ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA)"

Transcript

1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA). Εισαγωγή Η ανάλυση της διακύμανσης (ANalysis Of VAriance ANOVA) είναι μια στατιστική μεθόδος με την οποία η μεταβλητότητα που υπάρχει σ ένα σύνολο δεδομένων διασπάται στις επιμέρους συνιστώσες της με στόχο την κατανόηση της σημαντικότητας των διαφορετικών πηγών προέλευσής της. Η ανάπτυξη της μεθοδολογίας οφείλεται στον θεμελιωτή της σύγχρονης στατιστικής επιστήμης, άγγλο στατιστικό Sir Ronald Aylmer Fisher (890-96). Στην πραγματικότητα η ANOVA περιλαμβάνει μια ομάδα στατιστικών μεθόδων καταλλήλων για την ανάλυση δεδομένων που προκύπτουν από πειραματικούς σχεδιασμούς. Τα δεδομένα ενός δείγματος ανάλογα με την προέλευσή τους διακρίνονται σε μη πειραματικά (non-experimental) η σε πειραματικά (experimental). Στην πρώτη κατηγορία ο στατιστικός ερευνητής απλά παρατηρεί τις τιμές που εμφανίζονται χωρίς να έχει δυνατότητα επέμβασης στις αντίστοιχες μεταβλητές. Αντίθετα στη δεύτερη κατηγορία ο στατιστικός ερευνητής προσπαθεί να ελέγξει τα επίπεδα μιας η περισσοτέρων ανεξάρτητων (independent) μεταβλητών προκειμένου να προσδιορίσει την επίδραση που έχουν πάνω στην υπό μελέτη μεταβλητή που καλείται εξαρτημένη (dependent) η απόκριση (response). Για παράδειγμα, απόκριση μπορεί να είναι η βαθμολογία στην εξέταση του μαθήματος της στατιστικής, ο όγκος των πωλήσεων μιας επιχείρησης η το συνολικό εισόδημα μιάς οικογένειας κατά τη διάρκεια του έτους. Στόχος κάθε στατιστικού πειράματος είναι ο προσδιορισμός της επίδρασης μιας η περισσοτέρων ανεξάρτητων μεταβλητών πάνω στην απόκριση. Οι μεταβλητές αυτές αναφέρονται συνήθως σαν παράγοντες (factors) και μπορεί να είναι είτε ποσοτικές είτε ποιοτικές. Για παράδειγμα θα ήταν ενδιαφέρον να διερευνήσουμε την επίδραση που έχει ο ποιοτικός παράγων φύλο στη βαθμολογία της στατιστικής η ο ποσοτικός παράγων πλήθος καταστημάτων πώλησης στον όγκο των πωλήσεων. Σε άλλες πάλι περιπτώσεις ενδεχομένως να ενδιαφερόμαστε για την επίδραση που έχουν πάνω στην απόκριση περισσότερες της μιας ανεξάρτητες μεταβλητές όπως ο ποσοτικός παράγων πλήθος εργαζομένων και ο ποιοτικός παράγων πόλη διαμονής πάνω στο οικογειακό εισόδημα. Οι τιμές του παράγοντα που καθορίζονται στο πείραμα λέγονται επίπεδα (levels). Για παράδειγμα τα επίπεδα για τον ποιοτικό παράγοντα φύλο είναι αρσενικό - θηλυκό, ενώ για τον ποσοτικό παράγοντα πλήθος καταστημάτων πώλησης είναι θετικός ακέραιος. Σε ένα πείραμα με ένα παράγοντα οι μεταχειρίσεις (treatments) του πειράματος είναι τα επίπεδα του παράγοντα. Για παράδειγμα αν στο πείραμα βαθμολογία της στατιστικής μας ενδιαφέρει η επίδραση του παράγοντα φύλο τότε οι μεταχειρίσεις του πειράματος είναι αρσενικό θηλυκό. Σε ένα πείραμα με δύο η περισσότερους παράγοντες οι μεταχειρίσεις είναι οι συνδυασμοί παραγόντων-επιπέδων. Για παράδειγμα αν μας ενδιαφέρει η επίδραση των παραγόντων φύλο, ηλικία στη βαθμολογία της στατιστικής, τότε οι μεταχειρίσεις είναι οι συνδυασμοί των επιπέδων φύλου και ηλικίας π.χ. (αρσενικό, ), (θυληκό, 9). Δρ. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Αναπληρωτής Καθηγητής

2 . Γέννεση της κατανομής F Aν και Y είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές από την κατανομή Y βαθμούς ελευθερίας και n αντίστοιχα, τότε το κλάσμα n χ με Y / n W = Y / n είναι τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί μια κατανομή την οποία μελέτησε και ανέπτυξε ο Sir R.A.Fisher και η οποία προς τιμή του συμβολίζεται με F. Ο Fisher στην προσπάθειά του να μελετήσει τις διαφορές στην παραγωγή της σοδειάς ανέπτυξε τη νέα κατανομή σαν λόγο δύο ανεξαρτήτων χ. Η κατανομή αυτή χαρακτηρίζεται από δύο βαθμούς ελευθερίας, n για τον αριθμητή και n για τον παρονομαστή γι αυτό γράφουμε Fn (, n). Επειδή η τυχαία μεταβλητή χ είναι πάντα θετική, το ίδιο θα ισχύει και για την F. Η οικογένεια των κατανομών Fn (, n) είναι μονόκορφη και ασύμμετρη προς τα δεξιά, όπως προκύπτει από το διάγραμμα, με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας n+ n n n Γ n x f( x n, n) =, 0 x, n+ n n n < < n Γ Γ nx + n όπου Γ ( n) = ( n )! = 3 ( n ), n +, είναι η συνάρτηση Γάμα. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ Κατανομές F (,), F (8,) και F(5,0) Μια αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη της κατανομής F είναι ότι τα δείγματα θα πρέπει να ακολουθούν την κανονική κατανομή. Εν τούτοις σε περιπτώσεις που η δειγματικές κατανομές αποκλίνουν από την κανονική, η δοκιμασία F μένει σχετικά ανεπηρέαστη, εφ όσον οι δύο πληθυσμοί είναι τουλάχιστον μονόκορφοι και τα μεγέθη των δειγμάτων είναι παρόμοια. Κάτω από αυτές τις προϋποθέσεις η δοκιμασία που βασίζεται στην κατανομή F χαρακτηρίζεται σαν εύρωστη (robust). Δρ. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Αναπληρωτής Καθηγητής

3 Μερικές φορές υπάρχει η ανάγκη να συγκρίνουμε δύο διακυμάνσεις και για το σκοπό αυτό υπολογίζουμε το κλάσμα σ /σ. Αν οι διακυμάνσεις είναι ίσες τότε ο λόγος τους θα είναι. Συνήθως όμως στην πράξη οι διακυμάνσεις των πληθυσμών είναι άγνωστες, οπότε οι συγκρίσεις γίνονται με βάση τις δειγματικές διακυμάνσεις. Για παράδειγμα αν και είναι οι δειγματικές διακυμάνσεις από δύο δείγματα με και n παρατηρήσεις αντίστοιχα που n ακολουθούν την κανονική κατανομή, τότε το κλάσμα s s s VR = s / σ / σ (λόγος δύο χ ) ακολουθεί την κατανομή F. Κάτω από την υπόθεση το στατιστικό H : σ = σ 0 s VR = s ακολουθεί την κατανομή Fn (, n ). Αν τα δείγματα προέρχονται από τον ίδιο πληθυσμό η από πληθυσμούς με ίσες διακυμάνσεις, τότε το VR θα πρέπει να είναι κοντά στο. Η κατανομή F προσδιορίζει τα όρια της ανοχής μας για το πόσο μεγάλο η μικρό θα πρέπει να είναι το κλάσμα VR προκειμένου να συμπεράνουμε ότι οι δειγματικές διακυμάνσεις διαφέρουν σημαντικά. Τα άνω 00α εκατοστιαία σημεία Fn (, n) α της κατανομής Fn (, n) δηλαδή τα σημεία με την ιδιότητα PVR ( > F( n, n) α ) = α, δίνονται από στατιστικούς πίνακες η από το Minitab. Οι βαθμοί ελευθερίας για τον αριθμητή εμφανίζονται πάνω από τις στήλες, ενώ οι βαθμοί ελευθερίας για τον παρονομαστή εμφανίζονται δίπλα από τις γραμμές. Επειδή η κατανομή F δεν είναι συμμετρική, προκειμένου να υπολογίσουμε τα κάτω 00α εκατοστιαία σημεία Fn (, n )( α ), δηλαδή τα σημεία με την ιδιότητα PVR ( < F( n, n) α ) = α ( ) χρησιμοποιούμε την αντίστροφη ιδιότητα της F σύμφωνα την οποία η τιμή της κάτω ουράς προκύπτει από την αντίστοιχη τιμή της άνω ουράς σύμφωνα με τη σχέση Fn (, n) ( α ) = Fn (, n) α Δρ. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Αναπληρωτής Καθηγητής 3

4 όπου θα πρέπει να προσέξουμε και την αντιστροφή των βαθμών ελευθερίας. Για παράδειγμα F(8,) = F(,8) = 3.8 = Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα Στην απλούστερη μορφή της η ANOVA μας δίνει τη δυνατότητα να δοκιμάσουμε την υπόθεση ότι οι μέσες τιμές διαφόρων πληθυσμών είναι ίσες. Κάτω από το πλαίσιο αυτό μπορούμε να θεωρήσουμε την ANOVA σαν προέκταση της δοκιμασίας t για την σύγκριση των μέσων τιμών δύο πληθυσμών. Υπάρχουν όμως δύο λόγοι για τους οποίους χρησιμοποιούμε την ANOVA έναντι της δοκιμασίας t. Ο ένας είναι η συντόμευση της διαδικασίας ανάλυσης και ο δεύτερος (και πιο σημαντικός) η ακρίβεια της διάγνωσης. Για παράδειγμα αν υποθέσουμε ότι έχουμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές για 5 πληθυσμούς, τότε θα πρέπει να κάνουμε 5 5! 543 = = = 0!(5 )! 3 διαφορετικές ζευγαρωτές δοκιμασίες αποδεχθούμε την μηδενική υπόθεση t. Στη συνέχεια και προκειμένου να H 0 : Δεν υπάρχουν διαφορές μεταξύ των 5 πληθυσμών θα πρέπει να αποδεχθούμε και τις 0 ζευγαρωτές δοκιμασίες t. Αν το επίπεδο σημαντικότητας κάθε ζευγαρωτής δοκιμασίας είναι α = 0.05, τότε η 0 πιθανότητα να αποδεχθούμε και τις 0 δοκιμασίες είναι (0.95) = Συνεπώς η πιθανότητα να απορρίψουμε τουλάχιστον μια ζευγαρωτή δοκιμασία (και επομένως την H ) είναι = που σημαίνει ότι με τις 0 0 δοκιμασίες t υποπίπτουμε σε σφάλμα τύπου Ι στις 40.3% των περιπτώσεων. Από τους υπάρχοντες πειραματικούς σχεδιασμούς ο απλούστερος είναι εκείνος που χαρακτηρίζεται από την ανάλυση της διακύμανσης κατά ένα παράγοντα (one factor ANOVA) και καλείται πλήρως τυχαιοποιημένος σχεδιασμός (completely randomized design). Παράδειγμα Μια βιομηχανία αυτοκινήτων έχει κατασκευάσει ένα πρωτοποριακό μοντέλο αυτοκινήτου το οποίο χαρακτηρίζεται από διάφορα πλεονεκτήματα σε σχέση με τα άλλα μοντέλα του ανταγωνισμού στην κατηγορία του, όπως άνεση στη διαχείριση, καλύτερη ποιότητα κατασκευής και χαμηλότερη τιμή πώλησης. Η διεύθυνση του τμήματος μάρκετινγκ προκειμένου να αποφασίσει για τον τρόπο προώθησης του νέου προϊόντος σχεδίασε ένα πείραμα σε τρεις διαφορετικές περιοχές. Στην πρώτη περιοχή η διαφήμιση έγινε με έμφαση στην άνεση που χαρακτηρίζει το αυτοκίνητο, στη δεύτερη περιοχή δόθηκε έμφαση στην ποιότητα κατασκευής και στην τρίτη Δρ. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Αναπληρωτής Καθηγητής 4

5 δόθηκε έμφαση στην τιμή πώλησης. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι μηνιαίες πωλήσεις του αυτοκινήτου ανά περιοχή και για τους επόμενους πέντε μήνες. ΠΙΝΑΚΑΣ Μήνας Περιοχή (Άνεση) Περιοχή (Ποιότητα) Περιοχή 3 (Τιμή) Σύνολο Μέσος όρος Ο διευθυντής του τμήματος μάρκετινγκ ενδιαφέρεται να μάθει αν υπάρχουν διαφορές στις πωλήσεις που προέκυψαν από τις τρεις διαφημιστικές στρατηγικές. Η θεωρητική ανάλυση των δεδομένων του παραδείγματος βασίζεται στα παρακάτω βήματα: (α) Προσδιορισμός του μοντέλου Στη γενική περίπτωση υποθέτουμε ότι έχουμε ομάδες με n παρατηρήσεις ανά ομάδα για =,...,. Τα δεδομένα του δείγματος μπορούν να ταξινομηθούν σε ένα πίνακα της μορφής ΠΙΝΑΚΑΣ Ομάδες (Μεταχειρίσεις) n n Σύνολα T T T 3 T T Μέσοι όροι Διάταξη παρατηρήσεων του πλήρως τυχαιοποιημένου σχεδιασμού n 3 3 n όπου i είναι η i παρατήρηση της ομάδας Δρ. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Αναπληρωτής Καθηγητής 5

6 T n = i = άθροισμα των παρατηρήσεων της στήλης i= T = = δειγματικός μέσος της στήλης n n T = T = i = άθροισμα όλων των παρατηρήσεων = = i= T = = δειγματικός μέσος όλων των παρατηρήσεων και N = n. N = Υποθέτουμε ότι για την ομάδα οι παρατηρήσεις i έχουν την μορφή όπου = μ + ε () i i μ είναι η αναμενόμενη τιμή του πληθυσμού της ομάδας και είναι το σφάλμα (error), για i =,..., n και =,...,. Με τον όρο σφάλμα δεν εννοούμε κάποια λανθασμένη μέτρηση η εκτίμηση αλλά τη μη ελεγχόμενη διακύμανση που υπάρχει στον πληθυσμό. Επιλύοντας την () ως προς έχουμε =. () ε i i μ Η καθολική αναμενόμενη τιμή (grand mean) μ όλων των παρατηρήσεων όλων των πληθυσμών είναι ε i ε i μ = μ. (3) = Με την ίδια λογική που το i διαφέρει από το ότι το μ διαφέρει από το μ κατά μια ποσότητα μ μπορούμε να υποθέσουμε τ = μ μ (4) που εκφράζει την επίδραση (effect) του γεγονότος ότι το μ αναφέρεται στην αναμενόμενη τιμή της ομάδας. Από τη σχέση (4) έχουμε ότι μ =μ+τ. (5) Συνδυάζοντας την () με την (5) παίρνουμε την τελική έκφραση = μ+τ +ε (6) i i Δρ. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Αναπληρωτής Καθηγητής 6

7 για i =,..., n και =,...,. Συνοψίζοντας από την (6) προκύπτει ότι η παρατήρηση i είναι άθροισμα τριών ποσοτήτων, της καθολικής αναμενόμενης, της επίδρασης της ομάδας (μεταχείρισης) και του σφάλματος. Για το λόγο αυτό το μοντέλο (6) λέγεται προσθετικό (additive). Στο παράδειγμα έχουμε = 3 ομάδες με πλήθος παρατηρήσεων n = 5 σε κάθε ομάδα έτσι ώστε το συνολικό πλήθος των παρατηρήσεων είναι N = n= 35 = 5. (β) Υποθέσεις του μοντέλου Οι υποθέσεις που διέπουν το μοντέλο (6) είναι:. Οι παρατηρήσεις i κάθε ομάδας αποτελούν ανεξάρτητα δείγματα από τους αντίστοιχους πληθυσμούς.. Καθένας από τους πληθυσμούς ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή και κοινή διακύμανση σ, για μ =,...,. 3. Οι επιδράσεις των ομάδων (μεταχειρίσεων) είναι σταθεροί τ αριθμοί που ικανοποιούν τη σχέση τ = 0. = Από τη σχέση () και τις υποθέσεις -3 προκύπτει ότι τα σφάλματα είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές από την κανονική κατανομή με μέση τιμή 0 και διακύμανση σ. (γ) Δοκιμασία υποθέσεων Μπορούμε τώρα να δοκιμάσουμε την μηδενική υπόθεση ότι όλες οι ομάδες (μεταχειρίσεις) έχουν ίσες μέσες τιμές ε i με εναλλακτική H 0 : μ = μ =... = μ H όλα τα δεν είναι ίσα. : μ Όταν οι μέσες τιμές των πληθυσμών είναι ίσες, τότε οι επιδράσεις μεταχειρίσεων είναι μηδέν. Κατά συνέπεια οι ισοδύναμες υποθέσεις που μπορούμε να δοκιμάσουμε είναι τ των με εναλλακτική H : τ = 0, =,..., 0 H : όλα τα τ δεν είναι μηδέν. Δρ. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Αναπληρωτής Καθηγητής 7

8 Στο παράδειγμα θα δοκιμάσουμε τις υποθέσεις με εναλλακτική : μ μ μ H0 = = 3 H όλα τα δεν είναι ίσα. : μ (δ) Υπολογισμός του αθροίσματος των τετραγώνων Στην αρχή του κεφαλαίου ορίσαμε την ANOVA σαν μια διαδικασία κατά την οποία η ολική μεταβλητότητα που υπάρχει στα δεδομένα διασπάται σε επιμέρους συνιστώσες που οφείλονται σε διαφορετικές πηγές προέλευσης. Ο όρος μεταβλητότητα αναφέρεται στο άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων των παρατηρήσεων από την μέση τιμή τους που για συντομία καλείται άθροισμα τετραγώνων (Sum of Squares SS ). Το ολικό άθροισμα των τετραγώνων Αρχικά υπολογίζουμε το ολικό άθροισμα των τετραγώνων (Sum of Squares Total - SST ) των αποκλίσεων των παρατηρήσεων από τον καθολικό μέσο n ( i ) (7) = i= SST = όπου με το n i= αθροίζουμε τις τετραγωνισμένες αποκλίσεις μέσα σε κάθε ομάδα, ενώ με το αθροίζουμε τα αποτελέσματα των ομάδων. Στην = πραγματικότητα το SST αντιστοιχεί στον αριθμητή που υπάρχει στον τύπο υπολογισμού της δειγματικής διακύμανσης s = n i= ( ) i N ενός τυχαίου δείγματος με N παρατηρήσεις. Στο παράδειγμα από την (7) έχουμε n ( i ) (86 80) (79 80)... (7 80) (8 80) 698 = i= SST = = =. Στη συνέχεια θα διασπάσουμε το SST χρησιμοποιώντας την ισοδύναμη έκφραση στις επιμέρους συνιστώσες του, n SST = [( ) + ( )] = i= i Δρ. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Αναπληρωτής Καθηγητής 8

9 n n n ( i ) ( i )( ) ( = i= = i= = i= ) (8) = + + Ο μεσαίος όρος της (8) γράφεται n ( ) ( i i= = ) απ όπου προκύπτει ότι είναι ίσος με μηδέν διότι n ( i ) = 0. i= Τελικά η (8) γίνεται n n ( i ) ( = i= = i= ) SST = + η ισοδύναμα total n ( i ) ( = i= = SS = + n ). (9) Στην περίπτωση που όλες οι ομάδες έχουν το ίδιο πλήθος παρατηρήσεων ίσο με n (όπως στο παράδειγμα ) η (9) γίνεται n ( i ) ( = i= = ). SST = + n Το άθροισμα των τετραγώνων μέσα στις ομάδες Το πρώτο άθροισμα στη δεξιά πλευρά της (9) υπολογίζει αρχικά το άθροισμα των τετραγωνισμένων αποκλίσεων των παρατηρήσεων από τον δειγματικό μέσο κάθε ομάδας και κατόπιν αθροίζει τα επιμέρους αποτελέσματα για όλες τις ομάδες. Το τελικό αποτέλεσμα λέγεται άθροισμα τετραγώνων μέσα στις ομάδες (Sum of Squares Within groups - SSW ) n ( i ) (0) = i= SSW = Στο παράδειγμα από την (0) έχουμε Δρ. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Αναπληρωτής Καθηγητής 9

10 n ( i ) (86 80) (79 80)... (7 75) (8 75) 448 = i= SSW = = =. Το άθροισμα των τετραγώνων μεταξύ των ομάδων Το δεύτερο άθροισμα στη δεξιά πλευρά της (9) υπολογίζει αρχικά για κάθε ομάδα την τετραγωνισμένη απόκλιση του μέσου της ομάδας από τον καθολικό μέσο και κατόπιν πολλαπλασιάζει το αποτέλεσμα με το πλήθος των παρατηρήσεων της ομάδας. Τα επιμέρους αποτελέσματα αθροίζονται για όλες τις ομάδες και το τελικό αποτέλεσμα λέγεται άθροισμα τετραγώνων μεταξύ ομάδων (Sum of Squares Between groups - SSB ) SSB = n ( ) = ενώ στην περίπτωση που όλες οι ομάδες έχουν n παρατηρήσεις προκύπτει ( ). () = SSB = n Στο παράδειγμα από την () έχουμε ( ) 5(80 80) 5(85 80) 5(75 80) 50 = SSB = n = + + =. Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα παίρνουμε την παρακάτω διάσπαση SST = SSW + SSB. (ε) Ο πίνακας ανάλυσης της διακύμανσης Από τα αθροίσματα των τετραγώνων που υπολογίσαμε μπορούμε τώρα να πάρουμε δύο εκτιμητές της πληθυσμιακής διακύμανσης σ. Αποδεικνύεται ότι όταν οι πληθυσμιακές μέσες τιμές των ομάδων είναι ίσες, τότε τα SSW και SSB όταν διαιρεθούν με τους αντίστοιχους βαθμούς ελευθερίας δίνουν αμερόληπτους εκτιμητές για το σ. O πρώτος εκτιμητής του σ Μέσα σε κάθε ομάδα το μέσο τετράγωνο (mean square) MS = n i= ( ) n i Δρ. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Αναπληρωτής Καθηγητής 0

11 δίνει ένα αμερόληπτο εκτιμητή για την διακύμανση της ομάδας. Κάτω από την υπόθεση ότι οι διακυμάνσεις είναι ίσες μπορούμε να συνδυάσουμε (αθροίσουμε) τους εκτιμητές και να πάρουμε ένα εκτιμητή για την διακύμανση μέσα στις ομάδες (within groups variance) σύμφωνα με τον τύπο του μέσου τετραγώνου MSW = n = i= = ( ) i ( n ). () Στο παράδειγμα ο τύπος () δίνει 448 MSW = = O δεύτερος εκτιμητής του σ Ο δεύτερος εκτιμητής του σ προκύπτει από τον γνωστό τύπο για την διακύμανση του δειγματικού μέσου ενός δείγματος με n παρατηρήσεις σ σ = n απ όπου έχουμε σ = n. σ Ένας αμερόληπτος εκτιμητής του σ που είναι η διακύμανση μεταξύ των ομάδων (variance between groups) προκύπτει από το μέσο τετράγωνο MS = = ( ) συνεπώς στην ειδική περίπτωση που όλες οι ομάδες (μεταχειρίσεις) έχουν παρατηρήσεις ένας αμερόληπτος εκτιμητής για το σ είναι n MSB = n ( ) =. (3) Στη γενική περίπτωση που το πλήθος των παρατηρήσεων των ομάδων δεν είναι ίδιο ο αμερόληπτος εκτιμητής για το σ έχει τη μορφή Δρ. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Αναπληρωτής Καθηγητής

12 MSB = = n ( ). Στο παράδειγμα ο τύπος (3) δίνει 50 MSB = = 5. Ο λόγος των διακυμάνσεων Όταν η μηδενική υπόθεση H 0 : μ = μ =... = μ είναι αληθινή, τότε αναμένεται οι δύο εκτιμητές του σ να είναι περίπου ίσοι. Όταν η μηδενική υπόθεση δεν ισχύει, έτσι ώστε οι μέσες τιμές των πληθυσμών να διαφέρουν, τότε αναμένεται το MSB να είναι μεγαλύτερο από το MSW. Για το λόγο αυτό και προκειμένου να συγκρίνουμε τους δύο εκτιμητές του σ υπολογίζουμε το λόγο των διακυμάνσεων (Variance Ratio - VR ) MSB VR =. MSW Όταν οι δύο εκτιμητές είναι περίπου ίσοι το VR γεγονός αυτό αποτελεί κριτήριο αποδοχής της H 0 είναι κοντά στο και το. Στην περίπτωση που το MSB είναι μεγαλύτερο από το MSW τότε το VR είναι μεγαλύτερο από το και το γεγονός αυτό είναι το κριτήριο απόρριψης της. H 0 Στο παράδειγμα από τα προηγούμενα αποτελέσματα έχουμε MSB 5 VR = = = MSW Η δοκιμασία F Είναι γνωστό ότι η ύπαρξη του τυχαίου σφάλματος που οφείλεται στη δειγματοληψία δεν επιτρέπει στα MSB και MSW να είναι ίσα ακόμη και στην περίπτωση που η μηδενική υπόθεση H 0 : μ = μ =... = μ είναι αληθινή. Για το λόγο αυτό θα πρέπει να έχουμε ένα μέτρο ανοχής για το πόσο μεγάλη θα πρέπει να είναι η παρατηρούμενη διαφορά προκειμένου να συμπεράνουμε ότι δεν οφείλεται μόνο σε τυχαίο σφάλμα. Απάντηση στο ερώτημα αυτό μας δίνει η κατανομή δειγματοληψίας του λόγου των διακυμάνσεων MSB VR =. MSW Δρ. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Αναπληρωτής Καθηγητής

13 Επειδή το VR είναι λόγος δύο χ τυχαίων μεταβλητών από την παράγραφο προκύπτει ότι ακολουθεί την κατανομή F με βαθμούς ελευθερίας αριθμητή ( ) και βαθμούς ελευθερίας παρονομαστή ( n ) = n = N. = = Από τη στιγμή που θα καθορίσουμε και το επίπεδο σημαντικότητας α τότε η κρίσημη τιμή του F προσδιορίζει τις περιοχές αποδοχής και απόρριψης της δοκιμασίας. Οι απαιτούμενοι υπολογισμοί συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα ANOVA. Πηγή προέλευσης Μεταξύ ομάδων Άθροισμα τετραγώνων SSB = n ( ) = Μέσα στις n ομάδες Σύνολο SSW = ( ) = i= n SST = ( ) = i= i i ΠΙΝΑΚΑΣ 3 Βαθμοί ελευθερίας Μέσο τετράγωνο N MSB = = n ( ) n N MSW = = i= = ( ) i ( n ) Λόγος διακυμάνσεων MSB VR = MSW Πίνακας ANOVA για τον πλήρως τυχαιοποιημένο σχεδιασμό (κατά ένα παράγοντα) H απόφαση Κάτω από τη μηδενική υπόθεση H 0 : μ = μ =... = μ το VR ακολουθεί την κατανομή F με βαθμούς ελευθερίας ( ) για τον αριθμητή και (N ) για τον παρονομαστή. Για συγκεκριμένο επίπεδο σημαντικότητας α και προκειμένου να πάρουμε μια απόφαση συγκρίνουμε την τιμή του VR με την κρίσιμη τιμή της κατανομής F (, N ). Όταν δεν μπορούμε να αποδεχθούμε την VR > F(, N ) α H 0 με βάση τα δεδομένα του δείγματος, όπου F (, N ) α είναι το άνω α εκατοστιαίο σημείο της κατανομής F (, N ) για το οποίο ισχύει P( F(, N ) > F(, N ) α ) = α. Στο παράδειγμα για επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05 έχουμε Δρ. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Αναπληρωτής Καθηγητής 3

14 VR = 3.35 < 3.88 = F(,) 0.05 έτσι ώστε δεν μπορούμε να απορρίψουμε την με βάση τα δεδομένα του δείγματος. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν διαφορές στις πωλήσεις που προέκυψαν από τις τρεις διαφημιστικές στρατηγικές. Πηγή προέλευσης Μεταξύ ομάδων Μέσα στις ομάδες ΠΙΝΑΚΑΣ 4 Άθροισμα Βαθμοί Μέσο Λόγος τετραγώνων ελευθερίας τετράγωνο διακυμάνσεων 50 3 = 50 5 = = = 448 = H 0 Σύνολο = 4 Πίνακας ANOVA παραδείγματος H διακύμανση που υπάρχει στα δεδομένα του παραδείγματος μεταξύ των ομάδων (στηλών) ερμηνεύεται (explained) από το γεγονός ότι οι ομάδες ενδεχομένως να προέρχονται από διαφορετικούς πληθυσμούς. Η διακύμανση μέσα στις ομάδες είναι η εναπομένουσα διακύμανση (residual variance) που μένει ανερμήνευτη (unexplained). Συνεπώς ερμηνευμένη διακύμανση VR =. ανερμήνευτη διακύμανση Το γεγονός αυτό μας παροτρύνει να αναπτύξουμε διαδικασίες προκειμένου να ενδυναμώσουμε τη δοκιμασία F. Αν για παράδειγμα ένα σημαντικό ποσοστό της ανερμήνευτης διακύμανσης οφείλεται σε υπάρχουσες διαφορές στις γραμμές του πίνακα, τότε απομονώνοντας την διακύμανση αυτή θα είχε σαν αποτέλεσμα την μείωση του παρονομαστή στο VR. Με τον τρόπο αυτό προκύπτει ένα μεγαλύτερο VR το οποίο ενδυναμώνει τη δοκιμασία για την ύπαρξη διαφορών μεταξύ των στηλών. Συνεπώς η ικανότητα προσδορισμού κατά πόσο ένας παράγοντας (στήλες) είναι σημαντικός μπορεί να ενισχυθεί με την εισαγωγή και ενός δευτέρου παράγοντα (γραμμές) προκειμένου να ερμηνευθεί η εναπομένουσα διακύμανση. Έτσι έχουμε την ανάλυση διακύμανσης κατά δύο παράγοντες (two way ΑNOVA). O αντίστοιχος πειραματικός σχεδιασμός που προκύπτει λέγεται τυχαιοποιημένος σχεδιασμός ομάδων (randomized bloc design). Δρ. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Αναπληρωτής Καθηγητής 4

15 4. Aσκήσεις. Προκειμένου να διαπιστωθεί αν υπάρχουν διαφορές στην παραγωγικότητα 3 μηχανών τις βάλαμε να δουλέψουν με 5 διαφορετικούς χειριστές και για χρονικό διάστημα 5 ωρών (αλλαγή χειριστή ανά ώρα). Η παραγωγικότητα της κάθε μηχανής ανά χειριστή (σε κομμάτια) δίνεται στον πίνακα 5 ΠΙΝΑΚΑΣ 5 Χειριστής Μηχανή Μηχανή Μηχανή Παραγωγικότητα μηχανών (α) Να υπολογίζετε την διακύμανση μεταξύ των μηχανών. (β) Να υπολογίσετε την διακύμανση μέσα στις μηχανές. (γ) Να κατασκευάσετε τον πίνακα ANOVA. (δ) Να δοκιμάσετε σε επίπεδο σημαντικότητα α = 0.05 την υπόθεση ότι δεν υπάρχουν διαφορές στην παραγωγικότητα των μηχανών.. Κατά την συναρμολόγηση ενός μοντέλου αυτοκινήτου υπάρχουν 3 διαφορετικές μέθοδοι που μπορούν να εφαρμοστούν. Προκειμένου να αξιολογήσουμε τον χρόνο που χρειάζεται η κάθε μέθοδος, βάλαμε 8 εργάτες (6 ανά μέθοδο) να συναρμολογήσουν 8 αυτοκίνητα. Οι χρόνοι συναρμολόγησης σε ώρες που χρειάστηκε ο κάθε εργάτης δίνονται στον πίνακα 6. ΠΙΝΑΚΑΣ 6 Εργάτης Μέθοδος Μέθοδος Μέθοδος Χρόνοι συναρμολόγησης (α) Να υπολογίζετε την διακύμανση μεταξύ των μεθόδων. (β) Να υπολογίσετε την διακύμανση μέσα στις μεθόδους. (γ) Να κατασκευάσετε τον πίνακα ANOVA. (δ) Να δοκιμάσετε σε επίπεδο σημαντικότητα α = 0.05 την υπόθεση ότι δεν υπάρχουν διαφορές στους χρόνους συναρμολόγησης μεταξύ των μεθόδων. Δρ. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Αναπληρωτής Καθηγητής 5

16 5. Aνάλυση διακύμανσης με το MINITAB Το στατιστικό πακέτο Minitab μπορεί να διαχειριστεί την ανάλυση της διακύμανσης για τρία είδη πειραματικών σχεδιασμών: την ANOVA κατά ένα παράγοντα (completely randomized design), την ANOVA κατά δύο παράγοντες (randomized bloc design) και τον παραγοντικό σχεδιασμό (factorial design). Στην ANOVA κατά ένα παράγοντα θα πρέπει να υπάρχουν στο Worsheet τα δεδομένα της εξαρτημένης μεταβλητής (απόκρισης) καταχωρημένα είτε κατά ομάδες σε διαφορετικές στήλες (unstaced) είτε εναλλακτικά σε μια στήλη (staced) συνοδευόμενα και από ένα ποιοτικό παράγοντα με δύο τουλάχιστον επίπεδα. Οι διαδοχικές επιλογές εντολών για την ΑNOVA κατά ένα παράγοντα είναι:. Ανοίγουμε το Worsheet με τα δεδομένα.. Από τη γραμμή μενού επιλέγουμε Stat One Way (η Unstaced κατά περίπτωση). 3. Στα πλαίσια διαλόγου One-way Analysis of Variance που υπάρχουν διαθέσιμα προσδιορίζουμε την εξαρτημένη μεταβλητή καθώς και τα διαγράμματα που επιθυμούμε να έχουμε. 4. Τα αποτελέσματα εμφανίζονται στα Graph και Session Window. Δρ. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Αναπληρωτής Καθηγητής 6

17 Δρ. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Αναπληρωτής Καθηγητής 7

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Πέτρος Ρούσσος, Τμήμα Ψυχολογίας, ΕΚΠΑ Η λογική της διαδικασίας Ο σάκος περιέχει έναν μεγάλο αλλά άγνωστο αριθμό (αρκετές χιλιάδες) λευκών και μαύρων βόλων: 1 Το

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

T-tests One Way Anova

T-tests One Way Anova William S. Gosset Student s t Sir Ronald Fisher T-tests One Way Anova ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Νίκος Ζουρμπάνος Ρούσσος, Π.Λ., & Τσαούσης, Γ. (2002). Στατιστική εφαρμοσμένη στις κοινωνικές επιστήμες. Αθήνα: Ελληνικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

8. Ανάλυση Διασποράς ως προς. δύο παράγοντες

8. Ανάλυση Διασποράς ως προς. δύο παράγοντες 8. Ανάλυση Διασποράς ως προς δύο παράγοντες Ανάλυση Διασποράς ως προς δύο παράγοντες Α, Β δύο παράγοντες κ: στάθμες (επίπεδα) του παράγοντα Α λ: στάθμες (επίπεδα) του παράγοντα Β κ λ : πειραματικές συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα

Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα Αρχείο δεδομένων school.sav Στον πίνακα Descriptives, μας δίνονται για την Επίδοση ως προς τις πέντε διαφορετικές μεθόδους διδασκαλίας, το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Έλεγχοι Υποθέσεων

Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Έλεγχοι Υποθέσεων Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Έλεγχοι Υποθέσεων Ένα Ερευνητικό Παράδειγμα Σκοπός της έρευνας ήταν να διαπιστωθεί εάν ο τρόπος αντίδρασης μιας γυναίκας απέναντι σε φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή 4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapro-Wlk για την Κανονική Κατανομή Ένας άλλος πολύ γνωστός έλεγχος καλής προσαρμογής για την κανονική κατανομή, ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην θέση του ελέγχου Lllefors, είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 7 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Όταν ενδιαφερόμαστε να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς, η φυσιολογική προσέγγιση είναι να προσπαθήσουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4 (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com ιαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ιάλεξη 4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

Kruskal-Wallis H... 176

Kruskal-Wallis H... 176 Περιεχόμενα KΕΦΑΛΑΙΟ 1: Περιγραφή, παρουσίαση και σύνοψη δεδομένων................. 15 1.1 Τύποι μεταβλητών..................................................... 16 1.2 Κλίμακες μέτρησης....................................................

Διαβάστε περισσότερα

cv = κατάλληλη κριτική (κρίσιμη) τιμή από τους πίνακες της Ζ ή t κατανομής

cv = κατάλληλη κριτική (κρίσιμη) τιμή από τους πίνακες της Ζ ή t κατανομής ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ Δ.Ε. της παραμέτρου θ: ˆ θ cv σ < θ < ˆ θ + cv σ ˆ θ ˆ θ θ = η παράμετρος που θέλουμε να εκτιμήσουμε, ˆ θ = η εκτίμηση της θ που προκύπτει από το τ.δ. cv = κατάλληλη κριτική (κρίσιμη)

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων

Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων Κωνσταντίνος Τζιόμαλος Επίκουρος Καθηγητής Παθολογίας ΑΠΘ Α Προπαιδευτική Παθολογική Κλινική, Νοσοκομείο ΑΧΕΠΑ 1 ο βήμα : καταγραφή δεδομένων Το πιο πρακτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΙΜΟΣ ΜΕΙΝΤΑΝΗΣ, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, ΕΚΠΑ ΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΜΠΑΣΙΑΚΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηριστικά της ανάλυσης διασποράς. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (One-way analysis of variance)

Χαρακτηριστικά της ανάλυσης διασποράς. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (One-way analysis of variance) ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (Oe-way aalysis of variace) Να γίνει µια εισαγωγή στη µεθοδολογία της ανάλυσης > δειγµάτων Να εφαρµοσθεί και να κατανοηθεί η ανάλυση διασποράς µε ένα παράγοντα. Να κατανοηθεί η χρήση των

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ... 29

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ... 29 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 Μεταβλητές...5 Πληθυσμός, δείγμα...7 Το ευρύτερο γραμμικό μοντέλο...8 Αναφορές στη βιβλιογραφία... 11 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 Περίληψη... 13 Εισαγωγή... 13 Με μια ματιά...

Διαβάστε περισσότερα

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σχετικές πληροφορίες: http://dlib.ionio.gr/~spver/seminars/statistics/ Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σπύρος Βερονίκης Τμήμα Αρχειονομίας - Βιβλιοθηκονομίας Θεματικές

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Προβλήματα και Ασκήσεις

Ανάλυση Διασποράς Προβλήματα και Ασκήσεις Ανάλυση Διασποράς Προβλήματα και Ασκήσεις 1. Ένας ερευνητής προκειμένου να συγκρίνει τρία σιτηρέσια εκτροφής κοτόπουλων (Σ1, Σ2 και Σ3, αντίστοιχα), σχεδίασε και εκτέλεσε το εξής πείραμα. Επέλεξε 15 νεογέννητα

Διαβάστε περισσότερα

Θεματολογία. Δεδομένα και αβεβαιότητα. Αντικείμενο της Στατιστικής. Βασικές έννοιες. Δεδομένα και αβεβαιότητα. Στατιστική Ι

Θεματολογία. Δεδομένα και αβεβαιότητα. Αντικείμενο της Στατιστικής. Βασικές έννοιες. Δεδομένα και αβεβαιότητα. Στατιστική Ι Ενότητα η : Εισαγωγή στη Στατιστική Θεματολογία Στατιστική Ι Ενότητα : Εισαγωγή Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Αντικείμενο της Στατιστικής : μεταβλητές,πληθυσμός,

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

την τιμή της μέσης τιμής, μ, ή της διασποράς, σ, ενός πληθυσμού και σε στατιστικούς ελέγχους υποθέσεων για τη σύγκριση των μέσων τιμών, μ

την τιμή της μέσης τιμής, μ, ή της διασποράς, σ, ενός πληθυσμού και σε στατιστικούς ελέγχους υποθέσεων για τη σύγκριση των μέσων τιμών, μ Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς (Analysis of Variance, ANOVA) είναι μέθοδος στατιστικού ελέγχου υποθέσεων που αναφέρονται σε περισσότερους από δύο πληθυσμούς. Στην προηγούμενη ενότητα αναφερθήκαμε

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 8. Ανάλυση διασποράς (ANOVA)

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 8. Ανάλυση διασποράς (ANOVA) ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 8. Ανάλυση διασποράς (ANOVA) Γενικά Επέκταση της σύγκρισης µέσων τιµών µεταβλητής ανάµεσα σε 2 δείγµατα (οµάδες ήστάθµες): Σύγκριση πολλών δειγµάτων (K>2) µαζί Σχέση ανάµεσα σε µια ποσοτική

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Το 1965, από τον Conover και πάλι προτάθηκε ένας άλλος έλεγχος τύπου Smirnov για k ανεξάρτητα δείγματα. Ο έλεγχος αυτός διαφέρει από τον προηγούμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis)

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχοντας παρουσιάσει τις βασικές έννοιες των ελέγχων υποθέσεων, θα ήταν, ίσως, χρήσιμο να αναφερθούμε σε μια άλλη περιοχή στατιστικής συμπερασματολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Διοίκηση Ολικής Ποιότητας και Διαχείριση Περιβάλλοντος Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων και Οργανισμών Ακαδημαϊκό Έτος 2006-07 2η ΟΣΣ Ευτύχιος Σαρτζετάκης, Αναπληρωτής

Διαβάστε περισσότερα

Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς

Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς Διασπορά Μέτρηση Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς ομάδες έχουν μέση βαθμολογία 6. συνέχεια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΟΜΑΔΑ:RADIOACTIVITY Τα μέλη της ομάδας μας: Γιώργος Παπαδόγιαννης Γεράσιμος Κουτσοτόλης Νώντας Καμαρίδης Κωνσταντίνος Πούτος Παναγιώτης Ξανθάκος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ.

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ. Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Στατιστική έρευνα : Πρόκειται για ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών με αντικείμενο : 1) το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων. Κλάδος της στατιστικής που ασχολείται : Σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Θεμελιώδεις αρχές επιστήμης και μέθοδοι έρευνας

Θεμελιώδεις αρχές επιστήμης και μέθοδοι έρευνας A. Montgomery Θεμελιώδεις αρχές επιστήμης και μέθοδοι έρευνας Καρολίνα Δουλουγέρη, ΜSc Υποψ. Διαδάκτωρ Σήμερα Αναζήτηση βιβλιογραφίας Επιλογή μεθοδολογίας Ερευνητικός σχεδιασμός Εγκυρότητα και αξιοπιστία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2.

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. Κεφάλαιο 17 Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 17.3. ΤΟ χ 2 ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ 17.3.1. Ένα ερευνητικό παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για την Μέση Τιμή ενός Δείγματος (One Sample t-test) Το κριτήριο One sample t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

Μην ξεχάσετε να προσθέσετε μόνοι σας τα Session του Minitab! Δηλαδή την ημερομηνία και ώρα που κάνατε κάθε άσκηση!

Μην ξεχάσετε να προσθέσετε μόνοι σας τα Session του Minitab! Δηλαδή την ημερομηνία και ώρα που κάνατε κάθε άσκηση! Μην ξεχάσετε να προσθέσετε μόνοι σας τα Session του Minitab! Δηλαδή την ημερομηνία και ώρα που κάνατε κάθε άσκηση! ΘΕΜΑ ο [Μονάδες 20] Ερώτημα i (4 μονάδες). Για να κάνουμε τους υπολογισμούς που χρειάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Παραλλακτικότητας

Εισαγωγή στην Ανάλυση Παραλλακτικότητας Εισαγωγή στην Ανάλυση Παραλλακτικότητας Επιστηµονική Επιµέλεια: ρ. Γεώργιος Μενεξές Τοµέας Φυτών Μεγάλης Καλλιέργειας και Οικολογίας Εργαστήριο Γεωργίας Viola adorata Παραλλακτικότητα Που Οφείλεται; Παραλλακτικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 6: Kατανομή Poisson. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 6: Kατανομή Poisson. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 6: Kατανομή Poisson Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling)

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) 6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) Από την θεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούμενα κεφάλαια, φαίνεται ότι μια αλλαγή στον σχεδιασμό της δειγματοληψίας και, κατά συνέπεια, στην μέθοδο εκτίμησης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα