אלגברה לינארית גיא סלומון. α β χ δ ε φ ϕ γ η ι κ λ µ ν ο π. σ ς τ υ ω ξ ψ ζ. לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- כתב ופתר גיא סלומון

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "אלגברה לינארית גיא סלומון. α β χ δ ε φ ϕ γ η ι κ λ µ ν ο π. σ ς τ υ ω ξ ψ ζ. לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- כתב ופתר גיא סלומון"

Transcript

1 0 אלגברה לינארית α β χ δ ε φ ϕ γ η ι κ λ µ ν ο π ϖ θ ϑ ρ σ ς τ υ ω ξ ψ ζ גיא סלומון לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

2 סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת מתמטיקה באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצון להאיר את הדרך הנכונה לעומדים בפני קורס חשוב זה הספר עוסק באלגברה לינארית והוא מתאים לתלמידים במוסדות להשכלה גבוהה אוניברסיטאות או מכללות הספר מסודר לפי נושאים ומכיל את כל חומר הלימוד, בהתאם לתוכניות הלימוד השונות הניסיון מלמד כי ל תרג ל בקורס זה חשיבות יוצאת דופן, ולכן ספר זה בולט בהיקפו ובמגוון התרגילים המופיעים בו לכל התרגילים בספר פתרונות מלאים באתר wwwgoolcoil הפתרונות מוגשים בסרטוני פלאש המלווים בהסבר קולי, כך שאתם רואים את התהליכים בצורה מובנית, שיטתית ופשוטה, ממש כפי שנעשה בשיעור פרטי הפתרון המלא של השאלה מכוון ומוביל לדרך חשיבה נכונה בפתרון בעיות דומות מסוג זה לדוגמאות: wwwgoolcoil/linearithtml תקוותי היא, שספר זה ישמש מורה-דרך לכם הסטודנטים ויוביל אתכם להצלחה גיא סלומון לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

3 תוכן פרק - פתרון וחקירת מערכות של משוואות לינאריות פרק - מטריצות 0 פרק - דטרמיננטות 6 פרק - 4 מרחבים וקטורים פרק - 5 ערכים עצמיים, וקטורים עצמיים, לכסון 0 פרק - 6 העתקות (טרנספורמציות) לינאריות 4 פרק - 7 מטריצות והעתקות לינאריות 6 פרק - 8 וקטורים פרק - 9 מספרים מרוכבים 45 לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

4 תרגילים פרק פתרון וחקירת מערכות של משוואות לינאריות () מצא אילו מהמערכות הבאות הן מערכות שקולות: x + y = (4 x + y = ( x 4y = 7 ( x + 0y = ( x + y = 4 x y = 0 x y = x y = 0 () רשום את המטריצות המתאימות למערכות המשוואות הבאות: x = (4 x + y + z = ( x 4y + z = 7 ( x + 0y = ( x + y = 4 x z = 0 x y = x = 0 z + t = 8 x + y + z = 5 x + y = () בצע על כל אחת מהמטריצות הבאות את הפעולות הרשומות מתחתיה בזו אחר זו ומצא את המטריצה המתקבלת (סדר הפעולות הוא משמאל לימין ומלמעלה למטה) 4 8 ( 4 0 ( 5 0 ( R R R, R R + R R 4 R, R R + R R R, R R + R 5R 8R R R, R R R R R + R, R R (4) מצא איזה פעולה אלמנטרית אחת יש לבצע על המטריצה שמשמאל כדי לקבל את המטריצה מימין: ( ( ( לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

5 4 א הסבר והדגם את המושגים מטריצה מדורגת, מטריצה מדורגת קנונית ודירוג מטריצות ב הבא את המטריצות הבאות לצורה מדורגת (בסעיפים,,5,7 גם לצורה מדורגת קנונית): (5) ( ( ( ( ( (4 + i i i + + i + i F = C, F= R (* 9 ( ( * בתרגיל 9, עליך לדרג את המטריצה פעם מעל השדה Rופעם מעל השדה C פתור את מערכות המשוואות הבאות בשיטת גאוס (כלומר, על ידי דרוג) 8x 4y = 0 ( 4x + 8y = 0 ( x + y = 8 ( 6x + y = x + 6y = 4 5x 4y = (6) x + y + z = (6 x + y + z = (5 x x x = 5 (4 4x + 6y + 6z = 8 x + y z = 5 x x + x = 5 x + y + 7z = x + y z = 0x 6x x = x y = (9 4x 7 y = 0 (8 x + y = (7 9x + 6y = 8x 4y = x + y = 6x 4y = 6x + 8y = 4 x y = x + y + z = ( x + 5x + 4x x = ( x + y z + t = (0 4 x y z = 5 x x + x + 5x = x + 5y 8z + 6t = 5 4 x 5y + z = 4 x + x + x 4x = 0 6x + 8y 0z + 4t = 8 x + 8y + z = 0 4 לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

6 5 (7) מצא לאילו ערכי א פתרון יחיד k (אם יש כאלה) יש למערכות הבאות: ב אף פתרון ג אינסוף פתרונות x + ky + z = 0 ( x + ky + z = ( x y + z = ( x + y + kz = x + y + kz = 5x 7 y + ( k + ) z = k + x + 9ky + 5z = kx + y + z = x y + ( k + ) z = x + ky + z = (6 kx y = (5 x y + z = 0 (4 kx y + z = 4 ( k ) x + ky = x + y z = 0 x + y + + k z = k z = x + k y + k z = ( ) 0 ( ) 9 5 ( ) (8) מצא לאילו ערכי א פתרון יחיד k (אם יש כאלה) יש למערכות הבאות: ב אף פתרון ג אינסוף פתרונות x + 4y z = ( x y + z = ( x + ky = ( kx y + z = x + k k y + z = k k + x + y = k + 4 ( 5 ) ( ) 5 x + y z = k x + ky = k x + 6y z = 05k + (9) מצא לאילו ערכים של a ושל b א פתרון יחיד ב אף פתרון (אם יש כאלה) יש למערכות הבאות: ג אינסוף פתרונות x + y z + t = ( x + 4y + az = ( x + y 4 z = b ( ax + y + z + t = b x + y + 4z = 4 7x 0y + 6z = 7 x + y + at = + a x + y 4z = 0 x ay + z = x + y + 6z = b x + az = y + z = bx + cy + dz =,c,a,b כך שלמערכת יהיה פתרון יחיד d,c,b כך שלכל a למערכת יהיו אינסוף פתרונות d (0) נתונה מערכת המשוואות: א מצא תנאי עבור ב מצא תנאי עבור () פתור את מערכת המשוואות הבאה בשיטת גאוס מעל השדה F z + iz + ( i) z = + 4 i ( x + x + x = ( iz + z + ( + i) z = + i x + 4x + 4x = ( + i) z + ( i) z + ( + 4 i) z = 5 i x + x = 0 F = C, F = R F = Z 5 לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

7 המערכת: () נתונה פתרון אף המערכת הוא הפתרון היחיד של אינסוף פתרונות,) (, האם ייתכן 6 x + y z = 4x 6 y + ( k + ) z = 4 x 7 y + ( k + ) z = k רשום את המטריצה המתאימה למערכת המשוואות א את הצורה המדורגת של המטריצה מסעיף א ב רשום לאילו ערכי k יש למערכת: פתרון יחיד ג מצא את הפתרון הכללי במקרה בו יש אינסוף פתרונות ד רשום z = 0 לאילו ערכי k יש למערכת פתרון שבו = 0 z ה מצא לאילו ערכי k יש למערכת פתרון יחיד שבו ו מצא הוא עבור איזה ערך של k פתרון של המשוואה השלישית ז מצא שהפתרון הנ"ל הוא גם פתרון של כל המערכת? הסבר (,0,0), לאיזה ערך של k ח מצא שלפניך רשת זרימה המתארת את זרם התנועה () באיור (במכוניות לדקה) של מספר רחובות בתל אביב את תבנית הזרימה הכללית של הרשת א מצא את תבנית הזרימה הכללית של הרשת אם ב מצא שהכביש שהזרם שלו ידוע x 4 סגור x הערך המינימלי של ג מהו אם ידוע ש- x 4 = 0 את הזרמים במעגלים החשמליים הבאים (חוקי קירקהוף וחוק אוהם): (4) מצא מערכת משוואות לינאריות * בפרק ד(דטרמיננטות) תמצא שאלות נוספות הנוגעות בנושא לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

8 7 פתרונות פרק ) ) שקולות ) 4) שקולות () (4 ( 4 7 ( 0 ( () ( 4 0 ( ( () R R + 4 R ( R R 4 R ( R R + R ( (4) 5) ב) ( ( ( ( (5 לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

9 א) א) א) א) ( ( (8 + i + i (9 + i i, F= R F= C ( x y) t t ( x y) ( x y z) = ( t + t t) ( x x x ) = ( ) φ ( x y) = ( ) ( ) ( ) ( x y z) = ( ) (6), = (5, ) (, = (, ) ( φ (4 φ (,, 7,, (6,,,, (5 (8, (,) (7 + t x, y, z, t = a + b,+ a b, a, b (0 x, y = (, t) (9,,,, ( φ ( k, k ב = k ג = k א) ב = k ג = k k, k (7) א) k =, k = 04 k, k 04 4 ג = k 4 k = 7 ב ב k, k 4 7 k = ±, k = ב k ±, k 5 k =, k =, k = ג k, k, k 6 לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

10 א) א) א) ב) ב) א) א) א) א) 9 k ב ± k ג = k ב) = k ג k ב = k k = (8) (9) a =, b = ב b a =, ג a a = 6, b = 5 ג a או 6 b 5 a ג = b a =, או a =, b b = 0, c = 5, d = ב ab + c d 0) () ( z, z, z ) = (,, ), ( z, z, z ) = (( + i) t + + i,, t) ( ( x, x, x ) = (0,,0) ( F = R F = C 0 0 k + 4 k k + k + 4 k ב 7 k + k 4 6 k + 4 ) k = k = k, k ג ( x, y, z) = ( + 0 t,08 t, ד (t, לא k = k = ה = ± k ו ז ח = k x = 60 x 4 5, x = 00 x + x 5, x = 00 + x x 5 x 5 x חופשיים ) x 5 = 60, x 4 = 0, x = 60 x, x = 40 + x x חופשי ב ג I =, I =, I = ב I =, I =, I = ) לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

11 0 תרגילים פרק מטריצות A,, C, D, E () נתונות מטריצות: קבע מי מבין המטריצות הבאות מוגדרות במידה והמטריצה מוגדרת רשום את סדר המטריצה + A (5 AE (4 AC D ( A ( A + ( T T E( A) (0 E( AC) (9 E (8 ( E + A ) D (7 E( + A) (6 x, y, () מצא את z, אם ידוע כי: x + y x y z 5 + z = x 5y x + 8y 4 z z () נתונות המטריצות הבאות: A =, =, C =, D = 0, E = I, 0 0 = I = ( ) חשב (במידה וניתן) : tr D E (5 D + 4 EI (4 5 C ( E D + I ( E + D ( T T T DAC (0 tr ( C C) (9 IC (8 A + C (7 4 C + A (6 4 b x, (4) בכל אחד מהסעיפים הבאים מצא מטריצות A המבטאות את מערכת המשוואות הנתונה ע"י המשוואה היחידה Ax = b x y + z + t = ( x + y z = ( 4x + y + z = 4 x + y 4z = 5 y + z + t = 6x + 4y + z = x 4z y = 0 לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

12 (5) נתון: 4 4 x A = x = y b = 6 z בטא כל אחת מהמשוואות הבאות כמערכת משוואות לינאריות: T A x = x + b (5 Ax = x (4 Ax = kx + b ( Ax = 4 x + b ( Ax = b ( T A = A T A = A (6) מטריצה ריבועית A תיקרא סימטרית אם ואנטי-סימטרית אם ידוע ש- א A מטריצה ריבועית מי מבין הבאים נכון: A A T סימטרית אנטי-סימטרית A + A T T AA סימטרית ידוע ש- ב A אנטי-סימטריות מאותו סדר מי מבין הבאים נכון: A + A אנטי-סימטרית סימטרית סימטרית AAA A מי מבין הבאים נכון: = A ידוע ש- ג A סימטריות מאותו סדר ונתון כי ( A ) A אנטי-סימטרית סימטרית סימטרית A ידוע ש- ד A סימטרית אנטי סימטרית מאותו סדר ונתון כי A = A הוכח: A + אנטי-סימטרית אנטי-סימטרית A A = A A,, נתון: ה A סימטריות מאותו סדר הוכח כי (7) מצא את ההפוכה של כל מטריצה בדוק תשובתך על ידי כפל מטריצות מתאים 4 5 ( 5 ( ( 7 4 (6 (5 0 ( (9 4 4 ( ( לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

13 א) א) א) 5 7 k + k + עבור אילו ערכים של הקבוע k המטריצה הבאה הפיכה: 8) k k k k k ב עבור אילו ערכים של הקבוע k המטריצה הבאה איננה הפיכה: (9) פתור את מערכות המשוואות הבאות בעזרת המטריצה ההפוכה: x + 4y + z + 4t = ( x y + z = ( x + y z = 0 x y + z = 5 y + z + t = 5x y + 4z = x + y z t = 0 : X הנח שכל המטריצות הן הפיכות מסדר n וחלץ את 0) T P X P = A A XC = A DC AXC = D ( ( ( T T T AC X A C = A A AX = X C C A + X D = I (6 ( ) (5 ( ) (4 ( ) X = + I X = חשב את 4 9 ב נתון אם ידוע כי = + T Y אם ידוע כי Y 0 = 4 8 ג נתון חשב את ( + ) = ( ) T 5A I A 7A ד נתון = A חשב את 4 7 אם נתון A A I נתון: A מטריצה ריבועית המקיימת = 0 5 ) I A A הוכח: A הפיכה ובטא את במונחי ( A I)( A + I ) = 0 נתון: ב A מטריצה ריבועית המקיימת I A A הוכח: A הפיכה ובטא את במונחי לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

14 0 A = 0 6, p x x x x ג נתונים: = ) ( חשב את A) p( A A בעזרת תוצאת סעיף (ולא בדרך אחרת) הוכח ש- A והפיכה ובטא את בעזרת בלבד I 4 () נתון: A מטריצה ריבועית המקיימת = 0 A א הוכח כי A לא הפיכה ב הוכח כי המטריצה I A הפיכה ומצא את ההופכית שלה D AD = C כך ש- D P AP = הוכח כי קיימת מטריצה הפיכה Q Q = C () נתון: * הנח שכל המטריצות הנתונות ריבועיות, מאותו סדר והפיכות לסטודנטים המכירים את המושג דימיון מטריצות ניתן לנסח את השאלה כך: הוכח: אםAדומה ל- דומה ל- CאזAדומה ל- C (כלומר יחס הדימיון בין מטריצות הוא יחס טרנזיטיבי) ** הערה בפרק (דטרמיננטות) תמצא שאלות נוספות הנוגעות למטריצה ההפוכה לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

15 א) 4 פתרונות פרק (5 (4 4 ( ( 4 6 ( 6 6 (0 6 4 (9 (8 6 (7 6 6 (6 () ( x, y, z ) = (,, ) () 8 8 (4 ( 4 ( 5 5 ( () 8 6 ( (7 0 (5 8 7 ( ( 0 6 (9 x A = 4 x = y b = 5 ( 4 4 z (4) x 4 0 y 4 A = x = b = 0 z 4 0 t 0 ( (4 + k) x y + 4z = ( y + 4z = ( 4x y + 4z = ( (5) x + ( k ) y + z = x 5y + z = x y + z = x 6 y + ( + k) z = x 6y z = x 6y + z == x + y + z = (5 x y + 4z = 0 (4 x y 6z = 6 x y + z = 0 4x + y + z = 9 x 6y + z = 0,, ב ג,, 6) לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

16 א) 5 5 ( ( ( (6 8 (5 ( ( ( ( (7) k =, k = 4 ( k, k ( (8) ( x, y, z, t ) = (, 4, 5, ) ( ( x, y, z ) = (,,) ( (9) CD A 4 ( P ) A P T T T D A DC 0) A C C T T T ( ) 6 ( + ) A C A = Y 86 8 = X 5 = 4 ב ג ד A = A I 6 6 = 05 5 א A A I ב () 5 48 = + + I, f ( ) = ג ( I A) = I + A + A + A () ב לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

17 6 תרגילים פרק דטרמיננטות () חשב את הדטרמיננטה של המטריצות הבאות על ידי הורדת סדר (פיתוח לפי שורה/עמודה): 4 5 ( 5 ( a b ( 7 c d (6 (5 0 ( (9 0 5 ( ( ( ( () חשב את הדטרמיננטה של המטריצות הבאות על ידי דירוג 0 ( 4 ( 0 ( (6 0 (5 0 ( () חשב את הדטרמיננטה של המטריצות הבאות על ידי שילוב של הורדת סדר ודירוג: 5 4 ( 0 ( 5 ( לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

18 א) 7 (4) ללא חישוב, הראה שהדטרמיננטה של המטריצות הבאות שווה אפס: 5 8 ( ( 0 ( sin x cos x (6 a a + x a + y (5 y + z z + x y + x (4 sin y cos y b b + x b + y x y z sin z cos z c c x c y ( a b c d חשב: e f g h i (5) נתון: = 4 0 g + d a a + d ( 0 h e b b e i + f c c + f a d d g + 4a b e e h + 4b c f f i + 4c ( a g + d d b h + e e c i + f f ( a b b = ( b a)( c a)( c b) c a c הוכח כי 6) x x x y y y z z z t t t ב z) ( y x)( z x)( t x)( z y)( t y)( t = הוכח כי לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

19 8 k k 4 det k = ( k ) ( k + ) k k הוכח כי ג (7) בכל אחד מהסעיפים הבאים, נתונה מטריצה ריבועית מסדר n חשב את הדטרמיננטה של המטריצה הנתונה: a i j i + j = n + ( = אחרת 0 j i = j + ( ai j = n i =, j = n אחרת 0 a i j i = j = ( 0 i = j = j i < j j i > j ( n ) (6 n (5 a i j a i = j = אחרת b (4 a i j a i = j b i = j + = c j = i + אחרת 0 * ( 7 * בסעיף 7): א מצא נוסחת נסיגה עבור הדטרמיננטה ב הנח כי = c a =, b =, ומצא: ביטוי סגור עבור הדטרמיננטה את הדטרמיננטה כאשר = 0 n (8) חשב: a b c d e a b c d e f g h i j f g h i j k l m n o + k l m n o p q r s t p q r s t a + b x y a b c d x e y לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

20 א) 9 A = 4, =, מטריצות מסדר חשב: (9) נתונים: A T T T A A adj (4 A A ( 4 A ( AA ( ) ( הוכח: A = נתון: PQ APQ = 0) A =, A + I = 0, ב נתונים: A מטריצות הפיכות מסדר 4 חשב את A + = A = 0, 0, ג נתונים: A מטריצות הפיכות מסדר חשב את: A, ( ) = A n adj A nxn A = A ד הוכח: ה נתון כי A מטריצה אנטיסימטרית מסדר אי זוגי הוכח ש- = 0 A n T A מצא את = A det, A = 8 n מטריצות הפיכות מסדר A, n A n det חשב: ( A ) =, det ( ) = nxn nxn ו נתונים: ז נתונים: () פתור את מערכות המשוואות הבאות בעזרת כלל קרמר: x + z + 5t = 8 ( x + z = ( x + y = 5 ( x 6y = 8 4x + y + 8z = x + 4y = 5x + y 7z + 4t = 5 x + z = 8 x + 5y + 44z = 5 () נתונה מערכת המשוואות: kx + y + z + t + r = x + ky + z + t + r = x + y + kz + t + r = x + y + z + kt + r = x + y + z + t + kr =? x = 05 א עבור איזה ערך של k ב עבור איזה ערך של למערכת פתרון יחיד? k למערכת פתרון יחיד שבו? x = ג האם קיים k עבורו למערכת פתרון יחיד שבו 0 ד הוכח שאם למערכת פתרון יחיד אז בהכרח x = y = z = t = r לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

21 א) א) 0 () עבור כל אחת מהמטריצות הבאות חשב את הצמודה הקלסית (A adj( ובעזרתה את A 0 0 ( A = ( A = 0 5 ( A = 4 (4) נתון: A = ( A ) ( adja),5 ( (,5 חשב: הוכח שאם = A וכל איברי A הם מספרים שלמים, אזי כל איברי A הם גם 5) מספרים שלמים ב נתון ש- A מטריצה משולשית תחתונה והפיכה הוכח ש- A משולשית תחתונה? T A הפיכות A (5 CD (4 AD ( A + ( C + D ( ג נתון ש- A הפיכה הוכח שגם (A adj( וגם,C לא הפיכות D A, ד נתון: הפיכות האם המטריצות הבאות הפיכות: k 0 0 k k k k (6) מצא את ערכי k עבורם המטריצה הבאה לא הפיכה: חשב את שטח המקבילית שקודקודיה: 7) (,0),(0,5),(, 4),(,) (0,0),(5, ),(6,5),(,6) ב חשב את נפח המקבילון שקודקודיו: (7,,0),(4,),(,,,0),(0,0,0) ג מצא משוואת מישור העובר דרך הנקודות: (,,),(,, (,(,,) ד חשב את שטח המשולש שקודקודיו: (5,8),(4,),(,) לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

22 פתרונות פרק 9 (0-00 (9 4 (8 4 (7-4 (6 - (5 - (4 - ( 9 ( ad bc ( () 6 ( 4 ( 0 ( () 04 (6 44 (5 4 (4 ( 0 ( 0 ( () 6 ( ( ) n(n+ ) ( n ( ) n! ( n! ( (7) 9 ( 6 ( -8 ( (5) n (6 (5 n ( a b) [ a + ( n ) b] (4 D = ad bcd n n n, D = a bc, D = a abc 7) א - (4-8 ( ( 4 ( (9) 0 (8) D 0 = D n n+ ב = x =, y = ( () 4 n 7 A = 8, = / ב 8/ ג ז ו (0) k = א 4 k k, ב () x = y = z = t = ( x =, y =, z = ( לא ג 8 ( 4 ( () adj( A) = adj( A) A = = A = 5 05 A ( =, adj( A) = k = 0 (6) 5) כן לא לא לא לא (4 ( ( ( (5) 05 ( 40 ( (4) א א ג ב x y + 4z ד + = 0 4 (7) לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

23 סימונים: תרגילים פרק 4 מרחבים וקטוריים R R n - R המרחב הוקטורי של כל הוקטורים הממשיים ממימד n מעל השדה הממשי - המרחב הוקטורי של כל המטריצות הריבועיות מסדר n מעל השדה הממשי M n [ R] R מעל השדה n המרחב הוקטורי של כל הפולינומים ממעלה קטנה או שווה ל- - Pn [ R] R ( f : R R ) המרחב הוקטורי של כל הפונקציות הממשיות - F [ R] תת-מרחבים מעל השדה : R () בכל אחד מהסעיפים הבאים בדוק האם W תת מרחב של א 0} = c W = {( a, b, c) a + b + ב c} W = {( a, b, c) a = ג b} W = {( a, b, c) a = ד c} W = {( a, b, c) a < b < W = a b c a = c ה } ),, {( c b ו d}, W = {( a, b, c) b = a + d, c = a + כלומר, a מהווים סדרה חשבונית c b, a כלומר W = a b c b = a q c = a q ז }, ),, {( מהווים סדרה הנדסית : M n [ R] () בכל אחד מהסעיפים הבאים בדוק האם W תת מרחב של W = { A A = A א W מורכב מן המטריצות הסימטריות כלומר, } T ב W מורכב מכל המטריצות המתחלפות בכפל עם מטריצה נתונה כלומר, A} W = { A A = W = { A A = 0} מורכב מכל המטריצות שהדטרמיננטה שלהן אפס כלומר, W W = { A A = A} מורכב מכל המטריצות ששוות לריבוע שלהן כלומר, W W מורכב מכל המטריצות שהן משולשות עליונות ג ד ה ו W מורכב מכל המטריצות שמכפלתן במטריצה נתונה הוא אפס כלומר, W = { A A = 0} לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

24 W ז W מורכב מכל המטריצות שהעקבה שלהן אפס כלומר, 0} = A) { A tr( = Pn [ R] W מורכב מכל המטריצות שבהן סכום כל שורה הוא אפס W הוא תת מרחב של ח () בכל אחד מהסעיפים הבאים בדוק האם W = { p( x) p(4) = 0} מורכב מכל הפולינומים בעלי 4 כשורש כלומר, W W מורכב מכל הפולינומים בעלי מקדמים שלמים א ב ג W מורכב מכל הפולינומים בעלי מעלה 4 כלומר, 4} p) W = { p( x) deg( x ד W מורכב מכל הפולינומים בעלי חזקות זוגיות בלבד של 4 n 7 ה W מורכב מכל הפולינומים ממעלה n כאשר ו } = p(0) W = { p( x) (4) בכל אחד מהסעיפים הבאים בדוק האם W הוא תת מרחב של [R F [ x א W מורכב מכל הפונקציות הזוגיות כלומר, לכל ממשי x)} W = { f ( x) f ( x) = f ( x ב W מורכב מכל הפונקציות החסומות כלומר, לכל ממשי M} W = { f ( x) f ( x) ג W מורכב מכל הפונקציות הרציפות ד W מורכב מכל הפונקציות הגזירות ה W מורכב מכל הפונקציות הקבועות ([0,] f 4 = dx W = f ( x) f ( x) (הנח ש- 0 ו אינטגרבילית ב ( x f { ( ) '( ) 0} ז = x W = f x f (הנח ש- גזירה לכל ( x f { ( ) '( ) } ח = x W = f x f (הנח ש- גזירה לכל : C { ( ) ( ) ( ) } W = f x f x = f x + {(,, ), } W = z z z z = z z = z + z הוא תת מרחב של ט (5) בדוק האם א מעל השדה הממשי R ב מעל שדה המרוכבים C לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

25 4 צירופים לינאריים, מרחב נפרש, תלות לינארית (6) נתונים הוקטורים הבאים: u = (4,,,5), u = (0,, 5,), u = (, 5,,), u = (,,,) 4?u 4 u א האם הוא צירוף לינארי של? Sp{ u4} שייך ל- u האם { u, u } 4 האם הקבוצה תלוייה לינארית?? u u u ב האם הוא צירוף לינארי של? Sp{ u, u} שייך ל- u האם { u, u, u } האם הקבוצה כצירוף לינארי של הוקטורים האחרים תלוייה לינארית? במידה וכן רשום כל וקטור בקבוצה? u u u 4 ג האם הוא צירוף לינארי של? Sp{ u, u} שייך ל- u 4 האם { u, u, u } 4 האם הקבוצה תלוייה לינארית? במידה וכן רשום כל וקטור בקבוצה כצירוף לינארי של הוקטורים האחרים נתון ד k) v = (4,, k,? u u v מה צריך להיות ערכו של k על מנת שהוקטור יהיה צירוף לינארי של Sp{ u, u} v מה צריך להיות ערכו של k על מנת שהוקטור יהיה שייך ל- { u, u, v} מה צריך להיות ערכו של k על מנת שהקבוצה תהייה תלוייה לינארית ה נתון d) v = ( a, b, c,? u u,c,a,b על מנת שהוקטור v יהיה צירוף לינארי של מה התנאים על d? v על מנת שהוקטור a, b, c, מה התנאים על d יהיה שייך ל-{ Sp{ u, u { u, u, v},c,a,b על מנת שהקבוצה מה התנאים על d תהייה תלוייה לינארית? u u, u ו הבע את הוקטור (,,,) כצירוף לינארי של בכמה אופנים ניתן לעשות זאת? לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

26 5 u 4 u, u, u ז הבע את הוקטור (,,7,0) כצירוף לינארי של בכמה אופנים ניתן לעשות זאת? (7) נתונות המטריצות הבאות: A,, C = = =, D = 5 5 M [ R] בדוק האם המטריצות תלויות לינארית מעל במידה והמטריצות תלויות רשום כל אחת מהמטריצות כצירוף לינארי של יתר המטריצות? Sp{, C} האם המטריצה A שייכת ל- (8) נתונים הפולינומים הבאים: p ( x) = 4 + x + x + 5 x, p ( x) = x 5x + x, p ( x) = 5x + x + x, P ( x) = + x x + x 4 P [ R] בדוק האם הפולינומים תלויים לינארית מעל במידה והפולינומים תלויים לינארית רשום כל פולינום כצירוף לינארי של שאר הפולינומים {, }? Sp p p 4 p האם הפולינום שייך ל- V[ F],b,a הוקטורים הבאים תלויים לינארית : c בלתי תלוייה לינארית ב- (9) עבור איזה ערכים של {( c,,4),(4, a,),( c, b,6),( b,, a) } { u, v, (0) נתון כי קבוצת הוקטורים {w בדוק האם הקבוצות הבאות תלויות לינארית, במידה שכן רשום כל וקטור כצירוף של הוקטורים האחרים: א w} { u v, u w, u + v C { u + v + w,4u + 5v + 6 w,7u + 8v + 9w} {(, i, i ),( i +, i, ) } { u + v, v + w, w} ב ג בדוק האם הוקטורים תלויים לינארית ב- () א מעל C ב מעל R לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

27 6 בסיס ומימד בדיקה האם קבוצת וקטורים מהווה בסיס למרחב : () בדוק אם הקבוצות הבאות הן בסיס ל- R { (,0,), (0,0,) } ( { (,,), (,,), (,,4), (,,) } ( : M [ ] x R { (,,), (4,5,6), (7,8,9) } ( () בדוק אם הקבוצות הבאות הן בסיס ל ,, ( ,,,, ( ,,, ( 0 : P ( R) (4) בדוק אם הקבוצות הבאות הן בסיס ל- + x x + x + {, } ( + x x + x + x + x x x {,, 4, } ( + x + x + x + x + x + x {, 4 5 6,7 8 0 } ( T = {(,,), (4,5,6), (7,8,9),(,,4) } (5) נתונה קבוצת וקטורים ב- : R א האם T בסיס ל- R ב מצא קבוצה ' T, שהיא קבוצה מקסימלית של וקטורים בלתי תלויה לינארית ב- T ג השלם את ' T לבסיס של לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

28 7 מציאת בסיס וממד למרחב פתרונות של מערכת משוואות הומוגנית (6) לפניך מערכות של משוואות הומוגניות: x y + z + w = 0 x + y z + w = 0 x y + z + w = 0 ( x + z w = 0 ( x y + 7z + 4w = 0 ( x y + z + w = 0 x y z w = 5x + y 5z 6w = 0 נסמן ב- W את המרחב הנפרש ע"י מערכת המשוואות ) נסמן ב- U את המרחב הנפרש ע"י מערכת המשוואות ) נסמן ב- V את המרחב הנפרש ע"י מערכת המשוואות ) א) מצא בסיס וממד ל- U, W V U V U V ב) ) מצא בסיס וממד ל- ) מצא ממד ל- U V ג) מצא בסיס ל- 4 {(,,, ), } U מצא בסיס וממד ל- U = a b c d R a = c b = d 4 {(,,, ), } U מצא בסיס וממד ל- U = a b c d R c = a + b d = b + c { 4 (,,, ) 0} U מצא בסיס וממד ל- U = v R v = (7) נתון (8) נתון (9) נתון מצא בסיס וממד ל- U { [ ] T x } (0) נתון U = A M R A = A 0 0 U A M x[ R] A = = מצא בסיס וממד ל- U () נתון 0 0 { ( ) [ ] () 0 } () נתון = p U = p x P R מצא בסיס וממד ל- U לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

29 8 מציאת בסיס וממד לתת מרחב U : 4 () לפניכם שני תתי מרחבים של המרחב R {(,,,), (,,7,4), ( 5,, 5, 6) } = span V {(,,,), (,0,, ), (,,, ), (5,,5,8) } = span א מצא בסיס, ממד ומשוואות ל- U ב מצא בסיס, ממד ומשוואות ל- V U V U V ג מצא בסיס וממד ל- ד מצא בסיס וממד ל- : (4) לפניכם תת מרחב של המרחב M [ ] x R 4 U = span,, מצא בסיס וממד ל- U : P [ R] (5) לפניכם תת מרחב של המרחב {,4, } U = span + x x + x + x x + x x + x x מצא בסיס וממד ל- U מציאת בסיס וממד למרחב שורה ומרחב עמודה של מטריצה, דרגת מטריצה (6) מצא בסיס וממד למרחב השורה ומרחב העמודה של המטריצות הבאות וציין את דרגת המטריצה :(rank) 5 ( ( לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

30 9 וקטורי קואורדינטות, שינוי בסיס (7) נתונים שני בסיסים של : R [ v] = {(,,0), (0,,0), (0,,)}, = { (,0,),(0,,), (0,0,) } א מצא את וקטור הקואורדינטות ביחס לבסיס סמן וקטור זה ב- [ v] ב מצא את וקטור הקואורדינטות ביחס לבסיס סמן וקטור זה ב- M ג מצא מטריצת מעבר מהבסיס לבסיס סמן מטריצה זו ב- M ד מצא מטריצת מעבר מהבסיס לבסיס סמן מטריצה זו ב- ( ) ה אשר את הטענות הבאות: [ M ] = [ M ] ( [ M ] [ v] = [ v] ( [ M ] [ v] = [ v] ( : P [ R] (8) נתונים שני בסיסים של [ v] = { + x, x, x + x }, = { + x, x + x, x } א מצא את וקטור הקואורדינטות ביחס לבסיס סמן וקטור זה ב- [ v] ב מצא את וקטור הקואורדינטות ביחס לבסיס סמן וקטור זה ב- M ג מצא מטריצת מעבר מהבסיס לבסיס סמן מטריצה זו ב- : M [ R] (9) נתונים שני בסיסים של =,,, E =,,, [ v] [ v] E א מצא את וקטור הקואורדינטות ביחס לבסיס ב מצא את וקטור הקואורדינטות ביחס לבסיס סמן וקטור זה ב- E סמן וקטור זה ב- M E ג מצא מטריצת מעבר מהבסיס לבסיס E סמן מטריצה זו ב- לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

31 0 תרגילים פרק 5 ערכים עצמיים, וקטורים עצמיים, לכסון () עבור כל אחת מהמטריצות הבאות: A א מצא מטריצה אופיינית ב מצא פולינום אופייני ג מצא ערכים עצמיים ואת הריבוב האלגברי של כל ערך עצמי ד מצא מרחבים עצמיים ואת הריבוב הגיאומטרי של כל ערך עצמי ה מצא וקטורים עצמיים ו קבע האם המטריצה ניתנת ללכסון ז במידה והמטריצה ניתנת ללכסון, לכסן אותה, כלומר מצא מטריצה P AP = D הפיכה P כך ש- ח במידה והמטריצה ניתנת ללכסון חשב, באשר D מטריצה אלכסונית 009 A ט מצא את הפולינום המינימלי י קבע האם המטריצה הפיכה לפי ערכיה העצמיים במידה והמטריצה הפיכה בטא את בעזרת A I בלבד תוך שימוש במשפט קיילי המילטון A = 0 0 ( A = 0 0 ( A = 0 ( A = (6 A (5 = 4 4 A = 0 (4 F = C, F = R F = C, F = R 6 * בסעיפים 5,6 עליך לפתור פעם מעל C ופעם מעל R () א הגדר את המושג דימיון מטריצות ידוע ש- ב A מטריצות דומות הוכח כי: ל- A אותו פולינום אופייני tr( A) = tr( ) A = A n = n P P () הוכח שאם P AP = אז לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

32 תרגילים פרק 6 העתקות (טרנספורמציות) לינאריות העתקות לינאריות () הגדר והדגם את המושג העתקה (טרנספורמציה) לינארית הגדר את המושג אופרטור לינארי () עבור כל אחת מההעתקות הבאות, קבע האם היא העתקה לינארית T x y = x + y x y T R R (, ) (, ) ; : ( T x y z = x + y z x + y + z x + y z T R R (,, ) (,, ) ; : ( T x y z = x + z y T R R (,, ) (, ) ; : ( T x y = xy y z T R R (, ) (,, ) ; : (4 T x y z = x + x + y y + z T R R (,, ) (,, ) : (5 ( ) M [ R] T ( A) = A + A ; T : M [ R] M [ R] (6 n n n T T ( A) = A + A ; T : M [ R] M [ R] (7 T ( A) = A I ; T : M [ R] M [ R] (8 T T ( A) = A A ; T : M [ R] M [ R] (9 n n n n n n T A = A T M R M R ( ) ; : n[ ] n[ ] (0 T a + bx + cx + dx = a + bx + cx T P R P R ( ) ; : [ ] [ ] ( ( ) ( ) T p( x) = p( x + ) ; T : P [ R] P [ R] ( T p( x) = p '( x) + p ''( x) ; T : P [ R] P [ R] ( T ( p( x) ) ( ) ( ) n n n n = ( ) ; : [ ] [ ] (4 p x T Pn R P n R F = C, F = R T z = z ; T : C[ F] C[ F] (5 לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

33 () עבור איזה ערך של הקבוע m (אם יש כזה) ההעתקה הבאה תהיה לינארית: ( m m ) T ( x, y) = m x, y + x ; T : R R (4) בכל אחד מהסעיפים הבאים, קבע האם קיימת העתקה לינארית המקיימת את הנתון אם כן, מצא את ההעתקה וקבע האם היא יחידה אם לא, נמק מדוע T (,, 0) = (,,), T (0,,) = (4,5, 6), T (0, 0,) = (7,8,9) T (, 0,) = (,, 0), T (0,,) = (,,), T (0, 0,) = (0,,) T : R R כך ש- T : R R כך ש- א ב 4 ג T : R R כך ש- ), (, = ) (0, 4, 0, T T (,,, 0) = (0,, ), T (, 0,,) = (, 0, 0), ד R] T : P [ R] P [ כך ש- + x T = 4, T 4 x + x = x, T x = ( ) ( ) ( ) תמונה וגרעין של העתקות לינאריות rankt ImT הגדר והדגם את המושגים : T : V U KerT (5) נתונה העתקה לינארית א הגרעין של ההעתקה - ג ב התמונה של ההעתקה - משפט הממד להעתקות (השתמש במושגים הדרגה של העתקה- העתקה - והאיפוס של ( nullt (6) עבור כל אחת מההעתקות הבאות מצא בסיס וממד לגרעין ולתמונה: T x y z t = x + y y z + t x + y + z t T R R 4 (,,, ) (, 4,4 4 ), : ( T x y z = x y z x + y y z x + z T R R 4 (,, ) ( 4,,, 4 ), : ( x y T x y z t = T R R z t 4 (,,, ) 5, : ( T ( A) = A A, T : M [ R] M [ R] (4 0 0 ( ) T p( x) = p( x + ) p( x + 4), T : P [ R] P [ R] (5 ( ) D p( x) = p'( x), D : P [ R] P [ R] (6 לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

34 {(4,,4),(,4,) } {(0,,,),(,,, 4) } dim ImT אז הממד = dim KerT T : R R אשר תמונתה נפרשת על ידי T : R R אשר הגרעין שלה נפרש על ידי T : V הוכח כי אם? T : R R 4 4 U מצא העתקה לינארית מצא העתקה לינארית נתונה העתקה לינארית V זוגי (7) (8) א) של ב האם תיתכן העתקה חד-חד ערכית 9) העתקות לינאריות חח"ע ולא חח"ע, העתקות לינאריות על, איזומורפיזם (0) הסבר את המושגים העתקה לינארית חד-חד ערכית (חח"ע) והעתקה לינארית על כמו כן הסבר את המושג איזומורפיזם והעתקה הפוכה () עבור כל אחת מההעתקות הבאות קבע האם היא חח"ע, האם היא על, האם היא איזומורפיזם והאם קיימת העתקה הפוכה T x y z = x y + z y + z z x T R R (,, ) (,, ), : ( T x y z = x y + z y + z x + z T R R (,, ) (,, ), : ( T ( a + bx + cx ) = ( a + b + c, a b, b c), T : P [ R] R ( a b T = a b + c + d x + a c x + dx T M R P R c d ( ) ( ), : [ ] [ ] (4 הערה: העתקה חח"ע נקראית גם לא סינגולרית פעולות עם העתקות לינאריות S : R T : R R העתקות לינאריות המוגדרות על ידי: R T ( x, y, z) = ( x,4 x y, x + 4 y z), S( x, y, z) = ( x z, y) () תהיינה מצא נוסחאות (אם יש) המגדירות את : ST (5 TS (4 4S 0 T ( 4 S ( S + T ( S (0 S (9 T (8 T (7 T (6 לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

35 4 תרגילים פרק 7 מטריצות והעתקות לינאריות הערה: כבסיס לפרק זה יש להכיר את המושגים וקטור קואורדינטות ביחס לבסיס ומטריצת מעבר מבסיס לבסיס (פרק 4) לפיכך חמשת הסעיפים הראשונים בשאלה הראשונה עוסקים בכך [ v] : R מטריצה שמייצגת העתקה () נתונים שני בסיסים של = {(,,0), (0,,0), (0,,)}, = { (,0,),(0,,), (0,0,) } א מצא את וקטור הקואורדינטות ביחס לבסיס סמן וקטור זה ב- [ v] ב מצא את וקטור הקואורדינטות ביחס לבסיס סמן וקטור זה ב- M ג מצא מטריצת מעבר מהבסיס לבסיס סמן מטריצה זו ב- M ד מצא מטריצת מעבר מהבסיס לבסיס סמן מטריצה זו ב- ( ) ה אשר את הטענות הבאות: [ M ] = [ M ] ( [ M ] [ v] = [ v] ( [ M ] [ v] = [ v] ( T ( x, y, z) = ( x + y, y + z, z x), T : R R נתונה העתקה לינארית: T T א ח ו מצא את המטריצה שמייצגת את ההעתקה בבסיס ז מצא את המטריצה שמייצגת את ההעתקה בבסיס שר את הטענות הבאות : סמן מטריצה זו ב- סמן מטריצה זו ב- [ T ] [ v] = [ T ( v)] ( [ T ] [ v] = [ T ( v)] ( M T M = T : R R T ( נתונה העתקה לינארית ידוע שהמטריצה שמייצגת את ההעתקה בבסיס } (0,0,),(0,,),(,0,) { = T ( x, y, z ) = (?,?,?) 0 = T מהי נוסחת ההעתקה? כלומר 0 היא לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

36 5 ט האם ההעתקה הפיכה? י חשב את הדטרמיננטה והעקבה של ההעתקה יא מצא ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים עבור ההעתקה יב האם ההעתקה ניתנת ללכסון? R אופרטור לינארי על T R יהי שני בסיסים של המרחב () יהיו T = M = נתון כי: T M חשב את ואת T ( A) = A, T : M [ R] M () מצא את המטריצה שמייצגת את ההעתקה [R ] =,,, לפי הבסיס: ( ) 4 (4) מצא את המטריצה שמייצגת את ההעתקה R] D p( x) = p '( x), D : P [ R] P [ לפי הבסיס הסטנדרטי של הפולינומים ממעלה קטנה או שווה ל- 4 מטריצה שמייצגת העתקה מבסיס לבסיס (5) מצא את המטריצה המייצגת של כל אחת מההעתקות הלינאריות הבאות ביחס לבסיסים n הסטנדרטיים של R T ( x, y) = ( x + y, y, x), T : R R T ( x, y, z, t) = (4 x y z + t, x + y + 4 z + t), T : R R 4 א ב T ( x, y, z) = (4 x + y z, x y + z) העתקה לינארית המוגדרת על ידי T : R R (6) תהי = {(,,0),(0,,),(0,0,) חשב את המטריצה המייצגת את ההעתקה T מהבסיס } T R כלומר את = {(,4),(,5) } של R לבסיס של לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

37 א) א) 6 תרגילים פרק 8 וקטורים u,u הערה: אנו נסמן את הוקטור u כך u סימונים מקובלים נוספים: u u את גודל הוקטור u נסמן כך סימון מקובל נוסף הוא גודל וקטור נקרא גם אורך הוקטור וגם הנורמה של הוקטור v = ( z, y +, x ), u = (4,, ) u = v z y, () מצא את x אם נתון ש- כאשר 5) 6, (, = w חשב:, v = (4,, 6) () נתונים הוקטורים: 4),, ( = u, v 05u + w 05v 05u u v 05v א u ב ג ד ה proj( u, v) v u + w v d( u, v) u / u ו v u + 4w ז ח ט י * בסעיפים ז,ח,י הסבר את משמעות התוצאות מבחינה גיאומטרית,0) A(, C(,, ), (4,, ), מצא את הוקטורים הבאים: AC + A C AC ב 4A ג () נתונות הנקודות: א AC + A נתונה הצגה פרמטרית של ישר t(4,5,6) x = (,,) + 4) z y, כתוב את ההצגה בעזרת הקואורדינטות x ב נתונה הצגה של ישר בעזרת קואורדינטות x = + t, y = 0, z = 4 t כתוב את ההצגה הפרמטרית שלו (5) נתונות הנקודות,0) A(, C(,, ), (4,, ), א מצא הצגה פרמטרית של ישר במרחב העובר דרך הנקודות: C A C A A E(7, 7, ) ב מי מבין הנקודות ), (4, = D נמצאת על הישר שמצאת בסעיף הקודם C ג חשב את הזווית שבין הישר A והישר z y מצא במרחב הצגה פרמטרית של ציר ה- x, ציר ה- וציר ה- 6) z ב מצא הצגה פרמטרית של ישר במרחב העובר דרך הנקודה (6,4,5) ומקביל לציר לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

38 א) (,,) והמאונך לישר 7 (7) מצא במרחב הצגה פרמטרית של ישר העובר דרך הנקודה x = (,,0) + s(,, 4) 4,,) P(, מאונך לישר (8) מצא במרחב הצגה פרמטרית של ישר l העובר דרך הנקודה א) l : (,,) + t (, 4, ) וחותך אותו נתונה הצגה פרמטרית של מישור x = (,,) + t(, 0,) + s( 4,,5) 9) כתוב את ההצגה בעזרת הקואורדינטות z y, x ב נתונה הצגה של מישור בעזרת קואורדינטות כתוב את ההצגה הפרמטרית שלו x = + t s, y = 0 + t, z = 4 t + s הראה ששלוש הנקודות (,,0),(,0,),(,0,5) אינן נמצאות על ישר אחד ומצא 0) הצגה פרמטרית של המישור הנקבע על ידן מצא את משוואת המישור העובר דרך שלוש הנקודות הנ"ל ב מצא שתי נקודות נוספות הנמצאות על המישור שמצאת בסעיף א ג האם הנקודה (,,4) נמצאת על המישור שמצאת בסעיף א? () נתונות הנקודות: A(,,) C(,,), (,,0), א מצא הצגה פרמטרית של הישר, המחבר את עם C הראה כי הנקודה A לא נמצאת על הישר הזה C עם ב חשב את המרחק בין הנקודה A לבין הישר המחבר את C עם ג מצא את משוואת המישור העובר דרך הנקודה A והמאונך לישר המחבר את z () נתונה תיבה D' ACDA' ' C ' כמתואר בציור נתון: = 6 AA' C ' F = F ', A = 4, AD =, A' F ' א מצא הצגה פרמטרית של הישר העובר D' C' דרך הנקודה F ומאונך למישור העובר העובר דרך A' D A y ב מצא את מרחק הנקודה F מהמישור העובר D C העובר דרך A' D x לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

39 8 D' C' () בתיבה D' ACDA' ' C ' נתונים הקודקודים : A' ' A(7, 9,5), (,, 7), C( 5,, ), C '(,7, ) D M = MA C הנקודה M מחלקת את המקצוע A כך ש- א חשב: MA' MC, A M A' ב חשב את שטח המשולש MC A(-6,,8) (4,0,-6) 4) נתונה מקבילית ACD (ראה ציור) א מצא את קודקוד D ב מצא את הזווית בין אלכסוניה של המקבילית D C(-0,6,-) M (5) נתונה פירמידה שבסיסה מקבילית ACD וקודקודה M (ראה ציור) נתון: A D A(,6, ), (,, ), C(7,6, ), M (4,, 45) א מצא את גודל זווית AC C ב מצא את שטח בסיס הפירמידה ג מצא את נפח הפירמידה A' ' D' C' ACDA' ' C ' D' A(,,0), C(4,0,), D(,, ), '(9,,8) (6) נתונה תיבה נתון: C חשב את נפח התיבה A D לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

40 9 (7) מצא את מצבם ההדדי של זוגות הישרים הבאים וקבע אם הם: נחתכים, מקבילים, מתלכדים או מצטלבים x = (,0,) + t(,,0), x = (,,0) + s(, 4,0) x = (,, 4) + u(6, 6,), x = (,, 0) + t(,,) א ב ג ) 4, s(, x = (,, ) + t(,, ), x = (,,) + ד,), s( x = (,, 0) + t(0,, 4), x = (, 0, ) + במקרה בו הישרים נחתכים מצא גם את נקודות החיתוך ואת הזווית בין הישרים במקרה בו הישרים מקבילים או מצטלבים מצא גם את המרחק ביניהם l : ( x, y, z) = (4,,) + t(,, ) l : ( x, y, z) = (5,,4) + m(,,5) (8) נתונים שני ישרים: א הראה כי הישרים מצטלבים l l ב מצא משוואה של מישור שמכיל את ומקביל ל- ג חשב את המרחק בין הישרים (9) נתונים שני ישרים: l : ( x, y, z) = (,,) + u(,, ) l : ( x, y, z) = (,9, 6) + m(6,, ) א מהו המצב ההדדי של הישרים? ב אם הישרים מקבילים או נחתכים, מצא את משוואת המישור המכיל אותם אם הישרים מצטלבים מצא את המרחק ביניהם (0) נתונות ארבע נקודות: ) S(,, P( k,0,0), Q(0, 4,0), R(0, k,), א הראה שלא קיים ערך של עבורו הישרים SR מקבילים PQ k ב מצא עבור איזה ערך של k הישרים אורתוגונליים (מאונכים) זה לזה, ומצא את המרחק ביניהם במקרה זה לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

41 40 עובר דרך הנקודות (,6,) l,) (5, () הישר l : (, k +,) + t ( k 9, 7,0) l הצגה פרמטרית של הישר היא: הישרים מקבילים (לא מתלכדים)? הישרים מתלכדים? k k א עבור איזה ערך של עבור איזה ערך של z ב lומקביל לציר ה- מצא משוואה של מישור, π המכיל את הישר π מהמישור l ג עבור k שמצאת בתת סעיף א, מצא את המרחק של () נתונות ארבע נקודות: k,0,0) A(,, ), (, k,), C(0, 4,0), D( A l הישר מחבר את הנקודה עם הנקודה D עם הנקודה C l הישר מחבר את הנקודה א מצא עבור איזה ערך של k הישרים מאונכים זה לזה k ב עבור הערך של l שמצאת בסעיף א, מצא את משוואת המישור המכיל את הישר l ומקביל לישר () מצא את המצב ההדדי של המישור והישר וקבע אם הישר: חותך את המישור, מקביל למישור או מוכל במישור x y + 4z 5 = 0, x = (,0, ) + t(,, ) x 5y + z 6 = 0, x = (,0, 4) + t(4,, 6) x 4y + 0z = 6, x = (,, ) + t(,, 0) א ב ג במקרה שהישר חותך את המישור, מצא גם את נקודת החיתוך וגם את הזוית בין הישר למישור במקרה בו הישר מקביל למישור מצא את מרחק הישר מהמישור (4 + k,, ) עובר דרך הנקודות (6,5,4)A (4) ידוע כי הישר l ונתון מישור = 0 5 kz π : x 4 y א עבור איזה ערך של k הישר מקביל למישור? C C ב המישור π חותך את ציר ה- x עבור בנקודה k שמצאת בסעיף א, חשב את הזווית בין המישור π לבין לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

42 א) 4 π : x y 4z (5) נתונים ישר: ) a, l : (,, ) + t(0, ומישור: = 4 א עבור איזה ערך של הקבוע a יהיה הישר מוכל במישור? ב מצא משוואה של מישור המכיל את הישר l ומאונך למישור π נתונים שני ישרים ומישור : l : ( x, y, z) = (,,) + t(,, ) l : ( x, y, z) = (,,) + s(,,) π : x y + z = (6) א קבע את המצב ההדדי בין כל אחד מהישרים למישור 8 l ב מצא את הנקודות על הישר שמרחקן מראשית הצירים הוא (7) בציור משמאל נתון טטראדר SAC S(,,), ניצב למישור א הוכח כי אחד המקצועות דרך S הנקבע על-ידי שני המקצועות האחרים דרך S A(,,) (,0,) ב מצא את משוואות המישור הנ"ל ג חשב את הזוית שבין המקצוע AC לבין מישור המשולש SA C(-,,) (8) מצא את המצב ההדדי של המישורים וקבע אם הם: מקבילים, מתלכדים או נחתכים x y + z 0 = 0, x + y + z 4 = 0 x 5y + z 6 = 0, 4x 0y + 6z 8 = 0 x 4y + 0z = 6, x 7 y + 5z = א ב ג במקרה בו המישורים מקבילים מצא את המרחק ביניהם במקרה בו הם נחתכים מצא את הזווית ביניהם ואת ישר החיתוך ביניהם x + y z = 7, x + y 4z נתונים שני מישורים: = 0 9) l מצא הצגה פרמטרית לישר החיתוך של שני המישורים l ב נתון:,) (, s + ), (6, : l מהו המצב ההדדי בין l לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

43 4 x y + z 7 = 0, x + y z (0) נתונים שני מישורים: = 0 + א מצא הצגה פרמטרית לישר החיתוך l של שני המישורים? π : 4x y + Cz = 0 ב עבור איזה ערך של הפרמטר, C יקביל הישר l למישור ג עבור C שמצאת בסעיף ב, חשב את מרחק הישר l מהמישור π M (,8, ) ונקודה x + y + z = 6, x y + 4z () נתונים שני מישורים: 0 = הישר l הוא ישר החיתוך של המישורים הנ"ל א מצא את משוואת המישור העובר דרך הנקודה M וניצב לישר l l ב מצא את מרחק הנקודה M מהישר π : x y 4z = 4 () הישר m) l : (0,,) + t(, 4, מקביל למישור א מצא את הקבוע m π l π ב הנקודה 4), (, N נמצאת על המישור ויוצרת עם הישר מישור π π מצא הצגה פרמטרית של ישר החיתוך של המישורים Z ' C C' () אחד מקודקודי קוביה נמצא A = בראשית הצירים, ' אמצע E א חשב את זווית CEA E ב חשב את הזווית בין שני 0 D Y ODA המישורים AEC A (4) נתונים שני ישרים: X l l : (,, ) + t(,,8) : (,5, ) + u( 4,6, 4) א הראה כי הישרים קובעים מישור יחיד ומצא את משוואתו ב מצא משוואת מישור, המקביל למישור שמצאת ב- א, ועובר דרך הנקודה (0,,0) לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

44 4 פתרונות פרק 8 לתשומת לבכם! הצגה פרמטרית של ישר (או מישור) היא לא יחידה ייתכן למשל, שהישר הפרמטרי שאתם תקבלו "ייראה" שונה מהישר שאני קיבלתי בכל אופן אם תבצעו בדיקה תוכלו לראות שהם מתלכדים x = 5, y =, z = 6 () ג 4) 7,7, ( ז 4),, ( א,8) 6, ( ה 8) (95,95, ט 4 ב,,) ( ו 6) (9,9, ד 5), (5, ח (,, ) י () (8,, 0) ( 8, 6, 8) א 7,) (5, ב ג () x = (,0, 4) + t(, 0, ) א x = + 4 t, y = + 5 t, z = + 6t ב (4) א ) ) 5, t(, + 0), (, א ) ) t(,, +,0) (, א ),), t( + ), (4, ב הנקודה D (5) (4,5, 6) + t(0, 0,) t(0, 0,),t(0,,0) ) 5477 ג א t(,0,0), ב (6 (,,) + t(,, 0) (7) ( 4,,) + t(8,, 5) (8) (,0, 4) + t(,, ) + s(, 0,) א x = + t 4 s, y = + s, z = + t + 5s ב (9) א = 0 z x + y + ג לא א 5), s(, + t(, 0, ) + 0) (,, ( 05,0,0) ב למשל: 0,) (0,, א,) t(0, + 0) (,, ב 44 ג = 0 + z y (0) () 8 7 א ) t(6,, + 4,6) (, ב () א = 08 MA' MC = 5, ב 5996 () 86 א 8,) 0, D( ב (4) S = 4 א 6565 ב ג = V (5) V = 7 (6) 407 א מקבילים, 095 ד נחתכים בנקודה ב מצטלבים, ג מתלכדים 4), (, זווית בין הישרים 476 (7) x ג 06 (8) ב = 4 y + לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

45 44 א מצטלבים ב 0 (9) d = 5 (0) ב = 08 k, = 7 y x + ג k = 4 א 4 = k א ב () 8x 4 y + 5z + = 0 א = k ב () () א מקביל, 0984 ב מוכל ג חותך בנק' (-,05-,5), זוית בין הישר למישור 4078 (4) א = 9 k ב 0x + y + z 9 = ) א = a ב (5 (,,4),(,, ) 4 5 l l מוכל, א חותך ב (6) 6476 x y z + = 0 א SC SA ב ג (7) א המישורים נחתכים ישר החיתוך: 5), t(, +,) (0, זווית 66 ב המישורים מקבילים, המרחק ביניהם: 04 ג המישורים מתלכדים (8) א ), 5, t( + ) (9,0, ב מצטלבים (9) ב = C ג 884 (0) א 7,) t(, + 0) 5, (, 5x y z א = ב 507 () (,, 4) + t( 4, 4, 8) א 8 = m ב () () א 7846 ב x 0y 7z 0 = 0 א ) 56 ב x 0 y 7z + 9 = 0 (4 לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

46 45 תרגילים - פרק 9 מספרים מרוכבים () פתור את המשוואות הבאות ומצא את z z 6z + = 0 ( z 4z + 5 = 0 ( z + 9 = 0 ( () חשב: 5 6 ( 4 i)( i) (4 (4 + i) ( + 0 i) ( ( i i ) ( ( i ) ( :( חשב (כתוב את התוצאה בצורה z = x + yi i + i 5 ( ( ( i ( i + ) i + i () (4) פתור את המשוואות הבאות ומצא את המספר המרוכב : z i z z i zz z i z i z ( + ) + + = 0 ( 5 = 0 ( 6 = ( (5) כתוב את המספרים הבאים בצורה קוטבית: i (4 i ( i ( + i ( 8 (8 i (7 i (6 + i (5 (6) חשב: ( ) + i + i ( + i ( 8 (6 (5 8 (4 5 6 z + z + = 0 4 (7) א מצא את כל הפתרונות של המשוואה 6 z = z ב הראה כי אם הוא פתרון של המשוואה מסעיף א אזי: z 4 (8) נתונה המשוואה 8 8 i = א מצא את פתרונות המשוואה הנתונה ב הוכח כי החזקה השלישית של כל אחד מפתרונות הנתונה היא מספר ממשי או מספר מדומה טהור לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

47 46 z = i 4 פתור את המשוואה = i z + z i א מצא את שלושת הפתרונות של המשוואה (9) (0) i ב הראה שמכפלת שלושת הפתרונות היא ג הראה שאם מעלים בריבוע פתרון כלשהו של המשוואה, התוצאה שווה למכפלת שני הפתרונות האחרים z 5 () א פתור את המשוואה i) 6( = ב הוכח כי חמשת השורשים מהווים סדרה הנדסית, ומצא את מנת הסדרה q a, a q, a q,, a q n הערה: סדרה הנדסית היא סדרה מהצורה באשר מנת הסדרה w = + i () נתון z = w א מצא את פתרונות המשוואה w ב הראה כי מכפלת הפתרונות של המשוואה היא iz ( + ) = () נתונה המשוואה i z z א מצא את פתרונות המשוואה z z z + z = הראה כי ב 5 (4) נתונה המשוואה = ) z ( הוכח שסכום שורשיה הוא z (5) נתונה המשוואה + i = א מצא את שורשי המשוואה: z, z, z z + z + z ב מצא את הסכום ( z ) + ( z ) + ( z ) ג הראה כי הסכום הוא מספר מדומה טהור לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

48 47 z, z + z ti = 8s נתונה המשוואה הוא מספר מרוכב (6) z z t הם מספרים ממשיים שונים מאפס כאשר s הם פתרונות המשוואה t א הבע את פתרונות המשוואה באמצעות s t s z z i נתון ב 8 = מצא את הפרמטרים ( ) (7) א פתור את המשוואה = 0 z z i + z + z + z + ב אחד מהפתרונות שמצאת בסעיף א, הוא איבר אחרון בסדרה חשבונית שכל איבריה + האיבר הראשון בסדרה הוא מספר ממשי i 6 שונים מאפס הפרש סדרה זו הוא: חשב את האיבר הראשון בסדרה a, a + d, a + d,, a + ( n ) d הערה: סדרה חשבונית היא סדרה מהצורה: באשר d נקרא הפרש הסידרה i) u = ( i, 4 i,+ 6 i), v = (5 + i, i,7 + מצא: (8) נתון : u v ( i u v ( 4 u + v ( v (6 u (5 u u (4 פתרונות פרק i (4 9 i ( 0 ( 8 ( () ± i ( ± i ( ± i ( () + i ( + i ( i ( () 5 5 z = i, z = ( z = + i, z = 4 + i ( z = + i ((4) 7π 7π 5π 5π π π (cos + isin ) ( (cos + isin ) ( (cos + i sin ) () (5) π π π π 7π 7π (cos + i sin ) (6 (cos + i sin ) (5 (cos + i sin ) ( ( 9 ( i ( (6) π π 8(cos π + i sin π ) (8 (cos + i sin ) (7 לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

49 48 6 π + πκ π + πκ 8 cos + i sin k = 0,,,, 4, πκ 0 + πκ cos + i sin k = 0,,,, π + πκ π + πκ 8 cos + i sin k = 0,, z = cis60, z = cis40, z = cis0, z = cis (4 (5 (6 (7) z = 0, z =, z = (9) z = + i, z = + i, z = i, z = i 4 (8) א z = + i, z = + i, z = i (0) א q = cis7 z = cis[0 + ( n )7 ] n =,,, 4,5 n א ב () + ( + ) i, + ( ) i () z = cis45, z = cis65, z = cis85 א א () 4i 6 z = cis90, z = cis70, z = cis50 א ג ב (5), z = 0 (7) t = 9, s = ± t t z = s i, z = s i s s א ב א (6) (7 7 i, + i, + 6 i) (8) a ב 85 = א z = i, i ב 9) i, + 5 i, 0 + ( ג ה ד ו סוף לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil

פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד ... ( ) ( ) ( ) = L. uuruuruur. { v,v,v ( ) ( ) ( ) ( )

פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד ... ( ) ( ) ( ) = L. uuruuruur. { v,v,v ( ) ( ) ( ) ( ) פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד a d U c M ( יהי b (R) a b e ל (R M ( (אין צורך להוכיח). מצאו קבוצה פורשת ל. U בדקו ש - U מהווה תת מרחב ש a d U M (R) Sp,,, c a e

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur פתרון תרגיל --- 5 מרחבים וקטורים דוגמאות למרחבים וקטורים שונים מושגים בסיסיים: תת מרחב צירוף לינארי x+ y+ z = : R ) בכל סעיף בדקו האם הוא תת מרחב של א } = z = {( x y z) R x+ y+ הוא אוסף הפתרונות של המערכת

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית מטריצות מטריצות הפיכות

אלגברה לינארית מטריצות מטריצות הפיכות מטריצות + [( αij+ β ij ] m λ [ λα ij ] m λ [ αijλ ] m + + ( + +C + ( + C i C m q m q ( + C C + C C( + C + C λ( ( λ λ( ( λ (C (C ( ( λ ( + + ( λi ( ( ( k k i חיבור מכפלה בסקלר מכפלה בסקלר קומוטטיב אסוציאטיב

Διαβάστε περισσότερα

חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א'

חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א' מד''ח 4 - חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א' ( u) u u u < < שאלה : נתונה המד''ח הבאה: א) ב) ג) לכל אחד מן התנאים המצורפים בדקו האם קיים פתרון יחיד אינסוף פתרונות או אף פתרון אם קיים פתרון אחד או יותר

Διαβάστε περισσότερα

תרגילים באמצעות Q. תרגיל 2 CD,BF,AE הם גבהים במשולש .ABC הקטעים. ABC D נמצאת על המעגל בין A ל- C כך ש-. AD BF ABC FME

תרגילים באמצעות Q. תרגיל 2 CD,BF,AE הם גבהים במשולש .ABC הקטעים. ABC D נמצאת על המעגל בין A ל- C כך ש-. AD BF ABC FME הנדסת המישור - תרגילים הכנה לבגרות תרגילים הנדסת המישור - תרגילים הכנה לבגרות באמצעות Q תרגיל 1 מעגל העובר דרך הקודקודים ו- של המקבילית ו- חותך את האלכסונים שלה בנקודות (ראה ציור) מונחות על,,, הוכח כי

Διαβάστε περισσότερα

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 1. המערכת הלא הומוגנית גם כן. יתרה מזאת כל פתרון של (A b) הוא מהצורה c + v כאשר v פתרון כלשהו של המערכת ההומוגנית

אלגברה לינארית 1. המערכת הלא הומוגנית גם כן. יתרה מזאת כל פתרון של (A b) הוא מהצורה c + v כאשר v פתרון כלשהו של המערכת ההומוגנית אלגברה לינארית 1 Uטענה U: אם c פתרון של המערכת (A b) ו v פתרון של המערכת (0 A) אזי c + v פתרון של המערכת הלא הומוגנית גם כן. יתרה מזאת כל פתרון של (A b) הוא מהצורה c + v כאשר v פתרון כלשהו של המערכת ההומוגנית

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות λ = 0 A. F n n ערך עצמי של A אם ורק אם A לא הפיכה..det(λ I ערך עצמי של λ F.A F n n n A) = 0 אם ורק אם: A v וקטור עצמי של Tהמתאים יהי T: V V אופרטור לינארי. אם λ F ערך עצמי של,T לערך העצמי λ, אזי λ הוא

Διαβάστε περισσότερα

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח.

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח. 1 תשע'א תירגול 8 אלגברה לינארית 1 טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של וקטור אם הוכחה: חד חד ערכית ויהי כך ש מכיוון שגם נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 נתון: (AB = AC) ABC שאלה 2 ( ) נתון. באמצעות r ו-. α שאלה 3 הוכח:. AE + BE = CE שאלה 4 האלכסון (AB CD) ABCD תשובה: 14 ס"מ = CD.

שאלה 1 נתון: (AB = AC) ABC שאלה 2 ( ) נתון. באמצעות r ו-. α שאלה 3 הוכח:. AE + BE = CE שאלה 4 האלכסון (AB CD) ABCD תשובה: 14 סמ = CD. טריגונומטריה במישור 5 יח"ל טריגונומטריה במישור 5 יח"ל 010 שאלונים 006 ו- 806 10 השאלות 1- מתאימות למיקוד קיץ = β ( = ) שאלה 1 במשולש שווה-שוקיים הוכח את הזהות נתון: sin β = sinβ cosβ r r שאלה נתון מעגל

Διαβάστε περισσότερα

גירסה liran Home Page:

גירסה liran   Home Page: גירסה 1.00 26.10.03 סיכום באלגברה א מסמך זה הורד מהאתר.hp://uderwar.liveds.co.il אין להפיץ מסמך זה במדיה כלשהי, ללא אישור מפורש מאת המחבר. מחבר המסמך איננו אחראי לכל נזק, ישיר או עקיף, שיגרם עקב השימוש

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית (1) - פתרון תרגיל 11

אלגברה לינארית (1) - פתרון תרגיל 11 אלגברה לינארית ( - פתרון תרגיל דרגו את המטריצות הבאות לפי אלגוריתם הדירוג של גאוס (א R R4 R R4 R=R+R R 3=R 3+R R=R+R R 3=R 3+R 9 4 3 7 (ב 9 4 3 7 7 4 3 9 4 3 4 R 3 R R3=R3 R R 4=R 4 R 7 4 3 9 7 4 3 8 6

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר

Διαβάστε περισσότερα

3-9 - a < x < a, a < x < a

3-9 - a < x < a, a < x < a 1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.

Διαβάστε περισσότερα

שדות הגדרת השדה: חשבון מודולו n: הגדרה: שדה F הוא קבוצה שיש בין אבריה שתי פעולות משפט: יהא F שדה. משפט: יהא F שדה ו- (mod )

שדות הגדרת השדה: חשבון מודולו n: הגדרה: שדה F הוא קבוצה שיש בין אבריה שתי פעולות משפט: יהא F שדה. משפט: יהא F שדה ו- (mod ) שדות הגדרת השדה: הגדרה: שדה F הוא קבוצה שיש בין אבריה שתי פעולות אחת נקראת חיבור ותסומן ב + האחרת נקראת כפל ותסומן ב * כך שתתקיימנה הדרישות הבאות: a, b F a b. סגירות לחיבור: F a F a 0 0 a a a, b, c F a

Διαβάστε περισσότερα

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V )

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V ) הצגות של חבורות סופיות c ארזים 6 בינואר 017 1 משפט ברנסייד משפט 1.1 ברנסייד) יהיו p, q ראשוניים. תהי G חבורה מסדר.a, b 0,p a q b אזי G פתירה. הוכחה: באינדוקציה על G. אפשר להניח כי > 1 G. נבחר תת חבורה

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים

אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים לכסון מטריצות יהי F שדה ו N n נאמר שמטריצה (F) A M n היא לכסינה אם היא דומה למטריצה אלכסונית כלומר, אם קיימת מטריצה הפיכה (F) P M n כך ש D P AP = כאשר λ λ 2 D = λ n

Διαβάστε περισσότερα

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יחל סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר

Διαβάστε περισσότερα

ושל (השטח המקווקו בציור) . g(x) = 4 2x. ו- t x = g(x) f(x) dx

ושל (השטח המקווקו בציור) . g(x) = 4 2x. ו- t x = g(x) f(x) dx פרק 9: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי O 9 ושל בציור שלפניך מתוארים גרפים של הפרבולה f() = נמצאת על הנקודה המלבן CD מקיים: הישר = 6 C ו- D נמצאות הפרבולה, הנקודה נמצאת על הישר, הנקודות ( t > ) OD = t נתון:

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות

אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות סוכם ע"פ הרצאות פרופ' מ.קריבלביץ' 1.2 אידאלים של פולינומים הגדרה 1.13 יהי F שדה. קבוצת פולינומים [x] I F נקראת אידיאל ב [ x ] F אם מתקיים:.0 I.1.2 לכל f 1, f 2 I מתקיים.f

Διαβάστε περισσότερα

"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי

קשר-חם : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי נושא: חקירת משוואות פרמטריות בעזרת גרפים הוכן ע"י: אביבה ברש. תקציר: בחומר מוצגת דרך לחקירת

Διαβάστε περισσότερα

דף סיכום אלגברה לינארית

דף סיכום אלגברה לינארית דף סיכום אלגברה לינארית מרחבי עמודות, שורות, אפס: = = c + c + + c k k כל פתרון של המערכת : A=b נתונה מטריצה :m = מרחב השורות של המטריצה spa = spa מרחב העמודות של המטריצה { r, r, rm { c, c, c מרחב הפתרונות

Διαβάστε περισσότερα

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה

Διαβάστε περισσότερα

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 5 שנכתב על-ידי מאיר בכור. חקירת משוואה מהמעלה הראשונה עם נעלם אחד = הצורה הנורמלית של המשוואה, אליה יש להגיע, היא: b

Διαβάστε περισσότερα

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות

Διαβάστε περισσότερα

co ארזים 3 במרץ 2016

co ארזים 3 במרץ 2016 אלגברה לינארית 2 א co ארזים 3 במרץ 2016 ניזכר שהגדרנו ווקטורים וערכים עצמיים של מטריצות, והראינו כי זהו מקרה פרטי של ההגדרות עבור טרנספורמציות. לכן כל המשפטים והמסקנות שהוכחנו לגבי טרנספורמציות תקפים גם

Διαβάστε περισσότερα

נושאים: 4. בסיס 5. מימד ליניארית - אסוציאטיביות (קיבוץ) וקומטטיביות (חילוף) החיבור בין אברי V (הוקטורים) לאיברי F (סקלרים) התנאים:

נושאים: 4. בסיס 5. מימד ליניארית - אסוציאטיביות (קיבוץ) וקומטטיביות (חילוף) החיבור בין אברי V (הוקטורים) לאיברי F (סקלרים) התנאים: תרגול 1 אלגברה ליניארית נושאים: מרחב ליניארי 1. תת מרחב ליניארי 2. Span.3 תלות ליניארית 4. בסיס 5. מימד 6. טרנספורמציות דמות, גרעין, (שניהם תתי מרחב), משפט המימדים 7. מרחב העמודות, דרגה של מטריצה, מרחב

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשעד פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות מלאים אלגברה 1 מ בחן אמצע חורף תשס"ג מטריצה הפיכה ב- הפיכה סקלרית, לכן A = αi

פתרונות מלאים אלגברה 1 מ בחן אמצע חורף תשסג מטריצה הפיכה ב- הפיכה סקלרית, לכן A = αi פתרונות מלאים אלגברה מ - 4 - בחן אמצע חורף תשס"ג -.. משך הבחינה :.5 שעות. שאלה מס' היא שאלת תרגילי בית. אין להשתמש בחומר עזר או מחשבונים. יש לענות על כל שאלה בדף נפרד ולנמק את התשובות. נא לרשום את השם

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2 אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק

Διαβάστε περισσότερα

תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשע"ב זהויות טריגונומטריות

תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשעב זהויות טריגונומטריות תרגול חזרה זהויות טריגונומטריות si π α) si α π α) α si π π ), Z si α π α) t α cot π α) t α si α cot α α α si α si α + α siα ± β) si α β ± α si β α ± β) α β si α si β si α si α α α α si α si α α α + α si

Διαβάστε περισσότερα

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p

Διαβάστε περισσότερα

gcd 24,15 = 3 3 =

gcd 24,15 = 3 3 = מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =

Διαβάστε περισσότερα

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim

Διαβάστε περισσότερα

(ספר לימוד שאלון )

(ספר לימוד שאלון ) - 40700 - פתרון מבחן מס' 7 (ספר לימוד שאלון 035804) 09-05-2017 _ ' i d _ i ' d 20 _ i _ i /: ' רדיוס המעגל הגדול: רדיוס המעגל הקטן:, לכן שטח העיגול הגדול: / d, לכן שטח העיגול הקטן: ' d 20 4 D 80 Dd 4 /:

Διαβάστε περισσότερα

1 סכום ישר של תת מרחבים

1 סכום ישר של תת מרחבים אלמה רופיסה :הצירטמ לש ןדרו'ג תרוצ O O O O O O ןאבצ זעוב סכום ישר של תת מרחבים פרק זה כולל טענות אלמנטריות, שהוכחתן מושארת לקורא כתרגיל הגדרה: יהיו V מרחב וקטורי, U,, U k V תת מרחבים הסכום W U + U 2 +

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין

Διαβάστε περισσότερα

פולינומים אורתוגונליים

פולינומים אורתוגונליים פולינומים אורתוגונליים מרצה: פרופ' זינובי גרינשפון סיכום: אלון צ'רני הקורס ניתן בסמסטר אביב 03, בר אילן פולינומים אורתוגונאליים תוכן עניינים תאריך 3.3.3 הרצאה מרחב מכפלה פנימית (הגדרה, תכונות, דוגמאות)

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות

תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות. פתרו את המשוואות הבאות. לא מספיק למצוא פתרון אחד יש למצוא את כולם! sin ( π (א) = x sin (ב) = x cos (ג) = x tan (ד) = x) (ה) = tan x (ו) = 0 x sin (x) + sin (ז) 3 =

Διαβάστε περισσότερα

Logic and Set Theory for Comp. Sci.

Logic and Set Theory for Comp. Sci. 234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשעא, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. בB בB תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: 035804 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 מכונית נסעה מעיר A לעיר B על כביש ראשי

Διαβάστε περισσότερα

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות

Διαβάστε περισσότερα

סיכום לינארית 1 28 בינואר 2010 מרצה: יבגני סטרחוב מתרגלת: גילי שול אין המרצה או המתרגלת קשורים לסיכום זה בשום דרך.

סיכום לינארית 1 28 בינואר 2010 מרצה: יבגני סטרחוב מתרגלת: גילי שול אין המרצה או המתרגלת קשורים לסיכום זה בשום דרך. סיכום לינארית 28 בינואר 2 מרצה: יבגני סטרחוב מתרגלת: גילי שול אין המרצה או המתרגלת קשורים לסיכום זה בשום דרך הערות יתקבלו בברכה nogarotman@gmailcom תוכן עניינים 3 מבוא והגדרות בסיסיות 6 שדות 7 המציין של

Διαβάστε περισσότερα

גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות

גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות 08 005 שאלה גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות f ( ) f ( ) g( ) f ( ) ו- lim f ( ) ו- ( ) (00) lim ( ) (00) f ( בסביבת הנקודה (00) ) נתון: מצאו ) lim g( ( ) (00) ננסה להיעזר בכלל הסנדביץ לשם כך

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135) באוניברסיטה העברית,

אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס אלגברה לינארית 2 (80135) באוניברסיטה העברית, אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135 באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר באמצעות

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11.1 K α : F איזומורפיזם של שדות. א. טענה 1 :.α(0 F ) = 0 K עלינו להוכיח כי לכל,b K מתקיים.b + α(0 F ) = α(0 F ) + b = b עבור b K (כיוון ש α חח"ע ועל), קיים ויחיד x F כך ש.α(x)

Διαβάστε περισσότερα

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית

תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית אנליזה נומרית 0211 סתיו - תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית נרצה לפתור את מערכת המשוואות יהי פתרון מקורב של נגדיר את השארית: ואת השגיאה: שאלה 1: נתונה מערכת המשוואות הבאה: הערך את השגיאה היחסית

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשסט 467 אלגברה א', סמסטר חורף תשס"ט, פתרונות לשיעורי הבית, עמוד מתוך 6 467 אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט תוכן עניינים : גליון שדות... גליון מרוכבים 7... גליון מטריצות... גליון 4 דירוג,

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 5

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 5 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 5 1 במאי 1 1. נוכיח כי מרחב הפולינומים R[t] אינו נפרש סופית: נניח שהוא כן נפרש סופית. אם כך, ניקח קבוצה סופית פורשת שלו:.R[t] קבוצה סופית של פולינומים, שפורשת את כל המרחב p}

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן אלגברה לינארית 1 יובל קפלן מחברת סיכום הרצאות ד"ר אלי בגנו בקורס "אלגברה לינארית 1" (80134) באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר

Διαβάστε περισσότερα

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.

Διαβάστε περισσότερα

משוואות דיפרנציאליות רגילות

משוואות דיפרנציאליות רגילות משוואות דיפרנציאליות רגילות גיא סלומון סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת מתמטיקה באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד. שאלות תלמידים וטעויות נפוצות

Διαβάστε περισσότερα

= 2. + sin(240 ) = = 3 ( tan(α) = 5 2 = sin(α) = sin(α) = 5. os(α) = + c ot(α) = π)) sin( 60 ) sin( 60 ) sin(

= 2. + sin(240 ) = = 3 ( tan(α) = 5 2 = sin(α) = sin(α) = 5. os(α) = + c ot(α) = π)) sin( 60 ) sin( 60 ) sin( א. s in(0 c os(0 s in(60 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 0 s in(70 מתאים לזהות של cos(θsin(φ : s in(θ φ s in(θcos(φ sin ( π cot ( π cos ( 4πtan ( 4π sin ( π cos ( π sin ( π cos ( 4π sin ( 4π

Διαβάστε περισσότερα

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חחע ועל מכיוון שהיא מוגדרת עי. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חחע אז ועל פי הגדרת הרצאה 7 יהיו :, : C פונקציות, אז : C חח"ע ו חח"ע,אז א אם על ו על,אז ב אם ( על פי הגדרת ההרכבה )( x ) = ( )( x x, כךש ) x א יהיו = ( x ) x חח"ע נקבל ש מכיוון ש חח"ע נקבל ש מכיוון ש ( b) = c כך ש b ( ) (

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לאלגברה ליניארית

מבוא לאלגברה ליניארית BEN GURION UNIVERSITY BE ER SHEVA, ISRAEL אוניברסיטת בן גוריון בנגב באר שבע מבוא לאלגברה ליניארית אמנון יקותיאלי המחלקה למתמטיקה אוניברסיטת בן גוריון amyekut@mathbguacil חוברת זו מיועדת לקורסים באלגברה

Διαβάστε περισσότερα

תרגול פעולות מומצאות 3

תרגול פעולות מומצאות 3 תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

שיעור 1. זוויות צמודות

שיעור 1. זוויות צמודות יחידה 11: זוגות של זוויות שיעור 1. זוויות צמודות נתבונן בתמרורים ובזוויות המופיעות בהם. V IV III II I הדסה מיינה את התמרורים כך: בקבוצה אחת שלושת התמרורים שמימין, ובקבוצה השנייה שני התמרורים שמשמאל. ש

Διαβάστε περισσότερα

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)

Διαβάστε περισσότερα

תרגול 1: מד"ר 1 הפרדת משתנים משוואות,, 0 הומוגניות משוואות מציבים לינאריות כאשר 0 המשוואה הומוגנית של כפונקציה של בלבד. משוואות ברנולי מסמנים או:

תרגול 1: מדר 1 הפרדת משתנים משוואות,, 0 הומוגניות משוואות מציבים לינאריות כאשר 0 המשוואה הומוגנית של כפונקציה של בלבד. משוואות ברנולי מסמנים או: אריאל סטולרמן 1 סיכומי תרגולים: סיכומים במד"ר 1 סמסטר קיץ 2009 (פרופ' ודים אוסטפנקו) תרגול 1: סוגים של מד"ר ודרכי פתרון: חשוב: לשים לב לקבוע c המצורף כתוצאה מאינטגרציה דרך פתרון שיטה צורה הפרדת משתנים

Διαβάστε περισσότερα

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי 0 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי I גיא סלומון סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד. שאלות

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים והגדרות

רשימת משפטים והגדרות רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 7

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 7 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 7 2 1 1 1 0 1 1 0 1 0 2 1 1 0 1 0 2 1 2 1 1 0 2 1 0 1 1 3 1 2 3 1 2 0 1 5 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 4 0 0 0.1 עבור :A לכן = 3.rkA עבור B: נבצע פעולות עמודה אלמנטריות

Διαβάστε περισσότερα

סיכום מד"ר מרצה: מיכאל ז'יטומירסיקי נכתב ע"י: אדריאן קיריש נערך ע"י: תומר שטח 28 ביוני 2011

סיכום מדר מרצה: מיכאל ז'יטומירסיקי נכתב עי: אדריאן קיריש נערך עי: תומר שטח 28 ביוני 2011 סיכום מד"ר מרצה: מיכאל ז'יטומירסיקי נכתב ע"י: אדריאן קיריש נערך ע"י: תומר שטח 28 ביוני 2011 1 תוכן עניינים 3 משפט קיום ויחידות............................. 1 3............................ משוואות אוטונומיות

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 8

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 8 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 8.1 נניח כי (R) A M n מקיימת = 0 t.aa הוכיחו כי = 0.A הוכחה: נביט באיברי האלכסון של.AA t.(aa t ) ii = n k=1 (A) ik(a t ) ki = n k=1 a ika ik = n k=1 a2 ik = 0 מדובר במספרים ממשיים,

Διαβάστε περισσότερα

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד.

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד. חידה לחימום ( M ש- N > (כך מספרים טבעיים Mו- N שappleי appleתוappleים בעלי אותה הזוגיות (שappleיהם זוגיים או שappleיהם אי - זוגיים). המספרים הטבעיים מ- Mעד Nמסודרים בשורה, ושappleי שחקappleים משחקים במשחק.

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה טריגונומטריה

מתמטיקה טריגונומטריה אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 5 לתלמידי 4 ו- יחידות לימוד כ- 50 תרגילים עם פתרונות מלאים הקדמה ספר זה הוא חלק מסדרת ספרים "המדריך המלא לפתרון תרגילים" הסדרה מיועדת לשימוש כהשלמה

Διαβάστε περισσότερα

TECHNION Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 ציור 1: דיאגרמת הבלוקים

TECHNION Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 ציור 1: דיאגרמת הבלוקים TECHNION Iael Intitute of Technology, Faculty of Mechanical Engineeing מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 d e C() y P() - ציור : דיאגרמת הבלוקים? d(t) ו 0 (t) (t),c() 3 +,P() + ( )(+3) שאלה מס נתונה

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה )שאלון שני לנבחנים בתכנית ניסוי, 5 יחידות לימוד( 1 מספרים מרוכבים 3#2 3 3

מתמטיקה )שאלון שני לנבחנים בתכנית ניסוי, 5 יחידות לימוד( 1 מספרים מרוכבים 3#2 3 3 סוג הבחינה: בגרות לבתי ספר על יסודיים מדינת ישראל מועד הבחינה: חורף תשע"ב, 202 משרד החינוך מספר השאלון: 035807 דפי נוסחאות ל 5 יחידות לימוד נספח: א. משך הבחינה: שעתיים. מתמטיקה 5 יחידות לימוד שאלון שני

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים:

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשעו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים: לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( 2016 2015 )............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה.1

Διαβάστε περισσότερα

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6

אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6 אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6 15 בינואר 016 1. יהי F שדה ויהיו q(x) p(x), שני פולינומים מעל F. מצאו פולינומים R(x) S(x), כך שמתקיים R(x),p(x) = S(x)q(x) + כאשר deg(q),deg(r) < עבור המקרים הבאים: (תזכורת:

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תשע"א, מיום 23/5/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תשעא, מיום 23/5/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תשע"א, מיום 3/5/011 שאלון: 635860 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. שאלה מספר 1 נתון: 1. ממקום A יצאה מכונית א' וכעבור מכונית ב'. 1 שעה

Διαβάστε περισσότερα

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות

Διαβάστε περισσότερα

b2n-1 ב. נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית יורדת כדי לרשום את הנתון: 1-q = 0.8 b 1-q 1=0.8(1+q) q= 1 4 פתרון לשאלה 2

b2n-1 ב. נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית יורדת כדי לרשום את הנתון: 1-q = 0.8 b 1-q 1=0.8(1+q) q= 1 4 פתרון לשאלה 2 פתרון מבחן מס' פתרון לשאלה א. להוכיח כי סדרה c היא סדרה הנדסית משמע להוכיח כי היחס בין איברים סמוכים בסדרה הוא מספר n c n +n c מכיוון ש- q הוא מספר קבוע, סדרה = b n+ = bq n =q cn bn- bq n- :b n קבוע. אם

Διαβάστε περισσότερα

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות 1 מוטיבציה למשפט הקיום והיחידות אנו יודעים לפתור משוואות דיפרנציאליות ממחלקות מסוימות, כמו משוואות פרידות או משוואות לינאריות. עם זאת, קל לכתוב משוואה דיפרנציאלית

Διαβάστε περισσότερα

33 = 16 2 נקודות. נקודות. נקודות. נקודות נקודות.

33 = 16 2 נקודות. נקודות. נקודות. נקודות נקודות. 1 מבחן מתכונת מס ' משך הבחינה: שלוש שעות וחצי. מבנה ה ומפתח הערכה: ב זה שלושה פרקים. פרק א': אלגברה והסתברות: נקודות. נקודות. נקודות. נקודות. 1 33 = 16 3 3 פרק ב': גיאומטריה וטריגונומטריה במישור: 1 33

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון

Διαβάστε περισσότερα

s ק"מ קמ"ש מ - A A מ - מ - 5 p vp v=

s קמ קמש מ - A A מ - מ - 5 p vp v= את זמני הליכת הולכי הרגל עד הפגישות שלהם עם רוכב האופניים (שעות). בגרות ע מאי 0 מועד קיץ מבוטל שאלון 5006 מהירות - v קמ"ש t, א. () נסמן ב- p נכניס את הנתונים לטבלה מתאימה: רוכב אופניים עד הפגישה זמן -

Διαβάστε περισσότερα

ב ה צ ל ח ה! /המשך מעבר לדף/

ב ה צ ל ח ה! /המשך מעבר לדף/ בגרות לבתי ספר על יסודיים סוג הבחינה: מדינת ישראל קיץ תשע"א, מועד ב מועד הבחינה: משרד החינוך 035804 מספר השאלון: דפי נוסחאות ל 4 יחידות לימוד נספח: מתמטיקה 4 יחידות לימוד שאלון ראשון תכנית ניסוי )שאלון

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה. בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית

Διαβάστε περισσότερα

{ : Halts on every input}

{ : Halts on every input} אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.

Διαβάστε περισσότερα

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: נוסחאות נסיגה נוסחאות נסיגה באמצעות פונקציות יוצרות נוסחאות נסיגה באמצעות פולינום אופייני נוסחאות נסיגה לעתים מפורש לבעיה קומבינטורית אינו ידוע, אך יחסית קל להגיע

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תשע מועד ב', מיום 14/7/2010 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 שאלון: 316, 035806 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 E נתון: 1 רוכב אופניים רכב מעיר A לעיר B

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעב (2012) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012 מבנים אלגבריים 80446 II אור דגמי, or@digmi.org 27 במרץ 2012 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ אלכס לובוצקי בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים 1 שדות 3 1.1 תזכורת מהעבר....................................................

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות חיים שרגא רוזנר כ"ה בניסן, תשע"ה תזכורות תקציר איזומורפיזם סדר, רישא, טרנזיטיביות, סודרים, השוואת סודרים, סודר עוקב, סודר גבולי. 1. טרנזיטיבות וסודרים קבוצה A היא טרנזיטיבית

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון

Διαβάστε περισσότερα

x a x n D f (iii) x n a ,Cauchy

x a x n D f (iii) x n a ,Cauchy גבולות ורציפות גבול של פונקציה בנקודה הגדרה: קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a תקרא סביבה של a. קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a אך לא מכילה את a עצמו תקרא סביבה מנוקבת של a. יהו a R ו f פונקציה מוגדרת

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשעו (2016) לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור

Διαβάστε περισσότερα

i שאלות 8,9 בתרגיל 2 ( A, F) אלגברת יצירה Α היא זוג כאשר i F = { f קבוצה של פונקציות {I קבוצה לא ריקה ו A A n i n i מקומית מ ל. A נרשה גם פונקציות 0 f i היא פונקציה n i טבעי כך ש כך שלכל i קיים B נוצר

Διαβάστε περισσότερα

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות אוסף שאלות מס. 3 פתרונות שאלה מצאו את תחום ההגדרה D R של כל אחת מהפונקציות הבאות, ושרטטו אותו במישור. f (x, y) = x + y x y, f 3 (x, y) = f (x, y) = xy x x + y, f 4(x, y) = xy x y f 5 (x, y) = 4x + 9y 36,

Διαβάστε περισσότερα

יחידתלימודבנושא " שלמשולשישרזווית" http://www.hebrewkhan.org/lesson/533 מעט היסטוריה הפרושהמילולישלהמילה "" הוא "מדידתמשולשים". משולש "טריגונו" מיוונית - "מטריה"- מיוונית - מדידה, ענףשלהמתמטיקההעוסק, ביןהיתר,

Διαβάστε περισσότερα

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות תורת המספרים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב 017 1 פירוק לגורמים ראשוניים 1.1 הגדרות חוג A C נקראת חוג אם: היא מכילה את 0 ואת 1 סגורה תחת חיבור, חיסור, וכפל הפיך A חוג. a A נקרא הפיך אם 0,a.a 1 A קבוצת

Διαβάστε περισσότερα

f ( x, y) 1 5y axy x xy ye dxdy לדוגמה: axy + + = a ay e 3 2 a e a y ( ) במישור. xy ואז dxdy למישור.xy שבסיסם dxdy וגבהם y) f( x, איור 25.

f ( x, y) 1 5y axy x xy ye dxdy לדוגמה: axy + + = a ay e 3 2 a e a y ( ) במישור. xy ואז dxdy למישור.xy שבסיסם dxdy וגבהם y) f( x, איור 25. ( + 5 ) 5. אנטגרלים כפולים., f ( המוגדרת במלבן הבא במישור (,) (ראה באיור ). נתונה פונקציה ( β α f(, ) נגדיר את הסמל הבא dd e dd 5 + e ( ) β β איור α 5. α 5 + + = e d d = 5 ( ) e + = e e β α β α f (, )

Διαβάστε περισσότερα

"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי

קשר-חם : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי הנושא: פתרון בעיות באמצעות שיטת הנסיגה הוכן ע"י: תמר זמיר תקציר: בחומר מוגדר המושג רקורסיה

Διαβάστε περισσότερα