i 1 הזוגיים. i 2 או רשתותאחרות. ששת האפשרויות לייצוג זוגיים הן: v = Zi + v v 2 -

Transcript

1

2 זוגיים (Two-Ports) זוגיים הם תת-רשת או רכיב מקובץ עם שני זוגות הדקים חיצוניים: - זוגיים רשת ללא מקורות ב"ת - ייחוד הזוגיים הוא בחלוקת ההדקים לזוגות, כך שבכל זוג הזרם הנכנס בהדק אחד זהה לזרם היוצא בהדק השני. נציין כי תכונה זו יכולה לנבוע מהמבנה הפנימי של המעגל (למשל בשנאי), או מאופן החיבור של הזוגיים לשאר הרשת. תיאור כזה של רשת יכול לשמש לתיאור אלמנטים פשוטים כמו שנאי וטרנזיסטור וגם רשתות מורכבות כמו מגברים מסננים וקווי תמסורת. זוגות ההדקים מכונים בדרך כלל זוג כניסה וזוג יציאה. להדקים אלה ניתן לחבר מקורות הזנה, עומסים או רשתותאחרות. בפרק זה נעסוק רק בזוגיים המתארים רשת ליניארית ללא מקורות בלתי תלויים. נציג שיטות לתיאור וניתוח רשתות אלו. תאור רשת זוגיים כאשר אנו מטפלים ברשת זוגיים אנו דנים ברשתות ליניאריות קבועות בזמן שלא כוללות מקורות בלתי תלויים. הרשת יכולה להכיל מקורות תלויים אך התלות חייבת להיות בענפים שנמצאים בתוך הזוגיים. בנוסף לכך, מדובר ברשתות בהן תנאיי ההתחלה של כל הרכיבים אוגרי האנרגיה שווים לאפס. במקרה כזה נוכל לרשום קשר בין כל זוג משתנים לזוג האחר. כלומר, אפשר לאלץ מתח או זרם בכל אחד משני ההדקים ולקבל כתוצאה מכך את הזרם או המתח שמתפתחים בהדקים. את הקשר הזה אפשר לבטא בעזרת מטריצה. מבין ארבעת המשתנים אפשר לבחור שש (. כלומר, אפשר לתאר כל רשת זוגיים בעזרת שש 6 = C 4 זוגות שונים של משתני כניסה ( מטריצות שונות. בפרק זה נגדיר את האפשרויות השונות לתיאור הזוגיים. נתאר את המעבר מייצוג אחד לייצוג אחר. ונציין מתי נוח לעבוד בכל אחת מהאפשרויות. כדי להגדיר את הקשר של זוג משתנים בזוג אחר בעזרת מטריצה צריך להגדיר את הסדר של המשתנים. הסדר המקובל קובע שמשתנה עם אינדקס מקדים משתנה בעל אינדקס ומשתנה מסוג מתח מקדים משתנה מסוג זרם. ששת האפשרויות לייצוג זוגיים הן: r x n r = ; x = out z z = z z r r = Z (

3 r x n r = ; x = out y y = y y r r = Y ( r x n r = Tx out r x n r A B = ; xout = (3, = C D הערה: הגדרנו את התלות בזרם בקסקדה (שרשרת). את המטריצה T מסמנים גם בA וגם ב.(A,B,C,D) כתלות ב. הגדרה זו מקלה את החישובים בחיבור זוגיים x out = Bx n r x n r = ; x =, out A B = C D הערה: גם במקרה זה הגדרנו את התלות בזרם כתלות ב. הגדרה זו מקלה את החישובים (4 בחיבור זוגיים בקסקדה (שרשרת). h h ; = = h h h (5 g g ; = = g g g (6 את המטריצה g מסמנים גם בF. הערה: בדרך כלל ניתן לייצג מעגל בעזרת כל היצוגים אך במעגלים מסוימים (לרוב מעגלים פשוטים במיוחד) מקבלים בחלק מהיצוגים איברים לא חוקיים. כלומר, לא תמיד ששת המטריצות קיימות. מבין ששת המטריצות יש שלושה זוגות של מטריצות הפוכות: Y= Z ; h= g ; T = B הערה: במעגלים מסדר אפס (בלי קבלים וסלילים) האיברים כל במטריצות הם סקלרים (הסקלרים יכולים להיות עם יחידות). במעגלים מסדר גדול מאפס אפשר לעבוד במספר שיטות: בשיטה האופרטורית, בשיטה זו איברי הזוגיים יהיו מנה של פולינומים של האופרטור D. בעזרת לאפלס, מקדמי הזוגיים יהיו מנה של פולינומים של המשתנה S.

4 בשיטה הפאזורית מקדמי הזוגיים יהיו מנה של פולינומים של המשתנה.jω שיטה זו עדיפה ברשתות בזרם חילופין. פירוט התכונות של כל אחת מהמטריצות מטריצות הקשר בין מתחי הזוגיים לזרמי הזוגיים הקשר בין הזרמים למתחים של רשת זוגיים מתואר בעזרת המטריצות Z וY. ניתן לרשום את הקשר בין המתחים לזרמים בצורה הבאה: = z = z z z z z ; Z = = z z קשר זה ניתן לרשום בקיצור כדלקמן: z z המטריצה Z נקראת מטריצת אימפדנס הריקם של הזוגיים.. (OPEN CICUIT IMPEDANCE MATIX) הקשרים הבאים מסבירים את הסיבה לשם אימפדנס הריקם: = ; z = = 0 = 0 = ; z = = 0 = 0 כאשר סימטרית, המטריצה שמתקבלת הזוגיים יהיו הדדיים מתחי הצמתים בשיטת עבור הרשת הפנימית של הזוגיים, היא הזוגיים של רשת שלא כוללת מקורות z = z.(ecipocal) תלויים יהיו תמיד הדדיים. זוגיים נקראים הדדייםכאשר מתקיים Y TP = Y = ( Z) באופן דומה, נוכל לרשום את הזרמים כפונקציה של המתחים, כאשר y y ; YTP ; = = = y y Y המטריצה Y נקראת מטריצת אדמיטנס הקצר של הזוגיים,, (SHOT CICUIT ADMITTANCE MATIX) כפי שמתבטא בקשרים הבאים: 3

5 y y = ; y = = 0 = 0 = ; y = = 0 = 0 דוגמאות למציאת מטריצות האימפדנס והאדמיטנס ברשתות זוגיים פשוטות: נגד בטור: G - ( ) ( ) = G = G G G = G G 443 Y TP - מטריצות האדמיטנס מטריצות האימפדנס לא קיימת מכוון שלמטריצה Y אין מטריצה הופכית. מתקבל עקב זאת שאי-אפשר לחבר שני מקורות זרם בלתי תלויים למעגל. הסבר נוסף לכך נגד במקביל: - ( ) ( ) = = = 443 z TP - מטריצות האימפדנס מטריצות האדמיטנס לא קיימת מכוון שלמטריצה Z אין מטריצה הופכית. מתקבל עקב זאת שאי-אפשר לחבר שני מקורות מתח בלתי תלויים למעגל. הסבר נוסף לכך 4

6 רשת :T Y TP TP ( ) 3 = = 3 3 = = z = = z TP ( )( ) ( ) מטריצות האימפדנס מטריצות האדמיטנס רשת : Π G 3 G G - - ( G ) = ( ) 3 G = G G G3 G3 = G G G Y TP מטריצות האדמיטנס 5

7 6 סנדפמיאה תוצירטמ TP TP G G G G G G Z Y GG GG GG = == :T רשג תשר ( ) 3 = = = ( ) = ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) = ליבקמבו רוטב תוכרעמ רוביח תצירטמ לעב היהי ליבקמב םירבוחמש םייגוז תותשרמ יונבה לגעמ סנטימדא םוכסל הוושה סנטימדאה תצירטמ םייגוזה תותשר לש ליבקמב םירבוחמש תורבוחמש תויוכילומב ומכ).(ליבקמב תצירטמ לעב היהי רוטב םירבוחמש םייגוז תותשרמ יונבה לגעמ סנדפמיא םוכסל הוושה רוטב םירבוחמש םייגוזה תותשר לש סנדפמיאה תצירטמ.(רוטב םירבוחמש םידגנב ומכ) 3 - -

8 הוכחה: Y Y A Y B A B A B A B A B A B = Y = A = B A = Y = B Y A Y B Y ( Y Y ) = A B Y = Y Y A B Z A A Z I A I B Z B B A B A B ( A B) = Z = A = Z = B Z Z Z Z= Z Z A B 7

9 כ. מטריצת התמסורת של זוגיים T בשימושים רבים מתעניינים בתכונות התמסורת של הזוגיים. כלומר, כיצד תלויים ערכי הכניסה x n = ; x { }, וערכי היציאה זה בזה. out = { }, נגדיר: הערה: הגדרנו את הזרם ביציאה בכיוון הפוך על מנת להקל את החישוב בחיבור זוגיים בקסקדה., x או בסימון אחר: n = T x out הקשר במקרה הליניארי הוא מהצורה T A = C B D לומר A = C B D A= ; B=. C = ; D= = 0 = 0 = 0 = 0 חיבור זוגיים בקסקדה (שרשרת): - T A T B - קל לבדוק שהתמסורת השקולה של זוגיים המחוברים בקסקדה הינה המכפלת של כלומר, התמסורות.. T = T T A B A A B B T TA TA TA TB TA TB = = = A = = = A B B T = T T A B 8

10 מטריצת התמסורת h וg השימוש במטריצה h נפוץ במעגלי טרנזיסטורים מסוג.BJT הסיבה לכך היא שיש קשר מיידי בין התכונות הפיזיקאליות של הטרנזיסטורים למקדמים. h h ; = = h h h h = ; h = = 0 = 0 h = ; h = = 0 = 0 g g ; = = = g g g g h g g = ; g = = 0 = 0 = ; g = = 0 = 0 מעגל הבנוי מזוג רשתות זוגיים בהן הכניסות או היציאות מחברים בטור והזוג השני מחובר במקביל נקראות רשתות בחיבור מעורב. מעגל הבנוי מחיבור מעורב של רשתות זוגיים שזוג הכניסה מחוברות בה בטור וזוג היציאות מחוברות בה במקביל יהיה בעל מטריצת h השווה לסכום מטריצת h של רשתות הזוגיים השייכים לחיבור המעורב. מעגל הבנוי מחיבור מעורב של רשתות זוגיים שזוג הכניסה מחוברות בה במקביל וזוג היציאות מחוברות בה בטור יהיה בעל מטריצת g השווה לסכום מטריצת g של רשתות הזוגיים השייכים לחיבור המעורב. 9

11 A h A A h I B h B B A B A B A B A B [ A B] = h = A = B = = A h B h A h h B h = h h A B g g A A A I B g B B מעגלי תמורה של זוגיים ניתן לתאר את הקשרים בין הכניסות ליציאות של מעגלי זוגיים בעזרת מעגלי תמורה. לכל מטריצה אפשר להתאים מעגל תמורה שונה. מעגלי התמורה עוזרים בניתוח מעגלים הכוללים זוגיים. מעגלי תמורה מתוך מטריצת האימפדנסים Z: z z z z - 0 -

12 כאשר יש חיבור בין ההדקים התחתונים של הכניסה והיציאה ניתן להציג את מעגלי תמורה גם באופן הבא: z ( z z ) z z z z - - הייצוג האחרון נוח במיוחד בזוגיים הדדים מכוון שמקור המתח מתבטל. מעגלי תמורה מתוך מטריצת האדמיטנסים Y: y y - y y - כאשר יש חיבור בין ההדקים התחתונים של הכניסה והיציאה ניתן להציג את מעגלי תמורה גם באופן הבא: y - y y y y ( y ) y - הייצוג האחרון נוח במיוחד בזוגיים הדדים מכוון שמקור הזרם מתבטל. מעגלי תמורה מתוך מטריצה T: מעגל התמורה של מטריצה T פחות שימושי מהמעגלים האחרים ולכן לא נציג אותו.

13 מעגלי תמורה מתוך מטריצה h: - h h _ h h - מעגלי תמורה מתוך מטריצה g: g - g g g - דוגמאות לשימושים במעגלי התמורה נתונים ארבעת פרמטרי h של רשת זוגיים מסויימת. חשב את z של הרשת. פתרון: בהתאם להגדרה של המטריצה Z מתקיים: = z z z = ( / ) =0 כעת נרשום את מעגל התמורה של מעגל h ונחשב את 0= ). / ) מעגלי התמורה של מטריצה h כאשר זרם שווה לאפס הוא: hω - h h h Ω - מהמעגל נובע ש: =- h /h =h h = h -(h h )/h =( h -(h h )/h )

14 z = ( / ) = h - ( h h )/ h נתון המעגל שבציור ונתונים ארבעת פרמטרי y של רשת הזוגיים. רשום את פונקצית התמסורת של המעגל כאשר אות הכניסה למעגל זה מתח המקור ואות היציאה הוא מתח הקבל. y =mω -, y =0Ω -, y =0.0Ω -, y =00µΩ -, C Y Y C n 00μF 9KΩ C 90KΩ - Y - 500pF =0 3 Ω, =0 4 Ω, =/Y, =/Y, Y =/, a =, b = // a =0 4 Ω, b = Ω נסמן: Y b =/ b b DC DC DC a b DC DYC ( b ) ( ) ( ) נרשום את המשוואה הדיפרנציאלית בצורה אופרטורית: b = Y = Y n = DC b DC = n = DCa a DC DYC ( ) ( ) ( ) = D CC D C C D CC D CY C Y n a b a b a a b b n n DYC ( ) ( ) ( ) = D C C D C Y C Y a a b b n 3

15 נעבור מפונקצית התמסורת האופרטורית לפונקצית התמסורת התדירותית ע"י מעבר לפאזורים והחלפה של D ב.jω V jω ( YCb ) ( CC ) jω( C C ) = V ω a b a b n נחשב את פונקצית התמסורת פעם נוספת ללא שימוש במעגל התמורה: } 0 n n 0 y y / DC / DC / DC = = = y y ( Y DC) 0 ( Y DC) 0 n y 0 0 / DC y y / DC = 0 ( Y DC) 0 n y 0 / DC / DC = y y ( Y DC ) 0 נחשב את בעזרת קרמר. 4

16 n y / DC / DC y y 0 / DC = = n = y 0 y ( y ( Y DC )) / DC / DC y y ( Y DC ) ydc ydc DC DC n = DC y Y DC DC 443 yb y ( ( )) ( ) y Y y DC DC DC DC ( ) n = Dy C Dy C = = n ( y ( DC ) DC )( yb DC ) ( D( yc C ) y )( yb DC ) n Dy C D ( y ) CC DyC D( yc C ) yb y yb n = = Dy C y y D y CC D yc yb C yb yc ( ) ( ) b n = = D CC D C y C yb ( ) ( b ( ) ) 443 a Dy C Dy C DCC a DCy ( b a C) yb n n DyC = DCC DCy C y ( ) a b a b n כצפוי התקבלה תוצאה זהה לזו שהתקבלה בעזרת מעגל תמורה. את השלב האחרון בפתרון ניתן לחשב בעזרת לכסון המטריצה במקום בשיטת קרמר. 5

17 n y 0 / DC / DC = y ( Y ) 0 b DC y y 0 yn / DC / DC = y y ( Y ) 0 b DC y / DC / DC yn y y 0 / DC / DC = yn 0 ( Yb DC) y / DC / DC = ( ) Yb DC y n / DC / DC ( b )( ( / ) ) Y DC y DC = y n ( b ) ( ( ) ) Y DC y DC DC ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) y = DC y y Y DC Y DC y DC DC DC DC = DC y b b n D ycc CC D yyc YC yc yy = DCy b b b n D C C C C D Y C Y C C Y = DC y b b b n n מעבר מייצוג לייצוג. בדרך כלל ניתן לייצג רשת זוגיים בעזרת כל אחת מששת האפשרויות. הבעיה היא איך לעבור מייצוג לייצוג. שיטה ראשונה היא בעזרת מעגל התמורה ובעזרת ההגדרות למציאת האיברים השונים בכל אחת מהמטריצות (ראה דוגמה בסעיף הקודם). דרך שנייה מתבססת על גישה אלגברית. בגישה זו בשלב ראשון רושמים את מערכת המשוואות שמתקבלת בעזרת הזוגיים שאותם רוצים להחליף. שלב שני, משנים את סדר האיברים במשוואות כך שבצד אחד יופיעו משתני הכניסה של הזוגיים החדשים ובצד השני משתני היציאה של הזוגיים החדשים. שלב שלישי רושמים את המשוואות בצורה מטריצית ומכפילים במטריצה ההופכית לזו שכופלת את וקטור היציאה: 6

18 דוגמה: נפתח את המעבר מייצוג בעזרת פרמטרי האימפדנס Z לייצוג בעזרת פרמטרי התמסורת T. = z = z z z z = z z = z 0 z z = 0 z z z 0 z z z 0 z = 0 z z = = z 0 z z z z z z z z = z z zz z z z מכאן: A = C = z z z ; ; B = D = z z z z z z z. z = 0 הערה: מטריצת התמסורת אינה מוגדרת אם Δ z z z T = AD BC = = z z z z z חישוב הדטרמיננטה של T: z z ומכאן נקבל כי Δ T בזוגיים הדדיים = דוגמה: חישוב מטריצת התמסורת עבור גשר T: 7

19 8 :ףוהכריק יקוח תרזעב ונלביק ילמשחה לגעמהמ ( ) 3 = = :ןמקלדכ תרוסמתה תיצקנופ תא בשחל ןתינ ןאכמו ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = = Δ = ( ) ( ) ( ) = :תפסונ האירקל

20 נוסחאון במבוא להנדסת חשמל לכיתה י"ג, אביב תשס"ח, נספח לשאלון מקדמי ABCD של רשת זוגיים הערה: זרם המבוא I נכנס לרשת, וזרם המוצא I יוצא מהרשת. המשך בעמוד 9

21 נוסחאון במבוא להנדסת חשמל לכיתה י"ג, אביב תשס"ח, נספח לשאלון מקדמי Z ו Y של רשת זוגיים הערה: זרם המבוא I וזרם המוצא I נכנסים לרשת. המשך בעמוד 0

22 נוסחאון במבוא להנדסת חשמל לכיתה י"ג, אביב תשס"ח, נספח לשאלון טבלה השוואתית של מקדמי זוגיים הערות א. עבור מקדמי ABCD זרם המוצא I יוצא מהרשת. עבור מקדמי Y ו Z זרם המוצא I נכנס לרשת. ב. Z Y, הם דטרמיננטים של המטריצות ]Z[ ו [ Y ], בהתאמה. המשך בעמוד

23 נוסחאון במבוא להנדסת חשמל לכיתה י"ג, אביב תשס"ח, נספח לשאלון רשתות זוגיים [Ω] Z O עכבה אופיינית [Ω] Z SC עכבת המבוא בקצר [Ω] Z OC עכבת המבוא בנתק ZO = ZSC ZOC עבור רשת סימטרית מתקיים: B מקדם זוגיים C מקדם זוגיים ZO = B C מהצד האחד מהצד האחר עכבת הבבואה Z O [Ω] עכבת המבוא בקצר [Ω] Z SC עכבת המבוא בנתק [Ω] Z OC עכבת הבבואה Z O [Ω] עכבת המבוא בקצר [Ω] Z SC עכבת המבוא בנתק [Ω] Z OC ZO = ZSCZ OC ZO = ZSC ZOC γ קבוע ההתפשטות [neper] α קבוע הניחות γ α jβ α e = e = e β קבוע המופע, זווית המופע β [rad] בין הזרמים I ו I N ניחות α N = e = I I N[ db] = 0 log N neper = 8.69 db המשך בעמוד

24 נוסחאון במבוא להנדסת חשמל לכיתה י"ג, אביב תשס"ח, נספח לשאלון מסננים מסוג K קבוע [Ω] o התנגדות אופיינית o = L C מסנן LPF [Hz] f c תדר פוגה fc = π LC כאשר : ω > ω c כאשר : ω < ω c ω β = sn ω c ω α = cosh ω c T עכבה אופיינית של רשת Z OT [Ω] סימטרית מעבירה נמוכים ZOT ( ω)= o ω ωc π עכבה אופיינית של רשת Z Oπ [Ω] סימטרית מעבירה נמוכים ZOπ ( ω)= o ω ωc המשך בעמוד 3

25 נוסחאון במבוא להנדסת חשמל לכיתה י"ג, אביב תשס"ח, נספח לשאלון CONFIGUA TION constant-k LOW P ASS FIL TE A TTENUA TION IMPEDANCE Z OT L C L Z OT N [db] o Z OT ''T'' (FULL SECTION) f c f f c f N [db] Z O Z O C L C Z O '' '' f c f o f c f L o = f c ; C = f c o o = LINE IMPEDANCE מסנן HPF [Hz] f c תדר פוגה fc = 4π LC כאשר : ω < ω c כאשר : ω > ω c β = sn ωc ω ωc α = cosh ω המשך בעמוד 4

26 נוסחאון במבוא להנדסת חשמל לכיתה י"ג, אביב תשס"ח, נספח לשאלון T עכבה אופיינית של רשת Z OT [Ω] סימטרית מעבירה גבוהים ZOT ( ω)= o ωc ω π עכבה אופיינית של רשת Z Oπ [Ω] סימטרית מעבירה גבוהים ZOπ ( ω)= o ωc ω π π π π π π בהצלחה!

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94