2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5."

Transcript

1 Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της Γεωμετρίας. Επειδή στα περισσότερα θέματα η εύρεση των συντεταγμένων ενός σημείου είναι είτε το ζητούμενο είτε κάτι αναγκαίο, χρήσιμο είναι να έχουμε πάντα υπόψη μας την εξής διαπίστωση: Ένα σημείο προσδιορίζεται από την τομή δύο γραμμών. 5.1 Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας (ε) και η γωνία ω που σχηματίζει αυτή με τον άξονα x x, όταν: i) η (ε) ορίζεται από τα σημεία Α(,-1) και Β(5,) ii) η (ε) ορίζεται από τα σημεία Δ(-,7) και Ε(3,) iii) η (ε) είναι παράλληλη στο διάνυσμα ( 1, 3). 5. Να βρεθούν οι τιμές των α, β R, ώστε οι ευθείες (ε): y=(a -a+7 )x+5 και (ζ): y = (+4β-β )x+6 να είναι παράλληλες. 5.3 Να βρεθούν οι τιμές του μ R, ώστε οι ευθείες (ε): y = (μ-3 )x+1 και (η): y = (-μ/ )x+μ να είναι κάθετες. Μέθοδος Όταν ζητάμε την εξίσωση μιας ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από γνωστό σημείο Α(x o,y o ) και έχει κάποια ιδιότητα, τότε η (ε) θα έχει εξίσωση της μορφής: y y o = λ ( x x o ), όπου λ ο συντελεστής διεύθυνσης της (ε), αν ορίζεται, ή x = x o, αν δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης. Τονίζουμε ότι είναι απαραίτητη η αναζήτηση της (ε) σε καθεμία από τις παραπάνω μορφές, διαφορετικά υπάρχει ο κίνδυνος να μην προσδιορίσουμε όλες τις ζητούμενες ευθείες. Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος 33

2 Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 5.4 Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ζ) που διέρχεται από το σημείο Α(,3) και η οποία: i) είναι παράλληλη στην ευθεία (ε): y = 4x 3, ii) είναι κάθετη στην ευθεία (η): x + 4y 3 = 0, iii) είναι παράλληλη στον άξονα yý, iv) είναι παράλληλη στον άξονα x x. 5.5 Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(-3,3), Β(1,5), Γ(3,3). Να βρεθούν: i) οι εξισώσεις των πλευρών του, ii) οι εξισώσεις των υψών του, iii) οι εξισώσεις των διαμέσων του, iv) οι εξισώσεις των μεσοκαθέτων των πλευρών του, v) το περίκεντρό του. 5.6 Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(,1) και δύο από τα ύψη του έχουν εξισώσεις y = -3x + 11 και y = x + 3.Να βρεθούν: i) οι συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ καθώς και η εξίσωση της πλευράς ΒΓ, ii) η εξίσωση του τρίτου ύψους. 5.7 Σε ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ είναι Α(1,4) και δύο από τις πλευρές του έχουν εξισώσεις y = -x + 1 και y = x + 7. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών του ορθογωνίου. 5.8 Δίνονται οι ευθείες (ε): y = x 1 και (η): y = x + 1. Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών οι οποίες διέρχονται από την αρχή των αξόνων και τέμνουν τις ευθείες (ε) και (η) στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, έτσι ώστε ΑΒ =. Μέθοδος Εύρεση του συμμετρικού ενός σημείου Στο σχόλιο αυτό θα περιγράψουμε τον τρόπο εύρεσης του συμμετρικού ενός σημείου Α ως προς μια ευθεία (ε) (η οποία δεν περιέχει το Α). Αν (ε)//yý, τότε η εύρεση του συμμετρικού Β του Α είναι απλή. Πράγματι, αν (ε): x = x o, τότε πρέπει xb xo xo xa yb ya xb xo xa yb ya 34 Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος

3 Ευθεία Επομένως είναι Β(x O - x A, y A ). Έστω τώρα (ε)//yý.από την εξίσωση της (ε) βρίσκουμε τον 1 συντελεστή λ ε, οπότε. Έτσι (ΑΒ): y-y A =λ ΑΒ (x-x A ) Η λύση του συστήματος των εξισώσεων των (ε) και (ΑΒ) δίνει τις συντεταγμένες του σημείου τομής Ρ των (ε) και ΑΒ. Είναι όμως: xa xb y A yb x p και yp. Οι σχέσεις αυτές δίνουν τις συντεταγμένες του σημείου Β(x B, y B ). 5.9 Να βρεθεί το συμμετρικό του σημείου Α(-1,3) ως προς την ευθεία (ε) με εξίσωση y = x + 6. Σχόλιο Σε μια μεγάλη κατηγορία ασκήσεων δίνονται ορισμένα στοιχεία ενός τριγώνου ΑΒΓ και ζητούνται κάποια από τα υπόλοιπα. Για την αντιμετώπιση αυτών των θεμάτων χρήσιμες είναι οι επόμενες επισημάνσεις. Αν υ α είναι το ύψος του τριγώνου προς την πλευρά α, τότε 1, αν φυσικά ορίζεται ο λ α και είναι διάφορος του μηδενός. Αν ΑΜ είναι η διάμεσος του τριγώνου και Μ(x O,y O ), τότε xb x yb y ισχύει Μ(, ) και το Μ ικανοποιεί τις εξισώσεις των ΑΜ και ΒΓ. Αν ΒΔ είναι η διχοτόμος του τριγώνου προς την πλευρά β, τότε το συμμετρικό του Α ως προς τη ΒΔ είναι σημείο της ΒΓ. Η τελευταία παρατήρηση είναι Μια ιδιότητα της διχοτόμου και μπορεί να είναι το κλειδί για τη λύση ορισμένων ασκήσεων. Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος 35

4 Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 5.10 Να βρεθεί η εξίσωση της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ, αν Α(,3) και δύο διάμεσοι του τριγώνου έχουν εξισώσεις x -4y -4 = 0 και 4x +5y 9 = 0. Μέθοδος Ευθεία που διέρχεται από σταθερό σημείο Αρκετό ενδιαφέρον παρουσιάζουν στη Γεωμετρία ασκήσεις στις οποίες ζητείται να αποδειχθεί ότι μια μεταβλητή ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο. Η αντιμετώπιση τέτοιων θεμάτων γίνεται ως εξής. Προσδιορίζουμε την εξίσωση της μεταβλητής ευθείας (ε). Αν αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε είναι κάποια πρόταση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, επιλέγουμε πρώτα σύστημα συντεταγμένων. Η μεταβλητή ευθεία θα περιέχει στην εξίσωσή της μία ή περισσότερες παραμέτρους. Προσδιορίζουμε ένα σημείο του οποίου οι συντεταγμένες επαληθεύουν την εξίσωση της μεταβλητής ευθείας για κάθε τιμή των παραμέτρων. Αυτό γίνεται με διάφορους τρόπους, οι οποίοι γίνονται αμέσως αντιληπτοί στην άσκηση που ακολουθεί, αλλά και σε άλλες στη συνέχεια. Αξίζει όμως να επισημάνουμε ότι αν μια πολυωνυμική εξίσωση έχει άπειρες ρίζες, τότε το πολυώνυμο αυτό είναι το μηδενικό Ν.α.ο. οι ευθείες (ε λ ) : ( λ +3λ )x +( λ +3λ 1 )y 7λ 1λ+ 5 = 0 διέρχονται από σταθερό σημείο, για κάθε λ R. 5.1 Αν οι ευθείες (ε) : (λ-)x +(λ-3)y + =0 και (ζ) : (λ+1)x +(λ-5)y -8=0 τέμνονται, ν.α.ο. το σημείο τομής του κινείται σε μια σταθερή ευθεία Δίνεται η ευθεία (ε) : y = (λ λ + 3)x λ.να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες η (ε) διέρχεται από το σημείο Α(1,4) Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοκαθέτου του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, όταν Α(3,-5) και Β(-1,3) Σε ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ είναι Α(-1,6) και οι εξισώσεις δύο πλευρών του είναι x + y 1= 0 και x y + 1 = 0. Να βρεθούν οι κορυφές του ορθογωνίου. 36 Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος

5 Ευθεία 5.16 Να βρεθεί το συμμετρικό Σ του σημείου Α(,1) ως προς την ευθεία (ε) με εξίσωση y = x Να βρεθούν οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο Ρ(0,) και τέμνουν τις ευθείες (ε) : y = x + και (η) : y = x - στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, έτσι ώστε ΑΒ = Να βρεθούν οι τιμές του λ R, ώστε οι ευθείες (ε) και (ζ) με εξισώσεις (λ-1)x + (λ+1)y 3 = 0 και (λ-3)x + 3y + 7 = 0 αντίστοιχα να είναι παράλληλες Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(,0), ενώ οι εξισώσεις μιας διαμέσου και ενός ύψους του που άγονται από διαφορετικές κορυφές είναι x-y+=0 και 3x+y+=0 αντίστοιχα. Να βρεθεί η εξίσωση της πλευράς ΒΓ. 5.0 Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(7,-4). Οι εξισώσεις μιας διχοτόμου και μιας διαμέσου του που άγονται από την ίδια κορυφή είναι 3x+y-7=0 και 11x+6y-35=0 αντίστοιχα. Να βρεθεί η εξίσωση της πλευράς ΒΓ και οι συντεταγμένες της κορυφής Γ. 5.1 Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Ρ(,3) και τέμνουν τους άξονες x x και y y στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, έτσι ώστε ΟΑ=ΟΒ. 5. Δίνονται οι ευθείες (ε) : x-3y+10=0, (ζ) : x+y-8=0 και το σημείο Ρ(0,1). Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών οι οποίες σχηματίζουν με τις (ε) και (ζ) παραλληλόγραμμο με κέντρο το σημείο Ρ, καθώς και οι κορυφές του παραλληλογράμμου αυτού. 5.3 Ν.α.ο. όλες οι ευθείες (ε λ ) : ( λ + λ + 1 )x - ( λ -λ +1 )y λ λ = 0 διέρχονται από το ίδιο (σταθερό) σημείο. 5.4 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x,y) για τα οποία ισχύει x 5xy+4y +x+y-=0 Συμπληρωματική ομάδα. 5.5 Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από τους άξονες και την ευθεία (ε) : 3x + 4y 1 = Να βρεθούν οι τιμές του θ (0,π), ώστε η ευθεία (ε) : y = (ημθ)x +3 να είναι παράλληλη στην ευθεία (η): y=x + 5. Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος 37

6 Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 5.7 Η προβολή της αρχής των αξόνων σε μια ευθεία (ε) είναι το σημείο Α(4,5). Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας αυτής. 5.8 Δίνονται τα σημεία Α(,1), Β(4,) και Γ(1,3). i) να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ ii) ν.α.ο. οι ευθείες ΑΒ, ΒΓ, και ΑΓ σχηματίζουν ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο. 5.9 Να βρεθεί το συμμετρικό του σημείου Α(5,-1) ως προς την ευθεία (ε) : x - y - = Δίνονται τα σημεία Α(-1,) και Β(1,1). Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει ΜΑ - ΜΒ = 19. O 5.31 * Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο με Aˆ 90. Αν ΑΔ ΒΓ, ΔΕ ΑΒ, ΔΖ ΑΓ και Μ είναι το μέσο της ΒΓ, ν.α.ο. ΑΜ ΖΕ. 5.3 Ν.α.ο. όλες οι ευθείες (ε) : αx + βy + γ = 0 με a + β + γ = 0 διέρχονται από σταθερό σημείο Γνωρίζουμε ότι το νερό παγώνει στους 0 Ο C ή 3 O F (C = Κελσίου και F = Φαρενάιτ), ενώ βράζει στους 100 Ο C ή 1 O F. α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που παριστάνει τη σχέση μεταξύ της θερμοκρασίας σε βαθμούς Κελσίου και σε βαθμούς Φαρενάιτ. β. Αν σ έναν τόπο η θερμοκρασία είναι 10 Ο C,πόση είναι η θερμοκρασία σε βαθμούς F; γ. Η ελάχιστη και η μέγιστη θερμοκρασία ενός τόπου είναι 5 O F και 3 O F αντίστοιχα. Να βρείτε τις θερμοκρασίες αυτές σε βαθμούς Κελσίου. δ. Να χαράξετε την ευθεία του ερωτήματος (α) σ ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Θεωρούμε στο επίπεδο ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Oxy. Μια φωτεινή ακτίνα διέρχεται από τα σημεία Α(-1,3), Β(1,1) και ανακλάται στον άξονα x x. Να βρείτε: α. Την εξίσωση της ευθείας ε στην οποία κινείται η φωτεινή ακτίνα. β. Τη γωνία της ευθείας ε με τον άξονα x x. γ. Το συντελεστή διεύθυνσης της ανακλώμενης ακτίνας. δ. Την εξίσωση της ανακλώμενης ακτίνας. 38 Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος

7 Ευθεία Ασκήσεις πολλαπλής επιλογής 5.35 Αν η εξίσωση με δύο αγνώστους f (x, y) = 0 (1) είναι εξίσωση μιας γραμμής C, τότε Α.οι συντεταγμένες μόνο μερικών σημείων της C επαληθεύουν την (1) Β. οι συντεταγμένες των σημείων της C δεν επαληθεύουν την (1) Γ. το σημείο του οποίου οι συντεταγμένες επαληθεύουν την (1) δεν ανήκει στην C Δ. όλα τα σημεία που επαληθεύουν την (1) ανήκουν στην C Ε. υπάρχουν σημεία της C των οποίων οι συντεταγμένες δεν επαληθεύουν την (1) 5.36 Δίνεται ένα σημείο M μιας ευθείας, η οποία είναι παράλληλη με το διάνυσμα ν = (3, - 4). Ξεκινώντας από το σημείο Μ θα ξαναβρεθούμε σε σημείο της ευθείας, όταν Α. κινηθούμε 3 μονάδες αριστερά και 4 μονάδες κάτω Β. κινηθούμε 3 μονάδες αριστερά και 4 μονάδες πάνω Γ. κινηθούμε 3 μονάδες κάτω και 4 μονάδες δεξιά Δ. κινηθούμε 3 μονάδες κάτω και 4 μονάδες αριστερά Ε. κινηθούμε 3 μονάδες δεξιά και 4 μονάδες πάνω Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) ισούται Α. με το συνημίτονο της γωνίας φ που σχηματίζει η (ε) με τον x x Β. με την εφαπτομένη της συμπληρωματικής γωνίας που σχηματίζει η (ε) με τον x x Γ. με το συντελεστή διεύθυνσης ενός δια/τος κάθετου στην (ε) Δ. με την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η (ε) με τον x x Ε. με την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η (ε) με το θετικό ημιάξονα Οy Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας 7 + 3y = - 4x είναι Α. - 4 Β. 7 Γ Δ Ε Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος 39

8 Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 5.39 Η ευθεία (ε) έχει συντελεστή διεύθυνσης - 3. Μια άλλη ευθεία (ε ), που Α. - 3 είναι κάθετη στην (ε), έχει συντελεστή διεύθυνσης 3 Β. - Γ. Δ. Ε Μια ευθεία (ε) έχει συντελεστή 1 και διέρχεται από το σημείο (- 1, 3). Η εξίσωσή της είναι Α. y + 1 = 1 (x - 3) Β. y - 3 = 1 (x + 1) Γ. x + 1 = 1 (y - 3) Δ. x - 3 = 1 (y + ) Ε. καμία από τις παραπάνω 5.41 Στο διπλανό σχήμα ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΓ είναι Α. Β. Γ y 6 Γ 1 A x Δ. 3 Ε Στο διπλανό σχήμα η εξίσωση της y ευθείας ΟΑ είναι y = 3 x. Η γωνία ΟΑΒ ισούται με Α. 30 Β. 60 Γ. 45 Δ. 90 Ε α A α B x 5.43 Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας που είναι παράλληλη με τον y y ισούται με Α. 1 Β. - 1 Γ. 0 π Δ. εφ 4 Ε. δεν ορίζεται 5.44 Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε), που διέρχεται από τα σημεία Α (x 1, y 1 ) και Β (x, y ) ορίζεται πάντα όταν Α. y 1 y Β. x 1 = x και y 1 y 40 Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος

9 Ευθεία Γ. x 1 - x και y 1 y Δ. y 1 = y και x 1 = x Ε. x 1 x 5.45 Στο διπλανό σχήμα η γωνία ΟΑΒ y είναι ορθή. Η εξίσωση της ευθείας ΟΑ είναι α β Α. y = x Β. y = x β α Γ. y = α x Δ. y = αβx 0 α A α B x Ε. y = x 5.46 Το κοινό σημείο του άξονα x x και της ευθείας ΑΒ με Α (0,4) και Β (1,5) είναι Α. (4, 0) Β.(0, 0) Γ.(5, 0) Δ. (- 4, 0) Ε. (0, - 3) 5.47 Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο (1, - 1) και είναι παράλληλη στην ευθεία x + 6y = 1 είναι Α. y - 1 = (x + 1) Β. y + 1 = (x - 1) Γ. y - 1 = 3 1 (x - 1) Δ. y + 1 = (x + 1) Ε. y + 1 = 3 1 (x + 1) 5.48 Αν Α (1, 3) και Β (-, 4), τότε η εξίσωση ΑΒ έχει εξίσωση Α. y + 3 = (x - 1) Β. y - 4 = (x + ) Γ. y - 1 = (x - 3) Δ. y = x + 4 Ε. 3y + x - 10 = Η ευθεία y = λx + 3 Α. είναι κάθετη στον x x για κάποια τιμή του λ R Β. είναι κάθετη στον y y για κάποια τιμή του λ R 1 Γ. για λ 0 περνάει από το σημείο (, 5) λ Δ. περνάει από την αρχή των αξόνων Ε. για λ = 1 είναι κάθετη στην y = x Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος 41

10 Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 5.50 Οι ευθείες x + y + 1 = 0 και x + λy - = 0 Α. τέμνονται για κάθε λ R Β. είναι και οι δύο κάθετες στην y = - x Γ. είναι κάθετες μεταξύ τους για λ = - 1 Δ. είναι παράλληλες για λ = Ε. τέμνονται στο σημείο (- 1, 0) για λ = 5.51 Η ευθεία που περνά από το σημείο (- 1, 5) και είναι κάθετη στην 1 ευθεία y = x - 7 έχει εξίσωση: 3 Α. y = - 3x + 7 Β. y + 1 = - 3 (x - 5) Γ. y - 5 = - 3 (x + 1) Δ. y - 5 = 3 (x + 1) Ε. y + 1 = 3 (x + 5) 5.5 Η ευθεία που σχηματίζει με τον άξονα x x αμβλεία γωνία είναι Α. y = λ x - Β. y = Γ. y = 3x + Δ. y = λ x + β με λ < 0 Ε. η κάθετη στην x - 3y + = Αν η ευθεία (ε) τέμνει τους άξονες x x, y y στα Α (α, 0), Β (0, β) αντίστοιχα με α = β. Τότε Α. η (ε) σχηματίζει γωνία 60 με τον x x Β. η (ε) σχηματίζει γωνία 90 με τον x x Γ. η (ε) σχηματίζει γωνία οξεία με τον x x Δ. η (ε) σχηματίζει γωνία αμβλεία με τον x x 1 Ε. ο συντελεστής διεύθυνσης της (ε) είναι 5.54 Στο διπλανό σχήμα η ευθεία (ε) έχει εξίσωση 3 Α. y = 3 3 x + 1 Β. y = 3 x Γ. y = x Δ. y = x 1 Ε. y = 3 x + 1 y (ε) x 4 Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος

11 Ευθεία x Αν το σημείο (3, κ) ανήκει στην ευθεία (ε) + y - 3 Α. κ = 0 Β. κ = Γ. κ = 3 Δ. κ = 5 Ε. κ = 1 = 1, τότε 5.56 Στο καρτεσιανό επίπεδο η εξίσωση y = x παριστάνει Α. μια ευθεία κάθετη στον x x, Β. τη διχοτόμο της γωνίας xοy Γ. τη διχοτόμο της γωνίας yox, Δ. τις διχοτόμους των γωνιών xοy και yox Ε. μια ευθεία κάθετη στον y y 5.57 Δίνονται τα σημεία Α (8, 1), Β (7, 3), Γ (4, 5). Η εξίσωση του ύψους ΓΔ του τριγώνου ΑΒΓ είναι: Α. y - 5 = - 1 (x + 4) Β. y - 5 = (x + 4) Γ. y - 5 = - (x 4 ) Δ. y - 5 = 1 (x - 4) Ε. καμία από τις προηγούμενες 5.58 Οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ με Α (- 8, 4) και Β (- 6, - ) είναι: Α. (1, - 7) Β. (3,- 1) Γ. (- 5, - 1) Δ. (- 7, 1) Ε. (- 1, - 3) 5.59 Στο διπλανό σχήμα το μέσο Μ του ΚΛ έχει προβολή στον άξονα x x το σημείο β - δ Α. (0, ) Β. ( α - γ β - δ, ) β δ y Κ Μ Λ α γ α - γ Γ. (, 0) Δ. (, 0) 0 γ α x α γ β δ Ε. (, ) 5.60 Αν Α (1, 3) και Β (5, 3), το συμμετρικό του μέσου του ΑΒ ως προς τον άξονα x x είναι το Α. (, 3) Β. (,-3) Γ. (3,-3) Δ. (-3,3) Ε. (-3,-3) Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος 43

12 Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 5.61 Δίνονται τα σημεία Α (0, 4) και Β (4, 0). Ο συντελεστής διεύθυνσης της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου ΟΑΒ είναι (Ο το σημείο τομής των x x, y y) Α. 4 Β. Γ. 0 Δ. - Ε Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α (0, 0), Β (3, 1), Γ (5,3) και Δ (κ, κ). Η τιμή του κ είναι Α. 3 Β. Γ. 1 Δ. - Ε Τα σημεία Α (1, 1), Β (3, 3) και Γ (5, κ) είναι συνευθειακά. Η τιμή του κ είναι Α. - 4 Β. 3 Γ. 1 Δ. 5 Ε Το σημείο Μ (0, - 9 ) είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ με Α (- 1, - 5). Το σημείο Β είναι το 19 Α. (0, - 5) Β. (- 1, - ) Γ. (- 1, 4) 1 19 Δ. (1, - 4) Ε. (-, - ) 5.65 Τα σημεία Α (α, α + 1), Β (α + 1, α + ) και Γ (α +, α + 3) είναι Α. συνευθειακά, Β. κορυφές τυχαίου ορθογωνίου τριγώνου Γ. κορυφές ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου, Δ. κορυφές ισόπλευρου ορθογωνίου τριγώνου Ε. κορυφές ισοσκελούς οξυγωνίου τριγώνου 5.66 Το συμμετρικό του σημείου (4, 1) ως προς τη διχοτόμο της πρώτης γωνίας των αξόνων είναι Α. (- 4, 1) Β. (4, - 1) Γ. (- 4, - 1) Δ. (, 1 ) Ε. (1, 4) 5.67 Οι ευθείες y = και y = 3 x - 1 σχηματίζουν μεταξύ τους οξεία γωνία ίση με Α. 30 Β. 60 Γ. 45 Δ. 75 Ε Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος

13 Ευθεία 5.68 Δυο ευθείες (ε 1 ) και (ε ) τέμνονται. Τότε το σύστημα των εξισώσεων τους Α. έχει άπειρες λύσεις Β. έχει μοναδική λύση, Γ. δεν έχει λύση Δ. έχει δύο λύσεις Ε. έχει άπειρες λύσεις της μορφής (x, x) 5.69 Μια ευθεία δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης όταν Α. η εξίσωσή της είναι της μορφής y = c, Β. έχει συντελεστή διεύθυνσης 0 Γ. είναι παράλληλη με τον x x, Δ. δεν ορίζεται ο συντελεστής της Ε. έχει εξίσωση y = λx Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος 45

14 Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 46 Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος

15 Ευθεία Ενότητα 6. Η εξίσωση Αx+Βy+Γ=0 διάνυσμα παράλληλο σε ευθεία διάνυσμα κάθετο σε ευθεία εφαρμογές 6.1 Ν.α.ο. η εξίσωση ( λ λ )x +( λ +λ -3)y +λ 9 = 0 παριστάνει ευθεία για λ R. Για ποιες τιμές του λ η ευθεία αυτή διέρχεται από την αρχή των αξόνων; 6. Δίνεται η εξίσωση (x +y -5) + λ(x + y 7 ) = 0,όπου λ R. Ν.α.ο.: i) η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθεία, για κάθε λ R. ii) η ευθεία με εξίσωση τη δοσμένη διέρχεται από σταθερό σημείο, για κάθε λ R. 6.3 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1,3), Β(5,7) και Γ (3λ-1,4λ-1), λ R. Ν.α.ο. λ. Μέθοδος Δίνονται δύο ευθείες: (ε 1 ) : Α 1 x+ Β 1 y +Γ 1 = 0 και (ε ) : Α x +Β y +Γ = 0 θεωρούμε τα διανύσματα n 1 ( A1, B1 ) ( 1) n A, B ) ( ). ( Επομένως : n1 // n 0 A B 1 n1n n1 n 0 A1 A B1 B ( )// A 0 B Η μελέτη λοιπόν θεμάτων παραλληλίας και καθετότητας δύο ευθειών (κυρίως με εξισώσεις που περιέχουν παραμέτρους) είναι προτιμότερο να γίνεται με τον παραπάνω τρόπο, αφού έτσι αποφεύγονται οι διερευνήσεις σχετικά με την ύπαρξη ή όχι των συντελεστών διεύθυνσης των ευθειών. και 6.4 Δίνονται οι ευθείες (ε) και (ζ) με εξισώσεις (μ 3)x +(μ +1)y + = 0 και (μ -1)x -(μ -1)y +μ = 0 αντίστοιχα. i) ν.α.ο. οι εξισώσεις αυτές παριστάνουν ευθείες για κάθε τιμή του μ R. ii) Να βρεθούν οι τιμές του μ R, ώστε οι (ε) και (ζ) να είναι παράλληλες. 6.5 Δίνονται οι εξισώσεις (μ- 1)x +(μ -4)y +3 = 0 και (μ -)x +(3μ 7) +μ = 0, μ R. ί)ν.α.ο.οι παραπάνω εξισώσεις παριστάνουν ευθείες για κάθε τιμή Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος 47

16 Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου μr. ii) Να βρεθούν οι τιμές του μ, ώστε οι ευθείες αυτές να είναι κάθετες. 6.6 Να υπολογιστεί η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες (ε) : 5x-y+3=0 και (ζ) : 3x+y-5=0 Μέθοδος Εύρεση γεωμετρικών τόπων Μια από τις μεγαλύτερες κατηγορίες ασκήσεων στη Γεωμετρία είναι η εύρεση γεωμετρικών τόπων. Στα θέματα αυτά υπάρχουν στο σχήμα ορισμένα μεταβλητά στοιχεία και ζητείται ο γεωμετρικός τόπος ενός σημείου, ώστε να ικανοποιείται κάποια ιδιότητα. Η αντιμετώπιση τέτοιων ασκήσεων γίνεται ορισμένες φορές ευκολότερα με τη χρήση συντεταγμένων. Ξεκινώντας από τη βασική αρχή ότι σημείο προσδιορίζεται από την τομή δύο γραμμών, εισάγουμε στο πρόβλημα το ελάχιστο δυνατό πλήθος παραμέτρων και προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες του σημείου Μ, του οποίου ζητάμε τον γεωμετρικό τόπο, ως συναρτήσεις των παραμέτρων αυτών. Αυτό που απομένει και είναι συνήθως το δυσκολότερο στάδιο είναι η απαλοιφή των παραμέτρων. Η εξίσωση που προκύπτει ( και η οποία δεν πρέπει να έχει παράμετρο (μεταβλητή)) δίνει τη γραμμή στην οποία κινείται το μεταβλητό σημείο Μ. 6.7 Δίνονται τα σημεία Α(1,) και Β(,1). Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία είναι ΜΑ 1 - ΜΒ = Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x, y) για τα οποία ισχύει: x + y xy 3x + 3y + = Στις πλευρές μιας ορθής γωνίας xo ˆ y θεωρούμε τα μεταβλητά σημεία Α και Β, έτσι ώστε ΟΑ + ΟΒ = 9. Αν Μ είναι σημείο της ΑΒ τέτοιο, ώστε ΜΑ=ΜΒ, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του Μ Δίνεται η εξίσωση (λ - 1)x + (λ +5λ +6)y λ +3 = 0, λ R. i) Ν.α.ο. η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία για κάθε λ R. ii) Να βρεθούν οι τιμές του λ, ώστε η ευθεία αυτή να είναι παράλληλη στον άξονα y y. iii) Να βρεθούν οι τιμές του λ, ώστε η ευθεία αυτή να είναι κάθετη στην ευθεία (ζ) : x+y-3=0. 48 Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος

17 Ευθεία 6.11 Δίνεται η εξίσωση (λ -3λ +)x + (λ -4λ -5)y + λ 9 = 0 i) Ν.α.ο. για κάθε λ R η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία. ii) Να βρεθούν οι τιμές του λ, ώστε η ευθεία αυτή να είναι παράλληλη στον άξονα y y. iii) Να βρεθούν οι τιμές του λ, ώστε η ευθεία αυτή να είναι παράλληλη στον άξονα x x. iv) Να βρεθούν οι τιμές του λ, ώστε η ευθεία αυτή να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. v) Να βρεθούν οι τιμές του λ, ώστε να ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης της παραπάνω ευθείας, ο οποίος και να βρεθεί. 6.1 Να βρεθούν οι τιμές των α, β R για τις οποίες η εξίσωση (α +α +β +1)x + (β +β +α +1)y +α +β +1 = 0 δεν παριστάνει ευθεία Δίνεται η εξίσωση (λ -3λ +)x + (λ -4λ+ 3)y +1 -λ = 0 i) Να βρεθούν οι τιμές του λ, ώστε η (ε) να παριστάνει ευθεία. ii) Αν η (ε) παριστάνει ευθεία, ν.α.ο. αυτή διέρχεται από σταθερό σημείο Δίνονται οι εξισώσεις ( λ + 1 )x + ( 3 λ )y + 4 = 0 και ( λ )x + (λ - 1)y + 3 = 0, λ R. i) Ν.α.ο. οι εξισώσεις αυτές παριστάνουν ευθεία για κάθε λr. ii) Να βρεθούν οι τιμές του λ, ώστε οι ευθείες αυτές να είναι παράλληλες Να βρεθούν οι τιμές του λ R, ώστε οι ευθείες (ε) : λx +(λ-1)y +3=0 και (ζ) : (5 -λ)x - (λ -3)y +5 = 0 να είναι κάθετες Να βρεθεί η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες (ε) : x 5y + 7 = 0 και (ζ) : x + 3y - 5 = * Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών που είναι κάθετες στην ευθεία (ε): x y +1 = 0 και ορίζουν με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν Ε= Αν Κ(-3,4), Λ(1,-4) και Μ(7,) είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΑΓ αντίστοιχα ενός τριγώνου ΑΒΓ, να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του καθώς και οι κορυφές του. (με τη χρήση γνωστού θεωρήματος από την Ευκλείδειο Γεωμετρία). Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος 49

18 Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 6.19 Η ευθεία (ε) : x+3y-7=0 τέμνει την ευθεία ΑΒ η οποία ορίζεται από τα σημεία Α(1,1) και Β(7,-) στο σημείο Μ. Ν.α.ο. ΑΒ=3ΒΜ. O 6.0 *Στο εξωτερικό ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ Aˆ 90 κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΔΕ και ΑΓΖΗ. Ν.α.ο. οι ΒΖ και ΓΔ τέμνονται επί του ύψους υ α του τριγώνου. Συμπληρωματική ομάδα. 6.1 Αν η εξίσωση (λ -1)x + (λ -5λ +4)y +7 = 0 δεν παριστάνει ευθεία, να βρεθούν οι τιμές του λ R. 6. Δίνονται οι εξισώσεις (λ-1)x+y+7=0 και (5-λ)x+(λ-1)y+3=0 i) Ν.α.ο. οι εξισώσεις αυτές παριστάνουν ευθείες. ii) Να βρεθούν οι τιμές του λ R, ώστε οι ευθείες αυτές να είναι παράλληλες. 6.3 Να βρεθούν οι τιμές του μ R, ώστε οι ευθείες (ε) : (μ -)x +3y +9=0 και (ζ) : (μ -4)x +(μ -6)y + = 0 να είναι κάθετες. 6.4 Να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ, αν Α(1,) και δύο ύψη του έχουν εξισώσεις x -3y +1 = 0 και x +y = Δίνονται οι ευθείες (ε) : 3x+y-5α=0 και (ζ) : x-3y+5α=0. Ν.α.ο. το σημείο τομής των ευθειών (ε) και (ζ) κινείται σε σταθερή ευθεία. 6.6 Αν λ ½, ν.α.ο. οι ευθείες (ε) : ( λ )x + ( λ + 1)y = 0 και (ζ) : (λ - 1)x + λy 1 = 0 τέμνονται και ότι το σημείο τομής τους κινείται σε σταθερή ευθεία. 6.7 Να βρεθεί η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες (ε): x+y-3=0 και (ζ): (- 3 )x+( 3 +1)y-5= Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών οι οποίες είναι παράλληλες στην ευθεία (ε): x-y+5=0 και σχηματίζουν με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν Ε=. 50 Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος

19 Ευθεία Ασκήσεις πολλαπλής επιλογής 6.9 Η εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0 παριστάνει πάντα ευθεία με Α. Α = 0 και Β = 0 Β. Α = 0 ή Γ 0 Γ. Α + Β 0 Δ. + > 0 Ε. + < Το διάνυσμα δ (-, 3) είναι κάθετο στην ευθεία Α. x - 3y + 1 = 0 Β. x + 3y + 1 = 0 Γ. 3x + y + 1=0 Δ. 3x - y + 1 = 0 Ε. 3x - y - 1 = Έστω (ε): Ax + By + Γ = 0 (με Α 0 ή Β 0), τότε: Α. το διάνυσμα ν = (Β, Α) είναι κάθετο στην (ε) Β. το διάνυσμα ν = (Α, - Β) είναι παράλληλο στην (ε) Γ. το διάνυσμα ν = (- Β, Α) είναι παράλληλο στην (ε) Δ. το διάνυσμα ν = (Α, Β) είναι παράλληλο στην (ε) Ε. το διάνυσμα ν = (- Α, Β) είναι κάθετο στην (ε) 6.3 Στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων δίνονται τα σημεία Α (3, 5) και Β (- 1, 8). Η προβολή του ΑΒ στον άξονα x x έχει μήκος Α. 3 Β. 5 Γ. - 1 Δ. 8 Ε Έστω ευθεία (ε) που διέρχεται από το Α (x 0, y 0 ) και είναι παράλληλη με το διάνυσμα ν = (α, β) με αβ 0. Τότε η εξίσωση της ευθείας είναι Α. y - y 0 β = x - x0 α Β. y - y 0 =β(x - x 0 ) Γ. Δ. y = α β (x - x0 ) Ε. y - y 0 = - α β (x - x0 ) x - x y - y 0 0 = α β Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος 51

20 Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 5 Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της Γεωμετρίας.

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ)

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΥΘΕΙΑ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) 1. Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία 1 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντε

44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντε Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της ευθείας θα πρέπει να είναι σε θέση: Να βρίσκει τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας Να διατυπώνει τις συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας δύο ευθειών, και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ Φ3 ΚΥΚΛΟΣ y Μ(x,y) A(x,y) ε Ο C x ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ 0-0 ΘΕΩΡΙΑ. Τι ονομάζεται κύκλος με κέντρο το σημείο K( x0,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να σχεδιάσετε την καμπύλη που παριστάνει η εξίσωση x y x 2 y. x y 2. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, η οποία τέμνει : i) τον άξονα χ'χ σε σημείο με τετμημένη

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

Ερωτήσεις αντιστοίχισης Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία που η εξίσωσή της βρίσκεται στη του πίνακα (Ι) µε τον συντελεστή της που βρίσκεται στη, συµπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ) (α, β 0). 1. ε 1 : y =

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.. Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και ένα οποιοδήποτε σημείο Ρ του χώρου. Να αποδειχτεί ότι: P A P 0. 3.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 1

Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Αναλυτική Γεωμετρία Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 4 Αναλυτική Γεωμετρία 4.1 Εξίσωση Καμπύλης Έστω C μια καμπύλη στο R. H C αποτελείται από άπειρα σημεία Μ(x,y). Έξίσωση μιας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 1) Δίνονται διανύσματα α και β, με α π = 4 και (α, β ) = 3 Αν ισχύει ότι το α (α + 2β ) = 28, να βρείτε: α) το εσωτερικό γινόμενο α β, β) το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός ΕΥΘΕΙΑ Να προσέχεις ότι: Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός Ax+By+Γ=0, με κάποιο Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο Α(x 0,y 0 ) και έχει συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου. επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ

ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου. επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΥΘΕΙΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΒΡΥΣΑΛΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10)

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB= ( λ, λ+ 1), AΓ = ( 3 λ, λ 1) είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ AΜ= λ, λ α) Να αποδείξετε ότι ( ), όπου λ 0 και λ, και Μ (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Έστω Α, Β, Κ, Λ και Μ τυχαία σημεία του χώρου Α ισχύει η σχέση ΑΚ + ΜΑ = ΚΒ 2ΑΒ + ΒΛ, να αποδείξετε ότι: α) τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά, β) ΚΛ ΚΜ, γ) ΚΛ = ΚΜ 2 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3 Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = 2π 3 γ) ω = π 2. * Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Κύκλος. 6. Για ποια τιμή του λ το σημείο Μ(2λ + 1, λ) ανήκει στον κύκλο με εξίσωση (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 100

Ασκήσεις Κύκλος. 6. Για ποια τιμή του λ το σημείο Μ(2λ + 1, λ) ανήκει στον κύκλο με εξίσωση (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 100 Ασκήσεις Κύκλος 1. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου (x + 5) + (y 5) =. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου x + y 8x + 4y + 11 = 0 3. Ποια πρέπει να είναι η ακτίνα του κύκλου (x 1)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 8. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το (0, 0) στις παρακάτω περιπτώσεις: α) είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Οx και έχει παράμετρο p = 5 β)

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Θέµα ο A. Αν α, β µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: i. αβ και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. 4 4 B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού)

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) ΣΧΟΛΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο

Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο 1. Δίνεται ο κύκλος C που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και διέρχεται από το σημείο Α(-3,4).Να βρείτε : i) εξίσωση του κύκλου ii) την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α,

Διαβάστε περισσότερα

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε, που σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία: π 3 α) ω = β) ω = γ) ω = π 3. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Ε4 ΘΕΜΑ 1 Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο δ = ( β, α). (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 1. Η απόσταση του 0(0,0) από την x + y + = 0 είναι.. Η εξίσωση y = xy παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ Α. ΘΕΩΡΙΑ. i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η

201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ Α. ΘΕΩΡΙΑ. i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η 201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ - 1-1. Να αποδείξετε ότι: Α. ΘΕΩΡΙΑ i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η C : x 2 y 2 ρ 2. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου C: χ 2 + ψ 2 = ρ 2

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό αβ

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Εξίσωση ευθείας-συντελεστής διεύθυνσης

2.1 Εξίσωση ευθείας-συντελεστής διεύθυνσης 1 Εξίσωση ευθείας-συντελεστής διεύθυνσης 1 Έστω η ευθεία (ε) η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(, μ), Β(5, μ), όπου Να βρείτε το μ σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : α) η(ε) σχηματίζει γωνία 135

Διαβάστε περισσότερα

ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι.

ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. Σύγχρονο www.fasma.fro.gr ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. Μαθητικό Φροντιστήριο Κατά το πέρας της εξέτασης οι λύσεις θα αναρτηθούν στο και στο site του φροντιστηρίου. 5ης Μαρτίου 111 ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε, αν αυτή έχει εξίσωση: i) y = x- 1 ii) y = 3 5x 5x 6 iii) y iv) x = y + 3 10 v) 18x-6y +

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ 1. Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο a δύο διανυσμάτων a και αν: ι) a a 5, 7,(, ) 5, ιι) a 5,,( a, ). 6 6. Το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ

Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ Ο κύκλος Στέλιος Μιταήλογλοσ wwwaskisopolisgr Κύκλος Εξίσωση κύκλου Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με M x, y του κέντρο το σημείο 0

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1.

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1. Ασκήσεις στην ευθεία 1. Να βρείτε τα σηµεία τοµής των γραµµών µε εξισώσεις : α) 7x-11y+1=0, x+y-=0 β) y-3x-=0, x +y =4 γ) x +y =α, 3x+y+α=0. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x +y -x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΗ Έστω x = λ-1 και y = 2λ+3, τότε λ = x+1 (1) και λ = (2). Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία y = 2x+5.

ΛΥΣΗ Έστω x = λ-1 και y = 2λ+3, τότε λ = x+1 (1) και λ = (2). Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία y = 2x+5. . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ (λ -, λ ), λ R. - Έστω λ- και λ, τότε λ () και λ (). - Από τις () και () έχουμε:. Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία.. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) c πάνω στην οποία κινείται το σημείο Μ. M x, y. x 2λ 1 και. 3 λ Υπάρχει λ ώστε.

Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) c πάνω στην οποία κινείται το σημείο Μ. M x, y. x 2λ 1 και. 3 λ Υπάρχει λ ώστε. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) Του Κώστα Βακαλόπουλου Στο άρθρο που ακολουθεί παραθέτουμε μια σειρά από ασκήσεις στις οποίες συνυπάρχουν άλλοτε αρμονικά και άλλοτε ανταγωνιστικά οι δύο βασικές

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Επανάληψη Χριστουγέννων Αφού κάνετε μια επανάληψη στο πρώτο κεφάλαιο και θυμηθείτε όλους τους τύπους και τις μεθοδολογίες, να λύσετε τις παρακάτω ασκήσεις από την τράπεζα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50

Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50 Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8 Ασκήσεις προς λύση 1-50 1. Θεωρούμε τα σημεία Α(1,2), Β(4,1). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 4. α) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνονται τα διανύσματα a και με a, = 3 και a =, =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a. β) Αν τα διανύσματα a + και κ a + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων Οxy θεωρούμε τα σημεία Α, Β, τα οποία έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης x - (4λ+6μ)x - 005 = 0 και τεταγμένες τις ρίζες της εξίσωσης y + ( 5λ + μ)y

Διαβάστε περισσότερα

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ 1.1.. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΜΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση γραµµής C Μια εξίσωση µε δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µιας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C, και µόνον αυτές, την επαληθεύουν..

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9 ΓΕΛ ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β 331 Α. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των μη μηδενικών διανυσμάτων α, β. Μονάδες 5 β. Εάν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων α, β αντιστοίχως να δείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΥΚΛΟ. 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που περνά από τα σηµεία Α(2,0) και Β(0,0) και έχει το κέντρο του στην ευθεία 2x-3y=0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΥΚΛΟ. 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που περνά από τα σηµεία Α(2,0) και Β(0,0) και έχει το κέντρο του στην ευθεία 2x-3y=0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΥΚΛΟ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που περνά από τα σηµεία Α(2,0) και Β(0,0) και έχει το κέντρο του στην ευθεία 2x-3y=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σηµείο Κ(1,2)

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a.

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a. ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο (Πανελλήνιες θετικής κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999) Α. Έστω a ( x1,) y1 και ( x,) y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. α) Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το

Διαβάστε περισσότερα

B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 10/4/017 ΕΩΣ /4/017 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τετάρτη 1 Απριλίου 017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα.

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Μαθηματικά B Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Άλγεβρα. Κεφάλαιο 1 ο. 1. Να υπολογιστούν οι παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις : 1 7 1 7 1 1 ) - 1 4 : ) -1 1 : 1 4 10 9 6. Να λυθούν οι εξισώσεις:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ EΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΛΛΕΙΨΗΣ 1. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης όταν: α) Έχει εστία Ε (-8,0) και μεγάλο άξονα 0 β) Έχει εστία Ε(0,3) και μεγάλο άξονα 8 γ) Έχει εστία Ε(4,0) και

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α ( μ ε Α λ φ α β η τ ι κ ή σ ε ι ρ ά ) :

Ε π ι μ έ λ ε ι α ( μ ε Α λ φ α β η τ ι κ ή σ ε ι ρ ά ) : Ε π ι μ έ λ ε ι α ( μ ε Α λ φ α β η τ ι κ ή σ ε ι ρ ά ) : Ανδριοπούλου Τασιάννα Ανδρονίκου Γιώργος Βασσάλου Γιάννα Βελλίκης Γιώργος Καρατσιώλης Δημήτρης Κασλής Κώστας Λαλούμης Νίκος Μπέκας Χρήστος Μπίτζας

Διαβάστε περισσότερα

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a=

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= 32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= ( xy, ). Να ορίσετε τις έννοιες α)μέτρο του διανύσματος και β) συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος Α2) Να γράψετε τους τύπους

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (x) x

4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (x) x 1 4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f () A Ομάδας Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 164 167 1. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα η ευθεία = + = 3 1 i = + 1 iv) = 3 + εφω = 1 ω = 45 ο εφω = 3 ω = 60 ο i εφω

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα