תכנון ומידול גנרטור להפקת מימן Modeling & Development Hydrogen generator

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "תכנון ומידול גנרטור להפקת מימן Modeling & Development Hydrogen generator"

Transcript

1 תכנון ומידול גנרטור להפקת מימן Modeling & Development Hydrogen generator חיבור זה מוגש כחלק מהדרישות לקבלת התואר "מוסמך למדעים" )M.Sc.( במחלקה להנדסת חשמל ואלקטרוניקה באוניברסיטת אריאל מוגש ע"י יקיר נגר העבודה הוכנה בהדרכתם של ד"ר ניר שוולב ד"ר אלכס שכטר וד"ר בועז בן משה כ"א אייר תשע"ה

2 תקציר העבודה עוסקת בפיתוח ובקרה של גנרטור נייד להפקת מימן. בשנים האחרונות גובר הצורך במציאת פתרונות אנרגיה ממקורות חלופיים עקב מחסור בזמינות משאבי הטבע הקיימים. מבין פתרונות האנרגיה הנחקרים ביותר מובילה הגישה העוסקת בתאי דלק. תא דלק הוא מתקן אלקטרו-כימי אשר ממיר אנרגיה כימית ישירות לאנרגיה חשמלית. התקן זה מפיק חשמל כאשר מוזרם דרכו מימן וחמצן מהאוויר. אספקת מימן לתא-דלק, מצריכה להשתמש בטכנולוגיות כימיות לאגירת מימן או לחלופין, במתקן יצירת המימן בזמן אמת. אולם, באגירת המימן קיימת סכנת התלקחות נזכור כי מימן הוא בעל מקדם ג'ול-תומסון שלילי, כלומר כאשר הוא עובר ממצב לחץ גבוה ללחץ נמוך הוא מתחמם ויכול להתלקח. ישנם מספר שיטות להפקת מימן בתגובה בין חומרים המכילים אטומי מימן פעילים, הנקראים הידרידים, לבין מים. שיטות אלו יכולות לשמש כפתרון לגנרטור מימן. במחקר זה נעסוק במידול פיתוח ובקרה של גנרטור להפקת מימן שיספק מימן רציף בנקודת זמן רצויה על בסיס המלח.(SBH) Sodium BoroHydrid שיטת ההזנה של המגיבים בתגובה היא ייחודית, ומתבססת על הוספה של אבקה של החומר המוצק למים. בכל השיטות המוכרות תהליך ההפקה מתבסס על הזרמת תמיסת של SBH זאת במקום שימוש בתמיסה מוכנה, המספקת מימן בנצילות משקלית נמוכה יותר. בכדי לטייב את מערכות להפקה (extraction) של מימן נידרש לאפיין, את המערכת הנחקרת באופן מדויק ככל הניתן. על אף שכיחות השימוש באבקת,SBH לא תוארו בספרות תכונותיה המכאניות של האבקה. העבודה אם כן, תתמקד במידול האבקה כמערכת חלקיקים בדידים.)MED( באופן מדויק יותר, חושבו התכונות המכאניות כדוגמת מקדמי החיכוך "המקומיים" של האבקה, מקדמי האלסטיות והדביקות שלה בעזרת סידרה של מדידות וסימולציות הכוללות ניסויי גזירה והחדרת טריזים בעלי זוויות ראש שונות. בכדי לטייב את בחירת תכונותיה המכאניות של האבקה נעשה שימוש באלגוריתם גנטי. מפאת גודל המודל )כ- 15,000 חלקיקים( נתגלה הצורך בעיבוד מקבילי. לאחר מכן, נעשה מיטוב לפרמטרים על ידי כיול ידני סופי, ולשם כך פותח ניסוח אנליטי מקורב של התנהגות האבקת SBH בניסויים שנערכו. לבסוף, מוצגת מערכת מכאנית שלמה להפקת מימן. המערכת נשלטת באמצעות בקרת Bang Bang )ביצוע מיתוגי on/off עבור מצבי מערכת שונים(. 2

3 תודות והקדשות ראשית, ברצוני להודות לד"ר ניר שוולב על שנפלה בחלקי הזכות לעבוד מתן עמו. על התמיכה, ההבנה והסבלנות אין קץ לכל אורך הדרך. על היותו מורה דרך. אוסיף ואודה לעזור ובעיקר על אמון, עצמאות, נכונות לד"ר אלכס שכטר וד"ר בועז בן משה על הנחייתם, עצותיהם יקרות הערך ומתן מענה וכלים אשר אפשרו את תהליך עבודת המחקר. אשר הנעימו עבורי KCG כמו כן, ארצה להודות לחברי ועמיתי למעבדת את תקופת המחקר. לבסוף, אני רוצה להודות למשפחתי היקרה: לאשתי יעל, אשר תמכה, פרגנה ותמיד הייתה לאוזן קשבת בכל רגע נתון ולעומר בני שהגיח לעולם תוך כתיבה אינטנסיבית והיווה עבורי השראה וכוח רצון. 3

4 תוכן העניינים: תקציר... 5 רשימת איורים... 5 רשימת סימנים הקדמה תא דלק הפקת מימן מידול באמצעות אלמנטים בדידים Method( 14...:) Discrete Element 2. חישוב פרמטרים מכאניים ל 17...NaBH4 2.1 מידול האבקה ניסויים מעשיים ניסוי גזירה test( 22...:)direct shear ניסוי החדרת טריז הסימולציה הנומרית אופטימיזציה של הפרמטרים ניסוח פיזיקאלי אנליטי האלגוריתם תוצאות מסקנות מערכת מכאנית תכנון המערכת המוצעת היפוציקלואיד בקרה בביליוגרפיה...61 נספח א' אלגוריתם גנטי...63 נספח ב' בקרת המערכת המכנית נספח ג' קוד...73 Arduino נספח ד'...76 Matlab נספח ה' מאמר

5 רשימת איורים איור 1: סכמת פעולה של תא דלק...10 PEM איור 2: בצד ימין דגם מעבדתי של הגנרטור ומשמאל התרשים הסכמתי ]1[ איור 3 :הצגה של שתי מצבי הגנרטור פתוח/סגור ]2[...12 איור 4: הגרף מתאר ספיקת מימן כתלות בקטליזאטור ]3[ איור 5: מתאר פליטת מימן בטמפרטורות שונות ]4[ איור 6: צילום גרגירי NaBH4 במיקרוסקוף אופטי איור 7: מתואר המודל המכאני בין שני חלקיקים בעלי רדיוס R1 ו- R איור 8: זוג חלקיקים חופפים. כאשר us ו- un החפיפה המשיקית והנורמלית בהתאמה איור 9: שני חלקיקים מוצמדים איור 10 :תיאור של ניסוי גזירה כאשר σ n מתאר את מאמץ הלחיצה ו τ s את מאמץ הגזירה איור 11: גרף לינארי אשר שיפועו מציין את החיכוך של החומר ונקודת חצייה עם ציר מאמצי גזירה מציין את הדביקות איור 12: בחלק הימני תמונה של המערכת מכאנית לביצוע ניסוי הגזירה ובשמאלי שרטוט המערכת איור 13: תוצאות ניסוי גזירה עבור שלושה משקלים שונים איור 14: גרף כיול בין הכוח המופעל בראש הגליל לכוח המתפתח בתחתית הגליל איור 15: כוח גזירה כתלות בכוח נורמלי. השיפוע מציין את פרמטר החיכוך ונקודת החיתוך עם ציר האנכי מציינת את מקדם הדביקות איור 16: טריזים בעלי זווית ראש משמאל לימין ו איור 17: תמונה של מערך ניסוי החדרת הטריז איור :18 גרף כוח-שקיעה של טריזים בעל זווית ראש של 2( 0 )test 1 test ו- 29.))test 3 test 4 90 איור 19: גרף כוח שקיעה עבור תיבה ג' איור 20: גרף כוח שקיעה עבור תיבה ב'...30 איור 21: גרף כוח שקיעה עבור תיבה א'...30 איור 22: מימין הטריז ממוקם במרכז ומשמאל נצמד לפאה הימנית איור test 1,2,3 23: עבור טריז ממורכז ו- test 4,5 עבור טריז לא ממורכז איור 24:: קו אדום-גרף מעשי מתקבל מהניסוי. קו כחול- פולינום מקורב מסדר איור 25: תמונה מתוך סימולציית גזירה בתוכנת האלמנטים הבדידים 33...Yade-DEM איור 26: משמאל מערך ניסוי של החדרת טריז ו ומימין סימולציית אלמנטים בדידים עבור אותו ניסוי איור 27 :דוגמה לגרף שקיעה fz ואת הממוצע של הגרף fz2 ואת הקירוב הפולינמיאלי של הממוצע fz3 איור 28: בתמונה השמאלית תחילת הסימולציה ובימנית לאחר רגיעה...34 איור 29: הכוחות העיקריים תגובה הפעולים בין החלקיקים. )א( כוח דחייה נורמאלי )ב( דביקות, 44 איור 30: תיאור סכמתי של ניסוי החדרת טריז איור 31: חפיפת בין שני חלקיקים איור 32: )א( דיאגראמת גוף חופשי של חלקיק בודד, )ב( המרחק בין החלקיקים איור 33 :חפיפה בין שתי חלקיקים כתוצאה מעיבור Hs ו Hn איור 34: דיאגרמת חפיפה בין חלקיקים...44 איור 35: חפיפה בין חלקיקים...44 איור : 36 מבט מאקרו-מיקרו עבור החפיפה בין החלקיקים איור 37 א:. תוצאות החדרת טריז בעל 0. 0 ב. תוצאות החדרת טריז בעל ג. תוצאות החדרת טריז בעל איור 38 א:. תוצאות החדרת טריז בעל 0. 0 ב. תוצאות החדרת טריז בעל ג. תוצאות החדרת טריז בעל איור 39 א:. תוצאות החדרת טריז בעל 0. 0 ב. תוצאות החדרת טריז בעל ג. תוצאות החדרת טריז בעל איור 40 :תוצאות סימולציית הגזירה עבור סט פרמטרים...48 איור 41 :תוצאות סימולציית גזירה עבור פרמטרי דביקות נמוכים...49 איור 42: תוצאות סימולציית גזירה כאשר פרמטר החיכוך מוכפל בחצי איור 43: ניסוי החדרת טריז בעל זווית ראש של 90 0 כאשר פרמטר החיכוך מוכפל בחצי...50 איור 44 :השוואה בין תוצאות גרפי החדרת הטריז אדום-סימולציה כחול- ניסויים מעשיים...51 איור 45 :תוצאות ניסויי הגזירה עבור שלושה עומסים נורמליים שונים ולבסוף הגרף הימני תחתון השוואה בין תוצאות הסימולציה לניסויים המעשיים איור 46: השוואה בין תוצאות גרפי החדרת הטריז עבור הפחתת החיכוך והעלאת הקשיחות

6 איור 47: תוצאות ניסויי הגזירה עבור עבור הפחתת החיכוך והעלאת הקשיחות...54 איור 44: הצטברות נוזלים על אבקה...56 איור 45: פיזור אבקה בתוך מים איור 46: התמוססות קפסולות בתוך מים...57 איור 47: מבט כולל של הגנרטור להפקת מימן איור 48: מעגל בעל רדיוס 1 מסתובב לאורך היקפו של מעגל בעל רדיוס 3 כאשר נקודה קבועה על המעגל הקטן מסמנת מסלול היפוציקלואידי איור : 49 צורות היפוציקלואיד המתקבלות כאשר היקף המעגל הגדול גדול פי 6, 4, ו- 8 משמאל לימין בהתאמה איור 50: סימולציה של תנועת אבקה בתוך גלגלי היפוציקלואיד ומימין מערכת מכאנית...60 איור 51: תמסורת גלגלי שיניים של הגנרטור...60 איור 59: כדור מונח על תיבה בסימולציית 65...Yade Dem איור 60: דוגמה לקובץ mesh בצורת תיבה איור 52: ברז חשמלי של...68 איור 53: משמאל שרטוט של ברז סלונואידי ומימין גלי PWM בעלי b שונים איור 54: אילוסטרציה של ברז סרוו מימין פתוח ומשמאל סגור...69 איור 55: מדידת ספיקה באמצעות...70 איור 56: תרשים בקרה של מערכת האנרגיה איור :57 Interfaces) 72...Matlab GUI (Graphical User איור 58: מימן הגנרטור עם אבקת NaBH4 ומשמאל כרטיסי הבקרה...72 איור 61: קוד של הארדואינו עבור חיבור ראשוני...76 איור 62 :קוד של המטלב עבור חיבור ראשוני...76 איור 63: קוד של הארדואינו עבור קבלת נתונים מהמטלב בפעם הראשונה...77 איור 64 :קוד של המטלב עבור קבלת נתונים מהארדואינו בזמן רציף איור 65: קוד של הארדואינו עבור שליחת נתונים בזמן רציף

7 k, k n k p s μ g μ s u, u s e n, t ct m F n F s σ n τ s c E ρ n e s רשימת סימנים מקדם הקפיץ המשיקי והנורמלי בין שני חלקיקים מקדם הדביקות בין שני החלקיקים מקדם הריסון מתאר את איבוד האנרגיה של המערכת כתוצאה מגורמים שונים )חיכוך עם האוויר חום וכיו"ב( מקדם חיכוך קולומבי המתאר חיכוך בין חלקיקים כתוצאה ממגע עומק חפיפה נורמלית ומשיקי בין חלקיקים יחס פואסון מקדמי תקומה בכיוון המשיקי והנורמלי בהתאמה זמן ההתנגשות בין הגופים המסה של הגרגיר כוח נורמלי כוח משיקי מאמץ לחיצה מאמץ גזירה נקודת חציית ציר המאמצים המשיקים )אומדן דביקות( מודל אלסטיות צפיפות חומר זמן פסיעה של הסימולציה קוטר חלקיק רדיוס חלקיק התנגדות לסיבסוב התנגדות לגלגול קשיחות סיבובית כוללת חפיפה משיקית וחפיפה נורמלית בהתאמה Δt c D R, r K tw K r K rs h, h n s N / m N / m [ m] [s] [kg] [N] [N] 2 [ N / m ] 2 [ N / m ] 3 [kg/m ] [] s [m] [m] [m] 7

8 הסתברות של זוויות פונקציית גמא מספר ממדים הסתברות הכוח מרחק בין מרכזי החלקיקים עיבור מאקרו נורמלי ומשיקי בהתאמה h θ Γ p EF ( ) h Hs, Hn [N] [m] [m] 8

9 1. הקדמה בפרק זה מוסבר הצורך העולה בהפקת מימן בתאי דלק )תת פרק 1.1(, נסקור בקצרה שיטות להפקת המימן )תת פרק 1.2(. העבודה כאמור עוסקת בהפקת מימן על בסיס אבקת סודיום ברוהידריד,SBH בכדי למדל את התנהגות האבקה נהוג להשתמש בסימולציית אלמנטים בדידים. פרק זה אם כן, יעסוק גם בתיאור כללי של השיטה )תת פרק 1.3(. 1.1 תא דלק תא דלק הוא תא אלקטרו-כימי אשר מסוגל להמיר אנרגיה כימית לאנרגיה חשמלית ]1[. תא הדלק הוא אלמנט פאסיבי. כלומר, להפעלתו לא נדרשת אנרגיה חיצונית. תא דלק יעיל בהשוואה למנוע בעירה נפוץ, הסיבה לכך תמונה באופן פעולתו. תאי הדלק מורכבים משלושה רכיבים עיקריים: האנודה, האלקטרוליט והקתודה. כאשר מימן מוזרם אל תוך התא הוא עובר דרך האנודה אשר מפרידה את המימן ליוני מימן הטעונים במטען חיובי ואלקטרונים הטעונים במטען שלילי )תגובת חמצון(. האלקטרונים עוברים דרך העומס במעגל החשמלי תוך יצירת זרם ומתח )הספק( ובעוד שהיונים ממשיכים לעבר האלקטרוליט אשר דרכו עוברים רק היונים אל הקתודה. כאשר האלקטרונים והיונים נפגשים בקתודה עם מולקולת חמצן מהאוויר נוצרת תגובה כימית ומתקבלים מים. יעילות תא הדלק טמונה בכך שהפסדי האנרגיה לחום קטנים בהרבה בהשוואה למנוע בעירה פנימי. יתרה מזאת, זיהום אוויר לא קיים מכיוון שהתוצר לווי שלו הוא מים ולא דו-תחמוצת הפחמן. תא דלק בודד מייצר מתח הנע סביבות 0.7 וולט בהספק מכסימלי. כאשר צרכן האנרגיה מעלה את הזרם, מתח תא הדלק יורד בעקבות הפסדי התנגדות פנימית )הולכה, תגובה כימית ומעבר מסה (. בשל המתח הנמוך יחסית של התא הבודד נדרשים בדרך כלל לחבר מספר תאים בטור למבנה הנקרא מערום תאי-דלק stack) (fuel cell. ישנו מגוון סוגים של תאי דלק נסרוק כמה מהם בקצרה: תא דלק אלקלני: זהו תא דלק הפועל בתנאים של חומציות נמוכה ( בסיסיות( ואשר משתמש בחמצן ומימן כדלק. תוצר הלוואי של תא דלק זה הוא מים ולכן התא פופולרי בתעשיית החלל ]2[ בשל רגישותו ל.CO2 נצילות התא יכולה להגיע עד לכ- 70%. שתי מגרעותיו העיקריות אשר ניתן ליחס לתא דלק מסוג זה הן:.1.2 הדרישה למימן ברמת ניקיון גבוהה רגישות האלקטרוליט ל CO2 הגורם לירידה במוליכות. תא דלק מבוסס חומצה זרחתית: התא הבשל ביותר מבחינת פיתוח מערכות ושימוש מסחרי )פיתוחו החל בשנות ה 90 המאוחרות(, חסרונו בצורך בשימוש מימן ברמת ניקיון גבוהה מאוד ]3[, שימוש בפלטינה כזרז )מחיר(, אלקטרוליט נוזלי וטמפרטורת עבודה של כ- 200 מעלות צלזיוס. 9

10 תא דלק מבוסס תחמוצת מוצקה: מצטיין באי רגישות לזיהום פחממני בדלק, עשוי מחומרים קרמיים שלהם יציבות יחסית גבוהה לקורוזיה ואינו מצריך טיפול מיוחד באלקטרוליט נוזלי בשל העובדה שהוא משתמש באלקטרוליט מוצק ]4[. האנודה עשויה נתך ניקל ותחמוצת זירקון ואילו הקטודה עשויה נתך של מגנזיום. תא דלק זה מאפשר שימוש בדלקים אשר מכילים תחמוצת פחמן ובנוסף בדלקים כגון פחם, בנזין, סולר, כהל וגז טבעי. ובעיקר בטמפרטורת עבודה של כ- C חסרונו של תא דלק זה מתבטא באורך חיים קצר של האלקטרוליט תא דלק -)Polymer Electrolyte Membrane( :PEM פועל על מימן וחמצן, אם כי יכול לפעול עם דלקים פחמימניים קלים ]5[ ואיור 1, ביעילות נמוכה יותר. התגובה של תא דלק זה מרגע ההפעלה מהירה יחסית בשל יכולת פעולתו בטמפרטורות נמוכות וחוסר הצורך לבודד את התא מחשש לאיבוד חום הקיים ברוב התאים. התא יקר בשל השימוש בזרז העשוי ממתכות אצילות המבוססות על פלטינה בשתי האלקטרודות. תא דלק PEM רגנרטיבי: תא דלק רגנרטיבי מסוגל לפעולה ההפוכה של תא דלק ]6[. כאשר מוכנסים אל התא מים הוא מפרק את המים למימן וחמצן כלומר מבצע אלקטרוליזה למים. בפיתוחים העתידיים של תא דלק זה השאיפה היא להפעילו בשעות היום )כלומר אגירת מימן( באמצעות אנרגית השמש, ובלילה להשתמש במימן שנאגר ליצירת חשמל. מערכת זו יכולה להגיע לצפיפות אנרגיה גבוהה. תא דלק עם מתנול ישיר :(DMFC) תא דלק זה דומה בפעולתו לתא דלק עם אלקטרוליט פולימרי הנזכר לעיל, גם הוא משתמש באלקטרוליט העשוי ממברנה פולימרית מוליכת יונים. יתרון תא דלק זה הוא בכך שקטליזטור האנודה מפרק את המימן ישירות מהמתנול ובכך מפחית את הצורך במתקן להפקת מימן ממתנול בתהליך פרוק כימי בטמפרטורות של מעלות צלזיוס reformer( (. ניתן לראות את השימוש בתאי דלק אלו בכלי רכב וצרכני חשמל ניידים אחרים אזרחיים וצבאיים. איור 1: סכמת פעולה של תא דלק PEM מגוון תאי הדלק הוא גדול וטכנולוגיות תאי הדלק מתפתחות ומשתנות אך מגוון רחב ועיקרי של תאי הדלק משתמש בחמצן ובמימן כדלקים ליצירת אנרגיה חשמלית. לדיון רחב בסוגי התאים ועקרונות פעולתם ראה ]7[. 1.2 הפקת מימן 10 מולקולת המימן (H2) מורכבת משני אטומי מימן הקשורים בקשר קוולנטי )שיטוף אלקטרונים בין הגרעינים(. אטום מימן שאינו מיונן מכיל פרוטון אחד ואלקטרון אחד. המימן הוא היסוד הקל

11 ביותר בטבע ולכן שימש בעבר לספינות אוויר. אולם מנגד מימן, )כמוהו גם ניאון והליום( הינו גז בעלי מקדם ג'אול תומסון שלילי כלומר בעת מעבר הגז מלחץ גבוה ללחץ נמוך טמפרטורת הגז עולה ומכאן נטייתו להתלקחות )בשנת 1937 המימן שהיה אגור בספינת האוויר הינדנבורג ניצת וכשלושים איש נהרגו, מאז הופסק שימוש המימן בספינות אוויר(. ישנם מאמצים למציאת פתרונות לאגירת מימן בצורה יעילה בטיחותית וזולה אך דבר זה מורכב בשל תכונותיו של המימן- ביניהם משקלו הקל בהרבה ביחס לחומר המאחסן, הפיכות התהליך וטמפרטורת השחרור. בכדי למצוא פתרון לבעיית השינוע ואגירת המימן נעשים מאמצים גלובליים לפתח שיטות להפקה מקומית של המימן לפי דרישת ההספק של תא הדלק. הופך חומרים מסוימים כדוגמת מים )H2O( מכילים מימן. בתהליך האלקטרוליזה אנרגיה חשמלית מנוצלת בכדי להפריד בין האטומים במולקולת המים. באופן זה ניתן להפיק מימן לפי דרישה ללא צורך בשינועו או אגירתו. ניתן לראות כי השיטה עושה שימוש באנרגיה בכדי להפריד בין מרכיבי המים מצב אשר את היעילות האנרגטית של המערכת האנרגיה המופקת בתא הדלק(. אחת הדרכים לאגירת מימן היא להשתמש לשלילית )יותר אנרגיה מושקעת ביצירת מימן מאשר בחומרים ותרכובות המכילים בתוכם מולקולות מימן ולשחרר המימן בעת הצורך על ידי תגובה עם מים. חשוב לציין שבשיטה זו, לא ניתן למחזר את התוצרים הנוצרים בתגובה )תחמוצות( הנאגרות ונשלחות למחזור במתקן חיצוני. חומרים אלו נקראים הידרידים ראשוניים. מספר רב של מחקרים ושיטות מתוארות בספרות,NaBH4 בורוהידריד Borohydrid) (Sodium להפקת מימן מתרכובת הסודיום אלו דנים בשיטות כימיות כלומר ברתימת ריאקציות להפקת מימן ביעילות גבוהה. אחרים משנים תכונות של קטליזטורים וטמפרטורות של המפגש בין החומרים. הבחירה בחומר זה בהשוואה להידרים אחרים )למשל ליתיום הידריד או אלומניום הידריד( נובעת מיציבותו של החומר בתנאי לחות בהשוואה לרוב ההידרידים הרלוונטים. + 4 H2 + 2 H2O NaBO2 NaBH4 בתגובה הכימית בין נתרן הידרוקסידי נסקור שיטות נוספות להפקת מימן בתגובות כימיות : סתירה של נתרן-הידרוקסידי ואלומיניום: )ראה לדוג' ]8[(. NaOH לאלומיניום נפלט מימן : 2Al(s)+6NaOH(aq) 3H2(g)+2Na3AlO3(aq) יש חשיבות רבה, כמובן, לריכוז החומרים, קצב הערבוב ביניהם והטמפרטורה של המערכת. שילוב מוצלח של פרמטרים אלו יניב תפוקת מימן מוצלחת. הגנרטור )ראה איור 2 מ( ורכב משני חללים עליון ותחתון. בחלק העליון מאוחסנת תמיסת נתרן-הידרוקסידי אשר מחלחל דרך ספוג אל תוך קשית ומטפטף אל החלל התחתון שבו מאוחסן האלומיניום. במפגש בין חומרים אלו נוצר מימן אשר נפלט החוצה דרך צינורית ומסנן הנמצאים בחלק העליון של החלל התחתון. יש לציין שהפקת המימן לאחר הריאקציה אורך כ- 20 דקות ולכן שיטה זו אינה מתאימה למערכת המצריכה תגובה מהירה. 11

12 איור 2: בצד ימין דגם מעבדתי של הגנרטור ומשמאל התרשים הסכמתי. Shannon מציג ב- ]9[ גנרטור להפקת מימן עם יכולת בקרה עצמית: הגנרטור בנוי שסתום סיליקון המזרים מים לאבקה ללא עזרה מאנרגיה חיצונית. בשסתום שתי דפנות סיליקון בעלות מרווח דק בניהן עם מספר חורים ממוקמים באופן לא סימטרי אחד מול השני. כאשר לחץ המים בתא העליון גבוה יותר מלחץ הגזים בתא התחתון השסתום נפתח ומועברים מים אל האבקה באופן שמאפשר ריאקציה. ככל שהריאקציה גדלה גדל הלחץ בתא התחתון בהתאמה וכך השסתום נסגר. חשוב לציין שמערכת זו רגישה לתאוצות ובשל כך לא ניתנת לניוד. איור 3 :הצגה של שתי מצבי הגנרטור פתוח/סגור. במאמר ]10[ מודגמת שיטה הכוללת קטליזטור לזירוז ריאקציה: בתהליך מכניסים מים, סודיום בורוהידריד וקטליזטור לתוך מבחנה מעלים את רמת החומציות בכדי לשמור על יציבות המערכת. ספיקת המימן הנוצר נמדד באמצעות מדידת הלחץ במבחנה. מביצוע הניסויים ניכר שככל שמקטינים את גודל החלקיקים של הפלטינה )הקטליזטור( כך הריאקציה גדלה, הודות לשטח מגע גדול יותר בין הקטליזטור לסודיום בורוהידריד. ניסוי זה בוצע עם מספר קטליזטורים ותוצאות הריאקציה מוצגות בגרף הבא. 12

13 איור 4: הגרף מתאר ספיקת מימן כתלות בקטליזאטור ]10[. ריאקציות מימן בעזרת אדי מים: בעבודתם ]11[ בדקו Aiello, Sharp, and Matthew את שיעורי הספקת המימן בריאקציה בין סודיום בורוהידריד ואדי מים בטמפרטורות שונות. בגרף הבא ניתן לראות הבדלים בין שיעורי הספקת המימן התיאורטיים והמעשיים בטמפרטורות שבין C 140 ל C

14 איור 5: מתאר פליטת מימן בטמפרטורות שונות. השימוש באבקת סודיום ברוהידריד התגלה כיציב,בטוח ובעל צפיפות אנרגיה מספקת )ראה ] 35[-]31 [(ולכן נמצאה בעבודה זו. 1.3 מידול באמצעות אלמנטים בדידים Method( :) Discrete Element חישוב אופן תנועת אבקה באילוצים גיאומטריים שונים היא משימה מורכבת. חוסר האחידות בגודל הגרגירים, הטקסטורה החיצונית ודחיסות האבקה הם חלק מהגורמים אשר משפיעים על אופן זרימת האבקה, בנוסף, קיימים פרמטרים אשר משתנים במהלך הזרימה לדוגמה דחיסות האבקה אשר יוצרת חוסר יציבות פנימית כלומר אופן זרימת האבקה משתנה במהלך הזרימה. כדי לפתור בעיה זו פותחו במהלך השנים מודלים אמפיריים, אנליטיים ונומריים לתיאור אופן זרימת אבקה באילוצים גיאומטריים. שיטת האלמנטים הבדידים היא מודל נומרי אשר מתבסס על התאוריה של cundall and ]12[ strass שנועדה לתאר תנועת חלקיקים תוך התחשבות באינטראקציה בין החלקיקים לעצמם, בין החלקיקים לדפנות, השפעת כוחות גרביטציה ותאוצות שונות החלות על הגרגירים. יתרונה של השיטה: א. בפשטות היחסית בפתרון תנועת החלקיקים גם תוך שינוי תנאי השפה של המערכת על ידי שינוי המידות הגיאומטריות שבהם נעים החלקיקים; ב. ג. שינוי משטרי הזרימה בשל כוחות חיצוניים הפועלים ומשנים את מהירויות החלקיקים הפשטות בבניית מערכי ניסוי בזמן סביר 14

15 אולם המגבלה העיקרית של שיטת האלמנטים הבדידים היא הצורך בכמות זמן חישוב גדולה, ככל שמספר החלקיקים גדל גדלים בהתאמה מספר האינטראקציות שיש לחשב. עם השיפור המשמעותי ביכולות החישוב מתפתח יתרון על מודלים אמפיריים ואנליטיים. לכאורה, לגודל החלקיקים בסימולציה משקל רב בדיוקה הכולל. עבור אבקות המדובר בכמות עצומה של חלקיקים, מצב אשר גורר זמני חישוב ארוכים וכאלו שאינם ניתנים לחישוב בזמן סביר במעבדים הקיימים. עבודות רבות וביניהם ]13[, ]14[ חקרו את הקשר בין תוצאות הסימולציה הגלובליות לגודל החלקיקים ביחס לאלו המקוריים. המחקרים הראו שהסטייה אינה משמעותית. לפיכך, ניתן להגדיל את החלקיקים במטרה לקצר את זמני החישוב. גם לצורת החלקיקים יש השפעה על תוצאות הסימולציה. כאשר החלקיקים ממודלים כעיגולים סימטריים ישנה ירידה בכוחות הגזירה של החלקיקים דבר המשפיע על אופן זרימת החלקיקים. בעבודות ]15[, ]13[ ניתן לראות שכאשר מפחיתים את העיגוליות של החלקיקים ישנה השפעה של מהירות זרימת החלקיקים עד כ- 30%. בשיטת האלמנטים הבדידים ניתן לחבר שתי כדורים ביחד )Clump( ועל ידי כך ליצור צורות מורכבות השונות מעיגול סימטרי )ראה איור 6(. כאשר הגאומטריה של החלקיקים בסימולציה קרובים לצורת החלקיק במציאות ישנו שיפור בתוצאות הסימולציה. לבסוף, בכדי לקבל קורלציה טובה בין אופן תנועת האבקה לסימולציה יש לתת את הדעת לתכונות המכאניות המתארות את האינטראקציה בין החלקיקים ובין החלקיקים לדופן. המודל המתמטי לתיאור האינטראקציה משתמש באלמנט Kelvin-Voigt )קפיץ ומרסן במקביל( הקפיץ אשר מחבר את שתי חלקיקים בכיוון הרדיאלי בין החלקיקים מתאר את מודול האלסטיות שלהם כלומר האלסטיות של החלקיקים; הקפיץ בכיוון המשקי בין הרדיאלי והמשקי משמשים בכדי להוסיף יציבות למערכת ]16[. החלקיקים מתאר את החיכוך ביניהם; המרסן בכיוון את ערכי קבועי המרסן Cundall & Strack מציעים לחשב לפי מערכת מסדר שני של קפיץ ומרסן מוכפל במקדם ריסון שנקבע על פי ניסיונות מעשיים. החוקרים מציעים להוסיף קפיץ מתיחה בכיוון הרדיאלי ליצירת כוח משיכה בין החלקיקים שיתאר את הדבקות ביניהם. וברוב עבודות המידול של אבקות נעשה בה שימוש. הקבועים המכאניים באמצעות מדידה ישירה: א. ב. ייצור גרף כוח-עיבור בין שתי גרגירים: מספר עבודות באמצעות השיטה נחשבת כאמינה ומדויקת מכשיר מדויק מתארות את אופני אשר חישוב של מקרב ולוחץ שני גרגירים עד לדיוק של ננו מטר ומד כוח מחשב את הכוח בניהם עד לדיוק של חצי מילי ניוטון ]17[. מגרף כוח מעוות ניתן להוציא תכונות מכאניות כמו מודול אלסטיות. הטחת גרגרים במשטח: למדידת מקדם תקומה ניתן לעשות שימוש בכלי מדידה מדויק אשר בוחן את תנועת הגרגיר לפני ואחרי פגיעה במשטח. שיטות אלו מצריכות שימוש בכלי מדידה יקרים וניתנות ליישום כאשר גודל החלקיקים הינו גדול מ- 500 מיקרו מטר. בכדי לחשב פרמטרים מכאניים של חלקיקי הסודיום בורוהידריד אשר גודלם נע סביב 50 מיקרו מטר קיימת מן הסתם בעיה לעשות שימוש בשיטות אלו. נשתמש אם כן, במדידת תכונות מיקרו של החלקיקים על ידי תכונות מאקרו כמו שניתן לראות ב- ]18[. כלומר, נערוך סדרת ניסויים: החדרת 15

16 טריזים בזוויות ראש שונות וניסויי גזירה בכדי לבחון את השפעת פרמטרי החיכוך, קוהיזיה והריסון על הגרפים השונים שמתקבלים. 16

17 2. חישוב פרמטרים מכאניים ל NaBH4 בכל פסיעת זמן )Iteration( במהלך הרצת הסימולציה מחושבים כל הכוחות הפועלים על כל חלקיק וחלקיק כתוצאה ממגע עם חלקיקים סמוכים וכתוצאה מכוחות חיצוניים. חישוב שיווי משקל הכוחות מנוסח על ידי החוק השני של ניוטון כאשר הכוחות בין החלקיקים ובין החלקיקים לדפנות נגזרים מתוך הדפורמציות של החלקיקים. כלומר, בכל פסיעת זמן מחושבת עומק החפיפה u n )איור בין זוג חלקיקים ובין חלקיק לדופן - ככל שעומק החפיפה גדול, כך גדלים הכוחות המתפתחים )3 ביניהם. 2.1 מידול האבקה כל אינטראקציה בין חלקיקים ובין חלקיק לדופן כולל: מכאניזם אשר תפקידו לבטא את הכוחות הרדיאליים )דחייה שעיקרו ביטוי לאלסטיות, ומשיכה שעיקרה דביקות האבקה( בין שתי גופים בנקודת המגע ביניהם; אלמנט אשר מבטא את הכוחות המשיקיים בין הגופים; ואלמנט אשר תפקידו לבטא את איבוד האנרגיה במערכת. בתת פרק זה נסקור את הכוחות השונים ונעמוד על חשיבותם במידול החומר הנבחר. לבסוף, נדון בפרמטרי סימולציה - בחירת גודל החלקיקים ומספרם. נפרט: k n א. הקשיחות בכיוון הרדיאלי בין הגופים מתוארת באמצעות קפיץ לחיצה קשורה למודול אלסטיות E )מודול יאנג( של החלקיק., קיימים ב. הקשיחות בכיוון המשיקי מתוארת על ידי k. s היחס בין קבועי הקפיץ נתון ב מחקרים ]18[ המניחים שוויון בין הקבועים. = k s k n ג. במהלך תנועת חלקיק קיים הפסד אנרגיה )Dissipation( הנובע מהתנגשויות חלקיק-חלקיק ומתהליכים אחרים במערכת )חיכוך עם התווך חום וכיו"ב(. בכדי למדל תהליכים אלו יש להוסיף למודל מר סנים. קיימים שני מודלים שכיחים: 1. המודל הויסקוזי, בו זוג חלקיקים נתונים לכוח הפורפורציוני למהירותם היחסית והפוך מכוון תנועתם. F vis = cy המודל הקולומבי )המודל הלא-ויסקוזי( הוא מידול לכוח חיכוך קלאסי ]19[ בו זוג חלקיקים נתונים לכוח הפורפורציוני לתאוצה היחסית והפוך מכוון תנועתם F s = μy.2 הריסון הויסקוזי אם כן, מתרחש בכוון המשיקי ובנורמלי כאחד וסימנו במודל μ. g את הריסון הקולומבי נסמן כ- μ s ונוסיף גם אותו למודל שלנו. 17

18 הערה: להלן הניסוח האנליטי לקשר שבין קבועי הקפיצים וקבועי המרסנים הנורמליים והמשיקיים לבין מקדם התקומה המשיקי והנורמלי של החלקיקים ]20[: k n = m t ct 2 (π2 + (ln e n ) 2 ) 2m c n = t ct k s = 2m 7t ct 2 (π2 + (ln e s ) 2 ) 2m c s = ln e s t ct כאשר )restitution coefficient( הם המקדמי תקומה e n, e s c n,c s הם מקדמי הריסון המשיקי והנורמלי. k s הגופים בעת ההתנגשות ו- m זה המסה של הגרגיר. בכיוון המשיקי t ct הם קבועי הקפיצים. k n, והנורמלי בהתאמה. זהו זמן החפיפה בין עם זאת, קיים קושי למדוד במדויק את מקדם התקומה ולכן בהמשך נשתמש בפרדיגמה שונה לקביעת ערכים אלו. לבסוף, קבוע הקפיץ k p מתאר את כוח הדבקות בין שתי גופים. הידבקות כזו בין שני גרגירים ובין גרגיר לדופן נגרמים על ידי משיכה בין ענן האלקטרונים הקיים בגרעין החומר בין מולקולות של שתי גרגירים או גרגיר עם הדופן. קיימים שני כוחות עיקריים הגורמים להדבקות: כוח ון-דר-ולס הכולל את המצבים: א. ב. דו-קוטב )דיפול( קבוע עם דו-קוטב קבוע במוליקולה צמודה-אינטרקציה חשמלית המתקיימת בין מוליקולות עם אזורי מטען מנוגדים )משיכה( או דומים )דחיה(. דו קוטב נוצר במוליקולה כאשר יש בה אטומים בעלי זיקה אלקטרונית גבוהה בקשר עם אטומים היוצרת מומנט דיפול בקשר. השקול הוקטורי של כל המומנטים עם זיקה נמוכה, מבנה המרחבי של המוליקולה קובעים את גודל דו-הקוטב. כאשר שתי מוליקולות עם דו-קוטב מתקרבות אחת לשניה ותוך שהן מפנות את איזורי המטען המנוגדים זה לזה נוצרת משיכה בין המוליקולות. ]21[ המרחק המינימלי שבו מורגשת המשיכה הבין מוליקולרית נקרא רדיוס ונדר ואלס.. מצב בו באחת המולקולות ישנו מטען אחיד המפוזר על האטום/קשר בצורה נקודתית וקצרה בזמן מייצרת מצב של דו-קוטב רגעי וחלש התורם פחות למשיכה בהשוואה לדו-קוטב קבוע במוליקולה. עוצמת הכוח תלויה לפי סדר יורד בחשיבות: א. ב. ג. במסה המולרית של החומר: האטומים; כלומר ככל שענן האלקטרונים גדול כך גדלים הכוחות בין בקוטביות: כלומר כוחות משיכה בין מולקולות בעלות דיפול קבוע חזקות ממולקולות בעלות דיפול רגעי. שטח המגע בין המולקולות. כוחות אלקטרוסטטיים: טעינה אלקטרוסטטית נוצרת על ידי חיכוך. כאשר חלקיקים מתנגשים אחד בשני או בדפנות בתהליך חיכוך מועברים אלקטרונים בין הגופים המשתתפים. הכוח האלקטרוסטטי הנוצר ביניהם נמצא ביחס ישר למטענם. הכוח יכול להיות חיובי או שלילי ואינו מצריך מגע בין החלקיקים. בהשוואה לכוחות קפילריים ערכו של הכוח האלקטרוסטטי גדול יותר כאשר נבחן 18

19 במרחקים ארוכים יחסית. כאשר תנועת החלקיקים וזרימתם בין מעברים גוברת מספר ההתנגשויות גדל ובהתאמה גדלים הכוחות האלקטרוסטטיים בחומר. גשרים הנוזלים בין חלקיקים: כאשר חלקיקים שרויים בחלל עם לחות מתבצעת ספיחה של אדי מים אל המעטפת החיצונית של החלקיק. כאשר זוג חלקיקים באים במגע נוצר כוח משיכה היוצר הידבקות של החלקיקים כתוצאה מחפיפה בין השכבות החיצונית. הכוח שנוצר בין החלקיקים תלוי בשטח המגע ובמתח הפנים של השכבות הספוגות. כאשר רמת הלחות עולה מתחילים להיווצר גשרים נוזליים ]22[ המחברים בין החלקיקים כך שנקודת המגע בין החלקיקים מתנתקת ורק הנוזל מחבר בין החלקיקים על ידי כוח קפילרי כאשר כוחות אדהזיה מחברות בין מולקולות הגרגיר לנוזל וכוחות קוהיזיה מחברות בין מולקולות הנוזל. ככל שהמרחק בין החלקיקים גדל כך זווית המגע בין הנוזל לחלקיק גדלה ועובי הגשר קטן. הגשר נשבר כאשר כוח ההפרדה בין החלקיקים גדול מהכוח הקפילרי ביניהם. חיבור קבוע )Interlocking( בין חלקיקים בעלי מסיסות יכול להיווצר בזמן אידוי הנוזל הגשרי. כלומר כאשר יש חיבור על ידי הידבקות קפילרית בין שתי חלקיקים בעלי יכולת מסיסות בנוזל אזור המגע בין הנוזל למוצק מתמוסס וכאשר הנוזל מתאדה נשארת שכבה קשיחה המחברת בין שתי החלקיקים )איור 6(. ככל שמחזורי ההרטבה והאידוי גדלים כך מספר הקשרים הקבועים בין חלקיקים בחומר גדל. כל הכוחות הפועלים בין זוג חלקיקים ובין חלקיק לדופן שהוזכרו פועלים במקביל. גודלו של כל כוח ביחס לאחרים מושפע מתכונות החומרים ומאחוזי הלחות בחומר. כמו כן קיימים קשרים בין הכוחות בחומר. למשל, לחות הנספגת בחלקיקים יכולה להגביר את עוצמת כוחות הון-דר- ולס ומנגד להקטין את החיכוך בין החלקיקים. נוכחות הלחות בחלל גם מקטינה את הכוחות האלקטרוסטטיים בין החלקיקים. כשהמטרה היא לשמור משטר זרימה מסוים קיימת חשיבות רבה אם כן, לשמור על היחסיות בין תכונות הסביבה לפרמטרי החומר לדוגמה כאשר ישנו חומר ללא לחות ישנה השפעה גדולה של הכוחות האלקטרוסטטיים על זרימת החלקיקים, ובכדי לשפר את הזרימה ניתן להוסיף לחות למערכת ובכך להקטין את הכוחות האלקטרוסטטיים אך אם רמת הלחות תגבר עד כדי היווצרות גשרים נוזליים בין החלקיקים רמת הזרימה של החלקיקים יכולה לקטון יותר מרמתה המקורית. באופן כללי, חשיבותם היחסית של כוחות ון-דר-ולס משמעותית כאשר מדובר בחלקיקים הקטנים מ- 1-2 מיקרו מטר, כוחות קפילריים בין חלקיקים רלוונטיים כאשר מדובר בפחות מ- 500 מיקרו מטר וכוחות כתוצאה מספיגת אדים מתאימה לחלקיקים קטנים מ 80 מיקרו מטר כלומר ככל שהחלקיקים קטנים כך מספר הכוחות המשתתפים באינטראקציה גדלים וכושר זרימת האבקה יורד. בכדי לאמוד את הכוחות נעזרנו במיקרוסקופ אופטי למדוד את גודל גרגירי אבקת.NaBH4 נמדד ערך ממוצע של כ- 50 מיקרו מטר )ראה איור 6(. אנו מסיקים אם כן, שבאבקת סודיום בורהידריד אשר נתונה במערכת סגורה עם אחוזי לחות גבוהים ניתן להניח שכוחות הון-דר-ולס בה זניחים, הכוחות האלקטרוסטטים נמוכים בשל אחוזי הלחות כך שרוב כוחות הדביקות באבקה נובעים מהגשרים הנוזליים בין החלקיקים ומתופעת ה- ]23[. Interlocking 19

20 איור 6: צילום גרגירי NaBH4 במיקרוסקופ אופטי )תמונה מקורית(. המודל המכאני בו נעשה שימוש מתואר על ידי חוקי המגע הפיזיקלי בין שתי חלקיקים מתואר באיור 7 כאמור, Kn, Ks מסמנים את קבוע הקפיץ המשיקי והנורמלי. μ g מקדם הדביקות בין החלקיקים Kp מקדם איבוד האנרגיה של המערכת כתוצאה מגורמים שונים ו- μ s מקדם החיכוך קולומבי המתאר חיכוך בין חלקיקים כתוצאה ממגע. איור 7: מתואר המודל המכאני בין שני חלקיקים בעלי רדיוס R2 ו- R1 הקשר בין הכוחות הנורמליים והמשיקים המתפתחים כתוצאה מקבוע הקפיץ והחיכוך נתונים על ידי המשוואות: הקולומבי )1( F n = k n u n 20

21 )2( F s = { K su s for K s u s < μfn μ s F n for K s u s > μfn כאן u s ו- u n מתארים את החפיפה המשיקית והנורמלית בהתאמה. נחשוב על זוג חלקיקים הבאים במגע אחד עם השני כחופפים במידה מסוימת, ולכן יפעלו על החלקיקים כוחות רדיאליים להפרדתם בכיוון הראדיאלי ומשיקים לקירובם בכוון זה. לשם ההדגמה נחשוב על זוג חלקיקים ריבועיים זהים ששאיפתם תהא להיצמד אחד לשני ע"ג פאה משותפת(. באיור הבא מתוארים הגדלים הגיאומטריים באינטראקציה בין החלקיקים. איור 8: זוג חלקיקים חופפים. כאשר u s ו- u n החפיפה המשיקית והנורמלית בהתאמה. מודל החיכוך F s )המשיקי( עבור מתקבל מניסוי מחשבתי בו מסה מחוברת לקפיץ ונתונה לחיכוך קולומבי נגררת באמצעות משיכת/דחיפת הקפיץ בקצהו האחר. החלוקה לאזורים מתקבלת כיוון שעל כוח חיצוני להיות בתוך קונוס חיכוך נתון בכדי להימנע מתנועה. זווית הקונוס נקבע על ידי זווית החיכוך הפנימית של המודל. נשים לב שמודל זה הוא מודל היסטרטי ]19[ )מצב בו המסה נתונה להעמסת מיקום מחזורית(. פרמטרים נוספים אשר משפיעים על תוצאות הסימולציה הם כאמור, גודל החלקיקים צורתם ופיזור החלקיקים בחלל. כאמור, בכדי להקטין את זמן החישוב בסימולציית אלמנטים בדידים יש צורך להקטין את מספר החלקיקים ככל שניתן. עבור הניסויים שבוצעו גודל החלקיקים הוגדל פי מהגודל המקורי של חלקיקי הסודיום בורוהידריד )50 מיקרון(. צורת החלקיקים נקבעה לפי זוג חלקיקים מוצמדים )clumb( כאשר המרחק בין מרכזי העיגולים D משתנה בין 0.5R R בפיזור ערכים אחיד )ראה איור 9(. בכדי לאפשר פיזור חלקיקים קרוב למציאות אנו יוצרים את ענן החלקיקים במרחק מן החלק התחתון של התיבה כך שכאשר נפעיל כוחות גרביטציה על החלקיקים הם יסתדרו בצורה חופשית בחלק התחתון של התיבה. 21

22 איור 9: שני חלקיקים מוצמדים בכדי למצוא את הפרמטרים המכאניים של אבקת הסודיום בורוהידרד יש לבצע סדרת ניסויי גזירה והחדרה. כל אחד מן הניסויים מושפע בצורה שונה מהפרמטרים המכאניים. אי התלות המתקבלת בין הניסויים מאפשרת יכולת הבחנה בין הפרמטרים השונים על מנת לקבל ערכים ראשוניים שלהם. את הניסויים נבצע באמצעות מכשיר Testometric אשר מודד כוח ותזוזה עד לדיוקים של 0.1 ניוטון ו 0.1 מילימטר. בניסוי הגזירה הפרמטרים העיקריים שמשפיעים על מאמצי הגזירה הם החיכוך והדביקות בין החלקיקים אך גם לגודל החלקיקים ישנה השפעה על תוצאות הניסוי. לכן בכדי להקטין ככל שניתן את השפעת גודל החלקיקים על הניסוי נבצע את ניסויי החדירה והגזירה בממדים קטנים. ככל שמקטינים את דגם הניסוי כך גם מספר חלקיקי האבקה המשתתפים בו קטן. אומנם, עם הקטנת הדגם יש צורך ברזולוציה גבוהה יותר של מכשירי המדידה וכמו כן הניסוי רגיש יותר להפרעות ואי דיוקים. עבור כל ניסוי מעשי שבוצע נבנתה סימולציה בתוכנת האלמנטים הבדידים "YADE-DEM" אשר זהה לניסוי המעשי תחת השינויים האמורים. כמו כן גם לסימולציה כמו לניסויים הופקו התוצאות והגרפים והושוו לניסוי המעשי. בשלב הראשון הותאמו הגרפים באופן מקורב )כפי שנעשה לדוגמא ב ]7[( על מנת לקבל אומדן לערכי הפרמטרים המכאניים. לאחר מציאת הערכים המקורבים נבצע אופטימיזציה להערכות שהתקבלו בעזרת אלגוריתם גנטי. כיול ידני של הפרמטרים אלגוריתם גנטי עבור טווח ערכים מצומצם עבור כל הניסויים אלגוריתם גנטי עבור ניסויי החדרות טריז כיול ידני של הפרמטרים למציאת סד"ג הכנת חבילה לסימולצית DEM ניסויים מעשיים עם אבקת הסודיום בורוהידריד 2.2 ניסויים מעשיים כאמור, בכדי להתחקות אחר הפרמטרים נבצע סדרת ניסויים. ניסוי גזירה שתכליתו העיקרית למצוא את מקדם הדביקות ופרמטר החיכוך; שלוש ניסויי החדרת טריז שתכליתם העיקרית למצוא את מקדם האלסטיות ופרמטר החיכוך. תת פרק זה דן בהרחבה בכל אחד מהניסויים: ניסוי גזירה test( :)direct shear 22

23 תוצאות ניסויי גזירה מספקים אינפורמציה על החיכוך והדביקות בין החלקיקים ]25,24[. בניסוי זה הכנסנו לתוך שני גלילים בקוטר 2 ס"מ וגובה 1 ס"מ )כל אחד( אשר מונחים סימטרית אחד על השני )איור 10( את אבקת הסודיום בורוהידריד. בחלק העליון של הגליל ישנה פלטה בקוטר 2 ס"מ המפעילה מאמץ נורמלי קבוע אשר דוחס את האבקה. בעזרת מכשיר Testometric המודד כוח ותזוזה אנו מפעילים כוח אופקי על הגליל העליון אשר יוצר מאמץ גזירה במישור שבין הגלילים. מאמצי הגזירה נמדדים עד אשר נוצרת תנועה של עד 20% בין הגלילים. ניסוי זה בוצע מספר פעמים כאשר בין ניסוי לניסוי מגדילים את המאמץ הנורמלי σ n ומודדים את מאמץ הגזירה המתקבל בכשל. איור 10 :תיאור של ניסוי גזירה כאשר σ n מתאר את מאמץ הלחיצה ו τ s את מאמץ הגזירה. עבור כל ניסוי נמדד המאמץ הנורמאלי ומאמץ הגזירה שגורם לכשל. המונח כשל מתייחס להתמוטטות של מסבכים ספונטניים שנוצרים באבקה. תופעה זו מתבטאת בשינוי מהיר בהתנהגות ושינוי בשיפוע הכוח האופקי כתלות בתזוזה. מהצבת הנקודות בגרף שציריו הם מאמץ נורמלי ומאמץ גזירה צפוי להתקבל קו לינארי מקורב 23

24 איור 11: גרף לינארי אשר שיפועו מציין את החיכוך של החומר ונקודת חצייה עם ציר מאמצי גזירה מציין את הדביקות. ומשוואת הקו המתקבל: )3( τ=σtan(f)+c כאשר, מסמנים את המאמצים הנורמליים והמשיקים ו- f הזווית המתקבלת עבור הקו הלינארי. המערכת המכאנית - ניסוי גזירה בכדי לבצע את ניסוי הגזירה תוכננה ונבנתה מערכת מכאנית. באיור 12 מוצג מערך הניסוי. גלגלת עם חוט מושכת את הגליל התחתון בעוד שהגליל הקונצנטרי שמעליו נשאר במקום, באופן זה מתקבלת תנועה יחסית בין שני הגלילים. כאשר שני הגלילים מלאים באבקה - האבקה יוצרת התנגדות לתנועה היחסית בין הגלילים. עוצמת ההתנגדות תלויה בתכונות האבקה. תכונות עיקריות המשפיעות על הכוחות גזירה המתפתחים הם גודל חלקיקי האבקה החיכוך והדביקות של האבקה. מאמצים אלו )יחד עם העיבור בין הגלילים( ניתנים למדידה על ידי מכשיר ה- Tastometric אשר מחובר בקצהו של החוט המושך את הגליל התחתון. הגליל העליון של המערכת פתוח גם בחלקו העליון וגם בחלקו התחתון הצמוד לגליל התחתון. בחלק העליון של הגליל העליון משטח אשר ניתן להעמיס אותו במשקולות. משקולות אלו יוצרות מאמצים נורמליים σ n אחידים על מישור הגזירה שבין שתי הגלילים. 24

25 איור 12: בחלק הימני תמונה של המערכת מכאנית לביצוע ניסוי הגזירה ובשמאלי שרטוט המערכת מהלך ותוצאות הניסוי הגזירה בכדי להפיק את הגרף הלינארי איור 15 יש צורך לבצע מספר ניסויי גזירה עבור מאמצים נורמליים משתנים. בניסוי זה הופעלו שלושה כוחות 2,4 ו- 8 ניוטון. עבור כל כוח נמדדו חמש פעמים על מנת להבטיח עקביות של התוצאות )תוצאות חריגות הוסרו(. באיור 13 ניתן לראות את תוצאות הניסוי עבור משקולת של 200 גרם בה מתקבל כוח גזירה בשיעור 0.4 ניוטון. עבור 400 גרם 0.6 ניוטון ועבור 800 גרם 1.2 ניוטון. איור 13: תוצאות ניסוי גזירה עבור שלושה משקלים שונים 25

26 בכדי להבטיח אי תלות של גובה וצורת הגליל העליון על התפתחות המאמצים במישור הגזירה יש למצוא את משוואת הכיול המקשרת בין כוח הקיים במישור המגע בין האבקה למשקולות בראש הגליל לכוח הקיים במישור הגזירה. לשם כך בוצעו מספר מדידות )איור 14( של הכוח המתפתח בחלק התחתון של הגליל )מישור הגזירה( כתלות בכוח בראש הגליל )המשקולות(. איור 14: גרף כיול בין הכוח המופעל בראש הגליל לכוח המתפתח בתחתית הגליל. לאחר מציאת הכוחות הנורמליים והמשיקיים במישור הגזירה סומנו שלושת הנקודות )איור 15( והופקה משוואה לינארית מאותן נקודות. כאמור, משוואה זו מאפשרת לגזור שתי תכונות חשובות של החומר: הדביקות של החומר אשר מתוארת על ידי נקודת החיתוך עם ציר המאמצים המשיקיים כלומר, כאשר המאמצים הנורמליים מתאפסים כוח החיכוך אינו בא לידי ביטוי מכיוון שהנורמל שווה אפס. לכן, במצב זה הכוח המשיקי ברובו מושפע מהדביקות בין החלקיקים. תכונה שנייה היא החיכוך המתוארת על ידי שיפוע הגרף הלינארי. כאמור כוח החיכוך הוא F=μN כאשר μ הוא מקדם החיכוך ו- N הוא הכוח הנורמלי. ככל שהכוח הנורמלי גדל כך גדל גם הכוח F שבמקרה זה הוא הכוח המשיקי שקיבלנו. כלומר, התלות בין כוחות אלו מתוארת ע"י מקדם החיכוך. 26

27 איור 15: כוח גזירה כתלות בכוח נורמלי. השיפוע מציין את פרמטר החיכוך ונקודת החיתוך עם ציר האנכי מציינת את מקדם הדביקות ניסוי החדרת טריז: הפרמטרים המשפיעים משמעותית על ניסוי ההחדרה הם קבוע החיכוך וקבוע האלסטיות. בכדי להתחקות אחר השניים נרצה לבצע סדרת ניסויים בתנאים גיאומטריים שונים שיבטיחו ביטוי שונה של כ"א מהפרמטרים בגרף הכוח-שקיעה )איורים 15(. 7, בניסוי החדרת הטריז נחדיר, אם כן, שלושה טריזים בעלי שטח בסיס זהה 10x15 מ"מ וזוויות ראש שונות ו- 0 )כבאיור 16( אל תוך קובייה בעלת שטח חתך 15x15 מ"מ ועומק של 40 מ"מ המכילה אבקת סודיום בורוהידריד. איור 16: טריזים בעלי זווית ראש משמאל לימין ו

28 איור 17: תמונה של מערך ניסוי החדרת הטריז.)18 כצפוי בשל השוני בזוויות הראש בכל ניסוי מתקבלות תוצאות שונות עבור גרפי כוח-שקיעה )ראה איור 28

29 איור :18 גרף כוח-שקיעה של טריזים בעל זווית ראש של 2( 0 )test 1 test ו- 4) 90 )test 3 test השפעת גודל התיבה כאמור בכדי להשוות ככל שניתן את ניסוי החדירה המעשי לניסוי הנעשה בסימולציה יש צורך בבניית דגם קטן ככל הניתן על מנת שמספר החלקיקים בין הסימולציה לניסוי המעשי יהיה קרוב ככל האפשר. אך מנגד כאשר מקטינים את גודל התיבה תוצאות מושפעות יתר על המידה מתנאי השפה של התיבה ופחות מתכונותיה של האבקה. לדוגמה, כאשר המרחק בין דפנות התיבה לטריז קטן יותר כך הכוחות המתפתחים בטריז גדלים יותר. לצורך מציאת גאומטריה מתאימה לתיבה בוצעו ניסויי חדירת טריז בעל זווית ראש של 90 עבור שלוש תיבות בעלות גדלים שונים: תיבה א' בממדים 50x17x100 מ"מ ; תיבה ב' בממדים 50x30x100 מ"מ ; ותיבה ג' בממדים. 130x140x110 מ"מ. איור 19: גרף כוח שקיעה עבור תיבה ג' 29

30 איור 20: גרף כוח שקיעה עבור תיבה ב' איור 21: גרף כוח שקיעה עבור תיבה א' נשים לב שככל שגודל התיבה קטן כך תוצאות הניסוי יותר רועשות ופחות אמינות. לכן נבחר בתיבה ב על מנת לאפשר תוצאות אמינות ככל שניתן ומצד שני קירוב ככל שניתן למספר חלקיקים ריאלי שתתאים בסימולציה של ניסוי זה. השפעת מיקום הטריז למיקום הטריז ביחס לתיבה ישנה חשיבות רבה. כאמור ישנה השפעה רבה של תנאי השפה של התיבה על בגרף כוח-שקיעה. כאשר מיקום הטריז אינו ממורכז ביחס לתיבה נוצרת השפעה ניכרת על כוח התגובה של הטריז כתוצאה מהפאה הקרובה. בכדי לבחון השפעה זו בוצעו מספר ניסויים עבור טריז בעל זווית ראש של 90 מעלות כאשר הוא ממוקם במרכז התיבה וכשלא ראה איור

31 איור 22: מימין הטריז ממוקם במרכז ומשמאל נצמד לפאה הימנית. test 1,2,3 עבור טריז ממורכז ו- test 4,5 עבור טריז לא ממורכז איור 23: ניתן לראות בגרף את השפעת מיקום הטריז על הכוחות המתפתחים בו סטייה של כ- 80% בין שתי התוצאות. לכן לפני כל ניסוי יש לבדוק שאכן מיקום הטריז ממורכז בכדי למנוע שגיאות המתפתחות מתנאי השפה. תוצאות הניסוי המעשי עבור כל טריז בוצעו מספר ניסויים, ובהתאם הופק גרף ממוצע של גרפים אלו וחושב פולינום מסדר 4 אשר מקרב את התנהגות המערכת. את התוצאות הנ"ל ניתן לראות באיור 24 עבור טריזים עם זוויות ראש של.30 0,0 0,

32 איור 24:: קו אדום-גרף מעשי מתקבל מהניסוי. קו כחול- פולינום מקורב מסדר הסימולציה הנומרית בכדי להשלים את התמונה נתאר כעת מספר היבטים נומריים של הדמיית אלמנטים בדידים. נציג את פרמטרי המערכת ונציג את האופן בו התמודדנו עם הבעיה המרכזית בסימולציה כזו- זמן החישוב הארוך. לבסוף נציג את המודלים הפיסיקאליים ששימשו אותנו בבניית הסימולציה. לפרטים טכניים ראה נספח א' היבטים נומריים בכדי לדמות את הניסויים המתוארים בתת פרק 2.2 בשיטת אלמנטים בדידים נעשה שימוש בתוכנת קוד פתוח softwar(."yade-dem" )open source עבור שלושת הניסויים המעשיים שבוצעו נבנתה סימולציה המדמה כל אחד מהניסויים. ביחס לצורת החלקיקים נקטנו גישה דומה לזו שנלקחה ב- ]13[, יצירת כדורים המחוברים יחדיו )clump) לקבלת חלקיק א-סימטרי. בסימולציה זו נוצרו איגודים שונים כאשר מרחק מרכזיהם משתנה בין.0 5R R בפיזור ערכים אחיד )איור 25(. 32

33 כאמור למעלה, מטרת הסימולציה הראשונית היא קירוב ערכי הפרמטרים על מנת לקבל התאמה חלקית בין הגרפים המתקבלים בניסויים המעשיים ובין הגרפים המתקבלים בסימולציה )כלומר לקבלת אומדן לסדרי הגודל של המקדמים(. עבור ניסויי הגזירה נעשה שימוש ב 10,000 חלקיקים מפוזרים אקראית בתוך גליל. איור 25: תמונה מתוך סימולציית גזירה בתוכנת האלמנטים הבדידים Yade-DEM עבור ניסוי החדרת טריזים בעלי זוויות ראש שונות נבנתה תיבה ובה 5,500 חלקיקים מאוגדים ( clump )particle מפוזרים אקראית בתוך תיבה כאשר מרחק מרכזיהם משתנה בין אחיד. עבור כל אחד מן הטריזים בוצעה סימולציית חדירה עד לעומק של 35 המעשי. 0. 5R R בפיזור ערכים מ"מ בהתאמה לניסוי איור 26: משמאל מערך ניסוי של החדרת טריז ו ומימין סימולציית אלמנטים בדידים עבור אותו ניסוי 33

34 בכדי למנוע סטיות של חישובי שגיאה בין הגרפים עבור כל גרף ביצענו ממוצע עבור קטעי דגימה קטנים בגרף כפי שניתן לראות, הגרף הימני העליון Fz2 הוא ממוצע של השמאלי התחתון.Fz הגרף השמאלי העליון Fz3 הינו קירוב פולינומיאלי מסדר 4 של הגרף הימני העליון.Fz2 איור 27 :דוגמה לגרף שקיעה fz ואת הממוצע של הגרף fz2 ואת הקירוב הפולינמיאלי של הממוצע.fz3 בכדי שסידור החלקיקים בתיבה יהא קרוב ככל הניתן למציאות יש צורך שהחבילה תסתדר מעצמה באופן דומה לניסוי המעשי. במילים אחרות "מוזגים" את החלקיקים לתוך הכלי בסימולציה. בהדמיית אלפי חלקיקים סידור כזה צורך זמן חישוב רב. על מנת לקצר את זמני החישוב חישוב תהליך "המזיגה" יבוצע פעם אחת ואת מיקומי החלקיקים נשמור להמשך. את מיקומי החלקיקים נטען לכשנזדקק להם, ונשייך להם תכונות מכאניות מתאימות לניסוי אותו נרצה לבצע. איור 28: בתמונה השמאלית תחילת הסימולציה ובימנית לאחר רגיעה 34

35 חיסרון של שיטה זו נתון בעובדה שחומרים בעלי תכונות מכאניות שונות אינם מתארגנים באותה אופן בתיבה. לדוגמה, חומר בעל דביקות גבוהה ייצור חיבורים מוקדמים יותר מחומר בעל דביקות נמוכה וכתוצאה מכך תתקבל ערימה יותר "אוורירית" ופחות צפופה. בכדי לבדוק את השפעת שינוי הפרמטרים המכאניים בזמן סימולציה נערכה הדמייה לנפילה חופשית של חלקיק בודד מגובה h על חלקיק נוסף אשר קבוע במרחב. כאשר החלקיק העליון נופל ופוגש את החלקיק המקובע נוצרת חפיפה בניהם, כאשר הגוף העליון מגיע לשיווי משקל הוא נח על גבי הגוף התחתון בחפיפה כזאת אשר יוצרת שיווי משקל בין כוחות הגרביטציה לכוחות הדחיה בין שתי החלקיקים. במצב נשומרו מיקומי החלקיקים. בחלק השני של הנסוי שונו תכונות החומרים )הגדלת הקשיחות של החלקיקים(. עם תחילת הסימולציה החלקיק העליון אינו נמצא בשיווי משקל שכן עומק החפיפה הקודמת בשילוב עם העלאת מודל האלסטיות מפיקים כוח גדול יותר מכוח הגרביטציה ולכן החלקיקי יאיץ מעלה. תופעה מיקרונית זאת יוצרת בקבוצות גדולות אפקט ניפוח של החבילה או במקרים קיצוניים אפקט של "פיצוץ". הפתרון לכן, יהא יצירת מספר "חבילות" מאורגנות של חלקיקים בעלי קבועי אלסטיות שונים. הערה: דרך אחרת לקצר את זמני החישוב של סידור הערימה היא על ידי יצירת חומר בעל מקדם Δt =r c ρ אלסטיות נמוך מכיוון שזמני הפסיעה בסימולציה מוגדרים על ידי הנוסחה E משוואה המתארת זמני הפסיעה כאשר r זה רדיוס החלקיק. E זה המודל אלסטיות ו- ρ הוא צפיפות החומר. כאשר הערימה מגיעה לרגיעה יש לשנות באופן הדרגתי )בדומה לתאור שלעיל( את מקדם האלסטיות. (Physical Engines) מודלים תוכנת האלמנטים הבדידים עושה שימוש במודלים שונים בכדי לחשב את הקינמטיקה הניתנת לחלקיק בכל פסיעת זמן. Δt c עבור סימולציות של אבקת הסודיום בורוהידריד אנו נעשה שימוש במנוע הכולל חיכוך ודביקות בין החלקיקים כפי שתואר בפרק 2.1 ובין החלקיק לגוף הכלי אנו נעשה שימוש במודל המתאר רק חיכוך בשל העדר מודל מתאים בעל דביקות. נציין שמידותיהם של הכלים )גלילים של ניסוי הגזירה והתיבה בניסוי החדרת הטריז( נבחרו כך שלתנאי השפה של הניסוי תהיה השפעה מינימאלית ככל שניתן, אם כן, שימוש במודל החיכוך צפוי לא להשפיע באופן ניכר על תוצאות הסימולציה. נסקור כעת את סוגי המודלים שלרשותנו: מודל א. :(FrictMat) friction mat מודל מאפשר לחשב את הכוחות בין חלקיקים בנקודת המגע ביניהם כתוצאה מחיכוך. הקשיחות הנורמלית של חלקיק נתונה כ מודול האלסטיות ו D הוא קוטר החלקיק. הכוח בין זוג חלקיקים נתון לכן k n =ED כאשר E הוא. את E D E D k. υ= k s n קבוע הקפיץ המשיקי ניתן למצוא ע"ב יחס פואסון 35

36 ב. מודל :(CohFrictMat) cohesion friction mat מביא לידי ביטוי גם את הדביקות בין החלקיקים. הקשיחות הנורמלית, המשיקית והחיכוך מחושבים באופן זהה שבו חושבו במודל הקודם. הדביקות המשיקית והנורמלית נתונים ב ad =c min{r,r } n n c c, מציינים את הדביקות הנורמלית והדביקות המשיקית s n כאשר, ad =c min{r,r } s s בהתאמה, רדיוסי r i ו- החלקיקים. ההתנגדות לסיבסוב החלקיק( וההתנגדות לגלגול ניתנים לתיאור על ידי הקשיחות המשיקית K r ו- K tw יחידות כך שניתן לתאר את הקשיחות הסיבובית הכולת )סיבוב סביב הציר העצמי של על ידי: ופרמטרים r s rs 1 2 K tw חסרי Kk. K = r r עבור הסימולציה של גרגירי הסודיום בורוהידריד נבחר שלא לכלול את הכוחות המתפתחים כתוצאה ממומנטי כפיפה ומומנטי פיתול בין החלקיקים. כאמור, הפרמטר העיקרי אשר משפיע על הדבקות בין חלקיקי הסודיום בורוהידריד הינם הגשרים הקפילרים בין החלקיקים אשר תורמים לכוחות נורמליים וכוחות גזירה. תופעת ה Interlocking שניתנת לתאור באמצעות הכללה של מומנטי פיתול וכפיפה בין החלקיקים אשר קיים במודל ה-.cohesion friction mat מכיוון שאנו עושים שימוש באבקת הסודיום בורוהידריד במצב של חשיפה ללחות מינימאלית לא צפויה תופעה זו להיות משמעותית. 2.4 אופטימיזציה של הפרמטרים בתהליך מציאת הפרמטרים המכאניים נשווה בין הגרפים המעשיים שהתקבלו מניסויי החדרת הטריזים בעלי זווית ראש , 0 ו וניסוי הגזירה לבין אותם הניסויים אשר בוצעו בסימולציה. השוואה בין גרפי הגזירה תבוצע בעזרת השוואה של נקודות עניין בגרף: נקודת החיתוך של הקו הלינארי עם ציר המאמצים המשיקיים )~דביקות( ושיפוע הקו הליניארי )~חיכוך(. עבור גרפי ניסוי החדרת הטריזים נשווה את השיפועים ~)קשיחות עבור טריז 0, 0 חיכוך עבור השאר(. בתת-פרק זה נדון באופן בו נתאים את הפרמטרים לאלו המציאותיים, נתחיל את הדיון בניסוח אנליטי )מקורב( של הכוחות הצפויים בכל אחד מן הניסויים ניסוחים אלו מספקים קו פעולה הגיוני בכיול, נציג את האלגוריתם הגנטי ואופן השימוש בו למטרותינו ולבסוף נתאר תוצאות הסימולציה ניסוח פיזיקאלי אנליטי בכדי לגבש הבנה בסיסית על אילו פרמטרים "שולטים" במי מהכוחות נרצה לנסח משוואות המתארות את יחסי הגומלין בין תוצאות הגרף והפרמטרים ששימשו למידול האבקה. נתחיל בניסוח האינטראקציות הפשוטות בין זוג חלקיקים: הכוח נורמאלי F n המפריד שני חלקיקים זה מזה )איור 29 א( נתון כסכום של כוח הממודל כקפיץ h n kh n נורמאלי n כאשר מידת החפיפה הנורמאלית )ראה איור 8( בתוספת עם חיכוך ויסקוזי )ראה n ch n )2.1 באשר המהירות היא בכוון "התנגשות". הכוח הנורמאלי F n החיובי )איור 29 ב( המקרב בין החלקיקים )כלומר ה"דביקות"( נתון כחיכוך הויזקוזי הנורמלי כאשר המהירות בכוון 36

37 k p "התרחקות" בתוספת הכוח הנובע מתכונת הדביקות ונתון כ- )קבוע הדביקות( )ראה ]36[(. n hk n הכוח F s המתקבל בכיוון המשיקי )איור 29 ג( כולל חיכוך ויזקוזי משיקי, חיכוך קולומבי s kh s )ראה 2.1 ליתר פירוט( וכוח הממודל כקפיץ משיקי. הכוח הנובע מהיווצרות חבילה כבאיור. F F cos( ), F F 29 ד' נתון כ - ) sin( n s איור 29: הכוחות העיקריים תגובה הפעולים בין החלקיקים. )א( כוח דחייה נורמאלי )ב( דביקות, )ג( כוח בכוון משיקי, )ד( כוח בכיוונים משולבים ניסוח מתמטי עבור החדרת טריז באיור 30 מתואר ניסוי החדרת טריז 0. 0 בחלק הימני הכוחות הפועלים על חלקיק מספר 3 כתוצאה מחפיפה עם חלקיקים 1 ו- 2 ומעומס F על הטריז. ננסח את משוואת השיווי משקל של חלקיק מספר 3 ונקבל את המשוואה הבאה: )4( F=Fn1 sin(θ 1)+FS1 cos(θ 1)+Fn2 sin(θ 2)-Fs2 cos(θ 2) 37

38 איור 30: תיאור סכמתי של ניסוי החדרת טריז. נניח שהמערכת במצב סטטי והמהירות היחסית בין החלקיקים זניחה : כאשר כל החלקיקים ברדיוס שווה F =k h n1 n n1 F=μ h k +k h s1 s n1 n s s1 F =k h n2 n n2 F =μ h k +k h s2 s n2 n s s2 θ ולכן מהצבה במשוואה המקורית נתקבל: 2=180-θ 1 )5( F=k h sin(θ )+ μ h k +k h cos(θ )+ n n1 1 s n1 n s s1 1 +k h sin(θ )+ +μ h k +k h cos(θ ) n n2 1 s n2 n s s2 1 h s נבחן כעת, את השפעת העיבור הנורמלי h n והעיבור המשיקי כתלות בזווית בין החלקיקים. באיור 31 ניתן לראות את זוג החלקיק מהאיור שלעיל כשנוצרת חפיפה ביניהם. בהינתן כוח האנכי של החלקיק העליון מתהווה תזוזה אינפיניטסימאלית באורך באמצעות הרכיב הנורמלי hn F הפועל בציר h. את התזוזה ניתן לבטא והרכיב המשיקי.hs הראשון הוא המרחק בין המשיק של בחלקיק העליון לבין נקודת המפגש עם החלקיק התחתון כאשר הקו המחבר בשיפוע )הזווית בין הכדורים(. המרחק המשיקי נמדד מנקודת מפגש הכדורים לפני החפיפה עד הקו המשופע המציין את החפיפה הנורמאלית. הערה: קו השיפוע של החפיפה הנורמלית יוצר זווית של 90 מעלות עם קו החפיפה המשיקית רק כאשר החפיפה h הינה איניפטיסימלית. לכן פיתוח בהמשך נכון רק לתחילת תנועת החדירה. 38

39 איור 31: חפיפת בין שני חלקיקים )6( h s2=hsin(θ 1), h n1=hcos(θ 1),h n2=hcos(θ 1) כלומר h =hcos(θ), n h =hsin(θ) לכן s ו- 2 F=cos(θ 1)sin(θ 1) 2k nh+2ksh +2μshk ncos (θ 1). h s1=hsin(θ 1) נציב חזרה ל )5( לקבל: ע"פ ]27[ התפלגות ההסתברות לזוויות שנוצרות בין החלקיקים בערימה הינה אחידה ולכן: E(F)= cos(θ )sin(θ ) 2k h+2k h +2μ hk cos (θ ) dθ 1 1 n s s n 1 ומכאן )תוחלת( הכוח המתפתח בטריז בניסוי החדרת טריז 0 0 הוא: )7( h(2k n +2k s + μsk n ) E(F) = 2 כאשר החיכוך, הקשיחות הנורמלית k s הקשיחות המשיקית ו- h עומק חדירת הטריז. הביטוי האמור מהווה אומדן כוח בלבד. נשים לב שהביטוי שהתקבל אינו תלוי בדביקות, למרות שבניסויים ניכר שהוא תלוי )אמנם באופן חלש(. נזכיר הביטוי נכון רק לתחילת תנועת החדירה וישמש רק k n μ s כאומדן. 39

40 ניסוח מתמטי עבור ניסוי גזירה בניסוי גזירה אנו מפעילים כוח נורמלי על שתי הגלילים קונצנטריים (Concentric) המכילים את מצע האבקה, בשלב זה ניתן לתאר את סכום הכוחות על אלמנט בודד כפי שתואר בניסוי החדרת טריז באיור.]30[ איור 32: סקיצה של תיאור ניסוי הגזירה בשלב השני של ניסוי הגזירה מופעל כוח צירי להפרדת הגלילים. כעת, ניתן לתאר את סכום הכוחות באלמנט בודד כמתואר באיור 33. ההבדל נעוץ בכך שבנקודת המגע הקרובה לנקודת מגע הכוח הצירי מתחלפים כוחות הלחיצה Fn2,Fs2 בכוח משיכה Fn2 כתוצאה מהדביקות בין החלקיקים. איור 32: )א( דיאגראמת גוף חופשי של חלקיק בודד, )ב( המרחק בין החלקיקים. θ+2α= θ α= מתקיים הקשר: 40

41 ומכאן המרחק בין חלקיקים 1 ו- 3: 2Rsin(θ) h d = θ sin( - ) 2 2 נשים לב שהביטוי שקיבלנו נכון עבור זוויות גדולות מ עבור זוויות קטנות יותר הביטוי נשאר. hd כאמור, במודל הדביקות לא מתקיימת דביקות עבור מרחק בין חלקיקים הגדול קבוע עם 2R מ- 1.1R לכן הזווית המקסימלית עבורה מתקיים כוח הדביקות הינה בניסוי הגזירה מופעלים כוחות נורמליים וכוחות ציריים על מצע האבקה. כל כוח ניתן לתיאור על ידי ההתקדמות של הפלטה או הגליל. כפי שניתן לראות באיור Hn 34 מתאר את העיבור כתוצאה מהפלטה בכיוון הנורמלי ו- מתאר את העיבור כתוצאה מתזוזת הגליל בכיוון הצירי. Hs איור 33 :חפיפה בין שתי חלקיקים כתוצאה מעיבור Hs ו- Hn בחלק השמאלי של איור 34 תיאור של זוג חלקיקים לפני הפעלת הכוח על החלקיקים והיווצרות העיבור. בחלקו הימני של האיור ניתן לראות את העיבור הנורמלי הנוצר )בצבע אדום( כתוצאה מהפעלת הכוח הנורמלי על ידי הפלטה. איור 34: דיאגרמת חפיפה בין חלקיקים באיור 35 ניתן לראות חפיפה בין זוג חלקיקים כתוצאה מעיבור נורמלי ומעיבור צירי באדום ובירוק בהתאמה. עוד ניתן לראות שהמרחק בין שתי הקווים המקבילים שנוצרים בין הקווים המחברים את 41

42 נקודת המפגש עם כל אחד ממרכזי החלקיק )בצבע כחול( מתאר את העיבור הצירי בין החלקיקים בעוד שהמרחק בין הקווים המקבילים שנוצרים מהמשיקים העוברים בנקודת המפגש של החלקיקים מתארים את העיבור הנורמלי של החלקיקים. ניתן לראות בחלקו השמאלי של האיור דוגמה למצב בו העיבור הנורמלי גדול לעומת העיבור הצירי ובחלקו הימני של האיור ניתן לראות מצב בו העיבור הצירי גדול מהעיבור הנורמלי. נציין שכיוון העיבור ביחס לקו המחבר בין מרכז החלקיק לנקודת המפגש משפיע. F s על כיוון הפעלת הכוח. כאמור, הכוח המתפתח בחלקיק כתוצאה מעיבור הוא =kshs איור 35: חפיפה בין חלקיקים מהתבוננות על נקודת המפגש בין זוג חלקיקים ניתן למצוא ביטוי לעיבורים ברמת החלקיק hn, hs המתפתחים בחלקיקים כתוצאה מעיבורי המאקרו Hs, Hn המתקבלים מתזוזת הפלטה בכיוון הנורמלי והגליל בכיוון הצירי. איור : 36 מבט מאקרו-מיקרו עבור החפיפה בין החלקיקים ומתקבל הקשר בין התזוזות ברמת החלקיק לבין אלו של הפלטה: H π π tan( -θ) 2 2 H π Hn π 2 π tan( -θ) sin( -θ) 2 2 n h n=( +H s)sin( -θ) n h s=( +H s)cos( -θ)- 42

43 כאמור, בניסוי הגזירה אנו מודדים את הכוחות המשיקיים במהלך תנועה יחסית בין הגלילים. לשם כך ננסח את משוואות שיווי המשקל עבור חלקיק הנמצא במישור הגזירה. ע"פ איור 33 נקבל: h 0 θ F n =Fn1 sin(θ) Fs1 cos(θ)+f n2sin( - ) 2 2 θ Fs(in) -F s(out) =Fn1cos(θ)+F S1sin(θ)+Fn2cos( - ) 2 2 אם נניח כעת שהמערכת במצב סטטי והמהירות היחסית בין החלקיקים זניחה. נקבל. F k= נכתוב שוב את משוואות שיווי המשקל לאחר הצבת n2 p ו- F=μ s1 shnk n +kshs, F n1=k nh n הביטויים ונקבל: Hn π F n1=k n ( +Hs)sin( -θ) π tan( -θ) 2 2 π Hn Hn π Hn F=μ s1 sknsin( -θ)( +Hs)+k s ( +Hs)cos( -θ)- 2 π π 2 π tan( -θ) tan( -θ) sin( -θ) θ F n2=k pcos( - ) 2 2 נחשב את משוואת הכוחות ונקבל: F (H,H,θ)=cos(θ)(k (H cos(θ)-h sin(θ)-μk (H cos(θ)+h sin(θ)))+ n n s s n s n s n θ +knsin(θ)(hscos(θ)+hnsin(θ))-k pcos( ) 2 F (H,H,θ)=k cos(θ)(h cos(θ)+h sin(θ))-sin(θ)(k (H cos(θ)- s s s n s n s n θ -Hssin(θ))-μk n (Hscos(θ)+Hnsin(θ))+k psin( ) 2 הכוחות Fn,Fs אם כן, מושפעים מהזווית בין שני החלקיקים לכן שוב )ראה סעיף קודם הנוגע לחישוב הכוחות עבור ניסוי החדרת טריז( ניתן לעשות שימוש בהתפלגות זווית המפגש בין חלקיקים בערימה π 7π 3 20 π 2π 3 3 לא סדורה כאשר תחום הזוויות האפשרי הינו הדביקות לכן. כאשר בתחום הזוויות של חל כוח 7π 2π 20 3 θ EF = F dθ + F k sin( ) dθ 0.026k 1.04H k 0.95 H k 2 s s s p π 7π 3 20 p s n n n 43

44 7π 2π 20 3 θ EF = F dθ + F k cos( ) dθ 0.05H k 0.732k 0.02 H k H k 2 n n n p π 7π כאמור נקודת החיתוך של קו הגזירה עם ציר n n p n n s n k n התוצאות לעיל מתקבלות לאחר הנחת שוויון = k s המאמצים המשיקים מציין את הדביקות. לכן, על מנת לחשב את פרמטר הדביקות כתלות בפרמטרים המכאניים נציב את Hn כאשר Fn=0 במשוואה המתארת את Fs ונקבל: )8( 0.95μk n(175.7k p 2.86μH sk n) C=0.26k p 1.04Hsk n k 5.26μk n n קיבלנו ביטוי לפרמטר הדביקות כאשר kn מציין את הקשיחות המשיקית והנורמלית kp הדביקות ו- Hs את התזוזה המשיקית של שני הגלילים. בכדי לנסח אנליטית את השיפוע של גרף השגיאה המעיד על פרמטר החיכוך של מצע האבקה נשתמש בכלל השרשרת: = H EF H EF μ(5.267μ 12.5) 2 EFs Hs EFs Hn 6.986(32.86μ μ 157.9) s n n n )9(.μ μ= (32.86μ μ 157.9) μ(5.267μ 12.5) לכן: ניתן לראות שהפרמטר אשר משפיע על שיפוע קו הגזירה הלינארי הינו האלגוריתם בתהליך האופטימיזציה נחפש סט פרמטרים אשר יתאר את תכונותיו של החומר במידה רבה ככל שניתן. כל קבוצה )אחת או יותר( סדורה של פרמטרים פיזיקליים יחוללו בסדרת ניסויי הסימולציה )החדרות טריזים וגזירה( גרפים, שאיפתנו לקרבם ככל הניתן לגרפים שהתקבלו בניסויים המעשיים. קבוצה סדורה כזו תקרא "גנום". 44

45 בשל זמני הריצה הארוכים עבור כל סימולציה )כ- 10 שעות( אנו נשלב חישוב מקבילי בתהליך האופטימיזציה ומיטוב של פרמטרים עבור ניסויי החדרות הטריזים. לאחר קבלת גנום מתאים אנו נבדוק את מידת התאמתו עבור ניסויי הגזירה ובכך נאמת את נכונותו של הגנום עבור אבקת הסודיום בורוהידריד. ה. רקע: אלגוריתם גנטי משמש למציאת פתרונות מיטביים לבעיות תוך שימוש בתהליכים אבולציונים )ברירה מלאכותית זיווג ומוטציה( אלגוריתם משתמש בעקרונות בסיסים של האבולוציה לפיה נתונה אוכלוסייה ראשונית של פריטים. הפריטים בעלי פונקציית הכשירות )Fitness( הטובה ביותר זוכים להזדווג וליצור את הדור הבא. בבסיסו של האלגוריתם הגנטי הטענה שיתכן שזיווג בין שני פריטים בעלי פונקציית כשירות בינונית תיצור פריט בעל פונקציית כשירות טובה. בדור החדש שנוצר שוב נבחרים רק הטובים ביותר בכדי לייצר את הדור הבא וכך התהליך ממשיך עד לקבלת פריט אשר עונה על דרישות האופטימיזציה. נעיר כי על ידי הגדרת כמות המוטציות האפשריות בתהליך הזיווג אנו מאפשרים מציאת מינימום גלובלי. כלומר, כאשר שני פריטים יוצרים פריט חדש הוא מכיל את תכונותיהם של הוריו אך כאשר ישנה אפשרות למוטציה לפריט החדש יכולה להיווסף תכונה חדשה שמקורה לא מהוריו. מקרה זה מאפשר מציאת פתרון מחוץ לתחום ההתכנסות. השימוש באלגוריתם: האוכלוסייה הראשונית תילקח כמורכבת ממספר גנומים כאשר כל גנום מורכב מחמישה גנים. ודביקות נורמלית -.kp חמשת הגנים הם: קבוע הקפיץ,)ks\kn( זווית החיכוך ערך כל גן נבחר רנדומאלית מתוך טווח ערכים אפשריים. ( μ ) קבוע הפחתת האנרגיה 6 6 בין קבוע הקפיץ נבחר עבור ערכים של טווח ערכים זה רחב מאוד ומכיל בתוכו מגוון חומרים דומים כגון עמילן ]28[. זווית החיכוך נלקחה עבור כל הערכים האפשריים עבורה מאפס עד 90 0 מעלות. את הפחתת האנרגיה והדביקות כאשר 1500 הוא גבול עליון בו חבילת החלקיקים מתנהגת כמקשה אחת. בשלב הראשון מחושבת פונקצית הכשירות עבור כל אחד מהגנומים. כאמור, עבור כל גנום יש לחשב שלושה ניסויים של החדרות טריזים עבור שלשת זוויות ראש שונות ועבור ו- 90 אוכלוסייה ראשונית המכילה 15 גנומים יש לחשב 45 סימולציות שונות. זמן ריצה ממוצע של סימולציה כאשר מספר החלקיקים הוא 5500 בעל מקדם אלסטיות n,s 6 k והטריז עובר מרחק של 3 ס"מ בתוך תיבה שגובהה 10 ס"מ הוא כ- 10 שעות אם נכפול זמן זה במספר הסימולציות שיש להריץ עבור האוכלוסייה הראשונית נקבל זמן ריצה של כשבועיים. בכדי לאפשר יישומיות של אלגוריתם זה יש צורך לעשות שימוש בעיבוד מקבילי. עיבוד מקבילי: בשלב יצירת האוכלוסייה הראשונית אשר במקרה זה מכילה 15 גנומים יש צורך לחשב 45 סימולציות. עבור מקרה זה שבו ישנם מספר רב של משימות בלתי תלויות מתאים לעשות שימוש בעיבוד מקבילי. בעזרת מחשב מרובה ליבות נצוות משימה לכל אחת מהליבות.)C.P.U( לכל ליבה 45

46 המבצעת משימה נכנה "פועל". כאשר כל הפועלים מסיימים את המטלות שהוקצו להם אוספים את התוצאות מכל הפועלים ומעבדים את הנתונים. עבור משימת עיבוד מקבילי יש צורך במחשב בעל מספר ליבות. אנו עשינו שימוש בשרת וירטואלי EC2 של חברת Amazone בן 16 ליבות לביצוע האלגוריתם הגנטי. באופן זה קוצר זמן הריצה של חישוב פונקצית הכשירות של האוכלוסייה הראשונית משבועיים ליממה אחת. נוסיף שפעולת העיבוד המקבילי נעשתה על ידי ספריית multiprocessing ב- Python פירוט של הקוד בהרחבה ניתן לראות בנספח א'. פסאודו קוד: בשלב הראשון נחשב פרמטרים מקורבים בעזרת אלגוריתם גנטי ובשלב השני נעזר בניסוח האנליטי )פרק 2.4.1( בכדי לטייב את התוצאות. בכדי לחסוך בזמני חישוב בשלב הראשון, אנו מוצאים את הפרמטרים המקורבים תוך שימוש באלגוריתם גנטי רק עבור ניסויי החדרת הטריז ללא ניסויי הגזירה. פסאודו קוד אלגוריתם גנטי יצירת אוכלוסיה ראשונית בת 15 גנומים. הגנים נבחרים אקראית מתוך טווח ערכים אפשרי. חישוב פונקצית הכשירות לכל פרט באוכלוסייה. פונקצית המשקל מחושבת באופן אוטומטי עבור החדרות הטריזים ובאופן ידני עבור ניסויי הגזירה. יצירת דור חדש המונה עשרה פריטים מחמשת ההורים המוצלחים מהדור הקודם. אחוז מסוים מהאוכלוסייה החדשה נוצר כמוטציה על דור הבנים. חזרה על השלבים 2 ו- 3 עד לקבלת מהפריטים. fitness מספק עבור אחד 46

47 א: א: תוצאות בשלב הראשון של האופטימיזציה בוצע האלגוריתם הגנטי עבור טווח ערכים רחב: טווח ערכים לגנום בשלב ראשון Normal/Shear Stiffness Friction Angle Dumping Normal Cohesion rad להלן מספר דוגמאות עבור גרפים שהתקבלו לאחר קירובם כפולינום מדרגה 5. 6 עבור סט הפרמטרים [ ],0.15,0.25, התקבלו התוצאות באיור 38 כאשר הקו הכחול מתאר את גרף כוח-שקיעה עבור הניסוי המעשי והקו האדום מתאר את תוצאות הסימולציה.. תוצאות החדרת טריז בעל 0. 0 ב. תוצאות החדרת טריז בעל ג. תוצאות החדרת טריז בעל איור 37 עבור 6,0.28,0.356,534] [ התקבלו. תוצאות החדרת טריז בעל 0. 0 ב. תוצאות החדרת טריז בעל ג. תוצאות החדרת טריז בעל איור 38 ועבור 6 401] [580 10,0.28,0.18, התקבלו

48 א:. תוצאות החדרת טריז בעל 0. 0 ב. תוצאות החדרת טריז בעל ג. תוצאות החדרת טריז בעל איור 39 לאחר הרצת שלושה דורות נבחרו הגנומים אשר קיבלו את תוצאות הכשירות הטובות ביותר. עבור גנומים אלו בוצעו ניסויי גזירה וחושבה התאמתם עבור גרפי הגזירה אשר התקבלו בניסויים המעשיים. כאמור, בוצעו שלוש סימולציות גזירה עבור עומסים נורמליים שונים ולאחר הצבת נקודות הגזירה 6 התקבל גרף לינארי. הגרף הלינארי עבור הגנום [0.28,0.356,534, ] הינו: y 0.472x 0.49 בעוד שהגרף הלינארי שהתקבל מתוצאות הניסויים המעשיים היינו:. y 0.125x 0.16 איור 40 :תוצאות סימולציית הגזירה עבור סט פרמטרים ניתן לראות שישנם פערים בפרמטר החיכוך כלומר, בשיפוע שבין שתי משוואות הישר. בנוסף, קיים פער בחיתוכם הדביקות את ציר המאמצים המשקיים. התבוננות במשוואה )9( kp מגלה שישנה השפעה של פרמטר על חציית הקו הלינארי בציר המאמצים הראשיים. בניסוי נוסף שנערך הוכפל פרמטר הדביקות של אותו סט פרמטרים ב [635 10,0.28,0.356,160] והתקבל התוצאות: 48

49 איור 41 : תוצאות סימולציית גזירה עבור פרמטרי דביקות נמוכים באיור 41 ניתן לראות ששיפוע הגרף נשמר ללא שינוי רב אך נקודת החיתוך עם ציר המאמצים הראשיים קטנה במידה רבה. 6 [635 10,0.14,0.356,534] בניסוי גזירה עבור נוסף הגנום המקורי הוקטן פרמטר החיכוך בחצי. התוצאות שהתקבלו מוצגות באיור 42. נבחין שגובה נקודת החיתוך קטנה במידה ניכרת ושיפוע הקו הלינארי גם הוא קטן בחצי. איור 42: תוצאות סימולציית גזירה כאשר פרמטר החיכוך מוכפל בחצי. 49

50 איור 43: ניסוי החדרת טריז בעל זווית ראש של 90 0 כאשר פרמטר החיכוך מוכפל בחצי באיור 43 ניתן לראות שינוי משמעותי בין סימולציית החדרת הטריז המקורית לזאת כאשר החיכוך מוכפל בחצי כלומר, ישנה השפעה ניכרת של פרמטר החיכוך על גרף כוח שקיעה של ניסוי החדרת הטריז. תוצאה זו מתיישבת עם משוואה 7. בשל העובדה ששינוי פרמטר מקרב את תוצאת ניסוי אחד אך במקביל מרחיק את תוצאת הניסוי השני יש לעשות שוב שימוש באלגוריתם גנטי הפעם טווח הערכים של הפרמטרים מצומצם יותר וקרוב לסט הפרמטרים שקיבלנו בהרצה הראשונה. טווח הערכים שעבורו בוצעה הסימולציה הינו: טווח ערכים לגנום בשלב השני Normal/Shear Stiffness Friction Angle Dumping Normal Cohesion rad כעת בחישובי פונקציית הכשירות נלקחו בחשבון גם חישובי שגיאה עבור גרפי הגזירה )באופן ידני(. הגנום שהתקבל עבור הרצה זו הוא : ] , , ,688[. באיור 45 ניתן לראות גרפי התאמה של ניסויי החדרת הטריז ובאיור 44 את הגרפים עבור ניסויי הגזירה. 50

51 איור 44 :השוואה בין תוצאות גרפי החדרת הטריז אדום-סימולציה כחול- ניסויים מעשיים 51

52 איור 45 :תוצאות ניסויי הגזירה עבור שלושה עומסים נורמליים שונים ולבסוף הגרף הימני תחתון השוואה בין תוצאות ומשוואת היישר שהתקבלה כעת היא הסימולציה לניסויים המעשיים. y x 0.2 כאשר C מתקבל עם שגיאה של כ- 10%.. והשיפוע עם שגיאה של כ 250%. כאמור, שיפוע הקו הלינארי מעיד על פרמטר החיכוך של האבקה. באיור 42 ניתן לראות הפחתה של שיפוע הקו הלינארי כתוצאה מהפחתה של פרמטר החיכוך angle(.)friction אולם, תוצאה זו גררה שינוי בניסוי החדרת הטריז גם כן )איור 43(. ממשוואה 7 k n μ s ניתן לראות שעל ידי שמירת היחס בין פרמטר החיכוך לפרמטר הקשיחות ניתן לשמור על הכוחות בניסוי החדרת הטריז. לפיכך נפחית את פרמטר החיכוך ב 8% ונעלה את הקשיחות ב 6% כך שהפרמטרים שמתקבלים הינם: ] ,0.2901, ,688[. באיור 46 ניתן לראות גרפי התאמה של ניסויי החדרת הטריז ובאיור 47 את הגרפים עבור ניסויי הגזירה. כאשר הקו הלינארי שהתקבל הינו: y x 0.27 כאשר C ושיפוע קו הגזירה מתקבלים בשגיאה של כ- 70%. זו התוצאה המיטבית אליה הגענו )ראה 2.4.4(. 52

53 איור : 46 השוואה בין תוצאות גרפי החדרת הטריז עבור הפחתת החיכוך והעלאת הקשיחות אדום-סימולציה כחול- ניסויים מעשיים 53

54 איור 47: תוצאות ניסויי הגזירה עבור עבור הפחתת החיכוך והעלאת הקשיחות מסקנות א. בפרק שלעיל דנו בניסוי מעשי באבקת סודיום בורוהידריד. הניסוי כלל שלושה ניסויי החדרת טריז ושלושה ניסויי גזירה. בנוסף תוכנן ניסוי הדמיתי דומה בתוכנת אלמנטים בדידים. בכדי למצוא את רשימת הקבועים הפיזיקאליים השולטים בהדמיה רתמנו אלגוריתם גנטי אשר ראשית התחקה אחר הפרמטרים השולטים בניסויי הטריז. בשלב השני האלגוריתם הגנטי התחקה אחר הפרמטרים בכל הניסויים. לבסוף, ערכנו מספר הדמיות בכיול ידני מושכל ע"פ הערכה אנליטית להתנהגויות. התוצאות מספקות, אם כי הגדלים נמצאו תואמים רק בסדר הגודל. הסיבות האפשריות לכך יכולות להיות ברמת סבירותן )מהסביר לפחות סביר( צורת החלקיקים: במאמר ]13[ דנים המחברים בהרחבה בהשפעת צורת החלקיקים )clumps( על החיכוך הגלובלי הנמדד עבור חול. החוקרים מצאו כי למרחק הלא ממדי d/r בין החלקיקים המוצמדים יש השפעה על החיכוך המחושב. השינוי על פי עבודה זו יכול להיות עד פי 2.3 מהערך האמתי. בעבודה שלנו כאמור, החלקיקים שלנו נבחרו כ Clumps אקראית מתוך [0.5,1]. d/r עם מרחק לא ממדי שנבחר ב. מגבלות המודל: רדיוס החלקיקים, בכדי להקל על זמני החישוב בסימולציה מניחים רדיוס חלקיקים גדול מהרדיוס המקורי של האבקה. שוני זה משפיע במידה מסוימת על תוצאות הסימולציה. 54

55 ג. מינימום לוקאלי: מרחב הפתרונות בו אנו דנים הוא 5 -ממדי, האלגוריתם הגנטי הורץ על פני 5 דורות וכל דור הכיל 15-5 פרטים. 55

56 3. מערכת מכאנית פרק זה דן בתכנון ויצור מערכת מכאנית להפקת מימן על ידי ריאקציה בין אבקת NaBH4 למים. בכדי לפתור את בעיית שינוע ואגירת המימן )ראה פרק 1.2(, הוצעה מערכת מכאנית אשר תפיק מימן מאבקה יציבה )ובטיחותית לשינוע( אשר מכילה אטומי מימן. חילוץ אטומי המימן מהאבקה מתבצע על ידי מפגש בין האבקה למים. הפקת המימן סמוך לזמן צריכתו בתא הדלק פותר גם כן את בעיית אגירת המימן. 3.1 תכנון קיימות מגוון דרכים שונות להפגיש בין מים לאבקה בכדי ליצור ריאקציה ולהפיק מימן. לכל דרך יתרונות וחסרונות. בחירת הדרך מושפעת בעיקר ממאפייני הגנרטור שרוצים לייצר. כלומר, בהתאם לכמות המימן והספיקה הדרושה. בין הדרכים השונות ניתן למנות: טפטוף מים לתוך מיכל אבקה: תהליך זה מקל על אפשרויות השינוע - נוח יותר להזרים ולשנע מים מאשר אבקה. אולם, כאשר טיפות המים באות במגע עם האבקה נוצר מעטה של חלקיקי אבקה סביב טיפת המים. מעטה זה מתגבש לחומר היוצר בידוד בין המים לשאר האבקה. כתוצאה מכך קיים מצב בו לא כל מולקולות המים באות במגע עם האבקה ונצילות הפקת המימן נגרעת. יתר על כן במחקרים ראשוניים נצפתה תגובה היוצאת מכלל שליטה כתוצאה מגלישת עודפי מים. הדרך להתגבר על בעיה זו היא לערבב את הטיפה העטופה באבקה ובכך לשבור את המעטה שנוצר ולשחרר את מולקולות המים האגורות במרכז. פתרון זה מכיל אלמנט מכאני אשר צורך אנרגיה ובכך פוגם בנצילות האנרגטית של הגנרטור. שחרור אבקה לתוך מים: כאשר משנעים את האבקה לתוך מיכל המים חלקיקי האבקה מתפזרים על פני המים ומתמוססים בהדרגה והופכים זמינים לתגובה. ניתן לשפר את תהליך הריאקציה על ידי הוספת אלמנט בחישה של המים. בדומה לפתרון לעיל אלמנט זה מוסיף צריכת אנרגיה למערכת אך צריכת אנרגיה זו נמוכה יותר. שכן, ערבוב אבקה צורכת אנרגיה גבוהה יותר לעומת ערבוב מים. חשוב לציין ששחרור המימן עצמו בתגובה עם מים המכילים חלקיקי זרז מסייע להשיג ערבול תמיסה באופן פסיבי. חסרונה המרכזי של שיטת הערבול המכאני של זו טמונה ביכולת שינוע האבקה. נזכור, שאבקות בעלי תכונות מכאניות שונות זורמות באופן שונה. במקרים קיצוניים בהם האבקה בעלת אחוזי לחות 56 איור 48: הצטברות נוזלים על אבקה איור 49: פיזור אבקה בתוך מים

57 גבוהים דביקות האבקה עולה וכתוצאה מכך זרימת האבקה נפגעת. פתרון שינוע האבקה אל מיכל המים צריך לכלול אטימה של מעבר לחות ממיכל המים חזרה את מיכל האבקה שכן אלו יכולים ליצור ריאקציה ספונטנית במיכל האבקה לתנועת המוצקים בדרכם למים ובעיקר לגרום ליצירת גושים גדולים של שגישה חדשנית זו של הוספת מצוקים למים מציעה יתרונות נוספים: חלקיקים המפרעים ניצול טוב יותר של כמות המים הקיימת והשגת צפיפות משקלית גבוהה של מימן )מעל.)5%wt פיזור החום הרב המשתחרר בתגובה בנוזל. שימירה על ראקטיביות המגיבים הנפרדים זה מזה, ובכך מתאפשר שימוש לאורך זמן ארוך של החומרים. שחרור אבקה בצורת קפסולה לתוך מיכל מים: ביכולת השינוע של האבקה. אך האבקה אל מיכל למים קטן יותר האבקה ובהעקבותיה על בכדי בשונה המבנה של קפסולה )אבקה דחוסה( מספק יתרון מפתרון שחרור המים שטח הפנים בין חלקיקי האבקה אשר משפיע על קצב קצב ההתמוססות של הריאקציה לשחרור מימן. לחשוף את חלקיקי האבקה הממוקמים בליבת הקפסולה אל המים בצורה מהירה יותר ניתן ליצור ערבוב במיכל המים. שוב, פתרון זה מצריך אנרגיה נוספת המושקעת במערכת אולם נמוכה יותר מערבוב אבקה. איור 50: התמוססות קפסולות בתוך מים בתהליך תכנון הגנרטור קיים צורך לעמוד אם כן, על מספר דגשים: )1( על המערכת ליצור מימן רק לפי דרישה. כלומר, למנוע תופעות של הפקת מימן ספונטניות ככל שניתן. לדוגמה, כאשר אין הפרדה מספקת בין מיכל המים למיכל האבקה מים או אדי מים יכולים לבוא במגע עם האבקה תיווצר ריאקציה ויפלט מימן. פליטת מימן ספונטנית משנה את הלחצים בגנרטור ומורידה את הנצילות האנרגטית של המערכת. )2( בכדי לקבל נצילות גבוהה של פליטת מימן בתהליך הריאקציה המערכת צריכה להיות בעלת יכולת לעמוד בטמפרטורות גבוהות עד כ צלזיוס ובלחצים של עד.]bar[ 2-3 כיוון שקיים החשש שהלחץ במערכת יגבר והטמפרטורות יעלו מן המותר קיים צורך במנגנוני בטיחות. )3( על משקל המערכת להיות נמוך ככל הניתן )צפיפות האנרגיה עומדת ביחס הפוך למשקל(. )4( גנרטור להפקת מימן הינו מכשיר שתפקידו להפיק אנרגיה לכן ישנה חשיבות רבה שצריכת האנרגיה בכדי להפיק מימן תהיה קטנה ככל שניתן על מנת לקבל יעילות אנרגטית גבוהה. 3.2 המערכת המוצעת מבין אפשרויות יצירת הריאקציה בין האבקה למים נבחר פתרון שינוע האבקה אל מיכל המים שמאפשר ספיקות מימן גבוהות. כאמור, מפגש של אבקה לא דחוסה במאגר מים יוצרת שטח מגע גדול בין חלקיקי האבקה למים, מאיץ את פעולת ההתמוססות ואת תגובת שחרור המימן שבאה בעקבותיה. באיור 51 תמונה של הגנרטור שנבנה עבור הפקת מימן. נבחין בשני חללים - העליון מכיל אבקה והתחתון מים. שני המכלים מופרדים על ידי מערכת מכאנית אשר תתואר בפירוט בהמשך ותפקידה לשנע את האבקה אל תוך מיכל המים. יש לציין שלכל אורך תהליך שינוע האבקה צריכה להתקיים אטימה מלאה 57

58 למעבר אדים בין המכלים. גוף המערכת עשוי מזכוכית פיירקס )זכוכית בורוסיליקט( אשר עמידה בפני טמפרטורות גבוהות. איור 51: מבט כולל של הגנרטור להפקת מימן. גוף המערכת נבחר להיות שקוף בשלב הפיתוח בכדי לאפשר הצצה על אופן זרימת האבקה ועל תהליך הריאקציה במיכל התחתון. נשים לב שזכוכית מסוג זה מגדילה את משקל המערכת משמעותית ולכן מפחיתה את צפיפות האנרגיה של המערכת. בתום שלב הפיתוח יוחלף גוף המערכת בחומר קל יותר ואמיד היפוציקלואיד בכדי לאפשר שינוע ואטימה כמתואר נשתמש בשילוב תכונות עקומות ההיפוציקלואיד והאפיטרוקואיד. היפוציקלואיד הינו קו גאומטרי אשר נוצר במעקב אחר נקודה קבועה במעגל קטן אשר מתגלגל )ללא החלקה( על היקף ובתוך מעגל גדול ממנו ראה )איור 52( ה. אפיטרוקואיד היא צורה גאומטרית הנוצרת על ידי נקודה על גבי מעגל הסובב )ללא החלקה( סביב מעגל אחר ומחוצה לו. באיור 53 ניתן לראות צורות המתקבלות כאשר אורך היקף המעגל הגדול שווה למספר אורכים שלם של היקף המעגל הקטן. 58

59 איור 52: מעגל בעל רדיוס 1 מסתובב לאורך היקפו של מעגל בעל רדיוס 3 כאשר נקודה קבועה על המעגל הקטן מסמנת מסלול היפוציקלואידי. העקומה בה נשתמש היא עקומה מותלאת שגבולה הוא בנקודת המפגש עם המעגל סביבו מתגלגלים ההיפוציקלואיד )באיור 53( והאפיטרוקואיד. באופן זה מתקבלת עקומה גזירה. כאשר נמקם שתי צורות זהות במרחק של שני רדיוסים )רדיוס המעגל הגדול( זו מזו. כאשר מסובבים שתי צורות אלו במהירות קבועה ובכיוונים הפוכים מקבלת נקודת מגע תמידית בין הצורות. תכונה זאת מאפשרת שימוש של שינוע חומרים כאשר רוצים לשמור על איטום. היפוציקלואידי" נכנה את הגלגל שנוצר "גלגל איור : 53 צורות היפוציקלואיד המתקבלות כאשר היקף המעגל הגדול גדול פי 6, 4, ו- 8 משמאל לימין בהתאמה. קיימות משאבות רבות שעושות שימוש בקווי ההיפוציקלואיד לשנע נוזלים. תנועת הנוזלים מתקבלת כאשר הגלגל הימני נע עם כיוון השעון בעוד שהגלגל השמאלי נע באותה מהירות אך נגד כיוון השעון. בהנחה וישנה חלל אשר תוחם את שני גלגלי ההיפוציקלואיד )ראה איור 50( נוזל מצטבר בחללים 59

60 הנוצרים בין קווי ההיפוציקלואיד לחלל החיצוני ומועברים לחלל התחתון אך עבור נוזל הממשיך את תנועתו ייעצר בנקודת מפגש בין שני הגלגלים ויפונה מטה. איור 54: סימולציה של תנועת אבקה בתוך גלגלי היפוציקלואיד ומימין מערכת מכאנית במערכת זו נעשה שימוש בשני גלגלי היפוציקלואיד אשר רדיוס המעגל החיצוני גדול פי 6 מרדיוס המעגל הפנימי. ניתן לראות שככל שרדיוס המעגל הפנימי קטן ביחס למעגל החיצוני נוצרים מספר גדול יותר של חללים בין גלגלי ההיוציקלואיד למעטפת האליפסה אך נפחם קטן יותר, ככל שמספר החללים גדל קיימות יותר נקודות מגע בינם לבין מסגרת האליפסה. נתון זה משפר את האיטום של המערכת אך מנגד נפחים קטנים יכולים להוות מכשול ביכולת העברת אבקה שהתגבשה. 3.3 בקרה המערכת המכאנית מונעת בעזרת מנוע אשר נדפן בחלקו העליון של הגנרטור. התנועה הסיבובית של המנוע מעובר דרך מוט הינע אל תוך המערכת המכאנית במרכז הגנרטור. בעזרת מערכת גלגלי שיניים עם יחס תמסורת 1:10 מוט ההינע מניע את גלגלי ההיפוציקלואיד סימולטנית ובכיוונים מנוגדים. מוט ההינע עובר דרך דפנות הגנרטור ממוסב למסבים אטומים bearing( )Sealed וכמו כן נעשה שימוש באטמי גומי )O-ring) בכדי ליצור אטימה של המערכת. בכדי לבקר על המערכת המכאנית נעשה שימוש בבקר Arduino Uno ודרייבר למנוע DC אשר מניע את מערכת גלגלי ההיפוציקלואיד. כאשר המנוע מסתובב מועברת אבקה מהמיכל העליון אל מיכל המים בחלקו התחתון של הגנרטור. לאחר תגובת האבקה עם המים נפלט מימן ונאגר בתוך הגנרטור. כאשרהלחץ בגנרטור מגיע לערך רצוי )תלוי אפליקציה( מעובר המימן דרך ברז חשמלי אל תא הדלק. בכדי לשמור על חיי תא הדלק ולהפיק נצילות אנרגטית גבוהה יש צורך ליצור ספיקת מימן אחידה. בשל כך ישנה חשיבות לבצע בקרה על הברז החשמלי ספיקת מימן אחידה. ולהבטיח איור 55: תמסורת גלגלי שיניים של הגנרטור 60

61 בביליוגרפיה [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] Larminie, James, Andrew Dicks, and Maurice S. McDonald. Fuel cell systems explained. Vol. 2. New York: Wiley, McLean, G. F., et al. "An assessment of alkaline fuel cell technology."international Journal of Hydrogen Energy 27.5 (2002): Bagotsky, Vladimir S. "Phosphoric Acid Fuel Cells." Fuel Cells: Problems and Solutions, Second Edition (2012): Ormerod, R. Mark. "Solid oxide fuel cells." Chemical Society Reviews 32.1 (2003): Barbir, Frano. PEM fuel cells. Springer London, Shapiro, Daniel, et al. "Solar-powered regenerative PEM electrolyzer/fuel cell system." Solar Energy 79.5 (2005): Cha, Suk-Won, Whitney Colella, and Fritz B. Prinz. Fuel cell fundamentals. New York: John Wiley & Sons, E.-D. Wang, P.-F. Shi, C.-Y. Du, and X.-R. Wang, "A mini-type hydrogen generator from aluminum for proton exchange membrane fuel cells," Journal of Power Sources, vol. 181, pp , 6/15/ S. Moghaddam, E. Pengwang, R. I. Masel, and M. A.Shannon, "A self-regulating hydrogen generator for micro fuel cells," Journal of Power Sources, vol. 185, pp , 10/15/ Y. Kojima, K.-i. Suzuki, K. Fukumoto, M. Sasaki, T. Yamamoto, Y. Kawai, et al., "Hydrogen generation using sodium borohydride solution and metal catalyst coated on metal oxide," International Journal of Hydrogen Energy, vol. 27, pp , 10// R. Aiello, J. H. Sharp, and M. A. Matthews, "Production of hydrogen from chemical hydrides via hydrolysis with steam," International Journal of Hydrogen Energy, vol. 24, pp , 12// Cundall, Peter A., and Otto DL Strack. "A discrete numerical model for granular assemblies." Geotechnique 29.1 (1979): Asaf, Z., D. Rubinstein, and I. Shmulevich. "Evaluation of link-track performances using DEM." Journal of Terramechanics 43.2 (2006): Cleary, Paul W., and Mark L. Sawley. "DEM modelling of industrial granular flows: 3D case studies and the effect of particle shape on hopper discharge."applied Mathematical Modelling 26.2 (2002): Price, Mathew, Vasile Murariu, and Garry Morrison. "Sphere clump generation and trajectory comparison for real particles." Proceedings of Discrete Element Modelling 2007 (2007). Garcia-Rojo, R., S. McNamara, and H. J. Herrmann. "Influence of contact modelling on the macroscopic plastic response of granular soils under cyclic loading." Mathematical Models of Granular Matter. Springer Berlin Heidelberg, N. F. A. Bakar, R. Anzai, and M. Horio, "Direct measurement of particle particle interaction using micro particle interaction analyzer (MPIA)," Advanced Powder Technology, vol. 20, pp , 9// 2009 Asaf, Z., D. Rubinstein, and I. Shmulevich. "Determination of discrete element model parameters required for soil tillage." Soil and Tillage Research 92.1 (2007):

62 [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] Wojewoda, Jerzy, et al. "Hysteretic effects of dry friction: modelling and experimental studies." Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences (2008): Pournin, Lionel, Thomas M. Liebling, and Alain Mocellin. "Molecular-dynamics force models for better control of energy dissipation in numerical simulations of dense granular media." PHYSICAL REVIEW-SERIES E- 65.1; PART 1 (2002): Margenau, H. "Van der Waals forces." Reviews of Modern Physics 11.1 (1939): 1. Chareyre, B., L. Scholtès, and F. Darve. "Micro-statics and micro-kinematics of capillary phenomena in dense granular materials." Powders and Grains 2009 (Golden, USA) (2009). Baxter, J., et al. "A DEM simulation and experimental strategy for solving fine powder flow problems." Chemical Engineering Research and Design 78.7 (2000): Mitarai, Namiko, and Franco Nori. "Wet granular materials." Advances in Physics (2006): Johnson, C. E., et al. "Shear measurement for agricultural soils--a review."trans. ASAE 30.4 (1987): Mohamed, A. M. O. "Determination of in situ parameters of sandy soils for off-road vehicle mobility." Journal of Terramechanics 40.2 (2003): Tulluri, Sai S. Analysis of Random Packing of Uniform Spheres Using the Monte Carlo Simulation Method. Diss. New Jersey Institute of Technology, Department of Mechanical [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] Engineering, Bonacucina, Giulia, et al. "Mechanical characterization of pharmaceutical solids: A comparison between rheological tests performed under static and dynamic porosity conditions." European journal of pharmaceutics and biopharmaceutics 67.1 (2007): Mani, Roman, Dirk Kadau, and Hans J. Herrmann. "Liquid migration in sheared unsaturated granular media." Granular Matter 15.4 (2013): Gladkyy, Anton, and Rüdiger Schwarze. "Comparison of different capillary bridge models for application in the discrete element method." Granular Matter16.6 (2014): S.C. Amendola, S.L. Sharp-Goldman, M.S. Janjua, N.C. Spencer, M.T. Kelly, P.J. Petillo, M. Binder, Int. J. Hydrogen Energy 25 (2000) S.C. Amendola, S.L. Sharp-Goldman, M.S. Janjua, M.T. Kelly, P.J. Petillo, M. Binder, J. Power Sources 85 (2000) H. Dong, H. Yang, X. Ai, C. Cha, Int. J. Hydrogen Energy 28 (2003) Y. Kojima, K. Suzuki, K. Fukumoto, M. Sasaki, T. Yamamoto, Y. Kawai, H. Hayashi, Int. J. Hydrogen Energy 27 (2002) Y. Kojima, Y. Kawai, H. Nakanishi, S. Matsumoto, J. Power Sources 135 (2004) Šmilauer, Václav, and Bruno Chareyre. "Yade dem formulation." Yade Documentation (2010). 62

63 נספח א' אלגוריתם גנטי בנספח זה אנו נסביר ביתר פירוט אודות האלגוריתם שפותח בכדי למצוא את הפרמטרים המכאניים של אבקת הסודיום בורו-הידריד. ראשית נתאר את סביבת העבודה והדרישות על מנת להריץ את האלגוריתם. התוכנה שבה נבצע את סימולציית האלמנטים הבדידים הינה Yade DEM תוכנה זו היא תוכנת קוד פתוח source) (open אשר סביבת העבודה המומלצת עבורה היא Linux כתיבת תוכניות הסימולציה עבור Yade DEM נכתבת בשפת תכנות.Python בכדי ליצור התאמה טובה תהליך האופטימיזציה נכתב אף הוא ב-.Python אלגוריתם האופטימזציה עושה שימוש בספריות הבאות: -Pygene זוהי ספריה אשר מכילה פונקציות לביצוע אלגוריתם גנטי..Python ספריה אשר מבצעת חישובים מתמטיים עבור שפת תכנות -NumPy -Os ספרייה זו מאפשרת גישה לתכנים במערכת ההפעלה כגון מידע וניתוב אל קבצים. -Subprocess ספרייה זו מאפשרת ליצור תת משימה בטרמינל חדש. -Multiprocessing בעזרת ספרייה זו ניתן ליישם עיבוד מקבילי -Time ספרייה זו מאפשרת הצגה ומדידת זמנים. debug ספרייה המאפשרת פעולות בדיקה של הקוד -Pdb אלגוריתם גנטי הקוד הראשי של תהליך האופטימיזציה הוא genetic_algorithm.py אשר מכיל בתוכו גם את החישובים עבור האלגוריתם הגנטי וגם את העיבוד המקבילי בו אנו מבצעים סימולציות דיסקרטיות שונות. בתהליך הראשוני של הקוד אנו מייצרים אוכלוסייה ראשונית ושומרים אותה כמשתנה.ph ph = StringHackerPopulation() StringHackerPopulation הינו משתנה מסוג class אשר ניתן להגדיר בתוכו את סוג האוכלוסייה, מספר הפריטים, כמות המוטציות האפשריות ועוד. האוכלוסייה הוגדרה מסוג StringHacker שזוהו שוב משתנה מסוג class אשר מגדיר את הגנים המוכלים בתוך הגנום. במקרה שלנו הגדרנו את האוכלוסייה כסט פרמטרים אשר עבור כל פרמטר ישנו טווח של ערכים אפשריים. לדוגמה: class HackerGene1(IntGene): # young mutprob = 0.1 randmin = randmax = mutamt=randmin/2 כאשר מגדירים הסתברות למוטציה טווח ערכים אפשרי לגן וגודל אפשרי למוטציה. Ph.best() לאחר יצירת האוכלוסייה הראשונית מבוצעת לולאה אינסופית. הפעולה הראשונה בתוך הלולאה הינה: 63

64 אשר תפקידו מציאת הגינום הכי מוצלח. בתוך ph class ישנה פונקציה best אשר ממינת את הגנומים לפי סדר יורד כאשר הראשון הוא הגנום בעל הפיטנס הנמוך ביותר כלומר הטוב ביותר והאחרון בעל הפיטנס הפחות טוב. בתהליך המיון הפונקציה מחשבת עבור כל גנום את הפיטנס שלו מספר פעמים בכדי ליצור מערך גנומים ממוין. תהליך חישוב הפיטנס של כל גנום כרוך בהרצת שלוש סימולציות שונות בתוכנת Yade עבור שלושת סוגי הטריזים. בתהליך המיון הפונקציה עוברת על רשימת הגנומים ומבצעת השוואה מי יותר גדול. אם הגן הראשון גדול מהבא אחריו אז ממשיכים לבדוק את הזוג הבא. אם השני גדול מהראשון אז מבצעים החלפה במקומות ואז עוברים לבדוק את הזוג הבא. יתכן והאלגוריתם sort יחשב שגיאה עבור מספר גנומים מספר פעמים עד לקבלת סט גנומים ממוין לפי ערכי הפיטנס שלהם. )בכל פעם שמבוצעת השוואה בין זוג גנומים מחושב הפיטנס של הגנום(. במקרה שלנו חישוב הפיטנס של הגנום הינה מטלה הצורכת זמן רב לכן יש לבצע מנגנון אשר יבטיח שלא יחושב פיטנס של גנום יותר מפעם אחת. לכן, לפני תהליך המיון של כל הגנומים אנו מבצעים חישוב פיטנסים עבור כל הגנומים באוכלוסייה בעזרת עיבוד מקבילי וכותבים את תוצאות הגנומים עם הפיטנסים המתאימים להם בקובץ טקסט.parameters_fitness.txt כך שבפעולת המיון לפני כל חישוב פיטנס של גנום כל שהוא יתבצע תנאי שבו אנו מחפשים את הגנום בתוך קובץ הטקסט parameters_fitness.txt ואם הוא קיים אז מושכים משם את ערך הפיטנס המתאים לו מקובץ הטקסט ובכך חוסכים זמן חישוב יקר. עיבוד מקבילי כאשר אנו רוצים למיין את הגנומים לפי הפיטנסים של כל אחד אנו מחשבים תחילה את כל הפיטנסים של האוכלוסייה. פעולה זו מתבצעת תחילה על ידי כתיבה של כל הגנומים לקובץ טקסט הנקרא all_genes בעזרת פונקציה הנקראת write_to_all_genes בתחילת הפונקציה fitness אשר תפקידה לחשב פיטנס של גנום יחיד ישנו תנאי הבודק האם ישנם ערכים בתוך קובץ הטקסט write_to_all_genes ואם ישנם אז מופעלת הפונקציה.parallel_calculation פונקציה זו קוראת ומוחקת את הפרמטרים מ- all_genes וכותבת אותם בקובץ טקסט חדש) num_of_parallel ( עם הוספת בסוף כל פרמטר )כלומר כל פרמטר הופך לשלושה פרמטרים אשר בסופו 30 או 90 או ) 0 בהמשך הפונקציה parallel calculation ישנה לולאה אשר רץ כמספר ה- cpu )מעבדים( הנגישים לעיבוד מקבילי ומייצר מספר "פועלים" אשר כל אחד מהם מריץ את הפונקציה.simulation run יוצרת subprocess המריץ את הסקריפט cpu_run.py בסקריפט זה הפונקציה simulation run ישנו לולאה אשר מתקיימת כל עוד ישנם פרמטרים לחישוב בתוך קובץ הטקסט.num of parallel בתחילת הלולאה ישנה קריאה של שורה בתוך קובץ הטקסט num of parallel ומחיקתה. שורה זו מכילה גנום )סט פרמטרים( ובסופו את זווית הטריז שיש לחשב. לאחר מכן יוצרת subprocces נוסף בו אנו מריצים את תוכנת האלמנטים דיסקרטים yade עבור סט פרמטרים וטריז מסויים. בסוף כל סימולצית אלמנטים בדידים מחושב פולינום מקורב בעזרת הפונקציה polyfit ונכתב לקובץ טקסט.polynom.txt בסיום כל ההרצות המקבילות ממשיכה פונקציית הפיטנס לחישוב השגיאה. 64

65 חישוב שגיאה לאחר שנוצר הקובץ polynom.txt ניתן לחשב את השגיאה של הפולינומים שנוצרו לכל סימולציה. שגיאה זו בוצעה על ידי חיסור של השטחים הכלואים עבור הגרף של הסימולציה וגרף הניסוי המעשי ואת התוצאה חלקי השטח הכלוא הגדול ביותר בכדי לקבל שגיאה מנורמלת. לאחר מציאת הגנום בעל הפיטנס הטוב ביותר אנו מייצרים דור חדש בעזרת זיווג בין הגנומים הטובים בכל דור וחזרים על התהליך שוב עד לקבלת תוצאות מספקות. Yade simulation הרצתה של סימולציית yade מבוצע באלגוריתם הגנטי על ידי הרצת subprocess אשר כותב בטרמינל Yade instron.py כלומר, הרצת הסקריפט instron.py בסביבת תוכנה.yade בכדי ליצור מצב בו בסוף הסימולציה ה- subprocess נסגר ונותן ללולאה של cpu_run להמשיך לרוץ אנו מוסיפים x לשורת הפקודה:.yade x instron.py הוספת ה- x- מציין סגירת הסימולציה לאחר הרצת הסקריפט. גדלים בסימולציה בכדי ליצור סימולציה אשר תתאר את הניסויים המעשיים שבוצעו קיים צורך בבניית המידות הגיאומטריות של הכלים בהם נעשה השימוש בסימולציה המעשית. על ידי שימוש בפונקציית ymport.gmsh ניתן לייבא קבצי mesh אשר מכילים צורות גאומטריות המורכבות מחיבור של משולשים. ניתן לראות דוגמה באיור] 56 [ את המשטח המרובע המיובא על ידי קובץ.mesh איור 56 :כדור מונח על תיבה בסימולציית Yade Dem 65

66 הגדלים הגיאומטריים של הרכיבים המשתתפים בניסוי הועתקו לסימולציה כאשר כל יחידת מידה בסימולציה שווה ל-. 1m כלומר, כאשר מתואר כדור בעל רדיוס של בסימולציה הוא מתאר כדור בעל רדיוס של 5mm בניסוי המעשי. על מנת לבצע בדיקה פשוטה עבור היחידות המתקבלות בסימולציה בוצעה סימולציה פשוטה ובה כדור מונח על תיבה. הערכים המשתתפים בסימולציה הם: כאשר,, 1074 kg [ ] 3 m, g 9.81 r [ m] כאשר מודדים את הכוחות המתפתחים על הדופן העליונה של התיבה מתקבל מחישוב תיאורטי של הכוח המתפתח על התיבה מתקבלת תוצאה דומה F mg r g [ N ] טעינת חבילות בתהליך הניסוי המעשי מולאה תיבה באבקת בודיום בורו הידריד על ידי שפיכה של האבקה אל תוך תיבת הבדיקה. בדומה לניסויים המעשיים קיים צורך לבצע שפיכה של חלקיקים לתוך תיבת הבדיקה בסימולציה על מנת שיתקבל סידור רנדומלי של חלקיקים בתוך חלל התיבה. אומנם סידור רנדומלי זה מכיל מספר רב של פעולות חישוב אשר מגדילים משמעותי את זמני הריצה של הסימולציה. בכדי להתגבר על בעיה זו ניתן ליצור חבילה בעלת סט פרמטרים ממוצע לשמור אותה ולאחר מכן לטעון את אותה חבילה עבור כל הניסויים ולחסוך את זמני סידור החבילה עבור כל סימולציה. יש לציין שכאשר אנו טוענים חבילת חלקיקים סדורים ומעניקים לה תכונות מכאניות שונות חשוב לבדוק שלא קיים הפרש גדול בין המודול יאנג של החבילות. שכן, מודול יאנג )קשיחות( נמוך יוצר חפיפה גדולה יותר בין החלקיקים במצב שיווי משקל וכאשר אנו מעניקים לחומר מודול יאנג גבוהה וטוענים חבילה בעלת חפיפה גבוהה מאזן הכוחות יוצא משיווי משקל ומתחילה תנועת "התנפחות" של החבילה. במקרים כאשר הפרשי מודול יאנג גבוהים מתקבלת בחבילה פיצוץ אשר גוררת זמני חישוב גבוהים. בכדי לפתור בעיה זו ניתן לשמור מספר חבילות בעלי מודול יאנג שונים ובתחילת סימולציית טריז או גזירה לטעון את החבילה עם המודול יאנג הכי קרוב למודל יאנג הקיים בסט הפרמטרים עבור הסימולציה. לאחר טעינת החבילות ישנו צורך בטעינת הצורות הגיאומטריות עבור הניסוי. יבוא צורות גיאומטריות בניסוי החדרת הטריז אנו טוענים טריז מתאים לסימולציה ואת התיבה ובניסוי הגזירה יש לטעון גליל עליון גליל תחתון ופלטה עגולה אשר יוצרת מאמצים נורמליים. טעינת הצורות הגיאומטריות מבוצעת על ידי פונקציית ymport.gmsh אשר מייבאת קבצי.mesh בכדי ליצור קבצי mesh המכילים צורות מורכבות ניתן לעשות שימוש בתוכנות יעודיות. עבור צורות פשוטות כגון משולשים וריבועים ניתן ליצור קובץ טקסט ולהזין את הכותרות Dimention, Vertices, Triangles כמוראה באיור] 57 [. תחת הכותרת Dimension יש לכתוב את מספר המימדים של הצורה אותה אנו בונים. תחת הכותרת Vertices יש לכתוב את מספר הקואורדינטות הקיימות בצורה ואחר מכן את ערכי הקואורדינטות )x,y,z( ולאחר כל קואורדינטה יש להוסיף את הסיפרה 0. תחת הכותרת Triangles יש לכתוב את מספר המשולשים המרכיבים את הצורה ולאחר מכן יש לכתוב את המשולשים. יש לציין שהצורה 66

67 חייבת להיות מורכבת אך ורק ממשולשים. יצירת המשולשים מתבצע על ידי כתיבת הקואורדינטות לפי סדר עם כיוון השעון ולאחר מכן את הספרה שלוש. לדוגמה: המשולש הראשון הינו משולש אשר שלושת קודקודיו עוברים דרך קואורדינטה 2 קואורדינטה 3 וקואורדינטה 4. )מספור הקואורדינטות הינו לפי סדר כתיבתם תחת כותרת )Vertices. ולבסוף יש לשמור את קובץ הטקסט עם סיומת.mesh בכדי לעשות בו שימוש. איור 57 : דוגמה לקובץ mesh בצורת תיבה. 67

68 נספח ב' בקרת המערכת המכנית ברזי ספיקה קיימים ברזים מסחריים ייעודיים אשר שולטים בספיקה של נוזלים וגזים כגון ברז מחט חשמלי של חברת Clippard אשר נשלט על ידי מנוע צעד ומאפשר רזולוציה גבוהה ושליטה באמצעות בקר ודרייבר על ספיקת המימן. דרך נוספת לבקר על ספיקת המימן היא באמצעות ברז סלונואידי איור 58 אשר נמצא במצב מתמיד סגור או פתוח close/open(.)normally כאשר עובר זרם חשמלי בסליל הברז משנה את מצבו. השימוש בברז סלנואידי נעשה באופן דיסקרטי. כלומר, המצבים המקוריים של הברז הינם פתוח או סגור ולא ניתן לשלוט על גודל הפתיחה או גודל הסגירה כפי שניתן בברז מחט. על מנת ליצור שליטה רציפה בכמות ספיקת המימן בעזרת ברז סלנואידי אנו נשנה את מצביו )Open/Close( בעזרת אות PWM אשר מופק מבקר ה- Arduino. אות PWM הינו גל ריבועי בעל duty-cycle משתנה )ראה איור 59(. כלומר, בהנחה שעבור הגל PWM המופק במצב high הברז פתוח וכשהגל במצב low הברז סגור איור 58: ברז חשמלי של חברת Clippard עבור duty-cycle של 50% הברז יספק 50% ספיקה מתוך הספיקה המקסימלית עבור duty-cycle של 20% נקבל 20% ספיקה וכך הלאה. חשוב לציין שתדירות ה- PWM צריכה להיות כ Hz בכדי שספיקת המימן תהיה אחידה ולא יורגשו המיתוגים של הברז. תהליך זה של שימוש PWM בברז סלנואידי פותח ונוסה בהצלחה במערכת הגנרטור מימן אך הוחלט שלא לעשות בו שימוש עקב צריכת אנרגיה גבוהה של הברז הסלונואידי ומשקלו. בכדי לפתור את בעיית המשקל וצריכת האנרגיה עבור ברז חשמלי עם בקרת ספיקה פותחה מערכת המשלבת מנוע סרוו. מנוע סרוו הינו מנוע dc המשלב בתוכו בקרת חוג סגור על זווית הרוטור באמצעות פוטנציומטר. מנוע הסרוו שנעשה בו שימוש בעל מפתח זווית ראש של משקלו 9 גרם ובעל רזולוציה של מעלה אחת. על ידי חיבור צינורית היציאה בשתי נקודות עגינה האחת בגוף המנוע והשנייה ברוטור ניתן ליצור זווית בצינורית יציאה ולכופף אותה. כיפוף הצינורית יוצר מעבר צר במישור הכיפוף ובכך מקשה על יכולת זרימת המימן. מצבי הקיצון של המנוע יוצרים כיפוף של אשר חוסם כליל את זרימת המימן וכאשר המנוע פתוח כלומר 0 0 צינורית היציאה ישרה ומתאפשר מעבר חופשי של זרימת מימן. 68

69 איור 59: משמאל שרטוט של ברז סלונואידי ומימין גלי PWM בעלי Duty Cycle שונים. איור 60: אילוסטרציה של ברז סרוו מימין פתוח ומשמאל סגור חיישני לחץ וספיקה בכדי להפיק ספיקת מימן רציפה ובכדי להבטיח שלחצי הגנרטור אינם עולים מעל הלחצים המותרים יש לעשות שימוש בחיישני לחץ וספיקה. מערכת הבקרה של הגנרטור להפקת מימן נשלטת על ידי בקר מסוג Arduino לכן יש צורך לעשות שימוש בחיישנים אלקטרונים אשר מתממשקים עם בקר זה. אנו עושים שימוש בחיישן לחץ Motorola mpx )ראה איור 61(. בקרת לחץ כאשר רוצים למדוד לחץ בתוך הגנרטור מחברים כניסה אחת של החיישן בעזרת צינורית סיליקון אל לפתח יצאת גזים שבגנרטור. את הכניסה השנייה של החיישן משאירים פתוח לאוויר בכדי שיחוש את הלחץ האטמוספרי. בתוך החיישן ישנה ממברנה כאשר קיים הפרש לחצים בין שתי הכניסות של החיישן נוצר עיבור בממברנה. לפי גודל העיבור של הממברנה החיישן מוציא אות אנלוגי 0-5v. כאשר 0v מעיד על לחץ אטמוספרי ו- 5v על הלחץ המקסימלי של החיישן. חשוב לא למדוד לחצים גבוהים מהלחץ המותר שכן הממברנה יכולה להינזק. בקרת ספיקה 69

70 קיימות שתי דרכים עיקריות בהן ניתן לבצע בקרת ספיקה האחת בחוג פתוח בעזרת החיישן לחץ והשנייה בחוג סגור בעזרת חיישן ספיקה נוסף. חוג פתוח- על ידי מספר מדידות ניתן לנסח משוואה המקשרת את הלחץ בתוך הגנרטור ואת שיעור פתיחת הברז בכדי לקבל ספיקת מימן רצויה. כלומר, עבור ערך של לחץ בתוך הגנרטור ניתן לקבוע איזו זווית צריכה להיות בסרוו על מנת לקבל ערך ספיקה רצוי. שיטה זו חוסכת לנו שימוש בחיישן נוסף. שכן, אנו עושים שימוש במדידת הלחץ בתוך הגנרטור בכדי לדאוג לבטיחות המערכת. אך מנגד, שיטה זו נתונה לאי דיוקים. לדוגמה, יתכן מצב בו התכונות האלסטיות של הצינורית ישתנו והקשר בין זווית פתיחת הברז הלחץ הפנימי במערכת וספיקת המימן המתקבלת בצינורית ישתנה. חוג סגור- עבור החוג הסגור אנו עושים שימוש בחיישן הלחץ בכדי למדוד ספיקה. בכדי לעשות שימוש בחיישן הלחץ כחיישן ספיקה מחברים את שתי הפתחים של החיישן אחד לשני על ידי צינורית דקה וארוכה אשר תיצור התנגדות לזרימה או לחילופין צינורית עם איזור היצר אשר יצור התנגדות כמוראה באיור 61. כאשר מחברים את יציאת הגנרטור לכניסה אחת של החיישן ולאחר צינורית ההיצר אל המשך המערכת. מתקבל מפל לחצים בין כניסות החיישן. הפרש לחצים זה פרופורציוני לזרימת המימן בצינורית. בכדי למצוא את קבוע הפרופורציה יש לבצע מספר מדידות כאשר אנו משנים את הספיקה בכניסת הצינור ורושמים את הערכים של הספיקה הנמדדת ואת הפרשי הלחצים המתקבלים בחיישן הלחץ. על ידי הפקת גרף לינארי דרך אותם נקודות ניתן למצוא את המשוואה הלינארית המקשרת בין הפרש הלחצים בחיישן לספיקה בצינורית. יש לציין שקבוע הפרופורציה מתאים להיצרות בצינורית ואם חל שינוי בצינורית יש לבצע את תהליך הכיול מחדש. איור 61: מדידת ספיקה באמצעות הפרש לחצים. בקרת ארדואינו. בתהליך הבקרה אנו בודקים את מצבם של כל החיישנים ומבצעים פעולות בהתאם. את הקוד המלא של בקר הארדואינו ניתן לראות בנספח ג' אך עיקריו יובאו כאן. יצירת חיבור עם -)handshaking( Matlab בשלב זה מתבצעת העברת נתונים מהמשתמש אל הבקרה כגון: ספיקת מימן רצויה, לחץ מינימלי/מקסימלי בתוך הגנרטור, זרם מקסימלי מותר במנוע וכ"ו. תחילת הפקת מימן- בשלב זה מועברת אבקה אל מיכל המים. פעולה זו מתבצעת כאשר הלחץ בגנרטור קטן מהלחץ המקסימלי המותר. העברת מימן לתא הדלק- פתיחת ברז הספיקה מתבצע רק כאשר הלחץ בגנרטור גדול מהלחץ המינימלי שהוגדר על ידי המשתמש.)Matlab( זאת על מנת לאפשר כושר זרימת מימן מספקת. כלומר, קיים לחץ מינימלי שגם כאשר ברז הספיקה פתוח עד הסוף ( 0 180( לא תתקבל הספיקה הרצויה. הגנת זרם גבוהה- בכדי לאפשר שחרור של גושי אבקה שנתקעו במערכת שינוע האבקה אנו נבצע שינוי בכיוון המנוע למשך חצי סיבוב כאשר המומנט המתפתח במנוע גדול מהמומנט המקסימלי המותר. 70

71 העברת נתונים למשתמש-שליחת נתונים אל ה- come port כאשר Matlab מבקש. ( Slave )Mode איור 62: תרשים בקרה של מערכת האנרגיה ממשק גרפי במטלב. בכדי להציג את נתוני הגנרטור בזמן אמת, לשמור את תוצאות הניסוי בקבצי טקסט לשימוש מאוחר יותר ולאפשר ממשק משתמש נוח למערכת אנו עושים שימוש בתוכנת מטלב. באיור 63 ניתן לראות את חלון המשתמש של המערכת. בצד השמאלי של החלון המשתמש מזין את ערכי הניסוי ולוחץ על לחצן ה-.start בעת הלחיצה נשלחים נתוני ה- input אל הארדואינו. הארדואינו מבקר על פעולת המנוע והברזים ובמקביל שולח נתונים חזרה למטלב. בגרף המרכזי מוצגת ספיקת המימן ובחלוניות למטה מוצגים משך הניסוי, הזרם במנוע, הלחץ הפנימי בגנרטור ושיעור פתיחת ברז הספיקה. קצב העברת הנתונים נע בין 1-10 Hz לפי דרישת המשתמש. לכל אורך הניסוי נכתבים הערכים המועברים לקבצי טקסט אשר ניתן לטעון אותם לאחר הניסוי לשם ניתוח התוצאות. 71

72 איור Interfaces):63 Matlab GUI (Graphical User איור 64: מימן הגנרטור עם אבקת NaBH4 ומשמאל כרטיסי הבקרה 72

73 נספח ג' קוד Arduino /* 1. function to first comunicate with matlab the function establish the first contact with matlab start void loop 2. readnig parameters from matlab (execute only one) reading the intial running parameters -calibrate the desire parameters due to there own sensor 3. sending data if the matlab request by sending something [slave] if matlab send any signal to the buffer the arduino will send the data. 4. reading values from analog pins -read the value from the analog pins 5. main motor control, if the pressure is high it will stop the motor! turn and stop the powder pouring 6. valve control (due to inside pressure) control a delicate movement of the servo valve to higher and lower the hydrogen flow. 7. dead end valve (open end close) control the dead end valve opening time and close time normally we need 10 to 1 seconds */ #include <Servo.h> Servo myservo1; // create servo object to control a servo Servo myservo2; // create servo object to control a servo int red = 7; // the red light indicate parameters transfer int green = 8; // the green light blinking indicate that main loop is working int pwm_a = 3; //PWM control for motor outputs 1 and 2 is on digital pin 3 int pwm_b = 5; //dir control for motor outputs 1 and 2 is on digital pin 12 char conversionbuffer[5];// for reading the buffer string int w=0; // for the reading parameters loop void setup() { Serial.begin(9600); myservo1.attach(6); // attaches the servo on pin 5 to the servo object myservo2.attach(12); // attaches the servo on pin 6 to the servo object pinmode(red, OUTPUT); pinmode(green, OUTPUT); pinmode(pwm_a, OUTPUT); pinmode(pwm_b, OUTPUT); analogwrite(pwm_a, 0); //set both motors to run at (100/255 = 39)% duty cycle (slow) analogwrite(pwm_b, 0); //set both motors to run at (100/255 = 39)% duty cycle (slow) } establishcontact(); // send a byte to establish contact until receiver responds ////////////////////// setup for the program ////////////////////// float flow_th=20; // thresh-hold for the hydrogen flow ///////////////////// declaring is needed//////////////////////// float pos=60; float current=0;// will be connect to A1 float flow =0;/// flow float inside_pressure=0;// will be connect to A3 float inside_pressure_th=0; int valve_time=0; int pressure=0; int Starttime = millis(); int connection_time=0; int dead_end_open_time=1; int motor_spin=0; float motor_speed=0; float maximum_motor_current=0; unsigned long int revers_time=0; unsigned long int time=0; //////////////////////// override by matlab///////////////////////// float flow_desire=0; float inside_pressure_max=0; float inside_pressure_min=0; 73

74 float dead_end_close_time=0; //[seconds] void loop() { ////////////// reading parameters from matlab (execute only one) //////////// while (w==0) { digitalwrite(red, HIGH); flow_desire = Serial.parseFloat(); inside_pressure_max = Serial.parseFloat(); inside_pressure_min = Serial.parseFloat(); maximum_motor_current = Serial.parseFloat(); dead_end_close_time = 9; digitalwrite(red, LOW); flow_th=0.05*flow_desire; if( flow_desire!= 0 && inside_pressure_max!= 0 && inside_pressure_min!= 0 && dead_end_close_time!= 0 ){ w=1; Serial.println(5); digitalwrite(red, HIGH); delay(2000); digitalwrite(red, LOW); flow_desire=flow_desire*1; //need to be calibrate to a flow sensor inside_pressure_max=inside_pressure_max*1; //need to be calibrate with sensor inside_pressure_min=inside_pressure_min*1; //need to be calibrate with sensor dead_end_open_time=10-dead_end_close_time; } } //////// sending data if the matlab request by sending something [slave] //////// if (Serial.available() > 0) { Serial.read(); Serial.println(1010); Serial.println(inside_pressure); Serial.println(current); //Serial.println(pos); Serial.println((pos-10)/11);// position of the control valve Serial.println(flow); //Serial.println(100); connection_time=millis(); delay(10); digitalwrite(green, HIGH); delay(10); digitalwrite(green, LOW); } ///////////// reading values from analog pins ////////////////// current=analogread(a1)*(0.18/50);//amper, volteg on the shunt calibration. flow=analogread(a2); // need to be divided in R [I=V/R] flow=(flow-37.96)/0.8356; inside_pressure=analogread(a3); //// pressure 180=0.4 bar inside_pressure=(inside_pressure* )/100; inside_pressure_th=0.1*inside_pressure_min; /////// main motor control, if the pressure is high it will stop the motor! ////// /////////////// MOTOR CONDITION /////////////// // if the pressure in the tank is high we stop the motor spin if (inside_pressure >= inside_pressure_max+inside_pressure_th) { motor_spin=0; motor_speed=0;} // if the pressure in the tank is low we turn the motor on to build pressure if (inside_pressure <= inside_pressure_max-inside_pressure_th) motor_spin=1; // if the current load on the motor is high. we will do revers for few second if( current >= maximum_motor_current && motor_spin==1) { motor_spin=-1; revers_time = millis();} // if the number of second of revers didn't pass time=millis(); if(time -revers_time <= 3000 ) motor_spin=-1; /////////////// MOTOR EXECUTE /////////////// // move forward 74

75 if(motor_spin==1){ if(motor_speed<=100) if(motor_spin==-1){ if(motor_speed>=-100) motor_speed=motor_speed+0.1;} motor_speed=motor_speed-0.1;} if(motor_speed<=0){ analogwrite(pwm_a,0); analogwrite(pwm_b, abs( motor_speed));} if(motor_speed>=0){ analogwrite(pwm_a, abs(motor_speed)); analogwrite(pwm_b, 0);} ///////// valve control (due to inside pressure) ////////// //if the pressure is below 0.4 bar close the valve if (inside_pressure < inside_pressure_min-inside_pressure_th) { pos=10; myservo1.write(pos); } // 180=0.4 bar //if the pressure is higher start open the valve if (inside_pressure >= inside_pressure_min+inside_pressure_th) { if ( flow <= (flow_desire-flow_th) ) { pos=pos+0.01; } if ( flow >= (flow_desire+flow_th) ) { pos=pos-0.01; } if (pos<=10) { pos=10; } //// limit the bounderis if (pos>=120) { pos=120; } myservo1.write(round(pos)); // tell the servo to go to the position in variable 'pos' } //////////// dead end valve (open end close) ////////////// int dead_end_open_time=10-dead_end_close_time; valve_time=millis() ; if (valve_time < Starttime+(dead_end_close_time*1000)) { myservo2.write(15); } // close if (valve_time >= Starttime+(dead_end_close_time*1000)) { myservo2.write(120);} // open if (valve_time >= Starttime+(dead_end_close_time*1000)+(dead_end_open_time*1000)) { Starttime = millis(); } } // end main loop ///// function to first comunicate with matlab void establishcontact() { //Serial.flush(); while (Serial.available() <= 0) { Serial.println('4'); terminator delay(30); } } // send a capital A whith ln to mach the 75

76 נספח ד' Matlab בנספח זה מובא הסבר על פרוטוקול התקשורת בין matlab ל-.Arduino תהליך התקשורת כולל העברה ראשונית וחד פעמית של מידע מהמטלב אל הארדואינו ולאחר מכן העברה רציפה ותמידית של מידע מהארדואינו חזרה אל מטלב. שליחת נתונים ראשונית מהמטלב אל הארדואינו. בעת חיבור מתחי הזנה לבקר הארדואינו פועלת הפונקציה establishcontact() אשר נמצאת בלולאת ההגדרות.)void_setup( הפונקציה מדפיסה את התו '4' אל הפורט בלולאה אינסופית כל עוד לא נשלח אל הארדואינו מידע כלשהו. ///// function to first comunicate with matlab void establishcontact() { //Serial.flush(); while (Serial.available() <= 0) { Serial.println('4'); // send a capital A whith ln to mach the איור 65: קוד של הארדואינו עבור חיבור ראשוני terminator delay(30); } } ברגע שאנו רוצים ליצור תקשורת בין המטלב לארדואינו אנו לוחצים על לחצן ה- START אשר מריץ את הפונקציה הבאה. try pause(0.2) w=fscanf(s1,'%s'); w=fscanf(s1,'%s'); while (w=='4') fprintf(s1,'%s\n',a1); fprintf(s1,'%s\n',a2); fprintf(s1,'%s\n',a3); fprintf(s1,'%s\n',a4); if(s1.bytesavailablefcncount >0) test=fscanf(s1,'%s'); if(test=='5') display(['good contact']); flushinput(s1); w=0; end end end איור 66 :קוד של המטלב עבור חיבור ראשוני הפונקציה קוראת את את המידע שהארדואינו שולח אל הפורט. המידע הינו משתנה מסוג.string כאשר נשמר למשתנה w התו '4' אותו אנו שלחנו מהארדואינו המטלב שולח את ארבעת המשתנים שאנו רוצים להעביר לארדואינו כמשתנים מסוג.string 76

77 while (w==0) { flow_desire = Serial.parseFloat(); inside_pressure_max = Serial.parseFloat(); inside_pressure_min = Serial.parseFloat(); maximum_motor_current = Serial.parseFloat(); if( flow_desire!= 0 && inside_pressure_max!= 0 && inside_pressure_min!= 0 && dead_end_close_time!= 0 ){ w=1; Serial.println(5); איור 67: קוד של הארדואינו עבור קבלת נתונים מהמטלב בפעם הראשונה רק כאשר הארדואינו קיבל את ארבעת המשתנים ולאחר בדיקה שאכן ישנם ארבעה משתנים שונים מאפס הוא משיב למטלב את התו '5' אשר מאפשר למטלב להמשיך את הקוד. המטלב שולח את המשתנים בפורמט string ובסיום n/ אשר מסמל מעבר לשורה חדשה. הארדואינו קורא את המשתנים בעזרת הפונקציה Serial.parseFloat() אשר קוראת string של כל שורה וממירה אותו למשתנה מסוג.float לאחר ההתממשקות הראשונית המטלב מנקה את הבאפר שלו על ידי שימוש בפונקציית.flushinput שליחת נתונים באופן תמידי. בכל פעם שהמטלב רוצה לקבל נתונים מהארדואינו הוא שולח את התו '4'. כאשר הארדואינו קורא מידע מהבאפר בכל מחזור של הלולאה. כאשר המידע שהוא קורא מתאים לתו '4' הוא שולח חזרה את התו '1010' ולאחר מכן את המידע )ארבעת המשתנים(. לאחר שהמטלב מוודא שאכן התו '1010' נשלח הוא קורא את ארבעת המשתנים. pause(0.2) fprintf(s1,'%s\n','4'); pause(0.5) if(s1.bytesavailablefcncount >0) test_byte=str2double(fscanf(s1,'%s')); end if(test_byte==1010) test_byte=0; av1=str2double(fscanf(s1,'%s')); av2=str2double(fscanf(s1,'%s')); pwm=str2double(fscanf(s1,'%s')); av0=str2double(fscanf(s1,'%s')); flushinput(s1); end איור 68 :קוד של המטלב עבור קבלת נתונים מהארדואינו בזמן רציף איור 69: קוד של הארדואינו עבור שליחת נתונים בזמן רציף if (Serial.available() > 0) { Serial.read(); Serial.println(1010); Serial.println(inside_pressure); Serial.println(current); Serial.println(pos); Serial.println(flow); } 77

78 נספח ה' מאמר Calculating the mechanical parameters governing sodium borohydride (NaBH 4 ) powder i ii iii iv Y. Nagar, A. Schechter,B. Ben-Moshe and N. Shvalb Abstract The paper addresses the numeric optimization for NaBH4 powder flow which is commonly used for hydrogen gas production. During the process of the powder motion, high number of collisions occurs between particles constituting the powder. These collisions are characterized by physical constants such as drag coefficients and restitution coefficients. This paper issues these parameters. We use a discrete element method to model the powder and assume that the powder is composed of tiny spheres interacting according to a specific spring damping model. In a series of appropriate physical wedge penetration experiments, force-displacement graphs were measured. In Addition a set of shear tests were conducted from which a normal-shear forces graphs were extracted. We formulate analytical estimations for each of the experiments. We then, compared these graphs with graphs generated by their corresponding simulation tests. Using Genetic Algorithm optimization we obtained a set of governing parameters that best fits the powder behavior. In order to refine our results we have used our analytical formulations to manually search the parameter space for a better fit. Keywords: Discrete Element Method, powder, adhesion, Sodium borohydrid, mechanical parameters, wedge insertion test, direct shear test, angle of repose. 1. Introduction Calculating the character of the motion of powder under various geometric constraints is a complex task. The lack of uniformity in the size of the particles, the powder s external texture, and its density are just a few factors affecting its flow. In addition, there are parameters that vary over the course of the flow, for example, the powder s density, which creates internal instability, i.e., the character of the powder s motion changes over the course of its flow. In order to resolve uniformly problem, empirical, analytic, and numeric models have been developed to demonstrate the character of the flow of powder under geometric constraints. Discrete element method is a numeric model based on 1 Cundal s and Strass s Preprint submitted to Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. April 4,

79 [1] theory, which objective is to demonstrate particle motion taking into account the interaction between particles; between the particles and the interior surfaces, as well as the effect of various gravitational and acceleration forces that apply to the particles. The advantages of the numeric discrete element method derive from the relative simplicity of the particle motion solution even under changes in the system s boundary conditions. This is carried out by changing the geometric measurements during the motion of the particles; by changing the flow regimes due to external forces at work; by changing the velocities of the particles; as well as the by ability to build experimental arrays within a reasonable time frame. The main limitation of the discrete element method is the demand for computer resources which translate into longer calculation as the more particles are fed into the system, this difficulty can be overcome by defining a property that lends this method its advantage over analytical empirical models. In order for the model to demonstrate the particle motion with high accuracy, there is a need to introduce each particles size, which demands long calculation time, even for few thousand particles. Therefore such calculation cannot be carried out in a reasonable time by today s processors, Many studies concentrate on particle size on simulation results for particles larger than the originals [2,3]. These reports have shown a low deviation between simulation results. Therefore, we can extend the radii of the particles in order to shorten the calculation time. We can also see [3] that the particles shapes have an effect on simulation results as well: When the particles are modeled as symmetrical circles, there is a decrease in their shear force, in turn affecting the character of the particle flow. In studies conducted [4,2], we can see that the particles circularity is decreased, affecting the particle flow up to 30% lower. In the discrete element method, two spheres can be attached (clump), thereby creating complex shapes that differ from symmetrical circles. When the particles geometries in the simulation approach that in reality, we see an improvement in the simulation results. Good correlation between the mechanical properties of the particle in motion in the simulation take into account the interactions occurring between particles and between the particles and the surface. The mathematical model for describing the interaction uses a Kelvin-Voight element (simultaneous spring and damping): The spring connecting two particles radially demonstrates their yang module, i.e., their elasticity; the spring connecting two particles tangentially demonstrates the friction between them [5]; Cundall and Strack propose calculating the damping constant values as per a second-order spring and damp system multiplied by the damping coefficient determined by the trials. 79

80 In addition, a spring stretched radially creates attraction forces between the particles, demonstrating the cohesion between them. A number of studies have demonstrated how the mechanical constants of various materials are calculated, such as producing a strain graph between two particles using an instrument that draws together and applies pressure on two particles that is accurate to a nanometer; and a dynamometer that calculates the force between them accurate to half a millinewton [6]. From a shear force graph, we can derive important mechanical properties such as an elasticity model and a restitution coefficient. Remark. Another method for measuring restitution coefficient is to use accurate measurement tools that examine the particle motion before and after collision with the surface. Such methods necessitate the use of costly measurement tools and are applicable when the size of the particles is larger than 500 micrometers. On the other hand, there are analytical formulae connecting spring constants and normal and tangential damping to the tangential and the normal restitution coefficients of the particles (see [9]). In order to calculate the mechanical parameters of NaBH4 particles whose size is approximately 50 micrometers (see below), we shall make use of measurement of microproperties of the particles by means of a macro property such as can be seen in [7], i.e., the insertion of wedges at various head angles and shear experiments in order to study the effect of the cohesion and damping friction parameters on the various graphs obtained. 1.1 The Mechanical model The discrete element method is a numeric method that demonstrates the behavior of a substance composed of a large number of particles. Each iteration calculates the forces acting on every particle as a result of contact with adjacent particles and external forces. A balance force calculation is written based on Newton s second law, where the forces between particles and between the particles and the interior surfaces are derived from the deformations, i.e., in every iteration, the overlap depth u n (see Fig. 3) between a pair of particles and a particle and the interior surface. The larger the overlap depth, the stronger the forces between the bodies, and commensurately, the stronger the forces developing between them. Every interaction between particles and between a particle and an interior surface includes: a mechanism whose function it is to express the radial forces between two bodies at the point of contact between them; an element that expresses the tangential forces between them; and an element whose function it is to express the energy loss to the system. In detail: The radial rigidity between the bodies is demonstrated by pressure spring k n related to the particle s elasticity module E (Young modulus). The rigidity in the tangential direction is demonstrated by k s. These parameters govern the shear stiffness 80

81 and the normal stiffness respectively. Some studies (see for example [7]) assume proportionality between these constants (Poisson ratio ); on the other hand, we know that the Poisson ratio for powders ranges from 0.3 to 0.2 (iron is 0.27; sand is ); therefore, here, we shall determine each separately. Over the course of the particle s motion, there is energy loss (dissipation) deriving from particle-to-particle collision and other processes in the system, such as friction in the temperature range. In order to model these processes, we include a damping model, of which there are two common ones: The viscous model, wherein a pair of particles are exposed to force proportional to their relative velocities and opposing the direction of their motion F s cy ; The Coulomb (non-viscous) model, which models classic frictional force [8] wherein a pair of particles are exposed to force proportional to their relative accelerations land opposing the direction of their motion. Viscous damping occurs in both the tangential and normal directions set as g. The Coulomb damping s is in the tangential direction. Spring constant kp demonstrates the cohesion force between two bodies. Such cohesion between two grains and between a grain and a interior surface are caused by a number of forces: (1) Among the most significant is electrostatic interaction between localized surface partial charges on two adjacent particles, this is often referred to as a van der Waals forces [16]. The power of the van der Waals forces depend in descending order: The matter s molar mass, i.e., the larger the electron cloud, the greater the forces between atoms in polarity, i.e., attraction between constant dipole in two molecules is stronger than that of instantaneous dipole forms on other molecules; A larger molecular surfaces result in stronger interaction. (2) Full charge electrostatic forces formed by friction of particles during their collision. This may be attractive or repulsive, and does not require proportional contact between the particles but depends on the number of collisions. (3) Liquid bridges between particles. Such a bridge is formed between to adjacent particles exposed to high level of humidity [11]. Two such particles will experience a capillary attractive force, formed by a liquid solution bridge saturated with NaBH4 dissolved salt (in our case). The longer the distance between particles, the greater the contact angle between the liquid and the particle, and the thickness of the bridge decreases. The bridge is broken when the segregation force between the particles is stronger than the capillary phenomenon between them. A permanent bond between soluble particles can form during evaporation of the liquid bridge. The larger the wettingand-evaporation cycles, the larger the number of permanent bonds between particles in the substance. In general, the importance of van der Waals forces is obvious in particles smaller than 1-2 micrometers; Capillary phenomenon between particles is relevant when the size is smaller than 500 micrometers and forces resulting from absorption of vapor occurs in particles smaller than 80 micrometers. 81

82 Fig. 1: Photograph of NaBH4 grains under an optical microscope. Using an optical microscope, the size of NaBH4 grains was measured, and an average value of 50 micrometers (see Fig. 1) was found. Therefore, in NaBH4 powder in a closed system with high humidity levels (100% R.H), it can be assume that the van der Waals forces are negligible due to the size of the grains, and low electrostatic forces due to humidity levels. Remark. A permanent bond between soluble particles can form during evaporation of the liquid bridge. Such a bond is referred to in literature as interlocking phenomenon (see [12]). Here, we assume such an evaporation process does not occur so we shall not include permanent bond phenomena in our model. Fig. 2: Interaction model between two particles. The model we shall use is depicted in Fig. 2. Imagine pair of particles that come into contact with each other at a certain overlap, so that radial forces act upon them to separate them radially and tangentially, drawing them closer thereby. For simplicity let us imagine a pair of identical square particles that seek to bond on a common edge as depicted in Fig 3. 82

83 (a) (b) Fig. 3: A pair of particles that depicted as overlapping squares describe: (a) Radial overlap, and (b) tangential overlap. The radial and tangential forces are F k u (1) n n n (2) ksus ksus μfn Fs Fn μs ksus μfn The tangential friction model can be thought of as mass connected to a spring. The mass is subjected to Coulomb friction and is dragged )pushed or pulled) while connected to a spring at its other end. As the exterior force remains inside a friction cone the mass is static. The angle of the cone is the Coulumb friction coefficient s. Note that this model is a hysteretic one [8], wherein mass is given to cyclic loading. To express the energy loss to the system we shall use two damping mechanisms: 1. Based on the viscous model. These will be expressed as g in all direction (tangential and normal). 2. The second based on Coulumb friction in the opposite movement direction and set as s The governing parameters of the selected model are therefore: (add units) (1) The stiffness coefficient k. (2) The friction angle s. (3) The viscous damping coefficient g. (4) The cohesion coefficient k p. Other parameters affecting the results of the simulation are, as aforementioned, the size of the particles, their shapes, and their diffusion in space. As aforementioned, in order to lengthen the calculation time, the size of the particles was increased 50 times NaBH4 particles actual size (50 microns). The particles shape was determined as pair of clumped particles, where the distance between the circles centers D ranged from 0.5 R to R in a uniform value distribution (Fig. 4). To enable diffusion of particles similar to that in reality, we produce the particle cloud at a distance from the lower portion of the box such that 83

84 when we activate the gravitational forces on the particles, they will arrange themselves freely on the lower portion of the box. Fig. 4: Two particles bonded using the clumping function. 1.2 Obtaining the controlling parameters Figure 5 depicts the outline of our study. To find the mechanical parameters of NaBH4 powder, a series of experiments were conducted (see section 2), each of which is influenced in a differing way thereby. The lack of dependency obtained between the experiments enabled us to distinguish between the various parameters in order to obtain their preliminary values. We shall conduct the experiments measuring force and travel. As aforementioned, the size of the particles constitutes an effect on the results of the simulation. In the shear experiment, for example, while the main parameters affecting the shear strength are the friction and the cohesion between the particles, the particles size will change the effect on the experiment results. Therefore, to minimize the effect of the particles size thereon, we shall conduct small-scale insertion and shear experiments. The further we reduce the experimental model, the smaller the number of powder particles involved. Yet, when reducing the model, we need a higher resolution of the measuring instrument, and in addition, the experiment will be more sensitive to disruptions and inaccuracies. Therefore, while there is a need for minimization of the experimental models, we need to maintain accuracy the quality of results. Fig. 5: Overall scheme for finding physical parameter. Using the discrete-element software YADE-DEM, for each real experiment conducted, a simulation was built that is identical to the real experiment. In addition, results and graphs are produced from the simulation as well, and compared to the real experiment. In the first phase of finding the parameters, we have conducted a set of simulated experiments and a thorough literature review to find a rough magnitude estimation of the parameters. The resulting (reduced) parameter-space was found to be: the stiffness coefficient 84

85 ; the friction angle rad; the damping coefficient ; and the normal cohesion Next, we conducted an optimization using a genetic algorithm (GA) to obtain better fit. Since each of the simulation tests takes approximately eight hours in an Intel Xeon E v2 processor. We considered only the three penetration tests at first and conducted a finer optimazation step. This resulted in a further reduced parameter space: the stiffness 6 6 coefficient ranged over ; the friction angle ranged over rad; the damping coefficient and the normal cohesion Finaly, this was followed by a manual search accompanied with the analytic estimation introduced in section 4 2. Supporting experiments The shear strength experiment: results give us information on friction and cohesion of the particles [13, 14]. In this experiment, we inserted the NaBH4 powder into two cylinders measuring 2 cm in diameter and 1 cm high that were placed one atop the other (Fig. 5). The upper cylinder contained a plate measuring 2 cm in diameter that applied normal, steady pressure, compressing the powder. We used Testometric M250-3 CT Materials Testing Machine with accuracies ±0.1 Newton and ±0.1 millimeter to conduct our experiment. We applied horizontal pressure that produced shearing on the plane between the cylinders, which was measured until motion was produced between the cylinders. This experiment was run a number of times, where between experiments, we increased the normal pressure and measured the shearing obtained in the failure. Fig. 5: The shear strength experiment. Failure here refers to a collapse of spontaneous trusses created in the along the powder grains. Such a phenomenon will result in a sudden change in the force slope (as the function of the tangential shift). So the expected shear stress and normal stress behavior is: (3) τ=σtan(f)+c Where C is the powder cohesion obtained at the cutoff point with the axis of shear 85

86 strength; and f is the internal friction angle of the powder obtained from the slope of the resulting line (depicted as a blue line in Figure 8). The wedge insertion experiment: was conducted using the same Materials Testing Machine to insert three wedges, the areas of whose bases measure 10 x 15 mm, with differing head angles: 30 o and 90 o and 0 0 (horizontal plate) as shown in Fig. 7. The wedges penetrated into a cube with a cross-sectional area measuring 50 x 30 mm and 100 mm deep, containing NaBH4 powder. Fig. 7: Wedge insertion experiment with head angles measuring 30 o and 90 o and a horizontal plate. The force-displacement graphs are depicted as blue lines in Fig. 9. Note that due to the difference in the size of the particles in the simulation and the real experiments, the particles involved in the contact points between the plate and the substance differ. These differences resulted in a higher level of oscillation in the force-displacement graph for the simulation results. 3. DEM experiments We used open-source Yade - Discrete Element Method software. For the three real experiments conducted, a simulation was built simulating for each. All experiments were conducted using clump particles dispersed randomly. The particles were constructed such that their centers distances varied from 0.5 R to R with uniform distribution values. The shear strength simulation was carried out using 10,000 particles; these were randomly pre-packed in a cylinder. Three different tests were conducted with 2, 4 and 8 Newton normal force applied on the top of the upper cylinder. In each simulation the break shear point was extracted. Locating them on a shear-normal force coordinates system yielded an approximated linear function see Figure 8. 86

87 Fig. 8: shear experiment. The lower right corner presents a resulting linear function: a blue line represents the real experiment's results red line represents simulation results with optimized set of parameters. The wedge insertion: was conducted using 20,000 particles. For each of the wedges, an insertion simulation was conducted up to a depth of 20 mm, commensurate with the real experiment. The force-displacement graphs of the simulation results are presented in Fig. 9. Fig. 9: Wedge experiment. Blue line indicates real test and polynomial simulation result in red 4. Analytical formulation To enable an educated manual search (as described in Section 1) it is essential to have a rough estimate of what are the main physical factor affecting each of the aforementioned experiments results. Note that the damping effect may be of importance in dynamic cases, however, for quasi-static simulation (see [19]) such as ours the effect of damping will not be significant (see [20]). 87

88 4.1 Wedge insertion experiment We shall first describe our attempt to estimate the behavior of the force reaction in the 0 0 wedge insertion experiment. We consider a simplified pack as depicted in Figure 11a. (a) (b) Fig. 10: (a) Particle arrange in the box. (b) Forces apply on particle number 3 Focusing our attention only for the vicinity of the depicted configuration we can write: F=Fn1 sin(θ 1)+FS1 cos(θ 1)+Fn2 sin(θ 2)-Fs2 cos(θ 2) For simplicity we assume symmetry (i.e. θ 2=180-θ 1), so: F=k h sin(θ )+ μ h k +k h cos(θ )+ n n1 1 s n1 n s s1 1 +k h sin(θ )+ +μ h k +k h cos(θ ) n n2 1 s n2 n s s2 1 Here k n,k s are the normal and shear elasticity respectively, displacements and h n,h s are the normal/shear μ s is the friction coefficient. The shear and normal displacements in the vertical wedge movement displacement is demonstrated in Fig. 11 which implies h =hcos(θ), h =hsin(θ). n s Fig. 11: Normal and shear displacement due to horizontal wedge displacement. Substituting into the original equation yields: 88

89 2 (2) F=cos(θ 1)sin(θ 1) 2k nh+2ksh +2μshk ncos (θ 1) The angle between particles in random pile is distributed uniformly (see [17]). So for a three dimensions flat wedge insertion experiment the expectancy reaction force on the wedge due to infinitesimally displacement is: h(2k +2k + μ k ) E(F) = 2 n s s n (3) Note that this is merely magnitude estimation. 4.2 shear test experiment Consider a simplified particle pack as shown in Fig. 15a which under shear rearranges as shown in Fig. 12b and Fig 13a. Fig. 12: Shear test demonstration As a result an upper row particle shown in Fig 13b is subjected to the set of forces. We denote Fs(in) -F s(out) the normal forces at the shear direction and at the opposite direction respectively. F n2 is the cohesion force, F n is the normal force applied and F n1, F s1 are the normal and shear forces respectively. (a) (b) Fig. 13: (a) Particle distance calculation. (b) Particle forces apply. Thus: θ F n =Fn1 sin(θ 1) Fs1 cos(θ 1)+Fn2 sin( - ) (4) 89

90 θ Fs(in) -F s(out) =Fn1cos(θ 1)+FS1 sin(θ 1)+Fn2 cos( - ) (5) Here F=μ s1 sh nk n +ksh s, F n1=k nh n. We assume the cohesion force F n2 is proportional to the constant k p [18] and can be apply when interaction occur. Interaction between particles tack place when the distance is less than 1.1R.The distance h between particle 1 and 3 (see Fig. 13a) is given by: 2Rsin(θ 1) h= θ sin( - ) For the distance of 1.1R the corresponding angle is 7π 20. Note that the particle normal and shear micro displacement are function of the normal and shear output macro displacements (Fig 14): (b) Fig. 14: (a) micro particle displacement h,h n s (a) following output displacement H,H n s. (b) zoom for displacement in (a) Therefore: H π π tan( -θ) 2 2 n h n=( +H s)sin( -θ) H π Hn π 2 π tan( -θ) sin( -θ) 2 2 n h s=( +H s)cos( -θ)- Substituting into Eq 4. and solving for local forces yields: 90

91 Hn π F n1=k n( +Hs)sin( -θ) π tan( -θ) 2 2 π Hn Hn π Hn F=μ s1 sknsin( -θ)( +Hs)+k s ( +Hs)cos( -θ)- 2 π π 2 π tan( -θ) tan( -θ) sin( -θ) θ F n2=k pcos( - ) 2 2 So the shear and normal forces equations resulting from normal and shear infinitesimally displacement are: F (H,H,θ)=k cos(θ)(h cos(θ)+h sin(θ))-sin(θ)(k (H cos(θ)- s s s n s n s n θ -Hssin(θ))-μk n (Hscos(θ)+Hnsin(θ))+k psin( ) 2 (6) F (H,H,θ)=cos(θ)(k (H cos(θ)-h sin(θ)-μk (H cos(θ)+h sin(θ)))+ n n s s n s n s n θ +knsin(θ)(hscos(θ)+hnsin(θ))-k pcos( ) 2 To eliminate particle angle dependence we make use of the uniform distribution property. The integration split the two cases in the interaction angle 7π 20. 7π 2π 20 3 θ EF = F dθ + F k sin( ) dθ 0.026k 1.04H k 0.95 H k 2 s s s p π 7π π 2π 20 3 n n n p π 7π 3 20 p s n n n θ EF = F dθ + F k cos( ) dθ 0.05H k 0.732k 0.02 H k H k 2 (7) n n p n n s n To pursue the shear stress intersection line (denoted by C in Eq. 1) we set the macro displacement Hn in the shear force equation. After assuming kn=ks we get: 0.95μk n(175.7k p 2.86μH sk n) C=0.26k p 1.04Hsk n k 5.26μk n n (8) The slope of the linear line (in Eq. 1) can now be estimated as the partial derivative: S E Fn E(Fs(EF n ))-E(Fs(EF n+δef n )) = E F E(F ) S 91

92 = H EF H EF μ(5.267μ 12.5) 2 EFs Hs EFs Hn 6.986(32.86μ μ 157.9) s n n n μ= (32.86μ μ 157.9) μ(5.267μ 12.5) (9) 5. Results For the first GA optimization stage the fitness function calculated only for the wedge insertion experiment (for time consumption reasons). This stage resulted with: the stiffness coefficient ; the friction angle 0.28 rad; the damping coefficient 0.356; and the normal cohesion 534 yielding the following linear shear graph y 0.472x 0.49 (compare to the real experiment linear graph y 0.125x 0.16 ). The wedge insertion experiment results are depicted in Fig 15 Fig. 15: wedge insertion experiments: first GA stages results. Red line indicate the simulation results. Next, a GA optimization procedure was performed again with a reduced parameter range considering both shear tests and wedge insertion tests. The resultant parameters are: the stiffness 6 coefficient ; the friction angle rad; the damping coefficient 0.327; and the normal cohesion 688. The resulting linear shear graph is: y 0.335x 0.2. Fig. 16: wedge insertion experiments: second GA stages results. Red lines indicate the simulation results. A good correlation was obtained between the wedge insertion experiment and that of the simulation. However the two linear shear equation slopes were 250% different from one another. Recall that this represents the powder's overall friction. Naively this could be fixed by simply reducing the friction angle parameter. However, Eq. 3 exemplifies that changing 92

93 the friction angle will result in changing the wedge insertion as well. Accordingly, in order to maintain the wedge insertion results while lowering the linear shear slope we reduced the friction angle in 8% and raised the stiffness coefficient in 6%. So, the parameters tested were: 6 the stiffness coefficient ; the friction angle rad; the damping coefficient 0.327; and the normal cohesion 688 resulting with the linear shear graph is: y x 0.27 Fig 17: wedge insertion experiments: manual refining according to Eq.3 reduce friction angle and raise stiffness coefficient. Red line indicate the simulation results. 6. Validation In order to verify the parameters result we implemented an angle of repose scheme. We have conducted an experiment in which an open cylinder filled with NaBH4 powder was positioned on a horizontal table. The cylinder slowly moves upward forming a pile as the powder pours. The pile angle (depicted in Figure 18) depends on the mechanical parameters of the powder, mostly by the friction coefficient [21]. The test was performed using a 50mm high cylinder having a 20mm radius and the upward speed was set to 20 mm/sec. The DEM simulation corresponding test was performed on 3000 clumped particles with a 35mm radius each. The cylinder speed and geometry was were taken identical in the simulation and the real experiment. Fig. 18 depicts the repose angles from both the experiments and simulation tests. A good correlation was obtained as the angle ranges between 35 0 to 45 0 in the real experiment and between to 40 0 in the simulation. Note that range of angles obtained in the simulation was smaller than that of the real experiment. This could be attributed to the homogeneity of the particle parameters and the lack of environment variables in the former. Recall that due to the time required for running the set of wedge insertion tests in the optimization step, these tests were performed using a reduced number of particles (6000 instead of 50,000). So, it is required to verify that the parameter we obtained above suit the wedge penetration tests as well. In order to do so, we used the parameter set obtained 6 (stiffness coefficient , friction angle rad, damping coefficient and the normal coheion 688), in Section 5 on a 50,000 clumped particle tests, simulating 90 0 wedge. The results presented in Figure

94 Fig 18: Angle of repose tests. Left: Experiment results. Right: simulation results Fig 19: Instron comparison Left: 6000 particle Right: particle 7. Conclusions We have conducted a set of experiments to pursue a set of physical governing parameters in NaBH4 powder behavior. We used GA optimization to significantly reduce the parameter space to search within. In order to conduct a manual search we have formulated analytic equations that describe the experiments. In the course of our manual search it was found that these described the general dependencies for example see Fig. 17 As discussed above all measured parameters were found to be very close in the simulation to those measured in the real set of experiments with the measured friction and experimented one having the same order of magnitude. The particles shape is known [2] to affect the resulting friction. Specifically, Asaf et al. found that the non-dimensional distance d/r between two clumped particles is significantly effects the friction, as mentioned above we considered a normally distributed d/r [0.5,1] clumped particles. The authors believe that for NaBH4 powder were cohesion plays a central role the particle's shape will play a role though it is expected to be of less importance, nevertheless this should be investigated. 94

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון. Charles Augustin COULOMB (1736-1806) קולון חוק חוקקולון, אשרנקראעלשםהפיזיקאיהצרפתישארל-אוגוסטיןדהקולוןשהיהאחדהראשוניםשחקרבאופןכמותיאתהכוחותהפועלים ביןשניגופיםטעונים. מדידותיוהתבססועלמיתקןהנקראמאזניפיתול.

Διαβάστε περισσότερα

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur פתרון תרגיל --- 5 מרחבים וקטורים דוגמאות למרחבים וקטורים שונים מושגים בסיסיים: תת מרחב צירוף לינארי x+ y+ z = : R ) בכל סעיף בדקו האם הוא תת מרחב של א } = z = {( x y z) R x+ y+ הוא אוסף הפתרונות של המערכת

Διαβάστε περισσότερα

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח.

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח. החשמלי השדה הקדמה: מושג השדה חשמלי נוצר, כאשר הפיזיקאי מיכאל פרדיי, ניסה לתת הסבר אינטואיטיבי לעובדה שמטענים מפעילים זה על זה כוחות ללא מגע ביניהם. לטענתו, כל עצם בעל מטען חשמלי יוצר מסביבו שדה המשתרע

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A

Διαβάστε περισσότερα

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,

Διαβάστε περισσότερα

דינמיקה כוחות. N = kg m s 2 מתאפסת.

דינמיקה כוחות. N = kg m s 2 מתאפסת. דינמיקה כאשר אנו מנתחים תנועה של גוף במושגים של מיקום, מהירות ותאוצה כפי שעשינו עד כה, אנו מדלגים על ניתוח הכוחות הפועלים על הגוף. כוחות אלו ומסתו של הגוף הם אשר קובעים את תאוצתו. על מנת לקבל קשר בין הכוחות

Διαβάστε περισσότερα

PDF created with pdffactory trial version

PDF created with pdffactory trial version הקשר בין שדה חשמלי לפוטנציאל חשמלי E נחקור את הקשר, עבור מקרה פרטי, בו יש לנו שדה חשמלי קבוע. נתון שדה חשמלי הקבוע במרחב שגודלו שווה ל. E נסמן שתי נקודות לאורך קו שדה ו המרחק בין הנקודות שווה ל x. המתח

Διαβάστε περισσότερα

דוגמאות. W = mg. = N mg f sinθ = 0 N = sin20 = 59.26N. F y. m * = N 9.8 = = 6.04kg. m * = ma x. F x. = 30cos20 = 5.

דוגמאות. W = mg. = N mg f sinθ = 0 N = sin20 = 59.26N. F y. m * = N 9.8 = = 6.04kg. m * = ma x. F x. = 30cos20 = 5. דוגמאות 1. ארגז שמסתו 5kg נמצא על משטח אופקי. על הארגז פועל כוח שגודלו 30 וכיוונו! 20 מתחת לציר האופקי. y x א. שרטטו דיאגרמת כוחות על הארגז. f W = mg ב. מהו גודלו וכיוונו של הכוח הנורמלי הפועל על הארגז?

Διαβάστε περισσότερα

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 5 שנכתב על-ידי מאיר בכור. חקירת משוואה מהמעלה הראשונה עם נעלם אחד = הצורה הנורמלית של המשוואה, אליה יש להגיע, היא: b

Διαβάστε περισσότερα

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה

Διαβάστε περισσότερα

3-9 - a < x < a, a < x < a

3-9 - a < x < a, a < x < a 1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.

Διαβάστε περισσότερα

דיאגמת פאזת ברזל פחמן

דיאגמת פאזת ברזל פחמן דיאגמת פאזת ברזל פחמן הריכוז האוטקטי הריכוז האוטקטוידי גבול המסיסות של פריט היווצרות פרליט מיקרו-מבנה של החומר בפלדה היפר-אוטקטואידית והיפו-אוטקטוידית. ככל שמתקרבים יותר לריכוז האוטקטואידי, מקבלים מבנה

Διαβάστε περισσότερα

קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל "לוח" יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים.

קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל לוח יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים. קבל קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל "לוח" יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים. על לוח אחד מטען Q ועל לוח שני מטען Q. הפוטנציאל על כל לוח הוא

Διαβάστε περισσότερα

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות

Διαβάστε περισσότερα

תרגול פעולות מומצאות 3

תרגול פעולות מומצאות 3 תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשעא, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. בB בB תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: 035804 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 מכונית נסעה מעיר A לעיר B על כביש ראשי

Διαβάστε περισσότερα

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשעד פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה

Διαβάστε περισσότερα

החוק השני של ניוטון מטרה: חקירת תנועה בהשפעת כוח תלות התאוצה במסה. א. תלות התאוצה בכוח. ב. בדיקת שימור אנרגיה במהלך התנועה. ג. משקולות, גלגלת וחוט.

החוק השני של ניוטון מטרה: חקירת תנועה בהשפעת כוח תלות התאוצה במסה. א. תלות התאוצה בכוח. ב. בדיקת שימור אנרגיה במהלך התנועה. ג. משקולות, גלגלת וחוט. החוק השני של ניוטון מטרה: חקירת תנועה בהשפעת כוח תלות התאוצה במסה. א. תלות התאוצה בכוח. ב. בדיקת שימור אנרגיה במהלך התנועה. ג. משקולות, גלגלת וחוט. ציוד: מסילת אויר, מחליק, סונר Sensor(,(Motion תי תיאור

Διαβάστε περισσότερα

"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי

קשר-חם : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי נושא: חקירת משוואות פרמטריות בעזרת גרפים הוכן ע"י: אביבה ברש. תקציר: בחומר מוצגת דרך לחקירת

Διαβάστε περισσότερα

ריאקציות כימיות

ריאקציות כימיות ריאקציות כימיות 1.5.15 1 הקדמה ריאקציה כימית היא תהליך שבו מולקולות (הנקראות מגיבים עוברות שינוי ויוצרות מולקולות אחרות (הנקראות תוצרים. הריאקציה יכולה להתרחש בשני הכיוונים. לפני ההגעה לשיווי משקל יהיה

Διαβάστε περισσότερα

פתרון מבחן פיזיקה 5 יח"ל טור א' שדה מגנטי ורמות אנרגיה פרק א שדה מגנטי (100 נקודות)

פתרון מבחן פיזיקה 5 יחל טור א' שדה מגנטי ורמות אנרגיה פרק א שדה מגנטי (100 נקודות) שאלה מספר 1 פתרון מבחן פיזיקה 5 יח"ל טור א' שדה מגנטי ורמות אנרגיה פרק א שדה מגנטי (1 נקודות) על פי כלל יד ימין מדובר בפרוטון: האצבעות מחוץ לדף בכיוון השדה המגנטי, כף היד ימינה בכיוון הכוח ולכן האגודל

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון

Διαβάστε περισσότερα

השפעת הטמפרטורה על ההתנגדות התנגדות המוליך

השפעת הטמפרטורה על ההתנגדות התנגדות המוליך בגרות לבתי ספר על יסודיים סוג הבחינה: מדינת ישראל קיץ תשע"ג, 013 מועד הבחינה: משרד החינוך נספח לשאלון: 84501 אין להעביר את הנוסחאון לנבחן אחר א. תורת החשמל נוסחאון במערכות חשמל )10 עמודים( )הגדלים בנוסחאון

Διαβάστε περισσότερα

שאלה. משקולת שמסתה 2kg = m תלויה במנוחה על חוט שאורכו l, = 1m המחובר לתקרה. )ראו תרשים(

שאלה. משקולת שמסתה 2kg = m תלויה במנוחה על חוט שאורכו l, = 1m המחובר לתקרה. )ראו תרשים( שאלה משקולת שמסתה 2kg = תלויה במנוחה על חוט שאורכו l, = 1 המחובר לתקר )ראו תרשים( מצאו את הכח T סטודנט הזיז את המשקולת בזווית = 10 α מן האנך )נקודה A בתרשים( והרפה, המסה חזרה לנקודה הנמוכה ביותר )נקודה

Διαβάστε περισσότερα

ושל (השטח המקווקו בציור) . g(x) = 4 2x. ו- t x = g(x) f(x) dx

ושל (השטח המקווקו בציור) . g(x) = 4 2x. ו- t x = g(x) f(x) dx פרק 9: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי O 9 ושל בציור שלפניך מתוארים גרפים של הפרבולה f() = נמצאת על הנקודה המלבן CD מקיים: הישר = 6 C ו- D נמצאות הפרבולה, הנקודה נמצאת על הישר, הנקודות ( t > ) OD = t נתון:

Διαβάστε περισσότερα

אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה

אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה Analytical Electromagnetism Fall Semester 202-3 אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה צפיפויות מטען וזרם צפיפות מטען נפחית ρ מוגדרת כך שאינטגרל נפחי עליה נותן את המטען הכולל Q dv ρ היחידות של ρ הן מטען

Διαβάστε περισσότερα

T 1. T 3 x T 3 בזווית, N ( ) ( ) ( ) התלוי. N mg שמאלה (כיוון

T 1. T 3 x T 3 בזווית, N ( ) ( ) ( ) התלוי. N mg שמאלה (כיוון קיץ 006 f T א. כיוון שמשקל גדול יותר של m יוביל בסופו של דבר למתיחות גדולה יותר בצידה הימני, m עלינו להביט על המצב בו פועל כוח החיכוך המקס', ז"א של : m הכוחות על הגוף במנוחה (ז"א התמדה), לכן בכל ציר הכוחות

Διαβάστε περισσότερα

ךוכיח םדקמ 1 םישרת אובמ

ךוכיח םדקמ 1 םישרת אובמ מקדם חיכוך מבוא תרשים 1 כוח חיכוך הינו הכוח הפועל בין שני משטחים המחליקים או מנסים להחליק אחד על השני. עבור משטחים יבשים כוח החיכוך תלוי בסוג המשטחים ובכוח הנורמאלי הפועל ביניהם. f s כשהמשטחים נמצאים במנוחה

Διαβάστε περισσότερα

פתרון 4. a = Δv Δt = = 2.5 m s 10 0 = 25. y = y v = 15.33m s = 40 2 = 20 m s. v = = 30m x = t. x = x 0.

פתרון 4. a = Δv Δt = = 2.5 m s 10 0 = 25. y = y v = 15.33m s = 40 2 = 20 m s. v = = 30m x = t. x = x 0. בוחן לדוגמא בפיזיקה - פתרון חומר עזר: מחשבון ודף נוסחאות מצורף זמן הבחינה: שלוש שעות יש להקפיד על כתיבת יחידות חלק א יש לבחור 5 מתוך 6 השאלות 1. רכב נוסע במהירות. 5 m s לפתע הנהג לוחץ על דוושת הבלם והרכב

Διαβάστε περισσότερα

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 נתון: (AB = AC) ABC שאלה 2 ( ) נתון. באמצעות r ו-. α שאלה 3 הוכח:. AE + BE = CE שאלה 4 האלכסון (AB CD) ABCD תשובה: 14 ס"מ = CD.

שאלה 1 נתון: (AB = AC) ABC שאלה 2 ( ) נתון. באמצעות r ו-. α שאלה 3 הוכח:. AE + BE = CE שאלה 4 האלכסון (AB CD) ABCD תשובה: 14 סמ = CD. טריגונומטריה במישור 5 יח"ל טריגונומטריה במישור 5 יח"ל 010 שאלונים 006 ו- 806 10 השאלות 1- מתאימות למיקוד קיץ = β ( = ) שאלה 1 במשולש שווה-שוקיים הוכח את הזהות נתון: sin β = sinβ cosβ r r שאלה נתון מעגל

Διαβάστε περισσότερα

יווקיינ לש תוביציה ןוירטירק

יווקיינ לש תוביציה ןוירטירק יציבות מגבר שרת הוא מגבר משוב. בכל מערכת משוב קיימת בעיית יציבות מהבחינה הדינמית (ולא מבחינה נקודת העבודה). חשוב לוודא שהמגבר יציב על-מנת שלא יהיו נדנודים. קריטריון היציבות של נייקוויסט: נתונה נערכת המשוב

Διαβάστε περισσότερα

דף נוסחאות - דינמיקה של גוף קשיח Rigid Body Dynamics

דף נוסחאות - דינמיקה של גוף קשיח Rigid Body Dynamics דף נוסחאות - דינמיקה של גוף קשיח Rigid Body Dynamics r = r (t + t) r (t) v t 0 = r t a t 0 = v t v B = v B v A A העתק )Displacement( שינוי של ווקטור R בזמן t ווקטור מהירות קווית של חלקיק )Velocity( ווקטור

Διαβάστε περισσότερα

גמישויות. x p Δ p x נקודתית. 1,1

גמישויות. x p Δ p x נקודתית. 1,1 גמישויות הגמישות מודדת את רגישות הכמות המבוקשת ממצרך כלשהוא לשינויים במחירו, במחירי מצרכים אחרים ובהכנסה על-מנת לנטרל את השפעת יחידות המדידה, נשתמש באחוזים על-מנת למדוד את מידת השינויים בדרך כלל הגמישות

Διαβάστε περισσότερα

תרגול #10 מרכז מסה, מומנט התמד ומומנט כח

תרגול #10 מרכז מסה, מומנט התמד ומומנט כח תרגול #0 מרכז מסה, מומנט התמד ומומנט כח בדצמבר 03 רקע תיאורטי מרכז מסה עד כה הסתכלנו על גוף כאילו היה נקודתי. אולם לעיתים נרצה לבחון גם מערכת המכילה n גופים שלכל אחד מהם יש מסה m i ומיקום r. i ניתן לבחון

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה. α α פלוני, וכדומה. הזוויות α ל- β שווה ל-

הרצאה. α α פלוני, וכדומה. הזוויות α ל- β שווה ל- מ'' ל'' Deprmen of Applied Mhemics Holon Acdemic Insiue of Technology PROBABILITY AND STATISTICS Eugene Knzieper All righs reserved 4/5 חומר לימוד בקורס "הסתברות וסטטיסטיקה" מאת יוג'ין קנציפר כל הזכויות

Διαβάστε περισσότερα

מחוון פתרון לתרגילי חזרה באלקטרומגנטיות קיץ תשס"ז. V=ε R

מחוון פתרון לתרגילי חזרה באלקטרומגנטיות קיץ תשסז. V=ε R מחוון פתרון לתרגילי חזרה באלקטרומגנטיות קיץ תשס"ז v שאלה א. המטען חיובי, כוון השדה בין הלוחות הוא כלפי מעלה ולכן המטען נעצר. עד כניסת החלקיק לבין לוחות הקבל הוא נע בנפילה חופשית. בין הלוחות החלקיק נע בתאוצה

Διαβάστε περισσότερα

תשובות לשאלות בפרק ד

תשובות לשאלות בפרק ד תשובות לשאלות בפרק ד עמוד 91: ( היבט מיקרוסקופי ) בהתחלה היו בכלי מולקולות של מגיבים בלבד, אשר התנגשו וכך נוצרו מולקולות מסוג חדש, מולקולות תוצר. קיום של מולקולות תוצר מאפשר התרחשות של תגובה הפוכה, בה

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים:

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשעו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים: לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( 2016 2015 )............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה.1

Διαβάστε περισσότερα

תרגול #4 כוחות (נורמל, חיכוך, מדומה)

תרגול #4 כוחות (נורמל, חיכוך, מדומה) תרגול #4 כוחות נורמל, חיכוך, מדומה 8 באפריל 013 רקע תיאורטי כוח נורמלי כח שמפעיל משטח בתגובה לכח שמופעל עליו. כוח חיכוך חיכוך הוא כוח הפועל בין שני גופים הנמצאים במגע ומופעל על ידי גוף אחד הדוחף או מושך

Διαβάστε περισσότερα

4( מסה m תלויה על חוט בנקודה A ומשוחררת. כאשר היא עוברת בנקודה הנמוכה ביותר B, המתיחות בחוט היא: א. התשובה תלויה באורך החוט.

4( מסה m תלויה על חוט בנקודה A ומשוחררת. כאשר היא עוברת בנקודה הנמוכה ביותר B, המתיחות בחוט היא: א. התשובה תלויה באורך החוט. 1( מכונית נעה במהירות קבועה ימינה לאורך כביש מהיר ישר. ברגע בו חולפת המכונית על פני צוק, אבן נופלת כלפי מטה במערכת הייחוס של הצוק. אלו מבין העקומות הבאות מתארת באופן הטוב ביותר את המסלול של האבן במערכת

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 3 שטף חשמלי ומשפט גאוס

תרגיל 3 שטף חשמלי ומשפט גאוס תרגיל שטף חשמלי ומשפט גאוס הערה: אינטגרלים חיוניים מוצגים בסוף הדף 1. כדור שמסתו.5 g ומטענו 1 6- C תלוי בחוט שאורכו 1 m ונמצא בשדה חשמלי של לוח אינסופי. החוט נפרש בזווית של 1 לכיוון הלוח. מה צפיפות המטען

Διαβάστε περισσότερα

תשס"ז שאלות מהחוברת: שאלה 1: 3 ס"מ פתרון: = = F r 03.0 שאלה 2: R פתרון: F 2 = 1 10

תשסז שאלות מהחוברת: שאלה 1: 3 סמ פתרון: = = F r 03.0 שאלה 2: R פתרון: F 2 = 1 10 Q 0 חוק קולון: שאלות מהחוברת: שאלה : פיזיקה למדעי החיים פתרון תרגיל 5 חוק קולון,שדה חשמלי ופוטנציאל חשמלי ו- Q 5 0 Q Q 3 ס"מ חשב את הכוח החשמלי הפועל בין שני מטענים נקודתיים הנמצאים במרחק 3 ס"מ זה מזה.

Διαβάστε περισσότερα

Vcc. Bead uF 0.1uF 0.1uF

Vcc. Bead uF 0.1uF 0.1uF ריבוי קבלים תוצאות בדיקה מאת: קרלוס גררו. מחלקת בדיקות EMC 1. ריבוי קבלים תוצאות בדיקה: לקחנו מעגל HLXC ובדקנו את סינון המתח על רכיב. HLX מעגל הסינון בנוי משלוש קבלים של, 0.1uF כל קבל מחובר לארבע פיני

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין

Διαβάστε περισσότερα

m 3kg משוחררת מנקודה A של משור משופע חלק בעל אורך

m 3kg משוחררת מנקודה A של משור משופע חלק בעל אורך .v A עבודה: ( גוף נזרק מגובה h 8m במהירות אופקית שווה ל- 7m/s א. מהי העבודה הנעשית על ידי כוח הכובד מנקודה A לנקודה B? השתמש במשפט עבודה - אנרגיה קינטית כדי לחשב את גודל מהירות הגוף בנקודה B. AB l m וזווית.

Διαβάστε περισσότερα

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות אוסף שאלות מס. 3 פתרונות שאלה מצאו את תחום ההגדרה D R של כל אחת מהפונקציות הבאות, ושרטטו אותו במישור. f (x, y) = x + y x y, f 3 (x, y) = f (x, y) = xy x x + y, f 4(x, y) = xy x y f 5 (x, y) = 4x + 9y 36,

Διαβάστε περισσότερα

גיאומטריה גיאומטריה מצולעים ניב רווח פסיכומטרי

גיאומטריה גיאומטריה מצולעים ניב רווח פסיכומטרי מצולע הוא צורה דו ממדית, עשויה קו "שבור" סגור. לדוגמה: משולש, מרובע, מחומש, משושה וכו'. אלכסון במצולע הוא הקו המחבר בין שני קדקודים שאינם סמוכים זה לזה. לדוגמה: בסרטוט שלפניכם EC אלכסון במצולע. ABCDE (

Διαβάστε περισσότερα

תרגול 6 חיכוך ותנועה מעגלית

תרגול 6 חיכוך ותנועה מעגלית נכתב ע"י עומר גולדברג תרגול 6 חיכוך ותנועה מעגלית Physics1B_2017A חיכוך כוח הנובע ממגע בין שני משטחים. אם יש כוח חיצוני הפועל על גוף בניסיון לייצר תנועה, ייווצר כוח בכיוון ההפוך כתוצאה מחיכוך. אם אין תנועה

Διαβάστε περισσότερα

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשעו (2016) לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור

Διαβάστε περισσότερα

{ : Halts on every input}

{ : Halts on every input} אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.

Διαβάστε περισσότερα

פרק 8: עצים. .(Tree) במשפטים הגדרה: גרף ללא מעגלים נקרא יער. דוגמה 8.1: תרגילים: הקודקודים 2 ו- 6 בדוגמה הוא ).

פרק 8: עצים. .(Tree) במשפטים הגדרה: גרף ללא מעגלים נקרא יער. דוגמה 8.1: תרגילים: הקודקודים 2 ו- 6 בדוגמה הוא ). מבוא לפרק: : עצים.(ree) עצים הם גרפים חסרי מעגלים. כך, כיוון פרק זה הוא מעין הפוך לשני הפרקים הקודמים. עץ יסומן לרב על ידי במשפטים 8.1-8.3 נפתח חלק מתכונותיו, ובהמשך נדון בהיבטים שונים של "עץ פורש" של

Διαβάστε περισσότερα

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

TECHNION Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 ציור 1: דיאגרמת הבלוקים

TECHNION Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 ציור 1: דיאגרמת הבלוקים TECHNION Iael Intitute of Technology, Faculty of Mechanical Engineeing מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 d e C() y P() - ציור : דיאגרמת הבלוקים? d(t) ו 0 (t) (t),c() 3 +,P() + ( )(+3) שאלה מס נתונה

Διαβάστε περισσότερα

דף תרגילים תנועת מטען בשדה מגנטיות

דף תרגילים תנועת מטען בשדה מגנטיות 1 דף תרגילים תנועת מטען בשדה מגנטיות תנועת מטען בשדה מגנטי בלבד וחשמלי מסת פרוטון 1.671-7 kg מסת אלקטרון 9.111-31 kg גודל מטען האלקטרון/פרוטון 1.61 19- c שאלה 1 שני חלקיקים בעלי מסה שווה אופקית וקבועה

Διαβάστε περισσότερα

שטף בהקשר של שדה וקטורי הוא "כמות" השדה הוקטורי העובר דרך משטח מסויים. שטף חשמלי מוגדר כך:

שטף בהקשר של שדה וקטורי הוא כמות השדה הוקטורי העובר דרך משטח מסויים. שטף חשמלי מוגדר כך: חוק גאוס שטף חשמלי שטף בהקשר של שדה וקטורי הוא "כמות" השדה הוקטורי העובר דרך משטח מסויים. שטף חשמלי מוגדר כך: Φ E = E d כאשר הסימון מסמל אינטגרל משטחי כלשהו (אינטגרל כפול) והביטוי בתוך האינטגרל הוא מכפלה

Διαβάστε περισσότερα

את כיוון המהירות. A, B

את כיוון המהירות. A, B קיץ 6 AB, B A א. וקטור שינוי המהירות (בקטע מ A ל B), עפ"י ההגדרה, הוא: (עפ"י הסימונים שבתרשים המהירות בנקודה A, למשל, היא ). נמצא וקטור זה, באופן גרפי, ונזכור כי אין משמעות למיקום הוקטורים:. (הערה עבור

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית (1) - פתרון תרגיל 11

אלגברה לינארית (1) - פתרון תרגיל 11 אלגברה לינארית ( - פתרון תרגיל דרגו את המטריצות הבאות לפי אלגוריתם הדירוג של גאוס (א R R4 R R4 R=R+R R 3=R 3+R R=R+R R 3=R 3+R 9 4 3 7 (ב 9 4 3 7 7 4 3 9 4 3 4 R 3 R R3=R3 R R 4=R 4 R 7 4 3 9 7 4 3 8 6

Διαβάστε περισσότερα

רקע תיאורטי פיסיקה 1

רקע תיאורטי פיסיקה 1 רקע תיאורטי פיסיקה 1 30 ביוני 2013 הערה: יתכן וישנן נוסחאות שנלמדו אך אינן מופיעות פה. הרשימות מטה הן ריכוז של התרגולים בקורס ואין לייחס אליהם כאל מקור רפרנס יחיד בקורס (כל הזכויות שמורות לשרית נגר). dx(t)

Διαβάστε περισσότερα

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A ) הסתברות למתמטיקאים c ארזים 3 במאי 2017 1 תוחלת מותנה הגדרה 1.1 לכל משתנה מקרי X אינטגרבילית ותת סיגמא אלגברה G F קיים משתנה מקרי G) Y := E (X המקיים: E (X1 A ) = E (Y 1 A ).G מדיד לפי Y.1.E Y

Διαβάστε περισσότερα

חשמל ומגנטיות תשע"ה תרגול 6 קיבול וחומרים דיאלקטרים

חשמל ומגנטיות תשעה תרגול 6 קיבול וחומרים דיאלקטרים חשמל ומגנטיות תשע"ה תרגול 6 קיבול וחומרים דיאלקטרים בשיעור הקודם עסקנו רבות במוליכים ותכונותיהם, בשיעור הזה אנחנו נעסוק בתכונה מאוד מרכזית של רכיבים חשמליים. קיבול המטען החשמלי. את הקיבול החשמלי נגדיר

Διαβάστε περισσότερα

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יחל סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר

Διαβάστε περισσότερα

הסקה סטטיסטית/תקציר/תלמה לויתן

הסקה סטטיסטית/תקציר/תלמה לויתן הסקה סטטיסטית/תקציר/תלמה לויתן בניסוי אקראי נמדד ערכו של משתנה כמותי משתנה המחקר ואולם התפלגות המשתנה אינה ידועה החוקר מעוניין לענות על שאלות הנוגעות לערכי הנחות: - משפחת ההתפלגות של ידועה (ניווכח שזה

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 3. b a I(A) α(deg) 10 cm

שאלה 3. b a I(A) α(deg) 10 cm שאלה 1 תרגילי חזרה במגנטיות בתוך שדה מגנטי אחיד B שרויה הצלע התחתונה (שאורכה ( L של מעגל חשמלי מלבני. המעגל החשמלי מורכב מסוללה ומסגרת מלבנית מוליכה שזורם בה זרם i. המעגל החשמלי תלוי בצד אחד של מאזניים

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2 אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק

Διαβάστε περισσότερα

הקשור (נפחית, =P כאשר P קבוע. כלומר zˆ P. , ρ b ומשטחית,

הקשור (נפחית, =P כאשר P קבוע. כלומר zˆ P. , ρ b ומשטחית, אלקטרוסטטיקה בנוכחות חומרים התחום שבין מישור y למישור t ממולא בחומר בעל פולריזציה לא אחידה +α)ˆ P 1)P כאשר P ו - α קבועים. מצא את צפיפויות המטען הנתונה ע"י σ). חשב את סה"כ המטען הקשור בגליל (מהחומר ומשטחית

Διαβάστε περισσότερα

אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #13 יחסות פרטית

אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #13 יחסות פרטית אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #13 יחסות פרטית הקונבנציה המקובלת הינה שמסמנים אינדקסים לורנצים (4 מימדיים) באמצעות אותיות יווניות, כלומר µ, ν = 0, 1, 2, 3 ואילו אינדקסים אוקלידים באמצעות אותיות אנגליות i,

Διαβάστε περισσότερα

69163) C [M] nm 50, 268 M cm

69163) C [M] nm 50, 268 M cm א ב ג סמסטר אביב, תשע"א 11) פיתרון מס' 4: תרגיל 69163 69163) פיסיקלית א' כימיה בליעה והעברה של אור חוק בר-למבר) כללי.1 נתון כי הסטודנט מדד את ההעברה דרך דוגמת החלבון בתוך תא של 1 ס"מ. גרף של העברה T) כתלות

Διαβάστε περισσότερα

קחרמב יאצמנה דחא לכ Q = 1 = 1 C לש ינעטמ ינש ינותנ (ג ( 6 )? עטמה תא ירצוי ינורטקלא המכ.1 ( 5 )? עטמ לכ לע לעופה חוכ והמ.2

קחרמב יאצמנה דחא לכ Q = 1 = 1 C לש ינעטמ ינש ינותנ (ג ( 6 )? עטמה תא ירצוי ינורטקלא המכ.1 ( 5 )? עטמ לכ לע לעופה חוכ והמ.2 לקט תרגילי חזרה בנושא אלקטרוסטטיקה מבנה אטו, חוק קולו. א) נתוני שני איזוטופי של יסוד ליטיו 3 Li 6 : ו. 3 Li 7 מהו הבדל בי שני האיזוטופי? מה משות ביניה? ) התייחס למספר אלקטרוני, פרוטוני וניטרוני, מסת האיזוטופ

Διαβάστε περισσότερα

מטרות הניסוי: רקע תאורטי: מורה יקר! שים לב, כל התשובות הנכונות מסומנות באדום!

מטרות הניסוי: רקע תאורטי: מורה יקר! שים לב, כל התשובות הנכונות מסומנות באדום! מורה יקר! שים לב, כל התשובות הנכונות מסומנות באדום! מטרות הניסוי: 1. חקירת התלות של עוצמת השדה המגנטי, שנוצר במרכז לולאה מעגלית נושאת זרם בשני פרמטרים: א. ב. עוצמת הזרם הזורם בלולאה, כאשר מספר הכריכות

Διαβάστε περισσότερα

בכל החלקים לפני חיבור המעגל יש לקבל אישור מהמדריך. מעגלים חשמליים- תדריך עבודה

בכל החלקים לפני חיבור המעגל יש לקבל אישור מהמדריך. מעגלים חשמליים- תדריך עבודה הערה: שימו לב ששגיאת המכשירים הדיגיטאליים שאיתם עובדים בניסוי משתנה בין סקאלות ותלויה גם בערכים הנמדדים לכן יש להימנע ממעבר סקאלה במהלך המדידה )למעט במד ההתנגדות בחלק ב'( ובכל מקרה לרשום בכל מדידה באיזה

Διαβάστε περισσότερα

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p

Διαβάστε περισσότερα

חלק ראשון אלקטרוסטטיקה

חלק ראשון אלקטרוסטטיקה undewa@hotmail.com גירסה 1. 3.3.5 פיסיקה תיכונית חשמל חלק ראשון אלקטרוסטטיקה מסמך זה הורד מהאתר.http://undewa.livedns.co.il אין להפיץ מסמך זה במדיה כלשהי, ללא אישור מפורש מאת המחבר. מחבר המסמך איננו אחראי

Διαβάστε περισσότερα

תרגילים פרופ' עזרא בר-זיו המחלקה להנדסת מכונות (תשס"ד) שאלה 1 שאלה 2 נתון : Time (sec) Pressure, mm Hg (torr)

תרגילים פרופ' עזרא בר-זיו המחלקה להנדסת מכונות (תשסד) שאלה 1 שאלה 2 נתון : Time (sec) Pressure, mm Hg (torr) א( קורס יסודות תורת השריפה (6-1-441) פרופ' עזרא בר-זיו המחלקה להנדסת מכונות (תשס"ד) תרגילים גיליון מספר 1: תרגילים בקינטיקה כימית נתון : שאלה 1 PH מתפרק ב- 600 o (g) (g) C ל- PH ו- H. בזמן התפרקות נמדדו

Διαβάστε περισσότερα

-הולכה חשמלית- הולכה חשמלית

-הולכה חשמלית- הולכה חשמלית מילות מפתח: הולכה חשמלית התנגדות, וולטמטר, אמפרמטר, נגד, דיודה, אופיין, התנגדות דינמית. הציוד הדרוש: 2 רבי מודדים דגיטלים )מולטימטרים(, פלטת רכיבים, ספק, כבלים חשמליים. מטרות הניסוי: הכרת נושא ההולכה החשמלית

Διαβάστε περισσότερα

גליון 1 גליון 2 = = ( x) ( x)

גליון 1 גליון 2 = = ( x) ( x) 475 פיסיקה ממ, פתרונות לתרגילי בית, עמוד מתוך 6 גליון מה שוקל יותר: קילו נוצות או סבתא תחשבו לבד גליון Q in E k, q ρ ( ) v Qin ρ ( ) v v 4π Qin ρ ( ) 4π v העקרונות המנחים בגיליון זה: פתרון לשאלה L ( x)

Διαβάστε περισσότερα

קשר כימי - מה זה? האם ואיך מושג זה קשור ללימודי כימיה בחטיבת הביניים?

קשר כימי - מה זה? האם ואיך מושג זה קשור ללימודי כימיה בחטיבת הביניים? קשר כימי - מה זה? האם ואיך מושג זה קשור ללימודי כימיה בחטיבת הביניים? תמי לוי נחום קישור כימי bonding( )chemical הוא נושא מרכזי בכימיה ובהוראת הכימיה, והבנתו חיונית ללימוד נושאים רבים בכימיה בחטיבה העליונה.

Διαβάστε περισσότερα

2NH 3 (g) 2NO 2 (g) N 2 (g) + 3H 2 (g) N 2 (g) + 2O 2 (g) 2 ΔH>0 ΔH>0 ΔH < 0 ΔH <0

2NH 3 (g) 2NO 2 (g) N 2 (g) + 3H 2 (g) N 2 (g) + 2O 2 (g) 2 ΔH>0 ΔH>0 ΔH < 0 ΔH <0 - מרים כרמי שאלה 1 נתונות שתי תגובות כימיות )1( ו-) 2 ) 1. N2(g) + 2O2(g) 2NO2(g) 2. N2(g) + 3H2(g) 2NH3(g) הערך את השינוי באנטרופיה של המערכת בכל אחת מהתגובות הנתונות. הסבר את תשובתך ברמה מיקרוסקופית.

Διαβάστε περισσότερα

זיהוי פגמים במיתר באמצעות גלים עומדים

זיהוי פגמים במיתר באמצעות גלים עומדים מה חדש במעבדה? זיהוי פגמים במיתר באמצעות גלים עומדים מרק גלר, ישיבת בני עקיבא, נתניה אלכסנדר רובשטין, מכון דווידסון, רחובות מבוא גלים מכניים תופסים מקום חשוב בלימודי הפיזיקה בבית הספר. הנושא של גלים מכניים

Διαβάστε περισσότερα

כן. v J v=1. v=0 J=3 J=2 J=1 J=0 J=3 J=2 J=1 J=0

כן. v J v=1. v=0 J=3 J=2 J=1 J=0 J=3 J=2 J=1 J=0 E, ספקטרום ויברציה-רוטציה: כן. ספקטרום ויברציה רוטציה מכיל בו את כללי הברירה הן של ספקטרום ויברציה והן של ספקטרום רוטציה. ספקטרום זה מתאר את המעברים הויברציוניים המערבים בתוכם מעברים רוטציונים גם ± ניקח

Διαβάστε περισσότερα

פיזיקה מבחן מתכונת בחשמל ומגנטיות לתלמידי 5 יחידות לימוד הוראות לנבחן

פיזיקה מבחן מתכונת בחשמל ומגנטיות לתלמידי 5 יחידות לימוד הוראות לנבחן מאי 2011 קרית חינוך אורט קרית ביאליק פיזיקה מבחן מתכונת בחשמל ומגנטיות לתלמידי 5 יחידות לימוד הוראות לנבחן א. משך הבחינה: שעה ושלושה רבעים (105 דקות) ב. מבנה השאלון ומפתח ההערכה: בשאלון זה חמש שאלות, ומהן

Διαβάστε περισσότερα

תרגול למבחן בכימיה אנרגיה בקצב הכימיה פרקים א ו-ב

תרגול למבחן בכימיה אנרגיה בקצב הכימיה פרקים א ו-ב לפניכם שני תהליכים אנדותרמיים: תרגול למבחן בכימיה אנרגיה בקצב הכימיה פרקים א ו-ב A. H 2 0 (g) H 2(g) + 1/2 O 2(g).1 B. H 2 0 (g) 2H.(g) + O (g) כמות האנרגיה הנקלטת בתהליך A: גדולה מזו הנקלטת בתהליך B.

Διαβάστε περισσότερα

Atomic Mass Unit (AMU) gr mole = N AMU

Atomic Mass Unit (AMU) gr mole = N AMU ה. מבוא להנדסת חומרים- פתרונות פרק (מורחב): קשרים בין אטומיים איזוטופים- אטומים של אותו יסוד, אשר הם בעלי מסות שונות.. מסות השונות נובעות ממספר שונה של נויטרונים בגרעין. היסוד נקבע עפ"י מספר הפרוטונים

Διαβάστε περισσότερα

אוסף שאלות מס. 5. שאלה 1 בדוגמאות הבאות, נגדיר פונקציה על ידי הרכבה: y(t)).g(t) = f(x(t), בשתי דרכים:

אוסף שאלות מס. 5. שאלה 1 בדוגמאות הבאות, נגדיר פונקציה על ידי הרכבה: y(t)).g(t) = f(x(t), בשתי דרכים: אוסף שאלות מס. 5 שאלה 1 בדוגמאות הבאות, נגדיר פונקציה על ידי הרכבה: y(t)).g(t) = f(x(t), חשבו את הנגזרת (t) g בשתי דרכים: באופן ישיר: על ידי חישוב ביטוי לפונקציה g(t) וגזירה שלו, בעזרת כלל השרשרת. בידקו

Διαβάστε περισσότερα

חשמל ומגנטיות תשע"ה תרגול 3 פוטנציאל חשמלי ואנרגיה אלקטרוסטטית

חשמל ומגנטיות תשעה תרגול 3 פוטנציאל חשמלי ואנרגיה אלקטרוסטטית חשמל ומגנטיות תשע"ה תרגול 3 פוטנציאל חשמלי ואנרגיה אלקטרוסטטית הפונציאל החשמלי בעבור כל שדה וקטורי משמר ישנו פוטנציאל סקלרי המקיים A = φ הדבר נכון גם כן בעבור השדה החשמלי וניתן לרשום E = φ (1) סימן המינוס

Διαβάστε περισσότερα

שימושים גיאומטריים ופיזיקליים לחומר הנלמד באינפי 4

שימושים גיאומטריים ופיזיקליים לחומר הנלמד באינפי 4 שימושים גיאומטריים ופיזיקליים לחומר הנלמד באינפי 4 18 ביוני 15 התרגום למושגים הפיזיקליים הוא חופשי שלי. אבשלום קור, מאחוריך. לא נתתי דוגמאות לשימושים שכן ראינו (גיאומטריים). אפשר למצוא דוגמאות בתרגולים.

Διαβάστε περισσότερα

התשובות בסוף! שאלה 1:

התשובות בסוף! שאלה 1: התשובות בסוף! שאלה : בעיה באלקטרוסטטיקה: נתון כדור מוליך. חשבו את העבודה שצריך להשקיע כדי להניע יח מטען מן הנק לנק. (הנק נמצאת במרחק מהמרכז, והנק נמצאת במרחק מהמרכז). kq( ) kq ( ) לא ניתן לקבוע שאלה :

Διαβάστε περισσότερα

Data Studio. AC1_Circuit_R.ds כרך : חשמל

Data Studio. AC1_Circuit_R.ds כרך : חשמל טל': 03-5605536 פקס: www.shulan-sci.co.il 03-5660340 מעגל זרם חילופין - 1 למעגל יש רק התנגדות - R Data Studio שם קובץ הניסוי: AC1_Circuit_R.ds חוברת מס' 8 כרך : חשמל מאת: משה גלבמן טל': 03-5605536 פקס:

Διαβάστε περισσότερα

פיזיקה 3 יחידות לימוד הוראות לנבחן

פיזיקה 3 יחידות לימוד הוראות לנבחן בגרות לבתי ספר על יסודיים א. סוג הבחינה: מדינת ישראל בגרות לנבחנים אקסטרניים ב. משרד החינוך קיץ תשע"ג, 2013 מועד הבחינה: 84 036001, מספר השאלון: נתונים ונוסחאות בפיזיקה ל 3 יח"ל נספח: א. משך הבחינה: שלוש

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,

Διαβάστε περισσότερα

גודל. איור 29.1 ב- = 2 = 4. F x שני דרכים לחבר: גאומטרית ואלגברית. איור d = 3

גודל. איור 29.1 ב- = 2 = 4. F x שני דרכים לחבר: גאומטרית ואלגברית. איור d = 3 d פרופ' שלמה הבלין 9. אנליזה וקטורית הפרק שלפנינו נקרא אנליזה וקטורית והוא עוסק בחשבון דפרנציאלי ואנטגרלי של וקטורים. הרבה גדלים בפיסיקה יש להם גם ערך מספרי גודל וגם כיוון במרחב. למשל העתק, או מהירות של

Διαβάστε περισσότερα

חישוב מרכז המסה של המערכת אופנים + רוכב

חישוב מרכז המסה של המערכת אופנים + רוכב לצאת מהשיגרה חישוב מרכז המסה של המערכת אופנים + רוכב חזי יצחק, תיכון לחינוך סביבתי, מדרשת שדה בוקר, המכון לחקר המדבר, אוניברסיטת בן גוריון בנגב גל ברן, חברת גיאופן תקציר אנו מציעים שיטה חדשה לחישוב מרכז

Διαβάστε περισσότερα

gcd 24,15 = 3 3 =

gcd 24,15 = 3 3 = מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לרדיואקטיביות לחץ כדי לערוך סגנון כותרת משנה של תבנית בסיס

מבוא לרדיואקטיביות לחץ כדי לערוך סגנון כותרת משנה של תבנית בסיס מבוא לרדיואקטיביות לחץ כדי לערוך סגנון כותרת משנה של תבנית בסיס היסודות השונים הקיימים בטבע והיסודות שנוצרו באופן מלאכותי עשויים מאטומים האטומים בנויים מגרעין ומאלקטרונים שנעים סביב הגרעין. הגרעין עצמו

Διαβάστε περισσότερα

" מדידת תאוצה חופשית "

 מדידת תאוצה חופשית ערך מדידת תאוצת הנפילה החופשית 1 " מדידת תאוצה חופשית " מטרת הניסוי : מציאת תאוצת נפילה. הוכחת הקשר בין העתק למהירות ע"י שיטות אינטגרציה. מהלך הניסוי : בניסוי זה נשתמש במערכת שתכיל : א. רשם זמן. ב. סרט

Διαβάστε περισσότερα