ČLANCI I RASPRAVE. Sažetak

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ČLANCI I RASPRAVE. Sažetak"

Transcript

1 ČLANCI I RASPRAVE Anđela Jeličić SINOPTIČKI ISUS O VJERI What Did Synoptic Jesus Say about Faith? UDK: [232.33:226]:234.2 Izvorni znanstveni rad Primljeno 2/ Sažetak Članak donosi pregled upotrebe riječi vjera u sinoptičkim evanđeljima. Imenica se najčešće nalazi u upravnom govoru. Isusovi izričaji o vjeri otkrivaju da je vjera kao stvarnost u Isusovoj percepciji objektivizirana jer ju on vidi, nalazi. Također, eksplicitno povezuje vjeru i spasenje. Ljudi koji u evanđeljima očituju vjeru pred Isusom su uglavnom osobe s margine židovskoga vjerskog života, zbog načina života, ili pripadnosti etničkoj grupi. Susret s vjerom tih ljudi i izreke o njihovu spasenju izravan su izazov kategorijama kojima se poima spasenje, jer se fokus s vidljivog i institucionalnog prebacuje na nevidljivo, odnosno na Bogu vidljivo. Matej će eksplicitno naglasiti kako Isus svoje učenike naziva malovjernima. Na pitanje što je vjera, temeljem sinoptičkih evanđelja zaključujemo da je to apsolutno dobro, odnos čovjeka i Boga, čovjekova konkretna poslušnost Riječi, te svjetonazor kojim se sadržaj vjere živi/očituje pred drugima. Ključne riječi: vjera u sinoptičkim evanđeljima, vjera i spasenje, malovjerje, vjera i život. Razumijevanje vjere, te neizrecive stvarnosti Božjeg odnosa s čovjekom, imperativ je koji je pred nas stavio Benedikt XVI. proglasivši godinu vjere. 1 Razumijevanje vjere započinje 1 U apostolskom pismu Porta fidei, Benedikt XVI. ističe: Želimo da ova Godina vjere potakne svakog čovjeka da ispovijeda vjeru u punini, s obnovljenim uvjerenjem, s povjerenjem i nadom. Benedikt XVI., Porta fidei, 9. ( vatican.va/holy_father/benedict_xvi/motu_proprio/documents/hf_ben-xvi_ motu-proprio_ _porta-fidei_it.html) zadnji posjet

2 Anđela Jeličić, Sinoptički Isus o vjeri čitanjem Evanđelja, a nastavlja se djelima ljubavi, jer vjera bez ljubavi ne donosi ploda, a ljubav bez vjere jest sentiment prepušten sumnji. 2 U tom smislu, otkrivanje Isusovih riječi o vjeri, koje su istovremeno praćene njegovim očitovanjem ljubavi prema svakom čovjeku uključujući i čitatelja evanđelja, svakom su kršćaninu prilika za rast. 1. Grčka riječ πίστις 6 Grčka riječ kojom evanđelisti i novozavjetni pisci izriču stvarnost vjere imenica je πίστις (vjera), te glagol πιστεύω (vjerovati). U grčkom Novom zavjetu imenicu nalazimo 243 puta, a glagol 241 put. 3 Zanimljivo je da Ivanovo evanđelje ni jednom ne donosi imenicu πίστις, 4 dok se istovremeno čak 98 puta koristi glagolom πιστεύω. U sinoptičkim evanđeljima glagol ćemo susresti 11 puta kod Mateja, 14 puta kod Marka i 9 puta kod Luke. Imenicu πίστις susrećemo 8 puta kod Mateja, 5 puta kod Marka i 11 puta kod Luke. Za usporedbu, novozavjetni spisi koji se obilato koriste imenicom πίστις jesu poslanica Rimljanima (40 puta), poslanica Hebrejima (32 puta), poslanica Galaćanima (22 puta) te Jakovljeva poslanica (16 puta). Glagol πιστεύω nalazimo 37 puta u Djelima, te 21 put u poslanici Rimljanima. Koliko se puta riječ vjera nalazi u Starom zavjetu? Hrvatski prijevod Starog zavjeta vrlo će se rijetko koristiti imenicom vjera : izrijekom je nalazimo u Hab 2,4; 1 Mak 2,59; 2 Mak 2,2; 2 Mak 15,10 (ovdje se ne odnosi na vjeru u Boga); Sir 49,10; Mudr 1,2; uočavamo da se radi pretežito o deuterokanonskim knjigama. Grčka riječ πίστις u grčkom prijevodu Starog zavjeta, Septuaginti, koristi se relativno rijetko, 60-ak puta, od toga na 26 mjesta u deuterokanonskim knjigama, dok kod kanonskih uglavnom prevodi hebrejske riječi ה נ ומ א ili,ת מ א koja uz značenje πίστις (vjera) ima i niz drugih značenja poput vjernosti, istine, pouzdanosti. 5 Semantičko polje kojim se izriče stvarnost vjere u 2 Porta fidei, str Prema statistikama dostupnim u Bible Worksu. 4 U ivanovskim spisima, πίστις nalazimo u 1 Iv 5,4; te 4 puta u Otkrivenju (2,13.19; 13,10; 14,12). 5 Ivan ŠPORČIĆ, Pravednik živi od svoje vjere. Rasprava o semantičkom polju vjere u Starom zavjetu, u: Ivan ŠPORČIĆ (ur.), Stari zavjet vrelo vjere i kulture.

3 Služba Božja 53 (2013.), br. 1, str Starom zavjetu izuzetno je široko, te obuhvaća niz semantičkih potpolja vezanih uz razne oblike percepcije, emotivna stanja, ili pak odnose. Tako se vjerovanje izriče riječima poput nada/ nadati se; oslonac/osloniti se; znanje/poznavati. itd. S obzirom na teološko-kulturni kontekst koji dijele Stari i Novi zavjet, širinu semantičkog polja vjere valja očekivati i u Novom zavjetu. Svoje istraživanje suziti ćemo na imenicu πίστις (vjera) u sinoptičkim evanđeljima. Ovaj interes opravdavamo nerazmjerno brojnijim korištenjem imenice πίστις u Novom zavjetu u odnosu na Stari Novozavjetni pokušaj definiranja vjere U teologiji vjeru definiramo kao teološku krjepost, dar ili milost, u antropologiji kao odnos, povjerenje. Suzdržanost Starog zavjeta u odnosu na ovu koncepciju svjedoči da vjeru nije bilo lako definirati. Stari zavjet radije će izricati dinamički aspekt vjerovanja, čestom upotrebom glagola vjerovati, i srodnih dinamičnih izričaja. No s grčkim jezikom, u biblijski svijet dolazi druga koncepcija jezika, koja u potrazi za razumijevanjem stvarnosti, rado izriče supstanciju, stvarajući apstraktne pojmove. S Kristom u biblijsku koncepciju vjere dolazi također nešto novo, nimalo apstraktno. Autor poslanice Hebrejima (11,1), sofisticirani novozavjetni teolog, za kojeg se komentari pretežito slažu da nije pisao prije nastanka evanđelja, 6 usudio se definirati što vjera jest: Vjera (πίστις) već je neko imanje 7 onoga čemu se nadamo, uvjerenost 8 u zbiljnosti kojih ne vidimo. Riječ πίστις, kao i ostale riječi iz grupe πιστεύω, za razliku od drugih pojmova kojima se u Starom zavjetu opisuje vjera i vjerovanje, prevodi gotovo isključivo hebrejski korijen,ןמא kojim se najčešće (posebno u hifilu) označuje odnos između osoba. 9 Zbornik radova interdisciplinarnog međunarodnog simpozija, Rijeka, 5. i 6. prosinca 2003., Rijeka Zagreb, 2004., str Izdvajamo poslanicu Hebrejima zbog pokušaja definiranja vjere, pretpostavljajući da definicija ne odstupa od poimanja vjere u doba nastanka evanđelja. 7 Grč. ὑπόστασις, supstancija, sigurnost, uvjerenje. 8 Grč. ἔλεγχος, dokaz, uvjerenje. 9 πιστις, pridjev, u klasičnoj grčkoj literaturi ima šire značenje, opisuje predmete u čiju se funkcionalnost čovjek može pouzdati, poput oružja ; isti će pridjev u kontekstu međuljudskih odnosa opisati primjerice suradnike na koje se čovjek

4 Anđela Jeličić, Sinoptički Isus o vjeri 8 Vrijedi uočiti da je u užem religijskom smislu grupa riječi vezana uz grčki glagol πιστεύω, vjerovati, karakteristična za religijske sustave koji se oslanjaju na propagandu, tj. misionarski usmeni navještaj, posredovan riječima. 10 Riječi od čovjeka zahtijevaju slušanje, prihvaćanje ili odbijanje. Prihvaćanje sadržaja navještaja istinitim jest vjerovanje ( Jer ako ustima ispovijedaš da je Isus Gospodin, i srcem vjeruješ da ga je Bog uskrisio od mrtvih, bit ćeš spašen., Rim 10,9; Ti vjeruješ da je jedan Bog? Dobro činiš! I đavli vjeruju, i dršću, Jakov 2,19; Tko god vjeruje: Isus je Krist, od Boga je rođen. 1 Iv 1,5). Ipak, od triju citiranih tekstova, dva sugeriraju da vjerovati po sebi ne znači i spasenje. Vjera izmiče definicijama, sugerira autor poslanice Hebrejima, koristeći se u istoj definiciji uz riječ πίστις dvjema teško razumljivim riječima, prva je ὑπόστασις, koja u LXX označuje smionost, sigurnost, život ; druga je ἔλεγχος koja u Hebrejima označuje dokaz, ali se u LXX najčešće koristi u smislu prijekor (kao i u 2 Tim 3,16). Zanimljivo je da se u Heb 11,1 πίστις ne vezuje na osobu, nego na uopćeno nadanje i nevidljivo. Ipak iz konteksta vrlo jasno proizlazi da su nadanje i nevidljivo stavljeni u kontekst konkretnih Božjih obećanja, što otkriva da je πίστις odnos između osoba. Radi se o privilegiranom odnosu, koji će Heb 12,2 nakon duge liste starozavjetnih primjera vjere razjasniti, označivši kao početnika i dovršitelja vjere Isusa Krista (u skladu s novozavjetnom teologijom, u kojoj je Logos početak Božje samoobjave čovjeku, te dovršitelj po pashalnom otajstvu). U tom smislu, svaka vjera podliježe konačnoj Kristovoj prosudbi, jer je Isus Krist istovremeno i sadržaj vjere. Dok vjerovati može imati ambivalentno značenje koje ovisi o tome kome čovjek vjeruje, vjera (πίστις) apsolutno je dobro, jer je početnik i dovršitelj vjere Isus Krist. 2. Vjera u sinoptičkim evanđeljima U sinoptičkim evanđeljima, kod Marka riječ πίστις Isus četiri puta izgovara u upravnom govoru, kod Mateja Isus je izgovara sedam puta, a kod Luke devet. Sva tri sinoptika donose riječ može osloniti, poput vjernog sluge. Vidi: Rudolf Bultmann, Artur Weiser, πιστεύω KTL, u: Gerhard Friedrich (ur.), TDNT sv. 6. str , , str R. Bultmann, nav. dj., str. 181.

5 Služba Božja 53 (2013.), br. 1, str πίστις po jednom u neupravnom govoru, a kod Luke jednom ju izgovaraju i apostoli. Izdvajamo sljedeće izričaje: Isus doslovno vidi vjeru ; vjera je izravni objekt glagola imati ; Isus kaže vjera te spasila ; Isus konstatira da vjeru nalazi ili se pita hoće li se vjera naći ; Isus pita učenike gdje je vjera ; ocjenjuje veličinu ili malenkost nečije vjere: velika vjera, malovjernost ili ju uspoređuje s gorušičinim zrnom; na kraju posebno je zanimljiv tekst u kojem Isus povezuje čvrstoću Petrove vjere sa svojom molitvom. Svi izričaji predstavljaju novost u odnosu na Stari zavjet. A s obzirom da je imenica vjera pretežito (uz samo 3 iznimke) dio upravnoga govora, k tome Isusov izravni izričaj, legitimno je postaviti pitanje, što je Isus prema sinoptičkim evanđeljima rekao o vjeri Vidjeti vjeru: Matej 9,2; Marko 2,5; Luka 5,20 Marko 2,5: καὶ ἰδὼν ὁ Ἰησοῦς τὴν πίστιν αὐτῶν Matej 9,2: καὶ ἰδὼν ὁ Ἰησοῦς τὴν πίστιν αὐτῶν Luka 5,20: καὶ ἰδὼν τὴν πίστιν αὐτῶν Prvi tekst zajednički je Marku, Mateju i Luki, pretpostavljamo da su se Matej i Luka koristili Markom kao svojim izvorom, zadržavši pritom i kontekst. Narator opaža da Isusova reakcija slijedi nakon što vidi vjeru njihovu. Evanđelisti skreću pozornost na Isusovu percepciju čovječje vjere i tumače ju kao gledanje, pomoću participa glagola vidjeti. Blizak izričaj nalazimo u istom odlomku, gdje je predmet Isusove percepcije nutarnji svijet pismoznanaca koji Isus proniče duhom : ἐπιγνοὺς ὁ Ἰησοῦς τῷ πνεύματι (Mk 2,8). Matej će opisati percepciju nutarnjeg svijeta pismoznanaca istom riječju kao i percepciju vjere (Mt 9,4) vidjevši njihove misli : ἰδὼν ὁ Ἰησοῦς τὰς ἐνθυμήσεις αὐτῶν. Luka (Lk 5,22) u istom kontekstu kao i Marko koristi se izričajem proniknuvši njihova mudrovanja : ἐπιγνοὺς δὲ ὁ Ἰησοῦς τοὺς διαλογισμοὺς. Evanđelisti ne dvoje da Isus duhom percipira unutarnji svijet svojih sugovornika, u kojem nalazi ili vjeru, ili drugačije misli i mudrovanja. Istovremeno, glagol vidjeti označuje i fizičku percepciju, koja u ovom slučaju obuhvaća i postupak onih koji

6 Anđela Jeličić, Sinoptički Isus o vjeri su uzetoga na nosiljci donijeli pred Isusa. 11 Je li vjera ovih ljudi savršena, to evanđeliste ne zanima. Evanđelisti primjećuju samo da je ona Isusu vidljiva. 12 Ostali vide da su to neimenovani ljudi, i jedan paralitičar, o kojima znamo da za njih nije bilo predviđeno mjesto u prostoriji, čemu su oni doskočili svojom dosjetljivošću i upornošću Plašljivost i vjera: Marko 4,40; Matej 8,26; Luka 8,25 10 Marko 4,40: καὶ εἶπεν αὐτοῖς τί δειλοί ἐστε; οὔπω ἔχετε πίστιν; Matej 8,18: καὶ λέγει αὐτοῖς τί δειλοί ἐστε, ὀλιγόπιστοι; Luka 8,25: εἶπεν δὲ αὐτοῖς ποῦ ἡ πίστις ὑμῶν; Sljedeći sinoptički tekst izravni je Isusov izričaj o vjeri, bliži je kontekst Isusovo utišavanje oluje, a tekst je fokusiran na očitovanje Isusova gospodarenja prirodnim silama. U ovom slučaju sinoptici se razlikuju, svatko donosi drugačiju formulaciju Isusovih riječi. Marko (4,40) će reći: Što ste plašljivi, nemate li vjere? ; Matej (8,26) donosi Što ste plašljivi, malovjerni? ; a Luka (8,25) Gdje vam je vjera? Markov je izričaj najoštriji, jer se čini da dovodi u pitanje vjeru učenika korištenjem negacije (negacija ne, preciznije ne još i glagol imati, legitiman bi bio i prijevod ne biste li već trebali imati vjere? ). 13 Matej ne dovodi u pitanje vjeru, već učenike proglašava malovjernima (ὀλιγόπιστοι), pokazujući da Isus i dalje proniče u srce svojih učenika, te uočava neki trag vjere. Kod Luke, Isus se pita gdje je vjera, kao i Matej eksplicitno ne isključujući postojanje vjere u učenika. 11 U Djelima 14,9 (10) stoji: Pavao ga pronikne pogledom, vidje da ima vjeru u spasenje pa mu iza glasa reče: Uspravi se na noge! On skoči i prohoda. Pavlova percepcija opisana je riječju ἀτενίζω, prodorno promatrati, tek nakon toga slijedi vidje (ἰδὼν) da ima vjeru. U kontekstu je naglašena izvanredna dimenzija Pavlova misionarenja, no jasno se razlikuje Isusova od Pavlove percepcije. 12 Fitzmayer naglašuje da je vjera u ovom kontekstu uvjerenje u Isusovu moć (Vidi i: Bultmann, TDNT, sv. 6. str. 206.) Fitzmayer tvrdi da se sukladno dijakroničkom nastanku evanđelja, i poimanje vjere mijenjalo. Prema ovom autoru, vjera počinje označivati odnos učenika prema Isusu tek u trećem stadiju predaje evanđelja, a očituje se primjerice tekstovima poput Lk 17,5; Lk 18,8; Lk 22,32. (vidi: Joseph Fitzmayer, Luke, Introduction, translation, and notes, The Anchor Bible, Garden City, New York, Doubleday, 1984., str. 582 i 583). 13 Ben Witherington, The Gospel of Mark. A Socio-Rhetorical Commentary, William B. Eerdmans Publishing Company, Grand Rapids, Michigan/Cambridge, 2001., str. 176.

7 Služba Božja 53 (2013.), br. 1, str Sinopticima je zajedničko što Isus postavlja izravno pitanje o vjeri. Motiviran je reakcijom učenika, a posebno izdvaja strah, koji su pokazali tijekom oluje na moru, unatoč Isusovoj prisutnosti među njima. On ih ne pokušava utješiti, već ide ravno u srž problema. 14 Riječ kojom se opisuje stanje plašljivosti, nije neutralni i uopćeni opis straha: δειλός pojavljuje se 3 puta u cijelom Novom zavjetu, uz Mk 4,40 i Mt 8,26 nalazimo ga još u Otk 21,8, a u LXX uvijek označuje kukavicu, 15 osobu koja uzmiče pred dužnošću. Isusovo pitanje o vjeri učenika tijekom oluje (temeljem Markova i Matejeva teksta) upućuje da je njihov strah odraz karakterne neodvažnosti. Neodvažnost karaktera sakriva vjeru, skrivajući od samog čovjeka i sadržaj vjere koji je upoznao. Zato Isus i kod Luke jednostavno pita: Gdje je vjera? Tekst paradigmatski ocrtava kušnju čitatelja-učenika koji je upoznat sa sadržajem vjere, Isusovim identitetom, ali ga prestaje vidjeti ili razumjeti u trenutcima krize. Odgovor učenika kod svih triju sinoptika tko je ovaj da mu se i vjetar i voda pokoravaju? pokazuje da učenici nisu razumjeli događaje koji su prethodili, a kojima su i sami svjedočili Imati vjeru: Marko 4,40; Marko 11,22; Matej 17,20; Matej 21,21; Luka 17,6 Marko 4,40: καὶ εἶπεν αὐτοῖς, Τί δειλοί ἐστε; οὔπω ἔχετε πίστιν; Marko 11,22-23: Ἔχετε πίστιν θεοῦ. Matej 17,20:, ἐὰν ἔχητε πίστιν ὡς κόκκον σινάπεως, Matej 21,21:, ἐὰν ἔχητε πίστιν καὶ μὴ διακριθῆτε, Luka 17,6: εἶπεν δὲ ὁ κύριος εἰ ἔχετε πίστιν ὡς κόκκον σινάπεως. Na 5 mjesta kod sinoptika vjera je objekt glagola imati. Glagol ἔχω, imati, može označivati fizičko posjedovanje ( imati kuću ), odnos ( imati prijatelja, Lk 11,5); koristi se u značenju čuvati, njegovati ( imajući otajstvo vjere u čistoj savjesti - ἔχοντας τὸ μυστήριον τῆς πίστεως ἐν καθαρᾷ συνειδήσει, 1 Tim 3,9), a može se odnositi i na posjedovanje duhovnih stvarnosti, darova ( da nijedan koji u njega vjeruje ne propadne, nego da 14 J. Fitzmayer, nav. dj., sv. 1. str U NZ nalazimo i sličnu riječ δειλία, bojažljivost (2 Tim 1,7: Jer nije nam Bog dao duha bojažljivosti, nego snage, ljubavi i razbora. ) Usp. Joachim Gnilka, Il vangelo di Marco, Cittadella Editrice, Assisi, 1987., str. 266.

8 Anđela Jeličić, Sinoptički Isus o vjeri 12 ima život vječni - ἀλλ ἔχῃ ζωὴν αἰώνιον, Iv 3,16). Stoga, vjeru je moguće imati, u tri bitne dimenzije glagola ἔχω u NZ: kao što je moguće imati prijatelja, čuvati kao što se njeguje obećanje, ili pak uživati, živjeti kako se uživaju darovi. Prvi je primjer oluja u Mk 4,40. Četiri preostala teksta donose izraz imati vjeru u kontekstu molitve. Matej i Luka u istom će kontekstu govoriti i o veličini vjere, uspoređujući je sa zrnom gorušice (Mt 17,20; Lk 17,6), Matej će naglasiti i malovjernost (17,20), sugerirajući kako je vjera veličine zrna gorušice zapravo velika. Marko 11,23 i Matej 21,21 naglasit će da je suprotnost vjeri sumnja (u srcu). Marko će jedini govoriti o vjeri Božjoj (Mk 11,22). 16 Nasuprot imati vjeru, stoji sumnja i malovjernost. Što nam evanđelje sugerira kad prenosi koncepciju posjedovanja vjere (Božje) na kojoj se temelji učinkovita molitva? Široka upotreba glagola imati, i dubina riječi πίστις sugeriraju da se upućuje na očitovanje vjere koje može biti: vjernost, poslušnost, svjetonazor. Konkretno, vjera je vjernost u odnosu, utoliko što u određenom trenutku čovjek (pred sobom i Bogom) očituje vlastito prijateljstvo s Bogom, posebno u molitvi. Vjera je poslušnost riječi, utoliko što se očituje (pred Bogom i ljudima) povjerenje obećanju Božjem nasuprot sumnji. Te konačno, vjera je svjetonazor kojim se kriteriji Božjeg kraljevstva naočigled sviju žive, implementiraju u zemaljski život, čime se relativiziraju kriteriji ovog svijeta, posebno upornim praštanjem, koje prethodi svakoj molitvi. U tom smislu, Isusovo pitanje prestrašenim učenicima u Mk 4,40: Nemate li vjeru? predstavlja prijekor konkretnom načinu života: živite li vjeru? 17 A malovjernost i usporedba s gorušičinim zrnom, pokazuju da je vjera u čovjeku uvijek nedovršena Pronaći vjeru: Matej 8,10; Luka 7,9; 18,8 Matej 8,10: παρ οὐδενὶ τοσαύτην πίστιν ἐν τῷ Ἰσραὴλ εὗρον. Luka 7,9: λέγω ὑμῖν, οὐδὲ ἐν τῷ Ἰσραὴλ τοσαύτην πίστιν εὗρον. 16 Ovdje se radi o genitivu u kojem je Bog objekt, imajte vjeru u Boga. 17 Iz ove perspektive, tumačeći Jakovljevu poslanicu, 2, 14 zaključujemo da imati vjeru bez djela, bez životnog svjedočanstva, zapravo znači nemati vjeru. 18 Vjera raste kad se živi kao iskustvo darovane ljubavi, kad se prenosi kao iskustvo milosti i radosti. Benedikt XVI., Porta Fidei, str. 7.

9 Služba Božja 53 (2013.), br. 1, str Luka 18,8: πλὴν ὁ υἱὸς τοῦ ἀνθρώπου ἐλθὼν ἆρα εὑρήσει τὴν πίστιν ἐπὶ τῆς γῆς; Tri puta Isus govori o nalaženju vjere, dva puta kod Luke, a jednom kod Mateja. Među novozavjetnim piscima Luka se najčešće koristi glagolom εὑρίσκω pronaći (45 puta u evanđelju i 35 puta u Djelima); 19 posebno kako bi opisao odnos Boga prema čovjeku (npr. Lk 15,24: Jer sin mi ovaj bijaše mrtav i oživje, izgubljen bijaše i nađe se ). Glagol εὑρίσκω aludira na traženje, makar može upućivati i na potpuno slučajno nalaženje, susretanje. Iako kontekst ozdravljenja satnikova sluge (Mt 8,5-13; Lk 7,1-10) ne naglašava kako Isus traži vjeru među ljudima, izričaj ne nađoh tolike vjere ipak govori o Isusovoj motivaciji. Širi kontekst ovog odlomka (7,1-8,13) u Lukinu evanđelju fokusiran je na prihvaćanje Isusova djelovanja: vođe naroda ga ne prihvaćaju, a on privlači k sebi ljude s margine, pogane i grješnike. Matej će također naglasiti u širem kontekstu ovog odlomka (Mt 8-9,34) kako postoji određena napetost između očekivane i nađene vjere u Izraelu. 20 Pronašavši vjeru kod pogana (Lk 7,9), Isus priznaje da pogani jasno očituju vjeru pred njime. Upotreba riječi pronaći (אצמ) u Starom zavjetu, otkriva da Bog nešto nalazi nakon što traži, kuša, kao što Psalmist kaže: Istraži mi srce, pohodi noću, ognjem me iskušaj, al u meni nećeš nać bezakonja (Psalam 17,3). U Postanku čitamo kako Bog neće uništiti grad ako u njemu nađe 50 pravednika (Post 17,26); a Nehemija 9,8 reći će kako je Bog u Abramu pronašao vjerno srce. Božje istraživanje nije nikada slučajno, kao što nije slučajan rezultat tog traženja. Božje istraživanje, koje čovjek percipira kao kušnju, otkriva čovjekovu nutrinu kao punu pravednosti, vjere ili bezakonja. Kad Isus nalazi vjeru u poganinu, otkriva da Otac u svakom čovjeku traži isto (istu supstanciju - ὑπόστασις, vidi Heb 11,1) Marko se koristi glagolom nalaziti samo 11 puta, a Matej 27 puta. 20 Luz naglašuje kako u Matejevu evanđelju ova opaska ne odgovara narativnom slijedu evanđelja, jer se čitatelj još nije susreo s odbijanjem Izraela; no odgovara situaciji čitatelja, učenika, koji su po navještaju upoznati s odbijanjem Izraela. Također, Luz naglašuje kako je i kod Mateja, vjera povjerenje u Isusovu moć koja je ljudima na pomoć, vjera je nastojanje koje se ne da obeshrabriti. (vidi: Ulrich Luz, Vangelo di Matteo, sv. 2. Commento ai capp. 8-17, Brescia, Paideia, 2010., str. 31).

10 Anđela Jeličić, Sinoptički Isus o vjeri 14 Satnik je smrtnu bolest svojeg sluge mogao i ignorirati, ili za nju kriviti nekoga drugog. Ali odabrao je neočekivano: u svojoj životnoj kušnji u potpunosti se osloniti na Isusa, očitovati svoju vjeru, u detalje, pokazujući da razumije svoj položaj, Isusov autoritet i izvanrednu snagu njegovih riječi: Gospodine, ne muči se. Nisam dostojan da uđeš pod krov moj. Zato se i ne smatrah dostojnim doći k tebi. Nego reci riječ da ozdravi sluga moj. Ta i ja, premda sam vlasti podređen, imam pod sobom vojnike pa reknem jednomu: Idi i ode, drugomu: Dođi i dođe, a sluzi svomu: Učini to i učini. (Lk 7,6-8). Parafrazirajući Psalmista, možemo reći da je prema Lukinu evanđelju, satnikovo srce u njegovoj egzistencijalnoj krizi istraženo, iskušan je i u njemu je pronađena vjera. 21 Drugi Lukin tekst koji govori o nalaženju vjere nalazi se u posve drugačijem kontekstu. Dio je parabole o udovici i nepoštenom sucu (Lk 18,1-8) za koju se komentatori slažu kako govori o ustrajnosti molitve. 22 Ona se zaključuje pomalo neočekivano rečenicom, Lk 18,8: Ali kad Sin Čovječji dođe, hoće li naći vjere na zemlji? U svjetlu gore rečenog o povezanosti nalaženja vjere i kušnje, Isusov se dolazak tumači kao Božje ispitivanje ljudskih srdaca koje će očitovati i koliko je ustrajna čovjekova vjera, a ustrajnost vjere otkriva se u ustrajnosti molitve. 23 Bog želi spasiti čovjeka, i zato će tražiti vjeru na zemlji. U kontinuitetu s tekstom o satnikovoj vjeri, Luka Isusovim riječima izravno provocira čitatelja, jer je pitanje o pronalaženju vjere o dolasku Sina Čovječjeg (a pretpostavljamo da se radi o paruziji) 24 postavljeno izravno čitatelju, koji je pozvan preispitati vlastitu vjeru, u odnosu naprimjer nađene vjere u 7, Vjera te tvoja spasila: Mk 5,21, Mt 9,22; Lk 8,48 Mk 5,34: ὁ δὲ εἶπεν αὐτῇ θυγάτηρ, ἡ πίστις σου σέσωκέν σε Mt 9,22: θάρσει, θύγατερ ἡ πίστις σου σέσωκέν σε. 21 Više od poštovanja povijesne akribije, i ovaj Lukin izvještaj cilja na provokaciju čitatelja, Isusova učenika: on svoju vjeru mora usporediti s ispoviješću poganina, koji pokazuje savršenu vjeru (J. Fitzmayer, nav. dj., sv. 1, str. 653). 22 J. Fitzmayer, nav. dj., sv. 2., str Molitva je bitna oznaka kršćanskog života, života po vjeri. 23 Literarno je izvan konteksta, ali semantički je opravdana usporedba s Matejevim evanđeljem 26,40: gdje čitamo kako Isus, prekinuvši svoju molitvu, nalazi učenike pozaspale tijekom molitve u Getsemanskom vrtu. 24 J. Fitzmayer, nav. dj., sv. 2., str

11 Služba Božja 53 (2013.), br. 1, str Lk 8,48: θυγάτηρ, ἡ πίστις σου σέσωκέν σε πορεύου εἰς εἰρήνην. Izričaj vjera te tvoja spasila donose sva tri sinoptika, 25 u zgodi (Mk 5,21-43; Mt 9,18-26; Lk 8,40-56) što opisuje ozdravljenje žene nakon godina krvarenja. Kod svih triju sinoptika to je dio diptiha: druga je slika uskrsnuće Jairove (kod Luke i Marka) ili glavarove (kod Mateja) kćeri. I dalje smo u kontekstu očitovanja Isusove moći, koji će se otkriti kao gospodar zdravlja i života. Prvo se čudo dogodilo inicijativom žene, jer, kako naglašuje Marko, ona je čuvši za Isusa pohitala k njemu, i svojevoljno dotakla njegove skute te osjetila tijelom da je ozdravljena od bolesti (Mk 5,29). Nakon što je pozvana razjasniti što se dogodilo, bacila se (pred Isusa) i rekla sve po istini (Mk 5,33). Tada Isus potvrđuje što se dogodilo, riječima koje prvi put govore o njenu spasenju: Kćeri, vjera te tvoja spasila. Idi u miru i budi zdrava od svoje bolesti. Frazu Kćeri, vjera te tvoja spasila, nepromijenjenu od riječi do riječi donose i Matej i Luka, uz veće ili manje izmjene u ostatku izvješća. Riječima vjera te tvoja spasila Isus otklanja usmjerenost čitatelja na dodir žene. Sam dodir Isusovih skuta ne spašava. Isus ohrabruje ženu, a slika nam ilustrira odnos vjere i spasenja: dok je vjera rizik molitve, koji motivira čovjeka da posegne za Bogom, spasenje ostaje Božji dar koji čovjek konkretno kuša i razumije, kao što tijelo razumije ozdravljenje. 26 Implicitno, spasonosna vjera ove žene osvjetljuje i drugo čudo, uskrsnuće Jairove kćeri. Nadalje, ova žena čitatelju-učeniku otkriva da je bitna dimenzija vjere odvažnost kojom čovjek poseže za Bogom i Božjom prisutnošću. Odnos vjere i spasenja ilustrira Lukina interpretacija prispodobe o sijaču. Luka će jedini od sinoptika u interpretaciju prispodobe uvesti glagol vjerovati (Lk 8,12: Oni uz put slušatelji su. Zatim dolazi đavao i odnosi Riječ iz srca njihova da ne bi povjerovali i spasili se. ). Uz ovaj diptih, isti izričaj vjera te tvoja spasila, uz jednu varijantu nalazimo i u sljedećim tekstovima, jednom sinoptičkom i dvama isključivo Lukinim tekstovima Dijakronijski pristup evanđeljima uočava učestalost i očuvanost ovog izričaja, koristeći ih kao argument u korist autentičnosti ove Isusove izreke. Ako jest autentična, izriče vjeru u Isusovo Božje poslanje, prisutnu u pred-markanskoj tradiciji. Vidi: J. Fitzmayer, nav. dj., sv. 1. str U. Luz, nav. dj., sv. 2., str. 78.

12 Anđela Jeličić, Sinoptički Isus o vjeri Slijepi Bartimej kod Marka, dva slijepca kod Mateja i Jerihonski slijepac kod Luke: Marko 10,52: Ὕπαγε, ἡ πίστις σου σέσωκέν σε. Luka 18,42: ἡ πίστις σου σέσωκέν σε. Matej 9,29: Κατὰ τὴν πίστιν ὑμῶν γενηθήτω ὑμῖν. 16 Marko će zabilježiti da slijepac naziva Isusa učiteljem i Sinom Davidovim (Mk 10, ), kod Luke, slijepac Isusa priznaje Gospodinom i Sinom Davidovim (Lk 18, ), i jedan će i drugi evanđelist reći kako Isus odgovara vjera te tvoja spasila, a slijepac odmah progleda. Vjera je stav slijepca, koji Isusa ispovijeda Sinom Davidovim, odnosno Kristom, u čijoj je vlasti smilovati se čovjeku. Slijepac u jednom i drugom evanđelju pokazuje ustrajnost i upornost u zazivanju Krista u molitvi. Nadalje, s obzirom da nakon ozdravljenja slijedi Isusa, pokazuje se kao savršeni učenik. Matej će ovu zgodu preinačiti u ozdravljenje dvaju slijepaca, koji se Isusu obraćaju istim vapajem: Sine Davidov, smiluj nam se. Matej (9,28) izravnim će Isusovim pitanjem vjerujete li da mogu to učiniti, naglasiti kako vjera prethodi ozdravljenju. 27 Isus nastavlja: Neka vam bude po vjeri vašoj (κατὰ τὴν πίστιν ὑμῶν γενηθήτω ὑμῖν Mt 9,29). Za razliku od prethodnog teksta, Matej ovdje izbjegava glagol spasiti kojim se u tom kontekstu koristi Marko. Matejev odabir može se opravdati poimanjem spasenja kao isključivo individualnog iskustva Grješnica i Samaritanac Lk 7,50 εἶπεν δὲ πρὸς τὴν γυναῖκα ἡ πίστις σου σέσωκέν σε πορεύου εἰς εἰρήνην Lk 17,19 καὶ εἶπεν αὐτῷ ἀναστὰς πορεύου ἡ πίστις σου σέσωκέν σε. Na još dva mjesta u Lukinu evanđelju, Isus će pojedincima reći vjera te tvoja spasila. U Lk 7,50 te su riječi upućene grješnici koja mu je oprala noge suzama i obrisala ih kosom; u Lk 17,19 riječi su upućene jedinom od 10 gubavaca koji se vratio zahvaliti Isusu. Čin ozdravljenog gubavca-samaritanca protumačen je kao spasonosni čin vjere jer, za razliku od ostalih 9 gubavaca koji su 27 U. Luz, nav. dj., sv. 2., str. 88.

13 Služba Božja 53 (2013.), br. 1, str jednako kao i on bili ozdravljeni od Isusa, ovaj je jedini svojim povratkom i zahvalnošću spašen. Zahvala koju gubavac izriče, zapravo je molitva zahvale, (καὶ ἔπεσεν ἐπὶ πρόσωπον παρὰ τοὺς πόδας αὐτοῦ εὐχαριστῶν αὐτῷ - Lk 17,16) koju proglašuje spasonosnom. Od gubavca čitatelj-učenik uči kako je zahvalnost (εὐχαριστέω, zahvaliti ) očitovanje vjere. Čitatelj kršćanin iz današnje perspektive ne može zaobići sakramentalnu dimenziju na koju aludira riječ εὐχαριστέω. Na kraju relativno detaljno opisane epizode u farizejevoj kući (7,36-7,50) otkriva se prava motivacija žene koja je svojom prisutnošću i gestom unijela zbunjenost među Šimunove goste, kao što ih je zbunio Isusov blagonakloni odnos prema njoj. Isusova rečenica Vjera te tvoja spasila, otkriva da je njemu vidljivo ono što njegovim sustolnicima nije razumljivo. Oni izvana vide grješnicu, koja čini nezamislivo u njihovim očima, dodiruje proroka, makar iskazuje ljubav, poštovanje i zahvalnost (klečanje, pomazanje nogu, plač), no Isus otkriva da se tu radi o činu vjere. Poput likova iz Matej 9,2; Marko 2,5; Luka 5,20, čije riječi evanđelisti ne bilježe, ni ova žena ne govori ništa. 28 Žena ne otkriva riječima ni svoju molitvu, ni vjeru pred drugima, no otkriva ju gestama zahvalnosti, ljubavi, poštovanjem. Zato Isus svojim riječima izrijekom potvrđuje na očitovanje svim prisutnima da je njen čin molitva, zbog njene unutarnje motivacije, to je spasonosni čin vjere u Boga. Ovaj tekst obiluje kontrastima koji pokazuju kako je percepcija ljudi potpuno drugačija od percepcije Isusa, od percepcije Boga. Svi Isusovi izričaji o spasonosnoj vjeri upućeni su nepoželjnim ljudima: ženi koja je krvarila (samim time bila dvostruko nečista i izopćena iz kulta), ženi koja je bila javna grješnica, slijepcima, gubavcu-samaritancu. Vjera koja spašava ovdje označuje više od ozdravljenja i rehabilitiranja: ona pojednostavnjuje odnos čovjeka i Boga, otkriva da je odnos utemeljen na čistoj vjeri, kao izazov religijskim formalnostima. Formalistima, sudeći prema opisanim likovima iz evanđelja, nedostaje stav zahvalnosti, ustrajnost, poniznost, povjerenje u Riječ i osobu Isusa Krista. Spasenje koje se po vjeri dogodilo ovim ljudima predokus je eshatološkog spasenja, paradoksalno Ova je usporedba samo djelomično ispravna: jer je scena s paralitičarem vrlo sažeta, dok je scena u Lk 7 detaljna, donosi misli i riječi prisutnih ljudi.

14 Anđela Jeličić, Sinoptički Isus o vjeri prolazno iskustvo sigurnosti, kao što je oslanjanje na Krista i jezgra, ali i početak rasta u vjeri Velika vjera i malovjernost: Matej 15,28 (Matej 6,30; 8,26; 14,31; 16,8; 17,20) Matej 15,28: Ὦ γύναι, μεγάλη σου ἡ πίστις 18 U perikopi Mt 15,21-28 susrećemo ženu Kanaanku koja se, tražeći ozdravljenje za svoju kćer, Isusu obratila kao Gospodinu, Sinu Davidovu. Svoj je stav očitovala i riječima, kojima ponavlja njegove oštre riječi, čime pokazuje da pamti Isusove riječi i prihvaća njegov svijet: A ona će: 'Da, Gospodine! Ali psići jedu od mrvica što padaju sa stola njihovih gospodara!' Mt 15,27). Na takvu poniznost, Isus odgovora jedinstvenim riječima u Novom zavjetu: O ženo! Velika je vjera tvoja! (Mt 15,28). U kontekstu Matejeva evanđelja odgovor je posebno zanimljiv, jer za Mateja je specifična uporaba riječi malovjerni (Mt 6,30; Mt 8,26; Mt 14,31; Mt 16,8), ili malovjerje (Mt 17,20). 29 Kontrast između velike vjere Kanaanke i malovjerja učenika izazov je čitatelju-učeniku. Isusovo očitovanje o vjeri poganke, sublimira sva Isusova očitovanja o vjeri ljudi koje je susretao, prema sinoptičkim evanđeljima. Isus prepoznaje i vrjednuje vjeru onih koje su njegovi suvremenici smatrali nevjernicima (jer su bili pogani), osobama s margine (grješnici, bolesnici). A vlastitim učenicima, osobama koje je sam odabrao, spočitava da su malovjerni, ὀλιγόπιστοι. 30 To spočitavanje nema za cilj ponižavanje učenika, nego ocrtavanje puta kojim se nadilazi malovjerje. Marco Carioli godine objavljuje monografiju posvećenu temi malovjerja u Matejevu evanđelju. 31 Temeljem gore navedenih Matejevih tekstova, Carioli definira etape vjere koje je svaki Isusov učenik pozvan slijediti u rastu iz malovjerja u vjeru. Donosimo zaključke ovoga zanimljivoga istraživanja. 29 Jedino još Luka 12,28 donosi riječ ὀλιγόπιστοι u paralelnom tekstu, paraboli o pticama nebeskim (Mt 6,25-34 = Lk 12,22-32). 30 Paradoksalno, u Lk 17,6, na molbu apostola da im umnoži vjeru, Isus daje naslutiti da je i vjera veličine zrna gorušice već značajna. 1 Kor 13,2 naglašuje da sva vjera po sebi ne znači puno (bez ljubavi). 31 Marco Cairoli, La poca fede nel Vangelo di Mateo, Analecta biblica 156, Roma 2005.

15 Služba Božja 53 (2013.), br. 1, str Riječ ὀλιγόπιστοι prvi put nalazimo u Mateju 6,30: Pa ako travu poljsku, koja danas jest a sutra se u peć baca, Bog tako odijeva, neće li još više vas, malovjerni? Kontekst usporedbe s pticama nebeskim i poljskim ljiljanima sugerira kako je zabrinutost u suprotnosti s vjerom, jer prevelikim pouzdanjem u vlastite snage vjernik zaboravlja da o svemu brine Bog. Odlomak pri kraju naglašava kako prioritet učenika mora biti traženje Božjeg kraljevstva. 32 U kontekstu stišane oluje Isus govori učenicima: Što ste plašljivi, malovjerni? (Mt 8,26), ovaj tekst potvrđuje da kušnja trajno prati vjeru. Carioli naglašuje da kušnju predstavlja ugroza izvana, poput figurativne oluje, ali i iznenađujuća Isusova prisutnost iznutra, prihvaćanje koje pobjeđuje strah. 33 Treća je etapa ocrtana u zgodi Petrova hoda po vodi, koji nakon što počinje tonuti, čuje Isusov prijekor, ali dobiva i pruženu ruku: Isus odmah pruži ruku, dohvati ga i kaže mu: Malovjerni, zašto si posumnjao? (Mt 14,31). Carioli iz ove scene izvlači poruku o vjeri koja jest izvršavanje zapovijedi, poslušnost, ali i svojevrsno imitiranje Isusa, koje čovjeka dovodi do toga da čini nemoguće stvari. Hoće li ustrajati, ovisi o tome hoće li se pokolebati povjerenje u Riječ temeljem koje se odvažio činiti nemoguće. Vapaj u krizi, molitva, jest izlaz, jer Isus tad prekorava, ali i pruža ruku. 34 U Mt 16,8 Isus prekorava učenike koji ne shvaćaju njegov govor o kvascu i kruhu: Zamijetio to Isus pa reče: Što ste zamišljeni, malovjerni, da kruha nemate? (Mt 16,8), te nastavlja podsjećajući učenike na njegova djela kojima su sami svjedočili: Ne sjećate li se onih pet kruhova na pet tisuća (Mt 16,9). Malovjernost Isusovih učenika proizlazi iz zaborava Gospodnjih djela i riječi, što znači da se vjera uvijek mora hraniti sjećanjem. 35 Konačno, u Mt 17,20 Isus tumači kako je malovjernost učenika razlog njihovu neuspjehu: Kaže im: Zbog vaše malovjernosti. Zaista, kažem vam, ako imadnete vjere koliko je zrno gorušičino te reknete ovoj gori: Premjesti se odavde onamo!, premjestit će se i ništa vam neće biti nemoguće (Mt 17,20). Cairoli tumači kako malenost gorušičina zrna M. Cairoli, nav. dj., str M. Cairoli, nav. dj., str M. Cairoli, nav. dj., str M. Cairoli, nav. dj., str. 263.

16 Anđela Jeličić, Sinoptički Isus o vjeri 20 pokazuje paradoksalnost vjere: ona se ne mjeri kvantitetom, nego kvalitetom, te paradoksalnošću, izraženom slikom premještanja brda uvijek predstavlja alternativu onome što čine ljudi. 36 Nadvladavanje zabrinutosti, prepoznavanje prioriteta Božjeg kraljevstva, spremnost na upućenost Isusu u kušnji, spremnost na poštovanje Riječi unatoč svim nevoljama, kao i spremnost na paradoksalnost života vjere, predstavljaju put rasta iz malovjernosti u vjeru. Put rasta ilustriraju primjeri marginalnih ljudi čiju vjeru Isus vlastitim riječima potvrđuje. To su ljudi koji u trenutku svoje životne kušnje u Isusovoj prisutnosti odabiru jedno: u potpunosti se, pa i fizički, poput žene s krvarenjem, osloniti na Isusovu prisutnost Isus moli za Petrovu vjeru: Lk 22,21-22 i ivanovska koncepcija istine Jedinstveni tekst u sinoptičkim evanđeljima donosi Luka, po kojem Isus u najavi vlastite muke i Petrova zatajenja, kaže Petru: Ali ja sam molio za tebe da ne malakše tvoja vjera. Pa kad k sebi dođeš, učvrsti svoju braću (Lk 22,32). Luka otkriva posebnu dimenziju Petrove vjere, koja upućuje da je Petrov primat utemeljen ne samo na Isusovoj odredbi (Mt 16,18-19), već i na Isusovoj molitvi, nikako na Petrovim zaslugama. Isusova molitva za Petrovu vjeru nema paralele u sinoptičkim evanđeljima, no usporedba s Ivanovim evanđeljem potvrđuje nam slojevitost starozavjetne koncepcije vjere koja se skriva iza riječi πίστις. Kao paralelni tekst u Ivanovu evanđelju razmatramo Isusovu velikosvećeničku molitvu iz Iv 17, u kojoj Isus moli za jedinstvo (svojih učenika) i njihov ostanak u istini (grč. ἀλήθεια). Istinu u ovom tekstu prepoznajemo kao apsolutno dobro, kao milost koju treba izmoliti. Istina je dar, iz kojeg izvire i jedinstvo učenika. Prema Lukinu evanđelju, Petrovo jedinstvo s učenicima ( učvrstiti braću ) ovisit će o čvrstoći vjere za koju sam Isus moli. Time se osvjetljuje i molba apostola u Lk 17,6 umnoži nam vjeru!, što izriče da Isus nije samo objekt vjere, već ima nešto i s njenim rastom. 36 M. Cairoli, nav. dj., str. 264.

17 Služba Božja 53 (2013.), br. 1, str Riječ ἀλήθεια (istina) prevodi u LXX riječ ת מ א (istina), koja ןמא se kao i πίστις etimološki oslanja na starozavjetni korijen ( osloniti se, vjerovati ). Osim toga, s obzirom da Isus sam za sebe kaže da je istina (Ivan 14,6), a istina u najširem smislu jest sadržaj vjere, imamo razloga zaključiti da Ivanova upotreba riječi istina (uvijek i nedvojbeno apsolutno dobro) osvjetljuje sadržaj imenice vjera, πίστις, te je ponegdje i izriče. U Ivanovu se evanđelju samo za jednu osobu kaže kako u njemu nema istine : to je đavao (Iv 8,44), u kojem po logici stvari nema odnosa s Bogom, tj. vjere. I Iv 2,4 proširit će koncepciju te izjednačiti odsustvo istine u čovjeku s kršenjem zapovijedi: Tko veli poznajem ga, a zapovijedi ne čuva, lažac je i u njemu nema istine, tj. nema odnosa s Bogom, vjere. 21 Zaključak Isusovim riječima, vjera uz milosrđe i pravednost čini tri najbitnija stupa Zakona. 37 Isusovo djelovanje među ljudima, kako ga bilježe sinoptička evanđelja, otkriva da Isus u čovjeku percipira sadržaj ljudskog srca. Od riječi kojima izriče ono što opaža u čovjekovoj nutrini, u Isusovim izričajima izdvajamo imenicu vjera. Svaki je čovjek sposoban percipirati vjernost (u smislu karakteristike, atributa, koji se izriče pridjevom vjeran, a koji se očituje postupcima) ili pak vjerovanje (u smislu dinamike odnosa, koji se izriče glagolima što opisuju konkretne postupke ili riječi u tom odnosu). No vjeru kao zasebnu stvarnost i apsolutno dobro ne vidi svatko. U tom smislu, Isusove riječi otkrivaju njegovu percepciju kao Božansku, a ona sa svoje strane otkriva da je u Božjim očima vjera objektivizirana kao predmet promatranja. Ona ne postoji sama za sebe, već isključivo kao dar koji je konkretni čovjek prihvatio u konkretnom trenutku. Primjeri osoba kod kojih Isus percipira vjeru, za čitatelje su evanđelja uzori, primjeri vjere. Njihova marginaliziranost ili nepoželjnost u odnosu na tradicionalne religijske primjere nadomještena je sadržajem njihova srca, u kojem postoji izravni i čisti odnos s Bogom. On se javno očituje potpunim oslanjanjem na osobu i riječ Isusa Krista. Očitovanja 37 Jao vama, pismoznanci i farizeji! Licemjeri! Namirujete desetinu od metvice i kopra i kima, a propuštate najbitnije u Zakonu: pravednost, milosrđe, vjernost (πίστις). Ovo je trebalo činiti, a ono ne propuštati. (Mt 23,23).

18 Anđela Jeličić, Sinoptički Isus o vjeri na vjeru marginalnih osoba na narativnoj razini najčešće su izrečena javno, u prisutnosti učenika/apostola, samim time postaju putokazom i izazovom za njihov rast u vjeri. What Did Synoptic Jesus Say about Faith? Summary 22 The author reviews the usage of the substantive faith, πίστις in the synoptic Gospels. The substantive is mostly found in the direct speech, with three exceptions, and almost always pronounced by Jesus. Jesus pronouncements concerning πίστις reveal that the faith is an object of Jesus perception, for he sees it, or finds it. Jesus explicitly connects the faith and the salvation. Persons who reveal their faith to Jesus are mostly marginal in Judean society at that time, either because of their way of life, or because of belonging to a different ethnic group. The faith of these persons and pronouncements concerning their salvation are a challenge for the categories in which salvation is understood, since the focus shifts from the visible to invisible, i.e. visible to God. Matthew will explicitly stress that Jesus considers his followers to be persons of little faith. If we were to define what πίστις on the basis of the synoptic Gospels is, we could say that it is an absolute good, a relationship between God and human, the obedience to God s word, and a worldview that openly reveals the content of the faith to other people. Key words: the word faith in the Synoptic Gospels, faith and salvation, lack of faith, faith and life

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta 4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5?

Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5? Zadata 00 (Jasna, osnovna šola) Kolia je težina tijela ase 400 g? Rješenje 00 Masa tijela izražava se u ilograia pa najprije orao 400 g pretvoriti u ilograe. Budući da g = 000 g, orao 400 g podijeliti

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A : PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5 Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010. GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66

Διαβάστε περισσότερα

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα