15. Στατιστική αξιολόγηση περισσοτέρων των δύο µέσων τιµών (ANOVA)

Transcript

1 15. Στατιστική αξιολόγηση περισσοτέρων των δύο µέσων τιµών (ANOVA) Σύνοψη Σ αυτό το κεφάλαιο εξετάζεται η περίπτωση στης στατιστικής σηµαντικότητας της διαφοράς µεταξύ περισσοτέρων των δύο µέσων τιµών, δηλαδή όταν σε ένα πείραµα αναπτύσσονται περισσότερες των δύο οµάδες (δείγµατα) δοκιµίων. Η συνήθης στατιστική δοκιµασία γι αυτές τις περιπτώσεις η οποία και αναλύεται σ αυτό το κεφάλαιο είναι η ανάλυση της διακύµασνης (ANOVA). Εξετάζονται δύο περιπτώσεις εφαρµογής της ANOVA, η περίπτωση του πειράµατος µε έναν παράγοντα µελέτης επί πολλαπλών οµάδων δοκιµίων. Στο ίδιο κεφάλαιο εξετάζεται η ίδια σχεδίαση πειράµατος, όµως σε περιπτώσεις που δεν υπάρχει κανονικότητα της κατανοµής συχνοτήτων των διαφόρων οµάδων δοκιµίων και πρέπει να εφαρµοστούν ανάλογες µη παραµετρικές µέθοδοι όπως η Kruskal Wallis One Way ANOVA H δοκιµασία ενός παράγοντα χωρίς επαναλαµβανόµενες µετρήσεις To t-test εφαρµόζεται σε περιπτώσεις δύο δειγµάτων και κάτω από προϋποθέσεις που πρέπει να ισχύουν. Τι γίνεται όµως όταν σε ένα πείραµα έχουν σχεδιαστεί περισσότερες από δύο οµάδες και πρέπει να εξεταστεί η διακύµανση των µέσων τιµών µεταξύ αυτών των οµάδων; Σ αυτήν την περίπτωση εφαρµόζεται η µέθοδος της ανάλυσης της διακύµανσης (Analysis of 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Variance ή ANOVA). Έστω ότι γίνεται ένα πείραµα για τη µέτρηση της αντοχής του ακρυλικού των ολικών οδοντοστοιχιών (ΡΜΜΑ) µετά από ενίσχυση µε δύο περιεκτικότητες ινών. Το πείραµα σχεδιάζεται έτσι ώστε να κατασκευαστούν τρείς οµάδες (Groups) των δέκα δοκιµίων. Η µία οµάδα είναι η οµάδα ελέγχου (χωρίς ίνες), η δεύτερη οµάδα είναι η οµάδα των δοκιµίων µε 50% ίνες υάλου και η άλλη η οµάδα των δοκιµίων µε 10% ίνες. Αυτός ο τύπος του πειράµατος όπου κάθε δοκίµιο εκπληρώνει µία συνθήκη (έναν παράγοντα) δηµιουργώντας έτσι µία ανεξάρτητη µεταβλητή (για κάθε δοκίµιο) θεωρείται ότι έχει έναν παράγοντα επεξεργασίας (των δοκιµίων) χωρίς επαναλαµβανόµενες µετρήσεις. Δηλαδή το κάθε δοκίµιο που αντιπροσωπεύει µία συνθήκη (παράγοντα) δοκιµάζεται µόνο µία φορά. Από ένα τέτοιο πείραµα θα πάρουµε τρεις οµάδες µετρήσεων. Το ΑΝΟVA µπορεί να εξετάσει την άκυρη υπόθεση ότι οι µέσες τιµές και των 6, 7, 8, 9 τριών οµάδων είναι ίσες µεταξύ τους, δηλαδή ότι δεν υπάρχει διακύµανση µεταξύ τους. Ο λόγος για τον οποίο δεν γίνονται συγκρίσεις των οµάδων ανά δύο µε τη χρήση του t-test είναι ότι σε µεγάλο αριθµό οµάδων η πιθανότητα µίας µόνο σύγκρισης να δείξει σηµαντικότητα είναι πολύ µεγάλη έως σίγουρη. Σε γενικές γραµµές το ANOVA λειτουργεί ως εξής: H µέση τιµή µίας οµάδας (Group) είναι η εκτίµηση της αντοχής του ακρυλικού κάτω από την ειδική για κάθε περίπτωση συνθήκη (παράγοντα). Η αντοχή του κάθε δοκιµίου διακυµαίνεται σε µεγάλο εύρος και µερικές φορές αποκλίνει σηµαντικά από τη µέση τιµή της οµάδας στην οποία ανήκει το δοκίµιο. Αυτή η εντός της οµάδας διακύµανση λειτουργεί σαν θόρυβος, ή σφάλµα. Αναµένεται εξάλλου και µεγάλη διακύµανση µεταξύ των µέσων τιµών των διαφόρων 6, 7, 8, 9 οµάδων. Το στατιστικό κριτήριο ANOVA (F) υπολογίζεται µε διαίρεση της διακύµανσης µεταξύ των οµάδων µε τη διακύµανση εντός της οµάδας. Εάν η διακύµανση µεταξύ των οµάδων είναι µεγάλη τότε το F παίρνει µεγάλες τιµές και ακυρώνεται η άκυρη υπόθεση. Πρέπει να σηµειωθεί ότι το ANOVA ανιχνεύει ότι κάπου ανάµεσα στις µέσες τιµές υπάρχει διακύµανση. Δεν µπορεί να κρίνει όµως εάν κάθε ειδική σύγκριση, δηλαδή κάθε σύγκριση µεταξύ όλων των δυνατών ζευγών µέσων τιµών, είναι στατιστικά σηµαντική. Γι αυτό απαιτούνται επιπλέον 6, 7, 8, 9 δοκιµασίες για το που εντοπίζονται αυτές οι διακυµάνσεις.

2 Το πρόγραµµα SPSS διαθέτει διάφορες επιλογές για τις συγκρίσεις των µέσων τιµών ανά δύο όπως 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 το Tukey s Honestly Significant Difference (HSD) test και το Scheffer s test. Έστω ότι σχεδιάζεται ένα πείραµα µέτρησης της αντοχής του PMMA µετά από ενίσχυση µε ίνες από διαφορετικά υλικά. Όπως αναφέρθηκε προηγούµενα σχεδιάστηκε να κατασκευαστούν τρείς οµάδες των δέκα δοκιµίων η µία που είναι η οµάδα ελέγχου η δεύτερη µε 10% ίνες και η τρίτη µε 50% ίνες. H καταχώρηση στο SPSS γίνεται σε δύο στήλες. Η πρώτη στήλη είναι η στήλη των οµάδων (ανεξάρτητη µεταβλητή) και η 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 άλλη είναι η στήλη των µετρήσεων (εξηρτηµένη µεταβλητή) και είναι όπως στην εικόνα. Εικόνα 15.1 Καταχώρηση των δεδοµένων του πειράµατος σε φύλλο εργασίας του στατιστικού προγράµµατος. Αφού επιλεγεί το φύλλο εργασίας του SPSS επιλέγεται Analyze>>>Compare Means>>>One Way ANOVA οπότε ανοίγει το κουτί διαλόγου του ANOVA και εκεί η επιλέγεται Post Hoc και στο κουτί

3 διαλόγου που ανοίγει επιλέγεται το Tukeys (Eικόνα 15.2). Επιλέγεται ΟΚ οπότε εµφανίζεται το αποτέλεσµα της στατιστικής δοκιµασίας των εικόνων 15.3 και Εικόνα 15.2 Επιλογή Post Hoc και Tukey (HSD test) για την ανά δύο σύγκριση των µέσων τιµών.

4 Εικόνα 15.3 Το φύλλο των αποτελεσµάτων της στατιστικής δοκιµασίας ANOVA και της σύγκρισης των µέσων τιµών ανά δύο µε το Tukey HSD test. Στους πίνακες των αποτελεσµάτων αρχικά φαίνεται ότι το επίπεδο σηµαντικότητας για το κριτήριο F είναι µικρότερο του 0,05 και άρα η άκυρη υπόθεση ακυρώνεται. Άρα ακυρώνεται η υπόθεση ότι οι µέσες τιµές των οµάδων είναι ίσες µεταξύ τους και δεν υπάρχει διακύµανση. Άρα υπάρχει διακύµανση µεταξύ των µέσων τιµών σε σηµαντικό βαθµό. Στον πίνακα του Post Hoc test γίνεται σύγκριση µεταξύ των µέσων τιµών κατά ζεύγη και εκεί φαίνεται ότι ενώ οι δύο οµάδες µε τις ίνες διαφέρουν σε στατιστικά σηµαντικό βαθµό από την οµάδα ελέγχου 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 δεν διαφέρουν µεταξύ τους Μη παραµετρική µέθοδος ANOVA για πειράµατα ενός παράγοντα (µε πολλαπλές οµάδες) Σε περιπτώσεις που υπάρχει σηµαντική ετερογένεια της διακύµανσης και τα δεδοµένα δεν είναι κατανεµηµένα µε κανονικότητα µπορεί να χρησιµοποιηθεί µία µη παραµετρική µέθοδος. Mία τέτοια µέθοδος είναι η Kruskal Wallis. Αφού επιλεγεί το φύλλο εργασίας επιλέγεται Analyze>>Non Parametric>>K Independent Samples (Εικόνα 15.4) και στο κουτί διαλόγου µετaφέρεται η µεταβλητή Group στο Grouping Variable ενώ η 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 µεταβλητή Strength στο Test Variable List.

5 Εικόνα 15.4 Εντολές Analyze>>Non Parametric>>K Independent Samples για τη µη παραµετρική µέθοδο ΑΝΟVA. Στο κουτί διαλόγου και στο Define group προσδιορίζονται τα groups µεταξύ των οποίων θα γίνει το test σαν max και min (Εικόνα 15.5). Στην εικόνα 15.6 φαίνεται το φύλλο αποτελεσµάτων της δοκιµασίας της µη παραµετρικής µεθόδου ANOVA.

6 Εικόνα 15.5 Επιλογή της µεθόδου Kruskal-Wallis και προορισµός του εύρους των οµάδων µεταξύ των οποίων θα εφαρµοστεί η µέθοδος.

7 Εικόνα 15.6 Φύλλο αποτελεσµάτων µη παραµετρικής µεθόδου ANOVA. Παρατηρείται ότι για το ίδιο πείραµα τα αποτελέσµατα είναι τα ίδια για τις παραµετρικές και µη παραµετρικές µεθόδους. Ειδικότερα παρατηρείται ότι για τη µη παραµετρική µέθοδο υπάρχει διακύµανση µεταξύ των µέσων τιµών σε στατιστικά σηµαντικό βαθµό (P<<0,05)

8 Βιβλιογραφία 1. Blaxter L, Hughes C, Tight M. How to research. 1st Edition. Philadelphia: Open University Press; Dally J, Rilley W. Experimental stress analysis. 3 rd Edition. New York:McGraw Hill International Editions; Graziano AM, Raulin ML. Research methods. A process to inquiry. 3 rd Edition. New York: Longman; Moore N. How to do research: Practical guide to designing and managing research project. 3d Edition. Cornwell UK: Facet Pub; SmithRV. Graduate Research: A Guide for students in the sciences. 3d Edition. Seatle: University of Washington Press; Τριχόπουλος Δ, Τζώνου Α, Κατσουγιάννη Κ. Βιοστατιστική. Αθήνα: Εκδόσεις Παρισιάνου; Τσαχαγέα Χ. Βιοµετρία. Αθήνα: Οργανισµός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων; Kinnear PR, Grey CD. SPSS for Windows Made Simple. 1 st Edition. Sussex (UK):Erlbaum Taylor & Francis; Maxwell JA. Qualitative research design. An interactive approach. 1 st Edition. London: SAGE Publications; Darren G. SPSS for Windows Step by Step: A simple guide and reference. 4 th Edition SPSS 12 Brief Guide Introduction to SPSS. Chapter 1. r1.pdf 12. Ρούσσος Π, Ευσταθίου Γ. Σύντοµο εγχειρίδιο SPSS 16. Πρόγραµµα Ψυχολογίας, Τµήµα ΦΠΨ, ΕΚΠΑ Levesque R. SPSS Programming and data management. A guide for SPSS and SAS users.usa: Preacher K J., Hayes A F.. SPSS and SAS procedures for estimating indirect effects in simple mediation models. Behavior Research Methods, Instruments, & Computers 2004, 36 (4), Νέλλας Ε. Ανάλυση εδοµένων µε Χρήση του Στατιστικού Πακέτου SPSS για Windows. Αθήνα