 1 και y= x+ µ ορεί να γίνει και µε τη βοήθεια ενός δυναµικού λογισµικού ( χ. Geogebra), ως εξής: Παριστάνουµε γραφικά τις συναρτήσεις y= ln x και y= 1 x και στη συνέχεια χαράσσουµε τις εφα τόµενες τους y= x 1 και y= x+ αντιστοίχως (σχήµα 7). Έ ειτα, κάνουµε αλλε άλληλα ZOOM κοντά στο σηµείο A (1, ). Θα αρατηρήσουµε ότι η y= ln x θα συµ έσει µε την ευθεία y= x 1, ενώ η y= 1 x θα συµ έσει µε την ευθεία y= x+. (σχήµα 8). Σχήµα 7 Σχήµα 8 Οι 3 διδακτικές ώρες ου α οµένουν (α ό τον συνολικό αριθµό των ωρών ου ροτείνεται να διατεθούν για το ο κεφάλαιο), ροτείνεται να διατεθούν για ε ίλυση ε αναλη τικών ασκήσεων. Κεφάλαιο 3 ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες). 3.1 (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες). Α) Να δοθεί έµφαση στα ροβλήµατα ου διατυ ώνονται στο σχολικό βιβλίο στην αρχή της ενότητας και να τονιστεί η σηµασία της αντίστροφης διαδικασίας της αραγώγισης. Θα ήταν καλό να συζητηθούν διεξοδικά ορισµένα α ό αυτά ή άλλα ανάλογα, ώστε να ροκύψει η σηµασία της αρχικής συνάρτησης. Β) Να συζητηθεί µόνο η ρώτη αράγραφος ου αφορά στην αράγουσα συνάρτηση. Το αόριστο ολοκλήρωµα αραλεί εται και αντί του ίνακα αόριστων ολοκληρωµάτων (σελ. 35) να δοθεί ο αρακάτω ίνακας των αραγουσών µερικών βασικών συναρτήσεων.

25 Α/Α Συνάρτηση Παράγουσες 1 f ( x ) = G( x) = c, c R, f ( x ) = 1 G( x) = x+ c, c R 3 f ( x) 4 f ( x) = x 5 f ( x) 1 = G( x) = ln x + c, c R x α α+ 1 x G( x) = + c, c R α+ 1 = συνx G( x) = ηµx+ c, c R 6 f ( x) 7 8 = ηµx G( x) = συνx+ c, c R 1 f ( x) = G( x) = εφx+ c, c R συν x 1 f ( x) = G( x) = σφx+ c, c R ηµ x x x 9 f ( x) = e G( x) = e + c, c R x x α 1 f ( x) = α G( x) = + c, c R lnα Σηµείωση: Οι τύ οι του ίνακα αυτού ισχύουν σε κάθε διάστηµα στο ο οίο οι αραστάσεις του x ου εµφανίζονται έχουν νόηµα. Οι δύο ιδιότητες των αόριστων ολοκληρωµάτων στο τέλος της σελίδας 35 µ ορούν να αναδιατυ ωθούν ως εξής: Αν οι συναρτήσεις F και G είναι αράγουσες των f και g αντιστοίχως και ο λ είναι ένας ραγµατικός αριθµός, τότε: i) Η συνάρτηση F+ G είναι µια αράγουσα της συνάρτησης f + g και ii) Η συνάρτηση λf είναι µια αράγουσα της συνάρτησης λf. Οι εφαρµογές των σελίδων 36 και 37 να γίνουν µε τη χρήση των αρχικών συναρτήσεων. Να λυθούν µόνο οι ασκήσεις, 4, 5 και 7 της Α Οµάδας. 3.4 (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες). Να γίνει αναλυτικά το ρώτο µέρος ου αφορά στον υ ολογισµό του εµβαδού αραβολικού χωρίου. Στη συνέχεια να γίνει διαισθητική ροσέγγιση της έννοιας του ορισµένου ολοκληρώµατος

26 και να συνδεθεί µε το εµβαδόν όταν η συνάρτηση δεν αίρνει αρνητικές τιµές και µε τον υ ολογισµό του αραβολικού χωρίου ου ροηγήθηκε. Να γίνει η εφαρµογή του βιβλίου για το ολοκλήρωµα σταθερής συνάρτησης και οι ιδιότητες ου ακολουθούν. 3.5 (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες). Να δοθεί έµφαση στο σχόλιο ου αφορά στην ε ο τική α όδειξη του συµ εράσµατος. 3.7 (Προτείνεται να διατεθούν 4 διδακτικές ώρες). Οι 4 διδακτικές ώρες ου α οµένουν (α ό τον συνολικό αριθµό των ωρών ου ροτείνεται να διατεθούν για το κεφάλαιο αυτό), ροτείνεται να διατεθούν για ε ίλυση ε αναλη τικών ασκήσεων. Μάθηµα Ε ιλογής Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής [ ώρες την εβδοµάδα ] Ι. ιδακτέα ύλη Α ό το βιβλίο «Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής» της Γ Τάξης Γενικού Λυκείου των Λ. Αδαµό ουλου κ.α., έκδοση Ο.Ε..Β.. Κεφ. 1 ο : Στοιχεία ιαφορικού Λογισµού 1.1. Συναρτήσεις 1.. Η έννοια της αραγώγου 1.3. Παράγωγος συνάρτησης 1.4. Εφαρµογές των Παραγώγων, χωρίς το κριτήριο της ης αραγώγου Κεφ. ο : Στατιστική.1. Βασικές έννοιες.. Παρουσίαση Στατιστικών εδοµένων, χωρίς την υ ο αράγραφο «Κλάσεις άνισου λάτους».3. Μέτρα Θέσης και ιασ οράς, χωρίς τις υ ο αραγράφους: «Εκατοστηµόρια», «Ενδοτεταρτηµοριακό εύρος» και «Ε ικρατούσα τιµή» Κεφ. 3 ο : Πιθανότητες 3.1. ειγµατικός Χώρος-Ενδεχόµενα 3.. Έννοια της Πιθανότητας Παρατηρήσεις: 1. Η διδακτέα - εξεταστέα ύλη θα διδαχτεί σύµφωνα µε τις οδηγίες του Π.Ι.. Τα θεωρήµατα, οι ροτάσεις, οι α οδείξεις και οι ασκήσεις ου φέρουν αστερίσκο δε διδάσκονται και δεν εξετάζονται. 3. Οι εφαρµογές και τα αραδείγµατα των βιβλίων δεν εξετάζονται ούτε ως θεωρία ούτε ως ασκήσεις. Μ ορούν, όµως, να χρησιµο οιηθούν ως ροτάσεις για τη λύση ασκήσεων, ή την α όδειξη άλλων ροτάσεων. 4. Οι τύ οι και 4 των σελίδων 93 και 94 του βιβλίου «Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής» θα δίνονται στους µαθητές τόσο κατά τη

27 διδασκαλία όσο και κατά την εξέταση θεµάτων των ο οίων η αντιµετώ ιση α αιτεί τη χρήση τους. ΙΙ. ιδακτική διαχείριση Κεφάλαιο 1. Προτείνεται να διατεθούν µέχρι 15 διδακτικές ώρες. Σε όλο το κεφάλαιο γίνεται ευρεία χρήση της ε ο τείας και των αραδειγµάτων για την ερµηνεία και για την κατανόηση των διάφορων εννοιών και ροτάσεων. Στην αρχή της 1.1 γίνεται µια σύντοµη αναφορά στην έννοια της συνάρτησης και των ιδιοτήτων της. Πολλές α ό τις έννοιες και τους συµβολισµούς αυτού του κεφαλαίου είναι ήδη γνωστά στους µαθητές α ό ροηγούµενες τάξεις γι αυτό και η διδασκαλία τους δεν ρέ ει να στοχεύει στην αναλυτική αρουσίασή τους, αλλά στο να τα ε αναφέρουν οι µαθητές στη µνήµη τους, ε ειδή θα τους χρειαστούν στα ε όµενα κεφάλαια. Στην ίδια αράγραφο αρουσιάζεται µέσω αραδειγµάτων και χωρίς µαθηµατική αυστηρότητα η έννοια του ορίου και γίνεται µια σύντοµη αναφορά στην έννοια της συνεχούς συνάρτησης. Ε ισηµαίνεται ότι η διδασκαλία των εννοιών αυτών δεν α οτελεί αυτοσκο ό, αλλά στοχεύει στην ροετοιµασία για την εισαγωγή της έννοιας της αραγώγου. εν ρέ ει ε οµένως να καθυστερήσει η διδασκαλία µε άσκο η "ασκησιολογία". Κατά τη διδασκαλία των εννοιών της αραγράφου αυτής, για εξοικονόµηση χρόνου, συνιστάται οι ίνακες, τα σχήµατα και η ερµηνεία τους να ροσφέρονται σε διαφάνειες ή σε φωτοτυ ίες ή, στην ερί τωση ου αυτό είναι αδύνατον, οι µαθητές να χρησιµο οιούν τα βιβλία τους. Σχετικά µε την έννοια της συνεχούς συνάρτησης αξίζει να αρατηρήσουµε ότι η ρόταση lim f ( x) = f ( x ) µας ληροφορεί ότι οι τιµές του f( x) είναι ολύ κοντά x x στο f ( x ), όταν το x είναι ολύ κοντά στο x. Αυτό σηµαίνει ότι µικρές µεταβολές στο x έχουν ως α οτέλεσµα µόνο µικρές µεταβολές στις τιµές µιας συνεχούς συνάρτησης. Στην 1. εισάγεται η έννοια της αραγώγου µιας συνάρτησης σε ένα σηµείο της. Η αράγωγος είναι ένα α ό τα θεµελιώδη εργαλεία των Μαθηµατικών και χρησιµο οιείται σε ένα ευρύ φάσµα ε ιστηµών. Για τον ορισµό της αραγώγου ακολουθείται η ιστορική ορεία της εξέλιξης της έννοιας. Παρατηρούµε κατ αρχάς ότι ως εφα τοµένη ενός κύκλου (Ο, R) σε ένα σηµείο του Α θα µ ορούσαµε να ορίσουµε την οριακή θέση µιας τέµνουσας ΑΜ, καθώς το Μ κινούµενο άνω στον κύκλο τείνει να συµ έσει µε το Α. Με βάση την αρατήρηση αυτή ορίζουµε ως εφα τοµένη της καµ ύλης µιας συνάρτησης f σε ένα A x, f ( x ) την ευθεία η ο οία διέρχεται α ό το Α και έχει ως σηµείο της ( ) ( x + h) f( x ) f συντελεστή διεύθυνσης τον αριθµό λ= lim. ε δίνεται ο τύ ος της h h εξίσωσης της εφα τοµένης της καµ ύλης µιας συνάρτησης f σε ένα σηµείο της x, f ( )). Όµως, µέσα α ό εφαρµογές, εξηγείται ο τρό ος µε τον ο οίο ( x ροσδιορίζεται κάθε φορά η εφα τοµένη αυτή, αφού γνωρίζουµε ένα σηµείο της και µ ορούµε να βρούµε το συντελεστή διεύθυνσής της. ε γίνεται ε ίσης αναφορά στην έννοια της κατακόρυφης εφα τοµένης. Μαθητές µε αυξηµένη µαθηµατική εριέργεια θα ικανο οιήσουν τις αναζητήσεις τους αυτές στα Μαθηµατικά της Θετικής και της Τεχνολογικής κατεύθυνσης της Γ Λυκείου. Στη συνέχεια, δια ιστώνεται ότι και άλλα αραδείγµατα, ό ως ο ροσδιορισµός της στιγµιαίας ταχύτητας ενός κινητού, του οριακού κόστους στην Οικονοµία, της ταχύτητας µιας αντίδρασης στη Χηµεία κτλ., οδηγούν στον υ ολογισµό ενός ορίου